Clasa a II-a - Neutrino | Neutrino...1 Clasa a II-a II. 211 Aflaţi numerele care au suma egală cu...

1

Clasa a II-a II. 211 Aflaţi numerele care au suma egală cu 25, ştiind că unul dintre numere este de patru ori mai mare decât celălalt.

* * *

2

II. 212 Fratele mai mare al Anei are 6 ani. Diferenţa dintre vârstele celor doi fraţi este de 3 ani. După câţi ani fratele va avea dublul vărstei pe care o are Ana acum?

* * *

3

II. 213 Trei vecini (Ion, Gheorghe şi Vasile) au, împreună, în curţile lor, 68 de păsări. Ion şi Gheorghe au împreună 12 raţe, 13 gâşte şi 15 găini, iar Vasile şi Gheorghe au împreună 11 raţe, 14 gâşte şi 20 găini. Aflaţi câte păsări are în curtea sa fiecare dintre cei trei vecini.

* * *

4

II. 214 Alin şi Bogdan şi-au ales fiecare câte două numere. Jumătatea celui de-al doilea număr ales de Alin este 25, iar dublul primului număr ales de Alin este 30. Dublul primului număr ales de Bogdan este 52, iar jumătatea celui de-al doilea număr ales de Bogdan este 28. Aflaţi care dintre cei doi prieteni a ales două numere cu suma mai mare decât a celor alese de celălalt.

* * *

5

II. 215 Costel şi Dorel şi-au ales fiecare câte două numere. Triplul primului număr ales de către Costel este 60, iar sfertul celui de al doilea număr ales de către Costel este 6. Dublul primului număr ales de Dorel este 18, iar jumătatea celui de-al doilea este 7. Aflaţi suma tuturor celor patru numere alese de către cei doi prieteni.

* * *

6

II. 216 În vacanţa de vară, Elena şi Florina, pasionate de aritmetică, au rezolvat şi probleme (la umbra nucilor din curtea Florinei), câte trei, respectiv două probleme în fiecare zi, începând cu ziua de 1 iulie. Până astăzi, Elena a rezolvat 45 de probleme. (a) în ce zi suntem astăzi? (b) în ce zi a lunii iulie Florina va avea rezolvate 38 de probleme?

* * *

7

II. 217 Într-un coş cu fructe sunt 30 de mere verzi şi mere roşii. După ce Cristina ia din coş toate merele roşii şi 2 mere verzi, în coş rămân doar 10 mere verzi. Câte mere roşii au fost la început în coş ?

* * *

8

II. 218 (a) Dacă fratele numărului 27 este 9, fratele numărului 53 este 8, iar fratele numărului 32 este 5, aflaţi fratele numărului 61. (b) Dacă verişorul numărului 45 este 8, verişorul numărului 61 este 6, verişorul numărului 27 este 8 şi verişorul numărului 44 este 7, care este verişorul numărului 36?

* * *

9

II. 219 Dintr-un şir de mai multe cuvinte, stabilim să tăiem cuvântul care nu are proprietatea pe care celelalte cuvinte o au. Pe care dintre următoarele cuvinte l-aţi tăia şi de ce? (încercaţi tot ce se poate!) (1) mare, soare, parc, cald, vară, lună, acasă; (2) „126”, „702” , „540” , ”441”, „ 323”.

Mihaela Fală, Oţelu – Roşu

10

II. 220 Oana are mere şi de două ori mai multe pere, iar sora sa, Iza, are tot atâtea mere ca şi Oana şi nuci, de două ori mai multe decât mere. Cele două surori au împreună 54 de fructe. Câte pere are Oana şi câte nuci are Iza?

Ion Cubin, Oţelu - Roşu

11

Clasa a III-a

III. 211 O scândură lungă de 300 cm se taie în patru bucăţi, apoi fiecare bucată se taie în câte cinci bucăţi. Câte tăieturi au fost făcute ?

Daniela Chelbea, Oţelu - Roşu

12

III. 212 Andrei are mere şi de trei ori mai multe piersici. Fratele său Bogdan are cu două mere mai multe decât Andrei şi de două ori mai multe piersici decât Andrei. În total, cei doi fraţi au împreună 46 de fructe. Câte mere are Bogdan şi câte piersici are Andrei ?


13

III. 213 O revistă de matematică are 64 de pagini, numerotate de la 1 la 64. De câte ori apare cifra 2 în numerotarea paginilor ?


14

III. 214 Bogdan este cu 2 ani mai tânăr decât Andrei. Dacă în toamna anului 2016 Andrei împlineşte 12 ani, aflaţi în ce an s-a născut Bogdan.

* * *

15

III. 215 Dacă 4 kg de cartofi şi 4 kg de ceapă costă 20 de lei, iar un kg de cartofi şi 3 kg de ceapă costă 11 lei, aflaţi: (a) cât costă 3 kg de cartofi şi un kg de ceapă; (b) câte kg de cartofi şi câte kg de ceapă se pot cumpăra cu 25 de lei, cheltuind această întreagă sumă?

* * *

16

III. 216 Un număr se adună cu el însuşi, apoi cu jumătatea lui, apoi cu sfertul lui, cu dublul lui, iar la final i se mai adună numărul 11 şi se obţine 201. Care este numărul iniţial?

* * *

17

III. 217 Daniel şi Cristian au câteva mere. Dacă Daniel îi dă două mere prietenului său, atunci cei doi vor avea acelaşi număr de fructe. Dacă Cristian îi dă un măr, atunci Daniel va avea de patru ori mai multe mere decât prietenul său. Câte mere are fiecare ?

* * *

18

III. 218 Aflaţi numerele de două cifre care sunt egale cu de 7 ori suma cifrelor. * * *

19

III. 219 Compuneţi şi rezolvaţi o problemă plecând de la egalităţile: 220a b+ = şi 330a c+ = . * * *

20

III. 220 În câte feluri pot fi colorate cele şase pătrăţele din figura alăturată folosind culorile roşu, galben, albastru şi verde astfel încât două pătrăţele alăturate să nu aibă aceeaşi culoare ? (două pătrăţele sunt alăturate dacă au o latură comună)


21

Clasa a IV-a

IV. 211 Suma a trei numere este egală cu 2016. Aflaţi numerele ştiind că diferenţa dintre primele două este egală cu suma ultimelor două numere, anume 673.

Mariana Mitrică, Reşiţa

22

IV. 212 Andrei şi Bogdan au rezolvat într-o zi, fiecare separat, în total, 21 de probleme. Dacă Andrei ar fi rezolvat de 4 ori mai multe probleme, atunci ar fi avut rezolvate de 3 ori mai multe probleme decât a rezolvat Bogdan. Câte probleme ar fi trebuit să mai rezolve unul dintre cei doi prieteni astfel încât numărul problemelor rezolvate de fiecare să fie acelaşi ?

* * *

23

IV. 213 Lungimea laturii unui pătrat este de 30 de metri. Ciprian pleacă dintr-un vârf al pătratului şi, mergând în acelaşi sens pe laturile acestuia, parcurge o distanţă de 100 m. Din punctul în care a ajuns, Ciprian se întoarce şi parcurge 230 m. Aflaţi la ce distanţă faţă de punctul de plecare se află la final Ciprian.


24

IV. 214 Aflaţi câte numere naturale a verifică următoarele proprietăţi: (a) 234a + este cel puţin egal cu 345 şi (b) 456a + este cel mult egal cu 678.

* * *

25

IV. 215 Un tren special circulă de la Timişoara la Băile Herculane, având trei opriri. Calculaţi câte persoane s-au urcat în tren la Timişoara, dacă la Lugoj au coborât un sfert dintre ei, apoi la Caransebeş au coborât un sfert dintre cei rămaşi în tren, iar la Băile Herculane au ajuns 72 de persoane.

* * *

26

IV. 216 Părinţii elevilor unei clase au hotărât ca în luna octombrie să contribuie fiecare cu câte 48 de lei pentru a acoperi cheltuielile de deplasare ale copiilor într-o excursie. Între timp, unul dintre elevi s-a transferat la altă şcoală, astfel încât părinţii elevilor rămaşi trebuie să contribuie fiecare cu suma de 50 de lei pentru a plăti deplasarea. Câţi elevi au rămas în clasă şi câţi lei costă transportul ?


27

IV. 217 Un biciclist a parcurs în 3 ore, fără oprire, distanţa de 75 km. După fiecare oră el şi-a micşorat viteza cu 1 km. Câţi kilometri a parcurs biciclistul în ultima oră ?

* * *

28

IV. 218 Bianca are în coş 14 prune. Mama mai pune în coş câteva prune. După ce Bianca mănâncă 4 prune, în coş se află de două ori mai multe prune ca la început. Câte prune a pus mama în coş?

* * *

29

IV. 219 Aflaţi: (a) cel mai mare număr natural cu cifre distincte şi diferite de zero, care are suma cifrelor egală cu 15; (b) cel mai mic număr natural cu cifre diferite de zero şi care are suma cifrelor 51.


30

IV. 220 Peste 8 ani, vârsta Cristinei va fi egală cu jumătatea vârstei mamei sale. Câţi ani are Cristina, ştiind că acum, suma vârstelor mamei şi fiicei este egală cu 44 ani ?


31

Clasa a V-a

V. 331 4 saci cu cartofi cântăresc cât 10 saci cu ceapă. Un kilogram de ceapă costă 3 lei, un kilogram de cartofi costă 2 lei, iar un sac cu ceapă cântăreşte 8 kilograme. Dacă pentru a cumpăra 15 saci cu ceapă trebuie plătită suma de 360 de lei, ce sumă trebuie plătită pentru a cumpăra 9 saci cu cartofi ?

Daniela Chelbea, Oţelu – Roşu

32

V. 332 Într-un bloc sunt apartamente cu 2 şi cu 3 camere, în total 20 de apartamente. Aflaţi câte apartamente cu 3 camere sunt în bloc, ştiind că numărul total al camerelor din bloc este egal cu 48.

Neta Novac, Reşiţa

33

V. 333 Familia Ionescu este formată din: Ionescu Ion (tatăl), Ionescu Adina (mama) şi Ionescu Petrică (fiul). Suma vârstelor părinţilor (Ion şi Adina) este egală cu 54 (de ani). Vârsta copilului Petrică este de şase ori mai mică decât cea a mamei sale şi de şapte ori mai mică decât a tatălui său. Câţi avea Adina când l-a născut pe Petrică ?

Iulia Andreea Cecon, Oţelu - Roşu

34

V. 334 Petrică organizează o excursie cu elevii din cele două clase de a V-a din şcoala noastră. Pentru a se putea bucura de tot ce oferă o astfel de excursie, un elev (adică părinţii săi), trebuie să îi aducă lui Petrică 80 de lei. Dacă Petrică a încasat suma de 3440 de lei de la toţi elevii excursionişti şi, ştiind că în clasa a V-a B sunt cu 3 elevi mai mulţi decât în clasa a V –a A, aflaţi câţi elevi sunt în clasa a V-a B.

Iulia Andreea Cecon, Oţelu - Roşu

35

V. 335 Valentin are şase copii. În acest moment, suma vârstelor copiilor este egală cu 135 (ani). Ştiind că vârstele copiilor sunt exprimate prin numere naturale consecutive şi că, la vârsta de 30 de ani, în anul 1990, Valentin a fost tată pentru prima dată, aflaţi câţi ani are acum cel mai mare dintre copii săi.

Vlad Galuska, elev, Oţelu – Roşu

36

V. 336 Determinaţi numărul tripletelor ( , , )a b c de numere naturale pentru care este adevărată egalitatea 11ab bc ca+ = + .

Camelia Pîrvu, Oraviţa

37

V. 337 Se ştie că 8* 4 124= , 9*7 162= şi 7 *3 104= . Stabiliţi cât este 7 * 6 . (Nici nu ar mai trebui să spunem asta: justificaţi răspunsul!)


38

V. 338 Folosind corect paranteze şi semnele operaţiilor învăţate, Adrian a scris pe tablă patru egalităţi . Petrică a şters în pauză parantezele şi semnele operaţiilor. Pe tablă au rămas doar:

5 5 5 5 5 35 5 5 5 5 45 5 5 5 5 55 5 5 5 5 6

====

Puteţi stabili dacă este posibil ca toate egalităţile scrise de Adi (aşa îi spun prietenii lui Adrian) să fi fost adevărate? Puteţi scrie alte două egalităţi adevărate folosind aceleaşi simboluri ?

Eleonora Unguraş, Oţelu - Roşu

39

V. 339 Pentru sala de sport a unei şcoli au fost cumpărate în luna august 40 de corzi şi de panglici. În luna septembrie au fost cumpărate de două ori mai multe panglici şi câteva mingi, în total 35 de articole sportive. Ştiind că au fost cumpărate de 5 ori mai puţine mingi decât corzi, calculaţi câte panglici sunt acum în sala de sport.

Petra Craia, Chicago, S.U.A.

40

V. 340 Aflaţi două numere naturale al căror produs este egal cu 48, ştiind că dacă primul număr se triplează, iar al doilea număr se micşorează cu 4, produsul rămâne neschimbat.

Marius Şandru, Reşiţa

41

Clasa a VI-a VI. 331 Se consideră numerele 1 1 1 1...

4 5 6 2016A = + + + + şi 3 4 5 2015...

4 5 6 2016B = + + + + .

a) Să se arate că A B+ este număr natural ;

b) Să se arate că 2013 20132

B A< − < .

Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş

42

VI. 332 Studiaţi dacă există numere naturale n pentru care numărul 2 15 7n nA += + este pătrat perfect. Adriana Dragomir,Oţelu-Roşu

43

VI. 333 Determinaţi mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemente ştiind că verifică următoarele proprietăţi : a) 4 ;A B∈ ∩

b) x A∈ dacă şi numai dacă 2x B∈ ; c) suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A.


44

VI. 334 Arătaţi că nu există numere naturale m , n astfel încât 25 6 7nm m+ = − .

Heidi Feil,Oţelu-Roşu

45

VI. 335 Tom şi Jerry se hotărăsc să se întreacă la un concurs de viteză în proba de 400 m plat.Tom aleargă cu viteza medie de 48 km/h iar Jerry cu viteza medie de 240m/min. Precizaţi: a) Cu cât timp ajunge Tom înaintea lui Jerry dacă iau startul deodată? b) Ce distanţă trebuie să-i acorde Tom lui Jerry în avans, pentru ca să treacă în acelaşi timp linia de sosire?

Mariana Drǎghici, Reşiţa

46

VI. 336 Gǎsiţi cel mai mic numǎr natural care se scrie (în baza 10) doar cu cifrele 2 şi 3 şi care se divide cu 132. Dorel Miheţ, Timişoara

47

VI. 337 Determinaţi numerele naturale nenule a şi b ştiind că suma lor este 74 şi, împărţind pe a la b,se obţine un cât egal cu restul împărţirii.

Olimpiadă Bucureşti

48

VI. 338 Determinaţi numerele naturale nenule n pentru care numărul 2 4 6 ... (2 ) 73A n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + este pătrat perfect. Olimpiadă Constanţa

49

VI. 339 Determinaţi numǎrul maxim şi numǎrul minim de numere întregi consecutive care au suma egalǎ cu 26. Concurs Braşov

50

VI. 340 Mulţimea A este formată din 5 numere întregi. Adunând în toate modurile posibile câte două elemente din mulţime, se obţin următoarele 10 sume : 0, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 17. Aflaţi cele cinci elemente ale mulţimii A.

Concurs Iugoslavia

51

Clasa a VII-a VII. 331 Un acvariu plin cu apă, are lungimea de 150 cm, lăţimea de 80 cm şi înălţimea de 50 cm. La ce înălţime ajunge apa dacă din acvariu s-au scos 4 l de apă?


52

VII. 332 Calculaţi x y z+ + ştiind că: 1 2 3

x y zx y z

= =+ + +

şi 1 2 3 54.x y z+ + =

Olimpiadă Olt

53

VII. 333 Determinaţi numerele naturale nenule a, b, c pentru care

1 1 1a b cb c a+ + +

= = ∈ .

Delia şi Adrian Dragomir,Caransebeş

54

VII. 334 Determinaţi numerele prime a,b,c care verifică egalitatea 5 10a b c a b c+ + = ⋅ ⋅ .

Aurel Bârsan, Braşov

55

VII. 335 Sǎ se determine numǎrul perechilor ordonate ( , )a b de numere naturale pentru care numerele x ab= şi

y ba= îndeplinesc condiţia: 2 3x y⎛ ⎞+ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Adriana Dragomir, Oţelu - Roşu

56

VII. 336 Fie O un punct situat în interiorul pătratului ABCD astfel încât OA OB= şi OAB ODA≡ . Să se arate că O este centrul pătratului.

Marina Constantinescu,Tismana

57

VII. 337 Se consideră un triunghi ABC în care 6, 7, 9AB AC BC= = = şi se notează cu M şi N proiecţiile

punctului A pe bisectoarele interioare ale unghiurilor B , respectiv C . Calculaţi lungimea segmentului (MN).

Liliana Niculescu, Craiova

58

VII. 338 Se consideră numerele naturale nenule a,b,c,d care satisfac : 11

a b abc d cd

+= =

+. Să se calculeze a d

b c++

.

Concurs Rusia

59

VII. 339 Să se determine tripletele ( ), ,a b c de numere naturale care verifică simultan relaţiile : 2 1 , 1 , 2 1 , 10.a c b c b a a b c− ≥ − ≤ − ≥ + + ≤

Prelucrare Gazeta Matematică

60

VII. 340 Într-o cameră sunt 16 persoane. Fiecare persoană cunoaşte exact alte trei persoane din acea cameră. Se presupune că dacă persoana A îl cunoaşte pe B, atunci şi B îl cunoaşte pe A.

a) Dacă se realizează o strângere de mână între fiecare două persoane care se cunosc, să se precizeze câte strângeri de mână au loc;

b) Să se studieze în ce context că putem împărţi cele 16 persoane în grupe de câte 4, astfel încât în interiorul fiecărei grupe, oricare două persoane să nu se cunoască între ele.

Steluţa şi Mihai Monea, Deva

61

Clasa a VIII-a VIII. 331 Se considerǎ o mulţime G ⊂ care satisface proprietǎţile : a) 1 ;G∈ b) 3 ;x G x G∈ ⇒ + ∈ c) ( )4 5 .x G x G+ ∈ ⇒ + ∈ Sǎ se precizeze dacǎ existǎ cel puţin patru numere întregi şi patru numere iraţionale care sunt elemente ale mulţimii G.


62

VIII. 332 Determinaţi numerele întregi a,b pentru care

1 2 3 4a b ab+ + = .


63

VIII. 333 Fie ABCD un dreptunghi şi ( )M CD∈ astfel încât 2 2 .MD MC BC= = Determinaţi măsura unghiului ascuţit determinat de dreptele BD şi AM.

Olimpiadă Iaşi

64

VIII. 334 Să se determine numerele întregi a şi b care verifică :

1 1 43a b

+ = şi 2 2a bb a+ −

= .

Ovidiu Bădescu, Reşiţa

65

VIII. 335 Un trapez dreptunghic ABCD ( )// ,AB CD AB CD> are o diagonală perpendiculară pe o latură şi ( )ˆm B

= 30° . Determinaţi , 2n n∈ ≥ pentru care .AB n CD= ⋅

Ramona Cǎlin, Reşiţa

66

VIII. 336 Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA B C D′ ′ ′ ′ . Să se arate că dacă AA B CBC D C A′ ′ ′ ′ ′≡ ≡ atunci paralelipipedul este cub.


67

VIII. 337 Determinaţi numerele reale x şi y pentru care 4x y+ = şi 2 2 8x y+ = .

Heidi Feil, Oţelu - Roşu

68

VIII. 338 a) Determinaţi numerele întregi x şi y pentru care 24 3 24x y+ = şi 0x y+ ≥ ;

b) Arătaţi cǎ dacǎ ,x y∈ şi 24 3 24x y+ = , atunci 4 3 25x y+ ≤ ;

c) Arătaţi cǎ dacǎ ,x y∈ şi 2 2 25x y+ = , atunci 4 3 25x y+ ≤ . Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

69

VIII. 339 Se consideră triunghiul ABC în care P este mijlocul laturii (BC).Fie ( ) ( ),M AB N AC∈ ∈ astfel încât

//MN BC şi { } .Q MP BN= ∩ Perpendiculara din Q pe dreapta AC intersectează pe AC în R şi paralela prin B la AC în T. Arătaţi că : a) // ;TP MR b) MRQ PRQ≡ .

Mircea Fianu, Virgil Nicula, Bucureşti

70

VIII. 340 Pentru un examen,comisia a pregătit 8 probleme. Fiecare student primeşte spre rezolvare câte 3 probleme,oricare doi primind cel mult o problemă comună. Care este numărul maxim de studenţi care pot participa în aceste condiţii la examen?

Concurs Baltic

71

Clasa a IX-a IX. 276 Dacǎ ( ), 0,x y∈ ∞ , arǎtaţi cǎ: 2( ) .

1 1 2x y x y

y x x y+

+ ≥+ + + +

Precizaţi în ce caz avem egalitate. Concurs Suceava

72

IX. 277 Arătaţi că partea fracţionară a numărului 24 ,n n n ∗+ ∈ , este mai mică decât 0,25. * * *

73

IX. 278 Determinaţi , ,a b c 0> astfel încât 6

1 1 1 32

a b c

a b c

+ + =⎧⎪⎨

+ + =⎪⎩


74

IX. 279 Fie triunghiul ABC şi G un punct în interiorul său cu proprietatea că există un punct M în planul său astfel încât 3MG MA MB MC= + + . Să se arate că G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara

75

IX. 280 Fie ABCD un patrulater convex, M ∈ (BC), N ∈ (CD) şi {P} = (AM) ∩ (BN). Demonstraţi că dacă BP BM APBN BC AM

= ⋅ , atunci patrulaterul dat are două laturi paralele.

Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara

76

Clasa a X-a X. 276 Se consideră numerele reale , , , 0a b c a ≠ ,pentru care 2ac b> .Să se arate că dacă 2a c b+ > ,atunci 4 4 .a c b+ >

Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu

77

X. 277 Se notează cu O şi H centrul cercului circumscris,respectiv ortocentrul triunghiului ABC. Să se arate că dacă HA OA= şi HB OB= ,atunci .HC OC=


78

X. 278 Să se determine a∈ pentru care există ,x y∈ astfel încât

2

2 22

x xy a

y xy a

⎧ − =⎪⎨

+ =⎪⎩.


79

X. 279 Se considerǎ o mulţime M ⊂ care satisface proprietǎţile : a) (1 ) ;i M+ ∈

b) 2 ;z M z M∈ ⇒ ∈ c) (1 ) .z M z M+ ∈ ⇒ ∈ Sǎ se arate cǎ: ( )4 ,4 , 4 4 .M M i M− ∈ ∈ − + ∈

Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

80

X. 280 Fie A o mulţime de numere naturale şi :f A A→ o funcţie cu proprietǎţile: a) existǎ cu ( )a A f a a∈ ≠ ; b) ( ) ( ) , ,f m f n m n m n A− = − ∀ ∈ .

Arǎtaţi cǎ mulţimea A este infinitǎ. Mircea Becheanu, Bucureşti

81

Clasa a XI-a XI. 276 Stabiliţi dacǎ numǎrul 2 4 6 8

60 60 60 601 3 9 27 81 ...a C C C C= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − este par sau impar. Red. RMCS

82

XI. 277 Douǎ pǎtrate de laturǎ 1, având laturile paralele, se intersecteazǎ dupǎ un dreptunghi de arie 18

. Calculaţi

distanţa minimǎ dintre centrele celor douǎ pǎtrate. Radu Gologan, Bucureşti

83

XI. 278 Fie matricea ( )3

1 2 22 1 22 2 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M .

Elementele lui A se modifică după următoarea regulă: Un element de pe diagonala principală se mǎreşte sau se micşorează cu 2, iar în rest, orice alt element se măreşte sau se micşorează cu 1. Este posibil ca după după 2016 astfel de transformări determinantul lui A să fie 2016 ?

Ovidiu Stǎniloiu, Timişoara

84

XI. 279 Rezolvaţi în ( )2M ecuaţia 2 1 22

4 3X X ⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Olimpiadă Hunedoara

85

XI. 280 Se consideră şirul ( ) 1n nx ≥ pentru care 2 22 1 0 , 1.n nx nx n n− + − ≤ ∀ ≥ Calculaţi lim .nn

xn→∞

* * *

86

Clasa a XII-a

XII. 276 Se consideră funcţia ( )2 1: 1, , ( )

1x xf f x

x+ +

− +∞ → =+

şi se defineşte şirul 1( )n na ≥ prin 1 1a = şi

( )1 , 1n na f a n+ = ∀ ≥ . (a) Determinaţi ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei considerate. (b) Arătaţi că ( ) ( )f e f π< . (c) Calculaţi lim n

na

→∞.

Dan Dragoş Popa, Reşiţa

87

XII. 277 Se consideră funcţia ( ) 2: 0, , ( ) 2lnf f x x x+∞ → = − . (a) Calculaţi

00

lim ( )xx

L x f x→>

= ⋅ .

(b) Determinaţi cel mai mare număr întreg k pentru care inegalitatea ( )f x k≥ este adevărată pentru orice ( )0,x∈ +∞ .

(c) Dacă F este o primitivă a funcţiei f pentru care (1) 3F = , calculaţi ( )F e . Ovidiu Bădescu, Reşiţa

88

XII. 278 Se consideră sistemul de ecuaţii 23 4 1

+ 1

x y mz mx my z

x z

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + =⎩

, unde m∈ şi se notează cu A şi cu A matricea

sistemului, respectiv matricea extinsă a acestuia. (a) Rezolvaţi sistemul în cazul în care 0m = . (b) Arătaţi că pentru orice număr întreg k , există cel puţin un număr întreg m astfel încât 2det A k= . (c) Demonstraţi că pentru orice număr real m , matricea extinsă A are rangul 3.

* * *

89

XII. 279 Se consideră pe legea de compoziţie asociativă definită prin 5 5 30, ,x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ şi mulţimea ( )5,G = +∞ .

(a) Arătaţi că ecuaţia 21x x x x = are o unică soluţie în .G (b) Demonstraţi că 1 2 3 ... 21t G= ∉ .

(c) Rezolvaţi în mulţimea G G G× × sistemul de ecuaţii x y zy z xz x y

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ .

* * *

90

XII. 280 Pentru orice funcţii derivabile , :f g → se notează { }/ ( ) ( )A x f x g x= ∈ = . Să se arate că dacă

{ }0A = ,atunci există ( )0,1c∈ pentru care / /( ) ( ) 1( ) ( ) 1

f c g cf c g c c

−=

− −.

Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

Clasa a II-a - Neutrino | Neutrino...1 Clasa a II-a II. 211 Aflaţi numerele care au suma egală cu...

Documents

Transcript of Clasa a II-a - Neutrino | Neutrino...1 Clasa a II-a II. 211 Aflaţi numerele care au suma egală cu...