Parabola

1

Parabola

Se numete parabol mulimea punctelor planului egal deprtate de un punct dat F al planului numit focar i de o dreapt l din plan, lF , numit directoare.

Dac punctul M aparine parabolei, segmentul MF , precum i lungimea lui se numete raz focal a punctului M . Distana de la focarul parabolei la directoare se noteaz p i se numete parametrul parabolei.

Dac sistemul de axe ortogonale este ales astfel nct axa absciselor trece prin focarul parabolei perpendicular pe directoare i este orientat de la directoare spre focar, iar originea sistemului este mijlocul segmentului AF ( A este proiecia focarului pe directoare), atunci ecuaia canonic a parabolei este

pxy 22 = . (1)

Parabola cu ecuaia (1) este situat n semiplanul 0x , are vrful )0,0(O , axa ei este axa absciselor, iar directoarea are ecuaia

2p

x = .

Parabolele cu ecuaiile ,22 pxy = ,22 pyx = pyx 22 = au vrful n )0,0(O i sunt situate respectiv n semiplanele ,0x ,0y .0y

Ecuaia ,2 cbxaxy ++= ,0a ),,( Rcba definete o parabol a crei ax de simetrie este paralel cu axa ordonatelor. Vrful, focarul, directoarea i parametrul acestei parabole sunt respectiv:

,

4,

2

aa

bV ,41

4,

2

+

aaa

bF ,4

1:

ayl += ,

21a

p = unde .42 acb =

M

0,2pF

axa parabolei vrf O

directoare l

Parabola

2

Analog, parabola ,2 cbyayx ++= 0a are axa paralel cu axa absciselor i

,

2,

4

a

ba

V ,2

,

41

+a

ba

F ,4

1:

axl +=

ap

21

= ).4( 2 acb =

Probleme rezolvate

1. S se scrie ecuaia parabolei: a) cu focarul )0,4(F i directoarea ;04 =+x b) cu focarul )0,3(F i directoarea ;03 =x c) cu focarul )5,0(F i directoarea ;05 =+y d) cu focarul )2,0( F i directoarea ;02 =y e) cu focarul )4,3(F i directoarea ;01 =+x Soluii

n fiecare din cazurile a)-d) avem valoarea lui 2p

i ecuaiile parabolelor se scriu uor:

a) ;162 xy = b) ;122 xy = c) ;202 yx = d) .82 yx = e) Deducem ecuaia parabolei utiliznd definiia. Fie ),( yxM aparine parabolei. Avem

22 )4()3( += yxMF , iar distana de la M la directoare este egal cu .|1| +x Conform definiiei .)4()3(|1| 22 +=+ yxx Ridicm ambele pri ale acestei ecuaii la ptrat, simplificm i obinem ecuaia cerut .3

81 2 += yyx

2. S se scrie ecuaia parabolei cu focarul:

a)

0,23F i vrful );0,0(V

b) )0,5(F i vrful ;0,25

V

c) )1,2(F i vrful );1,0(V d) )1,2(F i vrful );0,2(V e) )2,3(F i vrful ).1,3(V Soluii

Vrful parabolei este mijlocul segmentului AF , unde A este proiecia focarului pe directoare, iar vectorul VF este un vector normal al directoarei.

Parabola

3

a) Punctul A are coordonatele

0,

23

i ,23

2=

p ecuaia parabolei este .62 xy =

b) ),0,0(A ecuaia directoarei 0=x i ecuaia parabolei este .2510||)5( 222 ==+ xyxyx

c) ),1,2(A ecuaia directoarei 02 =+x i ecuaia parabolei este .)1(

81|2|)1()2( 222 =+=+ yxxyx

d) ),1,2( A ecuaia directoarei 01 =+y i ecuaia parabolei este .)2(

41|1|)1()2( 222 =+=+ xyyyx

e) ),0,3(A ecuaia directoarei 0=y i ecuaia parabolei este ||)2()3( 22 yyx =+ .1)3(

41 2 += xy

3. S se determine focarul, vrful i directoarea parabolei:

a) ;42 xy = b) ;62 xy = c) ;2 yx = d) .162 yx = Soluii

a) 2=p 2p

=1 ),0,1(F ),0,0(V directoarea .01 =+x

b) 3=p 2p

=

23

,0,23

F ),0,0(V directoarea .0

23

=x

c) 21

=p 2p

=

41

,41

,0

F ),0,0(V directoarea .041

=+y

d) 8=p 42

=

p ),4,0( F ),0,0(V directoarea .04 =y

4. S se afle axa de simetrie, vrful, focarul i directoarea parabolei:

a) ;1042 += xy b) ;282 = xy c) ;462 += yx

Parabola

4

d) .6122 = yx Soluii

a) 1042 += xy .25

41 2 += yx Avem ,

41

=a ,0=b 25

=c =25

.

Axa de simetrie este axa absciselor, ,0,25

V ,0,23

F directoarea .027

=x

b) 282 = xy .41

81 2 += yx n acest caz ,

81

=a ,0=b 41

=c , .81

=

Axa de simetrie este axa absciselor. Vrful ,0,41

V focarul ,0,49

F directoarea .047

=+x

c) 462 += yx .32

61 2

= xy Axa de simetrie este axa ordonatelor, vrful ,32

,0

V

focarul ,65

,0

F directoarea .06

13=+y

d) 6122 = yx xy121

=2

.

21

Axa de simetrie este axa ordonatelor, vrful

,

21

,0

V focarul ,

27

,0

F directoarea .0

25

=y

5. S se scrie ecuaia parabolei ,2 cbxxy ++= dac )7,5(V este vrful ei. Soluie

Pentru 1=a avem 22b

a

b= i

44

4

2 cba

=

. Cum vrful parabolei

cbxaxy ++= 2 este

aa

bV4

,

2 n cazul nostru avem

=

=

74

4

52

2 cb

b

=

=

3210

c

b.

Ecuaia parabolei este .32102 += xxy

6. S se scrie ecuaia parabolei cbxaxy ++= 2 dac ea trece prin punctele )3,0( A , )0,1(B , ).7,2(C

Soluie

Parabola

5

Coeficienii cba ,, se obin din sistemul de ecuaii

=++

=++

=

7240

3

cbacba

c

, care este consecin a

faptului c punctele date aparin parabolei. Deci 2=a , 1=b , 3=c i ecuaia parabolei este .32 2 += xxy

7. S se determine un punct al parabolei ,82 xy = a crui distan la focar s fie egal cu 4. Soluie

Rescriem ecuaia parabolei sub forma

xy = 422

i obinem 4=p , ceea ce arat c focarul este ),0,2(F iar directoarea este .02 =+x Cum 2+= xMF pentru orice punct al parabolei, din condiia problemei obinem .42 =+x De aici

i din faptul c 20 = xx . Din ,82 xy = pentru 2=x obinem ,41 =y .42 =y Deci dou puncte )4,2(1M i )4,2(2 M verific condiiile problemei.

8. S se scrie ecuaia tangentei la parabola pxy 22 = n punctul ei ).,( 000 yxM Soluie

Rescriem ecuaia parabolei n forma pxpxyy += i considerm ecuaia .00 pxpxyy += Cum p 0 , aceasta este ecuaia unei drepte care trece prin punctul dat

).,( 000 yxM n plus, observm c aceast dreapt i parabola au punctul ),( 000 yxM ca punct

dublu de intersecie. ntr-adevr, fie sistemul

+=

=

00

2 2pxpxyy

pxy.

Substituim px din ecuaia a doua a sistemului n prima ecuaie i obinem, pentru determinarea ordonatei punctului de intersecie, ecuaia .022 00

2=+ pxyyy Discriminantul

acestei ecuaii .0)2(4 020 == pxy

De aici 002,1 22

2y

ya

by === i ),( 000 yxM este punct dublu de intersecie a parabolei cu dreapta. Astfel am dedus c ecuaia tangentei la parabola pxy 22 = n punctul ei ),( 000 yxM este ).( 00 xxpyy +=

9. S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul )1,2( A la parabola .42 xy = Soluie

Parabola

6

Observm c punctul dat nu aparine parabolei. Fie ),( baM punctul de tangen. Conform ecuaiei deduse n problema precedent ecuaia tangentei n M este .22 axby +=

Cerem ca aceast dreapt s treac prin punctul A i obinem egalitatea .24 ab +=

Rezolvm sistemul de ecuaii

=

+=

.4

,22

2 ab

ba

Obinem dou puncte de tangen ),4,4(1 M ).2,1(2M Respectiv avem ecuaiile celor dou tangente 2

2=

xy i 1. x +=y

10. S se determine condiia ca dreapta mkxy += s fie tangent la parabola .22 pxy =

Soluie Pentru determinarea poziiei reciproce a dreptei date i parabola dat trebuie s rezolvm

sistemul de ecuaii

=

+=

.2,

2 pxy

mkxy

Acest sistem poate avea dou soluii diferite, dou soluii coincidente i nici o soluie. Respectiv, dreapta i parabola se intersecteaz n dou puncte distincte (dreapta este secanta parabolei), dreapta i parabola au dou puncte comune confundate (dreapta i parabola sunt tangente), dreapta i parabola n-au puncte comune (dreapta nu intersecteaz parabola).

Deci, n conformitate cu cele de mai sus i cerinele problemei substituim mkxy += n ecuaia pxy 22 = i cerem ca discriminantul ecuaiei primite 0)(2 222 =++ mxpmkxk s fie nul.

Avem 222 4)(4 mkpmk = i 0= implic condiia .2mkp = Deci, pentru ca dreapta mkxy += s fie tangent la parabola pxy 22 = este necesar ca

.2mkp =

11. S se scrie ecuaia tangentei la parabola xy 42 = care este paralel cu dreapta .072 =+ yx S se determine coordonatele punctului de tangen.

Soluie Ecuaia tangentei cerute are forma .2 mxy += Utiliznd formula dedus n problema

precedent pentru ,2=p 2=k obinem ,42 m= .21

=m

Deci ecuaia tangentei este .212 += xy

Parabola

7

Rezolvm sistemul

+=

=

212

42

xy

xy i gsim punctul de tangen .1,

41

M

12. Din punctul ),( 000 yxM se construiesc dou tangente la parabola pxy 22 = . S se scrie ecuaia dreptei care unete punctele de tangen. Soluie

Fie ),( 111 yxM i ),( 222 yxM punctele de tangen cu parabola a tangentelor duse din .0M Scriem ecuaiile tangentelor 01MM i :02 MM

).(:)(:2202

1101

xxpyyMMxxpyyMM

+=

+=

Cum 0M aparine fiecrei din aceste tangente, au loc egalitile

)( 1010 xxpyy += i ).( 2020 xxpyy += Aceste dou egaliti arat c punctele ),( 222 yxM i ),( 111 yxM aparin dreptei ).( 00 xxpyy += Cum dou puncte distincte determin o singur dreapt, ecuaia )( 00 xxpyy += este ecuaia dreptei ce unete punctele de tangen.

Observaie. Dac ),( 000 yxM aparine parabolei ,22 pxy = ecuaia )( 00 xxpyy += este ecuaia tangentei la parabol n acest punct, iar dac ),( 000 yxM nu aparine parabolei i din acest punct pot fi duse dou tangente, aceeai ecuaie )( 00 xxpyy += este ecuaia coardei ce unete punctele de tangen.

13. Din punctul

6,

29

sunt duse tangentele la parabola .62 xy = S se calculeze

lungimea coardei care unete punctele de tangen. Soluie

Pentru ,3=p ,29

0 =x 60 =y scriem ecuaia dreptei care unete punctele de tangen

(vezi problema precedent).

)29(36 += xy .0942 =++ yx

Rezolvnd sistemul ,6

09422

=

=++

xy

yx gsim punctele de tangen ,9,

227

M .3,

23

N

Deci 22

)39(23

227

++

=MN 180= .56=

Parabola

8

Probleme propuse 1. S se scrie ecuaia parabolei simetrice n raport cu axa ordonatelor, cu vrful n origine

i care taie din dreapta xy 2= o coard de lungimea .54

2. S se scrie ecuaia parabolei cu vrful n origine n fiecare din cazurile: a) parabola este simetric fa de axa absciselor, are parametrul 5=p i este

situat n cadranele I i IV; b) parabola este simetric fa de axa absciselor, are parametrul 5,1=p i este

situat n cadranele II i III; c) parabola este simetric fa de axa ordonatelor, are parametrul 3=p i este

situat n cadranele III i IV; d) parabola are ca ax de simetrie axa Ox i trece prin punctul ).4,4(A

3. S se determine focarul i directoarea parabolei .102 xy =

4. S se scrie ecuaia parabolei cu focarul )0,3(F i directoarea .02 =+x 5. S se afle axa de simetrie, focarul i directoarea parabolei:

a) ;62 xy =

b) ;212 xy =

c) ;162 yx = d) ;0442 =+ xy e) ;0422 =+ yx f) ;05462 =+++ yxx g) .031822 = xyy

6. S se scrie ecuaia parabolei cu axa de simetrie vertical i care trece prin punctele ),0,1(A ),0,1(B ).1,0( C 7. S se determine punctele de intersecie ale dreptei 02 =+ yx cu parabola .22 yx =

8. S se afle raza focal a punctului parabolei xy 102 = , dac abscisa lui este egal cu .6

9. S se scrie ecuaia tangentei la parabola xy 42 = , care este paralel cu dreapta .05 =+ yx

10. S se determine punctele de intersecie ale parabolelor:

a) yx 42 = i ;42 xy = b) 122 += xxy i .762 += yyx

11. S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul )1,0( A la parabola .322 ++= xxy

Parabola

9

12. S se determine punctele de intersecie ale parabolei :242 xy =

a) cu elipsa ;1225100

22

=+yx

b) cu hiperbola ;1225100

22

=

yx

13. S se afle unghiul dintre tangentele duse din punctul )9,2(A la parabola .362 xy = 14. S se afle aria triunghiului mrginit de axele de coordonate i tangenta n punctul

)2,2(A la parabola 2221

xy = .

15. S se scrie ecuaia parabolei cu axa de simetrie Ox i care trece prin punctele )2,2(A i ).1,1(B

16. Din punctul )1,0(A sunt duse tangentele la parabola .12 += xy S se scrie ecuaia coardei ce unete punctele de tangen.