METODE MUMERICE 05

1METODE NUMERICEMETODE NUMERICESI PROGRAMRE LINIARA SI PROGRAMRE LINIARA 0505

FACULTATEA DE INGINERIE FACULTATEA DE INGINERIE AEROSPATIALAAEROSPATIALA

INTEGRAREA NUMERICAINTEGRAREA NUMERICA

Metoda integrrii numericeMetoda integrrii numerice se se utilizeaz fie utilizeaz fie n cazurile n cazurile n care funcn care funcia ia de integrat, de integrat, yy = = f(x),f(x), nu se poate nu se poate integra integra n form analitic n form analitic (nu (nu se poate se poate scrie o primitiv sub form finitscrie o primitiv sub form finit), fie ), fie chiar chiar n cazul n cazul n care primitiva are o n care primitiva are o form foarte complicatform foarte complicat, greu de , greu de utilizat utilizat n calcul. n calcul.


Se calculeazSe calculeaz, d, de obicei numeric,e obicei numeric, integrala definit pe un interval integrala definit pe un interval [[a,ba,b], ],

, , presupunnd c funcpresupunnd c funcia ia f(x)f(x) este integrabil este integrabil ((n majoritatea n majoritatea cazurilor continu cazurilor continu i mrginiti mrginit) pe ) pe [[a,ba,b]. ].

b a R


n acest scop, vom scrie: n acest scop, vom scrie:

unde unde gg ((xx) este func) este funcia aproximantia aproximant, i, integrabil ntegrabil uuor prin cuadraturi (spre exemplu, un polinom or prin cuadraturi (spre exemplu, un polinom de interpolare), iar de interpolare), iar R(x)R(x) este restul este restul corespunztor aproximacorespunztor aproximaiei alese.iei alese.

,b b ba a a

I f x dx g x dx R x dx


Integrala restului Integrala restului R(x)R(x) d eroarea de d eroarea de integrare integrare ::

baR x dx


n multe cazuri se utilizeaz diviziuni n multe cazuri se utilizeaz diviziuni egale ale intervalului egale ale intervalului [[a,ba,b]]. Notnd cu . Notnd cu

nodurile (nodurile (xx11 = a, x= a, xNN = b= b), ), rezult pasul rezult pasul de integrare de integrare hh ::

1

1 1Nx xb ah

N N

, 1, ,ix i N

2INTEGRAREA NUMERICAINTEGRAREA NUMERICA

Exist Exist ns ns i cazuri cnd se utilizeaz i cazuri cnd se utilizeaz diviziuni neegale, avnd avantajul undiviziuni neegale, avnd avantajul unororalegeri speciale a nodurilor alegeri speciale a nodurilor xxii ,, astfel astfel nct eroarea la integrare, nct eroarea la integrare, , , s fie ct s fie ct mai micmai mic. Aceste formule se numesc. Aceste formule se numescformule Gaussformule Gauss..


Formule NewtonFormule Newton--Cotes (formule Cotes (formule nchisenchise))n cazul n cazul n care aproximanta n care aproximanta gg ((xx) este un ) este un polinom de interpolare cu diferenpolinom de interpolare cu diferene finite e finite (diviziuni egale), se ob(diviziuni egale), se obine o serie de ine o serie de formule de integrare numericformule de integrare numeric, denumite, , denumite, n n general, general, formule Newtonformule Newton--CotesCotes..

De regulDe regul, se iau , se iau n consideran consideraie ie i valorile i valorile f(a)f(a) i i f(b)f(b) din capetele intervalului din capetele intervalului, , evitnduevitndu--se extrapolrile care ar duce la se extrapolrile care ar duce la crecreterea erorilor. terea erorilor.


n mod practic, nu se iau multe puncte de n mod practic, nu se iau multe puncte de diviziune simultan (de obicei 2diviziune simultan (de obicei 2--3 puncte), 3 puncte), repetndurepetndu--se formula de integrare pe se formula de integrare pe subintervale.subintervale.


Fie Fie ,, trei noduri trei noduri succesive. Un polinom de interpolare Newton succesive. Un polinom de interpolare Newton de forma de forma studiatstudiat cu cu xxii--11 ca punct de plecare ca punct de plecare i avnd gradul i avnd gradul rr, se scrie, se scrie: :

unde variabila unde variabila este definit prin relaeste definit prin relaia:ia:

1 1, , , 2, 1i i ix x x i N

1, 1 1 1 1...

r rr i i i ip y C y C y

R 1 ,ix x h dx hd


reprezintreprezint coeficien coeficienii ii binomiali (generalizabinomiali (generalizai), iar i), iar este este operatorul diferenoperatorul diferen finit la dreapta finit la dreapta. . Restul corespunztor polinomului de Restul corespunztor polinomului de interpolare este:interpolare este:

unde corespunde limitei superioare de unde corespunde limitei superioare de integrare integrare ..

, 1, 2...rC r

111 1, 1 1 1, ,irr rr i i iR h C f x x x ,x x


Subintervale de integrare (3 noduri succesive)Subintervale de integrare (3 noduri succesive)


SelectSelectndnd diverse valori diverse valori pentru pentru gradul gradul rr al polinomului de interpolare al polinomului de interpolare i i alegnd un numr corespunztor de alegnd un numr corespunztor de subintervale, se obsubintervale, se obin diverse formule in diverse formule de integrare.de integrare.


Formula trapezuluiFormula trapezului

n cazul cel mai simplu, se ia n cazul cel mai simplu, se ia rr = 1= 1, , i se deduce o formul de i se deduce o formul de

integrare pentru subintervalul integrare pentru subintervalul .., 1,ix x 1,i ix x


Aplicnd relaAplicnd relaia ia pentru pe subintervalul pentru pe subintervalul , r, rezultezult::

unde unde reprezint eroarea pe subintervalul reprezint eroarea pe subintervalul ales, calales, calculat cu ajutorul expresiei culat cu ajutorul expresiei restuluirestului, sub , sub forma:forma:

,b b ba a a

I f x dx g x dx R x dx 1 ,i ix x 11 1 1 1 1 10 2i i i i i i i

hI h y y dx y y 1i

313 " ' '1 1 1 1 10 1 " , ,2 12i i i i i ihh f dx f x x


Se observ c eroarea pe un subinterval Se observ c eroarea pe un subinterval este proporeste proporional cu ional cu hh 33 . . Aceasta Aceasta sugereaz o tendinsugereaz o tendin de reducere a erorilor de reducere a erorilor la integrare. Expresia integralei la integrare. Expresia integralei II pe pe ntregul ntregul interval interval [[a,ba,b]] se obse obine prin ine prin nsumare:nsumare:

(Formula integrarii prin metoda trapezului)(Formula integrarii prin metoda trapezului)

1 1 2 12

2 ...22

N

tr i N N tri

hI I y y y y


EEroarea roarea trtr pe pe ntregul interval ntregul interval [[a,ba,b]] esteeste dat dat de relade relaia:ia:

n n acestacest expresieexpresie am aplicat o sumare am aplicat o sumare presupunnd c derivata de ordinul doi presupunnd c derivata de ordinul doi f "(x)f "(x) este continu pe este continu pe ((aa,,bb). Se). Se observ c eroarea observ c eroarea trtr este, aproximativ, invers proporeste, aproximativ, invers proporional cuional cu((NN --1)1)22, , NN fiind numrul de puncte de diviziune fiind numrul de puncte de diviziune. .

33 3": ' ' " '

1 1 22 2

'

( 1 "12 12 12 1

,

N N

tr i ii i

b ah h Nf f fN

a b


Din figura se observ c ariile Din figura se observ c ariile pepe subintervale subintervale au fost aproximate cu ariile unor trapeze.au fost aproximate cu ariile unor trapeze.


Formula Simpson 1/3Formula Simpson 1/3Lund Lund n expresia n expresia polinomului de interpolare polinomului de interpolare rr = 2= 2, se ob, se obine o formul cu o precizie mai ine o formul cu o precizie mai mare, de mare, de regulregul, dect formula trapezului. , dect formula trapezului. Subintervalul de integrare conSubintervalul de integrare conine trei puncteine trei punctexxii--11 , , xxii , , xxii+1+1 ::

Pe ansamblu, Pe ansamblu, trebuie luat un numr trebuie luat un numr imparimpar, fie , fie acesta acesta (2(2NN +1)+1), de puncte de diviziune , de puncte de diviziune echidistante.echidistante.


Ca urmare, pasul Ca urmare, pasul de integrare de integrare este:este:

Pe subintervalulPe subintervalul ((xxii--11 , x, xi+1i+1 )) vom calculavom calcula integrala:integrala:

2b ahN

2 22 1 1 1 1 2 10

1 1 2 1

1( )

2

4 ,3

i i i i i

i i i i

I h y y y dx

h y y y


EEroarea roarea 22ii --11 fiind:fiind:

SS--a a inut cont cinut cont c::

2 1

2 2 23 44 3 4 3 5 4 '2 1 2 1 2 10 0 0

2 45 4 ' '2 1 2 10

, , 0,2i

i i i

i i

h C f d h C d h C f d

h C f d

2 3

00.C d


Cu ajutorul formulelor de medie pentru Cu ajutorul formulelor de medie pentru integrale, considerintegrale, considernd c derivata de ordinul nd c derivata de ordinul patru ,patru , , , este continueste continu, se ob, se obine, ine, n final:n final:

Eroarea pentru formula Simpson 1/3 pe Eroarea pentru formula Simpson 1/3 pe subinterval.subinterval.

4xf

5 42 1 2 1 2 1, 0, 2 .90i i ih f


Prin sumarePrin sumare pe subintervalele pe subintervalele xxii--11 , , xxii , , xxii+1+1rezultrezult::

(Formula integrarii prin metoda Simpson 1/3)(Formula integrarii prin metoda Simpson 1/3)

2 1 1 2 3 2 2 11

4 2 ... 43

N

s i N N si

hI I y y y y y


EEroarea pe roarea pe ntregul interval [ntregul interval [a,ba,b] fiind:] fiind:

n comparan comparaie cu formula trapezului, ie cu formula trapezului, SS(Simspon) (Simspon) eroarea scade (aproxieroarea scade (aproximativ) cu mativ) cu numrul de intervale la puterea a patranumrul de intervale la puterea a patra, fa, fa de de eroarea eroarea trtr (formula (formula trapezului) trapezului) care scade cu care scade cu numrul de intervale la puterea a douanumrul de intervale la puterea a doua..

5 54 4 '

2 1 2 11 1

54 ' '

4

90 90

, , .2880

N N

s i ii i

h hf Nf

b af a b

N


Deoarece derivateleDeoarece derivatele ii sunt, sunt, n n general, necunogeneral, necunoscute, pentscute, pentru evaluarea erorii se ru evaluarea erorii se repet calculele cu numrul de diviziuni dublat repet calculele cu numrul de diviziuni dublat (pas (pas njumtnjumtit) it) i se verific difereni se verific diferenele:ele:

unde unde este o eroare admis este o eroare admis (spre exemplu,(spre exemplu, = 10= 10--44). ).

Pentru cPentru c n expresiile n expresiile prezentateprezentate intr valorile func intr valorile funciei laiei la capetele capetele aa, , bb ale intervalului, ale intervalului, formula trapezuluiformula trapezului i i formula Simpson 1/3formula Simpson 1/3 se numesc se numesc formule formule nchise.nchise.

" 'f 4 'f

2 2 2, sau /N N N N NI I I I I

METODE MUMERICE 05

Documents

Transcript of METODE MUMERICE 05