Obiectivele Unităţii de învăţare 1 · Web viewDin motive estetice se utilizează creionul...

GHID PENTRU ELABORAREA RESURSELOR DE STUDIU ÎN TEHNOLOGIA EDUCAŢIEI LA DISTANŢĂ

LUCRAREA DE VERIFICARE NO. 1

MANOLACHE MARINEL

PUNCTE ŞI DREPTE UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1: PUNCTUL ŞI DREAPTA

CUPRINS PAGINACuprins 2Obiectivele unităţii de învăţare 1 31.1 Punctul 41.1.1 Punctul: reprezentare geometrică, notaţie 41.1.2 Puncte diferite, puncte identice 41.2 Dreapta 51.2.1 Dreapta: reprezentare geometrică, notaţie 51.2.2 Relaţii între puncte şi drepte 61.2.3 Puncte coliniare. Puncte necoliniare 61.2.4. Axioma dreptei 71.2.5 Poziţiile relative a două drepte 71.3 Semidreapta 81.3.1 Semidreapta: reprezentare grafică 81.3.2 Semidreapta închisă. Semidreapta deschisă 91.3.3 Semidrepte identice. Semidrepte opuse 91.4 Segmentul 101.4.1 Segmentul: definiţie, reprezentare grafică, notaţie 101.4.2 Lungimea unui segment 101.4.3 Segmente congruente 111.4.3 Mijlocul unui segment 121.5 Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare 131.6 Lucrarea de verificare No. 1 151.7 Bibliografie 18

MANOLACHE MARINEL - ANUL I MASTER “MANAGEMENT EDUCAŢIONAL” PAGINA | 2

PUNCTE ŞI DREPTE

Obiectivele Unităţii de învăţare 1La terminarea unităţii de învăţare 1 vei fi capabil să:

Descrii figurile geometrice punct şi dreaptă

Recunoşti figuri geometrice plane

Identifici relaţiile între puncte şi drepte

Clasifici semidreptele şi segmentele

Exprimi prin reprezentări geometrice noţiunile legate de puncte şi drepte

Alegi reprezentările geometrice adecvate enunţului problemei

Să interpretezi informaţiile conţinute în reprezentări geometrice în corelaţie cu determinarea numărului de segmente sau a lungimilor acestora

Să utilizezi proprietăţile dreptelor şi segmentelor în vederea calculelor unor lungimi de segmente

Să recunoşti şi să descrii elemente de geometrie plană într-o configuraţie geometrică dată

Să utilizezi instrumente geometrice (riglă, compas) pentru a desena figuri geometrice plane descrise în contexte matematice adecvate

Să exprimi poziţia relativă a două drepte în plan

Să exprimi relaţia dintre un punct şi o dreaptă într-un context matematic dat

Să utilizezi informaţiile prezentate în format tipărit

Să utilizezi informaţiile prezentate în format digital (pps)


PUNCTE ŞI DREPTE

1.1 Punctul

1.1.1 Punctul: reprezentare geometrică, notaţie

Punctul este o figură geometrică.Punctul îl putem imagina ca fiind urma lăsată de un creion foarte bine ascuţit pe o foaie de hârtie; punctul este o noţiune abstractă.Punctul se desenează cu ajutorul creionului şi se notează cu o literă mare de tipar a alfabetului, de asemenea cu ajutorul creionului.

Ştiai că … La origine cuvântul “punct” vine din limba latină în care “punctus” înseamnă “înţepătură” ?

Figura nr. 1

1.1.2 Puncte diferite. Puncte identice


Desenează punctele: A, C, E şi F.

x B

x A xE xF

Q1: De ce crezi că trebuie utilizat creionul atât pentru desenarea punctului, cât şi pentru notarea lui?

Vezi indicaţii şi răspunsuri la pag. 13.

Q2: Cum crezi că se pot nota 100 de puncte având în vedere că numărul literelor alfabetului este insuficient?

Vezi indicaţii şi răspunsuri la pag. 13.

PUNCTE ŞI DREPTE

Dacă două puncte A şi B ocupă două locuri diferite în planul paginii de hârtie, atunci cele două puncte se

numesc puncte diferite sau puncte distincte. Această figură geometrică se notează: A≠B.Dacă două puncte A şi B ocupă acelaşi loc în planul paginii de hârtie, atunci cele două puncte se numesc puncte identice sau puncte confundate. Această figură geometrică se notează: A=B.

Test de autoevaluare nr. 1Stabileşte valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii matematice:1. Un punct este:a) un număr; b) o mulţime de numere; c) o figură geometrică.

2. Notaţia A=B exprimă că două puncte A şi B sunt:a) egale; b) diferite; c) identice.

3. Notaţiile A=B şi B=C exprimă că punctele A, B şi C sunt:a) numai două dintre ele identice; b) toate trei identice; c) diferite.

4. Notaţiile A≠B şi B≠C exprimă că punctele A, B şi C sunt:a) Diferite două câte două; b) numai două dintre ele diferite; c) identice.

5. Notaţiile A≠B şi B≠C şi A≠C exprimă că punctele A, B şi C sunt:a) diferite două câte două; b) numai două dintre ele diferite; c) identice.

Deschide aplicaţia Puncte şi drepte.pps şi derulează exerciţiile interactive despre puncte.

1.2 Dreapta

1.2.1 Dreapta: reprezentare geometrică şi notare


Să se reprezinte următoarea figură geometrică: A=C, M≠N≠P şi D=E.

x A,C xM xD,E

x N xP

PUNCTE ŞI DREPTEDreapta este o figură geometrică.

Dreapta o putem imagina ca fiind un fir de aţă foarte bine întins, prelungit la nesfârşit la ambele capete.Dreapta se desenează cu ajutorul creionului şi a riglei şi se notează, de asemenea cu creionul, cu o literă mică de mână a alfabetului.


Q3: De ce crezi că trebuie utilizat creionul atât pentru desenarea dreptei, cât şi pentru notarea acesteia?

PUNCTE ŞI DREPTE

Desenează dreptele a, b, c şi d.

a b c d

1.2.2 Relaţii între puncte şi drepteUn punct faţă de o dreaptă dată poate avea două poziţii: fie aparţine dreptei date, fie nu aparţine dreptei date.Simbolul utilizat este “∈” şi “citim aparţine”, sau “nu aparţine”, după caz.Acest simbol este simbolul utilizat pentru a descrie relaţia între un număr şi o mulţime dată.Desenează o dreaptă d, punctele A, C şi F care aparţin dreptei d şi punctele M, N şi P care nu aparţin dreptei d. xP CxN A xM F

1.2.3 Puncte coliniare. Puncte necoliniareDefiniţie.Trei sau mai multe puncte care aparţin aceleiaşi drepte se numesc puncte coliniare.Exemplu. Desenaţi punctele M, N, P, Q şi S coliniare. M N P S Q l l l l l

Definiţie.Trei sau mai multe puncte se numesc puncte necoliniare dacă nu aparţin toate aceleiaşi drepte.Exemplu. Desenaţi punctele A, B, C şi D necoliniare. A B C l l l xD

1.2.4 Axioma dreptei


PUNCTE ŞI DREPTEAxioma dreptei.Două puncte distincte determină o dreaptă şi numai una.Exemplu.Punctele A şi B din figura de mai jos determină o singură dreaptă d.

A B d

ObservaţiePe lângă notaţia cu o literă mică de mână a alfabetului, o dreaptă se mai poate nota utilizând două litere mari de tipar ale alfabetului, unde cele două litere reprezintă două puncte distinct care aparţin dreptei respective.Aşadar, dreapta din figura de mai sus se poate nota fie d, fie AB.Q4: Câte drepte distincte determină trei puncte necoliniare A, B şi C? xA xB xC

1.2.5 Poziţiile relative a două drepte coplanareDefiniţie.Două drepte care aparţin aceluiaşi plan se numesc drepte coplanare.Planul îl imaginăm ca fiind suprafaţa unei ape liniştite, prelungită la nesfârşit în toate părţile.Există 3 poziţii relative a două drepte coplanare şi anume:

Noţiunea Reprezentare geometrică

Notaţii

DREPTE IDENTICEDefiniţieDouă drepte care au cel puţin două puncte distincte comune se numesc drepte identice.

A B C d l l l

d=AB=AC

DREPTE PARALELEDefiniţieDouă drepte coplanare care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.

a

b

allb sau a∩b=∅


PUNCTE ŞI DREPTEDREPTE CONCURENTEDefiniţieDouă drepte care au un singur punct comun se numesc drepte concurente.

a A b

a∩b= {A} sau a∩b≠∅

Test de autoevaluare nr. 2

Stabileşte valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii matematice:

1. O dreaptă este:a)un număr; b) o mulţime de numere; c) o figură geometrică.

2. Notaţia a=b exprimă că două drepte a şi b sunt:a) egale; b) diferite; c) identice.

3. Notaţiile a=b şi b=c exprimă că dreptele a, b şi c sunt:a) numai două dintre ele identice; b) toate trei identice; c) diferite.

4. Notaţiile a≠b şi b≠c exprimă că dreptele a, b şi c sunt:a) diferite două câte două; b) numai două dintre ele diferite; c) identice.

Deschide aplicaţia Puncte şi drepte.pps şi derulează exerciţiile despre drepte, poziţiile relative a două drepte coplanare, puncte coliniare şi puncte necoliniare.

1.3 Semidreapta1.3.1 Semidreapta: definiţie, reprezentare grafică, notaţie

Spre deosebire de dreaptă, pe care o considerăm prelungită la nesfârşit în ambele părţi, semidreapta o considerăm prelungită la nesfârşit la una dintre părţi şi limitată în cealaltă parte.În figura de mai jos este reprezentată o semidreaptă limitată la punctul O, punct care se numeşte originea semidreptei.

O l

1.3.2 Semidreapta deschisă. Semidreapta închisă


PUNCTE ŞI DREPTEFiind date două puncte distincte A şi B, să considerăm dreapta AB şi semidreapta inclusă în această dreaptă, cu originea în A, şi căreia îi aparţine punctul B.Semidreapta de mai sus se notează cu [AB, dacă punctul A aparţine semidreptei şi se citeşte “semidreapta închisă AB” şi se notează cu (AB, dacă punctul A nu aparţine semidreptei şi se citeşte “semidreapta deschisă AB”. A B l l

Q5: Semidreapta este o figură geometrică. De ce?

Indicaţie la pag. 14.

1.3.3 Semidrepte identice. Semidrepte opuseÎn figura de mai jos, semidreptele [AB şi [AC au aceleaşi puncte. S-a convenit ca aceste semidrepte să se numească semidrepte identice şi să se noteze aceasta cu [AB=[AC. A B C l l l

În figura de mai jos, semidreptele [PE şi [PF au aceeaşi origine, punctul P, sunt incluse în aceeaşi dreaptă, d, dar nu au aceleaşi puncte. În acest caz vom spune că semidreptele [PE şi [PF se numesc semidrepte opuse, iar punctele E şi F sunt puncte de o parte şi de alta a punctului P.

E P F l l l

Deschide aplicaţia Puncte şi drepte.pps şi derulează exerciţiile despre:

- Semidrepte închise- Semidrepte deschise- Notaţia unei semidrepte- Semidrepte identice

1.4 Segmentul


PUNCTE ŞI DREPTE1.4.1 Segmentul: definiţie, reprezentare grafică, notaţie

DefiniţieFie A şi B două puncte distincte (A≠B) şi dreapta AB căreia cele două puncte aparţin. Porţiunea din dreapta AB, situată între punctele A şi B se numeşte segment.ObservaţieUn punct care aparţine dreptei AB, între A şi B se numeşte punct interior segmentului. A B l l

DefiniţieSegmentul format numai din mulţimea punctelor sale interioare se numeşte segment deschis şi se notează (AB). Punctele A şi B se numesc “capetele” segmentului sau “extremităţile” segmentului (AB).Atenţie!Extremităţile segmentului deschis nu aparţin acestuia.DefiniţieSegmentul care conţine capetele A şi B ale segmentului şi din toate punctele sale interioare se numeşte segment închis şi se notează [AB].Atenţie!Extremităţile segmentului închis aparţin acestuia.[AB]=(AB) U {A, B}

Ştiai că … Originea cuvântului “segment” vine din limba latină în care “segmentum” înseamnă “parte tăiată”.

Ştiai că … Originea cuvântului “extremitate” vine din limba latină în care “extremus” înseamnă “care este la margine”.

1.4.2 Lungimea unui segmentDacă alegem un segment drept unitate de măsură, atunci oricărui alt segment îi corespunde un număr, numit lungimea sa, care este raportul dintre lungimea acestui segment şi lungimea segmentului luat ca unitate de măsură.Lungimea unui segment se poate determina cu aproximaţie cu ajutorul riglei gradate şi exprimă de câte ori lungimea segmentului măsurat este mai mare decât lungimea unităţii de măsura de pe riglă, cu care se compară.


PUNCTE ŞI DREPTEDefiniţieSe numeşte distanţa de la punctul A la punctul B lungimea segmentului [AB] şi notăm această lungime cu AB. Tot cu AB vom nota lungimea segmentului (AB).

ExempluAB= 6 cm

Q6: De ce crezi că notaţia unei drepte cu AB şi lungimea unui segment cu AB nu pot fi un motiv de confuzie?

Indicaţii la pag. 14.1.4.3 Segmente congruente

DefiniţieDouă segmente (ambele segmente închise sau ambele segmente deschise) se numesc segmente congruente dacă au lungimile egale.

ExempluDacă segmentele închise [AB] şi [CD] sunt congruente vom nota:

[AB]≡[CD] (citim “segmentul [AB] este congruent cu segmentul [CD]”).

(AB)≡ (CD) (citim “segmentul (AB) este congruent cu segmentul (CD)”).

A B C D l l l l

Ştiai că … Originea cuvântului “congruent” vine din limba latină în care cuvântul “congruentia” înseamnă “potrivire”.


PUNCTE ŞI DREPTEDacă două segmente nu au lungimile egale, atunci cele două segmente nu sunt congruente.

AB≠CD ↔ [AB]≡ [CD]

Dacă două sau mai multe segmente sunt congruente, se poate ilustra grafic această situaţie desenând segmentele respective şi însemnând segmentele congruente cu acelaşi simbol. E

B F M A D C P Q

N

Se observă în figură că anumite segmente sunt marcate cu acelaşi număr de liniuţe (două liniuţe); aceste segmente sunt, conform convenţiei, segmente congruente. Deci [AB]≡[CD]≡[EF].

1.4.4 Mijlocul unui segmentDefiniţieDacă punctele A, O, B, distincte două câte două, sunt coliniare, Oϵ[AB] şi dacă [AO]≡[OB], atunci punctul O se numeşte mijlocul segmentului [AB]. A O B l l lPe orice segment există un punct interior care este mijlocul său şi acesta este un punct unic.Cu ajutorul riglei gradate se poate determina cu aproximaţie mijlocul unui segment dat.

Deschide aplicaţia Puncte şi drepte.pps şi derulează exerciţiile despre:

- Segmente - Segmente închise şi segmente deschise- Numărul segmentelor determinate de puncte diferite două câte

două;


PUNCTE ŞI DREPTE- Operaţii cu segmente.

Test de autoevaluare nr. 3Stabileşte valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii matematice:1. Lungimea unui segment este:b) Un segment; b) o mulţime de puncte; c) un număr.

2. Două segmente sunt congruente dacă:a) pot fi măsurate cu aceeaşi unitate de măsură; b) sunt părţi din aceeaşi dreaptă; c) au aceeaşi lungime.

3. Mijlocul unui segment este:a) un punct; b) o unitate de măsură; c) un număr.

4. Un segment poate fi împărţit în două segmente congruente:a) printr-un punct şi numai unul; b) prin două puncte; c) prin mai multe puncte.

1.5 Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare Q1 (pag. 4) Punctul este o figură geometrică. Pentru reprezentarea grafică a

unei figuri geometrice există mai multe variante ale desenului. Din motive estetice se utilizează creionul atât pentru desenarea figurii geometrice, cât şi pentru notarea acesteia; în acest mod, utilizând radiera, figura geometrică se poate reface în acelaşi spaţiu pe foaia de examen – la examene nu se permite utilizarea modificărilor pentru rezolvările propriu-zise, ci numai pentru desenele reprezentând figurile geometrice executate cu ajutorul creionului.

Q2 (pag. 4) Să presupunem că trebuie să notăm cele 100 de puncte. Putem utiliza aceeaşi literă a alfabetului, dar vom utiliza indici – această metodă este mult mai convenabilă şi intuitivă. De exemplu, vom nota cele 100 de puncte diferite două câte două cu literele: A1, A2, A3, …, A99, A100.

Test de autoevaluare nr. 1 (pag. 5)

1. Punctul este o figură geometrică.1a) F; 1b) F; 1c) A.2. A=B înseamnă că punctele A şi B sunt identice.2a) F; 2b) F; 2c) A.3. A=B şi B=C înseamnă că toate cele trei puncte sunt

identice.3a) F; 3b) A; 3c) F.4. Cele trei puncte A, B şi C sunt diferite două câte două. 4a) A; 4b) F; 4c) F.5. Sunt puncte diferite două câte două.5a) A; 5b) F; 5c) F.


PUNCTE ŞI DREPTE Q3 (pag. 5) Motivaţia este aceeaşi cu cea prezentată la răspunsul întrebării

Q1: figura geometrică astfel realizată se poate reface după ce a fost ştearsă cu radiera.

Test de autoevaluare nr. 2 (pag. 8)

1a) F; 1b) F; 1c) A.2a) F; 2b) F; 2c) A.3a) F; 3b) A; 3c) F.4a) A; 4b) F; 4c) F.

Q4 (pag. 8) Trei puncte necoliniare A, B şi C determină 3 drepte diferite două câte două: AB, AC şi BC.

xB

Ax

xC

Q5 (pag. 9) Dreapta este o figură geometrică format dintr-un număr infinit de puncte coliniare. Semidreapta este o porţiune dintr-o dreaptă, limitată la unul din capete şi nelimitată la celălalt capăt.

Q6 (pag. 11) Dreapta este nelimitată la ambele capete. Dacă vom scrie CD=6 cm este evident că se face referire la lungimea segmentului închis sau deschis CD.

Aşadar, diferenţa între cele două notaţii este dată de contextul în care sunt utilizate.

Test de autoevaluare nr. 3 (pag. nr. 13 )

1a) F; 1b) F; 1c) A.2a) F; 2b) F; 2c) A.3a) A; 3b) F; 3c) F.

4a) A; 4b) F; 4c) F.Pentru a rezolva Lucrarea de verificare 1 este indicat să deschizi încă o dată aplicaţia Puncte şi drepte.pps şi să recapitulezi următoarele noţiuni:

- puncte;- drepte;- semidrepte;- segmente.

1.6 Lucrarea de verificare No. 1


PUNCTE ŞI DREPTE INSTRUCŢIUNI Lucrarea de verificare presupune cunoaşterea de către cursant

a Unităţii de învăţare 1 “Puncte şi drepte” din materialul tipărit şi parcurgerea aplicaţiei interactive “Puncte şi drepte.pps” din cadrul materialelor auxiliare.

Răspunsurile la întrebările din lucrare vor fi transmise prin poştă tutorelui, pentru corectură, comentarii şi evaluare, la adresa de e-mail [email protected]. Pe prima pagină a lucrării se vor scrie : - titlul cursului (Introducere în geometria plană”); - numărul de ordine al lucrării de verificare (Lucrarea de verificare No. 1); - numele şi prenumele cursantului (care se vor menţiona pe fiecare pagină a lucrării); - adresa de poştă electronică a cursantului.

Fiecare răspuns va trebui să fie clar exprimat şi să nu depăşească o jumătate de pagină. Pentru corectură sunt necesare un spaţiu de aproximativ 5 cm pe margine şi o distanţă similară între răspunsuri.

În evaluare se va ţine seama dacă: 1. cursantul şi-a însuşit ideile din blocurile de text din cadrul

Unităţii de învăţare “Puncte şi drepte”; 2. cursantul a deschis şi a derulat aplicaţia interactivă “Puncte

şi drepte.pps”; 3. este capabil să formuleze răspunsurile clar, corect, succint. Baremul de notare conţine 10 puncte din oficiu şi 90 de puncte

acordate rezolvărilor corecte ale itemilor lucrării de verificare; repartizarea punctelor pentru fiecare item este specificată în coloana din partea stângă a testului.

Nota acordată se obţine prin împărţirea punctajului total la 100. SUBIECTE

10 puncte Numărul punctelor acordate din oficiu.4 puncte 1. Stabileşte valoarea de adevăr a următoarei propoziţii

matematice: “Noţiunile de bază utilizate în geometrie sunt”:a) Punctul;b) Dreapta;c) Rigla;d) Linia.

4 puncte 2. Stabileşte valoarea de adevăr a următoarei propoziţii matematice: “Ne imaginăm punctul ca fiind:”


mailto:[email protected]

PUNCTE ŞI DREPTEa) O sfoară lungă şi bine întinsă;b) O foaie de hârtie;c) Urma lăsată de un creion foarte bine ascuţit pe o foaie de

hârtie;d) Suprafaţa unui teren.

6 puncte 3. Completează cu răspunsurile corecte spaţiile punctate.Punctul nu are:a) L_ _ _ _ _ _b) G_ _ _ _ _ _c) L_ _ _ _ _ _

8 puncte 4. Un punct poate fi mai mare decât un alt punct? Argumentează mai jos în maximum 10-15 rânduri răspunsul tău.

5 puncte 5. Două puncte diferite se mai numesc şi puncte _ _ _ _ _ _ _ _4 puncte 6. Stabileşte valoarea de adevăr a următoarei propoziţii

matematice: “Ne imaginăm dreapta ca fiind:”a) O bucată de sfoară;b) O bucată de sfoară foarte bine întinsă;c) Marginea unei monezi;d) Un teren neted.

5 puncte 7. Reprezintă grafic punctele A, B şi C coliniare.

5 puncte 8. Enunţă axioma dreptei.


PUNCTE ŞI DREPTE10 puncte 9. Reprezintă grafic următoarea figură geometrică: AϵBC,

PϵMN şi MN∩BC={S}.

5 puncte 10.Se dau patru puncte distincte două câte două, oricare trei dintre ele fiind necoliniare.a) Desenează figura geometric care îndeplineşte

condiţiile din enunţ;b) Căte drepte distincte două câte două determină cele

patru puncte din figură? Scrie dreptele obţinute.4 puncte 11.Câte tipuri de semidrepte există? Care este deosebirea

între ele?4 puncte 12.Prima literă din notaţia unei semidrepte reprezintă ………

semidreptei.6 puncte 13.Care este deosebirea între segmentul deschis (AB) şi

segmentul închis [AB]?12 puncte 14.Să se asocieze corect fiecărei figure geometrice din prima

coloană răspunsul correct din a doua coloană.1

A B C d l l l

A

a∩b= {A} sau a∩b≠∅

2

a

b

B

d=AB


PUNCTE ŞI DREPTE3

a A b

C

Dreptele a şi b sunt drepte perpendiculare.

D allb sau a∩b=∅

8 puncte 15.Să se enumere toate segmentele diferite două câte două din figura de mai jos:

A

N

M

B C

1.7 Bibliografie1. Culegere de probleme pentru clasa a VI-a, Mihaela Singer, Ion Ghica,

Gheorghe Drugan, Bucureşti, Editura Sigma, 2005 (pag. 79-85)2. Geometrie – manual pentru clasa a VI-a, Ion Cuculescu, Constantin Ottescu,

Ştefan Kleitsch, Laurenţiu Gaiu, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1996 (pag. 5-15)

3. Matematică – manual pentru clasa a VI-a, Ion Petrică, Victor Bălşeanu, Iaroslav Chebici, Bucureşti, Editura Petrion, 1998 (pag. 107-117)

4. Puncte şi drepte. pps, Manolache Marinel, aplicaţie interactivă, 2006


Obiectivele Unităţii de învăţare 1 · Web viewDin motive estetice se utilizează creionul...

Documents

Transcript of Obiectivele Unităţii de învăţare 1 · Web viewDin motive estetice se utilizează creionul...