28 MECANICA FLUIDELOR, MAŞINI HIDRAULICE ŞI ACŢIONĂRI

2.

STATICA FLUIDELOR 2.1. Repausul absolut şi relativ

Statica fluidelor sau “Hidrostatica” se ocupă cu studiul fluidelor în repaus şi cu interacţiunea dintre acestea şi corpurile solide cu care vin în contact. Corpurile de contact pot fi pereţii vasului în care se găseşte fluidul sau corpuri imersate total sau parţial în acesta. Starea de repaus se judecă în raport cu un sistem de referinţă, şi poate fi absolută sau relativă. Prin repaus absolut se înţelege repausul fluidului faţă de un sistem de referinţă inerţial, de exemplu repausul unui fluid dintr-un rezervor faţă de Pământ. Repausul relativ se întâlneşte atunci când raportarea se face la un sistem de referinţă neinerţial, de exemplu sistemul de referinţă asociat vasului ce conţine fluidul, vas care se află în mişcare. În acest caz fluidul se deplasează ca un corp solid, iar mişcarea este numai de transport, de exemplu mişcarea fluidului dintr-o cisternă. În cazul lichidelor apar trei tipuri de probleme: determinarea formei suprafeţei libere; determinarea rezultantei forţelor de presiune; stabilirea condiţiilor de plutire şi a stabilităţii acesteia.

2.2. Formarea suprafeţei libere Aşa cum s-a arătat, lichidele iau forma vasului în care sunt puse şi prezintă o suprafaţă de separaţie faţă de aerul sau gazul din volumul rămas neocupat al vasului. Suprafaţa de separaţie între lichid şi aer sau gaz se numeşte suprafaţă liberă (fig. 2.1). Această suprafaţă liberă aflată în echilibru este perpendiculară în oricare punct al ei la forţa ce acţionează asupra lichidului din vas. Dacă asupra particulelor de lichid acţionează doar forţa de gravitaţie, suprafaţa liberă va fi un plan orizontal.

Considerând un rezervor de lichid care se deplasează într-o mişcare de translaţie, cu acceleraţia a constantă, în câmp gravitaţional terestru (fig. 2.2.), suprafaţa liberă va fi un plan înclinat.

Acest lucru se constată observând că asupra unei particule de masă dm de pe suprafaţa liberă acţionează forţa de greutate gdmGd

pe verticală şi forţa de inerţie admNd

pe orizontală, în sens opus mişcării. Cele două forţe

Fig. 2.1. Vas cu lichid în repaus Fig. 2.2. Rezervor în mişcare de translaţie compun o rezultantă care acţionează perpendicular pe suprafaţa liberă în fiecare punct al ei. Unghiul de înclinare al suprafeţei libere este astfel:

ga

gdmadm

Gd

Ndtg

(2.1)

Ecuaţia liniei izobare va fi:

cxgaz (2.2)

Din această relaţie se observă ca tangenta unghiului de înclinare a suprafeţei libere în cazul deplasării unui recipient în mişcare de translaţie este proporţională cu acceleraţia sau deceleraţia. Şi forma suprafeţei libere a unui lichid ce se găseşte într-un vas în mişcare de rotaţie uniformă se poate determina simplu prin observarea efectelor diferitelor forţe ce acţionează asupra unei particule de fluid de masă dm de pe aceasta (fig. 2.3). Asupra particulei de lichid de masă dm acţionează în direcţie radială forţa centrifugă 2 rdmCd

şi în direcţie verticală forţa de greutate gdmGd . Aceste forţe se compun într-o rezultantă, perpendiculară la suprafaţa

liberă. Rezultanta Rd

formează cu forţa de gravitaţie Gd

unghiul , care este în acelaşi timp unghiul de înclinare al tangentei la suprafaţa liberă în punctul dm, de coordonate z şi r. Deci, ecuaţia suprafeţei libere va fi o funcţie )(rfz . Diferenţiind această funcţie încă necunoscută, se obţine următoarea expresie generală a unghiului de înclinare al tangentei:

drdztg (2.3)

care va fi egală cu cea din planul forţelor:

g

22

r

gdmrdm

Gd

Cdtg

(2.4)

Cap. 2. Statica fluidelor 29 30 MECANICA FLUIDELOR, MAŞINI HIDRAULICE ŞI ACŢIONĂRI

Fig. 2.3. Vas în mişcare de rotaţie

Din egalitatea acestor expresii se obţine:

g

rdrdz 2

(2.5)

Prin separarea variabilelor şi prin integrare se obţine ecuaţia suprafeţei libere:

drg

rdz

2

(2.6)

rdrg

dz2

(2.7)

1

22

2Cr

gz

(2.8)

Constanta C1 rezultă din condiţiile la limită:

min1

min )()0(zC

zzr

(2.9)

Ecuaţia suprafeţei libere va fi deci, un paraboloid de rotaţie:

min

22

2z

grz

(2.10)

De remarcat că, forma paraboloidului este independentă de natura lichidului. Din lichidul a cărui înălţime în repaus este h şi se găseşte între nivelul h şi zmin, se formează paraboloidul de rotaţie. Volumul acestui lichid este:

)( min2

0 zhRV (2.11)

Volumul lichidului mărginit de paraboloid în timpul rotaţiei va fi:

parab.minmax2

0 )( VzzRV (2.12)

Dar, volumul unui paraboloid pătratic este egal cu jumătatea cilindrului circumscris lui:

2

)( minmax2

0parab.

zzRV (2.13)

Deci:

2

)( )( minmax2

0minmax

20

zzRzzRV (2.14)

Din egalitatea relaţiilor (2.11) şi (2.14) rezultă:

2

)( )( minmax2

0min

20

zzRzhR (2.15)

şi cu aceasta:

2

minmax zzh (2.16)

Dacă în ecuaţia (2.10) se înlocuieşte 0Rr rezultă înălţimea maxz la marginea vasului:

min

20

2

max 2z

Rz

(2.17)

Înlocuind în relaţia (2.16) se obţine:

2

2 minmin

20

2zz

gR

h

(2.18)

22

2 min

20

2z

gRh

şi

gRhz

4

20

2

min

(2.18a)

Dacă se înlocuieşte această expresie în relaţia (2.17), se obţine înălţimea maximă de urcare a lichidului la marginea vasului:

gRhz

4

20

2

max

(2.19)

Comparându-se ultimele două relaţii, se constată că nivelul lichidului scade faţă

de nivelul iniţial h cu aceiaşi valoare cu care se ridică la margine, gR

4

20

2 .

2.3. Forţe ce acţionează în mediul fluid

În vederea studierii mediului fluid se detaşează o anumită parte din acesta denumită domeniu de analiză D, care este mărginit de o suprafaţă închisă S

Cap. 2. Statica fluidelor 31 32 MECANICA FLUIDELOR, MAŞINI HIDRAULICE ŞI ACŢIONĂRI

numită suprafaţă de control. Asupra fluidului din domeniul D (fig. 2.4), restul fluidului îndepărtat acţionează cu două tipuri de forţe: forţe masice sau corporale; forţe superficiale.

Fig. 2.4. Domeniul de analiză

Forţele masice sau corporale sunt generate de câmpuri exterioare şi acţionează asupra fiecărui element de fluid. Ca exemplu se pot da forţele gravitaţionale şi inerţiale. Dacă CdF

este forţa masică ce acţionează asupra masei de fluid dm din

volumul dV , atunci prin forţă masică specifică se înţelege:

dmFdf C

(2.20)

Relaţia (2.20) exprimă o mărime numită şi acceleraţia forţelor masice. Deci, forţa masică elementară se poate exprima sub forma:

dVfFd

C (2.21)

Forţele superficiale, după cum le arată şi numele, acţionează pe suprafaţa de control şi sunt generate de fluidul îndepărtat sau de frontierele solide îndepărtate. Se consideră o porţiune infinitezimală dS de normală n din suprafaţa de control şi forţa care acţionează asupra ei sFd

. Se defineşte ca tensiune

într-un punct pe suprafaţa de control, mărimea:

dSFdt S

(2.22)

Atunci, forţa superficială elementară, care acţionează asupra elementului de suprafaţă, este: dStFd

S (2.23)

Tensiunea într-un punct este un vector, care se poate descompune după direcţiile normală şi tangenţială, astfel:

ttnt n

(2.24)

unde: tn este componenta normală a tensiunii şi t este componenta tangenţială, sau de forfecare a tensiunii.

2.4. Presiunea fluidelor în repaus Considerând suprafaţa oarecare A, asupra căreia acţionează forţa P

ca

în fig. 2.5., prin presiune medie se înţelege raportul:

AP

APp

||m

(2.25)

Limita acestui raport pentru A tinzând la zero:

APp lim

0A (2.26)

se numeşte presiune în punctul dat.

Fig. 2.5. Presiunea medie Fig. 2.6. Definirea presiunii Pentru un fluid în repaus, dacă în exteriorul suprafeţei S există acelaşi fluid (fig. 2.6.), atunci forţa superficială sFd

şi t

sunt perpendiculare pe suprafaţa S

în punctul dat. Acest lucru este evident deoarece în caz contrar tensiunea t

ar avea o componentă t şi în planul tangenţial, ceea ce ar provoca deplasarea fluidului din punct. Din practică s-a constatat că întotdeauna forţa superficială este o compresiune, adică: sS dFnFd

(2.27) atunci:

npdSdFn

dSFdt

SS (2.28)

deci: npt

(2.29)

Raportul dSdFp s / reprezintă mărimea forţei de tensiune (mărimea efortului unitar) şi se numeşte presiune hidrostatică. Presiunea hidrostatică are următoarele proprietăţi importante: presiunea hidrostatică este întotdeauna dirijată după direcţia normalei unei

suprafeţe şi acţionează spre aceasta, deci este o compresiune; în cadrul staticii presiunea nu depinde de orientarea elementului de suprafaţă; presiunea hidrostatică este un scalar şi acţionează în toată masa fluidului.

Cap. 2. Statica fluidelor 33 34 MECANICA FLUIDELOR, MAŞINI HIDRAULICE ŞI ACŢIONĂRI

Pentru demonstrarea acestei de-a doua proprietăţi se detaşează un element de fluid infinitezimal sub formă de tetraedru, (fig.2.7.)

Fig. 2.7. Tetraedru infinitezimal

Asupra lui acţionează forţa masică şi forţele superficiale, iar condiţia de repaus impune ca suma lor să fie nulă: 0SC FdFd

(2.30)

Ţinând cont că volumul tetraedrului infinitezimal este:

dzdydxW 61

(2.31)

se poate defini rezultanta forţelor masice Wf

. Realizând proiecţia tuturor forţelor pe axele sistemului de coordonate ales:

0 cos 2

0 cos 2

0 cos 2

znz

yny

xnx

WfdApdydxp

WfdApdxdzp

WfdApdzdyp

(2.32)

unde , şi sunt unghiurile dintre normala n a suprafeţei dA şi axele

sistemului de coordonate. Înlocuind în (2.32) ariile elementare cu valorile lor:

2cos

2cos

2cos

dydxdA

dxdzdA

dzdydA

(2.33)

şi volumul W cu relaţia (2.31) va rezulta:

03

03

03

znz

yny

xnx

dzfpp

dyfpp

dxfpp

(2.34)

Dacă volumul elementar ales va tinde către zero, 0W , tetraedrul va tinde către un punct, şi 0,0,0 dydydx , ceea ce din (2.34) va conduce la:

ppppp zyxn (2.35)

De aici rezultă că presiunea nu depinde de orientarea elementului de suprafaţă, fiind un scalar. Prin prisma teoriei molecular cinetice, presiunea reprezintă rezultatul interacţiunii între molecule şi peretele recipientului în care este dispus fluidul. Dacă în interiorul recipientului nu avem substanţă (stare de vid), presiunea este nulă. Presiunea măsurată de la starea de vid se numeşte presiune absolută. Presiunile din rezervoarele ce conţin lichide sau gaze, adesea sunt referite la presiunea atmosferică exterioară. Prin presiune relativă se înţelege diferenţa dintre presiunea absolută şi cea atmosferică. Dacă ea este pozitivă se numeşte suprapresiune iar dacă este negativă subpresiune sau depresiune.

Unitatea de măsură pentru presiune în SI este newton / metru pătrat [N/m2] pentru care a fost introdus numele de Pascal (Pa). Pe lângă această unitate se mai utilizează, cu încă destulă răspândire şi altele date în tabelul 2.1.

Tabelul 2.1 Denumirea Simbol Transformarea

Pascal Pa 1Pa = 1 N/m2 Bar bar 1 bar = 105 Pa

Kilogram forţă pe metru pătrat kgf/m2 1 kgf/m2 = 9,80665 Pa

Atmosferă tehnică at 1 at = 1kgf/cm2 = 98066,5 Pa = 0,980665 bar Atmosferă fizică atm 1 atm = 101325 Pa = 1,0132 bar

Torr torr 1 torr = 1/760 atm = 101325/760 Pa

2.5. Ecuaţia de echilibru Euler

2.5.1. Ecuaţia de echilibru Euler în repausul absolut Se consideră un domeniu arbitrar D de fluid în echilibru, ca în fig. 2.8. Pentru ca fluidul conţinut în acest domeniu să fie în echilibru, suma forţelor care acţionează asupra lui trebuie să se anuleze Forţa masică ce acţionează asupra fluidului cuprins în volumul de control va fi:

Cap. 2. Statica fluidelor 35 36 MECANICA FLUIDELOR, MAŞINI HIDRAULICE ŞI ACŢIONĂRI

V

C dVfF

(2.36)

iar cea superficială, ţinând cont de relaţia (2.29):

S S

S dSnpdStF (2.37)

Fig. 2.8. Domeniul de fluid în echilibru

Ecuaţia de echilibru va fi, în acest caz:

V S

0 dSnpdVf (2.38)

Aplicând transformarea Gauss-Ostrogradski integralei de suprafaţă:

S V

pdVdSnp (2.39)

se obţine următoarea formă a ecuaţiei de echilibru:

V V V

0 dVpfpdVdVf

(2.40)

În această ecuaţie gradientul presiunii este un vector şi are expresia:

kzpj

ypi

xppp

grad

(2.41)

Volumul V al domeniului D fiind ales arbitrar, integrala din relaţia (2.40) se anulează dacă integrandul este nul, adică:

0 pf

(2.42)

01

pf

(2.43)

Aceste două relaţii exprimă ecuaţia de echilibru a unui fluid în repaus cunoscută sub denumirea de ecuaţia de echilibru Euler.

2.5.2. Ecuaţia de echilibru Euler în repausul relativ Cel mai frecvent caz de repaus relativ se întâlneşte la transportul lichidelor, când acestea sunt în repaus faţă de vasul în mişcare care le conţine. Pentru această situaţie este necesar să se determine distribuţia presiunilor în lichid şi forma suprafeţei libere, când aceasta există.

Ca şi în cazul solidelor, în echilibrului relativ al fluidelor, acceleraţia mişcării absolute a este egală cu acceleraţia mişcării de transport ta : taa

(2.44) Prin înmulţire cu masa m : tamam

(2.45)

rezultă că în echilibrul relativ forţele de inerţie din mişcarea absolută sunt egale cu forţele de inerţie din mişcarea de transport. Acestea sunt forţe masice care trebuie adăugate la forţele masice ce acţionează în mediul fluid. Ecuaţia de echilibru Euler va avea în acest caz expresia:

0)( i pff

(2.46)

unde ti af reprezintă forţa masică specifică de inerţie. Dacă se notează:

ti affff (2.47)

se obţine: 0 pf

(2.48)

ceea ce arată că ecuaţia de echilibru Euler rămâne formal aceeaşi ca în cazul repausului absolut, dacă acceleraţia rezultantă a forţelor include acceleraţia de inerţie datorită mişcării de transport.

2.6. Echilibrul fluidelor în câmp gravitaţional terestru

În câmpul gravitaţional terestru singura forţă corporală care acţionează în cazul echilibrului absolut, este greutatea, care are ca valoare specifică, acceleraţia gravitaţională (fig. 2.9). Se consideră un lichid aflat într-un vas (fig. 2.10), în repaus absolut, având la suprafaţa liberă presiunea p0. Această presiune se propagă uniform în masa lichidului.

Fig. 2.9. Forţa corporală în câmp gravitaţional terestru

Dacă în interiorul fluidului se detaşează o prismă infinitezimală cu aria bazei dA , forţa gravitaţională ce acţionează asupra ei va fi: dAghgdVdG (2.49)

Această forţă, în situaţia de echilibru, va fi compensată de o forţă de presiune dF :