Oscilatorul Liniar Armonic - Lista de Texte

8/16/2019 Oscilatorul Liniar Armonic - Lista de Texte

1/6

Oscilatorul liniar armonic – Lista de texte Clasa a XI-a

Lista de texte

Oscilatorul liniar armonic

M1 Definirea mişcării oscilatorie liniar armonică

Mişcarea periodicã a unui corp în jurul unei poziţii de echilibru senumeşte mişcare oscilatorie.

Distanţa de la poziţia de echilibru, la o poziţie atinsã de corp la unmoment dat se numeşte elongaţie şi se noteazã cu x sau cu y.Elongaţia maximã atinsã de corp în timpul unei mişcãri oscilatorii se

numeşte amplitudine, notatã cu A.La o mişcare oscilatorie realã, amplitudinea scade în timp, fenomencare se numeşte amortizarea oscilaţiilor.

Mişcarea oscilatorie se mai caracterizeazã prin faptul cã în timpulefectuãrii mişcãrii o formã de energie se transformã periodic în altãformã de energie. În cazul ideal aceastã transformare are loc astfel încat energia sistemului sã se conserve, iar în cazul real energiasistemului nu se conservã având loc pierderi de energie în timp.In cazul unei oscilaţii mecanice are loc transformarea periodicã din

energie potenţiala în energie cineticã.O mişcare oscilatorie liniar armonicã este o mişcare a cãrei lege demişcare este descrisã de o funcţie armonicã. O funcţie armonicã este ofuncţie pentru care se poate afirma cã existã un T astfel încât pentruorice x se poate scrie f(x)= f(x+T).Din punct de vedere fizic acest lucru însemna cã este vorba de ofuncţie periodicã ceea ce însemnã cã la intervale egale de timp corpultrece prin aceeaşi poziţie. În acest caz T reprezintã perioada deoscilaţie ( [ ] ) – timpul dupã care obiectul ajunge în aceeaşi poziţiecu cea consideratã poziţie iniţialã.

sT SI =

De asemenea se poate defini frecvenţa υ , care reprezintã numãrul deoscilaţii efectuate de corp în unitatea de timp ( [ ] Hz sSI ==

−1υ ) şi se

observã cãυ

1=T


2/6


M 2 Ecuaţiile mişcării oscilatorii liniar armonice

Pentru stabilirea legii de mişcare în cazul unei mişcãri oscilatorie liniararmonicã, vom proiecta mişcarea circularã uniformã a unui corp, pe unul dindiametrele traiectoriei.

Daca considerãm un corp ce executã o mişcare circularã, cu vitezaunghiularã , pe un cerc de raza R, atunci proiecţia mişcãrii pe axa Oy este:

θ sin R y = , la un t oarecare. Dacã acest corp pleacã din punctul Po, atunci la

un moment t oarecare 0θ θ +⋅= t , unde 0θ reprezintã faza iniţialã a mişcãrii.

Ţinând cont şi că R=A, reprezentând amplitudinea mişcării, rezultă că )sin( 0θ +⋅= t A y . Urmărind imaginea se observă că aceasta proiecţie poate

fi interpretată ca o mişcare oscilatorie, în jurul poziţiei de echilibru, care înacest caz se află în centrul cercului.

)sin( 0θ +⋅= t A y reprezintă legea de mişcare a unui oscilator liniar

armonic.

Un corp care execută o mişcare circulară uniformă, are o viteză liniară tangentă în fiecare punct la traiectorie, dată de expresia Rv ⋅= .Componenta vitezei pe axa Oy se va scrie

)cos(cos 0θ θ +⋅⋅=⇔⋅= t Av Rv

)cos( 0θ +⋅⋅= t Av reprezintă legea vitezei unui corp ce execută o

mişcare oscilatorie liniar armonică.

Într-o mişcare circulară, corpul ce o execută are o acceleraţie centripetă . Componenta acceleraţiei centripete pe axa Oy se va scrie, ţinând

cont şi de orientarea ei faţă de vectorul de poziţie a corpului:

Racp ⋅= 2ω

2ω ⋅−= Ra )sin()sin( 0

2θ ω ω θ +⋅⋅−=⇔ t Aa

)sin( 0

2θ ω ω +⋅⋅−= t Aa reprezintă legea acceleraţiei unui corp ce

execută o mişcare oscilatorie liniar armonică.

Ţinând cont de ecuaţia principiului fundamental al dinamicii, F=ma, putemexprima forţa care determină o astfel de mişcare ca fiind:

ym F t Am F 202 )sin( ω θ ω ω −=⇔+⋅⋅−= Pentru un corp ce oscilează într-unanume context ,m reprezintă nişte constante ale mişcării.

Rezultă că forţa ce determină o mişcare liniar armonică este o forţă detip elastic ce se scrie ky F −= , unde .2ω mk =


3/6


Din această expresie se poate determina perioada unui oscilator liniar

armonic şi anumek

mT

m

k

T T π

π π ω 2

22=⇒=⇒=

Pentru resortul elastic (pendulul elastic) din imagine, se pot scrie expresiile

ce descriu variaţia energiei in timp.

În poziţia de echilibru, energia oscilatorului este energie cinetică maximă, iar în poziţia de elongaţie maximă energia oscilatorului este energie potenţială maximă în câmpul unei forţe elastice.

Într-o poziţie intermediară sistemul are şi energie cinetică şi potenţială.

t Ak

E t Am

E mv

E C C C ⋅⋅=⇔⋅⋅=⇔= ω ω ω 2222

22

cos2

cos22

t Ak

E yk

E P P ⋅=⇔= ω 222 sin

22

const Ak

E E E E P C ==⇒+= 2

2

M 3 Pendulul gravitaţional

Pendulul gravitational reprezintă un ansamblu format dintr-un corpsuspendat de un fir inextensibil.

Mişcarea acestui corp în jurul poziţiei de echilibru reprezintă o mişcare

oscilatorie.

Forţele ce acţionează asupra corpului sunt G şi T, astfel încât putem scrie:

α sin

0

mg RG R

R

T G R

T G R

xt x

y

n y

=⇔=

=

−=

⇒+=

Cum x

l

mg R

l

x

x −=

⇒−

=α sin

. Din ultima relaţie se vede că forţa care determină

mişcarea corpului este o forţă de tip elastic kx R x −= undel

mg =k . Rezultă că

în cazul unui pendul gravitational mişcarea executată de acesta este omişcare oscilatorie liniar armonică.


4/6


Ţinând cont de expresia perioadei oscilatorului liniar armonic rezultă că

perioada pendulului gravitaţional devine: g

l π 2=T

M 4 Pendulul gravitaţional - AplicaţieÎn cazul unei pendule ce indică ora, perioada de oscilatie este T=2s. Aceasta

înseamnă că lungimea firului la capătul căruia este prins un corp cu o anume

masă, este astfel reglată încât să obţinem 22 == g

l π T . Când pendula se

dereglează, respectiv rămâne în urmă sau o ia înainte, se reglează în modcorespunzător lungimea braţului ce oscilează. Acest lucru se face prinintermediul unui şurub plasat sub corpul ce oscilează, şurub care prin

înşurubare scurtează braţul pendulei, iar prin deşurubare îl măreşte.

M 5 Pendulul gravitaţional - Sistem neinerţial

Dacă pendulul gravitaţional se află într-un sistem de referinţă neinerţial,atunci asupra lui acţionează o forţă numită forţă de inerţie. Această forţă areexpresia , unde „m” este masa corpului ce execută oscilaţia, iar „a”

reprezintă acceleraţia sistemului.

am F i

⋅−=

Având în vedere faptul că perioada de oscilaţie a pendulului depinde delungimea firului şi de acceleraţia imprimată corpului ce oscilează, este

evident că în cazul pendulului aflat în sistem de referinţă neinerţial, perioadaacestuia se modifică. Modificarea perioadei depinde de valoarea acceleraţieisistemului, dar şi de direcţia şi sensul acesteia.


5/6


M 6 Test grilă de evaluare a cunoştinţelor

Problema 1:

În punctele în care elongaţia este jumătate din amplitudine, raportul întreenergia cinetică şi energia potenţială elastică a oscilatorului armonic este:

A.3

1=

P

C

E

E ; B. 3=

P

C

E

E ; C. 2=

P

C

E

E ; D.

2

1=

P

C

E

E .

Rezolvare

3

8

3

4

3

22

3cos

84

1

22

1sin

2sin

2

=

=⇔⋅=⇒±=⋅

=⇔⋅=⇒±=⋅⇒±=⋅⇔±=

P

C

C C

P P

E

E

k E

k E t

k E

k E t

At A

A y

ω

ω ω

Problema 2:

Dacă un pendul se află într-un lift ce urcă cu acceleraţia a=0,5g, atunciperioada acestuia devine T, comparativ cu perioada aceluiaşi pendul aflat înrepaus noatat cu T0:

A. 02

3T ⋅=T ; B. T ; C.0T = 05,1 T ⋅=T ; D. 0

3

2T ⋅=T .

Rezolvare

kx R

l

x g am R

mamg R

F G R

T F G R

T G F R

x

x

x

it t x

inn y

i

=

+=

+=

+=

=−+=

++=

)(

sinsin

0

α α

l

g amk

)( +=⇒

Din g a

l T

k

m

+=⇒= π π 22T 0

3

22

3

2T T

g

l T ⋅=⇔⋅=⇒ π


6/6


Problema 3:

Un oscilator liniar armonic are la un moment dat elongaţia y1 şi viteza la acelmoment v1. La un moment ulterior aceste mărimi devin y2 şi respectiv v2.Amplitudinea mişcării oscilatorii este dată în acest caz de relaţia:

A.2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

vvv yv y A

−+= ; B. 2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

vvv yv y A

+−= ;

C.2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

vv

v yv y A

−

−= ; D.

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

vv

v yv y A

−

−= .

Rezolvare

La momentul t1 sunt adevărate relaţiille:2

11

21111 sinsinsin

=⋅⇔=⋅⇒⋅=

A

yt

A

yt t A y ω ω ω

2

1

1

21

111 coscoscos

⋅=⋅⇔

⋅=⋅⇒⋅⋅=

A

vt

A

vt t Av

ω ω

ω ω ω ω

Cum

222

1

22

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1cossin

ω ω

ω

ω ω

Av y

A

v

A

y

t t

=+

⇒=

⋅+

⇒=⋅+⋅

Folosind acelaşi raţionament, la momentul t2 se va ajunge la o relaţie

similară: 2222

22

2 ω ω Av y =+

Din cele două ecuaţii rezultă 2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

vv

v yv y A

−

−=

Oscilatorul Liniar Armonic - Lista de Texte

Documents

Transcript of Oscilatorul Liniar Armonic - Lista de Texte