3

CAPITOLUL I

SPAII VECTORIALE

I.1.1. Spaii vectoriale

Definiia 1. Mulimea V se numete spaiu vectorial (liniar) peste

cmpul (corpul comutativ) K fa de adunarea i nmulirea cu scalari

definite pe V dac sunt verificate proprietile:

a) fa de adunare V formeaz grup abelian :

a1) Vzy,x,zyxzyx ( ),)()( ,

a2) VxxxV ( 0 0 VV ),: ,

a3) VxxVxVx 0)(:)(,)( ,

a4) Vyx,xyyx ( ), ;

b) fa de nmulirea cu scalari sunt ndeplinite axiomele:

bb1) Vyxyxyx ,,)( )( K,)( ,

b2) Vxxxx )( K ( ,,),)( ,

b3) Vxxx )( K )( ,,,)()( ,

b4) K1 )( ,,1 Vxxx .

Denumiri. Elementele spaiului vectorial V se numesc vectori.

Elementul neutru n raport cu adunarea se numete vectorul nul,

VV0 . Un spaiu vectorial peste R (C) se numete spaiul vectorial

real (complex).

Notaie. K/V - spaiu vectorial peste cmpul K.

4

I.1.2. Subspaiu vectorial

Definiia 2. Fie K/V un spaiu vectorial i 11 ,VVV . 1V

se numete subspaiu vectorial al lui V dac 1V este spaiu vectorial

fa de adunarea i nmulirea cu scalari induse n 1V de operaiile

respective din V.

Teorema 1. O submulime nevid 1V a unui spaiu vectorial V

peste K este subspaiu vectorial al lui V dac i numai dac sunt

ndeplinite condiiile:

1) 11 , , VvuVvu ,

2) 11, VuVu K, .

Observaia 1. Condiiile 1) i 2) sunt echivalente cu condiia

3) 11,,, VvuVvu K, .

Definiia 3. Fie V un spaiu vectorial peste cmpul K i S o

submulime nevid a lui V. Se numete combinaie liniar finit de

elemente din S o expresie de forma:

nnvvv ....2211

unde ,Svi nii ,1, K .

Cum VS iar V este un spaiu vectorial

Vvvv nn ....2211 .

Definiia 4. Se numete subspaiu generat de S (acoperirea

liniar a lui S) mulimea tuturor combinaiilor liniare finite de elemente

din S, niSvvvvSL iinn ,1,,/....)( 2211 K .

5

I.1.3. Dependen i independen liniar

Definiia 5. Mulimea SVS , se numete liniar

dependent dac exist o mulime finit de elemente distincte din S,

Svvv n ,....,, 21 i scalarii Kn ,..,, 21 , nu toi nuli, astfel nct

0....2211 nnvvv .

Mulimea S se numete liniar independent dac nu este liniar

dependent, adic, pentru orice niSvi ,1 , ,

0....2211 nnvvv , Ki , nedeterminai, implic

0,..,0,0 21 n .

I.1.4. Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial

Definiia 6. O mulime B de vectori din spaiul vectorial V se

numete baz a lui V dac B este liniar independent i genereaz

spaiul V, )(BLV .

Denumire. V este finit dimensional dac admite o baz finit sau

dac V={0} ; n caz contrar, se spune c V este infinit dimensional.

Definiia 7. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit

dimensional V i se noteaz cu dim V numrul

{0}. adac 0,

vectori,din aformat abaz o are adac ,dim

V

nVnV

Notaie. V de dimensiune finit n se noteaz cu nV .

Definiia 8. Subspaiul S este suma direct a subspaiilor U i V

ale spaiului V dac

VUVUS ,

i se noteaz VUS . U i V se numesc n acest caz spaii

complementare.

6

I.1.5. Schimbarea bazei. Schimbarea coordonatelor.

Fie o baz neeeB ,....,, 21 a spaiului n-dimensional nV .

nixexexexvVv innn ,1,,...., 2211 K . (1.1)

Denumire. Numerele nxxx ,....,, 21 se numesc coordonatele

vectorului v n baza B iar relaia (1.1) se numete relaia de

descompunere a vectorului v n baza B.

Teorema 2. ntr-o baz dat, coordonatele unui vector sunt unic

determinate.

a) Schimbarea bazei. Fie K/V un spaiu vectorial. Considerm

neeeB ,....,, 21 i neeeB ,....,, 21 dou baze ale lui nV , unde

njeaeaeae nnjjjj ,1 ,....2211 . (1.2)

Matricea A format cu coordonatele vectorilor je (aezate pe

coloane) n baza B se numete matricea de trecere de la baza B la baza

B . n acest caz relaiile (1.2) se numesc formulele de trecere de la

baza ie la baza je a lui nV ( formulele schimbrii bazei).

b) Schimbarea coordonatelor.

Fie Vx . Cum n baza ie avem

n

j

jjexx1

, iar n baza

ie ,

n

i

iiexx1

, rezult n baza unicitii coordonatelor

njxaxn

i

ijij ,1,1

. (1.3)

7

Sub form matricial, relaiile (1.3) se scriu XAX , unde

nx

x

x

X

2

1

,

nx

x

x

X

2

1

, ijaA cu A matricea de trecere de la B

la B .

8

CAPITOLUL II

SPAII EUCLIDIENE

II.1.1. Produs scalar. Spaiu vectorial euclidian

Definiia 1. Fie V un spaiu vectorial complex. O aplicaie

, definit pe VV i cu valori n C care are proprietile:

1) Vyxxyyx ,,,, ,

2) Vzyxzxyxzyx ,,,,,, ,

3) Vyx yxyx ,,,,, C ,

4) ,00,;0, xxxxx

se numete produs scalar pe V.

Definiia 2. Fie V un spaiu vectorial real. O aplicaie

R VV:, care are proprietile:

1) Vyxxyyx ,,,, ,

2) Vzyxzxyxzyx ,,;,,,,, R ,

3) 00,;0, xxxxx ,

se numete produs scalar pe spaiul real V.

Definiia 3. Un spaiu vectorial (real sau complex) pe care s-a

definit un produs scalar se numete spaiu vectorial euclidian (real sau

complex).

Definiia 4. Se numete norm pe un spaiu vectorial real sau

complex V o funcie R V: care ndeplinete axiomele:

9

1) ;)(,0 Vxx 0x ,0 x

2) R , )(xx (sau C), Vx )( ,

3) yxyx , Vyx ,)( .

Norma definit de relaia xxx , se numete norm euclidian.

Definiia 5. Vectorul e cu proprietatea 1e se numete versor

sau vector unitate. Versorul asociat unui vector nenul x este xx

e 1

.

Definiia 6. Fie V un spaiu euclidian real i 0, Vyx . Numrul ,0 definete egalitatea:

yx

yx

,cos

se numete unghiul neorientat al vectorilor x i y.

II.1.2. Mulime ortogonal. Baz ortonormat

Definiia 7. Fie V un spaiu vectorial euclidian. Doi vectori din V

se numesc ortogonali dac produsul lor scalar este nul. O mulime

nevid VS se numete ortogonal dac oricare doi vectori din S

sunt ortogonali: .,,,0, vuSvuvu O mulime se numete ortonormat dac este ortogonal i

fiecare element al su are norma egal cu 1.

Definiia 8. Fie spaiu liniar euclidian V i vectorii

0,, vVvu . Vectorul vvv

vu

,

, se numete proiecia vectorului u pe

10

v iar numrul vv

vu

,

, se numete mrimea algebric a proieciei lui u pe

v.

II.1.3. Construirea unei baze ortonormate a spaiului nV pornind de

la o baz dat a acestuia

a) Construirea unei baze ortogonale (procedeul Gram-Schmidt)

Considerm o baz nvvvB ,....,, 211 a spaiului euclidian nV . Se determin o baz nwww ,....,, 21 ortogonal dup procedeul Gram-

Schmidt:

.,

,

,

,

,,

,

,

,

,,

,

,

1

11

1

1

11

1

2

22

23

1

11

13

33

1

11

12

22

11

n

nn

nnn

nn www

wvw

ww

wvvw

www

wvw

ww

wvvw

www

wvvw

vw

nwwwB ,....,, 212 este o baz ortogonal n nV .

b) Construirea unei baze ortonormate

Mulimea nuuuB ,....,, 213 , format din versorii

niw

wu

i

i

i ,1, este o baz ortonormat a lui nV .

11

CAPITOLUL III

TRANSFORMRI LINIARE. VALORI I VECTORI PROPRII

III.1.1. Transformri liniare. Definiie. Proprieti

Fie V i W spaii vectoriale pesnte cmpul K.

Definiia 1. Se numete transformare liniar de spaii vectoriale o

funcie WVf : cu proprietile:

Vyxyfxfyxf ,)(,)()()( , (3.1)

Vxxfxf K )(,)(,)()( , (3.2)

Teorema 1. O aplicaie WVf : este o transformare liniar

dac i numai dac

Vyxyfxfyxf ,)(,,)(,)()()( K (3.3)

Definiia 2. Se numete nucleu al transformrii liniare

WVf : mulimea

WufVuf 0)()0(1 / (3.4) Notaie: Kerf .

Definiia 3. Se numete imagine a transformrii liniare

WVf : mulimea valorilor lui f,

vufVuWvfVf )(:)(Im)( / (3.5)

Teorema 2. Dac neee ,...,, 21 este o baz n nV i

nwww ,...,, 21 este o baz a lui mW atunci exist o matrice i numai

12

una ][ ijaA de tipul nm astfel nct

m

i

iijj waef1

)( . Mai mult,

dac

n

j

jjexx1

are imaginea

m

i

ii wyxf1

)( atunci

nixayn

j

jiji ,1,1

(3.6)

Notnd

nx

x

X 1

,

ny

y

Y 1

se obine scrierea matriceal

XAY . (3.7)

A se numete matricea transformrii liniare.

III.1.2. Valori i vectori proprii

Definiia 4. Un scalar K se numete valoare proprie a

endomorfismului f dac exist un vector nenul Vx astfel nct

xxf )( (3.8)

Orice vector nenul x care verific aceast relaie se numete vector

propriu al transformrii f , corespunztor valorii proprii .

Mulimea valorilor proprii ale endomorfismului f se numete spectrul lui f.

Teorema 3. Valorile proprii ale endomorfismului f sunt soluiile

ecuaiei caracteristice 0)det( IA iar vectorii proprii sunt soluiile

nenule ale sistemului XAX , unde A este matricea transformrii

liniare f ntr-o baz din nV .

III.1.3. Forma diagonal

Definiia 5. Un endomorfism nn VVf : se numete

diagonalizabil dac exist o baz nvvv ,...,, 21 astfel nct matricea lui f

n aceast baz s fie diagonal.

13

Pentru diagonalizarea unui endomorfism se procedeaz astfel:

1) se fixeaz o baz n nV i se determin matricea ][ ijaA a lui f n

aceast baz;

2) se rezolv ecuaia caracteristic a lui f, 0)det( IA : dac toate

soluiile ei sunt din K, atunci toate sunt valori proprii ale lui f;

3) dac exist p valori proprii distincte i de ordine de multiplicitate

pimi ,1, , unde

p

i

i nm1

, se determin subspaiul propriu i

S

corespunztor fiecrei valori proprii i , rezolvnd ecuaia

piXAX i ,1, . Se pune n eviden cte o baz n fiecare

subspaiu propriu i

S . Dac pimS ii ,1,dim , atunci f este

diagonalizabil.

4) Formm o baz a lui nV ,

p

i

ipmmmmmm nmeeeeeeeB p1

1...21 ,,...,;....;,..,;,...;, 1121111 ,

astfel c primii 1m vectori sunt baz n 1S , urmtorii 2m sunt baz n

2S .a.m.d. Matricea format cu coordonatele vectorilor proprii din

baza B (aezate pe coloan) o notm cu C; ea este matricea schimbrii

de baz (baza iniial trece n B).

5) Matricea lui f relativ la baza B (format din vectorii proprii) este o

matrice diagonal D de forma

14

p

p

p

D

...00...0...000...00

.......................................

0...0...0...000...00

0...0...0...000...00

0...00......000...00

.......................................

0...00...0...00...00

0...00...0...00...00

0...00...0...00...00

.......................................

0...00...0...000...0

0...00...0...000...0

2

2

2

1

1

1

(3.10)

6) Se verific corectitudinea calculului, folosind relaia:

CACD 1 (3.11)

III.1.4. Foma Jordan

Definiia 6. Fie K . Matricele ptratice de tipul

000

100

010

001

;

00

10

01

; etc. (3.12)

se numesc celule Jordan de ordinul respectiv 1,2,3,4 etc, ataate

scalarului .

15

Definiia 7. Spunem c endomorfismul nn VVf : este adus la

forma Jordan dac exist o baz n nV fa de care matricea

sJ

J

J

J

....00

.............

0....0

0....0

2

1

(3.13)

s reprezinte endomorfismul f, unde ),1( siJ i sunt celule Jordan

ataate valorilor proprii ),1( sii , ale endomorfismului f.

Teorema 4. (Teorema lui Jordan). Fie nV un spaiu vectorial

peste cmpul K de dimensiune finit i nn VVf : un endomorfism

pe nV . Proprietile urmtoare sunt echivalente:

1) Toate rdcinile polinomului caracteristic al lui f sunt n K;

2) Exist o baz a lui nV n care matricea transformrii f are forma

Jordan (3.13), n care fiecare celul iJ are elemente din K. Aceasta

este numit baza Jordan.

Etapele determinrii matricii Jordan a unui endomorfism f al

spaiului nV i a bazei Jordan a lui nV sunt:

1) Scrierea matricei endomorfismului ntr-o baz fixat (de preferin

baza canonic) a lui nV . Fie A aceast matrice.

2) Rezolvarea ecuaiei caracteristice a lui f ( a matricei A) i

determinarea valorilor proprii j cu multiplicitile lor jm ( pj ,1 );

dac

p

j

j nm1

(adic toate rdcinile ecuaiei caracteristice sunt

numere din K), atunci endomorfismul admite form Jordan i se

continu cu etapele urmtoare.

16

3) Determinarea subspaiilor proprii i

S asociate fiecrei valori

proprii i determinarea unei baze n i

S , ( pj ,1 ).

4) Precizarea numrului de celule Jordan ce corespund valorilor

proprii j ,

jjn rnIArangVS i )(dimdim (3.14)

5) Determinarea vectorilor din baz corespunztori celulei de ordin

p, ataat valorii proprii j : se determin soluia general pentru

jjj eef )( , apoi se impun condiii de compatibilitate i de

determin soluii pentru

.)(,.....)(,)( 1233122 ppjpjj eeefeeefeeef

6) Matricea Jordan este CACJ 1 , unde C este matricea care

are pe coloane coordonatele vectorilor din baza Jordan.

17

CAPITOLUL IV

FORME BILINIARE. FORME PTRATICE.

ADUCEREA LA FORMA CANONIC A FORMEI PTRATICE

IV.1.1. Forme biliniare

Definiia 1. Se numete form biliniar aplicaia VVF : R

ce verific axiomele:

a) yxFyxFyxxF ,,, b) ,,,, yxFyxFyyxF . K ,;,,,,, Vyyyxxx

Expresia analitic a formei biliniare este:

....

......

...,

22

112222221221

1121121111

1,

nnnnnn

nnnn

nn

n

ji

jiij

yxayxa

yxayxayxayxa

yxayxayxayxayxF

unde jiij eeFa , iar ,...2211 nnexexexx nneyeyeyy ...2211 .

Forma matriceal a expresiei analitice este :

YAXyxF t , unde ,.

...

......

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

,...., 21t

nxxxX ....., 21t

nyyyY

Observaie. La o schimbare de baz, matricea A se schimb

astfel:

CACA t

18

unde C este matricea schimbrii de baz.

Definiia 2. Forma biliniar ),( yxF este simetric dac

VyxxyFyxF ,)(),,(),( .

Dac VyxyxFyxF ,)(),,(),( atunci F este o form

biliniar antisimetric.

Definiia 3. Fie RVVF : o form biliniar.

- F este pozitiv definit dac 0,)(,0),( xVxxxF ;

- F este pozitiv semidefinit dac VxxxF )(,0),( ;

- F este negativ definit dac 0,)(,0),( xVxxxF ;

- F este negativ semidefinit dac VxxxF )(,0),( ;

- F este nedefinit dac Vx i Vy cu 0),( xxF i

0),( yyF .

Rangul formei biliniare F este dat de rangul matricei sale A i se

spune c F este form biliniar degenerat dac

VnnrangArangF dim, i F este form biliniar nedegenerat

dac nrangArangF .

IV.1.2. Forme ptratice

Fie RVVF : o form biliniar simetric,

),(),( xyFyxF .

Definiia 4. Se numete form ptratic generat de F aplicaia

RVP : definit prin ),()( xxFxP .

Observaii.

1) ),( yxF se numete forma biliniar generatoare (polar) .

2) Expresia analitic a formei ptratice este:

19

.......2...2

2...22)(

2

223223

2

222

1131132112

2

111

nnnnn

nn

xaxxaxxaxa

xxaxxaxxaxaxP

Forma matriceal va fi XAXxP t )( unde A este matricea ataat

formei P n baza B.

3) Matricea formei ptratice este o matrice simetric i real avnd

valori proprii reale, iar vectorii proprii corespunztori la valori proprii

distincte sunt ortogonali.

4) Forma biliniar polar se obine unic din P astfel:

VyxyPxPyxPyxF ,.,)()()(2

1),( ,

5) Modificarea matricii unei forme ptratice la schimbarea bazei se face

analog cu cea a unei forme biliniare: CACA t unde C este

matricea schimbrii de baz.

IV.1.3. Forma canonic a unei forme ptratice

Definiia 5. O form ptratic este n form canonic dac 22

22

2

11 .....)( nn XXXxP sau matricea ataat ei are forma

diagonal

n

A

...00

......

0...0

0...0

2

1

.

Baza n care are loc aceast scriere se numete baz canonic pentru

forma P.

Propoziia 1. Pentru orice form ptratic exist o baz canonic

B n care forma ei este

22222

11 ... nnxP cu t

nBX ,...,, 21

20

Demonstraie. Fie RVP : , de forma jin

i

n

j

ij xxaxP

1 1

n baza neeeB ,...,, 210 a lui V. Presupunem c exist nii 1 cu .0iia Presupunem 011 a . Dac lum separat

termenii n care apare componenta 1x :

.......

...22...2

2

11

1

2

11

12

2

11

1

2

11

12111

11

1

2

11

121

2

111112112

2

111

n

n

n

n

n

n

nn

xa

ax

a

ax

a

ax

a

axa

xa

ax

a

axxaxxaxxaxa

De aici ,... 1

2

11

12

11

121 xPx

a

ax

a

axaxP n

nn

unde xP1 nu

conine componenta .1x

Fcnd transformarea ,...11

1

2

11

1211 n

n xa

ax

a

axy

nn xyxy ,...,22 , obinem 32232

222

2

111 2 yybybybxV

+ .... 2nnn yb

Vom nota cu B1 baza n care coordonatele lui x devin

tnB yyyx ,...,, 211 i transformarea fcut se scrie matriceal :

01

1

2

111

1

11

13

11

12

2

1

;

1........000

0........100

0.........010

......1

BB

n

n

n

XCX

x

x

xa

a

a

a

a

a

y

y

y

i .01det1 C

Aplicm acelai procedeu lui 1P i dup n astfel de pai se obine forma

canonic a formei. Dac suntem n situaia n care na iii ,1,0

transformarea ,211 yyx nn yxyxyyx ,...,, 33212 care are

21

ataat matricea nesingular 2det;

1.............000

0..............100

0..............011

0..............011

DD

rezolv acest impediment. Se obine forma

2

212

2

112

3,

212112 yayayyayyyyaxP ji

jiji

ij

+ji

jiji

ij yya

3,

i se continu ca mai sus.

Aceast demonstraie constituie i un procedeu de determinare a formei

canonice pentru o form ptratic, denumit metoda lui Gauss.

Metoda lui Jacobi

Teorema 1. Dac n baza B, forma ptratic P are matricea:

,.......................

.............

.. . . . .. .. .. . ... . . . ... . . .. .. .. .1

111

nnn

n

aa

aa

A cu ,0,1 1110 a ....

02221

1211

2 aa

aa, nA

aa

aa

n

kkk

k

k det,....,0

........

................

..........

1

111

,

atunci exist o baz n care forma are expresia

..... 21222

12

1

1

0

n

n

n XXXxP

Metoda valorilor proprii (tranformrilor ortogonale)

Fie forma ptratic )(xP avnd matricea simetric A. Atunci

exist n ,...,, 21 valori proprii reale ale matricei A, iar

22222

11 .... nn xxxxP este forma canonic n baza format

de vectorii proprii corespunztori valorilor proprii.

22

Teorema 2 (Sylvester) Numrul coeficienilor strict pozitivi (p),

strict negativi (q) i nuli (r) este invariant la schimbarea bazei canonice.

Se numete signatura formei ptratice tripletul (p,q,r).

23

CAPITOLUL V

ALGEBR VECTORIAL

Fie spaiul euclidian 3

R .

Definiia 1. Mulimea segmentelor orientate din spaiu care au

aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime se numete vector

liber.

Vectorul liber se reprezint prin oricare din segmentele orientate care

aparin mulimii.

Notaie. a , b , etc. sau MNAB, , etc.

Lungimea unui vector a sau AB se noteaz cu a sau AB .

Vectorul de lungime unu se numete vector unitate sau versor.

Vectorii care au aceeai direcie se numesc coliniari.

Doi vectori sunt egali dac au aceeai direcie, acelai sens i aceeai

lungime.

Mulimea vectorilor liberi din 3

R formeaz mpreun cu adunarea

vectorilor (regula paralelogramului) i cu nmulirea unui vector cu un

numr real, un spaiu vectorial tridimensional.

Fie },,{ kji o baz ortonormat din 3

R . Un vector 3

Ra se

exprim unic sub forma kajaiaa zyx , iar numerele

),,( zyx aaa se numesc coordonatele euclidiene ale lui a .

Lungimea lui a este 222

zyx aaaa . (5.1)

Dac ),,( zyx aaaa i ),,( zyx bbbb atunci

24

),,( zzyyxx babababa , ),,( zyx aaaa , R .

Dac ),,( 111 zyxA i ),,( 222 zyxB sunt dou puncte date, atunci

2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxxABAB (5.2)

Definiia 2. Se numete produsul scalar a doi vectori a i b ,

numrul

),(,cos bababa .

Proprieti. a) 0,02

aaaa i 0aa 0a ; b)

cabacba )( ; c) )()( baba ; d) abba ; e)

baba 0 ; f) 0,

bb

baapr

b, RR ,,,)( 3cba .

Observaia 1. In raport cu o baz ortonormat, produsul scalar

are expresia

zzyyxx babababa (5.3)

iar unghiul dintre cei doi vectori poate fi determinat prin

],0[,cos222222

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa. (5.4)

Fie e un versor. Numrul ea este mrimea algebric a proieciei lui

a pe direcia e .

Definiia 3. Se numete produsul vectorial al vectorilor a i b ,

vectorul

),(,sin baebaba ,

25

unde e este un versor perpendicular pe planul format de a i b i cu

sensul astfel nct triedrul baba ,, s fie orientat drept (rotirea lui a spre b n sens trigonometric s nu depeasc un unghi de

180 ).

Proprieti. a) 0aa , b) baba 0 , c)

abba , d) )()( baba , e) cabacba )( ,

RR ,,,)( 3cba .

Mrimea produsului vectorial reprezint aria paralelogramului ce

se poate construi pe cei doi vectori ca laturi.

Observaia 2. In raport cu o baz ortonormat, produsul vectorial

are forma

kabbajbaabiabba

bbb

aaa

kji

ba

yxyxzxzxzyzy

zyx

zyx

)()()(

(5.5)

Definiia 4. Se numete produsul mixt a trei vectori a , b i c ,

scalarul cbacba )(),,( .

Proprieti. a) ),,(),,(),,( bacacbcba , b)

),,(),,( cabcba , ),,(),,( cbacba , RR ,,,)( 3cba .

Observaia 3. Modulul produsului mixt a trei vectori reprezint

volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori ca laturi.

Observaia 4. In raport cu o baz ortonormat, expresia

produsului mixt este:

26

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba ),,( . (5.6)

Observaia 5. Trei vectori sunt coplanari dac produsul lor mixt

este zero.

Definiia 5. Se numete dublu produs vectorial al vectorilor a ,

b i c , vectorul

cbabcacba )()()( .

Aplicaii. 1) Aria triunghiului de vrfuri A, B, C este

ACABA 2

1. (5.7)

2) Volumul tetraedrului de vrfuri A, B, C, D este ADACABV ,,6

1 .

(5.8) ; 3) O condiie necesar i suficient ca patru puncte A, B, C, D

s fie coplanare este ca 0

1

1

1

1

444

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

. (5.9)