ECMT

I. Se consider modelul:

yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + utunde: yt = profit (mil. lei.); x1t = numr de salariai (sute pers); x2t = capital fix (zeci mil. lei).

n urma prelucrrii electronice a calculelor econometrice privind modelul de mai sus s-au obinut urmtoarele rezultate:

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R0,9251

R Square0,8558

Standard Error27,85

Observations13

ANOVA

dfSSMSFCritical F

Regression...46033,02......4,1

Residual......775,62

Total1253789,23

VariableCoefficientsStandard Errort StatCritical t

Intercept37,5023...2,12522,228

x1t1,49630,5534...

X2t4,24461,065...

Durbin Watson Statistics = 2,17 F (White Heteroskedasticity Test)= 0,4969

1) S se verifice semnificaia parametrilor modelului (t critic = 2,228);

2) S se verifice validitatea modelului de regresie pentru un prag de semnificaie de 5% (F critic = 4,1);

3) S se verifice ipotezele de independen a erorilor (d1= 0,98, d2 = 1,54) i de homoscedasticitate a erorilor (F critic = 3,33) pentru un prag de semnificaie de 5%;

4) tiind c n perioada imediat urmtoare x1t+1 = 64 sute pers. i x2 t+1 = 23 zeci mil. lei s se estimeze volumul profitului pe baza unui interval de ncredere.

II. Fie urmtorul model macroeconometric:

unde: Yt = PIB; Ct = consumul final al populaiei; It = investiii; Gt = consum final guvernamental.

Se cere:

1) S se precizeze ce tip de model este modelul de mai sus i s se aduc modelul la forma redus;

2) S se identifice modelul i s se precizeze metoda de estimare a parametrilor ce poate fi folosit;

3) S se prezinte procedeul de estimare a parametrilor adecvat acestui tip de model.

III. n urma analizei istoricului unui curs valutar de-a lungul anului 2009 (252 observaii zilnice) se obin seriile de timp xt, yt= xt-xt-1 i zt= xt-xt-2. Funciile de autocorelaie pentru cele trei serii sunt:

xtLagAutocorrelationztLag AutocorrelationytLagAutocorrelation

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100,110,31

0,340,51

0,260,40

0,530,280,32

0,271

2

3

4

5

6

7

8

9

100,16

-0,07-0,040,030,060,010,050,080,03-0,071

2

3

4

5

6

7

8

9

100,14

-0,03

-0,080,020,060,050,010,050,01-0,06

a) S se precizeze care din seriile xt, yt i zt este staionar: justificare (testul Box Pierce i Ljung Box).

b) S se scrie modelele ARIMA corespunztoare seriei iniiale de timp staionarizate i s se aleag cel mai bun dintre ele pe baza criteriului Akaike, tiind ca rezultatele obinute din SPSS pentru estimarea parametrilor sunt:

Parameter Estimates

EstimatesStd ErrortApprox Sig

Non-Seasonal LagsAR10.723

Constant-0.852

AIC=-44Parameter Estimates

EstimatesStd ErrorTApprox Sig

Non-Seasonal LagsAR10.353

MA10.282

Constant0.932

AIC=-52

(m yt a0 - a1yt-1 - - ap yt-p = + ut - b1 ut-1 - - bq ut-q

;;

;

;;;

;;

Rezolvare:

I. 1) Vom verifica dac parametrii bj sunt semnificativ diferii de zero : Deoarece volumul eantionului este n = 13 < 30 vom utiliza testul t:

statistic ce urmeaz o distribuie Student, t, cu (n k-1) grade de libertate.

n urma testrii semnificaiei parametrilor s-a constatat c:

rezult c parametrul nu este semnificativ diferit de zero pentru pragul de semnificaie dat;

sau

unde c11 = 0,4015 elementul situat pe diagonala principal a matricei inverse ;

rezult c parametrul este semnificativ diferit de zero pentru pragul de semnificaie dat;

rezult c parametrul este semnificativ diferit de zero pentru pragul de semnificaie dat.

2)dfSSMSFCritical F

Regression2=k46033,0223016,5129,674,1

Residual10=n-k-17756,21775,62

Total12=n-153789,23

sau

EMBED Equation.3

rezult c modelul este valid statistic sau este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaie de 0,05.O alt variant de verificare a semnificaiei modelului se poate realiza prin verificarea semnificaiei raportului de corelaie:

rezult c raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaie de 5%, deci i modelul este valid statistic pentru un prag de semnificaie de 5%.3) Valorile variabilei reziduale U sunt independente, respectiv nu exist fenomenul de autocorelare a erorilor, cov (u1, un) = 0

Comparnd valoarea calculat a variabilei Durbin-Watson cu cele dou valori tabelate se observ c i , deci erorile sunt independente pentru un prag de semnificaie de 0,05.Variabila aleatoare (rezidual) U este de medie nul M(u1)= M(u2) = = M(un) = 0 iar dispersia ei (2u este constant i independent de variabilele exogene Xj - ipoteza de homoscedasticitate a erorilor.F (White Heteroskedasticity Test)= 0,4969 < F critic = 3,33 rezult c erorile sunt homoscedastice pentru un prag de semnificaie de 0,05.4) n acest caz, dac , n medie, profitul este egal cu:

unde:

estimaia punctual a valorii de prognoz pentru variabila y;

valoarea real a variabilei y n momentul de prognoz ().

Sub form matriceal, relaia anterioar devine:

unde:

=- reprezint matricea coloan a valorilor de prognoz ale variabilelor () pentru momentul ().

mil. lei.

n vederea estimrii intervalului de ncredere pentru aceast valoare probabil este necesar calcularea dispersiei de prognoz acestei valori cu ajutorul relaiei:

Intervalul de ncredere a prognozei profitului, estimat cu un prag de semnificaie , pentru care valoarea lui , preluat din tabela distribuiei Student, este se va calcula cu ajutorul relaiei:

n concluzie, pentru un prag de semnificaie de 5%, profitul va fi cuprins ntre 160 i 301 milioane lei.II. 1) Modelul dat este un model cu ecuaii simultane n form structural, care conine dou ecuaii de comportament economic i o ecuaie de indentitate economic.

Modelul conine 6 variabile: 3 endogene (Yt, Ct, It) i 3 exogene (Ct-1, It-1, Gt).

Forma redus a unui model structural cu ecuaii simultane presupune ca toate variabilele endogene ale modelului n form general s fie exprimate numai n funcie de variabilele exogene ale acestuia.Se nlocuiesc ecuaiile (1) i (2) n ecuaia (3):

- expresia obinut pentru Yt se nlocuiete n primele dou ecuaii ale modelului

Deci, forma redus a modelului este:

2) Identificarea modelului

Ecuaia (1) este supraidentificat deoarece numrul variabilelor absente este egal cu trei, numr superior numrului de variabile endogene minus unu (3 > n 1 = 3 - 1 = 2).

Ecuaia (2) este supraidentificat deoarece numrul variabilelor absente este egal cu trei, numr superior numrului de variabile endogene minus unu (3 > n 1 = 3 - 1 = 2).

Deoarece modelul conine o ecuaie de identitate i dou ecuaii supraidentificate, atunci este supraidentificat, iar estimarea parametrilor formei structurale se va face cu ajutorul MCMMP n dou faze.

3) Estimarea parametrilor modelului cu ecuaii simultane cu ajutorul MCMMP n dou faze

Faza I: Variabila Yt este singura variabil endogen care, n ecuaiile (1) i (2), este i variabil exogen. Ca atare, ea va fi regresat n funcie de cele trei variabile exogene, Ct-1, It-1 i Gt:

Estimatorii i vor fi determinai cu ajutorul M.C.M.M.P., iar, pe baza valorilor acestora, vor fi estimate valorile teoretice ale variabilei Yt:

(3)

Faza II: n ecuaiile (1) i (2) ale modelului structural se vor introduce valorile ajustate, , obinndu-se ecuaiile:

(1)

(2)

Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaiilor (1) i (2) vor fi estimai parametrii modelului structural i apoi va urma testarea semnificaiei acestor dou modele cu ajutorul testelor cunoscute d, F(White), JB, t, F.III. 1)

seria xt nu este staionar;

seria yt este staionar;

seria yt este staionar;

seria xt nu este staionar;

seria yt este staionar;

seria zt este staionar;

2) Modelul general este:

yt=a0+a1yt-1+...+apyt-p++ut-b1ut-1-...-bqut-q

Deci primul model este:

yt=0,852+0,723yt-1+utAl doilea model este:

yt=0,932+0,353yt-1+ut-0,282ut-1

Dintre cele dou modele cel de-al doilea este cel mai bun model deoarece are AIC cel mai mic: AIC2=-52