Mecanica si Rezistenta Materialelor (Curs)

8/7/2019 Mecanica si Rezistenta Materialelor (Curs)

1/131

Dr. ing. Dumitru Al. DUMITRU

MECANICA

iREZISTENAMATERIALELOR

Note de curspentru studenii Facultii de Inginerie Electric

Uz intern

Ediia 2009


2/131


3/131

Mecanica i Rezistena Materialelor Partea I: Mecanica 1

Dumitru Al. Dumitru; UVT; 2009 Curs pentru uzul studenilor Facultii de Inginerie Electric

PARTEA I. MECANICACAP. 1.NOIUNI FUNDAMENTALE . DIVIZIUNILE MECANICII . PRINCIPIILE STATICII1.1. Noiuni fundamentale

Mecanica este una dintre tiinele fundamentale ale naturii, avnd ca obiect studiullegilor obiective ale echilibrului i micrii mecanice a sistemelor materiale.

Micarea mecanic reprezint cea mai simpl form de micare a materiei. Ea are

loc n spaiu i timp, constnd n schimbarea poziiei unui corp material fa de un reperales pentru studiul micrii sau fa de un alt corp material.

Obiectul cursului l constituie mecanica clasic sau mecanica newtonian, ce are cafondatori pe savantul italian Galileo Galilei (1564-1642) i pe fizicianul, matematicianul iastronomul englez Isaac Newton (1642-1727). n mecanica clasic se studiaz legilemicrii corpurilor a cror vitez este mic n comparaie cu viteza undelorelectromagnetice n vid:

2997931

c00

= [Km/s]

Mecanica newtonian opereaz cu trei noiuni fundamentale: spaiul, timpul imasa, considernd c sunt absolut independente una fa de alta. n accepiune general,spaiul i timpul sunt noiuni primare, ireductibile la noiuni mai simple, reprezentnd formeobiective de existen ale materiei n micare. Astfel, n mecanica clasic, se consider c:

Spaiul este tridimensional, continuu i izotrop; Timpul este continuu i omogen; Masa reprezint o mrime scalar pozitiv, care reflect proprietile ineriale i

de gravitaie ale corpurilor materiale, fiind invariabil cu viteza corpurilor.Ca modele teoretice de reprezentare a corpurilor materiale, n mecanica

newtonian se folosesc : particula material (punctul material) i corpul rigid.Particula material este un corp rigid ale crui dimensiuni se pot neglija n raport

cu alte mrimi aferente problemei studiate i care nu efectueaz micri de rotaie n jurulvreunei axe ce trece prin corp. Pentru a deosebi punctul geometric de punctul material,acestuia din urm i se atribuie ntotdeauna i mas.

Corpul rigid este un corp material, avnd distane invariabile ntre punctele dincare este constituit. Astfel, dei n natur nu exist corpuri perfect rigide (corpurile realefiind ntotdeauna deformabile), modelul fundamental n mecanica clasic este mediulcontinuu solid i nedeformabil, numit i solidul lui Euclid sau solid rigid.

Corpurile materiale se prezint uneori sub forme particulare, crora le corespundmodele adecvate. Astfel, dac una din dimensiunile corpului (grosimea), este relativ micn raport cu celelalte dou (limea i lungimea), ea poate fi neglijat i corpul este

reprezentat prin modelul mecanic numit suprafa material avnd ca elemente osuprafa geometric finiti o mas finit distribuit pe toat ntinderea ei (exemple de


4/131

2 Cap. 1: Noiuni fundamentale. Diviziunile Mecanicii. Principiile Staticii


suprafee materiale n tehnic sunt plcile i membranele). Dac, ns, dou dintredimensiunile corpului se pot neglija n raport cu a treia, corpul este reprezentat printr-unmodel mecanic numit linie material - avnd drept elemente o linie geometric culungime finiti o mas distribuit n lungul ei (ca exemple de linii materiale n tehnic, se

pot considera barele i firele).Prin stri mecanice ale unui corp material, se neleg micarea sau repausulrespectivului corp, fa de un sistem de referin. Starea mecanic a unui corp material sepoate modifica numai datorit aciunii altui corp, iar msura acestei interaciuni ntrecorpurile materiale, se numete for.

Forele care acioneaz asupra punctelor materiale se caracterizeaz prin punct deaplicaie, direcie, sens i modul (mrime), reprezentndu-se prin vectori legai, iar forelecare acioneaz asupra corpurilor rigide se consider vectori alunectori.

Forele se pot clasifica n dou categorii: fore exterioare i fore interioare.Forele exterioare sunt forele cu care corpuri din afara sistemului, acioneaz

asupra sistemului.

Forele interioare sunt acele fore cu care se interacioneaz diferite pri ale unuisistem.

Dup un alt criteriu de clasificare, forele ce acioneaz asupra unui sistem materialpot fi: fore direct aplicate i fore de legtur sau reaciuni.

Forele direct aplicate sunt fore n general cunoscute, ce se aplic corpurilor; deexemplu: greutatea, fora de frecare, fora elastic, forele electromagnetice.

Forele de legtur, sunt forele cu care legturile unui corp material se opunmicrii respectivului corp pe anumite direcii, interzise prin existena legturilor. Forele delegtur se mai numesc i reaciuni, i n probleme sunt de obicei necunoscute.

1.2. Diviziunile mecanicii

Mecanica newtonian are un caracter unitar dar, din punct de vedere metodologic,se poate diviza n urmtoarele pri: Statica, Cinematica i Dinamica.

Statica - studiaz echilibrul corpurilor materiale, analiznd sistemele de fore carei fac echilibrul, precum i reducerea acestora.

Cinematica - efectueaz un studiu geometric al micrii corpurilor fr a ineseama de forele care acioneaz asupra lori nici de masa corpurilor.

Dinamica - capitolul cel mai complex al mecanicii, trateaz micarea corpurilorinnd seama de forele care o genereaz precum i de masa lor.

1.3. Principiile staticii

Statica i propune s rezolve urmtoarele dou probleme:a) Problema reducerii sistemelor de fore, n care, fiind dat un sistem de fore ce

acioneaz asupra unui corp, se determin cel mai simplu sistem de fore echivalent cusistemul dat;

b) Problema echilibrului sistemelor de fore, n care, fiind dat un sistem de fore ceacioneaz asupra unui corp, se caut determinarea condiiilor pe care trebuie s lendeplineasc forele sistemului pentru ca acesta s rmn n echilibru.

Principiile staticii, utilizate pentru rezolvarea celor dou probleme enunate, sunt:1. Principiul aciunii forelor:1.a - Principiul independenei aciunii forelor: Dac un sistem de fore

acioneaz asupra unui punct material, aciunea unei fore este independent de aciunea


5/131



celorlalte fore.1.b - Principiul paralelogramului : Dac asupra unui punct material M acioneaz

simultan dou fore concurente 1F i 2F , efectul lor este acelai cu al unei singure fore R ,avnd modulul i sensul diagonalei paralelogramului construit pe cele dou fore ca laturi

(fig.1.1). Fora R se numete rezultanta forelor 1F i 2F , i este:

21 FFR +=

Fig.1.1: Principiul paralelogramului

2. Principiul egalitii aciuniii reaciunii :

Dac un punct material A acioneaz asupra unui punct material B cu o anumitfor, atunci punctul material B va aciona asupra punctului material A cu o for egalide sens contrar. Una dintre fore se numete aciune, iar cealalt , reaciune. Acestprincipiu este valabil att n cazul n care punctele A i B coincid, A B = M, ct i ncazul n care punctele A i B nu coincid, fig.1.2.

Fig.1.2: Ilustrarea principiului aciuniii reaciunii

3. Principiul corpului rigid:

Dac asupra unui corp rigid acioneaz n punctele A i B, dou fore AF i BF ,avnd acelai suport AB, module egale i sensuri contrare ca n fig. 1.3, ele alctuiesc unsistem de fore n echilibru.


6/131

4 Cap. 1: Noiuni fundamentale. Diviziunile Mecanicii. Principiile Staticii


Fig. 1.4: Ilustrarea principiului corpului rigid

4. Principiul forelor de legtur (axioma legturilor):Axioma legturilor, postuleaz c orice legtur la care este supus un corp

material, poate fi suprimat, cu condiia nlocuirii ei cu elemente mecanicecorespunztoare (fore, momente), numite fore de legtur sau reaciuni. Aceste forede legtur produc asupra corpului rigid acelai efect ca i legturile nlocuite; ca urmare,corpul este considerat liberi, n consecin, echilibrul su se studiaz cu ecuaiile stabilitepentru corpul rigid liber.


7/131



CAP. 2.

STATICA PUNCTULUI MATERIAL2.1. Reducerea sistemelor de fore concurente

Reducerea sistemelor de fore concurente este operaia prin care dou sau maimulte fore se nlocuiesc printr-o singur for R , care are acelai efect asupra punctuluimaterial ca i forele iniiale. Determinarea forei R , numit rezultanta sistemului defore, se poate efectua grafic (geometric) sau analitic.

2.1.1. Compunerea forelor concurente pe cale geometric

Se consider punctul material M acionat simultan de forele 1F i 2F . Se cere

reducerea acestor fore, adic compunerea lor (fig. 2.1)Aplicnd principiul paralelogramului (fig.1.1), se obine, conform relaiei (1.1),rezultanta 21 FFR += .

Fig. 2.1: Compunerea a dou fore

Calculul modulului rezultantei se efectueaz aplicnd teorema cosinusului ntriunghiul AMB, obinndu-se:

( ) cosFF2FFcosFF2FFR 212221212221 ++=+= (2.1.)Direcia i sensul rezultantei se determin aplicnd teorema sinusului n acelai

triunghi AMB:

sinR

sin

F

sin

F 21== (2.2)

Dac asupra punctului material M acioneaz mai multe fore concurente 1F , 2F ,...,

nF , pentru determinarea rezultantei se aplic regula poligonului (care provine din aplicareasuccesiv a regulii paralelogramului), exemplificat n fig.2.2.

Pe baza acestei reguli, rezultanta R se obine construind n extremitatea forei 1F

un vector l2F echipolent (paralel, egal i de acelai sens) cu 2F , apoi n extremitatea lui


8/131

6 Cap. 2: Statica punctului material


l2F un vector

lnF echipolent cu iF , continundu-se pn la construirea vectorului

lnF . Unind

originea M a primului vector cu extremitatea ultimului vector echipolent, lnF , construit, seobine rezultanta cutat:

==+++=n

1iin21 FF...FFR (2.3)

Fig. 2.2: Compunerea forelor coplanare

Ca i caz particular se pot considera trei fore concurente n spaiu, 1F , 2F , 3F a

cror rezultant se determin aplicnd regula paralelipipedului, care se obine din regulapoligonului, aa cum este exemplificat n fig.2.3.

Fig. 2.3: Compunerea a trei fore concurente n spaiu

2.1.2. Compunerea forelor concurente pe cale analitic

n vederea compunerii forelor pe cale analitic, se definete mai nti noiunea deproiecie a unui vector pe o ax. Pentru aceasta, se consider axa ( ) de versor u ivectorul FAB = , coplanar cu ea (fig.2.4). Prin punctul A se duce o ax ( ) paralel cuaxa ( ) i se noteaz cu unghiul dintre sensul pozitiv ale forei F i axei ( ) .Proiectnd punctele A i B pe axa ( ) , rezult punctele A1i B1.

Segmentul A1B1 reprezint proiecia vectorului F pe axa ( ) , i se noteaz ( )Fpr Din figura 2.4, se observ c:


9/131



( ) uFcosFBAFpr 11 === (2.4)

Fig. 2.4: Proiecia unei fore pe o ax coplanar cu ea

Dac fora F i axa ( ) nu sunt coplanare (fig. 2. 5), prin punctele A i B se ducdou plane paralele (P) i (P1) iar prin A, axa ( ) paralel cu ( ) . Axele ( ) i ( )intersecteaz

planele paralele n punctele A, A

1,C

i B

1. Dac

se noteaz

cu

unghiul cel

mai mic dintre axa ( ) i fora F , se obine:( ) uFcosFACBAFpr 11 ==== (2.5)

Fig. 2.5: Proiecia unei fore pe o ax oarecare n spaiu

Din relaiile (2.4) i (2.5) rezult c oricare este poziia forei F fa de o ax (),proiecia forei F pe axa () se calculeaz cu relaia:

( ) cosFuFFpr == (2.6)n care [ ] ,0 este unghiul suportului vectorului cu axa.Se remarc faptul c proiecia unui vector pe o ax este o mrime scalar

(algebric), a crui semn se determin n funcie de orientarea vectorului fa de ax: dac[ ]2,0 , proiecia este pozitiv, dac [ ] ,2 proiecia este negativ, iar dac

2 = proiecia este nul.Pentru un sistem de n fore, 1F , 2F ,..., nF , concurente n punctul A, (fig. 2.6),

rezultanta R este:


10/131



n21 F...FFR +++= (2.7)

Fig. 2.6: Rezultanta unui sistem de fore concurente n spaiu

nmulind scalar cu versorul u al axei pe care se efectueaz proiecia, se obine:

uF...uFuFuR n21 +++= (2.8)

Conform relaiei (2.5), rezult:

( ) ( ) ( ) ( )n21 Fpr...FprFprRpr +++= (2.9)Relaia (2.8) reprezint teorema proieciilor, care se enun astfel:

Proiecia rezultantei unui sistem de fore concurente pe o ax este egal cu sumaalgebric a proieciilor forelor componente, pe aceeai ax.

Aplicnd teorema proieciilor unui sistem de n fore concurente, fiecare for fiinddeterminat prin proieciile ei pe axele de coordonate, se obine:

kFjFiFF z1y1x11 ++=

kFjFiFF z2y2x22 ++=

......................................... (2.10)kFjFiFF nznynxn ++=

kRjRiRR zyx ++=

Proieciile rezultantei la care se reduce sistemul de fore dat, se calculeaz curelaiile:

=

=n

1iixx FR ;

=

=n

1iixx FR ;

=

=n

1iixx FR (2.11)

n care :

=

+++=n

1inxx2x1ix F...FFF (2.12)

reprezint suma algebric a proieciilor pe axa x, a tuturor forelor din sistem.

Analog:


11/131



=

=

+++=

+++=

n

1inzz2z1iz

n

1inyy2y1iy

F...FFF

F...FFF

(2.13)

reprezint suma algebric a proieciilor pe axa y, respectiv z, a tuturor forelor din sistem.Modulul rezultantei este:

2z

2y

2x RRRR ++= (2.14)

iar cosinusurile sale directoare (cu care se obin direcia i sensul) sunt:

2z

2y

2x

x

RRR

Rcos

++= ;

2z

2y

2x

y

RRR

Rcos

++= ;

2z

2y

2x

z

RRR

Rcos

++= (2.15)

n plan, suportul rezultantei se definete prin:

x

y

R

Rtg = (2.16)

Cu ajutorul relaiilor (2.10)(2.16), rezultanta este complet determinat prinproieciile sale pe axe.

2.1.3. Descompunerea unei fore dup direcii concurente

Descompunerea unei fore dup direcii concurente date se efectueaz urmnd,analitic sau grafic, operaia invers a compunerii forelor concurente . Soluia este unicnumai n cteva cazuri, pentru care n continuare este prezentat mai nti soluionareagrafic:

a) Descompunerea forei F dup dou direcii coplanare, concurente 1i 2. Seaplic principiul paralelogramului, ducnd prin originea i prin extremitatea forei F,

paralele la cele dou direcii 1i 2 . (fig.2.7); se obin forele, astfel c:

a) b)Fig.2.7: Descompunerea unei fore dup dou direcii a) i dup trei direcii b).

b) Descompunerea dup trei direcii concurente n spaiu: se aplic regulaparalelipipedului, ducnd prin originea i extremitatea forei, plane paralele cu planeledeterminate de direciile date, luate dou cte dou. Forele componente sunt dirijate dupmuchiile paralelipipedului (fig.2.7,b) astfel nct:


12/131



321 FFFF ++= (2.17)

Soluia analitic n cazurile exemplificate, se obine cu teorema proieciilor.

2.2. Echilibrul punctului material

2.2.1. Punctul material liber. Punctul material supus la legturi

Un punct material este liber, dac fa de oricare sistem de referin, poate ocupaorice poziie n spaiu.

Un punct material este supus la legturi, dac punctului material i se impune orestricie geometric, cum ar fi obligaia de a rmne pe o suprafa sau pe o curb.

Poziia unui punct material n spaiu este definit de trei parametri scalariindependeni, spre exemplu, n sistemul cartezian, de coordonatele sale.

Prin definiie, numrul gradelor de libertate, reprezint numrul parametrilor scalarindependeni, necesari pentru a determina la un moment dat pozi ia unui punct materialsau a unui rigid.

Rezult c punctul material liber are trei grade de libertate n spaiu i dou n plan.

Poziia unui punct material obligat s rmn pe o suprafa este determinat dedoi parametri scalari independeni, punctul material pe o suprafa avnd astfel dougrade de libertate, de exemplu coordonatele carteziene xi , yi . Punctul material se poatedeplasa pe suprafa dar nu i pe direcia normal la aceasta (deoarece ar nsemna cpunctul prsete suprafaa, (fig.2.8,a), iar coordonatele sale carteziene trebuie ssatisfac ecuaia suprafeei, f(x,y,z) = 0.

(S), f(x,y,z) = 0 C, f1(x,y,z) = 0; f2(x,y,z) = 0a) b)

Fig. 2.8: Gradele de libertate ale unui punct pe o suprafa a) i pe o curb b.

Un punct material obligat s rmn pe o curb are un singur grad de libertatedeoarece se poate deplasa numai de-a lungul acesteia, (fig.2.8,b). Coordonatelecarteziene ale punctului trebuie s satisfac ecuaiile suprafeelor, f1(x,y,z)=0, f2(x,y,z)=0,

care definesc prin intersecie, curba considerat.Un punct material fix nu are nici un grad de libertate, el neputndu-se deplasa din

cauza restriciilor geometrice impuse de prezena legturilor. n concluzie, introducerearestriciilor geometrice, adic prezena legturilor, reduce numrul gradelor de libertate.

2.2.2. Echilibrul punctului material liber

n problemele de echilibru a punctului material se urmresc dou categorii deprobleme:


13/131



a) se dau forele care acioneaz asupra punctului i se cere poziia de echilibru aacestuia;

b) se d poziia de echilibru a punctului i se cer forele care l acioneaz.Pentru un punct material liber care se afl n repaus sau n micarea rectilinie i

uniform, condiia necesar i suficient ca s rmn n aceeai stare mecanic sub

aciunea unui sistem de fore concurente, adic n echilibru, este ca rezultanta R a acestorfore s fie nul. Exprimarea analitic a acestei condiii este dat de relaia:

0R = (2.18)

respectiv, utiliznd relaia (2.11):

=

=n

1iixx FR ;

=

=n

1iiyy FR ;

=

=n

1iizz FR (2.19)

Rezolvarea sistemului algebric (2.19) conduce la determinarea poziiei de echilibrua punctului material sub aciunea forelor aplicate asupra sa, soluiile sistemuluireprezentnd tocmai parametrii care determin poziia punctului material. Dac soluiilesistemului depind, la rndul lor, de unul sau doi parametri, rezult c exist o infinitate de

poziii de echilibru care determin o curb, respectiv o suprafa.Din punct de vedere grafic, condiia de echilibru impune condiia ca poligonulforelor s se nchid.

2.2.3. Echilibrul punctului material supus la legturi

2.2.3.1. Noiuni generale. Clasificarea legturilor

Orice legtur impus unui punct material, anuleaz unul sau mai multe grade delibertate ale acestuia. Fora cu care legtura acioneaz asupra punctului materialmpiedicnd deplasarea lui ntr-o direcie, se numete for de legtur sau reaciune alegturii. Direcia forei de legtur coincide ntotdeauna cu direcia dup care punctulmaterial este mpiedicat s se deplaseze i este egal i de sens contrar cu aciunea

punctului asupra legturii.Conform celor prezentate, rezult c n cazul punctului material supus la legturi,asupra sa acioneaz dou categorii de fore:

a) fore direct aplicate, notate dR ;

b) fore de legtur, notatel

R

Legturile la care este supus punctul material, se pot clasifica astfel:

1. Dup natura lor fizic, legturile la care este supus un punct material pot fi:a) legturi ideale (lucii) - la care fora de frecare, fiind de valoare mic, se poate

neglija;b) legturi reale (aspre) - cnd se ine seama de fora de frecare.

2. Dupcaracterul lor geometric, legturile pot fi clasificate n:a) legturi unilaterale: cnd punctul material nu poate prsi legtura ntr-unul din

sensurile direciei normale la legtur.Exemple: un punct material de mas m, suspendat de un fir flexibil i inextensibil de

lungime l (fig. 2.9,a); un punct material de mas m care se poate mica n interiorul uneisfere de raz R (fig. 2.9,b); o bil pe o suprafa plan (fig. 2.9,c).


14/131



2222 zyx l++ 2222 Rzyx ++ a) b) c)

Fig. 2.9: Exemple de legturi unilaterale

b) legturi bilaterale: cnd punctul material nu poate prsi legtura n nici unuldin sensurile direciei normalei la legtur.

Exemple: o bil ntre dou suprafee (S), (S) plane i paralele, distana dintre elefiind egal cu diametrul bilei, (fig. 2.10,a); o bil ntr-un tub de acelai diametru (fig.

2.10,b); un inel metalic pe o bar (fig. 2.10,c).

a) b) c)Fig. 2.10: Exemple de legturi bilaterale

n legturile exemplificate n fig. 2.10, exprimate prin relaiile f(x,y,z) =0 (fig. 2.10,a)respectiv f1(x,y,z) =0; f2(x,y,z) =0 (fig. 2.10,b, c), bila i inelul in locul punctului material, iartubul ori bara, in locul curbei pe care punctul material nu are voie s o prseasc.

Studiul echilibrului punctului material supus la legturi se efectueaz reducndacest caz la studiul echilibrului punctului material liber, prin admiterea axiomei legturilor(sau axioma eliberrii): Orice legtur poate fi suprimat (ndeprtat) i nlocuit cuo for(reaciune) care are asupra punctului material acelai efect ca i legtura.

Astfel, relaia (2.18) care exprim condiia de echilibru a punctului material liber,devine:

0RRd =+ l (2.20)

unde: - dR reprezint rezultanta sistemului de fore direct aplicate;-l

R este rezultanta sistemului forelor de legtur ce acioneaz asupra

punctului.Problema echilibrului punctului material supus la legturi presupune studiul

urmtoarelor aspecte:a) stabilirea poziiei de echilibru a punctului ;b) determinarea forelor de legtur.Se vor analiza n continuare, echilibrul punctului material obligat s rmn mai


15/131



nti pe o suprafa, apoi pe o curb, urmate de studiul legturilor realizate prin fire.

2.2.3.2. Echilibrul punctului material obligat s rmn pe o suprafa

Studiul echilibrul punctului material constrns prin prezena legturilor s rmnpe o suprafa, const n determinarea poziiei sale de echilibru i a forelor de legtur.

Pentru aceasta, se consider c pe suprafaa (S) dat, poziia de echilibru apunctului material este cea notat M n fig.2.11. Pentru aceast poziie a punctului M,direcia normalei la suprafaa (S) este notat (n), iar planul tangent suprafeei, (T).

n situaia prezentat, asupra punctului material M acioneaz :- rezultanta dR a sistemului de fore direct aplicate;

- rezultantal

R a sistemului forelor de legtur.

Direcia normalei (n) mpreun cu cea a rezultantei dR determin un plan, care se

intersecteaz cu planul tangent (T) dup dreapta notat () n fig. 2.11.

Fig.2.11: Componentele forelor aplicate i de legtur pe o suprafa

Rezultantele dR i lR se descompun dup direcia normalei (n) i a axei (),

obinndu-se:

tdnddRRR += ; fFNR +=l (2.21)

n care:

componenta ndR are tendina de a deplasa punctul material de pe suprafaa (S),

efectul ei fiind anulat de componenta N a rezultantei forelor de legtur, deoarece acestefore sunt egale i de sens contrar.

componentatd

R care caut s deplaseze punctul material M pe direcia dreptei

(). Aceast deplasare nu este ntotdeauna posibil, fiind mpiedicat de existena uneifore egale i de sens contrar, notat fF i numitfor de frecare. n modul, aceast fornu depete o anumit valoare maxim, astfel c:


16/131



maxffFF0 (2.22)

Din cele expuse mai sus, rezult c ecuaiile generale ale condiiei de echilibru apunctului material supus la legturi sunt :

a) pe o suprafa aspr:

=++

maxff

fd

FF0

0FNR(2.23)

b) pe o suprafa ideal:

0NRd =+ (2.24)

a) Condiia de echilibru (2.23) coninnd i o inegalitate, rezult c exist undomeniu de echilibru a punctului material pe o suprafa aspr.

Conform legilor frecrii uscate din teoria lui Coulomb fora de frecare fF areurmtoarele caracteristici:

- direcia este tangenial la suprafaa de contact;- sensul ei este contrar tendinei de alunecare;- valoarea sa maxim depinde doar de natura i starea suprafeei precum i de

mrimea reaciunii normale la suprafaa de contact i nu depinde de mrimea suprafeeide contact. Astfel:

NF 0maxf= (2.25)

unde 0 este coeficientul adimensional de frecare la aderen (sau de contact)dintre punct i suprafa, reprezentnd totodati valoarea maxim, max , a coeficientuluide frecare de alunecare.

Problema echilibrului punctului material cu frecare se poate interpreta sub aspect

geometric, dup cum urmeaz:Considernd punctul material M rezemat pe suprafaa (S) i, schimbnd direciacomponentei

tdR (fig. 2.11) n planul tangent, reaciunea

lR respectiv rezultanta dR vor

descrie un con, numit con de frecare, (fig. 2.12).

Fig. 2.12: Reprezentarea conului de frecare


17/131



Acest con are vrful n punctul M considerat, axa de simetrie este normala (n) la

suprafai unghiul la vrf 2. Unghiul se determin din relaia:

maxmaxf

N

Ftg == (2.26)

Punctul material se gsete n echilibru atunci cnd reaciuneal

Rrespectiv

rezultanta, se afl n interiorul conului de frecare sau, la limit, pe mantaua acestuia.b) n cazul legturii punctului material pe o suprafa ideal, fora de frecare se

poate neglija ( 0Ff ). Rezult c pentru echilibrul punctului material este necesar ca i

componentatd

R din planul tangent s fie nuli, n aceast situaie, rezultanta forelor

exterioare dR are aceeai direcie cu reaciunea normal N , (fig.2.13).

Fig. 2.13: Echilibrul pe o suprafa ideal

2.2.3.3. Echilibrul punctului material obligat s rmn pe o curb

Studiul echilibrul punctului material constrns prin prezena legturilor s rmnpe o curb, const, ca i n cazul precedent expus, n determinarea poziiei sale deechilibru i a forelor de legtur.

Pentru aceasta, se consider c pe curba (C) dat ca intersecie a dou suprafee(S1), (S2), poziia de echilibru a punctului material este cea notat M n fig. 2.14. Pentruaceast poziie a punctului M, direcia tangentei la curba (C) este notat (T), iar planul

normal la curb, (n). Suportul rezultantei tdR i tangenta (T) determin un plan, care seintersecteaz cu planul normal (n) dup dreapta ().


18/131



Fig.2.14: Componentele forelor aplicate i de legtur, pentru punctual situat pe o curb

Descompunnd rezultanta dR a forelor direct aplicate, dup direciile (T) i (), se

obine:

tdnddRRR += (2.27)

componentand

Ravnd tendina de a desprinde punctul material din legtur. Conform

axiomei legturilor, rezult c asupra punctului material va aciona o for de legtur careechilibreaz componenta, adic:

0NRnd

=+ (2.28)

Totodat, deoarece planul normal la curb conine normalele la cele dou suprafee(prin a cror intersecie s-a definit curba C), se poate scrie :

21 NNN += (2.29)

i astfel relaia (2.28) devine :

0NNR 21nd =++ (2.30)

Componentatd

R care tinde s deplaseze punctul material M pe direcia tangentei la

curb. Aceast deplasare nu este ntotdeauna posibil, ea fiind mpiedicat de o foregali de sens contrar, notat fF i numitfor de frecare, astfel c:

0FR ftd =+ (2.31)

iar relaia (2.22), referitoare la mrimea forei de frecare este ndepliniti n acestcaz. Rezultanta forelor de legtur devine:

f21f FNNFNR ++=+=l (2.32)

Rezult c ecuaiile generale ale condiiei de echilibru a punctului material supus lalegturi sunt:


19/131



a) pe o curb neideal (aspr) n spaiu:

=+++

maxff

f21d

FF0

0FNNR(2.33)

b) pe o curb ideal:0NNR 21d =++ (2.34)

i n cazul legturii punctului material pe o curb, problema admite soluionaregeometric, considerndu-se conul complementar de frecare, construit n jurul tangentei lacurb n punctul M (fig.2.15).

Fig.2.15: Conul de frecare al punctului situat pe o curb

Urmnd un raionament analog celui prezentat n paragraful anterior, rezult c unpunct material M obligat s rmn pe o curb aspr sub aciunea unui sistem de fore, vafi n echilibru, dac rezultanta a sistemului de fore cade n exteriorul conuluicomplementar de frecare sau, la limit, pe mantaua acestuia.


20/131



2.2.3.4. Echilibrul punctului material supus la legturi materializate prin fire

Un punct material poate fi obligat s rmn pe o suprafa definit din punct devedere geometric, chiar dac respectiva suprafa nu este materializat. O astfel delegtur este cea exemplificat n fig. 2.16, n care punctul A este legat de suprafaa

sferic de centru O i raz l , fie cu o bar rigid (deci prin legtur bilateral), fie cu un firflexibil i inextensibil (prin legtur unilateral), avnd lungimea l .

Fig.2.16: Punctul material legat prin fire

Dac legtura este realizat prin fir, pentru ca punctul material s se gseasc tottimpul pe legtur, condiia este aceea ca firul s fie ntins. Rezult c legtura (firul) seva opune doar tendinei de deplasare a punctului material n direcia firului ntins, decifora de legtur este dirijat de-a lungul firului, avnd sensul de la punctul materialA spre legtura fixO.

Fora de legtur, notat T , se numete efort din fir.n cazul prezentat, axioma legturilor arat c fora T nlocuiete firul, iar

punctul material poate fi considerat liber.

Dac un punct material este legat prin dou sau mai multe fire, se poate suprimafiecare fir cu condiia nlocuirii sale cu fora de legtur corespunztoare, dirijat pedirecia firului respectiv i avnd sensul ales n aa fel, nct firul s fie ntins.


21/131



CAP. 3.

STATICA RIGIDULUI3.1 Reducerea sistemelor de fore ce acioneaz asupra unui rigid

3.1.1 Proprietile forelor aplicate corpului rigid

n cazul corpurilor rigide (nedeformabile), se poate dovedi experimentalvalabilitatea urmtoarelor propoziii:

a) Dou fore egale i opuse F i F , avnd acelai suport AB, care sunt aplicateunui corp rigid C n punctele A i B, formeaz un sistem de fore n echilibru. (fig.3.1, a).

Fig. 3.1

Forele aplicate n punctele A i B caut s deformeze corpul C (n cazul din fig.3.1, a, s-l alungeasc). Producerea acestei deformri ar presupune ca distana dintrepunctele A i B s se modifice. Distana AB rmne ns constantdeoarece corpuleste rigid, rezultnd astfel c efectul celor dou fore este nul, respectiv c ele constituieun sistem de fore n echilibru.

b) Oricrui sistem de fore dat ce acioneaz asupra unui corp rigid, i se poateaduga un alt sistem de dou fore egale i opuse, F i F , situate pe acelaisuport, fr ca efectul asupra rigidului s se modifice.

Deoarece sistemul de dou fore egale i opuse F i F situate pe acelai suport,aplicate n B i Bconstituie, conform propoziiei a) enunate anterior, un sistem de fore nechilibru, rezult c operaia efectuat n fig. 3.1, b nu are nici un efect asupra rigidului C.

c) Orice for care acioneaz asupra unui corp rigid, are caracter de vectoralunector, putnd s-i schimbe punctul de aplicaie pe suportul ei, fr ca efectulasupra rigidului s se modifice.

Pentru a demonstra valabilitatea acestei propoziii, se studiaz un corp rigid C, (fig.3.2, a), asupra cruia acioneaz n punctul A o for F . Efectul produs de for asupracorpului, este acela de a-l deplasa de-a lungul suportului forei, n sensul ei de acionare.n punctul B, situat pe suportul forei F , se introduc dou fore egale i opuse F i F ,

adic un sistem echivalent nul, care nu are nici un efect mecanic asupra corpului.(fig. 3.2,b). Deoarece corpul C este nedeformabil, distana dintre punctele A i B rmne


22/131

20 Cap. 3: Statica Rigidului


constant, iar efectul forei F din A se anuleaz prin efectul forei F din B, astfel nctasupra corpului i va manifesta efectul doar fora F rmas n punctul B, (fig. 3.2, c).

Fig. 3.2

Se poate afirma deci, c o fora care acioneaz asupra unui corp rigid arecaracter de vector alunector, deoarece poate s-i schimbe punctul de aplicaie pesuportul ei, fr ca efectul asupra rigidului s se modifice.

3.1.2 Momentul forei n raport cu un punct i n raport cu o ax

Noiunea de moment al forei ce acioneaz asupra unui rigid, a fost introdus attdin necesitatea de a determina efectul forei respective asupra corpului rigid, ct i pentrua defini complet fora care, fiind un vector alunector, nu poate fi definit doar prinproieciile ei.

3.1.2.1 Momentul forei n raport cu un punct

Se consider o for F aplicat unui rigid C, n punctul A, fig.3.3.Prin definiie, momentul forei F n raport cu un punct O, este:

FOA)F(M0 = (3.1)

Dac punctul O se ia n originea axelor de coordonate, se poate scrie:

Fr)F(M0 = (3.1)

Fig. 3.3


23/131



Momentul unei fore n raport cu un punct este o mrime vectorial, ce are: punctul de aplicaie n O, punct n raport cu care s-a calculat momentul forei; modulul, calculat cu relaia:

dF)F,rsin(Fr)F(M0 == (3.2)unde d este braul forei i reprezint distana de la punctul O la direcia forei;

direcia, perpendicular pe planul determinat de direcia forei i punctul respectiv,O.

sensul, dat de regula urubului (sau burghiului drept) i anume:sensul de naintare al unui urub drept, aezat n punctul O, (fig3.4)perpendicular pe planul determinat de acest punct i direcia forei F .

Fig. 3.4

Expresia analitic a momentului unei fore n raport cu un punct, se deduce prindetalierea relaiei de definiie (3.1), innd seama c punctul A de aplicaie al forei arecoordonatele carteziene x,y,z, iar fora F are proieciile pe axe Fx = X, Fy = Y, Fz = Z:

k)yXxY(j)xZzX(i)zYyZ(

ZYX

zyx

kji

Fr)F(M0 ++=== (3.3)

unde:

)zYyZ(MxO

= ; )xZzX(MyO

= ; )yXxY(MzO

= (3.4)

reprezint proieciile pe axele sistemului de coordonate ale vectorului moment 0M .Cuajutorul lor se poate determina modulul (mrimea) vectorului moment:

2Oz

2yO

2OxO MMMM ++= (3.5)

i unghiurile pe care vectorul moment le face cu axele sistemului de coordonate:


24/131



O

xOxO M

M)i,Mcos( = ;

O

OyO

M

M)j,Mcos( = ;

O

zOO M

M)k,Mcos( = (3.6)

n concluzie, momentul unei fore n raport cu un punct exprim capacitateafor

ei de roti un rigid n jurul unei drepte care trece prin punct

i este perpendicular

pe planul determinat de direcia forei i punctul respectiv.Unitatea de msur n S.I a momentului forei n raport cu un punct este:

mN)F(M .I.SO = (3.7)

Momentului forei n raport cu punct are urmtoarele proprieti:a) Momentul unei fore n raport cu un punct este nul dac:

punctul n raport cu care se calculeaz momentul forei, aparine direciei foreirespective;

fora este un vector coliniar cu vectorul de poziie r ; fora este nul.

b) Momentul unei fore n raport cu un punct nu se modific dac fora se deplasea-z pe direcia ei.

c) Momentul unei fore n raport cu un punct fiind un vector legat, se modific atuncicnd se schimb poziia punctului n raport cu care se calculeaz momentul.

3.1.2.2 Momentul forei n raport cu o ax

Se consider o for F care acioneaz asupra unui rigid C n punctul A i o ax ()avnd versorul u , (fig. 3.5).

Prin definiie, momentul forei F n raport cu axa (), reprezint proiecia peaxa () a momentului forei n raport cu un punct oarecare O de pe ax, adic este:

u)Fr(u)F(McosM)F(M O1O === (3.8)

Fig. 3.5

Momentul unei fore n raport cu o ax, fiind exprimat printr-un produs mixt, esteo mrime scalar, ce are urmtoarele proprieti:

Momentul unei fore n raport cu o ax este nul atunci cnd fora i axa sunt copla-nare (n particular, concurente ori confundate);

Momentul unei fore n raport cu o ax nu se schimb atunci cnd fora se


25/131



deplaseaz n lungul suportului ei; Dou fore egale i de sens contrar, situate pe acelai suport, au n raport cu ax

momente egale n valoare absolut, dar de semne contrare.Expresiile analitice ale momentului unei fore n raport cu axele Ox, Oy, Oz, se

deduc din relaia de definiie (3.8):i)FOA()F(M

xO= ; j)FOA()F(M

yO= ; k)FOA()F(M

zO= (3.9)

De asemenea, innd seama de relaiile (3.3) i (3.4), se poate scrie:

)YzZy()F(MxO

= ; )ZxXz()F(MyO

= ; )XyYx()F(MzO

= (3.10)

n care: x,y,z sunt coordonatele carteziene ale punctului A de aplicaie al forei, iar,XFx = , YFy = , ZFz = , proieciile pe axe ale forei F .

3.1.3 Teorema momentelor (Teorema lui Varignon )

Se consider forele 1F , 2F , , iF , nF concurente n A, a cror rezultant esteR, (fig.3.6), adic:

n21 F........FFR +++= (3.11)

Fig. 3.6

Momentul acestor fore n raport cu punctul O se obine nmulind vectorial cu rrelaia (3.11):

n21 Fr.....FrFrRr ++++= 3.12)

adic, innd seama de relaia (3.1), de definiie a momentului unei fore n raport cu unpunct, rezult:

)F(M).....F(M)F(M)R(M nO2O1OO ++= (3.13)

Momentul acelorai fore n raport cu axa () ce trece prin punctul O, se calculeaz

nmulind scalar relaia (3.12) cu versorul u i se obine:


26/131



)F(M...)F(M)F(M)R(M

sau

u)Fr(.....u)Fr(u)Fr(u)Rr(

n21

n21

+++=

+++=

(3.14)

Relaiile (3.13) i (3.14) reprezintteorema momentelor (teorema lui Varignon),care se enun astfel:

Momentul rezultantei unui sistem de fore, n raport cu un punct, este egal cusuma vectorial a momentelor forelor componente, calculate n raport cuacelai punct (relaia 3.13).

Momentul rezultantei unui sistem de fore, n raport cu o ax, este egal cusuma algebric a momentelor forelor componente, calculate fa de aceeaiax (relaia 3.14).

3.1.4 Cupluri de fore. Reducerea cuplurilor

Prin definiie un cuplu de fore este un sistem alctuit din dou fore de moduleegale i de sensuri contrare, situate pe suporturi paralele (fig.3.7).

Fig. 3.7

Un cuplu aplicat unui corp rigid, caut s-l roteasc n jurul unei axe perpendicularepe planul determinat de suporturile celor dou fore. Principalele proprieti caracteristiceunui cuplu de fore sunt:

Proiecia unui cuplu pe orice ax este nul. Aceast proprietate se demonstreazconsidernd o ax oarecare () de versor u , caz n care se poate scrie:

0u)F(uF)F,F(pr =+= (3.15)

Rezultanta forelor unui cuplu este egal cu zero:

0)F(FR =+= (3.16)

Momentul unui cuplu este un vector liber, egal cu suma momentelor forelor ce


27/131



alctuiesc cuplul, n raport cu oricare punct O din spaiu. Pentru a demonstraaceast proprietate, se consider cuplul ( F ; F ) care acioneaz n planul (P) i secalculeaz momentul n raport cu un punct O, oarecare n spaiu, (fig.3.7):

FABF)OAOB()F(OAFOBMO ==+= (3.17)Aa cum rezulti din relaia (3.17), momentul unui cuplu se poate calcula i ca

moment al uneia dintre forele cuplului, n raport cu punctul de aplicaie al celeilalte fore.Deoarece n relaia (3.17) OM nu depinde de punctul fa de care a fost calculat, rezultc momentul cuplului este un vector liber.

Vectorul moment al cuplului este perpendicular pe planul (P) definit de direciileforelor cuplului, are sensul stabilit cu regula urubului drept, iar modulul su este:

dFMO = (3.18)

unde d reprezint distana dintre suporturile forelor, numit braul cuplului.Din cele prezentate, mai rezulti urmtoarele proprieti ale cuplurilor:1. Un cuplu poate fi rotit i deplasat n planul su fr ca efectul asupra corpului s se

schimbe.2. Un cuplu de fore (F ; F ) i bra d poate fi nlocuit cu un alt cuplu ( 1F ; 1F ) de bra

d1, cu condiia ca:

11 d

dFF = sau

11 F

Fdd = (3.18)

3. Un cuplu poate fi deplasat din planul su, ntr-un plan paralel, fr ca efectul su

asupra corpului s se modifice, deoarece momentele celor dou cupluri sunt vectoriliberi i egali.

Reducerea cuplurilor este operaia prin care dou sau mai multe cupluri senlocuiesc printr-un singur cuplu, care are asupra corpului rigid acelai efect, rezolvareaproblemei constnd astfel, n determinarea unui cuplu echivalent cuplurilor iniiale.

Dou cupluri se numesc echivalente dac au asupra unui rigid acelai efect, adicau acelai moment. n cele ce urmeaz se va trata problema determinrii cuplurilorechivalente pentru cazurile:

a) cupluri coplanare;b) cupluri oarecare n spaiu.

a) Se consider corpul (C) asupra cruia acioneaz un sistem de cupluricoplanare, situate n planul (P), (fig.3.8)

Momentele cuplurilor fiind un vectori liberi, se pot reprezenta ntr-un punct oarecareO, ce aparine planului (P).


28/131



Fig.3.8

n punctul O se va obine un sistem de vectori moment concureni, dirijai dup

normala la plan. Momentul rezultant va avea aceeai direcie, iar modulul sa va fi egal cusuma algebric a momentelor cuplurilor componente, adic:

=

=n

1iiMM (3.20)

Rezult c un sistem de cupluri coplanare este echivalent cu un singur cuplu alcrui moment are modulul egal cu suma algebric a momentelor cuplurilor componente.

b) Se consider corpul (C) asupra cruia acioneaz un sistem de cupluri n spaiu,( ii F,F ), i = 1, , n, (fig.3.9). Momentele cuplurilor fiind un vectori liberi, se pot reprezenta

ntr-un punct oarecare O.

Fig. 3.9

n punctul O se va obine un sistem de vectori moment concureni care se potreduce la un moment rezultant, egal cu suma vectorial a momentelor cuplurilorcomponente, adic:


29/131



+

=n

1i

iMM (3.21)

Rezult c un sistem de cupluri n spaiu este echivalent cu un singur cuplu al crui

moment este egal cu suma vectorial a momentelor cuplurilor componente.

3.1.5 Reducerea sistemelor de fore oarecare

3.1.5.1 Reducerea unei fore aplicat ntr-un punct al unui rigid. Torsor de reducere

Se consider un corp rigid (C) acionat n punctul A de o for F (fig.3.10, a).Prin operaia de reducere a forei F ntr-un punct O al rigidului, se nelege

determinarea elementelor mecanice echivalente cu aceast for, aplicate n punctul dereducere.

Conform operaiilor elementare de echivalen, n punctul O se poate introduce

sistemul de fore (F ; F ) (fig.3.10, b), acesta fiind un sistem echivalent nul.

Fig. 3.10

Fora F din A i F din O, fiind egale, de sens contrar i situate pe suporturiparalele, formeaz un cuplu al crui moment este:

FrM AO = (3.22)

Rezult c n urma efecturii operaiei de reducere, asupra corpului (C) acioneazfora F i momentul OM avnd punctul de aplicaie n O, n raport cu care s-a fcut

reducerea. Ansamblul acestor dou elemente mecanice, fora F i momentul OM ,

alctuiesc torsorul de reducere n O al forei F aplicat n Ai se noteaz simbolic:

)M,F()F( OO = (3.23)Torsorul de reducere n raport cu punctul O, exprim efectul mecanic exercitat de

fora F din A , fiind exprimat sub forma:


30/131



= FrM

F

AO

O (3.24)Dac

reducerea se efectueaz

n raport cu un alt punct, O

, (fig.3.11), se ob

ine

torsorul de reducere:

===

FOOMF)OOOA(FAOM

F

OOO (3.25)

Fig. 3.11

n relaia (3.25) se remarc faptul c torsorul de reducere i modific momentul n

raport cu poziia punctului n care se efectueaz reducerea.

3.1.5.2 Reducerea unui sistem de fore aplicat unui rigid. Torsor de reducere alsistemului de fore. Invariani ai torsorului de reducere

Se consider corpul rigid (C) acionat n punctele A1, A2, Ai, An, de forele(fig.3.12, a). Se cere calcularea efectului mecanic produs n punctul O, de aciuneasimultan a forelor din sistemul dat.

Rezolvarea problemei, (fig.3.12, b), const n reducerea n punctul O, succesiv, atuturor forelor sistemului, aa cum s-a prezentat n paragraful anterior. n punctul O seobin dou sisteme de vectori concureni, (fig.3.12, b):

- forele 1F , 2F , , iF , , nF echipolente cu forele aplicate n punctele Ai;- momentele 1M , 2M , , iM , , nM , avnd expresiile:

111 FrM = ; 222 FrM = ;..; nnn FrM = (3.26)

nsumnd vectorii concureni din fiecare sistem, se obin elementele torsorului dereducere n O, (fig.3.12, c), a sistemului de fore dat: fora rezultant R i momentul

OM adic:


31/131



==+++=

=+++=

==

=n

1i

ii

n

1i

in21O

n

1i

in21

O

)Fr(MM...MMM

FF.....FFR (3.27)

a) b) c)Fig. 3.12

Dac reducerea sistemului de fore dat se efectueaz n alt punct, O,(fig.3.13, a),procednd n mod analog se obine torsorul de reducere aferent, reprezentat n fig.3.13, b.

==+++=

=+++=

==

= n

1i

ii

n

1i

in21O

n

1i

in21

O

)Fr(MM...MMM

FF.....FFR (3.28)

a) b)

Fig. 3.13

Momentul fa de punctul Ose calculeaz cu relaia:

ROOMM OO = (3.29)

astfel c torsorul de reducere n punctul O, n funcie de elementele torsorului de reducere

n punctul O este:


32/131



=

=

=

ROOMM

FR

OO

n

1i

iO (3.30)

Din relaiile (3.27), (3.30) se deduce c n raport cu puncte diferite de reducere,rezultanta rmne aceeai, adic rezultanta este un invariant al operaiei de reducere alunui sistem de fore ntr-un punct, dar momentul rezultant se modific odat cuschimbarea punctului de reducere.

Dac se nmulete scalar cu R relaia (3.30), se obine:

)ROO(RMRMR OO = (3.31)

Deoarece produsul mixt, avnd doi dintre termeni coliniari, este nul, rezult c:

.constMRMRMR

.constMRMR

OZzOyyOXx

OO

=++

== (3.32)

Exprimnd analitic vectorii din relaia (3.32), adic: kRjRiRR zyx ++= ;

kMjMiMM OzOyOxO ++= , rezult:

.constMRMRMR OZzOyyOXx =++ (3.33)

care se numete trinom invariant, aceast mrime fiind al doilea invariant al operaieide reducere n raport cu puncte diferite ale unui sistem de fore. mprind cu R relaia(3.32), se obine:

.constMcosMcosM ROO === (3.34)sau, innd seama c MR reprezint proiecia momentului pe direcia rezultantei, adic:

2z

2y

2x

ozzoyyoxxOORR

RRR

MRMRMR

R

RM

R

RMuMM

++

++=

=== (3.35)

ceea ce nseamn cproiecia momentului pe direcia rezultantei este tot un invariantal operaiei de reducere, aceast mrime fiind obinut ca raport ntre dou mrimiinvariante ( trinomul invariant i modulul rezultantei).

Comparnd ns relaiile (3.33) i (3.35), se deduce c trinomul invariant i proiecia

momentului pe direcia rezultantei nu reprezint dou mrimi invariante independente.Rezult c la reducerea ntr-un punct al unui sistem de fore, existdoi invariani:R i OMR (sau MR).

3.1.5.3 Torsor minimal. Axa central

Efectund reducerea sistemului de fore n diferite puncte ale rigidului, se constatc torsorul de reducere este diferit doar datorit modificrii momentului, rezultanta fiindmrime invariant.

Dac momentul rezultant OM se descompune dup direcia rezultantei i o direcie

perpendicular pe aceasta, se obin componentele RM i NM , (fig. 3.14, a). Cumcomponenta MR este o mrime invariant, rezult c variaia momentului se datoreaz


33/131



doar mrimii MN care, n funcie de poziia punctului de reducere, poate lua orice valoare,cea mai mic dintre ele fiind cea nul. n aceast situaie, direcia momentului OM va

coincide cu direcia rezultantei R i, totodat, momentul OM va avea valoarea cea mai

mic posibil numindu-se, de aceea, moment minimal (fig.3.14, b).

Fig. 3.14

Torsorul de reducere obinut n acest caz, alctuit din rezultanta R i momentulminim minOM min sau minM coliniar cu rezultanta, se numete torsor minimal i senoteaz:

=

= Rminmin

i

minuMM

FR (3.36)

Locul geometric al punctelor n raport cu care sistemul de fore se reduce la untorsor minimal este o dreapt care se numete ax central.Pentru determinarea ecuaiei axei centrale, sistemul de fore din fig.3.15 se reduce

n punctul O la torsorul de reducere )M,R( Oo , respectiv ntr-un punct P, presupus caaparinnd axei centrale, la torsorul minimal )M,R( minmin

Fig.3.15

Conform relaiei (3.30), momentul torsorului minimal, PM , este:


34/131



zyx

OzOyOxOP

RRR

zyx

kji

zMjMiMRxOPMM ++== (3.37)

Din condiia de coliniaritate a vectorilor R i PM , adic: PMR = , rezult:

++=++

zyx

OzOyOxZYX

RRR

zyx

kji

zMjMiMkRjRiR (3.38)

respectiv:

[ ][ ])yRxR(MR)xRzR(MR

)zRyR(MR

xyOzz

zXOyy

yzOxx

=

=

=

(3.38)

sau:

z

xyOz

y

ZXOy

x

yzOx

R

)yRxR(M

R

)xRzR(M

R

)zRyR(M =

=

(3.39)

Cele trei rapoarte din relaia (3.39), luate dou cte dou, reprezint ecuaiile adou plane intersectate dupaxa central.

3.1.6 Sisteme echivalente. Cazuri de reducere ale unui sistem de foreoarecare.

Prin efectuarea operaia de reducere a unui sistem de fore oarecare ntr-un punctO se obine torsorul de reducere; acestuia, i se poate asocia un sistem mai simplu dectsistemul iniial i care, avnd n orice punct acelai torsor cu sistemul dat, se numetesistem echivalent.

Se pot distinge urmtoarele cazuri de reducere:

Cazul I: 0R = , 0MO =

Deoarece torsorul de reducere este nul, sistemul de fore se numete echivalent

cu zero, fiind echivalent totodat cu orice sistem de fore ce are torsorul nul. Foreleacestui sistem sunt n echilibru iar un corp rigid acionat de un astfel de sistem se afl deasemenea n echilibru.

Cazul II: 0R = , 0MO

Torsorul de reducere este alctuit doar din momentul MO (fig.3.16, a), rezultantafiind nul. Sistemul de fore ce are fa de un punct O un astfel de torsor de reducere, esteechivalent cu orice cuplu al crui moment coincide cu OM i care acioneaz ntr-un plan

(P), perpendicular pe momentul OM (fig.3.16, b).


35/131


36/131



b) 0MR O ,

adic cei doi vectori fac ntre ei un unghi2

, (fig.3.18, a)Sistemul de fore poate fi nlocuit cu torsorul minimal (fiind echivalent cu acesta),

aplicat pe axa central, (fig.3.18, b): o forR i un cuplu alctuit din forele F i F careacioneaz n planul (P) normal pe axa central, astfel ales nct momentul acestui cuplus fie egal cu M min. Din condiia de egalitate a momentelor rezult distana d:

F

Md

min= (3.41)

Fig.3.18

3.1.7 Reducerea sistemelor de fore particulare

3.1.7.1 Reducerea sistemelor de fore cu direciile concurente

Se d corpul (C) asupra cruia acioneaz sistemul de fore ce au direciileconcurente ntr-un punct oarecare O, ce poate fi ales i ca punct de reducere (fig.3.19).

Elementele torsorului de reducere n O sunt rezultanta = iFR i momentul

= iiO FrM , astfel c torsorul coincide cu torsorul minimal ( mino ) i deci, axacentral reprezinti direcia (suportul) rezultantei.

Fig.3.19


37/131



Dac reducerea se efectueaz ntr-un alt punct, O1, se obine torsorul format dinrezultanta R i momentul ROOM 11O = , perpendiculare ntre ele.

Din condiia general de perpendicularitate a elementelor torsorului, 0MR O = ,rezult

urm

toarele dou

cazuri posibile:

Cazul I: 0R = , 0MO = , caz n care sistemul de fore este n echilibru.

Cazul III: 0R , 0MO = , cnd sistemul se reduce la o rezultant unic, situat peaxa central.

3.1.7.2 Reducerea sistemelor de fore cu direciile coplanare

Se consider un corp rigid (C) asupra cruia acioneaz n punctele Ai (i=1,2, n)sistemul de fore coplanare ( iF ) i= 1, 2, ..., n (fig. 3. 20).

Planul n care acioneaz forele se alege ca plan Oxy. n aceast situaie,

rezultanta sistemului se obine din cazul general (3. 33), considernd:0z = ; 0RZ = (3.42)

se observ c:

0MM OYOX == (3.42)

Fig. 3.20

Deoarece:

kMM

jRiRR

OzO

yX

=

+= (3.43)

rezult c trinomul invariant este nul: 0MRMRMRMR OzzOyYOxxO =++= .

Fiindc momentul rezultant OM este perpendicular pe planul n care acioneazforele, un sistem de fore coplanare nu poate fi niciodat echivalent cu un torsor minimalcomplet (cnd momentul i rezultanta ar trebui s fie coliniare).

Rezultanta este situat pe axa central a crei ecuaie se obine din relaia (3.39),innd seama de relaiile (3.43):


38/131



0

)yRxR(M

R

0

R

0 xyOz

yx

== (3.44)

de unde, ecuaia direciei rezultantei este:

Ozxy MyRxR = (3.44)

Pentru sistemele de fore cu direciile coplanare rezult urmtoarele trei cazuriposibile de reducere:

Cazul I: 0R = , 0MO = , caz n care sistemul de fore este n echilibru.

Cazul II: 0R = , 0MO , n care sistemul de fore dat se reduce la un cuplucoplanar cu sistemul iniial i caracterizat prin momentul OM ce are direcia perpendicularpe planul comun sistemului de fore.

Cazul III: 0R , 0MO = , caz n care torsorul de reducere este format numai dinrezultant, situat pe axa central ce trece prin punctul de reducere.

Cazul IV: 0R , 0MO , cnd sistemul se poate reduce la un torsor format numaidintr-o rezultant situat pe axa central, iar aceasta nu trece prin punctul de reducere.

3.1.7.3 Reducerea sistemelor de fore cu direciile paralele. Axa central. Centrulforelor paralele.

a) Reducerea sistemelor de fore cu direcii paralele

Se consider un corp rigid (C) asupra cruia acioneaz n punctele Ai (i=1,2, n)sistemul de fore ( iF ) i= 1, 2, ..., n, ale cror direcii sunt paralele cu o direcie comun deversoru , (fig.3.21).

Fig. 3.21

n consecin, fiecare for a sistemului poate fi scris n funcie de versorul u ,subforma:


39/131



uFF ii = (i=1,2,....n) (3.45)

unde iF este o mrime algebric, pozitiv cnd fora este orientat n acelai sens cu u inegativ, cnd este orientat n sens contrar.

Efectund reducerea sistemului n raport cu punctul O, se obine torsorul:

====

===

u)rF()uFr()uFr()Fr(M

)uF(FR)M,R(

iiiiiiiiO

iiOO (3.46)

Trinomul invariant este egal cu zero, fiind un produs mixt cu doi termeni coliniari, iare expresia:

0u)rF()F(uMR iiiO == (3.47)

n consecin, cazurile de reducere ale unui sistem de fore paralele sunt:

Cazul I: 0R = , 0MO = , n care sistemul de fore este echivalent cu zero.

Cazul II: 0R = , 0MO , sistemul de fore dat se reduce la un cuplu, ce aremomentul OM .

Cazul III: 0R , 0MO = , n care sistemul se reduce la o for unic R , aplicat npunctul de reducere O.

Cazul IV: 0R , 0MO cnd sistemul este echivalent doar cu for R , situat peaxa central.

b) Axa central. Centrul forelor paralele

Ecuaia axei centrale se determin pe baza relaiei (3.47), inndu-se seama defaptul c n cazul unui sistem de fore paralele valoarea momentului minim este zero,deoarece RMO . Rezult c, n aceast situaie, axa central este locul geometric alpunctelor de moment nul.

Dac P este un punct ce aparine axei centrale, (fig.3.21), aplicnd formula (3.29),momentul n acest punct este:

0ROPMM OP == (3.48)

Cu relaiile (3.46) i notnd rOP = , se obine:

0)F(uru)rF( iii = , respectiv0ur)F(u)rF( iii = , de unde (3.49)

0ur)F()u)rF( iii =

Din ultima relaie rezult c, produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari;aceast condiie se poate scrie sub forma:

ur)F()rF( 1iii = (3.49)unde 1 este o mrime scalar. Deci vectorul de poziie r al unui punct curent situat pe

axa central este:


40/131



=i

1i

ii

f

u

F

rFr sau, notnd

=

i

1

F

uF

rF

r i

ii

=

(3.50)

Relaia (3.50) reprezint ecuaia vectorial a unei drepte de versor u, ce treceprintr-un punct fix, notat C n fig.3.21. Acest punct se numete centrul forelor paralele iare vectorul de poziie:

=i

iiC

F

rFr (3.51)

Coordonatele carteziene ale centrului forelor paralele se obin proiectnd relaia(3.51) pe axele de coordonate:

=

i

iiC F

xFx ;

=

i

iiC F

yFy ;

=

i

iiC F

zFz (3.52)

Principalele proprieti ale centrului forelor paralele sunt:

1. Dac direcia tuturor forelor din sistem se schimb cu acelai unghi, axacentral trece tot prin C, deoarece Cr nu depinde de versorul u al direciei comune aforelor.

2. Poziia centrului forelor paralele nu depinde de alegerea sistemului de referin,acest punct fiind un element intrinsec al sistemului de fore.

3. Poziia centrului forelor paralele nu se modific dac toate forele sistemului semresc sau se micoreaz n acelai raport.

Dintre cazurile de fore cu direcii paralele, cel mai des ntlnite n tehnic suntforele denumite ncrcri sau sarcini punctuale distribuite. Aceste sarcini (fore)distribuite, pot fi nlocuite prin sarcini concentrate echivalente, care au acelai efectmecanic cu cel al sarcinilor iniiale, distribuite.

3.2 Centre de greutate. Centre de mas

3.2.1 Consideraii generaleCorpurile de mas m situate n cmpul gravitaional al Pmntului, sunt supuse

forei de atracie a acestuia, orientat spre centrul Pmntului. Asupra fiecrui corp vaaciona o for G numitgreutate i orientat ctre centrul Pmntului:

gmG ii = (3.53)

unde g este acceleraia terestri reprezint rezultanta dintre acceleraia gravitaional(datorat forei de atracie gravitaional) i acceleraia de transport (datorat micrii derotaie a Pmntului).

Valoarea acceleraiei terestre g variaz cu altitudinea i cu latitudinea, dar acestevariaii fiind relativ mici, n calcule se poate utiliza valoarea medie 81,9g = m/s2.


41/131



innd seama att de raportul dintre dimensiunile corpurilor uzuale i alePmntului, ct i efectul micrii de rotaie a Pmntului, se poate considera cusuficient exactitate c forele de greutate au direcia verticalei locului, deci sunt foreparalele ntre ele.

n consecin, forele de greutate fiind un caz particular al sistemelor de fore cudirecii paralele, se pot utiliza rezultatele obinute pentru aceste sisteme.

3.2.2 Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

Se consider un corp material de masM, format din n puncte materiale notate Ai(i=1,2,, n ), (fig.3.22), cu masele mi .

Fig. 3.22

Greutile punctelor materiale, fiind fore paralele, se reduc la o rezultant unic,

numitgreutatea corpului i notat G :

===

====n

1ii

n

1ii

n

1i

i gMmggmGG (3.54)

Greutatea G a sistemului este aplicat ntr-un punct definit ca centru de greutate,care este centrul forelor paralele de greutate. Vectorul su de poziie este dat de relaia:

=

==n

1ii

n

1i

ii

C

G

rGr (3.55)

iar coordonatele carteziene sunt:

=

==n

1ii

n

1iii

C

G

xG

x ;

=

==n

1ii

n

1iii

C

G

yG

y ;

=

==n

1ii

n

1iii

C

G

zG

z (3.55)

Dac n relaia (3.55) se ine seama de (3.54), rezult:


42/131



=

=

=

=

=

=

=

=

=n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

n

1i

ii

n

1i

i

n

1i

ii

C

m

rm

mg

rmg

gm

rgm

r (3.56)

respectiv:

=

==n

1ii

n

1iii

C

m

xm

x ;

=

==n

1ii

n

1iii

C

m

ym

y ;

=

==n

1ii

n

1iii

C

m

zm

z (3.56)

Relaiile (3.56) sau (3.56) care definesc poziia punctului C, demonstreaz ccentrul de greutate este un element geometric care depinde de modul de distribuire a

maselor din punctele Ai , fapt ce justifici denumirea sa de centru de mas (sau centrulmaselor). Aceast noiune este mai cuprinztoare deoarece, aa cum rezult i dinrelaiile (3.56) care nu depind de g , ea poate fi definit i n absena cmpuluigravitaional.

3.2.3 Centre de greutate ale corpurilor

Conform celor prezentate n cap. I, n mecanica clasic corpul rigid este uncontinuu material nedeformabil adic, macroscopic, orice punct al corpului are mas iardistanele dintre puncte rmn nemodificate. Rezult c, dac corpul material seconsider divizat n volume elementare Vi , fiecare cu masa mi , rezultatele obinute n

cazul sistemelor de puncte materiale se pot utiliza i pentru cazul corpurilor rigide.Astfel, vectorul de poziie al centrului de greutate, conform relaiei (3.55), este:

=

==n

1ii

i

n

1i

i

C

m

mr

r

(3.57)

Trecnd la limit, cnd 0mi i n , sumele din (3.57) devin integrale carese extind pe domeniul (D) ocupat de corp i se obine:

===

=

)D(

)D( i

C

)D(

)D( i

C

)D(

)D( i

C

)D(

)D(i

C

dm

dmzz;

dm

dmyy;

dm

dmxx

respectiv,dm

dmrr

(3.58)

n care r , xi ,yi , zi reprezint vectorul de poziie, respectiv coordonatele centrului de

greutate al elementului de mas dm luat n calcul, iar =)D(

Mdm , masa ntregului corp.

Deoarece n mecanic, corpurile materiale se clasific n blocuri (volume


43/131



materiale), plci (suprafee materiale) i bare (linii materiale), domeniul (D) ocupat de uncorp se noteaz cu (V), (S) respectiv (l ).

a) Pentru corpurile continue, sub form de blocuri, raportul dintre masa elementuluiinfintezimal, dm, i volumul lui, dV, se numete densitate volumic (sau masspecific)

i se noteaz:

dV

dmV = , dVdm v= (3.59)

Un corp material care ocup un volum V este neomogen dacV are o anumitlege de variaie de forma V = f(x,y,z), respectiv omogen dac V este o mrimeconstant.

nlocuind relaia (3.59) n (3.58), centrul de greutate al corpurilor neomogeneeste determinat de:

===

=

)V( V

)V( V

C

)V( V

)V( V

C

)V( V

)V( V

C

)V( v

)V(

V

C

dV

dVzz;

dV

dVyy;

dV

dVxx

respectiv,dV

dVr

r

(3.60)

n cazul corpurilor omogene , fiind o mrime constant, iese de sub integrali sesimplific, astfel c relaiile (3.60) devin :

===

=

)V(

)V(C

)V(

)V(C

)V(

)V(C

)V(

)V(C

dV

zdVz;

dV

ydVy;

dV

xdVx

respectiv,dVdVrr

(3.60)

unde =)V( VdV reprezint volumul ntregului corp.b) Pentru corpurile bidimensionale, de forma plcilor, se definete ca densitate

superficial (sau densitate de suprafa):

dA

dmA = , dAdm A= (3.61)

cu care, relaiile pentru determinarea poziiei centrului de greutate al plcilor neomogene,la care A = f(x,y,z), devin:


44/131



===

=

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( AC

dA

dAzz;

dA

dAyy;

dA

dAxx

respectiv,dA

dArr

(3.62)

iar pentru plcile omogene, pentru care A = const.

===

=

)A(

)A(C

)A(

)A(C

)A(

)A(C

)A(

)A(C

dAzdAz;

dAydAy;

dAxdAx

respectiv,dA

dArr

(3.62)

c) Pentru corpurile sub form de bare, se definete densitatea liniar:

ll d

dm= (3.63)

cu care relaiile pentru determinarea poziiei centrului de greutate al barelor neomogene,pentru care )z,y,x(f=

l , devin:

===

=

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( A

C

)A( A

)A( AC

dA

dAzz;

dA

dAyy;

dA

dAxx

respectiv,dA

dArr

(3.64)

iar pentru barele omogene, la care .const=l

:

===

=

)(

)(C

)(

)(C

)(

)(C

)(

)(C

d

zdz;

d

ydy;

d

xdx

respectiv,d

drr

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

(3.64)

Proprietile centrului de greutate al corpurilorPrincipalele proprieti ale centrului de greutate al corpurilor sunt:

1. Poziia centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales (la fel cu poziia

centrului forelor paralele ) fiind un punct intrinsec al corpului;


45/131



2. Atunci cnd corpul admite un plan de simetrie (geometric i masic) atuncicentrul de greutate se gsete n acest plan;

3. Cnd corpul admite ax de simetrie atunci centrul de greutate se gsete peaceast ax, iar dac admite centru de simetrie, acesta coincide cu centrul de greutate.

3.2.4 Centre de greutate ale corpurilor omogene uzuale

Poziia centrului de greutate al unor corpurilor omogene uzuale este dat n tabelulurmtor:

Tabelul 3.1Categoria idenumirea

figurii

Profilul figurii Poziia centrului de grutate

1. BARE OMOGENE

Bara dreapt2

LxC =

Conturtriunghiular )cba(2

)cb(hyC +++=

Arc de cerc sin

RxC =

( n radiani)


46/131



2. PLCI OMOGENE

Dreptunghi2

axC =

2

byC =

Triunghi

La intersecia medianelortriunghiului

3

xxxx 321C

++=

3

yyyy 321C

++=

Sector de cerc sin

R3

2xC =

( n radiani)

Segment decerc

2sin2

sinR

34

x3

C

=

Poriune de

coroancircular sin

rR

rR

3

2

x 22

33

C

=

Semielips 3a4

xC =


47/131



3) CORPURI OMOGENE

Con ipiramid 4hxC =

Semisfer R8

3yC =

Calot sferichR3

)hR2(

4

3z

2

C

=

Segment sferic)zzzz(R3

)zzR2)(zz(

4

3z

2122

21

2

22

21

221

C+

+=

Sector sferic )hR2(8

3)cos1(

8

R3zC =+=

3.2.5 Determinarea centrului de greutate al unui corp compus, cu ajutorulcentrelor de greutate pariale

Se consider un corp (C), avnd o form care permite mprirea sa n mai multe

pri componente, pentru fiecare parte cunoscndu-se masa i poziia centrului degreutate. De exemplu, corpul din fig. 3.23 se poate considera ca fiind alctuit din alipirea


48/131



domeniilor D1,D2, D3, de volume V1, V2, V3i mase M1, M2, M3, avnd vectorii de poziie aicentrelor de greutate 1Cr , 2Cr , 3Cr :

=

)1V(

)1V(1C

dm

dmr

r ;

=

)2V(

)2V(2C

dm

dmr

r ;

=

)3V(

)3V(3C

dm

dmr

r (3.65)

Poziia centrul de greutate al ntregului corp este dat de formula (3.58):

===

++

++==

)3V(3C3)2V(

2C2)1V(1C1

)3V()2V()1V(

)3V()2V()1V(

)V(

)V(C

rMdmr;rMdmr;rMdmr

:unde,dmdmdm

dmrdmrdmr

dm

dmrr

(3.66)

iar:

1)1V(Mdm = ; 2)2V( Mdm = ; 3)3V( Mdm = (3.66)

Fig. 3.23

Cu relaiile (3.66) i (3.66), formula (3.65) devine:

321

3C32C21C1C

MMM

rMrMrMr

++

++= (3.67)

n situaia cnd corpul material (C) se descompune n n pri componente, pentrucare se cunosc poziiile centrelor de greutate i masele, centrul de greutate al ntreguluicorp are vectorul de poziie:

=

=

=++++

++++=

n

1ii

n

1iiCi

n321

nCn3C32C21C1C

M

rM

MMMM

rMrMrMrMr

K

K(3.68)

iar coordonatele centrului de greutate sunt:


49/131



=

=

=n

1i

i

n

1iiCi

C

M

xM

x ;

=

=

=n

1i

i

n

1iiCi

C

M

yM

y ;

=

=

=n

1i

i

n

1iiCi

C

M

zM

z (3.68)

n cazul corpurilor omogene, pentru care Mi=vVi, formulele (3.68) devin:

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

M

xM

x ;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

M

yM

y ;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

M

zM

z (3.69)

unde Vi sunt volumele prilor componente.n cazul plcilor omogene, pentru care Mi=AAi,

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

V

xV

x ;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

V

yV

y ;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

V

zV

z (3.70)

unde Ai sunt suprafeele prilor componente.n cazul barelor omogene, pentru care iiM ll = ,

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

x

x

l

l

;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

y

y

l

l

;

=

=

=n

1ii

n

1iiCi

C

z

z

l

l

(3.71)

unde il sunt lungimile prilor componente.

3.2.6 Teoremele Pappus-Guldin

3.2.6.1 Teorema I

Aria suprafeei generat prin rotirea complet a unui arc de curb n jurul uneiaxe din planul su, dar care nu o intersecteaz, este egal cu lungimea arcului de

curb nmulit cu lungimea cerului descris de centrul de greutate al curbei.Pentru demonstrarea teoremei se consider curba plan AB de lungime l i o ax

() coplanar cu curba, dar care nu o intersecteaz (fig. 3. 24).


50/131



Fig.3.24

Curba AB se consider compus din n elemente MNi =l avnd centrele degreutate y

i. Centrul de greutate al curbei AB are vectorul de pozi

ie:

=

==n

1ii

n

1iii

C

y

y

l

l

(3.72)

adic: = =

==n

1i

n

1iCiCii yyy lll (3.73)

nmulind cu 2 relaia (3.73), se obine: = ll Cii y2y2 (3.74)

n care:

iy2 - reprezint lungimea cercului de razyi;iiy2 l - este aria elementar obinut prin rotirea elementului MN n jurul axei ();

iiy2 l - este aria total , A, obinut prin rotirea curbei AB n jurul axei ().Rezult c aria cutat este:

l= Cy2A (3.75)3.2.5.2 Teorema II

Volumul generat prin rotirea complet a unei suprafee plane n jurul unei axedin planul su, dar pe care nu o intersecteaz, este egal cu aria suprafeei respectivenmulit cu lungimea cerului descris de centrul de greutate al suprafeei.

Pentru demonstrarea acestei teoreme, se consider suprafa plan (S) i o ax ()coplanar cu suprafaa, dar care nu o intersecteaz (fig3. 25).


51/131



Fig.3.25

Suprafaa plan se consider compus din n suprafee elementare de arie Si icentre de greutate yi. Centrul de greutate al ntregii suprafee (S) are vectorul de poziie:

=

==n

1ii

n

1iii

C

S

yS

y (3.76)

de unde: = =

==n

1i

n

1iCiCii SySyyS (3.77)

nmulind relaia (3.77) cu 2 , se obine: = Sy2Sy2 Cii (3.78)

n care:

dx)yy(S 12i = i 2yy

y 12i+

= (3.79)

nlocuind n (3.78) rezult:

==

=n

1i

21

n

1i

22C dxydxyy2 (3.80)

Termenii din relaia (3.80) au urmtoarele semnificaii:22y - reprezint aria generat cu raza y2;dxy22 - este volumul elementar generat prin rotirea suprafeei (M1MNN1) n

jurul axei ();

=

=n

1i2

22 Vdxy - este volumul generat prin rotirea suprafeei (A1AMNBB1) n jurul

axei ();Efectund un raionament analog i pentru cea de-a doua sum din relaia (3.80),

se obine:

==

n

1i 1

2

1Vdxy - adic volumul generat prin rotirea suprafeei (A1APQBB1) n jurul


52/131



axei (), iar volumul V generat de rotirea suprafeei (S) n jurul axei () este : V=V2-V1.nlocuind n relaia (3.80) rezult:

12

n

1i

21

n

1i

22C VVdxydxySy2 ==

==

(3.80)respectiv volumul V cutat:

Sy2V C = (3.81)

3.3 Echilibrul corpului rigid

3.3.1 Generaliti. Grade de libertate

Corpurile rigide reprezint idealizri ale corpurilor reale, care ndeplinesc condiiade invariabilitate a distanei dintre punctele lor, oricare ar fi mrimea i natura forelor ce leacioneaz.

Rigidul libereste un corp care poate ocupa orice poziie n spaiu, aceast poziiedepinznd doar de forele care acioneaz asupra sa.Rigidul supus la legturi, este un corp cruia i se impun anumite restricii

geometrice referitoare la parametrii si de poziie.Analog cu gradele de libertate ale punctului material, gradele de libertate ale

corpurilor rigide reprezint numrul parametrilor scalar independeni prin care sestabilete, la un moment dat, poziia rigidului n spaiu.

Parametrii geometrici independeni care definesc complet poziia unui sistemmaterial se numesc parametri de poziie, coordonate generalizate sau coordonateLagrange. Numrul coordonatelor generalizate este egal cu numrul gradelor de libertateale sistemului.

Pentru determinarea poziiei unui corp rigid (C) n spaiu,(fig.3.26, a), este necesars se cunoasc coordonatele a trei puncte necoliniare ale sale A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2),A3(x3,y3,z3). Cele nou coordonate nu sunt ns independente deoarece, corpul fiindnedeformabil, distanele d1, d2, d3 dintre puncte, determinate cu relaiile (3.82), rmnconstante.

a. b.Fig. 3.26

32

312

312

3113

22

232

232

2332

12

122

122

1221

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

=++=

=++=

=++=

(3.82)


53/131



Pentru c ntre cei nou parametri scalari x1, x2 ,x3, ,y1 ,y2 , y3 , z1 ,z2 , z3 se potscrie cele trei relaii notate (3.82), rezult c doarase dintre parametri sunt independeni.

n concluzie, un rigid liber n spaiu are 6 grade de libertate (de exemplu, nsistemul de refrin cartezian, posibilitatea efecturii translaiilor n lungul axelor Ox, Oy,

Oz simultan cu rotaiile n jurul acelorai axe, reprezentate n fig. 3.26, b).n plan, pentru definirea poziiei rigidului, este necesar s se cunoasc poziia adou puncte ale sale, A1 (x1,y1) i A2 (x2,y2), fig. 3.27, a.

Fig.3.27

innd seama c distana A1A2 rmne constant, ntre cei patru parametri scalarix1, x2 ,y1 ,y2 , se pot scrie trei relaii independente, rezultnd concluzia crigidul liber nplan are trei grade de libertate (de exemplu, n sistemul de referin cartezian,posibilitatea efecturii translaiilor n lungul axelor Ox, Oy simultan cu rotaia n jurul uneiaxe perpendiculare pe planul xOy, reprezentate n fig. 3.27, b).

3.3.2 Echilibrul rigidului liber

Un corp rigid liber este n echilibru atunci cnd el se afl n stare de repaos sau nmicare de translaie rectilinie i uniform. Dac, n aceast situaie de echilibru, asupracorpului acioneaz un sistem de fore, starea sa mecanic rmne nemodificat doardac sistemul de fore este n echilibru adic, efectund reducerea sistemului ntr-un punctarbitrar O, se obine torsorul nul: 0R = ; 0MO =

Pentru ca un corp rigid s rmn n echilibru, condiia necesari suficient estedeci, ca sistemul de fore care l acioneaz, s ndeplineasc n orice punct condiia:

0R = ; 0MO = (3.83)Cele dou ecuaii vectoriale (3.83) conduc la 6 ecuaii scalare pentru rigidul n

spaiu:

==

==

==

0M0F

0M0F

0M0F

iziz

iyiy

ixix

(3.84)

respectiv la 3 ecuaii scalare n plan:


54/131



=

=

=

0M

0F

0F

iz

iy

ix

(3.85)

Problemele echilibrului rigidului liber sunt:a) Se dau forele care acioneaz asupra rigidului i se cere determinarea poziiei

de echilibru a corpului. Problema este, n general, static determinat deoarece n spaiucele 6 necunoscute se pot determina din cele 6 ecuaii de echilibru;

b) Cunoscndu-se poziia de echilibru, se cere determinarea sistemului de forecare l menine n aceast stare. Problema este static determinat numai dac numrulnecnoscutelor este egal cu cel al ecuaiilor.

c) Cunoscndu-se o parte din parametrii poziiei de echilibru i parial sistemul defore, se cere s se determine ceilali parametri ai poziiei de echilibru i definirea completa sistemului de fore.

3.3.3 Echilibrul rigidului supus la legturi

n majoritatea situaiilor, corpurile materiale nu sunt izolate ci sunt n interaciune cualte corpuri. Rigidul supus la legturi este corpul cruia i se impune o restricie geometric,de exemplu, obligaia ca un punct al rigidului s rmn pe o suprafa, pe o curb sauntr-un punct fix.

Pentru studiul echilibrului unui corp supus la legturi se aplic axioma legturilor, pebaza creia legtura este ndeprtat i nlocuit cu elemente mecanice - fore imomente - corespunztoare, care exprim efectul mecanic al legturii ndeprtate. Astfel,n urma aplicrii axiomei legturilor problema echilibrului unui corp supus la legturi sereduce la studiul echilibrului rigidului liber, acionat de:

fore i momente exterioare, direct aplicate; fore i momente de legtur.Cele dou categorii de fore menionate se pot reduce ntr-un punct O,(fig.3.28), n

care se obin:- torsorul forelor exterioare, )M,R()F( OidO = , respectiv (3.86)- torsorul forelor de legtur, )M,R()F( OiO lll = , (3.86)

Fig. 3.28

innd seama de proprietile torsorului, este necesar ca pentru echilibrul corpuluis avem:


55/131



0)FF( iidO =+ l (3.87)adic:

=+

=+

0MM

0RR

d

d

l

l

(3.88)Relaiile (3.88) reprezint ecuaiile vectoriale de echilibru ale unui corp rigid cu

legturi, echivalente n cazul general cu 6 ecuaii scalare de echilibru, din care se potdetermina ase necunoscute (att poziia de echilibru a corpului, ct i reaciunile dinlegturi).

3.3.3.1 Legturile mecanice ale rigidului. Clasificarea legturilor

Forma de interaciune care impune anumite restricii parametrilor de poziie airigidului se numete legtur mecanic. Orice legtur la care este supus un corp rigid,micoreaz numrul gradelor sale de libertate.

Restriciile introduse de legturile mecanice se exprim prin relaii matematicegenerale numite condiii de legtur respectiv, n cazuri particulare, ecuaii de legtur.

Din punct de vedere al comportrii cinematice, legturile mecanice se clasificn:

- legturi geometrice, care introduc restricii numai pentru parametrii de poziie;- legturi cinematice, care introduc restricii att pentru parametrii de poziie ct

i pentru derivatele acestora n raport cu timpul.

n funcie de natura ecuaiilor de legtur care le caracterizeaz, legturile sunt:- olonome, dac ecuaiile de legtur sunt integrabile;- neolonome, cnd ecuaiile de legtur sunt neintegrabile.

n funcie de structura ecuaiilor de legtur care le caracterizeaz, legturilesunt:

- legturi staionare (sau scleronome) atunci cnd ecuaiile de

Mecanica si Rezistenta Materialelor (Curs)

Documents

Transcript of Mecanica si Rezistenta Materialelor (Curs)