OVIDIU BĂDESCU

TEORIE – ÎMPOTRIVA INVOLUŢIEI

CLASA A IX-A

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2005

2

© 2005, Editura „Neutrino” Titlul: Teorie împotriva involuţiei Autor: Ovidiu Bădescu I.S.B.N. 973-87223-0-6 Nu pot începe această broşură fără a aduce "mulţumiri" celor două clase unde predau şi pentru care am realizat această broşură. Elevii acestor clase sunt, în ordinea alfabetică a claselor şi respectiv a elevilor: clasa IX E: BEREŞ Dariana, BOGHICI Anamaria, CECIU Andra, CERBU Andreea, CHIŞ Sorin, COPOCEAN Roxana, GAGIU Marius, GHICAN Silvia, GULEA Iulia, HUMENIUC Gabriel, MINDA Adina, OPRIŞAN Alexandra, PASESNSKI Alina, PETROVICI Ana Maria, POP Silviu, POPA Bogdan, POPESCU Iulia, PRIBOI Cristina, PUŞCAŞU Mihaela , ROŞIAN Gheorghe, STOICOVICI Olivera Ana Maria, ŞOREGA Karla, TRUŞCĂ Dariana, TURCUŞ Ioan, VÂLVOI Bogdan, VELESCU Diana, VIERIU Oana, VLĂDUŢU Andreea, ZOLLER Raul (zis şi Bocşa) clasa IX F: BARA Tibor, BĂJĂU Andrada, BOGDAN Carina, BRIE Sian, BURILEANU Adela, BURIMAN Ruxandra, CREŢEANU Paul, DALEA Cristina, DETEŞAN Andra, DETEŞAN Oana, DUMITRU Ionela, GĂINĂ Ana, IUHASZ Daniel, LĂZĂROI Silvia, LIBER Larisa, MARCU Mara, MOLDOVAN Alexandra, POPOVICI Doru, REZ Ovidiu, RUGINĂ Andra, SALAI Ana-Maria, SIMION Boris, STÂNGU Bogdan, SUIUGAN Alexandru, SURU Andreea, ŞERBAN Bogdan, ŞERBAN Vlad

© 2005, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Tel/ fax: 0255-224411 Mobil: 0724224400 E-mail: editura_neutrino@email.ro

3

Capitolul I Mulţimi. Mulţimea numerelor reale

1) Formule utile : ( )( )2 2a b a b a b− = − +

( )2 2 22a b a ab b− = − + ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b− = − − − ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ = + + +

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

( )( )1 2 1....n n n n na b a b a a b b− − −− = − + +

( )( )1 2 1....n n n n na b a b a a b b− − −+ = + − + + ,doar pentru n impar

( ) ( )22 2 21 2 1 2 1 2 1 3 1... ... 2 ...n n n na a a a a a a a a a a a−+ + = + + − + +

( )( )3 3 3 2 2 23a b c abc a b c a b c ab bc ac+ + − = + + + + − − −

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 23 3 3 132

a b c abc a b c a b b c c a+ + − = + + − + − + − ⋅

( ) ( ) ( )( )23 3 3 3 3a b c abc a b c a b c ab bc ac+ + − = + + + + − + +

( ) ( )( )( )33 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + − + + + 2)Semnul suma ∑ si semnul produs ∏, definiţia factorialului

exp: 1

1 2 ...n

kk n

=

= + + +∑ 2 2 2 2

1

1 2 ...n

k

k n=

= ⋅ ⋅ ⋅∏

Obs1: ∑=

=n

kn

11 ∑

=

+=

n

k

nnk1 2

)1(

∑=

++=

n

k

nnnk1

2

6)12)(1(

23

1

( 1)2

n

k

n nk=

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Obs2:Constantele ies in fata sumei (respectiv produsului, insa la produs la puterea n)

∑∑==

=n

k

n

kkk

1

2

1

2 33 ∏∏==

=n

k

nn

k

kk1

2

1

2 33

4

Obs3:Daca in interiorul sumei este suma (respectiv la produs e produs),se distribuie suma (respectiv produsul).

Exp ∑∑∑===

+=+n

k

n

k

n

kkkkk

1

2

1

3

1

32 )(

∏∏∏∏====

⋅=⋅=n

k

n

k

n

k

n

k

kkkkk1

2

1

3

1

23

1

5 )(

Exp2.: Calculaţi suma ( )22 21 3 ... 2 1S n= + + + −

Soluţie: ( ) ( )2 2

1 12 1 4 4 1

n n

k kS k k k

= == − = − + =∑ ∑

2

1 1 1

( 1)(2 1) ( 1)4 4 1 4 46 2

n n n

k k k

n n n n nk k n= = =

+ + +− + = ⋅ − ⋅ + =∑ ∑ ∑

24 13

nn −= ⋅

Definiţia factorialului n! = 1 2 3 ... n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ şi 0! = 1 3)Mulţime, cardinalul unei mulţimi mulţime - colecţie de obiecte cardinalul unei mulţimi – numărul de elemente din acea mulţime, se notează card A Obs.1: există mulţimi finite- au un număr finit de elemente mulţimi infinite – au o infinitate de elemente Obs.2: ( ) card A B C card A card B card C∪ ∪ = + + −

( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card A C card A B C− ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ 4) determinarea unei mulţimi – se fac diagramele şi se pun elementele din condiţiile din ipoteză sau se determină folosind condiţia dată în enunţ 5) apartenenţă, mulţimea vidă 6) submulţime, incluziune 7)Definiţia produsului cartezian a 2 mulţimi A×B={ ∈xyx ),( A si ∈y B} Reprezentarea geometrica a produsului cartezian a 2 multimi a) A si B multimi de numere {...}⇒A×B format din puncte b) A interval, B={...}⇒A×B formata din segmente paralele cu Ox

5

c)A={...}, B interval A×B formata din segmente paralele cu Oy d)A interval, B interval ⇒A×B este formata din dreptunghiuri 7) Părţile unei mulţimi ( ) { }P A M M A= ⊂

Obs.: ( )( ) 2cardAcard P A = , deci numărul submulţimilor unei

mulţimi cu n elemente este 2n Obs 2: ∅ este submulţime a oricărei mulţimi, deci ( )P A∅∈ 8) Proprietăţi ale relaţiei de incluziune: reflexivitate, antisimetrie, tranzitivitate 9) Operaţii elementare cu mulţimi a)reuniunea: A∪B={ ∈xx A sau ∈x B} b)intersectia: A∩B={ ∈xx A si ∈x B} c)diferenta: A\ B={ ∈xx A si x B∉ } d)diferenta simetrica :AΔB=(A\B)∪ (B\A) Obs.: Mulţimi disjuncte sunt mulţimi care verifică A B∩ =∅ Obs. :complementara unei multimi(doar pentru A⊂E) EC A={ ∉∈ xEx A}=E\A Obs 2. :E\A exista intotdeauna,insa EC A doar daca A⊂E 10)Functia caracteristica: fie A multime şi E este multimea

totala⇒ Aϕ ( x )=⎩⎨⎧

∉∈

AxAx

,0,1

Proprietati: a) φϕ =0; Eϕ =1 b) BA∪ϕ = BABA ϕϕϕϕ ⋅−+ c) BABA ϕϕϕ ⋅=∩ d) AAA ϕϕϕ =⋅ e) BAABA ϕϕϕϕ ⋅−=− f) AACE

ϕϕ −= 1 g) 2A B A B A Bϕ ϕ ϕ ϕ ϕΔ = + − Observatie: Formulele se pot deduce si ajuta la demonstrarea egalitatii a 2 multimi

11)Legile lui de Morgan ⎭⎬⎫

∩∪∪∩

BC AC=B) (ACBC AC=B) (AC

EEE

EEE

distributivitatea reuniunii şi a intersecţiei a) A∩ (B∪C)=(A∩B)∪ (A∩C) b)A∪ (B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪C)

6

12)Notaţii pentru mulţimi de numere, relaţii între aceste mulţimi: *

+ +N, Z, Q,R,R ,R , etc. Exp : NZN =∩ ; QQZ =∪ 13)Proprietatile operatiilor în caz general “*” este lege internă pe mulţimea M: x, y M x * y M∀ ∈ ⇒ ∈ “*” asociativa : zyxzyxMzyx ∗∗=∗∗⇒∈∀ )()(,, “*”comutativa: xyyxMyx ∗=∗⇒∈∀ , “*” are element neutru: Me∈∃ a.i. x M x e e x x∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗ = x este simetrizabil: pentru x M, x' M ∈ ∃ ∈ astfel încât

exxxx =∗=∗ '' oricare ar fi elementul x 14) Proprietăţi ale operaţiilor pe R a) adunarea este: comutativa , asociativa , element neutru (e=0) si ∀ element simetrizabil (x’= -x) b)înmulţirea este: comutativa , asociativa , element neutru (e=1) si

∀ element e simetrizabil ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠= 0,1' x

xx ;

c) scăderea şi împărţirea: nu au nici o proprietate d)înmulţirea este distributiva faţă de adunare şi de scădere e) relaţia " "≤ este reflexivă, antisimetrică, tranzitivă f) Inegalităţile se pot aduna întotdeauna, însă ele se pot înmulţi doar dacă toţi termenii sunt pozitivi

a < b a + c < b + dc < d

⎫ ⇒⎬⎭

, însă a < bc < d a c < b da, b, c, d > 0

⎫⎪ ⇒ ⋅ ⋅⎬⎪⎭

g) Înmulţirea cu un număr pozitiv păstrează sensul inegalităţii

a < b a c < b cc > 0

⎫ ⇒ ⋅ ⋅⎬⎭

13)Fracţiile zecimale sunt: a) finite – au un număr finit de zecimale b) infinite – au o infinitate de zecimale Cele infinte se reîmpart în neperiodice-nu se repetă zecimalele periodice-se repetă zecimalele

7

Cele periodice se împart în : Periodice simple-nu apar cifre între virgulă şi perioadă Periodice mixte-apar cifre între virgulă şi perioadă 14)Transformări de fracţii periodice- la numărător se scrie tot numărul din care se scade partea până la perioadă, iar la numitor se pun atâtea cifre de 9 câte are perioada şi atâţia de 0 câte cifre sunt între virgulă şi perioadă

Exp ⎯→⎯−

=99900

123123456)456(23,1 mixta

⎯→⎯−

=99

1123)23(,1 simpla

15) { }; , , 0 Fractii ce se pot scrie cu numar finit de zecimale⎧ ⎫= ∈ ≠ ∪⎨ ⎬⎩ ⎭

a a b Z bb

Q

Exp. a=2,1234567891011... Q∉ 2,1232323... 2,1(23)b Q= = ∈ 16) Număr iraţional – fracţie zecimală infinită şi neperiodică Obs :R\Q – este mulţimea numerelor iraţionale 17) Metode de a arăta că un număr e iraţional Exemplu: 3 Q∉ , 0,1010010001... Q∉ 18)Compararea numerelor reale: metoda I:se face axa , se situeaza numerele; metoda II:se aduc la acelasi numitor sau aceeiaşi cantitate sub radical; metoda III:se compara in ordine toate zecimalele; 19)Aproximarea numerelor real Exp: a=12,345 Aproximarea prin lipsa: 12; 12,3 ; 12,34 ;12,345 Aproximarea prin adaos:13 ; 12,4 ; 12,35 ;12,346 Eroare absoluta : ,aa

a−=Δ unde a este aproximarea lui a;

20) Modulul unui numar real: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=0,

0,00,

xxxxx

x ⎯→⎯ dă semnul

plus numarului, exprimă distanţa de la număr până la origine

8

21) Proprietati ale modulului: ;00:0) =⇔=≥ aaaa

);2;2(2) −∈⇔< aab );2()2;(2 ∞∪−−∞∈⇔> aa

∅∈⇔−< aa 2 Raa ∈⇔−> 2

) ;c a b a b a b− ≤ ± ≤ + babad ⋅=⋅) şi ;ba

ba=

Exp.: ( )2 1 3 2 1 3;3x x− ≤ ⇔ − ∈ − ⇔ ( ) ( )2 2;4 1;2x x∈ − ⇔ ∈ − Definiţia minimului şi a maximului a două numere utilizând modulul

min( , )2

a b a ba b

+ − −= şi max( , )

2a b a b

a b+ + −

=

22)Parte întreagă -întregul mai mic sau egal decât numărul nostru, se noteaza [x] (şi este întregul din stânga numărului) Parte fracţionară :se noteaza { }x , { } [ ]x x x= −

Obs.: { } [ )0;1x ∈

Exp.: [ ]2,3 2= şi [ ]2,3 3− =− 23)Proprietati pentru parte intreaga si fractionara:

xxa =])[ d.d. ;Zx∈ 0}){ =xb d.d. ;Zx∈ ;],[])[ Zmxmxmc ∈∀+=+ ;},{}){ Zmxxmd ∈∀=+

;1][])[ +<≤ xxxe ;][1) xxxf ≤<− 24) Identitatea lui Hermite

[ ]1 1[ ] ... −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

nx x x nxn n

25) Intervale de numere reale, operaţii cu aceste intervale

26) Definiţia radicalului de ordin superior ab

a b xx = şi toate operaţiile cu radicali se reduc la operaţii cu puteri 27)Formula radicalilor dubli (compusi):

22

22 BAABAABA −−±

−+=±

Obs:Se utilizeaza doar daca BA −2 este patrat perfect

9

27) Condiţii pentru radicali de ordin superior )()(2 xgxfk = Conditii:

⎩⎨⎧

∈⇒≥∈⇒≥

2

1

0)(0)(

IxxgIxxf

cIIIx =∩∈⇒ 21

)()(12 xgxfk =+ Conditii: Rx∈

Exp1.: 6 2 1x + Condiţii: 1 12 1 0 ;2 2

x x x ⎡ ⎞+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ∈ − ∞⎟⎢⎣ ⎠

Exp. 2: 5 2 1x + Condiţii: x R∈ 28)Proprietati ale puterilor: ;0,1) 0 ≠= aaa 0,00) ≠= ab a

;1) xx

aac =− ) x y x yd a a a +⋅ = )

xx y

y

ae aa

−=

( ))yx x yf a a ⋅= ( )) x x xg a b a b⋅ = ⋅ )

x x

x

a ahb b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

') (0;1))

'') (1, )x y d a x y

i a ad a x y

∈ ⇒ >< ⇒

∈ ∞ ⇒ <

') \{ 1;0;1}

)'') { 1;0;1} se discută pe cazuri

x y e a R x yj a a

e a∈ − ⇒ =⎧

= ⇒ ⎨ ∈ − ⎯⎯→⎩

Obs: nu∃ 00 29)Proprietati ale radicalilor:

xxa k k =2 2) xxb k k =+ +12 12)

) n m n mc x x⋅= ) n m mnd x x⋅= 2

22

)k

kk

xxey y= si

kkk yxxy 222 ⋅= 2 2) k kf x y x y= ⇒ = sau yx ±= şi yxyx kk =⇒= ++ 1212

10

30)Conjugat, tipuri de conjugat:-conjugatul unei expresii-expresie cu care daca inmultim expresia initiala, dispare radicalul Numar Conjugat Rezultat

a a a

a b b ab

ba − ba + ba −

ba + ba − ba −2 33 ba + 3 233 2 baba +− ba + 33 ba − 3 233 2 baba ++ ba −

3 232 bbaa +− 3 ba + ba +3 31)Inegalitati evidente:

a) Daca a·b >0 → ab

ba+ ≥2 b) Daca a·b<0 →

ab

ba+ ≤−2

c) ( )2

4x y

x y+

⋅ ≤ d) 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + +

e) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 3xy yx zx x y z x y z⋅ + + ≤ + + ≤ ⋅ + + 32)Inegaliatea mediilor (valabila pentru numere pozitive): min( ) max( )k h g a p ka m m m m a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ unde

1

1h n

k k

nm

a=

=∑

armonică 1

nng k

km a

== ∏ geometrică

1

n

kk

a

am

n==∑

aritmetică

2

1

n

kk

p

am

n==∑

pătratică

Obs1:Egalitate are loc d.d.toate numerele sunt egale Obs2:Cea mai des folosita este 1 1... ...n

n na a n a a+ + ≥ ⋅ ⋅ ⋅

11

33)Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovsky-Schwarz: 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1( ... ) ( ... ) ( ... )n n n na b a b a b a a b b+ + + ≤ + + ⋅ + +

∑∑∑===

⋅≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⇔

n

ii

n

ii

n

iii baba

1

2

1

22

1

Obs1: Egalitatea are loc d.d. n

n

ba

ba

ba

=== ...2

2

1

1

Obs.2 : Se deduce identitatea lui Titu Andreescu (care se poate

generaliza) ( )22 2 2 x y zx y zα β χ α β χ

+ ++ + ≥

+ +

Exp: ( )2222 3)( zyxzyx ++≤++ 34)Inegaliatea lui Minkovsky:

22

21

221

2211 ......)(...)( bbaababa nnn +++++≤−++−

⇔ ∑∑∑===

+≤−n

ii

n

ii

n

iii baba

1

2

1

2

1

)(

Obs1:Egalitatea are loc d.d. n

n

ba

ba

ba

=== ...2

2

1

1

Exp: 2222 2222 ≥+++−−+ yxyxyx 35)Inegaliatea lui Cebîşev Dacă ,k ka b sunt 2 şiruri la fel ordonate atunci

( )1 1 1

n n n

k k k kk k k

a b n a b= = =

⋅ ≤ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑ , iar dacă ,k ka b sunt 2 şiruri invers

ordonate atunci ( )1 1 1

n n n

k k k kk k k

a b n a b= = =

⋅ ≥ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑

Obs. Egalitatea are loc doar dacă 1 2 ... na a a= = = sau dacă

1 2 ... nb b b= = =

12

Capitolul II Elemente de logica matematica

1) Enunţ, propoziţie, predicat Enunţ-alăturare de simboluri, de semen matematice, de simboluri Propoziţie-un enunţ despre care putem spune ca e adevarat sau fals Predicat-un enunţ ce depinde de variablie şi care pentru diferite valori ale variabilelor devine propoziţie 2)Valoare de adevăr, tabele de adevar:

Obs. : numărul liniilor din tabel este egal cu 2n , unde n este numărul propoziţiilor care apar Obs. ┐p “non p“ se completează invers decat la p p∨ q “p sau q” disjunctie e adevarata cand sau p sau q e adevarata : p∧q “p si q“ conjunctie e adevarata cand si p si q e adevarata: p→q “p implica q” implicatie e falsa cand din adevarat se obtine fals: p↔q “p echivalent cu q” e adevarata cand si p si q au aceeasi valoare de adevar: 3) tautologie -propozitie identic adevarata antilogie -propozitie identic falsa 4)predicate –enunturi ce depind de variabile si care, pentru diferite valori ale variabilelor ,devin propozitii 5)cuantificatorul existential : .x a i∃ cuantificatorul universal: ...=>∀x Obs: cuantificatorii pot comuta doar daca sunt de acelasi tip:

xyyxxyyx ∀∀↔∀∀∃∃↔∃∃ , , dar xyyx ∃∀↔∀∃ este falsa

p q ┐p p∨ q p∧ q p→q p↔ q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1

13

6)reguli de negatie: ┐ ( ) xxxp ∀≡∃ )( ┐p(x) şi ┐ ( ) xxxp ∃≡∀ )( ┐p(x) 7)legatura intre operatii logice elementare si operatii cu multimi: Daca : :p x A∈ ⇒ ┐ :p x A∉ =>complemenara se obtine prin negatie Daca : AxqpBxqAxp ∈∨⇒∈∈ ::;: sau Bx∈ => reuniunea:

AxxBA ∈=∪ |{ sau }Bx∈ Analog: AxxBA ∈=∩ |{ si }Bx∈ , BxAxBA ∈→∈∀↔⊂ şi BxAxBA ∈↔∈∀↔= 8) Tipuri de teoreme : a)teorema directa : I => C b)teoreme reciproca: C => I c)teorema contrara:¬C =>¬ I d)teorema a reciprocei:¬ I=>¬C Echivalenţa ( ) ( )I C C I→ ⇔ ¬ →¬ Se arata (cu tabele) ca : (I => C) ↔ (┐C =>┐I ) si (C => I ) ↔ (¬ I =>¬C) asadar de multe ori in loc sa aratam I=>C, aratam ca : ¬C =>¬ I 9)Conditii necesare, suficiente a)conditie necesara: pentru ca x=2 e necesar ca: 42 =x , pentru ca 42 =x nu e necesar ca x=2 b)conditie suficienta : pentru ca : 42 =x e suficient ca x=2, pentru ca x=2 nu e suficient ca 42 =x c)conditie necesara si suficienta: pentru ca: Rxx ∈= ,83 e necesar si suficient ca x=2. Obs.1: notam CNS pentru ca ….sau …<=> …..sau….d.d….. Obs.2: orice echivalenta are 2 sensuri: => si <= 10)Metoda reducerii la absurd : E1)se presupune C falsa(concluzia); E2)se foloseste I(ipoteza) si proprietati generale si se obtine contradictie=>presupunerea facuta e falsa=>q.e.d. 11) Regula sumei, regula produsului, principiul lui Dirichlet Regula sumei: Dacă un obiect E se poate alege în m moduri şi alt obiect F în m moduri, alegerea lui E sau F se face în ( )m n+ moduri

14

Regula produsului: Dacă un obiect E se poate alege în m moduri şi dacă după fiecare astfel de alegere, un alt obiect F în se poate alege în m moduri, alegerea perechii ( ),E F se face în ( )m n⋅ moduri

Principiul lui Dirichlet:Dacă în n cutii sunt ( )1n + bile, atunci în cel puţin o cutie sunt cel puţin 2 bile 12)Constructia lui P(k+1) daca stim P(k): E1)inlocuim pe k cu k+1 in P(k) E2)Comparam P(k) cu P(k+1) in functie de :primul element , ultimul element,regula sirului; E3)Adunam ,scadem,inmultim,impartim pe P(k) astfel incat sa porneasca tot de unde porneste P(k+1) si sa se opreasca unde se opreste P(k+1); 13)Metoda inductiei matematice: -se refera la proprietatile unor numere naturale (de obicei atunci cand se observa regula si rezultatul;insa apar …….. E1)P(prima valoare posibila)-adevarata E2)Presupunem P(k) adevarat =>(?) P(k+1) adevarat, unde : P(k):… P(k+1):… E3)Se porneste cu P(k) adevarat ,se construieste P(k+1),se arata ca e adevarata=>P(n) adevarat, Nn∈∀ Obs.:Atunci cand avem egalitati,mai poate fi folosită metoda 2 : “Vreau sa arat ca P(k+1) adevarată, echivalent cu…… echivalentă cu P(k) adevarată, relatia din proprietatea generala.” Insa atunci cand pornim cu P(k+1),este obligatoriu sa folosim “echivalenta” caci eu nu vreau din P(k+1) sa obtin ceva adevarat ,si il citesc invers ,din …=>P(k+1) adevarat. Obs .:Există inducţia cu pasul p N∈ şi are etapele I. Se arată că primele p valori posibile sunt adevărateII. Pp. că ( ) ( ) ( ), 1 ,..., 1P k P k P k p− − + adev şi arătăm că ( )1P k + este adev

15

14)Egalitati demonstrate prin inductie: I ) P(prima valoare posibila) adevarata II) Presupunem P(k) adevarata (?)=>P(k+1) adevarata, unde P(k):… P(k+1):…. Metoda I: Stim P(k)adevarata =>…adevarata apoi adun, scad, inmultesc sau impart astfel incat sa obtin ...))1{( =+kPM s Se arata … ))1(( +kPM d prin calcule. Metoda II: Vreau sa arat P(k+1) adevarata,echivalent cu …. adevarata, echivalent cu…..,echivalent cu…adevarata Deoarece s-au folosit relatii echivalente =>P(k+1) adevarata=>P(n) adevarata Nn∈∀ 15)Inegalitati demonstrate prin inductie I)P(prima valoare posibila) adevarata. II)Presupunem ca P(k) adevarata =>(?)P(k+1) adevarata ,unde :

P(k):… P(k+1):… Stim P(k) adevarata=> apoi adun, scad, inmultesc sau impart astfel incat sa obtin ...))1{( =+kPM s ….. adevarata

..))1{( ≥≤+⇒ kPM s E suficient sa aratam ca…> < ))1(( +kPM d ...... 16)Divizibilitate demonstrata prin inductie I)P(prima valoare posibila) adevarata II)Presupunem P(k)adevarata=>(?)P(k+1) adevarata, unde: P(k):… P(k+1):… Stiu P(k) adevarata.⇒ .......e divzibil cu ciZac ⋅=∈∃⇒ αα ...... =>scoatem cea mai mare putere a lui k in functie de c, o inlocuim in P(k+1) => P(k+1) adevarata =>P(n) adevarata, Nn∈∀ 17)Calculul unor sume prin metoda coeficientilor nedeterminati: E1)se scrie suma ca suma de termen general; E2)se descompune termenul general in fractii simple de numitori cunoscuti si numaratori necunoscutele A,B,C,etc.

16

E3)se aduce dM la acelasi numitor ,egalam termenii liberi , coeficientii lui k ,ai lui 2k ,etc=>sistem; E4)Gasim coeficientii,gasim descompunerea, apoi dam valori lui k=1,k=2,.....Se aduna => S=… Obs. In partea dreapta se reduc unii termeni E5) Se demonstreaza suma prin inductie Obs. Daca vrem inductie, se rescrie suma de termen general sub formă desfasurata pentru a ne fi mai simplu. 18) Calculul unor sume date prin termen general E1) Se descompune termenul general in functie de 2 termeni consecutivi sau il aducem la o forma mai simpla E2) Dam valori lui k, reducem => S= …. E3) Aratam prin inductie rezultatul gasit Obs. Uneori folosim formule cunoscute si redistribuim suma 19)Identitatea lui Botez Catalan

1 1 1 1 1 11 ... ...2 3 2 1 2 2n n n n

− + − − = + + ++ +

Capitolul III

Şiruri de numere reale

1)Moduri de definire a unui şir: a)printr-o regulă de calcul; Exp: 2 1= +na n b)relaţie de recurenţă (se dă un termen în funcţie de cei precedenţi); Ex: 0 2;x = 1 3n nx x+ = + sau 0 1;x = 1 5;x = 2 12 7;n n nx x x+ += + + Obs: ∃ recurenţe de ordinul 1, ordin 2, de ordin 3 etc. 2) Şir mărginit: ∃ m, M ∈ a.î. m≤ nx ≤M . Obs: ∃ şiruri mărginite, inferior dar nemărginite superior, sau invers. Şir nemărginit – este nemărginit la cel puţin un capăt

17

3) Şir monoton: :nx m ↑ 1 ,n nx x+ ≥ n∀ ∈ ;

:nx m ↓ 1 ,n nx x+ ≤ n∀ ∈ ;

:nx s ↑ 1 ,n nx x+ > n∀ ∈ ;

:nx s ↓ 1 ,n nx x+ < n∀ ∈ ;

Obs: monotonia se inţelege exact ca la funcţii, nx m ↑ dacă atunci când creşte indicele, creşte şi valoarea şirului şi m ↓ dacă atunci cand creşte indicele scade valoarea şirului. Obs2: metoda practică de arătare a monotoniei se compară diferenţa 1n na a+ − cu 0 , iar dacă ştim că are doar

termeni pozitivi putem compara şi 1n

n

aa+ cu 1.

4) Definiţia progresiei aritmetice na - progresie aritmetică r⇔∃ ∈ a.î. 1n na a r+ = + .

5) Metode de a demosntra că na este progresie aritmetică met 1: 1 1 2n n na a a− ++ = , n∀ ∈ ; met 2: E1) calculăm 2 1 1a a r− = E2) calculăm 1 2n na a r+ − = E3) dacă 1 2 ,r r n N= ∀ ∈ atunci na este progresie aritmetică, iar dacă

1 2r r≠ atunci na nu este progresie aritmetică 6) Deducerea termenului general al unei progresii aritmetice: ( )1 1 .na a n r= + − ⋅ 7)Deducerea sumei primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice: ( ) ( )11 2 12 2

nn

a n r na a nS

+ − ⋅ ⋅⎡ ⎤+ ⋅ ⎣ ⎦= =

8) Proprietate specifică a termenilor unei progresii aritmetice Daca na progresie aritmetica atunci avem

1 2 1 1...n n p n pa a a a a a− − ++ = + = = + Obs: reciproc nu este adevărat.

18

9) Verificarea dacă un şir e suma unei progresii aritmetice: E1) 1 1;a S= E2) 2 2 1;a S S= − E3)Notăm 1 2 1;r a a= − E4) Calculăm

1;n n na S S −= − E5)Din na găsim 1na + , apoi calculăm 1 2n na a r+ − = Daca 1 2r r= na⇒ este progresie aritmetică; Daca 1 2r r≠ na⇒ nu este progresie aritmetică. 10) Definiţia progresiei geometrice: nb progresie geometrică

0q⇔ ∃ ≠ a.î. 1 .n nb b q−= ⋅ 11) ) Metode de a demonstra că nb este progresie geometrică met 1: 2

1 1 ,n n nb b b− +⋅ = ;n∀ ∈

met 2:E1) calculăm 21

1

b qb=

E2) calculăm 12

n

n

b qb+ =

E3) dacă 1 2 ,q q n N= ∀ ∈ atunci nb este progresie aritmetică, iar dacă 1 2q q≠ atunci nb nu este progresie aritmetică 12) Deducerea termenului general al unei progresii geometrice: 1

1 .nnb b q −= ⋅

13) Proprietate specifică a termenilor Dacă nb este progresie geometrică atunci

1 2 1 3 2 1...n n n p n pb b b b b b b b− − − +⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 14) Deducerea sumei primilor n termeni ai unei progr

geometrice: ( )1

1

1; dacă 1

1; dacă 1

⎧ −⎪ ≠= ⎨ −⎪ = ⋅ =⎩

n

n

n

b qqS q

S b n q

19

15) Verificarea dacă un şir este suma unei progresii geometrice folosim:E1) 1 1;b S= E2) 2 2 1;b S S= −

E3) Notăm 21

1

;bqb

= E4) Calculăm 1;n n nb S S −= −

E5) Din nb găsim 1nb + , apoi calculăm 12

n

n

b qb+ =

Dacă 1 2q q= nb⇒ este progresie geometrică; Dacă 1 2q q≠ nb⇒ nu este progresie geometrică.

16) Calcularea sumelor triunghiulare 2 11 2 3 ... n

nS a a n a −= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ E1) Se scrie suma sub formă triunghiulară

2 1

2 1

2 1

1

1 ...

... ........................................

nn

n

n

n

S a a a

a a aa a

a

−

−

−

−

= + + + + +

+ + + +

+ + ++

+

E2) fiecare rând e de fapt sumă de progresie geometrică

şi vom obţine

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1

2 1

1 1 1 1....

1 1 11 1

1 ... 1 1 1

n n n

n

nnn n

a a a a aS

a a aa

n an a a a a aa a

− −

−

⋅ − ⋅ − ⋅ −= + + + =

− − −⋅ −

⋅ −⋅ − + + + + −=− −

17) Demonstrarea monotoniei unui şir: met 1: se arată că semnul diferenţei 1n na a+ − este acelaşi

met 2: dacă 0,na n> ∀ ∈ se compară 1n

n

aa+ cu 1

met 3: se foloseşte inducţia matematică (la şiruri recurente); E1) Se calculează 2a , se compară 1a cu 2a ; E2) Se consideră propoziţia

20

( ) 1: n nP n a a +< sau 1n na a +> in funcţie de E1); E3) Se demonstrează prin inducţie, preferabil folosind: „Presupunem ( )1P k + adevărat ...⇔ ⇔ adevărat” şi exprimăm şirul cu relaţia de recurenţă. Obs: pentru a arăta că un şir nu este monoton, calculăm caţiva termeni si arătam 1 2 3;x x x< > 1 2 3x x x> < sau orice altă combinaţie. 17) Demonstrarea mărginirii unui şir: met 1: se dau valori, se intuiesc capetele, se arată că

[ ];nx α β∈ prin calcul; met 2: se foloseşte inducţia matematică (la şiruri recurente); E1) Din monotonie 1na a⇒ < sau 1na a> , deci avem un capăt; E2) Celălalt capăt este posibila limită a şirului. Se redactează „posibila limită finită a şirului este l astfel încât:

...l = , de unde obţinem ...l = ”; Obs.: Dacă obţinem o contradicţie atunci limita şirului este ±∞ , căci orice şir monoton are limită, iar faptul că limita este ∞ sau −∞ deducem din monotonie E3) Arătăm prin inducţie propoziţia ( ) : nP n a l< sau na l> , folosind „Presupunem

( )1P k + adevărat ...⇔ ⇔ adevărat” şi exprimând şirul cu relaţia de recurenţa. Obs: dacă nu ştim monotonia şirului, calculăm primele valori, observăm monotonia şi arătăm prin inducţie mărginirea cu primul termen al şirului. Dacă s-a folosit inducţia la monotonie, atunci nu mai este necesară inducţia la acest prim capăt.

21

Capitolul IV Funcţii

1) Definiţia funcţiei : f : A B→ este funcţie ⇔ ∈∀x fD , îi corespunde un unic f ( x ) = y ∈ fCd 2)Moduri de a defini o funcţie : diagrame, tabele sau analitic(prin formulă) 3) Egalitatea a 2 funcţii:

Funcţiile f şi g sunt egale ( ) ( )

f g

f g

f

D = DCd = Cdf x = g x , x D

⎧⎪⎨⎪ ∀ ∈⎩

Obs.: 2 funcţii pot fie gale şi dacă nu au aceeaşi formulă de definiţie 4) numărul de funcţii f : A B→ este ( )cardAcardB 5) Restricţia şi prelungirea unei funcţii: Fie :f A B→ . Dacă ' '/A A f A⊂ ⇒ este restricţia lui f la 'A ( ) ( )'

1 1: ,f A B f x f x⇔ → =

Fie :f A B→ . Dacă ''2A A f⊂ ⇒ este prelungirea lui f la "A

( )( )"

2 2 "

,: ,

...,

⎧ ∈⎪⇔ → = ⎨∈ −⎪⎩

f x x Af A B f x

x A A

Obs: Atât restricţia cât şi prelungirea unei funcţii sunt egale cu funcţia dată pe domeniul comun. 6) Funcţii numerice – sunt funcţii la care atât domeniul cât şi codomeniul sunt submulţimi ale lui R 7) Operaţii elementare cu funcţii a) pentru funcţii fără acolade se fac direct b) pentru funcţii cu acolade , exprimăm funcţii pe axă 8) Graficul unei funcţii este ( ){ }, ( )= ∈f fG x f x x D Obs.: graficul unei funcţii este de fapt o submulţime a produsului cartezian f fD Cd×

22

9) reprezentarea geometrică a graficului 10) imaginea unei mulţimi prin funcţia f, preimaginea unei mulţimi prin funcţia f(imaginea reciprocă) 11) Imaginea unei funcţii ( ){ }Im ff f x x D= ∈ Metode de a determina imaginea unei funcţii a) dacă este funcţie de gradul I definită pe un interval, constrium valorile posibile ale lui ( )f x

b)funcţii cu modul sau pătrate perfecte, folosim x ≥ 0 respectiv (.....)2 ≥ 0. c) pentru funcţii cu acolade, se face tabelul de semne ataşat ⇒ Im f = f(I1) ∪ f(I2) ∪… d) dacă ştim Gf ⇒ Im f = reuniunea segmentelor posibile pentru y 12) deducerea din grafic a a) ,f fD Cd b) Mărginirii lui f c) intersecţia graficului cu axele d) semnul funcţiei e) compararea a 2 funcţii f) simetrizarea în raport cu o dreaptă g) simetrizarea în raport cu un punct h) monotoniei i) caracterizarea punctelor nesituate pe fG 13) Deducerea din graficele a două funcţii a a) simetriei lor faţă de Ox b) simetriei lor faţă de Oy c) simetriei lor faţă de O 14) Funcţii pare, impare a) Df simetric ⇔ ∀ x ∈Df ⇒ -x ∈ Df b) f pară ⇔ Df simetric şi f(-x) = f(x) c) f impară ⇔ Df simetric şi f(-x) = - f(x) Obs.: f pară ⇒Gf simetric faţă de Oy f impară ⇒ Gf simetric faţă de O 15) funcţii periodice, grafic, perioadă principală 16) funcţii particulare a) funcţia constantă

23

b) funcţia identică :f A→A , xxf =)( se noteaza: 1| A :A→A; 1| A ( x ) x= c) funcţia caracteristică 17)Derivata unei functii polinomiale se noteaza ( )'f x se foloseste :

( αx )' = 1−⋅ αα x α ' = 0 ( gf ± )' = ` `f g± 18)Limitele functiei polinomiale -se noteaza

αα

<→

xxlim )(xf respectiv

αα

>→

xxlim )(xf

-se obtin prin inlocuirea lui x cu α Observatie:

−∞→xlim )(xf sau

∞→xlim )(xf se obtin prin calcularea

limitei termenului de grad maxim. 19)Functii injective f injectiva⇔ a) 2121 )()( xxxfxf =⇒= b) fCdy∈∀ ,ecuatia yxf =)( are cel mult o solutie fD∈ c) fCdy∈∀ ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in cel mult un punct Obs. : Dacă arătăm că 0)(, >xf si 0)(, =xf pentru un numar finit de puncte⇒ f strict crescatoare f⇒ injectiva sau dacă arătăm că 0)(, <xf si 0)(, =xf pentru un numar finit de puncte⇒ f strict descrescatoare f⇒ injectiva, însă reciproc nu e adevărat, adică dacă e injectivă nu rezultă că 0)(, >xf si 0)(, =xf pentru un numar finit de puncte sau că 0)(, <xf si 0)(, =xf 20)Functii surjective f surjectiva ⇔ a) fCdy∈∀ , fx D∃ ∈ astfel încât yxf =)( b) fCdy∈∀ ,ecuatia yxf =)( are cel putin o solutie fD∈ c) fCdy∈∀ ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in cel putin un punct

24

Obs. : Dacă arătăm că f elementara (adica functii des intilnite) şi că limitele la capetele fD =capetele fCd , eventual inversate atunci f este surjectivă, însă reciproc nu este adevărat, adică dacă f este surjectivă nu rezultă că limitele la capetele fD =capetele fCd , eventual inversate 21)Funtii bijective f bijectiva⇔ a) f injectiva si surjectiva b) fCdy∈∀ ,ecuatia yxf =)( are exact o solutie fD∈ c) fCdy∈∀ ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in exact un punct Obs. : Se mai poate arăta bijectivitatea şi cu ajutorul lui

)(, xf …..pt. injectivitate şi limite…..pt. surjectivitate 22) Operaţii cu funcţii injective, surjective, bijective a) f,g injective f g⇒ injectivă f,g surjective f g⇒ surjectivă f,g bijective f g⇒ bijectivă b) f g injectivă ⇒ g injectivă f g surjectivă ⇒ f surjectivă f g bijectivă ⇒ g injectivă şi f surjectivă 23)Inversa unei functii

:f A B→ admite inversă ⇔ :g B A∃ → astfel încât 1Ag f = şi 1Bf g =

Obs. : :f A B→ admite inversă⇔ f este bijectivă Obs. : Determinarea inversei se face astfel : E1 )Se arata ca f bijectiva ,notand yxf =)( .....=⇒ x in functie de y Observatia 1:Daca nu exista x sau daca x nu e unic⇒ f nu e bijectiva⇒nu exista )(1 xf − E 2 ) notam ....)(1 =− yf in functie de y, revenim la notatie

)(1 xf − .....= in functie de x

25

Observatia 2:Daca :f A→B ⇒ :1−f B→A, inclusiv la functii cu ramuri (la care se discuta tabelul) Obs 3:G f si G 1−f sunt simetrice fata de prima bisectoare

24)Functii cu acolade exprimate in tabele E1 )se face tabel de tipul

E 2 ) lim ( ) ....

xf x

→−∞= , lim ( ) ....

xx

f xαα→<

= ,

( ) ...f α = , lim ( ) ....x

f x→∞

=

25)Studierea bijectivitatii unei functii date prin acolade E1 )se face tabelul atasat functiei E 2 )Se folosesc definitiile: a) f injectiva⇔ 2,1 ff injective si φ=∩ )()( 21 IfIf b) f surjectiva⇔ 2,1 ff surjective si fCdIfIf =∪ )()( 21 c) f bijectiva⇔ f injectiva si surjectiva 26) Monotonia funcţiilor f monoton crescatoare ( f ) )()( 2121 xfxfxx ≤⇒<∀⇔ f monoton descrescatoare( f ) )()( 2121 xfxfxx ≥⇒<∀⇔ f strict crescatoare ( sf ) )()( 2121 xfxfxx <⇒<∀⇔ f strict descrescatoare ( sf ) )()( 2121 xfxfxx >⇒<∀⇔

27) Metode de a demonstra monotonia funcţiilo Obs 1:In probleme pornim cu 21 xx < , calculam )()( 21 xfxf − si-l comparam cu 0. Obs 2:Daca '( ) 0f x ≥ si '( ) 0f x = pe o multime finita ⇒ sf Daca '( ) 0f x ≤ si '( ) 0f x = pe multime finita sf

26

Observatia 3:Pentru functii cu acolade trebuie sa fie de aceeasi monotonie si 1f si 2f , iar )()( 21 αα ff ≤ pentru 1f , 2f şi

)()( 21 αα ff ≥ pentru 1f , 2f 28) operaţii cu funcţii monotone

) ; s s s sa f f f f↑⇒ − ↓ ↓⇒ − ↑

( )). , s sb f g f g↑⇒ + ↑ şi ( ), s s

f g f g↓⇒ + ↓

)c f bijectivă , 1s sf f −↑⇒ ↑

f bijectiva, 1s sf f −↓⇒ ↓

Obs. : f si g au aceeasi monotonie gf⇒ f si g au monotonii diferite gf⇒

29) Raport de variaţie R (x1, x2) = 21

21 )()(xx

xfxf−−

Obs. Se mai numeşte rata creşterii (descreşterii ) 30) Funcţii mărginite, valori extreme ale unei funcţii 31) Definiţia unui interval de forma [ ],a b

[ ] ( ){, 1 ,a b t a t b= ⋅ + − ⋅ unde [ ]}0,1t∈

Obs: Atunci când t parcurge intervalul [ ]0,1 , valoarea

( )1t a t b⋅ + − ⋅ formează intervalul [ ],a b . 32) Definiţia convexităţii lui f f convexă pe I ⇔ f(valoare din [ ]1 2;x x )≤ segmentul ( ) ( )1 2;f x f x⎡ ⎤⎣ ⎦

⇔ oricare ar fi [ ]0;1t∈ , oricare ar fi 1 2, fx x D∈

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f t x t x t f x t f x⇒ ⋅ + − ⋅ ≤ ⋅ + − ⋅

Obs: Întotdeauna fG pentru [ ]1 2;x x x∈ este sub coarda

( ) ( )1 2;f x f x⎡ ⎤⎣ ⎦

27

Definiţia concavităţii lui f f concavă pe I ⇔ f (valoare din [ ]1 2;x x )≥ segmentul ( ) ( )1 2;f x f x⎡ ⎤⎣ ⎦

⇔ oricare ar fi t [ ]0;1∈ , oricare ar fi 1 2, fx x D∈ ⇒

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f t x t x t f x t f x⋅ + − ⋅ ≥ ⋅ + − ⋅

Obs: Întotdeauna fG pentru [ ]1 2;x x x∈ este deasupra coardei

( ) ( )1 2;f x f x⎡ ⎤⎣ ⎦

Obs2: uneori notăm 1 2,1t q t q= − = ⇒ f convexă ⇔ oricare ar fi 1q , 2q cu 1q 2q+ 1= si oricare ar fi ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, fx x D f q x q x q f x q f x∈ ⇒ ⋅ + ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ f concavă ⇔ oricare ar fi 1 2,q q cu 1 2 1q q+ = şi oricare ar fi ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, fx x D f q x q x q f x q f x∈ ⇒ ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ 33) Inegalitatea lui Jensen f convexă ⇔ iq∀ ∈ cu

( )1 1 1

1n n n

i i i i ii i i

q f q x q f x= = =

⎛ ⎞= ⇒ ⋅ ≤ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

f concavă ⇔ oricare ar fi iq cu ( )1 1 1

1n n n

i i i i ii i i

q f q x q f x= = =

⎛ ⎞= ⇒ ⋅ ≥ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

34) Proprietăţi ale funcţiilor convexe (concave) a) f convexă şi 0 fα α> ⇒ ⋅ convexă f convexă şi 0 fα α< ⇒ ⋅ concavă f concavă şi 0 fα α> ⇒ ⋅ concavă f concavă şi 0 fα α< ⇒ ⋅ convexă

b) if convexe 1

n

ii

f=

⇒∑ convexă

if concave 1

n

ii

f=

⇒∑ concavă

28

c) 1f convexa si s f concava si s−↑⇒ ↑ 1f convexa si s f convexa si s−↓⇒ ↓

1f concava si s f convexa si s−↑⇒ ↑ 1f concava si s f concava si s−↓⇒ ↓

35) compunerea functiilor – se poate realiza doar daca 1 2f fCd D=

Exemplu: f :A→B ∃ ⇔fg B=C ⇒ g :C→D ∃ f ⇔g A=D a)functii fara acolade ( f g )( x )= =))(( xgf (....)f si inlocuim in f pe x cu ...... b)functii cu acolade:

( f g )( x )= =))(( xgf⎩⎨⎧

...)....,()),((...)....,()),((

22

11

xxgxgfxxgxgf

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

2222

1221

2112

1111

..,,)...()),((..,,)....()),((..,,)....()),((..,,)....()),((

fiaxsixgxgffiaxsixgxgffiaxsixgxgffiaxsixgxgf

E1 )( f g )( x )= ))(( xgf E 2 )Se inlocuieste g ( x ) cu cele 2 ramuri, )(1 xg daca

≥≤,x ,<,>….sau )(2 xg , x ><≥≤ ,,, ….. E 3 ) ))(( 1 xgf se reimparte, insa aici argumentul nu este x , ci expresia lui )(1 xg ,deci la conditii apare expresia lui

)(1 xg ><≥≤ ,,, ….,analog pentru ))(( 2 xgf E 4 )se intersecteaza intervalele in fiecare caz ,se elimina liniile unde obtinem φ Observatia 1: f 1| A f= si 1| A fff ∀= , functie Observatia 2: ,, ’’ functiilor este asociativa, nu este comutativa

29

36)Proprietăţi ale compunerii funcţiilor a)e asociativitivă b)nu e comutativă c) are element neutru pe funcţia identică (doar dacă f fD Cd= d) o funcţie are simetric referitor la compunere doar dacă acea funcţie e bijectivă e) f, g pare f g⇒ pară f) f, g impare f g⇒ impară g) f, g au parităţi diferite f g⇒ pară

( )). , s sh f g f g↑⇒ ↑ şi ( ), s s

f g f g↓⇒ ↑

( ) ( )). ,s s s si f g f g şi g f↑ ↓⇒ ↓ ↓

Capitolul V

Funcţia de gradul I şi funcţia de gradul II

1)Funcţie afină ( )f x ax b= + Obs. 0a ≠ ⇒ funcţie de gradul I 0a = ⇒ funcţie constantă 0, 0a b≠ = ⇒ funcţie liniară 2) Trasarea Gf , f(x) = ax + b, a≠ 0 a) Df = IR, interval, se iau 2 puncte, se unesc şi Gf conţine doar x

∈ Df b) Df ={..... }.... , N , Z ⇒ Gf este format din puncte izolate care nu

se unesc 3)Deducerea monotoniei funcţiei de gradul I 4) Deducerea din grafic a semnului funcţiei de gradul I Practic, folosim 0, 0ax b a+ = ≠ Etapa 1) se rezolva ecuatia ⇒ x = …….. Etapa 2) se alege x corespunzator din tabelul :

x x 0 ax + b ( )sgn a− 0 ( )sgn a

unde ( )sgn a înseamnă “semnul lui a”

30

5) Inecuaţii de gradul I, rezolvare directă şi rezolvare cu table de semen ataşat

6) semnul expresiilor de tipul ( )( )

f xg x

, unde ,f g sunt produse de

factori de gradul I 7) sisteme de inecuaţii de gradul I 8) ecuaţii cu parte întreagă [ ])(xf = g(x) Etapa 1) notam [ ])(xf = k ∈ Z⇒ g(x) = k Etapa 2) g(x) = k ⇒ x = …… in functie de k Etapa 3) [ ])(xf ≤ f(x) < [ ])(xf + 1⇒ k ≤ f(x) < k+1 Etapa 4) inlocuim x in Etapa 2) ⇒ inecuatie cu k Etapa 5) se aleg din intervalul de solutii doar valorile intregi 9) explicitarea minimului mai multor expresii de gradul I, deducerea directă a graficului 10) Rezolvarea grafică a unui sistem de inecuaţii 11) definiţia funcţiei de gradul al doilea

:f →R R , f(x) = ax2 + bx + c , a≠ 0 12)Trasarea Gf, f(x) = ax2 + bx + c , a≠ 0 E1) a > 0 ⇒ f are minim, şi fG va fi parabolă cu ramurile în sus a < 0 ⇒ f are maxim, şi fG va fi parabolă cu ramurile în jos E2) ∩OY : x = 0 ⇒ f(0) =…⇒ A (0;..)∈ Gf

∩OX: f(x) = 0 daca 0>Δ ⇒B (x1,0),C(x2,0) ∈ Gf 0=Δ ⇒B (x1,0) ∈ Gf

0<Δ ⇒Gf Ox∩

E3) vârful V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−−

aab

4;

2

13) Studierea monotoniei, determinarea punctului minim

(maxim) Pentru a > 0 ⇒ f s ↓ pe ;2

ba−⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

si fs ↑ ,2

ba−⎡ ⎞∞⎟⎢⎣ ⎠

;

Pentru a < 0 ⇒ f s ↑ pe ;2

ba−⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

si fs ↓ ,2

ba−⎡ ⎞∞⎟⎢⎣ ⎠

31

Obs: a > 0⇒ f are minim egal cu a4Δ− , se atinge pentru x =

ab

2− , iar

pentru a < 0 f are maxim egal cu a4Δ− , se atinge pentru x =

ab

2− ,

14) Forma canonică a funcţiei de gradul II 2

( )2 4bf x a xa a

−Δ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Obs.:Poate dedusă prin formarea pătratului perfect 15) Deducerea semnului funcţiei de gradul II, deducerea tabelului de semne Practic, folosim: 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠

Etapa 1) se rezolva ecuatia ⇒ 1,2 2bx

a− ± Δ

= unde 2 4b acΔ = −

Etapa 2) se alege linia corespunzatoare cazului nostru din tabelul x x 1 x1 = x 2 x 2 Δ>0 ( )sgn a 0 ( )sgn a− 0 ( )sgn a Δ=0 ( )sgn a 0 ( )sgn a Δ<0 ( )sgn a Observatie : Intre radacini e „− semnul lui a ” pentru Δ>0 , deci cand Δ=0 ( respectiv Δ<0) nu are unde sa fie „− semnul lui a” 16) Inecuaţii de gradul II

17) Inecuatii cu fractii de tipul )()(

xQxP > 0 sau

)()(

xQxP < 0

Etapa 1) se descompune numaratorul si numitorul in produs de factori de gradul I sau de gradul II ( Nu se simplifica ) Etapa 2) se face tabel de semne , fiecare linie continand unul din factori, se separa zimtat numaratorul de numitor

Etapa 3)ultima linie se completea folosind :α0 = 0;

0α = / ;

00 = /

si regula semnelor ; Etapa 4) se alege x corespunzator , daca avem ≤ respectiv ≥ , se ia inchis in valoarea corespunzatoare lui 0 si deschis unde este / , iar

32

pentru < respectiv > se iau doar intervale deschise

Obs : )()(

xQxP < α ⇒ ( ) 0

( )P xQ x

α− < se aduce la acelasi numitor

18) Schema lui Horner - da catul si restul impartirii unui polinom la polinoame de tipul X- α ( respectiv X + α ) ; Etapa 1) se face tabel de tipul

Etapa 2) Linia a III-a se completeaza astfel : primul coeficient se copiaza , se inmulteste cu rezultatul , se aduna in diagonala ; Etapa 3) ultimul rezultat este restul , iar celelalte sunt coeficientii catului , de grad cu 1 mai mic decat impartitorul ; 19)Ecuatii de grad superior ( gradul >2)

Etapa 1) se calculeaza D=dominantcoeficient

liber D

termenD ; unde D este

divizorEtapa 2) se face schema lui Horner pentru x - α , unde α este divizor , pana obtinem restul 0 , celelalte linii se taie.Etapa 3) se scrie proba impartirii : Deimpartit = Impartitor · Cat + RestEtapa 4) Restul =0 ⇒ Ecuatia devine (x - α )· (……….) =0 ⇒ x = α sau…………=0 Observatie : Daca cea de-a doua paranteza are gradul mai mare decat 2 , o descompunem din nou cu Horner,

20)Calcularea expresiilor de tipul E = 33 baba −±+ E1)folosim )(3)( 333 yxxyyxyx +++=+ sau

3 3 3( ) 3 ( )x y x y xy x y− = − − − , iar in loc de x y+ , respectiv de x y− punem xyNyxNN 3333 ++=⇒ respectiv

3 3 3 3N x y xyN= − −

Puterile lui x in ordine descrescatoare

Coeficientii corespunzatori α ( pt x - α) - α (pt x + α)

33

21)Sisteme de inecuatii Etapa 1) se rezolva fiecare inecuatie ⇒ I 1 , I 2 ,……… Etapa 2) se intersecteaza intervalele 22) Ecuaţii cu module Etapa 1) se egaleaza cantitatea din fiecare modul cu 0 Etapa 2) se face tabelul de semne

Etapa 3) se discuta pe cazuri, se alege solutia care este in cazul respectiv Etapa 4) se reunesc solutiile obţinute la fiecare caz 23)Inecuatii cu module Etapa 1) Se egaleaza ecuatia din fiecare modul cu 0 Etapa 2 ) Se face tabelul de semne , se discuta pe cazuri Etapa 3) se intersecteaza solutiile de la fiecare caz cu intervalul in care ne situam Etapa 4) se reunesc intervalele finale de la fiecare caz 24) Imaginea funcţiei de gradul al doilea

Funcţii de tipul f(x) = ax2 + bx + c sau fexdxcbxaxxf

++++

= 2

2

)(

E1) notăm f(x) = y ⇒ x 2 (…..) + x (….) + …..= 0 E2) x ∈R ⇒ Δx ≥ 0 ⇒ y ∈ I ⇒ I = Im f 25) Determinarea locului geometric pentru vârfurile unei familii de parabole

E1) Scriem coordonatele vârfurilor xv = ab

2− yv =

a4Δ−

Cantitatea I modul

Semne corespunzatoare

Cantitatea II modul

Semne corespunzatoare

Cantitatea I modul

Semne corespunzatoare

Cantitatea II modul

Semne corespunzatoare

34

E2 ) Se găseşte m din cea mai simplă, se înlocuieşte în cealaltă. E3) Se obţine o relaţie între xv şi yv care nu depinde de m ⇒ acea relaţie este locul geometric căutat. E4) Se transpune locul geometric în figura corespunzătoare. 26). Determinarea punctelor fixe pentru o familie de parabole E1) notăm f (x) = y, ordonăm în funcţie de m E2 ) obţinem m (…….) + … = 0 ⇒ (……..) = 0 ……... = 0 E3 ) se rezolvă sistemul ⇒ x = ….. y = ….., aceste puncte sunt puncte fixe cerute 27)Relatiile lui Viete

Pentru ecuatia ax 2 + bx + c = 0 ⇒ S = –ab iar P =

ac ;

28)Determinarea directa a radacinilor folosind Viete – se aplica doar daca a=1 si daca radacinile sunt intregi

Etapa 1) se scrie S = - ab , P =

ac ;

Etapa 2) se gasesc combinatiile de 2 numere x1 si x 2 astfel incat

x1 ·x 2 = ac , se aleg cele pentru care x1 + x 2 = -

ab

29)Determinarea ecuatiei daca se stiu radacinile x 1 , x 2 ; Etapa 1) se calculeaza S = x1 + x 2 , P= x1 ·x 2 Etapa 2) Ecuatia este : m(x 2 - S·x + P) = 0 , m≠ 0 30)Formarea ecuatiei in y daca stim ecuatia in x si relatie intre radacini (fara a o rezolva) Met 1 Etapa 1) ecuatia in y este m(y 2 - S y ·y + P y ) =0, m≠ 0 Etapa 2) se calculeaza S y = y1 + y 2 si P y = y 1 ·y 2 in functie de S x si P x Met 2 : Gasim y 1 doar in functie de x1 , y 2 in functie de x 2 de unde rezulta y in functie de x , ⇒x in functie de y ⇒ inlocuim ⇒m(…) = 0

35

31) Relatie independenta de m intre radacini

E1) Se scrie ;,abS

acP −==

E2) Se scoate m din cea mai simpla, se inlocuieset in cealalta; E3) Se obtine o relatie intre S si P fara m, se inlocuieste S cu

21 xx + , P cu 1 2x x⋅ ⇒ solutia ceruta. 32) Intervalul in care variaza radacinile unei ecuatii − se poate gasi doar daca apare 2m ; E1) Se formeaza o ecuarie de gradul II in m; E2) ℑ∈⇒≥Δ⇒ℜ∈ xm m 0 ; E3) ℑ este intervalul cerut. 33) Descompunerea polinomului de gradul II in factori:

cbxaxf ++= 2 ( )( )210 xxxxaf −−=⇒>Δ ( )2

10 xxaf −=⇒=Δ f⇒<Δ 0 ireductibil

34) Calcularea unei expresii simetrice referitoare la radacini E1) 1 radacinax ⇒ verifica ecuatia 2

1 ..x⇒ = in functie de 1x E2) Daca se cer puteri mai mari ale lui 21 , xx se inmulteste relatia cu

211, xx , etc si se inlocuiesc recursiv

E3) Se obtine doar o relatie intre puteri de gradul I ale lui 1x respectiv 2x E4) Se folosesc relatiile lui Viete 35) Conditia ca doua ecuatii de gradul II sa aiba:

a) aceleasi radacini: cc

bb

aa

′=

′=

′

b) radacini respectiv inverse ac

bb

ca

′=

′=

′

(adica dacă prima are radacini pe 21 , xx cea de-a doua sa aiba pe

13

1x

x = , respectiv 2

41x

x = )

36

Obs. Formulele sunt valabile dacă toţi coeficienţii sunt nenuli, dacă 0b = sau 0c = atunci şi numitorului corespunzător trebuie să îi

impunem condiţia să fie 0 36) Conditia ca 2 ecuatii de gradul II sa aiba o radacina comuna: ( ) ( )( )cbcbbabacaca ′−′′−′=′−′ 2 Observatie: Pentru a gasi radacina comuna, o determinam inlocuind parametrul gasind mai sus si rezolvand cele doua ecuatii. 37) Determinarea lui m daca stim o relatie doar intre radacini E1) Se prelucreaza relatia, se obtine o relatie doar intre S si P E2) Se folosesc formulele:

( )

2 2 2 3 3 31 2 1 2

24 4 2 2 21 2 1 2

2 3

2 2 4

x x S P x x S PS

x x S P P x x S P

+ = − + = −

+ = − − − = −

Observatie: toate aceste formule se pot deduce; E3) Se obtine o ecuatie in m care se rezolva. 38) Sisteme formate dintr-o ecuatie de grad I si una de grad II: E1) Gasim x sau y din ecuatia de grad I E2) Inlocuim in cealalta, o rezolvam E3) Revenim la substitutie 39) Sisteme simetrice - ecuatia simetrica: schimband x cu y ecuatia este aceeasi E1) se folosesc formulele:

P2Sxx 222

21 −=+ PS3Sxx 33

231 −=+

22242

41 P2)P2S(xx −−=+ 22

21 P4Sxx −=− E2) se obtine un sistem cu S si P, se obtine S=...; P=… E3) se formeaza ecuatia de grad II : 0PStt2 =+−

⇒ytxt

2

1

==

sau xtyt

2

1

==

Obs.: orice sistem simetric ce are solutia (α,β) are si solutia (β,α) 40) Sisteme omogene: toti termenii au acelasi grad ca neconoscutele generale E1) notam y=tx , inlocuim in ambele ecuatii, dam factor comun

...(....)x... =

37

E2) daca vreuna din cele 2 ecuatii are termenul liber 0 ⇒ x=0 sau (….)=0 ⇒ t=… Daca ambii termeni liberi sunt diferite de 0 , impartim cele 2 ecuatii , simplificam ...x ⇒ t =… E3) Caz I: ...t1 = ⇒ y=…x, inlocuim in cea mai simpla ecuatie ⇒ solutiile Caz II: ...t 2 = , etc 41) Discutia naturii si semnului radacinilor ecuatiei de gradul II (fara a se rezolva ecuatia) Natura radacinilor: ℜ∉ℜ∈ sauxx 21,

E1) Se calculeaza ;,,42

abS

acPacb −==−=Δ

E2) Se gaseste semnul lui Δ,P,S cu eventuale tabele separate; E3) Se face tabelul de semne:

E4) Se face tabelul final de tipul:

m Δ P S

Δ P S Discutie ( )∞∞−∈ ;m

+ + + 0,0,,, 212121 >>≠ℜ∈ xxxxxx

α=m + + − 0,0,,, 212121 <<≠ℜ∈ xxxxxx ( )βα ,∈m + − 0

21212121 ,0,0,,, xxxxxxxx =><≠ℜ∈ β=m + − − 21212121 ,0,0,,, xxxxxxxx >><≠ℜ∈ ( )γβ ,∈m + − +

21212121 ,0,0,,, xxxxxxxx <><≠ℜ∈ γ=m 0 + − 0,0,,, 212121 <<=ℜ∈ xxxxxx ( )δγ ,∈m − … … ℜ∉21, xx ( )εδ ,∈m + \ \ Se inlocuieste m in ecuatie ⇒ ecuatia

devine…⇒x=…

38

Obs. Uneori este indicată încă o coloană de comentarii în care efectiv se situează rădăcinile faţă de 0 pe axă pentru a ne fi mai uşor să completăm coloana de discuţii 42) Situarea rădăcinilor unei ecuaţii faţă de parametrii reali, parametrii notaţi cu α , β , χ E1)Se scriu relaţiile sub formaα < x1 < β < x2 < χ (eventual≤ ) E2) Se fac axele de coordonate , se situează numerele α , β , χ , se face Gf cu ramurile în sus (deci a > 0) deoarece condiţiile vor fi acelaşi

E3) Se pun condiţii de tip: ( .)

2

a f nrba

⎧⎪ Δ⎪

⋅⎨⎪⎪ −⎩

E4) Se rezolvă fiecare condiţie , se intersectează intervalele. Obs.1: condiţii de tip Δ Δ > 0 dacă rădăcinile sunt distincte (sau apare cuvântul “ambele”) Δ ≥ 0 dacă rădăcinile pot fi egale Δ < 0 dacă f nu are rădăcinile reale (sau dacă f păstrează semn constant) Obs.2: condiţii de tip a⋅f (nr.) Găsim semnul lui f (nr.), deci semnul lui a⋅f (nr.) va fi acelaşi

Obs.: Dacă vreo rădăcină poate fi unul din numere, se pune

a⋅f (nr.) respectiv a⋅f (nr.)≥ 0

Obs. 3 : condiţii de tip 2

ba− . Se pun doar pentru numere din afara

rădăcinilor şi aceste condiţii sunt xv < număr ⇔ 2

ba− < număr

sau xv > număr ⇔2

ba− > număr

39

43)Condiţia ca o ecuaţie de gradul II să aibă două rădăcini din

care una în intervalul (α , β ) este ( ) ( ) 0f fα β⋅ <

Obs.:nu apare condiţie deΔdeoarece f (α )⋅f ( β )< 0⇒ f (α ) şi

f ( β ) au semne diferite , deci ∃ o rădăcină∈(α , β );

44)Condiţia ca o funcţie de gradul II să păstreze semn constant

pe R

a) f(x) > 0, ∀ x ∈ R

⇒ a > 0

Δ < 0

b) f(x) < 0, ∀ x ∈ R

⇒ a < 0

Δ < 0

c) f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R

⇒ a > 0

Δ ≤ 0

d) f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R

⇒ a < 0

Δ ≤ 0 45) Condiţii pentru ca o funcţie să păstreze semn constant dacă variabila este comparată cu 0 a) Determinarea lui m astfel incat f(x)>0 ∀ x>0

a>0

<0⎧⎨Δ⎩

sau

a>0 0

a f(0) 0

02ba

⎧⎪ Δ ≥⎪⎪

⋅ ≥⎨⎪⎪ − ≤⎪⎩

40

b)m =? astfel incat f(x)>0 , ∀ x<0

a>0<0

⎧⎨Δ⎩

sau

a>0 0

a f(0) 0

02ba

⎧⎪ Δ ≥⎪⎪

⋅ ≥⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩

c) m = ? astfel incat f(x)<0 ∀ x > 0

a<0<0

⎧⎨Δ⎩

sau

a<0 0

a f(0) 0

02ba

⎧⎪ Δ ≥⎪⎪

⋅ ≥⎨⎪⎪ − ≤⎪⎩

d) m = ? astfel incat f(x)< 0 oricare ar fi x<0

a<0<0

⎧⎨Δ⎩

sau

a<0 0

a f(0) 0

02ba

⎧⎪ Δ ≥⎪⎪

⋅ ≥⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩

CAPITOLUL V

Paralelism si calculul vectorial 1.Linii importante in triunghi definitie,punct de intersectie,proprietati: a)mediana-uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse,se intersecteaza in G - centru de greutate situat la 1/3 din baza si 2/3 din varf b)inaltimea-perpendiculara din varf pe latura opusa,se intersecteaza in H-ortocentru (poate pica in afara triunghiului)

41

c)bisectoarea-imparte unghiul in doua parti egale,se intersecteaza in I-centrul cercului inscris d)mediatoarea-perpendiculara pe mijlocul laturii,se intersecteaza in O-centrul cercului circumscris(poate sa nu treaca prin varf) e)linia mijlocie-uneste mijloacele a doua laturi, e paralela cu a treia si este egala cu ½ din baza 2.Vector-orice reprezentant al mutimii segmentelor orientate paralel de acelasi sens si lungime Obs.:Vectorul este diferit de segmentul orientat Se noteaza, vAB = iar segmentul orientat AB respectiv v , desi in unele probleme se confunda 3.Egalitatea a doi vectori: CDAB = daca si numai daca AB,CD au acelasi sens ,aceeasi directie si aceeasi lungime 4.Suma a doi vectori-fortele care dau rezultanta, sunt de tipurile: a)coliniari,acelasi sens b)coliniari,sens opus c)necoliniari-regula triunghiului (regula poligonului) -regula paralelogramului Obs.2: BAAB −= Exp:

a) A B C ACBCAB =+ b) A B M C CMCBAB =+ se anuleaza

partea comuna c) A

B C

B d) C A D

42

5.Produsul unui vector cu un numar real: mareste sau micsoreaza, schimba sau pastreaza sensul

6. AM mediana in triunghiul ABC ( )ACABAM +=⇔21

7.Cu vu, si w se poate construi un triunghi daca si numai daca

0=++ wvu sau una din permuitărle circulare u v w= + este adevărată

8. vuvu +≤+ si vuvu +=+ daca si numai daca u si

v sunt coliniari si au acelasi sens 9.u si v coliniari-daca si numai daca ∃ k∈R astfel incat vku ⋅= Obs.: AB si CD coliniari de acelasi sens daca si numai daca

CDCDABAB ⋅=

AB si CD coliniari de sens opus daca si numai daca

CDCDABAB ⋅−=

10)Condiţie de coliniaritate , , coliniareA B C , ,a b c R⇔ ∃ ∈ astfel încât 0,aMA bMB cMC M+ + = ∀ un punct din plan 13.Descompunerea unui vector dupa doi vectori dati, necoliniari: Fie vu, necoliniari fixati

RPw ∈∃∈∀⇒ βα ,, astfel incat vuw βα +=

Spunem ca ( )vu, alcatuiesc o baza in P daca si numai daca

vu, necoliniari

Obs.: wPw ,∈∀ e poate descompune in baza ( )vu, sub forma

vuw βα += ,iar ( )βα , sunt componentele vectorului w in

baza ( )vu,

43

14) Condiţie de coliniaritate în funcţie de coordonate 2 vectori sunt coliniari dacă şi numai dacă au coordonatele proporţionale 15.Impartirea unui segment intr-un raport dat

Daca MCBM k= ∀⇒ A exterior avem AC

kkAB

kAM ⋅

++⋅

+=

111

Obs. Relaţia e adevărată nu doar dacă A este exterior

16.ABCD paralelogram-daca si numai daca DCAB = sau ∀M

∈ ⇒P MDMBMCMA +=+ 17.G-centru de greutate pentru ABC daca si numai daca

a) 0=++ GCGBGA sau

b) MGMCMBMAPM 3=++⇒∈∀

18.In orice triunghi ABC, OHOCOBOA =++ si

HGHCHBHA 3=++ , unde O-centrul cercului circumscris,H-ortocentru in G-centru de greutate Obs. : Uşor se arată că 2HA HB HC HO+ + = de unde punctele

, ,H O G sunt coliniare 19. Vector de poziţie al unui punct Fie O un punct fix...numit pol şi M un punct oarecare al planului, vectorul de poziţie al punctului M este MOM r= Obs. : Vectorul de poziţie e unic 20. Exprimarea unui vector în funcţie de vectorii de poziţie ai capetelor segmentelor B AAB r r= − 21 .Vectorul de poziţie al unui punct ce împarte un segment într-un raport dat Dacă AB este un segment şi M un punct interior astfel încât AM kMB

= atunci 11 1

M A Bkr r r

k k= +

+ +

Obs. Uneori relaţia se foloseşte sub forma ( ) ( )1 , 0,1M A Br mr m r m= + − ∈

44

22 . Condiţia de paralelogram ABCD paralelogram A C B Dr r r r⇔ + = + 23.Condiţia de coliniaritate a 3 puncte Punctele A, B şi M sunt coliniare M A Br r rα β⇔ = + , unde

, , 1Rα β α β∈ + = 24. Condiţia de concurenţă a 3 segmente Găsim un punct care le împarte în acelaşi segment, adică pentru care vectorul de poziţie are aceeaşi exprimare 25. Vectorul de poziţie al punctelor importante într-un triunghi

( )13

G A B Cr r r r= + + se poate generaliza pentru oricâte puncte

H A B Cr r r r= + + , unde polul este O-centrul cercului circumscris A B C

Ia r b r c rr

a b c⋅ + ⋅ + ⋅

=+ +

( )12

O A B Cr r r r= + + , unde polul este H- ortocentrul triunghiului

26 . Teorema lui Thales

În ABCΔ avem MN este paralelă cu dreapta BC AM ANMB NC

⇔ =

27.Teorema lui Menelaos: Fie triunghiul ABC si BCAACBABC ∈∈∈ ''' ,, . Atunci: ''' ,, CBA sunt coliniare

daca si numai daca 1'

'

'

'

'

'

=⋅⋅ACBC

BACA

CBAB

28) Teorema Lui Van Aubel: Fie triunghiul ABC şi trei ceviene concurente în punctul P. Atunci are loc relaţia:

' '' ' '

AC AB APC B B C PA

+ =

29 Teorema lui Ceva: Fie triunghiul ABC si BCAACBABC ∈∈∈ ''' ,, .Atunci ''' ,, CCBBAA

concurente daca si numai daca 1'

'

'

'

'

'

−=⋅⋅BC

AC

AB

CB

CA

BA

45

Obs.:Teorema lui Menelaos se foloseste pentru a arata coliniaritatea unor puncte, iar Teorema lui Ceva pentru concurenta unor drepte. 30)Teorema bisectoarei:

AM bisectoare daca si numai daca MCBM

ACAB

=

Obs.: Raportul a doi vectori coliniari de acelasi sens este egal cu raportul lungimilor segmentelor 31) Demonstrarea concurenţei medianelor 32) Demonstrarea concurenţei mediatoarelor 33) Demonstrarea concurenţei înălţimilor 34) Reper cartezian Doua axe de coordonate perpendiculare,axa absciselor ( )iOx → si axa ordonatelor ( )jOy →

Versor: ji, ,au lungimea 1 Obs.1: 0=⇒∈ MyOxM 0=⇒∈ MxOyM 35.Distanta intre doua puncte(lungimea unui segment)

( ) ( )221

22121 yyxxMM −+−=

36.Coordonatele unui vector ⇒+= jyixu coordonatele ( )yx,

( ) ( ) ⇒−+−= jyyixxAB ABAB coordonatele ( )ABAB yyxx −− ; 37.Operatii cu vectori dati prin coordonate ( ) ( ) jyyixxuu 212121 +++=+

jyixu ααα +=

38. 21,uu coliniari2

1

uu

⇔ constant sau2

1

2

1

yy

xx

= (pt. Oxy)

39.Conditii de paralelism şi perpendicularitate

0,|| 12212

1

2

12121 =−⇔=⇔⇔ yxyx

yy

xxcoliniariuuuu

1 2 1 2 0u v x x y y⊥ ⇔ + =

46

40.Coordonatele punctelor:

a)mijlocul M al unui segment ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

2

221

21

yyy

xxx

M

M

b)centrul de greutate:3

321 xxxxG

++=

3

321 yyyyG

++=

c)punctul ce imparte 21MM in raportul MCBMk =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++

=

++

=

kkyy

ykkxx

x

CBM

CBM

1

1

Capitolul VI

Elemente de trigonometrie 1) Proprietăţi în triunghiul dreptunghic cu m(A) = 90º

∆ ABC drept < = > 2

BCAM = , AM – mediana

T. lui Pitagora ∆ ABC drept < = > 222 ACABBC += T. catetei ∆ ABC drept < = > 2AB BC BD= ⋅ , unde BD este proiecţia catetei AB pe ipotenuză T. înălţimii ∆ ABC drept < = > 2AD BD CD= ⋅ Centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei Raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză Ortocentrul este intersecţia înălţimilor Valori ale funcţiilor trigonometrice

.sin cat opip

= ; ipalatcat.cos = ;

alatcatopcattg

..

= ; opcat

alatcatctg.

.= ;

47

secanta unui unghi 1seccos

BB

= ,

cosecanta unui unghi 1cosecBsin B

=

( )sin 90 cosx x− = , ( )cos 90 sinx x− = 2) Transformarea din grade in radiani si invers se foloseşte regula de 3 simplă 180 ........................................π ..........................................xα Dacă se ştie α se găseşte x, şi dacă se ştie x se găseşte α 3) Rezolvarea triunghiului dreptunghic – gasirea tuturor elementelor daca stim doua dintre ele. Sunt cazurile: a)(I; C) b)(I; U) c)(C; Ualaturat) d)(C; Uopus) e)(C; C)

4) Tabelul trigonometric 0 30 45 60 90 sin 0

21

22

23

1

cos 1

23

22 2

1 0

tg 0 3

1 1 3 \

ctg \ 3 1 3

1 0

linie de constructie 2

0 21

22

23

24

E1) in linia de constructie se pun cifrele de la 0 la 4 E2) se extrage radical din fiecare E3) rezultatul se imparte la doi si se trece la sinus 5) Cercul trigonometric- este un cerc cu centul în origine, de rază 1 parcurs în sens invers acelor de ceasornic în care considerăm dreptele: Ox→cos; Oy→ sin; dreapta tangentă în A este tg, dreapa tangentă în B este ctg

48

6) Deducerea valorilor funcţiilor sin şi cos din cerc se pot calcula doar dacă unghiurile au valoarea 0 ,axe+ 30 ,axe +

45 , 60axe axe+ + E1) Se considera unghiul orientat de la Ox E2) Se duce proiectia pe Ox→ cos si pe Oy→ sin E3) Lungimile corespunzătoare proiecţiei sunt valorile din tabelul trigonometric, dacă punctul e pe una din axe valoarea este 0 sau 1,

în rest valorile sunt 21 ,

22 ,

23

E4) Se alege semnul (referitor la cele patru cadrane) si lungimea proiectiei 7)perioada funcţiilor sin şi cos dedusă din cerc 8)monotonia funcţiilor sin şi cos dedusă din cerc 9) Deducerea valorilor funcţiilor tg şi ctg din cerc 10) perioada funcţiilor tg şi ctg dedusă din cerc 11)monotonia funcţiilor tg şi ctg dedusă din cerc 12)deducerea relaţiilor între toate funcţiile trigonometrice (tabel Ganga, pag. 306) 13) reducere la cercul trigonometric Se da un unghi mai mare de 360 ° , se cere sa-l exprimam fata de valori ale unghiului din [ )0;2π

E1)Se scot întregii din fracţie, se foloseşte A RCB B= + unde C este

câtul împărţirii lui A la B, iar R este restul împărţirii E2) Folosim periodicitatea funcţiilor sin şi cos, adică

( )sin sin 2 ,x x k k Zπ= − ∈ , ( )cos cos 2 ,x x k k Zπ= − ∈ şi se obtine

un unghi [ )0;2π∈ 14) Reducerea la primul cadran Suntem cu un unghi situat în cerc, dorim să îl aducem în primul cadran. Cum ( )sin sinx k xπ− = ± , ( )cos cos ,x k x k Zπ− = ± ∈ , şi

sin cos ,2

kx x k Zπ⎛ ⎞± = ± ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

cos sin ,2

kx x k Zπ⎛ ⎞± = ± ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

observăm

49

că nu putem folosi 2

tπ− căci m-ar duce în funcţie complementară.

Folosim aşadar tπ − , t π− respectiv 2 tπ − Dacă suntem în Cd. II, dacă din π scădem unghiul obţinem o valoare din Cd. I Dacă suntem în Cd. III, dacă din unghi scădem π obţinem o valoare din Cd. I Dacă suntem în Cd. IV, dacă din 2π scădem unghiul obţinem o valoare din Cd. I Se deduc formulele de reducere

Cd II Cd III Cd IV cos −cos(π -t) −cos (t-π ) cos (2π -t) sin sin (π -t) −sin (t-π ) −sin (2π -t)

Obs.: Semnele se aleg corespunzator cadranelor 15) Formule trigonometrice fundamentale

a) sin2x +cos2x =1 b) cos (a+ b) = cos a cos b − sin a sin b cos (a –b) = cos a cos b + sin a sin b

Obs.: “cos “ pastreaza functia, schimba semnul c) sin (a+b) = sin a cos b –cos a sin b sin (a–b) = sin a cos b +cos a sin b

Obs.: “ sin” schimba functia, pastreaza semnul

d) ( )1tga tgbtg a b

tga tgb+

+ =− ⋅

( )1tga tgbtg a b

tga tgb−

− =+ ⋅

Obs.: “tg” la numarator pastreaza semnul, la numitor este schimbat

e) ( ) 1ctga ctgbctg a bctga ctgb

⋅ −+ =

+

( ) 1ctga ctgbctg a bctga ctgb

⋅ +− =

−

50

16)Calcularea unghiului in functie de2π − ∠ respectiv π − ∠ :

sin (2π − x) = cos x ; cos (

2π − x) = sin x;

sin (π − x) = sin x; cos (π − x) = −cos x;

tg (2π − x) = ctg x; ctg (

2π - x) = tg x;

tg (π − x) = − tg x; ctg (π − x) = − ctg x; 17) Paritatea, imparitatea functiilor sin ( − x ) = −sin x cos (− x ) = cos x tg(− x) = − tg x ctg (−x) = − ctg x 18) Periodicitatea functiilor sin ( x + 2kπ ) = sin x cos ( x + 2kπ ) = cos x tg (x + kπ ) = tg x ctg (x + kπ ) = ctg x , ∀ k ∈Z 19) Formule trigonometrice pentru dublul unui unghi

a) sin 2x = 2⋅sinx⋅cosx b) cos 2x = cos2x – sin2x = 2⋅cos2x –1 = 1- 2⋅sin2x

c) tg 2x = 2

21

tgxtg x⋅−

d) ( )2 12

2ctgx

ctg xctgx

−=

Obs.: notăm tg2x = (tgx)2, analog pentru celelalte; Obs.2: 3cos3 4cos 3cosx x x= − 3sin 3 4sin 3sinx x x= − 20) Deducerea formulelor pentru jumătatea unui unghi

2cos a =

2cos1 a+ ;

2sin a =

2cos1 a−

Obs.: 21 cos 2sin2xx− = şi 21 cos 2cos

2xx+ =

21) Substitutia universala

sin a =

21

22

2 atg

atg

+ ; cos a =

21

21

2

2

atg

atg

+

− ;

51

tg a =

21

22

2 atg

atg

− ⇒ tg

2a =

aa

sincos1− ;

:obs sin a = 2 sin 2a cos

2a =

2cos

2sin

2cos

2sin2

22 aa

aa

+;

22)Transformarea produselor in sume

a) sin a cos b = 21 ( sin(a−b) + sin(a+b))

b) cos a cos b = 21 (cos(a−b) +cos(a+b))

c) sin a sin b = 21 (cos(a−b) − cos(a+b))

:obs Se deduc prin verificarea lui Mα 23) Transformarea sumelor in produs

a) sin a + sin b = 2 sin2

ba + cos2

ba −

b) sin a – sin b = 2 sin2

ba − cos2

ba +

c) cos a + cos b =2 cos2

ba + cos2

ba −

d) cos a − cos b = − 2 sin 2

ba + sin2

ba −

:obs sin ± sin = 2 sin. . . . . cos cu “sin” pastrand semnul, “cos” schimbandu-l; cos + cos = 2 cos cos cos – cos = −2 sin sin

:obs Toate se pot obtine din cerc.

52

24) Trasarea graficului “sin” a) sin : →ℜ [-1;1] b)

c)“sin” nu e bijectiva, alegem restrictia

sin : [- 2π ; 2π ] → [-1; 1] d) sin inversabila, sin -1 not arcsin⇒ arcsin:[-1;1]→ [- 2π ; 2π ]

e) sins crescatoare pe [- 2π ; 2π ] si sins descrescatoare pe

[ 2π ; 23π ]

25) Trasarea graficului “cos” a) cos :ℜ → [-1;1] b)

c) “cos” nu e bijectiva, alegem cos : [0;π ]→ [-1;1] d) cos -1 not arccos, arccos : [-1;1] → [0;π ] e) coss descrescatoare pe [0; π ] coss crescatoare pe [π ; 2π ]

53

26) Trasarea graficului “ tg”

a) tg :ℜ \ {2π +kπ / k ∈Z } ℜ→

b)

c) “tg” nu e bijectiva, alegem restrictie tg : (- 2π ; 2π ) ℜ→ d) tg -1 not arctg, arctg : →ℜ (- 2π ; 2π ) e) tg este strict crescatoare pe (- 2π ; 2π )

27) Trasarea graficului “ ctg” a) ctg : ℜ \{ kπ / k ∈Z} ℜ→ b)

c) “ctg” nu e bijectiva, alegem ctg : (0; π ) ℜ→ d) ctg -1 not arcctg, arcctg →ℜ (0;π ) e) ctg strict descrescatoare pe (0; π )

Obs.: Graficul functiei si graficul arc…. sunt simetrice fata de prima bisectoare. 28) Teorema cosinusului Oricare ar fi triunghiul ABC ⇒ Abccba cos2222 −+= si analoagele.

54

29) Exprimarea cos, sin in functie de laturi

bcacbA

2cos

222 −+= si analoagele

RaA

2sin =

30) Natura triunghiului dacă ( ) 90m A ABC> ⇒ Δ obtuzunghic

dacă ( ) 90m A ABC< ⇒ Δ ascuţitunghic

dacă ( ) 90m A ABC= ⇒ Δ dreptunghic 31) teorema medianei: Notând am mediana corespunzătoare

laturii BC avem relaţia ( )2 2 22

24a

b c am

+ −=

32) Lungimea bisectoarei unui unghi ( )2a

bcl p p ab c

= −+

33) ab cAI l

a b c+

= ⋅+ +

34) Calculul lungimii lui OH ( )2 2 1 8cos cos cosOH R A B C= −

( )2 2 2 2 29OH R a b c= − + +

35) Calculul lungimii lui OI 2 2 abcOI Ra b c

= −+ +

36) relaţia lui Stewart Fie ABCΔ şi ( )D BC∈ . Atunci are loc relaţia 2 2 2AB DC AD BC AC BD BD DC BC⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ 37) relaţia lui Leibniz: Fie ABCΔ şi G centrul său de greutate: Atunci are loc: 2 2 2 2 2 2 23MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + +

Obs.: Înlocuind 23 aGA m= ⋅ şi analoagele obţinem

( )2 2 2 2 2 2 2133

MA MB MC MG a b c+ + = + ⋅ + +

Obs.2: dacă în relaţia de mai sus punem M O= obţinem

( )2 2 2 2 219

OG R a b c= − ⋅ + +

55

38) Functii trigonometrice ale unghiului pe jumatate

bccpbpA ))((

2sin −−

= bc

appA )(2

cos −=

)())((

2 appcpbpAtg

−−−

= ))((

)(2 cpbp

appActg−−

−=

Obs: Se foloseste 2cos1

2cos xx +

=

39) Teorema sinusurilor

Oricare ar fi triunghiul ABC⇒ RC

cB

bA

a 2sinsinsin

===

40) laturile şi raza cercului circumscris triunghiului ortic

' cos , ' cos , ' cosa a A b b B c c C= = = şi '2RR =

41) lungimea bisectoarei 2 cos2a

bc Alb c

=+

42) teorema medianei: Notând am mediana corespunzătoare

laturii BC avem relaţia ( )2 2 22

24a

b c am

+ −=

43) Deducerea formulelor pentru aria triunghiului sin ( )( )( )

2 2 4aa h ab C abcS p p a p b p c r p

R⋅

= = = − − − = ⋅ =

unde2

cbap ++= semiperimetru, r → raza cercului inscris, R →

raza cercului circumscris 44) Deducerea lungimilor razei

a)cercului circumscris 4abcR

S= b) cercului înscris Sr

p=

c) cercului exînscris aSr

p a=

−

56

45) Rezolvarea triunghiului oarecare: a) (L.U.L.)E1) Teorema cosinusului⇒L3

E2) Teorema sinusurilor⇒U1, U2 b) (U.L.U.)E1) Suma unghiurilor in triunghi ⇒ U3 E2) Teorema sinusurilor ⇒L2, L3 c) (L.L.L.)E1) Teorema cosinusului de 3 ori ⇒ U1, U2, U3 Obs: Se poate utiliza de foarte multe ori suma unghiurilor in triunghi=180° 46) Relaţii trigonometrice importante

4 sin sin sin2 2 2A B Cr R= ⋅ ⋅ ⋅ cos cos cos 1 rA B C

R+ + = +

47)Produs scalar a doi vectori ( )cos ( , )u v u v u v⋅ = ⋅ ⋅ , unde ( , )u v este unghi orientat trigonometric, deci

2 2 2 2 cosu u v vu v x y x y ϕ⋅ = + ⋅ + ⋅ Obs.: Se deduce uşor că: u v⋅ = u v u vx x y y⋅ + ⋅ şi deci

( )2 2 2 2

cos ( , ) u v u v

u u v v

x x y yu vx y x y

⋅ + ⋅=

+ ⋅ +

48) Proprietăţi ale produsului scalar: a)u v v u⋅ = ⋅ b) ( )0, 0 0u v u v u v≠ ≠ ⇒ ⋅ = ⇔ ⊥ c) u u u= ⋅

49)Aplicaţii ale produsului scalar: a) Teorema cosinusului Abccba cos2222 −+= si analoagele.

b)teorema medianei: ( )2 2 22

24a

b c am

+ −=

c) lungimea bisectoarea ( )2a

bcl p p ab c

= −+

d) ab cAI l

a b c+

= ⋅+ +

2 2 abcOI Ra b c

= −+ +

( )2 2 1 8cos cos cosOH R A B C= − ( )2 2 2 2 29OH R a b c= − + +

57

sin( ) cos2

x xπ− = şi cos( ) sin

2x xπ

− = ( )2

tg x ctgxπ− = şi ( )

2ctg x tgxπ

− =

1seccos

xx

= 1cos

sinecx

x=

sin( 2 ) sinx k xπ+ = cos( 2 ) cosx k xπ+ =

( )tg x k tgxπ+ = ( )ctg x k ctgxπ+ = cos( ) cos cos sin sinx y x y x y± = ∓ sin( ) sin cos cos sinx y x y x y± = ±

( )1tgx tgytg x y

tgx tgy±

± =⋅∓

1( ) ctgx ctgyctg x y

ctgx ctgy⋅

± =±

∓

cos( ) cosx x− = şi sin( ) sinx x− = − ( )tg x tgx− = − şi ( )ctg x ctgx− = −

sin 2 2sin cosx x x= 2 2cos 2 cos sinx x x= − 2 22cos 1 1 2sinx x= − = −

2

221

tgxtg xtg x

=−

, ( )2 1

22

ctgxctg x

ctgx−

= 1 coscos

2 2x x+= ,

1 cossin2 2x x−=

3sin 3 3sin 4sinx x x= − 3cos3 4cos 3cosx x x= −

2

2sin1

txt

=+

2

2

1cos1

txt

−=

+

2

21

ttg xt

=−

unde 2xt tg=

sin( ) sin( )sin cos2

x y x yx y + + −=

cos( ) cos( )cos cos2

x y x yx y + + −=

cos( ) cos( )sin sin2

x y x yx y − − +=

sin sin 2sin cos2 2

x y x yx y + −+ = sin sin 2sin cos

2 2x y x yx y − +

− =

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y + −+ = cos cos 2sin sin

2 2x y x yx y + −

− =−

2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2sin sin sin

a b c RA B C= = =

( )( )sin2A p b p c

bc− −

= ( )cos

2A p p a

bc−

=

58

Completări:

59

Completări:

60

CUPRINS

CAPITOLUL pag.Mulţimi.Mulţimea numerelor reale...................................... 3 Elemente de logică matematică............................................. 12 Şiruri de numere reale........................................................... 16 Funcţii...................................................................................... 21 Funcţia de gradul I şi funcţia de gradul II .......................... 29 Paralelism şi calcul vectorial................................................. 40 Elemente de trigonometrie.................................................... 46