Metode de rezolvare a problemelor

Matematica

Metode de rezolvare a problemelor

Metoda figurativa

Metoda figurativa consta in reprezentarea grafica a datelor sau marimilor care apar in cazul unei

probleme. Aceasta metoda are avantajul ca se intelege mai usor de catre scolar dependenta dintre

marimile cunoscute si cele necunoscute ale problemei considerate.

In aplicarea acestei metode se pot folosi diferite elemente grafice sau combinatii de elemente grafice.

Dintre acestea enumeram:

- figuri geometrice: segmentul de dreapta (cel mai des folosit), triunghiul,

dreptunghiul, patratul, cercul;

- elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete;

- litere si combinatii de litere;

- desene care reprezinta actiunea problemei.

In continuare vom da cateva exemple de probleme care pot fi rezolvate cu metoda figurativa.

1. Reprezentarea prin desen.

Problema:

Ana are 5 mere. Fratele ei i-a mai dat 4 mere, iar sora ei inca 3 mere. Cate mere are Ana?

Rezolvare

Fiind genul de problema care se rezolva la clasa I, pentru a reprezenta marimile (in cazul problemei

considerate, merele), vom folosi desenul.

Elevii vor afla, mai intai, prin numarare, cate mere a primit in total Ana de la fratele si sora ei: 4+3=7.

Apoi vor afla cate mere are Ana in total:5+7=12.

Raspunsul problemei: 12 mere.

Aceasta problema putea fi facuta si direct, punand de prima data intrebarea din enuntul problemei:

cate mere are Ana in total?

La aceasta intrebare elevii ar fi numarat toate merele desenate si ar fi ajuns la raspunsul: 5+4+3=12

mere.

2. Utilizarea figurilor geometrice plane.

Desi pot fi utilizate orice figuri geometrice plane (cercuri, patrate, dreptunghiuri etc.) cel mai folosit

mod de reprezentare este cel ce foloseste segmentele de dreapta.

In acest caz gasim mai multe tipuri de probleme.

a. Aflarea a doua numere cand se cunosc suma si diferenta lor.

Problema

Suma a doua numere este 95. Sa se afle cele doua numere, stiind ca unul este cu 17 mai mare decat

celalalt.

Rezolvare.

Pentru a rezolva aceasta problema vom reprezenta cele doua numere prin segmente de

dreapta. Vom desena mai intai numarul mai mic, printr-un segment, apoi numarul mai mare. Stim ca

acesta este cu 17 mai mare decat primul, deci il vom desena astfel: facem un segment egal cu cel care

reprezinta primul numar, si ii vom adauga un segment suplimentar care va reprezenta cele 17 unitati

ce reprezinta diferenta dintre numere.

Mai stim din problema

ca cele doua numere

adunate dau suma 95.

Vom reprezenta acest

lucru in felul urmator:

Pentru a

determina cele

doua numere,

trebuie mai

intai sa obtinem doua segmente la fel de mari. Acest lucru il putem face in doua moduri: prin adunare

sau prin scadere.

a. Prin adunare

Observam ca daca

numarului mic i-am aduna 17 unitati, atunci cele doua segmente obtinute ar fi egale. Pentru a mentine

insa egalitatea, adunand la segment 17 unitati trebuie sa adunam aceeasi cantitate si la suma. Obtinem

astfel:

Am obtinut astfel doua segmente egale care adunate dau 16216p1522q suma 112. Pentru a afla cat

reprezinta un segment, vom face impartirea:

112:2=56.

Acesta este insa segmentul ce reprezenta numarul mai mare, deci numarul mai mare are valoarea 56.

Cum numarul mai mic este cu 17 mai mic decat celalalt, vom afla valoarea acestuia prin scadere:

56-17=39 (numarul cel mic).

Am obtinut astfel valorile celor doua numere: 39 si 56.

b. Prin scadere.

Observam ca daca din numarul mare am scadea 17 unitati, atunci cele doua segmente obtinute ar fi

egale. Pentru a mentine insa egalitatea, scazand din segment 17 unitati trebuie sa scadem aceeasi

cantitate si din suma. Obtinem astfel:

Am obtinut

astfel doua

segmente

egale care

adunate dau

16216p1522q suma 78. Pentru a afla cat reprezinta un segment, vom face impartirea:

78:2=39.

Acesta este insa segmentul ce reprezenta numarul mai mic, deci numarul mai mic are valoarea 39.

Cum numarul mai mare este cu 17 mai mare decat celalalt, vom afla valoarea acestuia prin adunare:

39+17=56 (numarul cel mare).

Am obtinut astfel valorile celor doua numere: 39 si 56

b. Aflarea a doua numere cand se cunosc suma si raportul lor.

Problema

Suma a doua numere este 560. Al doilea numar este de trei ori mai mare decat celalalt. Care

sunt cele doua numere?

Rezolvare.

Pentru a rezolva aceasta problema vom reprezenta cele doua numere prin segmente de dreapta. Vom

desena mai intai numarul mai mic (primul), printr-un segment, apoi numarul mai mare. Cum al doilea

numar este de trei ori mai mare decat celalalt, rezulta ca pentru a il reprezenta, vom desena segmentul

corespunzator primului numar de trei ori:

Cunoastem suma celor

doua numere, deci

desenul va fi:

Din desen

se observa

ca avem 4

segmente de

aceeasi lungime care impreuna dau suma 560. Pentru a afla lungimea unui singur segment, este

suficient sa impartim suma 560 la numarul de segmente egale (4):

560:4=140 - lungimea unui segment.

Tot din desen se vede insa ca segmentul cu lungimea 140 reprezinta chiar primul numar.

Pentru a afla cel de-al doilea numar, cum stim ca el este de 3 ori mai mare ca primul, va trebui sa

facem inmultirea:

140*3=420 - valoarea celui de-al doilea numar.

c. Aflarea a doua numere cand se cunosc diferenta si raportul lor.

Problema

Tatal are de 4 ori mai multi ani decat fiul, adica cu 24 de ani mai mult. Cati ani are tatal? Cati

ani are fiul?

Rezolvare.

Si de aceasta data vom reprezenta varstele tatului si fiului prin segmente de dreapta. Vom

desena mai intai varsta cea mai mica - adica a fiului, iar a tatalui o vom desena, asa cum spune

problema, de patru ori mai mare.

Stim insa ca tatal

are cu 24 de ani

mai mult decat

fiul. Urmarind pe

desen, observam

ca diferenta dintre cele doua segmente este data de:

Cum toate

segmentele

desenate au

aceeasi lungime,

rezulta ca 24

reprezinta

valoarea a trei segmente egale adunate. Valoarea unui singur segment va fi:

24:3=8.

Cunoscand valoarea unui segment, rezulta ca am aflat varsta fiului:8 ani.

Varsta tatalui este de patru ori mai mare decat a fiului, deci:

8*4=32 ani are tatal.

3. Reprezentare schematica.

Problema

Intr-o curte sunt gaini si iepuri. Stiind ca in total sunt 11 capete si 34 de picioare, sa se afle

cate gaini si cati iepuri sunt.

Rezolvare.

Cum in curte sunt 11 capete, inseamna ca sunt de fapt 11 animale, unele cu doua picioare

(gainile) altele cu 4 picioare (iepurii).

Vom desena cele 11 animale prin 11 cerculete (ovale):

Trebuie in

continuare sa distribuim

cele 34 de picioare.

Fiecare animale are cel putin cate doua picioare. Din acst motiv, vom desena cate doua picioare

fiecarui animal.

Am distribuit

astfel 2x11=22 picioare

din totalul de 34. Au mai ramas in plus 34-22=12 picioare.

Plusul de 12 picioare se datoreaza faptului ca unele animale (iepurii) nu au numai 2, ci patru

picioare. Nu ne mai ramane decat sa distribuim pe desen cele doua picioare ramase, doua cate doua.

Dupa ce am distribuit

restul de picioare,

numaram cate animale cu

2 si cate cu 4 picioare

avem. Obtinem:

6 animale cu patru picioare (iepuri)

5 animale cu doua picioare (gaini).

Metoda comparatiei

Metoda comparatiei este o metoda care ajuta la rezolvarea unui anumit tip de probleme. Acestea sunt

problemele in care apar doua situatii distincte in care intervin aceleasi marimi, sau probleme in care

apare o singura situatie, care este insa completata cu o relatie intre marimile ce apar in ea.

Problema

6 fete si 3 baieti aduna 33kg de zmeura, iar 6 fete si 7 baieti aduna 53kg de zmeura. Cate kg aduna o

fata si cate un baiat?

In primul rand, la astfel de probleme trebuie sa scriem datele problemei sub o forma care sa ne fie de

ajutor.

Vom scrie aceste date pe doua randuri, fiecare dintre cele doua randuri corespunzand uneia din cele

doua situatii prezentate:

6 fete ...................... 3 baieti .................. 33kg zmeura

6 fete ...................... 7 baieti .................. 53kg. zmeura

Privind datele problemei astfel scrise, observam ca in ambele situatii numarul fetelor este acelasi.

Diferenta care apare in ceea ce priveste cantitatea de zmeura culeasa este datorata numarului de baieti

care in primul caz este mai mic iar in al doilea, mai mare.

Putem astfel concluziona ca diferenta de zmeura: 53kg-33kg=20kg zmeura este culeasa de 7-3=4

baieti.

Daca 4 baieti culeg 20 kg zmeura, atunci un baiat va culege de 4 ori mai putin:

20kg:4=5 kg zmeura culege un baiat.

Mai ramane de aflat cate kg de zmeura culege o fata.

Pentru aceasta alegem una dintre liniile de mai sus, de preferinta cea cu valorile cele mai mici (nu

este insa obligatoriu!).

Alegem:

6 fete ...................... 3 baieti .................. 33kg zmeura

Aceasta linie ne spune ca 6 fete si 3 baieti culeg impreuna 33kg de zmeura. Stim insa ca un baiat

culege 5kg. Astfel, din cele 33 kg, cei trei baieti culeg

5x3=15kg.

Raman restul de

33kg-15kg=18kg zmeura pe care le culeg cele 6 fete.

O fata va culege:

18kg:6=3kg zmeura (culege o fata.

Problema

4 saci cu grau si 3 saci cu porumb cantaresc 380kg, iar 5 saci cu grau si 6 saci cu porumb cantaresc

610kg. Cat cantereste un sac cu grau? Dar unul cu porumb.

Rezolvare

Vom proceda ca la problema anterioara si vom scrie datele problemei in mod convenabil:

4 saci grau ...................... 3 saci porumb ...................... 380kg

5 saci grau ...................... 6 saci porumb ...................... 610kg

Spre deosebire de problema precedenta, acum nici numarul sacilor de porumb nici cel al sacilor cu

grau nu este acelasi in ambele situatii. Totusi, se poate observa ca numarul sacilor de porumb din a

doua linie este dublu fata de numarul sacilor cu porumb din prima linie. Pentru a obtine un numar

egal de saci de porumb este astfel suficient sa inmultim cu doi valorile de pe prima linie, in timp ce a

doua linie va ramane nemodificata. Obtinem:

4 saci grau...................... 3 saci porumb ...................... 380kg x2

5 saci grau ...................... 6 saci porumb ...................... 610kg

adica

8 saci grau ...................... 6 saci porumb ...................... 760kg

5 saci grau ...................... 6 saci porumb ...................... 610kg

Cum numarul sacilor de porumb este de aceasta data acelasi in ambele situatii, vom proceda in

continuare exact ca la problema precedenta.

Vom obtine ca diferenta de 760kg-610kg=150kg corespunde diferentei dintre numarul sacilor de

grau: 8-5=3 saci de grau. Daca 3 saci de grau cantaresc 150kg, rezulta ca un sac va cantari:

150kg:3=50kg (cantareste un sac cu grau).

Alegem acum linia cu cele mai mici valori. Aceasta este:

4 saci grau ...................... 3 saci porumb ...................... 380kg

Cei 4 saci cu grau cantaresc 4x50kg=200kg, deci 3 saci cu porumb cantaresc 380kg-200kg=180kg.

Rezulta ca un sac cu porumb cantareste:

180kg:3=60kg (cantareste un sac cu porumb)

Problema

3kg de cartofi si 4kg de morcovi costa 64000lei. 2kg de cartofi si 5kg de morcovi costa 66000lei. Cat

costa 1kg de cartofi? Dar unul de morcovi?

Rezolvare

Scriem datele problemei pe doua linii:

3kg cartofi ............ 4 kg morcovi ................. 64 000lei

2kg cartofi ............ 5kg morcovi .................. 66 000lei

Observam ca nu ne aflam in nici una din situatiile anterioare, adica nici una dintre cele doua marimi

(cartofi sau morcovi) nu are aceeasi valoare in ambele situatii si nici una dintre valorile marimilor nu

este proportionala cu valoarea din cealalta situatie.

In acest caz va trebui sa inmultim ambele linii cu anumite valori pentru a obtine fie acelasi numar de

kg de cartofi fie de morcovi.

Daca dorim sa egalam numarul kilogramelor de cartofi, vedem ca in prima linie avem 3kg iar in cea

de-a doua, 2kg. De aici deducem ca trebuie ca prima linie sa o inmultim cu 2 iar a doua cu 3,

obtinand astfel in ambele cazuri 6kg cartofi:

3kg cartofi ............ 4 kg morcovi ................. 64 000lei x2

2kg cartofi ............ 5kg morcovi .................. 66 000lei x3

adica

6kg cartofi ............ 8 kg morcovi ................. 128 000lei

6kg cartofi ............ 15kg morcovi ................ 198 000lei

Mai departe procedam ca mai inainte.

Diferenta 198000-128000=70000lei corespunde celor 15kg-8kg=7kg morcovi care sunt in plus in a

doua linie. Rezulta ca un kg de morcovi costa:

70000lei:7=10 000lei costa un kg de morcovi.

Alegem acum linia:

3kg cartofi ............ 4 kg morcovi ................. 64 000lei

Cele 4kg de morcovi costa impreuna 4kgx10000lei=40 000lei deci 3kg de cartofi vor costa 64 000-40

000=24 000 lei, de unde:

24 000: 4= 6 000 lei costa un kg de cartofi.

Metoda falsei ipoteze

Aceasta metoda se poate aplica unui mare numar de probleme, atat timp cat problema considerata

contine date proportionale.

Asa cum indica si numele metodei, in aplicarea acesteia se porneste de la o presupunere (eronata)

functie pe care o facem in raport cu una dintre marimile pe care dorim sa le determinam. Incercam sa

rezolvam problema in de presupunerea facuta si vom obtine niste valori in plus sau in minus, datorate

ipotezei considerate. Aceste valori le vom compara cu datele reale si apoi vom gasi cu cat "am gresit"

in presupunere.

Pentru exemplificare vom da cateva exemple de probleme ce se pot rezolva cu aceasta metoda.

Problema

Intr-un bloc cu 30 de apartamente cu doua si trei camere sunt in total 70 de camere. Cate apartamente

cu doua camere si cate cu trei camere sunt?

Rezolvare

In rezolvarea acestei probleme vom face o presupunere in legatura cu numarul de camere de fiecare

tip care exista in bloc.

Putem, de exemplu, presupune, ca toate apartamentele ar avea exact 2 camere. Ce se intampla in acest

caz?

Daca toate camerele ar avea 2 camere, ar insemna ca in total ar fi 30x2=60 camere (deoarece avem 30

apartamente).

Stim insa ca in total sunt 70 camere, deci cu 70-60=10 camere mai mult decat am obtinut in urma

presupunerii facute.

De unde rezulta aceasta diferenta? Din faptul ca nu toate apartamentele au 2 camere, unele dintre ele

avand cate trei. Va trebui sa distribuim acum cele 10 camere unora dintre apartamente.

Ne punem urmatoarea intrebare: cate camere trebuie sa mai adaugam unui apartament pentru a-l

"transforma" din apartament cu doua camere in apartament cu trei camere?

3camere-2camere=1 camera.

Va trebui ca cele 10 camere sa le distribuim la 10:1=10 apartamente. Cele 10 apartamente vor fi

apartamentele cu trei camere iar restul de 30-10=20 apartamente sunt apartamentele cu doua camere.

Rezultatul este astfel: 10 apartamente cu 3 camere si 20 apartamente cu doua camere.

Observatie

In problema de mai sus am presupun la inceput ca toate apartamentele au 3 camere. Am fi

putut sa presupunem ca toate apartamentele au 3 camere. In acest caz am fi obtinut un numar de

30x3=90 de camere, rezultand o diferenta de 90-70=20 camere. Diferenta s-ar fi datorat faptului ca

unele dintre apartamente au nu 3, ci numai 2 camere. Cum diferenta dintre numarul de camere intre

cele doua tipuri de apartamente este 3-2=1 camera, rezulta ca cele 20 de camere pe care trebuie sa le

eliminam vor corespunde unui numar de 20:1=20 apartamente. Rezulta ca in bloc sun 20 apartamente

cu 2 camere si restul de 30-20=10 apartamente au trei camere.

Problema

75kg de miere s-au turnat in 12 bidoane, unele de 8kg, altele de 5kg. Cate bidoane de fiecare fel au

fost folosite?

Rezolvare

Vom presupune ca s-au folosit numai bidoane de 5kg. In acest caz, ar insemna ca s-au turnat

12x5=60kg miere.

Stim insa ca au fost 75kg de miere, cu

75kg-60kg-15kg mai mult.

Diferenta de 15kg apare datorita faptului ca nu toate bidoanele au fost de 5kg, unele fiind de mai

mari, mai exact de 8kg.

Diferenta dintre capacitatea celor doua tipuri de bidoane este de 8kg-5kg=3kg.

Va trebui astfel ca cele 15kg suplimentare sa le grupam in grupuri de 3kg, lucru necesar pentru

"transformarea" bidoanelor de 5kg in bidoane de 8kg. Vom avea

15:3=5 grupuri de cate trei kilograme, de unde concluzionam ca avem 5 bidoane de 8kg.

Restul de 12-5=7 reprezinta numarul bidoanelor de 5kg.

Rezulta ca s-au folosit 7 bidoane de 5kg si 5 bidoane de 8kg.

Observatie

Problema putea fi rezolvata si pornind de la presupunerea ca toate bidoanele ar fi fost de 8kg.

Problema

Intr-un magazin au fost aduse 31 de bicilete, triciclete si masinute pentru copii. Numarul masinutelor

este de trei ori mai mare decat cel al biciletelor. Stiind ca numarul total de roti este de 105, sa se

determine cate biciclete, cate triciclete si cate masinute au fost aduse.

Rezolvare

Observam ca de aceasta data avem trei tipuri de obiecte: bicilete, tricilete si masinute. Problema poate

parea mult mai dificila la o prima vedere. Trebuie, insa, ca din datele problemei sa transformam

informatiile astfel incat problema sa semene cu cele rezolvate anterior.

In afara de numarul total de obiecte si de numarul de roti, se mai cunoaste o relatie: faptul ca

numarul masinutelor este de trei ori mai mare decat cel al biciletelor. Ne vom folosi mai intai de

aceasta informatie.

Din moment ce masinile sunt de trei ori mai numaroase decat biciletele, putem spune ca pentru

fiecare bicicleta existenta avem si trei masini. Putem deci considera un grup de 1 bicicleta si trei

masini ca fiind o jucarie cu 2+3x4=14roti (o bicicleta are 2 roti iar trei masinute vor avea 3x4=12

roti). In continuare vom analiza problema ca si cum am avea doua tipuri de obiecte: tricicletele si

jucariile cu 14 roti.

Sa presupunem acum ca toate obiectele ar fi triciclete. In acest caz am obtine

31x3=93 roti.

Mai ramane astfel o diferenta de 105-93=12 roti, diferenta care se datoreaza faptului ca am considerat

ca toate obiectele ar avea 3 roti, in timp ce unele au 14 roti. Va trebui acum sa "transformam" o parte

din triciclete in jucarii cu 14 roti. Trebuie insa sa facem acest lucru fara a modifica numarul total al

jucariilor. Daca, de exemplu, am adauga 9 roti unei triciclete, am obtine un grup cu 14 roti, dar nu s-

ar pastra numarul de jucarii: dintr-o tricicleta am obtine o bicicleta si trei masinute!!!!

Este deci nevoie ca pentru transformare sa luam 4 triciclete la care sa le adaugam rotile necesare

pentru a obtine din ele grupul de o bicicleta si trei masinute. Cate roti va trebui sa mai alocam pentru

4 triciclete ca sa facem transformarea?

In primul rand trebuie sa vedem cate roti ar avea 4 triciclete impreuna:

3x4=12 roti.

Pentru a transforma, observam ca este nevoie sa adaugam inca

14-12=2roti.

Cum diferenta de roti care mai trebuia alocata este de 12, inseamna ca putem transforma

12:2=6 grupuri de cate 4 triciclete in grupuri de 1 bicicleta si 3 masinute.

Rezulta ca am obtinut in total 6 biciclete, 3x6=18 masinute si restul de 31-6-18=7 triciclete care au

fost aduse la magazin.

Metoda mersului invers

Asa cum spune si numele, aceasta metoda se foloseste in cazul in care rezolvarea problemei se face

pornind de la sfarsit catre inceput.

In astfel de probleme necunoscutele apar in prima parte a calculelor iar partea finala a acestora este

cunoscuta.

Problema

Triplam un numar natural si scadem din el 21. Rezultatul astfel obtinut il triplam din nou si scadem

din el 4. Obtinem astfel numarul 311. Care este numarul considerat?

Rezolvare

Sa notam numarul considerat cu a. In prima etapa il triplam, deci vom obtine 3a. Din rezultat vom

scadea 21, adica vom ajunge la

3a-21

Rezultatul obtinut il triplam din nou si scadem 4, adica

(3a-21)x3-4

Stim ca rezultatul este 311, deci

(3a-21)x3-4=311.

Am ajuns astfel la ecuatia care se regaseste in enunt, aceasta fiind:

(3a-21)x3-4=311

Pentru a rezolva acest exercitiu vom proceda in felul urmator:

- in partea stanga avem o valoare din care am scazut 4. Pentru a "scapa" de acest 4,

il vom trece in partea dreapta, cu semn schimbat (altfel spus, vom adauga 4 in ambele parti ale

egalitatii). Obtinem:

(3a-21)x3=311+4 adica

(3a-21)x3=315

- in partea stanga avem acum o valoare inmultita cu 3. Vom imparti ambele parti

ale egalitatii la 3 si vom obtine:

3a-21 =315:3 adica

3a-21 =105

- adunam acum 21 in ambele parti si avem 3a =126

- putem acum sa aflam numarul a impartind in ambii membrii cu 3: a=42.

Am obtinut deci numarul cautat, a=42.

Problema

Un excursionist a parcurs in prima zi 1/7 din drumul pe care il avea de facut, a doua zi 4/6 din ce i-a

ramas, a treia zi 3/8 din noul rest, iar a patra zi restul de 40km. Cati km a parcurs in fiecare zi?

Rezolvare

Pentru a rezolva o astfel de problema este mai simplu sa ne ajutam de reprezentarea grafica a

drumului.

Reprezentam drumul pe care il are de parcurs excursionistul prin urmatorul segment

In prima zi a parcurs 1/7 din intregul drum, deci va trebui sa impartim drumul in 7 parti egale:

Si sa indicam partea din drum parcursa in prima zi (1/7):

1/7 (partea parcursa in prima zi

Pentru urmatoarele zile au mai ramas restul de 6/7 din drum, adica:

A doua zi a parcurs 4/6 din ce a ramas, adica:

4/6 din rest (partea parcursa a doua zi)

Drumul ramas este:

In a treia zi a parcurs 3/8 din noul rest. Pentru a vedea pe desen cat anume a parcurs in a treia zi, va

trebui sa impartim segmentul ramas in 8 parti egale si sa consideram trei dintre ele:

3/8 din noul rest

(partea parcursa a treia zi)

Partea ramasa este:

Stim insa ca aceasta ultima parte reprezinta 40km. Pentru a determina lungimea drumului, vom

parcurge cu ajutorul desenului drumul invers, pornind de la ultima zi inspre prima.

Ultima parte are 40km, deci:

40km

Dar aceasta este partea care mai ramasese dupa a treia zi, deci "urcand" in reprezentarea grafica,

putem indica pe desen cei 40km:

3/8 din noul rest

40km

Urmarin pe acest desen, observam ca cei 40km reprezinta de fapt 5/8 din segment, adica 5/8 din

partea ramasa dupa a doua zi.

Calculm o optime: 40km:5=8km, deci cele 8 optimi vor avea 8x8=64km.

Rezulta ca drumul ramas dupa a doua zi a fost de 64km, si vom reprezenta acest lucru pe desenul de

mai sus:

4/6 din rest (partea parcursa a doua zi) 64km.

Cei 64km reprezinta acum 2/6 din drumul ramas de parcurs dupa prima zi. Rezulta ca drumul total

parcurs dupa prima zi este 3x64km=192km (puteam si acum sa impartim intai 64km la 2 pentru a afla

o sesime din segment si apoi sa inmultim cu 6 pentru a afla lungimea acestui segment).

Cu aceasta lungime "urcam" din nou in reprezentarea grafica si ajungem la prima zi:

1/7 (partea parcursa in prima zi 192km

Cei 192km reprezinta 6/7 din drumul total, deci o septime din acesta va fi 192km:6=32km, iar drumul

total va fi de 7x32km=224km.

Observatie:

Acest tip de problema mai este cunoscut si sub numele de problema cu rest din rest, si este

tipul de problema care se incadreaza cel mai bine in metoda drumului invers.

Regula de trei simpla

In problemele care se rezolva cu ajutorul regulii de trei simpla apar doua marimi proportionale. Cum

marimile pot fi direct proportionale sau invers proportionale, rezulta ca putem avea doua cazuri atunci

cand aplicam aceasta regula.

Doua marimi sunt direct proportionale daca pe masura ce una dintre ele creste, si cealalta va creste in

aceeasi proportie, si invers proportionale daca pe masura ce una dintre ele creste, cealalta va scadea in

aceeasi proportie.

Regula de trei simpla poate fi aplicata in doua variante: prin reducere la unitate sau prin

proportii.Vom da exemple pentru fiecare din tipurile de probleme ce pot aparea si vom aplica fiecare

din cele doua variante ale regulii.

Problema

10 caiete costa 22000lei.. Cat vor costa 3 caiete?

Rezolvare

Pentru inceput vom scrie datele problemei intr-o forma convenabila:

10 caiete ................. 22000lei

3 caiete ...................? lei

Mai intai, observam ca cele doua marimi: numarul de caiete si pretul sunt direct proportionale: daca

numarul de caiete creste, va creste si pretul platit.

a. Vom rezolva mai intai problema prin reducere la unitate. In acest sens, vom dori

mai intai sa aflam cat costa un caiet.

10 caiete ................. 22000lei

1 caiet ...................? lei

Cum 10 caiete costa 22000lei, rezulta ca un caiet va costa de 10 ori mai putin, adica

22000lei:10=2200 lei (costa un caiet).

Stiind acum cat costa un caiet, putem afla cat costa 3 caiete:

1 caiet ................. 2200lei

3 caiete ...................? lei

Daca un caiet costa 2200lei, 3 caiete vor costa de 3 ori mai mult, adica

2200lei x3=6600 lei (costa 3 caiete)

b. Vom rezolva acum problema prin metoda proportiilor.

10 caiete ................. 22000lei

3 caiete ..................... x lei

Marimile fiind direct proportionale, raportul dintre doua valori ale aceleiasi marimi este egal cu

raportul dintre valorile corespunzatoare celeilalte marimi, adica:

, deci lei (costa 3 caiete).

Problema

10 muncitori termina un pod in 21 de zile. In cat timp ar termina podul o echipa formata din 15

muncitori?

Rezolvare

Daca ar lucra mai multi muncitori, ei ar termina lucrarea mai repede. Astfel, avand in vedere ca daca

numarul de muncitori creste, timpul necesar scade, inseamna ca avem de-a face cu marimi invers

proportionale.

a. Vom rezolva problema mai intai prin reducere la unitate.

10 muncitori ................. 21 zile

15 muncitori ................. ? zile

Ne punem intrebarea: in cate zile ar termina podul daca ar lucra un singur muncitor?

10 muncitori ................. 21 zile

1 muncitor ... ................. ? zile

1 muncitor ar termina podul de 10 ori mai lent decat 10 muncitori, adica

21zile x 10 =210 zile (ar lucra un muncitor pentru a termina podusl)

Revenim acum la intrebarea initiala, anume: in cat timp ar termina podul 15 muncitori?

1 muncitor ................. 210 zile

15 muncitori ................. ? zile

Daca ar lucra 15 muncitori, acestia ar termina podul de 15 ori mai repede, adica:

210zile:15=14 zile (ar lucra 15 muncitori pentru a termina podul)

b. Rezolvam acum problema prin metoda proportiilor:

10 muncitori ................. 21 zile

15 muncitori ................. x zile

Marimile ce apar in problema sunt invers proportionale. Raportul a doua valori ale aceleiasi marimi

va fi egal cu inversul raportului valorilor corespunzatoare pentru cealalta marime:

adica zile (ar lucra 15 muncitori pentru a termina podul).

Regula de trei compusa

Este asemanatoare cu regula de trei simpla, cu deosebirea ca de aceasta data avem trei marimi, nu

doar doua.

Problema

20 vaci consuma 2550kg furaj in 15zile. In cate zile vor consuma 18 vaci 4590kg furaj?

Rezolvare

Vom scrie datele problemei in mod convenabil:

20vaci .................. 2550kg furaj .......................... 15 zile

18 vaci ................. 4590kg furaj .......................... ? zile

Va trebui de aceasta data sa reducem la unitate doua dintre cel trei marimi care apar. Reducem mai

intai numarul vacilor

20vaci .................. 2550kg furaj .......................... 15 zile

1 vaca ................... ? kg furaj .............................. 15 zile

Daca timpul este acelasi, atunci 1 vaca va consuma de 20 de ori mai putin decat 20 vaci:

kg furaj (consuma o vaca in 15 zile).

Vom afla acum cat consuma o vaca intr-o singura zi (va consuma de 15 ori mai putin):

kg furaj (consuma o vaca intr-o zi).

Stim acum ca:

1 vaca ......................... kg furaj ...................1 zi

Revenim la intrebarea problemei: in cate zile vor consuma 18 vaci 4590kg?

Vom afla mai intai cat consuma 18 vaci intr-o zi:

kg furaj.

Deci 18 vaci consuma intr-0 zi 153kg furaj. Pentru a afla in cate zile vor consuma ele 4590kg, ne mai

ramane sa facem impartirea: 4590kg:153kg=30 zile.

Raspunsul problemei este: 15 zile.

Observatie

In cazul regulii de trei compusa consideram ca este mai indicat sa se foloseasca reducerea la

unitate, deoarece este mai usor de inteles.

Datorita faptului ca in problemele de acest tip apar trei marimi, este posibil ca una dintre ele

sa fie direct proportionala cu celelalte doua sau este posibil sa fie direct proportionala cu una si invers

proportionala cu cealalta, motiv pentru care scrierea proportiilor, in cazul in care acestea nu au fost

foarte bine intelese de catre elev, va fi foarte dificila.

Pentru problema de mai sus, am avea, in cazul metodei proportiilor:

20vaci .................. 2550kg furaj .......................... 15 zile

18 vaci ................. 4590kg furaj .......................... x zile

de unde adica x=30 zile

Probleme de miscare

Problemele de miscare sunt acele probleme in care avem de-a face cu miscarea unor mobile.

Miscarea rectilinie si uniforma este definita de legea de miscare:

sau .

Putem, in principiu, sa intalnim doua tipuri de probleme:

- mobile care merg in acelasi sens (probleme de urmarire);

- mobile care merg in sens contrar (probleme de intalnire).

Mobile care merg in acelasi sens

Problema

Un caine fuge dupa un iepure care este la 140m de el. Iepurele fuge cu 370m/minut, iar cainele cu

405m/minut. Dupa cat timp este iepurele prins de caine?

Rezolvare

La inceput, distanta dintre caine si iepure este de 140m. Cum viteza cainelui este de 405m/minut iar a

iepurelui de 370m/minut, inseamna ca intr-un minut cainele se apropie de iepure cu 405-370=35m.

Daca intr-un minut cainele recupereaza 35m din distanta, in cat timp va recupera cei 140m?

140:35=4 minute.

Problema

Un tren circula de la Bucuresti spre Timisoara cu 56km/h. Dupa trei ore porneste alt tren cu o viteza

de 70km/h. In cat timp il va ajunge al doilea tren pe primul?

Rezolvare

Vom afla mai intai ce distanta parcursese primul tren in momentul in care a pornit cel de-al doilea.

Cum acesta merge cu 56km/h, in trei ore a facut:

56km x3=168km.

Deci cel de-al doilea tren va trebui sa recupereze o distanta de 168km.

Intr-o ora, distanta dintre cele doua trenuri se micsoreaza cu

70km-56km=14km.

Pentru a recupera 168km va fi deci nevoie de:

168:14=12 ore.

In concluzie, al doilea tren il va ajunge pe primul dupa 12 ore de la plecarea sa.

Mobile care merg in sens contrar

Problema

Doi calatori pornesc unul spre altul din doua localitati, unul cu 4km/h, celalalt cu 5km/h. dupa cat

timp se vor intalni, stiind ca distanta dintre localitati este de 18km?

Rezolvare

Vom calcula mai intai cu cat se micsoreza distanta intr-o ora. Avand in vedere ca cei doi merg unul

spre celalalt, inseamna ca distanta dintre ei se va micsora cu 4+5=9km in interval de o ora.

Dar distanta este de 18km, deci de 2 ori mai mare decat cei 9km. Rezulta ca cei doi se vor intalni in

18:9=2ore de la pornire.

Problema

Un motociclist a pornit din localitatea A spre localitatea B cu 40km/h. Altul a pornit din B spre A cu

38km/h. Cei doi se intalnesc dupa 4 ore. Ce distanta este intre cele doua localitati?

Rezolvare

Mergand unul spre altul, cei doi se apropie in fiecare ora cu 40+38=78km. Daca intr-o ora se apropie

cu 78km, atunci in 4 ore se vor apropia cu 78x4=312km. Rezulta ca distanta dintre cele doua orase

este de 312km.

Probleme propuse

1. Ioana are o pisica si un catel. Stiind ca pisica are de doua ori varsta catelului si ca impreuna

au 6 ani, sa se determine varsta celor doua animale.

2. Laura si Iulia au impreuna 24 de creioane colorate. Stiind ca Iulia are de trei ori mai putine

creoiane decat Laura, sa se determine cate creioane are fiecare.

3. Elevii claselor A si au mers impreuna la cules de cirese. Elevii de la B au cules de 2 ori mai

multe ladite decat elevii de la clasa A, adica au cules cu 6 ladite mai mult. Cate ladite de cirese au

cules elevii de la A si elevii de la B ?

4. Intr-o curte se gasesc pui de gaina si pui de rata, in total 36 de pui. Stiind ca puii de gaina

sunt cu 10 mai multi decat cei de rata, sa se afle cati pui de gaina si cati pui de rata sunt.

5. Suma a doua numere este 7 iar diferenta dintre ele este 3. Care sunt cele doua numere ?

6. Diferenta dintre doua numere est 12 iar raportul lor este 2. Care sunt cele doua numere ?

7. Alina a cumparat 3 caiete si a platit 57 000 lei. Cat ar fi platit daca ar fi cumparat 5 caiete ?

8. Mama a facut doua tavi de placinta cu mere si a obtinut 40 de bucati. Cate tavi ar fi trebuit

sa faca pentru a obtine 60 bucati de placinta cu mere ?

9. Un muncitor termina o lucrare in 10 zile, lucrand cate 4 ore pe zi. In cate zile ar termina

lucrarea daca ar munci 5 ore pe zi ?

10. Intr-un bloc sunt 36 de apartamente cu doua si trei camere. Stiind ca in total sunt 90 de

camere, sa se afle cate apartamente de fiecare fel sunt.

11. Ionut are 14 de caiete, unele cu 48 de file si altele cu 100 de file. Stiind ca in total sunt 880 de

file, sa se afle cate caiete de fiecare fel are Ionut.

12. Doua kilograme de mere si trei kilograme de prune costa 90 000lei. Trei kilograme de mere si

doua de prune costa 85 000lei. Cat costa un kilogram de mere ? Dar unul de prune ?

13. Daca inmultim un numar cu 3 si altul cu 4 obtinem suma 92. Daca inmultim primul numar cu

4 si pe al doilea cu 3, obtinem suma 111. Care sunt cele doua numere ?

14. Un elev cheltuieste o sesime din suma pe care o are pe prajituri, doua cincimi din ce a mai

ramas, pe timbre, un sfert din restul de bani pe suc si i-au mai ramas 90 000lei. Ce suma a avut

initial ?

15. M-am gandit la un numar. Am adunat la acest numar trei. Rezultatul l-am inmultit cu 5 si am

scazut apoi 20. Noul rezultat l-am impartit la 2 si am obtinut, in final, 20. La ce numar m-am gandit?

16. Un biciclist merge cu o viteza de 20km/ora. El porneste dintr-un punct A o jumatate de ora,

alt biciclist porneste pe acelasi drum, cu o viteza de 24km/ora. Cei doi ajung in acelasi moment in

punctul B. Dupa cat timp l-a prins din urma al doilea biciclist pe primul ? Care este distanta dintre A

si B ?

17. Un vapor pleaca din portul A spre portul B cu viteza de 30km/ora. Alt vapor pleaca din B

spre A cu 40km/ora. Stiind ca distanta dintre cele doua porturi este de 240km, sa se afle dupa cat timp

se intalnesc cele doua vapoare. La ce distanta de portul A se vor intalni ? Dar de portul B ?

ROLUL MIJLOACELOR DE INVATAMANT IN PROCESUL

INSTRUCTIV- EDUCATIV

Alaturi de metodologia didactica, mijloacele de invatamant

reprezinta o subdiviziune a tehnologiei instruirii si autoinstruirii - un proces

complex, care vizeaza toate etapele procesului de invatamant, urmarind

legaturile stabilite intre acestea: proiectare, realizare, (auto)evaluare,

(auto)reglare.

Sintagma "mijloace de invatamant" se refera la ansamblul materialelor

naturale - obiecte din realitatea inconjuratoare in forma lor naturala:

minerale, plante, animale, aparate, instalatii etc. sau realizate intentionat :

modele, planse, harti, manuale, carti, fise de lucru, chestionare, teste,

portofolii, jocuri didactice, care sprijina atingerea obiectivelor activitatii

instructiv - educative. De asemenea, sintagma "mijloace de invatamant"

include ansamblul cerintelor pedagogice de selectare si integrarea lor in

strategiile didactice, in viziune sistemica si de valorificare eficienta in

procesul instructiv - educativ.

Valentele psihopedagogice ale mijloacelor de invatamant se refera la

faptul ca ele :

6 asigura caracterul intuitiv, concret - senzorial, si sugestiv al activitatii

de invatare;

- asigura transmiterea si insusirea de informatii bogate, bine selectate

si prelucrate din pun 13113f512n ct de vedere didactic;

Mijloacele de invatamant dobandesc valoare de instrumente

pedagogice - se interpun intre logica stiintei si logica elevului, inlesnesc si

optimizeaza comunicarea intre profesor - elev si interactiunile care se

stabilesc in clasa.

Dezvoltarea ansamblului mijloacelor de invatamant, valorificarea lor

eficienta in activitatile didactice si solutionarea unor probleme practice ale

instructiei si educatiei, au demonstrat si demonstreaza ca activitatea

didactica nu se restrange la transmiterea verbala a cunostintelor si ca

limbajul verbal nu constituie unicul instrument de predare al cunostintelor.

In functie de caracteristicile situatiei de instruire se utilizeaza mijloacele de

invatamant ale caror functii si virtuti le fac eficiente in contextul educational

respectiv.

Cele mai importante functii pedagogice sunt:

Functia stimulativa - dezvoltarea motivatiei interne a elevilor pentru

studiu, in trezirea curiozitatii si a dorintei de cunoastere;

Functia formativa - este asigurata de contributia lor la exersarea si

dezvoltarea gandirii si a operatiilor acestora: analiza, sinteza, comparatia,

abstractizarea, generalizarea etc;

Functia informativa - este datorata faptului ca mijloacele de invatamant

ofera in mod direct, un volum de informatii despre diferite obiecte,

fenomene, procese, evenimente;

Functia ilustrativa si demonstrativa - este exercitata atunci cand

mijloacele de invatamant sunt valorificate ca material demonstrativ, ca

substitute ale realitatii, insotind explicatiile profesorului;

Functia de investigare experimentala si de formare a priceperilor si

deprinderilor intelectuale si practice - este asigurata in contextele

educationale cu caracter experimental, in care elevii isi formeaza si

exerseaza priceperi si deprinderi intelectuale si practice;

Functia ergonomica - este functia de rationalizare a eforturilor

profesorilor si elevilor in timpul activitatilor de predare - invatare, respectiv:

de reducere a ponderii actiunilor repetitive, rutiniere, de eficientizare a

actiunii de organizare si ghidare a activitatilor elevilor;

Functia substitutiva - este asigurata de facilitatile pe care le ofera unele

mijloace de invatamant, care permit realizarea invatamantului la distanta (de

exemplu televiziunea, computerele, retele de calculatoare, Internet);

Functia de evaluare - este datorata faptului ca unele mijloace de

invatamant pot servi la verificarea si evaluarea nivelului de cunostinte,

priceperi, deprinderi, competente ale elevilor;

Functia estetica - este asigurata in contextele educationale in care elevii

recepteaza, inteleg si evalueaza frumosul, respectiv valori cultural - artistice,

morale, sociale;

Functia de orientare a intereselor elevilor - este realizata in secventele in

care mijloacele de invatamant le ofera acestora informatii in legatura cu

anumite profesiuni si status-uri, imagini, comentarii.

Pornind de la particularitatile de varsta si individuale ale elevilor si

de la caracteristicile situatiei de instruire, profesorul proiecteaza si

organizeaza secvente de instruire care sa contribuie intr-o masura cat mai

mare si cat mai eficient la formarea si informarea elevilor, recurgand la

mijloace de invatamant pe care le considera cele mai adecvate si mai

eficiente.

Dupa Constantin Cucos, mijloacele de invatamant sunt impartite in

doua mari categorii:

7 Mijloace de invatamant ce cuprind mesaj didactic;

8 Mijloace de invatamant care faciliteaza transmiterea mesajelor

didactice;

Indiferent de clasificarea acestora, mijloacele de invatamant se dovedesc

a fi utile in masura in care sunt integrate mecanic in contextul lectiilor. Ele

nu pot inlocui niciodata actul de predare - invatare, iar folosirea lor prezinta

avantaje si dezavantaje ce trebuie constientizate de fiecare cadru didactic.

In prima categorie de mijloace de invatamant , cele ce cuprind mesaj

didactic, se pot include urmatoarele mijloace:

. Obiecte naturale, originale : - animale vii sau conservate

9 ierbare

10 insectare

11 diorame

12 acvarii

. Obiecte substitutive, functionale si actionale :

13 machete

14 mulaje

15 modele

. Suporturi figurative si grafice:

16 harti

17 planse

18 iconice

19 albume fotografice

20 panouri

. Mijloace simbolico - rationale :

21 tabele cu formule

22 planse cu litere

23 cuvinte

24 scheme structurale sau functionale

. Mijloace tehnice audio - vizuale:

25 diapozitive

26 filme

27 discuri

28 benzi audio

29 benzi video

Printre mijloacele de invatamant care favorizeaza transmiterea de

informatii didactice se pot enumera urmatoarele:

. Instrumente, aparate si instalatii de laborator

. Echipamente tehnice pentru ateliere

. Instrumente muzicale si aparate sportive

. Masini de instruit si calculatoare electronice

. Jocuri didactice

. Simulatoare didactice

. Instalatii pentru laboratoare fonice

Mijloacele de invatamant se dovedesc a fi utile in masura in care

sunt integrate organic in contextul lectiilor si li se imprima o finalitate

pedagogica.

Eficienta utilizarii mijloacelor de invatamant tine de inspiratia si

experienta didactica a profesorului in a alege si a -si sprijini discursul pe

un suport tehnic.

1. Esenta procesului de invatare r7m9mo

In sens comun, termenul invatare desemneaza procesul de

achizitiemnezica, asimilarea activa de informatii (cunostinte), formarea de

operatii intelectuale, deprinderi motorii si atitudini. Definim invatarea prin

rezultatele acesteia: cunostinte, operatii intelectuale, deprinderi motorii etc.,

ceea ce nu ne spune mare lucru despre procesul invatarii ca atare, despre

modul in care achizitiile sant castigate.

Din punct de vedere al practicianului, invatator sau profesor,

intereseaza in principal nu care sant rezultatele invatarii, ci cum se obtin

acestea, deoarece procesualitatea invatarii expliciteaza in buna parte si

produsele, rezultatele sale. Managementul experientelor de invatare tine

seama tocmai de existenta unor legitati comune procesului ca atare. Din

studiul proceselor de invatare se desprinde un corpus de fapte si de principii,

care se mentin valide si pot fi aplicate intr o mare varietate de situatii.

In manualele de psihologie generala, procesul invatarii este definit

drept o modificare in comportamentul subiectilor . Aceasta optica se

regaseste si in alte lucrari.

De exemplu, in dictionarul de termeni pedagogici (S. Cristea, 1998)

se spune ca invatarea este activitatea proiectata de catre cadrul didactic

pentru a determina schimbari comportamentale la nivelul personalitatii

prescolarului, elevului, studentului, prin valorificarea capacitatii acestora de

dobandire a cunostintelor, a deprinderilor, a strategiilor si a atitudinilor

cognitive.

Ar fi cu totul gresit sa se puna semnul egalitatii intre activitatea de

invatare si stocarea de informatii in memoria elevului. Este cunoscuta

predilectia unor elevi de a citi lectia de patru, cinci ori zece ori, pana ce o

pot reproduce intocmai, dar efortul mnezic este foarte curand anulat de

progresia uitarii.

De asemenea, invatarea nu este reductibila la modificarea faptelor de

conduita; reactia sau manifestarea subiectului este o variabila dependenta de

o gama larga de factori psihici (interni). De exemplu, insusirea

cunostintelor, formarea deprinderilor si atitudinilor nu constituie doar

sarcini de memorie sau de exercitiu motric; intervine aici atentia ca o prima

conditie a invatarii, apoi perceptia si gandirea cu operatiile ei de analiza,

sinteza si generalizare etc. In ansamblu, invatarea este un domeniu guvernat

de legitati psihologice. Modificarile scontate in comportarea elevului, sub

influenta stimularilor externe, au loc numai in masura in care s-au creat

structuri psihice capabile sa sustina prestatiile sau manifestarile respective.

Prin urmare, procesul de invatare reprezinta o modificare a unor structuri

psihice, nu simple modificari comportamentale.

In acord cu datele oferite de J. Piaget si R. Gagne consideram ca procesul de

invatare defineste modificarea (constructia si re-constructia) unor structuri

psihice, care se exprima in comportamente sau prestatii relativ stabile.

Achizitiile invatarii cuprind un evantai larg de produse, de la simple

notiuni la conceptii structurate asupra realitatii, de la reactii motrice

elementare la performante de exceptie. Toate aceste prestatii nu se explica

prin ele insele, ci au originea in structurile psihice create prin invatare.

Asadar, prin invatare se dezvolta continuu structurile cognitive, afective,

motorii s.a.

Elevii si adultii acumuleaza notiuni, trairi si modalitati noi de

actiune, dar uneori acestea pot sa se manifeste in comportament, fara sa fie

deplin situate in structuri psihice, in produse autentice ale invatarii. I Radu

(2000) ne ofera un exemplu relevant asupra variabilitatii relatiei intre

comportament si nivelele sau profunzimea invatarii.

"Incercarile initiale de a prefigura notiuni din teoria multimilor la prescolar

(stadiul pre-operator) s-au soldat, se pare cu un esec (.) Aceste activitati (de

invatare) erau sustinute de un material bogat: papusi multicolore, cuburi,

betisoare, elefanti etc.

Copiilor li se cerea sa formeze multimi, apoi reuniuni de elefanti si

pisici etc.

La intrebarea educatoarei: Aveti toti cate o multime de elefanti, cati elefanti

aveti in multimea lor? copiii au raspuns rapid trei.

Dialogul a continuat: Stiti voi cum se cheama un elefant cand este

intr-o multime? Ce este el intr-o multime? La aceasta intrebare o tacere

sfioasa s-a asternut in clasa. La insistenta educatoarei s-a gasit un copil care

sa dea raspunsul corespunzator:

Un elefant, cand este intr-o multime de elefanti se numeste element.

Raspunsul a fost apoi repetat cu cativa copii. Totusi, in exemplul dat,

continutul notiunii de element al multimii nu a putut fi castigat. Daca

copilul este intrebat ce inseamna element al multimii, el va indica elefantul,

papusa etc., deci nu se poate desprinde de referinta obiectuala si nu parvine

la notiunea de element al multimii".

Exemplul prezentat arata ca se pot decanta notiunile scontate, daca oferta

didactica se inscrie in structurile logice si in vocabularul copilului. Este

nevoie deci de o interiorizare a actiunii externe, de ancorare a

comportamentului manifest in tesatura de operatii mintale de care este

capabil copilul.

Redam in continuare un alt exemplu decupat din observatii asupra

activitatii scolarilor la matematica.

De regula, expresia matematica (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 se ofera

elevilor ca "formula gata-facuta"; desigur aceasta este usor fixata in

memorie si reprodusa fara dificultate de elevi. Totusi, dovada stapanirii

acestei egalitati nu o constituie reproducerea orala sau in scris, ci capacitatea

elevului de a o utiliza efectiv in exercitii si probleme. Practic, in ecuatie sunt

condensate un sir de operatii, care nu pot fi castigate fara sa fie parcurse

efectiv de elevi.

(a + b)2 = (a + b) * (a + b);

(a + b) * (a + b) = a2 + ab + ba + b2 s.a.m.d.

Expresia matematica traduce un sir de operatii "concrete", care nu pot fi

omise in secventa de predare:

- produsul dintre a si sine insusi , a * a (a2);

- produsul dintre a si b , luat de doua ori , 2*a*b (2ab);

- produsul dintre b si sine insusi, b*b (b2);

- suma celor trei produse, a2 + 2ab + b2.

In sfarsit, este de notat ca elaborarea unor achizitii ale invatarii

asigura elevilor performante, comportamente relativ stabile, nu doar

manifestari ocazionale sau pasagere.

De exemplu, o poezie invatata poate fi reprodusa de elevi in mod

repetat, fara greseli. Tot asa, deprinderea scris-cititului sau socotitului odata

dobandita nu mai pune elevul in dificultate.

Exemple similare sunt de notat si in domeniul performantelor

motorii. Orice individ are sansa unui serviciu de AS in jocul de tenis, ar fi in

stare sa -;l imite, din intamplare, pe marele jucator Ilie Nastase. Dar pusi

intr-o competitie, cei doi, amatorul si maestrul, prestatiile lor s-ar subsuma

unor progresii statistice total contrastante.

Gratie cercetarilor de psihologie cognitiva aplicata, procesualitatea

invatarii se inscrie in totalitate la nivelul structurilor psihice si nu in planul

reactiilor manifeste. Procesul de invatare avanseaza necontenit prin

succesiunea si suprapunerea intre secventa cognitiva, de achizitie propriu-

zisa, si secventa metacognitiva, de monitorizare, evaluare si reglare a

cognitiilor. Aceasta interactiune intre planul cognitiv si cel metacognitiv

este redata in figura de mai jos.

2. Structura secventei de invatare scolara

Activitatea de invatare scolara prezinta o desfasurare in timp, iar

structura ei comporta o suita de etape. Invatarea debuteaza cu efectuarea

unor operatii concrete si senzoriale asupra materialului-stimul, parcurge

apoi o suita de prelucrari mintale si stocari mnezice si se finalizeaza in

aplicarea achizitiilor in variate sarcini de lucru.

TIPURILE DE INVATARE trebuie identificate conform unor

criterii relevante.Din perspective pedagogica ,devine importanta clasificarea

bazata pe gradul de generalitate exprimat si activate la nivelul unei activitati

de invatare-avem in vedere un grad de generalitate maxim,mediu si

minim.In consecinta ,analiza noastra ar trebui sa aiba in vedere trei tripuri

de invatare:a)invatarea sociala;b)invatarea scolara;c)invatarea

anteprescolara si prescolara.De remarcat faptul ca toate aceste tipuri sunt

raportabile la mediul de scolar(de aici titlul generic al capitolului care se

refera,in mod direct si explicit,la tipuri ale invataturi scolare).Pe de alta

parte ,ultimele doua tipuri sunt integrate in literature de specialitate intr-o

structura unitara,numita conventional "invatare didactica"(ibidem).

In plan metadologic trebuie remarcat faptul ca cele trei grade de

exprimare a generalitaii servesc la clasificarea celor trei tipuri de invatare

(toate avand legatura cu invatarea scolara ,actionand deseori chiar in

contextual imideiat sau de perspective al invatarii scolare)dar,si ca repere de

analiza operabile in interiorul fiecariu tip de invatare (exista astfel un cadru

de analiza ,operabil la un grad de generalitate maxim-mediu-

minim,identificabil la nivelul fiecarui tip de activitate).

INVATAREA SOCIALA este activitatea care ara ca scop

fundamental formarea-dezvoltarea dimensiunii morale-axiologice a

personalitatii umane in general, in cazul nostru a elevului ,in mod

sepecial.Acest tip de invatare angajeaza dimensiunea generala a

personalitatii exprimate la nivel:

a) dinamico-energetic (vezi valorificarea pedagogica a temperamentului);

b)efectoriu (vezi valorificarea pedagogica a aptitudinilor generale si

specifice);

c)relational (vezi valorificarea pedagogica a trasaturilor caracteriale care

asigura ordonarea raporturilor cu lumea si cu sine).Formarea-dezvoltarea

moral-axilogica a personalitaii prin valorificarea resurselor activitatii de

invatare sociala angajeaza toate structurile psihologice ale

personalitatii,cognitive si noncognitive.

Din categoria structurilor psihice noncognitive ,seminificative sunt

resursele motivatiei,care trebuie orienatate pedagogic in directia realizarii

saltului de la motivatia externa,individuala,spre motivatia interna

,sociala.Invatarea sociala are in acest sens un rol essential in procesul

complex de interiorizare din ce in ce mai profunda a motivelor interne ale

invataturii didactice,motive aprofundate din perspective sociala.In plan

pedagogic ,aceasta interiorizare si aprofundare depinde de calitatea

mesajului pedagogic proiectat ,realizat si dezvoltat de professor in diferite

contexte de invatare sociala ,in mediul scolar si extrascolar,in termini de

instruire formala ,dar si nonformala si informala.Pe de alta parte ,trebuie

remarcat si rolul vointei implicate in actiunea pentru sesizarea si depasirea

numeroaselor obstacolo care apar in cadrul proceselor de invatare

sociala,desfasurate in mediul scolar si extrascolar.

Resursele psihologice cognitive,dar mai ales cele

noncognitive,sintetizate in activitatea de invatatare sociala intr-un set de

actiuni eficiente (predare, formare civica,evaluare consiliere

psihopedagogica si sociala,orientare scolara ,profesionala si sociala)

cosolideaza nu numai dimensiunea moral-axilogica, motivationala si

volitiva a personalitatii sociale a elevului, ci in primul rand latura sa social-

comportamentala.

Cercetarile din domeniul psihologiei sociale evidentiaza imoptanta

"intercunoasterii care nu inseamna doar o suma de cunoasteri paralele ,ci

includerea cunoasterilor unuia in sistemul cunoasterilorceluilalt"Cu alte

cuvinte,invatarea sociala "inseamna cunoasteri colaterale ,integrate ,in in

urma carora rezulta un effect de coevolutie a partenerilor in

interactiune".(Golu ,Pantelimon .2000,pag.161).

In concluzie,din perspective psihologiei educatiei,trebuie retinute

atuurile paedagogice majore ale invataturii sociale,implicate in plan

intellectual si moral.In planul educatiei intelectuale ,sa subliniem permisele

si consecintele invataturii sociale in contextual realizarii unui invatamant

frontal si /sau pe grupe.In mod plan moral ,dar in stransa legatura cu planul

intellectual si cu cel aplicativ (tehnologic),trebuie sa subliniem faptul ca

invatarea sociala ,reprezentand ,in fond o modalitate si o strategie eficienta

de invatare prin propria experienta dar si din experienta celorlalti,constituie

o permisa a autoinvataturii,a autoeducatiei.

INVATAREA DIDACTICA/SCOLARA(realizata in sens formal dar si

nonformal, ca effect al instruirii formale dar si al instruirii nonformale)este

o activitate cu finalitate adaptive realizata conform unor obiective

pedagogice care vizeaza toate dimensiunile generale ale formarii-dezvoltarii

elevului (cu o pondere specifica acordata obiectivelor educatiei

intelectuale).Din punct de vedere psihologic ,este un tip de invatare dupa un

model oferit de instructor -"o invatare din experienta

altora(indusa,interinvatare)"avand un scop instrumental-operational-Golu,

Pantelimon, in Golu, Pantelimon; Zlate,Mielu; Verza, Emil,1991.

Din perspectiva psihologiei educatiei,invatarea scolara este

particularizata prin intermediul unui set de caracteristici specifice.Vom

rezuma aceste caracteristici specifice la nivelul urmatoarelor sisteme

operationale de referinta :

a)invatarea didactica se realizeaza "ca activitate social-

institutionalizata a elevilor de-a lungul scolaritatii",urmarind mai multe

obiective pedagogice ;

b)are loc intr-un "cadru socio-temporal"determinat;

c)beneficiaza de o "structura neuropsihica concreta"care sustine

intreaga activitate conform finalitatilor sale adaptive;

d)subordoneaza actiuni cu character automatizat-deprinderi care

faciliteaza realizarea activitatilor de invatare ;

e)include procese cognitive, afective, volitive, structuri motivationale

si cartacteriale, aptitudinale si atudinale,activate continua pentru atingerea

obiectivelor propuse;

f)proiecteaza finalitati procesate la nivelul unui scop general,cunoscut

de cei care invata;

g)este dirijata eficient,de professor,permisa a autocontrolului si a

autodirijarii eficiente;

h)dezvolta o motivatie proprie care tinde spre interiorizare,la nivel de

invatare sociala;

i)este permisa si consecinta a invatarii sociale.