SINTEZE la disciplina MODELAREA DECIZIILOR FINANCIARE

TEMA 1 . INTRODUCERE IN MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE

În general, decizia este acţiunea prin care se încearcă concretizarea, într-un sens dat, a

viitorului. În majoritatea definiţiilor se include noţiunea de alegere pentru unul din sensurile posibile ale acţiunii şi ca urmare ele se referă mai mult la momentul final al procesului deciziei, moment care, oricât ar fi de important, nu poate reflecta ceea ce este specific ansamblului procesului.

Un proces decizional este constituit din activităţi specific umane şi poate fi definit ca fiind un ansamblu de activităţi pe care le desfăşoară un individ şi/sau un grup de indivizi, confruntaţi cu un eveniment care generează mai multe variante de acţiune, obiectivul fiind alegerea variantei care corespunde sistemului de valori al individului şi/sau al grupului.

După cum rezultă din definiţia dată mai sus, procesul decizional este constituit dintr-o serie de elemente, cum ar fi: decidentul, alternativele, consecinţele, criteriile, stările naturii, obiectivele etcTeoria generala a deciziei, ca de altfel si teoria deciziei financiare, recurge la formalizarea acestor elemente, pentru a putea supune problema decizională la o analiză matematizată. Astfel, vom face următoarele notaţii: a)decidentul (D): caracterizat prin două elemente: (1) { }, 1,lD D l s= = - mulţimea decidenţilor, şi putem avea două situaţii, decident individual, dacă 1s = , sau un decident colectiv, dacă valoarea lui s este mai mare decât 1 (2) { }, 1,jd d j n= = - mulţimea coeficienţilor de autoritate, care indică ponderea importantei individuale a fiecărui decident în decizia luată de grup. Este evidentă conditia implicită:

11, 0

n

j jj

d d=

= >∑ .

b)mulţimea variantelor/alternativelor posibile (A): conţine cele m alternative decizionale posibile { }, 1,iA A i m= = . Dacă există o singură alternativă posibilă, atunci problema este triviala, de unde apare restricţia 2m ≥ . c)criteriile decizionale (C): caracterizate prin două aspecte: (1) mulţimea criteriilor decizionale { }, 1,jC C j n= = , şi

(2) mulţimea coeficienţilor de importanţă a criteriilor { }, 1,j j nΠ = Π = . d)mulţimea stărilor posibile ale naturii (N): (1) mulţimea stărilor posibile ale naturii { }, 1,k k rθ θ= = , şi (2) mulţimea probabilităţilor de realizare a stărilor naturii { }, 1,kP p k n= = , cu restricţia:

1

1r

kk

p=

=∑ .

Dacă există o singură stare a naturii, atunci problema este una de decizie, individuală sau colectivă, în condiţii deterministe. e)mulţimea consecinţelor (A). O problema decizională este complet descrisă dacă sunt precizate toate elementele de mai sus, prin formalizarea efectuată permiţându-se o abordare riguroasă a problemelor de acest tip.

Se pot observa mai multe modalităţi de clasificare a problemelor decizionale în raport cu informaţiile ce pot fi oferite de formalizarea acestora. Astfel, putem avea probleme decizionale individuale sau de grup, în condiţii deterministe sau nedeterministe.

Problemele decizionale în condiţii nedeterministe, individuale ori colective, necesită o discuţie mai aprofundată. În această categorie de probleme decizionale există două tipuri de decizii ce sunt implicate, deciziile în condiţii de incertitudine şi deciziile în condiţii de risc.

Deciziile în condiţii de risc implică cunoaşterea probabilităţilor de realizare a stărilor naturii, cel puţin pentru câteva dintre acestea. Situaţia de risc este situaţia ce oferă mai multe variante de acţiune, caracterizate prin faptul că acelea, care comparativ cu altele, pot duce la câştiguri importante au şanse mici de realizare, sau au printre consecinţele posibile pierderi remarcabile, evidenţiindu-se o trăsătură specifică pentru variantele situaţiei de risc - alegerea unei acţiuni nu garantează obţinerea unui anumit rezultat. Aşa cum o situaţie de risc oferă cel puţin două variante posibile între care se poate exercita alegerea, o variantă poate conduce la cel puţin două rezultate distincte..

Deciziile în condiţii de incertitudine, sau deciziile incerte sunt acele decizii pentru care nu sunt disponibile informaţii privind probabilităţile de realizare a stărilor naturii şi variabilele implicate nu sunt controlabile. Majoritatea fenomenelor se desfăşoară în prezenţa unui complex de condiţii, ce echivalează cu existenţa mai multor stări posibie ale naturii, ale căror probabilităţi de realizare, de regulă, nu se cunosc. Pentru această situaţie, teoriile actuale au introdus conceptul de incertitudine ca o condiţie inevitabilă a procesului decizional, ce caracterizează fundamental fiinţa umană. Din punctul de vedere al comportamentului uman în procesul decizional intervine o dedublare plină de consecinţe în alegerea variantelor, dedublare privită dintr-o perspectivă obiectivă şi dintr-una subiectivă. Incertitudinea obiectivă poate fi considerată drept o măsură a cunoaşterii reale de care decidentul dispune, exprimată printr-un raport dintre cantitatea şi calitatea cunoştinţelor necesare luării unor decizii şi cunoştinţele pe care decidentul le deţine în mod efectiv. Incertitudinea subiectivă se referă la percepţia pe care decidentul (actorul) o are asupra gradului său de certitudine/incertitudine. Chiar dacă nu poate estima în mod riguros propria sa incertitudine, decidentul poate face însă o estimare aproximativă a acesteia. Există o multitudine de modalităţi de definire a riscului şi incertitudinii în literatura de specialitate. Cursul îşi propune să prezintă cele mai des utilizate abordări ale deciziilor în condiţii de risc şi incertitudine, accentul căzând asupra cuantificării riscului şi a metodelor de fundamentare a acestor decizii in domeniul financiar.

TEMA 2. DECIZII FINANCIARE ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINE 1. Problema decizională în condiţii de incertitudine

Vom studia problema decizională în condiţii de incertitudine (PDI) sau, cum mai e numită, problema de decizie în nesiguranţa strictă. Vom prezenta mai multe criterii de decizie (reguli decizionale), dar care nu satisfac o mulţime compactă de condiţii de consistenţă, fapt ce arată că problema decizională în condiţii de incetitudine este slab definită.

Decizia se finalizează printr-un ansamblu de consecinţe determinate nu numai de acţiunea în sine, ci de un ansamblu de factori externi, aflaţi dincolo de ,,controlul” decidentului şi, totodată, necunoscuţi acestuia, în momentul luării deciziei, sub aspectul probabilităţilor de realizare. Aceşti factori vor fi numiţi mai departe stări ale naturii, sau pe scurt stări sau evenimente.Dacă decidentul ar cunoaste starea care se va întâmpla, atunci el ar putea prevedea cu certitudine consecinţele oricarei acţiuni. Alegerea decidentului ar fi simplă, ea vizând varianta cea mai buna în starea naturii apreciată ca sigură.

Vom presupune că decidentul are cunostinţe despre mulţimea stărilor naturii, finită, notată : { nθθθ 21 K } şi are la dispoziţie un numar finit de acţiuni posibile/alternative: {A1,A2,...Am }, din care numai una va fi aleasă. Fie xij consecinţa adoptării acţiunii Ai când starea reală a naturii va fi jθ .Vom avea o matrice decizională de forma generală:

Stări ale naturii Consecinţe

nθθθ 21 K

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

mA

AA

DeciziiM

2

1

actiuni

mnmm

n

n

xxx

xxxxxx

K

MMM

K

K

21

22221

11211

Consecinţele xij pot fi valori numerice când, de exemplu, ele se exprimă în unitaţi monetare, sau pot fi nenumerice , inclusiv aprecieri sau alte forme lingvistice care să exprime rezultatul alegerii unei variante şi, ulterior, producerii unui eveniment. Dacă mărimile xij nu sunt numerice vom presupune că decidentul poate măsura ,,valoarea” lui xij printr-o funcţie V (.) cu valori reale.

Prin definiţie vom considera că V(xij)>V(xkl) dacă şi numai dacă decidentul preferă consecinţa xij lui xkl. Notăm Vij=V(xij) valoarea consecinţei xij şi tabela (matricea) decizională devine:

Stări ale naturii Valori

nθθθ 21 K

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

mA

AA

ActiuniM

2

1

decizii

mnmm

n

n

VVV

VVVVVV

K

MMM

K

K

21

22221

11211

În condiţii de certitudine n=1 şi alegerea se va face luând }{max 1ii

V

În condiţii de risc decidentul nu cunoaşte starea reală dar poate diminua incertitudinea pe baza unei distribuţii de probabilitate, în care evenimentelor li se asociază probabilitaţile

)}.(),...,(),({ 21 nPPP θθθ Un criteriu posibil de decizie îl reprezintă maximizarea valorii aşteptate:

ij

n

jji

VP )(max1∑=

θ ,

unde valoarea aşteptată a variantei Ai este .)(1

ij

n

jji VPEMV ∑

=

= θ (EMV= expected monetary

value). Dacă în locul mărimilor Vij putem estima utilitaţile Uij ale consecinţelor xij , criteriul de optim îl constituie maximizarea utilitaţii aşteptate :

.)(max1

ij

n

jji

UP∑=

θ

În condiţii de incertitudine totală decidentul poate cel mult să identifice o listă a celor n-stări ale naturii şi să estimeze consecinţele acţiunilor posibile în fiecare din aceste stări. 2. Criterii de decizie în incertitudine 2.1. Criteriul maximin (Wald)

Alegând acţiunea Ai , cea mai puţin bună concecinţă care se poate produce are pentru decident valoarea }{min

,1ij

nji VS

== .

Mărimea S i are semnificaţia unui nivel de siguranţă asociat deciziei A i . Decidentul va

trebui să aleagă o variantă A k , căreia îi corespunde cel mai mare nivel de siguranţă, astfel încât:

}}.{min{max}{max ijjiiik VSS ==

Din punct de vedere psihologic, criteriul lui Wald este de tip pesimist (sau prudent), deoarece el evidenţiază ceea ce este mai puţin favorabil a se întâmpla pentru fiecare acţiune în parte şi, din mulţimea acestor valori nefavorabile alege varianta maximizatoare. 2.2. Criteriul optimist (Hurwicz)

Fiecarei variante A i i se asociază nivelul optimist (cel mai intens preferat) adică valoarea celei mai bune consecinţe: }{max ijji VO =

Criteriul optimist, numit şi maximax recomandă alegerea acţiunii A k astfel încât: }}.{max{max}{max ijjiiik VOO ==

Deşi, teoretic, mulţi decidenţi ar fi înclinaţi către acest criteriu, în practică numarul celor care adoptă decizii pe baza acestei reguli este nesemnificativ. Hurwicz a propus o cale de mijloc între cele două abordări: pesimistă-respectiv optimistă. Un decident ar trebuie să-şi stabilească acţiunile între un nivel de optimism şi unul de siguranţă (prudenţă):

( ) ii OS αα −+ 1 , [ ]1,0∈α unde α reprezintă indexul de optimism-pesimism al decidentului. Aceste index poate fi asimilat cu o formă simplă de cuantificator al atitudinii decidentului faţă de risc.

Alegerea decidentului se va îndrepta spre kA astfel încâ: ( ) ( ){ }iiikk OSOS αααα −+=−+ 1max1

Aplicarea unei astfel de reguli (criteriu decizional) necesită determinarea pentru fiecare decident în parte a lui α . Modalitatea de determinare a acestui index este relativ similară cu modalitatea de creionare a atitudinii faţă de risc şi a preferinţelor unui decident. În continuare va fi prezentată o modalitate de aflare a lui α. Decidentului i se prezintă o matrice decizională în care el poate alege una din variantele 1A sau 2A care, în douǎ stǎri ale naturii 1θ şi 2θ , conduc la câştigurile următoare: Matrice decizională Variante pesimă/optimă Criteriul Hurwicz

1θ 2θ iS iO ( ) ii OS αα −+ 1

1A 1 0 0 1 1-α

2A D D D D D

Decidentul va trebui să precizeze mǎrimea lui ( )0,1D∈ pentru care cele două alternative îi vor fi indiferente (egal preferate). Astfel, o problema relativ abstractă, precum cea de determinare a unui index decizional, este redusă la o problemă de alegere în sens clasic. În continuare, determinarea indexului este uşoară, pornind de la valoarea precizată de către decident.

Fie *D acea valoare la care * *1 1D Dα α− = ⇒ = − . 2.3. Criteriul lui Savage (minimax)

Savage a relevat faptul cǎ folosind mǎrimile ijV decidentul comparǎ valoarea consecinţei unei acţiuni, într-o anumitǎ stare a naturii cu cele ale altor consecinţe, sub diverse stări ale naturii, fără a cunoaşte adevărata stare care se va produce ulterior adoptării deciziei. Apare necesar de a compara consecinţele acţiunilor sub o aceeaşi stare a naturii. Asemănator costului de oportunitate, Savage a introdus conceptul de regret monetar al unei consecinţe (valori) ijV ca fiind ijr :

{ } ijijiij vVr −= max

adicǎ diferenţa dintre valoarea celei mai bune consecinţe când starea realǎ a naturii este jθ şi

valoarea ce rezultă din adoptarea acţiunii iA în respectiva stare ( )jθ . Regretul monetar este în fapt o pierdere (cost) de oportunitate, calculată în fiecare

stare a naturii, considerată ca fiind cea reală. În acest mod matricea [ ]ijV se înlocuieşte cu matricea regretelor [ ]ijr căreia i se

aplică un criteriu de tip prudent/pesimist (Wald), adaptat semnificaţiei mărimilor ijr : fiecărei

acţiuni iA îi vom asocia regretul maxim, notat { }ijji rmax=ρ apoi vom alege acţiunea kV

care conduce la cea mai mică valoare a lui iρ :

{ } { }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== ijjiiik rmaxminmin ρρ

2.4. Criteriul raţiunii insuficiente (Laplace) Încă de la începutul secolului al XIX-lea Laplace remarca faptul că a nu şti nimic despre starea reală a naturii este echivalent cu a considera că toate stările au o aceeaşi probabilitate de realizare. Laplace a propus într-o astfel de situaţie alegerea variantei de valoare medie maximă ( kA ) :

kjj

ijji

Vn

Vn ∑∑ =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 11max

Sǎ mai consemnăm faptul că cele patru criterii sunt diferite, ele sugerând comportamente sau atitudini decizionale diferite în rapot cu o aceeaşi problemă dată. Fie acum o problemă decizională cu patru alternative şi tot atâtea stări ale naturii.Tabelul următor ilustrază datele problemei, precum şi elementele necesare aplicării celor patru reguli :

Matricea decizională Variante: pesimă/optimă

1θ 2θ 3θ 4θ iS iO ij

j

Vn∑ 1

1A 2 2 0 1 0 2 5/4

2A 1 1 1 1 1 1 1

3A 0 4 0 0 0 4 1

4A 1 3 0 0 0 3 1

Criteriul lui Laplace conduce la alegerea lui 1A , iar criteriul lui Wald la alegerea lui

2A . Criteriul lui Hurwicz va ataşa celor patru variante indecşii {2(1-α); 1; 4(1-α); 3(1-

α)} şi cum ( )1,0∈α valoarea maximă se obţine pentru 4(1-α)>1, adică pentru α<3/4, caz în care se alege 3A .

Matricea regretelor este: θ1 θ2 θ3 θ4 ρi

A1 0 2 1 0 2 A2 1 3 0 0 3 A3 2 0 1 1 2 A4 1 1 1 1 1

1min =ii

ρ => Se alege A4 conform criteriului lui Savage.

Exemplul ilustrează faptul că cele 4 reguli conduc la patru soluţii diferite. Este necesar a introduce o axiomatică asupra criteriilor pentru a fundamenta decizia în condiţii de incertitudine. În afara criteriilor prezentate mai pot fi construite şi altele, construite pe baza unor indicatori ai consecinţelor.

2.5. Criteriul medie – variaţie

Fiecare variantă este evaluată prin valoarea asteptata / medie :

Ai ∑=

=n

jiji V

nVM

1

1)( (media)

şi variaţia: ijnjijnj

i VVVD≤≤≤≤

−=11infsup)( care reprezintă ecartul maxim pentru fiecare variantă

Regula 1. Vαf Vβ dacă )()( βα VMVM ≥ şi D(Vα)<D(Vβ) SAU )()( βα VMVM > şi )()( βα VDVD ≤

Soluţia optimă corespunde variantei (acţiunii) cu cea mai mare medie şi respectiv variaţie minimă

⎪⎩

⎪⎨⎧

)( min

)( max

ii

ii

VD

VM

Regula 2. βα VV f dacă

)()(

)()(

β

β

α

α

VDVM

VDVM

> iar soluţia optimă corespunde raportului )()(max

i

i

i VDVM

Regula 3. βα VV f dacă

θβα

βα >−−

)()()()(

VDVDVMVM

(prag ales de decident), sau altfel spus, soluţia optimă e dată

de: )}(*)({max iii

VDVM θ−

TEMA 3 . AXIOME DE CONSISTENTA ASUPRA CRITERIILOR DE DECIZIE

Fiecare regulă decizională clasifică acţiunile de la cea mai bună până la cea mai puţin bună, fără însă a spune dacă, în sine, o acţiune este bună sau nu. Dacă avem o regulă consistentă care identifică acţiunea optimă, o vom aplica mai întâi problemei în ansamblul său. Vom izola acţiunea optimă iA , vom aplica din nou regula mulţimii variantelor rămase şi aşa mai departe, până când vom obţine, în final, o clasificare care trebuie să satisfacă următoarele axiome: Axioma 1: Regula ( criteriul ) decizională trebuie să ofere o clasificare completă a tuturor alternativelor (deci o ordine slabă a lor).

Conform axiomei, regula de decizie trebuie, implicit sau explicit, să ataşeze un index numeric fiecărei acţiuni, care să permită ulterior sortarea lor în sens crescător sau descrescător.

Cele patru reguli prezentate satisfac această axiomă, asa cum se poate observa şi din exemplul prezentat. Revenind asupra celor patru criterii le vom putea exprima în aceşti termeni astfel:

• rezultatul maxim pentru criteriul lui Wald: • indexul optimist-pesimist al lui Hurwicz: • regretul minimax al lui Savage: • criteriul raţiunii insuficiente al lui Laplace:

Următoarea axiomă va exprima cerinţa naturală ca alegerea dată de criteriul utilizat să nu fie influenţată de modalitatea de prezentare a problemei: ordinea în care sunt listate alternativele şi stările naturii. Axioma 2. Independenţa alegerii de etichetare.( denumirea alternativelor si a criteriilor) Preferinţele decidenţilor se vor masura folosind diverse scale. Prin trecerea de la o scală la alta valorile ijV vor deveni ijVα β+ , unde α este factorul de conversie , iar β reflectă ajustarea prin schimbarea originii. Urmatoarea axiomă se va referi la legătura dintre decizie şi scala de masurare.

ii SI =( ) iii OSI αα −+= 1

iiI ρ−=

ijj

i Vn

I ∑= 1

Axioma 3. Independenţa alegerii de scala valorilor. Dacă o acţiune duce la consecinţe strict mai bune ca o alta, oricare ar fi starea naturii, atunci prima acţiune trebuie să fie preferată celeilalte acţiuni. Exemplu:

Matrice decizională

1θ 2θ 3θ 4θ 5θ

1A 8 9 4 7 -2

2A 3 1 3 6 -9

1A se spune că e net preferată sau că domină net pe 2A , fapt relevat de axioma următoare.

Axioma 4. Dominarea netă. Dacă iA , kA sunt două alternative astfel încât ( ) ,ij kj jV V θ> ∀ , atunci regula de decizie

trebuie să asocieze valorile V acţiunilor iA , kA astfel încât ki VV > .

Axioma este utilă pentru că permite eliminarea alternativelor dominate net. Dimensiunea problemei decizionale se reduce, iar soluţia optimă nu e afectată.

Axioma 5. Independenţa alegerii de alternativele irelevante.

Fie tabela de decizie }{ , , , 1, ; 1,i j ijA V i m j nθ ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ şi o alta construită pornind de la prima,

prin adaugarea unei noi acţiuni ;1+mA avem }{ , , ' , 1, 1; 1,i j ijA V i m j nθ ⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ ,

' , 1, , 1, ,ij ijV V i m j n= = = iar 1,'m jV + poate lua orice valoare numerică.

Atunci regula decizională va trebui să asocieze valorile V şi respectiv 'V acţiunilor din cele două tabele astfel încât ( )∀ ,'',,1 kiki VVVVmki >⇔>≤≤ altfel spus, regula va trebui să conducă la aceeaşi clasificare a primelor m acţiuni în ambele tabele.

Axioma 6. Independenţa alegerii de adăugarea unei constante într-o coloană a matricei decizionale (independenţa alegerii la perturbarea unei coloane). Observaţie: primele şase axiome prezentate sunt aplicabile regulilor decizionale, indiferent de gradul de incertitudine existent, deci sunt valabile şi în medii certe. Dar, la fel de bine ele sunt valabile în condiţii de risc, acolo unde poate fi aplicată regula unitaţii aşteptate maxime.

Să considerăm matricea decizională: Matrice decizională Dacă nu avem informaţii referitoare la şansele de producere a stărilor naturii ne va fi

indiferent între a alege 1A sau 2A . Apare întrebarea firească dacă în acest context decizional incert decidentul ar putea

exprima o preferinţa raţională în favoarea uneia din cele două acţiuni.

1θ 2θ 3θ

1A 6 0 3

2A 0 6 3

Axioma 7. Independenţa alegerii de permutarea elementelor de pe linii(coloane). Să considerăm acum două probleme decizionale date prin tabelele lor (matricile decizionale) astfel:

(a) θ 1 θ2

A 1 9 4 A 2 2 6

(b)

1θ ′ 2θ ′ 3θ ′ 4θ ′ 5θ ′

A 1 9 4 4 4 4 A 2 2 6 6 6 6

În condiţiile clasice de strictă incertitudine cele două probleme par a fi identice, iar

stările 1θ ′ , 2θ ′ , 3θ ′ , 4θ ′ , 5θ ′ din (b) pot fi reunite printr-o singură stare 2θ ′′ (deşi probabilitatea

lui 2θ ′′ pare a fi mai mare ca a lui 2θ ′ ) şi cele două tabele coincid, iar acţiunea preferată din (a) ar trebui să fie aceeaşi cu acţiunea preferată din (b). Acest exemplu este ilustrat prin următoarea axiomă.

Axioma 8. Independenţa alegerii de duplicarea coloanelor. Observaţie: axioma se aplică şi în cazul multiplicării unei coloane (duplicare repetată) , iar conform axiomei 2 (independenţa alegerii de etichetare), ea se poate aplica pentru oricare coloană a matricei de decizie. TEMA 4 . ANALIZA CRITERIILOR DECIZIONALE IN INCERTITUDINE Teoremă: Criteriile decizionale W(Wald), H(Hurwicz), S(Savage) şi L(Laplace) sunt compatibile (*) cu aproape toate axiomele de consistenţă (A1–A8) (cazul contrar este notat cu φ ).

CRITERIUL AXIOMA W H S L

A1. Clasificarea completă * * * * A2. Independenţa alegerii de etichetare * * * * A3. Independenţa alegerii de scală de valori * * * * A4. Dominarea netă * * * * A5. Independenţa alegerii de alternativele irelevante * * φ * A6. Independenţa alegerii de perturbarea unei coloane φ φ * * A7. Independenţa alegerii de permutarea elementelor liniilor * * φ * A8. Independenţa alegerii de duplicarea coloanelor * * * φ

Vom arăta că toate notaţiile * sunt corecte şi vom da contraexemple pentru situaţiile

de incompatibilitate notate cu φ . • Axioma 1- a clasificarii complete: e adevărată pentru toate cele 4 reguli, deoarece fiecare

din ele asociază acţiunilor câte un index numeric care permite realizarea clasificării complete a variantelor.

• Axioma 2 – independenţa alegerii de etichetare: e satisfăcută de exemplu, de criteriul lui

Wald (maximin) pentru ca maximul dintr-un şir de numere { }min ijj iV , deci

{ }max min ijji iV nu depinde de ordinea din şir a numerelor respective. Dacă, de asemenea,

vom permuta stările naturii nu vom afecta nivelul de siguranţă ( )iS al fiecărei variante,

care va fi dat de acelaşi min ijjV . Altfel spus operatorul maximin permite permutarea

elementelor { }ijV carora le este aplicat, fără a se afecta rezultatul final.

• Axioma 3: independenţa alegerii de scala de valori este satisfacută de exemplu, de regula

lui Laplace:

Fie ℜ∈>+= βαβα ,0,'ijij VV . Avem ⇔=>= ∑∑

==k

n

jkj

n

jiji VV

nV

nV

11

11

''

11

11ki

n

jkj

n

jij VVV

nV

n>⇔+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>>+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛> ∑∑

==

βαβα

• Axioma 4 (dominare netă): este satisfacută, de exemplu, de criteriul maximin al lui

Wald: Să presupunem că ( ) { } >===⇒∀>

=0

,1min, ijij

njiijkjij VVSVpentruVV θ

{ } kkkjnj

kj VSVV ===>= ,1

0 min

• Axioma 5: independenţa alegerii de alternativele irelevante este satisfacută de exemplu,

de indexul optimist-pesimist al lui Hurwicz pentru fiecare acţiune Ai, avem: ( ) { } ( ) { },max1min1 ijjijjii VVOS αααα −+=−+ nu depinde de oricare altă acţiune Am+1

care ar putea fi luată în considerare, în afara celor m- deja existente. • Axioma 6 (independenţa alegerii de perturbarea uniformă a unei coloane) este satisfacută,

de exemplu, de criteriul Laplace:

Avem: { }⎪⎩

⎪⎨⎧

===

+=

minjVV

cVV

ijij

ii

,1,,....,3,2,'

1'1

∑ ∑∑ ∑= == =

=>=⇔=>=n

j

n

jkkjiji

n

j

n

jkkjiji VV

nV

nVVV

nV

nV

1 1

''''

1 1

1111

• Să aratăm că criteriul lui Lagrange satisface Axioma 8: să duplicăm coloana n. Atunci

regretul monetar: { } { } innink

mknink

nkni rVVVVr =−=−=

=++

=+

',

',

,1

'1,

'1,

,1

'1, maxmax

Deoarece iiiijij Anjmirr )(,1,,1, '' ∀=⇒=== ρρ şi astfel clasificarea acţiunilor rămâne neschimbată prin duplicarea coloanei n. • Axioma 7 (independenţa alegerii de permutarea elementelor liniilor) este justificată, de

exemplu, pentru criteriul lui Wald, deoarece elementul minim al liniei i este acelaşi chiar dacă schimbăm ordinea numerelor al cărui minim dorim să-l determinăm. Vom arata nesatisfacerea unor axiome de către anumite criterii pe baza unor contraexemple.

• Criteriul lui Savage - nu satisface Axioma 5 (independenţa de alternativele irelevante) –

fie tabelul decizional care iniţial conţine doua acţiuni { }21 , AA , iar ulterior se adaugă alternativa 3A .

1θ 2θ 3θ

1A 6 0 3

2A 0 3 6

3A 2 9 4

Iniţial { } 2121 63,, ρρ =<=AA iar apoi { } 21321 69,, ρρ =>=⇒AAA dar { }213 ,4 ρρρ <= (⇒ se va opta pentru A3) deci este incălcată Axioma 5.

Următorul contraexemplu arată că, rezultatul aplicării criteriului lui Wald (maximin), ca de altfel şi indexul Hurwicz nu satisfac Axioma 6 (independenţa alegerii la perturbarea unei coloane). Exemplu pentru Hurwicz:

Fie α = ¼ rezultă ii os ⋅+⋅43

41

a)

θ 1 θ2 si oi ii os ⋅+⋅

43

41

A1 6 4 4 6

422

211

=

A2 3 8 3 8

427

b)Δ = 10 în coloana 1

θ 1 θ2 si oi ii os ⋅+⋅

43

41

A1 16 4 4 16

452

A2 13 8 3 13

447

Clasificările diferă, deci criteriul lui Hurwicz nu satisface Axioma 6. Observaţie: Am considerat α = ¼ , dar puteam lua orice valoare [ ]7

3;0∈α şi [ ]1;32∈α .

• Contraexemplul pentru criteriul lui Savage care nu satisface Axioma 7 (independenţa

alegerii de permutarea coloanelor): În matricea decizională:

θ 1 θ2 θ3

A1 6 0 3 A2 0 3 6 A3 2 9 4

A1, A2 sunt compuse din aceleaşi consecinţe dar permutate (linia 2 e o permutare a

liniei 1), dar A1 şi A2 nu sunt ordonate la fel nici înainte şi nici după introducerea lui A3.

• Contraexemplu pentru criteriul lui Laplace care nu satisface Axioma 8 (independenţa alegerii în raport cu duplicarea coloanelor).

θ1 θ2 L

A1 9 4 6,5 A2 2 6 4

1θ ′ 2θ ′ 3θ ′ 4θ ′ 5θ ′ L

A1 9 4 4 4 4 5 A2 2 6 6 6 6 5,2

Observaţie: nici unul din cele 4 criterii nu satisface integral cele 8 axiome. Se poate arăta că singurul criteriu care satisface axiomele 1- 7 este Laplace, dar el nu satisface axioma 8 şi afirmaţia este dovedită.

TEMA 5. RISC ŞI MODALITĂŢI DE MĂSURARE A RISCULUI În această parte accentul nu cade asupra exprimării preferinţelor în condiţii de risc, ci doar asupra unei componente extrem de importante a modelelor risc-valoare, factorul risc, independent de orice preferinţă. Există trei motive foarte importante care justifică necesitatea existenţei unei metode de comparare directă a alternativelor în funcţie de riscul asociat acestora.

În primul rând, înţelegerea modului de a privi riscul poate să ne ajute la a înţelege preferinţa. Luând riscul şi valoarea ca valori de pornire, un decident îşi poate explica preferinţa printr-un model de tip risc-valoare. Multe teorii existente în management şi finanţe se bazează pe separarea acestor două componente. Cel mai cunoscut exemplu în acest sens este teoria modernă de selectie a portofoliilor. În acest context, problema decizională este văzută ca o alegere între diverse combinaţii de tip risc-profit şi formulată, fie ca o problemă de maximizare a profitului în condiţiile unui anumit nivel de risc, fie ca o problemă de minimizare a riscului pentru un anumit nivel al profitului dorit. În aceste condiţii este evident că modalitatea de măsurare a riscului are o importanţă deosebită. În al doilea rând, există din ce în ce mai multe dovezi că, în condiţii de incertitudine, decidentiii îşi bazează deciziile pe aspecte calitative ale alternativelor existente, cum ar fi şi riscul asociat acestora.

Al treilea motiv este faptul că o măsură a riscului perceput este necesară şi în afara procesului decizional, de exemplu pentru diverse intervenţii anterioare deciziei propriu-zise. În continuare se porneşte de la ipoteza că există deja o ordonare coerentă a riscurilor, care poate fi obţinută direct prin interogarea unui individ, care îşi exprimă preferinţele referitor la diverse perechi de alternative comparabile. Folosind notaţiile cunoscute pentru exprimarea ordinii stabilite între riscurile asociate diverselor variante, se mai impune doar precizarea că, în conformitate cu teoria standard a măsurării, sunt căutate acele funcţii R care reprezintă numeric relaţiile :

( ) ( )A B R A R B⇔ ≥f%

unde f

% reprezintă relaţia de preferinţă nestrictă, slabă (A este preferat lui B, sau decidentul

este indiferent între cele două alternative). Fiecare asemenea funcţie R va fi numită funcţie de măsură a riscului sau măsură a riscului. Măsurile riscului pot fi împărţite în două mari categorii : 1) riscul ca mărime a deviaţiei de la o ţintă (risc de primul tip) 2) riscul sub forma capitalului necesar, respectiv a premiului necesar (risc de al doilea tip). În multe cazuri există o legătură evidentă între cele două categorii de risc. Dacă adăugăm valoarea aşteptată, ( )E X , la o măsură a riscului de al doilea tip vom obţine o măsură a riscului de primul tip, şi invers. Aspecte formale ale acestei corespondenţe vor fi prezentate ulterior. În ceea ce priveşte definirea riscului, există o multitudine de puncte de vedere. Există însă două aspecte principale ce par a determina riscul perceput : cantitatea de pierdere potenţială şi probabilitatea de apariţie a pierderii. Riscul asociat unei alternative creşte dacă probabilitatea de apariţie a pierderii creşte sau dacă nivelul pierderii potenţiale creşte. Nu există însă un acord în ceea ce priveşte importanţa relativă a acestor două aspecte ale riscului, mai mult, au apărut dovezi empirice care susţin ideea conform căreia creşterea nivelurilor câştigurile posibile reduce nivelul riscului perceput. În consecinţă, pierderile şi câştigurile sunt raportate la un anumit nivel ţintă al venitului. Un venit obţinut este văzut ca o pierdere, dacă şi numai dacă el se situează sub acest nivel ţintă. O altă tendinţă observată este aceea că în momentul în care judecă riscul asociat unei anumite alternative, decidenţii combină probabilităţile şi veniturile în modalităţi calitativ diferite de judecarea atractivităţii unei alternative. Un aspect important în ceea ce priveşte diversele măsuri ale riscului sunt axiomele care se află la baza diferitelor măsuri utilizate. În continuare vom prezenta principalele sisteme axiomatice folosite la construirea principalelor masuri ale riscului.

1.Sistemul Pedersen şi Satchell În literatura de specialitate există mai multe sisteme de axiome pentru măsurile riscului. Sistemul axiomatic Pedersen-Satchell are următoarele axiome: (PS 1) (nenegativitatea) ( ) 0R X ≥ (PS 2) (omogenitatea pozitivă) ( ) ( )R cX cR X= pentru 0c ≥ (PS 3) (subaditivitatea) 1 2 1 2( ) ( ) ( )R X X R X R X+ ≤ + (PS 4) (invarianţa la schimbare) ( ) ( )R X c R X+ ≤ pentru 0c ≥ Sistemul Pedersen-Satchell înţelege riscul ca o deviaţie de la o locaţie de măsură, astfel că (PS 1) este o cerinţă naturală. Omogenitatea implică faptul că riscul unui multiplu al unei variante financiare este identic cu multiplul corespunzător al riscului poziţiei iniţiale. Subaditivitatea cere ca riscul unei situaţii combinate să fie mai mic decât suma riscurilor situaţiilor separate. Această ipoteză permite efecte ale diversificării în contextul investiţiilor. Invarianţa la schimbare face măsura riscului invariantă la adăugarea unei constante la variabila aleatoare, ceea ce corespunde concepţiei de independenţă faţă de locaţie. Din (PS 2) şi (PS 3) rezultă că riscul zero este ataşat variabilelor aleatoare constante. De asemenea, (PS 2) şi (PS 4) implică faptul că măsura riscului este convexă, ceea ce asigură compatibilitatea cu

dominanţa stohastică de ordinul doi. Deoarece riscul este văzut ca fiind independent de locaţie prin axiomele Pedersen-Satchell, acest sistem de axiome este ideal pentru măsurile de risc de primul tip.

2. Sistemul Artzner/Delbaen/Eber/Heath Sistemul Artzner/Delbaen/Eber/Heath este o abordare care a avut o influenţă majoră. Pe lângă subaditivitate (ADEH 1) şi omogenitate pozitivă (ADEH 2), ei mai enunţă următoarele axiome : (ADEH 3) (invarianţa la translaţie) ( ) ( )R X c R X c+ = − pentru orice c (ADEH 4) (monotonie) ( ) ( )X Y R X R Y≤ ⇒ ≤ . O măsură a riscului care satisface aceste patru axiome este numită coerentă. În cazul în care ( ) 0R X ≥ putem înţelege ( )R X ca fiind capitalul adiţional necesar care trebuie adăugat situaţiei X pentru a avea o poziţie fără risc. Dacă ( ) 0R X < , suma ( )R X poate fi retrasă fără a pune în pericol siguranţa. Sistemul de axiome Artzner/Delbaen/Eber/Heath este ideal pentru examinarea măsurilor riscului de al doilea tip.

Măsuri standardizate ale riscului În practica de specialitate există o multitudine de abordări pentru măsurarea riscului. Utilizarea uneia sau alteia dintre aceste măsuri este dictată de problematică căreia i se adresează, unele măsuri fiind mai adecvate pentru o anumită problemă decât celelalte. Este dificil de indicat o măsură a riscului care să se preteze pentru orice situaţie practică ce poate apărea. Cu toate acestea, există o serie de măsuri care, prin utilitatea practică dovedită, pot fi considerate ca măsuri „standardizate” ale riscului.

1. Varianţa (dispersia) şi deviaţia standard În mod tradiţional, riscul unei alternative a fost asociat cu dispersia variabilelor aleatoare asociate veniturilor monetare. Riscul unei alternative este măsurat fie prin varianţa acesteia, fie prin deviaţia standard. Dacă valorile viitoare ale unei alternative sunt caracterizate printr-o variabilă aleatoare continuă x% , de densitate xf f= % , distribuţie xF F= % , şi aşteptări :

( ) ( )E x xf x dxμ+∞

−∞

= = ∫% (3.2)

atunci măsurile riscului anterior definite sunt:

2 2( ) ( ) ( )Var x x f x dxσ μ+∞

−∞

= = −∫% (3.3)

2 1/ 2[ ( ) ( ) ]x f x dxσ μ+∞

−∞

= −∫ (3.4)

În mod uzual, pentru deviaţia standard mai sunt utilizate denumirile de abatere medie pătratică sau volatilitate. Dacă ţinem cont şi de precizările anterioare referitoare la stabilirea unui nivel ţintă al venitului, măsurile riscului se modifică şi devin : semi-varianţă inferioară

2( ) ( )x f x dxμ

μ−∞

−∫ , (3.5)

valoarea aşteptată a pierderii

0

( )xf x dx−∞

− ∫ (3.6)

şi probabilitatea pierderii sau probabilitatea de ruină

( ) ( )r

xP x r f x dx−∞

≤ = − ∫% % . (3.7)

2. Valoarea la risc (Value-at-Risk VaR) Pentru a măsura riscul de piaţă al unui portofoliu, băncile folosesc din ce în ce mai mult modele bazate pe o metodologie numită Valoarea la Risc (Value-at-Risk). Această metodologie este utilizată pentru determinarea necesarului de capital pe care băncile trebuie să îl aibă la dispoziţie pentru a asigura activităţile desfăşurate.

Este probabil cea mai cunoscută măsură a riscului de al doilea tip. O interpretare intuitivă a valorii la risc este aceea că aceasta reprezintă o pierdere maximă probabilă, sau că în 100(1 )%α− din cazuri, pierderea este mai mică sau egală cu VaRα . Valoarea la risc satisface destul de multe criterii. În raport cu axiomele ADEH satisface axioma de monotonie, omogenitate pozitivă şi invarianţă la translaţie. În plus, mai are şi proprietatea de aditivitate comonotonă. Ca dezavantaj principal, valoarea la risc nu prezintă proprietatea de subaditivitate şi deci nu este o măsură coerentă a riscului în cazul general. Totuşi, pentru clase speciale de distribuţii, valoarea la risc este coerentă, de exemplu, pentru clasa distribuţiilor normale. Fie z nivelul de referinţă cu care valoarea portofoliului este comparată la sfârşitul orizontului de timp considerat. Dacă x z< , atunci există o pierdere de z x− . Deci, pierderea portofoliului este dată de variabila aleatoare :

l z x= −% % Ca nivele de referinţă pot fi utilizate nivelul iniţial 0x , precum şi valoarea aşteptată ( )E x% . Probabilitatea unei pierderi mai mici sau egale cu l este dată de funcţia de distribuţie :

( ) ( ) ( )l

l lF l P l l f t dt−∞

= ≤ = ∫% %%

Folosind distribuţia pierderii lF% , pentru un anumit orizont de timp şi un anumit nivel de încredere 1 α− , obţinem ecuaţia :

( ) ( ) 1lF VaR P l VaR α= ≤ = −%%

Aplicând funcţia inversă 1lF −% ecuaţiei de mai sus obţinem valoarea la risc :

1(1 )lVaR F α−= −% . (3.9)

TEMA 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ A PREFERINŢELOR ÎN CONDIŢII DE RISC

1. Introducere

Fenomenul preferinţei la risc este strâns legat de evaluarea şi construirea funcţiilor de

utilitate şi ulterior cu întreg procesul de luare a deciziilor în condiţii de risc şi incertitudine, de

prezenţa unui număr mare de variabile ce trebuie manipulate în cadrul modelului.

Una din cele mai dificile alegeri la care poate fi expusă o persoană, un grup de persoane sau chiar o organizaţie se referă la cazul când aceştia trebuie să decidă între propoziţii (variante sau alternative de acţiune) al căror rezultat final are un caracter incert. Există însă un mod logic de a structura aceste procese şi ulterior de a oferi decidentului cea mai bună soluţie în raport cu atitudinea acestuia faţă de risc. În acest scop se introduc noţiunile referitoare la loteria informaţională, echivalentul cert al unei loterii, funcţie de utilitate, coeficient de risc. O propoziţie incertă poate fi descrisă prin intermediul unei loterii. Ea este complet definită de costurile vi, i= 1, ..., n şi probabilităţile pi, i = 1,..., n de apariţie a evenimentelor Ei, i = 1, ..., n în loterie. O loterie poate fi reprezentată grafic ca mai jos, după tiparul arborilor decizionali.

Rezultatele într-o loterie nu trebuie să fie neapărat măsurabile şi nici comparabile. Evenimentele din loterie sunt astfel alese în legătură cu modelarea unui sistem real astfel încât ele sunt mutual independente şi colectiv exhaustive, ceea ce implică relaţia:

∑ ==

n

1ii 1p

Definiţia 1: Valoarea aşteptată a unei loterii informaţionale reprezintă suma

produsului dintre probabilităţi şi valorile din loterie, astfel că:

∑==

n

1iii vpv

Definiţia 2: Echivalentul cert, v~ , al unei loterii reprezintă preţul de vânzare al acesteia,

valoarea ce urmează să o primească o persoană pentru o loterie pe care deja o posedă.

Definiţia 3: Premiul de risc vp este definit de v~vvp −= . În cazul în care vp = 0 decidentul

este o persoană neutră la risc şi dacă vp ≠ 0 atunci persoana respectivă este considerată ca

fiind sensibilă la risc.

2. Axiomele teoriei preferinţei la risc

Acestea se referă la un set minimal de condiţii pe care o persoană sau un grup de

persoane ar fi dispuse să le accepte în cadrul proceselor generale de decizie.

L:

E1; p1 E2; p2 Ei; pi.

En; pn

v1

v2

vi

vn

Se demonstrează că, în condiţiile în care preferinţele unei persoane satisfac axiomele

de utilitate (ordonabilitate, continuitate, substituţie, monotonicitate, decompozabilitate),

aceste preferinţe pot fi încorporate într-o funcţie de utilitate. Această funcţie de utilitate

ataşează valori de tip numeric pentru orice câştig într-o loterie informaţională.

Fig. 4.1. Schema unei funcţii de utilitate U = u(v)

Proprietatea 1. O funcţie de utilitate care descrie preferinţa la risc a unei persoane are

următoarele însuşiri:

a) utilitatea U a oricărei loterii L este utilitatea aşteptată a valorilor v din loterie.

b) dacă un decident preferă o loterie L1 unei alteia L2 (L1 ≻ L2) atunci L1 are utilitatea mai

mare.

În cazul în care se ia în considerare conceptul de utilitate, echivalentul cert al unei

loterii reprezintă valoarea pentru care o loterie are aceeaşi utilitate ca şi utilitatea aşteptată a

loteriei.

Axioma 1. (ordonabilitate)

Un decident trebuie să fie capabil să-şi stabilească preferinţa lui între valorile oferite de

loterie.

Dacă vi, i = 1,..., n reprezintă o valoare dintr-o loterie, atunci se poate scrie că v1 >

...>vn unde n indică numărul maxim al câştigurilor din loterie.

v

u(v)

Axioma 2. (continuitate)

Dacă un decident acceptă preferinţa tranzitivă A ≻ B ≻ C, atunci el trebuie să fie capabil să

construiască o loterie cu valorile A şi C şi să determine probabilitatea p de a câştiga A pentru

care el este indiferent între a primi valoarea B cu siguranţă şi a participa la loterie.

Deoarece Ui (utilitatea unei valori) reprezintă în fond o probabilitate (0 ≤ Ui ≤ 1, i = 1,

..., n) atunci se poate extinde axioma de continuitate pentru cazul utilităţiilor.

Axioma 3. (substituţie)

Dacă un decident a precizat echivalentul cert v~ al unei loterii L atunci el trebuie să fie

indiferent între loterie şi echivalentul cert.

Se observă că, în cadrul loteriei compuse, există doar două valori şi anume: v1 şi vn.

Axioma 4. (monotonicitate)

Dacă un decident are o preferinţă între două valori şi el trebuie să decidă asupra a două loterii

care conţin aceste 2 valori, atunci el va trebui să prefere loteria care produce valorile

respective cu cea mai mare probabilitate.

1 B p

1 - pA

C

1 vi Ui

1-Ui

v1

vn

L:

L1p

Lip

Lnp

v1 vn

v1

vn

v1

vn

U1

1 - U1Ui

1 - UiUn

1 - Un

În cazul în care Vi > Vn, o loterie A este preferată unei loterii B (A ≻ B) rezultă:

∑ ⋅>∑ ⋅==

n

1ii

Bi

n

1ii

Ai UpUp

Axioma 5. (decompozabilitatea)

Dacă o propoziţie incertă are o structură mai complicată, decidentul va considera numai

valorile finale ce pot fi dobândite de el şi apoi va calcula probabilitatea de câştig pentru

fiecare valoare.

O reprezentare grafică a axiomei pentru cazul când p şi q sunt probabilităţile în loterie este

următoarea:

Forma echivalentă pentru o loterie L considerând Ui utilitatea valorii vi.

3. Construirea funcţiei de preferinţă a unui individ

Cercetarea a arătat că este posibilă determinarea pentru fiecare individ responsabil al

unei decizii, a unei funcţii de preferinţă care constituie o sinteză a atitudinii acestuia privind

riscul.

pq

1-pq v1

v2

p

1-p

q

1-q v1

v2

v2

L:

∑=

n

1ii

Li Up

1 - ∑=

n

1ii

Li Up

v1

vn

Această funcţie exprimă relaţia care există, pentru un individ, între valoarea

monetară (exprimând fie un profit, fie o pierdere, fie în bani lichizi, fie în volum al

imobilizărilor) şi preferinţa. Această preferinţă este exprimată în unităţi de preferinţă după o

scară total arbitrară.

Interesul esenţial al determinării funcţiei de preferinţă a unui individ este acela că,

având această funcţie va fi posibil să prevedem deciziile pe care individul respectiv le va lua

atunci când se va confrunta cu situaţii care incumbă nivele variate de risc. În astfel de situaţii

el va lua decizia care corespunde preferinţei sale maxime.

Problema fundamentală este însă de a determina practic curba de preferinţă a unui

individ.

Pentru aceasta, plecând de la câteva repere alese, se încearcă să traseze o curbă care

reprezintă cât mai bine posibil evoluţia preferinţelor individului pentru sume de bani de

importanţe diverse.

Să considerăm de exemplu un individ pentru care dorim să etalonăm curba de

preferinţă între valorile de 0$ şi 100.000$. Vom fixa, de exemplu, arbitrar, preferinţa 0$ = 0

Up şi preferinţa de 100.000$ = 50 Up (sau altfel 20 respectiv 80 etc.).

În continuare se procedează în etape succesive de maniera următoare: vă dau

posibilitatea să alegeţi între creşterea profitului dumneavoastră cu 20.000$ sau să aveţi

posibilitatea de a participa la o operaţiune care vă permite 50% şanse să câştigaţi 100.000$ şi

50% şanse să câştigaţi 0$. Care este alegerea dumneavoastră? Să presupunem că individul

preferă posibilitatea de a participa la loterie: aceasta înseamnă că preferinţa pentru joc este

superioară preferinţei pentru o sumă sigură de 20.000$. Însă, preferinţa operaţiuni, poate fi

obţinută prin:

0,5 x pref.(0$) + 0,5 x pref.(100000$) =

= 0 x 0,5 + 50 x 0,5 = 25 unităţi de pref.

Aceasta înseamnă că:

pref(20.000$) < 25

În acelaşi timp dacă se propune de a alege între 60.000$ şi aceeaşi operaţie şi dacă

individul alege 60.000$ ⇒ pref.(60.000$) > 25.

Se încearcă apoi de a găsi cu precizie mărimea creşterii profitului pentru care

individul este de acord să estimeze indiferenţa sa faţă de 2 decizii posibile.

Să presupunem că această mărime este 30.000$. Aceasta semnifică că individul are o

preferinţă egală între a câştiga sigur 30.000$ şi a putea participa la o loterie cu 2 rezultate

posibile. Deci:

preferinţa (30.000$) = 25

Am reuşit astfel să obţinem 3 puncte.

pref. (0$) = 0

pref. (30.000$) = 25

pref. (100.000$) = 50

Este posibil acum să reprezentăm aceste puncte pe un grafic şi să trasăm curba care

corespunde în ansamblu acestor puncte (figura 4.2).

Trebuie apoi să ne asigurăm că aceasta corespunde întru totul atitudinii individului

vis-a-vis de risc. În caz că nu, atunci individul va aduce modificări astfel încât curba să

permită obţinerea de rezultate, fie coerente, fie reprezentative pentru atitudinea sa în condiţii

de incertitudine.

Deşi procesul de construcţie a curbei este în principiu foarte simplu, în practică este

relativ dificil. În general, după reflexii şi discuţii, o astfel de curbă poate fi trasată.

Up

Valori monetare (1000$)

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

60

50

40

30

20

10

Caracteristicile unei funcţii de preferinţă:

funcţia de preferinţă este caracteristică individului interogat, la momentul în care este interogat. Ea este construită plecând de la răspunsurile individului şi aceste răspunsuri depind de circumstanţa de moment, şi în particular, de averea individului. Pentru un individ dat, comparaţiile intertemporale ale utilităţii sunt imposibile;

funcţia de preferinţă este personală şi comparaţiile interpersonale între utilităţi sunt nesemnificative

4. Tipuri clasice de curbe de preferinţă

Fiecărui individ îi corespunde o curbă de preferinţă proprie. Acest lucru este în

general adevărat dar este, de asemenea, util să remarcăm că aceste curbe se repartizează în trei

mari categorii, cu caracteristici diferite. În general, între două limite monetare fixate dinainte

L1 şi L2 cele trei tipuri sunt următoarele:

Curba (1) corespunde indivizilor conservatori, care iau un minim de risc; curba (2),

corespunde indivizilor indiferenţi la risc în interiorul limitelor L1 şi L2 fixate, curba (3)

corespunde indivizilor care îşi asumă riscul, jucătorilor. Trebuie precizat faptul că aceste trei

tipuri de curbe de preferinţă pleacă de la presupunerea că atitudinea faţă de risc a decidentului

nu se modifică. Însă există situaţii în care atitudinea faţă de risc poate suferi modificări de

ordin calitativ, în sensul creşterii intensităţii acesteia.

pref.

(1)

(2)

(3)

L1 L2 Valoarea monetară

TEMA 7. MODELAREA DECIZIILOR DE PORTOFOLIU Introducere Constituirea unui portofoliu are la baza principiul conform caruia nu este rational

a investi intreg capitalul disponibil intr-un singur plasament (titlu, activ financiar) urmarindu-se in fapt divizarea acestuia si orientarea spre achizitionarea mai multor tipuri de actiuni. Ideea consta in realizarea unui portofoliu de actiuni care sa asigure un randament maxim, la un nivel predeterminat la riscului. In ceea ce priveste randamentul maxim al portofoliului, acesta e influentat de mai multi factori cum sunt: randamentele actiunilor incluse, probabilitatea de a obtine un randamant anticipat pentru fiecare titlu, numarul de actiuni detinute s.a. Markowitz a propus in lucrarile sale ca performanta unei actiuni sa fie exprimata in functie de randamentul mediu (asteptat sau anticipat), iar riscul sa fie comensurat prin intermediul variantei (dispersiei). Notatii: V – venitul investitorului A1,A2,…,Am – actiunile disponibile pentru a fi achizitionate Rij – randamentul actiunii Ai la momentul j, j=1,2,…,n. Rj – randamentul scontat pentru portofoliu, la momentul j pij – probabilitatea de a obtine randamentul scontat pentru Ai la momentul j. Pentru fiecare actiune se calculeaza urmatorii indicatori, pe baza datelor statistice disponibile:

- Randamentul mediu (asteptat) al actiunii:

- Varianta actiunii care exprima riscul acesteia:

- Abaterea standard a fiecarei actiuni , in fapt o alta modalitate de a masura riscul actiunii Ai, in aceeasi exprimare /unitate de masura ca si randamentul sau rentabilitatea actiunii (procente):

Pentru fiecare doua actiuni se va putea calcula covarianta acestora:

Distingem, in functie de semnul covariantei, urmatoarele situatii:

- Cov(Rp,Rk)>0, cand cele doua actiuni sunt corelate pozitiv, randamentele lor evoluand in acelasi sens.

- Cov(Rp,Rk)=0, atunci cand cele doua actiuni sunt independente. - Cov(Rp,Rk)<0, atunci cand randamentele lor evolueaza in sensuri diferite.

Pe baza acestor date se poate construi matricea variantelor – covariantelor, notata si matricea coeficientilor de corelatie R=[Rij], unde .

Matrice R este o matrice simetrica avand 1 pe diagonala princiapala. Vom defini matricea diagonala:

si atunci relatia dintre matricea de corelatie R si matricea variantelor – covariantelor V este:

Astfel, fiecare actiune va fi caracterizata de perechea (randament mediu, risc), respectiv in notatiile facute . Consideram, pentru a exemplifica numeric, cazul a trei actiuni, ale caror randamente, in patru stari ale naturii (evenimente), de probabilitati cunoscute sunt date astfel:

Randamente (%) Evenimente Actiuni

e1 e2 e3 e4

A1 10 3 5 -1

A2 -2 3 3 4

A3 3 4 -2 2

Probabilitati ale evenimentelor

3/10 2/10 3/10 2/10

Calculul randamentelor medii (asteptate) ale celor trei actiuni ne conduce la:

De exemplu: . Matricea variantelor-covariantelor pentru cele trei actiuni este:

Astfel, de exemplu:

Matricea de corelatie a celor trei actiuni rezulta din:

Matricea R releva faptul ca: A1 si A3 se afla intr-o dependenta liniara importanta, iar A2 si A3 intr-o dependenta liniara inversa, relativ mai slaba. Dependenta liniara dintre A1 si A2 exista dar este mai putin intensa fata de dependenta dintre A1 si A3. In general, in teoria portofoliilor se considera ca randamentele asteptate sunt distribuite normal. Se poate face o ordonare a actiunilor, in functie de relatiile de ordine existente intre randamentul asteptat si respectiv riscul asociat.

De obicei cresterea randamentului atrage dupa sine o crestere a riscului. De aceea este indicat de a alege, pentru un risc asumat, portofoliul cu un randament mai inalt, sau, in mod similar, pentru un randament dat, vom alege portofoliul care implica cel mai mic risc. Oricum, in teoria economica se admite faptul ca distributia randamentului unui portofoliu se indeparteaza cu atat mai mult de cea normala, cu cat perioada de calcul a randamentelor este mai scurta si cu cat numarul de titluri incluse in portofoliu este mai mic.

1. Modelul lui Markowitz Alegerea portofoliului optim e posibila atunci cand riscul si randamentul fiecarei actiuni sunt marimi ce pot fi calculate direct. Exista pe orice piata financiara corelatii atat intre actiuni, cat si intre ele si ansamblul pietei. In plus vom accepta faptul ca atat riscul cat si rentabilitatea actiunilor sunt realizari de variabile aleatoare. In modelul propus de Markowitz (laureat al Premiului Nobel pentru economie in 1990) se precizeaza doua cazuri:

a) Investitorul urmareste obtinerea unei combinatii a randamentelor asteptate care sa conduca la maximizarea rentabilitatii portofoliului, pentru un nivel predeterminat al riscului acceptat.

b) Investitorul urmareste definirea acelei combinatii care sa ii minimizeze riscul, in conditiile atingerii unui prag de rentabilitate a portofoliului.

Riscul portofoliului va depinde de numarul actiunilor incluse, riscul fiecarei actiuni

, gradul de interdependenta al actiunilor, precum si de interdependenta dintre parametrii fiecarei actiuni si cei ai pietei financiare. Notam prin xi ponderea alocata de investitor pentru Ai in totalul venitului V, adica:

si fie x=[x1,x2,…,xn] structura portofoliului. Pentru acest portofoliu vom calcula indicatorii:

• Randamentul mediu scontat:

- vectorul coloana al rentabilitatiilor actiunilor. • Varianta portofoliului:

Matricial putem scrie:

Daca se cunoaste matricea coeficientilor de corelatie (R), atunci din avem iar varianta portofoluilui va rezulta ca fiind .

In cazul unui portofoliu cu m actiuni vom calcula m variante si covariante si daca m este mare, atunci numarul covariantelor este strict mai mare decat cel al variantelor, iar riscul portofoliului va depinde mai mult de combinatia covariantelor titlurilor decat de riscul fiecarei actiuni in parte. In cazul in care portofoluil format de cele trei titluri, din exemplul numeric dat, are structura x=[0.3 0.35 0.35] vom putea calcula:

• Randamentul mediu scontat

• Varianta portofoliului

Problema determinarii structurii portofoliului {x1,…,xn} poate fi formulata in trei cazuri: Caz 1) Se fixeaza un nivel minim R* al randamentului si se cere sa se determine structura optima a portofoliului care sa minimizeze riscul:

unde 1m=[1,1,…,1]` Caz 2) Se maximizeaza randamentul scontat al portofoliului in conditiile atingerii unui nivel acceptat al riscului . Problema de optimizare este:

Caz 3) Se maximizeaza o functie de utilitate definita ca sinteza a mediei si abaterii standard a randamentului portofoliului. Utilitatea MLR poate fi ilustrata in continuare in cazul problemei alegerii portofoliului optim, apelind la metoda lui Sharpe si metoda regresiei globale. Facem mai intai cateva observatii cu caracter general legate de cele prezentate anterior: Obs 1. Modelul Markowitz necesita un volum mare de informatii si de calcule pentru aflarea mediilor E(Ri), variantelor si covariantelor actiunilor din structura portofoliului. Obs 2. Toate covariantele din acest model au un factor comun de determinare reprezentat printr-un indicator macroeconomic (indicele bursier al pietei, rata dobanzii, indicele PIB, rata inflatiei s.a.). Obs 3. Riscul fiecarei actiuni, ca de altfel si cel al pietei financiare in ansamblu ei sunt realizari ale unei variabile aleatoare.

2. Modelul lui W.F. Sharpe

Riscul unei actiuni este in acest model identificat prin variatia randamentului acesteia. Cu cat randamentul portofoliului are un grad mai mare de variatie, cu atat riscul acestuia e considerat a fi mai mare. Notatii: Rt – randamentul total al unei actiuni la un moment dat

- variatia indicelui de la o perioada la alta. Aceste elemente stau la baza unui model liniar de regresie, caracterizat de norul de puncte (Rt, ∆it) pentru toate perioadele t.

α – cuatifica acea componenta din randamentul total al actiunii, independenta de variatia indicelui caracteristicii exogene a MLR.

β – arata in ce masura modificarea indicelui caracteristicii exogene cu 1% determina cresterea/scaderea randamentului actiunii. εt – variabila reziduala aleatoare cuantifica variatia aleatoare a randamentului actiunii sub actiunea altor factori decat cel inregistrat. Factorii care actioneaza asupra randamentului actiunilor sunt grupati in doua categorii :

- Factori macroeconomici, care actioneaza asupra tuturor actiunilor (rata inflatiei, indicatorii pietelor financiare s.a.) dintre care va fi ales unul pentru MLR.

- Factori microeconomici, care actioneaza asupra randamentului unei actiuni si care vor fi cuantificati prin intermediul variabilei reziduale.

Estimarea parametriilor se face prin mcmmp, asigurandu-ne de indeplinirea urmatoarele ipoteze referitoare la variabila εt:

• E(εt)= 0 • εt si εt` sunt necorelate, se admite ipoteza necorelarii riscurilor specifice actiunilor • pentru orice .

Aplicand mcmmp obtinem estimatorul al coeficientului de volatilitate β, dat de

In functie de valorile posibile ale lui β avem urmatoarele tipuri de actiuni:

• Daca β<0, randamentul actiunii evolueaza diferit in raport cu tendinta pietei financiare

• actiunea are o volatilitate redusa; variatia randamentului actiunii este redusa in raport cu modificarea indicelui pietei.

• β = 1, actiunea este neutra, randamentul ei se modifica in aceeasi proportie cu indicele pietei financiare.

• β >1, actiunea are o volatilitate ridicata, deci o sensibilitate sporita la variatiile pietei financiare, prezentand interes pentru speculatorii pe aceste piete.

Observatie: metoda este discutabila prin faptul ca estimatorul se calculeaza in functie de datele din trecut, iar riscul vizeaza o perioada viitoare.

3. Metoda regresiei globale

Ipoteza constructiva a acestei metode specifica faptul ca randamentul unei actiuni depinde liniar de randamentul global al pietei (RPj), iar MLR este:

αi si βi - sunt parametrii modelului liniar de regresie, Variabila reziduala cuantifica pentru fiecare actiune Ai influenta altor factori, in afara RPj, fiind indeplinite ipotezele:

• E(εij) = 0 • Variabilele reziduale au proprietatea de homoscedasticitate, din

pentru orice j.

Rt

• Riscurile oricaror doua actiuni sunt necorelate, variabilele reziduale ale modelului fiind independente:

• Orice variabila reziduala nu este corelata cu randamentul global al pietei:

Modelul liniar de regresie permite sa relevam urmatoarele proprietati: P1. Pentru fiecare actiune Ai in cadrul unui portofoliu avem, aplicand operatorul de medie:

Deci dreapta de regresie trece prin centrul de greutate al norului de puncte ( proprietate valabila pentru orice MLR). P2. Varianta oricarei actiuni se descompune in doua componente, una datorata riscului sistematic, iar alta datorata factorilor aleatori.

- riscul sistematic

- riscul nesistematic (accidental) P3. Covarianta randamentelor a doua actiuni oarecare din cadrul portofoliului este influentata de doi factori: coeficientii modelelor liniare de regresie pentru cele doua actiuni si de varianta randamentului pietei:

Justificarea acestei formule:

P4. Pentru randamentul mediu al portofoliului caracterizat prin vectorul de structura x avem:

unde . P5. Riscul total al portofoliului, masurat prin varianta randamentului intr-un orizont de timp, e alcatuit din riscul sistematic la care se adauga riscul aleator, nesistematic, ce apare la nivelul pietei financiare.

unde - risc sistematic, - risc nesistematic Problema de optimizare, de rezolvat pentru un nivel dat al randamentului este:

Metoda regresiei globale permite o reducere importanta a numarului de operatii necesare calcularii randamentelor si riscului total. Odata estimat MLR se procedeaza la testarea semnificatiei parametrilor, definirea intervalelor de incredere pentru acestia, compararea caracteristicilor a doua drepte de regresie, testarea normalitatii reziduului.

TEMA 8. ALEGEREA PORTOFOLIULUI

OPTIM –PROBLEME REZOLVATE

Problema 1 Fie actiunile A si B pentru care se cunosc distributiile de probabilitate ale

ratelor de rentabilitate: Probabilitati RA(%) RB(%)0.2 -10 -20 0.5 10 10 0.3 30 20

Sa se determine:

a) Portofoliul de risc minim b) Rentabilitatea si riscul portofoliului

A) Pasul 1. Se calculeaza speranta matematica a rentabilitatii celor doua

actiuni (rentabilitatea medie):

Pasul 2. Se calculeaza riscul asociat fiecarei actiuni, exprimat prin abaterea medie patratica ( :

Pasul 3.Se determina proportiile in care cele 2 actiuni intra in portofoliu prin

rezolvarea problemei de optim data de minimizarea riscului portofoliului. Fie XA si XB proportiile in care se includ actiunile A si B in portofoliu. Se

determina riscul portofoliului:

Construim problema de minim:

Se rezolva sistemul prin metoda multiplicatorilor Lagrange:

Scriem apoi conditiile necesare de optim (CNO):

B) Cu determinate le punctul a se calculeaza abaterea medie patratica a portofoliului (riscul portofoliului):

Apoi se calculeaza rentabilitarea portofoliului ca medie ponderata a ratelor de

rentabilitate ale actiunilor A si B:

Problema 2 Se considera seriile cronologice ale ratelor de rentabilitate corespunzatoare

titlurilor A si B pentru ultimii 10 ani. An RA(%) RB(%)

1 10 20

2 0 35

3 10 20

4 -5 5

5 20 20

6 19 -10

7 20 35

8 10 5 9 25 50 10 0 20

Se cere:

1) Calculati rata medie de rentabilitate si abaterea medie patratica pentru fiecare actiune, precum si coeficientul de corelatie dintre ratele de rentabilitate ale actiunilor A si B.

2) Considerand cursurile titlurilor ca variabile aleatoare, estimati caracteristicile distributiilor de probabilitate corespunzator ratelor de rentabilitate ale actiunilor.

3) Daca investitorul achizitioneaza 10 titluri de tip A la pretul unitar de 800u.m. si 5 titluri de tip B la 400u.m. care va fi structura portofoliului.

4) Determinati rata rentabilitatii si riscul portofoliului de la punctul 3 precum si contributia fiecarui titlu la rentabilitatea si riscul portofoliului.

Rezolvare: 1)

2) Media distributiei va fi exprimata prin media esantionului, iar abaterea medie

patratica a distributiei, prin , n – volumul

esantionului.

Astfel

- Covarianta dintre RA si RB va fi estimata prin

3) Conform enuntului avem:

Decidentul va investi 80% din suma de care dispune in titlul A si restul de 20% in B.

4) Rentabilitatea portofoliului va fi: Riscul portofoliului va fi:

Contributiile celor doua titluri la rentabilitatea portofoliului sunt:

Titlul A contribuie la riscul portofoliului cu:

,

iar contributia titlului B este de:

.

1

CURSUL 1-2 . OBIECTUL DE STUDIU AL TEORIEI DECIZIEI. Probleme decizionale-exemple

1.1 Introducere -Decizia-definitii-alegere, optiune, selectarea cursului unei actiuni, proces

dinamic de interactiune a participantilor la o activitate care se finalizeaza printr-o politica de alegere ;are la baza, un ansamblu logic de rationamente si inferente logice, analiza, definirea obiectivelor si a resurselor disponibile , evaluarea, cuantificarea evolutiei probabile-posibile, predictii .

Iată câteva exemple de decizii şi problemele teoretice cărora acestea le

dau naştere: - Ar trebui să îmi iau umbrela astăzi? – decizia depinde de un lucru

pe care nu îl cunosc, şi anume dacă va ploua sau nu. (incertitudine)

- Caut să cumpăr o casă. Să o aleg pe aceasta? – aceasta arată bine însă e posibil oare să găsesc una şi mai bună la acelaşi preţ dacă voi continua căutările? Când ar trebui să mă opresc din căutat? (risc)

- Judecătorul trebuie să decidă dacă acuzatul este vinovat sau nu. – sunt două greşeli pe care ar putea sa le facă: să condamne o persoană nevinovată sau să achite o persoană vinovată. Ce principii ar trebui să urmeze ţinând cont de faptul că se consideră prima greşeală a fi mai serioasă decât cealaltă. (risc si incertitudine)

- Un comitet are de luat o decizie însă membrii săi sunt de păreri diferite. Ce reguli ar trebui aplicate pentru a ajunge la o concluzie chiar dacă opiniile individuale diferă? (decizia de grup)

1.2 Decizii cu valori monetare Consiliul profesoral al unei şcoli doreşte organizarea unui eveniment de

strângere de fonduri, pentru dotarea laboratoarelor. Două variante de organizare a evenimentului sunt supuse dezbaterii în consiliu: o recepţie în aer liber sau un concurs sportiv. Veniturile generate de fiecare variantă depind de vreme, aşa că vom presupune că aceasta poate fi însorită sau înnorată. Veniturile posibile-consecintele monetare- sunt sintetizate în Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1 Variantele de decizie ale

consiliului

venituri (Lei) înnorat însorit

concurs 8.500 12.000 recepţie 7.500 15.000

2

Ţinând cont de argumentul că se strâng bani în beneficiul elevilor,

directorul sugerează evitarea pe cat posibil a riscurilor. Astfel, se remarcă varianta concursului care generează un venit minim de 8.500 Lei, în timp ce recepţia un venit de 7.500 Lei.(criteriul max-min)

Înainte de a se lua o decizie, directorul adjunct aminteşte de posibilitatea asigurării evenimentului împotriva vremii rele. Asigurarea plateste o despagubire de 5.000 Lei în cazul unei vremii înnorate, iar prima este de 1.000 Lei. Veniturile posibile în această situaţie, sunt reprezentate în următorul tabel:

Tabelul 1.2 Variantele de decizie ale consiliului considerând asigurarea

venituri (Lei) înnorat însorit

concurs 12,500 11,000 recepţie 11,500 14,000

Directorul remarcă în această variantă, că recepţia asigură un venit minim

de 11,500 Lei în timp ce concursul un venit minim de 11.000 Lei. Astfel propune organizarea recepţiei. Am putea că nu există nici o diferenţă între alegerile din Tabelele 1.1 şi 1.2, în ambele situaţii concursul aducând cu 1.000 Lei mai mult, pe timp urat şi cu 3.000 Lei mai puţin, pe timp frumos. Este lipsită de consistenţă recomandarea de alegeri diferite în funcţie de fiecare tabel ? Trebuie astfel luat în considerare costul de oportunitate sau regretul unei acţiuni. Acesta este reprezentat de diferenţa dintre venitul generat de cea mai bună variantă şi câştigurile fiecăreia dintre celelalte acţiuni. (Tabelul 1.3.)

Tabelul 1.3 Tabelul regretelor pentru cazul studiat

Regretul (Lei) înnorat însorit regretul maxim

concurs 0 3,000 3,000 recepţie 1,000 0 1,000

Directorul reconsideră situaţia şi ţinând cont că de această dată tabelul ilustrează regretul monetar şi nu câştigul, propune organizarea recepţiei.(criteriul min-max) Această acţiune ne asigură că regretul nu va depăşi 1.000 Lei.

Imediat adjunctul pune problema asigurării evenimentului, şi realizează că există de fapt patru variante de alegere, şi nu două. Astfel, tabloul complet al variantelor de alegere este prezentat în Tabelul 1.4:

3

Tabelul 1.4 Tabelul regretelor pentru toate cele 4 acţiuni:

Venit (regret) (Lei) înnorat însorit regretul maxim

Concurs / fără asigurare 8.500 (4.000) 12.000 (3.000) 4.000 Recepţie / fără asigurare 7.500 (5.000) 15.000 ( 0) 5.000 Concurs / cu asigurare 12.500 ( 0) 11.000 (4.000) 4.000 Recepţie / cu asigurare 11.500 (1.000) 14.000 (1.000) 1.000

După criteriul alegerii regretului minim, se hotărăşte de această dată,

organizarea unei recepţii, asigurând evenimentul împotriva vremii rele. Astfel regretul nu va fi mai mare de 1.000 Lei.

Metoda care a condus la acest ultim rezultat, este cunoscută sub numele de regretul minimax. Ea urmăreşte alegerea variantei care minimizează regretul maximal.

1.3 Independenţa preferinţelor Să presupunem că serveşti masa de prânz şi ai de ales dintr-un meniu

limitat, cu preţuri fixe. Ai următoarele variante, pentru felul întâi şi desert:

felul întâi friptură de porc sau salată de pui desert papanaşi sau îngheţată

Să presupunem că alegerea meniului se va face pe baza acordării unor

punctaje fiecărui fel de mâncare, şi calculând punctajul aferent fiecărei combinaţii de feluri. Vei alege dejunul cu cel mai mare punctaj. Punctajul acordat fiecărui fel de mâncare, in mod subiectiv, este următorul:

friptură de porc 10 puncte salată de pui 7 puncte papanaşi 9 puncte îngheţată 3 puncte

Astfel, cele patru combinaţii- variante- posibile obţin următorul punctaj:

friptură de porc papanaşi 19 puncte friptură de porc îngheţată 13 puncte salată de pui papanaşi 16 puncte salată de pui îngheţată 10 puncte

S-ar părea că cea mai bună alegere ar fi „friptura de porc şi papanaşi”. Numai că aceasta combinaţie de feluri de mâncare este greu de digerat până şi pentru cei mai gurmanzi. Motivul pentru care totalizarea punctajelor eşuează în clasificarea preferinţelor pentru masă, este că ea presupune că preferinţa ta pentru desert este independentă de preferinţa pentru felul întâi. Iar acest lucru nu este adevărat. Dacă pentru felul întâi ai alege friptura de porc, cel mai probabil

4

felul al doilea ar fi îngheţată, iar după o salată de pui cea mai fericită alegere ar fi papanaşii. Vom vedea mai tirziu că numai când preferinţele sunt independente se pot aduna fără grijă valorile asociate lor.

1.4 Preferinţe de-a lungul timpului-decizii dinamice Multe probleme decizionale implică proiecte ale căror costuri sau câştiguri

se derulează de-a lungul mai multor ani. Aici vom considera numai cazurile în care atât costurile cat şi beneficiile sunt în întregime monetare, cum ar fi deciziile de investiţii din comerţ sau industrie. Să luam exemplul sintetizat în Tabelul 1.5:

Tabelul 1.5 Cash-flow-urile generate de şase proiecte Fluxul de numerar generat de proiecte Anul A B C D E F

0 - 10 m - 10 m - 10 m - 1 m - 16 m - 16 m 1 + 5 m + 5 m + 2 m + 0,5 m + 16 m + 3,2 m 2 + 5 m + 5 m + 8 m + 0,5 m + 5 m + 19,2 m 3 0 + 5 m + 5 m + 0,5 m 0 0 4 0 + 5 m + 5 m + 0,5 m 0 0

Astfel, Proiectul A necesită o investiţie iniţială de 10 milioane u.m. generând venituri de 5 milioane la sfârşitul fiecăruia din primii doi ani de viaţă. În mod similar, Proiectele E şi F au o durată de viaţă de 2 ani, pe când C şi D de 4 ani.

Literatura de specialitate sugerează două direcţii de acţiune: decizia de acceptare – respingere sau de ordonare (ierarhizare). De reţinut că este foarte importantă includerea în tabloul variantelor a unui proiect nul, corespunzător situaţiei de status-quo; toate proiectele pot fi mai puţin favorabile comparativ cu alternativa de a nu adopta nici unul dintre ele.

Prezentam pe scurt patru reguli simple de decizie : Cea mai simplă metodă este compararea proiectelor în funcţie de durata

de recuperare a investiţiei.(se cauta sa se micsoreze astfel riscul, dar abordarea este destul de naiva) Proiectul A are o durată de recuperare de 2 ani la fel ca şi proiectele B, C, D şi F. Proiectul E în schimb, are o durată de recuperare de numai un an. Astfel metoda ne indică cea mai bună variantă, ca fiind proiectul de investiţie E, fără a putea diferenţia între variantele A, B, C D şi F. Evident, metoda are o serie de neajunsuri:

a) nu se ia în considerare câştigul oferit de investiţie, după ce se recuperează (comparaţi A şi B)

b) nu se ia în considerare volumul investiţiei (comparaţi B şi D) c) nu se ia în calcul distribuţia temporala a câştigurilor (comparaţi B şi C) d) durata de recuperare nu este definita foarte clar pentru proiectele care

presupun investiţii în mai multe faze. Să considerăm un proiect cu următoarea secvenţă de cash-flow-uri: –10m, +10m, +4m, -4m, +4m, în anii 0, 1, 2, 3 respectiv 4. Cat ar trebui să fie durata de recuperare? Unul sau trei ani?

5

O metodă mai bună decât precedenta, în evaluarea seriilor de timp este dată de rata medie de rentabilitate a capitalului investit (Accounting Rate of Return) – ARR. Aceasta rata poate fi definită în modul următor:

Profitul mediu anual al unui proiect x 100%capitalul investit

.

Vom nota cu ARR(A), ARR aferent proiectului A:

(5 5 10) / 2( ) 100% 0%10

ARR A + −= ⋅ =

(5 5 5 5 10) / 4( ) 100% 25%10

ARR B + + + −= ⋅ =

( ) 25%( ) 25%( ) 15,6%( ) 20%

ARR CARR DARR EARR F

====

Astfel, conform metodei, proiectele B, C şi D sunt deopotrivă cele mai bune, iar cele rămase pot fi ierarhizate în ordinea: F, E şi A.

Spre deosebire de prima metodă, aceasta ia în considerare şi câştigurile obţinute după recuperarea investiţie, şi de asemenea este bine definită. Cu toate acestea trebuie să remarcăm următoarele:

a) nu se ţine seama de volumul investiţiei (comparaţi B şi D) b) nu se ţine seama de distribuţia veniturilor şi a cheltuielilor (comparaţi B

şi C) Nici una dintre metodele de mai sus nu ţine cont de factorul de

actualizare. Cei mai mulţi dintre noi, preferăm să obţinem un venit acum, decât să obţinem acelaşi venit peste un an. Presupunând că peste un an, 1 Leu va valora (1+r) Lei, în condiţiile în care rata de actualizare r rămâne constantă de la o perioadă la alta, 1 Leu primit peste n ani, va valora 1/(1+r)n din valoarea lui în momentul prezent. Plecând de la această idee, vom sintetiza fluxurile de numerar ale proiectelor, în Valoarea Actualizată Netă (VAN) a fiecăruia:

( )25 5( ) 10

1 1m mVAN A mr r

= − + ++ +

( ) ( ) ( )2 3 45 5 5 5( ) 10

1 1 1 1m m m mVAN B mr r r r

= − + + + ++ + + +

, etc.

Pentru problema noastră considerăm că r a fost determinată ca fiind 10%. Astfel, se obţin următoarele rezultate:

VAN(A)= -1.322m VAN(D)=0,585m VAN(B)=5.850m VAN(E)=2.678m VAN(C)=5.601m VAN(F)=2.777m

6

Rezultă astfel, următoarea ierarhizare preferenţială a proiectelor: B C F E D Af f f f f . Deşi acestui criteriu nu i se poate invoca nici unul dintre neajunsurile aduse duratei de recuperare, se poate ridica problema corectitudinii considerării factorului de actualizare constant.

O cale de a evita acest neajuns este folosirea Ratei Interne de

Recuperare (RIR). Aceasta se defineşte ca fiind r pentru care VAN a unui proiect sa fie nulă. Spre exemplu, pentru calculul RIR aferentă proiectului A, va trebui să rezolvăm următoarea ecuaţie:

( )25 510 0.

1 1m mmr r

− + + =+ +

Facem schimbarea de variabilă 11

xr

=+

, rezolvăm ecuaţia şi obţinem 1x = sau

2x = − . Evident, 1 01

xr

= >+

, astfel că vom obţine soluţia 1 0.x r= ⇒ =

Calculăm la fel şi pentru celelalte proiecte şi găsim:

RIR(A)=0% RIR(C)=32% RIR(E)=25%

RIR(B)=35% RIR(D)=35% RIR(F)=20% Aşadar, acest criteriu sugerează că cele mai bune proiecte ar fi B şi D, iar

restul ar putea fi ordonate: C, E, F respectiv A. De reţinut că, spre deosebire de VAN, RIR nu ţine cont de volumul investiţiei (B şi D).

Comparând rezultatele obţinute pe baza fiecărui criteriu, ar putea părea că nici unul nu este pe de-a-ntregul satisfăcător în ierarhizarea variantelor. La prima vedere, Valoarea Actualizata Neta, are cele mai puţine neajunsuri.

1.5 Paradoxul St. Petersburg-demitizarea criteriului monetar Să presupunem că jucăm următorul joc. Aruncăm o monedă, în mod

repetat până când va cădea fata “cap”. Dacă acest lucru se va întâmpla la a n-a încercare, persoana care joaca primeste 2n Lei. Cât esti dispus să plăteşti pentru a participa la acest joc?

Să considerăm câştigul aşteptat. Probabilitatea ca moneda să cadă cu

faţa “cap” la aruncarea n, este de 12

n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Deci, câştigul aşteptat va fi:

1 1

1 2 12

nn

n n

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⋅ = = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Astfel, se pare ca oricât de mult ai plăti ca să participi, te-ai putea astepta

să câştigi chiar şi mai mult. Continuând raţionamentul duce la concluzia că ai fi dispus să rişti tot ce ai pentru oportunitatea de a juca acest joc, măcar o dată. Totuşi, nimeni nu poate considera în realitate această acţiune ca fiind

7

raţională.Morala acestui exemplu este : câştigul monetar aşteptat nu este cel mai bun criteriu folosit în evaluarea situaţiilor incerte. Vom discuta o metodă mai potrivită, bazată pe utilitatea aşteptată, într-un capitol viitor.

1.6 Paradoxul unei decizii de grup Să considerăm următoarea situaţie. Se desfăşoară un concurs de teatru, la

care juriul este format din şapte persoane (decidentii). Ele asistă la cele patru piese prezentate pe care în continuare le vom numi piesa A, piesa B, C respectiv D. Fiecare membru al juriului îşi ordonează preferinţele, acordând 4 puncte celei mai bune piese, 3 puncte următoarei, şi aşa mai departe. Piesa care obţine cel mai mare număr de puncte este declarată câştigătoarea concursului.

Piesele sunt punctate după cum urmează:

piesa A 4+1+2+4+1+2+4 = 18piesa B 3+4+1+3+4+1+4 = 19piesa C 2+3+4+2+3+4+2 = 20piesa D 1+2+3+1+2+3+1 = 13

În consecinţă, piesa C este declarată câştigătoare. Imediat, artiştii care au jucat în piesa A, depun o contestatie, argumentând

că piesa D, nu ar fi trebuit să fie acceptata în concurs. Există o regulă care permite numai actorilor amatori să participe la concurs, iar cei care au interpretat piesa D sunt actori profesionişti.

Tabelul 1.6 Clasamentul oferit de fiecare membru al juriului

membrul

1 membrul

2 membrul

3 membrul

4 membrul

5 membrul

6 membrul

7

piesa A loc 1 loc 4 loc 3 loc 1 loc 4 loc 3 loc 1 piesa B loc 2 loc 1 loc 4 loc 2 loc 1 loc 4 loc 2 piesa C loc 3 loc 2 loc 1 loc 3 loc 2 loc 1 loc 3 piesa D loc 4 loc 3 loc 2 loc 4 loc 3 loc 2 loc 4

Organizatorii recunosc că s-a făcut o greşeală şi piesa D este

descalificată. Dar ce importanţă are acest lucru atâta timp cât trei membrii ai juriului au plasat piesa D pe ultima poziţie? Trupa A argumentează că, dacă D ar fi fost descalificată înainte de acordarea punctelor, rezultatul ar fi fost altul. S-ar fi acordat puncte numai la trei piese: 3 puncte celei mai bune, 2 următoarei clasate şi 1 ultimei. Punctajele ar fi fost următoarele:

piesa A 3+1+2+3+1+2+3 = 15 piesa B 2+3+1+2+3+1+2 = 14 piesa C 1+2+3+1+2+3+1 =13

Se vede că în aceste condiţii, piesa A ar fi câştigat concursul. Deci,

contestaţia lor este întemeiată.

8

1.7 Probleme decizionale întâlnite în viaţa reală

Exemplele prezentate anterior, reprezintă o variantă simplificată a problemelor mult mai variate şi complexe întâlnite în viaţa reală. În realitate, problemele de decizie sunt mai complicate şi presupun alegerea unui curs de acţiune, guvernat de evenimente incerte. Mai mult, obiectivele luării unei decizii, de cele mai multe ori, sunt conflictuale. Nu poţi proiecta un reactor nuclear minimizând costurile şi maximizând în acelaşi timp măsurile de protecţie operaţională. Exemplele ce urmează, reprezintă probleme decizionale întâlnite în mod frecvent în viaţa reală.

Planificarea bugetului în procesul de producţie

Directorul unei secţii de producţie dintr-o întreprindere trebuie să aloce bugetul operaţional anual. El poate aloca resursele în următoarele trei direcţii:

a) Reducerea costurilor: schimbarea tehnologiei de producţie astfel încât, costul producerii bunurilor să se diminueze.

b) Îmbunătăţirea calităţii: îmbunătăţirea calităţii produselor, şi a imaginii firmei deopotrivă, reducându-se în acelaşi timp costurile de reparare a bunurilor aflate sub garanţie.

c) Progresul tehnic: dezvoltarea de noi produse, în pas cu evoluţia tehnologică, pentru a putea face faţă noilor modele oferite de firmele concurente.

Din moment ce resursele bugetare sunt limitate, alocarea de bani către o activitate reduce fondurile disponibile celorlalte două. Directorul trebuie astfel să ordoneze importanţa celor trei activităţi. Problema este complicată şi mai mult de factorul incertitudine. Alocarea de resurse unei activităţi, nu garantează atingerea obiectivului propus. Directorul trebuie să ia în considerare şi factori cum ar fi: abilităţile şi lipsurile echipei cu care lucrează, mediul concurenţial etc.

Decizia de alegere a locaţiei unui aeroport Considerăm că s-a hotărât asupra necesităţii construcţiei unui aeroport

internaţional. Unde ar trebui guvernul să plaseze această investiţie? În mod normal, numărul acestor locaţii este limitat: de condiţiile geografice, de poziţionarea celorlalte aeroporturi deja existente, de coridoarele aeriene, etc. Cu toate acestea, deşi alegerile sunt limitate, decizia este una foarte complexă. Guvernul va trebui să găsească soluţii de compromis între multe obiective, unele diametral opuse. Aeroportul va trebui să fie în apropierea unui oraş mare, în folosul călătorilor , dar de asemenea , pentru maximizarea protecţiei şi minimizarea disconfortului locuitorilor din zonă, el va trebui să se situeze la o distanţă rezonabil de mare de acelaşi oraş. Se va dori minimizarea costurilor de construcţie şi mentenanţă pe de-o parte, şi maximizarea capacităţii şi a facilităţilor , pe de altă parte. Durata de realizare a investiţiei este una foarte mare, iar costurile şi beneficiile generate de investiţie se vor propaga, de asemenea pe un orizont de timp întins. Trebuie astfel tratat cu foarte mare atenţie, costul de oportunitate al investiţiei şi analizate foarte bine cheltuielile şi veniturile generate de-a lungul timpului. Pe lângă acestea, se

9

mai ridică şi problema incertitudinii viitorului: care va fi în viitor cererea pentru transportul aerian? Cât de sigure vor fi avioanele? Cum se vor modifica dimensiunile aparatelor de zbor?

Decizia acordării de credite O societate oferă posibilitatea clienţilor să cumpere bunuri pentru care să

plătească de-a lungul mai multor săptămâni. Pentru fiecare dintre clienţi, societatea trebuie să hotărască valoarea maximă a creditului acordat, sau cu alte cuvinte, valoarea bunurilor pe care aceştia le pot cumpăra, fără obligaţia achitării întregului preţ la momentul livrării. Evident, obiectivul firmei este să-şi maximizeze câştigurile. Se doreşte astfel oferirea cât mai multor credite clienţilor buni platnici şi reducerea pierderilor generate de clienţii rău platnici. Dificultatea constă desigur în identificarea clienţilor, după cele doua tipologii mai sus prezentate. Apare aici un aspect care nu a mai fost tratat în problemele prezentate pană acum. Procesul este secvenţial; societatea învaţă de-a lungul timpului despre fiecare client, şi-i modifică valoarea maximă a creditului în concordanţă cu tipul său. Problema de decizie cere ca firma să asimileze şi să reacţioneze la informaţiile pe care le primeşte secvenţial.

Probleme propuse

1. (Paradoxul lui Ellsberg) O urnă conţine 90 bile. 30 dintre ele sunt roşii iar restul galbene sau negre, în proporţii necunoscute. O bilă se va extrage la întâmplare din urnă. Ţi se oferă să faci două pariuri cu aceeaşi miză, dintre care trebuie să alegi unul. Nu ai voie să refuzi să pariezi:

Pariul 1 primeşti 1000 Lei dacă este extrasă o bila roşie, şi nimic dacă

bila este de altă culoare

Pariul 2 primeşti 1000 Lei dacă este extrasă o bilă neagră, şi nimic dacă bila este de altă culoare

Ce vei alege? Să considerăm încă două variante de pariu.

Pariul 3 primeşti 1000 Lei dacă este extrasă o bilă roşie sau galbenă, şi nimic pentru o bilă neagră

Pariul 4 primeşti 1000 Lei dacă este extrasă o bilă neagră sau galbenă, şi nimic pentru o bilă roşie

Ce ai alege din această pereche? Analizează alegerea făcută aici, în raport cu prima alegere.

10

2. Două persoane de vârstă şi stare a sănătăţii asemănătoare au câte un

revolver. Primul are gloanţe în 3 din cele 6 spaţii ale tamburului, iar al doilea în numai un spaţiu. Fiecare va învârti tamburul, îşi va pune pistolul la tâmplă şi va apăsa pe trăgaci. Nu mai ai nici o informaţie despre situaţie în afară de cele prezentate. Ai voie să scoţi un singur glonţ dintr-un singur pistol, înainte ca jocul să înceapă. Ce glonţ alegi să scoţi? Compară această problemă cu situaţia unui doctor care are resursele să salveze numai unul dintre cei doi pacienţi ai săi, ambii grav bolnavi, dar cu şanse diferite de supravieţuire.

3. Folosind metoda grafică, sau alte metode, calculaţi rata internă de recuperare pentru proiectul de mai jos.

anul 0 1 2 3 fluxul de numerar -25 125 -204 108

4. Explicaţi de ce poate fi acceptabilă folosirea ratei interne de recuperare

(RIR), ca un criteriu în deciziile de acceptare – respingere? De ce nu este potrivită pentru compararea a două sau mai multe proiecte?

1

CURSUL3. PROCESUL DECIZIONAL ECONOMIC 2.1.Geneza preocuparilor. Directii de cercetare -decizia-rezultatul unui proces logic, rational , element esential al

comportamentului uman, care vizeaza o stare viitoare, important fiind intregul

parcurs al sau si nu doar momentul finalizarii, printr-o alegere.

-decizia , in abordarea manageriala - de la o arta pura bazata pe talent si

intuitie – la o abordare complexa, bazata pe analiza sistemica, modelare si

predictie.

-contributii ale scolilor de gindire filozofice-in sensul justificarii si motivarii

actiunilor umane- concepte :valoare, utilitate.

-teoria probabilitatilor-trebuie ales acel curs al actiunii pentru care sansele

de cistig sunt cit mai mari, sau probabilitatea (P) de pierdere este cit mai

mica.Conceptul de P –de la P in sens Cardan, sec16, la frecventa relativa de

producere a unui eveniment(Poisson), la P subiectiva (Bernoulli,

Ramsey,Bruno de Finetti)- definita ca grad de incredere – credibilitate- pe

care un individ il asociaza unui eveniment incert, si care depinde de

informatiile sale despre acel eveniment..P- nu trebuie vazuta ca un grad de

incredere logic , ci ca unul subiectiv , semnificativ pentru comportamentul

unui individ , confruntat cu un set de pariuri riscante.

-Ramsey (1926) a aratat posibilitatea utilizarii impreuna a PROBABILITATII si

UTILITATILOR intr-o problema decizionala.

-scolile de psihologie-investigarea schemei actiunilor umane si a actelor de

vointa, au conturat un mecanism in care sunt parcurse fazele : aparitia

impulsului, lupta motivelor, LUAREA DECIZIEI, efectuarea actiunii.Scoli

remarcabile au definit mai multe tipuri de decizii ( rationale, intimplatoare,

impulsive, pe baza de vointa etc)

- studii de psihologie experimentala(Kurt Levin) si teoria moderna a jocurilor( 1944Jon von Neumann , O. Morgenstern, Games and Economic

Behavior), sursa pentru alte discipline : Cibernetica, Modelare, Programarea

calculatoarelor etc.-postulatele date in lucrare arata ca decizia trebuie luata in

raport cu utilitatea asteptata maxima.

2

-decizii statistice, Abraham Wald, 1951 Statistical Decision Functions,

abordeaza deciziile pe baza unor rezultate din Teoria Jocurilor. Este folosit

aici criteriul pierderilor asteptate in locul celui al utilitatii asteptate, desi

conceptul de utilitate poate fi dedus din schemele teoretice clasice.

-anii ’50-’60 aplicatii ale Teoriei Deciziei –Scoala de la Harward.Conceptul de

TD este introdus de matematicianul american Howard, 1966.

-Studiul comportamentului decidentilor in colectiv, de grup, Keneth ARROW ,

1951, Decision and social choices, ---valorificate in cercetarile experimentale,

D.Davidson, Suppes, Siegel, etc. Scoala de la Stanford University .

-anii’70 , decizii multicriteriale- Zeleny, Prikopa, Cohrane, Leitman.

-anii’80, Sisteme Suport pentru Decizii-asistarea procesului decizional.

-deceniile urmatoare-aplicatii in diverse domenii, sfere de activitate- finante,

banci, asigurari-, modele fuzzy, inteligenta artificiala si sisteme expert, retele

neuronale.

2.2.Analiza procesului decizional.Activitati decizionale

Proces decizional-ansamblu de activitati pe care le desfasoara un individ

sau un grup de indivizi , confruntati cu unul sau mai multe evenimente , care

genereaza mai multe variante posibile de a actiona , obiectivul fiind acela de a

alege varianta care corespunde cel mai bine sistemului de valori al individului

sau grupului.

ACTIVITATILE DECIZIONALE in functie de complexitatea lor :

-la intimplare, spontane

-pe baza de rutina

-pe baza de instruire

-paradigmatice

-pe baza de analiza, modelare si predictie

3

2.3.Elementele procesului / problemei decizionale

-abordare-descriptiva , abordare normativa

Elementele problemei decizionale PD (si ale procesului decizional)

-decident-roluri-initiatori, promotori, consilieri, realizatori, beneficiary,

opozanti, mediatori, decidentul colectiv

-formularea problemei decizionale

- multimea alternatvelor, a criteriilor, a starilor naturii, a consecintelor,

obiectivelor-matricea decizionala-exemplu-alegerea unui utilaj

2.4. Momentele procesului decizional

1- aparitia evenimentului declansator

2-selectarea evenimentului –tensiune decizionala –preocupare la nivel de

grup

3-formularea initiala a problemei decizionale-vaga, neunica

4-construirea modelelor descriptive individuale de decizie, cu elementele lor

componente

5-optiunile decizionale individuale

6-elaborarea versiunii oficiale a formularii problemei

7-rezolvarea problemei in varianta oficiala la nivel individual

8-elaborarea deciziei de grup –algoritmi, proceduri euristice

9-implementarea deciziei, experimentari posibile,

10-reiterarea procedurii de la momentul 4 in caz de ineficienta a deciziei luate.

4

2.5.Tipologia deciziilor

Tipologia deciziilor are in vedere mai multe criterii :

-numar de participanti- individuale si de grup

-mediul decizional- decizii certe , in conditii de risc , in coditii de incertitudine

-orizontul de timp-decizii curente, tactice, strategice

-nivelul de conducere- esalon superior, mediu, inferior

-frecventa- unice, periodice, aleatoare

-posibilitatea de anticipare-decizii imprevizibile, decizii anticipate/previzibile

-stilul decizional-voluntarist, pe baza de consultare, prin vot democratic

-informatia disponibila si cea transmisa-decizii cu informatie completa,

incompleta , imperfecta, in coditii de simetrie , respective asimetrie

informationala.

2.6.Etapele cadru ale abordarii sistemice a problemei decizionale E1. Definirea problemei , analiza de tip cantitativ

E2.Clasarea problemei intr-una din cele doua categorii clasice de probleme :

-standard(programabile, repetitive), -speciale(neprogramabile, nerecurente )

E3.Modelarea /formalizarea PD-ipoteze constructive, variable de I/O si de

stare, controlabile si necontrolabile, relatii logico-matematice intre variabile

etc.

E4. Rezolvarea PD-necesita precizarea unui principiu de alegere- care

poate sa-l constituie optimizarea ( modele decizionale normative ) , stabilirea

unui criteriu de alegere a deciziei, indeplinirea unor conditii ( rationalitatea

decidentului, cunoastere tuturor alternativelor si a consecintelor , precizarea

sistemului de preferinte al decidentului care permit ierarhizarea

noncontradictorie a variantelor). Alt principiu de alegere il constituie

suboptimizarea-aplicabila sistemelor deosebit de complexe, sau din motive

5

de limitare a resurselor, inclusiv de timp;solutia suboptimala poate fi extinsa

la nivelul sistemului global in pasi , din aproape in aproape.Alt principiu de

alegere-determinarea unei solutii satisfacatoare, de “compromis”,-metode

descriptive- opuse celor normative, argumentate de lipsa abilitatii

decidentului, criza de timp, costul ridicat al rezolvarii exacte.

OBS.-principiile de alegere in TD depind de natura problemei , de atitudinea

decidentului fata de risc, de comportamentul grupurilor decizionale-

exemplificari.

Rezolvarea PD necesita mai multe activitati logice si de calcul

:generarea alternativelor, predictia/estimarea rezultatelor, sau consecintelor

fiecarei alternative, stabilirea legaturii dintre criterii si obiectivele lor,

compararea alternativelor, alegerea uneia dintre alternative-solutia problemei. Tehnicile de rezolvare a PD depind de principiul de alegere adoptat. Pot fi

tehnici bazate pe un algoritm, sau pe enumerarea completa a solutiilor

posibile-sunt tehnici numerice care conduc la solutia optima , daca exista, intr-

un numar finit de pasi.Exista si tehnici numerice care conduc la solutii

nonoptimale- exemplu cele bazate pe simulare sau pe euristici.Mai

evidentiem si tehnicile de tip analitic, care folosesc formalizarea

matematica si care coduc la solutia PD intr-un singur pas.

E5. Validarea modelului decizional si analiza senzitivitatii solutiei sale-

tehnici statistice, econometrice si de analiza datelor.

E6. Implementarea solutiei faza dificila , in practica ea constituie adevarata

validare a intregului demers decisional.

Instrumente de rezolvare a PD :tabele decizionale, arbori decizionali,

metode si tehnici ale teoriei jocurilor, predictiei, programarii matematice,

programarii dinamice, Branch and Bound, lanturi Markov, SSD , sisteme

expert sa.

CURSUL 4-5-6 . Decizii în condiţii de certitudine 3.1 Introducere În acest capitol vor fi prezentate deciziile în condiţii de certitudine. Fiecare dintre variantele pe care decidentul le are la dispoziţie, va conduce cu certitudine către o consecinţă bine definită. Decidentul va avea la dispoziţie toate informaţiile relevante legate de problemă. Scopul acestui capitol este prezentarea şi modelarea preferinţelor unui decident raţional. Plecând de la ipoteza că un decident raţional va alege întotdeauna varianta cu cea mai bună consecinţă, putem spune că preferinţele sunt cele care determină alegerea. Vor fi tratate de asemenea şi conceptele de indiferenţă si preferinţă slabă. Informaţiile legate de preferinţa slabă ne vor ajuta la construirea curbelor de indiferentă. În construirea tabelelor de decizie din capitolul precedent am făcut presupunerea existenţei funcţiilor valoare , studiate aici in secţiunile 3.6 şi 3.7 .

3.2 Preferinţa strictă şi indiferentă

Facem următoarea notaţie: a bf

însemnând că decidentul preferă strict obiectul a obiectului b. Cu alte cuvinte, dacă ar avea de ales numai între a şi b, decizia care îl va mulţumi cel mai mult ar fi alegerea lui a. Prin obiect denumim orice entitate asupra căreia ne putem exprima o preferinţă. Ele pot fi obiecte concrete, consecinţe ca în tabelele decizionale din capitolele precedente sau chiar acţiunile Ai. Cât de consistente ne aşteptăm să fie preferinţele unui decident? În primul rând ar trebui respectate următoarele cerinţe:

• Dacă pentru oricare trei obiecte a, b, c decidentul consideră: a bf şi b cf ,

atunci trebuie de asemenea să considere a cf

Această cerinţă este intuitivă într-o aşa măsură încât cu greu îi mai trebuie o justificare teoretică. Ea poartă numele de tranzitivitate. Deci, preferinţele unui subiect trebuie să fie tranzitive. De asemenea, această proprietate o implică şi pe cea de asimetrie:

• Dacă pentru o pereche de obiecte a şi b, decidentul consideră: a bf

el nu poate să considere în acelaşi timp b af

Echivalent, dacă a b b a⇒f f . Ca şi tranzitivitatea, această proprietate este rezonabilă şi intuitivă.

• Pentru conceptul de indiferenţă vom folosi notaţia a b sau aub

pentru a reliefa că decidentului îi este indiferentă alegerea între obiectele a şi b. Şi acestui concept îi este aplicabilă proprietatea de tranzitivitate:

− dacă pentru oricare trei obiecte a, b, c decidentul consideră: a b şi b c ,

atunci trebuie de asemenea să considere a c

La prima vedere şi această proprietate pare rezonabilă, însă dacă aruncăm o privire mai atenta putem avea oarece dubii. Vom presupune totusi că decidenţii vor avea puterea unei discriminări infinitezimale. În continuare punctăm următoarele două proprietăţi: reflexivitatea

a a , pentru toate obiectele a şi simetria, pentru oricare două obiecte a şi b, dacă decidentul consideră:

a b , atunci trebuie de asemenea să considere

b a Reflexivitatea ne oferă avantaje matematice notabile. De exemplu, vom

defini clasa de indiferentă a unui obiect ca fiind setul de obiecte cărora le este indiferent. Dacă nu acceptam că a a pentru orice a, atunci a ori nu va face parte din propria sa clasă de indiferenţă ori va trebui să extindem explicit definiţia clasei de indiferenţă astfel încât un obiect să fie cuprins în propria clasă de indiferenţă. La fel cum am impus că f şi să fie tranzitive individual, este rezonabil să spunem că sunt tranzitive şi luate împreună:

dacă pentru oricare trei obiecte a, b, c decidentul consideră: a b şi b cf ,

atunci trebuie de asemenea să considere a cf ;

şi dacă

a bf şi b c atunci, de asemenea trebuie să fie adevărat

a cf . Un individ pus în faţa unei decizii are şi varianta de a nu alege nimic şi de a lăsa lucrurile să-şi urmeze cursul; “decizia de a nu face nimic” o vom include în multimea alternativelor. Cu alte cuvinte, presupunem că pentru toate perechile de obiecte a şi b, se îndeplineşte una dintre următoarele relaţii :

a bf , a b , b af

3.3 Mulţimi şi relaţii –vezi detalii in CARTE

3.4 Preferinţa slabă Vom nota preferinţa slabă dintre două obiecte cu a ≿ b însemnând că decidentul preferă slab obiectul a lui b. Cu alte cuvinte îl consideră pe a cel puţin la fel de bun ca şi b. Relaţia ≿ trebuie să îndeplinească următoarele două proprietăţi, formulate sub forma unor axiome : Axioma 3.4.1: Comparabilitatea ≿ este comparabilă dacă ,a b A∀ ∈ , a≿b, b≿a sau ambele Axioma 3.4.2: Tranzitivitatea ≿ este tranzitivă dacă , ,a b c A∀ ∈ astfel încât a≿b şi b≿c, atunci şi a≿c In plus avem : Axioma 3.4.3: Consistenţa indiferenţei şi preferinţei slabe Pentru orice pereche de obiecte ,a b A∈

a b ⇔ ( a≿b şi b≿a) Axioma 3.4.4: Consistenţa preferinţei stricte şi preferinţei slabe

Pentru orice pereche de obiecte ,a b A∈ a b b a⇔f f

%

Axiomele 3.4.1 – 3.4.4 implică faptul că f şi respectă toate condiţiile de consistenţă expuse în secţiunea 3.2 Teorema 3.1 Dacă axiomele 3.4.1, 3.4.2 , 3.4.3 şi 3.4.4 sunt îndeplinite, atunci: (i) f este tranzitivă; (ii) f este asimetrică; (iii) este tranzitivă; (iv) este reflexivă; (v) este simetrică; (vi) , , , ( , )a b c A a b b c a c∀ ∈ ⇒f f (vii) , , , ( , )a b c A a b b c a c∀ ∈ ⇒f f

(viii) , ,a b c A∀ ∈ , numai una dintre următoarele relaţii este îndeplinită: a bf , a b , b af

3.5 Clase de indiferenţă Pentru orice obiect a A∈ definim clasa de indiferenţă a lui a, I(a), fiind mulţimea de obiecte indiferente lui a,

{ }( ) | .I a b A b a= ∈ Lema 3.2 Dacă axiomele 3.4.1-3.4.4 sunt îndeplinite, atunci: (i) ( ) ( )a b I a I b⇒ = (ii) Dacă ( )I a şi ( )I b au cel puţin un obiect în comun, atunci ( ) ( )I a I b= (iii) Dacă a bf , atunci ( )c I a∀ ∈ şi ( )d I b∀ ∈ , c df Definim relaţia if între clasele de indiferenţă prin:

1I if 2I ⇔ a bf pentru orice a∈ 1I şi b ∈ 2I Conform Lemei, aceasta înseamnă că relaţia 1I if 2I , nu depinde de

modul de selecţie al lui a∈ 1I sau b ∈ 2I . Pentru orice două clase de indiferenţă trebuie să avem 1I if 2I sau 2I if 1I , însă nu ambele.

La fel cum a fost definită preferinţa strictă între clase

1I if 2I ⇔ afb, (∀ ) a∈ 1I , b ∈ 2I putem defini relaţia de preferinţă slabă:

1I if% 2I ⇔ a≿b, (∀ ) a∈ 1I , b ∈ 2I

Pe lângă proprietăţile preferinţei stricte ( comparabilitatea şi tranzitivitatea)

preferinţa slabă este şi antisimetrică.

( 1I if% 2I şi 2I if% 1I ) ⇒ 1I 2I

Astfel, putem afirma ca if%

este o ordine simplă.

3.6 Teoria valorii ordinale În acest subcapitol va fi abordată similitudinea dintre preferinţa slabă ≿ şi relaţia de ordine numerică ≥ . Fie A un set de alternative şi ≿ relaţia de preferinţă slabă a decidentului asupra lor. Atunci (.)v este o funcţie valoare ordinală ce reprezintă aceste preferinţe dacă aceasta este o funcţie reală definită pe A astfel încât:

( ) ( )v a v b a b≥ ⇔ f%

(3.1)

Când relaţia (3.1) este satisfăcută spunem că (.)v reprezintă ≿ pe mulţimea A. Această metodă oferă în primul rând avantajul că pentru a reprezenta setul de preferinţe asupra n obiecte avem nevoie numai de n numere reale. În al doilea rând, ne este mult mai uşor să identificăm cel mai preferat obiect , maximizând o funcţie ordinală, decât să cercetăm setul de obiecte A, pentru a găsi elementul maximal maxa , astfel încât maxa ≿ a (∀ ) a∈A, deşi ambele metode sunt în esenţă aceleaşi. Teorema 3.3 Pentru o mulţime finită de obiecte, { }1 2, ,..., nA a a a= pe care este definită ordinea slabă f

% ce satisface Axiomele 3.4.1 – 3.4.4,

putem întotdeauna construi o funcţie valorică ordinală corespunzătoare. Teorema 3.4. Fie f

% o ordine slabă (satisfăcând axiomele 3.4.1 – 3.4.4).

Atunci (.)v şi (.)w sunt ambele funcţii ordinale valorice în raport cu f%

dacă şi numai dacă există φ , o funcţie strict crescătoare, astfel încât

[ ]( ) ( )w a v aφ= , a A∀ ∈ . Ca urmare a Teoremei 3.4 vom spune că funcţiile valorice ordinale sunt unice până la transformări strict crescătoare. Transformările strict crescătoare sunt cunoscute ca transformări admisibile ale funcţiilor valorice ordinale.

Fie { | 1.. }iA a i n= = o mulţime de n obiecte. Considerăm sumele :

1( )

n

i ii

v aλ=∑ şi

1( )

n

i ii

v aμ=∑

pentru două mulţimi oarecare de coeficienţi reali { }iλ şi { }iμ . Atunci, faptul ca :

1( )

n

i ii

v aλ=∑ ≥

1( )

n

i ii

v aμ=∑

nu implică , pentru o funcţie arbitrară strict crescătoare φ , că

1 1( ( )) ( ( ))

n n

i i i ii i

v a v aλφ μφ= =

≥∑ ∑ (3.2)

Relaţia (3.2) afirmă că ordonarea a două combinaţii liniare de valori nu trebuie neapărat să fie mentinuta de o transformare strict crescătoare a acelor valori.

3.7 Măsurarea diferenţei de valoare – vezi detalii in CARTE

3.8 Modele descriptive de preferinţă Spre deosebire de sociologi, psihologii şi alţii, care analizează modul în

care oamenii iau decizii, ne propunem să analizăm modul în care o persoană ar trebui să ia o anumită decizie. Cei care studiază comportamentul uman au ca scop găsirea de modele descriptive cunoscute şi ca modele de comportament, modele ce se bazează pe date empirice şi folosite la prognozarea alegerilor decidentului. Complet diferite de aceste modele descriptive, sunt modelele normative, care sunt in domeniul nostru de interes.

Introducem conceptul de semi-ordine. Este situaţia în care decidentul este în incapacitatea de a face diferenţa clară între două obiecte, cu exceptia cazului in care unul dintre ele este diferit într-o proporţie semnificativă de celălalt. Altfel, pentru diferenţe mai mici, bunurile îi sunt echivalente.

Notăm cu aPb relaţia în care decidentul poate diferenţia strict preferinţele pentru a şi b. Astfel :

( ) ( )aPb v a v b δ⇔ > + (3.5)

Unde: (.)v descrie preferinţa (subconştientă, intrinsecă ) decidentului iar

δ este o constantă pozitivă şi reprezintă limita diferenţei sub care decidentul nu mai poate diferenţia bunurile.

Notăm cu aIb relaţia în care decidentul nu poate discrimina cele două bunuri. Astfel :

( ) ( ) ( )aIb v b v a v bδ δ⇔ + ≥ ≥ − (3.6) adica diferenta dintre cele doua functii valoare este in modul mai mica

decit o valoare data. Evident, în acest model, indiferenţa nu este tranzitivă. Astfel, dacă:

3( ) ( )4

v a v b δ= + şi 3( ) ( )4

v b v c δ= +

3( ) ( )2

v a v c δ⇒ = +

Deci aIb şi bIc însă aPc Se poate arata că P este asimetrică şi tranzitivă si că I este reflexivă şi

simetrică. Mai mult, pentru o pereche de entitati, doar una din următoarele relaţii este adevărată:

aPb, sau aIb, sau bPa

În contextul de faţă, relaţia de semi-ordine trebuie definită prin proprietăţile relaţiilor şi nu prin reprezentarea ei cantitativă. Astfel, vom defini formal relaţia P ca fiind o semi-ordine, dacă şi numai dacă posedă următoarele proprietăţi:

Axioma 3.8.1: P nu este reflexivă Cu alte cuvinte, ,aPa a A∀ ∈

Axioma 3.8.2 , , ,a b c d A∀ ∈ :

(aPb şi cPd)⇒ (aPd sau bPc). Axioma 3.8.3

, , ,a b c d A∀ ∈ : (aPb şi cPd)⇒ (aPd sau cPb).

Relaţia I este definită ca fiind consistenţa cu P în următorul sens: Axioma 3.8.4 Consistenţa lui I şi P

,a b A∀ ∈ , aIb aPb⇔ şi bPa

Se observă că Axioma 3.8.4 este o reformulare a relaţiei (3.6) prin

intermediul relaţiei P. Dacă I şi P satisfac cele 4 axiome, atunci P este asimetrică şi tranzitivă iar I este simetrică şi reflexivă. Axiomele 3.8.1 - 3.8.4 sunt necesare şi suficiente pentru existenţa reprezentării cantitative, pentru A finită. Dacă A este foarte bogata in elemente, atunci situaţia devine mai complicată. O a doua clasă de modele descriptive sunt modelele probabilistice de alegere. Fiecărei perechi de obiecte a,b din A, îi atribuim probabilitatea abP , care poate fi interpretată ca fiind înclinaţia decidentului de a alege bunul a când i se oferă alegerea între a şi b. Dacă de exemplu abP ar fi 0,6 atunci în 60% din ocazii acesta ar alege bunul a. Aceasta se poate explica prin nesiguranţa sau poate din indiferenţa decidentului, dar cert este că, de fiecare dată alegerea este una aleatoare. Indiferent de motive, opţiunile decidentului variază, de aceea probabilitatea abP este menită să reprezinte acea parte a variaţiei care este predictibilă, reprezentând o alegere medie. Plecăm de la ipoteza că de fiecare dată va fi ales unul dintre obiecte deci:

1ab baP P+ = (3.7) Având dat setul de probabilităţi { | , }abP a b A∈ evidentiem proprietăţile

preferinţelor decidentului. Fără a restrânge generalitatea considerăm că 12abP ≥

Astfel: 1 1 1( ) , , : ( ; )2 2 2ab bc aca b c A P P P∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ ≥

Sau : 1 1( ) , , :( ; ) min{ , }2 2ab bc ac ab bca b c A P P P P P∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ ≥

1 1( ) , , :( ; ) max{ , }2 2ab bc ac ab bca b c A P P P P P∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ ≥

Aceste condiţii sunt cunoscute sub numele de tranzitivitatea stohastică slabă, tranzitivitatea stohastică moderată, respectiv tranzitivitatea stohastică puternică.

Putem defini pe A funcţia reală f astfel încât ( )

( ) ( )abf aP

f a f b=

+ (3.8)

Dacă reprezentarea 3. 7 este corectă, atunci ( )f a poate fi considerată

„atractivitatea absolută a lui a”. Astfel abP devine „atractivitatea relativă a lui a în alegerea dintre a şi b” .

4. Metode de rezolvare a problemelor multicriteriale/multi-atribut

Până în acest moment au fost tratate toate elementele pe care în continuare le vom folosi pentru rezolvarea problemelor multi-atribut, cea mai importanta din cadrul problemelor de decizie în condiţii de certitudine. Vom începe prin prezentarea structurii unei astfel de probleme, urmând ca mai apoi să trecem în revista diferitele modalităţi de rezolvare.

O problemă decizională multi-atribut va fi structurata după următoarele coordonate:

V = {V1, V2, ..., Vm} - mulţimea variantelor sau a alternativelor; C = {C1, C2, ..., Cn} - muţimea criteriilor decizionale.

Evaluarea fiecărei variante Vi din punctul de vedere al criteriului Cj, ia forma unei matrici a consecinţelor A = [aij],i=1,m , j=1,n , problema decizională multicriterială fiind numită şi problemă multiatribut cardinală. În urma alegerii variantei Vi, din perspectiva criteriului Cj, se obţine rezultatul/consecinţa aij. A rezolva o astfel de problemă decizională multidimensională, înseamnă a realiza o ordonare coerentă a variantelor, de la cea mai bună, la cea mai puţin bună, în raport cu ansamblul celor n criterii. De multe ori criteriile sunt percepute de decidenţi ca având importanţe diferite, fapt ce impune evaluarea unor coeficienţi

de importanţă πj, j=1,n . Aceşti coeficienţi vor defini un vector π = (π1, π2, ...,

πn), de coeficienţi, eventual normalizaţi, caz în care 1

1n

jj

π=

=∑ .

Modelele decizionale în contextul existenţei unei mulţimi de criterii, numite modele multicriteriale/multidimensionale, se împart în două clase, respectiv, modele decizionale multiatribut (MDMA) şi, respectiv, modele decizionale multiobiectiv (MDMO). Atunci când mulţimea variantelor este infinită, fiind descrisă sub forma unui sistem de restricţii (egalităţi şi inegalităţi) avem o problemă de tip MDMO, în care avem în vedere maximizarea/minimizarea unor funcţii obiectiv. Atunci când alegerea variantei optime se face dintr-o mulţime finită de variante, care se compară între ele din punct de vedere al unei mulţimi finite de criterii, avem o problemă din clasa MDMA.

Forma generala a unei probleme decizionale multicriteriale

Criterii Consecinţe

C1 C2 ……. Cn

V1 a11 a12 a1n

V2 a21 a22 …… a2n . . . …… . . . . …… .

Variante

Vm am1 am2 …… amn Coeficienţi de

importanţă π1 π2 πn

Normalizarea matricei consecinţelor

Consecinţele unei probleme decizionale pot fi de natură calitativă sau cantitativă sau pot fi măsurate în unităţi de măsură diferite. De aceea, primul pas în rezolvarea unei astfel de probleme este omogenizarea consecinţelor. Aceasta se realizează printr-o procedura de scalare. Scalarea poate fi de tip ordinal, atunci când se face o corespondenţă între mulţimea valorilor criteriilor şi mulţimea numerelor naturale, stabilindu-se astfel o ordine a entităţilor. Dacă mulţimea de corespondenţă este un interval, avem o scalare de tip interval, în care se evidenţiază şi distanţa dintre entităţi. Cel mai folosit mod de scalare este insă normalizarea, prin care pornind de la matricea consecinţelor A, obtinem matricea R = [ ]ijr , i=1,m , j=1,n , cu elemente în intervalul [0,1]. Cele mai cunoscute formule de normalizare sunt:

Normalizarea vectorială:

∑

=∑

=

==

m

1iij

ijijm

1i

2ij

ijij

a

arsau

a

ar

Normalizarea prin transformări liniare: - pentru criterii de maxim max/ij ij jr a a= , unde { }max maxj iji

a a= - pentru criterii de minim max1 /ij ij jr a a= −

Normalizare prin interpolare: - pentru criterii de maxim:

( ) ( )minj

maxj

minjijij aa/aar −−=

- pentru criterii de minim

( ) ( )min

jmaxjij

maxjij aa/aar −−=

unde: { }min minj iji

a a=

Metodele de soluţionare a MDMA pot fi grupate în funcţie de tipul informaţiei disponibile, privind importanţa, dependenţa sau independenţa criteriilor, precum şi în funcţie de complexitatea acestei informaţii. Astfel, se pot evidenţia MDMA fără informaţie asupra importanţei criteriilor, aşa cum sunt metoda dominanţei, metoda maximin, metoda maximax, metoda momentelor etc. În cazul în care există informaţii referitoare la criterii, după compexitatea acesteia putem evidenţia:

• cazul informaţiei date prin niveluri standard (metoda conjunctivă şi cea disjunctivă);

• cazul relevării unor preferinţe ordinale (metoda lexicografică, metoda eliminării);

• cazul preferinţelor cardinale (metodele: metoda permutărilor succesive, atribuirii liniare, a ponderării simple aditive, a ponderării ierarhice, a diametrelor, Electre, Topsis, a minimizării abaterii, Saphier, a punctajelor etc.);

• în cazul criteriilor dependente - metoda combinărilor ierarhice.

Pornind de la această structurare a metodelor şi modelelor decizionale deterministe de tip multiatribut au fost elaborate o serie de proceduri de rezolvare care, în funcţie de modul în care se obţine varianta optimă, pot fi grupate în:

• metode directe, în care varianta optimă este aleasă pe baza unei funcţii definite pe mulţimea variantelor;

• metode indirecte, în care ierarhia finală a variantelor este rezultatul aplicării unui algoritm.

Vom prezenta în cele ce urmează, cele mai folosite metode în rezolvarea problemelor MDMA.

4 .1 Decizii fără informaţii privind preferinţele decidentului asupra criteriilor După cum am indicat deja, primul pas în rezolvarea problemelor este normalizarea matricei consecinţelor. Criteriile/metodele prezentate în continuare se aplică asupra matricei transformate R.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

nij

m m mn

a a aa a a

A a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

normalizare⎯⎯⎯⎯→

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

nij

m m mn

r r rr r r

R r

r r r

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Metoda dominanţei

Vom spune că o variantă Vi este dominată dacă există o alta Vj şi cel puţin un indice k, { }1, 2,...,k n∈ astfel încât rik < rjk şi ril ≤ rjl, pentru toţi l ≠ k. Astfel, iterativ, se vor putea elimina variantele dominate şi vom obţine mulţimea soluţiilor nedominate, fără a putea furniza însă o ierarhie a acestora.

Metoda maximin Pentru fiecare variantă, se selectează cea mai puţin bună consecinţa în funcţie de criteriile de alegere, iar din mulţimea rezultata se alege varianta cea mai buna. Soluţia este rezultatul problemei: { }max min ijji

r

Metoda maximax Pentru fiecare variantă, se selectează cea mai bună consecinţă în funcţie de criteriile de alegere, iar din mulţimea rezultată se alege din nou, varianta cea mai bună. Soluţia este rezultatul problemei:

{ }( ) max max iji jV rα =

Cele două metode, care îşi au originea în teoria jocurilor, au fost unificate de Hurwicz într-o procedură de alegere a variantelor din mulţimea

( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅α+α−=α ijj

ijj

rmaxrmin1imaxV

unde [ ]0,1α ∈ desemnează aşa-numitul "coeficient de optimism" al decidentului, crescător când α → 1. Se observă uşor că la limită, pentru α = 0 regăsim regula maximin, iar pentru α = 1, regula maximax.

Metoda Momentelor (Deutch – Martin)

Se aplică problemelor decizionale în care criteriile sunt echi-importante. Paşii de urmat pentru aplicarea algoritmului sunt urmatorii: Pasul 1. Se normalizează matricea consecinţelor:

ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ normalizare⎯⎯⎯⎯→ ijR r⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Pasul 2. Pentru fiecare linie a matricei R se calculează momentul linie L

iM :

1 1/ , 1,L

n n

i ij ijj j

M j r r i m= =

= ⋅ =∑ ∑

Pasul 3. Se ordonează liniile matricei R în sens crescător după ( LiM )

Pasul 4. Pentru fiecare coloană se calculează momentul coloană C

jM :

1 1

/ , 1,C

m m

j ij iji i

M i r r j n= =

= ⋅ =∑ ∑

Pasul 5. Se ordonează coloanele matricei obţinute la pasul anterior în ordine crescătoare după { Mj

c}. Pasul 6. Se reia algoritmul de la pasul 2 până când nu mai sunt posibile ordonări ale liniilor şi coloanelor – după ce calculul momentelor nu mai modifică ordinea liniilor sau coloanelor. Alta metoda:metoda eliminarii--seminar

4.2 Metode de decizie cu informaţii asupra criteriilor (preferinţe ordinale)

Metodele conjunctivă şi disjunctivă

Sunt presupuse cunoscute elementele matricei A precum şi elementele unui vector de nivele standard, corespunzătoare celor n-criterii V0 = (a01, a02, ..., a0n). Se selectează, în prima versiune, acele variante Vi care îndeplinesc în conjuncţie proprietatea aij ≥ a0j, 1,j n= În metoda disjunctivă se alege acea variantă pentru care există cel puţin un numar acceptabil de criterii j ∈ {1, 2, ..., n} astfel încât aij ≥ a0j.

Metoda lexicografică

Metoda presupune relevarea de către decident a unor preferinţe ordinale asupra criteriilor. Să presupunem, fără a micşora generalitatea abordării, că preferinţele decidentului urmează ordinea naturală: {C1, C2, ..., Cn}. Se selectează mai întâi mulţimea V1 a variantelor care satisfac la maxim criteriul cel mai important pentru decident, la start este vorba despre C1. Avem:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==≤≤

1kmk1

1ii1 amaxa/VV

Dacă avem cardV1 = 1 rezultă evident că acel unic element a lui V1 este soluţia problemei, în caz contrar se construieşte mulţimea V2 astfel:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈=≤≤

2kmk1

2i1

i2 amaxa/VVV

Procedura continuă până când: - s-a obţinut o mulţime Vk cu un singur element, care reprezintă soluţia modelului, sau

- s-au luat în considerare toate criteriile şi, în acest caz, variantele din ultima mulţime reprezintă soluţia problemei.

4.3 Metode de decizie cu preferinţe cardinale asupra criteriilor

Pentru acest tip de probleme este necesară cunoaşterea vectorului coeficienţilor de importanţă a criteriilor π = (π1, π2, ..., πn) Metodele pot fi de următoarele feluri:

- metode directe - selectează varianta care maximizează o funcţie *:ϕ θ → . Aici se includ metodele: permutărilor succesive, atribuirii liniare,

ponderării simple aditive, diametrelor etc. - metode indirecte - determină o ierarhie pe mulţimea variantelor prin

utilizarea unui algoritm (exemplu - metoda ELECTRE şi variantele ei). - metode care, prin introducerea conceptului de distanţă, aleg varianta

cea mai apropiată de soluţia ideală (metoda Saphier, TOPSIS etc.). Prezentăm în continuare câteva din aceste metode decizionale.

Metoda permutărilor succesive Această metodă a fost elaborată de Bernard şi Besson; pentru utilizarea acestei metode trebuie cunoscuţi coeficienţii de importanţa a criteriilor

π = (π1, π2, ..., πn), unde 1

1n

jj

π=

=∑ .

Acest algoritm utilizează ca toţi ceilalţi algoritmi matricea consecinţelor normalizată. Astfel: Pasul 1. Se normalizează matricea consecinţelor:

ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ normalizare⎯⎯⎯⎯→ ijR r⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Pasul 2. Se construieşte matricea coeficienţilor de concordanţă [ ]klC c=

/( , ) kj kl

jj r r

kl k lj

j

c C V Vπ

π≥= =∑

∑

Pasul 3. Pentru permutarea H a variantelor decizionale, se va calcula ordinul permutarii : h h hθ α β= − , unde: hα reprezintă suma elementelor de deasupra diagonalei principale, din matricea concordantelor asociata permutării H. hβ reprezintă suma elementelor aflate sub diagonala principală, din matricea concordantelor asociată permutării H.

Pasul 4. Se repetă paşii 2 şi 3 pentru toate cele m! permutări posibile ale variantelor decizionale. Se calculeaza *

1,

maxh m

hθ θ=

= .

Ierarhia optimă a variantelor decizionale este cea corespunzătoare permutării pentru care s-a găsit *θ .

Metoda ponderării aditive

Metoda propusă de Mac Crimmon, se aplică matricei normalizate a consecinţelor. Ea oferă ca variantă optimă, soluţia modelului:

( ) ∑ π∑π=

==

n

1jj

n

1jijjiii

,/rmaxVfmax

Metoda diametrelor Ierarhizarea variantelor problemei se face în funcţie de omogenitatea lor în raport cu criteriile, respectiv în raport de modul în care acestea iau valori apropiate pentru toate criteriile. Din necesităţi practice se introduc două funcţii numerice: funcţia de apreciere A: V → R şi funcţia diametru , D: V → N , care măsoară omogenitatea variantelor. Avem atunci:

( ) ( )[ ] ∑ ππ∑ −=Α

==

n

1jjj

n

1jjii /C,VlmV

în care l: V x C → {1, 2, ..., m} este funcţia - loc. In plus:

( ) ( )[ ] ( )[ ] n,1j;m,1i;C,VlminC,VlmaxVD ji

jji

ji ==−=

O variantă este cu atât mai omogenă cu cât are diametrul mai mic, şi este cu atât mai bună pentru decident, cu cât valoarea funcţiei de apreciere este mai mare. Cum nu întotdeauna variantele cu apreciere maximă au diametru minim, se agregă cele două funcţii sub forma:

( ) ( ) ( )[ ]{ } 2/VDmVAVAgr iii −+= Ierarhia optimă este dată de clasamentul realizat în ordine descrescătoare a funcţiei de agregare.

Metoda ELECTRE Metoda ELECTRE a fost elaborată de un colectiv de cercetători francezi,

condus de B. Roy, desemnând în fapt o metodă de clasament şi alegere în prezenţa unor puncte de vedere multiple.

Pentru aplicarea acestei metode este de asemenea necesară cunoaşterea coeficienţilor de importanţă a criteriilor π = (π1, π2, ..., πn). Algoritmul necesită ca şi până acum normalizarea matricei consecinţelor, facându-se astfel posibilă compararea variantelor. Paşii de urmat în aplicarea metodei sunt urmatorii: Pasul 1. Se normalizează matricea consecinţelor prin una dintre metodele cunoscute:

ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ normalizare⎯⎯⎯⎯→ ijR r⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Pasul 2. Se determina elementele matricei coeficienţilor de concordanţă. Notam această matrice cu C iar elementele care o compun ( ),kl k lc c V V= reprezintă concordanţă dintre variantele decizionale indexate cu k respectiv l. Formula de calcul pentru ( ),i jc V V este:

/( , ) kj kl

jj r r

k lj

j

c V Vπ

π≥=∑

∑ , pentru criterii de maxim ( kj klr r≤ pentru criterii de

minim) Indicatorul ia valori în intervalul [0,1], furnizând o informaţie referitoare la nivelul de "depăşire" a variantei Vl de către varianta Vk Pasul 3.Se calculează elementele matricei coeficienţilor de discordanta D:

{ } ,,

0,( , ) , max min1 max ,

kj kl

k l ij iji ji jkj kl kj kl

r rd V V unde r r

r r r rα

α

>⎧⎪= = −⎨

− ≤⎪⎩

Acest indicator reflectă, în mod dual, nivelul depăşirii variantei Vk de către Vl Pasul 4. Se determină variantele decizionale care le surclasează pe celelalte.

Pe mulţimea V se va introduce acum o relaţie de surclasare (f ) definită astfel: Vom spune că Vg surclasează pe Vh şi vom scrie Vg f Vh ⇔ C(Vg, Vh) ≥ p şi D(Vg, Vh) ≤ q, unde p, q sunt praguri de concordanţă, respectiv de discordanţă, cuprinse între 0 şi 1. Se porneşte de la un p cât mai aproape de valoarea 1, respectiv q cât mai aproape de valoarea 0. Se micşorează secvenţial p, crescând în acelaşi timp q până când se determina varianta decizională care le domina pe celelalte.

Metoda TOPSIS Metoda, elaborată de Hwang şi Youn, dezvoltă o tehnică de ordonare prin similaritate cu soluţia ideală. Ea urmăreşte definirea variantei optime ca fiind acea variantă aflată la distanţa cea mai mică faţă de aşa-numita soluţie ideală. Paşii algoritmului sunt daţi de următoarea secvenţă: Pas 1. Construirea matricei ijR r⎡ ⎤= ⎣ ⎦ a consecinţelor normalizate. Pas 2. Construirea matricei normalizate ponderate cu coeficienţii de importanţă a criteriilor: ,ij ij ij jV v v r π⎡ ⎤= = ⋅⎣ ⎦ Pas 3. Definirea vectorilor soluţiei ideale pozitive V+ şi soluţiei „ideale” negative V-, astfel: V+ = (v1

+, v2+, ..., vn

+), V- = (v1-, v2

-, ..., vn-)

unde: max {vij}, când Cj e criteriu de maxim vj

+ = 1 ≤ i ≤ m min {vij}, când Cj e criteriu de minim 1 ≤ i ≤ m şi max {vij}, când Cj e criteriu de minim vj

- = 1 ≤ i ≤ m min {vij}, când Cj e criteriu de maxim 1 ≤ i ≤ m Pas 4. Calculul distanţei euclidiene între o variantă curentă Vi şi varianta- soluţie V+, respectiv V-:

( )

2/1n

1j

2jiji vvS

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑ −==

++

( ) m,1i,vvS

2/1n

1j

2jiji =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑ −==

−−

Pas 5. Determinarea coeficientului apropierii relative de soluţia ideală pozitivă:

−+

−

+=

+ii

iAR SS

SCi

Evident că o variantă Vi este cu atât mai apropiată de V+ cu cât 1ARC + → .

Pas 6. Ordonarea descrescătoare a variantelor în funcţie de ARC + , respectiv determinarea soluţiei problemei de decizie multiatribut.

Metoda atribuirii liniare Criteriile de decizie sunt considerate a fi echi-importante. Pe baza matricii consecinţelor A, se construieste matricea locurilor

ij mxnL l⎡ ⎤= ⎣ ⎦ unde ijl locul ocupat de varianta i în criteriul j.

Se introduce "funcţia - loc", notată l: V x C → {1, 2, ..., m} şi definită de l(Vi, Cj) = k atunci când varianta Vi ocupă după criteriului Cj locul k. Suma locurilor ocupate de varianta Vi în toate criteriile Cj este cuantificată de funcţia cumulativă ρ:V → N.

( ) ( ) m,1i,C,VlV

n

1jjii =∑=ρ

= Soluţia problemei va fi varianta V* pentru care ρ-este minim. În cazul în care h - variante (h ≥ 2) ocupă acelaşi loc pentru un criteriu, se subîmparte acel criteriu în h subcriterii cărora li se asociază coeficienţii de importanţă egali cu a h - a parte din coeficientul criteriului iniţial. Daca criteriile nu sunt egal importante se vor introduce, in formulele date, multiplicativ, coeficientii de importanta. Metoda atribuirii cu coeficienti de importanta a criteriilor si variabile binare-rezolvare prin metoda tabloului- tema de seminar. Metoda Onicescu, variantele metodei-seminar.

4.4 Decizii pe bază de utilităţi Conceptul de utilitate are o importanţă teoretică, dar şi aplicativă,

deosebită în teoria deciziei. Ca formă infralogică, utilitatea este legată de o alta, respectiv de valoare, dar are un sens mai restrâns, vizând activitatea practică a omului. Sunt cunoscute trei accepţiuni ale conceptului de utilitate (utilitate în sens Bernoulli, utilitate în sensul teoriei echilibrului economic şi în sens von Neuman – Morgenstern).

Axiomatica Neuman-Morgenstern. Functii de utilitate decizionala.Proprietati. Daca utilitatea marginala se refera la un vector multidimensional de consumuri, utilitatea decizionala are in vedere o consecinta sau un vector de consecinte care pot fi situatii, imprejurari sau orice rezultat al unui proces decizional, exprimat cantitativ sau calitativ. La randul ei, utilitatea bernoulliana este inclusa in definitia moderna a utilitatii decizionale uni sau multicriteriale. John von Neumann si Oskar Morgenstern au introdus termenul de utilitate (Theory of Games and Economic Behavior, 1944), considerand-o ca o cuantificare axiomatizata a preferintelor decidentului. Sistemul axiomatic al utilitatii, privita ca o masura a preferintei cauta sa reflecte comportamentul rational al decidentilor. Ca elemente primare se au in vedere:

• V = {V1, V2, ..., Vm} multimea variantelor/alternativelor; • relatia binara "≽" (preferat sau indiferent); • o multime de scalari ∑ = {α, β, ... } avand semnificatia unor probabilitati

subiective. De la relatia binara ≽ se pot introduce alte doua relatii pe V x V. Astfel, avem preferinta stricta, notata prin ≻ si definita de Vi ≻ Vj ⇔ Vi ≽Vj , dar Vj ≽Vi nu poate avea loc, si respectiv relatia de indiferenta, notata ∼ si definita de Vi ∼ Vj ⇔ Vi ≽ Vj si Vj ≽ Vi. Axiomatica formulata de Neumann si Morgenstern este data in continuare: A1. Un decident care compara consecintele variantelor Vi si Vj poate releva una din urmatoarele trei atitudini: - prefera pe Vi lui Vj, (Vi ≻ Vj); - prefera pe Vj lui Vi, (Vj ≻Vi); - nu prefera nici una din cele doua variante sau, astfel spus, cele doua variante sunt indiferente pentru el (Vi ∼ Vj). A2. Relatia de preferinta este tranzitiva: Vi ≻ Vj si Vj ≻Vk ⇒ Vi ≻ Vk, iar relatia de indiferenta este tranzitiva si simetrica, adica: Vi ∼ Vj si Vj ∼ Vk ⇒ Vi ∼ Vk, iar Vi ∼ Vj ⇒ Vj ∼ Vi. A3. In afara variantelor pure din V decidentul poate lua in considerare un tip special de variante, numite mixturi probabilistice a doua variante simple Vi, Vj, de forma: V' ≡ [pVi; (1 - p)Vj], unde p reprezinta probabilitatea de realizare a variantei Vi,

iar 1 - p, probabilitatea realizarii variantei Vj. In acest context, daca Vi ≻ Vj atunci Vi ≻ V', oricare ar fi p ∈ (0, 1), iar daca Vj ≻ Vi, atunci V' ≻ Vi, (∀) p ∈ (0, 1). A4. Daca avem trei variante decizionale, in relatia preferentiala Vi ≻ Vj ≻ Vk, atunci exista mixtura V' = [αVi; (1 - α)Vk] astfel incit V' ≻ Vj, α ∈ ∑ si o alta mixtura V" = [βVi; (1 - β)Vk] astfel incit Vj ≻ V", β ∈ ∑. Axioma evidentiaza posibilitatea construirii cu ajutorul a doua variante Vi, Vk a unei infinitati de mixturi probabilistice,care variaza continuu intre Vi si Vk. Aceasta axioma reprezinta echivalentul axiomei continuitatii din teoria echilibrului general. A5. Pentru oricare trei variante Vi ≻ Vj ≻ Vk, daca un decident exprima relatia Vi preferat lui Vj, atunci, implicit, el va exprima si relatia [αVi; (1 - α)Vk] ≻ [αVj; (1 - α)Vk], (∀) α ∈ ∑, deci o relatie de preferinta intre doua variante se conserva atunci cand se considera mixtura acestora cu o a treia varianta. A6. Daca Vi ∼ Vj, atunci [αVi; (1 - α)Vk] ∼ [αVj; (1 - α)Vk], (∀) α ∈ ∑ si (∀) Vk ∈ V. Deci o relatie de indiferenta intre doua variante Vi, Vj se conserva atunci cand se considera si mixtura acestora cu o a treia varianta Vk. A7. Daca avem mixtura V' ≡ [βVi; (1 - β)Vj] atunci [αV'; (1 - α)Vj] ∼ [αβVi; (1 - αβ)Vj], oricare ar fi α, β ∈ ∑, deci alternativele compuse se pot descompune in alternative simple, folosind regulile din calculul probabilitatilor fara ca preferintele sa fie afectate. Pe baza acestor axiome se defineste functia de utilitate care asocieaza fiecarei variante Vi un element al multimii numerelor reale, avand proprietatile: a) Vi ≻ Vj ⇔ U(Vi) > U(Vj), adica functia de utilitate U : V → R este monoton crescatoare in raport cu relatia de preferinta; b) Vi ∼ Vj ⇔ U(Vi) = U(Vj); c) Daca Vk este o mixtura probabilistica Vk = [pVi; (1 - p)Vj], p ∈ (0, 1), iar V' o varianta indiferenta fata de Vk, V' ∼ Vk, atunci U(V') = pU(Vi) + (1 - p) U(Vj); d) Daca functia de utilitate are proprietatile anterioare atunci ea poate suferi o transformare liniara pozitiva care-i conserva calitatea de functie de utilitate a variantei Vi: )V(U~ i = aU(Vi) + b, a > 0, b ∈ R Utilitatea unei variante Vi, U(Vi), se poate determina considerand cunoscute/estimate utilitatile U(Vj) si U(Vk), intre care exista relatia Vj ≻ Vk. Daca U(Vj) = 1 si U(Vk) = 0 putem avea:

Vj ≻ Vi ≻ Vk ⇒ se aprecieaza de catre decident probabilitatea p pentru care Vi ∼ [pVj; (1 - p)Vk]. Atunci avem:

U(Vi) = pU(Vj) + (1 - p)U(Vk) = pU(Vj) = p ∈ [0, 1];

Pornind de la matricea consecintelor A = [aij] putem construi matricea utilitatilor U = [uij] prin interpolare liniara intr-un intreval [a, b]. Daca criteriul este de maxim atunci avem

uij = a + (b - a) minj

maxj

minjij

aaaa−

−,

ajmax = max {aij},

1 ≤ i ≤ m

ajmin = min {aij}, j = 1, 2, ..., n.

1 ≤ i ≤ m

uij - utilitatea lui Vi pentru Cj aij - consecinta variantei Vi in criteriul Cj

In cazul in care criteriul este de minim, avem:

uij = a + (b - a) minj

maxj

ijmaxj

aaaa

−

−

Principalele obiectii formulate in raport cu definitia lui von Neumann si Morgenstern se refera la: - identificarea utilitatii cu o probabilitate subiectiva, mentinand caracterul subiectiv al tratarii problemei decizionale; - tranzitivitatea relatiei de preferinta si uneori a celei de indiferenta sunt chestiuni discutabile, cel putin din punct de vedere psihologic. Rezolvarea problemei decizionale in care matricea ei este o matrice a utilitatilor, necesita o tratare distinca, dupa cum este relevata sau nu independenta criteriilor. In cazul in care problema independentei criteriilor este ignorata, metodele prezentate anterior (MDMA) pot fi aplicate cu un mic amendament care consta in transformarea elementelor matricei A sau R \intr-o matrice a utilitatilor U = [uij] estimate printr-o procedura de tip Neumann - Morgenstern. Matricei U i se pot aplica in continuare metodele decizionale expuse.

Metoda maximizării utilităţii globale

Metoda, elaborată de Boldur Gh.-Lăţescu şi Stancu I.Minasian, are la bază ideea transformării funcţiilor obiectiv ale unei probleme multicriteriale în funcţii-utilitate în sens Neumann - Morgenstern, care, apoi, vor fi însumate pentru a obţine o funcţie sinteză. Metoda, elaborată în contextul existenţei unei probleme de programare matematică liniară cu criterii multiple, poate fi la fel de bine inclusă în clasa metodelor de rezolvare a problemelor decizionale cu un număr infinit de variante. Folosirea conceptului de utilitate în rezolvarea unei astfel de probleme face necesară examinarea posibilităţii de a însuma utilităţile. În studiul acestei

probleme P. C. Fishburn a arătat că utilităţile sunt aditive numai dacă criteriile sunt independente în sensul teoriei utilităţii. Fiecărei variante Vi îi corespunde un n-uplu de consecinţe (ai1, ai2, ..., ain). În afara celor m n-uple din matricea consecinţelor se pot lua în considerare toate n-uplele din produsul cartezian n21 Cx...xCxCC = , unde Cj = {x1j, x2j, ..., xmj} reprezintă mulţimea consecinţelor corespunzătoare criteriului Cj, j=1,n , Cum numărul total al acestor n-uple este γ = mn rezultă că vom putea introduce mn - m variante "fictive": Vm+1, Vm+2, ..., Vγ. Dacă notăm cu a1, a2, ..., aγ n-uplele care fac parte din produsul cartezian

1

n

jj

CX=

j=1,n , se va putea defini o mulţime G de perechi de mixturi de forma (ω1,

ω2) astfel:

ω1 = (p1a1, p2a2, ..., pγaγ),1

1, , 1,n

j jj

p a C j γ=

= ∈ ∀ =∑

ω2 = (q1a1, q2a2, ..., qγaγ), 1

1, , 1,n

j jj

p a C j γ=

= ∈ ∀ =∑

astfel încât ω1 ≡ ω2 şi probabilitatea totală a unui aj∈ jC , j=1,n , să fie aceeaşi în ambele mixturi. Fiind date n criterii C1, C2, ..., Cn ele sunt mutual independente în sensul teoriei utilităţii, dacă şi numai dacă ω1 ∼ ω2 pentru orice (ω1, ω2) ∈ G. În acest caz aditivitatea utilităţilor este posibilă şi avem: U(ai1, ai2, ..., ain) = u1(ai1) + u2(ai2) + ... un(ain) Independenţa criteriilor în sensul teoriei utilităţii specifică faptul că unei consecinţe a unei variante Vi, din punct de vedere al criteriului Ck, îi corespunde întotdeauna aceeaşi utilitate, indiferent cu ce consecinţă, din punct de vedere al criteriului Cl este asociată. Independenţa criteriilor sugerează o anumită stabilitate a utilităţilor la schimbarea împrejurărilor în care se face estimarea. Pentru prezentarea metodei maximizării utilităţii globale vom considera că suntem în prezenţa unei probleme decizionale multicriteriale de tipul: optim {Fj(x)}, j = 1,r x ∈ D unde Fj sunt funcţiile/criteriile multiobiectiv (liniare) iar D domeniul soluţiilor admisibile definit printr-un set de restricţii liniare, incluzând şi condiţiile de nenegativitate.

Pas 1. Pentru fiecare funcţie-scop se determină valoarea optimă Xj, unde ( )j j

x DX optim F x

∈= şi valoarea pesimă Yj, unde ( )j j

x DY pesim F x

∈= .

Pas 2. Pe mulţimea tuturor valorilor optime şi pesime determinate se

estimează utilităţile acestor valori în sens Neumann - Morgenstern

{X1, X2, ..., Xr; Y1, Y2, ..., Yr} → {U1, U2, ..., Ur; Ur+1, Ur+2, ..., U2r} Pas 3. Funcţiile obiectiv Fj se transformă în funcţiile de utilitate FUj rezolvând mai întâi r sisteme liniare, având necunoscute coeficienţii (αj, βj), j = 1,r

αjXj + βj = uj

αjYj + βj = uj+r Construim funcţiile de utilitate: FUj = αjFj + βj, j = 1,r Pas 4. Se rezolvă în final problema de programare matematică având drept scop maximizarea utilităţii globale: UG:

,FUmaxUGmax

r

1jjj

DxDx∑ π==∈∈

πj - coeficienţii de importanţă a criteriilor Cj.

OBSERVATIE.In cazul în care modelul decizional are forma clasică a

matricei utilităţilor, U = [Uij], i = m,1 , j = n,1 metoda se simplifică ea comportând doi paşi:

Pas 1. Se calculează utilitatea fiecărei variante folosind aditivitatea utilităţilor multicriteriale:

U(Vi) =1

n

j ijj

Uπ=∑ , i = 1,m

Pas 2. Se alege varianta optimă V* pentru care:

U(Vi).max U(V*)

mi1 ≤≤=

METODA ELECTRE-BOLDUR-varianta cu utilitati a metodei ELECTRE O varianta a metodei ELECTRE a fost propusa de profesorul Gheorghe Boldur-Latescu. In vederea simplificarii si operationalizarii metodei, in sensul teoriei utilitatii, autorul a propus utilizarea unor coeficienti normalizati de concordanta si respectiv

discordanta. Acesti coeficienti, notati cu (.,.)D(.,.),C sunt calculati pe baza utiltatilor Uij estimate pentru consecintele aij din matricea decizionala A, dupa procedeul Neumann - Morgenstern. Formulele de calcul sunt: C (Vg, Vh) = ∑ πj (Ugj - Uhj) j ∈ J J = {j | Ugj ≥ Uhj} D (Vg, Vh) = ∑ πj (Uhj - Ugj) j ∈ J J = {1, 2, ..., n} \ J Pasii metodei sunt urmatorii: Pas 1. Se estimeaza utilitatile pe fiecare criteriu in parte, sau pe intreg tabloul decizional, obtinandu-se matricea utilitatilor multicriteriale U = [Uij]. Pas 2. Se calculeaza pentru fiecare pereche de alternative atat matricea coeficientilor de concordanta C , cat si matricea coeficientilor de discordanta D . Pas 3. Se introduce o regula de surclasare a variantelor, conform careia o varianta Vk surclaseaza o alta varianta Vi (notat Vk ϕ Vi) daca si numai daca C (Vk, Vi) ≥ p si D (Vk, Vi) ≤ q, p + q = 1, p, q ∈ [0, 1]. Algoritmul urmareste determinarea acelei variante V* care, pentru prerechea de praguri (p*, q*) admisa de decident, le surclaseaza pe toate celelalte. In cazul in care

1n

1jj =∑π

= avem o simplificare numerica a aplicarii algoritmului, deoarece se poate

observa ca C (Vk, Vi) = D (Vi, Vk).

ITERAREA METODELOR DECIZIONALE DETERMINISTE

Pas 1. Presupunem ca problemei initiale descrise de V, C si matricea A i-au fost aplicate s metode de decizie M1, M2, ..., Ms in urma carora s-au obtinut in iteratia (1) clasamentele/ierarhiile:

s, ..., 2, 1, k ),j ..., ,j ,(j I(1)

mk

(1)

2k

(1)

1k

(1)k ==

unde j(1)

lk ∈ {1, 2, ..., m} pentru orice l ∈ {1, 2, ..., m}.

Pas 2. Se construieste maticea R(1) a ierarhiilor ale carei coloane sunt locurile variantelor in ierarhiile obtinute in pasul 1.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

)1(s

)1(2

)1(1

)1(s

)1(2

)1(1

m

1

)1(s

)1(2

)1(1

)1(

mmmjjj

jjj

V

V

III

R

LMMM

L

M

L

Matricei R(1) i se aplica din nou secventa de metode {M1, M2, ..., Ms}, obtinandu-se ierarhiile I1

(2), I2(2), ..., Is

(2). Pas 3. Se reia procedeul cu pas 2 in cadrul unei noi iteratii. Procedura de calcul se incheie, fiind posibile trei situatii:

• Dupa k-iteratii matricea R(k) are toate coloanele identice I1(k) ≡ I2

(k) ... ≡ Is(k),

aceasta coloana fiind solutia problemei in contextul convergentei algoritmului. •• Dupa k-iteratii matricea R(k) se repeta R(k) = R(k+1) = ... . Procedeul este stabil

dar ierarhiile sunt diferite, in general alegerea uneia din ele fiind la latitudinea decidentului.

••• Procedeul cicleaza, in sensul ca dupa k-iteratii regasim matricea R(k'), k' < k, alegerea ierarhiei din multimea {I1

(k), I2(k), ..., Is

(k)} fiind de competenta decidentului.

1

CURSUL 7.

Probleme decizionale multiobiectiv O problemă decizională multiobiectiv, este descrisă de un set de restricţii

şi de o mulţime de funcţii-obiectiv, care reprezintă criteriile de decizie. Pentru început expunem un caz particular al problemei decizionale multiobiectiv care precizează liniaritatea restricţiilor şi a funcţiilor obiectiv. Formal problema decizională cu un număr infinit de variante este: optim {Fj(x)}, j = 1,r x ∈ D D = domeniul soluţiilor admisibile de exemplu, D = {x = (x1, x2, ..., xn)T| Ax ≤ b, x ≥ 0} Fără a micşora generalitatea tratării vom presupune că toate funcţiile Fj sunt de maxim, acest lucru fiind permis de relaţia

min Fj(x) = - max[-Fj(x)]. Problema necesită determinarea vectorului x* = (x1

*, x2*, ..., xn

*)T ∈ D, "cât mai bun" din punct de vedere al mulţimii criteriilor {Fj}, j = 1,r Deoarece spaţiului vectorial al valorilor funcţiilor obiectiv {(F1(x), F2(x), ..., Fr (x)) | x ∈ D} nu este total ordonat, este dificil de a găsi un punct x*∈D care să optimizeze simultan ansamblul funcţiilor obiectiv.

Exista mai multe încercări de definire a soluţiei problemelor multiobiectiv: 1) x* - este vectorul care optimizează o funcţie-sinteză a celor r funcţii de eficienţă, adică:

h(F) = h[F1, F2, ..., Fr], în care h(.) poate fi definită în mai multe variante: a) h [F1, F2, ..., Fr] = optim {Fi(x)}, i=1,r Dacă funcţiile Fi au ca obiectiv maximizarea atunci vom considera:

h [F1, F2, ..., Fr] = min {Fi(x)}, urmând să maximizam h, 1 ≤ i ≤ r Dacă Fi sunt de minim vom considera:

h [F1, F2, ..., Fr] = max {Fi(x)}, care se minimizează

b) h [F1, F2, ..., Fr] = [ ]1

( ) , , 0ir

i i i ii

F x βα α β=

≥∑

c) h [F1, F2, ..., Fr] = [ ]1

exp ( ) , 0r

i i ii

F xα α=

− − ≥∑

2

d) h [F1, F2, ..., Fr] = 1

n

ijF

=Π

2) x* este vectorul care minimizează un criteriu de forma: ( )1 1 r rx D

(x*) = min h (x - x ), ..., (x - x ) , φ ψ ψ∈

în care xj = (x1j, x2j, ..., xnj)T, j = 1,r este soluţia optimă a problemei cu o singură funcţie obiectiv, Fj, iar ψk este o funcţie de tip distanţă dintre vectorul x din D şi soluţia optimă xk corespunzătoare funcţiei Fk. Alegerea funcţiilor h şi ψk conduce la obţinerea unor cazuri particulare ale lui φ(x*), ca de exemplu:

a) ( )2

1 1( ) , 0

r n

k j jk kk j

h x x xα α= =

= − ≥∑ ∑

b) 1 1

( ) , 0r n

k j jk kk j

h x x xα α= =

= − ≥∑ ∑

c) 1

( ) ( )r

k kk

h x x X=

= Ψ −∑

d) 1

( ) max ( )k kk rh x x X

≤ ≤= Ψ −

3) Soluţia x* este vectorul care aparţine unei mulţimi de puncte eficiente: x0∈D este soluţie eficientă dacă nu există nici un x∈D astfel încât Fh(x) ≥ Fh(x0), pentru h = 1, 2, ..., r, şi pentru cel puţin un indice h0 să avem Fh0(x) > Fh0(x0), în ipoteza că toate funcţiile sunt de maxim. Deci x0 este un punct eficient dacă are proprietatea că nu există un altul x care să îmbunătăţească cel puţin o funcţie în timp ce celelalte rămân neschimbate. O astfel de soluţie este definită în literatura de specialitate şi ca soluţie nedominată sau soluţie optimală în sens Pareto. 4) x* este soluţia optimă obţinută prin ordonarea criteriilor de către decident. Astfel se rezolvă r probleme de programare matematică restrângând de fiecare dată domeniul D prin transformarea în restricţii a soluţiilor optime, obţinute prin rezolvarea unei probleme cu o singură funcţie obiectiv. Vom avea mulţimile:

DD*o =

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈==∈

*01

Dy1

*1 Dx);y(FoptimxFxD

*0

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈==∈

*12

Dy2

*2 Dx);y(FoptimxFxD

*1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈== −∈ −

*1kk

Dyk

*k Dx);y(FoptimxFxD

*1k

3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈== −∈ −

*1rr

Dyk

*r Dx);y(FoptimxFxD

*1r

Rezolvarea problemei înseamnă determinarea unui punct sau a mai

multor puncte din mulţimea *rD .

Mulţimea *rD depinde de ordonarea preferenţială a funcţiilor obiectiv,

realizată de către decident.

Metoda programării - scop Programarea scop sau programarea prin obiective (goal programming) a

fost introdusă şi dezvoltată de A. Charnes şi W. Cooper. Se consideră un vector ( )1 2 rF F ,F ,..., F= ale cărui componente reprezintă nivelele care trebuie atinse de

funcţiile obiectiv. Este, teoretic, imposibil de a găsi un vector x* ş D pentru care toate funcţiile obiectiv sunt la nivelele dorite, adică:

*

r*

r2*

21*

1 Cx F F spus, astfel sau, F )(xF ..., ,F )(xF ,F )(xF ===== Pentru un vector x* din D vor exista abateri în plus sau în minus între Fi(x) şi iF , iar problema constă în minimizarea distanţei dintre vectorul ale cărui componente reprezintă valorile posibile ale funcţiilor obiectiv. Avem problema min ( F, ( ))

x Dd F x

∈

Vom considera spaţiul vectorial n - dimensional Rn înzestrat cu norma ||.||, definită în sens clasic. Cea mai cunoscută normă este norma Hölder:

1p,xx

p/1n

1i

pip

≥⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∑=

= . Pentru p = 2 avem norma (distanţa) euclidiană:

2/1n

1i

2i2

xx ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∑=

= Pe spaţiul Rn pot fi definite şi alte norme:

∑==

n

1ii1

xx

sau

{ }imi1

xmaxx≤≤∞

=

Dacă vom considera normele prezentate, obţinem următoarele modele care rezolvă problema de programare - scop.

4

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :Mp/1r

1i

piipx

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :Mr

1iii1x

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :M2/1r

1i

2ii2x

3

{ }0x,bAx/FFmaxF-F min :M ii

x4 ≥≤−=

∞

Minimizarea normei ||F - F ||p, p ≥ 2 conduce la probleme de programare neliniară, iar minimizarea normelor ||F - F ||1 şi ||F - F ||∞ se face printr-o procedură de optimizare liniară. Vom considera modelul M2 în care se minimizează suma abaterilor absolute, model studiat de Charnes, Cooper şi Ijiri.

Pentru fiecare funcţie vom nota +kd (x) şi

−kd (x) abaterile în plus, sau în

minus ale valorilor Fk(x) de la valorile kF . Scopul nostru îl constituie minimizarea sumei acestor abateri. Pentru o funcţie Fk abaterea de la kF va avea loc numai într-un anumit

sens, deci dacă +kd > 0 ⇒

−kd = 0 şi reciproc, dacă

−kd > 0, atunci

+kd = 0.

Modelul devine:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈≥

==−+

∑ +

−+

+−=

+−

Dx0)x(d),x(d

r,1k,Fdd)x(F

)x(d)x(dmin

kk

kkkk

r

1kkk

Dacă notăm cu ( ) ,1

e= 1,1,...,1 T

r, cu I - matricea unitate de ordinul r şi cu d+,

d- vectorii de componente di+, di

-, modelul anterior mai poate fi scris:

[ ]

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤=+−

+

−+

−+

−+

0d,d,x

bAxFIdId)x(F

ededmin

5

Modelul 4) a fost studiat de Zuhoviţki şi Avdeeva şi redus la un model liniar de forma:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥λ≥=

λ≤+−

λ≤−

λ

0,0xbAxFF

FFmin

ii

i

Metoda STEM Metoda STEM (Step Method) este de asemenea o metodă interactivă în care decidentul, printr-o alternare a fazei de calcul cu faza de analiză şi decizie, poate să dirijeze mai eficient procesul de căutare a soluţiei. Vom considera problema multiobiectiv:

{ } r1hxFhDx,,)(max =

∈ Paşii algoritmului sunt următorii:

Pas 1. Se rezolvă r probleme de programare (liniară conform ipotezei), luând rând pe rând criteriile h = 1, 2, ..., r. Fie Z1 vectorul valorilor maxime ale funcţiilor scop:

( )r11211rDx1Dx1 F,...,F,F)x(Fmax),...,x(FmaxZ =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

∈∈

Pas 2. Se rezolvă încă o problemă de programare liniară cu o funcţie F* definită prin agregarea lui Fj.

∑π==∈∈

r

1jjjDx

*

DxFmaxFmax

Fie S* soluţia optimă a acestei probleme şi

Z(S*) = (F1(S*), F2(S*), ..., Fr(S*))

vectorul valorilor celor r funcţii de eficienţă în soluţia S*.

Pas 3. Decidentul compară componentele vectorilor Z(S*) şi Z1. Dacă funcţiile iau valori acceptabile pentru S*, problema este rezolvată. In caz contrar decidentul trebuie să indice pentru funcţia Fk, care ia valoarea cea mai puţin satisfăcătoare , un prag Fk

* de la care valoarea acesteia îl va satisface. Pas 4. Se reia problema de la pas 1 considerând sistemul iniţial la care se adaugă restricţia introdusă în pasul 3. Fie D1 noul domeniul al soluţiilor admisibile, D1 ⊂ D, D1 = {x | x din D, Fk(x) ≥ Fk

*}.

6

Rezultatul pasului 1 va conduce la

( )r22221rDx1Dx2 F,...,F,F)x(Fmax),...,x(FmaxZ

11

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

∈∈

Pas 5. Decidentul trebuie să se pronunţe din nou asupra modului în care restrângerea lui D afectează sau nu valorile funcţiilor obiectiv. In caz afirmativ se reia algoritmul de la pasul 1, dar pentru un prag mai mic Fk

** < Fk*. In caz contrar

se continuă cu pasul 2 pentru domeniul D1. Alegerea coeficienţilor πj poate fi realizată în mai multe modalităţi: a) decidentul stabileşte în mod subiectiv, evident, ponderile de importanţă a criteriilor; b) există informaţii referitoare la importanţa criteriilor luate două câte două. Se va ataşa funcţiilor F1, ..., Fr o matrice pătratică M = [ mij] ale cărui elemente pot fi definite prin convenţie astfel:

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

,0,4,2,1

ijm

Vom nota mi = ∑=

r

1jijm

, mărimile mi reflectând nivelul de depăşire în preferinţă a criteriilor j de către criteriul Fi. Coeficienţii πi, πj vor fi aleşi astfel încât să avem:

r,...,2,1j,i,

mm j

j

i

i =π

=π

Să notăm că în ambele situaţii (a şi b) coeficienţii rămân neschimbaţi în cursul aplicării algoritmului STEM. c) Se construieşte tabelul consecinţelor asociat soluţiilor X1, X2, ..., Xr. Fie Cs o coloană a acestui tabel:

Cs = (Z1s, Z2s, ..., Zrs)T.

Se analizează ecartul valorilor pe coloană faţă de valoarea maximă din acea coloană. In cazul unui ecart mic criteriului respectiv i se poate asigna o importanţă relativ mică, iar pentru un ecart mare - o importanţă însemnată. Deoarece ecartul este de natură relativă este necesar a folosi utilităţile asociate mărimilor Zij. Un criteriu Fs ia pentru valoarea maximă utilitatea egală cu 1, iar pentru valoarea minimă - utilitatea egală cu 0. Unui criteriu Fk i se va acorda o pondere cu atât mai mare cu cât valorile coloanei sale de utilităţi se apropie mai mult de zero. Fie min ( ),k iki

m U Z= cea mai mică valoare a utilităţii corespunzătoare

criteriului Fk şi αk = 1 - mk. Coeficienţii πi şi πj vor fi aleşi proporţional cu αi, αj adică:

dacă Fi şi Fj au aceeaşi importanţă, dacă Fi este mai important ca Fj, dacă Fi este net mai important ca Fj, in oricare alt caz.

7

ji

i j

ππα α

= şi 1

1r

ii

π=

=∑

Valorile acestor coeficienţi se modifică de la o iteraţie la alta. Metoda STEM a fost dezvoltată de autorii ei (colectivul profesorului R. Benayoun) în sensul reducerii la minim a dialogului cu decidentul şi al creşterii vitezei de convergenţă.

Probleme propuse 1. O persoană vrea să constituie un depozit bancar şi are de ales între 5 bănci. Se cunoaste suma minimă ce poate fi depusă şi rata dobânzii pentru fiecare bancă. Suma minimă (u.m.) Dobanda(% pe an ) BCR 500 16,7 BT 1000 14,5 BRD 1000 14 FINANS 15000 13,75 CITI BANK 2000 13 minim maxim Se mai stie cum ca criteriile sunt echiprobabile. Calculati evolutia prin metoda momentelor. Considerăm apoi că primul criteriu are o importanţă de 30% şi al doilea de 70%. Aplicati metoda permutărilor succesive şi prin metoda ponderarii aditive.

2. Bogdan doreşte sa-şi cumpere o maşina second-hand. Pentru aceasta el are de ales între patru mărci, după cum urmează: Audi, BMW, Opel şi Volkswagen. El îşi fundamenteaza decizia evaluând următoarele patru caracteristici: 1C - preţ; 2C - număr de kilometri; 3C - anul fabricaţiei; 4C - viteza maximă. Informaţiile de care dispune sunt grupate în tabelul de mai jos:

1C 2C 3C 4C A 10.200 60.000 2004 220 B 12.500 80.000 2004 240 O 8.400 60.000 2003 190 V 9.100 45.000 2002 200 Coeficienţi de importanta 0,31 0,26 0,23 0,20

8

Care va fi varianta aleasă de Bogdan, dacă pentru fundamentarea alegerii va folosi: - metoda ELECTRE - metoda atribuirii liniare - metoda utilităţii globale maxime - ignorând coeficienţii de importanţa a criteriilor, va folosi metoda momentelor? 3. Consiliul de administraţie al unei firme de consultanta doreşte să-şi

deschidă un sediu în unul din următoarele patru oraşe - Arad, Oradea, Satu Mare, Timişoara - având în vedere următoarele criterii:

1C - valoarea investiţiei (u.m.); 2C - costuri pentru chirie (u.m.); 3C suprafaţa (mp); 4C - număr de firme concurente în oraş.

1C 2C 3C 4C Arad 5500 500 140 1 Oradea 4700 550 120 2 Satu Mare 3300 300 80 4 Timişoara 4100 500 90 3

a) In absenţa oricărei informaţii asupra preferinţelor, rezolvaţi problema folosind

două dintre metodele cunoscute; b) Dacă 2 4 1 3C C C Cf f f , care va fi locaţia aleasă pentru investiţie? c) Dacă asociem fiecărui criteriu coeficienţi de importanţă

(0,22;0,28;0,15;0,37)π = , aplicaţi metoda permutării pentru determinarea ierarhiei optime.

d) Folosind coeficienţii de importanţă de la subpunctul precedent, rezolvaţi problema prin metoda ELECTRE, prin metoda ponderării simple aditive şi prin metoda atribuirii liniare.

4. O firmă de îmbuteliat bere doreşte să achiziţioneze liniile de îmbuteliat de la 41 VV → . Criteriile de selecţie sunt următoarele :

→1C Preţul de cumpărare (mil. lei). →2C Durata de funcţionare a utilajelor (ani) →3C Intervalul de timp între două reparaţii capitale (luni). →4C Costul unei reparaţii( mii $). →5C Numărul de sticle îmbuteliate într-o zi (mii).

9

C1 C2 C3 C4 C5 V1 12 10 20 3 20 V2 15 8 22 5 22 V3 20 6 20 3 30 V4 16 8 24 4 28

Rezolvaţi problema folosind metodele cunoscute. 5. In vederea realizării unui obiectiv industrial, un agent economic trebuie să aleagă o variantă din cele trei posibile. Pentru fiecare se cunoaşte valoarea investiţiei (mil. um.) precum şi durata de realizare (luni)

Valoarea investiţiei (mil. um.) Durata de realizare (luni) V1 12 10 V2 15 8 V3 20 6 Coeficienţi de importanta 0,6 0,4

Determinaţi ierarhia optima a variantelor prin metoda TOPSIS. 6. Considerăm o economie cu n bunuri de consum ( )1 2, ,..., nx x x x= cu preţurile aferente ( )1 2, ,..., np p p p= . Pentru un consumator care dispune de venitul V, avem următoarea funcţie de utilitate, de forma:

( )1 1

( ) logn

i i iU x a x x=

= −∑ , cu 0 i ix x≤ ≤ 1,i n∀ = ,

unde ix reprezintă nivelul minim al consumului din bunul i şi ia o constanta pozitiva.

Utilizând conceptul de utilitate în sensul teoriei echilibrului economic, identificaţi combinaţia optimă de bunuri pe care le consumă decidentul nostru.

CURSUL 8 . Decizii deterministe de grup

1. Introducere Grupurile ajung la o decizie în general printr-o formă de vot. Prezentam câteva exemple ce privesc dificultăţile ce pot apărea în cazul celei mai simple şi mai populare proceduri de vot: regula majorităţii simple.

Exemplu. Fie trei decidenti şi trei variante a, b şi c. Să presupunem că cei trei exprimă următoarele preferinţe:

Persoana 1 : a 1f b 1f c Persoana 2 : b 2f c 2f a (7.1) Persoana 3 : c 3f a 3f b

Vom indica prin operatorul gf preferinţa la nivelul grupului. Astfel, regula

majorităţii simple(2 din 3) ne conduce la următoarele concluzii:

a gf b , din moment ce 2 din 3 preferă a lui b b gf c , din moment ce 2 din 3 preferă b lui c

c gf a , din moment ce 2 din 3 preferă c lui a

Observăm că această regulă de decizie poate duce la preferinţe de grup

netranzitive (cerc vicios). Votul este în general iterativ, eliminându-se rând pe rând cate o

varianta, până se ajunge la un rezultat final.In exemplul dat, ar putea fi comparate mai întâi a şi b, pentru ca apoi, varianta preferată să fie comparată cu cealaltă variantă “finalista” c:

ab⎫→⎬

⎭a

cc⎫→⎬

⎭

(7.2)

Dacă în schimb, s-ar fi început prin compararea lui b şi c, s-ar fi ajuns la

alt rezultat şi anume, varianta a:

bc⎫→⎬

⎭ .b

aa⎫→⎬

⎭

La fel, dacă s-ar fi comparat în prima etapa a şi c, atunci alegerea finala ar fi b. Ajungem la concluzia că varianta finala aleasă de grup depinde numai de ordinea în care sunt comparate variantele. Problema mai are un aspect important, atunci cind decidentii isi cunosc reciproc preferintele, putind sa-si ascunda adevaratele optiuni . Să presupunem că preferinţele celor trei membri ai grupului sunt ca în (7.1) şi mai mult, că primul individ cunoaşte preferinţele celorlalţi doi. Dacă alternativele comparate în prima etapă sunt a şi b iar apoi, „învingătoarea” este comparată cu c, atunci primul individ va putea prezice ca alegerea finala va fi c : vezi (7.2). Să presupunem însă ca el ascunde adevărata sa preferinţă, în timp ce ceilalţi îşi exprimă onest preferinţele. Dacă el spune că preferă:

b 1f c 1f a atunci alegerea finala va fi:

ab⎫→⎬

⎭b

bc⎫→⎬

⎭

Astfel, el se asigură că grupul selectează b, varianta pe care el o preferă

"adevăratei" alegeri de grup, care ar fi fost c. În aceste circumstanţe particulare simpla regula a majorităţii îl încurajează să voteze tactic. 2 . Formularea problemei decizionale de grup Să presupunem ca avem n persoane care sunt împreună responsabile pentru alegerea unei acţiuni dintr-o mulţime de acţiuni posibile. Vom nota cu if%

relaţia de preferinţă slabă/nestricta a individului i. Atunci vom scrie a if%

b dacă el preferă varianta a cel puţin la fel de intens ca şi pe b. Având n decidenti şi preferinţele lor if%

, i = 1, 2, ... n, problema poate fi definită astfel: să se determine o modalitate de a obţine o ordine preferenţială valabilă pentru întreg grupul. Vom nota o astfel de preferinţă cu gf

% şi relaţia

a gf%

b este interpretată ca preferinţa grupului pentru a în detrimentul variantei b. Sistemul de votare sau mecanismul prin care preferintele 1f%

, 2f%, ... nf%

sunt combinate pentru a se obţine preferinta grupului gf

%este referit în general ca fiind

regula decizionala a grupului. Decidenţii îşi pot stabili preferinţele în funcţie de intuiţie, pe baza unor reguli cum ar fi maximin, minimax sau folosind orice alt criteriu decizional. Când numărul decidenţilor este foarte mare vom avea de-a face cu asa-numitele probleme de alegere socială. Ordinea preferenţială individuală if%

poate fi egoistă, însemnând că individul se exprima numai în funcţie de interesele personale, indiferent ce impact ar putea avea acestea la nivelul grupului, sau poate fi altruistă, când individul urmăreşte bunăstarea întregului colectiv.

Keneth Arrow a formulat următoarele axiome, care creează cerinţele minime de corectitudine şi raţionalitate ale procesului de decizie colectiva/de grup.

AXIOMATICA lui ARROW

Axioma 1: Ordonarea slabă

Preferintele individuale 1f%, 2f%

, ... nf% şi gf

% sunt toate relaţii de ordine

slabă: fiecare dintre ele se supune Axiomelor 1 –4, prezentate la deciziile individuale deterministe Axioma 2 : Non-trivialitatea problemei

(i) Există cel puţin doi membrii în grup : 2n ≥ . (ii) Există cel puţin trei alternative

Axioma 3: Domeniul universal

Relatia gf%

este definita oricare ar fi relatiile 1f%, 2f%

, ... nf%, exprimate

individual. Axioma 4: Relevanţa binara

Fie 1f%

, 2f%, ... nf%

mulţimea preferinţelor individuale asupra unei mulţimi de alternative, A. Fie '

1f%

, '2f%

, ... 'nf%

o altă mulţime de preferinte individuale asupra unei mulţimi de alternative A'. Să presupunem că alternativele a şi b se regăsesc şi în A şi în A' :

{ }, 'a b A A⊂ ∩ .

Presupunem în continuare că 1f%, 2f%

, ... nf% şi '

1f%

, '2f%

, ... 'nf%

ordoneaza la fel elementele { },a b :∀ i, avem :

a if%b ⇔ a '

if%

b sau

b if%a ⇔ b '

if%a

Atunci, regula de decizie va trebui sa conducă la aceeaşi preferinţă de grup intre a şi b :

a gf%

b ⇔ a 'gf%b sau b gf

%a ⇔ b '

gf%a.

Arrow a formulat si o axioma echivalenta , care precizeaza următoarele:

Presupunem că unele alternative sunt eliminate din mulţimea variantelor, A. Atunci, dacă nici o persoana nu işi modifică preferinţele intre alternativele rămase, preferinţa la nivelul grupului între aceste alternative nu se modifică.Respectivele alternative se zic relevante daca afecteaza ordinea grupului prin eliminarea lor, respectiv irelevante, in caz contrar.

Axioma 5: Principiul lui Pareto (unanimitatea)

Dacă fiecare decident prefera a if%b atunci şi grupul va prefera a gf

%b.

Axioma 6 : Non dictatura (absenta dictaturii) Nu exista nici un individ ale cărui preferinţe pot deveni automat preferinţele grupului , independent de preferinţele celorlalţi membri ai grupului.

Pe baza acestui sistem axiomatic , Arrow a formulat si demonstrat o celebra teorema care afirmă că Axiomele 1 –6 sunt mutual inconsistente, adica nu există nici un procedeu decizional care sa satisfacă simultan toate cele sase presupuneri. TEOREMA 1. Teorema lui Arrow de „imposibilitate a agregarii optiunilor individuale”

Nu există nici un procedeu care să permită ca relaţia gf%

sa rezulte din relaţiile 1f%

, 2f%, ... nf%

, satisfăcând în acelaşi timp Axiomele 1 –6. Altfel spus, pentru fiecare procedeu posibil, exista cel putin un set de

preferinţe individuale astfel încât construcţia lui gf%

va încălca măcar una dintre axiome. Pentru a demonstra Teorema lui Arrow sunt necesare următoarele definiţii.

Un subgrup V de indivizi se spune ca este decisiv in favoarea lui a, sau altfel zis , în defavoarea lui b , dacă, atunci când a if%

b de catre toţi indivizii i∈V şi b if%

a pentru toţi i ∉V, grupul decizional va prefera a gf%

b. Un subgrup V este un subgrup minimal decisiv dacă V este decisiv

pentru unele variante a asupra unor variante b şi nici un alt subgrup din V nu este decisiv pentru o alta varianta c asupra oricărei alte variante d.

Demonstraţia parcurge două etape. Mai întâi, se arată că un subgrup decizional minimal trebuie să cuprinda un singur individ. Apoi , că el este un dictator, acest fapt fiind în contradicţie cu Axioma 6.(dem. Completa-vezi CARTEA)

Teorema lui Arrow constituie un rezultat incomod in practica decizionala. Ea arata ca nu există sisteme de votare sau alte metode de agregare a preferinţelor care să fie complet democratice. În formularea lui Arrow, relatia

gf%

se formează printr-o procedură de agregare, din preferintele individuale 1f%,

2f%, ... nf%

, indiferent de natura acestora. Teorema se aplică şi pentru vot deschis, dar şi pentru votul secret; şi în cazul în care preferinţele individuale au aceeaşi importanţă sau nu.

S-au făcut multe încercări de a demonstra că unele dintre axiomele lui Arrow sunt nepotrivite, că ele nu surprind întocmai principiile echităţii, corectitudinii şi democraţiei . Axioma numita "Dependenta deciziei în raport cu alternativele relevante" sau "relevanta binara" (Axioma 4) este cea mai controversata dintre ele.

Vom considera următorul exemplu: sa presupunem ca doua persoane trebuie să decidă intre a pregăti fie un ibric cu ceai, fie unul cu cafea. În loc să-şi exprime preferinţa doar pentru cafea şi ceai, ele şi-au exprimat preferinţa pentru şapte băuturi astfel:

cafea f 1 bere f 1 lapte f 1 limonada f 1 ciocolata f 1 cola f 1 ceai, si

ceai f 2 cafea f 2 bere f 2 lapte f 2 limonada f 2 ciocolata f 2 cola.

În situaţia de mai sus, se observă că deşi cafea f 1 ceai, şi ceai f 2 cafea, ceea ce reprezintă un conflict simetric, vom fi tentaţi să spunem că alegerea grupului este evidentă: cafeaua. Ordonarea celor şapte variante ne indică puterea preferinţelor. Astfel cele cinci băuturi sunt alternative relevante care , daca sunt eliminate, afectează preferinţa grupului, în contradicţie cu axioma de relevanţă binară. Să presupunem că intensitatea preferinţelor este puternica, semnficativa, şi că putem măsura funcţia diferenţei de valoare pentru indivizi. Vom ajunge la concluzia că ceaiul este preferat la nivelul grupului. Primul individ are preferinţe foarte sensibil diferite pe când al doilea prefera ceaiul şi nu-i place nici una din celelalte băuturi. Am asumat implicit faptul că intensitatea preferinţelor celor doi a fost măsurată pe aceeaşi scală.

Fig. 7.1. Funcţiile diferenţă de valoare(“scala intensităţii preferinţelor“) pentru cei doi indivizi.

Axioma împiedică existenţa oricărei noţiuni de intensitate a preferinţelor, în procesul de alegere. Axioma are totuşi implicaţia că spaţiul alternativelor este infinit. Deci, axioma poate fi interpretată ca permiţând introducerea de variante fictive care să ne ajute în evaluarea diferenţelor de valoare.

Ipoteza “relevantei binare” pare să sugereze că aceste alternative ipotetice de scalare nu pot fi relevante pentru decizia de grup şi astfel, noţiunea de intensitate a preferinţei care derivă din ele este de asemenea irelevantă. Se face adesea confuzie între alternativele ipotetice şi cele nefezabile. Principiul pretinde că în momentul luării deciziei, preferinţele decidentului pentru orice pereche de variante reale şi fezabile nu ar trebui să fie dependente de natura şi identitatea celorlalte alternative reale şi fezabile.

De notat, că dacă acceptam ideea că introducerea alternativelor ipotetice poate schimba unele dintre preferinţele celui care decide, ajutându-l să gândească, sa evalueze, nu vom accepta posibilitatea ca înlăturând la loc alternativele fictive, el să-şi modifice iarăşi preferinţele

Ca o consecinţa a acestor remarci, nu vom interpreta relevanţa binară ca pe o interzicere de la a introduce informaţii legate de intensitatea preferinţelor în procedura de vot.

Să presupunem că permitem fiecărui membru al grupului să-şi exprime funcţia diferenţei de valoare pentru respectivele alternative; putem să le agregăm pe acestea intr-o funcţie valoare la nivel de grup, astfel încât sa respecte Axiomele lui Arrow? Răspunsul este dat de teorema :

TEOREMA 2. Fie v1(.),v2(.),.....vn(.) funcţiile valorilor pentru cei n membrii ai grupului. Fie vg(., ., ., ..... , .), o funcţie "n" dimensională, diferenţiabilă, astfel încât cel puţin două derivate parţiale să fie pozitive pe orice domeniu, şi să nu existe derivate parţiale negative. Daca vom defini gf

%prin

a gf%

b ⇔ vg(v1(a), v2(a), ..... , vn(a)) ≥ vg(v1(b), v2(b), ..... , vn(b)) aceasta oferă o procedura de agregare a preferinţelor la nivelul grupului, care satisface următoarele:

(i) Ordonarea slaba. gf%

este ordonare slaba la nivel de grup. (ii) Non-trivialitatea. gf

%este definita pentru orice număr de alternative.

(iii) Domeniul universal. gf%

este definit oricare ar fi funcţiile diferenţei de valoare v1(.),v2(.),.....vn(.) ale membrilor grupului.

(iv) Relevanţa binară. Ordonarea oricărei perechi (reale) de alternative, nu depinde de alte alternative fezabile.

(v) Principiul lui Pareto. Dacă pentru orice individ vi(a) > vi(b) atunci a gf b (vi) Non dictatura. Nu există nici un individ astfel încât, pentru toate

perechile de alternative a, b, oricând el îl prefera pe a lui b, grupul reţine a gf b indiferent de ceea ce prefera ceilalţi membri.

Această teoremă sugerează că dacă membrii grupului "votează" exprimându-

si intensitatea preferinţelor prin intermediul funcţiilor diferenţei de valoare, atunci există o procedură de agregare a preferinţelor, în spiritul Axiomelor lui Arrow. Înainte de toate, trebuie să observam o presupunere foarte importantă făcută prin teoremă: ea afirmă implicit că este posibil să comparăm intensitatea preferinţelor unei persoane cu intensitatea preferinţelor altei persoane.

3 . Optimalitatea Pareto şi setul de negociere (vezi CARTE)

4 . Negocierea Nash (vezi CARTE)

5 . Metode clasice de rezolvare a problemelor decizionale de grup

5.1. Metoda Borda Se pleacă de la ipoteza că există o mulţime V ce conţine m variante decizionale şi o mulţime D care cuprinde n decidenţi. Fiecare dintre decidenţi propune o clasificare a variantelor de decizie. Algoritmul propus de Borda pentru obţinerea unei relaţii de preferinţă la nivelul grupului presupune următorii paşi: Pasul 1. Pentru iV V∀ ∈ şi jD D∀ ∈ se determină rangul ( )j ir e care semnifică rangul acordat de decidentul jD variantei iV . Pentru o mai mare uşurinţă, aceste rezultate sunt structurate matricial. Pasul 2. Se calculează , pentru fiecare varianta variabilele 1 2k k

jM , functia de intensitate a preferintei decidentului j pentru varianta i după următoarea relaţie:

1 21 2 ( )k k

j j iM k k m r V⎡ ⎤= + ⋅ −⎣ ⎦ ,

unde 1k şi 2k sunt două constante reale iar 2k >0, unde m reprezintă numărul variantelor decizionale. Pasul 3. Se stabileşte ierarhia variantelor la nivelul grupului, după următoarea verificare , prin aditionarea functiilor de intensitate a preferintelor , pe multimea tuturor decidentilor:

,g hV V V∀ ∈ , 1 2 1 2

1 1

( ) ( )n nG

k k k kg h j g j h

j j

V V M V M V= =

⇔ >∑ ∑f

Relaţia de preferinţă obţinută în final este independentă de alegerea constantelor

1k şi 2k , cu conditia evidenta 2k mai mare ca zero . De aceea, în practică este folosită atribuirea valorii 1 celor doua variabile.

5.2. Metoda Condorcet Ca şi în cazul Metodei Borda ipoteza problemei presupune m variante decizionale şi n decidenţi, care au ordonat variantele în ordinea preferinţelor individuale. Pasul 1. ,g hV V V∀ ∈ , se determină

{ }{ }( , ) 1, 2,...,i

g h g hP V V j n V V= ∈ f

Pasul 2. ,g hV V V∀ ∈ , ( , ) ( , )G

g h g h h gV V NP V V NP V V⇔ >f , Unde ( , )g hNP V V reprezintă numărul de elemente al mulţimii ( , )g hP V V

5.3. Metoda Copland Fiecărei entităţi decizionale iV i se ataşează un index H( iV ), unde

H( iV ) = 1

( ) ( )n

j i j ij

a V b V=

⎡ ⎤−⎣ ⎦∑

( )j ia V reprezintă numărul de variante mai puţin bune decât iV pentru decidentul j ( )j ib V reprezintă numărul de variante mai bune decât iV pentru decidentul j

Varianta decizională preferată la nivelul grupului este:

* max H( )iiV V=

5.4. Metoda ELECTRE tridimensionala Metoda ELECTRE tridimensională este o versiune a metodei ELECTRE clasice, extinsă la trei dimensiuni, pentru deciziile de grup multicriteriale. Se disting două variante ale acestei metode: metoda ELECTRE tridimensională cu concordanţă tare şi metoda ELECTRE tridimensionala cu concordanţă slabă. Vom considera o mulţime de n decidenţi { }1 2, ,..., nD D D D= , o mulţime de

m variante decizionale { }1 2, ,..., mV V V V= si o mulţime de l criterii { }1 2, ,..., lC C C C= . Fiecare variantă iV este apreciată de fiecare decident jD în funcţie de criteriul

kC prin consecinţele ijka . Fiecărui criteriu îi este asociat un anumit coeficient de

importanţă [ ]0,1iπ ∈ cu 1

1l

kkπ

=

=∑ .

Metoda ELECTRE tridimensionala cu concordanţă tare. Pasul 1. Se normalizează matricea consecinţelor, obţinând consecinţele normalizate ( )ijkr ; 1,i m= ; 1,j n= ; 1,k l= .

Pasul 2. Pentru fiecare pereche de variante ( ),g hV V se calculează coeficientul de concordanţă:

1

( , )f

f Fg h l

kk

c V Vπ

π

∈

=

=∑

∑, unde

{ }{ }/ , 1, 2,...,gif hifF f r r f l= > ∀ ∈ Pasul 3. Se determină elementele matricei coeficienţilor de discordanţă. Pentru perechea de variante ( ),g hV V , coeficientul de discordanta se calculează:

{ }{ }

/ , 1,2,...,

1( , ) maxgif hif

g h hif giff r r f nd V V r r

α < ∀ ∈= −

Unde max minijk ijkijkijk

r rα = −

Pasul 4. Pe mulţimea V se introduce o relaţie de surclasare definită astfel:

varianta gV surclasează varianta hV la nivelul grupului (G

g hV Vf ) dacă şi numai

dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: ( , )( , )

g h

g h

c V V pd V V q

≥⎧⎨ ≤⎩

si, unde p şi q sunt două

valori de prag alese de decidenţi, [ ], 0,1p q∈ . În continuare se procedează în acelaşi mod ca la metoda ELECTRE. Metoda ELECTRE tridimensionala cu concordanţă slabă. Această metoda diferă de cea anterioară prin modul de calcul al coeficienţilor de concordanţă şi discordanţă.

1

( , )f

f Fg h l

kk

c V Vπ

π

∈

=

=∑

∑, unde

{ }{ }/ , pentru cel putin un 1,2,...,gif hifF f r r f l= > ∈

{ }'

1( , ) maxg h hif giff Fd V V r r

α ∈= −

{ }{ }' / , pentru cel putin un 1,2,...,gif hifF f r r f l= < ∈

6. Probleme propuse 1. Demonstraţi că regula lui Borda satisface cinci dintre axiomele lui Arrow şi daţi un contra-exemplu pentru a arata că nu o satisface pe cea de-a şasea. Fie doua grupuri de trei respectiv patru persoane cu preferinţe stricte asupra a trei obiecte {a, b, c} cum este redat în Tabelul 7.2. Folosind regula lui Borda găsiţi varianta aleasa de Grupul 1, alegerea Grupului 2 şi alegerea grupului format din cele şapte persoane.

Tabelul 7.2 Preferinţele pentru Problema 4

Grupul 1 Grupul 2

f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7

prima a b c a a b b

a doua b c a b b c a

a treia c a b c c a c

Folosind regula majorităţii simple recalculaţi preferinţa Grupului 1, preferinţa Grupului 2 şi preferinţa pentru grupul combinat. Comentaţi rezultatul. 2. Şapte funcţionari lucrează intr-un birou. Fiecare dintre ei preferă o anumita temperatură în biroul unde lucrează: ( 1,2,...,7)i iτ = , unde:

1 2 3 4 5 6 7τ τ τ τ τ τ τ< < < < < < Preferinţa lor pentru oricare doua temperaturi t şi t' ale camerei, depind numai de diferenţa dintre t respectiv t', şi idealul lor de temperatură:

' 'i it t t tτ τ⇔ − ≤ −f

%

pentru i = 1, 2, ... , 7. Decizia de grup este să adopte preferinţa celui de-al patrulea funcţionar şi fixează termostatul camerei la 4τ deoarece trei preferă o camera mai răcoroasă iar ceilalţi trei prefera o temperatură mai ridicată. Demonstraţi că în alegerea lor au folosit implicit regula majorităţii simple; arătaţi că atunci când t 4f t' cel puţin alte trei persoane prefera t if t' şi că atunci când t 4 t', numărul celor care consideră tf i t' este egal cu numărul celor care considera t'f i t. Arătaţi că în acest exemplu, regula majorităţii simple este tranzitivă.

3. Fie un grup cu n = 2r indivizi, care trebuie sa aleagă din trei alternative {a, b, c}. Să presupunem că i ia b cf f pentru i = 1, 2, ..., r si i ib c af f pentru i = r+1, r+2, ..., 2r. Arătaţi că regula majorităţii simple conduce la

a gf b, b gf c şi c gf a. 4. După calificarea în finala cupei UEFA, cinci jucători ai unei echipe de fotbal, au stabilit sa se întâlnească sâmbăta seara şi să iasă intr-un club dintre următoarele: Kristal ( 1V ), Office ( 2V ), Temple ( 3V ), Bamboo ( 4V ) şi Cuba ( 5V ). Fiecare si-a exprimat următoarele preferinţe: Alberto: 1 3 4 2 5V V V V Vf f f f Gabriel: 2 1 4 3 5V V V V Vf f f f Mirel: 1 2 5 4 3V V V V Vf f f f Banel: 3 1 2 5 4V V V V Vf f f f Victoras: 3 2 4 1 5V V V V Vf f f f In ce club vor ieşi cei cinci? Aplicaţi metoda lui Borda şi metoda lui Condorcet. 5. Doi prieteni plănuiesc o ieşire în afara oraşului, intr-una dintre cele trei locaţii preferate de ei pentru ieşiri: Sinaia, Mamaia şi Snagov. Alegerea se va face în funcţie de trei criterii: cheltuielile implicate de ieşire, distanta faţă de casă şi anotimpul în care se află. Pentru fiecare dintre cei doi, valoarea consecinţelor corespunzătoare fiecărei variante pentru cele trei criterii prezintă alta utilitate. Individul A Individul B Crit. Var. 1C 2C 3C 1C 2C 3C

1V 0,83 0,6 0,95 1 0,7 0,65

2V 0,9 1 0,5 0,25 0,8 0,5

3V 0,58 0,14 1 0 0,5 0,6 Coef. de import. 0,3 0,4 0,3 0,3 0,4 0,3

Aplicând metoda ELECTRE tridimensională, ce variantă va fi aleasă? 6. Producătorul de maşini Fiat doreşte să dezvolte producţia. Are în vedere 6 tipuri din maşinile fabricate: Fiat Uno, Fiat Repata, Fiat Tempra, Fiat Croma, Fiat Tipo şi Fiat Duna. Pe baza analizei tehnico-economice, producătorul trebuie să se hotărască pe baza a 4 criterii: cost, calitate, ciclu de fabricaţie, fiabilitate. 1C 2C 3C 4C

1V 1000 Slaba 50 Slabă

2V 800 Buna 55 Satisf.

3V 600 F. buna 60 Bună

4V 700 Buna 54 Satisf.

5V 500 Buna 58 F. bună

6V 600 Satisf. 65 Bună a) Stabiliţi decizia colectiva a celor 6 membrii ai Consiliului de Administraţie, dacă preferinţele individuale ale acestora sunt: 1: 1 2 5 3 6 4V V V V V Vf f f f f 2: 2 3 1 4 5 6V V V V V Vf f f f f 3: 2 4 5 1 3 6V V V V V Vf f f f f 4: 3 2 4 1 6 5V V V V V Vf f f f f 5: 1 3 5 6 2 4V V V V V Vf f f f f 6: 4 2 3 1 6 5V V V V V Vf f f f f b) Ştiind că cei şase decidenţi au următorii coeficienţi de competenţă: 0,2; 0,1; 0,1; 0,3; 0,2; 0,1, sa se găsească decizia colectivă prin metoda permutărilor succesive. c) Presupunând ca cei şase decidenţi au acordat fiecărei variante următorele utilitati: 1 2 3 4 5 6

1V 1 0,6 0,4 0,4 1 0,4

2V 0,8 1 1 0,75 0,2 0,75

3V 0,25 0,7 0,1 1 0,7 0,5

4V 0 0,5 0,8 0,5 0 1

5V 0,6 0,25 0,5 0 0,6 0

6V 0,2 0 0 0,1 0,4 0,3 determinaţi decizia colectiva prin metoda compunerii utilităţilor.

CURSUL 9. Decizii în condiţii de incertitudine . Concepte, criterii, axiome.

1.Tabele de decizie Cele mai multe probleme de decizie pot fi reprezentate sub forma unor tabele de decizie. Presupunem că exista un număr finit de stări posibile ale naturii, pe care în continuare le vom nota θ1, θ2,……,θn si un număr finit de acţiuni / variante : A1, A2, …..,A m. Decidentul poate alege numai o singură acţiune din cele posibile. Vom nota cu xij, consecinţa luării deciziei Ai atunci când θj este starea reală a naturii.

Tabelul 2.1 Forma generala a unei tabele de decizie

Stări ale naturii

θ1 θ1 ……. θn A1 x11 x12 x1n

A2 x21 x22 …… x2n . . . …… . . . . …… .

Acţiuni

Am xm1 xm2 …… xmn Variabilele xij pot lua valori numerice, ca în cazul problemelor de decizie

monetare, sau pot fi şi de natură calitativă. Presupunem că decidentul poate măsura valoarea consecinţelor xij prin

intermediul unei funcţii cu valori reale v(.), astfel că v(xij)>v(xkl) dacă şi numai dacă decidentul preferă consecinţa xij consecinţei xkl. Vom nota în continuare vij = v(xij) iar noua tabela de decizie devine:

Tabelul 2.2 Tabela de decizie, cu valorile asociate Stări ale naturii

θ1 θ2 ……. θn

A1 v11 v12 v1n A2 v21 v22 …… v2n . . . …… . . . . …… .

Acţiuni

Am vm1 vm2 …… vmn

consecinţe

consecinţe

Problemele de decizie au fost clasificate în funcţie de informaţiile avute de decident asupra stărilor naturii. Avem astfel: Decizii în condiţii de certitudine in care decidentul cunoaşte starea reală a naturii, înainte să facă o alegere.

Deoarece vi1 cresc odată cu creşterea valorii fiecărei consecinţe pentru decident, decizia optimala este desigur, aceea de a alege acţiunea cu cea mai mare valoare numerica vi1.Astfel, problemele decizionale în condiţii de certitudine sunt foarte directe, relevând o singură chestiune : cum se măsoară vi1 pentru că acestea să reprezinte corect preferinţele factorului decizional?

Tabelul 2.3 - Decizia în condiţii de certitudine (siguranţă).

Stare Valori

θ1 A1 v11 A2 v21 . . . . Acţiuni Am

vm1 Decizii în condiţii de risc. Deşi decidentul nu cunoaşte cu siguranţă starea reală a naturii, el poate cuantifica incertitudinea printr-o distribuţie de probabilităţi: (P(θ1), P(θ2), ..., P(θn)); dacă vij sunt măsurate printr-o metodă corectă şi dacă decidentul acţionează sub o anumită raţionalitate, el va trebui să

aleagă varianta Ai care să maximizeze suma 1

( )n

j ijj

P vθ=

⋅∑ . Această sumă

reprezintă utilitatea aşteptată a lui Ai . Vom folosi deci, în discuţia problemelor în condiţii de risc uij în loc de vij. Decizii în condiţii de incertitudine ,sau strictă nesiguranţă- situaţiea în care decidentul nu poate spune nimic sigur despre starea reală a naturii

2. Criterii de decizie în condiţii de incertitudine C1. Criteriul maximin (Criteriul lui Wald) Pentru acţiunea Ai notăm cea mai puţin bună consecinţă ce poate avea loc pentru decident astfel:

min{ }i i ijjA s v→ =

care se numeşte nivel de siguranţă al decidentului pentru varianta Ai. Cu alte cuvinte, acesta reprezintă câştigul minim garantat decidentului dacă ar alege varianta Ai. Un decident prudent va alege în final varianta Ak căreia ii corespunde cea mai mare valoare din mulţimea valorilor de siguranţă:

{ } max max min{ } .k k i ijji iA s s v→ = =

cons

ecinţe

Din punct de vedere psihologic, criteriul lui Wald este un criteriu prudent, pesimist

C2. Criteriul optimist al lui Hurwicz (Criteriul maximax)

Intr-o manieră asemănătoare cu varianta pesimistă a lui Wald, se poate dezvolta un criteriu optimist, considerând cel mai bun rezultat în cadrul fiecărei variante decizionale. Vom defini nivelul optimist oi, al fiecărei variante astfel:

o maxi i ijjA v→ = .

Astfel, oi reprezintă valoarea celei mai bune consecinţe în cadrul variantei de decizie Ai. Mai departe, se recomandă alegerea variantei Ak corespunzătoare rezultatului ok, cel mai bun dintre nivelurile optimiste.

{ }k o max max max{ } .k i iji i jA o v→ = =

Acest criteriu, deşi oferă alegerea unei variante de maxim, preferate, este rar utilizat în practică de către decidenţi. Hurwicz a propus un criteriu de compromis între cele două prezentate până acum. Conform criteriului mixt pesimist – optimist un decident trebuie să-şi stabilească decizia între un nivel prudent şi unul optimist, combinând aceste mărimi. Pentru fiecare variantă în parte se va determina o combinaţie convexă (1 )i is oα α+ − , cu [ ]0,1α ∈ . α reprezintă indexul de pesimism – optimism al decidentului , este o valoare specifică fiecărui individ în parte şi este aplicabil oricărei probleme de decizie cu care se confruntă. Hurwicz a propus următoarea regulă de decizie:

{ } max (1 ) (1 )k i i k kiA s o s oα α α α→ + − = + −

Aplicarea unei astfel de reguli necesită pentru fiecare decident, cunoaşterea indexului α .

O posibilitate de estimare a acestui coeficient, dată de Raiffa este următoarea:se oferă decidentului posibilitatea de a alege între două variante A1 şi A2 care, în două stări ale naturii θ1 şi θ2, conduc la următoarele consecinţe monetare:

θ1 θ2 si oi αsi+(1-α)oi A1 1 0 0 1 1-α A2 v v v v v

cu [ ]0,1v∈ .

Decidentul este întrebat care este suma *v de bani care ar trebui să apară în matricea consecinţelor astfel încât el să fie indiferent la alegerea între A1 şi A2. La această sumă, cele două variante sunt echivalente, deci:

* *1 1v vα α− = ⇒ = − , şi [ ]0,1v∈ .

C3. Criteriul pierderilor de oportunitate minimax (Criteriul lui Savage)

Savage a arătat necesitatea de a compara valorile consecinţelor

acţiunilor sub o aceeaşi stare a naturii. Asemănător costului de oportunitate, Savage a introdus conceptul de regret monetar sau pierdere de oportunitate a valorii asociate unei consecinţe, notat cu rij.

{ }maxij ij ijir v v= −

Criteriul lui SAVAGE presupune următoarele etape: - se construieşte matricea regretelor monetare:

1,1,

se transformã în i mij ijj n

V r ==

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

- pentru fiecare alternativă Ai se determină un index ρi care reprezintă cea mai mare pierdere de oportunitate:

{ }i max .i ijjA rρ→ =

- alegerea Ak reprezintă pierderea minimă dintre cele mai mari pierderi de oportunitate.

{ }k i min min maxk iji i jA rρ ρ→ = =

C.4 Criteriul raţiunii insuficiente( Criteriul lui Laplace)

Laplace a relevat că a nu şti nimic despre starea reală a naturii este echivalent cu a considera că toate stările sunt echiprobabile. El a propus ca varianta aleasă să fie cea căreia ii corespunde valoarea medie maximă:

1 1

1 1 maxn n

k kj ijij jA v v

n n= =

⎧ ⎫→ ⋅ = ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑

Cele patru criterii prezentate sunt distincte, ele sugerând comportamente diferite ale decidenţilor în raport cu o problemă decizională. Rezultatele furnizate de aceste criterii coincid numai întâmplător.

Considerăm în continuare următorul exemplu ( dat de Milnor ).

Tabelul 2.4 - Exemplul lui Milnor Stări ale naturii Wald Hurwicz Hurvicz* Laplace Savage

Acţiuni θ1 θ2 θ3 θ4 si oi

1

1n

ijj

vn=

⋅∑ k

Sρ

A1 2 2 0 1 0 2 2(1 )α− 5/4 2 A2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 A3 0 4 0 0 0 4 4(1 )α− 1 2

A4 1 3 0 0 0 3 3(1 )α− 1 1

În mod evident, criteriul lui Wald ar duce la varianta A2 iar Hurwicz la A3. Criteriul

pesimist – optimist are două soluţii posibile. Pentru 3 , 4(1 ) 1,4

α α< − > deci

varianta aleasă este A3, iar pentru 34

α > se va alege varianta A2. cu ajutorul

tabelei regretelor (tabelul 2.5), observăm că soluţia oferită de Savage este varianta A4.

Tabelul 2.5 Tabela regretelor în exemplul lui Milnor

θ1 θ2 θ3 θ4 ρk A1 0 2 1 0 2 A2 1 3 0 0 3 A3 2 0 1 1 2 A4 1 1 1 1 1

Fiecare regulă de decizie clasifică acţiunile de la cea mai bună pană la cea mai puţin bună, fără a putea spune însă, dacă o acţiune este bună sau nu pentru decident. ALTE REGULI DE DECIZIE Criteriul medie – variaţie

Fiecare variantă este evaluată prin valoarea medie:

Ai ∑=

=n

jiji V

nAM

1

1)( (media)

şi variaţie: ijnjijnj

i VVAD≤≤≤≤

−=11infsup)( care reprezintă ecartul maxim al valorilor pentru

fiecare variantă.

Regula 1. Aαf Aβ dacă

)()( βα VMVM ≥ şi D(Vα)<D(Vβ)

SAU

)()( βα VMVM > şi )()( βα VDVD ≤

Soluţia optimă corespunde variantei (acţiunii) cu cea mai mare medie şi variaţie

minimă

⎪⎩

⎪⎨⎧

)( min

)( max

ii

ii

AD

AM

Regula 2.

βα AA f dacă

)()(

)()(

β

β

α

α

VDVM

VDVM

> iar soluţia optimă corespunde raportului )()(

maxi

i

i ADAM

Regula 3. βα AA f dacă

θβα

βα >−−

)()()()(

ADADAMAM

(prag ales de decident), sau soluţia optimă e dată de:

)}(*)({max iiiADAM θ−

3. Axiomele de consistenţă ale regulilor decizionale Pentru ca o regulă de decizie să fie consistentă in incertitudine, ea trebuie

să respecte următorul sistem axiomatic (Luce si Raiffa) : Axioma 1: Criteriul decizional trebuie sa ofere o clasificare completă

a tuturor acţiunilor. Cu alte cuvinte, regula de decizie trebuie ca, implicit sau explicit, să

ataşeze un index numeric fiecărei acţiuni, care să permită sortarea acestora crescător sau descrescător. În general vom considera că o regulă ataşează alternativei Ai indexul Vi şi că varianta cu cel mai mare index va fi preferată celorlalte.

i ViA → Observaţie: cele patru reguli de decizie ,{ }, , ,W H S L satisfac această regulă:

Criteriul maximin al lui Wald: i iV s=

Criteriul pesimist – optimist al lui Hurwicz: (1 )i i iV s oα α= + −

Criteriul minimax al lui Savage: i iV ρ= −

Criteriul raţiunii insuficiente al lui Laplace: 1

1n

i ijj

V vn=

= ⋅∑

Axioma 2: Independenţa alegerii de etichetarea problemei

Această axiomă exprimă cerinţa naturală ca alegerea decidentului să nu fie influenţată de ordinea în care sunt listate alternativele şi stările naturii. Considerăm matricea decizională de dimensiuni mxn, descrisă de

acţiunile, stările şi consecinţele: 1,1,

, i mi j ijj n

A vθ ==

⎧ ⎫⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭.

Fie o a doua matrice decizională ' ' '1,1,

, i mi j ijj n

A vθ ==

⎧ ⎫⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭. Elementele acestei

matrice sunt obţinute din prima prin permutarea atât a liniilor cât şi a coloanelor. Rândul i devine π(i) iar coloana j devine τ(j).

'( ), ( ) ,i j i jv vπ τ =

Regula decizională va trebui să asocieze acţiunilor din cele două tabele decizionale valorile V respectiv V’ astfel încât oricare ar fi , [1, ]i k m∈ atunci

' '( ) ( ) i k i kV V V Vπ π> ⇔ > .

Axioma 3: Independenţa alegerii de scala valorilor Fie o tabelă de decizie de dimensiuni m x n cu stările θj, acţiunile Ai şi

valorile vij date . Fie o a doua tabelă de dimensiuni m x n cu aceleaşi stări θj şi acţiuni Ai

dar cu valorile v’ij diferite, construită din prima tabelă prin schimbarea scalei de măsurare a valorilor.

v’ij = αvij + β, pentru α > 0 şi α, β ∈ fixate. Atunci o regulă decizională ar trebui să asocieze valorile V şi respectiv V’

acţiunilor din cele două tabele astfel încât oricare ar fi , [1, ]i k m∈ , ' ' i k i kV V V V> ⇔ >

OBSERVATIE.Dacă o acţiune duce la o consecinţă strict mai bună decât

alta, oricare ar fi starea naturii, atunci prima acţiune trebuie preferată celei de-a doua. Să considerăm acum exemplul din tabelul de mai jos:

θ1 θ2 θ3 θ4 θ5

A1 8 9 4 7 2 A2 3 1 3 6 -9

Este evident, în acest caz, că A1 este preferat lui A2, deoarece orice s-ar întâmpla, ea duce la o consecinţă mai bună. Vom spune că A1 domină puternic pe A2 şi că se impune următorul principiu, al “dominării nete”.

Axioma 4: Axioma dominării nete. Daca Ai şi Ak sunt două variante astfel încât ij kjv v> oricare ar fi

{ }1, 2...,j n∈ atunci regula de decizie va trebui să asocieze celor două alternative valorile Vi şi Vk astfel încât Vi > Vk. O astfel de axiomă este utilă deoarece ea permite eliminarea dintr-o matrice a tuturor variantelor dominate, fără a fi afectată decizia optima.

Axioma 5: Axioma independenţei alegerii în raport cu alternativele

irelevante. Fie o tabelă de decizie de dimensiuni m x n cu: stările θj, acţiunile Ai şi

valorile vij date .Fie o a doua tabelă construită din prima tabelă prin simpla adăugare a unei noi acţiuni. Astfel a doua tabelă are (m+1) linii, n coloane şi v’ij = vij,

[1, ], [1, ]i m j n∀ ∈ ∈ .v’(m+1),j poate lua orice valoare numerică ( ) [1, ]j n∀ ∈ . Atunci regula decizională va trebui să ducă la aceeaşi clasificare a primelor m acţiuni în ambele tabele, indiferent de varianta Am+1 luată în considerare. OBSERVATIE. Să considerăm următoarele două tabele decizionale:

θ1 θ2 A1 6 4 A2 3 8

θ1 θ2 A1 16 4 A2 13 8

Diferenţa între cele două tabele o reprezintă doar constanta 10 care a

fost adăugată la ambele elemente din prima coloană în trecerea de la prima tabelă la a doua. Ne aşteptăm ca o regulă decizională să determine aceeaşi acţiune optimă pentru ambele tabele.

Axioma 6: Axioma independenţei adăugării unei constante intr-o

coloană a matricei decizionale. Fie o tabelă de decizie de dimensiuni m x n cu stările θj, acţiunile Ai şi

valorile vij date . Fie o a doua tabelă de dimensiuni m x n cu aceleaşi stări θj şi acţiuni Ai

dar cu valorile v’ij diferite, construită din prima tabelă prin adăugarea unei constante c la fiecare element din coloana l:

'il ilv v c= + ' , ,1ij ijv v j l j m= ∀ ≠ ≤ ≤

1 i m≤ ≤

Atunci o regulă decizională ar trebui să asocieze valorile V respectiv V’

acţiunilor din cele două tabele astfel încât [1, ], [1, ]i m j n∀ ∈ ∈ ' i k i kV V V V> ⇔ >

Următoarele două axiome încearcă să explice exact ce înţelegem prin

circumstanţe de strictă nesiguranţă. OBSERVATIE. Dacă factorul decizional nu ştie absolut nimic despre

starea reală atunci este normal să presupunem că va fi indiferent între cele două acţiuni din tabela de mai jos.

θ1 θ2 θ3

A1 6 0 3 A2 0 6 3

Setul de consecinţe posibile al lui A1 este identic în termenii valorii cu cel al lui A2, acţiunile având acelaşi nivel de nesiguranţă. Singura caracteristică ce le diferenţiază este faptul că acţiunile au consecinţe egale ca valoare, sub stări diferite ale naturii. Atunci, este posibil ca decidentul să aibă o preferinţă raţională asupra unei acţiuni, dacă nu poate spune absolut nimic despre starea reală?

Axioma 7: Independenţa alegerii în raport cu permutarea elementelor de pe liniile matricei decizionale Presupunem că într-o tabelă m x n există două acţiuni Ai şi Ak, şi o permutare τ a stărilor {1, 2, ..., n} astfel încât,

vij =viτ(j)

Atunci o regulă decizională ar trebui să asocieze valorile V acţiunilor astfel încât

Vi =Vk. OBSERVATIE. Sa considerăm următoarele două probleme decizionale:

Tabelul 2.6 – Ilustrarea Axiomei 8

(a)

(b)

θ1 θ2

A1 9 4 A2 2 6

θ'1 θ'2 θ'3 θ'4 θ'5

A1 9 4 4 4 4 A2 2 6 6 6 6

Având în vedere că starea reală este incertă, există vreo diferenţă între aceste probleme? Dacă stările θ’2, θ’3, θ’4 şi θ’5 sunt reunite şi identificate cu o singură stare θ’’2, atunci Tabela 2.6(b) devine identică cu Tabela 2.6(a); iar o situaţie de strictă nesiguranţă nu va lua în considerare nici un argument care ar sugerea că θ2 din tabela 2.6(a) este diferit în vreun fel de θ’’2 din tabela rezultată. Intr-adevăr, θ’’2 este o stare mai probabilă decât oricare dintre stările care o compun, θ’2, θ’3, θ’4 sau θ’5; dar asta nu spune nimic despre posibilităţile relative de apariţie ale stărilor θ’’2 şi θ’1. Astfel, acţiunea preferată din Tabela 2.6(a) ar trebui să coincidă cu acţiunea preferată de decident din tabela 2.6(b). Se adopta deci, următoarea axiomă:

Axioma 8: Independenţa alegerii în raport cu duplicarea coloanelor

matricei decizionale Fie o tabelă de decizie de dimensiuni mxn cu stările θj, acţiunile Ai şi

valorile vij date . Fie o a doua tabelă de dimensiuni m x (n+1) cu stările θ’j, acţiunile Ai şi

valorile v’ij construită din prima tabelă prin duplicarea coloanei n.

'il ilv v= , pentru 1 j n≤ ≤ '( 1)i n inv v+ =

1 i m≤ ≤

Atunci o regulă decizională ar trebui să asocieze valorile V respectiv V’

acţiunilor din cele două tabele astfel încât [1, ], [1, ]i m j n∀ ∈ ∈

Vi >Vk dacă şi numai dacă V’i > V’k Combinarea acestei axiome cu axioma “independenţei la etichetare”

(Axioma 2) înseamnă că se aplică şi situaţiilor în care orice coloană este duplicată.

4. Analiza criteriilor versus axiome Am stabilit opt principii de consistenţă a alegerii ca axiome. Prima

întrebare evidentă este care din criteriile lui Wald, Hurwicz, Savage sau Laplace satisface aceste axiome. Răspunsul, dat de teorema de mai jos, este că nici unul nu o face.

Teorema 1(Milnor): Criteriile decizionale ale lui Wald, Hurwicz, Savage şi

Laplace sunt compatibile cu Axiomele 1 –8 după cum se indică în tabelul 2.7:

Wald Hurwicz Savage Laplace

Axioma 1 √ √ √ √ Clasificarea completă

Axioma 2 √ √ √ √ Independenţa etichetării

Axioma 3 √ √ √ √ Independenţa scalei valorilor

Axioma 4 √ √ √ √ Dominarea netă

Axioma 5 √ √ x √ Independenţa alternativelor irelevante

Axioma 6 x x √ √ Independenţa adăugării unei constante într-o coloană

Axioma 7 √ √ x √ Independenţa permutării liniilor

Axioma 8 √ √ √ x Independenţa duplicării coloanelor

Tabelul 2.7 Compatibilitatea criteriilor şi axiomelor. √ indica faptul că axioma este satisfăcută; x indică faptul că nu este satisfăcută .

Demonstraţie.VEZI DEM. IN CARTE-SUBIECT DE

EXAMEN. Vom demonstra că majoritatea notaţiilor √ sunt corecte şi vom da contra-

exemple pentru a justifica toate marcările cu x. Axioma 1 este evident satisfăcută de toate criteriile, din moment ce fiecare

asociază un index numeric fiecărei acţiuni şi ordinea acestor indecşi ne dă o clasificare completă.

Pentru a arăta că criteriul minimax al lui Wald satisface Axioma 2, observăm în primul rând, că minimul valorilor dintr-un şir de numere este independent de ordinea lor. Astfel dacă vom permuta ordinea stărilor nu vom afecta nivelul de siguranţă al nici uneia din acţiuni. Prin permutarea liniilor se vor permuta în mod corespunzător nivelurile de siguranţă.

Pentru a arăta că criteriul Laplace satisface Axioma 3, procedăm astfel: Fie v’ij = αvij + β, cu α >0. Atunci, vom presupune ca:

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

' ' ' '

1 1

1 1 ;

1 1 , din moment ce 0;

1 1 ;

1 1

n n

i ij kj kj j

n n

ij kjj j

n n

ij kjj j

n n

i ij kj kj j

V v v Vn n

v vn n

v vn n

V v v Vn n

α β α β α

α β α β

= =

= =

= =

= =

= ⋅ > ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ⋅ + > ⋅ + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ ⋅ + > ⋅ +

⇔ = ⋅ > ⋅ =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Pentru a demonstra ca Axioma 4- dominarea neta- este satisfăcută de Criteriul maximin al lui Wald, procedăm după cum urmează:

Presupunem că: vij> vkj, pentru toate stările θj. (2.1)

Atunci:

{ } { }0 0

(2.1)min mini i ij ij kj kj k kj j

V s v v v v s V= = = > ≥ = = .

Să arătăm că indexul optimism-pesimism al lui Hurwicz satisface Axioma 5: pentru orice acţiune Ai max din { } { },(1 ) min (1 ) maxi i i j ijj j

s o v vα α α α+ − = + − , este

independent de o altă acţiune. Astfel, adăugarea de acţiuni tabelei de decizie nu poate afecta clasificarea acţiunilor A1, A2 ,…, Am. Pentru a arăta că Axioma 6 este respectată de criteriul de rezultat mediu al lui Laplace:

' , pentru un anumit il ilv v c l= +' , ,1ij ijv v j l j m= ∀ ≠ ≤ ≤

1 i m≤ ≤

Atunci:

1 1

1 1

' ' ' '

1 1

1 1 ;

1 1

1 1 .

n n

i ij kj kj j

n n

ij kjj j

n n

i ij kj kj j

V v v Vn n

c cv vn n n n

V v v Vn n

= =

= =

= =

= ⋅ > ⋅ =

⇔ + ⋅ > + ⋅

⇔ = ⋅ > ⋅ =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Pentru a demonstra că criteriul de regret minimax a lui Savage satisface

Axioma 8, presupunem că duplicăm coloana n. Obţinem:

( ) { } ( )

{ }

' ' 'k,(n+1)i n+1 i n+1k

k,n i,n i,nk

r = max v - v , pentru 1 i m

= min v - v = r

≤ ≤

Deoarece r’ij = rij pentru 1≤ i ≤m şi 1≤ j ≤n, ρ’i = ρi pentru toate acţiunile Ai. Astfel clasificarea acţiunilor rămâne neschimbată. Pentru a demonstra că regula maximin a lui Savage nu respectă Axioma 5, dăm următorul contraexemplu. Să considerăm tabela de decizie 2.8, înainte şi după adăugarea acţiunii A3:

Tabelul 2.8 Contraexemplul pentru a demonstra că regula lui Savage, nu respectă Axiomele 5 şi 7

θ1 θ2 θ3

A1 6 0 3 A2 0 3 6

A3 2 9 4

Este uşor de verificat, înainte de adăugarea lui A3 că ρ1 = 3 < 6 = ρ2 dar, dar după adăugarea lui A3, ρ1 = 9 > 6 = ρ2.

Contraexemplul pentru a arăta că rezultatul maximin al lui Wald şi indexul optimism-pesimism al lui Hurwicz nu satisfac Axioma 6. Considerăm drept exemplu Tabelul 2.9 (a) şi (b) folosit pentru argumentarea Axiomei în secţiunea precedentă.

Tabelul 2.9 Contraexemplu pentru a arata ca regulile lui Wald şi

Hurwicz nu satisfac Axioma 6 (a)

θ1 θ2 si oi

1 34 4i is o⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠A1 6 4 4 6 22/4 A2 3 8 3 8 27/4

(b)

θ1 θ2 si oi

1 34 4i is o⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠A1 16 4 4 16 52/4 A2 13 8 8 13 47/4

Evident clasificările date de cele două criterii diferă în cele două tabele.

Am ales să folosim α = ¼ , suficient pentru a furniza un contraexemplu dar se

poate verifica pentru orice altă valoare în intervalele 0 ≤ α ≤ 3/7 şi 2/3 ≤ α ≤ 1 că ordinea variantelor se inversează între cele două tabele.

Contraexemplul pentru a arăta că regretul maximin a lui Savage nu satisface Axioma 2.4.7: observăm, în tabelul 2.8 că variantele A1 şi A2 au consecinţe identice; linia 2 este o permutare a liniei 1. Totuşi A1 şi A2 nu sunt clasificate în mod egal nici înainte nici după adăugarea lui A3.

Contraexemplu pentru a arăta că regula de rezultat mediu a lui Laplace nu satisface Axioma 2.4.8: comparăm clasificarea lui A1 şi A2 în tabelele 2.6.(a) şi 2.6.(b). În termeni stricţi acesta nu este un contraexemplu la Axioma 2.4.8.

Aşadar, cele patru criterii nu satisfac simultan toate axiomele. Într-adevăr, putem arăta mai mult decât atât: şi anume, nici un criteriu nu poate satisface toate axiomele. Pentru a demonstra aceasta vom arăta că orice criteriu care satisface Axiomele 2.4.1 – 2.4.7. este ,de fapt, criteriul de rezultat mediu al lui Laplace şi din moment ce acest criteriu nu satisface axioma 2.4.8. rezultă că nici un criteriu decizional nu poate satisface toate cele opt axiome.

Teorema 2. Presupunem că un criteriu de decizie satisface Axiomele 1, 4, 5, 6 şi 7. Atunci criteriul asociază un index numeric Vi fiecărei acţiuni Ai, astfel încât:

1 1

1 1n n

i k ij kjj j

V V v vn n= =

≥ ⇔ ≥∑ ∑

Cu alte cuvinte,

1. Clasificarea completă 4. Dominarea puternică 5. Independenţa alternativelor irelevante 6. Independenţa adăugării unei constante într-o coloană 7. Independenţa permutării liniilor

⇒criteriul lui Laplace

Demonstraţie. În primul rând se observă că Axioma 1. este folosită odată cu

presupunerea că, regula decizională asociază un index numeric Vi fiecărei acţiuni Ai. În al doilea rând putem presupune că vij ≥0 pentru orice i,j deoarece având dată orice tabelă de decizie o putem transforma într-o tabelă echivalentă cu intrări nenegative doar prin extragerea minimului de pe fiecare coloană (Axioma 6.).

Demonstraţia continuă prin luarea unei tabele de decizie şi transformarea ei printr-o secvenţă de tabele echivalente până când se obţine o tabelă în care alegerea între două acţiuni este evidentă.Construcţia este ilustrată în tabelul 2.10.

Considerăm mai întâi în tabela de decizie două acţiuni Ai şi Ak astfel încât

∑∑==

=n

jkj

n

jij v

nv

n 11

11 (2.2)

Vom arăta că aceasta implică Vi =Vk.

Este indicat să introducem o nouă notaţie, astfel Ai şi Ak devin A0i şi A0

k .În mod corespunzător vom redenumi şi vij respectiv vkj.

Tabelul 2.10 . Secvenţa de construcţie în care două acţiuni cu rezultat mediu egal sunt transformate în două acţiuni echivalente cu liniile în întregime 0.

θ1 θ2 θ3 Observaţii

a0i 8 6 10

a0k 12 3 9 (8+6+10)/3 =8=(12+3+9)/3

a1i 6 8 10

a1k 3 9 12

Pasul 1: permutăm rândurile în ordine crescătoare

a2i 3 0 0

a2k 0 1 2

Pasul2: extragem min { v1ij ,v1

kj } din coloana j

a3i 0 0 3

a3I 0 1 2

Pasul 1: permutăm rândurile în ordine crescătoare

a4i 0 0 1

a4k 0 1 0

Pasul 2: extragem min { v3ij ,v3

kj } din coloana j

a5i 0 0 1

a5k 0 0 1

Pasul 1: permutăm rândurile în ordine crescătoare

a6i 0 0 0

a6k 0 0 0

Pasul 2: extragem min { v5ij ,v5

kj } din coloana j

Fie l=1. Pasul 1. Adăugăm la tabelă o acţiune Al

i construită prin permutarea { 1lijV − }

în ordine crescătoare. Similar adăugăm o acţiune Alk construită prin permutarea

lui { 1lkjV − } în ordine crescătoare. Conform axiomei 2.4.5. adăugarea acestor

acţiuni nu afectează ordinea lui 1liV − şi 1l

kV − Conform Axiomei 7, ( 1)l li iV V −= şi

( 1)l lk kV V −= . Astfel:

( 1) ( 1)l l l li k i kV V V V− −= ⇔ = (2.3.)

Pasul 2 Construim o nouă tabelă de decizie după cum urmează .Pentru j=1,2....,n extragem minimul între { l

ijv , lkjv } din coloana j rezultând acţiunile 1l

iA + şi 1l

kA + . Conform Axiomei 6: ( 1) ( 1)l l l l

i k i kV V V V+ += ⇔ = (2.4.)

Fie l=l+2 Se repetă paşii 1 şi 2 până se obţine o linie de zerouri. Din moment ce

(2.2) era adevărată iniţial şi din moment ce acelaşi total a fost extras de pe fiecare linie, rezultă că cele două linii vor conţine simultan numai zerouri. Fie Av

i şi Av

k cele două acţiuni cu liniile formate numai din zerouri, atunci conform Axiomei 7, v v

i kV V= . Astfel, efectuând (2.3) şi (2.4) la fiecare pas rezultă:

( 1) ( 1)

( 2) ( 2)

0

v v v vi k i k

v vi k

oi k

V V V V

V V

V V

− −

− −

= ⇔ =

⇒ =

⇒ =

M

De remarcat că cel puţin un zero este creat în pasul 2 şi datorită reordonării în pasul 1, un zero odată creat nu se mai pierde. Astfel numărul de paşi necesar pentru a crea 2 linii de zerouri este finit, iar deducţia noastră de mai sus este validă.

Apoi considerăm două acţiuni astfel încât :

∑∑==

>n

jkj

n

jij v

nv

n 11

11

Adăugăm o acţiune Al la tabelă, unde

( )kjijn

jijlj vv

nvv −−= ∑

=1

1 pentru j= 1,2 …

Exemplul numeric este prezentat în Tabelul 2.11.

Tabelul 2.11 Exemplificarea demonstraţiei teoremei 2.2. când acţiunile au rezultate medii diferite

θ1 θ2 θ3 rezultat mediu Ai 13 4 10 9 Ak 8 6 10 8

Al 12 3 9 8

Evident rezultă că : ∑∑==

=n

jkj

n

jij v

nv

n 11

11

Aşadar, conform celor de mai sus Vl = Vk dar potrivit Axiomei 4 Vl > Vk; şi în plus, conform Axiomei 5 introducerea lui Al nu poate afecta clasificarea lui Ai şi Ak, avem deci Vi > Vk.

Avem astfel:

1 1

1 1

1 1

1 1 ;

1 1 ;

1 1 .

n n

ij kj i kj j

n n

ij kj i kj j

n n

ij kj i kj j

v v V Vn n

v v V Vn n

v v V Vn n

= =

= =

= =

> ⇔ >

= ⇔ =

< ⇔ <

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

.

5. Probleme propuse 1. Considerăm tabela de decizie :

θ1 θ2 θ3 θ4

A1 0 10 5 5 A2 9 0 1 0 A3 3 1 1 10 A4 5 2 0 5

Decidentul preferă acţiunea A4 tuturor celorlalte acţiuni. Alegerea sa este compatibilă cu: (i) Rezultatul maximin al lui Wald (ii) Indexul optimism – pesimist al lui Hurwicz (iii) Regretul minimax al lui Savage, sau (iv) Principiul raţiunii insuficiente al lui Laplace ? Considerăm tabela de decizie :

θ1 θ2 θ3 θ4

A1 x 3 4 6 A2 2 2 2 4 A3 3 2 1 9 A4 6 6 1 3

x este număr real . Aflaţi ce decizie va fi luată , în funcţie de x, atunci când se aplică:

a) Criteriul lui Wald b) Criteriul lui Hurwicz (pentru α=1/2) c) Criteriul lui Laplace d) Criteriul lui Savage

Găsiţi intervalul de variaţie a lui x pentru care toate cele patru criterii duc la aceeaşi alegere. 3. Presupunem că printr-un miracol al călătoriei în timp, Laplace şi Savage se întâlnesc pentru a discuta problema de alegere în condiţii de incertitudine. Fiecare îl convinge pe celălalt de argumentele sale, şi de comun acord propun întrebuinţarea regretului mediu drept criteriu:

alege Ak astfel încât ∑ ∑= == ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=n

j

n

jij

m

ikj r

nr

n1 11

1min1

Arătaţi că acesta nu va duce la nici o schimbare în luarea deciziei în sens Laplace, adică o acţiune care maximizează rezultatul mediu şi minimizează regretul mediu şi invers. Daţi totuşi un exemplu în care să arătaţi că prin luarea deciziei de tip Savage apar schimbări, adică o acţiune care minimizează regretul mediu nu poate minimiza regretul maxim. 4. Un decident nu este impresionat de criteriile propuse de Wald, Hurwicz, Savage şi Laplace şi sugerează “criteriul sumă de indexuri”. Înlocuieşte fiecare vij cu πij, unde πij este indexul lui vij în { v1j , v2j , …, vmj} adică

πij = 1 dacă vij este cea mai mare valoare în coloana j = 2 dacă vij este cea de-a doua valoare în coloana j . . = m dacă vij este cea mai mică valoare în coloana j

Ignoraţi problema în caz de egalitate. După aceasta, el afirmă că Ak ar trebui considerat mai bun ca Al dacă şi

numai dacă:

∑∑==

≤n

jlj

n

jkj

11ππ

Arătaţi că acest criteriu nu satisface Axiomele 2.4.5 şi 2.4.8 .

5. Euclid, un întreprinzător din Atena, este nerăbdător să înceapă o nouă afacere. Are trei posibilităţi şi succesul fiecărei acţiuni va depinde de gusturile consumatorilor din Atena. Analizând problema sa decizională, Euclid a clasificat condiţiile de piaţă în trei stări posibile şi a preconizat profitul pentru fiecare dintre cele trei întreprinderi după cum urmează:

Stări viitoare ale pieţei

θ1 θ2 θ3 A1 0 10 5 A2 9 0 1

Acţiu

nile

A3 3 1 1

Pentru determina starea viitoare a pieţei, Euclid poate consulta contra cost

Oracolul din Delphi, care îi va spune cu siguranţă ce stări vor urma. Calculaţi suma maximă pe care el este gata să o plătească oracolului pentru aceste informaţii sub fiecare dintre criteriile :

(a) Rezultatul maximin al lui Wald (b) Indexul optimism – pesimist al lui Hurwicz cu α=2/3 (c) Regretul minimax al lui Savage, sau (d) Principiul raţiunii insuficiente a lui Laplace ?

Indicaţie: Introduceţi o a patra acţiune în tabel care să reprezinte ce ar face unchiul Euclid dacă ar şti starea reală. 6. Lui Savage i se oferă ocazia să cumpere la un preţ c cunoştinţele despre starea reală. Arătaţi că, indiferent de tabela de decizie, opţiunea cumpărării informaţiei şi apoi alegerea celor mai bune acţiuni conform ei are regret constant, egal cu c. 7. Considerăm luarea deciziilor cu risc în care probabilităţile ( )jP θ , j= 1,2, …, n, sunt asociate stărilor. Considerăm regula de utilitate care alege Ak, pentru a maximiza

( )∑= kjjk vPV θ

Arătaţi că această regulă satisface Axiomele 2.4.1 şi 2.4.6.

8. De ce tabelele 2.6 (a) şi (b) nu oferă un exemplu care să arate, că regula rezultatului mediu al lui Laplace nu satisface neapărat Axioma 2.4.8? Daţi un contraexemplu la obiect. 9. Consideraţi următoarea axiomă cu dominare slabă. Presupunem că într-o tabelă de decizie există două acţiuni Ai şi Ak astfel încât vij ≥ vkj pentru toate stările θj cu inegalitate strictă ce durează cel puţin o stare. Atunci o regulă decizională ar trebui să asocieze o valoare V pentru acţiune astfel încât

Vi > Vk Credeţi că este o proprietate rezonabilă pe care să o cerem unei reguli de

decizie? Motivaţi. Care din criteriile Wald, Hurwicz, Laplace şi Savage o are?

CURSUL 10. RISC ŞI MODALITĂŢI DE MĂSURARE A RISCULUI

1. Introducere Riscul-categorie a gindirii si actiunii umane , atribut inerent al unei activitati in care decidentul se confrunta cu ceva neprevazut sau se angajeaza intr-o situatie nesigura, periculoasa, care il poate afecta sub diverse aspecte. TIPURI de RISC: -mod de calcul-

Risc matematic-expresie cantitativa a pierderilor asteptate

-participarea factorului uman-

Risc rational-se bazeaza pe un set de rationamente logice, pe perceperea intuitiva a

realitatii, pe relevarea unor nedeterminari ale mediului decizional

Risc asumat-specific celor investiti cu atributii in procesul decizional

-in functie de situatia de fapt-

Risc probabilistic-caracterizeaza situatii intimplatoare cu probabilitati apriorice

date/cunoscute

Risc de situatie- caracterizat de nedeterminarea unei situatii, de imposibilitatea

prognozarii ei

Risc operativ- specific unor situatii conflictuale sau concurentiale , care depind de

comportamentul sau reactia partenerului/competitorului.

Situatia de risc este aceea care ofera mai multe variante/strategii de

actiune, cele cu rezultate favorabile avind in general sanse mai mici de

producere, in detrimentul celor cu pierderi semnificative.Deciziile in conditii de

risc se adopta pe baza unor ipoteze privind rezultatele potentiale ale tuturor

variantelor, in functie de preferintele decidentului fata de aceste rezultate si in

functie de atitudinea sa fata de alegerile riscante.

RISCUL mai poate fi evidentiat sub doua aspecte:

-Risc pur-exista sanse ca decidentul sa inregistreze o pierdere in urma producerii unui

eveniment, fara sa existe sansa unui cistig atunci cind evenimentul nu are loc(ex.risc

de incendiu, risc de accident etc.);decidentul poate sa-l preintimpine prin polite de

asigurare s.a.

-Risc speculativ-atunci cind exista sanse atit de pierdere cit si de cistig ( ex. decizia de

investitie financiara);decidentul poate dezvolta strategii de cistig sau de diminuare a

pierderilor.

Există trei motive foarte importante care justifică necesitatea unei

metode de comparare directă a alternativelor în funcţie de riscul asociat acestora.

În primul rând, înţelegerea modului de a privi riscul poate să ne ajute la a

înţelege preferinţa. Luând riscul şi valoarea ca valori de start, un decident îşi poate

explica preferinţa printr-un model de tip risc-valoare. Cel mai cunoscut exemplu în

acest sens este teoria modernă de selecţie a portofoliilor. În acest context, problema

decizională este văzută ca o alegere între diverse combinaţii de tip risc-profit şi

formulată, fie ca o problemă de maximizare a profitului în condiţiile unui anumit nivel

de risc, fie ca o problemă de minimizare a riscului pentru un anumit nivel al profitului

dorit.

În al doilea rând, există din ce în ce mai multe dovezi că, în condiţii de

incertitudine, oamenii îşi bazează deciziile pe aspecte calitative ale alternativelor

existente, cum ar fi şi riscul asociat acestora.

Al treilea motiv este faptul că o măsură a riscului perceput este necesară şi

în afara procesului decizional, de exemplu pentru diverse demersuri care premerg

deciziei.

Folosind notaţiile cunoscute pentru exprimarea ordinii stabilite între

riscurile asociate diverselor variante, sunt căutate acele funcţii R care reprezintă

numeric relaţiile de preferinta, R fiind descrescatoare.

Fiecare astfel de funcţie R va fi numită funcţie de măsură a riscului sau măsură a

riscului.

Măsurile riscului pot fi împărţite în două mari categorii :

1) riscul ca mărime a deviaţiei de la o ţintă (risc de primul tip)

2) riscul sub forma capitalului necesar, respectiv a premiului necesar (risc de al

doilea tip).

Există însă două aspecte principale care determina riscul perceput :

cantitatea de pierdere potenţială şi probabilitatea de apariţie a pierderii.

Riscul asociat unei alternative creşte dacă probabilitatea de apariţie a pierderii creşte

sau dacă nivelul pierderii potenţiale creşte. Creşterea nivelurilor câştigurile posibile

reduce nivelul riscului perceput. În consecinţă, pierderile şi câştigurile sunt

raportate la un anumit nivel ţintă al venitului. De obicei decidenţii combină

probabilităţile şi veniturile în judecarea atractivităţii unei alternative (venituri

sperate/asteptate).

Un aspect important în ceea ce priveşte diversele măsuri ale riscului sunt

axiomele care se află la baza diferitelor măsuri utilizate. În continuare vor fi

prezentate doua din sistemele axiomatice folosite la construirea principalelor masuri

ale riscului.

1.1. Sistemul lui Pedersen şi Satchell Sistemul axiomatic Pedersen-Satchell are următoarele axiome:

(PS 1) (nenegativitatea) ( ) 0R X ≥

(PS 2) (omogenitatea pozitivă) ( ) ( )R cX cR X= pentru 0c ≥

(PS 3) (subaditivitatea) 1 2 1 2( ) ( ) ( )R X X R X R X+ ≤ +

(PS 4) (invarianţa la schimbare) ( ) ( )R X c R X+ ≤ pentru 0c ≥

Sistemul Pedersen-Satchell înţelege riscul ca o deviaţie de la o

locaţie/pozitie de măsură a unei variante financiare, astfel că (PS 1) este o cerinţă

naturală. Omogenitatea implică faptul că riscul unui multiplu al unei variante

financiare X este identic cu multiplul corespunzător al riscului poziţiei iniţiale.

Subaditivitatea cere ca riscul unei situaţii combinate să fie mai mic decât suma

riscurilor situaţiilor separate. Această ipoteză permite efecte ale diversificării în

contextul investiţiilor financiare. Invarianţa la schimbare face măsura riscului

invariantă la adăugarea unei constante la variabila aleatoare, ceea ce corespunde

concepţiei de independenţă faţă de locaţie. Din (PS 2) şi (PS 3) rezultă că riscul zero

este ataşat variabilelor aleatoare constante. Deoarece riscul este văzut ca fiind

independent de locaţie prin axiomele Pedersen-Satchell, acest sistem de axiome este

ideal pentru măsurile de risc de primul tip.

1.2. Sistemul Artzner/Delbaen/Eber/Heath Sistemul Artzner/Delbaen/Eber/Heath este o abordare care a avut o influenţă

majoră. Pe lângă subaditivitate (ADEH 1) şi omogenitate pozitivă (ADEH 2), ei mai

enunţă următoarele axiome :

(ADEH 3) (invarianţa la translaţie) ( ) ( )R X c R X c+ = − pentru orice c

(ADEH 4) (monotonie descrescatoare) a lui R .

O măsură a riscului care satisface aceste patru axiome este numită coerentă. În

cazul în care ( ) 0R X ≥ putem înţelege ( )R X ca fiind capitalul adiţional necesar care

trebuie adăugat situaţiei X pentru a avea o poziţie fără risc. Dacă ( ) 0R X < , suma

( )R X poate fi retrasă fără a pune în pericol siguranţa.

Sistemul de axiome Artzner/Delbaen/Eber/Heath este ideal pentru examinarea

măsurilor riscului de al doilea tip.

2. Măsuri standardizate ale riscului Masurarea gradului de risc se face pe baza a doua abordari:

-abordarea deductiva, sau metode apriorice, in care decidentul poate estima

probabilitatile evenimentelor viitoare numai pe cale deductiva, plecind de la tehnicile

de investigare ale Analizei de Sistem;

-abordare statistica, pe baza ipotezei ca performantele anterioare sunt tipice si se vor

inregistra si in viitor; distributiile de frecventa a aparitiei evenimentelor se convertesc

in distributii de probabilitate.

Cea mai simpla modalitate de comensurare a riscului se bazeaza pe:

-valoarea asteptata –sau media ponderata a cistigurilor/pierderilor

probabile.Deficiente-pot exista doua sau mai multe variante de aceeasi vcaloaore

asteptata maxima/minima.Deoarece valoarea asteptata este o masura a tendintei

centrale, gradul de risc poate fi interpretata ca o modalitate de cuantificare a abaterii

platilor posibile de la valoarea asteptata(media).

2.1. Varianţa (dispersia) şi deviaţia(abaterea) standard În mod tradiţional, riscul unei alternative a fost asociat cu dispersia

variabilelor aleatoare asociate veniturilor monetare. Riscul unei alternative este

măsurat fie prin varianţa acesteia, fie prin deviaţia standard. Dacă valorile viitoare

ale unei alternative sunt caracterizate printr-o variabilă aleatoare continuă x% , de

densitate xf f= % , distribuţie xF F= % , şi aşteptări/medie :

( ) ( )E x xf x dxμ+∞

−∞

= = ∫% (3.2)

atunci măsurile riscului sunt:

2 2( ) ( ) ( )Var x x f x dxσ μ+∞

−∞

= = −∫% (3.3)

2 1/ 2[ ( ) ( ) ]x f x dxσ μ+∞

−∞

= −∫ (3.4)

În mod uzual, pentru deviaţia standard mai sunt utilizate denumirile de abatere medie

pătratică sau volatilitate.

Dacă ţinem cont şi de precizările anterioare referitoare la stabilirea unui nivel

ţintă al venitului, măsurile riscului se modifică şi devin : semi-varianţă inferioară

2( ) ( )x f x dxμ

μ−∞

−∫ , (3.5)

valoarea aşteptată a pierderii 0

( )xf x dx−∞

− ∫ (3.6)

şi probabilitatea pierderii sau probabilitatea de ruină/ruinare:

( ) ( )r

xP x r f x dx−∞

≤ = − ∫% % . (3.7)

În 1977, Fishburn a propus ca măsură a riscului :

( ) ( ) ( )z

kF xR x t x f x dx

−∞

= −∫ %% ( 0).k > (3.8)

Aici, z este o margine superioară fixată, iar parametrul k poate fi interpretat ca un

indicator al atitudinii faţă de risc a decidentului. Valorile mai mari decât 1 indică un

comportament sensibil la risc, iar valorile inferioare lui 1 indică o indiferenţă faţă de

risc.

2.2. Valoarea la risc (Value-at-Risk VaR) Pentru a măsura riscul de piaţă al unui portofoliu, băncile folosesc din ce în ce

mai mult modele bazate pe o metodologie numită Valoarea la Risc (Value-at-Risk).

Această metodologie este utilizată pentru determinarea necesarului de capital pe care

băncile trebuie să îl aibă la dispoziţie pentru a asigura activităţile desfăşurate.

Este probabil cea mai cunoscută măsură a riscului de al doilea tip. O

interpretare intuitivă a valorii la risc - aceasta reprezintă o pierdere maximă

probabilă, sau că în 100(1 )%α− din cazuri, pierderea este mai mică sau egală cu

VaRα .

Valoarea la risc satisface mai multe criterii. În raport cu axiomele ADEH

satisface axioma de monotonie, omogenitate pozitivă şi invarianţă la translaţie. În

plus, mai are şi proprietatea de aditivitate monotonă.

Ca dezavantaj principal, valoarea la risc nu prezintă proprietatea de

subaditivitate şi deci nu este o măsură coerentă a riscului în cazul general. Totuşi,

pentru clase speciale de distribuţii, valoarea la risc este coerentă, de exemplu, pentru

clasa distribuţiilor normale. Fie z nivelul de referinţă cu care valoarea portofoliului este comparată la

sfârşitul orizontului de timp considerat. Dacă x z< , atunci există o pierdere de z x− .

Deci, pierderea portofoliului este dată de variabila aleatoare :

l z x= −% %

Ca nivele de referinţă pot fi utilizate nivelul iniţial 0x , precum şi valoarea aşteptată

( )E x% . Probabilitatea unei pierderi mai mici sau egale cu l este dată de funcţia de

distribuţie :

( ) ( ) ( )l

l lF l P l l f t dt−∞

= ≤ = ∫% %%

Folosind distribuţia pierderii lF% , pentru un anumit orizont de timp şi un anumit nivel

de încredere 1 α− , obţinem ecuaţia :

( ) ( ) 1lF VaR P l VaR α= ≤ = −%%

Aplicând funcţia inversă 1lF −% ecuaţiei de mai sus obţinem valoarea la risc :

1(1 )lVaR F α−= −% . (3.9)

Interpretând valoarea la risc ca fiind capitalul necesar pentru a suporta

riscul, relaţia (3.9) implică faptul ca în 100(1 )%α− din cazuri, acest capital nu

va fi epuizat.

Sa mai observam ca daca riscul absolut poate fi relevat pe baza indicatorilor

mentionati, putem vorbi si de cuantificatori ai riscului relativ, asa cum sunt abaterea

standard relativa sau coeficientul de variatie, care masoara procentual riscul ce

revine pe unitatea de cistig /pierdere asteptata, sau inversul acestuia, care releva

cistigul/pierderea asteptata care revine pe unitatea de risc asumat.

3. Modele decizionale în condiţii de risc

Probabilitatea reprezintă o cuantificare a posibilităţii de apariţie a unui eveniment. Există mai multe moduri în care un decident poate ataşa probabilităţi de realizare pentru diferite evenimente. În esenţă este vorba despre probabilitatea obiectivă şi cea subiectivă.

Probabilitatea obiectivă necesită existenţa unei anumite baze informaţionale pentru ataşarea probabilităţilor de realizare care trebuie să fie independente de persoana care face această atribuire (aceasta se realizează pe baza experimentelor statistice sau pe baza observării distribuţiilor de frecvenţă).

Percepţia subiectivă asupra posibilităţilor de realizare a unui eveniment şi probabilitatea alocată acesteia exprimă gradul de încredere al decidentului cu privire la realizarea evenimentului respectiv. Jocurile de noroc reprezintă o situaţie tipică în care participanţilor li se cere să facă aprecieri subiective asupra probabilităţilor de realizare a unui anumit eveniment.

Pentru mulţi decideţi un mod obişnuit de atribuire a probabilităţilor îl reprezintă căutarea în propria experienţă a unor evenimente similare celor analizate.

Principala caracteristică a riscului o constituie expunerea la şansa unei pierderi. Aşadar pentru a există un risc este necesar mai întâi să existe o pierdere potenţială, iar apoi trebuie să existe şansa de a pierde; o pierdere sigură nu reprezintă un risc. În plus, termenul a expune presupune că decidentul poate să acţioneze astfel încât să mărească sau să diminueze şansa pierderii.

Există două forme ale pierderii potenţiale: un venit (rezultat) care ne va face să ne situăm pe o poziţie mai

puţin bună decât cea de referinţă; un rezultat nesatisfacator, care nu este la fel de bun

comparativ cu alte rezultate posibile (ce s-ar fi putut obţine). Primul aspect este mai uşor perceput ca o pierdere reală, pe când al

doilea se referă la o pierdere de oportunitate care nu este întotdeauna uşor de perceput. Pierderile de oportunitate pot transforma situaţiile aparent lipsite de risc în situaţii riscante, atunci când au loc evenimente imprevizibile.

În concluzie există trei componente ale riscului: magnitudinea pierderii, şansa pierderii şi expunerea la risc. Pentru a reduce riscul este necesar să reducem cel puţin una din aceste componente. Gradul de risc poate fi considerat ca fiind direct proporţional cu şansa pierderii, cu dimensiunea acesteia şi cu gradul de expunere a decidentului la pierdere.

Riscul creşte odată cu mărimea sumei riscate sau a şanselor de pierdere. De asemenea depinde direct şi de contextul socio-economic în care se desfăşoară activitatea (climat stabil / instabil). Când expunerea la pierdere este mai mare şi riscul este mai mare. Dacă magnitudinea riscului şi şansele

pierderii nu pot fi restrânse putem diminua riscul prin scăderea expunerii la pierdere. Expunerea la risc trebuie considerată din următoarele puncte de vedere:

persoana care ia decizia;

mediul social al decidentului(de obicei familia sau firma);

societatea în ansamblul ei

3.1 Paradigma de bază a riscului

Un proces decizional presupune existenţa a două căi de urmat: o acţiune numită acţiune sigură şi o alta numită acţiune riscantă care are două rezultate posibile: o pierdere şi un câştig. Dacă am şti că rezultatul variantei riscante va fi câştig, am opta pentru cea de-a doua variantă, iar dacă am şti că rezultatul ar fi pierdere, am opta pentru varianta sigură.

Problema rezidă în faptul că nu ştim cu siguranţă care va fi rezultatul alegerii celei de-a doua variante, acest rezultat depinzând de un eveniment nesigur despre care singurele cunoştinţe pe care le avem sunt probabilistice. Acest prototip de situaţie riscantă se numeşte paradigma principală a riscului. Ea stă la baza studierii riscului. Pentru o mai bună vizualizare a acestei probleme este indicată utilizarea unui arbore decizional.

O problemă decizională abordată iniţial în condiţii de incertitudine poate fi dezvoltată prin determinarea, pe bază statistică, a probabilităţilor de realizare a stărilor naturii sau prin estimarea unor probabilităţi apriorice, subiective. În ambele cazuri problema depăşeşte cadrul incertitudinii şi, prin acumularea de informaţii, poate fi considerată problemă decizională în condiţii de risc.

Caracteristic acestei situaţii este faptul că informaţiile provenite din estimări subiective pot fi îmbunătăţite prin metoda analizei bayesiene, permiţând trecerea treptată de la probabilităţi apriorice la probabilităţi estimate statistic. Desigur, acumularea de informaţii suplimentare este costisitoare, de

Pierdere

Câ ştig

Varianta riscantă

Varianta sigură

decizie

eveniment

aceea estimările consecinţelor şi ale utilităţilor acestora vor ţine seama de costuri. De reţinut că la nivel de detaliere a deciziei economice este necesar să se depăşească faza de soluţie cadru în condiţii de incertitudine şi să se facă estimări ale probabilităţilor şi să se acumuleze informaţii statistice care să contribuie la creşterea calităţii deciziei.

În momentul în care decidentul este capabil să estimeze probabilităţile de realizare a stărilor naturii (probabilităţi apriori) are loc transformarea problemei decizionale în condiţii de incertitudine în problemă decizională în condiţii de risc. O astfel de problemă poate fi reprezentată schematic asemănător cu problema decizională în condiţii de incertitudine. Vom avea şi în acest caz o mulţime a alternativelor decizionale 1 2, ,..., mV V V , şi o mulţime a stărilor posibile ale naturii: 1 2, ,..., mN N N . Corespunzător fiecărei perechi

( ),i jV N vom avea consecinţa ija . Spre deosebire de problema decizională în condiţii de incertitudine, în acest caz avem în plus probabilităţile de realizare ataşate fiecărei stări a naturii: ( )jp N Având disponibilă matricea plăţilor, problema decizională în condiţii de risc poate fi rezolvată fie utilizând criteriul variantei de probabilitate maximă, fie criteriul valorii monetare aşteptate maxime (expected monetary value-EMV).

3.2 Criteriul variantei de probabilitate maximă este aplicabil atunci când în mulţimea stărilor naturii există o stare cu probabilitate de realizare net superioară probabilităţilor corespunzătoare celorlalte stări. În acest caz criteriul recomandă reţinerea acelei stări şi alegerea variantei căreia îi corespunde cel mai favorabil rezultat pentru respectiva stare a naturii.

3.3 Criteriul valorii monetare aşteptate maxime (Expected Monetary Value) presupune alegerea acelei variante care duce la cea mai mare valoare monetară aşteptată. Aşadar vom calcula mai întâi, pentru fiecare variantă valoarea monetară aşteptată corespunzătoare :

( )∑=

=∀⋅=n

1jijji m...1i a)N(pEMV

Va fi aleasă în final varianta care asigură maximizarea valorii monetare aşteptate:

im,1i

EMVmax*EMV=

=

Criteriul EMV-maxim stă la baza soluţionării problemelor decizionale care cuprind mai multe momente sau paşi de decizie. Metoda utilizată pentru definirea strategiei decizionale optime are în vedere parcurgerea arborelui decizional de la terminaţiile acestuia (frunze), către nodul rădăcină.

Paşii metodei inducţiei inverse cuprind, pentru un arbore valorizat, următoarele reguli:

în fiecare nod eveniment, corespunzător ultimului moment decizional, se calculează EMV acestuia, pornind de la rezultatele finale estimate şi de la probabilităţile de realizare a stărilor naturii;

următoarele noduri întâlnite în parcurgerea în sens invers a arborelui sunt nodurile decizionale ale momentului respectiv. În aceste noduri se vor anula toate deciziile cu valori ale EMV mai mici decât EMV maxim.

Procedura se repetă până când se atinge nodul rădăcină. În acest moment decidentul poate formula strategia decizională optimală. Ea precizează concret ce decizie va trebui adoptată în primul moment decizional şi, de asemenea care este succesiunea celor mai favorabile decizii ulterioare, în diferitele stări ale naturii care se vor produce. Metoda inducţiei inverse având drept regulă decizională criteriul EMV oferă un instrument managerial util decidenţilor confruntaţi cu astfel de probleme nedeterministe.

-EMVPI- -EVPI-

4. ANALIZA BAYESIANA IN MODELAREA DECIZIILOR IN CONDITII DE RISC

Demersul bayesian apriori cuprinde următoarele activităţi decizionale:

. identificarea şi explicitarea stărilor posibile ale naturii, precum şi a listei deciziilor potenţiale; . evaluarea consecinţelor ataşate fiecărei variante decizionale în contextul fiecărei stări a naturii; . formalizarea stării de ignoranţă parţială a decidentului, în termenii probabilităţilor subiective ataşate stărilor naturii; . calculul consecinţelor aşteptate, corespunzătoare fiecărei decizii în parte; . alegerea deciziei optimale sau recurgerea la o procedură de obţinere a unor informaţii suplimentare necesare revizuirii probabilităţilor apriorice.

Vom nota cu N spaţiul stărilor posibile ale naturii, ( ) n,1j,N j = şi cu V spaţiul

deciziilor posibile ( ) m,1i,Vi = .

Informaţia apriori constă în asignarea de probabilităţi subiective ( ){ }j0 NP stărilor naturii, reflectând gradul de ignoranţă parţială a decidentului.

Matricea decizională poate fi reprezentată prin intermediul consecinţelor

monetare n,1j,m,1i,aij == sau prin intermediul utilităţilor acestora )a(U ij .

Informaţia aposteriori va fi obţinută făcând apel la probabilităţile ( ){ }j1 NP denumite probabilităţi revizuite, pe baza informaţiilor suplimentare referitoare la stările naturii, obţinute prin proceduri de tip studii de piaţă, anchete, sondaje, consultarea experţilor ş.a.

Valoarea aşteptată a deciziei iV , notată )V(E i poate fi calculată astfel:

( )j0n

1j iji NP)a(U)V(E ⋅= ∑=

Alegerea optimală pe baza informaţiei apriori se realizează, conform criteriului valorii aşteptate maxime astfel:

( )j0n

1j ijii

iNP)a(Umax)V(Emax ⋅= ∑

= Un demers natural constă în a încerca să eliminăm incertitudinea intuind care

va fi starea adevărată (reală) a naturii, care se va produce. Dacă Nk este această stare reală a naturii, problema este simplă: ea constă în alegerea variantei care, în starea Nk maximizează U(aik), deci:

)a(Umax iki Din nefericire este imposibil de a elimina în totalitate incertitudinea, dar este

posibil ca decidentul să încerce să obţină informaţii suplimentare şi, pe baza lor, să revizuiască probabilităţile iniţiale ataşate stărilor naturii, apelând la teorema lui Bayes.

Posibilităţile de obţinere a informaţiei perfecte sunt limitate, dar decidentul

poate încerca să reducă incertitudinea prin achiziţionarea unei informaţii suplimentare necesare revizuirii probabilităţilor preliminare (apriori).

Pentru a formaliza acest demers vom nota cu X cantitatea de informaţii suplimentare obţinute în acest sens. Probabilitatea condiţionată a obţinerii rezultatului X, ţinând seama de informaţia apriori asupra stărilor naturii

( ){ }jN/XP este presupusă a fi cunoscută.

Pot fi astfel revizuite probabilităţile apriori )N(P j0 în funcţie de informaţia suplimentară (X), pe baza teoremei lui Bayes. Noul criteriu de alegere este acum:

( )X/NP)a(Umax j0n

1j iji⋅∑

= , în loc de:

( )j0n

1j ijiNP)a(Umax ⋅∑

= Acest nou criteriu este subordonat realizării rezultatului X obţinut din

cercetarea întreprinsă pentru obţinerea unor informaţii suplimentare asupra stării naturii.

Decidentul dispune apriori de o distribuţie de probabilitate )}N(P{ j0 şi cunoaşte probabilitatea condiţionată de obţinere a rezultatelor X în funcţie de

informaţia apriorică asupra lui ,N j ( ){ }jN/XP . Probabilitatea marginală a rezultatului X este deci cunoscută/calculabila:

∑=

⋅=n

1jj0j )N(P)N/X(P)X(P

Dacă rezultatul X survine ca urmare a informaţiei suplimentare, decidentul va

alege Vi astfel încât:

( ) ( )XNPaUXVE j0n

1jiji

ii

/)(max/max ⋅= ∑=

Utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare se poate scrie ca fiind:

( ) ( )∑ ∑=

⋅⋅X

j0n

1j ijiXPX/NP)a(Umax

. Este deci suficient în fapt de a multiplica utilitatea maximală a fiecărei decizii

iV atunci când un rezultat (X) apare, prin probabilitatea corespunzătoare de apariţie a rezultatului X : P(X) şi de a face suma probabilităţilor pentru toate rezultatele posibile.Prelucrind avem :

0[ ( / ) ( )]( / )

( )j j

j

P X N P NP N X

P X⋅

= unde∑=

⋅=n

1jj0j )N(P)N/X(P)X(P

de unde 0( / ) ( ) ( / ) ( )j j jP N X P X P X N P N⋅ = ⋅

Utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare se mai poate scrie :

( ) ( )∑ ∑=

⋅⋅X

j0j0n

1j ijiNPN/XP)a(Umax

Este suficient de a compara acest rezultat cu cel obţinut pe baza informaţiei

apriori:

( )j0n

1j ijiNP)a(Umax ⋅∑

= pentru a obţine valoarea informaţiei suplimentare. Avem valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare:

( ) ( ) ( )j0n

1j ijiXj0j0

n

1j ijiNP)a(UmaxNPN/XP)a(UmaxVAIS ⋅−⋅⋅= ∑

=∑ ∑

= Din această mărime poate fi apoi scăzut costul informaţiei suplimentare. Să mai notăm că putem raţiona în termenii pierderilor de oportunitate aşteptate. În acest caz utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare se scrie:

( ) ( )∑ ∑=

⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅X

j0n

1jiji

XPXNPL /min

Pierderea de oportunitate aşteptată fără informaţii suplimentare este:

( )j0n

1jiji

NPLmin ⋅∑=

În fine, valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare poate fi scrisă astfel:

( ) ( ) ( )∑ ∑=

∑=

⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−⋅=X

j0n

1j ijij0

n

1j ijiXPXNPLNPLVAIS /minmin

Obţinerea unor noi informaţii, în general pe bază experimentală, contribuie la

reducerea gradului de incertitudine care îşi pune amprenta asupra procesului decizional.

Etapele clasice ale procesului decizional pot înregistra anumite modificări, ele fiind ordonate astfel: 1 . Definirea problemei decizionale şi formularea modelului decizional asociat problemei;

2 . Analiza anterioară, în care pe baza experienţei acumulate şi a judecăţilor individuale, decidentul estimează probabilităţile (subiective) de apariţie a evenimentelor şi rezolvă problema decizională printr-una din metodele disponibile. Dacă soluţia obţinută este agreată de decident, ea este adoptată şi aplicată în practică. în caz contrar decidentul va face un demers pentru obţinerea de noi informaţii necesare reducerii gradului de incertitudine în scopul obţinerii unei soluţii mai eficiente; 3 . Etapa analizei pre-posterioare - în care decidentul verifică dacă includerea informaţiei suplimentare aduce o îmbunătăţire a performanţelor sistemului, în raport cu decizia adoptată în etapa anterioară; 4 . Culegerea (obţinerea) datelor suplimentare; 5 . Analiza posterioară - în urma căreia rezultatele cercetării vor putea fi înglobate în analiza problemei; 6 . Adaptarea soluţiei conform criteriului lui Bayes, după înglobarea informaţiei suplimentare

5. Aplicaţie numerica Un agricultor trebuie sa aleagă proporţiile în care va cultiva legume, cereale sau plante tehnice, dintr-o mulţime de trei variante decizionale posibile. Anul agricol poate fi caracterizat prin trei stări posibile: 1N = umiditate excesiva 2N = regim pluviometric normal 3N = seceta Pe baza experienţei de care dispune, agricultorul estimează că profiturile corespunzătoare fiecărei stări a naturii şi fiecărei variante decizionale, precum şi probabilităţile de apariţie a stărilor. Se construieşte astfel matricea decizională:

R - Tabela de decizie iniţială Stări /

variante 1N 2N 3N

1V 15 20 12

2V 12 28 9

3V 18 25 7 ( )jp N 0,3 0,4 0,3

Consecinţele sunt reprezentate în milioane u.m. I. Etapa analizei anterioare - decidentul foloseşte probabilităţile subiective determinate pe baza experienţei personale. În problema de faţă, agricultorul estimează după cum urmează:

1( )p N = 0,3

2( )p N = 0,4

3( )p N = 0,3

Pentru fiecare variantă în parte se determină valoarea aşteptată a profitului conform criteriului lui Bayes:

1( ) 15 0,3 20 0,4 12 0,3 16,1EMV V = ⋅ + ⋅ + ⋅ = milioane unitati moneatare

2( ) 12 0,3 28 0,4 9 0,3 17,5EMV V = ⋅ + ⋅ + ⋅ = mil. u.m.

3( ) 18 0,3 25 0,4 7 0,3 17,5EMV V = ⋅ + ⋅ + ⋅ = mil. u. m. Alegerea ar trebui sa se faca intre ultimile doua variante, care au o aceeasi valoare asteptata maxima. II. Etapa analizei preposterioare

Se studiaza oportunitatea includerii în analiza a unor informatii

suplimentare (de exemplu, prognozele meteo), ţinând cont însă de faptul că aceste informaţii suplimentare nu sunt certe. Se compară valoarea aşteptată a profitului în cazul în care se apelează la informaţie suplimentară, cu costul obţinerii acesteia. Se apelează la prognoze de la institutul meteo. Notăm cu jX prognoza (in termeni de probabilitate) asupra tipului de vreme jN . Se obţin astfel probabilităţile condiţionate ( / )j jP X N , sintetizate în tabela A.

A - Tabela probabilităţilor condiţionate prognoze /

stări ale naturii 1X 2X 3X

1N 0,8 0,1 0,1

2N 0,2 0,7 0,1

3N 0,1 0,2 0,7 Se observă că suma probabilităţilor pentru fiecare stare a naturii este egală cu 1.

1 1( / ) 0,8P X N = ; probabilitatea ca în cazul stării naturii 1N prognoza sa fie 1X este de 80%.

Elementele de pe diagonala principală a matricei A reprezintă gradul de incertitudine; ele denota si credibilitatea surselor de informatii suplimentare. Cu cât aceste elemente sunt mai apropiate de valoarea 1 (100%), cu atât informaţia suplimentară se apropie de cea certă iar gradul de incertitudine va scădea.

În continuare se aplică Teorema lui Bayes a probabilităţilor revizuite

care includ informaţia suplimentara:

( ) ( / ) ( )( / )

( ) ( / ) ( )i j j i i

i jj j i i

i

P N X P X N P NP N X

P X P X N P N∩ ⋅

= =⋅∑

Pentru realizarea calculelor, construim mai întâi o matrice intermediară:

Tabela intermediară de calcul: prognoze /

stări ale naturii 1( )iP N X∩ 2( )iP N X∩ 3( )iP N X∩

1N 0,8*0,3 = 0,24 0,1*0,3 = 0,03 0,1*0,3 = 0,03

2N 0,2*0,4 = 0,08 0,7*0,4 = 0,28 0,1*0,4 = 0,04

3N 0,1*0,3 = 0,03 0,2*0,3 = 0,06 0,7*0,3 = 0,21 ( )jP X 0,35 0,37 0,28

Împărţind fiecare element al matricei precedente la totalul pe coloane,

adica la probabilitatile totale P(X), obţinem:

B – matricea probabilităţilor revizuite prognoze /

stări ale naturii 1( / )jP N X 2( / )jP N X 3( / )jP N X

1N 0,69 0,08 0,11

2N 0,23 0,76 0,14

3N 0,08 0,16 0,75 Se determină profiturile aşteptate pentru fiecare variantă şi pentru fiecare prognoză în parte: Avem ( ) ( / ) ,i j k ij

j

EMV V P N X a= ⋅∑ 1,3, 1,3i k= =

Pentru uşurinţă în calcul, se înmulţeşte matricea profiturilor iniţială (R) cu matricea probabilităţilor revizuite (B):

1N 2N 3N

1V 15 20 12

2V 12 28 9

3V 18 25 7

X

1( / )jP N X 2( / )jP N X 3( / )jP N X

1N 0,69 0,08 0,11

2N 0,23 0,76 0,14

3N 0,08 0,16 0,75 Se va obţine astfel matricea valorilor monetare aşteptate:

EMV ij Mil. u.m. 1( / )jP N X 2( / )jP N X 3( / )jP N X

1V 15,91 18,32 13,45 EMV 1V

2V 15,44 23,68 11,99 EMV 2V

3V 18,73 21,56 10,73 EMV 3V ( )jP X 0,35 0,37 0,28

Pentru a determina valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare, se

face diferenţa dintre valoarea aşteptată a profitului când se folosesc prognozele de la institutul meteo şi profitul aşteptat când acestea nu sunt folosite. Pentru determinarea profiturilor aşteptate, în primul caz, se înmulţesc probabilităţile cu cel mai mare profit de pe fiecare coloană, iar pentru cazul profitului iniţial aşteptat, deasemenea se alege cea mai mare valoare.

Vom obţine astfel: ( )0,35 18,73 0,37 23,68 0,28 13,45 17,5EVSI = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

1,58= mil. u.m. Astfel, în cazul în care costul prognozelor (informaţiei) este mai mic decât valoarea asteptata a informaţiei suplimentare,aici 1,58 mil u. m, se recomanda achizitionarea acestor informatii. III. Etapa analizei posterioare Pentru fiecare variantă se aplică criteriul lui Bayes. Se determină astfel varianta aleasă pentru fiecare prognoză în parte (in ultimul tabel). Se observă că în cazul în care prognoza este 1X , cea mai buna varianta este 3V cu un profit aşteptat de 18,73 mil. u.m. Pentru prognoza 2X cea mai bună variantă este 2V , iar pentru 3X este 1V .

6. Probleme propuse 1. O societate comercială trebuie să decidă asupra proporţiilor în care va realiza cele trei produse principale ale sale, pentru anul care urmează. Anul acesta poate fi un an slab ( 1N ), un an mediu ( 2N ) sau un an bun ( 3N ), prin prisma nivelului vânzărilor către clienţi. Pe baza experienţei anterioare şi a altor informaţii deţinute, societatea poate estima profiturile corespunzătoare fiecărei variante şi stări a naturii, precum şi probabilităţile de apariţie a stărilor naturii. Matricea decizională are următoarele elemente:

Stări nat. Variante 1N 2N 3N

1V 15 20 12

2V 12 28 9

3V 18 25 7 Probabilităţile estimate de către societate pentru cele trei stări posibile ale naturii sunt:

1 2 3( ) 0,3; ( ) 0, 4; ( ) 0,3.P N P N P N= = = a) Efectuaţi analiza anterioară, bazată pe probabilităţile subiective estimate de către societate şi stabiliţi care este varianta optimă.

Societatea poate alege să apeleze la o firmă specializată de consultanta şi cercetări de piaţă, care îi poate oferi contra cost informaţii suplimentare referitoare la stările viitoare ale naturii. Statistica predicţiilor efectuate de către aceasta societate este descrisa de următoarele probabilităţi condiţionate:

Predicţii efectuate

Starea reală a naturii 1X 2X 3X

1N 15 20 12

2N 12 28 9

3N 18 25 7

b) Determinaţi valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare şi efectuaţi alegerea pe baza criteriului lui Bayes, utilizând probabilităţile revizuite determinate. 2. Considerând evoluţia ascendentă a procentelor din sondaje, un candidat la viitoarele alegeri are de ales între următoarele alternative decizionale: - sa îşi menţină aceeaşi linie a discursului şi aceeaşi platformă politica - să treacă pe o poziţie extremă, mizând pe publicitatea rezultată în urma schimbării sale de poziţie - să treacă la un alt partid politic, mizând pe popularitatea personală şi nu pe asocierea cu partidul din care face parte în prezent - să îşi modifice platforma politică, fără a face însă poziţie discordantă cu platforma partidului său.

Cele patru strategii posibile conduc la rezultate diferite, în funcţie de cele cinci stări ale naturii posibile: declinul partidului; declinul moderat al partidului; nici o schimbare în poziţia partidului în sondaje; creşterea moderată a poziţiei partidului în sondaje; creşterea substanţială a partidului în ochii alegatorilor.

Pierderile corespunzătoare celor patru strategii în condiţiile celor cinci stări posibile ale naturii sunt prezentate în următorul tabel: Stări ale naturii Strategii 1N 2N 3N 4N 5N

1V -3% -2% -0,25% +0,5% +1%

2V -2% -1% -0,1% +0,25% +0,5%

3V +0,25% +0,1% 0 -0,25% -1%

4V +5% +4% +2% -2% -5% P(N) 0,15 0,15 0,15 0,30 0,25

a) Care va fi cea mai buna strategie?

b) Presupunând ca informaţia “I” potrivit căreia popularitatea candidatului va creşte datorită unui scandal la un partid concurent şi că veridicitatea acestei informaţii este descrisă de :

1 2 3 4 5( / ) 0,05; ( / ) 0,10; ( / ) 0,15; ( / ) 0, 25; ( / ) 0,30P I N P I N P I N P I N P I N= = = = = , care este strategia aleasa de către candidat. 3. O societate comercială studiază posibilitatea deschiderii unei filiale în România. Dacă cererea pentru produsele societăţii este mare, atunci profitul estimat al societăţii este de 100.000 u.m. Dacă cererea este mică, atunci se va înregistra o pierdere de 40.000 de u.m. În absenţa oricăror informaţii suplimentare privind cererea, societatea estimează o cerere mare cu probabilitatea de 50%. a) Reprezentaţi arborele decizional al problemei expuse. Ce decizie va fi luată? b) Presupunând ca se efectuează un studiu de piaţă privind cererea pentru produsele societăţii şi cunoscând următoarele date: P(cerere mare / rezultat favorabil studiu) = 0,82 P(cerere mica / rezultat favorabil studiu) = 0,18 P(cerere mare / rezultat nefavorabil studiu) = 0,11 P(cerere mica / rezultat nefavorabil studiu) = 0,89 P(rezultat favorabil) = 0,55 P(rezultat nefavorabil) = 0,45, Se cere: b1) construiţi un arbore decizional care să reflecte această situaţie. Costul studiului de piaţă este de 5.000 u.m. b2) care este strategia optimă în acest caz? b3) determinaţi valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare.

CURSUL 11. ELEMENTE DE ANALIZĂ A PREFERINŢELOR ÎN CONDIŢII DE RISC

1.Introducere în noţiunile legate de preferinţe

Fenomenul preferinţei la risc este strâns legat de evaluarea şi construirea

funcţiilor de utilitate şi ulterior cu întreg procesul de luare a deciziilor în condiţii de

risc şi incertitudine.

Una din cele mai dificile alegeri la care poate fi expusă o persoană, un grup de

persoane sau chiar o organizaţie se referă la cazul când aceştia trebuie să decidă între

propoziţii (variante sau alternative de acţiune) al căror rezultat final are un

caracter incert. Există însă un mod logic de a structura aceste procese şi ulterior de a

oferi decidentului cea mai bună soluţie în raport cu atitudinea acestuia faţă de risc. În

acest scop se introduc noţiunile referitoare la loteria informaţională, echivalentul cert

al unei loterii, funcţie de utilitate, coeficient de risc.

O propoziţie incertă poate fi descrisă prin intermediul unei loterii. Ea este

complet definită de costurile vi, i= 1, ..., n şi probabilităţile pi, i = 1,..., n de apariţie a

evenimentelor Ei, i = 1, ..., n în loterie. O loterie poate fi reprezentată grafic ca mai

jos, după tipul arborilor decizionali.

Rezultatele într-o loterie nu trebuie să fie neapărat măsurabile şi nici

comparabile. Evenimentele din loterie sunt astfel alese în legătură cu modelarea unui

sistem real astfel încât ele sunt mutual independente şi colectiv exhaustive, ceea ce

implică relaţia:

∑ ==

n

1ii 1p

L:

E1; p1 E2; p2 Ei; pi.

En; pn

v1

v2

vi

vn

În cazul în care o loterie informaţională este descrisă de o variabilă aleatoare

v, atunci se pot efectua reprezentările următoare:

În cazul în care o loterie informaţională este descrisă de o variabilă aleatoare

continuă se indică funcţia de densitate de probabilitate sau funcţia cumulativă referitor

la variabila aleatoare considerată.

Definiţia 1: Valoarea aşteptată a unei loterii informaţionale reprezintă suma

produsului dintre probabilităţi şi valorile din loterie, astfel că:

∑==

n

1iii vpv

Definiţia 2: Echivalentul cert, v~ , al unei loterii reprezintă preţul de vânzare al

acesteia, valoarea ce urmează să o primească o persoană pentru o loterie pe care deja

o posedă.

Definiţia 3: Premiul de/la risc vp este definit de v~vvp −= . În cazul în care vp = 0

decidentul este o persoană neutră la risc, iar dacă vp ≠ 0 atunci persoana respectivă

este considerată ca fiind sensibilă la risc.

2. Axiome ale teoriei preferinţei la risc

Acestea se referă la un set minimal de condiţii pe care o persoană sau un grup

de persoane ar fi dispuse să le accepte în cadrul proceselor generale de decizie.

Se demonstrează că, în condiţiile în care preferinţele unei persoane satisfac

axiomele de utilitate (ordonabilitate, continuitate, substituţie, monotonicitate,

decompozabilitate), aceste preferinţe pot fi încorporate într-o funcţie de utilitate.

0,25 -10

0,45 150,30

35

probab.

(0,45)

(0,3)

-10 15 35

0,25

Această funcţie de utilitate ataşează valori de tip numeric pentru orice câştig într-o

loterie informaţională.

Fig. 4.1.Graficul unei funcţii de utilitate U = u(v)

S-a demonstrat că, datorită proprietăţilor de liniaritate ale valorii aşteptate,

orice funcţie de utilitate poate fi multiplicată cu un număr pozitiv sau se poate adăuga

orice constantă pentru toate utilităţile fără a schimba ordinea preferinţei funcţiilor de

utilitate considerate. Această proprietate este specifică teoriei utilităţii aşteptate, însă

trebuie precizat faptul că, empiric, există o multitudine de situaţii în care această

proprietate nu este satisfacută.

Proprietatea 1. O funcţie de utilitate care descrie preferinţa la risc a unei persoane are

următoarele însuşiri:

a) utilitatea U a oricărei loterii L este utilitatea aşteptată a valorilor v din loterie.

b) dacă un decident preferă o loterie L1 unei alteia L2 (L1 ≻ L2) atunci L1 are

utilitatea mai mare.

În cazul în care se ia în considerare conceptul de utilitate, echivalentul cert al

unei loterii reprezintă valoarea pentru care o loterie are aceeaşi utilitate ca şi utilitatea

aşteptată a loteriei.

Axioma 1. (ordonabilitate)

Un decident trebuie să fie capabil să-şi stabilească preferinţa lui între valorile oferite

de loterie.

Dacă vi, i = 1,..., n reprezintă o valoare dintr-o loterie, atunci se poate scrie că

v1 > ...>vn unde n indică numărul maxim al câştigurilor din loterie.

v

u(v)

Axioma 2. (continuitate)

Dacă un decident acceptă preferinţa tranzitivă A ≻ B ≻ C, atunci el trebuie să fie

capabil să construiască o loterie cu valorile A şi C şi să determine probabilitatea p

de a câştiga A pentru care el este indiferent între a primi valoarea B cu siguranţă

şi a participa la loterie.(axioma serveste determinarii preferintei prin probabilitatile

de indiferenta-Metoda LOTERIEI de referinta)

Deoarece Ui (utilitatea unei valori) reprezintă în fond o probabilitate (0 ≤ Ui ≤

1, i = 1, ..., n) atunci se poate extinde axioma de continuitate pentru cazul utilităţiilor.

Axioma 3. (substituţie)

Dacă un decident a precizat echivalentul cert v~ al unei loterii L atunci el trebuie să

fie indiferent între loterie şi echivalentul cert. (axioma sta la baza determinarii

preferintei prin Metoda echivalentilor certi)

Se observă că, în cadrul loteriei compuse, există doar două valori şi anume: v1

şi vn.

Axioma 4. (monotonicitate)

Dacă un decident are o preferinţă între două valori şi el trebuie să decidă asupra a

două loterii care conţin aceste doua valori, atunci el va trebui să prefere loteria care

produce valorile respective cu cea mai mare probabilitate.

1 B p

1 - pA

C

1 vi Ui

1-Ui

v1

vn

L:

L1p

Lip

Lnp

v1 vn

v1

vn

v1

vn

U1

1 - U1

Ui

1 - UiUn

1 - Un

În cazul a doua loterii A si B, loteria A este preferată loteriei B (A ≻ B) daca

si numai daca:

∑ ⋅>∑ ⋅==

n

1ii

Bi

n

1ii

Ai UpUp

Axioma 5. (decompozabilitatea)

Dacă o propoziţie incertă are o structură mai complexa, decidentul va considera

numai valorile finale ce pot fi dobândite de el şi apoi va calcula probabilitatea de

câştig pentru fiecare valoare.

O reprezentare grafică a axiomei pentru cazul când p şi q sunt probabilităţile în loterie

este următoarea:

Forma echivalentă pentru o loterie L considerând Ui utilitatea valorii vi.

3. Construirea funcţiei de preferinţă a unui decident

Cercetarea a arătat că este posibilă determinarea pentru fiecare individ

responsabil al unei decizii, a unei funcţii de preferinţă care constituie o sinteză a

atitudinii acestuia privind riscul.

Această funcţie exprimă relaţia care există, pentru un individ, între valoarea

monetară (exprimând fie un profit, fie o pierdere, fie în bani lichizi, fie în volum al

imobilizărilor) şi preferinţa. Această preferinţă este exprimată în unităţi de preferinţă

după o scară total arbitrară.

pq

1-pq v1

v2

p

1-p

q

1-q v1

v2

v2

L:

∑=

n

1ii

Li Up

1 - ∑=

n

1ii

Li Up

v1

vn

Interesul esenţial al determinării funcţiei de preferinţă a unui individ este acela

că, având această funcţie va fi posibil să prevedem deciziile pe care individul

respectiv le va lua atunci când se va confrunta cu situaţii care incumbă nivele variate

de risc. În astfel de situaţii el va lua decizia care corespunde preferinţei sale maxime.

Problema fundamentală este însă de a determina practic curba de preferinţă a

unui individ.

Pentru aceasta, plecând de la câteva repere alese, se încearcă să traseze o curbă

care reprezintă cât mai bine posibil evoluţia preferinţelor individului pentru sume de

bani de importanţe diverse.Exemplificare-studiu de caz :

Să considerăm de exemplu un individ pentru care dorim să etalonăm curba de

preferinţă între valorile de 0$ şi 100.000$. Vom fixa, de exemplu, arbitrar, preferinţa

0$ = 0 Up şi preferinţa de 100.000$ = 50 Up (sau altfel 20 respectiv 80 etc.).

În continuare se procedează în etape succesive de maniera următoare: vă dau

posibilitatea să alegeţi între creşterea profitului dumneavoastră cu 20.000$ sau să

aveţi posibilitatea de a participa la o operaţiune care vă permite 50% şanse să câştigaţi

100.000$ şi 50% şanse să câştigaţi 0$. Care este alegerea dumneavoastră? Să

presupunem că individul preferă posibilitatea de a participa la loterie: aceasta

înseamnă că preferinţa pentru joc este superioară preferinţei pentru o sumă sigură de

20.000$. Însă, preferinţa operaţiuni, poate fi obţinută prin:

0,5 x pref.(0$) + 0,5 x pref.(100000$) =

= 0 x 0,5 + 50 x 0,5 = 25 unităţi de pref.

Aceasta înseamnă că:

pref(20.000$) < 25

În acelaşi timp dacă se propune de a alege între 60.000$ şi aceeaşi operaţie şi

dacă individul alege 60.000$ ⇒ pref.(60.000$) > 25.

Se încearcă apoi de a găsi cu precizie mărimea creşterii profitului pentru care

individul este de acord să estimeze indiferenţa sa faţă de 2 decizii posibile.

Să presupunem că această mărime este 30.000$. Aceasta semnifică că

individul are o preferinţă egală între a câştiga sigur 30.000$ şi a putea participa la o

loterie cu 2 rezultate posibile, egal probabile. Deci:

preferinţa (30.000$) = 25

Am reuşit astfel să obţinem 3 puncte.

pref. (0$) = 0

pref. (30.000$) = 25

pref. (100.000$) = 50

Se poate evalua în aceeaşi manieră preferinţa individului pentru oricare

sumă. De exemplu, se cere care este suma A pentru care individul este indiferent între

două decizii: să primească sigur suma A sau să aibe dreptul de a participa la o loterie

care-i permite 50% şanse de a câştiga 30.000$ şi 50% de a câştiga 100.000$. Fie A =

55.000$. Aceasta arată că preferinţele celor două decizii sunt egale

⇒ 0,5 x pref.(30.000$) + 0,5 x pref.(100.000$) =

= 0,5 x 25 + 0,5 x 50 = 37,5

⇒ pref.(55.000$) = 37,5

Putem determina preferinţa persoanei şi pentru sume superioare limitei

100.000$.

Se poate pune, de exemplu, întrebarea:

"Aveţi posibilitatea să alegeţi între a creşte activele dumneavoastră cu

100.000$ sau să participaţi la o loterie care vă dă 50% şanse de a le mări cu 0$ şi 50%

de a le creşte cu volumul X. Pentru care valoare a lui X veţi fi indiferent între cei doi

factori de alegere?" Dacă răspunsul este 1.000.000$

⇒ pref. (100.000$) = 0,5 x 0$ + -0,5 x 100.000$

50 = 0 + 0,5 pref. (1.000.000$)

⇒ pref. (1.000.000$) = 100

La fel dacă vrem să determinăm preferinţa pentru sume inferioare lui 0$.

"Dacă aveţi posibilitatea de a nu modifica mărimea activelor dumneavoastră

sau să participaţi la o loterie care vă oferă 50% şanse să câştigaţi 30.000$ şi 50%

şanse să diminuaţi activele cu x$, pentru ce valoare x sunteţi indiferent între cele 2

aspecte ale alegerii?" Dacă răspunsul este: -10.000$

⇒ pref. (0$) = 0,5 x pref. (30.000$) + 0,5 pref.(-10.000$)

0 = 0,5 x 25 + 0,5 pref(-10.000$)

⇒ pref. (-10.000$) = -12,5 etc.

⇒ 1.000.000$ .......... 100Up

100.000$ .......... 50Up

55.000$ .......... 37,5Up

30.000$ .......... 25Up

10.000$ .......... 10Up

0$ .......... 0Up

- 10.000$ .......... -12,5Up

Este posibil acum să reprezentăm aceste puncte pe un grafic şi să trasăm curba

care corespunde în ansamblu acestor puncte (figura 4.2).

Trebuie apoi să ne asigurăm că aceasta corespunde întru totul atitudinii

individului vis-a-vis de risc. În caz că nu, atunci individul va aduce modificări astfel

încât curba să permită obţinerea de rezultate, fie coerente, fie reprezentative pentru

atitudinea sa în condiţii de incertitudine.

Deşi procesul de construcţie a curbei este în principiu foarte simplu, în

practică este relativ dificil. În general, după reflexii şi discuţii, o astfel de curbă poate

fi trasată.

Fig. 4.2. Curba de preferinţă a persoanei chestionate

Caracteristicile unei funcţii de preferinţă:

funcţia de preferinţă este caracteristică individului interogat, la momentul în

care este interogat. Ea este construită plecând de la răspunsurile individului şi

aceste răspunsuri depind de circumstanţa de moment, şi în particular, de averea

Up

Valori monetare (1000$)

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

60

50

40

30

20

10

individului. Pentru un individ dat, comparaţiile intertemporale ale utilităţii sunt

imposibile;

funcţia de preferinţă este personală şi comparaţiile interpersonale între

utilităţi sunt nesemnificative

4. Tipuri clasice de curbe de preferinţă

Fiecărui individ îi corespunde o curbă de preferinţă proprie. Acest lucru este în

general adevărat dar este, de asemenea, util să remarcăm că aceste curbe se

repartizează în trei mari categorii, cu caracteristici diferite. În general, între două

limite monetare fixate dinainte L1 şi L2 cele trei tipuri sunt următoarele:

Fig. 4.3. Tipuri de curbe de preferinţă

Curba (1) corespunde indivizilor conservatori, care accepta un minim de risc;

curba (2), corespunde indivizilor indiferenţi la risc în interiorul limitelor L1 şi L2

fixate, curba (3) corespunde indivizilor care îşi asumă riscul, jucătorilor. Trebuie

precizat faptul că aceste trei tipuri de curbe de preferinţă pleacă de la presupunerea că

atitudinea faţă de risc a decidentului nu se modifică. Însă există situaţii în care

atitudinea faţă de risc poate suferi modificări de ordin calitativ, în sensul creşterii

intensităţii acesteia.(nuantarea riscului)

Curba de tip "conservator"

Individul căruia îi corespunde acest tip de curbă are următoarea comportare

atunci când este pus în situaţia de a alege între X sigur şi de a participa la o loterie

pref.

(1)

(2)

(3)

L1 L2 Valoarea monetară

antrenând 50% şanse de a câştiga o sumă a şi 50% şanse de a câştiga o sumă b. El

acceptă echivalentul sigur X, o sumă inferioară mediei (a+b)/2 care reprezintă

valoarea monetară aşteptată.

Diferenţa între cistigul mediu (a+b)/2 şi echivalentul sigur (cert) este

interpretată ca o primă de risc R: este suma de bani pe care individul acceptă să nu-i

câştige pentru a evita decizia incertă.

Trebuie remarcat că foarte adesea curba de preferinţă are forma puternic

concavă.

R

(a+b)/2

Ub

2UU ab +

Ua

a Echiv.cert

b v0

R1

R22)a(u)a(u 32 +

)a(u 2

)a(u 3

)v(u

)a(u 1

2)a(u)a(u 21 +

a1 ↑ 2aa 21 +

↑ a2 2aa 32 +

a3 v Echivalent

cert Echivalent

cert

0

În acest caz, prima de risc tinde la 0 pe măsură ce limita superioară a

alegerii creşte.

Acest tip de curbă este cel mai des observat în practică, ea indică faptul că noi

suntem în majoritate, conservatori până la un anumit punct, adică avem tendinţa de a

deveni mai curajoşi pe măsură ce valoarea criteriului creşte sau dimpotrivă din ce în

ce mai puţin curajoşi pe măsură ce ea se diminuiază.

Curba (2), dreapta de indiferenţă

Această arată că pentru individ şi pentru oricare valoare monetară cuprinsă

între L1 şi L2, preferinţele vor fi proporţionale cu valorile monetare. Adică,

individul va decide întotdeauna după medie, adică valoarea monetară aşteptată:

individul considerat decide deci, întotdeauna numai după criteriul de maximizare a

valorii monetare aşteptate. Pentru el, noţiunea de preferinţă nu aduce nici un element

nou în procesul său de luare a deciziei şi poate deci să fie total ignorată.

Numărul indivizilor care raţionează în acest fel este extrem de redus.

De obicei, curba de preferinţă a unui individ poate fi liniară pe câteva intervale

de valori monetare. De exemplu, un individ va utiliza o curbă liniară dacă

consecinţele monetare ale rezultatelor posibile sunt mai puţin importante relativ la

averea sa (fie că individul decide pentru sine şi consecinţele sunt judecate relativ la

situaţia financiară particulară, fie că individul decide în contul organizaţiei sale şi

consecinţele sunt judecate relativ la situaţia financiară a acestei organizaţii în termeni

de profit, bani lichizi sau active). Acest lucru ne permite să arătăm influenţa teoretică

a mărimii organizaţiei asupra luării deciziei. Cu cât mărimea întreprinderii este mai

mare cu atât întreprinderea va avea probabil tendinţa de a fi indiferentă la risc căci

consecinţele monetare a unui mare număr de decizii vor fi mai puţin importante vis-a-

vis de averea ei.

Curba jucătorului(3)

U(v)

2UU ba +

a bEchivalentul sigur (cert)

Ua

2ba +

R

0 v

Individul acceptă să plătească o sumă superioară valorii aşteptate (a+b)/2

pentru a avea dreptul să participe la o loterie unde el are 50% şanse să câştige a şi

50% şanse să câştige b.

Se constată că prima de risc R este aici negativă, se plăteşte o primă pentru a

avea ocazia riscului.

Aceste curbe pot eventual să corespundă poziţiei unui individ care decide

pentru el însuşi; indivizii ca atare sunt liberi să joace după cum le permite patrimoniul

personal şi pot accepta riscuri importante. Aceste curbe nu se întâlnesc decât

excepţional pentru manageri decidenţi în numele organizaţiilor lor sau a unei părţi din

organizaţia lor.

Curbe ale comportamentelor complexe

Mai mulţi autori au pus în evidenţă un tip de curbă complexă care corespunde

poziţiei unui mare număr de persoane vis-a-vis de risc.

Curba este în general concavă până la o valoare apropiată de A, şi apoi devine

convexă pe un interval care-l conţine pe A.

Suma A se numeşte "nivelul de aspiraţie al individului pentru bani". Psihologii

au arătat că indivizii au un sentiment de eşec dacă ei primesc mai puţin ca mărimea

nivelului lor de aspiraţie şi au un sentiment de reuşită dacă vor primi mai mult.

0 A

punct de inflexiune

CURSUL 12 . Decizii multi-stagiu. Arbori decizionali

1. Introducere

Reprezentarea unei probleme cu ajutorul unei tabele de decizie este statică. De multe ori problemele sunt intercorelate: acţiunile şi stările unor probleme viitoare pot depinde de acţiunile întreprinse anterior.

Vom introduce analiza modului de reprezentare a acestor probleme prin intermediul arborilor decizionali. Acest tip de reprezentare se îmbina în mod natural cu principiile teoriei utilităţii şi cu probabilităţile subiective. Un aspect important al problemelor multi-stagiu este acela că pe parcursul derulării evenimentelor, între decizii succesive, pot apărea noi informaţii relevante şi astfel convingerile decidentului se schimbă odată cu trecerea timpului.

2. Arbori decizionali Sa considerăm forma standard a unei tabele de decizie si Figura 6.4.1 care ne oferă reprezentarea acelei probleme cu ajutorul arborelui de decizie. Pătratul din stânga arborelui numit şi punct sau nod de decizie reprezintă alegerea decidentului între acţiunile a1 , a2 , … , am; fiecare ramură ce porneşte din acest nod reprezintă acţiuni posibile. La capătul fiecărei ramuri eveniment găsim noduri sau puncte eveniment, reprezentate prin cercuri. La nivelul acestor noduri, fiecare ramură eveniment se sub-divide în alte n ramuri, aferente stărilor posibile ale naturii. La capătul acestora, reprezentam consecinţele finale xij.

Figura 6.4.1 Reprezentarea prin arbore decizional a unui tabel decizional

Problema 1 Departamentul de cercetare al unei companii de inginerie, a proiectat o turbină pentru motoarele diesel. Compania trebuie să decidă dacă va autoriza departamentul să înceapă dezvoltarea şi să încerce rezolvarea acestor probleme. Dacă nu va reuşi într-un an, compania ştie că proiectul trebuie abandonat. Dacă problemele de proiectare vor fi rezolvate în acest timp, compania va avea de luat o altă decizie: va construi o fabrică de dimensiune mare sau mică pentru producerea turbinei? Consecinţele deciziei luate depind de cererea ulterioară pentru produs, care pentru simplitate, va fi considerată ca putând fi ridicată sau scazută. Arborele de decizie al acestei probleme este reprezentat în Figura 6.4.2.

Figura 6.4.2 Problema turbinei diesel

Problema 2

Unei companii aeriene i s-a oferit şansa de a cumpăra/sau nu un avion aflat inca in folosinta . Judecând în linii mari, un avion folosit poate fi nesigur, destul de sigur sau foarte sigur. Un avion nesigur poate costa scump compania atât material cât şi în privinţa insatisfacţiei clienţilor. Un avion destul de sigur va balansa costurile operaţionale, dar creează încă insatisfacţie în rândul clienţilor. Numai un avion foarte sigur va creşte profiturile operaţionale şi satisfacţia clienţilor. Înainte de a lua decizia, compania aeriana poate, dacă doreşte, să angajeze o firmă de inginerie aeronautică pentru a inspecta avioanele/ sau poate sa nu faca acest lucru. Bineînţeles, compania aeriană va plăti pentru inspecţie. Mai mult, compania de inginerie nu va face predicţii explicite despre siguranţa avioanelor, ci îşi va formula raportul în termeni favorabili sau nefavorabili. Compania aeriană trebuie să-şi formuleze singură

concluziile despre siguranţă. Problema întâlnită la compania aeriană este descrisă în Figura 6.4.3.

Fiecare

din aceste cazuri implică un cost

al inspecţiei

Figura 6.4.3 Problema cumpărării unui avion

Problemele de decizie de la punctele A, B şi C nu sunt, în ciuda aparenţelor, identice. Cu siguranţă, la fiecare din aceste puncte compania aeriană trebuie să aleagă între a cumpăra avioane sau nu. Oricum, informatiile despre avioane sunt diferite de la caz la caz şi, din acest motiv, părerile despre rentabilitate vor fi diferite. Când vor face alegerea la punctul A, compania va şti că raportul firmei de prospectare a fost favorabil. La punctul B vor şti că inginerii au răspuns nefavorabil. La punctul C nu au avut nici un raport, ci numai părerile anterioare despre condiţiile avioanelor. Astfel, pentru a analiza acest arbore de decizie trebuie să luam în considerare modul în care compania aeriană poate să-şi schimbe părerile anterioare în urma oricărei informaţii dobândite din raport

3. Analiza arborilor decizionali simpli

Vom reconsidera problema turbinei descrisă în figura 7.2. Consiliul director al companiei de inginerie s-a reunit pentru a decide ce hotărâre va lua,ca astfel să-şi transforme convingerile şi preferinţele în probabilităţi subiective şi în utilităti, iar apoi, folosind analiza utilităţii aşteptate să încerce luarea unei decizii.

Prima preocupare a consiliului poate fi de a considera dacă autorizează sau abandonează proiectului. Este, la urma urmei, în ordine cronologică, prima decizie care trebuie luată. Oricum, ei nu pot lua încă această decizie. Pentru a lua o decizie trebuie să ţină seama de consecinţele acţiunilor alternative. Consecinţele alternativei de a abandona sunt clare, dar care sunt consecinţele celeilalte alternative, autorizarea? Nimeni nu poate spune, pentru că, urmând dezvoltarea, consecinţele depind doar de dimensiunile fabricii pe care decid să o construiască. De aceea, analiza trebuie să înceapă cu decizia de a construi o fabrică mare sau una mică. Când se analizează decizia dacă se autorizează proiectul, vom descoperi că utilitatea uneia dintre consecinţe este chiar utilitatea aşteptată a alegerii dimensiunii fabricii. Acest lucru înseamnă că utilităţile folosite în analiza din tabel. 6.4.1 trubuie să fie egale cu acelea folosite în analiza ulterioară autorizării proiectului. Din acest motiv, utilităţile trebuiesc evaluate în acelasi timp pentru toate consecinţele din arborele de decizie complet. Consecinţele sunt, inevitabil, complexe şi cer o reprezentare multi-atribut. Pentru a găsi un set corespunzător de atribute, de exemplu pentru a structura o ierarhie a atributelor este necesar să se considere toate consecinţele apărute în arborele decizional

Tabelul 6.4.1 Decizia asupra mărimii fabricii

Stări ale naturii Consecinţe

Cerere mare Cerere mica Construirea unei fabrici mari

compania foloseşte fabrica la capacitate maximă, obţinând profituri mari. Cererea este satisfacută

compania foloseşte doar o parte din capacitatea fabricii. Sunt acoperite costurile. Cererea este satisfacută

Acţiuni Construirea unei fabrici mici

compania foloseste fabrica la capacitate maximă; profit moderat. Cererea nu este complet satisfacuta cauzand nemultumirea clientilor

compania foloseste fabrica la capacitate maxima; profit moderat. Cererea este satisfacuta

Tabelul 6.4.2 Utilităţile şi probabilităţile stărilor în problema dimensiunii fabricii

Stări ale naturii Utilităţi Cerere mare Cerere mica

Construirea unei fabrici mari 1.0 0.4

Acţiuni Construirea unei fabrici mici 0.5 0.8

Probabilităţile starilor

0.6 0.4

Utilitatea aşteptată a construirii unei fabrici mari

=0.6 x 1.0 + 0.4 x 0.4 =0.76

Utilitatea aşteptată a construirii unei fabrici mici =0.5 x 0.6 + 0.8 x 0.4 =0.62.

Acum este posibil să analizăm decizia primului moment decizional în legătură cu autorizarea dezvoltării proiectului. Dacă dezvoltarea este autorizată, se pot întâmpla următoarele lucruri: cu probabilitatea 0.7 dezvoltarea poate eşua şi rezultatul este o consecinţă a cărei utilitate a fost evaluată la 0.0. cu probabilitatea 0.3 dezvoltarea poate reuşi; în acest caz, compania va construi o fabrică mare, ca rezultat al acţiunii cu perspectiva de utilitate 0.76. Astfel : Utilitatea aşteptată a autorizării proiectului: =0.7 x 0.0 + 0.3 x 0.76 =0.228. Dacă proiectul este abandonat, este obţinută o consecinţă cu utilitatea 0.1 Deoarece 0.228 > 0.1, concluzia acestei analize este ca dezvoltarea ar trebui aprobată şi, dacă reuşeşte, va fi construită o fabrica mare. Ideea de bază este că analiza porneşte în ordine cronologică inversă. Ultimele decizii sunt analizate primele pentru că ele determină consecinţele deciziilor premergătoare. Această procedură este cunoscută ca metoda inducţiei inverse sau programare dinamică recursivă.

Figura 6.4.4 Analiza completă a problemei. Utilităţile consecinţelor sunt date la sfârşitul ramurilor eveniment. De asemenea, probabilităţile evenimentelor nesigure, sunt ataşate respectivelor ramuri. Numerele ataşate nodurilor sunt utilităţi calculate .

4. Sinteza şi valoarea informaţiei

Să considerăm problema cumpărării avionului (fig. 6.4.3). Ca şi la problema turbinei vom folosi inducţia inversă: ultimele alegeri trebuie analizate înaintea primelor. Oricum, înainte de a putea analiza arborele de decizie, avem nevoie de utilităţi şi probabilităţi subiective.

Să consideram informaţia disponibilă directorilor liniei aeriene în momentul deciziei. La punctul Z nu ştiu nimic mai mult despre avioane decât ceea ce li s-a spus de câtre vânzător şi ceea ce ştiu ei în general despre avioanele second – hand. La punctul X au aflat în plus că inginerii au făcut un raport favorabil. La punctul Y ei au deja informaţia suplimentară despre raport dar de data aceasta ei ştiu că este defavorabil. Acum, în principiu, este posibilă evaluarea tuturor probabilităţilor subiective relevante în mod direct. La punctul Z, directorii companiei aeriene ar putea compara evenimentele în raport cu presupunerile lor

despre siguranţa avionului în funcţie de informaţia actuală, nesusţinută de raportul inginerilor. Teoretic, este posibil să evalueze probabilităţile în acest mod; practic, este imprudent. Astfel, evaluările se pot desfăşura mai bine după cum urmează.

Mai întâi părerile actuale, adică probabilităţile subiective de la punctul Z, sunt cunoscute ca probabilităţi anterioare (apriorice) legate de siguranţa avionului. Să presupunem că valorile găsite ar fi:

P(foarte sigur) = 0.2; P(sigur) = 0.3; P(nesigur) = 0.5.

Apoi, mai degrabă decât să-şi evalueze propriile păreri în punctele X şi Y,

directorii vor trebui să-şi reconsidere părerile în legătură cu expertiza inginerilor. Vor trebui să evalueze propriile probabilităţi subiective despre posibilitatea ca un avion foarte sigur, să primească un raport favorabil sau nefavorabil.

P(raport favorabil | foarte sigur) = 0.9 P(raport nefavorabil | foarte sigur) = 0.1

Figura 6.4.5 Analiza completă a problemei companiei aeriene. Utilităţile consecinţelor sunt redate la sfârşitul ramurilor (calculate pentru un cost al inspecţiei x4) Probabilităţile sunt cele calculate în text. Numerele din noduri sunt utilităţi aşteptate.

Să notăm că este rezonabil ca directorii să se gândească la faptul că uneori inginerii pot greşi şi pot raporta ca nefavorabil cazul unui avion foarte sigur. Directorii ar trebui de altfel să evalueze propriile probabilităţi subiective şi pentru un avion sigur sau nesigur, în baza unui raport favorabil sau nefavorabil.

P(raport favorabil | sigur) = 0.6 P(raport nefavorabil | sigur) = 0.4

P(raport favorabil | nesigur) = 0.1 P(raport nefavorabil | nesigur) = 0.9

P(raport favorabil | foarte sigur) = 0.9 P(raport nefavorabil | foarte sigur) = 0.1

Probabilităţile conditionate sunt de asemenea date în tabelul 6.4.3. Să notăm că suma coloanelor este unu, iar probabilităţile scad de la stânga la dreapta în primul rând şi corespunzător, cresc de la stânga la dreapta în cel de-al doilea. Asemenea proprietăţi – prima fiind o consecinţă necesară a coerenţei, a doua fiind pur şi simplu ceea ce ne putem aştepta – permit o verificare de o consistenţă considerabilă în evaluarea acestor probabilităţi condiţionate.

Tabelul 6.4.3 Probabilităţile tipului de raport, condiţionate de siguranţa avionului

condiţionate ca avionul să fie:

Probabilităţile pentru:

foarte sigur

destul de sigur

foarte nesigur

raport favorabil 0.9 0.6 0.1

raport nefavorabil 0.1 0.4 0.9

Aceste probabilităţi fiind evaluate este posibil să se determine toate

probabilităţile revizuite cerute pentru a analiza arborelui decizional. Să luăm nodul X. Avem nevoie de probabilităţile:

P(foarte sigur | raport favorabil), P(destul de sigur | raport favorabil), P(foarte nesigur | raport favorabil).

Cu alte cuvinte, avem nevoie de probabilităţile posterioare ale directorilor în ceea ce priveşte siguranţa avioanelor, în baza unui raport favorabil. Folosim teorema Bayes pentru a ne actualiza probabilităţile anterioare . Deci:

( | ) ( )( | )( )

P raport favorabil foarte sigur P foarte sigurP foarte sigur raport favorabilP raport favorabil

×=

(6.4.1) unde

P(raport favorabil)= P(raport favorabil | foarte sigur) x P(foarte sigur)+

+ P(raport favorabil | destul de sigur) x P(destul desigur)+ + P(raport favorabil | foarte nesigur) x P(foarte nesigur).

Substituind valorile numerice găsite pentru probabilităţile de la 6.4.1, obţinem:

P(foarte sigur | raport favorabil)0.9 x 0.2

0.9 x 0.2 + 0.6 x 0.3 + 0.1 x 0.50.180.410.439

=

=

=

În mod similar, teorema Bayes dă:

P(destul desigur | raport favorabil)0.6 x 0.3

0.9 x 0.2 + 0.6 x 0.3 + 0.1x 0.50.439

=

=

şi

P(foarte nesigur | raport favorabil)0.1 x 0.5

0.9 x 0.2 + 0.6 x 0.3 + 0.1 x 0.50.122

=

=

Am putea de asemenea să calculăm cele trei probabilităţi cerute la nodul

Y. De exemplu, după teorema Bayes:

( | ) ( )( | )( )

P raport nefavorabil foarte sigur P foarte sigurP foarte sigur raport nefavorabilP raport nefavorabil

×=

(6.4.2) unde P(raport nefavorabil)= P(raport nefavorabil | foarte sigur) x P(foarte sigur)+

+ P(raport nefavorabil | destul de sigur) x P(destul desigur)+ + P(raport nefavorabil | foarte nesigur) x P(foarte nesigur).

Astfel, calculând ca şi mai sus se obţin următoarele:

P(foarte sigur | raport nefavorabil) = 0,034 P(destul de sigur | raport nefavorabil) = 0,203 P(foarte nesigur | raport nefavorabil) = 0,763

În sfârşit, consideram că probabilităţile cerute în nodul eveniment al primului moment decizional . P(raport favorabil) şi P(raport nefavorabil) au fost deja calculate. Acestea sunt numitorii de la 6.4.1 şi respectiv 6.4.2. Deci,

P(raport favorabil)= 0.41, P(raport nefavorabil)= 0.59.

Avem acum toate probabilităţile şi utilităţile necesare pentru a analiza arborele de decizie: În X, utilitatea aşteptată = 0.439 x 0.990 + 0.439 x 0.330 + 0.122 x 0.000 = 0.579 În A, 0.579 > 0.160, deci decizia optimă este de a cumpăra avionul. În Y, utilitatea aşteptată = 0.034 x 0.990 + 0.203 x 0.330 + 0.763 x 0.000

= 0,101 În B, 0.101 < 0.160, deci decizia optima este de a nu cumpăra avionul. În Z, utilitatea aşteptată = 0.2 x 1000 + 0.3 x 0.340 + 0.5 x 0.010

= 0,101 În C, 0.307 > 0.170, deci decizia optimă este de a cumpăra avionul. În W, utilitatea aşteptată = 0.410 x 0.579 + 0.590 x 0.160 = 0,332 În D, 0.332 > 0.307, deci decizia optimă este de a împuternici o inspecţie.

Pe scurt, politica optimă a companiei este de a autoriza o inspecţie:

dacă este favorabilă, va cumpăra avionul; în caz ca nu este favorabila, nu va cumpăra avionul.

Ca şi în secţiunea anterioara, ar trebui subliniat faptul că o analiză atentă trebuie să fie dirijată înainte ca decizia finală să fie luată. Oricum, o analiza foarte atentă a unor asemenea arbori este oarecum implicată şi nu ne vom aventura în acest sens aici. Analizând acest exemplu, am presupus că costul inspecţiei este dat şi nu este negociabil. Dar se întâmplă ca adesea compania să negocieze un preţ cu inginerii. Astfel ei cer ca analiza să evidentieze cât de mult să plătească pentru inspecţie. Pentru a vedea cum se poate face aceasta trebuie să facem câteva presupuneri despre funcţia de utilitate a companiei.

5. Probleme 1. Unui constructor I s-au oferit 2 loturi de pământ pentru construcţii la 20.000 u.m. fiecare. Dacă solul este foarte bun, ne-am putea aştepta la un profit net de 10.000 u.m. pe fiecare lot, când o casă este construită. Dacă nu este bun, el nu valorează decât 2000 u.m, deci ar rezulta o pierdere de 18.000 u.m. El crede că şansa ca ambele loturi să aibă solul prost este de 0.2, şansă ca doar unul să aibă această problemă este de 0.3, şi şansa ca nici unul să sufere de subzistenţă este de 0.5. Trebuie să decidă dacă să cumpere cele 2 loturi sau nu. Alternativ ar putea cumpăra unul să-l testeze, şi apoi să decidă dacă să-l cumpere şi pe celalalt. Presupunând că testul poate prognoza perfect calitatea pământului şi că el costă 200 u.m, ce ar trebui să facă? Presupuneţi că preferinţele sale sunt determinate de bani şi este neutru la risc.

2.Comisia Americană de Energie Atomică (AEC) desfăşoară un program de cercetare şi dezvoltare a proiectelor de reactoare avansate cu scopul de a dezvolta reactoare nucleare de a doua generaţie, cu un consum mai eficient

de combustibil şi costuri de întreţinere mai mici decât cele actuale. Obiectivul principal al prezentului program AEC este un reactor ce funcţionează pe baza metalelor lichide răcite (LMF). Acesta are cele mai mici costuri de realizare dintre toate proiectele AEC. Mai multe proiecte ale căror costuri de cercetare sunt mai reduse (dar în acelaşi timp, şi cu rezultate estimate mai slabe) sunt derulate simultan ca şi backup în cazul în care tentativa principală nu ar avea succes. Guvernul a decis însă deja să investească în LMF, indiferent de numărul de proiecte de rezervă.

Comisia Bugetară are un buget foarte strâns pentru 2006 şi ar vrea să ştie exact câte proiecte de rezervă se vor derula începând cu luna februarie 2006. Decidentul este informat că în 2014 se va şti cu certitudine despre orice proiect de backup dacă va fi avut succes sau nu. Mai mult decât atât, este considerat inoportun să se investească într-un nou concept până în 2014, moment în care mai multe informaţii vor fi disponibile.

Decidentul poate investi în maxim trei proiecte de rezervă. De asemenea are opţiunea de a investi în proiecte de rezervă şi în 2014 însă numărul total al acestui tip de proiecte, în 2006 şi 2014 cumulate, nu poate depăşi trei.

Cum poate decidentul să structureze problema cu care se confruntă sub forma unui arbore decizional? 3 Un tânăr student se gândeşte să îşi schimbe maşina pe care o are, cu o alta mai puţin veche. Decizia a fost generată de apariţia unei oferte pentru o maşină care tocmai ce a trecut inspecţia tehnică anuală, în valoare de 8000 u.m; maşina sa însă nu a făcut până în acest moment inspecţia. Oferta de vânzare este valabilă numai pentru două săptămâni. Dacă îşi va înscrie propria maşină la testele de revizie, tânărul nostru consideră că probabilitatea ca rezultatele să fie pozitive este de 3/8. Rezultatul negativ la teste poate apărea ca urmare a uneia (şi numai uneia) dintre următoarele patru defecţiuni: frânele pot fi considerate nesigure, cauciucurile de la roţile din spate poate să nu aibă aderenţa cerută, ambreiajul sau cutia de viteze ar putea necesită înlocuirea. În cazul în care nu ar trece testul, probabilităţile pentru fiecare din aceste neajunsuri să se împlinească sunt 40%, 20%, 15% respectiv 25%. Deşi costul unei astfel de revizii este de numai 30$, el ştie că dacă maşina va pica prima oară, na va mai avea timp decât pentru o singură inspecţie suplimentară. Dacă decide să repare defecţiunea care a cauzat primul insucces la inspecţie, şansele ca la a doua inspecţie rezultatul să fie pozitiv sporesc cu probabilitatea cu care s-ar fi întâmplat defecţiunea care tocmai a fost reparată. (ex. Dacă defecţiunea iniţială ar fi fost la frâne, noua probabilitate de succes ar fi 0,375+0,4 = 0,775). Costurile de reparaţie sunt: 500 u.m. pentru frâne, 600 pentru cauciucuri,1200 pentru cutia de viteze şi 300 pentru cablul de ambreiaj. Ca măsură a „valorii” maşinii sale, el ar putea să o vândă cu 1800 u.m. din care s-ar mai scădea costurile pentru reparaţii ce ar fi identificate în acel moment. Construiţi un arbore de decizie şi folosiţi regula costurilor minime aşteptate ca şi criteriu decizional. 4. În anul 2005 compania americană Activ Inc. lua în calcul posibilitatea câştigării de noi pieţe pentru produsele ei pe teritoriul altei ţări. Pentru selecţia

finală au mai rămas decât două ţări: România şi Bulgaria. Alte ţări candidate au fost respinse pe baza performanţelor estimate sub un set de restricţii. Activ doreşte acum să analizeze cele două ţări prin intermediul a două criterii suplimentare: stabilitatea politică şi legile economice din fiecare ţară. Odată aleasă ţara, Activ are două posibilităţi: construirea unei fabrici sau a unei agenţii. Realizarea unei fabrici ar fi fost un proiect riscant; oferirea drepturilor de export unei agenţii ar fi fost mai puţin riscantă, dar în mod corespondent mai puţin profitabilă. Consilierii politici ai companiei au stabilit probabilităţi pentru trei niveluri de stabilitate politică în fiecare ţară: sigură, stabilă şi instabilă – 75%, 20% respectiv 5% pentru România şi 20%, 50% respectiv 30% pentru Bulgaria. În cazul în care sectorul politic ar fi instabil, Activ ar respinge posibilitatea construirii unei fabrici, proiectul nefiind viabil. Fluxurile totale de numerar (exprimate în zeci de mii de u.m.)au fost estimate de către Activ ca în tabelul următor Tabela câştigurilor

climat politic România Bulgaria sigur stabil instabil sigur stabil instabil

fabrica: legi favorabile 540 240 NA 600 320 NA

legi nefavorabile 280 -36 NA 280 -120 NA

Agenţie: legi favorabile 200 200 200 240 240 240

legi nefavorabile 180 180 180 200 200 200

Probabilitatea ca legile să fie favorabile sau nefavorabile, odată ce Activ şi-a stabilit acolo o fabrică sau o agenţie, depinde de ţara şi de climatul politic şi au fost estimate după cum urmează.

climat politic

România Bulgaria legi economice sigur stabil instabil sigur stabil instabil

legi favorabile 0.7 0.65 0.5 0.5 0.5 0.35legi nefavorabile 0.3 0.35 0.5 0.5 0.5 0.65

Construiţi un arbore decizional privind problema întâmpinată de Activ, şi analizaţi arborele, prin metoda EMV (valoarea monetară aşteptată).

CURSURILE 13-14. DECIZII OPTIME IN GESTIUNEA PORTOFOLIILOR

1. Riscul unui titlu Riscul unui activ se defineşte prin variabilitatea probabilă a rentabilităţii viitoare a activului.

Dacă un investitor cumpără obligaţiuni guvernamentale pe termen scurt de 1 milion u.m. cu un randament anticipat 7% atunci rentabilitatea investiţiei este de 7% şi poate fi estimată cu precizie, acest tip de investiţie fiind fără risc. Însă dacă milionul este investit în acţiuni ale unei companii recent înfiinţate, având ca profil de activitate, de exemplu, explorarea petrolului într-o zonă petrolieră, rentabilitatea investiţiei nu poate fi estimată precis. Un analist, studiind rezultatele posibile, ar putea estima o rată de rentabilitate aşteptată, din punct de vedere statistic, de 20%. Investitorul se poate aştepta şi la faptul că rata de rentabilitate reală poate varia, de exemplu, de la +100% la -100%. Existenţa posibilităţii semnificative, de a obţine o rentabilitate reală mult mai mică decât rentabilitatea aşteptată, face ca acţiunile să fie considerate riscante. Deci, riscul este legat de probabilitatea de a avea o rentabilitate mai mică decât cea aşteptată. Cu cât este mai mare şansa unei rentabilităţi mici sau negative, cu atât mai riscantă este investiţia. Orice decizie de investiţie (de afaceri) necesită previziunea unor evenimente viitoare. În deciziile de alocare a capitalului, previziunile cheie sunt legate de fluxurile de numerar anuale ale proiectului. De regulă, această previziune este făcută sub forma unui număr, adică o estimare punctuală, denumită frecvent estimaţia cea mai probabilă (500 u.m. anual timp de 3 ani). Ne punem întrebarea: cât de bună este această estimaţie punctuală? Adică, câtă încredere putem avea în rentabilitatea previzionată: este foarte certă, foarte incertă sau undeva la mijloc? Acest gen de incertitudine este definit şi

măsurat prin distribuţia de probabilitate a predicţiei (asocierea estimării probabilităţii cu fiecare rezultat posibil). Măsura tradiţională a riscului aplicabilă proiectelor individuale este legată de variabilitatea rezultatelor şi este definită prin distribuţia de probabilitate. Proiect A Rentabilitate Probabilitate -20% 0,20 15% 0,50 50% 0,30 Proiect B Rentabilitate Probabilitate 0% 0,20 15% 0,50 50% 0,30 Rata medie estimată (aşteptată) a rentabilităţii se calculează după relaţia:

∑ ×==

n

1iii pRR

unde Ri reprezintă ratele de rentabilitate posibile,corespunzatoare starii naturii–i-, iar pi probabilităţile corespunzătoare fiecărei rentabilităţi.

%5,16R%5,18R

B

A

=

=

Pentru a fi utilă orice măsură a riscului trebuie să aibă definită de o valoare. Este necesar să se măsoare ecartul distribuţiei de probabilitate. O astfel de măsură este data de deviaţia standard (σ). Cu cât este mai mică σ cu atât este mai “strânsă” distribuţia de probabilitate şi deci riscul activului respectiv este mai mic.

( )∑=

⋅−=σn

1ii

2i pRR

σ este dat in % - in fapt este media ponderată a deviaţiei de la valoarea aşteptată şi ne arată cu cât este valoarea reală mai mare sau mai mică decât valoarea aşteptată. Rentabilităţile sunt calculate pe baza fluxurilor de numerar prognozate în cazul unor scenarii alternative. O anumită rată de rentabilitate poate fi interpretată ca RIR -rată internă de rentabilitate a proiectului pe baza fluxurilor de numerar asociate (proiectul costă 1000 u.m. şi are 3 valori posibile ale fluxului prognozat de numerar). * 210 u.m./an ................... 3 ani * 438 u.m./an ................ 3 ani * 711 u.m./an ................ 3 ani Rata internă a rentabilităţii (R.I.R.)este calculate din 1000 = CF1/(1 + RIR) + CF2(1 + RIR)2 + CF3/(1 + RIR)3 Dacă fluxul de numerar este de 210 u.m. rezultă că RIR = -20%. Pentru fluxurile anuale de numerar de 438 u.m. sau 711 u.m., RIR este respectiv 15% sau 50%. OBSERVATIE .Dacă singurele date disponibile sunt valorile rentabilităţii într-o perioadă trecută, deviaţia standard a rentabilităţii se estimează folosind formula:

( )

1N

RRN

1i

2t

estimat −

∑ −=σ =

Dacă distribuţia de probabilitate este continuă, astfel că probabilitatea poate fi estimată pentru fiecare rezultat posibil, atunci putem trasa o curbă continuă care uneşte toate ratele rentabilităţii. Distribuţiile de rentabilitate pentru proiectele E şi F prezentate în figura 6.1 sunt exemple de distribuţii continue de probabilitate. Graficul proiectului F prezintă două carcteristici ale unei investiţii mai favorabile in comparatie cu proiectul E : (1) are rentabilitatea aşteptată mai mare şi (2) distribuţia de probabilitate este mai strânsă, în consecinţă are un risc mai mic

Fig. 6.1. Reprezentarea grafică a distribuţiilor continue de probabilitate În figura 6.2 prezentăm distribuţia de probabilitate a fluxului anual net de numerar pentru investiţiile C şi D ( .,m.u300,m.u1000R CC =σ= .m.u,R DD 3004000 =σ= ).

C

Fig. 6.2. Distribuţiile de probabilitate a două investiţii cu profituri estimate diferit

Probabilitate de aparitie

Rentabilitate

Proiect E

Proiect F

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 FE RR 0,2 0,3 0,4

Proiectul C

700 1000 1300 3700 4000 4300

Proiectul D

Rentabilitate

Probabilitate de

i\i

Deviaţia procentuală de la medie a proiectului C este considerabil mai mare decât deviaţia de la medie a proiectului D. Aceasta înseamnă că pentru fiecare u.m. de profit obţinut proiectul C este mai riscant decât proiectul D.1 2. Principiile teoriei portofoliilor Teoria portofoliilor este teoria alegerii între proiectele riscante şi include explicit riscul în formularea sa. În t0 o persoană deţine o sumă S0. Planurile sale se îndreaptă spre perioada t0+t1 (t1 orizontul economic al agentului). Faţă de ansamblul de proiecte riscante existente pe piaţă, cea mai bună alegere pentru individ nu este concentrarea investiţiilor sale către un singur proiect, ci repartizarea averii sale în mai multe proiecte. Interesul său este să practice diversificarea şi să constituie un portofoliu de proiecte. Acest comportament îi este dictat de aversiunea pentru risc. Diversificarea permite reducerea riscului, dar nu permite niciodată eliminarea completă a acestuia. Procesul de reducere a riscului prin diversificare este simplu, dar implicaţiile sale sunt considerabile şi este meritul lui Markowitz2 care le-a descoperit. Această teorie priveşte, de regulă, activele fizice şi financiare existând cel puţin trei motive care impun necesitatea de a fi tratate ca active financiare:

- activul financiar (acţiune, obligaţiune) are exact caracteristicile întregului proiect redus la aspectul său financiar. Decizia de cumpărare a unui titlu este în întregime descrisă în fraza următoare: cheltuim în t0 o sumă certă în vederea obţinerii unei sume viitoare nesigure, adică a preţului de revânzare a titlului în t1 şi a dividendelor (pentru acţiuni) sau a dobânzilor (pentru obligaţiuni) percepute pe perioada t0---t1.

1 Deviatia standard la ambele proiecte este de 300 u.m., in schimb coeficientul de variatie:

075,01000400CV3,0

1000300CVeste

RCV DC ====

σ=

Aceasta arata caproiectul D este mai putin riscant pe unitatea de profit asteptat. 2 Harry Markowitz, "Portofolio selection. Efficient Diversification of Investiments", 1959.

- există serii istorice de date (cursurile titlurilor, dividendelor şi dobânzilor) care permit studiile empirice şi verificarea unor teste statistice.

- piaţa acestor titluri este suficient de aproape de condiţiile ideale postulate de ipotezele teoriei.

3. Rentabilitatea şi riscul unui portofoliu format din două titluri Un investitor are de ales între două titluri T1 şi T2 sau are în mod egal posibilitatea constituirii unui portofoliu P repartizând suma pe care doreşte s-o investească între cele două titluri. Anticipările sale privind comportamentul titlurilor în perioada viitoare sunt rezumate în datele următoare:

21121222

211

1 Co,ETET σσρ⎩⎨⎧

⎩⎨⎧ =νσσ

Reamintim semnificaţia notaţiilor utilizate, i şi j fiind două titluri oarecare: Ei - speranţa matematică a ratei rentabilităţii titlului i; σi - abaterea standard a ratei rentabilităţii titlului i; ρij - coeficientul de corelaţie între ratele rentabilităţii titlurilor i şi j; Covij - covarianţa între ratele rentabilităţii titlurilor i şi j. Portofoliul P este obţinut combinând cele două titluri în proporţia X1 şi X2. Totalitatea sumei disponibile este investită în T1 şi T2. Avem relaţia:

X1 + X2 = 1 cu X1, X2 ≥ 0 sau 0 ≤ X1 ≤ 1; 0 ≤ X2 ≤ 1. Speranţa matematică a ratei randamentului portofoliului P(Ep): Ep = X1E1 + X2E2 Speranţa randamentului este media ponderată a speranţei randamentelor titlurilor, ponderile fiind proporţiile.

Dispersia sau varianţa (Vp) ratei randamentului portofoliului P este, dupa citeva prelucrari algebrice :

2112212

221

21p

12212221

21p

XX2VXVXV

CovXX2VXVXV

σσρ++=

++=

Dispersia portofoliului este funcţie de dispersia fiecărui titlu, de proporţiile în care sunt combinate şi de covarianţa între cele două titluri. Plecând de la două titluri T1 şi T2 astfel încât E1 < E2 şi σ1 < σ2, diferitele portofolii care pot fi constituite vor fi studiate în planul E - σ. Potrivit gradului de dependenţă (sau de covarianţă sau de corelaţie) între T1 şi T2, pot fi obţinute diferite tipuri de portofolii .Se disting trei cazuri: 1) Dacă ρ12 = 1: titlurile T1 şi T2 sunt perfect şi pozitiv corelate ceea ce semnifică anticiparea pentru randamentul acestor titluri a unor mişcări perfect concordante în timp, dar cu posibile amplitudini diferite (figura 6.3). În acest caz avem 12212

221

21p CovXX2VXVXV ++=

21122122

22

21

21

2 2 σσρσσσ XXXXp ++= cu 112 =ρ .

Adică ( ) 22112

2211212122

22

21

21 2 σσσσσσσσσ XXsiXXXXXX p +=+=++

Fig. 6.3. Evoluţia ratei randamentului a două titluri

perfect şi pozitiv corelate

Abaterea standard a portofoliului este media abaterilor standard ale titlurilor care îl compun. Reunind cele două ecuaţii şi raportând la randamentul şi la riscul portofoliului P, 2211p EXEXE += şi

2211p XX σ+σ=σ obţinem ecuaţia )(fE pp σ= , ca spaţiu al combinărilor titlurilor T1 şi T2 în planul E - σ. Stim că X1 + X2 = 1, adică X2 = 1 - X1.

Din ecuaţia randamentului asteptat , obţinem 21

2p1 EE

EEX

−−

= dacă

E1≠E2 pe care îl înlocuim in ecuaţia lui σp. Obţinem ecuatia RISC-RENTABILITATE :

21

1221

21

21pp EE

EEEE

E−

σ−σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−σ−σ

=σ

Aici relaţia între Ep şi σp este liniară şi se reprezintă grafic printr-o dreaptă.

Fig. 6.4. Locul geometric al portofoliilor obţinute plecând de la două titluri perfect şi pozitiv corelate

E

E2

E1 T1

T2

σ1 σ2

σ

Toate portofoliile obţinute plecând de la T1 şi T2 (cu X1 şi X2 ≥ 0) se găsesc pe segmentul de dreaptă T1T2. 2) Dacă ρ12 = -1, titlurile T1 şi T2 sunt perfect şi negativ corelate. Anticipăm pentru randamentul acestor titluri fluctuaţii perfect opuse. În acest caz ecuatia :

12212221

21p CovXX2VXVXV ++=

se scrie: 2121

22

22

21

21

2p XX2XX σσ−σ+σ=σ

adică: ( )22211

2p XX σ−σ=σ

Abaterea standard fiind totdeauna pozitivă, vom face discuţie pentru semnul expresiei ( 2211 XX σ−σ ) care variază în funcţie de X1 şi X2.

Fig. 6.5. Evoluţia randamentelor a două titluri perfect şi negativ corelate

Pentru 2211p221121

21 XXsi0XXavemX σ−σ=σ>σ−σ

σ+σσ

>

Această relaţie, împreună cu relaţia Ep = X1E1 + X2E2, permite determinarea ecuaţiei de legătură între Ep şi σp.

R

R1

R2

t

Obţinem astfel ecuatia RISC-RENTABILITATE

( ) ( )21

2112

21

21pp EE

EEEE

E−

σ+σ−

−σ+σ

=σ .

Este vorba de o relaţie liniară reprezentată grafic de o dreaptă. Partea, din această dreaptă, corespunzătoare la:

21

21X

σ+σσ

>

este locul portofoliilor obţinute plecând de la titlurile T1 şi T2 (ramura 1 a graficului 6.6). Pentru

( )2211P221121

11 XXsi0XXavemX σ−σ−=σ<σ−σ

σ+σσ

<

Procedând ca mai sus obţinem relaţia liniară care leaga Ep şi σp.

( ) ( )21

2112

21

21pp EE

EEEE

E−

σ+σ+

−σ+σ

−=σ

O parte a acestei drepte, cea corespunzătoare lui 21

21X

σ+σσ

<

este legea portofoliilor obţinute combinând T1 şi T2 (ramura 2 a graficului 8.6).

În sfârşit, pentru 21

21X

σ+σσ

= avem σp = 0.

Acest rezultat este remarcabil, deoarece el arată că plecând de la două titluri riscante este posibil ca alegând riguros proporţiile (0 ≤ X1 şi X2 ≤ 1), să se construiască un portofoliu neriscant. Acest rezultat este posibil dacă titlurile T1, T2 sunt perfect şi negativ corelate.

Fig. 6.6. Legea portofoliilor obţinute plecând de la titluri perfect şi negativ corelate

3) Dacă -1 < ρ12 < +1 (incluzând ρ12 = 0) fluctuaţiile anticipate pentru titlurile T1 şi T2 nu sunt perfect dependente (pozitiv şi negativ). Este cazul general; există un anumit grad de corelare între ratele randamentelor titlurilor datorită faptului că toate urmăresc mai mult sau mai puţin fluctuaţiile generale ale economiei. În urcare în perioada de expansiune, ratele randamentelor titlurilor cunosc o încetinire şi chiar o scădere când conjunctura este mai puţin favorabilă. Pe ansamblu, titlurile sunt pozitiv (dar nu perfect) corelate între ele şi cu ansamblul economiei. Un titlu corelat negativ este foarte rar, minele de aur fiind un exemplu din această categorie de titluri. În cazul general, obţinem pentru un portofoliu de două titluri: 12212

221

21p CovXX2VXVXV ++=

cu -1 < ρ12 < +1 adică: 122121

22

22

21

21

2p XX2XX ρσσ+σ+σ=σ care nu poate fi pusă sub forma

unui pătrat perfect, ca în cazul celor două situaţii precedente. Plecând de la această ecuaţie şi de la cea a lui Ep (Ep = X1E1 + X2E2), stabilim relaţia care leagă pe Ep şi σp. Din ecuaţia lui Ep obţinem X1 = (Ep-E2)/E1-E2) valoare pe care o introducem în ecuaţia lui Vp. Dezvoltând obţinem ecuatia RISC-RENTABILITATE:

E2

E1

T2

T1

σ2σ1 σ

ramura 2

ramura 1

E

( )

( ) ( )( )

( )221

12212211

22

221

112221212

21

12212

2

22

EEcovEEVEVE

EEVcovEVcovEE

EEcovVVEVp pp

−

−++

+−

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+=

Ecuaţia obţinută în planul E-V este aceea a unei familii de parabole. În planul E-σ ecuaţia )E(fV ppp ==σ reprezintă o familie de hiperbole din care reţinem o ramură, respectiv aceea corespunzând valorilor σp pozitive. În figura 6.7 sunt reprezentate curbele obţinute pentru diferite valori posibile ale coeficientului de corelatie al celor două titluri. Pe măsură ce corelarea între cele două titluri scade, concavitatea curbei se accentuează. Trecem astfel progresiv de la dreapta T1T2 corespunzând corelaţiei maxime (ρ12 = 1) la curbe la început uşor rotunjite, apoi din ce în ce mai accentuate care se ridică deasupra şi la stânga dreptei pe măsură ce trecem la grade de corelare mai mici, până ajungem cu ρ12 = -1 la o soluţie unde legea portofoliilor este compusă din două segmente de dreaptă încadrând curbele descrise anterior. Cazul a două titluri independente (ρ12 = 0) constituie o etapă intermediara în această evoluţie.

Fig. 6.7. Locul geometric al portofoliilor obţinute plecând de la două titluri.

Ansamblul de cazuri posibile

Câteva observaţii pot fi formulate despre avantajele diversificării. a) Diversificarea este interesantă imediat ce ρ12 < 1. b) Plecând de la două titluri T1 şi T2 este posibil în anumite cazuri să se obţină portofolii având un risc inferior riscului fiecărui titlu care-l compune; aceasta este posibil când

( )212

112 σ<σ

σσ

<ρ

Aceasta va fi întotdeauna posibil cu titluri cu riscuri independente sau corelate negativ (ρ12 ≤ 0). c) Există în fiecare situaţie un portofoliu de risc minim care corespunde proporţiilor X1 şi X2 determinate. Acest portofoliu de risc minim are un risc nul într-un singur caz, când ρ12 = -1. În toate celelalte cazuri riscul minim este pozitiv. Nu este posibil să se elimine riscul, decât în cazul în care combinăm două titluri perfect şi negativ corelate.

4. Contribuţia unui titlu la riscul şi la randamentul portofoliului în care este inclus (cazul portofoliului de două titluri)

Fie cazul unui portofoliu constituit pornind de la două titluri T1 şi T2 combinate în proporţiile X1 şi X2. Se ştie că Ep = X1E1 + X2E2. Avem X1E1 - contribuţia titlului 1 la speranţa portofoliului. Această contribuţie este funcţie de speranţa de randament a titlului E1 şi de proporţia investită în titlu X1 . În ceea ce priveşte riscul, problema este mai complexă.

122122

22

21

21

2p covXX2XX +σ+σ=σ

se mai poate scrie:

( ) ( )

( ) ( )

),cov(),cov(

covcovcovcov

covcov

covcov

221122221111

12122221221111

1212222122

2111

122122

221221

21

21

2

TXTXTXTXTXTX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXXp

+++=

+++=

+++=

+++=

σσ

σσσ

p22p112p covXcovX +=σ

( S-a notat cu p= 2211 TXTX + portofoliul pietei) Aici X1cov1p reprezintă contribuţia titlului 1 la riscul portofoliului.

Această contribuţie este funcţie de proporţia investită în titlu X1şi de riscul titlului în portofoliu măsurat de cov1p/σp. Acest risc al portofoliului se măsoară plecând de la covariaţia dintre titlul 1 şi portofoliul la a cărei constituire participă. Am arătat că dacă este deţinut individual, exclusiv, titlul 1 îl face pe deţinătorul său să suporte un risc egal cu σ1; dacă el este deţinut în interiorul portofoliului P îi este asociat un risc egal cu cov1p/σp.

Plecând de la formula care defineşte riscul unui titlu într-un portofoliu,avem :

p

122211

p

p1 covXXcovσ+σ

=σ

Pot fi formulate următoarele concluzii:

- alegerea unui titlu în vederea includerii într-un portofoliu nu se va face în funcţie de caracteristicile sale individuale (σ1), ci în funcţie de comportamentul în cadrul portofoliului (cov1p). Un titlu puternic riscat (σ1 crescut) poate să aducă o slabă contribuţie la riscul unui portofoliu dacă este slab corelat cu celelalte titluri care constituie portofoliul. Dacă el este negativ corelat cu celelalte titluri care constituie portofoliul - caz rar - el este în mod special interesant datorită efectului reductor pe care îl va avea asupra riscului portofoliului la a cărei formare contribuie; - riscul portofoliului unui titlu nu este unic, el depinzând de portofoliul în care este inclus. Interesul investitorilor este să constituie portofolii în care riscul titlurilor să fie redus. Ei sunt incitaţi la a combina între ele titluri slab corelate.

5. Cazul general, portofoliul de n titluri a) Caracteristicile portofoliului de n titluri Dacă extindem, într-o primă fază, analiza precedentă la combinarea de 3 titluri, poate fi stabilită schema următoare:

Fig. 6.8 Studiul combinaţiilor de trei titluri

σ

Curba T1T2 regrupează portofoliile compuse plecând de la T1 şi T2, în acelaşi fel curba T1T3 regrupează portofoliile compuse plecând de la T1 şi T3, iar curba T2T3 regrupează portofoliile compuse pornind de la T2 şi T3. Conform celor arătate anterior, curba T1T2 este situată deasupra şi la stânga dreptei care uneşte T1 şi T2 în cazul în care două titluri nu sunt perfect corelate. Acelaşi raţionament pentru legea combinaţiilor lui T2 şi T3 şi pentru T1 şi T3. Fiecare punct din interiorul suprafeţei T1-T2-T3 poate fi analizat ca o combinaţie de trei titluri. Fiecare punct din suprafaţa T1-T2-T3 poate să se exprime ca o combinaţie de titluri T1, T2, T3. Suprafaţa este “plină”, ea nu conţine nici un gol. Există o infinitate de combinaţii posibile din cauza perfectei divizibilităţi a titlurilor. Acest raţionament poate fi aplicat şi în cazul a n titluri, ceea ce conduce la următoarele ecuatii :

ji;covXXXV

EXE

i i jijj1

2i

2ip

n

1iiip

≠∑ ∑∑+σ=

∑==

sau dacă notăm covij prin σij şi Vi = σi2 prin σii atunci:

∑∑ σ=

i jijjip XXV

b) Contribuţia unui titlu individual la riscul şi randamentul portofoliului în care este inclus- cazul a n titluri. Fie n titluri Ti combinate în proporţiile Xi (de la X1 la Xn cu

∑ ==

n

1ii 1X )

Riscul titlului i în portofoliu va fi:

444444444 3444444444 21

termenininniiiip covX...X...covXcovXcov

⋅

++σ+++= 212211

Dispersia titlului i nu constituie decât un termen printre cei n termeni, ceilalţi (n-1) termeni fiind covariante. Vom observa şi în acest caz rolul fundamental al covarianţei între titluri pentru diversificare şi faptul că riscul individual al titlului (σi) nu intervine

decât ca un element alături de celelalte (n - 1) în calculul riscului unui portofoliu. Contribuţia titlului i la riscul portofolilului P este egală cu Xicovip. Putem deci exprima riscul portofoliului P ca suma contribuţiilor titlurilor care îl compun:

∑=

=σ=n

1iipi

2pp covXV şi

∑σ

=σ=

n

1i p

ipip

covX

Astfel formulat, riscul portofoliului P (σp) este media ponderată a riscurilor titlurilor ce compun portofoliul. 6. Piaţa perfectă Pe o piaţă perfectă sunt reunite următoarele condiţii: - nici un investitor nu domină piaţa şi nu poate de unul singur să influenţeze cursul titlurilor; - informaţia circulă liber, toţi agenţii au acces gratuit şi imediat la toate informaţiile privind titlurile; - se face abstracţie de impozite, taxe şi costuri ale tranzacţiilor; - titlurile sunt infinit divizibile. O piaţă care îndeplineşte aceste condiţii este eficientă. Toate informaţiile privind un titlu sunt imediat şi total reflectate în curs, care furnizează în orice moment cea mai bună expresie a valorii titlului. Apariţia unei informaţii favorabile va incita investitorii să devină cumpărători, antrenând o creştere a cursului şi tranzacţiile se vor desfăşura la un preţ în care va intra şi informaţia nouă. Opusul se va produce în cazul informaţiei defavorabile. Nu este deci posibil pentru un investitor oarecare să obţină un profit pornind de la o informaţie particulară privind o societate. Deoarece informaţiile noi apar în mod întâmplător, şi cursurile titlurilor fluctuează în mod aleator. 7. Portofoliul eficient, frontiera de eficienţă Riscul de portofoliu se reduce pe măsură ce numărul de titluri pe care le conţine creşte. Măsura însă în care adăugarea de titluri la portofoliu reduce riscul acestuia depinde de gradul de corelaţie dintre titluri. Cu cât este mai mic coeficientul de corelaţie, cu atât este mai

mic riscul rămas într-un portofoliu mare. Dacă am putea găsi un set de titluri al căror coeficient de corelaţie ar fi zero sau negativ, riscul ar putea fi eliminat. În situaţia tipică în care coeficienţii de corelaţie dintre titlurile individuale sunt pozitivi şi mai mici ca 1 riscul poate fi eliminat parţial dar nu total. Setul ipotetic al tuturor portofoliilor posibile, numit set realizabil este reprezentat de suprafaţa haşurată din figura 6.9. Însă nu toate aceste portofolii prezintă oportunităţi din care un investitor de portofoliu sau o firmă să aleagă. Un portofoliu eficient este un portofoliu care oferă rentabilitatea maximă posibilă pentru orice grad de risc sau gradul de risc minim posibil pentru orice rentabilitate estimată. Din figură, frontiera BCDE defineşte setul de portofolii eficiente.3 Portofoliile aflate la stânga setului eficient nu sunt posibile deoarece sunt în afara setului realizabil (adică nu există nici un set de valori ale ratei de rentabilitate care să ofere portofoliului o rată estimată a rentabilităţii şi un risc, care să fie reprezentate printr-un punct aflat la stânga curbei BCDE). Portofoliile aflate la dreapta setului eficient sunt ineficiente, deoarece un alt portofoliu ar putea oferi, fie o rentabilitate mai mare cu acelaşi grad de risc, fie un risc mai mic pentru aceeaşi rată a rentabilităţii (exemplu: portofoliul X).

Fig. 6.9 Portofolii eficiente, curba înfăşurătoare şi frontiera eficientă

3 Desi curba ABCDE, numita curba infasuratoare prezinta un set de portofolii fezabile, numai portiunea BCDE reprezinta un set eficient de portofolii din punct de vedere al rentabilitatii si riscului.

Ep E

F

G

A

D C

B

0 σp

8. Relaţia caracteristică în interiorul unui portofoliu eficient Notăm cu "e" indexul portofoliului eficient. Portofoliul e este acel portofoliu care pentru un randament aşteptat notat cu Ee are cel mai mic risc. Proporţiile Xi care conduc la portofoliul e (notate Xie) satisfac următoarele condiţii:

2/1

i jijjip covXXmin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑∑=σ

sub restricţiile:

∑

∑

=

==

ii

ieiip

1X

EEXEşi

Fig. 6.10. Portofoliul e Utilizând metoda Lagrange, vom avea:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑−λ+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑−λ+σ=

ii2

iiie1p X1EXEL

Pentru a obţine soluţia optimă vom rezolva sistemul(CNO):

0EXX

L

0EXX

L

0X1L

0EXEL

2n1n

p

n

2111

p

1

ii

2

iiie

1

=λ−λ−∂

σ∂=

∂∂

=λ−λ−∂

σ∂=

∂∂

=−=λ∂∂

=−=λ∂∂

∑

∑

M

Din care, pentru oricare i şi j, vom avea:

jj

pi

i

p EX

EX 11 λ−

∂

σ∂=λ−

∂

σ∂

Multiplicatorul λ1 măsoară variaţia riscului pe unitatea de variaţie a randamentului,

e

e1 E∂

σ∂=λ ,

adică panta tangentei la frontiera de eficienţă în punctul e. Notăm cu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂σ∂

−∂σ∂

=−⇒=λ⇒σ∂∂

=i

e

j

eeij

e1

e

ee XX

sEEs1Es

Multiplicând fiecare termen cu Xie şi însumând după i vom obţine:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=−⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=−

∑∑

∑∑∑

i

e

iie

j

ee

iiiej

i

e

iie

j

e

iiee

iijie

XX

XsEXE

XX

XXsEEX

σσ

σσ

∑i

iieEX - suma contribuţiilor titlurilor la randamentul portofoliului

e (Ee);

j

e

X∂σ∂ - riscul titlului în portofoliul e ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σe

jecov;

i

e

iie X

X∂σ∂

∑ - suma contribuţiilor titlurilor la riscul portofoliului e

(σe). Atunci vom obţine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

σ=− e

e

ipeej

covsEE

Aceasta este condiţia necesară, dar nu şi suficientă, de eficienţă pentru un titlu pentru a fi deţinut într-un portofoliu eficient. Strategia de acţiune a unui investitor este determinată de reuniunea dintre mulţimea dorinţelor şi mulţimea posibilităţilor. Mulţimea dorinţelor este constituită din curbele de indiferenţă care sunt expresia preferinţei investitorului în planul E - σ şi rezultă direct din funcţia sa de utilitate. Mulţimea posibilităţilor este reprezentată de frontiera de eficienţă în planul E - σ care se obţine plecând de la mulţimea anticipaţiilor investitorilor privind titlurile individuale. Numai portofoliile eficiente sunt însă luate în considerare de investitor. Alegerea investitorului va fi cea care corespunde punctului de tangenţă dintre cele două curbe. În acest punct se obţine portofoliul optim. Portofoliul ales va depinde de gradul de aversiune pentru risc al investitorului. Dacă aversiunea sa este puternică, el va alege un portofoliu situat pe partea stângă a frontierei de eficienţă, corespunzătoare celui mai mic nivel de risc. Cu o aversiune mai slabă va selecta un portofoliu situat mai la dreapta pe frontieră. Raţionamentele teoriei portofoliului sunt construite pe ipoteza aversiunii la risc a agenţilor economici şi a comportamentului acestora. În continuare, să admitem existenţa unui titlu fără risc RF alături de ansamblul de titluri riscante.

Fie un portofoliu constituit în proporţii X1 cu titlu fără risc (RF > 0 şi σRF = 0) şi X2 cu titlu riscant (E2 > 0 şi σ2 > 0)

⎩⎨⎧

σ=σ⇒σ=σ+=

⇒22p

22

22

2p

22F1p

XXEXRXE

X1 + X2 = 1

2F2

Fpp RE

REσ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=σ⇒

Portofoliile obţinute combinând RF şi T2 se găsesc pe semidreapta RFT2x (figura 6.11). În RF, portofoliul nu este diversificat, fiind compus numai din titluri fără risc (X1 = 1 şi X2 = 0). Între RF şi T2, portofoliile sunt diversificate, compuse din titluri fără risc RF şi din titluri riscante T2(X1 > 0 şi X2 > 0 cu X1 + X2 = 1). În T2 portofoliul nu este diversificat fiind compus numai din titluri cu risc T2 (X1 = 0 şi X2 = 1). În zona T2x avem portofolii cu X1 <0 şi X2 > 1. O proporţie negativă se interpretează ca o emisiune de titluri ale investitorului. El emite titluri fără risc şi utilizează fondurile împrumutate pentru a creşte plasamentul în titluri riscante T2. Ansamblul combinaţiilor studiate se găseşte pe aceeaşi dreaptă deoarece se admite că împrumutul şi dobânda se fac cu acelaşi procent. Fiecare titlu riscant de pe piaţă (sau fiecare portofoliu posibil de construit plecând de la titluri riscante) poate fi combinat cu un titlu neriscant. De fiecare dată, combinaţiile obţinuite sunt situate pe o semidreaptă ce leagă RF cu unul din portofoliile situate pe frontiera de eficienţă.

Fig. 6.11. Locul combinaţiilor de titluri neriscante şi a unui portofoliu de titluri riscante

Combinatii de dobanzi si titluri riscante

Combinatii de imprumuturi si titluri riscante

E

RF

σ

T2

x

Una din aceste semidrepte le domină pe toate celelalte şi anume aceea care este tangentă la frontiera de eficienţă în punctul O. Toate combinaţiile situate pe semidreapa RFOx domină toate portofoliile posibil de construit pornind de la titlurile existente pe piaţă. (Se poate constata că toate portofoliile compuse, în mod unic, din titluri riscante sunt dominate de portofoliul O). Semidreapta RFOx (figura 6.12) constituie noua frontieră de eficienţă atunci când există un titlu fără risc. Oricare ar fi gradul de aversiune pentru risc al unui investitor acesta va alege un portofoliu eficient situat pe această semidreaptă. Portofoliul ales va fi întotdeauna o combinaţie de titluri fără risc şi de portofoliu O care se numeşte combinaţia optimală de titluri riscante. Dacă investitorul are un grad mare de aversiune pentru risc el va alege un portofoliu situat între RF şi O, care este o combinaţie de sume date cu împrumut şi portofoliu de titluri riscante. Dacă aversiunea sa este mai mică el va alege un portofoliu situat la drapta punctului O, şi va fi o combinaţie de sume luate cu împrumut şi de portofoliul O. Un individ care îşi constituie un portofoliu acţionează în două etape: mai întâi selecţionează o combinaţie optimală O şi apoi o combină pe aceasta cu sume date cu împrumut sau împrumutate, pentru a adapta plasamentul său la gradul de risc, formând astfel portofoliul care îi convine.

Fig. 6.12. Frontiera de eficienţă cu un titlu neriscant

E

Rf

O

X

E

A

9. Volatilitatea portofoliilor Este foarte dificil să găsim titluri de valoare ale căror rentabilităţi estimate să nu fie corelate pozitiv, cele mai multe titluri de valoare tind să fie performante când economia este puternică, şi neperformante când economia este slabă. efectează aproape toate acţiunile, fiind virtual imposibil de eliminat. Acea parte a riscului unui titlu de valoare care poate fi eliminată prin diversificare se numeşte risc diversificabil, risc specific companiei (riscul de firmă) sau nesistematic. Acea parte a riscului unui titlu de valoare care nu poate fi eliminată prin diversificare se numeşte risc nediversificabil, risc de piaţă sau matematic. Riscul de firmă este cauzat de existenţa unor acţiuni în justiţie, greve, succesul sau insuccesul programelor de marketibg, câştigul sau pierderea unor contracte majore şi alte evenimente care au loc în cadrul firmei respective. Deoarece aceste evenimente sunt în esenţă aleatoare, efectele lor asupra portofoliului pot fi eliminate prin diversificare - evenimente nefavorabile dintr-o firmă vor fi compensate de evenimente favorabile dintr-o altă firmă. Riscul de piaţă, pe de o parte, se referă la conflicte armate, inflaţie, recesiuni şi variaţii ale ratei dobânzi. Aceşti factori afectează toate firmele simultan. Deoarece toate fiemele sunt afectate în aceaşi direcţie de către aceşti factori, acest tip de risc nu poate fi eliminat prin diversificare. Riscul total al unei acţiuni este suma dintre riscul de firmă şi riscul de piaţă. Faţă de fluctuaţiile pieţei, nu toate titlurile se comportă identic. Cea mai mare parte a lor au tendinţa de a urma piaţa, dar această evoluţie se poate face cu o intensitate mai mare sau mai mică, anumite titluri urcă mai mult, altele mai puţin decât piaţa. Există de asemenea, titluri mult mai rare care evoluează contrar cursului mişcării generale, şi chiar în acest caz cu o intensitate mai mare sau mai mică. Volatilitatea măsoară această sensibilitate a titlului faţă de mişcările pieţei. Ea poate fi pozitivă (cel mai adesea) sau negativă (mai rar) şi mai mult sau mai puţin puternică după cum fluctuaţiile titlului le accentuează sau le atenuează pe cele ale pieţei. Două abordări sunt posibile pentru a evalua volatilitatea unui titlu. Prima se bazează pe o cunoaştere aprofundată a firmei, a domeniului său, a produsului său, a organizării ei, a comportamentului acţionarilor, a proiectelor conducerii şi caută să determine, plecând de

la aceste elemente, care va fi răspunsul titlului la fluctuaţiile pieţei. Documentele contabile joacă un rol important în această abordare. Trebuie însă să luăm în considerare complexitatea unei asemenea evaluări, deoarece este vorba de a se integra într-o singură cifră un număr considerabil de informaţii. A doua abordare a problemei se face sub un unghi diferit şi se bazează pe un raţionament statistic. Ea porneşte de la piaţă, de unde numele de model de piaţă dat acestei abordări.

10. Bazele statistice ale modelului de piaţă Fie Ri ratele de randament anticipate pentru titlul i şi RM rata anticipată pentru piaţă. Ri şi RM sunt variabile aleatoare. Anticipările cu privire la Ri şi RM pot fi reprezentate printr-un nor de puncte în planul Ri - RM (figura 6.13). Prin acest nor de puncte putem face să treacă o dreaptă de regresie , de ajustare liniară. Această dreaptă este construită în aşa fel încât să minimizeze E(εi

2), speranţa pătratului abaterilor între punctele norului şi dreaptă. Ecuaţia sa este Ri = αi + βiRM. Dreapta astfel construită trece prin punctul de coordonate (Ri, RM) şi obţinem pentru coefiienţii αi şi βi următoarele valori:

- panta dreptei 2M

iM2M

Mii

cov)R,Rcov(

σ=

σ=β

- şi Miii RE β−=α

Fig. 6.13. Modelul pieţei Această dreaptă de regresie a lui Ri in functie de RM se mai numeşte şi "dreapta caracteristică" a titlului i. Panta sa βi măsoară volatilitatea titlului i. Dacă titlul evoluează în acelaşi sens cu piaţa, panta βi este superioară unităţii (βi > 1), titlul i are tendinţa de a amplifica fluctuaţiile pieţii, este vorba de un titlu ofensiv sau agresiv: dacă piaţa este orientată spre creştere, un asemenea titlu are tendinţa de a progresa mai mult decât piaţa, dar dacă piaţa este în scădere, acest titlu are tendinţa de a coborî mai mult decât piaţa. Dacă 0 < βi < 1, titlul i are tendinţa de a urma fluctuaţiile pieţei într-o măsură atenuată, este un titlu defensiv. Dacă βi = 1, este vorba de un titlu neutru care are tendinţa de a reproduce mişcările pieţei. Când volatilitatea este negativă (βi < 0), titlul evoluează în opoziţie cu piaţa. Asemenea titluri sunt rare. După intensitatea acestei tendinţe, vom avea ca în cazul volatilităţilor pozitive, titluri "agresive" (βi < -1), "neutre" (βi = -1) sau "defensive" (-1 < βi < 0) în opoziţie cu piaţa. Această analiză poate fi extinsă prin trei observaţii: 1) Volatilitatea se raportează la mişcările titlurilor de-a lungul dreptei de regresie, adică la mişcările legate de piaţă. Această dreaptă

Ri

RM

nu ţine seama de totalitatea mişcărilor titlului, ci numai de orientarea lor generală faţă de piaţă, deoarece punctele din nor nu urmează în mod riguros dreapta. Ele se distanţează mai mult sau mai puţin, în funcţie de volatilitatea titlurilor. Distanţele (εi) corespund mişcărilor legate de caracteristiile proprii titlului. Relaţia între variabilele aleatoare Ri şi RM se scrie Ri = αi + βiRM + εi. 2) Volatilitatea portofoliului se calculează pornind de la volatilităţile titlurilor care-l compun. Fie portofoliul constituit în proporţiile X1 şi X2 din titlrile T1 şi T2. Stiind că covpM = X1cov1M + X2cov2M, putem scrie notând βp, β1 şi β2 volatilităţile respective ale portofoliului şi ale fiecărui titlu T1 şi T2:

22112M

M22M112M

pMp XXcovXcovXcov

β+β=σ+

=σ

=β

Volatilitatea unui portofoliu este media ponderată a volatilităţilor titlurilor care îl compun. Cunoscând β1 şi β2, alegând X1 şi X2 într-un mod adecvat, este posibil să se construiască un portofoliu având gradul dorit de volatilitate, plecând de la două titluri T1 şi T2 oarecare. 3) Volatilitatea unui titlu nu poate fi observată; cu toată rigoarea, ea rezultă din anticipările îndreptate către perioada pentru care avem intenţia să deţinem un portofoliu. În acelaşi timp este posibil să estimăm volatilitatea viitoare plecând de la date anterioare. 11. Riscul sistematic (rs) şi riscul nesistematic (rns) al unui titlu Relaţia între variabilele aleatoare Ri şi RM (ecuaţia modelului pieţei) permite evidenţierea celor două componente ale randamentului titlului i:

Ri = αi + βiRM + εi unde: Ri - randamentul titlului; αi +βiRM - randament legat de piaţă; εi - randament legat de caracteristicile proprii titlului. Aceeaşi descompunere poate fi făcută pentru riscul titlului i. V(Ri) se obţine ca dispersia unei sume de variabile aleatoare.

V(Ri) = V(αi + βiRM + εi) V(Ri) = 2

iβ V(RM) + V(εi) + 2βicov(RM,εi) risc legat risc nulă prin de piaţă propriu construcţia sau risc sau risc dreptei de sistematic nesistematic regresie sau risc sau risc nediversificat diversificabil Pentru riscul sistematic (rs) avem:

( ) 2i

2iM2

M

2MiiM2

M

2

2M

iMM

2i

2i

cov)R(V)rs( σρ=σ

σσρ=σ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ=β=

Stiind că riscul total este suma riscului sistematic şi al celui nesistematic, avem:

( ) ( ) ( )2i2i

2iM

2i

2i

2i rnsrnsrs +σρ=+=σ

atunci este posibil să scriem:

( ) 22

22

2

2

iMi

iiM

i

irsρ=

σ

σρ=

σ

Pătratul coeficientului de corelaţie măsoară partea din riscul total (măsurat aici prin dispersie) care este explicată prin piaţă şi ( )2

iM1 ρ− măsoară partea complementară sau partea riscului total datorată caracteristicilor proprii titlului. Dacă titlui i este perfect corelat cu piaţa, pozitiv sau negativ, ( )1si1 2

iMiM =ρ±=ρ , dreapta de regresie explică perfect comportamentul titlului, εi sunt nuli, semn că nici o mişcare nu vine de la caracteristicile propii titlului şi deci tot riscul titlului este legat de piaţă. Imediat ce corelaţia nu mai este perfectă (ρiM ≠ ±1), punctele se depărtează de dreaptă şi cu atât mai mult cu cât ρiM se apropie de zero. Dacă punctele sunt foarte dispersate în jurul dreprei, riscul sistematic nu constituie decât o infimă parte în riscul

total; volatilitatea ţine seama de comportamentul titlului într-un mod limitat şi nu are decât puţină semnificaţie.

12. Riscul sistematic şi riscul nesistematic al unui portofoliu Pentru un portofoliu constituit din titlurile T1 şi T2 în proporţiile X1 şi X2, riscul se calculează după relaţia cunoscută:

12212221

21p covXX2VXVXV ++=

Raţionând conform modelului pieţei avem succesiv :

)(VVV

)(VVV

2M222

1M211

ε+β=

ε+β=

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )21M22M112M21

2M221M112112

,covRcovRcovR,Rcov)R,Rcov(Cov

εε+εβ+εβ+σββ=

=ε+β+αε+β+α==

termenii nuli prin construcţia dreptei de regresie covarianţa între caracteristicile proprii titlurilor care se admite că este foarte mică, deci neglijabilă |Tinând seama de ipotezele introduse vom avea:

2M2112Cov σββ=

Se obţine o expresie a covarianţei între titlurile T1 şi T2 care se interpretează astfel: covarianţele între două titluri se explică în întregime prin piaţă, sau covarianţele între titlurile T1 şi T2 sunt datorate în întregime influenţei comune pe care ele o suportă din partea pieţei. Covarianţa între caracteristicile proprii titlurilor este considerată neglijabilă.

Această ipoteză simplificatoare a modelului pieţei are consecinţe importante pentru calculul dispersiei unui portofoliu. Astfel:

[ ] [ ] 2M21212M

22

221M

21

21p XX2)(VVX)(VVXV σββ+ε+β+ε+β=

Dezvoltând:

)(VX)(VX)XX(V

)(VX)(VX)XX2XX(V

2221

21

2M

22211p

2221

21

2M2121

22

22

21

21p

ε+ε+σβ+β=

ε+ε+σ×ββ+β+β=

Înlocuind (X1β1+X2β2) cu βp şi generalizând la n titluri obţinem:

∑=

∑=

β=βε+σβ=n

1iiip

luiportofoliualrns

n

1ii

2i

luiportofoliualrs

2M

2pp Xcu)(VXV

4434421321

13. Ipotezele teoriei pieţelor financiare

13.1. Piaţa perfectă

O piaţă perfectă este acea piaţă care reuneşte condiţiile de atomicitate (nici un investitor nu domină piaţa); de transparenţă (informaţia este accesibilă în totalitate şi imediat) şi de fluiditate (absenţa impozitelor, taxelor şi costurilor de tranzacţii precum şi perfecta divizibilitate a titlurilor). Ipoteza pieţei perfecte este necesară aşa cum am arătat pentru elaborarea teoriei portofoliilor. Ipoteza suplimentară a omogenităţii anticipaţiilor permite extinderea raţionamentelor teoriei portofoliului prin luarea în considerare a relaţiilor de echilibru caracteristice teoriei pieţelor financiare. În timp ce obiectul de studiu al teoriei portofoliului este comportamentul investitorului individual (ce portofoliu deţine), teoria pieţelor financiare se interesează de ansamblul de investitori, adică de piaţă. Ipoteza omogenităţii anticipărilor simplifică trecerea individului la

piaţă şi conduce la Modelul preţului activelor de capital4 (Capital Asset Pricing Model (CAPM)), în care fiecare titlu este caracterizat printr-o relaţie simplă între riscul şi randamentul său.

13.2. Piaţa în echilibru O piaţă este în echilibru atunci când toţi investitorii deţin portofoliul pe care doresc să-l deţină. Solicitanţii şi-au procurat titlurile căutate iar toţi ofertanţii care vroiau să-şi plaseze titlurile şi-au găsit o repartizare a acestora. Nu există nici o presiune pentru ca un investitor oarecare să dorească să-şi schimbe structura portofoliului său. Toate tranzacţiile necesare pentru a ajunge la această situaţie au avut loc şi cursurile titlurilor au evoluat, crescând sau descrescând după caz antrenând modificările necesare ale lu Ri, σi şi Xi (figura 6.14).

Fig. 6.14. Portofoliul pieţei Schema de mai sus este caracteristică portofoliului pieţei şi are aceeaşi interpretare ca cea de la portofoliul eficient la care se adaugă ipoteza suplimentară a omogenităţii anticipărilor.

4 Primele formulari ale modelului de echilibru au fost elaborate integrand titlul fara risc: (modelul fundamental al lui Sharpe -Lintner - Massin), unii autori considerand ca ipoteza existentei unui titlu fara risc este prea restrictiva, invocand in acest sens ca imprumutul si suma imprumutata care se fac la aceeasi dobanda. Cele doua dobanzi sunt cel mai adesea distincte, dobanda crescand o data cu marimea imprumutului. Caracterul neriscant al unui titlu poate fi negat prin existen\a unui anumit risc de rambursare (de exemplu in eventualitatea unui cataclism) si mai cu seama datorita inflatiei care reduce puterea de cumparare a unei sume fixate nominal.

RF

R

σ σM0

RM Mx

O combinaţie optimală de titluri riscante devine portofoliu al pieţei (M) care este în mod necesar eficient. Acest lucru nu implică faptul că fiecare individ deţine piaţa în întregime ci doar faptul că portofoliul său de titluri riscante are exact aceeaşi compoziţie ca şi piaţa, reproducând-o la scară redusă şi variabilă funcţie de suma totală investită. Acest lucru este posibil datorită perfectei divizibilităţi a titlurilor. 14. Relaţia de echilibru între risc şi randament pe piaţă

Relaţia caracteristică stabilită pentru un titlu oarecare deţinut în interiorul unui portofoliu eficient

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

σ+= e

e

ieeei

covsRR

poate fi valabilă şi pe piaţa financiară considerând că portofoliul eficient este portofoliul pieţei M, iar i este indicele titlului i. Se obţine astfel relaţia de echilibru:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

σ+= M

M

iMMMi

covsRR

sM reprezintă panta frontierei de eficienţă (∂R/∂σ) în punctul M

{ {

44 344 21

.

;

cov:2)

(

cov

riscdepretRRMlportofoliuin

ititluluirisculelementedincompusa

riscdelegatarecompensa

M

iM

M

FM

timpdepretcantneristitlului

recompensaF

titluluimentuluirandasperantai

M

FMM

M

FM

M

iM

RRRRRRs

−−

−

−−

−−

⋅−

+=⇒−

=

σ

σ

σσσ

Această relaţie este ecuaţia de echilibru fundamentală pe piaţa financiară şi poartă numele de dreapta pieţei titlurilor (Security Market Line -SML) şi are următoarea interpretare: la echilibru, speranţa de randament a unui titlu este o funcţie liniară de riscul său, măsurat prin coviM/σM.

Tinând seama de această relaţie se pot face următoarele observaţii: - speranţa de randament a titlului i nu este funcţie de riscul său total σi. Numai coviM/σM este sursă de randament. Aceasta înseamnă că riscul titlului i nu este unic, el depinde de portofoliul în care este inclus. Riscul fiecărui titlu este redus la cel mai mic nivel posibil dacă structura portofoliului deţinut este aceeaşi cu a portofoliului pieţei (M). - ecuaţia SML se poate scrie şi sub altă formă. Astfel ştim că

MiiMiMcov σσ⋅ρ= şi că

( ) iFMFi

M

iiM

M

MMiiM

M

MiMi

RRRR

//cov

β−+=⇒

σσ

ρ=σ

σσσρ=

σσ

=β

care arată că relaţia de echilibru este valabilă pentru toate titlurile pieţei, deci şi pentru portofolii care sunt o categorie mai complexă de oportunităţi oferite de piaţă. Un portofoliu eficient se situează pe frontiera de eficienţă (adică pe semidreapta RFx din graficul anterior). Toate portofoliile eficiente şi portofoliul M sunt situate pe această semidreaptă situată în planul R -σ, ceea ce implică că ele sunt perfect corelate. Dacă p este un portofoliu eficient, atunci ρpM = 1 aceasta implică faptul că relaţia SML se poate scrie după cum urmează:

pM

FMF

M

MppM

M

FMF

M

pM

M

FMFp

RRRRRR

covRRRR

σ⋅σ−

+=σ

σσρ⋅

σ−

+=

=σ

⋅σ−

+=

Această ecuaţie reprezintă locul geometric al portofoliilor eficiente şi poartă numele de dreapta pieţei de capital (Capital Market Line, CML) şi arată că întreg riscul portofoliului p (σp) este recompensat (remunerat) O alternativă la modelul CAPM o reprezintă modelul APT (Arbitrage Pricing Theory). Rentabilitatea de la o acţiune individuală i în modelul APT se presupune a fi o funcţie liniară a unui număr de factori comuni:

Ri = ai + bi1F1 + bi2F2 + ... + biNFN +ei

unde: Ri - rentabilitatea pentru activul i; ai - rentabilitatea aşteptată pe acţiunea i dacă nu este influenţată de alţi factori; bij - coeficienţii de sensibilitate ai factorilor j (j = N,1 ); Fj - valoarea factorului i a cărui medie este 0 şi σ2 finită (factorii sunt ortogonali între ei); ei - eroarea reziduală şi măsoară rentabilitatea neanticipată prin factorii Fj (j = N,1 ) (risc specific). Relaţia arată că orice rentabilitate observată se poate explica prin rentabilitatea anticipată (ai), iar partea din rentabilitatea observată dar neanticipată se datorează în acelaşi timp unor factori comuni sistematici (Fj) şi unor variabile specifice fiecărui activ (acţiune) ei. 15. Revizuirea portofoliului Cu trecerea timpului, un portofoliu cumpărat anterior şi deţinut în prezent poate fi considerat suboptimal de către managerul de investiţii, însemnând că portofoliul nu mai este bun pentru client. Acest lucru se întâmplă fie datorită schimbării atitudinii clientului faţă de risc şi rentabilitate, fie datorită schimbării prognozelor managerului. În replică, managerul poate identifica un nou portofoliu optimal şi poate face revizuirile necesare portofoliului actual astfel încât ulterior să fie deţinut un nou portofoliu optimal. Totuşi, aceasta nu este o metodă atât de directă cum s-ar părea datorită costurilor tranzacţiilor care trebuie plătite la efectuarea reviziei. Aceste costuri includ printre altele şi comisioanele pentru brokeraj. Datorită acestor costuri, valoarea titlului va creşte pentru a le putea acoperi. Aceasta creştere necesară poate depăşi 1% pentru cele mai multe titluri şi poate fi cuprinsă între 5% şi 10% pentru altele. Existenţa costurilor tranzacţiilor complică în mare măsură sarcina managerului de investiţii şi cu cât managerul este mai activ cu atât mai mari sunt complicaţiile. Avantajul sperat al oricărei revizuiri trebuie să fie mai mare decât costul efectuării acesteia. Adică, o revizuire poate aduce diverse îmbunătăţiri: creşterea rentabilităţii aşteptate a portofoliului sau reducerea abaterii standard a portofoliului sau amândouă. Aceste îmbunătăţiri pot fi mai mici decât costurile

tranzacţiile care intervin la revizuirea portofoliului. Ca urmare, unele dintre revizuirile pe care managerii vor să le facă iniţial vor ieşi din discuţie datorită costurilor de tranzacţie implicate. Scopul managerului este de a identifica setul de revizuiri individuale care maximizează îmbunătăţirea în termenii riscului şi rentabilităţii portofoliului actual. Pentru a identifica setul de revizuiri individuale sunt necesare proceduri ca programarea pătratică pentru a compara costurile şi beneficiile. Îmbunătăţirea procedurilor şi folosirea calculatorului fac aplicabile aceste metode pentru mulţi manageri de investiţii. 16. Gestiunea portofoliului Gestionarea portofoliului are în vedere, alegerea unei structuri eficiente a titlurilor. Concret, pentru acelaşi grad de risc să ofere o rată a randamentului mai ridicată, sau, pentru acelaşi randament titlurile să prezinte un grad mai redus de risc. Gestionarea portofoliului presupune compararea şi selectarea titlurilor deţinute în funcţie de randament şi riscul lor în condiţiile anticipării mersului pieţei financiare. Gestionarea, cumpărarea, păstrarea sau recenzarea de titluri se realizează prin respectarea anumitor principii: - se urmăreşte securitatea capitalului ce presupune că investitorul caută nu numai conservarea sumei ci şi puterea de cumpărare a acestuia. - se urmăreşte o rentabilitate ridicată în condiţiile păstrării unei lichidităţi corespunzătoare. Investitorul trebuie să asigure o astfel de structură a portofoliului care să-i satisfacă cerinţele de lichiditate, fie de rentabilitate. - pentru o gestionare corectă a portofoliului nu se poate face abstracţie de incidenţa fiscală care vine să corecteze randamentul diferitelor titluri imobiliare. Fiscalitatea are o influenţă mare în decizia de plasament. Investitorii preferă anumite titluri cu o fiscalitate mai scăzută, cum ar fi acţiunile cu dividente în acţiuni sau pentru care se varsă un divident mai scăzut.

16.1. Modalităţi de gestionare a portofoliului Există diverse posibilităţi de gestionare a portofoliului: gestionare individuală, gestionare colectivă, gestionare prin participare la un club. Gestionarea individuală se realizează în cazul în care investitorii înşişi îşi gestionează propriile portofolii, ceea ce presupune o animită disponibilitate de timp pentru a ne putea urmări regulat evoluţia cursurilor bursiere, în vederea adoptării deciziilor de vânzare sau cumpărare. Gestionarea colectivă are loc când deţinătorii de titluri sau de lichidităţi le plasează la o societate comună care se îngrijeşte de a realiza cele mai rentabile şi sigure plasamente şi operaţiuni cu active financiare, în condiţiile date ale pieţei şi în avantajul egal al tuturor participanţilor. Mandatul de gestiune presupune încredinţarea portofoliului unei terţe persoane, specializată în operaţiuni bursiere, în vederea gestionării. Mandatar poate fi o societate de bursă, o instituţie de credit, o casă de economii sau chiar o persoană fizică abilitată. Încredinţarea portofoliului se face prin convenţie scrisă. Participarea la un club de gestuine constituie o altă posibilitate de a exploata un portofoliu de titluri financiare. Cluburile de acest gen reunesc persoane, prieteni care să opereze plasamente prin intermediul bursei. Astfel de cluburi sunt persoane juridice şi beneficiază de înlesniri fiscale asupra câştigurilor realizate din plasamente bursiere. 16.2. Gestionarea portofoliului de acţiuni Gestionarea portofoliului de acţiuni urmăreşte rentabilitatea şi micşorarea riscului din plasamente în acţiuni, în funcţie de care agentul economic decide asupra categoriilor de titluri pe care doreşte să le deţină, a duratei plasamentelor şi sectoarelor în care doreşte să le învestească. Riscul unui portofoliu în acţiuni decurge din faprul că investitorul nu este asigurat că va obţine o anumită rată de randament, întrucât aceasta depinde de activitatea economică şi eficienţa societăţii emitente de acţiuni, de beneficiul ce-l realizează şi de decizia de a vărsa dividente sau a reinvesi.

Cu cât riscul unui portofoliu este mai ridicat cu atât trebuie să fie rentabilitatea mai mare, astfel încât investitorul să nu mai accepte riscul, ci să se orienteze către plasamente în alte sectoare. Riscul unui portofoliu de acţiuni se manifestă prin amplitudinea fluctuaţiilor portofoliului. Dacă acestea sunt prea mari, portofoliul este riscant. Pentru diminuarea portofoliului se recurge la diversificarea lui, la alcătuirea unui portofoliu de acţiuni cu diverse grade de risc. Cursul unei acţiuni se măsoară în funcţie de numărul de ani de profit, dar depinde şi de aprecierile personale ale deţinătorilor de economii; factorul psihologic poate juca un rol decisiv. Variaţia cursului, din această cauză, este frecventă şi poate avea mari amplitudini. Evaluarea acţiunilor Investitorii vor cumpăra acţiuni, când vor considera că sunt subestimate, pentru a le vinde cu beneficiu când va creşte cursul. Pentru a putea decide asupra valorii unei acţiuni, investitorul trebuie să dispună de informaţii diverse, începând cu cele generale cu privesc politica monetară, economică, fiscală a statului, evoluţia ratei dobânzii pe piaţa financiară condiţii de inflaţie, până la informaţii specifice societăţii emitente de acţiuni şi informaţiile bursei. Practic, evaluarea acţiunilor se realizează de către investitorii potenţiali pornind de la analiza situaţiei economico-financiare a emitentului exprimată în cel puţin 2 bilanţuri publicate, precum şi apelând la diferite criterii de evaluare: termenul de recuperare, rata randamentului. Studiul datelor din bilanţurile publicate de emitenţii de acţiuni permite potenţialilor cumpărători să reflecte posibilităţile de creştere economică ale societăţii respecive: rata rentabilităţii comerciale, rata rentabilităţii financiare, gradul de îndatorare, riscul pe termen scurt, termenul de recuperare al capitalului. 16.3. Gestiunea portofoliului de obligaţiuni Gestiunea unui portofoliu de obligaţiuni începe cu stabilirea structurii acestuia, ponderea obligaţiunilor cu dobândă fixă şi cu dobândă variabilă. Pentru realizarea acestei operaţiuni este indicat să se procedeze la analiza ratei dobânzii pe piaţa financiară, precum şi la previzionarea ratei dobânzii deci şi la ajustarea portofoliului. În funcţie de situaţia economico-financiară a investitorului, compoziţia portofolilului de obligaţiuni mai depinde de perioada de timp pentru care se pot face plasamente.

Variaţia ratei dobânzii în perioada de viaţă a obligaţiunilor are efecte contrare asupra cursului obilgaţiunilor: dacă rata dobânzii creşte pe piaţa financiară, cupoanele primite pot fi reinvestite la o rată mai ridicată a dobânzii, iar cursul obligaţiunilor scade, deoarece nimeni nu mai doreşte să cumpere obligaţiuni din moment ce găseşte plasamente mai rentabile; dacă rata dobânzii scade pe piaţa financiară, cursul obligaţiunilor creşte deoarece cupoanele nu pot fi reinvestite în alte operaţiuni cu rentabilitate mai mare, deci creşte cererea de obligaţiuni estimate, deci cursul lor. Dacă se anticipează o scădere a ratei dobânzii pe piaţa financiară este preferabil de a cumpăra obligaţiuni cu dobândă fixă şi de a vindfe obligaţiuni cu dobândă variabilă. Dacă se anticipează o creştere a ratei dobânzii, este preferabil de a cumpăra obligaţiuni cu dobânda variabilă şi de a vinde obligaţiuni cu dobândă fixă. Dacă durata de viaţă a împrumutului este mai mare atunci mai sensibile devin obligaţiunile la variaţiile ratei dobânzii. Dacă se urmăreşte stabilitatea ratei dobânzii este preferat să se cumpere obligaţiuni cu dobânda fixă convertibile în obligaţiuni cu dobândă variabilă deoarece acestea permit de a beneficia de scoaterea pe piaţă a ratei dobânzii şi limitează riscul. Pentru toate variaţiile ratei dobânzii, procentajul variaţiei cursului este mai ridicat la obligaţiuni vândute sub valoarea nominală, decât pentru cele vândute peste valoarea nominală. Randamentul obligaţiunilor este în funcţie de dobânzile acumulate şi de variaţia cursului obligaţiunilor. După evaluare, veniturile unei obligaţiuni se compun din 2 fluxuri: cupoane, reprezentând fluxuri pozitive anuale pe durata de viaţă a împrumutului şi valoarea de rambursare a obligaţiunii reprezentând un flux pozitiv singular, la expirarea duratei împrumutului. Randamentul unei obligaţiuni se exprimă sub forma unei rate care permite compararea diverselor tipuri de obligaţiuni. Pentru o obligaţiune cu dobândă fixă emisă şi rambursată la valoarea nominală, rata randamentului este egală cu rata nominală a dobânzii împrumurului obligator. Riscul obligaţiunilor Riscul pe care-l comportă deţinerea unei obligaţiuni poate fi generat de cauze diverse: riscul de faliment al societăţii emitente, ceea ce ar însemna imposibilitatea rambursării obligaţiunii la data scadenţei,

riscul de depreciere datorat inflaţiei ceea ce ar face ca puterea de cumpărare a obligaţiunii rambursate să fie mai slabă decât în momentul cumpărării; riscul de pierdere a unei părţi din capital care survine în momentul creşterii ratei dobânzii pe piaţa financiară. În această conjunctură deţinătorul de obligaţiuni fiind nevoit să vândă pentru a obţine lichidităţi, el va recupera un capital inferior celui avansat. Se poate spune că gradul de risc depinde de fiecare obligaţiune în parte, de aceea diversificarea portofoliului poate atenua riscul. Riscul şi mărimea dobânzii sunt direct proporţionale .