EVALUARE NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI a VIII-a Anul şcolar 2015-2016

Matematică Model de simulare

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru este de 2 ore.

SUBIECTUL I – Pe foaia de examen scrieŃi numai rezultatele. (30 de puncte) 5p 1. Rezultatul calculului este egal cu … . 5p 2. PreŃul unei cărŃi este de 25 de lei. După o reducere cu 8%, preŃul cărŃii va fi … lei.

5p 3. Dacă capetele intervalului [5;n+2) sunt numere naturale consecutive, atunci n este egal cu … .

5p 4. Fie O centrul triunghiului echilateral ABC. Măsura unghiului BOC este egală cu …o.

5p 5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD. Suma lungimilor muchiilor care au în comun vârful B este egală cu 48 cm. Lungimea muchiei BC este egală cu … cm.

5p 6. În graficul de mai jos este reprezentată dependenŃa dintre distanŃa parcursă de nu motociclist şi timpul în care este parcursă această distanŃă. DistanŃa parcursă de motociclist în 3 ore este de … km.

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieŃi rezolvările complete. (30 de puncte) 5p 1. DesenaŃi, pe foaia de examen, un cub ABCDA'B'C'D'. 5p 2. DeterminaŃi numerele naturale de trei cifre , ştiind că sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 10 şi au suma cifrelor egală cu 8. 5p 3. Un elev citeşte o carte în două zile. În prima zi el citeşte 96 de pagini şi constată că pentru a doua zi i-au mai rămas de citit 60% din numărul de pagini ale cărŃii. CalculaŃi numărul de pagini ale cărŃii.

41

54

:53

+

4. Se consideră numerele reale şi . 5p a) ArătaŃi că . 5p b) CalculaŃi x2 + y. 5p 5. Se consideră E(x) = (x2 – x + 1)2 – (x2 - x)2 – x2, unde x este număr real. ArătaŃi că E(n) este pătrat perfect, pentru orice număr natural n. SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieŃi rezolvările complete. (30 de puncte) 1. Figura 2 este schiŃa unui parc în formă de pătrat ABCD cu AB = 8 hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF, DP, DQ, BP şi BQ, unde E∈(AB), F∈(CD), astfel încât AE = CF = 1 hm, iar segmentele DP şi BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF.

5p a) CalculaŃi lungimea aleii EF. 5p b) DemonstraŃi că patrulaterul BQDP este paralelogram. 5p c) ArătaŃi că traseul B→Q→D şi traseul B→P→D au aceeaşi lungime. 2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu toate muchiile de 12 cm. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC,CD, respectiv VC.

5p a) DemonstraŃi că BD⊥ (VAC). 5p b) DemonstraŃi că VB⊥VD. 5p c) CalculaŃi aria triunghiului MNP.

131

131

++

−=x

−⋅=

31

33y

( ) 12327 =+⋅x

EVALUARE NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI a VIII-a Anul şcolar 2015-2016

Matematică Model de simulare

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea la 10 a punctajului total obŃinut pentru lucrare.

SUBIECTUL I • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. • Nu se acordă punctaje intermediare. SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea • Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în

limitele punctajului indicat în barem.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1 5p 2. 23 5p 3. 4 5p 4. 120 5p 5. 16 5p 6. 150 5p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. Desenează cubul

Notează cubul 4p 1p

2. este divizibil cu 5 şi nu este divizibil cu 10 numai dacă c = 5 Dacă c = 5 şi suma cifrelor este egală cu 8, atunci a + b = 3 => => a = 1 şi b = 2 sau a = 2 şi b = 1 sau a = 3 şi b = 0 Deci numerele naturale care sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 10 şi au suma cifrelor egală cu 8 sunt 125, 215 şi 305.

1p

1p 2p

1p

3. Notăm cu x numărul de pagini ale cărŃii şi atunci în a doua zi elevul a citit pagini. Deci avem ecuaŃia , de unde obŃinem x = 240 de pagini

2p

3p

a)

3p

2p

4.

b)

2p

3p

5.

(x2-x+1)2 = [(x2-x)+1]2 = (x2-x)2 +2·(x2-x) + 1 E(x) = (x2 – x + 1)2 – (x2 - x)2 – x2 = (x2-x)2 +2·(x2-x) + 1– (x2 - x)2 – x2 = x2-2x+1 =(x - 1)2 Deci E(n) = (n-1)2, pentru orice n număr natural (este pătrat perfect).

2p 2p 1p

10060

%60x

x =⋅

xx=+

10060

96

31313

1313

131

131 )13)13

=−−

+−+

=+

+−

=−+

x

( ) ( ) 123433333327 =⋅=+⋅=+⋅x

5232322 =+=+=+ yx

2133

1333

31

33 =−=⋅−⋅=

−⋅=y

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Ipoteză: ABCD pătrat AB = 8 hm AE = CF = 1 hm DP reprezintă distanŃa cea mai scurtă de la D la EF BQ reprezintă distanŃa cea mai scurtă de la B la EF Concluzie: a) EF b) BQDP paralelogram c) traseul B→Q→D şi traseul B→P→D au aceeaşi lungime Rezolvare: a) Construim FM⊥AB => EM = 6 hm şi FM = 8 hm Aplicăm teorema lui Pitagora în ∆MEF dreptunghic în M şi avem: EF2 = EM2 + FM2 EF2 = 62 +82 EF2 = 100 hm

2p

1p

1p 1p

b) Dacă DP reprezintă distanŃa cea mai scurtă de la D la EF şi BQ reprezintă distanŃa cea mai scurtă de la B la EF, atunci DP⊥EF şi BQ⊥EF Din DP⊥EF şi BQ⊥EF => DP║BQ. DF = CD – CF = 8 – 1 = 7 hm BE = AB – AE = 8 – 1 = 7 hm => [BE]≡[DF] ∢BEF≡∢DFE (unghiuri alterne interne formate de dreptele paralele AB şi CD cu secanta EF) => ∢BEQ≡∢DFP. Din [BE]≡[DF] ∆BQE≡∆DPF => [BQ]≡[DP] ∢BEQ≡∢DFP Din [BQ]≡[DP] şi DP║BQ => BQDP paralelogram.

1p

1p

1p

1p

1p

1.

c) Lungimea traseului B→Q→D este BQ + DQ Lungimea traseului B→P→D este BP + DP Din BQDP paralelogram => [DQ]≡[BP] Din [BQ]≡[DP] şi [DQ]≡[BP] => BQ + DQ = BP + DP => traseul B→Q→D şi traseul B→P→D au aceeaşi lungime.

1p 1p 2p 1p

2.

Ipoteză: VABCD piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile de 12 cm M mijlocul lui [BC] N mijlocul lui [CD] P mijlocul lui [VC] Concluzie: a) BD⊥(VAC) b) VB⊥VD c) S∆MNP Rezolvare: a) Din VABCD piramidă patrulateră regulată => ABCD pătrat => BD⊥AC Notăm AC∩BD = {O}=> VO înălŃimea piramidei VABCD => VO⊥(ABCD) => VO⊥BD Din BD⊥AC BD⊥VO => BD⊥(VAC) AC∩VO = {O} AC, VO ⊂ (VAC)

1p 2p

2p

10100 ==EF

b) Din ABCD pătrat şi AB = 12 cm => cm Din VB = 12 VB2 = 144 VD = 12 => VD2 = 144 => VB2 + VD2 = BD2 BD2 = 288 => ∆VBD dreptunghic în V => m(∢BVD) = 90o => VB ⊥ VD.

1p

2p

2p

c) Din M mijlocul lui [BC] şi N mijlocul lui [CD] => [MN] este linie mijlocie în ∆ BCD => => cm Din M mijlocul lui [BC] şi P mijlocul lui [VC] => [MP] este linie mijlocie în ∆ VBC => => MP = VB :2 = 12 : 2 = 6 cm Din N mijlocul lui [CD] şi P mijlocul lui [VC] => [NP] este linie mijlocie în ∆ VDC => => NP = VD :2 = 12 : 2 = 6 cm Din cm, MP = 6 cm şi NP = 6 cm => ∆MNP dreptunghic în P => => S∆MNP = (MP·NP) : 2 = (6·6) : 2 = 36 : 2 = 18 cm2 .

1p

1p

1p

1p

1p

2122 == lBD

212=BD

262

2122

===BD

MN

26=MN