C A P I T O L U L 4

 

 

CINETOSTATICA MECANISMELOR

Cinetostatica se ocupă cu studiul forţelor care acţionează asupra mecanismelor şi maşinilor, presupunându-se cunoscută starea de mişcare a elementului conducător.

La prima vedere această ipoteză este în contradicţie cu legile generale ale fizicii ţinând seama că mişcarea este determinată de forţe şi deci ea nu ar putea fi cunoscută aprioric.

Acest mod de abordare a problemei este specific rezolvării situaţiilor neliniare, care cere mai multe aproximaţii succesive pentru a ajunge la un rezultat acceptabil, apropriat de cel din realitate.

4.2. Forţele din mecanisme

În general, asupra unui mecanism sau maşină pot acţiona mai multe categorii de forţe şi momente: forţe motoare, forţe de rezistenţă tehnologică (utilă), forţe de greutate, forţe pasive (de frecare), forţe elastice, forţe de inerţie (masice) şi reacţiunile din cuple.

a).- Forţele motoare Fm sau momentele motoare Mm pun în mişcare mecanismul sau maşina şi se caracterizează prin aceea că prestează un lucru mecanic pozitiv. Deci acestea acţionează în sensul de mişcare al elementului motor.

b).- Forţele de rezistenţă tehnologică Frt sau momentele de rezistenţă tehnologică Mrt se opun mişcării elementului condus pe care acţionează, caracterizându-se prin aceea că prestează un lucru mecanic negativ.

Maşinile sunt construite cu scopul învingerii forţelor sau momentelor de rezistenţă tehnologică.

c).- Forţele de greutate G = maG se caracterizează prin aceea că dezvoltă un

lucru mecanic pozitiv într-un interval de timp, negativ în alt interval de timp sau chiar nul.

Specific forţelor de greutate este faptul că lucrul mecanic aferent unui ciclu geometric de funcţionare al mecanismului sau maşinii este nul.

d).- Forţele de rezistenţă pasivă Frp sau forţele de frecare ce apar în cuple prestează un lucru mecanic negativ.

e).- Forţele elastice Fa sau momentele elastice Ma apar datorită deformaţiilor unor elemente (arcuri) şi acumulării energiei potenţiale pe seama lucrului mecanic motor într-o anumită fază de mişcare şi redată sub formă de energie cinetică în altă fază de mişcare.

f).- Forţele de inerţie Fi sunt forţe masice repartizate pe elementele mecanismelor sau maşinilor şi în intervalul unui ciclu geometric pot presta un lucru mecanic pozitiv, negativ sau nul.

g).- Forţele de legătură (reacţiunile din cuple) Fab care reprezintă reacţiunea elementului a asupra elementului b, se caracterizează prin aceea că lucrul mecanic prestat este nul (dacă se neglijează frecările).

Ţinînd cont de poziţia pe care o ocupă reacţiunile din cuplele cinematice faţă de sistemul mecanic mobil, acestea fac parte din categoria forţelor interioare, incluzând totodată şi forţele de frecare.

Determinarea acestor forţe este principalul obiectiv al cinetostaticii

Calcului forţelor din mecanisme se bazează pe principiul lui D'Alembert, care arată că un element al mecanismului, o grupă structurală sau mecanismul în general se găseşte în echilibru sub acţiunea forţelor care acţionează asupra sa şi a forţelor de inerţie.

4.3. Forţele de inerţie.

 

Forţele de inerţie reprezintă reacţia cinetică a masei unui element la acceleraţia ce i se imprimă odată cu mişcarea sa.

Forţele de inerţie trebuie luate în considerare în special la maşinile rapide, când acestea, sunt forţele cele mai importante care acţionează asupra elementului.

Pentru determinarea forţelor de inerţie ale elementelor sau mecanismelor cu mişcări plane se folosesc în special două metode:

- metoda reducerii la torsorul de inerţie.

- metoda concentrării maselor.

4.3.1. Determinarea forţelor de inerţie prin metoda reducerii la

torsorul de inerţie.

  Pentru un element al unui mecanism, indiferent de mişcarea pe care o are, forţele de inerţie se pot reduce la o forţă de inerţie rezultantă Fi şi la un moment rezultant al forţelor de inerţie Mi (figura 4.1.),

Figura 4.1. Figura 4.2.

Acestea au următoarele valori:

unde:

m - masa elementului;

ag - acceleraţia centrului de greutate G al elementului;

IG - momentul de inerţie al masei elementului în raport cu axa

care trece prin centrul de greutate G al elementului;

- acceleraţia unghiulară a elementului.

(4.2.) εIM

(4.1.) amF

Gi

gi

Observaţii:

- Forţa rezultantă Fi şi momentul rezultant Mi constituie la rândul lor componentele torsorului de reducere al forţelor elementare corespunzătoare tuturor particulelor elementare din corp ( ).

- Semnul (-) din aceste relaţii este convenţional şi indică faptul că forţa rezultantă de inerţie Fi este de semn contrar acceleraţiei ag, respectiv că

semnul cuplului rezultant Mi este contrar acceleraţiei unghiulare a elementului.

- Totodată se poate afirma că cele două componente ale torsorului au acelaşi suport cu ag, respectiv cu .

- Deasemenea, cele două componente se calculează cu uşurinţă dacă au fost determinate acceleraţiile ag şi .

i

Relaţiile (4.1.) şi (4.2.), caracterizează torsorul de reducere şi capătă valori particulare pentru diferite cazuri concrete ale mişcării plane, astfel:

a).- Dacă elementul conducător se construieşte sub formă de disc sau sub formă de bară simetrică (figura 4.2.) astfel încât G este punctul în jurul căruia se roteşte atunci rezultă că:

Se spune în acest caz că elementul este echilibrat static.

b).- Dacă rotirea elementului se face cu = constant, atunci :

Se spune în acest caz că elementul

este echilibrat şi dinamic.

0M 0;F 0;a iiG

0M 0;ε 0;F 0;a iiG

c).- Dacă elementul conducător se construieşte sub formă de culisă

(figura 4.3.), atunci :

 

Întrucât = 0, atunci Mi = 0 .

Deci rămâne diferită de zero doar Fi.

εIM

amF

Gi

Gi

Figura 4.3.

4.3.2. Determinarea forţelor de inerţie prin metoda

concentrării maselor.

Să considerăm un element plan de masă m şi moment de inerţie IG.

Înlocuim convenţional, acest element cu mase punctiforme mi repartizate convenabil în diferite puncte, (figura 4.4.).

Sistemul de axe de coordonate s-a admis solidar cu elementul, având originea în centrul de masă al acestuia.

Figura 4.4.

Pentru ca cele mi mase punctiforme să reprezinte elementul plan m din punct de vedere al forţelor de inerţie, este necesar să fie îndeplinite condiţiile:

(4.3.)

(4.4.)

(4.7.)

n

1ii mm

n

1i

ii

i

ii

0rm

0m

rm

n

1iG

2i

2ii

n

1iG

2ii

Iyxm

Irm

(4.6.) 0ym

(4.5.) 0xm

n

1iii

n

1iii

în care: IG este momentul de inerţie masic al elementului în raport cu axa

perpendiculară pe plan şi care trece prin punctul G (centrul său de masă);

r este distanţa de la fiecare masă punctiformă la punctul G.

Cele trei condiţii de echivalenţă conduc în final la următorul sistem de ecuaţii care stă la baza modelării:

(4.8.)

 

cu i = 1, 2, 3, ...., n ;

G

2

i

2

ii

ii

ii

i

Iyxm

0ym

0xm

mm

Observaţii:

1. Numărul punctelor de concentrare, pentru diferite cazuri concrete, rezultă din condiţia de compatibilitate a sistemului de ecuaţii (4.8.), cu numărul de parametri necunoscuţi aferenţi punctelor de concentrare.

2. Aşa cum se observă din figura 4.4. fiecare masă concentrată este caracterizată de trei parametri:

- două coordonate ale punctului de concentrare;

- masa sa;

Pentru elementul din figura 4.5. sau admis drept puncte de concentrare articulaţiile A, B, C, şi centrul de masă G al elementului.

Cu aceste consideraţii sistemul (4.8.) se scrie sub forma:

 

 (4.10.)

 

din care rezultă cele patru mase concentrate

mA, mB, mC, şi mG.

0ymymym

0xmxmxm

mmmmm

CCBBAA

CCBBAA

GCBA

G

2

C

2

CC

2

B

2

BB

2

A

2

AA Iyxmyxmyxm

Figura 4.5.

În cazul unor elemente tip bară, se aleg drept puncte de concentrare articulaţiile A şi B şi centrul de masă G (figura 4.6.) .

Cu aceste consideraţii sistemul (4.8.) se scrie sub forma:

 

(4.12.)

 

din care rezultă valorile celor trei mase concentrate:

  (4.13.)

G2

B2

A

BA

GBA

Ibmam

0bmam

mmmm

mab

Im

bl

Im

al

Im G

GG

BG

A

Figura 4.6

Dacă în acelaşi caz , al elementului de tip bară, se alege numai poziţia unui punct de concentrare, se poate face o concentrare a maselor numai în două puncte.

Alegând poziţia unui punct (exemplu: articulaţia A din figura 4.7.), din sistemul de ecuaţii de echivalenţă urmează să se determine masa acestui punct precum şi abscisa şi masa celui de-al doilea punct K.

Sistemul de ecuaţii (4.8.) pentru acest caz este:

 

(4.12.)

din care rezultă:

 

(4.13.)

G2

K2

A

KA

KA

Ikmam

0kmam

mmm

ma

IK

Ima

amm

Ima

mIm G

G2

22

K

G2

GA

Figura 4.7.

4.3.3. Determinarea forţelor de inerţie prin metoda analitică.

a). Element conducător.

Torsorul de inerţie este reprezentat prin componentele pe axe ale lui Fi şi Mi (figura 4.8.a.). Având : Fi = - m aG şi Mi = - IG se poate scrie matricial:

G

G

G1

1

1

i1

i1y

i1x

y

x

I00

0m0

00m

M

F

F

Figura 4.8.a.

b). - Diada de aspectul 1.

Similar, pentru diada de aspectul 1 (figura 4.8.b.) rezultă:

β

y

x

α

y

x

I00000

0m0000

00m000

000I00

0000m0

00000m

M

F

F

M

F

F

5

5

4

4

G3

3

3

G2

2

2

i3

i3y

i3x

i2

i2y

i2x

Figura 4.8.b.

4.4. Echilibrarea mecanismelor şi maşinilor.

 

4.1. Condiţii de echilibrare.

Aşa cum am arătat în subcapitolul 4.3. asupra fiecărui element în mişcare, (aparţinând fie unui mecanism, fie unei maşini) acţionează alături de forţele exterioare şi cele de legătură şi forţele de inerţie.

Aceste forţe provoacă solicitări suplimentare în elemente şi cuplele cinematice ale mecanismului, adesea superioare solicitărilor date de forţele specifice procesului de lucru al maşinii sau mecanismului respectiv.

În plus, forţele de inerţie au o variaţie periodică, conform ciclului cinematic al maşinii, şi deci, alături de solicitările la oboseală pe care le cauzează, vor provoca şi vibraţii ale sistemului asupra căruia acţionează.

Astfel de probleme apar în special la mecanismele maşinilor cu viteze ridicate şi/sau ale căror elemente au mase mari, nejudicios repartizate, în care caz, forţele de inerţie capătă valori considerabile.

Înlăturarea lor este imposibilă, deoarece nu se poate concepe realizarea unor elemente fără masă.

Pentru evitarea dezavantajelor produse de forţele de inerţie, se creează suplimentar alte forţe de inerţie care să anihileze efectul forţelor existente.

Se realizează astfel o concentrare a forţelor de inerţie prin alte forţe de inerţie.

Această operaţie poartă numele de echilibrare.

Echilibrarea mecanismelor şi a maşinilor, mai ales a celor rapide,

este o operaţie de primă importanţă în practica construcţiei de maşini.

Un sistem mecanic se zice că este echilibrat dinamic dacă ambele componente ale torsorului rezultant al forţelor de inerţie se anulează:

 

adică : (4.15.)

 

Dacă se anulează numai prima componentă a torsorului:

  (4.16.)

atunci se spune că sistemul este echilibrat static.

0FrM

0FR

0M,Rτ

iii

ii

ii

0FR ii

Echilibrarea se realizează prin montarea unor contragreutăţi, astfel încât să fie satisfăcute relaţiile (4.15.) sau (4.16.), în funcţie de natura echilibrării: dinamice, respectiv statice.

Operaţia de echilibrare constă deci din determinarea poziţiei şi mărimii maselor unor contragreutăţi, astfel încât să satisfacă condiţiile de mai sus.

Soluţionarea acestei probleme are două aspecte:

1) - Echilibrarea sistemului forţelor de inerţie ce acţionează asupra maselor aflate în mişcarea de rotaţie în jurul unor axe fixe (rotori); - este cazul maşinilor rotative . Echilibrarea în acest caz se poate face prin calcul cunoscând

poziţia maselor neechilibrate din rotor, şi experimental.

2) - Echilibrarea sistemului forţelor de inerţie ce acţionează asupra unui mecanism sau maşini. Aceasta constituie problema generală a echilibrării şi poate fi rezolvată prin:

- asigurarea condiţiei ca centrul de masă al mecanismului sau maşinii să fie fix pe durata unui ciclu cinematic; în acest caz se realizează o echilibrare statică;

- prin montarea specială a unor mecanisme componente ale maşinii, astfel încât să se obţină o anulare reciprocă a forţelor de inerţie.

4.4.2.- Echilibrarea rotorilor.

 

Un rotor este echilibrat dinamic, dacă în lagărele acestuia nu apar şi reacţiuni cauzate de sistemul forţelor de inerţie ce acţionează asupra lui.

Conform figurii 4.9. acest lucru se realizează dacă:

(4.17.)

0MM

0FR

iyix

ii

adică:

- rezultanta forţelor de inerţie şi proiecţiile momentului rezultant după două axe perpendiculare, situate într-un plan normal la axa de rotaţie Oz, sunt nule.

Proiecţiile momentului rezultant după direcţiile Ox şi Oy ar provoca încovoierea arborelui rotorului şi deci reacţiuni suplimentare în lagărele acestuia. Componenta după axa Oz reprezintă un moment de accelerare al mişcării rotorului, care se adaugă sau se scade momentului motor sau rezistent al maşinii, în funcţie de natura acesteia. Este evident că această componentă nu dă reacţiuni în lagăre.

Se pune problema găsirii condiţiilor geometrice pe care trebuie să le satisfacă rotorul şi axa sa de rotaţie astfel ca relaţiile (4.17.) să fie îndeplinite.

Condiţiile de echilibrare statică şi dinamică ale unui rigid rotativ (fig. 4.9) se pot evidenţia dacă se consideră masa elementară dm situată la distanţa (x, y) faţă de axa de rotaţie Oz şi distanţa z faţă de planul Oxy.

Figura 4.9.

Forţa de inerţie elementară dezvoltată de masa dm (fig. 4.9), care se roteşte cu viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară , are expresia

ale cărei componente normală (centrifugă) şi tangenţială sunt:

Se proiectează cele două componente pe axele O1 xo,O1 yo şi O1 zo (fig 4.9)

rezultând;

 

Momentele forţelor elementare faţă de cele trei axe de coordonate au expresiile:

Forţele de inerţie şi momentele forţelor de inerţie, pentru întregul corp aflat în mişcare de rotaţie, se obţin din formulele anterioare prin integrare:

unde: xG şi yG - sunt coordonatele centrului de masă ale corpului;

Jxz şi Jyz - momentele de inerţie centrifugale (planare) ale corpului;

Jz - momentul de inerţie axial (polar) în raport cu axa de rotaţie

O1 zo.

Pentru echilibrarea statică este necesar ca rezultanta forţelor de inerţie să fie nulă, astfel că pentru

ceea ce înseamnă că centrul de masă G (al corpului rotativ) trebuie să fie situat pe axa sa de rotaţie.

Pentru echilibrarea totală (statică şi dinamică) este necesar ca atât rezultanta forţelor de inerţie, cât şi rezultanta momentelor forţelor do inerţie să fie nule, astfel că, pentru

ceea ce determină ca acest corp rotativ să aibă axa de rotaţie drept axă principală de inerţie.

Se menţionează că nu determină eforturi suplimentare în cuplele (lagărele) O1 şi O2 ale arborelui de care este fixat corpul rotativ (fig. 4.9).

Acest cuplu de inerţie Miz se anulează numai în cazul că , ceea ce corespunde

mişcării de rotaţie uniforme.

Observaţii:

Condiţiile de echilibrare ale unui element (corp) rotativ sunt următoarele:

1. Centrul de masă (greutate) să fie pe axa de rotaţie, în acest caz rezultanta forţelor de inerţie este nulă şi elementul cinematic este echilibrat static. Această condiţie este necesară şi suficientă la corpurile a căror lăţime este mult mai mică decât diametrul lor, ca de exemplu: rotorul de ventilator, roata de automobil, discul de ambreiaj;

2. Axa de rotaţie a elementului să fie axă principală de inerţie; în această situaţie momentul forţelor de inerţie nu produce reacţiuni suplimentare în lagăre (cuple).

Dacă elementul cinematic îndeplineşte ambele condiţii, acesta va fi echilibrat dinamic, iar operaţia de echilibrare se face cu două mase adiţionale, care sunt plasate pe element în două plane paralele diferite, numite plane de echilibraj.

0izM

0

4.4.3. Echilibrarea statică experimentală a rotorilor.

  În general, la proiectare piesele se calculează astfel ca acestea să fie echilibrate. Din motive tehnologice piesele rezultă în general neechilibrate, fiind necesară o echilibrare experimentală.

Echilibrarea statică se consideră a fi suficientă pentru rotorii care funcţionează cu turaţii mici sau la discurile care au D/b > 10. Pentru exemplificare, să considerăm discul din figura 4.10. care din turnare a rezultat cu excentricitate faţă de fusuri, fiind dezechilibrat static.

Figura 4.10.

Pentru echilibrare fusurile discului se aşază pe două prisme A şi B paralele şi orizontale. Discul se va rostogoli prin intermediul fusurilor până când centrul său de greutate G va ajunge în plan vertical, în poziţia cea mai de jos unde după câteva oscilaţii mici se va opri.

Pe această verticală, în partea de sus, va trebui adăugată o masă de echilibrare me la distanţa re pentru a se realiza echilibrarea statică.

Mărimea acestei mase se determină prin încercări, până când rotind discul în orice poziţie va rămâne în echilibru.

În acest mod va fi îndeplinită condiţia:

(4.35.)

 

unde m este masa discului iar e este excentricitatea.

emrm ee

4.4.4. Echilibrarea dinamică experimentală a rotorilor.

Se consideră piesa sub formă de disc din figura 4.11. realizată prin turnare. Discul, deşi are centrul maselor pe axa de rotaţie, este dezechilibrat

dinamic datorită neuniformităţii pereţilor, care fac ca axa de rotaţie să nu fie şi axă de simetrie.

Asemenea piese trebuie să fie echilibrate dinamic experimental.

Pentru echilibrarea dinamică experimentală a pieselor de tip rotor sau disc se utilizează maşini speciale. Acestea pot funcţiona după mai multe principii (cu arbore elastic şi cu arbore rigid). Cel mai utilizat este primul principiu.

Figura 4.11.

Figura 4.12

Maşinile de echilibrat cu arbore elasic sunt maşini care funcţionează la rezonanţă.

În timpul rotirii piesei de echilibrat, oscilaţiile acesteia datorită dezechilibrării intră în rezonanţă cu oscilaţiile lagărelor.

Principial, o astfel de maşină constă dintr-un arbore 1 (figura 4.12.), sprijinit în lagărul oscilant 3 şi care permite oscilaţia acestuia numai în plan orizontal.

Pe o extremitate a arborelui se montează piesa de echilibrat, iar cealaltă extremitate este echilibrată de arcul 2. Deplasările acestei extremităţi ale arborelui sunt sesizate de traductorul 4, care poate fi electric sau mecanic.

Piesa de echilibrat, axul şi arcurile formează un sistem elastic care are frecvenţa pulsaţiilor proprii relativ coborâtă şi cu un grad de amortzare neglijabil.

Piesa, echilibrată static, se montează pe arbore astfel încât planul interior al ei să cuprindă centrul de oscilaţie al arborelui 1.

Din figura 4.12. se observă că un astfel de montaj face ca oscilaţiile arborelui să nu fie provocate de masele neechilibrate 6, aflate în planul interior al piesei, ci numai de cele din faţa lui, 5, care vor determina oscilaţia în plan orizontal.

Operaţia de echilibrare se va desfăşura în două faze. Pe acest principiu funcţionează maşina de echilibrat GARO (fabricaţie URSS) din figura 4.13.

Aceasta este compusă din carcasa 1, mecanismul de echilibrare 2, motorul electric 3, care antrenează arborele maşinii de echilibrare prin cureaua 7 şi frâna 4, comandată de pedala 5.

Figura 4.13.

4.4.5. Echilibrarea mecanismelor plane.

  În general mecanismele plane trebuie echilibrate atât static cât şi dinamic.

Pentru ca un mecanism plan să fie echilibrat static este necesar ca

adică acceleraţia centrului maselor întregului mecanism să fie nulă.

Deoarece mecanismele au o funcţionare ciclică periodică, pentru ca

aG = 0

este necesar ca centrul de greutate al întregului mecanism să fie un punct fix. Deci se impune a se rezolva două probleme:

a) - să se determine poziţia centrul de greutate al mecanismului;

b) - să se determine masele care adăugate mecanismului să facă ca centrul de greutate al mecanismului să devină un punct fix.

0amFF Giii

Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate G al unui mecanism plan (figura 4.16.) se determină mai întâi vectorul de poziţie rG al

acestuia cu ajutorul relaţiei:

  (4.41.)

i

ii

m

rmr G

unde :

mi - masa elementului i;

ri - vectorul de poziţie al centrului de greutate al elementului i;

Vectorii ri pot fi scrişi după cum urmează:

n1n21n

i1i21i

212

11

al......llr

al......llr

alr

ar

Figura 4.16.

Se fac substituţiile:

(4.44.)

cu care expresia vectorului de poziţie rG al centrului de greutate al mecanismului devine:

(4.45.)

unde i = 1 la n.

i

nnn

i

ipiii

i

2n43222

i

1n32111

m

amh

m

lmamh

m

lm....mmamh

m

lm....mmamh

ihr G

Observaţii:

- Vectorii principali hi au direcţiile paralele cu elementele i şi modulul constant în timpul mişcării mecanismului.

- Compensarea forţelor de inerţie pentru echilibrarea statică se poate face prin adăugarea unor mase suplimentare pe elemente.

Exemplu:

Pentru ca patrulaterul articulat din figura 4.17. având masele m1, m2, m3 ale elementelor cinematice 1, 2, 3 să fie echilibrat static, este necesar ca centrul de greutate să fie un punct fix.

În acest scop se va face concentrarea statică a maselor m1, m2, m3 în câte două puncte după cum urmează:

3

33C

3

333

3

223B2BB

2

222

1

1112A1AA

1

111O

l

amm

l

alm

l

ammmm

l

alm

l

almmmm ;

l

almm

Figura 4. 17.

Se observă că masele mO şi mC nu generează forţe de inerţie trebuind

a fi echilibrate doar masele mA şi mB. Acestea se echilibrează cu ajutorul

maselor me1 şi me3 amplasate la distanţele re1, respectiv re3 pe manivelă şi

balansier.

Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

 

  ;r

lmm ;lmrm

;r

lmm ;lmrm

e3

3Be33Be3e3

e1

1Ae11Ae1e1

masele mA, mO, me1 vor avea centrul de

greutate în O, iar masele mB, mC, me3 vor

avea centrul de greutate în C.

Centrul de greutate G al întregului mecanism se va afla între punctele fixe O, C şi va avea poziţia dată de relaţia:

(4.48.)

Deci mecanismul patrulater se poate echilibra static cu ajutorul a două mase alese convenabil şi amplasate în prelungirea manivelei şi balansierului.

De asemenea echilibrarea mecanismului patrulater se poate realiza şi cu două mase alese convenabil şi amplasate una în prelungirea bielei şi alta în prelungirea manivelei sau balansierului.

Pentru ca un mecanism plan să fie echilibrat dinamic, pe lângă respectarea condiţiei de la echilibrarea statică (aG = 0), este necesar să avem

adică = 0 .

Echilibrarea dinamică a mecanismelor plane se face cu complicaţii constructive, ceea ce determină să se renunţe adesea la aceasta.

În situaţiile când este necesară, echilibrarea dinamică se aplică la mecanismele plane simetrice faţă de o axă perpendiculară pe planul său, care să treacă prin centrul de greutate fix.

OGOCmmmOGmmm e3CBe1OA

0εIM Gi

4.5. Determinarea reacţiunilor din cuple.

 

În vederea efectuării calculului de rezistenţă a elementelor cinematice ale mecanismelor şi maşinilor, pe lângă forţele exterioare şi de inerţie ce acţionează asupra elementelor trebuie determinate şi forţele de legătură numite reacţiuni în cuple.

Ţinând cont de faptul că între elementele cinematice care formează o cuplă există mişcări relative, rezultă că apar şi frecări.

Într-o primă aproximaţie se pot determina reacţiunile din cuple neluând în consideraţie forţele de frecare, dar pentru calcule mai precise se impune determinarea reacţiunilor din cuple cu luarea în consideraţie a frecării.

4.5.1. Lanţuri cinematice static determinate.

 

Fie un element oarecare k al unui mecanism (figura 4.18. a.).

Asupra acestui element acţionează următoarele forţe şi momente:

Fek şi Mek forţa rezultantă şi momentul rezultant al forţelor şi momentelor exterioare;

Fik şi Mik forţa de inerţie şi momentul rezultant al forţelor de inerţie;

Flk reacţiunea elementului l asupra elementului k ;

Fnk reacţiunea elementului n asupra elementului k ;

Figura 4.18. a

Pentru calculul reacţiunilor se vor aduna forţele şi momentele exterioare cu cele de inerţie:

 

 

iar reacţiunile se vor descompune în componente de-a lungul axei elementului şi perpendiculare pe această axă , când se utilizează metoda grafo-analitică ,(figura 4.18.b.).

(4.51.) MMM

(4.50.) FFF

kikek

kikek

Figura 4.18.b

Pentru a se determina reacţiunile este necesar să se ştie dacă se dispune de numărul de ecuaţii necesare.

Fiind vorba de mecanisme plane, pentru un element există două ecuaţii de proiecţii şi o ecuaţie de momente:

 

(4.52.)

Pentru a şti câte necunoscute apar datorită reacţiunilor din cuple în cazul unui lanţ cinematic, este necesar să se determine câte necunoscute introduc reacţiunile în cuplele utilizate la mecanismele plane.

0M

0Y

0X

Astfel, în cadrul cuplei de clasa a V-a de rotaţie (figura 4.19.a.) formată de fusul elementului cinematic 1 şi lagărul elementului cinematic 2, forţa de reacţiune totală F12 a elementului 1 faţă de elementul 2 este normală la

suprafaţa de contact şi trece deci prin centrul cuplei.

Nu se cunosc mărimea şi direcţia acestei reacţiuni sau proiecţiile acesteia pe axele unui sistem de coordonate.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii F12 = - F21.

Deci reacţiunea din cupla de rotaţie de clasa a V-a introduce două necunoscute.

Figura 4.19.a

În cazul cuplei de clasa a V-a de translaţie (figura 4.19.b.) formată de culisa 1 şi ghidajul 2, forţa de reacţiune totală F12 a elementului 1 faţă de

elementul 2 este normală la ghidajul x - x .

Nu se cunosc mărimea şi punctul de aplicaţie (adică cota x) ale acestei reacţiuni.

Deci reacţiunea din cupla de translaţie introduce două necunoscute.

Figura 4.19.b

La o cuplă superioară de clasa a IV-a (figura 4.19.c.) reacţiunile F12 = - F21 trec prin punctul A de contact al celor două elemente cinematice 1

şi 2 şi sunt normale la suprafeţele de contact.

Nu se cunoaşte mărimea acestei reacţiuni.

Deci o cuplă de clasa a IV-a introduce o singură necunoscută.

Figura 4.19.c

Să considerăm un lanţ cinematic plan, format din n elemente mobile, C5 cuple de clasa a V-a şi C4 cuple superioare de clasa a IV-a.

Pentru fiecare element mobil al lanţului cinematic se pot scrie trei ecuaţii de echilibru, deci pentru cele n elemente se pot scrie 3 n ecuaţii.

Reacţiunea dintr-o cuplă de clasa a V-a introduce două necunoscute, deci pentru C5 cuple de clasa a V-a apar 2C5

necunoscute.

Pentru o cuplă superioară de clasa a IV-a, la determinarea reacţiunii apare o singură necunoscută, deci pentru C4 cuple

superioare, apar C4 necunoscute.

Rezultă că pentru lanţul cinematic considerat, apar 2 C5 +

C4 necunoscute ale reacţiunilor din cuple.

Cum numărul ecuaţiilor care se pot scrie este 3n pentru ca lanţul cinematic să fie determinat static, trebuie ca numărul ecuaţiilor să fie egal cu numărul necunoscutelor:

 

sau

 

relaţie ce caracterizează şi gradul de mobilitate al grupelor structurale.

Deci conform relaţiei (4.54.) grupele structurale sunt static determinate. Se poate spune din punct de vedere al determinării reacţiunilor din

cuple că lanţurile cinematice static determinate sunt tocmai grupele structurale.

Concluzie:

Pentru determinarea reacţiunilor în cuple la un mecanism se procedează astfel:

- Se descompune mecanismul în elemente conducătoare şi grupe structurale şi se începe calculul reacţiunilor pornind de la ultima grupă până la elementul conducător.

- Forţa rezistent tehnologică acţionează pe ultima grupă structurală şi se transmite prin elemente până la elementul conducător.

(4.54.) 0C2C3nM

(4.53.) C2C3n

45

45

4.5.4. Determinarea reacţiunilor din cuplele fără frecare prin metode analitice.

  Pentru calculul reacţiunilor din cuplele fără frecare prin metode analitice se procedează astfel:

- Se descompun forţele după axele unui sistem de referinţă Oxy, respectându-se orientarea în raport cu sensurile axelor;

- Momentele sunt pozitive în sens trigonometric şi negative în sens orar;

- Se scriu ecuaţii de proiecţii pe axe ale forţelor pentru un element sau pentru o grupă structurală, precum şi ecuaţii de momente.

4.5.4.1. Pentru diada de aspectul 1.

În cazul diadei de aspectul 1 (figura 4.26.) se scriu următoarele ecuaţii:

- ecuaţii de proiecţii pentru diadă;

(4.62.)

- ecuaţii de momente pentru elementele 2 şi 3 în raport cu C;

0FFFF

0FFFF

43y3y2y12y

43x3x2x12x

Figura 4.26

(4.63.)

0 ) x- (xF) x- (xF M)y - (yF)y - (yF

0 ) x- (xF - ) x- (xF - )y - (yF M )y - (yF

453y3243y3533x2343x

432y1312y432x21312x

Figura 4.26.

R P Q

0

C

C

FF

FF

F

F

F

F

xxyy00

00xxyy

1010

0101

2

1

3y2y

3x2x

43y

43x

12y

12x

3223

3113

Sistemul are patru ecuaţii şi patru necunoscute, de unde prin utilizarea metodei substituţiei se determină reacţiunile F12x , F12y , F43x , F43y.

Rezolvarea sistemului se poate face şi matricial după cum urmează:

 

 

rezultând:

(P) = - (Q)-1 (R) ,

unde C1 şi C2 rezultă din ecuaţiile de momente.

Pentru găsirea reacţiunii din C, se scrie echilibrul forţelor care acţionează asupra elementului 2, prin proiecţii pe axe :

 

(4.64.)

 

Matricial rezultă:

 

0FFF

0FFF

32y2y12y

32x2x12x

0FF

FF

F

F

10

01

2y12y

2x12x

32y

32x

4.5.4.2. Pentru diada de aspectul 2.

  Pentru diada de aspectul 2 (figura 4.27.) se scriu următoarele ecuaţii:

Figura 4.27

  - ecuaţii de proiecţii pentru diadă:

 

(4.65.)

 

- ecuaţii de momente în raport cu punctul C pentru elementul 2:

 

(4.66.)

(4.67.)

0FFFF

0FFFF

43y3y2y12y

43x3x2x12x

0 ) x- (xF-

- ) x- (xF - ) x- (xF - )y - (yF M )y - (yF

432y

432y1312y432x21312x

0 tgβF-F 43y43x

Pentru reacţiunea din C se scrie echilibrul pentru elementul 2:

 

(4.68.)

Pentru determinarea punctului de aplicaţie, se scriu două ecuaţii de momente pentru elementul 3 în raport cu C şi D:

 

 

de unde rezultă x2 şi y2.

0FFF

0FFF

32y2y12y

32x2x12x

(4.70.) 0 ) x- (xF) x- (xF M)y - (yF)y - (yF

(4.69.) 0 ) x- (xF - ) x- (xF - )y -(yF M-)y - (yF

353y3243y3533x2343x

523y3232y253x32332x

4.5.4.6. Pentru elementul conducător cu mişcare de rotaţie.

Se consideră elementul conducător cu mişcare de rotaţie din figura 4.31. la care se scrie echilibrul forţelor prin proiecţiile pe axe pentru acest element:

Figura 4.31

0tgγFF

0FFFF

0FFFF

exey

21y1yey01y

21x1xex01x

(4.79.)

De asemenea se scrie ecuaţia de momente în raport cu A :

0 )y - (yF) x- (xF

)y - (yF ) x- (xF - ) x- (xF -M -)y - (yF

0121x0121y

061x061y07ey107ex

(4.80.)

4.5.4.7. Pentru elementul conducător cu mişcare de translaţie.

Se consideră elementul conducător cu mişcare de translaţie din figura 4.32. şi se scrie echilibrul forţelor prin proiecţii pe axe pentru acest element:

Figura 4.32.

0tgFF

0tgFF

0FFFF

0FFFF

exyey

01y01x

12y1yey01y

21x1xex01x

(4.81.)

Pentru a se găsi punctul de aplicaţie al reacţiunii F01 se scriu ecuaţii de

momente odată în raport cu A şi odată în raport cu B.

4.5.5. Determinarea reacţiunilor din cuplele cu frecare

prin metode analitice.

Se consideră diada de aspectul 1 din figura 4.26. care se completează cu momentele MB, MC32, MD.

Pentru diadă se pot scrie ecuaţii de proiecţii:

0FFFF

0FFFF

43y3y2y12y

43x3x2x12x

(4.82.)

De asemenea se scriu ecuaţii de momente în raport cu C, pentru fiecare element:

 

(4.83.)

0MM

) x- (xF) x- (xF M)y - (yF )y - (yF

0MM

) x- (xF- ) x- (xF - M)y - (yF )y - (yF

C32D

353y3243y35332x2343x

C32B

432y1312y2432x1312x

unde :

MB = BrBF12 = moment de frecare cu coeficientul de frecare B;

MC32 = CrCF32 = moment de frecare cu coeficientul de frecare C;

MD = DrDF43 = moment de frecare cu coeficientul de frecare D;

Sensurile acestor momente sunt opuse sensurilor vitezelor unghiulare relative, cunoscute de la studiul cinematic al diadei.

Necunoscutele F12x, F12y, F43x, F43y se determină prin metoda

substituţiei sau matricială.

Pentru calculul reacţiunii F32 se scriu ecuaţiile de proiecţii pentru

elementul 2. Se procedează ca la subcapitolul 4.5.4.1.

Folosindu-se metoda aproximaţiilor succesive, în continuare se procedează astfel:

- se consideră iniţial momentele de frecare nule;

- se calculează reacţiunile rezultante;

- se determină momentele de frecare;

- se recalculează reacţiunile;

- procesul continuă până la obţinerea preciziei impuse, convergenţa fiind asigurată de existenţa unei limite a forţei de frecare.

Notându-se cu j unghiul dintre F12 şi F12x , se pot scrie relaţiile:

 

(4.84.) Relaţii similare se scriu şi pentru celelalte două reacţiuni rezultante.

cos

FF ;

F

Ftg 12x

1212x

12y