PARTEA I - vladac-uvab€¦ · La baza M.E.F.r se află ideea de a atașa unui sistem de ecuații...

Rezolvarea de probleme utilizând metoda elementelor finite

- note de curs & suport de laborator -

1

PARTEA

I

Note de curs



2



3

1. GENERALITĂȚI PRIVIND PRINCIPALELE METODE NUMERICE

UTILIZATE ÎN INGINERIE

Calculul de rezistență este o componentă importantă a procesului de proiectare. Orice structură

de rezistență trebuie realizată astfel încât să fie sigură pentru valorile parametrilor funcționali

riguros determinați, „în condițiile îndeplinirii unor cerințe adeseori contradictorii în ceea ce

privește costul, dimensiunile de gabarit, tehnologia de execuție, fiabilitatea etc. Satisfacerea

acestor cerințe duce la impunerea unor restricții pe care calculul de rezistență” trebuie să le

îndeplinească (ex: nedepășirea unor tensiuni, deformații sau deplasări limită, garantarea unei

anumite rezistențe la oboseală, etc.) [1].

Calculul de rezistență trebuie să furnizeze proiectantului informații din care acesta să poată

deduce cât de aproape este un anumit element al structurii de stări limită care ar putea periclita

funcționalitatea ansamblului [1].

Marea diversitate a problemelor pe care inginerul trebuie să le rezolve în vederea proiectării

eficiente a unei structuri se reflectă în multitudinea metodelor de calcul utilizate la ora actuală.

Aceste metode s-au dezvoltat treptat, pe măsura acumulării de cunoștințe teoretice și

tehnologice şi, în ultima jumătate de secol, în paralel cu evoluția calculatoarelor electronice.

Scurtă istorie a metodei elementelor finite (MEF) :

- 1870 Rayleigh a demonstrat că ecuațiile diferențiale sau cele cu derivate parțiale sunt perfect

echivalente cu un principiu variațional, adică determinarea funcțiilor care minimizează o

funcțională este același lucru cu rezolvarea ecuațiilor diferențiale sau cu derivate parțiale care

ar rezulta din sus-numita funcțională;

- 1908 W. Ritz a generalizat opera lui Rayleigh şi a elaborat metoda Rayleigh-Ritz sau mai pe

scurt metoda Ritz;

- 1956 Turner și alții au publicat primul articol despre MEF, urmat de Clough în 1960;

- 1965 Zienkiewicz şi Cheung aplică MEF în alte domenii decât calculul structurilor;

- 1968 Przemierniecki publică prima carte dedicată MEF, „Theory of Matrix Structural

Analysis”;

- 1968 începe elaborarea celebrei serii de programe de calculator SAP sub conducerea prof.

Wilson, California, USA;

- 1972 Oden aplică MEF pentru probleme neliniare;

- 1968, ‘71, ‘77, ‘92, 2000 cele cinci ediții ale lui O.C. Zienkiewicz asupra MEF;

- 1976, ‘82, ‘95 apar cărțile lui K.-J. Bathe „Numerical Methods in Finite Element Analysis”

(scrisă împreună cu prof. Wilson) şi „Finite Elements Procedures in Engineering Analysis”.

Într-o abordare directă, etapele de realizare a unui produs trebuie să integreze cele trei

componente principale: concepție, modelare – virtuală și fizică – respectiv validare (fig. 1-1).

Astfel, proiectarea modernă trebuie să facă față multor cerință, printre care și determinarea

comportării – analiza comportamentului mecanic – unei structuri mecanice sau a unor elemente

structurale sub efectul solicitărilor exterioare.



4

Fig. 1-1 Organigrama etapelor de realizare a unui reper mecanic

Concret, întrebarea esențială este: cum reacționează structura atunci când este supusă

solicitărilor exterioare (variații de forțe, de temperaturi, etc.)? Reprezentarea logică a acestei

întrebări se concretizează în figura 1-2.

Fig. 1-2 Reprezentarea grafică a interacțiunii cauză / efect

Pentru a putea răspunde corect la această întrebare, trebuie avute în vedere stările – globală

(acțiuni mecanice și deplasări), locală (tensiuni și deformații) – produsului respectiv (fig. 1-3).

De asemenea, o atenție deosebită este concentrată pe structura reperului și materialul utilizat

în construcția acestuia.

Fig. 1-3 Interdependența dintre structură și materialul utilizat în construcția acesteia



5

O primă clasificare a metodelor de calcul folosite în practica inginerească, distinge două mari

categorii:

- metode exacte (sau analitice);

- metode aproximative.

Metodele exacte sunt aplicabile numai pentru rezolvarea unui număr relativ redus de probleme

simple. Limitările sunt în general introduse de geometria modelului analizat şi de tipul

condițiilor la limită. Metodele aproximative sunt utilizate pentru problemele mai complicate,

pentru care nu se poate obține o soluție exactă.

Există o mare diversitate de metode aproximative pentru rezolvarea problemelor inginerești.

Oricare ar fi metoda adoptată de proiectant, ea trebuie să furnizeze o soluție suficient de precisă

pentru problema practică analizată.

La ora actuală, în ingineria mecanică, sunt folosite cu preponderență metodele aproximative de

tip numeric. Din categoria acestora, mai răspândite ca arie de utilizare sunt:

- metoda diferențelor finite (MDF);

- metoda elementelor finite (MEF);

- metoda elementelor de frontieră (MEFr).

La prima vedere, cele trei metode par foarte diferite una de cealaltă. La o analiză mai atentă, se

constată că ele sunt strâns legate prin fundamentul matematic (toate fac apel la noțiuni din

teoria ecuațiilor diferențiale, calculul variațional sau metoda reziduurilor ponderate). În

continuare vom face o prezentare foarte sumară a acestor metode numerice, pentru a le

compara, din punct de vedere al avantajelor şi dezavantajelor specifice.

• Metoda diferențelor finite

Prima metodă larg utilizată pentru rezolvarea unor probleme de calcul ingineresc, a fost metoda

diferențelor finite (MDF). MDF este cea mai simplă metodă de rezolvare numerică a sistemelor

de ecuații diferențiale. Ea aproximează derivatele necunoscutelor prin diferențe finite. Pentru

aplicarea practică a MDF, domeniul ocupat de structura analizată este acoperit cu o rețea

rectangulară de noduri.

Ecuațiile diferențiale care descriu comportarea structurii sunt aproximate cu diferențe finite

calculate în noduri. Se obține astfel un sistem de ecuații algebrice, pentru rezolvarea căruia se

pot folosi procedee numerice consacrate (ex: metoda eliminării Gauss). Soluția aproximativă

este reprezentată de valorile necunoscutelor în noduri. Calitatea soluției este cu atât mai bună

cu cât rețeaua de noduri este mai densă.

Principalele avantaje ale MDF sunt simplitatea conceptuală și ușurința transpunerii în programe

de calcul. Totuși, ea prezintă și unele dezavantaje care îi limitează serios aria de aplicabilitate:

- metoda nu furnizează decât valorile necunoscutelor în noduri, neoferind informații

despre variația acestora între noduri;



6

- discretizarea unor corpuri de formă complexă folosind numai rețele rectangulare

conduce de multe ori la aproximări nesatisfăcătoare în zonele de colț sau cu variații importante

ale secțiunii;

- metoda creează dificultăți în introducerea unor condiții la limită complicate.

Din cauza acestor dezavantaje, MDF se aplică astăzi mai mult pentru rezolvarea unor probleme

de transfer termic sau de mecanica fluidelor și mai puțin în elasticitate sau elastoplasticitate.

• Metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite (M.E.F.) este la ora actuală, cel mai răspândit procedeu de rezolvare

numerică a problemelor inginerești [1]. La aplicarea M.E.F., domeniul ocupat de structura

analizată este discretizat în subdomenii de dimensiune finită mărginite de frontiere rectilinii

sau curbilinii. Prin această operație, corpul real este înlocuit cu o rețea de așa-numite elemente

finite [1].

Ecuațiile diferențiale care descriu comportarea structurii modelate vor fi verificate în medie pe

fiecare element. Construcția matematică a elementelor finite asigură un anumit grad de

continuitate a aproximatei soluției exacte la traversarea frontierei dintre elemente [1].

Continuitatea este realizată cu ajutorul unor puncte remarcabile asociate elementelor

(cunoscute sub numele de noduri). De fapt, aproximata soluției exacte a problemei, rezultă ca

o funcție de valorile necunoscutelor în respectivele noduri. Prin aplicarea M.E.F. se obține un

sistem de ecuații care se rezolvă numeric în raport cu valorile necunoscutelor nodale.

Din cauză că aproximatele elementare ale soluției exacte verifică în medie ecuațiile diferențiale

și în interiorul elementelor, ele pot fi folosite pentru obținerea unor informații referitoare la

variația necunoscutelor problemei în tot domeniul analizat (nu numai în noduri, așa cum se

întâmplă în cazul utilizării MDF).

Principalele avantaje ale M.E.F. sunt următoarele [1]:

- flexibilitatea (prin faptul că permite discretizarea unor corpuri de formă oricât de

complexă și manipularea naturală a unor condiții la limită dintre cele mai diverse);

- posibilitatea de a modela corpuri neomogene din punct de vedere al proprietăților

fizice;

- ușurința implementării în programe de calcul generale .

Programele de analiză cu elemente finite existente pe piață la ora actuală, degrevează

utilizatorul de sarcina neplăcută a discretizării manuale, prin transferul acesteia unor module

specializate care automatizează această operație. În ultimele trei decenii au fost concepute mai

multe asemenea programe comerciale.

Cele mai multe dintre aceste platforme software sunt în prezent interfațate cu programele de

proiectare asistată de calculator, astfel încât utilizarea lor de către ingineri a fost mult

simplificată (fig. 1-4).



7

Fig. 1-4 Modelul discretizat al caroseriei unui automobil după analiza transferului solicitărilor statice pe

platforma software Mechanical Dynamics, utilizată de Mercedes-Benz [5]

Cel mai important dezavantaj al M.E.F. constă în volumul mare de date de intrare necesare

pentru construirea și rezolvarea numerică a modelului. Cea mai mare pondere o dețin datele de

intrare referitoare la configurația rețelei de elemente finite (coordonatele nodurilor și asocierea

dintre elemente și noduri). Volumul mare de informații conduce inevitabil la erori cumulative,

conducând astfel la efecte nedorite în exploatarea produselor finite. Câteva exemple în această

privință sunt următoarele:

- prăbușirea acoperișului Centrului Civic din Connecticut, SUA, care a costat 31

milioane de dolari, datorită zăpezii ude ca urmare a unei ninsori abundente de la un sfârșit de

Ianuarie. Catastrofa s-a produs din cauza unei erori de calcul de rezistență efectuat cu ajutorul

metodei elementelor finite.

- accidentul din 1991 al unei platforme de foraj marin norvegiene din Marea Nordului

care s-a prăbușit din cauza calculului cu elemente finite: utilizarea elementelor finite

neadecvate a dus la subestimarea cu 45% a tensiunilor maxime.

• Metoda elementelor de frontieră

Cronologic, Metoda Elementelor de Frontieră (M.E.F.r) este ultimul procedeu de rezolvare

numerică a problemelor de calcul ingineresc [1]. La baza M.E.F.r se află ideea de a atașa unui

sistem de ecuații diferențiale definit pe un anumit domeniu, o ecuație integrală echivalentă,

definită numai pe frontiera domeniului respectiv.

Formularea integrală pe frontieră aduce avantaje importante, întrucât nu mai impune

discretizarea interiorului domeniului analizat. Se reduce astfel substanțial numărul



8

necunoscutelor problemei precum şi volumul datelor de intrare. Din punct de vedere al utilizării

practice, M.E.Fr se aseamănă mult cu metoda elementelor finite, în sensul că frontiera este

discretizată folosind elemente construite după principii asemănătoare cu cele din M.E.F.. Se

obține, ca și în cazul M.E.F., un sistem de ecuații care se rezolvă numeric, în raport cu valorile

necunoscutelor din nodurile elementelor de pe frontieră.

Odată obținute valorile necunoscutelor din noduri, se pot determina valorile acestora în orice

punct din interiorul domeniului folosind un set de relații specifice.

În afară de avantajul mai sus menționat, M.E.Fr mai are o serie de facilități:

- se poate aplica în cazul unor domenii care se extind la infinit, după una sau mai multe

direcții;

- permite obținerea unor soluții precise în zonele de colț sau cu variații rapide ale

geometriei, fără a necesita o densificare excesivă a rețelei (spre deosebire de M.E.F. care

impune de multe ori rafinarea pronunțată a rețelei în asemenea porțiuni ale domeniului

analizat);

- poate fi integrată rapid pe platformele de modelare asistată de calculator.

M.E.Fr are și câteva dezavantaje, care îi reduc simțitor aria de aplicabilitate:

- dificultăți mari în modelarea corpurilor neomogene din punctul de vedere al

proprietăților fizice;

- scăderea preciziei rezultatelor numerice în cazul corpurilor care prezintă discrepanțe

majore ale dimensiunilor pe diferite direcții (de exemplu: bare, grinzi, plăci sau învelitori).



9

2. BAZELE TEORETICE ALE ANALIZEI PRIN METODA

ELEMENTELOR FINITE

2.1. Căi de abordare. Ipoteze

La baza dezvoltării metodei elementelor finite stau pe de-o parte posibilitățile de abordare a

unei game largi de probleme din domeniul mecanicii mediului deformabil, al fizicii mediilor

continue și a teoriei câmpurilor, a chimiei cuantice etc., iar pe de altă parte, nivelul tot mai

ridicat al performanțelor tehnicii de calcul, care dă posibilitatea dezvoltării calculelor până la

nivelul de precizie dorit.

Metoda elementelor finite (MEF) cunoaște, până în prezent, următoarele procedee de formulare

a ecuației fundamentale:

a) formularea directă, pe baza formulării matriceale a metodei deplasărilor (este

aplicabilă numai în cazul unor probleme relativ simple, dar permite o înțelegere ușoară a

metodei);

b) formularea variațională, constând în minimizarea energiei potențiale de deformație

a solidului elastic, prin extremizarea funcționalei respective (metoda permite abordarea atât a

unor probleme simple, cât și a celor mai complexe, utilizarea unor elemente finite sofisticate

etc.);

c) formularea pe baza teoriei reziduurilor ponderate înlocuiește minimizarea energiei

potențiale, cu minimizarea reziduului (procedeul constă în găsirea proprietăților elementului

finit, în întregime pe baze matematice, existând avantajul ne apelării la o funcțională, care

uneori poate să nu existe sau să fie greu de găsit);

d) formularea pe baza bilanțului energetic (constă în exprimarea bilanțului energiei

mecanice sau/și termice a sistemului).

Aceste formulări au dus la extinderea metodei în domenii foarte largi ale mediului continuu,

atât pentru problemele staționare, cât și pentru cele nestaționare (tranzitorii), pentru probleme

liniare cât și neliniare, analiză modală, stabilitate etc.

Fără îndoială, metoda elementelor finite este la ora actuală cel mai puternic instrument de

investigare a multor probleme, dintre cele mai complexe, din domenii foarte variate.

La aplicarea metodei elementelor finite se fac următoarele ipoteze principale:

- elementele finite sunt conectate numai în noduri;

- toate forțele sunt concentrate și aplicate numai în noduri;

- deplasările și deformațiile în orice punct al unui element se exprimă în mod unic, în

funcție de deplasările nodurilor;

- tensiunile în interiorul oricărui element se exprimă prin intermediul deformațiilor, în

funcție de deplasările nodurilor.



10

2.2. Ecuația generală a metodei cu elemente finite

Deplasările nodurilor unui element finit al structurii se constituie în vectorul coloană {u},

exprimat astfel:

{u} = [u1 u2 … un]T (1.1)

Deplasările {uo} într-un punct oarecare al unui element finit, de coordonate x, y, z, pot fi

calculate cu relația:

{uo} = [N]{n} (1.2)

în care [N] este matricea funcțiilor de interpolare, o matrice dependentă numai de coordonatele

x, y și z. În funcție de componentele vectorului {uo}, se exprimă deformațiile specifice în orice

punct al structurii:

{ε} = [G]{uo} = [G][N]{u} = [B]{u} (1.3)

unde:

{ε} - vectorul coloană al deformațiilor specifice, într-un punct al structurii;

[G] - matrice a cărei formă depinde de aspectul geometric al problemei și reprezintă relațiile

dintre deformațiile specifice și deplasări. De fapt, este o matrice-operator, care poate avea

următoarele forme:

- în plan,

(1.4)

- în spațiu,

(1.5)

[B] este matricea de legătură care permite exprimarea deformațiilor specifice în funcție de

deplasările nodale, adică [B] = [G][N]. În baza legii generalizate a lui Hooke, se pot exprima

tensiunile, aranjate și ele într-un vector coloană:



11

{σ} = [D]{ε} = [D][B]{u} (1.6)

(1.7)

unde [D] reprezintă matricea de elasticitate (rigiditate) a materialului, care în cazul general

al materialelor omogene și izotrope are forma expresiei (1.7),

- în starea plană de tensiune:

(1.8)

- în starea plană de deformație:

(1.9)

Legătura între tensiuni și deformațiile specifice se poate exprima și prin relația:

{ε} = [C]{σ} (1.10)

în care [C] poartă numele de matrice de flexibilitate a materialului sau matricea constitutivă

fiind este exprimată astfel:

[C]=1

E

[ 1 -ν -ν 0 0 0-ν 1 -ν 0 0 0-ν -ν 1 0 0 00 0 0 2(1+ν) 0 00 0 0 0 2(1+ν) 00 0 0 0 0 2(1+ν)]

(1.11)

Între matricele [C] și [D] există relația:

[C]=[D]-1 (1.12)

Sarcinile sunt exprimate, de asemenea matriceal, astfel:

- forțele exterioare, aplicate structurii în noduri, sunt exprimate de vectorul coloană {P};

[D]=E

1− ν2[1 ν 0

ν 1 0

0 01− ν

2]

( )( )

−−

−

−+=

2

2100

01

01

211

ED



12

- forțele distribuite pe suprafața elementelor finite se exprimă prin vectorul intensității

lor {f};

- forțele de inerție se exprimă prin vectorul coloană:

δ{Fi} = - ρ{üo}dV (1.13)

unde:

ρ - densitatea materialului,

{üo} - derivata a doua în raport cu timpul a vectorului deplasărilor într-un punct,

dV - element infinitezimal de volum.

Aplicând principiul lucrului mecanic virtual*, în varianta deplasărilor virtuale, rezultă că pentru

orice deplasare virtuală d{u}, trebuie îndeplinită relația:

δLef=δLex (1.14)

în care δLef este lucrul mecanic elementar al eforturilor și are expresia:

𝛿𝐿𝑒𝑓 = ∫𝛿{휀}𝑇{𝜎}𝑑𝑉𝑉

(1.15)

iar δLex este lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare și are expresia:

δLex=δ{u}T{P}+∫ δ{u0}T{f}dA+∫δ{u0}T(-ρ{u0})⋅dVVA

(1.16)

* Suma lucrului mecanic virtual corespunzător tuturor forțelor exterioare și interioare ce acționează o structură deformabilă, supusă unui

sistem de forte în echilibru, trebuie să fie nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă cu legăturile.

Folosind relațiile (1.2), (1.3) și (1.4) în expresiile (1.15) şi (1.16), după unele prelucrări, relația

(1.14) se poate scrie:

δ{u}T⋅ [(∫ρ[N]T[T]dVV

) {u}+(∫[B]T[D][B]V

dV) {u}]=

= 𝛿{𝑢}𝑇 [{𝑃} + (∫[𝑁]𝑇{𝑓}𝑑𝐴𝐴

)]

(1.17)

Notând:

[𝑀] = ∫ 𝜌[𝑁]𝑇[𝑁]𝑑𝑉𝑉

= matricea consistentă a maselor, (1.18)

[𝐾] = ∫ [𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉𝑉

= matricea de rigiditate, (1.19)

{𝐹} = {𝑃} + ∫ [𝑁]𝑇{𝑓}𝑑𝐴𝐴

= vectorul coloană a forțelor exterioare, (1.20)

se poate scrie ecuația matriceală:

[𝑀]{��} + [𝐾]{𝑢} = {𝐹} (1.21)

Dacă se iau în considerare și fenomenele de amortizare vâscoasă, vectorul tensiunilor se scrie:

{𝜎} = [𝐷]({휀} + [𝑏]{휀}) (1.22)

în care:

[b] - matricea constantelor de amortizare,

{έ} - derivata în raport cu timpul a vectorului deformațiilor specifice.



13

Ecuația (1.22), introdusă în (1.15), conduce la exprimarea lucrului mecanic elementar al

eforturilor prin următoarea expresie:

δLef=∫d{ε}T{σ}dV=V

=δ{u}T [(∫[B]T[D][B]dVV

) {u}+(∫[B]T[D][b][B]dVV

) {u}] (1.23)

Notând:

[𝐶] = ∫ [𝐵]𝑇[𝐷][𝑏][𝐵]𝑑𝑉𝑉

= matricea de amortizare (1.24)

ecuația (1.21) capătă încă un termen, devenind:

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{��} = {𝐹}. (1.25)

Expresia (1.25) reprezintă forma cea mai amplă a ecuației metodei elementelor finite. Fie că

este vorba numai de un element finit sau de întreaga structură, forma ecuației (1.25) este

aceeași. De fapt, este vorba de un sistem de ecuații diferențiale de ordinul doi, ecuații ce sunt

caracteristice fenomenelor dinamice din mecanica structurilor, cu luarea în considerare a

forțelor de amortizare.

Vectorii {F} și {u} sunt funcții de timp. Ecuația (1.21) are aceeași interpretare, dar fără

considerarea forțelor de amortizare. Expresia generală (1.25) a ecuației metodei elementelor

finite poate căpăta următoarele forme particulare:

a) [C]{ú}+[K]{u}={F} (1.26)

Ecuația matriceală (1.26) reprezintă un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi, acestea

fiind caracteristice transferului nestaționar al căldurii. Într-o astfel de situație, semnificația

matricelor este:

[C] = matricea capacității calorice;

[K] = matricea caracteristicilor termice ale materialului;

{u} = vectorul temperaturilor nodale;

{F} = vectorul fluxurilor termice aplicate în noduri.

b) [M]{ü}+[K]{u} = 0 (1.27)

În forma (1.27) a ecuației, metoda elementelor finite se folosește la studiul vibrațiilor proprii

(analiza modală).

c) [K]{u} = {F} (1.28)

Expresia (1.28) reprezintă ecuația matriceală a metodei elementelor finite, folosită în cazul

analizei statice a structurii, sau a investigării unor fenomene staționare, cum ar fi transferul

termic în regim staționar ş.a. În relația (1.28), niciun parametru nu mai este funcție de timp.

La nivelul întregii structuri, matricele [K], [M] și [C] se construiesc prin asamblarea matricelor

elementelor finite componente.



14

2.3. Tipuri de elemente finite

O chestiune de maximă importantă în analiza numerică cu metoda elementelor finite este

alegerea celui mai potrivit tip de element finit, iar pentru aceasta trebuie analizate următoarele

aspecte [2]:

- forma elementului;

- numărul și tipul de noduri;

- tipul variabilelor nodale;

- tipul funcțiilor de interpolare.

• Forma elementului finit

Acesta determină următoarea clasificare:

- elemente unidimensionale (0D & 1D) - pot fi descrise de o singură variabilă locală

independentă şi sunt caracterizate în general prin unul, două sau mai multe noduri (tab.1)[2].

Astfel, aceste tipuri de elemente pot fi: CONM2 (masă concentrată), CBEAM, CBAR, CROD,

etc. din cadrul bibliotecii programului Siemens NX - NASTRAN, una dintre platformele

sotware de înalt nivel cunoscute și utilizate în domeniul industrial – cu precădere în industria

aeronautică și în cea a automobilelor – care utilizează metoda elementelor finite.

Tabelul 1 Tipuri de elemente unidimensionale [2]

Funcții

Elemente Punctiforme Liniare Pătratice Cubice

0D & 1D

- elemente bidimensionale (2D) - pot fi descrise prin două variabile locale independente şi au

minimum trei noduri, numărul acestora putând ajunge în mod curent la opt. În tabelul 2 sunt

prezentate astfel de elemente finite [2]. Astfel, aceste tipuri de elemente pot fi: CTRIA3,

CTRIA6, CQUAD4, CQUAD8, etc. din cadrul bibliotecii programului Siemens NX –

NASTRAN.

Tabelul 2. Tipuri de elemente bidimensionale [2]

Funcții

Elemente Liniare Pătratice Cubice

2D

Triunghiulare

Patrulatere



15

2D

- elemente tridimensionale (3D) - pot fi descrise prin trei variabile locale independente şi au

minimum patru noduri. Frecvent aceste elemente sunt reprezentate prin 8, 16 sau 20 de noduri

(tab.3) [2]. Astfel, aceste tipuri de elemente pot fi: CTETRA(4), CTETRA(10), CPENTA(6),

CPENTA(15), CHEXA(8), CHEXA(20), din cadrul bibliotecii programului Siemens NX –

NASTRAN.

Tabelul 3. Tipuri de elemente tridimensionale [2]

Funcții

Elemente Liniare Pătratice Cubice

3D

Tetraedrale

Prismatice

Hexaedrale

De asemenea, elementele utilizate în analiză se mai diferențiază și prin geometrie, tipul de

încărcare suportat, dar și după legea de comportare a materialului. Așadar, în tabelul 4 sunt

prezentate câteva exemple de elemente reprezentate prin analogie cu produse reale.

Tabelul 4. Analogia elementelor finite în funcție de produsele reale



16

Exemplu Caracterizare Analogie Geometrie

simplificatoare Element finit

masă concentrată punct ⁎ 0D - CONM2

structură din bare

articulate sau sudate

linie

1D – CBEAM,

CBAR, CROD,

structură plană

subțire solicitată în

propriul plan

triunghi

2D - CTRIA3,

CTRIA6

piesă din tablă

2D - PSHELL3

structură cu lățime

mare, pentru care se

poate considera că

solicitarea și

deformația sunt

identice în secțiune

transversală

dreptunghi

2D - CQUAD4,

CQUAD8

piesă volumică

tetraedru

3D - CTETRA(4),

CTETRA(10)



17

• Tipul nodurilor și al variabilelor nodale

Cantitatea numerică și tipul nodurilor conferă proprietăți funcționale foarte importante

elementului finit. Astfel, nodurile sunt fie exterioare, fie interioare:

Cele exterioare se găsesc pe frontiera (conturul) elementului și reprezintă punctele de

conexiune între elementele vecine. Aceste noduri sunt dispuse în colțurile elementului sau în

colțuri și pe laturi, așa cum este indicat în tabelele 2 și 3 [2].

Nodurile din interior sunt acelea care nu sunt legate de elementele din vecinătate. Un astfel de

nod este „O” din figura 2-1.

Fig. 2-1 Reprezentarea unui nod interior

Variabilele nodale – parametrii asignați – pot fi, de asemenea exterioare sau interioare, întocmai

ca respectivul nod. Aceste variabile nodale sunt același lucru cu gradele de libertate – trei

translații, respectiv trei rotații – ale nodului luat în considerare.

• Tipul funcțiilor de interpolare

Tipul funcției de interpolare determină fundamental un element finit în modul lui de

comportare, ca parte a structurii analizate. Aceste funcții sunt utilizate pentru reprezentarea

variabilelor nodale în cadrul elementului finit; ele se mai numesc și funcții de formă sau funcții

de aproximare. Elementele care folosesc aceleași funcții de interpolare, atât pentru descrierea

geometriei cu ajutorul coordonatelor XYZ, cât și pentru descrierea deformațiilor cu ajutorul

componentelor UVW, se numesc elemente izoparametrice. Majoritatea programelor de

analiză prin metoda elementelor finite folosesc astfel de elemente [2].

Elementele izoparametrice au fost menționate în literatura de specialitate încă din anul 1966,

într-o lucrare științifică semnată de B.M. Irons, însă introducerea noilor concepte și clasificarea

acestor elemente s-a realizat de către Zienkievicz, abia în 1969.

Când geometria elementului finit este descrisă prin funcții de ordin inferior, iar câmpul

deplasărilor acestuia se face prin funcții de ordin superior, elementul finit este numit

subparametric [3]. Toate elementele subparametrice satisfac criteriile de convergență, cât și

de compatibilitate a deplasărilor de-a lungul liniilor de separație între elemente. Așadar,

funcțiile de aproximare ale deplasărilor conțin și pe cele ale geometriei elementului [2].

Când geometria elementului finit este descrisă prin funcții de ordin superior, iar câmpul

deplasărilor acestuia se face prin funcții de ordin inferior, elementul finit este numit

superparametric [2].



18

Acest grup de elemente finite nu a fost validat în totalitate. Funcțiile de interpolare nu pot fi

alese arbitrar, ele trebuind să satisfacă o serie de cerințe pentru a se asigura criteriul de

convergență, care este diferit, de regulă, de la o problemă la alta [2].

Aceste necesități, independente de modalitatea de abordare în stabilirea ecuațiilor metodei

elementului finit, sunt:

- continuitatea;

- compatibilitatea;

- complinirea;

- invarianța.

• Proprietățile funcțiilor de interpolare

a) Continuitatea

Funcțiile de modelare pentru deplasări trebuie să fie continue, astfel încât să asigure variații

line ale câmpului deplasărilor pe tot domeniul elementului finit, nepermițând salturi, goluri sau

pante abrupte, nici în interior și nici pe contur. Atunci când continuitatea este numai la interfața

dintre elementele învecinate, se numește continuitate de gradul zero și se simbolizează C0 [2].

Dacă pe lângă această cerință și prima derivată a funcțiilor de interpolare asigură continuitatea

[2], atunci se concretizează o continuitate de gradul întâi, cu simbolizarea C1. ş.a.m.d. Pentru

gradele de libertate de tip translație, este suficientă continuitatea C0, asigurată de funcțiile

Lagrange, însă pentru gradele de libertate de tip rotație, este necesară continuitatea C1.

Elementele finite, folosite la calculul încovoierii plăcilor, necesită toate cele șase grade de

libertate. Așadar, necesită funcții de interpolare de continuitate C1 [2]. Funcția W(X,Y) asigură

continuitatea longitudinal pe element, iar continuitatea funcțiilor ∂W/∂X și ∂W/∂Y înlesnește

continuitatea de-a lungul grosimii elementelor învecinate. Astfel de funcții se numesc de tip

Hermite sau funcții osculatoare [2].

Când se invocă continuitatea de ordinul doi C2, funcțiile de interpolare se numesc

hiperosculatoare (necunoscutele nodale suplimentare sunt valorile derivatelor de ordinul

secund). Uneori, se folosesc ca funcții de interpolare seriile Fourier sau funcțiile Spline [2].

b) Conformitatea

Această proprietate cere ca, în timpul deformării, elementele vecine să rămână solidare de-a

lungul frontierei comune. Atunci când toate cerințele de compatibilitate sunt satisfăcute de

funcțiile de interpolare, elementele finite sunt conforme [2].

În practică, se întâlnesc cerințe care duc la folosirea elementelor incompatibile. Acestea trebuie

folosite cu mare grijă, necesitând experiență și chiar unele testări. De regulă, se recurge la un

artificiu în descrierea structurii, constând din folosirea pentru conexiunea elementelor 2D sau

3D de acest tip, a unor elemente 1D (ex: CBEAM), având caracteristici care să nu influențeze

comportarea reală a structurii discretizate [2].

c) Complinirea

În practică au fost și sunt utilizate cu succes elemente finite incompatibile, obținându-se

rezultate care uneori sunt mai bune decât în cazul utilizării celor compatibile. Cu cât este mai

mare numărul termenilor unei astfel de funcții, cu atât convergența este mai strânsă [2].



19

O funcție de interpolare satisface condiția de complinire dacă sunt conținute moduri ale

deplasărilor, care fac posibile comportamentele atât de corp rigid cât și stările de deformații

constante. O funcție completă în acest sens diferă de o funcție completă în sens matematic.

Dacă funcția de aproximare este incompatibilă, dar „completă", convergența soluției este

obținută cu succes, în multe cazuri. Un modalitate de verificare a convergenței soluției este

utilizarea unor rețele mai fine, respectându-se următoarele cerințe:

a) fiecare discretizare anterioară trebuie să se regăsească în cea nouă;

b) fiecare punct al structurii trebuie să se afle totdeauna în cadrul unui element finit;

c) funcția de interpolare să rămână aceeași, când se trece de la o rețea la alta.

d) Invarianța

Această cerință face ca elementul finit să aibă aceeași stare de deformație, oricare ar fi

orientarea axelor de referință locale, în raport de care această stare este formulată.

Cerința mai este cunoscută și sub numele de izotropie geometrică – spațială – sau invarianță

geometrică. Pentru asigurarea acestei invarianțe, în funcțiile de interpolare se optează pentru

termenul „xy” în loc de „x2” sau „y2”, drept al 4-lea mod de deplasare, pentru funcțiilor

polinomiale. Termenul „xy” nu favorizează configurația deformațiilor pe nici una din cele două

direcții: X sau Y (observația este valabilă și în cazul coordonatelor locale) [2].

2.4. Caracteristici ale metodei elementelor finite

Discretizarea reprezintă funcția care se definește doar pe domenii mici. Aceasta permite ca

pentru descrierea evoluției în interiorul domeniului să se poată alege funcții de formă simplă,

de ordin inferior. Funcția de aproximare pentru întreaga structură rezultă din asamblarea

funcțiilor domeniilor individuale, parțiale, mai mici (fig. 2-2). Aceste domenii individuale sunt

denumite elemente, iar punctele în care se realizează legătura dintre elemente sunt denumite

noduri.

Fig. 2-2 Asamblarea elementelor parțiale pentru obținerea funcției de aproximare

De exemplu, în cazul metodei elementelor finite, suprafața unui disc poate fi calculată

considerând doar formula de calcul a suprafeței unui triunghi (1.29). Trebuie reținut totuși, că

utilizarea unei aproximări bazate pe elemente mai simple va conduce, inevitabil, la erori mai

mari sau mai mici. Sporirea exactității calculului se va realiza doar prin rafinarea discretizării

(fig. 2-3).

𝐴𝑡𝑟𝑖𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖 =𝑏⋅ℎ

2⇒ 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑐 = ∑ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖1

𝑛𝑖=1 (1.29)

Cunoscând aceste caracteristici ale metodei cu elemente finite, se pot analiza astfel structuri cu

forme mai complexe (fig.2.4).



20

Fig. 2-3 Rafinarea discretizării unei suprafețe

Fig.2.4 Discretizarea unei bride utilizate în industrie

Mărimea fizică urmărită în analiza structurilor mecanice – după discretizare – este deplasarea

nodurilor. Pentru un nod, ca și pentru un corp, există șase deplasări posibile, cunoscute sub

denumirea de grade de libertate (degree of freedom – DOF): trei translații notate cu u, v, w și

trei rotații notate cu ru, rv, rw (fig. 2-5). De exemplu, pentru nodul unui element de structură

solicitat uniaxial (fig. 2-6), singura deplasare care apare este u.

Fig. 2-5 Gradele de libertate ale unui nod Fig.2-6 Solicitarea uni-axială a unui element de

structură

Pentru nodurile care intervin în condițiile de frontieră, apar câteva situații speciale. În tabelul

5 sunt prezentate cele mai frecvent întâlnite cazuri.



21

Tabelul 5. Noduri în condiții de frontieră

Rezemarea simplă 2D

v = 0

sunt permise rotația rz și

translația u

este preluată în plan forța

Fy, dar nu este preluată

forța Fx și momentul

Articulația 2D

u = 0, v = 0

este permisă rotația rz

sunt preluate în plan

forțele Fx, Fy, dar nu sunt

preluate momentele

Încastrarea

u = 0, v = 0, rz = 0

nu este permisă nicio

deplasare

sunt preluate în plan

forțele Fx, Fy, precum și

momentele

Ghidarea

v = 0, rz = 0

este permisă doar

translațua u

sunt preluate în plan forța

Fy și momentul Mz

Rezemarea plană

v = 0, rx = 0, ry = 0

sunt permise translațiile u,

v, precum și rotația ry

sunt preluate forțele Fy și

momentele Mx, Mz

Articulația sferică

u = 0, v = 0, w = 0

sunt permise toate rotațiile

și nicio translație

sunt preluate forțele de pe

toate direcțiile, dar nu și

momentele



22

2.5. Estimarea erorilor cauzate de discretizare

Teoria și practica metodei elementelor finite, în majoritatea cazurilor, duc la o continuitate a

câmpului deplasărilor, dar și la o discontinuitate a câmpului tensiunilor pentru domeniul

discretizat (analizat).

Acest aspect este nefiresc, având în vedere continuitatea domeniului și a fenomenelor fizice

analizate. O primă soluție îmbunătățită, fată de cea obținută în condițiile de mai sus, ar putea fi

reprezentată de continuitatea atât a câmpului deplasărilor, cât și a tensiunilor, pe baza valorilor

medii în noduri.

O estimare a erorilor cauzate de discretizare poate avea la bază considerentele de mai sus.

Astfel, se consideră vectorii:

{σei} = vectorul tensiunilor în nodurile „i” ale elementului finit „e”;

{σeim}= vectorul tensiunilor medii în nodurile „i” ale elementului finit „e”, calculat cu relația:

{σime }=

∑ {σie}

neie=1

nei (1.29)

unde nei este numărul elementelor finite conectate în nodul „i”, iar {Δσei} este vectorul gradient

al tensiunilor în nodurile „i” ale elementului finit „e”, calculat cu relația:

{Δσ𝑖

𝑒} = {𝜎im𝑒 } − {𝜎𝑖

𝑒} (1.30)

Pe baza mărimilor definite mai sus, se poate scrie eroarea (ere) de calcul a energiei potențiale

de deformație pentru elementul finit „e”:

𝑒𝑟𝑒 =1

2∫ {𝛥𝜎𝑒}𝑇𝑣𝑒 [𝐷]−1{𝛥𝜎𝑒}𝑑𝑉 (1.31)

unde ve este volumul elementului finit „e”, dV este elementul infinitezimal de volum, iar [D]

este matricea constitutivă a materialului.

Eroarea totală de calcul a energiei potențiale de deformație pentru întregul domeniu de

elemente finite va fi:

Er=∑ erenee=1 (1.32)

unde ne este numărul total de elemente finite ale modelului respectiv.

Eroarea procentuală medie (EPM), datorită discretizării adoptate pentru modelul respectiv, se

poate exprima astfel:

EPM=100√Er

U+Er (1.33)

unde U este energia potențială totală de deformație a structurii analizate:

𝑈 = ∑ 𝑈𝑒𝑛𝑒𝑒=1 (1.34)



23

în care Ue este energia potențială de deformație pentru elementul finit „e”, potrivit tensiunilor

calculate în nodurile sale pe baza deplasărilor nodale.

O valoare acceptabilă a erorii procentuale medii (EPM), calculată cu relația (1.33), semnifică

o discretizare ce poate fi utilizată cu succes, altfel s-ar impune o îmbunătățire în sensul utilizării

unor elemente finite de dimensiuni mai mici.

Analog erorii procentuale medii (EPM), se poate defini eroarea procentuală medie pe element

(EPMe), numită şi indicator de eroare pe element (IEe):

𝐸𝑃𝑀𝑒 = 𝐼𝐸𝑒 = 100√𝑛𝑒𝑒𝑟𝑒

𝑈+𝐸𝑟 (1.35)

Acest indicator este poate mai util decât eroarea procentuală medie, deoarece se poate defini

mai exact locul din domeniul analizat unde se impune o rafinare a discretizării.

În ansamblul ei, metoda elementelor finite prezintă câteva limitări cauzate de discretizare. Una

dintre cele mai evidente este în cazul analizelor cu privire la produse solide unde zonele cu

concentratori de tensiune nu pot fi discretizate corespunzător. Chiar și un milion de noduri se

dovedesc a fi o discretizare prea grosieră în aceste cazuri (fig. 2-7)

Chiar și cu aceste limitări, metoda elementelor finite s-a dovedit a fi un instrument de analiză

important și de bază în anticiparea eventualelor erori de concepție sau pentru optimizarea

soluțiilor de construcție a produselor noi. Diferențele între rezultatele obținute experimental și

numeric au devenit atât de mici încât testele reale sunt utilizate adesea doar pentru confirmarea

rezultatelor numerice și nu pentru obținerea de informații noi despre comportamentul real al

produselor noi (fig.2-8).

Fig. 2-7 Discretizare grosieră în cazul racordării

exterioare a unui arbore cotit [6]

Fig. 2-8 Comparație între rezultatele experimentale și

datele obținute virtual pentru un model analizat [7]



24

2.6. Proceduri numerice de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare de mari

dimensiuni

Metodele de rezolvare a sistemului de ecuații algebrice exprimat de relația matriceală (1.28) se

grupează, în general, în două categorii: metode exacte sau directe, bazate pe tehnici de

eliminare și metode aproximative sau iterative. Există, în literatura de specialitate, un mare

număr de metode de rezolvare, aparținând celor două categorii, unele din ele fiind inutilizabile

pe calculator sau nerecomandabile, din motive legate în special de tehnica programării [4].

La alegerea uneia din metode, trebuie avută în vedere o serie de criterii, cum ar fi:

- numărul etapelor de calcul,

- exactitatea rezultatelor,

- posibilitatea inserării unor teste de precizie secvențiale pe parcursul desfășurării

algoritmului,

- dimensiunile problemei și posibilitățile calculatorului.

În cadrul metodelor directe sau exacte s-au impus procedeele care se bazează algoritmul de

eliminare a lui Gauss, cu variantele Gauss-Jordan, Doolittle, Court şi Cholesky. O altă metodă

directă, deosebit de performantă, în cazul sistemelor de ecuații de mari dimensiuni, este metoda

frontală. Utilizarea acestei metode nu mai necesită optimizarea numerotării nodurilor pentru

minimizarea lățimii de bandă a matricei de rigiditate globală.

Cât despre metodele iterative s-au impus metodele Gauss-Seidel, Jacobi, metoda relaxării

succesive, metoda gradientului conjugat și metoda Lanczos. Metodele iterative se

caracterizează, prin faptul că soluția sistemului de ecuații considerat se obține ca limită a unui

șir de valori, ce reprezintă soluții ale iterațiilor succesive. În cadrul acestor metode se pune

problema de a alege acea metodă care asigură cea mai mare viteză de convergență a soluțiilor

pentru o aproximare inițială adecvat aleasă [4].

Majoritatea programelor industriale, care fac analize prin metoda elementelor finite, folosesc

metodele directe, cum ar fi Gauss și Jordan, Cholesky sau metoda frontală. Pentru rezolvarea

ecuațiilor (1.21), (1.25), (1.26) și (1.27), cât și pentru aflarea valorilor proprii, s-au dezvoltat

proceduri specifice, descrise în literatura de specialitate [1]. Cele mai răspândite metode

folosite în analiza modală – calculul valorilor și a vectorilor proprii, ecuația (1.27) – sunt:

metoda iterației inverse, metoda Jacobi și metoda Lanczos.

2.7. Etape ale analizei prin metoda elementelor finite

Modelul fizic obținut prin discretizarea structurii în elemente finite trebuie să răspundă

următoarelor cerințe :

- să reprezinte cu suficientă fidelitate comportarea reală a structurii;

- să permită obținerea ușoară a rezultatelor (deplasări, eforturi, tensiuni);

- să nu comporte o manoperă exagerat de mare pentru pregătirea datelor de intrare sau

de prelucrare a rezultatelor și, implicit, un timp foarte mare de lucru pe calculator și o memorie

foarte mare a acestuia.

O parte din aceste cerințe sunt din ce în ce mai puțin restrictive, ca urmare a perfecționării

produselor soft și a creșterii performanțelor tehnice ale calculatoarelor.



25

Analiza prin metoda elementelor finite a unei structuri ar trebui să parcurgă următoarele etape

(fig. 2-9) :

- definirea structurii, a caracteristicilor sale geometrice și elastice, a sarcinilor aplicate

și a condițiilor de rezemare;

- schematizarea modului în care structura preia sarcinile aplicate (placă, grindă,

membrană, etc.);

- alegerea programului de calcul;

- alegerea tipurilor de elemente finite;

- discretizarea structurii în elemente finite;

- pregătirea datelor de intrare, potrivit secvențelor de mai sus și a manualului de utilizare

a programului folosit;

- verificarea datelor de intrare, de regulă prin procesare grafică;

- rularea programului de calcul;

- analiza rezultatelor obținute, analiză ce poate fi mult ușurată prin folosirea unor

postprocesoare grafice.

Concret, în momentul trecerii prin aceste etape ale analizei, software-ul specializat îndeplinește

pas cu pas fiecare dintre expresiile matematice necesare pentru a genera un răspuns la finalul

analizei (fig. 2-10).

Fig. 2-9 Etapele analizei prin metoda elementelor finite



26

Fig. 2-10 Analogie între operațiile realizate într-un software specializat și reprezentarea matematică din spatele

analizei prin metoda elementelor finite

• Exemplu comparativ privind soluționarea analitică vs. analiza prin

metoda elementelor finite

Se consideră o grindă rectangulară încastrată, încărcată cu o forță transversală concentrată pe

capătul liber. Caracteristicile reperului analizat sunt:

- b·h·L = 20 x 10 x 100 [mm]

- E = 2,1·105 [MPa]

- F = 100 [N]

• Variante de abstractizare și discretizare:

Elemente de placă cu grosimea h - shell cu 120

elemente, adică 147 noduri

Elemente de stare plană de deformații - Plane2D cu

100 elemente, adică 127 noduri



27

Elemente tip linie, de grindă solicitată la încovoiere,

(caracterizată de 𝐼 = 𝑏ℎ3

12) - beam cu 20 elemente,

adică 21 noduri

Elemente paralelipipedice de volum – solid cu 600

elemente, adică 1175 noduri

• Rezultatele obținute privind deplasările elementelor:

• Soluția analitică corespunzătoare teoriei de bară:

𝑓𝑚𝑎𝑥 =𝐹𝐿3

3𝐸𝐼=

100 ∙ 1003 ∙ 12

3 ∙ 2,1 ∙ 105 ∙ 20 ∙ 103= 0,0952 [𝑚𝑚]

• Rezultatele obținute privind tensiunile 𝜎𝑥:

• Soluția analitică corespunzătoare teoriei de bară:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀

𝑊=

𝐹𝐿

𝑏ℎ2

6

=100 ∙ 100 ∙ 6

20 ∙ 102= 30 [𝑚𝑚]



28

BIBLIOGRAFIE

[1] I.A.Cherecheș – Analiza statică a tensiunilor și deformaţiilor într-o adăpătoare utilizată în

zootehnie - http://www.agir.ro/buletine/1643.pdf

[2] http://www.qreferat.com/referate/matematica/Fundamentele-teoretice-ale-met319.php

[3] M. Blumenfeld – Introducere în metoda elementelor finite, Ed. Tehnica, București, 1995

[4] C. Cosmin – Sisteme de ecuații liniare - http://users.utcluj.ro/~ccosmin/sisteme.pdf

[5] https://www.digitalengineering247.com/article/drive-automotive-innovation-simulation/

[6] https://www.southampton.ac.uk/~rpb/thesis/node33.html

[7] M. Karimi-Fard∗, L.J. Durlofsky, A general gridding, discretization, and coarsening

methodology for modeling flow in porous formations with discrete geological features,

Advances in Water Resources, 2016, vol 96, pg. 354-372

http://www.agir.ro/buletine/1643.pdf

http://www.qreferat.com/referate/matematica/Fundamentele-teoretice-ale-met319.php

http://users.utcluj.ro/~ccosmin/sisteme.pdf

https://www.digitalengineering247.com/article/drive-automotive-innovation-simulation/

https://www.southampton.ac.uk/~rpb/thesis/node33.html

PARTEA I - vladac-uvab€¦ · La baza M.E.F.r se află ideea de a atașa unui sistem de ecuații...

Documents

Transcript of PARTEA I - vladac-uvab€¦ · La baza M.E.F.r se află ideea de a atașa unui sistem de ecuații...