Metalogica

Metalogica este teoria sistemelor logice,adica o metateorie a teoriilor logic:”Studiaza

teoriile logice din punct de vedere al continutului formei problemelor,metodelor,limbajului si

supozitiilor filosofice”.

A luat nastere din aplicarea metamatematicii in cazul logicii in formalizarea fundamentelor

matematice.Logica la fel ca orice system matematic poate fi considerat un foc formal abstract

cu semne regizate de metareguli.Orice system formal logic sau matematic trebuie sa

indeplineasca unele exigent metalogice sau metareguli:d.p.d.v sintactic,sistemul respective se

defineste printr-un alphabet,prin reguli de formare,prin anumite axiome alese,reguli de

deductive,iar d.p.d.v semantic prin reguli de interpretare si validitate.

Studiul limbajului teoriilor logicii sunt studiate de semiotica logica ca parte a

metalogicii,astfel se studiaza limbajul logicii propozitiei,limbajul logicii predicatelor.

Cele trei mari puncte de vedere din perspective carora se studiaza un limbaj:perspective

sintactica(sintaxa logica),perspective semantic(semantica logica),pragmatica logica.

R.Carnah exprima in modul urmator triparitia limbajului:”Daca consideram un fragment de

limbaj si daca facem abstractive de tot ceea ce il priveste in afara de faptul ca e utilizat de

interloc atunci e un punct de vedere pragmatic.Daca consideram un fragment de limbaj si daca

facem abstractive de tot ceea ce il priveste mai putin de faptul ca desemneaza lucruri sau fapte

in acest caz desemneaza semantic”

Semantica logica(Tarski)cuprinde 3 etape:

1.Gandirii logice in limbaj natural.

2.Special al logicii si a unui sistem special,al logicii aplicate.

3.Teoria interpretarii.

Categoria principal-Semnificatia-semnificatia cognitiva.

In logica moderna semnificatia devine o categorie a semanticii.Coincide cu continutul

expresiei.O expresie poate avea diferite tipuri de continuturi distingem:semnificatie

cognitive,semnificatie pragmatic,semnificatie emotional.

Clasificarea data poate fi insuficienta daca ne gandim la diviziunea expresiilor in termini si

propozitii.

Numele compuse(descriptiile)comunica mai mult decat termenii simplii,dar si aici mai degraba

se delimitaeza sfera evocarii decat se spune ceva précis.In felul acesta termenii participa la

functia comunicativa a propozitiilor si deci la tipurile de semantic pe care-l are propozitia.

Termenul are si o alta functie:una demotatica,el e nume pentru ceva(real sau presupus)in

acest sens termenul are scopul de a invica ceva,capacitatea de evocare e folosita de a invoca

conceptual sau ideea despre un concept.Invocarea presupune functia denotative a termenului.

Semnificatia cognitiva(o expresie,o propozitie)are semnificatia cognitive daca poate fi

calificata ca adevar sau falsa sau intr-un mod oarecare nuantat,adevarat sau falsa.

Un termen are semnificatia cognitive daca face parte dintr-o propozitie cognitive,mai exact

daca participa la semnificatia cognitiva.

Exista insa cuvinte care nu sunt nici termini nici propozitii(cuvinte de legatura).Ele nu au

semnificatie independent cid oar in contextual termenilor si propozitiilor.Unitatea semantic de

baza e propozitia.

Semantica se constituie prin raportul la calitatea semantic a propozitiilor;semnificatia

cognitive e semnificatia de baza.Pentru semantic logica,semnificatia cognitive e scopul principal

al studiului.

Sintaxa logica

Studiaza forma expresiilor si relatiile formale dintre expresii facand abstractive totala de

continutul acestora.De asemenea ea studiaza conditiile formale generale ale sistemului

lingvistic considerat.

Limbajul logic studiaza numai sub aspect sintactic formeaza un sistem sintactic.In acest fel

sintaxa logica studiaza sistemele formate.Notiunile de semn,termen,propozitie,formula sunt

introduce pur formal.Principalele relatii logico-sintactice-relatia de la parte la intreg,relatia de

succesiune imediata,relatia de echivalenta:grafica,lungii expresii,echivalenta relativa la regulile

de transfer.

Sintaxa studiaza operatia de inlocuire(substitutia),propozitiile multimilor de termini si ale

multimilor de propozitii(necontradictia formala;independent formala).

Tot sintaxa studiaza sisteme axiomatic formale si relatiile dintre acestea.Unul dintre sistemele

sintactice cel mai des utilizat e sistemul principal:matematica.

Godel a studiat sistemul principal matematica,in mod special problema competitudinii adica a

decidabilitatii.Expresia din sintaxa:[“A e o axioma in S” unde S=sistem sintactic],[A e o formula

in S;A e o formula izomorfa cu B;A e o formula de aceeasi lungime cu B].Daca sistemul sintactic

e cel adevarat,simbolic,logica propozitiilor atunci urmatoarele propozitii sunt metateoresme

sintactice.Regulile formale pentru logica propozitiilor vor fi metapropozitii in logica

propozitiilor.

Logica in epoca moderna

Reprezentant:Rene Descartes:”Discurs asupra metodei”.

Inventeaza geometria analitica.Figurile geometrice sunt caracteristice prin formule

algebrice.Neaga eficacitatea principiilor logicii de tip aristotelic si scrie:”Nu s-ar putea

demonstra mai bine falsitatea principiilor lui Aristotel altfel decat afirmand ca nu s-a dezvoltat

nici un progress de mai multe secunde de cand acestea sunt utilizate.

Regulile metodei:

1.evidenta

2.analiza/divizarea in parti component

3.obtinerea deductiilor

4.enumerarea

Blaise Pascal-3 ordine de cunoastere:

1-cunoasterea lucrurilor sensibile.

2-cunoasterea prin inima

3-cunoasterea prin ratiune

Logica e un sistem deductive bazat pe concept si propozitii primitive.

Logica de la Port Royale

Logica e considerata o arta si nu o stiinta.

Comprehensiunea:”Numesc comprehensiune ideii atributele pe care aceasta le inchide in sine

sip e care nu I le putem alatura fara a o distruge”

Moralitatea e predicate despre orice om.Conceptul de o mil cuprinde pe cel de

moralitate.Numexc extensiune a ideii sub carora aceasta idee carora li se potriveste.

Leibniz

El discuta despre caracteristica universalista prin care sa resolve un calcul rational.Aceasta

limba trebuie sa acopere inclusive metafizic si morala.Aceasta limba are un caracter,o forma si

trebuie sa construiasca o gramatica ca sa ofere reguli de combinare a ideilor complexe.Limba

logica e un calcul rational,iar gramatica logica e un calcul algoritmit din caractere simple.

Inteligenta=calcul cu semne.

George Boole

Programul lui Leibniz se realizeaza prin contributia lui Boole,de Morgan si Peirce.Are 2

lucrari:”Analiza matematica a logicii”si “O cercetare a legilor gandirii.

Algebra Booleana-consta in limitarea algebrei la folosirea semnelor 0 si 1.Calculul cu aceleasi

simboluri permit expresia legilor logice raport la 2 valori e adevar.Logica se reduce la

calcul,logica e interpretata extensional,adica alcatuita din nijte operatii asupra multimii

indivizilor care alcatuiesc universul de discurs.

Se introduce negarea predicatelor ca fiind operatia de sustragere din universul de discurs a

unor indivizi,x,1-x….V+(1-V)=1.

In ce priveste produsul acestor multimi el corespunde multimii nule adica nu contine nici un

element.

Augste de Morgan

1847-Logica formala

Formuleaza legile dualit.dintre disjunctive si conjunctive.Schiteaza o logica a unei

relatii,capabila sa justifice inferente nesilogistice de tipul:Daca Sofroniscos e tatal lui

Socrate,atuni Socrate e fiul lui Sofroniscos.Plecand de la relatia a fi tatal lui De Morgan ii

definim conversa:a fi fiul lui si precizam propria relatie.

Simetrie-asimetrie

Reflexivitate-tranzitivitate

Tot el introduce inferente asupra relatiilor.

X iubeste pe Y

Y e fiica lui Z

X iubeste fiica lui Z

Calculul constituie marea inovatie a logicii contemporane.

Charls Peirce

Fondator al pragmatismului in filosofie si inventator al semioticii.

Utilizeaza tabele de adevar,defineste propozitie afirmativa-universul in termini de implicare

lipsita de angajament existential.

Exemplu:As spune ca :”orice peste traieste in apa e acelasi lucre cu a spune:Daca un X oarecare

e peste atunci asta implyca ca X traieste in apa.”Doar propozitiile particulare presupun

angajament existential.In ce priveste “Teoria semnificatiei”relatii triadice sunt fundamentale

din punct de vedere filosofic.

Exemplu:Cass oil determina pe Othello sa fie gelos pe Desdemona nu se reduce la mai multe

relatii diadice cum ar fi:Othello e gelos pe Cassio si Othello o iubeste pe Desdemona.

Semnificatia e un process care leaga 3 termeni,obiect,reprezentamen si interpretamen.E

semnificativ atata timp cat funcioneaza atata timp cat sa faca sens pentru cineva.

Gottlob Frege

Matematician si filosof-considerat un creator al logicii contemporane.In 1879-scriere

conceptual-el da prima opera de logica contemporana.

Operatia lui a fost redescoperirea de catre Russell.E parintele logicii predicatelor-Fx;Fx-y.

Creaza instrumente logice care permit formalizarea tuturor rationamentelor inclusive a celor

matematice.Fiecare calcul e un sistem axiomatizat.

Logica-stiinta finite adevarate

Axiomele-adevarate evidente

Introduce reguli de inferenta care permit deductia analitica fara a face apel la intuitie a tuturor

formulelor posibile.In sistemul formal al calculelor propozitionale admite 2 conectori

primitive(implic si negative)si 6 axiome si 2 reguli de inferenta:modus ponens si regula

substitutiei.

F1.p ->(q->p)

F2.(p->(q->r))->((p->q)->(p->r)

F3.(p->(q->r)->(q->(p->r))

F4(p->q)->(non q->non p)

F5.non non p->p

F6.p->non non p

Calculul predicatelor

Este concept orice functie care admite ca niste valori de adevar si drept argument niste

obiecte.Introduce cuantificarea si drept cuantificator primitive si cuantificator existential e

neg.celui primitive.

Proiectul logistic:Noua logica a lui Frege e un mijloc de fundamentare a

matematicii.Matematica e o consecinta a dezvoltarii logicii a constiintei.

Astfel Frege defineste conceptual arithmetic de nr.cardinal sau nr.natural in termini logici de

extensiune a unui concept.Pentru 2 concepte faptul de a avea acelasi nr inseamna faptul de a

pune in corespondenta biunivoca extensiunile acesora.

Analiza semantic

Logica e stiinta inferentelor valide.Frege o dezvolta din punct de vedere sintactic-fixeaza reguli

de utlizare pentru semnele logice,stabileste axiomele,deduce teoremele.In acest

domeniu,Frege explica o teorie a semnului,a propozitiilor si a judecatii.Sensul e modul in care

este referinta.

Teoria propozitiei

Sensul unei propozitii e un gand,iar referinta sa e o valoare de adevar.Gandul e obiectiv si prin

acesta se exprima a-III-a lume de tip platonica.

“Nu trebuie confundata constiinta unei propozitii cu adevar acesteia.Nu trebuie sa se uite

niciodata ca o propizitie nu inceteaza de a fi adevarata atunci cand incetez sa ma gandesc la

ea.”

Noua logica a lui Frege are un statut obiectiv deoarece admite o ontology realista,dar

obiectiva,independent de psihologie.Semnele si conceptele capata semnificatia in cadrul

propozitional.Sensul si referinta unei propozitii complexe sunt in funcit e de sensurile si

referintele componentelor.Judecata e conceptual fundamental al logicii si adauga continutul

propozitiei,actul de a aserta,adica faptul ca un subiect asuma adevar propozitiei.

Bertrand Russell

A scris-principiile matematice(1903) si filosofia matematica.

A fost filosof si eseist.In ceea ce priveste teoria despre conceptual ajunge la rezultate

asemanatoare cu Frege.Daca X e nedeterminat,f propozitia nu are valoare de adevar.

Principia matematica-calculele standard din logica propozitiilor si logica predicatelor si o baza

pentru realizarea proiectului logicistic.

Russell scrie in 1903:”A nu este”,trebuie sa fie intotdeauna fie fals,fie lipsit de sens,deoarece

daca A nu ar fi nimic nu s-ar putea spune ca nu este.”A nu este”implica faptul ca Ǝ un termen A

a carei fiinta e negarea,deci A este”.

Angajament realist adica orice nume care are sens este dotat cu o referinta.Rosci; e de a

inacrca universul cu obiecte fictive sau pur si simplu abstracte.Aceasta tehnica permite sa faca

abstractive de entitatile fictive.

Descriptiile definitorii.

Multimile de nr.constituie simboluri incomplete care nu desemneaza obiectul.Cum spune Frege

existent nu priveste un obiect ci un predicat,adica faptul ca un predicat e sau nu satisfacut.

Deci se poate forma clasa tuturor claselor care nu fac parte din ele insele.Ne intrebam asupra

lui face sau nu face parte din ea insasi.Daca face parte din ea insasi atunci are propozitia care o

determina deci nu face parte din ea insasi.

Teoria tipurilor

Paradoxurile au la origine un cerc vicios care poate fi dezamorsat prin conitii sintactice.Vom

admite o ierarhie de domenii care se exclude unul pe altul.Distinctia intre tipuri interzice ca o

clasa sa apartina ei insesi.

Completitudine,consistent,decidabilitate,relatia dintre

termeni semantici si sintactici

Completitudinea sistemelor logice.

1).Un sistem Γ este simplu complet daca oricare ai fi formul L,fie L,fie non L se poate demonstra

ca teorema a sistemului

2).Un sistem de propozitii logice Γ este complet daca orice formula valida L este demonstrabila.

3).Multimea Γ de propozitii este inconsistent daca pentru orice L,L este deductivila din Γ.

4).O multime Γ e consistent,daca Γ nu e inconsistent.

5).Definitia-maximal consistent.

O multime Γ e maximal consistent,daca Γ e consistent si singura multime consistent in care Γ e

inclusa ea insasi.

Teorema 1

Daca Γ este consistent si Δ e multimea tuturor propozitiilor deduse din Γ atunci Δ este

consistent.Multimea tuturor propozitiilor deduse dintr-o multime consistent e o multime

consistenta.

Teorema 2

Daca Γ e maximal consistent si din Γ se deduce P atunci P apartine Γ.

Conform teoremei anterioare Δ e consistent si argumentul deoarece contine numai propozitii

deductibile din Γ.

Teorema 3

Γ e inconsistent,daca oricare ar fi P o propozitie,din Γ se deduce P si non P.

Teorema 4 nu o stiu))

Teorema 5 a lui Lindeubaum

Orice multime Γ consistent poate fi extinsa la o multime Γ maximal consistent sau Γ e inclusa

intr-o multime maximal consistent de propozitii.

Termeni semantici-consistenta,validitate,concecinta

Termeni sintactici-realizabilitate, Deomonstrabilitate(tautologie),deductibilitate

A.Teorema de completitudine in sens restrains-daca P este valida atunci P e tautologie.

B.Teorema de corectitudine-daca P e tautologie,atunci P este valida.

Aceasta teorema evidentiaza sensul correspondent dintre cele 2 notiuni de validitate si

tautologice sau demonstrabilite,care defines aceeasi multime de propozitii.

Teorema generalizata de completitudine

Precizari tip semantic.

Model:M este un model al lui Γ,daca Γ este demonstrabil din M sau daca orice propozitie din Γ

este adevarata in modelul M.

Realizabilitatea

Multimea lui Γ e realizata daca admite cel putin un model.

Aceste notiuni ne permit sa formulam cea mai importanta teorema a teoriei modelelor pentru

logica propozitiilor si anume teorema generalizata a competitudinii pentru a determina cand o

multime de propozitii e realizata.O multime sau sistem gama Γ e consistent daca este realizabil.