Notiuni de baza in Geometrie

 

 Dreapta- un punct A apar�ine dreptei a, adic� A є a dac� punctul A se afl� pe dreapta A- dou� puncte determin� o singur� dreapt�- se numesc puncte coliniare trei sau mai multe puncte care se afl� pe o dreapt�- se numesc drepte concurente dou� sau mai multe drepte care au un punct comun

Semidrepte �i segmente- se nume�te semidreapt� o por�iune dintr-o dreapt� m�rginit� �ntr-oparte �i prelungit� la nesf�r�it �n cealalt� parte- marginea se nume�te originea semidreptei �i se noteaz�:[OA semidreapta �nchis�, adic� O є [OA, O originea semidreptei, A un punct oarecare de pe semidreapt� �i (OA semidreapt� deschis�, adic� O ¢ (OA- (OA �i (OB se numesc semidrepte opuse dac� A, O, B sunt puncte coliniare �n aceast� ordine- se nume�te segment de dreapt� o por�iune dintr-o dreapt�, m�rginit� �n ambele p�r�i. Deci un segment are dou� capete- segmentul (AA)= ø este segmentul nul- [AA]={A}

Lungimea unui segment. Opera�ii cu segmente- numim distan�a dintre dou� puncte A �i B, lungimea segmentului AB- se numesc segmente congruente dou� segmente care au aceea�i lungime- se nume�te mijlocul unui segment AB, punctul M є AB, care �mparte segmentul �n dou� segmente congruente (AM)≡(MB)- mijlocul unui segment este �ntotdeauna unic

Unghiul- se nume�te unghi figura geometric� format� din dou� semidrepte care au aceea�i origine- cele dou� semidrepte se numesc laturi �i originea comun� este v�rful unghiului- a m�sura un unghi �nseamn� a m�sura “deschiderea” dintre semidreptele care formeaz� unghiul- unitatea de m�sur� este gradul cu submultiplii : minutul, secunda 1o=60’ �i 1’ =60”- unghiul nul este format din dou� semidrepte identice, el are m�sura de 0 o - ungiul alungit este unghiul format de dou� semidrepte opuse, el are m�sura de 180 o- se numesc unghiuri congruente ungiurile care au aceea�i m�sur�- se numesc unghiuri adiacente dou� unghiuri care au o latur� comun�, v�rful comun �i celelalte laturi de o parte �i de alta a laturii comune- se numesc unghiuri complementare dou� unghiuri care au suma de 90 o- se numesc unghiuri suplementare dou� unghiuri care au suma de 180 o

Bisectoarea unui unghi. Unghiuri formate �n jurul unui punct- se nume�te bisectoarea unui unghi semidreapta cu originea �n v�rful unghiului, situat� �n interiorul unghiului �i care formeaz�, cu laturile unghiului ini�ial unghiuri congruente- se nume�te unghi drept orice unghi congruent cu suplementul s�u- se nume�te unghi ascu�it orice unghi cu m�sura mai mic� de 90 o- se nume�te unghi obtuz orice unghi cu m�sura cuprins� �ntre 90 o �i 180 o- suma m�surilor unghiurilor formate �n jurul unui punct este 360 o- se numesc unghiuri opuse la v�rf do� unghiuri cu acela�i v�rf �i laturile unuia �n prelungirea laturilor celuilalt- dac� dou� laturi sunt opuse la v�rf atunci ele sunt congruente

Cazurile de congruen�� a triunghiurilor- se distig trei cazuri de congruen�� :- cazul L.U.L: - dou� triunghiuri oarecare care au dou� laturi �i unghiul cuprins �ntre ele respectiv congruente, sunt congruente cazul U.L.U: dou� triunghiuri oarecare care au c�te o latur� �i unghiurile al�turate ei respectiv congruente, sunt congruente - cazul L.L.L: dou� triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente, sunt congruente- pentru a dovedic� dou� segmente (dou� unghiuri) sunt congruente, c�ut�m s� �ncadr�m segmentele (unghiurile) respective �n dou� triunghiuri a c�ror congruen�� poate fi demonstrat�

Perpendicularitate �n plan. Drepte perpendiculare- se numesc drepte perpendiculare dou� drepte concurnte care formeaz� un unghi drept → se formeaz� patru unghiuri drepte- nota�ie : d1 ┴ d2- prin distan�a de la un punct la o dreapt� se �n�elege lungimea perpendicularei din punct pe dreapt�- se nume�te mediatoarea unui segment dreapta perpendicular� pe segment �n mijlocul segmentului- dou� triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente- dou� triunghiuri dreptunghice care au c�te o catet� �i un unghi ascu�it al�turat acesteia respectiv congruente, sunt congruente- dou� triunghiuri dreptunghice ce au ipotenuzele �i c�te o catet� respectiv congruente, sunt congruente

Paralelism. Drepte paralele- dou� drepte distincte a �i b, con�inute �n acela�i plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele- dac� dou� drepte formeaz� cu o secant� o pereche de unghiur alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele �i reciproc- nota�ie : a║b

Propriet��ile triunghiului- suma m�surilor unghiurilor unui triunghi este egal� cu 180 o- �ntr-un triunghi echilateral, m�sura unui unghi este 60 o- �ntr-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascu�ite sunt complementare- un triunghi isoscel �n care m�sura unuia dintre unghiuri este 60 o este echilateral- se nume�te unghi exterior al unui triunghi, un unghi care este adiacent �i suplementar cu un unghi al triunghiului- m�sura unui unghi exterior al unui triunghi este egal� cu suma m�surilor celor dou� unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el- bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se nume�te bisectoare exterioar� a triunghiului corespunz�toare unghiului respectiv- bisectoare exterioar� �i interioar� a aceluia�i unghi sunt perpendiculare

Triunghiul isoscel- se nume�te triunghi isoscel triunghiul care are dou� laturi congruente- propriet��ile triunghiului isoscel :1. dac� un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente, sunt congruente �i reciproc2. �n orice triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din v�rf, mediana corespunz�toare bazei, �n�l�imea corespunz�toare bazei �i mediatoarea bazei coincid

Triunghiul echilateral- se nume�te triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente- propriet��ile triunghiului echilateral :1. unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente2. triunghiul cu toate unghiurile congruente este echilateral

3. �n orice triunghi echilateral bisctoarele unghiurilor coincid cu medianele, mediatoarele �i �n�l�imile triunghului

Triunghiul dreptunghic- se nume�te triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept- �ntr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu m�sura de 30 o are lungimea egal� cu jum�tate din lungimea ipotenuzei- �n orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz�toare ipotenuzei este egal� cu jum�tate din lungimea ipotenuzei

Rela�iile �ntre laturile �i unghiurile unui triunghi- �ntr-un triunghi, unui unghi mai mare i se opune o latur� mai mare �i reciproc- dintre dou� oblice duse dintr-un punct pe aceea�i dreapt�, cea “mai dep�rtat�” de piciorul perpendicularei este “cea mai lung�”- �ntr-un triunghi, lungimea oric�rei laturi este mai mic� dec�t suma lungimilor celorlalte dou� laturi �i mare dec�t valoarea absolut� a diferen�ei lor

Patrulatere. Suma unghiurilor unui patrulater- pentru a defini un patrulater sunt necesare patru puncte distincte A, B, C, D astfel �nc�t:1. oricare trei puncte sunt necoliniare2. oricare dou� dintre segmente [AB] �i [CD] sau [BC] �i [DA] n-au nici un punct interior comun - figura format� din reuniunea [AB] cu [BC] cu [CD] cu [DA] �i care �ndepline�te condi�iile 1. �i 2. de mai sus, este patrulater- un patrulater se nume�te patrulater convex dac�, oricare ar fi o latur� a sa, cele dou� v�rfuri, nesituate pe latura considerat�, se afl� pe aceea�i parte a dreptei �n care este inclus� latura respectiv�- patrulaterul care nu este convex se nume�te concav- suma m�surilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360 o

Paralelogramul- se nume�te paralelogram, patrulaterul convex care are laturile opuse paralele dou� c�te dou�- propriet��ile paralelogramului:1. laturile opuse sunt congruente dou� c�te dou�2. unghiurile opuse sunt congruente dou� c�te dou�3. unghiurile consecutive sunt suplementare4. diagonalele se intersecteaz� �n p�r�i congruente- un patrulater convex este paralelogram dac�:1. laturile opuse sunt congruente dou� c�te dou�2. unghiurile opuse sunt congruente dou� c�te dou�3. diagonalele se intersecteaz� �n p�r�i congruente4. dou� laturi opuse sunt paralele �i congruente

Dreptunghiul- se nume�te dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept- propriet��i caracteristice:1. are toate unghiurile congruente, deci drepte2. are diagonalele congruente- un patrulater convex este dreptunghi dac� are toate unghiurile congruente- paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi

Rombul- se nume�te romb un paralelogram care are dou� laturi consecutive congruente- proprieta�i caracteristice:1. toate laturile rombului sunt congruente2. diagonalele rombului sunt perpendiculare �ntre ele

3. diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului- patrulaterul convex cu toate laturile congruente- paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb- paralelogramul �n care o diagonal� este bisectoarea unui unghi este romb

P�tratul- se nume�te patrat un dreptunghi care are dou� laturi consecutive congruente - p�tratul are toate propriet��ile dreptunghiului �i rombului- �ntr-un triunghi dreptunghic mediana corespunz�toare ipotenuzei are lungimea egal� cu jum�tate din lungimea ipotenuzei- dac� �ntr-un triunghi o median� are lungimea c�t jum�tatea lungimii laturii care �i corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic