Cursul 10.Metode de tip CMMP pentru estimarea parametrilor

modelelor dinamice.

4.8.1) Estimarea parametrilor modelelor dinamice pe baza raspunsului pondere si a raspunsului indiciala)Raspunsul pondere:

unde h(t) este raspunsul pondere.

Exemplu: Incercam sa modelam procesul si sa aproximam modelul printr-un raspuns de ordinul I.

Definim un criteriu de eroare de tip CMMP:

N=orizontul de experimentareRezulta:

1

Daca nu cunoastem K,T, rezulta un sisitem neliniar foarte complicat.OBSERVATIE: Eroarea facuta –CMMP (metoda celor mai mici patrate)

este mai buna in cazul in care modelul este liniar in parametri (de exemplu: modele discrete de tip AR, ARX, ARMAX).Incercam sa liniarizam.

Am obtinut un model :

cu oservatia ca am realizat trecerea de la iTo->i si ca :

adica am trecut de la T la a.Daca tinem cont de faptul ca schema generala are si efect al erorilor,

zgomotelor, atunci putem scrie:y(i)=a*y(i-1)+v(i)

Pentru i=1 y(1)=a*y(0)+v(1) y(2)=a*y(1)+v(2)

: y(N)=a*y(N-1)+v(N)

in functie de a

2

b)Raspunsul indicial:

Trebuie sa gasim pe baza metodei CMMP. Procedura se bazeaza pe liniarizare prin discretizare.Daca :

Daca tinem cont de efectul zgomotelor,

AR autoregresiv y(i)=a*y(i-1)+b+v(i)Definitie—criteriul de eroare:

-- ecuatia I a

sistemului-- ecuatia a II-a a sistemului este:

3

4.9) Estimarea parametrilor modelelor discrete de tip ARX (ARMAX)prin metoda celor mai mici patrate (CMMP) si a celor mai mici patrate recursive (CMMPR)a)Estimarea prin metoda CMMP (metoda off-line) :

bo=0nu exista transfer direct I/EScriem echivalent ecuatia recursiva inlocuind: Y(z)y(k)

Operatorul de intarziere in discret este:

Exemplu: . Noi vom considera cazul fara timp mort.

Rezulta, inmultind pe diagonala, trecand la relatia de recurenta si izoland:

4

ARXmodele liniare in panta

Estimatia pe N detrminari I/E:

b) Estimatia prin metoda CMMPR (metoda on-line):Pentru aplicatii de conducere in timp real, este necesara dezvoltarea unei

variante recursive de estimare a parametrilor.

=>inversarea in timp real poate fi o problema complicata

P(N+1) se evalueaza folosind urmatoarea lema:Lema:

Evaluam:

=>relatie de

recurenta pentru matricea observatiilorRevenim la calculul lui  :

5

CMMPR

Initializari :

Metoda CMMPR nu necesita inversare de matrici. Plecand de la CMMPR se dezvolta si alte variante :

-CMMPP (metoda celor mai mici patrate ponderate), (in care se aloca ponderi observatiilor recente in raport cu observatiile « mai vechi ») si

-CMMPG (metoda celor mai mici patrate generalizate), (in care se tine cont si de efectul zgomotelor).

6