PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație...

14
PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE GRADUL I prof. Diaconescu Armășescu Claudia Liceul de Arte ”Victor Giuleanu” Rm. Vâlcea 1.1. Ecuația de gradul I cu o necunoscută . Definire. Forma generală DEFINITIE :O ecuație de forma + = , unde ∈ℝ , ∈ℝ, ∈⊆ℝ se numește ecuație de gradul I cu o necunoscută. Numerele: a și bse numesc coeficienți(numărul a este coeficientul necunoscutei iar numărul b se numește și termen liber) xse numește necunoscutăsauvariabilă D se numește domeniu de variație sau domeniu de definiție și poate fi una din mulțimile ℕ, ℤ, ℚ,au ℝ, in funcție de caz. Se numește soluție a ecuației + = , , ∈ℝ, 0, un număr ∈ℝpentru care propoziția + = este adevărată. A rezolva o ecuație înseamnă a determina toate soluțiile sale. Aceste soluții formează mulțimea soluțiilor ecuației date și se notează, de regulă, cu S S = { x ax + b = 0 , a , b ℝ , a 0 } Dacă după o ecuație urmează o precizare de forma , aceasta indică mulțimea în care ia valori necunoscuta. Se spune că ecuația dată este definită pe mulțimea D (sau că se rezolvă in mulțimea D). Dacă nu se face nicio precizare, se consideră D =ℝ EXEMPLE : 1. Ecuația26=0 are soluția 0 =3 , deoarece 2 3 6=0 ș 3 ∈ℝ 2. Ecuația3 + 9 = 0, ∈ℕ, nu are soluții, deoarece propoziția 3 0 +9=0 este adevărată doar dacă 0 = 3, iar 3 ∉ℕ.

Transcript of PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație...

Page 1: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL

ECUAȚIEI DE GRADUL I

prof. Diaconescu Armășescu Claudia

Liceul de Arte ”Victor Giuleanu” Rm. Vâlcea

1.1. Ecuația de gradul I cu o necunoscută . Definire. Forma generală

DEFINITIE:O ecuație de forma

𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝑎 ∈ ℝ∗ , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ ℝ

se numește ecuație de gradul I cu o necunoscută.

Numerele: a și bse numesc coeficienți(numărul a este coeficientul necunoscutei iar

numărul b se numește și termen liber)

xse numește necunoscutăsauvariabilă

D se numește domeniu de variație sau domeniu de definiție și poate fi una

din mulțimile ℕ, ℤ, ℚ,au ℝ, in funcție de caz.

Se numește soluție a ecuației 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, un număr 𝒙𝟎 ∈ ℝpentru care

propoziția 𝒂𝒙𝟎 + 𝒃 = 𝟎 este adevărată.

A rezolva o ecuație înseamnă a determina toate soluțiile sale. Aceste soluții formează

mulțimea soluțiilor ecuației date și se notează, de regulă, cu S

S = { x ℝ ax + b = 0 , a , b ℝ , a 0 }

Dacă după o ecuație urmează o precizare de forma 𝒙 ∈ 𝑫, aceasta indică mulțimea în care

ia valori necunoscuta. Se spune că ecuația dată este definită pe mulțimea D (sau că se rezolvă in

mulțimea D). Dacă nu se face nicio precizare, se consideră D =ℝ

EXEMPLE:

1. Ecuația2𝑥 − 6 = 0 are soluția 𝑥0 = 3 , deoarece 2 ∙ 3 − 6 = 0 ș𝑖 3 ∈ ℝ

2. Ecuația3𝑥 + 9 = 0, 𝑥 ∈ ℕ, nu are soluții, deoarece propoziția 3𝑥0 + 9 = 0 este adevărată

doar dacă 𝑥0 = −3, iar −3 ∉ ℕ.

Page 2: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Se observa că ecuația3𝑥 + 9 = 0, 𝑥 ∈ ℤ, are soluția 𝑥0 = −3 deoarece −3 ∉ ℤ

DEFINIŢIE:Două ecuații se numesc echivalente dacă sunt definite pe aceeași mulțime și au

aceleași soluții.

Pentru a rezolva o ecuație, adică pentru a afla soluțiile sale, putem folosi proprietățile

relației de egalitate, obținând egalități echivalente.

Proprietatea 1.Adunând la (sau scăzând din) ambii membri ai unei ecuații același număr real,

obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima.

Conform acestei proprietăți, putem trece termenii dintr-un membru în altul schimbându-le

semnul.

Proprietatea 2. Înmulțind (sau împărțind) ambii membrii ai unei ecuații cu același număr real,

diferit de zero, obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima„

1.2. Rezolvarea ecuației de gradul I:

Rezolvarea unei ecuații înseamnă determinarea tuturor soluțiilor sale.

Fie ecuația 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝑎 ∈ ℝ∗ , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ ℝ

𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 ⇔ 𝒂𝒙 = −𝒃 ⃒ : a

𝒙 = −𝒃

𝒂

Caz 1. 𝑎 ≠ 0 ⟹ 𝒙 = −𝒃

𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖ț𝒊𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒄ă 𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂ț𝒊𝒆𝒊

Caz 2. 𝑎 = 0 ⟹ 𝑖) 𝑏 = 0 ⟹ 0 = 0 ⟹ 𝒙 ∈ ℝ 𝑴𝒖𝒍ț𝒊𝒎𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖ț𝒊𝒊𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝑺 = ℝ

(Spunem ca ecuația are o infinitate de soluții)

ii) 𝑏 ≠ 0 ⟹ 0 = 𝑏 ⟹ 𝒙 ∈ Ø ⟹ 𝐒 = Ø (Spunem că ecuația nu are soluții)

Exemple:1). 7𝑥 + 80 = 10 =>

1° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 7𝑥 = 10 − 80

2° Reducem termenii asemenea: 7𝑥 = − 70

3° Împărțim prin coeficientul lui x și obținem: 𝑥 = −10

și atunci mulțimea soluțiilor este 𝑆 = −10 - soluție unică

Page 3: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

2).5𝑥 − 3 = 7 + 5𝑥

1° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 5𝑥 − 5𝑥 = 7 + 3

2° Reducem termenii asemenea și obținem : 0x = 10, de unde 0 = 10 (fals)

Concluzia imediată este că nu există nici o valoare a lui x pentru care enunțul ecuației date să

fie adevărat.

Spunem că ecuația nu are nicio soluție și putem nota: S = Ø.

3) 6𝑥 − 1 = 4(1,5𝑥 − 0,25)

1 ° Desfacem parantezele: 6𝑥 − 1 = 6𝑥 − 1

2° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 6𝑥 − 6𝑥 = 1 − 1

3° Reducem termenii asemenea: 0𝑥 = 0.

Orice număr real verifică ecuația 0x = 0.

Spunem atunci că orice număr real este soluție a ecuației date și putem nota S = R.

1.3. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor este un capitol esențial al domeniului

,,Ecuații” , dat fiind impactul problemelor asupra elevului, întâlnit pe tot parcursul școlar,

începând din clasa a V-a, când elevul face cunoștință cu noțiunea de ecuație și până în clasele

superioare de liceu când elevul se întâlnește cu ecuații matriciale , logaritmice sau diferențiale.

Important este modul în care trebuie făcuta ,,traducerea” din limbajul uzual în ecuații,

adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea

unei ecuații. Activitatea de rezolvare a ecuațiilor, respectiv a problemelor cu ajutorul ecuațiilor,

constituiefără îndoială, o importantă cale de ușurare și aprofundare a diverselor domenii ale

matematicii.

In rezolvarea unei problem cu ajutorul unei ecuații trebuie avute în vedere câteva etape:

1. Stabilirea necunoscutei și notarea acesteia cu o literă, eventual x

2. Alcătuirea ecuației corespunzătoare enunțului

3. Rezolvarea ecuației

4. Verificarea soluției

Page 4: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

5. Redactarea răspunsului

1.3.1. Etape în rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor

Cum gândim?

Pasul 1

Observ şi înţeleg

Aleg

necunoscuta

Citesc enunţul cu atenţie.

Îmi imaginez situaţia descrisă cât mai exact posibil.

Separ ceea ce se dă de ceea ce se cere.

Identific mărimile necunoscute.

Analizez enunţul şi caut mărimea necunoscută cea mai

potrivită pentru a fi notată cu o literă.

Atenţie! Activitatea principală este stabilirea necunoscutei.

Pasul 2

Cercetez şi planific

Pun problema

în ecuaţie

Caut să exprim cât mai simplu legăturile dintre date şi cerinţe.

Stabilesc un plan de acţiune.

Atenţie! Activitatea principală este punerea problemei în ecuaţie.

Pasul 3

Organizez şi

redactez

Rezolv ecuaţia

Scriu răspunsul

problemei

Găsesc o cale prin care se ajunge de la datele problemei la

rezultatul final.

Redactez soluţia găsită astfel încât să se înţeleagă clar cum am

gândit.

Atenţie! Activitatea principală este rezolvarea ecuaţiei.

Page 5: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Pasul 4

Verific şi dezvolt

Interpretez

rezultatul

Evaluez soluţia, formulând răspunsuri la întrebările:

- Rezultatul obţinut este plauzibil?

- Am folosit toate datele?

- Verifică rezultatele obţinute toate condiţiile din enunţ?

- Există o soluţie mai bună?

- Pot găsi o problemă mai generală care se rezolvă

asemănător?

Atenţie! Activitatea principală este interpretarea rezultatelor.

1.3.2. Tipuri de probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I

cu o necunoscută

Rezolvarea problemelor de matematică folosind metoda algebrică, a ecuațiilor, se începe

încă din clasele primare, apoi din clasa aV-a elevii învață propriu zis ce este o ecuație și implicit,

să rezolve probleme cu ajutorul ecuațiilor în mulțimea numerelor naturale(N). În clasa a VI-a se

reia rezolvarea de ecuații și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor în mulțimea ℤ a

numerelor întregi urmând ca în clasa a VII-a, aceeași temă să fie abordată în mulțimea numerelor

raționale ℚ iar în clasa a VIII-a , în mulțimea numerelor reale ℝ.

În continuare propun câteva tipuri de probleme ce se rezolvă folosind metoda algebrică a

ecuațiilor:

1) Scrieți și apoi rezolvați ecuația ilustrată de figură.

Soluție

=> 2,5 + x + x + x = 17,8 => 3x =17,8 – 2,5 => 3x =15,3 =>x = 15,3 : 3 =>x = 5,1.

2) Ce valoare are a?

Soluție

=> a + a + a + a = (a+4) + 20 => 4a = a + 24 => 4a – a = 24 => 3a = 24 => a = 24 : 3 =>

=> a = 8.

2,5m

17,8m

Page 6: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

3) După ce a fost dublată cantitatea de marfă, s-a constatat că mai lipseau 5 t până la a

asigura cantitatea maximă de 20 t pe care o poate transporta camionul. Aflați cantitatea de marfă

ce se afla la început în camion.

Soluție

Notăm cu x cantitatea inițială de marfă.

.5,72:1515252022052 txtxtxttxttx

La început au fost în camion 7,5 tone de marfă.

4) Câți litri trebuie turnați, din vasul mic în vasul mare, pentru ca în vasul mare să fie o

cantitate dublă de lichid față de vasul mic?

Soluție

Notăm cu x nr. de litri ce trebuie turnați din vasul mic în vasul mare.

În vasul mic sunt acum: 16 –x litri de lichid.

În vasul mare sunt acum: 20 + x litri de lichid.

În vasul mare să fie o cantitate dublă de lichid față de vasul mic:

.43:121232032223220)16(220 xxxxxxxxx

Trebuie turnați 4 litri de lichid.

În clasa a VI-a putem rezolva probleme de geometria triunghiului cu ajutorul

ecuațiilor sau probleme cu procente.

5) Într-un triunghi, ∆ABC, masura unghiului B este dublul masurii unghiului A iar

masura unghiului C este cu 25% mai mica decât măsura unghiului B. Aflați măsurile unghiurilor

triunghiului ABC.

Soluție:

1. Identificam necunoscuta principala, aceasta fiind măsura unghiului A.

Notam x = măsura unghiului A.

2. A doua necunoscută, este măsura unghiului B, care fiind dublul măsurii lui A,

va fi 2x.

3. A treia necunoscută, este măsura unghiului C, care este cu 25% mai mică decât măsura lui B,

adică este 75% din măsura lui B. Aceasta va fi 75% din 2x adică0,75 × 2𝑥 = 1,5𝑥.

16 l 20 l

Page 7: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

4. Suma celor trei unghiuri este egală cu 1800.

5. Avem realizată ecuația: 𝑥 + 2𝑥 + 1,5𝑥 = 1800

6. Rezolvarea ecuației:

4,5𝑥 = 1800

𝑥 = 1800: 4,5

𝑥 = 400

7. Concluzia: -măsura unghiului A este egala cu 400.

-măsura unghiului B este egala cu 800.

-măsura unghiului C este egala cu 600

6)Din dublul unui număr necunoscut se scade 0,(3). Diferența se împarte la 1,4(6) și se

obține rezultatul 0,(45). Determinați numărul necunoscut.

Soluție

Notăm cu x numărul necunoscut.

Obținemecuația: )45(,0)6(4,1:)3(,02 x

.5,02

1

6

336216

22

10

22

)16(5

11

5

22

15

3

16

11

5

90

132:

3

12

99

45

90

14146:

9

32

xxxxx

xxxx

7) Andrei și Cristina i-au cumpărat un cadou fratelui lor. Andrei a contribuit cu 60% din

prețul cadoului, iar Cristina cu restul de 80 de lei. Aflați prețul cadoului.

Soluție

Notăm cu x= prețul cadoului.

Obținemecuația: 60% x + 80 = x

.200

4:8004,0:80804,0806,0806,080100

60

x

xxxxxxxxx

8) Raportul dintre prețul unui creion și prețul unui stilou este de 0,(1). Dacă un creion

costă cu 16 lei mai puțin decât un stilou, atunci aflați cât costă un stilou.

Page 8: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Soluție

Notăm cu x prețul stiloului.

Un creion costă: x– 16

Raportul dintre prețul creionului șiprețul stiloului este: x

x 16

Obținemecuația: )1(,016

x

x

.188:144

144814491449)16(99

116

xx

xxxxxxxx

x

Un stilou costă 18 lei.

9)Maria a citit în cinci zile o carte care are 230 de pagini. În fiecare zi, începând cu a

doua, Maria a citit cu trei pagini mai mult decât în ziua precedentă. În a câta zi numărul total de

pagini citite în ziua respectivă este un număr prim?

Soluție

Notăm cu x= numărul de pagini citite in prima zi.

.402005230305230)12()9()6()3( xxxxxxxx

=> 43 = număr prim =>În a doua zi.

10) Gabriel are o sumă S de bani. În prima zi el cheltuiește 30% din suma S, a doua zi

cheltuiește5

2din suma S, iar în a treia zi cheltuiește 0,25din suma S. După cele trei zile, lui

Gabriel îi rămân 100 lei. Aflați valoarea sumei S.

Soluție

I II III IV V

x x + 3 x + 6 x + 9 x + 12

I II III IV V

40 43 46 49 52

Page 9: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

.20002010010020

1

100100

5100

100

95100100

100

95100

100

95

100100

25

100

40

100

3010025,0

5

230 0

0

leiSSS

SSSSSS

SSSSSSSS

11) Trei membri ai unei familii de iepuri au mâncat împreună 73 de morcovi. Tatăl a

mâncat cu 5 morcovi mai mult decât mama. Fiul lor, Bunny, a mâncat cu 16 morcovi mai puțin

decât mama. Câți morcovi a mâncat mama?

Soluție

Notăm cu x numărul de morcovi mâncați de mamă.

Atunci, împreună au mâncat: x+ (x + 5) + ( x– 16) = 73

.283:848431173373113731653 xxxxxx

Mama a mâncat 28 de morcovi.

12)Cele 428 de scaune dintr-o sală de spectacole sunt așezate pe 20 de rânduri, fiecare

rând având 21 sau 22 de scaune. Aflați numărul de rânduri din sală care au câte 22 de scaune.

Soluție

Notăm cu x numărul de rânduri din sală care au câte 22 de scaune.

Numărul de rânduri din sală care au câte 21 de scaune: 20 – x.

Numărul de scaune: )20(2122 xx

I zi a II-a zi a III-a zi a IV-a zi

30% S S5

2 S25,0 100 lei

Mama Tata Bunny

x morcovi x + 5 morcovi x– 16 morcovi

Page 10: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Obținemecuația: 428)20(2122 xx

84204284282142022 xxxx

8 rânduri din sală care au câte 22 de scaune.

13)Mai mulți copii vor să cumpere o minge. Dacă fiecare copil dă câte 2,5 lei nu ajung 5

lei, iar dacă fiecare copil dă câte 3,5 lei sunt în plus 4 lei. Aflați câți copii sunt și cât costă

mingea.

Soluție

Notăm cu x numărul de copii.

Dacă fiecare copil pune câte 2,5 lei, atunci se strâng 2,5xlei.

Mai trebuie 5 lei, deci prețul = 2,5x + 5

Dacă fiecare copil pune câte 3,5 lei, atunci se strâng 3,5xlei.

Sunt în plus 4 lei, deci prețul = 3,5x– 4

Egalăm preturile și obținem ecuația: 45,355,2 xx

99545,35,2 xxxx 9 copii vor să cumpere mingea.

Prețul = 5,27595,2 (lei)

Probleme cu procente care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I cu o

necunoscută

14) Într-o ciocolată alunele reprezintă 20 % , adică 16 g. Aflați câte grame are ciocolata.

Soluție

Notăm cu x masa ciocolatei.

20% x = 16 .805165

1:1616

5

116

100

20 xxxxx

Ciocolata are 80 de grame.

15) Un oraș avea 30 000 de locuitori și acum are 31 200 de locuitori. Aflați cu ce procent

a crescut populația acestui oraș.

Soluție

Notăm cu p procentul căutat.

Page 11: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Populația a crescut cu 31200 –30000 locuitori.

Obținemecuația: 30000312003000000 p

.43:121200300120030000100

pppp

Populația a crescut cu 4 %.

16) Prețul unei cărți se reduce cu 8% și ajunge să coste 46 de lei. Aflați prețul inițial al

cărții.

Soluție

Notăm cu x prețul inițial al cărții.

Prețul după reducere: 100% x – 8% x = 92% x.

Obținemecuația: 92% x = 46

.5092:460092

10046

100

92:4646

100

92 xxxxx

Prețul inițial al cărții este de 50 lei.

17) Prețul unui telefon s-a mărit cu 10%, iar peste o lună s-a redus cu 10% din noul preț.

După aceste două modificări telefonul costă 198 lei. Calculați prețul inițial al telefonului.

Soluție

Notăm cu x prețul inițial al telefonului.

Prețul după prima modificare: (100% + 10%) din prețul inițial = 110% x.

Prețul după a doua modificare: (100% – 10%) din prețul după scumpire = 90% (110% x).

Obținemecuația: 90% (110% x) = 1980

.20099

100198

100

99:198198

100

99198

100

110

100

90 xxxxx

Prețul inițial al telefonului: 200 lei.

18) După ce a cheltuit 55% din suma pe care o avea, Andrei a rămas cu 144 lei. Ce sumă

a avut Andrei la început?

Soluție

Page 12: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

Notăm cu Suma pe care o avea Andrei la început.

Andrei a cheltuit: 55% S

Obținem ecuația: S– 55% S = 144

.3202016

9

20144

20

9:144144

20

9144

100

45144

100

55100

SS

SSSSS

Andrei a avut la început 320 lei.

19) Într-o clasă de 27 de elevi, numărul băieților reprezintă 80% din numărul fetelor. Să

se afle numărul de fete din clasă.

Soluție

Notăm cu f numărul fetelor. f N.

În clasă sunt 27 de elevi => numărul băieților este: 27 –f.

Numărul băieților reprezintă 80% din numărul fetelor => numărul băieților este: 80% f.

Obținem ecuația: 80% f = 27 –f

.9:13513591355451354275

427

100

80 fffffff

fff

În clasă sunt 15 fete.

20)Un autocar parcurge un traseu în patru zile. În prima zi a parcurs 30% din drum, în a

doua zi 20% din drum, în a treia zi 35% din drum și în a patra zi ultimii 300 km. Aflați lungimea

drumului parcurs de autocar în cele patru zile.

Soluție

Notăm cu x lungimea

drumului.

Obținem ecuația:

xxxx 300352030 00

00

00

I II III IV

30% x 20% x 35% x 300

Page 13: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

.20003

20300300

20

3300

100

15300

100

85100

300100

85300

100

85300

100

35

100

20

100

30

xxxxx

xxxxxxxx

Drumul parcurs are 2000 km.

21)Un autocar parcurge un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 20% din drum, în a

doua zi 30% din rest și în a treia zi ultimii 560 km. Aflați lungimea drumului parcurs de autocar

în cele trei zile.

Soluție

Notăm cu x lungimea drumului.

În prima zi 20% din drum =>20% x

Au rămas100% x – 20% x = 80% x

În a doua zi 30% din rest= 30% din 80% x

Îna treia zi ultimii 560 km.

Obținemecuația:20% x + 30% 80% x + 560 = x

.100056000561005600044

560100

44560

100

24

100

20560

100

80

100

30

100

20

xxxx

xxxxxxxx

Drumul parcurs are 1000 km.

Probleme propuse:

1. Vârstele a trei copii sunt reprezentate prin 3 numere naturale consecutive. Cei trei copii

au împreună 33 de ani. Aflați care este vârsta fiecărui copil.

2. Trei copii au împreună 120 lei. Știind ca al doilea are cu 20 de lei mai mult decât primul

iar al treilea cat primul și al doilea la un loc, aflați ce suma de bani are fiecare copil.

3. Preturile unui caiet, unei cărți și unui stilou sunt numere direct proporționale cu 2, 10 și 7.

Știind ca un elev plătește pentru toate trei suma de 19 lei, aflați care este prețul fiecărui

obiect.

4. Într-un bloc sunt 20 de apartamente cu 2 și 3 camere. Știind ca in total blocul are 55 de

camere, aflați cate apartamente cu 2 camere, respectiv 3 camere sunt in bloc.

Page 14: PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAȚIEI DE … · adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea unei ecuații. Activitatea

5. Un camion parcurge distanta de 184 km in 4 ore. O parte din drum o parcurge cu viteza

de 42km/h, iar a doua parte din drum cu o viteza de 50 km/h. ce distanta a parcurs cu

prima viteza și ce distanta cu a doua viteza?

6. Într-o curte sunt găini și capre. Daca in total sunt 17 capete și 48 de picioare, care este

numărul găinilor și care este numărul caprelor din curte?

7. Prețul unui stilou se majorează cu 15% și ajunge să coste 23 de lei. Aflați prețul inițial al

stiloului.

8. Un televizor s-a scumpit cu 10% din prețul pe care l-a avut inițial. După un timp

televizorul s-a scumpit din nou cu 10% din noul preț, ajungând astfel să coste 1331 lei.

Calculați prețul inițial al televizorului.

9. După ce oferă nepotului 180 de timbre, bunicul rămâne cu 60% din numărul total de

timbre pe care le avea. Ce număr de timbre avea inițial bunicul?

10. Andrei și Cristina i-au cumpărat un cadou fratelui lor. Andrei a contribuit cu 60% din

prețul cadoului, iar Cristina cu restul de 80 de lei. Aflați prețul cadoului.