NoteCursMaster.pdf

Note de curs

Modelare financiara si actuariala

Cuprins

1 Modelare matematico-econamica 4

1.1 Exemple de modele matematico-economice . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Probleme de programare liniara. Rezolvarea cu ajutorul calculatorului . . . 9

1.3 Model dinamic continuu de crestere economica . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Teoria stocurilor n sens determinist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Matematici financiare 32

2.1 Dobanda simpla si compusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Plasamante cu dobanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Plasamente si inflatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Operatiuni de scont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Plati esalonate (anuitati) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Rambursarea creditelor si mprumuturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Matematici actuariale 56

3.1 Functii biometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Plati viagere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Plati n caz de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Asigurari de persoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Capitolul 1

Modelare matematico-econamica

1.1 Exemple de modele matematico-economice

Metoda modelarii consta n nlocuirea obiectului sau fenomenului real care ne intereseaza

cu un alt obiect sau fenomen, mai convenabil pentru cercetare. Dupa o astfel de substituire

nu se mai studiaza obiectul primar ci modelul, iar apoi rezultatul cercetarilor se extinde

asupra obiectului sau fenomenului initial.

Utilizarea limbajului matematic n descrierea unor modele, permite acestora sa aiba

un nalt grad de abstractizare si de generalizare.

In elaborarea unui model matematic atasat unui proces trebuiesc respectate etapele:

1. Obtinerea modelului descriptiv al procesului, care are subetapele:

1.1. formularea problemei propuse;

1.2. analiza structurii informationale a fenomenului abordat;

1.3. discutarea criteriilor posibile care reflecta obiectivele urmarite;

1.4. stabilirea factorilor esentiali si factorilor secundari;

2. Formularea matematica a modelului descriptiv, etapa n care se elaboreaza modelul

matematic;

3. Studierea (cercetarea) modelului, adica rezolvarea practica a problemei pe model.

Astazi, n aceasta etapa de mare folos este calculatorul.

Modelul realizat si testat trebuie sa reflecteze originalul cu destula precizie. S-ar

putea ca modelul sa fie bine construit dar sa nu dea rezultate satisfacatoare. El trebuie

mbunatatit sau abandonat.

Dupa modelul matematic utilizat se poate da urmatoarea clasificare a modelelor:

1) modele aritmetice (utilizate pana n secolul al XVIII-lea) folosesc numai con-

cepte aritmetice;

4

2) modele bazate pe analiza matematica (utilizate ncepand cu secolul al XVIII-

lea) folosesc concepte de analiza matematica;

3) modele liniare utilizeaza concepte de algebra liniara (de exemplu, programarea

liniara);

4) modele de joc care iau n considerare si variabile necontrolabile;

5) modele de optimizare urmaresc optimizarea unei functii (numita functia obiec-

tiv) supusa unor restrictii;

6) modele neliniare utilizeaza restrictii de optim sau functii obiectiv neliniare;

7) modele diferentiale care descriu prin ecuatii diferentiale fenomenul (de exemplu,

modelul care descrie variatia productiei);

8) modele de tip catastrofic utilizate de studiul fenomenelor cu variatii bruste;

9) modele deterministe marimile care intervin sunt perfect determinate;

10) modele stohastice marimile care intervin sunt aleatorii;

11) modele de tip statistico-matematice marimile care intervin sunt date statis-

tice;

12) modele vagi marimile care intervin nu sunt date cu precizie, ci doar vag;

13) modele discrete marimile care intervin variaza discret;

14) modele continue marimile care intervin variaza continuu.

In continuare vom prezenta cateva din cele mai cunoscute modele matematicoeconomice.

1.Problema dietei (nutritiei)

O alimentatie se considera buna daca se ofera anumite substante n cantitati minimale

precizate. Evident ca aceste substante se gasesc n diferite alimente cu preturi cunoscute.

Se cere sa se stabileasca o dieta (ratie) care sa fie corespunzatoare si totodata cat mai

ieftina. Substantele care intra ntr-o dieta se numesc substante nutritive sau principii

nutritive.

Vom obtine, n continuare, modelul matematico-economic pentru problema dietei.

Fie S1, S2, . . . , Sm substantele nutritive care trebuie sa intre n compunerea dietei n can-

titatile minimale b1, b2, . . . , bm si A1, A2, . . . , An alimentele de care dispunem cu pretul

corespunzator pe unitate c1, c2, . . . , cn. Notam cu aij numarul de unitati din substanta

Si, i = 1,m, care se gasesc ntr-o unitate din alimentul Aj, j = 1, n. Se cere sa se afle

x1, x2, . . . , xn numarul de unitati din alimentele A1, A2, . . . , An asa ncat sa se obtina o

5

ratie acceptabila la un pret cat de mic. De obicei datele problemei se prezinta ntr-un

tabel de forma:

Alimente

SubstantaA1 A2 . . . Aj . . . An

Minim

necesar

din Si

S1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sm am1 am2 . . . amj . . . amn bm

Pret alimente c1 c2 . . . cj . . . cn

Unitati de consum x1 x2 . . . xj . . . xn

Cantitatea din substanta Si care se realizeaza este ai1x1+ai2x2+. . .+ainxn, care din

cerinta problemei trebuie sa fie bi, i = 1,m. Ajungem astfel la conditiile (restrictiile):a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn bm

(1.1)

Natura datelor cu care lucram impun si conditiile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, . . . , xn 0.(1.2)

Functia obiectiv care exprima costul unei ratii este data de:

f = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn.(1.3)

Problema dietei cere sa determinam x1, x2, . . . , xn asa ncat f sa fie minima. O

astfel de dieta se numeste optima. Orice dieta care satisface restrictiile (1.1) si (1.2) se

numeste admisibila.

Modelul dietei poate fi folosit si n alte situatii, ca de exemplu: problema furajarii

rationale (n zootehnie), chestiunea amestecului optim (n amestecuri de benzina sau

uleiuri auto, n realizarea unor sortimente de bauturi sau nghetata), s.a.

2. Problema sortimentului optim (optimizarea productiei)

O ntreprindere dispune de m resurse R1, R2, . . . , Rm. Notam cu b1, b2, . . . , bm numarul

de unitati disponibile din resursele R1, R2, . . . , Rm, respectiv. In procesul de productie se

realizeaza produsele finite P1, P2, . . . , Pn. Cunoscandu-se consumurile aij din resurse Ri,

i = 1,m pentru o unitate finita din produsul Pj, j = 1, n precum si valoarea castigurilor

pe unitate realizate prin valorificarea produselor finite pe care le notam cu c1, c2, . . . , cn,

6

se cere: cat trebuie realizat din fiecare produs ca n limita resurselor disponibile sa se

obtina o productie care sa aduca un beneficiu maxim.

Vom pune datele problemei n urmatorul tabel:

produse finite

resurseP1 P2 . . . Pj . . . Pn

numar unitati

disponibile

din Ri

R1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ri ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rm am1 am2 . . . amj . . . amn bm

castig pe

unitatea de

produs finit

c1 c2 . . . cj . . . cn

numar de

unitati din

produsul finit

x1 x2 . . . xj . . . xn

Cantitatea din substanta Ri care se utilizeaza este ai1x1+ai2x2+. . .+ainxn, care din

cerinta problemei trebuie sa fie bi, i = 1,m. Ajungem astfel la conditiile (restrictiile):a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn bm

(1.4)

Natura datelor cu care lucram impun si conditiile de nenegativitate:

x1 0, x2 0, . . . , xn 0.(1.5)

Functia obiectiv care exprima castigul prin valorificarea produselor finite este:

f = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn.(1.6)

Problema sortimentului optim cere sa determinam x1, x2, . . . , xn asa ncat f sa fie

maxima.

3. Problema transporturilor

Un produs (marfa) se afla n depozitele D1, D2, . . ., Dm cu capacitatile a1, a2, . . ., am

si trebuie transportat(a) la centrele de consum C1, C2, . . ., Cn n cantitatile b1, b2, . . .,

bn. Cunoscand costul transportului pe unitate de produs de la depozitul Di, i = 1,m la

centrul de consum Cj, j = 1, n, notat cu cij, se cere sa se ntocmeasca un astfel de plan

de repartitie a produsului ncat costul total al transportului sa fie minim.

7

Daca notam cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la depozitulDi, i = 1,m,

la centrul de consum Cj, j = 1, n, atunci modelul matematic al problemei de transport

se poate reprezenta prin tabelul:

Di \ Cj C1 C2 . . . Cn Disponibil

D1c11

x11

c12

x12. . .

c1n

x1na1

D2c21

x21

c22

x22. . .

c2n

x2na2

......

......

......

Dmcm1

xm1

cm2

xm2. . .

cmn

xmnam

Necesar b1 b2 . . . bn T

Modelul matematic pentru probleme de transport se scrie astfel:

nj=1

xij = ai, i = 1,m

mi=1

xij = bj, j = 1, n

xij 0, i = 1,m, j = 1, n(min)f =

mi=1

nj=1

cijxij.

(1.7)

8

1.2 Probleme de programare liniara. Rezolvarea cu

ajutorul calculatorului

Problema de programare liniara ( P.L. ), sub forma cea mai simpla pe care o vom

numi forma standard sau forma algebrica, este data prin modelul matematic

(optim)f(x) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn(1.8) a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

(1.9)

xj 0, j = 1, n,(1.10)unde (1.8) este functia de scop, (1.9) sunt restrictiile, iar (1.10) conditiile de neneg-

ativitate.

Sistemul de restrictii (1.9) reprezinta concordanta interna a unui proces economic.

Coeficientii aij, i = 1,m, j = 1, n, sunt coeficienti tehnici constanti, planificati sau

determinati n mod statistic. Necunoscutele xj, j = 1, n, sunt marimi care trebuie gasite,

iar termenii liberi bi, i = 1,m, sunt marimi constante date, determinate de conditiile

locale ale procesului economic, numiti coeficienti de restrictie ai programului dat.

Fie matricele

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

, b =

b1

b2...

bm

, x =

x1

x2...

xn

,

c = (c1, . . . , cn), =

0...0

Cu aceste notatii, problema de programare liniara (1.8)(1.10) ia forma matriceala:

(optim)f(x) = cx

Ax = b

x Daca notam cu Pj, j = 1, n, vectorii ale caror componente sunt elemente core-

spunzatoare coloanelor matricei A, atunci problema de programare liniara (1.8)(1.9) ia

forma (optim)f(x) = cx

x1P1 + x2P2 + . . .+ xnPn = b

x

9

numita forma vectoriala a problemei de programare liniara.

Metoda generala de rezolvare a problemelor de programare liniara este cunoscuta n

literatura de specialitate sub numele de metoda simplex sau algoritmul simplex. Ea

este datorata lui G.B.Dantzig, care a publicat primele lucrari n 1947. Ulterior s-au dat

diverse variante mbunatatite ale metodei.

In continuare vom prezenta o metoda de derminare a coordonatelor unui vector dat la

schimbarea bazei. Acestei metode i vom spune pas Jordan si va fi necesara n descrierea

etapelor algoritmului simplex.

Teorema 1.2.1 (teorema nlocuirii a lui Steinitz.) Daca B = {e1, e2, . . . , en} esteo baza n spatiul vectorial V peste campul K si x =

nk=1

akek este un vector din V ce

satisface conditia at 6= 0, atunci sistemul B1 = {e1, e2, . . . , et1, x, et+1, . . . , en} este, deasemenea, o baza pentru V .

Observatia 1.2.1 Pentru coordonatele vectorului y =n

k=1

ckek n noua baza B1 (adica

y = y1e1 + y2e2 + + yt1et1 + ytx+ yt+1et+1 + + ynen ) rezulta formulele:

yk =ckat akct

at, pentru k 6= t

yt =ctat, pentru k = t.

Observatia 1.2.2 Valoarea lui yk , k 6= t se obtine dupa regula :

at ct

ak ckechivalenta cu

atck akctat

= yk,

numita si regula dreptunghiului. Elementul at 6= 0 se numeste si pivot, ceea ce face caregula dreptunghiului sa se mai numeasca si regula pivotului. In regula dreptunghiului,

diagonala pe care se afla elementul pivot va fi considerata diagonala principala. Valoarea

lui yk se obtine mpartind la elementul pivot diferenta dintre produsul elementelor de pe

diagonala principala si produsul elementelor de pe diagonala secundara. De obicei calculele

se fac n tabele succesive. Pentru simplificarea expunerii vom prezenta metoda pe un caz

particular.

Exemplul 1.2.1 Fie vectorii x = (2, 3, 1) si y = (3, 4, 5) scrisi n baza canonica din R3

(adica e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ). Scriem coordonatele lui y n baza

(e1, x, e3).

Etapele de lucru sunt:

Vom pune ntr-un tabel coordonatele vectorilor e1, e2, e3, x si y n baza {e1, e2, e3}

10

Deoarece dorim sa nlocuim vectorul e2 cu x, vom alege ca element pivot, elementul

ce se afla la intersectia liniei lui e2 cu coloana lui x , adica in cazul nostru elementul 3.

Deci n noua baza vom avea vectorii {e1, x, e3}. Completam coloanele vectorilor e1, x, e3 cu coordonatele lor n baza {e1, x, e3}. Impartim elementele de pe linia pe care se afla elementul pivot (adica linia 2) la

elementul pivot (adica la 3) si completam linia 2 din noul nostru tabel.

Restul elementelor se calculeaza cu regula dreptunghiului , adica daca vrem sa cal-

culam de exemplu elementul de pe linia lui e3 si coloana lui e1 din noul nostru tabel,

observam ca lui i corespunde n tabelul anterior elementul de pe linia lui e3 si coloana lui

e1 , adica 0, si consideram dreptunghiul:

0 (3)

0 1

Deci elementul nostru va fi egal cu3 0 1 0

3= 0.

Baza e1 e2 e3 x y

e1 1 0 0 2 3x

e2 0 1 0 (3) 4e3 0 0 1 1 5

e1 1 23 0 0 13x 0 1

30 1 4

3

e3 0 13 1 0 113

Deci coordonatele lui y n noua baza {e1, x, e3} sunt{1

3,4

3,11

3

}, adica

y =1

3e1 +

4

3x+

11

3e3 .

Vom prezenta algoritmul simplex pentru problema de programare liniara:

(min)f(x) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxna11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

xj 0, j = 1, nPentru rezolvarea acestei probleme se introduc datele problemei nt-un tabel de forma:

Tabel 1.

11

c c1 c2 c3 . . . cn

CB B SB P1 P2 P3 . . . Pn

e1 b1 a11 a12 a13 . . . a1n

e2 b2 a21 a22 a23 . . . a2n...

......

...... aij

...

em bm am1 am2 am3 . . . amn

unde {e1, e2, . . . , em} reprezinta baza canonica din Rm.Notatie:

CB=coeficientii bazei

B=baza

SB=solutia de baza

P1, P2, , Pn=vectorii problemeiEtapa I. Se schimba baza canonica {ei}i=1,m ntr-o baza formata din vectori ai prob-

lemei {Pi} efectuand pasi Jordan (pasul Jordan a fost descris la metoda de determinarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei).

Observatia 1.2.3 Elementul pivot se alege nenul, dar nu neaparat pozitiv, astfel ncat

calculele sa fie cat mai avantajoase.

Observatia 1.2.4 Cat timp n baza mai exista vectori ei ai bazei canonice, nu se

schimba un vector Pi cu un vector Pj.

In coloana CB se pun coeficientii functiei scop. Adica, daca n baza se va afla vectorul

problemei Pi lui i va corespunde n coloana CB coeficientul ci. Dupa formarea primei

baze numai din vectori ai problemei {Pi, Pj, } se trece laEtapa II. Se calculeaza zj = (zj0, zj1, . . . , zjn) si j = (j1,j2, . . . ,jn) dupa

regulile:

zj0 = CB, SB (produsul scalar ntre vectorii CB si SB)zji = CB,Pi (produsul scalar ntre vectorii CB si Pi)j = c zj , adica ji = ci zji , i = 1, n

(1.11)

si se completeaza etajul corespunzator din tabela cu doua linii suplimentare:

Tabelul 2.

c c1 c2 c3 . . . ci cnCB B b P1 P2 P3 . . . Pi Pnci1 Pi1 b1 a11 a12 a13 . . . a1i a1nci2 Pi2 b2 a21 a22 a23 . . . a2i a2n...

......

......

......

......

...

cim Pim bm am1 am2 am3 . . . ami amnzj zj0 zj1 zj2 zj3 zji zjnj - j1 j2 j3 ji jn

12

unde i1, i2, . . . , im {1, 2, . . . , n} ,{bi

}i=1,m

si {aij}i=1,m,j=1,n s-au obtinut n urmapasilor Jordan.

Vom verifica n continuare n care din urmatoarele 6 cazuri ne ncadram si se continua

rezolvarea problemei dupa metoda descrisa la cazul respectiv.

Observatia 1.2.5 Linia pe care se afla elementul pivot i vom spune linie pivot, iar

coloana pe care se afla elementul pivot i vom spune coloana pivot. Deci vom avea

nevoie la alegerea pivotului sa cunoastem linia pivot si coloana pivot.

CAZUL 1. Exista ji < 0 si pe coloana respectiva exista elemente pozitive. Atunci:

maxij 0 (foarte mare), adica xi =M ;

Pentru acei Pi care nu sunt n baza (B) avem xi = 0;

Pentru acei Pi care se afla n baza (B) vom avea xi = SB[i]M ji , unde SB[i] = bi(vezi Tabelul 2.) si ji este elementul care dicteaza optimul infinit (ji < 0).

Valoarea minimului lui f se gaseste prin nlocuirea lui x1, x2, . . . , xn n functia scop

sau din min(f) = zj0 +M ji, unde ji este cel care a dictat optimul infinit.CAZUL 3. Toti ji 0 dar SB are cel putin o componenta negativa. Atunci se

alege pivotul (nu neaparat pozitiv) de pe linia unei componente negative din SB, astfel

ncat n locul unui Pi din baza (B) sa intre un Pj care nu a mai fost n baza.

CAZUL 4. Toti ji 0 si SB 0 dar numarul ji-urilor nuli depaseste numarulde restrictii (1.9). Atunci vom avea posibile solutii multiple si anume solutia pe care o

avem deja n tabel (pentru acei Pi care sunt n baza avem xi = SB[i] = bi, iar pentru acei

Pk care nu sunt n baza avem xk = 0) si acele solutii pe care le vom gasi alegand pivotul

( de cate ori este posibil) de pe o coloana cu ji = 0 astfel ncat n baza sa intre un Pi

care nu a mai fost n baza. Pentru a stabili linia pivot se foloseste minimul rapoartelor

element pozitiv din SB/element pozitiv din coloana pivot. Se efectueaza un pas Jordan

si se obtine noua solutie.

Solutia generala se da ca o combinatie convexa a solutiilor gasite. De exemplu daca

avem solutiile x(1), x(2) si x(3) , atunci solutia generala este x = x(1) + x(2) + x(3) cu

, , [0, 1] si + + = 1.

13

CAZUL 5. Toti ji 0 si SB 0 iar numarul ji-urilor nuli numarul restrictiilor.In acest caz avem o solutie optima finita care se citeste astfel: pentru acei Pi care sunt

n baza avem xi = SB[i] = bi (vezi Tabelul 2.), iar pentru acei Pk care nu sunt n baza

avem xk = 0, iar min(f) = zj0.

CAZUL 6. Daca se aplica pasii algoritmului simplex pana la trecerea tuturor combinatiilor

posibile de Pi, Pj, . . . n baza fara a ajunge la vreo solutie optima (finita, infinita, mul-

tipla), atunci problema nu are solutie.

Observatia 1.2.6 Daca problema degenereaza pe parcursul rezolvarii, adica nu putem

deosebi doua posibile linii pivot prin minimul rapoartelor ( vezi CAZUL 1. si CAZUL 4.)

atunci folosim ordonarea lexicografica. Sa presupunem ca avem linile (vezi Tabelul 2.):

bi ai1 ai2 ainbk ak1 ak2 akn

Atunci:

daca bi < bk spunem ca linia (i) precede linia (k); daca bi > bk spunem ca linia (k)

precede linia (i);

daca bi = bk atunci comparam ai1 cu ak1 si daca ai1 < ak1 atunci linia (i) precede

linia (k); daca ai1 > ak1 atunci linia (k) precede linia (i);

daca ai1 = ak1 atunci se compara urmatoarele componente din cele doua linii si asa

mai departe pana cand se decide care linie o precede pe cealalta.

Daca linia (i) precede linia (k), atunci se alege ca linie pivot linia (i), iar daca linia

(k) precede linia (i) atunci se alege ca linie pivot linia (k).

Pentru a se ntelege mai bine algoritmul simplex vom urmari etapele algoritmului

pentru urmatoarea problema de programare liniara:

Problema 1.2.1 Sa se afle minimul functiei f , unde

f = 2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 x5 ,cu restrictiile:

2x1 +x2 +x3 = 4

x1 +2x3 +x5 = 7

3x1 +2x2 +x4 = 10

si conditiile de pozitivitate xi 0 , i = 1, 5 .

Mai ntai vom pune datele problemei in tabel

c 2 1 3 5 -1

CB B SB P1 P2 P3 P4 P5

e1 4 2 1 1 0 0

-1 P5 7 1 0 2 0 1

5 P4 10 3 2 0 1 0

14

unde n baza s-au putut introduce direct P5 si P4 deoarece coincid cu e2, respectiv cu

e3. La introducerea lor n baza s-au completat si elementele corespunzatoare din CB

(coeficientii bazei) care se citesc din prima linie a tabelului (c).

Vom alege elementul pivot astfel ncat n baza sa intre P1 n locul lui e1 deoarece

calculele nu sunt complicate cu un pivot de valoare 2. Se putea alege si alt pivot astfel

ncat e1 sa fie nlocuit cu P2 sau P3, dar vom prezenta n continuare numai rezolvarea

problemei pornind de la pivotul ales de noi. Se va efectua un pas Jordan, adica:

se completeaza mai ntai coordonatele vectorilor care sunt n baza (la noi P1, P5, P4);

elementele necompletate de pe linia pivot se obtin din elementele anterioare prin

mpartirea lor la elementul pivot;

restul elementelor necompletate se obtin prin regula dreptunghiului. De exemplu,

daca dorim sa calculam elementul de pe linia lui P5 si coloana SB (din noul tabel) observam

ca lui i corespunde n tabelul anterior elementul de pe linia lui P5 si coloana SB, adica 7,

si vom considera dreptunghiul

4 (2)

7 1


2= 5 .

Daca dorim sa calculam elementul de pe linia lui P4 si coloana lui P3 (din noul tabel)

observam ca lui i corespunde n tabelul anterior elementul de pe linia lui P4 si coloana

lui P3, adica 0, si vom considera dreptunghiul

(2) 1

3 0


2= 3

2.

Prin aplicarea pasului Jordan astfel ales obtinem tabelul:

c 2 1 3 5 -1

CB B SB P1 P2 P3 P4 P5P1e1

e1 4 (2) 1 1 0 0

-1 P5 7 1 0 2 0 1

5 P4 10 3 2 0 1 0

2 P1 2 11

2

1

20 0

-1 P5 5 0 12

3

20 1

5 P4 4 01

232

1 0

zj 19 2 4 8 5 -1j 0 -3 11 0 0

unde zj si j s-au calculat dupa formulele (1.11), adica: zj0 = 2 2+ (1) 5+ 5 4 = 19;zj1 = 2 1 + (1) 0 + 5 0 = 2; zj2 = 2

(1

2

)+ (1)

(12

)+ 5

(1

2

)= 4;

15

zj3 = 2 (1

2

)+ (1) 3

2+ 5

(32

)= 8; zj4 = 2 0 + (1) 0 + 5 1 = 5;

zj5 = 2 0 + (1) 1 + 5 0 = 1; j1 = 2 2 = 0;j2 = 1 4 = 3;j3 = 3 (8) = 11;j4 = 5 5 = 0;j5 = (1) (1) = 0;

Observam ca j2 = 3 < 0 iar pe coloana lui j2 avem elementele 0. Atunciconform CAZULUI 1. avem:

maximul modulelor ji-urilor negative (la noi nu exista dacat j2 < 0) ne da coloana

pivot, adica la noi coloana corespunzatoare lui P2 este coloana pivot;

minimul rapoartelor21

2

= 4 < 8 =41

2

ne da linia pivot ca fiind linia corespunzatoare

lui P1;

Avand pivotul astfel determinat efectuam un nou pas Jordan si obtinem tabelul:

c 2 1 3 5 -1


e1 4 (2) 1 1 0 0

-1 P5 7 1 0 2 0 1

5 P4 10 3 2 0 1 0P2P1

2 P1 2 1

(1

2

)1

20 0

-1 P5 5 0 12

3

20 1

5 P4 4 01

232

1 0

zj 19 2 4 8 5 -1j 0 -3 11 0 0

1 P2 4 2 1 1 0 0

-1 P5 7 1 0 2 0 1

5 P4 2 -1 0 2 1 0zj 7 -4 1 11 5 -1j 6 0 14 0 0

unde zj si j s-au calculat dupa formulele (1.11).

Observam ca toti ji 0 , SB 0 si numarul j-urilor nule ( avem 3 j nule:j2,j4,j5 ) nu depaseste numarul de restrictii (avem 3 restrictii) ceea ce nseamna ca

avem conform CAZULUI 5 un optim finit. Solutia problemei va fi:

Deoarece P1 si P3 nu sunt n baza , rezulta ca x1 = 0 si x3 = 0;

Deoarece P2 este n baza si n SB pe pozitia corespunzatoare lui P2 avem valoarea 4,

rezulta ca x2 = 4;

Analog obtinem: x4 = 2 si x5 = 7

min(f) este dat de zj0, adica min(f)=7;

In final avem xT = (0, 4, 0, 2, 7) si min(f)=7.

16

Observatia 1.2.7 Intr-o problema de programare liniara putem lucra considerand opti-

mul drept minim deoarece daca se cere maximul, atunci din relatia max f = min(f)se deduce ca este suficient sa se determine min(f), iar apoi, cu semn schimbat, vomavea maximul lui f .

Problema 1.2.2 Rezolvati problema de programare liniara:

(max)(f) = x1 + 2x2 + x3 + 3x4 x5 2x6x1 + x2 + 2x3 + 3x5 = 15

2x2 + x3 + x4 + 5x5 = 20

x2 + 2x3 + x5 + x6 = 10

cu conditiile de nenegativitate xi 0 , i = 1, 6 .

Vom considera functia: g = f = x1 2x2 x3 3x4 + x5 + 2x6 si vom rezolvaproblema (min)(g), considerata cu aceleasi restrictii. Aceasta problema va avea aceeasi

solutie si acelasi optim n valoare absoluta (daca aceasta exista) cu problema initiala.

c 1 -2 -1 -3 1 2

CB B SB P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 P1 15 1 1 2 0 3 0

-3 P4 20 0 2 1 1 5 0P3P6

2 P6 10 0 1 (2) 0 1 1

zj 25 1 -3 3 -3 -10 2j 0 1 4 0 11 0

1 P1 5 1 0 0 0 2 -1

-3 P4 15 03

20 1

9

212

-1 P3 5 01

21 0

1

2

1

2zj 45 1 -5 1 -3 -12 0j 0 3 0 0 13 2

Deci avem solutia optima finita :

xT = (5, 0, 5, 15, 0, 0) , min(g) = 45 , deci max(f) = 45.Observatia 1.2.8 Intr-o problema economica, de obicei, restrictiile problemei de pro-

gramare liniara sunt inecuatii, caz n care spunem ca avem o problema generala de

programare liniara. Modelul matematic al acesteia, sub forma matriciala, arata astfel:

(optim)f(x) = cxA1x = b

(1)

A2x b(2)A3x b(3)x .

17

Rezolvarea unei astfel de probleme se face prin transformarea ei ntr-una standard,

prin introducerea necunoscutelor de compensare.

Astfel, pentru o restrictie de forma

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn bi

consideram necunoscuta de compensare xn+1 0 si transformam inecuatia n ecuatieastfel

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn + xn+1 = bi

Pentru o restrictie de forma

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn bk

consideram necunoscuta de compensare xn+2 0 si transformam inecuatia n ecuatie,astfel

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn xn+2 = bkCate restrictii de tip inecuatie avem, atatea necunoscute de compensare vom intro-

duce.

In functia de eficienta necunoscutele de compensare se introduc cu coeficientii egali cu

zero.

In solutia optima din tabelul simplex s-ar putea sa apara si unele necunoscute de

compensare, dar n solutia obtinuta a problemei de P.L. generala acestea nu se considera.

Problema 1.2.3 Sa se rezolve problema generala de P.L.:

(min)f(x) = 3x1 2x2 + 4x3 x42x1 +3x2 x3 +x4 = 75x1 +2x2 +x3 x4 5x1 +x2 +2x3 +2x4 102x1 +2x2 +x3 +x4 9

xj 0, j = 1, 4.

Transformam problema generala n una standard, introducand variabile de compen-

sare x5, x6, x7:

(min)f(x) = 3x1 2x2 + 4x3 x42x1 +3x2 x3 +x4 = 75x1 +2x2 +x3 x4 x5 = 5x1 +x2 +2x3 +2x4 +x6 = 10

2x1 +2x2 +x3 +x4 +x7 = 9

18

xj 0, j = 1, 7.Acum, aplicam algoritmul simplex si avem:

c 3 -2 4 -1 0 0 0

CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

e1 7 2 3 -1 1 0 0 0P2e2

e2 5 (5) 2 1 -1 -1 0 0

0 P6 10 1 1 2 2 0 1 0

0 P7 9 2 2 1 1 0 0 1P2e2

e1 5 0(115

) 75

75

25

0 0

3 P1 1 125

15

15

15

0 0

0 P6 9 035

95

115

15

1 0

0 P7 7 065

35

75

25

0 1

-2 P22511

0 1 711

711

211

0 0

3 P1111

1 0 511

511

311

0 0

0 P68411

0 0 2411

2011

111

1 0

0 P74711

0 0 1511

511

211

0 1

zj 4711 3 -2 2911 2911 1311 0 0j 0 0

1511

1811

1311

0 0

Cum toti j 0, j = 1, 7. rezulta ca solutia problemei de P.L. standard este

x(1) =

(1

11,25

11, 0, 0, 0,

84

11,47

11

), (min)f(x) = 47

11,

iar a problemei generale

x(1) =

(1

11,25

11, 0, 0

), (min)f(x) = 47

11,

caz n care nu am mai luat n seama valorile necunoscutelor de compensare.

Problema 1.2.4 (Problema deseurilor minime.) Se dispune de bare de fier de 14m

lungime din care trebuie taiate 500 bucati de 8m, 800 bucati de 5,25m si 450 bucati de

2,5m. Se cere sa se stabileasca modul de taiere care asigura cantitatea minima de deseuri.

Solutie. Se observa ca pentru o bara exista 5 moduri de taiere:

MODUL 1. Se taie o bucata de 8m si alta de 5,25m, obtinandu-se deseul de 0,75m=3/4m;

MODUL 2. Se taie o bucata de 8m si doua bucati de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1m;

MODUL 3. Se taie doua bucati de 5,25m si una de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1m;

MODUL 4. Se taie o bucata de 5,25m si trei de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1,25m=5/4m;

MODUL 5. Se taie cinci bucati de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1,5m=6/4m;

19

Notam cu xi , i = 1, 5 numarul de bare planificate a se taia n MODUL i , i = 1, 5 .

Avem conditiile:

x1 + x2 = 500

x1 + 2x3 + x4 = 800

2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 450

si evident xi 0 , i = 1, 5 .Cantitatea de deseuri ( dorim sa fie minima) este:

f =3

4x1 + x2 + x3 +

5

4x4 +

6

4x5 =

1

4(3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5) .

Pentru a usura calculele vom calcula minimul lui

f1 = 3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5, mpreuna cu restrictiile:x1 + x2 = 500

x1 + 2x3 + x4 = 800

2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 450

si conditiile de nenegativitate: xi 0 , i = 1, 5 .

c 3 4 4 5 6


e1 500 (1) 1 0 0 0

e2 800 1 0 2 1 0

e3 450 0 2 1 3 5

3 P1 500 1 1 0 0 0

e2 300 0 1 2 1 0P3e3

e3 450 0 2 (1) 3 5

3 P1 500 1 1 0 0 0P5e2

e2 -600 0 5 0 -5 (-10)4 P3 450 0 2 1 3 5

3 P1 500 1 1 0 0 0P4P5

6 P5 60 0 1/2 0 (1/2) 1

4 P3 150 0 1/2 1 1/2 0zj 2 460 3 4 4 5 6

j 0 0 0 0 0avem solutie

multipla

3 P1 500 1 1 0 0 0P2P4

5 P4 120 0 (1) 0 1 2

4 P3 90 0 1 1 0 -1zj 2 460 3 4 4 5 6

j 0 0 0 0 0

20

c 3 4 4 5 6

CB B SB P1 P2 P3 P4 P5

3 P1 380 1 0 0 -1 -2

4 P2 120 0 1 0 1 2

4 P3 210 0 0 1 1 1

zj 2 460 3 4 4 5 6

j 0 0 0 0 0

Problema are solutii multiple:

xT1 = (500, 0, 150, 0, 60) , xT2 = (500, 0, 90, 120, 0) , x

T3 = (380, 120, 210, 0, 0), iar

min(f1) = 2 460(m) si deci min(f) = 2 460/4 = 615(m).

Solutia generala se scrie: xT = xT1 + xT2 + xT3 cu , , [0, 1] , + + = 1 .

21

1.3 Model dinamic continuu de crestere economica

Vom studia un model matematic care descrie prin ecuatii diferentiale cresterea productiei.

Deoarece vom studia un model dinamic continuu vom considera timpul ca o marime

variabila continua , t [0, T ] , T > 0.Fie R1, R2, . . . , Rn , ramurile unei economii nationale si t [0, T ] fixat. Alegem un

numar real h asa ncat t + h [0, T ]. Pe intervalul [t, t + h], introducem urmatoarelenotatii:

xi(t, h) pentru productia ramurii Ri n intervalul [t, t+ h] , i = 1, n

xij(t, h) pentru cantitatea din productia ramurii Ri, care se foloseste n productia

ramurii Rj, n intervalul [t, t+ h] , i, j = 1, n

Cantitatea din productia ramurii Ri ce se foloseste pentru producerea unei unitati de

productie din ramura Rj se numeste coeficient tehnologic, pe care l notam cu aij(t, h)

si este dat prin:

aij(t, h) =xij(t, h)

xj(t, h)(1.12)

Daca procesul de productie se desfasoara n mod ritmic, atunci este natural sa pre-

supunem ca pentru intervalul [t, t + h] dat, productia xi(t, h) a ramurii Ri este direct

proportionala cu lungimea h a acestui interval.

Notand cu xi(t) , i = 1, n factorul de proportionalitate , vom avea

xi(t, h) = xi(t)h(1.13)

unde

xi(t) =xi(t, h)

h(1.14)

adica xi(t) reprezinta productia ramurii Ri n unitatea de timp n intervalul [t, t+ h].

In mod analog, daca notam cu xij(t) factorul de proportionalitate corespunzator can-

titatii xij(t, h), avem

xij(t, h) = xij(t)h(1.15)

Din relatia (1.12) avem

aij(t, h) =xij(t, h)

xj(t, h)=xij(t)h

xj(t)h=xij(t)

xj(t)notam= aij(t) .(1.16)

Din relatia (1.16) se observa ca aij, coeficientul tehnologic, reprezinta cantitatea din

productia ramurii Ri folosita pentru producerea unei unitati de productie din ramura Rj

ntr-o unitate de timp.

In mod corespunzator, pentru intervalul [t + h, t + 2h], notam productia ramurii Ri

cu xi(t+ h, h). Atunci sporul (crestera) productiei ramurii Ri corespunzator celor doua

intervale de timp va fi dat de:

xi(t, h) = xi(t+ h, h) xi(t, h) , i = 1, n(1.17)

22

Analog cu relatia (1.13) putem scrie

xi(t+ h, h) = xi(t+ h)h , i = 1, n(1.18)

unde xi(t+h) este productia ramurii Ri, ntr-o unitate de timp, din intervalul [t+h, t+2h].

Fie yij(t + h, h) partea din productia ramurii Ri, din perioada [t, t + h], care va fi

folosita ca investitie, n ramura Rj n perioada [t+ h, t+2h], investitie ce va conduce la

un spor mediuxj(t, h)

hn unitatea de timp din perioada [t+ h, t+ 2h]. Atunci

bij(t+ h, h) =yij(t+ h, h)

xj(t, h)

h

(1.19)

este cantitatea din productia ramurii Ri din perioada [t, t + h] folosita n ramura Rj n

perioada [t + h, t + 2h], care va aduce un spor de productie unitar, n ramura Rj, n

unitatea de timp din perioada [t+ h, t+ 2h] si se numeste coeficient de investitie.

Prin analogie cu relatiile (1.13) , (1.15) si (1.18) putem scrie

yij(t+ h, h) = yij(t+ h)h ,(1.20)

unde yij(t+h) este partea din productia ramurii Ri din perioada [t, t+h] ce va fi folosita

ca investitie pe unitatea de timp n ramura Rj pentru a se obtine sporulxj(t, h)

h, n

unitatea de timp din perioada [t+ h, t+ 2h].

Din relatiile (1.13), (1.18), (1.17), (1.19) si (1.20) se obtine

bij(t+ h, h) =yij(t+ h, h)

xj(t, h)

h

=(1.21)

yij(t+ h)h

[xj(t+ h) xj(t)]hh

=yij(t+ h)

xj(t+ h) xj(t)h

notam= bij(t+ h)

Din relatia (1.21) se observa ca bij(t+h, h) este un coeficient de investitie unitar, adica

se refera la unitatea de timp din perioada [t+ h, t+ 2h].

Fie yi(t, h), partea din productia ramurii Ri, din perioada [t, t+h] destinata consumului

(neproductiv), care se mai poate scrie astfel:

yi(t, h) = yi(t)h(1.22)

unde yi(t) este partea din productia ramurii Ri destinata consumului n unitatea de timp

din perioada [t, t+ h].

Sistemul ecuatiilor de repartizare a productiilor ramurilor Ri din perioada [t, t+ h] se

poate scrie

xi(t, h) =nj=1

xij(t, h) +nj=1

yij(t+ h, h) + yi(t, h) , i = 1, n(1.23)

23

Avand n vedere coeficientii tehnologici si coeficientii de investitie dati de formulele

(1.12) si (1.19) , sistemul (1.23) se poate scrie astfel:

xi(t, h) =nj=1

aij(t, h) xj(t, h) +nj=1

bij(t+ h, h)xj(t, h)

h+ yi(t, h) , i = 1, n .(1.24)

Folosind relatiilor (1.13), (1.16), (1.17), (1.18), (1.21) si (1.22) obtinem din (1.24)

urmatorul sistem

xi(t)h =nj=1

aij(t)xj(t) h+nj=1

bij(t+ h) [xj(t+ h) xj(t)] + yi(t) h , i = 1, n(1.25)

sau

xi(t) =nj=1

aij(t)xj(t) +nj=1

bij(t+ h)xj(t+ h) xj(t)

h+ yi(t) , i = 1, n .(1.26)

Presupunem ca functiile aij, bij sunt continue, iar functiile xi sunt derivabile si trecem

la limita pentru h 0, n egalitatea (1.26). Vom obtine:

xi(t) =nj=1

aij(t)xj(t) +nj=1

bij(t)xj(t) + yi(t) , i = 1, n .(1.27)

Astfel am obtinut un sistem de ecuatii diferentiale, care a rezultat din sistemul de

ecuatii de repartizare a productiilor. Sistemul de ecuatii diferentiale (1.27) se mai poate

scrie matriceal sub forma

X(t) = A(t)X(t) +B(t)X (t) + Y (t)(1.28)

Relatia (1.28) se mai poate scrie

B(t)X (t) = [E A(t)]X(t) Y (t) ,

adica

X (t) = B1(t) [E A(t)]X(t)B1(t)Y (t) ,unde E este matricea unitate, iar B1 este inversa matricei B.

Deci vom obtine sistemul

X (t) = A1(t)X(t) + f(t)(1.29)

unde A1(t) = B1(t) [E A(t)] si f(t) = B1(t)Y (t).

Relatia (1.29) reprezinta modelul dinamic continuu de crestere economica.

Observatia 1.3.1 Daca matricea tehnologica A si matricea coeficientilor de investitie B

sunt constante, pe o anumita perioada de timp, atunci sistemul de ecuatii diferentiale este

cu coeficienti constanti, n caz contrar avem un sistem cu coeficienti variabili.

24

1.4 Teoria stocurilor n sens determinist

Definitia 1.4.1 Se numeste stoc o rezerva de bunuri economice creata n vederea folosirii

sale n procesul de productie sau n vederea vanzarii sale ulterioare .

Exemple: stocuri de materii prime , materiale, piese de schimb, produse finite, echipa-

mente, marfuri, etc.

Vom arata cum se construieste un model matematic pentru gestiunea unui stoc,

folosind concepte de analiza matematica.

Crearea si pastrarea stocului presupune o serie de cheltuieli. Se va urmari realizarea

unei asemenea gestiuni a stocului ncat cheltuielile totale(medii) sa fie minime.

Tipuri de cheltuieli:

1) cheltuieli de lansare (n vederea constituirii stocului) care se evidentiaza prin

cl =costul de lansare a comenzii;

2) cheltuieli de stocare (se refera la depozitarea, supravegherea, ntretinerea stocu-

lui, etc.). Acestea se calculeaza pe baza costului unitar de stocare (cs) (costul de

stocare a unei unitati de bun material pe unitate de timp).

Nivelul stocului variaza n timp datorita intrarilor si iesirilor de bunuri materiale. Din

acest punct de vedere modelele de stoc se vor clasifica astfel:

a) determinist= cand intrarile si iesirile, pe o perioada fixa, pot fi cunoscute cu

exactitate;

b) probabilistic (aleator)=cand intrarile si iesirile sunt cunoscute numai n probabil-

itate .

Notatii:

=perioada de studiu la care se refera problema n cauza;

T (sau T1, T2, . . .)= perioada (intervalul) de timp dintre doua intari succesive n stoc,

dintre doua aprovizionari;

Ni=nivelul initial al stocului;

Nf=nivelul final al stocului;

N(t)=nivelul stocului la momentul t.

Evolutia stocului n timpul unei perioade T se reprezinta sub forma graficului unei

functii n scara, descrescatoare (fig.1). Deoarece calculul cu functii n scara, este mai

dificil, pentru simplificare consideram ca descresterea este uniforma, deci se desfasoara n

mod continuu (fig.2).

25

6N(t)

-t0

Ni

Nf

-T

fig. 1

6

N(t)

0-

t0

Ni

Nf

-T

fig. 2

HHHHHHHHHHH

Optimizarea proceselor de stocare deterministe1. Modelul cu perioada fixa si cerere constanta, fara ruptura

Este cel mai simplu model:

intervalul de timp dintre doua aprovizionari este fix (T );

cantitatea care se cere pe o astfel de perioada este constanta;

livrarea se face exact n momentul cand nivelul stocului a ajuns la 0;

cantitatea cu care se aprovizioneaza stocul (v)=cantitatea ceruta (u) . Deci nivelul

stocului la inceputul fiecarei perioade de aprovizionare este acelasi.

6

N(t)

-t0

@@@@@

@@@@@

@@@@@

-T -T -T -

?

6

u=v

fig. 3

Elementele care, de obicei, se cunosc:

V=cantitatea totala ce se cere n perioada de studiu ;

cs=costul unitar de stocare;

cl=cheltuielile de lansare ale comenzii;

Elementele ce vor trebui determinate:

v = u cantitatea cu care se face aprovizionarea;

n= numarul de aprovizionari;

26

T=durata perioadei de aprovizionare;

fmin=valoarea minima a cheltuielilor totale legate de gestiune;

Observatie:

n =

T=V

v(1.30)

Din relatia (1.30) rezulta ca numarul necunoscutelor se reduce la unu. De obicei v

este necunoscuta independenta.

Vom evalua, mai ntai, cheltuielile ce se fac nt-o perioada T de aprovizionare (cT ):

cheltuielile de lansare cl;

cheltuielile de stocare cs v2T (se exprima avand n vedere nivelul mediu al stocului,

adicav

2=v + 0

2si prin costul cs unitar de stocare)

Deci: cT = cl + cs v2 T

Notam cu c cheltuielile pe perioada de studiu . Avand n perioade de aprovizionare

rezulta ca:

c = n cl + n cs v2 T

Dar din relatia (1.30) avem n =V

v, nT = . Atunci

c = cl Vv+ cs v

2

In c singura necunoscuta este v. Notand cu f(v) valoarea cheltuielilor totale c ,

rezulta ca

f(v) = cl Vv+ cs v

2

Se cere valoarea minima a lui f . In continuare vom determina punctele de extrem pentru

functia f .

f (v) = cl Vv2

+ cs 2

Din ecuatia f (v) = 0 vom obtine v = 2 cl v cs .

Deci vom avea:

vopt =

2 cl V cs ;

nopt =V

vopt;

Topt =

nopt;

fmin = f

(2 cl v cs

)= cl V

cs2 cl v +

cs 2

2 cl v cs =

2 cl V cs + cs 2 cl V22 cs cl V

=2 cl V cs

22 cs cl V

= cs vopt .

(1.31)

27

2. Modelul cu perioada fixa si cerere constanta, cu ruptura

Avem aceleasi caracteristici ca si n cazul modelului anterior, dar acum cererea u n

perioada de aprovizionare este mai mare decat cantitatea v cu care se face aprovizionarea.

Deci exista o subperioada, de durata T2, n care nivelul stocului este 0, existenta stocului

fiind asigurata doar n prima subperioada T1, a perioadei de aprovizionare T .

6

N(t)

-

t0

@@@@@@@@

@@@@@@@@

@@@@@@@@

-T1 -T1 -T1 -T2 -T2 -T2 -T -T -T -

?

6

v

?

6

u

fig. 4

Pe subperioada T1 stocul este pozitiv cu nivelul mediuv

2. Pe subperioada T2 stocul

este nul, lipsa lui medie esteu v2

. In subperioada T2 apar cheltuielile de penalizare,

care se calculeaza cu ajutorul costului unitar de penalizare (cp), adica este vorba de

cat se plateste (pierde) din cauza lipsei unei unitati din stoc nt-o unitate de timp.

In perioada de aprovizionare T se fac urmatoarele cheltuieli:

de lansare: cl

de stocare pe subperioada T1: cs v2 T1

de penalizare pe subperioada T2: cp u v2

T2Deci

cT = cl + cs v2 T1 + cp u v

2 T2

c = n cTc = n

(cl + cs v

2 T1 + cp u v

2 T2).

Avem relatia

n =

T=V

u(1.32)

Din asemanarea unor triunghiuri dreptunghice obtinem

T

T2=

u

u vT

T1=u

v

(1.33)

28

Din relatile (1.32) si (1.33) avem:

T =u V

, T2 = T u vu

=

V (u v) , T1 = T v

u=u V

vu= v

V

Deci c =V

u

(cl + cs v

2

2V + cp (u v)

2

2V )= cl V

u+ cs v

2

2u + cp (u v)

2

2u

Necunoscutele sunt v si u . Vom determina valoarea minima a functiei :

f(u, v) = cl Vu+ cs v

2

2u + cp (u v)

2

2u

Derivatele partiale ale funtiei f sunt:

f u(u, v) = clV

u2 cs v

2

2u2 + cp

2(u v)u (u v)22u2

f v(u, v) = csv

u cpu v

u

Sistemul

{f u(u, v) = 0

f v(u, v) = 0se poate scrie:

cpu2 v2(cs + cp) = 2clV

v

u=

cpcs + cp

Obtinem:

v =cp

cs + cpu , u2 =

2clV

cs cs + cp

cp

Notand =cp

cs + cpvom putea scrie:

uopt =

2clV

cs, vopt = uopt(1.34)

Celelalte elemente ce caracterizeaza gestiunea optimala sunt:

nopt =V

uopt

Topt =

nopt

fmin = f

(2clV

cs,

2clV

cs

)= cs vopt

Observatie: calculand derivatele partiale de ordinul doi , se demonstreaza ca punctul

stationar (uopt, vopt) este punct de minim pentru functia f .

Problema 1.4.1 La un magazin sunt solicitate ntr-un semestru 10 000 unitati dintr-un

anumit produs. Cunoscand costul unitar de stocare de 5u.m./unitate/zi si cheltuielile de

lansare ale comenzii de 11 250 u.m., sa se determine elementele ce caracterizeaza aceasta

problema de gestiune, exprimand n prealabil functia f ce reprezinta cheltuielile totale de

gestiune pe acel semestru.

29

Solutie. Avem o problema de stoc cu perioada fixa, cerere constanta, fara ruptura.

V=10 000 unitati

cs=5 u.m./unitate/zi

cl=11 250 u.m.

=1 semestru=180 zile

Aplicand formulele (1.31) obtinem:

vopt =

2 cl V cs =

2 11 250 10 000

180 5 = 500 unitati ;

nopt =V

vopt=

10 000

500= 20 ori ;

Topt =

nopt=

180

20= 9 zile ;

fmin = cs vopt = 5 180 500 = 450 000 u.m. .

Problema 1.4.2 Int-un an, dint-un anumit produs sunt cerute 900 bucati. Cunoscand

costul unitar de stocare de 10 u.m./bucata/zi si cheltuielile de lansare ale comenzii, fixe, de

800 u.m., sa se determine: nivelul optim de aprovizionare, numarul optim de aprovizionari

din acel an, durata optima a perioadei de aprovizionare si valoarea minima a cheltuielilor

totale legate de gestiune, n acel an.

Solutie. Avem o problema de stoc cu perioada fixa, cerere constanta, fara ruptura.

V=900 bucati

cs=10 u.m./bucata/zi

cl=800 u.m.

=1 an=360 zile


vopt =

2 cl V cs =

2 800 900360 10 = 20 bucati ;

nopt =V

vopt=

900

20= 45 ori ;

Topt =

nopt=

360

45= 8 zile ;

fmin = cs vopt = 10 360 20 = 72 000 u.m. .

Problema 1.4.3 Intr-un an, la un atelier de reparatii, se consuma 100 000 piese de

schimb. Costul unitar de stocare este de 0,9 u.m./bucata/zi, costul unitar de penalizare

este de 1,6 u.m./bucata/zi, iar cheltuielile de lansare ale comenzii, fixe, sunt de 40 500

u.m. Sa se determine elementele ce caracterizeaza aceasta problema de stoc cu ruptura,

utilizand functia cheltuielilor totale f(u, v).

Solutie. Problema are un model de gestiune cu perioada fixa, cerere constanta, dar cu

ruptura.

30

V=100 000 bucati

cs=0,9 u.m./bucata/zi

cp=1,6 u.m./bucata/zi

cl=40 500 u.m.

=1 an=360 zile


=cp

cs + cp=

1, 6

2, 5= 0, 64

uopt =

2clV

cs=

2 40 500 100 000360 0, 9 0, 64 = 6 250 bucati

vopt = uopt = 0, 64 6 250 = 4 000 bucatinopt =

V

uopt=

100 000

6 250= 16 ori

Topt =

nopt=

360

16= 22, 5 zile

fmin = cs vopt = 0, 9 4 000 360 = 1 296 000 u.m.

31

Capitolul 2

Matematici financiare

2.1 Dobanda simpla si compusa

Definitia 2.1.1 Dobanda este o suma exprimata n diverse unitati monetare platita de

catre debitor creditorului pentru folosirea capitalului mprumutat (depus).

Definitia 2.1.2 Dobanda calculata o singura data pe toata durata de fructificare se numeste

dobanda simpla.

Notam prin

S0 = suma depusa (suma initiala),

t = numarul de ani (termenul),

p = procentul anual (dobanda ce se cuvine pentru 100 unitati monetare)

i =p

100= dobanda unitara anuala.

Cu aceste notatii deducem dobanda anuala este i S0 , de unde obtinem ca dobanda latermen este i S0 t. Notand prin St suma rezultata dupa t ani avem

St = S0 + iS0t = S0(1 + it) .

Observatii:

1. S0, S1 = S0 + iS0, S2 = S1 + iS0 = S0 + 2iS0, S3 = S2 + iS0 = S0 + 3iS0, . . . formeaza

o progresie aritmetica cu primul termen S0 si ratia iS0;

2. u = 1 + i se numeste factor de fructificare (se obtine din S0 = 1 si t = 1 notand

S1 = u);

3. v =1

u=

1

1 + ise numeste factor de actualizare (se obtine din S1 = 1 si t = 1

notand S0 = v).

4. Notam cu DS dobanda n regim de dobanda simpla (DS).

Problema 2.1.1 Sa se calculeze dobanda (simpla) la termen si suma finala produsa de

suma de 5300 u.m. cu procentul anual de 4% timp de 2 ani.

32

Solutie. Dobanda la termenul t este i S0 t si suma finala este St = S0(1 + it) , undet = 2, S0 = 5300, i =

4

100, adica dobanda va fi DS =

4

100 5300 2 = 424 u.m. si suma

finala va fi Sfinala = S2 = 5300

(1 +

4

100 2)= 5724 u.m .

Observatia 2.1.1 Daca anul este mpartit n n perioade (parti) atunci n formulele an-

terioare vom aveatnn

n loc de t, unde prin tn se ntelege timpul exprimat n partile

(perioadele) considerate. De exemplu: n = 2 (semestrial), n = 4 (trimestrial), n = 12

(lunar), n = 360 (zilnic). Astfel se deduc formulele:

Dobanda la termenul tn este DS =i S0 tn

n=p S0 tnn 100 ;

Suma finala este Stn = S0

(1 +

i tnn

)= S0

(1 +

p tnn 100

).

Problema 2.1.2 De ce suma dispunem peste 270 zile daca depunem suma de 5300 u.m

cu procentul de 3% ?

Solutie. Folosim Stn = S0

(1 +

p tnn 100

)cu S0 = 5000, p = 3, tn = 270 si n = 360.

Astfel S270 = 5000

(1 +

3 270360 100

)= 5112, 50 u.m .

Problema 2.1.3 Ce suma n u.m. trebuie depusa cu procentul de 3% pentru ca peste

300 zile sa putem ridica 10000 u.m. ?

Solutie. Folosim Stn = S0

(1 +

p tnn 100

)cu Stn = 10000, p = 3, tn = 300 si n = 360.

Astfel 10000 = S300 = S0

(1 +

3 300360 100

) S0 = 9756, 10 u.m. .

Observatia 2.1.2 Dobanzile i si in se numesc dobanzi unitare echivalente daca ele

produc aceeasi dobanda DS pentru aceeasi suma S0 pe aceeasi perioada de timp t, masurata

n ani, respectiv tn, masurata n fractiuni de ani. Analog se defineste si echivalenta

procentelor.

Problema 2.1.4 Sa se calculeze procentul trimestrial echivalent cu procentul anual de

p = 36%.

Solutie. Din i =36

100= 0, 36 si n = 4 obtinem i4 =

i

4=

0, 36

4= 0, 09. Astfel procentul

trimestrial p4 = 9% este echivalent cu procentul anual p = 36%.

Fie sumele S1, S2 , , Si plasate cu acelasi procent p(adica i =

p

100

)pe duratele

t1 , t2 , , ti si o suma S, plasata tot cu procentul p. Dorim sa determinam durata t ncare suma S produce o dobanda egala cu dobanda totala produsa de sumele S1, S2 , ,Si.

33

Avem t =S1t1 + S2t2 + + Siti

S.

Daca S 6=i

j=1

Sj , atunci t se numeste scadenta comuna, iar daca S =

ij=1

Sj

atunci t se numeste scadenta medie.

Problema 2.1.5 Sa se determine scadenta unei sume de 20000 u.m. care produce o

dobanda egal cu suma dobanzilor produse de 4700 u.m. pe timp de 61 zile, 900 u.m pe

timp de 69 zile, 3900 u.m pe timp de 86 zile, 5300 u.m. pe timp de 89 zile si 8500 u.m.

pe timp de 107 zile.

Solutie. Deoarece 4700+900+3900+5300+8500 = 23300 6= 20000 deducem ca suntemn cazul unei scadenta comune si anume:

t =4700 61 + 900 69 + 3900 86 + 5300 89 + 8500 107

20000= 63 (zile) .

Fie sumele S1, S2 , , Si depuse spre fructificare pe perioadele t1 , t2 , , ti cuprocentele anuale p1, p2, , pi. Procentul mediu de plasament, adica procentulcare se aplica sumelor S1, S2 , , Si pe perioadele t1 , t2 , , ti este

p =S1 p1 t1 + S2 p2 t2 + + Si pi ti

S1 t1 + S2 t2 + + Si ti .

Problema 2.1.6 Sa se determine procentul mediu de plasament al sumelor 1000 u.m.

cu 4% pe timp de 2 ani, 2000 u.m cu 5% pe timp de 5 ani si 8000 u.m cu 2% pe timp de

1 an.

Solutie. Avem

p =1000 4 2 + 2000 5 5 + 8000 2 1

1000 2 + 2000 5 + 8000 1 = 3, 7 (%) .

Definitia 2.1.3 Dobanda compusa este acea dobanda care se calculeaza la sfasitul

fiecarei perioade, urmand ca n perioada urmatoare sa produca dobanda si la dobanda

produsa n perioada anterioara.

Observatia 2.1.3 Operatia de dobanda compusa trebuie considerata ntotdeauna cand

perioada de timp pe care este depusa suma depaseste perioada de timp la care se refera

procentul.

In continuare vom nota prin:

S0=suma initiala,

t=numarul de ani (termenul),

34

p=procentul anual,

i =p

100=dobanda unitara,

St=suma acumulata la momentul t.

Daca adaugarea se face anual atunci:- dupa primul an avem suma S1 = S0 + i S0 = S0(1 + i)- dupa doi ani avem suma S2 = S1 + i S1 = S1(1 + i) = S0(1 + i)(1 + i) = S0(1 + i)2 - dupa t ani avem suma St = S0(1 + i)

t

Notam cu DC dobanda n regim de dobanda compusa (DC). Din St = S0 +DC deducem

pentru dobanda compusa formula DC = S0 [(1 + i)t 1] .

Daca adaugarea se face de n ori pe an atunci:- dupa primul interval (din cele n) avem suma S1,1 = S0 +

i

n S0 = S0

(1 +

i

n

)- dupa al doilea interval (din cele n) avem suma S2,1 = S1,1 +

i

n S1,1 = S1,1

(1 +

i

n

)=

= S0

(1 +

i

n

)(1 +

i

n

)= S0

(1 +

i

n

)2 - la sfarsitul primului an avem suma Sn,1 = S0

(1 +

i

n

)n= S0

(1 +

i

n

)1n- dupa primul interval din al doilea an avem suma S1,2 = Sn,1 +

i

n Sn,1 = Sn,1

(1 +

i

n

)= S0

(1 +

i

n

)n(1 +

i

n

)= S0

(1 +

i

n

)n+1- dupa al doilea interval din al doilea an avem suma S2,2=S1,2+

i

n S1,2=S1,2

(1 +

i

n

)= S0

(1 +

i

n

)n+1(1 +

i

n

)= S0

(1 +

i

n

)n+2 - la sfarsitul celui de al doilea an avem suma Sn,2 = S0

(1 +

i

n

)n+n= S0

(1 +

i

n

)2n - dupa t ani avem suma Sn,t = S0

(1 +

i

n

)tn.

Observatii.

1. Ca si n cazul operatiei de dobanda simpla notam prin u=1+i factorul de fructificare

si prin v =1

u factorul de actualizare;

2. Sirul S0 = S , S1 , S2 , , St este o progresie geometrica cu primul termen S si ratia(1 + i).

Problema 2.1.7 Ce suma va ridica o persoana peste 6 ani cu procentul anual (n sensul

dobanzii compuse) de 3% daca depune initial 5500 u.m.?

Solutie. Folosim formula dedusa anterior St = S0 (1 + i)t cu t = 6, S0 = 5500, i =

3

100,

35

adica S6 = 5500

(1 +

3

100

)6= 6567, 29 u.m..

Observatia 2.1.4 Notiunea de dobanzi unitare echivalente se pastreaza si pentru

cazul dobanzii compuse si anume, dobanzile unitare i si in se numesc echivalente daca

pentru aceeasi suma initiala, pe acelasi interval de timp, conduc la aceeasi dobanda com-

pusa.

2.2 Plasamante cu dobanda

Sa presupunem ca o suma S0 este plasata, cu dobanda, pe durata t si cu procentul anual

p = 100i. Notam:

DS=dobanda n regim de dobanda simpla (DS);

DC=dobanda n regim de dobanda compusa (DC);

In acest caz dobanda este:

D(S0, t, i) =

{DS = S0 i t , n regim DSDC = S0 ((1 + i)

t 1) , n regim DCDefinitia 2.2.1 Doua operatiuni de plasare a unei sume S0 pe o durata de timp t n

regim de dobanda (DS cu un procent anual p = 100i, sau n regim DC cu un procent

anual q = 100j), se numesc echivalente prin dobanda daca si numai daca ele conduc

la aceeasi dobanda.

Problema 2.2.1 Suma S0 = 10 000 u.m. se plaseaza timp de 4 ani si conduce la o

dobanda D = 4641 u.m. Precizati cu ce procent s-a facut plasamentul.

Solutie. Daca plasamentul s-a facut n regim de DS atunci

4 641 = 10 000 i 4 i = 0, 116025 p = 11, 6025%

Daca plasamentul s-a facut n regim de DC, atunci:

4 641 = 10 000[(1 + j)4 1] 14 641 = 10 000(1 + j)4 j = 0, 1 q = 10%

Problema 2.2.2 O suma S0 este plasata cu procentul anual de 10% n regim DC pe timp

de 2 ani. Cu ce procent ar trebui plasata n regim DS pentru a realiza aceeasi dobanda ?

Solutie. DS = DC S0 [(1 + 0, 1)2 1] = S0 i 2 i = 0, 105 sau p = 10, 5%.Intre operatiunile de plasament exista unele al caror scop este de a cointeresa depune-

rile n banci pe un termen minim dat.

Fie S0 o suma plasata pe durata t cu un procent anual p(t) astfel ca :

p(t) =

{p1(t) daca t [0, t1]p2(t) daca t > t1

36

unde p1(t) si p2(t) sunt constante sau nu pe durata corespunzatoare, iar

0 p1(t) < p2(t)t1 = durata minima obligatorie;

De obicei p1(t) = 0, () t [0, T ] , 0 < T < t1,adica nu se acorda nici o dobanda pentru suma plasata n conditiile unei durate inferioare

duratei minime obligatorii de plasament.

Pentru un anumit procent anual variabil p(t) = 100i(t),

i(t) =

{i1(t) pentru t [0, t1]i2(t) pentru t > t1

suma finala n regim DS este:

S(S0, p, t) = S0 (1 + i t) ={

S0(1 + i1 t) pentru t [0, t1]S0(1 + i2 t) pentru t > t1

iar n cazul unui plasament n regim DC

S(S0, p, t) = S0 (1 + i)t ={

S0(1 + i1)t pentru t [0, t1]

S0(1 + i2)t pentru t > t1

Negocierea dintre parteneri nseamna stabilirea procentelor p1(t) si p2(t) si a pragului

minim t1.

Problema 2.2.3 O persoana subscrie la un bon de capitalizare cu dobanda minima garan-

tata de 8%. Valoarea bonului este de 100 000 u.m., durata minima este de 7 ani. Se pre-

supune ca este respectata clauza duratei minime si ca procentul modificat de functionare

anuala este:

12% n primii 3 ani;

13% n urmatorii doi ani;

14% n ultimii doi ani.

Se cere sa se determine valoarea de rambursare a bonului:

a) nainte de termenul minim cu doi ani;

b) la termenul minim prevazut.

Solutie. In regim de dobanda compusa avem:

a) S5 = 100 000 (1 + 0, 8)5 = 100 000(1, 08)5 = 146 932, 80 u.m.b)S7 = 100 000(1 + 0, 12)

3 (1 + 0, 13)2 (1 + 0, 14)2 = 100 000(1, 12)3 (1, 13)2 (1, 14)2 =233 142, 06 u.m

Sa presupunem ca P1 plaseaza lui P2 suma S0 sub forma de mprumut. Evident ca n

general P1 ar dori o dobanda mai mare, iar P2 o dobanda mai mica. Daca p1 = 100i1 si

37

p2 = 100i2 sunt cele doua procente corespunzatoare intentiilor celor doi parteneri, atunci

avem urmatoarele inegalitati:{S0 i1 t S0 i2 t , n regim de DSS0(1 + i1)

t S0(1 + i2)t , n regim de DCDefinitia 2.2.2 Daca exista un procent anual de plasament p0 astfel ncat

minp1

S(S0, p1, t) = S(S0, p0, t) = maxp2

S(S0, p2, t)

atunci plasamantul sumei (sau a capitalului) S0 pe durata t se numeste negociat sau

reciproc avantajos (pentru cei doi parteneri).

2.3 Plasamente si inflatie

Sa presupunem ca din diverse motive economice, sociale sau politice, interne sau externe,

sau de alta natura , moneda considerata se devalorizeaza anual cu un coeficient anual

unitar a.

Definitia 2.3.1 Numarul a este rata anuala a inflatiei, iar 100a se numeste procent

anual mediu de devalorizare sau de inflatie.

O unitate monetara devine (), dupa o plasare pe un an, cu procentul anual deinflatie 100a, respectiv:

1u.m. 1 + i , fara inflatie1 + i

1 + a, cu inflatie

Propozitia 2.3.1 1. Daca rata anuala a inflatiei a este mai mica decat rata anuala a

dobanzii, deci daca a < i, atunci exista un castig oarecare prin plasare.

2. Daca a = i, atunci castigul prin plasarea unei unitati monetare este nul.

3. Daca rata anuala a inflatiei este mai mare decat rata anuala a dobanzii (a > i), atunci

se efectueaza un plasament n pierdere.

Definitia 2.3.2 Inflatia controlata reprezinta utilizarea ratei anuale de inflatie a cu

scopul ca fenomenul de depreciere sau pierdere de valoare a monedei sa nu aiba loc.

In cazul unui regim DC, valoarea finala S(S0, p, t) devine

S(S0, p, t)

S0(1 + i)t , fara inflatie

S0

(1 + i

1 + a

)t, cu inflatie

38

Sa presupunem ca suntem n conditiile unei inflatii controlate. In acest caz, pentru

compensarea inflatiei de rata anuala a, o unitate monetara, plasata pe timp de un an cu

un anumit procent anual p = 100i devine prin revalorizare

1u.m. (1 + i) (1 + a)

si ca urmare valoarea finala a unui plasament pe durata t a unei sume S0 cu procentul

anual considerat este, dupa un an, prin revalorizare:

S0 S(S0, i, a, t) = S0(1 + i)t(1 + a)t(2.1)

Definitia 2.3.3 Coeficientul1

1 + ase numeste factor de depreciere sau devalorizare,

iar numarul 1 + a este factor anual de compensare sau de anulare a deprecierii

sau factor anual de revalorizare.

Din (2.1) obtinem S = S0 [(1 + i)(1 + a)]t = S0 [1 + a+ i+ ia]

t = S0 [1 + i+ (1 + i)a]t .

Notand j = i+ (1 + i)a avem S = S0(1 + j)t .

Se utilizeaza terminologia:

j = dobanda anuala unitara aparenta

q = 100j = procent anual aparent de plasament

i = dobanda anuala unitara reala

p = 100i = procent anual real de plasament

a = inflatie anuala unitara

100a = procent anual al inflatiei

Problema 2.3.1 Se plaseaza suma S0 = 1000 000 u.m. n regim de DC, timp de 5 ani,

cu procentul anual de 10%. Se cere sa se determine suma finala a plasamentului daca:

a) nu exista inflatie sau este neglijabila;

b) exista o inflatie anuala de 4% neluata n seama;

c) exista o inflatie anuala de 4% si se compenseaza integral.

In situatia de inflatie, precizati valoarea reala a operatiunii si valoarea aparenta a operatiunii.

Solutie.

a) S(S0, i, t) = 1 000 000 (1, 1)5 = 1610 510u.m.b) S(S0, i, t) = 1 000 000

(1 + 0, 1

1 + 0, 04

)5= 1000 000

(1, 1

1, 04

)5= 1323 721, 60u.m

c)S(S0, i, t) = 1 000 000(1+0, 1)5 (1+0, 04)5 = 1000 000(1, 1)5 (1, 04)5 = 1959 431, 5u.m

Definitia 2.3.4 Daca a = a(t) si a(t) > 0 atunci spunem ca are loc o inflatie crescatoare.

Daca n plus raportula

ieste mare, atunci se spune ca are loc o inflatie galopanta.

39

In afara de posibilitati de aparitie a inflatiei, adeseori se mai iau n considerare si unele

evenimente imprevizibile care ar putea face ca anumite credite sa nu poata fi rambursate

niciodata. Amintim cu aceasta ocazie unele situatii de exceptie: razboaie, catastrofe

naturale, schimbari politice majore care anuleaza orice angajamente ale predecesorilor si

altele.

Cu scopul de a-si acoperi un astfel de risc este indicat ca creditorul sa mai includa n

afara coeficientilor i si a nca un coeficient b, caruia i va corespunde un procent anual de

risc catastrofic 100b astfel ca

1u.m. (1 + i) (1 + a) (1 + b)

si ca urmare o suma S0 (plasata n aceste conditii) devine dupa t ani n regim DC

S0 S(S0, i, a, b, t) = S0(1 + i)t (1 + a)t (1 + b)t

Avem (1 + i)t (1 + a)t (1 + b)t = [1 + i(1 + a+ b+ ab) + a+ b+ ab]t.

Definitia 2.3.5 Numarul k = i(1 + a + b + ab) + a + b + ab se numeste rata anuala a

dobanzii aparente, iar coeficientul 1+ k = (1+ i) (1+ a) (1+ b) este factorul anualde fructificare aparenta.

Problema 2.3.2 Sa presupunem ca o banca acorda mprumuturi cu un procent anual

real 10%. Daca intervine o inflatie anuala controlata de 2% si se estimeaza un risc anual

catastrofic de 5%, cu ce procent ar trebui acordate creditele?

Solutie. i = 0, 1 ; a = 0, 02 ; b = 0, 05;

k = 0, 1 (1 + 0, 02 + 0, 05 + 0, 001) + 0, 02 + 0, 05 + 0, 001 = 0, 1781adica procentul anual aparent trebuie sa fie de 17, 81% .

2.4 Operatiuni de scont

Definitia 2.4.1 Operatiunea de scont consta din cumpararea de catre o institutie ban-

cara a unor polite sau alte documente financiare nainte de scadenta acestora, percepand

o anumita taxa pentru un astfel de serviciu facut detinatorilor acestor documente.

O astfel de operatiune este specifica, n general, bancilor comerciale. Acestea cumpara

nainte de scadenta politele respective de la detinatorii lor contra unei taxe, iar la scadenta

vor ncasa de la creditorul politei valoarea integrala a acesteia.

Sa presupunem ca un partener de afaceri P1 primeste la un moment dat T0 o suma

de bani S0 sau beneficiaza de un serviciu n valoare de S0 u.m. din partea partenerului

P2. Daca partenerul P1 este creditat de o banca B, el va emite catre acesta un document

40

financiar prin care banca va plati partenerului P2 la o data T , T > T0 suma S0 plus

dobanda aferenta calculata cu un procent anual p = 100i.

Notam cu K = K(S0, T, p) suma pe care o va primi P2 la scadenta. Sa presupunem

nsa ca din diverse motive partenerul P2 doreste sa ncaseze contravaloarea politei la

momentul T1 < T , deci nainte de scadenta cu t = (T T1) ani (sau alte unitati de timp),adresandu-se n acest scop unei banci comerciale.

Notam cu K1 = K1(S0, T1, p) valoarea finala a sumei S0 pe durata T1 evaluata cu pro-

centul anual p, iar cu Ka(K, t, T ) valoarea sau suma pe care banca comerciala o plateste

detinatorului politei la momentul T1.

Terminologia folosita:

Suma S0 se numeste valoarea initiala a operatiunii. Se mai folosesc si termenii pret

de cumparare sau valoare de emisiune;

Procentul anual p se numeste procent nominal de valoare sau procent de emisiune

al politei;

Suma K1 se numeste valoarea finala de scontare sau curs al politei la data

scontarii acesteia;

SumaK se numeste valoarea finala a operatiunii sau valoarea nominala la scadenta

a politei. Se mai foloseste si termenul de capital disponibil sau nominal la scadenta.

Procentul anual q = 100j se numeste procentul de scont al politei;

Suma Ka se numeste valoarea actuala a politei la momentul vanzarii acesteia sau val-

oarea scontata sau uneori se mai spune ca reprezinta capitalul scontat.

Diferenta dintre capitalul nominal K si capitalul scontat Ka, adica

S = K Ka(2.2)

se numeste taxa de scont sau pe scurt scont.

Asadar, la momentul T1 < T , detinatorul politei va primi din partea bancii comerciale

suma Ka (care n general este mai mica decat valoarea finala K1 pe durata T1), iar banca

comerciala va incasa la scadenta suma sau valoarea nominala corespunzatoare K.

Se poate ntampla ca banca scontatoare sa vanda si ea polita unei alte banci comerciale

sau bancii centrale nainte de scadenta. Procedeul general de evaluare a politei ramane

acelasi, iar operatia se numeste rescontare.

Taxa de scont trebuie sa reprezinte dobanda pe perioada pana la scadenta core-

spunzatoare valorii scontate sau sumei pe care o primeste detinatorul politei, evaluata

cu un anumit procent de emisiune al politei.

Pentru a mari taxa de scont astfel conceputa, se mai adauga diferite comisioane, taxe

pe comisioane si alte taxe fixe sau variabile de la banca la banca si chiar de la emitent

la emitent de document financiar, sau de la detinator la detinator de polita. De obicei se

mai adauga chiar si cateva zile de banca pe langa durata pana la scadenta care conduc la

marirea taxei de scont. De regula toate comisioanele sunt cuprinse n procentul cu care

41

se face operatiunea de scont.

Deci scontul este egal cu dobanda valorii scontate Ka pe durata t = T T1 cu unprocent de scont q = 100j.

Definitia 2.4.2 Numarul j se numeste dobanda anuala unitara de scont sau, rata

anuala de scont.

Definitia 2.4.3 Daca dobanda aferenta a unui capital actual (sau scontat) Ka pentru a

obtine un capital nominal K este evaluata ca dobanda simpla, atunci spunem ca avem

o operatiune de scont simplu al carei rezultat se va nota SS.

Folosind formulele de calcul ale dobanzii simple putem scrie

SS = Ka j t = K

a q tm100 m

dupa cum durata operatiunii t se exprima n ani sau n fractiuni de an, iar procentul anual

unic de scont este q = 100 j .Daca operatiunea de scont nu se desfasoara cu procent unic pe toata durata t atunci,

presupunand ca

t =n

k=1

tk

si ca pe perioada tk se opereaza cu procentul anual de scont qk = 100jk, scontul simplu

corespunzator va fi:

SS = Ka

nk=1

jk tk

Din formula (2.2) avem:

Ka j t = K Ka , adica (1 + j t) Ka = K

Deci capitalul scontat este

Ka =K

1 + jt(2.3)

si scontul simplu corespunzator este

SS = K Ka = K K1 + jt

=K j t1 + jt

=K q t100 + qt

(2.4)

cu parametrul timp t exprimat n ani.

In practica, produsul jt este mic si se neglijeaza, ceea ce conduce la aproximarea

(1 + jt) 1 si deci la urmatoarea aproximare a scontului simplu

SS K j t = K q tm100 m(2.5)

42

Definitia 2.4.4 Numarul calculat conform lui (2.4) se numeste scont simplu rational

(notam SSR), iar (2.5) se numeste scont simplu comercial (notam SSC).

In concluzie:

SSR =K j t1 + j t

SSC = K j tPentru o operatiune de scontare data avem inegalitatea

SSR < SSC

ceea ce nseamna ca scontul simplu comercial convine bancii comerciale care cumpara

politele (sau documentele de plata) pe cand scontul simplu rational convine detinatorului

politei.

Capitalul scontat Ka este: Ka =

K

1 + jt, pentru SSR

K(1 jt) , pentru SSCProblema. La data de 01.03.2000 a fost cumparata o polita n valoare de S0 = 12 000u.m,

scadenta 10 luni mai tarziu si evaluata cu procentul anual de 10%. Din motive diverse,

posesorul politei se prezinta la scontare cu trei luni nainte de scadenta. In aceste conditii

se cer:

a) valoarea nominala a politei K la scadenta;

b) valoarea finala a politei la momentul scontarii K1;

c) valoarea scontata Ka a politei, aplicand pe rand ambele sconturi simple cu fiecare din

procentele anuale:

q1 = 8% , q2 = 10% si q3 = 12%

Solutie. a) K = S0(1 + iT ) = 12 000

(1 +

10

100 1012

)= 13 000 u.m.

b) K1 = S0(1 + iT1) = 12 000

(1 +

10

100 712

)= 12 700 u.m.

c) Ka =

K

1 + jt, pentru SSR

K(1 jt) , pentru SSC scontul simplu rational:

q1 = 8% Ka = 13 0001 +

8

100 312

= 12 745, 098

q2 = 10% Ka = 13 0001 +

10

100 312

= 12 682, 926

q3 = 12% Ka = 13 0001 +

12

100 312

= 12 621, 359

43

scontul simplu comercial:

q1 = 8% Ka = 13 000(1 8

100 312

)= 12 740

q2 = 10% Ka = 13 000(1 10

100 312

)= 12 675

q3 = 12% Ka = 13 000(1 12

100 312

)= 12 610

Definitia 2.4.5 Daca dobanda aferenta capitalului scontat Ka pentru a obtine capitalul

nominal K este evaluata ca dobanda compusa, atunci spunem ca avem o operatiune

de scont compus al carei rezultat se noteaza cu SC.

In regim de dobanda compusa avem:

K = Ka(1 + j)t Ka = K(1 + j)t

Din relatia (2.2) avem:

SC = K Ka = K K(1 + j)t

= K

[1 1

(1 + j)t

](2.6)

Daca pe o durata t, unde t =n

k=1

tk se opereaza cu procentele anuale diferite

qk = 100jk , k = 1, n, atunci

SC = K

[1

nk=1

(1

(1 + jk)tk

)]

Daca dobanda unitara anuala j este mica, sau daca produsul jt este mic, atunci

(1 + j)t 1 + jt

si deci avem urmatoarea aproximare a scontului compus

SC K j t1 + jt

(2.7)

Definitia 2.4.6 Numarul (2.6) este un scont compus rational si se va nota cu SCR.

Valoarea data prin (2.7) se numeste scont compus comercial si o vom nota SCC.

In concluzie :

SCR = K

(1 1

(1 + j)t

)(scont compus rational)

SCC =Kjt

1 + jt(scont compus comercial)

44

Folosind relatia (2.2) avem Ka = K S, adica

Ka =

K

(1 + j)t, pentru SCR

K

1 + jt, pentru SCC

Problema 2.4.1 O polita are valoarea de emisiune S0 = 10 000u.m. si este scadenta

peste 5 ani de la emisiune si evaluata cu procentul anual p = 8%. Daca scontarea acesteia

se face cu procentele q1 = 8% sau q2 = 10% cat va primi posesorul ei:

a)la scadenta?

b) cu doi ani mai devreme de scadenta?

c) cu o jumatate de an nainte de scadenta?

Solutie. a) S0 = 10 000, T = 5 ani, i = 0.08

K = S0(1 + i)T = 10 000(1, 08)5 = 14 693, 28 u.m.

b) Pentru q1 = 8% si t = 2 se obtine capitalul scontat:

pentru SSR sau SCC

Ka =K

1 + jt=

14 693, 28

1 + 0, 08 2 = 12 666, 62pentru SSC

Ka = K(1 jt) = 14 693, 28(1 0, 08 2) = 12 342, 355pentru SCR

Ka =K

(1 + j)t=

14 693, 28

(1, 08)2= 12 597, 118

Pentru q2 = 10% si t = 2 se obtine capitalul scontat:

pentru SSR sau SCC

Ka =K

1 + jt=

14 693, 28

1 + 0, 1 2 = 12 244, 4pentru SSC

Ka = K(1 jt) = 14 693, 28(1 0, 1 2) = 14 399, 414pentru SCR

Ka =K

(1 + j)t=

14 693, 22

(1, 1)2= 12 143, 206

c) Pentru q1 = 8% si t =1

2= 0, 5 ani se obtine capitalul scontat:

pentru SSR sau SCC

Ka =K

1 + jt=

14 693, 28

1 + 0, 08 0, 5 = 14 128, 153pentru SSC

Ka = K(1 jt) = 14 693, 28(1 0, 08 0, 5) = 14 105, 548pentru SCR

Ka =K

(1 + j)t=

14 693, 28

(1, 08)1/2= 14 138, 616

Pentru q2 = 10% si t =1

2= 0, 5 ani se obtine capitalul scontat:

pentru SSR sau SCC

45

Ka =K

1 + jt=

14 693, 28

1 + 0, 1 0, 5 = 13 993, 6pentru SSC

Ka = K(1 jt) = 14 693, 28(1 0, 1 0, 5) = 13 958, 616pentru SCR

Ka =K

(1 + j)t=

14 693, 28

(1, 1)1/2= 14 008, 424

2.5 Plati esalonate (anuitati)

Sunt situatii n care plata unor sume de bani nu se face deodata, ci esalonat, n rate, la date

fixe. Sa presupunem ca se platesc ratele a1, a2, . . . , an la momentele (datele) t1, t2, . . . , tn.

Vom considera ca se lucreaza n regim de dobanda compusa unitara i.

Se numeste anuitate ansamblul datelor: a1, a2, . . . , an , adica ratele si t1, t2, . . . , tn,

adica momentele de plata.

Se pune problema evaluarii anuitatii la un moment oarecare t R de evaluare.Deoarece avem ratele a1, a2, . . . , an care se platesc la momentele t1, t2, . . . , tn n regim

de (DC), rezulta ca suma ce va trebui platita la momentul t = 0 este:

V (0)=a1 1(1 + i)t1

+a2 1(1 + i)t2

+ +an 1(1 + i)tn

=n

k=1

ak 1(1 + i)tk

.(2.8)

Din relatia (2.8) rezulta ca suma ce va trebui platita la un moment oarecare t R vafi:

V (t) = (1 + i)t V (0) = (1 + i)t n

k=1

ak 1(1 + i)tk

=n

k=1

ak 1(1 + i)tkt

.(2.9)

Folosind notatiile: u = 1 + i , pentru factorul de fructificarev = 1u=

1

1 + i, pentru factorul de actualizare

relatia (2.9) se poate scrie

V (t) =n

k=1

ak vtkt =n

k=1

ak vtk ut(2.10)

Deci valoarea actuala a ratelor anuitatii, adica valoarea anuitatii, este data prin formula

(2.10), obtinuta n regim de (DC).

Anuitatea este constanta daca ratele sunt constante si perioadele (intervalele dintre

platile consecutive) sunt constante, adica

a1 = a2 = = an = a si tk tk1 = constant

46

Daca tk tk1 = 1 (an), atunci anuitatea se numeste ntreaga, iar daca tk tk1 = 1m

(fractiune de an), anuitatea se numeste fractionata. Vom prezenta n continuare cazul

anuitatilor ntregi.

Daca plata ratelor constante se face la sfarsitul anului, asa ncat tk = k, spunem ca

avem anuitati constante posticipate. Folosind formula (2.10) se obtine n acest caz:

V (t) =n

k=1

a vkt =n

k=1

a vk ut

Folosind suma progresiei geometrice, putem scrie

V (t) = a v 1 vn

1 v ut = a 1 v

n

i ut

Cand t = 0 se obtine V (0) = a 1 vn

i, care reprezinta valoarea initiala a anuitatii

constante posticipate.

Cand t = n se obtine V (n) = a 1 vn

i un = a

1 1un

i un = a u

n 1i

, care reprezinta

valoarea finala a anuitatii constante posticipate.

Problema 2.5.1 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati

ntregi posticipate pentru care rata anuala este 10 000 u.m., procentul 6%, iar numarul

perioadelor este 12.

Solutie. Avem a=10 000 u.m., p = 6%, adica i=0,06 si n=12.Astfel obtinem:

V (0) = 10 000 1

(1

1, 06

)120, 06

= 83 838, 40 u.m.

V (12) = 10 000 (1, 06)12 1

0, 06= 168 699, 40u.m.

Daca plata ratelor constante se face la nceputul anului, asa ncat acum tk = k 1,spunem ca avem anuitati constante anticipate. Din formula (2.10), obtinem:

V (t) =n

k=1

a vk1t =n

k=1

a vk ut+1

Folosind suma unei progresi geometrice putem scrie

V (t) = a v 1 vn

1 v ut+1 = a 1 v

n

i ut+1

Valoarea initiala a anuitatii constante anticipate se gaseste cand t = 0, adica

V (0) = a u 1 vn

i

Valoarea finala a anuitatii anticipate se gaseste cand t = n, adica

V (n) = a u 1 vn

i un = a u

1(1

u

)ni

un = a u un 1i

47

Problema 2.5.2 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati

ntregi anticipate pentru care rata anuala este 10 000 u.m., procentul 5% pe timp de 7

ani.

Solutie. Avem a=10 000 u.m., p = 5%, adica i=0,05 si n=7 ani.Astfel obtinem:

V (0) = 10 000 1, 05 1

(1

1, 05

)70, 05

= 60 756, 90 u.m.

V (7) = 10 000 1, 05 (1, 05)7 1

0, 05= 295 491, 04u.m.

In continuare vom prezenta cazul anuitatilor posticipate fractionate. Sa consideram

ca platile se fac n n ani de cate m ori pe an, adica la momentele:

t11 =1

m, t12 =

2

m, . . . , t1m = 1,

t21 =m+ 1

m, t22 =

m+ 2

m, . . . , t2m = 2,

t31 =2m+ 1

m, t32 =

2m+ 2

m, . . . , t3m = 3,

...

tn1 =(n 1)m+ 1

m, tn2 =

(n 1)m+ 2m

, . . . , tnm = n,

iar ratele sunt constante

akj = a , k = 1, n , j = 1,m

Deoarece momentele la care se fac platile sunt tkj =(k 1)m+ j

m, k = 1, n , j = 1,m

putem scrie valoarea anuitatii obtinuta n regim (DC) astfel:

V (t) =n

k=1

mj=1

a vtkjt =n

k=1

mj=1

a vtkj ut ,(2.11)

unde u = 1 +i

m, v =

1

u.

Daca folosim suma unei progresii geometrice, formula (2.11) se poate scrie

V (t) = autn

k=1

mj=1

vk1 (v

1m

)j= aut

nk=1

vk1 v 1m 1 v1 v 1m =

autv1m 1 v

1 v 1m n

k=1

vk1 = autv1m

1 v1 v 1m

1 vn1 v = au

tv1m 1 v

n

1 v 1m .

Deci

V (t) = autv1m 1 v

n

1 v 1m .(2.12)

48

Problema 2.5.3 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati pos-

ticipate pentru care rata este de 10 000 u.m., cu procentul anual de 5%, stiind ca platile

se fac timp de 5 ani de 3 ori pe an.

Solutie. Avem a=10 000 u.m., n=5, m=3, p=5%, adica i=0,05. Din formula (2.12)

pentru t = 0, respectiv t = n obtinem valoarea initiala, respectiv valoarea finala a anuitatii

posticipate:

V (0) = 10 000

11 +

0, 05

3

13

1

0

B

B

B

B

@

1

1 +0, 05

3

1

C

C

C

C

A

5

1

0

B

B

B

B

@

1

1 +0, 05

3

1

C

C

C

C

A

13= 143 572, 5485

V (5) = 10 000 (1 +

0, 05

3

)5 11 +

0, 05

3

13

1

0

B

B

B

B

@

1

1 +0, 05

3

1

C

C

C

C

A

5

1

0

B

B

B

B

@

1

1 +0, 05

3

1

C

C

C

C

A

13= 155 942, 4428

In mod analog se obtine formula pentru anuitatile anticipate fractionate.

2.6 Rambursarea creditelor si mprumuturilor

Imprumutul este o suma de bani, care este transferata debitorului de catre creditor.

Restituirea (rambursarea) mprumutului se poate face deodata sau n rate (prin amor-

tizare). Pentru folosirea mprumutului, debitorul este obligat sa plateasca o dobanda.

Exista mai multe modalitati de rambursare, si anume: prin rate constante sau rate

variabile. Principalele tipuri de amortizare sunt directe si indirecte.

Determinarea elementelor ce caracterizeaza rambursarea creditelor si mprumuturilor

se face cu folosirea operatiilor de dobanda (simpla sau compusa) si a anuitatilor.

Introducem urmatoarele notatii:

s suma mprumutata;

t durata mprumutului (de obicei se va lua un numar ntreg n de ani);

p=100i procentul ( cu care a fost mprumutata suma s n regim de dobanda);

tk momentele n care se vor plati ratele (n regim de anuitati);

p = 100i procentul cu care se fructifica ratele.

Vom presupune ca platile se fac la sfarsitul perioadei (anului). Pentru a se cunoaste

stadiul rambursarii mprumutului n fiecare moment, se ntocmesc planuri de amortizare.

Structura unui asemenea plan este:

49

k Rk Dk Qk rk...

......

......

unde

k numarul perioadei (anului);

Rk suma nerambursata la nceputul perioadei k;

Dk dobanda pentru suma nerambursata Rk pe perioada k;

Qk cota aferenta perioadei k ( o parte din mprumut);

rk rata aferenta perioadei k (totalul platii de la sfarsitul perioadei k);

Intre aceste elemente exista urmatoarele relatii:

R1 = s , Rk+1 = Rk Qk , Rn = Qn , Dk = i Rk , rk = Qk +Dk , k = 1, n

Aceste relatii nu sunt suficiente pentru a determina toate marimile. Se mai foloseste

si relatia ce se obtine pe baza principiului echilibrului financiar:

s un =n

k=1

rk vkn(2.13)

unde sun reprezinta obligatia debitorului actualizata la scadenta sin

k=1

rk vkn reprezintasuma primita de creditor de la debitor actualizata la scadenta .

In cazul amortizarii directe debitorul plateste ratele direct creditorului. Avem

p = p, iar ratele ce se platesc la sfarsitul perioadelor sunt rk. Vom prezenta 4 modele de

amortizari directe.

MODELUL 1D: amortizarea se face prin plata unica. Debitorul plateste toata datoria

sa, S = sun, o singura data, la scadenta, deci ratele si cotele sunt:rk = Qk = 0 , k = 1, n 1Qn = su

n1

rn = sun

(2.14)

MODELUL 2D: amortizarea prin achitarea sumei la scadenta si plata periodica a

dobanzilor. Debitorul plateste periodic (anual) dobanzile, iar suma mprumutata o va

plati la scadenta (la sfarsitul ultimei perioade). Relatiile pe baza carora se ntocmeste

planul de amortizare sunt:

Rk = s , Qk = 0 , Qn = s , Dk = s i , rk = s i , rn = s u , k = 1, n 1(2.15)

MODELUL 3D: amortizarea prin cote constante. Debitorul plateste, la sfarsitul fiecarei

perioade, o cota constanta din mprumut, mpreuna cu dobanzile corespunzatoare pentru

sumele nerambursate. Relatiile cu care se determina elementele planului de amortizare

50

sunt:

Qk = Q =s

nR1 = s

Rk+1 = s kQDk = Rk i = s i (k 1) Q irk = Q+Dk = Q+ s i (k 1) Q i

(2.16)

Dobanzile Dk si ratele rk sunt termenii unor progresii aritmetice cu ratia progresiei Q i,iar sumele Rk sunt termeni ai unei progresii aritmetice cu ratia Q.MODELUL 4D: amortizarea prin rate constante. Debitorul plateste, la sfarsitul fiecarei

perioade, o rata constanta, care acopera atat o parte din mprumut cat si dobanda pentru

suma nerambursata.

Fie rk = r. Din relatia (2.13) avem:

sun =n

k=1

rvkn sun = run n

k=1

vk

Folosind suma unei progresii geometrice obtinem

s = rv1 vn1 v r =

s i1 vn

In continuare vom determina suma nerambursata la nceputul perioadei k, adica Rk. Din

relatia rk = Qk unk+1 Qk = runk+1

= r vnk+1. Deci suma nerambursata lanceputul perioadei k va fi:

Rk = Qk +Qk+1 + +Qn = r vnk+1 + r vnk + + r v =

r nk+1i=1

vi = r v 1 vnk+1

1 v = r 1 vnk+1

i

Astfel relatiile ce se utilizeaza pentru a determina elementele planului de amortizare sunt:

R1 = s

Rk = r 1 vnk+1

iDk = iRk = r(1 vnk+1)Qk = r vnk+1rk = r

(2.17)

Din relatia Qk = r vnk+1 avem Q1 = r vn, adica Qk = Q1 vk+1 = Q1 uk1 , k = 2, n.Deci cotele Qk sunt termeni ai unei progresii geometrice cu ratia u.

In cazul amortizarii indirecte, mprumutul s pe care debitorul l-a luat de la credi-

tor este amortizat indirect, prin depuneri de rate rk la o terta parte. Vom prezenta doua

modele de amortizari indirecte.

51

MODELUL 1I: amortizarea prin plata periodica a dobanzilor catre creditor si consti-

tuirea sumei mprumutate la o terta parte prin plati periodice constante.

Se ntocmesc doua planuri de amortizare, unul ntre debitor si creditor si altul ntre

debitor si terta parte.

Intre debitor si creditor planul de amortizare este de tipul 2D, si pentru calculul

dobanzilor catre creditor se foloseste procentul p.

Intre debitor si terta parte planul de amortizare este de tipul 4D, cand suma de

pornire este s vn (deoarece suma finala la terta parte trebuie sa fie s si atunci avemrelatia s = Sinitiala un, adica Sinitiala = s vn), iar procentul cu care se fac calculeleeste p.

Ratele r constante, care sunt depuse de debitor la terta parte, sunt obtinute pe baza

principiului echilibrului financiar(vezi relatia (2.13)), adica

(s vn) un =n

k=1

rk vkn s vn un = r un n

k=1

vk

Folosind suma progresiei geometrice obtinem

svn = r1 vn

i r = sv

n i1 vn

Modelul 2I: amortizarea se face printr-o unica plata catre creditor si constituirea sumei

mprumutate si dobanzii la o terta parte prin plati periodice constante.

In acest caz, planul de amortizare dintre debitor si creditor este de tipul 1D, deci

NoteCursMaster.pdf

Documents

Transcript of NoteCursMaster.pdf