Metodologia elementului finit

7/25/2019 Metodologia elementului finit

1/40

- 11

1 NOIUNI INTRODUCTIVEDESPRE METODA ELEMENTELORFINITE

1.1 Generaliti

Problema analizei numerice a diverselor probleme inginereti nu

este una nou, ea fiind utilizat de-a lungul secolelor pentru

a determina diferite mrimi cum ar fi: aproximarea circumferinei

unui cerc prinn

sumarea laturilor unui poligon

n

scri

s(sau circum

scri

s),calculareacentrelorde greutate ale diverselor suprafeeplaneetc.

Apariia i dezvoltarea calculatoarelor a avut un foartemare impact asupra dezvoltrii metodelor numerice pentru analizacomportrii structurilor complexe, dar i pentru analiza diverselorfenomene fizice (transfer de cmp de cldur, curgeri de fluide,

cmpurielectromagneticeetc.).

clasificare a metodelor de modelare numeric se poate face

din punct de vedere matematic (modelarea matematic a

diverselor probleme ale mecanicii fiind independent de natura fizic

a acestor probleme) pe trei direcii principale: metoda diferenelorfinite, metoda elementelorfinite i metoda elementelorde frontier.

Metoda diferenelorfinite este una dintre celemai vec!imetode

numerice, dar este cunoscut ca avnd un randament limitat. "n

cadrul acestei metode, punctul de plecare este modelul, descrisdiferenial, al fenomenului analizat, transformat n unul numeric

prin utilizarea aproximrii locale a variabilelor de cmp. Astfel,sistemul de ecuaii difereniale valabil pentru orice punct al

domeniului de analizat se transform ntr-un sistem de ecuaii

algebrice liniar, valabil numai pentru anumite puncte ale domeniului.Punctele se obin cu a#utorul a dou sau trei familii de drepte

paralele cu axele sistemului de referin.Aceast metod este

limitat la calculul structurilor i fenomenelor simple.

Metoda elementelor finite are la baz metoda matriceal

a deplasrilor din analiza structural. Aceast metod a ctigatteren odat cu apariia calculatoarelor (anul $%&'). Prin metodaelementelor finite se ncearc modalitatea d e a gsi o soluieaproximativ la o problem prin a admite c domeniul este divizat

n

subdomenii

sau elemente finite avnd forme geometrice

simple, iar funcia necunoscut a variabilei de stare este definit

aproximativ pe fiecare


2/40

element. (oluia complet este obinut prin combinarea

formei gradelor de libertate n aa fel nct la #onciunea dintre

elemente (n noduri) s fie satisfcute ecuaiile de ec!ilibru i

compatibilitatea. (pre deosebire de metoda diferenelor finite,

metoda elementelor finite se bazeaz pe aproximarea local (pesubdomenii) a variabilelor de cmp ale gradelor de libertate. "n

cadrul acestei metode, ecuaiile care descriu problema avnd un

numr infinit de grade de libertate, sunt transformate ntr-un sistem de

ecuaii cu numr finit de grade de libertate. Astfel, metoda

elementelor finite este o cale foarte convenabil de a obine

soluii aproximative pentru aproape orice problem inginereasc,devenind astfel un instrument comod i necesar n calculele deproiectare i cercetare, elibernd utilizatorul de dificultile legate de

geometrii neregulate, neomogeniti de material, condiii de contur i

iniiale complexe. )otodat, aceast metod permite integrareaprin calcul numeric a ecuaiilor i sistemelor de ecuaii difereniale

pe un domeniu, innd cont de condiiile la limit saude conturale

unei configuraii date care descrie diferite probleme i fenomene

fizice.Metoda elementelor de frontier, n contrast cu metoda

elementelor finite, realizeaz discretizarea structurii numai pe conturul

domeniului analizat (elemente unidimensionale pentru probleme

plane i bidimensionale pentru probleme spaiale) cu adoptarea unei

variaii a necunoscutelor n interiorul elementului. Aceast metodpoate fi aplicat numai dac soluia fundamental a ecuaiilor

difereniale este cunoscut. Practic, exist ns multe probleme carepot fi rezolvate cu metoda elementelor finite i nu pot fi analizate cu

metoda elementelor de frontier. *a urmare, atunci cnd soluia

ecuaiilor este gsit analitic, metodele numerice reprezint un

mi#loc alternativ de a gsi o soluiei a o verificape cea determinat

analitic.Aceste ultime dou metode s-au impus datorit formulrilor

simple, a caracterului de generalitate i capacitii de a se adapta cumodificriminime la analizareadiverselorproblemecomplexe.

1.2 Concepte n !or"#larea"eto$ei ele"entelor!inite

+etoda elementelor finite este o metod numeric utilizat

la rezolvarea ecuaiilor cu derivate pariale care modeleaz sisteme

fizice cu un numr infinit de grade de libertate. "n urma aplicrii

metodei elementelor finite, aceste ecuaii cu derivate pariale sunt


3/40

reduse la sistemede ecuaiialgebrice, adic la un sistemdiscretcu unnumrfinit de gradede libertate.


4/40

+etoda elementelor finite este o generalizare a metodelor

variaionale clasice (aleig!-itz) i a reziduului ponderat (aler/in),

celor mai mici ptrate, colocaiei etc. 0deea fundamental ametodei elementelor finite const n faptul c domeniul dat alproblemei este reprezentat ca un ansamblu de subregiuni numiteelemente finite. Aceste elemente sunt conectate ntre ele prin

puncte cunoscute sub numele de noduri. Pe domeniul elementului

finit este posibil s se genereze sistematic funcii de aproximarenecesare n soluionarea ecuaiilor difereniale care descriu

comportarea prin oricare din metodelevariaionalsaua reziduului

ponderat.+etoda elementelor finite are aplicabilitate n diverse domenii

ale ingineriei (i nu numai), unde exist fenomene fizice descrisede ecuaii cu derivate pariale. Printre principalele domenii n care

se poate utiliza aceast metod sunt: analiza structural, analizafluidelor, analiza magnetic i analiza electric. 1xist trei moduri deformulare a metodeielementelorfinite:

a) formulareadirect2

b) formulareavariaional2

c) formularearezidual.

Formularea direct se bazeaz pe calculul matricealal structurilorcu a#utorul metodeideplasrilor.

Formularea variaional are la baz minimizarea energiei

poteniale, a solidului deformabil, n baza unui criteriu de staionare aenergieipoteniale. +etodelevariaionaleutilizate nmecanicasolidului

deformabil folosesc principiul lucrului mecanic virtual sau teoreme

energeticecum ar fi: teoremaenergieipotenialeminime (formularea

n deplasri), formularea energiei complementare minime (formularea

n tensiuni), teorema 3ellinger-,eissner (formularea mixt n tensiuni i

deformaii) i teorema lui 3amilton pentru probleme dinamice. "n cazul

formulrii variaionale cu teorema energiei poteniale minime, corpul

soliddeformabileste discretizatnelemente finite, iar cmpulipotetical

deplas

rilor din interiorul fiec

rui element este modelat cu a#utorul unorpolinoame de interpolare. Prin minimizarea energiei poteniale

a solidului deformabil, n baza unui principiu de staionare, se

obine sistemul ecuaiilor de ec!ilibru elastic nodal. Prin rezolvarea

sistemului de ecuaii se obin deplasrile, deformaiile i tensiunile

corpului solid deformabil.

Formularea rezidual se poate utiliza n cazul n care nu se

dispune de o formulare funcional, acesta fiind o formulare mai

general dect formularea variaional. Pentru formularea rezidual

a metodei elementelor finite, se pot utiliza: metoda celor mai

mici ptrate, metoda aler/in, metoda colocaieietc.


5/40

Problemelecarese pot rezolva cu a#utorul metodei

elementelor finite, se pot clasificantrei categorii:

a) probleme d e ec!ilibru, caz n care funciile necunoscutenu depind de timp. Acest tip de probleme apar ladeterminarea comportrii elastice, a corpurilor soliddeformabile, n regim static2

b) probleme d e v a l o r i p r o p r ii, n care parametriisunt independeni de timp, determinndu-se anumite valoricritice

ale acestor parametri. Problemele de valori proprii apar ladeterminarea forelor critice de pierdere a stabilitii unei

structuri sau n problemele de analiz modal a

structurilor, cnd se determin frecvenele proprii i modurile

proprii asociateacestorfrecvene2

c) probleme d e propagare, sau probleme n carefunciile necunoscute sunt dependente de timp. Astfel deprobleme aparla studiulrspunsuluidinamical unei structuri.

4atorit posibilitilor de calcul pe care le ofer,metoda elementelor finite este una dintre cele mai utilizate

metode n pac!etele comerciale de proiectare asistat.

Principalele tipuri de programeutilizate nproiectareaasistat, se pot

mprintrei categorii:a)programeutilizate pentrumodelarea

geometrica structurilor

(*A4 5 *omputerAided4esigned)2b) programe de calcul a structurilor, care au la bazmetoda elementelor finite (*A1 5 *omputer Aided1ngineering)2

c) programe utilizate la proiectarea te!nologic (*A+5 *omputerAided+anufacturing).

Printre cele mai importante programe de analiz cu

elemente finite, se numr:Anss,Aba6us, 7astran, *osmos, Algor etc.

)endinele moderne n dezvoltarea metodei elementelor finite,sunt: - dezvoltarea unor metode noi de rezolvare a sistemelor de

ecuaii liniare mari cu matriceacoeficienilor5 matricea rar

i simetric2- mbuntirea i dezvoltarea algoritmilor de condensare

statici dinamic2

- elaborareade noi te!nicide discretizare automat, care s

permito discretizaremai fina zonelor cu gradientmare de

deformaie i s evite deformarea (distorsionarea)

elementelor finite pe parcursuldiscretizrii2- utilizarea substructurrii n cazul unor structuri mari cu grad

ridicatde repetitivitate, prin translaiesaurotaie2


6/40

- implementarea n programele comerciale a unor

algoritmide optimizare2


7/40

- implementarea unor legi constitutive de material care s

permitmodelareamaterialelorcompozite2

- dezvoltareaelementelorfinite pentruanaliza multi-cmp.Aa cum s-a precizat i mai nainte, se poate spune c

metoda elementelor finite se bazeaz pe conceptul construirii

obiectelor complicate din obiecte simple, sau divizarea obiectelor

complicate n obiecte mai simple pentru care se pot aplica

sc!eme de calcul cunoscute.

"n foarte multe situaii aparatul matematic existent nu estesuficient pentru gsirea unei soluii exacte i uneori c!iar a unei soluiiaproximative, pentruma#oritateaproblemelorpractice. 0deeade baza metodei elementelor finite este aceea de a gsi soluia uneiprobleme complicate nlocuind-o prin una mai simpl. 8n

exemplu simplu 9$;, dar foarte sugestiv n ceea ce privete

rezolvarea aproximativ a unei probleme exacte l reprezintcalculul ariei unui cerc (fig. $.$).

Fi%. 1.1&"prirea'#pra!eei#n#i cercn ele"ente!inite

Fi%. 1.2 Mo$#ri$e apro(i"area ariei#n#i cerc

e construieteun poligoncu n laturi nscrisncerculstudiat.Aria

unui a limit poligonul devine un cerc, iar relaia anterioar se

transformn: Alim

n$

n

sin

n

.

>a acelai rezultat se a#unge i dac aproximarea seface pornindde la un poligoncircumscriscercului(fig. $.).


8/40

Precizia soluiei depinde n mare parte, aa cum se poateobserva i nfigura $.?, de strategiasaude modelulde calculales.

Fi%. 1.) Mo$#l $e con*er%ena 'ol#iilor pentr#cele $o# "o$#ri $e apro(i"area ariei cerc#l#i

*onsidernd poligonul aproximat nscris sau circumscris se poateobine limita inferioar (Ai) sau limita superioar (As) pentru aria real.

"n continuare, odat cu creterea numrului de laturi alepoligonului (nscris sau circumscris) valorile aproximative conducspre valoarea real. (e observ c ambele metode de calculsunt convergente, diferena dintre ele fiind legat de modul de

aproximare (n plus sau n minus)nraportcu soluiaexact."n rezolvarea problemelor complexe pentru caresoluiile

analitice sunt dificile datorit aparatului matematic existent, suntcunoscutedou direcii de rezolvare aproximativ:

A. utilizarea unor metode aproximative de rezolvare a ecuaiilordifereniale pentru un model de calcul exact. Acest lucru se poate

realiza astfel:

- se negli#eaz termenii de importan secundar care permit ncontinuarerezolvareaexact2

- se aplic metodele numerice n rezolvarea sistemului de

ecuaii difereniale (metoda diferenelor finite este foarte eficientn

obinerea rapida unor soluiiacceptabile).@. utilizarea unor metode exacte de rezolvare aplicate unor

modele de calcul aproximative. +odelele aproximative de calculse pot obineprin acceptarea unor ipotezesimplificatoareprivind cea

mai defavorabil configuraie a deplasrilor care respectcondiiile pe contur. 4up gradul de generalitate a ipotezelor

utilizate, se disting dou categoriide ipoteze:- ipotezecu caractergeneral, aplicabilentreguluicorp, cum ar

fi: ipoteza seciunilor plane i normale (ipoteza lui @ernoulli 5 la

bare), ipoteza normalelor rectilinii (ipoteza lui irc/off 5 plci subiri),

ipoteza nedeformabilitiiconturuluietc.2


9/40

- ipoteze cu caracter local, valabile pentru poriuni mai mici

sau subdomenii componente ale unei entiti complexe. 1ste importantca aceste ipotezesasigurecontinuitateadintre subdomenii.

e poate spunedeci, c metoda elementelor finite a aprutca

o consecin a necesitii de a calcula de rezisten complexe,pentru care metodele analitice de calcul sunt foarte greu de utilizat.

0deeade baz a acestei metode este c n cazul n care structura

studiat se mparte n mai multe pri numite elemente finite, pentru

fiecare dintre acestea se putndu-se aplica teoriile de calcul

corespunztoare sc!ematizrii adoptate (teoria de bar, plac sau

bloc). "mprirea structurii n pri de dimensiuni mai mici, operaie

care poart numele de discretizare va avea drept efect obinerea

unor forme simple pentru elementele finite ce compun structura

studiat. +odelul de calcul utilizat n analiza cu elemente finite este

un model aproximativ obinut prin asamblarea elementelor finitecomponente, inndu-se cont de geometria structurii. *onectareaelementelor finite se realizeaz numai n anumite puncte numite

puncte nodale sau noduri. 7odurile reprezint punctele de

intersecieale liniilor de conturrectilinii saucurbe ale elementelor finite.

1lementele finite pot fi uni, bi sau tridimensionale n funcie de

geometriastructuriipe careo modeleaz.*aracterul aproximativ al metodei elementelor finite rezultca

urmare a faptului c geometria real a structurii este ntotdeaunanlocuit cu o reea de elemente finite care urmrete forma real a

structurii, dar nu o poate reda cu exactitate dect numai prin anumitegeometrii particulare, datorit numrului finit de elemente iar mrimile

necunoscute ale problemei sunt calculate numai n nodurile reelei

de elemente finite ce discretizeaz structura. 4e aici se poate

trage o singurconcluzie: preciziade calcula acesteimetode creteodat cu creterea numrului de elemente finite. *ontinuitatea

rezultatelor obinute depinde de caracterul de continuitate pe care

funciile de aproximare trebuie s le asigure la nivelul zonelor dintre

elemente.Bormularea metodei elementelor finite se bazeaz pe

exprimarea condiiilor de extrem pe care unele mrimi care intervin nfenomenul studiat trebuie s le satisfac. Aceast metod este

o metod cu un vast domeniu de aplicabilitate, bucurndu-se ide avanta#ul unei formulri simple. *aracterul de generalitate a

metodei i confer avanta#ul de a se putea adapta, cu modificri

simple, celor mai complexe i variate probleme, cum ar fiproblemele liniare i neliniare, solicitri statice i dinamice, structuri de

bare, plci plane sau curbe, probleme de contact, probleme demecanica ruperii, de obosealetc.


10/40

1.) Noi#ni $e re+i'tena"aterialelor

,ezistena materialelor are ca obiect stabilirea metodelor i

procedeelorde calcul ale eforturilor, tensiunilori deformaiilorce aparn diferite puncte ale elementelor de rezisten, cnd asupra acestoraacioneaz fore, precum i stabilireai utilizarea relaiilor dintre eforturii dimensiunileseciunii.

4in totalitatea caracteristicilor elementelor de rezisten, n

rezistena materialelor, se rein numai acele caracteristici necesarecalculului de rezisten fcnd abstracie de ceilali factoricare intervin. "n acest scop corpurile se sc!ematizeaz n

modele matematice ce au anumite caracteristici mecanice i

elastice. *a urmare,

corpurile se vor

ncadra

n urm

toarelec

inc

imodele: fir, bar, membran, plac i bloc. Prin aceste modelerezistena materialelor sc!ematizeaz, printr-o metod de calcul,

numeroase organe de maini i elemente de construcii i deci,calculul de rezisten are o larggeneralizare.

"nraportcu geometrialor, corpurilesempartntrei grupe9&';:

a) Corpurile cu fibr medie, cele ce au una din dimensiuni,

lungimea, mult mai mare dect celelalte dou, limea i

grosimea. 1le se definescprin:- axa longitudinal - ce poate fi dreapt, curb,

linie frnt, etc.- seciunea transversal - ce poate fi constant sau

variabilnlungul axei longitudinale.

4in aceastgrupfac parte:

- firele - care pot fi solicitate numai la ntindere i nu opun

practic nici o rezisten solicitrilor transversale sau de

compresiune2- barele - care rezist att la solicitri axiale ct i

transversale.

4up destinaie i modul de solicitare barele poart diferitedenumirispecifice: tirani - cnd suntsolicitatela ntindere, stlpi- cnd

sunt solicitate la compresiune, grinzi - cnd sunt solicitate la ncovoiere,arbori - cnd suntsolicitate, nspecial, la torsiune.

Prin fibrmediesauaxsenelege loculgeometrical centrelorde greutate al seciunilor planenormale pe axa barei (sau a firului),

iar prin seciunenormal, seciuneaplanperpendicularpe ax.

b) Corpurile cu suprafa median au una din dimensiuni

- grosimea- relativ micnraportcu celelaltedou - limea

i lung

im

ea. 4in

aceast

grup

fac partemembranele i plcile.


11/40

- membranele, ce au grosimea foarte mic, nu rezist

la sarcini transversale sau de compresiune ci numaila sarcinide ntindere.

- plcile, planesaucurbe, pot preluai sarcinitransversalei de compresiune.

1xemple de plci: capace i perei de rezervoare, cupole,planee, etc. iar de membrane: pnza de cort, membrane amortizoare

etc.c) Blocuri sau corpuri masive, care au dimensiunile de acelai

ordin de mrime. 1xemple: bilele i rolele de rulment,blocurile de fundaiietc.

*alculelede rezistendiferde la o grupla alta, ele fiind cele

mai simple la fire i la bare drepte, crescn complexitate la barelecurbe i cadre, deveninddeosebitde complicatela plcii blocuri.

,ezistena materialelor prezint modul de determinarea

eforturilor, tensiunilor i deformaiilor n cele mai simple i des utilizate

corpuri i din acest motiv studiul barei drepte, de seciune

constant sau variabil, formeaz baza i este tratat n cea mai

mare parte n cursurilede ,ezistenamaterialelor.+odelul unei bare drepte (fig. $.C,a) se sc!ematizeaz ca n

figura $.C,b. Astfel, modelul barei conine axa barei, de lungime

L trasat cu linie groas n figur i seciunea transversal,

dreptung!iular

n acest caz, de lime b in

lime h.(

istemul de axeataat modelului, este un sistem triortogonal drept cu axa x - axa

barei i sistemulz, axele centraleprincipaleale seciunii.

Fi%. 1., Mo$#l $e 'c-e"ati+area #nei are$repte$e 'eci#ne$rept#n%-i#lar

Pentru a putea stabili relaiile de calcul simple, n rezistena

materialelor se folosesc anumite ipoteze referitoare att la

structura materialelor ct i la comportarea lor sub aciunea sarciniloraplicate.Aceste ipoteze sunt uneori nconcordan cu realitatea, iar

alteori ele


12/40

reprezint simplificri ale fenomenelor reale, care duc la rezultate

verificate experimental i deci acceptabile pentru scopul rezisteneimaterialelor.

Principalele ipoteze, cu care opereazrezistenamaterialelor,sunt

9&';: 0 . 0poteza mediului continuu, prin care se admite cmaterialul

unui element de rezisten se consider un mediu continuu ce ocup

ntregul spaiu delimitat de volumul su.Aceast ipotez corespundesatisfctor materialelor amorfe dar nu corespunde realitii la celecristaline. 0poteza este necesar ntruct mrimile din rezistena

materialelor, cum sunt tensiunile, deplasrile, deformaiile etc. pot

fi scrise ca funcii continue de punct i nu ca funcii discretespecifice pentru fiecare cristal sau particul, permind folosirea

calculului i metodeloranalizei matematice.0 0. 0poteza mediului omogen, prin care se admite c materialul

elementului de rezisten are n toate punctele din volumul su

aceleai mrimi fizice . 7ici aceast ipotez nu concord n

totalitate cu realitatea n special n cazul betonului, lemnului i c!iar

al metalelor.Astfel, la metale prin diverse tratamente termice sau

mecanice se creeazcrustedure i caracteristicimecanicediferitede

ale miezului.0 00 . 0poteza izotropiei. +aterialele se consider izotrope cnd

aupe toate direciile aceleai caracteristici elastice E, G i n. "n caz

contrar materialele se consider anizotrope. 8n caz particular de

anizotropie este celal materialelorortotrope(lemnul).0D. 0poteza elasticitii perfecte. 4ac tensiunile nu depesc

anumite valori limit, materialele se consider perfect elastice, ceea

ce nseamn c deformaiile produse de sarcini se anuleaz

odat cu anulareasarcinilor.D . 0poteza proporionalitii ntre tensiuni i deformaii specifice. "n

cazul solicitrilor n domeniul elastic se consider c ntre tensiunii deformaii specifice exist o relaie liniar, adic este valabil legealui 3oo/e.

D0. 0poteza deplasr ilor mici. "n afar de unele excepii, n,ezistena materialelor se consider c deformaiile unui element derezisten sunt foarte mici n raport cu dimensiunile acestuia.0poteza este foarte important ntruct ecuaiile de ec!ilibru static se

pot scrie raportnd forele la starea iniial nedeformat a elementului

de rezisten. )ot pe baza acestei ipoteze, n calculele analitice,termenii ce conin deformaii specifice sau deplasri la puteri

superioare se pot negli#a nraportcu termeniila puterea nti(teoriadeordinul nti).

D 00 . 0poteza proporionalitii dintre deformaii specifice ideplasri. "n domeniul elastic se consider c ntredeformaiile


13/40

specifice i deplasri exist o relaie liniar. Aceast ipotez este oconsecin a ipotezeideformaiilormici.

D 000 . 0poteza seciunilor plane (@ernoulli). eciunile planei normale pe axa barei rmn plane i normale i dupdeformarea produs de sarcini. Aceast ipotez se verific

experimental pe conturul barelor i se admite valabil i n interiorulacestora.

Fi%. 1./ Repre+entare%ra!ica ipote+ei 'eci#nilorplane 0ipote+a l#i 1erno#lli2

Astfel n cazul barei din figura $.&,a, supus la ntindere, seciunea

@* se deplaseazn@E*Edar rmneplani normalpe axa barei. >a

fel pentru bara din figura $.&,bsupus

la

ncovoiere

seciunea @*

se deplaseazi se rotetenpoziia @E*E, dar rmneplani normal

pe axa barei.

0 F. Principiul l ui (aint-Denant. 4ac se nlocuiesc forele careacioneaz pe o poriune mic a elementului de rezisten cu unalt sistem de fore ec!ivalent din punct de vedere static cu primul,

noua distribuie a forelor produce n locul de aplicare difereneapreciabile fa de prima dar rmne fr efect, sau cu efect

negli#abil, la distane mari de loculde aplicarea forelor.

F. Principiul suprapunerii efectelor . Prin aplicarea unei sarciniasupra unui element de rezisten pn la limita prescris deproporionalitate a materialului, eforturile, tensiunile, deformaiile i

deplasrile ce se produc n elementul de rezisten depind exclusiv demrimea acelei sarcini i nu sunt influenate de efectele altor sarciniaplicate anterior sau concomitent.Acest principiu este o consecin a

legii lui 3oo/e (deformaiile sunt proporionale cu sarcinile) i a

ipotezei deformaiilormicice indicteoria de ordinul nti.


14/40

1., Noi#ni $e'preele"entele !inite

1.4.1 Definiii

1lementele finite apar n procesul divizrii domeniului uneistructuri, indiferent de tipul analizei ce se dorete a fi realizat(fig. $.G).

Fi%. 1.3 Tip#ri$e reele $e ele"ente!inite

"n sens larg, un element finit reprezint modelul de aproximare aurmtoarelorproprieti:

- geometrice (forma elementului caracterizat ca partedintr- un corpcu anumitedimensiuni2

- fizice, elementul finit are ataat proprieti fizice, cum ar

fi: elasticitatea, vscozitatea, densitatea, conductibilitatea

termicetc.2- funcionale2 aproximeaz una sau mai multe variabile ale

problemei n funcie de valorile nodale i funciile

de aproximareale problemei."nfigura $.G suntprezentatecteva tipuri de structuridiscretizate

n elemente finite: elemente unidimensionale utilizate la structuri de tip

bar (a), elemente bidimensionale triung!iulare i patrulatere utilizatela structuri din categoria plcilor i membranelor (b), elementetetraedrice i paralelipipedice utilizate la structurimasive(c).

1.4.2 Sisteme de referin

4efinirea geometrilor structurii de rezisten, a modului decomportare sub aciunea sarcinilor, implic utilizarea unor sisteme

de


15/40

referin prin intermediul crora s se realizeze o simplificare a

modului de obinere a ecuaiilor algebrice aferente cazului studiat. (unt

utilizate dou sistemede referin(fig. $.H) i anume 9$$;:- sistemulglobal de referin, (pentruntregdomeniuldiscretizat

n elemente finite), care este un

sistem triortogonal dreptprin intermediul cruia este definit geometria structurii, modul n care

este constrns i modul n care este ncrcat cu sarcini. )ot la

sistemul global de axe sunt raportate rezultatele privind modul de

deformare al structurii.

- sistemullocalde referin, (care este ataat fiecruielementfinit

n parte), este utilizat la definirea deplasrilor nodale, a forelor

care acioneaz n nodurile elementului finit. )ot n sistemul local deaxe se definescecuaiilede ec!ilibruale fiecruielement finit. 8tilizareasistemelor locale de referin este impus de obinerea unor relaii de

calculct mai simple.

Fi%. 1.4 Ele"ente!inite n raportc# 'i'te"e$e coor$onatelocale 0a i c i nraport c# 'i'te"#l $e coor$onate%loal 02

(istemele de coordonate locale pot fi grupate n urmtoarele

categorii:5 normalecare la rndul lor seclasificn: cartezian (fig. $.I,a),

cilindric (fig. $.I,b) i sferic (fig. $.I,c) avnd originea n unul din

nodurile sau centrele de greutate ale elementului2 trecerea de la

sistemul de coordonate global la cel local sau invers se face cumatricea de transformare!"#, respectiv!"#$%.


16/40

Fi%. 1.6 Tip#ri$e 'i'te"e$e coor$onate7a 8 carte+ian9 8 cilin$ric9 c 5'!eric

5 specifice (naturale 5 obinute prin raportarea coordonatelorglobale la mrimi caracteristice ale elementului 5 lungimi, arii sau

volume)2 n aceast categorie pot intra urmtoarele sisteme decoordonate:

$. coordonate- naturalcu origineancentrulelementuluiavnd

intervalul de variaie 9-$,$;2 acest sistem este preferat la

elementele patrulateresauparalelipipedice2. coordonatele>5 natural, unde intervalul de variaieeste 9',$;2

acest sistem este utilizat pentru elemente finite triung!iulare

i tetraedrice.

1.4.3 Tipuri de elemente finite

e poate face o clasificare a elementelor finite n funcie de

mai multe criterii, aa cum se va arta i nprezentulparagraf."n funcie de geometria structurii analizate, sunt utilizate

urmtoareleforme de elementefinite:

a)unidimensionale5 pentrustructuridin bare articulate, grinzi cu

zbrele, cadre planei spaialeetc. (fig. $.%,a,b,c)2

b)bidimensionale5 pentru plci, membrane, rezervoare i

pot avea formtriung!iularsaude patrulater (fig. $.%,d,e)2c) tridimensionale5 pentrucorpurimasivei pot avea formde

tetraedru, paralelipipedsaucub (fig. $.%,f,g).


17/40

Fi%. 1.: Tip#ri$e ele"ente!inite

"nfunciede numrulgradelorde libertatepe fiecarenod, sepotdistingeurmtoarelecategoriide elementefinite:

a)cu un grad de libertate pe nod 5 cazul structurilor

(barelor)

solicitateuniaxial (fig. $.%,a)2

b)cu dou grade de libertate pe nod 5 cazul structurilor plane

solicitate n planul structurii, pentru structuri din barearticulate, grinzi cu zbrele, cadre plane i spaiale etc.(fig.

$.%,b,c,d,e)2c)cu trei gradede libertatepe nod (fig. $.%,f,g).

Aproximrile geometrice ale elementelor finite sunt controlatede numrul de noduri utilizate la exteriorul elementului pentru adefini forma, n timp ce aproximrile fizice sunt controlate denumrul de noduri (din interior i exterior) ale elementului, utilizndu-se

la definirea lor diferitefuncii de interpolare.

"n funcie de aproximrile fizice i geometrice exist treicategorii de elementefinite 9$$;:

a) subparametrice m & n (fig. $.$',c,f), unde m este gardulfunciilorde interpolare7i iar n este gradulfunciilorde forma

7iE2

b) izoparametrice m ' n (fig. $.$',b,e) n aceleai puncte nodale

sunt utilizate aceleai funcii pentru a defini geometria ivariabilelede stareale elementuluifinit2

c) superparametricem ( n (fig. $.$',a,d)


18/40

Fi%. 1.1; Mo$#l $e $e!inire a ele"entelorprin no$#ri

4in punct de vedere al calculelor, elementele finite pot ficlasificate n trei mari grupe 9';: simple, complexe i multiplucomplexe (tab. $.$).

Ta.1.1 Cla'i!icareaele"entelor!inite

)ipul

elementului

finit

Bormaelementuluifinit

(implu

*omplex

+ultiplu

complexe

1.4.4 Funcii de aproximare ale elementelor finite

4eterminarea formei i a deplasrii nodurilor elementelor finite se

poate face cu a#utorul funciilor de interpolare n raport cu

coordonateleglobale.*ondiiilece trebuies le ndeplineasc funciilede aproximare

(n cazul n care au derivate pn la ordinul /J$) pentru aasigura convergenala micorareaelementelorfinite sunt:


19/40

- continuitatea, care s asigure variaii mici pentru parametrul

necunoscut pe tot domeniul elementului finit, inclusiv pe frontiera

acestuia. 4e exempludac elementul finit are nnoduri doar deplasri,funcia de aproximare trebuie s fie continu adic de clasa C)

5 funcie generalizat de tip >agrange, iar n cazul n care elementul

finit are n noduri att deplasri ct i rotiri, este necesar ca funcia

de aproximare i prima ei derivat s fie continue, adic de clas

C% 5 funciegeneralizatde tip 3ermite2- compatibilitatea, adic n timpul modificrii domeniului

problemei de-a lungul frontierei comune, elementele finite s

nu trebuiasc s se separe, iar valorile funciilor de aproximare pe

frontiera comun s depind numai de necunoscutele din

nodurile de pe aceastfrontier2- completitudinea, care este asiguratde modulcum suntalese

funciile de aproximare2 de exemplu n mecanica solidului deformabil,funcia de aproximare care satisface condiiile de completitudineconine moduri ale deplasrilor care fac posibil s se descrie

att comportareade corprigid ct i de deformaiiconstante2- invariai a, care reprezint proprietatea elementului finit de a

avea aceeaistarefizicindiferentde orientareaaxelor localenraport

de careaceaststareeste formulat.

Polinoamele reprezint principala categorie de funcii de

aproximare utilizat n cadrul metodei elementelor finite i pot fi

grupate nurmtoarelecategorii:A* polinoame simple, care asigur o descriere analitic a

domeniului comportrii elementului i facilitile de a efectua un

controlasupraaproximaiilor2B* polinoame de tip Lagrange, care permit delimitarea

coeficienilor polinomuluin raport cu valorile funciein punctele de

pe o linie2

C*polinoame de tip +ermite, care suntutilizate pentrua satisfaceatt funcia ct i derivata sau derivatele acesteia n nodurileelementelorfinite.

Bormagenerala unui polinom, scrismatriceal, este:u uK

x,,zx,,z ($.$)

unde: x,,z este o matrice linie de polinoameiar matriceacoloan

d este o matricecareconinecoeficieniinecunoscuisauparametrii

generalizai.

1./ Etape$e calc#l a 'tr#ct#rilor c# "eto$aele"entelor!inite


20/40

Analiza diverselor structuri din punct de vedere al rezistenei cu

a#utorul metodeielementelor finite are la bazdou metode de calcul

i anume:5 metoda forelor, la care necunoscutele sunt forele care iau

natere n nodurile modelului fizic al structurii, atunci cnd aceasta

este supusunei ncrcrioarecare25 metoda deplasrilor, la care necunoscutele sunt deplasrile

care iau natere n nodurile modelului fizic al structurii, atunci cnd

aceastaeste supusunei ncrcrioarecare.4intre cele dou metode enunate, se utilizeaz cu precdere

metoda deplasrilor datoritavanta#elor oferite la calculul matriceal.

"n consecin n continuare se va face referire numai la aceast

metod de calcul.Avnd n vedere cele menionate mai sus, etapele de baz

nanaliza cu elemente finitesunt:

1.+odelareadomeniuluiproblemei22.4iscretizareadomeniuluidat al problemeicarecuprinde:

o construciareelei de elementefinite2

o numerotareanodurilor i a elementelor2o generarea proprietilor geometrice (coordonate,

aria seciunii transversaleetc.).

3.4erivareaecuaiilorelementelorfinite:o formularea variaional sau diferenial

pentru descriereacomportriicorpuluisolidsolicitat2

o calculul deplasrii n funcie de deplasriledin noduri:

n

u ui 7i($.)

i $

i nlocuireaacestoran pentrudeterminareaecuaieielementuluifinit:

Be /e ue ($.?)

o derivarea sau alegerea funciilor de interpolare

i din literatura de specialitate i calcululmatricelor elementului.

4.Asamblareaecuaiilorelementelorfinite:o identificarea condiiilor de continuitate ntre

elementele finite adiacente prin variabile primare

(relaiantre gradele de libertate locale i

gradele de libertateglobale)2

o identificareacondiiilorde ec!ilibruntrevariabilele

secundare (relaiile dintre componentele locale icomponenteleglobale).


21/40

5. 0ntroducerea condiiilor de contur i reducerea sistemuluide ecuaiicare descriecomportareaunui solid2

6.,ezolvarea sistemului de ecuaii care descrie comportareastructuriistudiate2

7.Postprocesarea.

1.5.1 Modelarea geometric a domeniuluiproblemei

"n cadrul acestei etape se face o sc!ematizare a structurii, sedescriu condiiile de contur i proprietile n raport cu un sistem de

coordonateortogonal.

"n mecanica solidului deformabil corpurile (structurile) sunt

sc!ematizate cu: linii drepte sau curbe (ce reprezint axa median)

pentru bare, suprafee plane sau curbe (ce reprezint

suprafaa median) pentru plci i membrane, volume pentru

corpuri masive, ceea ce permite o reprezentare simplificat a

ma#oritii structurilor studiate.

"naintede modelareastructuriistudiateeste importantsse aib

nvedere urmtoareleaspecte:

a) tipul de analiz(static, dinamic, modaletc.)2b) ipotezele posibile de a fi aplicate n vederea simplificrii

modelului (simetria (fig. $.$$), care poate fi axial, plan,ciclicsaurepetitiv)2

c)modulde discretizarenfunciede tipul elementelorfinite2d)sc!imbareaaciunilorexterioare2e) stabilireacondiiilorde conturi frontier2f) preciziade calcul.

Fi%. 1.11 E(e"ple$e 'i"etrii


22/40

-

1.5.2 Discreti!area modelului

4iscretizarea (mprirea) n elemente finite este ec!ivalent cu

nlocuirea domeniului (fig. $.$,a) cu subdiviziuni (elemente finite) de

mrime finit, interconectate n noduri (fig. $.$,b), avnd o geometrie

simpl (linii drepte i curbe n cazul problemelor unidimensionale,

triung!iuri sau dreptung!iuri n cazul problemelor bidimensionale i

tetradere sau elemente paralelipipedice pentru probleme

tridimensionale).

Fi%. 1.12 E(e"pl#$e 'tr#ct#rplana 8 %eo"etria 'tr#ct#rii9 8'tr#ct#ra $i'creti+at

8n astfel de element finit are un numr de puncte nodale cu un

anumit numr de grade de libertate. >ocalizarea lor n spaiu este datprin intermediulcoordonatelorrelativela un sistemde coordonatelocal

sau global. Borma fiecrui element finit este definit prin coordonatele

nodurilor i prin funcii de interpolare. "n cadrul acestei etape trebuiescparcurseurmtoarelesubetape:

- construirea reelei de elemente finite, care depinde de

capacitatea calculatorului, preul de cost i de acurateea dorit

pentrurezultateleobinute2

- numerotarea nodurilor i a elementelor2

- generarea proprietilor geometrice i fizice necesare re

zolv

riiproblemei.

*onstrucia reelei de elemente finite este influenat de factori

ca: tipul elementelor finite, mrimea acestora i numrul de elementefinite utilizate la discretizareastructuriistudiate.

4e celemai multe ori tipul elementelor finite utilizate depindede

problema fizic. 4e exemplu, la analiza grinzilor cu zbrele (caresunt supuse la traciune-compresiune), se vor utiliza elemente de tipbar, n timp ce la bare foarte scurte solicitate la ncovoiere se

vor utiliza elemente finite de tip solid. +rimea elementelor are

influen asupra convergenei soluiei. Astfel, dac elementele finite

suntde dimensiuni


23/40

mici, soluia obinut este mai apropiat de cea exact. "n acelaitimp rezultatul este influenat i de raportul dimensiunilor

semnificative ale elementelor finite bidimensionale i tridimensionale,

motiv pentru care se recomand evitarea formelor alungite, iar

raportul dimensiunilor semnificative s fie ct mai aproape devaloarea unitar. "n ceea ce privete gradul de uniformitate al

reelei de elemente finite, se recomando discretizareuniforma

structurilorstudiate.

4imensiunile sistemului de ecuaii algebrice, la care se a#unge n

urma asamblrii matricelor de rigiditate elementare, depinde nu numai

de dimensiunile acestora ci i de numrul i de modul de numerotare anodurilor reelei de elemente finite. >imea de band (fig. $.$?, a) amatricei de rigiditate global a structurii se poate calcula cu expresiaurmtoare9;:

>bunde:

gln dif.max $ ($.C)

5 Lb este valoarea limii de band a matricei de rigiditate astructurii2

5 gln este numrulgradelorde libertatepe nod2

5 dif*ma-este cea mai mare diferendintre numerelenodurilorce aparinaceluiaielementfinit.

4e asemenea, numrul de ecuaii corespunztoare matricei derigiditate a unei structuri care are un numr total de noduri ntd, se

poate determincu relaia: nec ' glnntd*

Fi%. 1.1) Li"ea$e an$


24/40

>a structurile cu un numr mare de noduri, matricea global

de rigiditate a#unge la dimensiuni foarte mari i drept urmareapar


25/40

probleme cu stocarea termenilor matricei n memoria calculatorului.

Aceast problem se poate rezolva dac se iau n considerare

proprietilede simetrie i de band ale matricei, prin utilizarea numai

a unei poriuni din matrice, care cuprindetermeniidiagonaleiprincipale

i ceice se gsescdeasupraacesteiapn la limita benzii."n figura $.$?,b este reprezentat sc!ematic poriunea din

matricea de rigiditate care este utilizat pentru calcul. 8tiliznd

acest procedeu de stocare a matricei de rigiditate se obine o

important economiede memorie.Astfeldac lum exemplulunei structuriicu un numrde ntd M

'' noduri i care are un numrde gln M ?, gradede libertatepe nod,

va rezulta un numr de nec M G'' ecuaii. +atricea de rigiditate a

structurii9g;, va avea un numrde ntt M $I'.''' termeni.

4acse presupune c cea mai mare diferendintre numerele

nodurilor ce aparinaceluiaielement finit este dif*ma-M $', va rezulta,o limede band Lb M ??, iar formatulband al matricei9b; va avea

un numr total de termeni ntt M G.G'', ceea ce reprezint H,?CN din

numrulde termeniai matricei!.g# de rigiditatea structurii.

>imea de band este un indicator de baz la stabilirea

necesarului de memorie pentru nmagazinarea matricei band i drepturmare este necesar s se obin valori mici ale limii deband.Aceast cerin se realizeaz printr-o optimizare a sc!emeide numerotare a nodurilor structurii, astfel nct s se obin o

valoare minim a diferenei dintre numerele nodurilorcorespunztoare elementelorfinite.

Pentru a exemplifica cele menionate mai sus seconsider structura din figura $.$C 9;. Pentru structura din figura $.$C,a,

diferena maximeste dif*ma-MG-$M& i este la elementulfinit numrul$.e obine n acest caz pentru limea de band valoarea: Lb M(&J$)M$. Pentru aceiaistructur, dar numerotatca nfigura $.$C, b,diferenamaxim este dif*ma- M C-$M? i este la elementele finite $,& i %. e obine n acest caz pentru limea de band valoarea:LbM(?J$)MI.

Fi%. 1.1, E(e"pl#$e n#"erotarea no$#rilor pentr#o 'tr#ct#r$e tip %rin$c#


26/40

+rele

e observc matriceaband a structuriidin figura $.$C,a are olimede band cu &' N mai mare dect matriceaband a structurii

din figura $.$C,b.

ealizarea unei numerot

ri optime se realizeaz

atunci cndnumerotarea nodurilor se face acordnd prioritate direciei n care

sunt mai puinenoduri.

1.5.3 Formulareaproblemei i stabilirea

ecuaiei elementului finit

>a stabilirea ecuaiei elementului finit se vor parcurgeurmtoareleetape:

- formularea ecuaiei difereniale care descrie comportareaelementuluifinit2

- alegereafunciilorde aproximarepentrufiecareelementfinit, ngeneral sub forma unor poligoane algebrice (de regul soluii ale

ecuaiilor din teoria elasticitii i plasticitii) care sunt obinute cu

teoria interpolrii2

- determinarea ecuaiei elementului, evaluarea matricelor i

vectorilorcaracteristici.

"n mecanica solidului deformabil, ecuaia de ec!ilibru pentru

elementul finit exprim legtura dintre matricea coloan a deplasrilornodale i vectorul forelor ec!ivalente aplicate n nodurile elementului

prin intermediulmatriceide rigiditateelementare.

"n general pentru a descrie o problem fizic, exist douformulri matematice ec!ivalente: diferenial i variaional. 4e

exemplu pentru o structur solicitat axial descrierea comportriise poate face astfel:

Prin formulareadiferenialsescrieecuaiadiferenial:

d1A

d up

dx dx

($.&)

unde: p este sarcinaaxial, iar produsulEA esterigiditateala solicitareaaxial.

Prin formularea variaional, cnd se caut s seminimizeze funcia:

8 D$

D

>

dD p x'

u x dx ($.G)

unde: este matricea vector coloan a tensiunilor, iar

este matriceavectorcoloana deformaiilor.


27/40

"ntr-odefiniiemai larg, se poate spunec un elementfinit esteun model de aproximare a proprietilor fizice, geometrice ifuncionale ale unei structuri. eometric elementul finit reproduce pri

dintr-un domeniuntr-oform idealizat. 1lementul finit are dimensiunii

i se ataeaz proprieti fizice (elasticitate, densitate, vscozitate etc.).

4in punct de vedere fizic elementul finit aproximeazvariabilele problemei(deplasarea, tensiuneaetc.).

"n stabilirea ecuaiilor elementelor finite trebuie s se incont

de: - tipul de element finit (unidimensional, bidimensional sau

tridimensional) care se stabilete n funcie de forma i dimensiunile

structuriistudiate2

- sistemulde coordonatela care seraporteaz2

- variabilelede staredin dreptulnodurilor2- funciile de aproximare pentru tipul de element finit

utilizat pentru a descrie forma i variaia necunoscutelor (variabilelor de

stare) pe domeniulstudiat2

- modulde stabilirea ecuaieielementuluifinit.

1.5.4 "samblarea matricelor de rigiditate

Asamblarea este un proces de reunire a elementelor finite i de

sinteza domeniuluistudiat, care se face:- geometric, constndn refacereadomeniuluiocupat de

structurastudiat2- funcional, constndnrealizareamodeluluinumeric.

"n cadrul operaiei de asamblare trebuie avute n vedere

urmtoareleaspecte:

- identificarea condiiilor de continuitate printre

variabilele primare (relaii ntre gradele de libertate locale i gradele

de libertate globale) prin legarea nodurilor elementelor la nodurile

globale2- identificarea condiiilor de ec!ilibru printre variabilele

secundare2- asamblareamatricelori a vectorilorelementului.

Aa cum s-a precizat i anterior, caracteristicile i ecuaiile unui

element sunt analizate n raport cu un sistem de coordonate

local ataat fiecrui element finit n parte, n vederea uurrii calculelorde integrare i difereniere. Asamblarea se face ns, n raport cu un

sistem de coordonate global, ataat ntregii structuri, ceea ce impune

introducerea unui calcul suplimentar necesar transformrii decoordonate.

+atricele de transformare difer n funcie de tipul

elementului finit utilizat pentru discretizarea structurii studiate. 4e

exemplu, pentrua


28/40

defini matricea de transformare n cazul unui element finit

unidimensional cu noduri articulate, solicitat de sarcini aflate n planul

structurii (structuri de tipul grinzilor cu zbrele), se consider

elementul finit din figura $.$& 9; mpreun cu deplasrile nodale

reprezentate n sistemulglobali localde axe.

Fi%. 1.1/ Depla'rileno$ale n 'i'te"#l $e coor$onatelocal i %loal pentr##n ele"ent !init #nia(ial

Axa Oxa sistemuluilocalde coordonateface cu axele x i

ale sistemuluiglobal, ung!iul i respectivung!iul .# iarctg ,x# xi ($.H)

x# xiarctg .# i

vor fi:

*osinuiidirectori ai axei Ox n raportcu sistemulglobalde axe

l cos i m cos cos(%' ) sin ($.I)

>ungimeaelementuluifinit definit de nodurile(i) i (#) este:

> x# xi

# i ($.%)

"n figura $.$G este reprezentat deplasarea nodului (i)

reprezentat n conformitate cu cele dou sisteme de axe. Astfel vomavea:

A@ ui A1 1@ A* sin *@ cos ui, m ui,x l ($.$')


29/40

Fi%. 1.13 Depla'areano$#l#i 0i repre+entatn 'i'te"ele$e coor$onate%loali local

"n mod similar se poate exprima deplasarea nodului (#)

prin intermediulcelordousistemede coordonate:

u# u#,x l u#, m ($.$$)

1cuaiile $.$' i $.$$ scrise sub form matriceal vor

avea urmtoareaform:

ui l

u# '

m ' '

' l m

uix

u#

u#x

u#

($.$)

(ubformcondensatvom avea:

u u

unde:

($.$?)

u este vectoruldeplasrilornodale, definit n raportcu sistemul

localde referin2 este matriceade transformare de la sistemul local la sistemul

global2u este vectoruldeplasrilornodale, definit nraportcu sistemul

globalde referin.

+atricea de transformare 9"; este o matrice ortogonal iare proprietatea:

$

($.$C)

+atricea de transformare 9"; se poate utiliza i pentru adefini legtura dintre componentele forelor, conform figurii $.$H,

definite n celedou sistemede axe 9;.


30/40

Fi%. 1.14 De!inirea !orelor $e pe #n ele"ent !init #nia(ial n 'i'te"ele$ecoor$onate %loal i local

Dom avea nacest caz:

Pix

7i l m ' '

7# ' ' l m

P#

P#

x

P#

($.$&)

(ubformacondensatrelaia $.$& devine:

7 P ($.$G)

+atricea de rigiditate a elementului finit raportat la

sistemul global de axe sedefineteprin utilizarea relaiilor $.$?, respectiv

$.$G.

4ac n relaia $.$G se nlocuiete vectorul deplasare i vectorulfor definit n sistemul local cu vectorul deplasare i for definit n

sistemulglobalvom avea:

P / u P / u ($.$H)

4acnecuaia$.$H se nmuletela stngacuT

1vom avea:

P $

/ u ($.$I)

elaia $.$I exprim legtura ntre deplasrile i forelecorespunztoare elementului finit, raportate la sistemul global de axe.4acse ine cont de ecuaia:

rezult:

/

P

$

/

($.$%)

($.')

unde: k reprezintmatriceade rigiditatea elementuluifinit raportat

la sistemulglobalde axe.


31/40

"nacest cazecuaia$.$H devine:/ u P ($.$)

i exprimecuaiaelementuluifinit raportatla sistemulglobalde axe.


32/40

"nformexplicitmatriceade rigiditatea elementuluifinit studiatn acest paragraf, raportat la sistemul global de axe va

avea urmtoareaform9;:

l '

m ' 1 A $/ ' l > $

' m

l

l m

$ l m ' '

$ ' ' l m

l

l m

($.)

1 A l m

> l:

l m

m

l m m

l m l

l m

m

l m m

alt modalitate de asamblare a matricelor elementelor finiteeste asamblarea dup elemente, procedeu care este cel mai des

utilizat n analiza cu elemente finite, datorit uurinei mari cu care

se pot realiza subrutinele de asamblare. Acest procedeu are dou

etape succesive:a.) E-pandarea, prin intermediul creia modelul matriceal al

elementului se raporteaz la sistemul global. *oeficienii matriceali nu

sufernacestcazmodificricidoar isc!imbpoziia prin trecerea de

la sistemullocalla celglobal2

b.) Asamblarea propriu$zis, care const

n

suprapunereamodelelor expandate ale elementelor, astfel nct

coeficienii matriceali din dou elemente vecine s se nsumezela nodurile comune.

"n cazul n care derivarea modelului elemental se face

variaional, se folosete de regul asamblarea dup noduri. "nacest caz asamblarea se face n noduri sau la interferenele

care sunt comune elementelor vecine. "n aceste noduri

continuitatea este stabilit n raport cu variabilele de stare i posibil n

raport cu derivatele sale.

1.5.5 #mpunerea condiiilor pe contur

"n urma asamblrii elementelor finite, rezult un sistem de

ecuaii algebrice liniare de forma: P ($.?)

0mpunerea condiiilor pe contur se face n funcie de tipul

condiiilor la limit geometrice de tip *auc! i condiii libere sau

naturale de tip 7eumann (derivata variabilei de cmp). Prin urmare,vor fi stabilite:


33/40

- gradele de libertate globale primare specificate2 deplasri -

valoarea la nodul final al elementului


34/40

-

pentru care cantitatea de memorie necesar este mult mai micdect memoria cerut s stoc!eze vectorul procesului de iteraie.

Astfel, dac memoria calculatorului este suficient, cteva poriunidin matricea original pot fi pstrate n memoria calculatorului. "n

ultima perioad metodele iterative au devenit mult mai populare

datorit faptului c problemele studiate sunt din ce n ce mai

complexe i necesit un spaiu mare de memorie. Diteza deconvergen a metodelor iterative depinde de tipul problemei ce

trebuierezolvatprecum i de valorile numericereale. Precondiionrile

suntutilizate pentrua reducenumrul iteraiilor astfelnct metoda s

convearg la soluia real. Principalele metode din cadrul acesteigrupe sunt: metoda /acobi, metoda Gauss$0eidel, metoda rela-rii i

metoda gradientuluicon1ugat.

,ezultatele analizei cu elemente finite constau din valorile

numerice care rezult din rezolvarea ecuaiilor de forma $.C. "ncazul analizelor structurale, aceste rezultate sunt: deplasrile nodurilor i

reaciunile din dreptul reazemelor. Alte rezultate, cum ar fi: fore,tensiunii deformaiisuntmrimiderivateobinutedin deplasri.

1.5.& #nterpretarea re!ultatelor

etap foarte important n analiza cu elemente finiteo constituie interpretarea rezultatelor obinute, deoarece pe

parcursul rezolvrii problemei sau dup obinerea rezultatelor, se nasccteva ntrebri, cum ar fi: *t de bune sunt rezultatele obinute, *e

se poate face cu aceste rezultateetc.

,spunsul la aceste ntrebri finalizeaz analiza problemei

sau cere ca anumite etape prezentate anterior s fie repetate. 4e

regul, pentru a putea rspunde la ntrebrile anterioare, sunt

necesare a se parcurgedou etape:

$. Dalidarea modelului. 4e regul, aceast validarea ia

foarte mult timp. 8tilizatorul metodei trebuie s verifice rezultatele

corespunztoare care s satisfac modelul de calcul. Dalidareamomentului este afectat n principal de performana global amodelului pentru fiecare set de condiii de contur analizate. "n afar de

cazul n care rezultatele sunt dorite pentru compararea lorcu rezultatele obinute prin alte metode (experimentale, analiticeetc.) rezultatelepot fi utilizate ntr-osituaieconcretcorect.

. 0nterpretarea rezultatelor. Prin interpretarea rezultatelordup

validare, acestea arat modul n care lucreaz structura studiat.

Pe de alt parte pot fi cerute valorile maxime pentru a ficomparate cu cele admisibile sau cu valori obinute n anumite

cazuri particulare. 4e asemenea este important ca rezultatele s fie


35/40

-

prezentate ntr-o form care s permit o bun nelegere, fr ocunoatere prealabil a


36/40

modelului. "n acest caz rezultatele pentru structurile mecanice pot

fi grupatesuburmtoareleforme:

- reprezentareaformei deplasrilor2

- reprezentareaconturuluipieseideformatei nedeformate2

- reprezentareaforelor i momentelordin dreptulreazemelor2

-

reprezentareatensiunilori deformaiilorpe contur2

- reprezentareadireciilortensiunilorprincipale2

- calcululenergieide deformaie2

- listarea tensiunilor i deformaiilor n ordine cresctoare

sau descresctoareetc.1ste important ca pri ale structurii s fie artate n

form grafic iar direciile axelor sistemului de coordonate s fie clar

artate i explicate. 4ac valorile numerice sunt incluse,localizarea nodurilor, elementelor sau seciunilor la care se refer

trebuie s fie prezentate grafic, iar conveniile de semne s fie clarexplicate. Pentru elementele finite de tip beam i s!ell este necesarconvenia de semne pentru fore i momente, iar nanumitecazuriele

suntconvertitentensiuni, caz n care conveniile pentru localizarea

suprafeelor i fibrelor este necesar.


37/40

1.5.' (xemplu de calcul numeric aproximati% pentru o

grindde seciune %ariabilsolicitataxial

"n paragraful de fa se vor determina (urmndetapele prezentate n capitolul de fa) tensiunile i eforturiledintr-o bar vertical ncastrat la un capt i liber la cellalt,

solicitatpe direcie axial de ctre o sarcin concentrat aplicat 2(fig. $.$I, a). (tructura va fi mprit n C elemente finite (fig. $.$I, b).

cu noduri articulate, fiecare nod avnd un grad de libertate(deplasare pe direcia solicitrii), ntotal structuraavnd & noduri (fig.

$.$I, c).

Fi%. 1.16 1ar*erticalnca'tratla #n capti lierla cellat'olicitatla traci#ne

$. 4efinirea caracteristicilorgeometrice, i de materiala structurii.

L 260 mm - lungimeastructuriistudiate2

D1

60 mm

D2

20 mm- diametrulmaxim al structurii2

- diametrulminim alstructurii2

L1L

2 L3 L4 65 mm - lungimeaunui elementfinit2

E 210 103MPa - modululde elasticitateal materialuluistructurii2

P 100 103N

- sarcinaconcentrataplicatcare solicitstructura2

2A1

2375,83

mm

- aria medie a seciunii transversale a

elementului$2

2A2 1590,43 mm - aria medie a seciunii transversale a

elementului22


38/40

A3 962,11

mm

- aria medie a seciunii transversale a

elementului?2

A4 490,87

mm- aria medie a seciunii tran

sver

sale a

elementuluiC.

. *alculul matricelor de rigiditate elementale i atribuireaunui

$ $ $

1 A>:

1 A? $

$

>? $ $

1 AC $$

>C $ $

H,GH $'G

H,GH $'

G

?,$ $'G

?,$ $'G

$,&% $'G

$,&% $'G

H,GH $'G

H,GH $'

G

?,$ $'G

?,$ $'G

$,&% $'G

$,&% $'G

a$$

a$

b$$

b$

c$$

c$

d$$

d$

a$

a

b$

b

c$

c

d$

d

?. *alculul matricei de rigiditate globale a structurii i obinerea

matricei de rigiditate reduse, prin eliminarea liniilor i coloanelor

corespunztoare deplasrilor nodale mpiedecate (n cazul de fadeplasareanodului$):

a$$

a:$

a$

a

b$$

b$

' ' '

b$ ' 'g ' b$ b c$ c$ ' , matricea de rigiditate

' ' c$ c d$ d

' '

globala structurii.

' d$ d

a:: b$ b$ ' '

b:$g

b c$ c$ ' , matricea de rigiditate' c$ c d$ d

' ' re

dusa structurii.

2

$

?

C

$ $ &,$C $'G &,$C

$ $ &,$C $'G

&,$C $'G


39/40

d$ d

C. ,ezolvareaecuaieistructuralei aflareadeplasrilornodale:$

r r

''

Pr ,

unde: Pr'

este vectorulredusal ncrcrilorde pe structur.

P


40/40

"nurma rezolvriiacesteiecuaiistructurale, se obin deplasrile(nmm) a nodurilor structurii:

r , deplasarea nodului $ fiind, aa cum s-a

precizatanterior, mpiedecat, deciu10.

&. *alculultensiunilori eforturilor ce aparnelementelefinite

ale structurii, presupunnd c materialulrespectlegealui 3oo/e:1

u u$$

C,'%$ +Pa 2

1u

?u

::

G,II +Pa 2

1uC u?

?

$'?,%?I +Pa 2C

1u& uC

C

'?,H +Pa .

1forturile din fiecare element finit se calculeaz cu relaia de

forma:7i Ai

i au valoarea:i , unde: i M $QC

7$ 7 7? 7C $'' $'? 97;

u ',$?''

u? ','?&

uC ','GCHu& ',$HH

>$

>

? > >

Metodologia elementului finit

Documents

Transcript of Metodologia elementului finit