CURS 3

MECANICA CONSTRUCŢIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGATURI CU FRECARE

NT

Reactiunea normala; Forta de frecare de alunecare.

∃ o valoare limita a fortei P pentru care PM se pune in miscare, si corespunde valorii maxime a modululuifortei de frecare

ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGATURI CU FRECARE

1. Valoarea fortei maxime de frecare nu depinde de marimea suprafetei de contact dintre cele douacorpuri, iar daca se produce miscarea, nu depinde nici de viteza relativa.

2. Valoarea fortei maxime de frecare depinde de natura suprafetelor in contact.

3. Valoarea fortei maxime de frecare esteproportionala cu marimea reactiunii normale |N|, factorul de proportionalitate fiind coeficientul de frecare la alunecare µ.

Legile frecarii de alunecare(legile lui Coulomb)

|T|max = µ|N|

Forta de frecare are urmatoarele proprietati:Directia ei este tangenta la curba sau se gasestein planul tangent la suprafata de contact;Sensul ei este contrar tendintei de alunecare;Conditia de repaus a unui punct material esteadevarata daca valoarea fortei de frecare esteinferioara valorii maxime:

|T| ≤ µ|N|Obs: Legile lui Coulomb au un caracter aproximativ si se

apropie de realitate doar in cazul frecarii uscate.

Proprietatile fortei de frecare

ASPECTUL GEOMETRIC AL FRECARII DE ALUNECAREFie un PM, M, actionat de rezultanta R a unui sistem de forte concurente, rezemat pe o suprafata aspra. Acesta se gaseste in repaus daca:

R−=ℜ

Pentru o pozitie curenta de echilibru:

Pt. pozitie de echilibru la limita:

Unghiul ϕ = unghi de frecare

N

Ttg si TN =α+=ℜ

Locul geometric al tuturor dreptelor care fac un unghi dat ϕ cu normala la o suprafata intr-un punct dat este un con cu doua panze, denumitcon de frecare.

La echilibru trebuie satisfacuta relatia:

adica suportul rezultantei R a fortelor exterioare date, respectiv suportul reactiunii R, trebuie sa faca cu normalala suprafata un unghi mai mic decat unghiul de frecare.

maxTT ≤

⇒ Conditia necesara si suficienta pentru ca un PM sa se gaseasca in echilibru pe o suprafata aspra intr-un punctdat, este ca suportul rezultantei fortelor efectiv aplicate sase gaseasca in interiorul conului de frecare din acel punct.

Pentru cazul rezemarii unui punct pe o curba aspra, conul de frecare are ca axa directia tangentei la curbain punctul respectiv si unghiul la varf 2(90°-ϕ).

⇒ Conditia necesara si suficienta pentru ca un PM sa se gaseasca in echilibru pe o curba aspra intr-un punct dat, este ca suportul rezultantei fortelor efectiv aplicate sa se gaseasca in exteriorul conului de frecare din acel punct.

SISTEME DE FORTE OARECARE

SISTEME DE FORŢE OARECARE• Forţa – vector alunecător;• Momentul unei forţe în raport cu un punct;• Momentul unei forţe faţă de o axă;• Teorema lui VARIGNON; • Cupluri de forţe;• Sisteme de forţe echivalente;• Reducerea sistemelor de forţe în raport cu un punct.

Torsor. Variaţia torsorului cu punct de reducere;• Invariantul unui sistem de forţe faţă de punctul de

reducere;• Torsorul minim. Axa centrală;• Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare.

Sisteme echivalente;• Sisteme de forţe particulare.

DEFINIŢIIUn corp este liber atunci când nu este legat

de alte corpuri şi se poate deplasa arbitrar înspaţiu.

Dacă un corp este în repaus sub acţiuneaunui sistem de forţe, atunci sistemul de forţeeste în echilibru.

Două sisteme de forţe se numesc echivalenteatunci când se poate înlocui un sistem care acţionează asupra unui corp liber, cu celălaltsistem de forţe fără a modifica starea de repaussau de mişcare a corpului.

AXIOMELE STATICIISOLIDULUI RIGID (SR)

1. Condiţia necesară şi suficientă ca douăforţe aplicate unui corp (SR) liber să fie in echilibru este ca cele două forţe să fie coliniare, egale ca mărime şi de sensuriopuse (fig. 3.1).

2. Se poate, fără a modifica starea mecanică a SR, adăuga sau scoate un sistem de forţeechivalent cu zero.

Cele două forţe formează un sistemechivalent cu zero

FORŢA – VECTOR ALUNECĂTORFortele care actioneaza asupra solidelor rigide nu maisunt, de regula, concurente in acelasi punct.

1. Fie forta F care actioneaza in punctul A al SR (fig. 3.3a).2. Se adaugă sistemul echivalent cu zero (fig. 3.3b).3. În figura 3.3c se identifică sistemul echivalent cu zero din punctul A.4. Se observa ca forta F s-a deplasat pe suportul sau din punctul A in punctul B.

FORŢA – VECTOR ALUNECĂTOR

Forta care actioneaza asupra unui corp rigid este un vector alunecator, deoarece punctul eide aplicatie poate fi oricare punct situat pedreapta-suport a fortei.

MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORT CU UN PUNCT

Definiţie: Se numeşte moment al unei forţe în raport cu un punct fix O, produsul vectorial dintre vectorul de poziţie care uneşte punctul O cu un punct oarecare de pe supotul forţei şi forţă.

dFMo ×=

Caracteristicile vectorului moment:- originea este în O;- direcţia normală pe planul format de O şi suportul forţei;- sensul corespunzător triedruluidrept;- mărimea (d=OB braţul forţei).

FrMo ×=

Triedrul dreptRegula burghiului (fig. 3.5);Regula mâinii drepte (fig. 3.6);Sensurile pozitive ale axelor (fig. 3.7).

Marimea momentului se masoara in unitatide forta inmultite cu unitati de lungime

(N·m, daN·m etc.).

Raportata la notiunile fundamentale ale Mecanicii, dimensiunea acestei marimi

este: MLT-2L = ML2T-2.

• Dacă punctul O se află pe dreapta suport a forţei, atunci

• Punctul de aplicare al forţei se deplasează pe dreaptasuport a ei ( ∆) ;• Punctul O se deplasează pe o dreaptă paralelă cu ( ∆) ;• Momentul unei forţe se schimbă dacă se schimbă poluldin O în O1:

Proprietati

MOMENTUL UNEI FORŢEÎN RAPORT CU O AXĂ

Definiţie: Momentul unei forţe în raport cu o axă, de versoru, este egal cu proiecţia pe acea axă a momentului forţeicalculat în raport cu un punct oarecare al axei respective.

Semnificaţie fizică :Momentul M∆ arată tendinţa de rotire a corpului în raport cu axa ∆ sub acţiuneaforţei F.

Observaţii

• M∆ = 0 dacă cei trei vectori sunt coplanari: forţaeste || cu axa ∆ sau suportul forţei înţeapă axa ∆.

•M∆ nu depinde de alegerea punctului O pe axa ∆.

Calculul practic pentru M∆

Momentul unei forţe în raport cu o axă ∆ este egal cu mărimea momentului produs de componenta forţeidintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care axa ∆ înţeapă planul normal (fig. 3.10).

Teorema lui VARIGNONDefiniţie:Momentul rezultant calculat în raport cu un punct fix O pentru un sistem de forţe care admite o rezultantăunică este egal cu momentul rezultantei sistemuluide forţe calculat în raport cu acelaşi punct O.

Observaţii:• Valabilă pentru sisteme de forţe care admit o rezultantă unică (ex: forţe concurente, forţe paralele, forţe coplanare).• Prin rezultantă unică se înţelege că aceasta e nenulă.

Teorema lui VARIGNON - Demonstratie

Demonstraţie pentru un sistem de forţe concurente

Sistemul de forţe concurente în M:

are rezultanta:

0FRn

1ii ≠= ∑

=

Cupluri de forţeDefiniţie: Un cuplu de forţe reprezintă ansamblulformat din două forţe egale ca mărime, paralele şi de sensuri opuse.⇒ Cuplul de forţe este caracterizat prin rezultantă nulăşi moment nenul.

Rezultă:• Momentul unui cuplu este un vector liber (este independent de punctul din spaţiu în raport cu care se calculează).• Condiţia de echivalenţă: Douăcupluri sunt echivalente dacă au acelaşi moment.

FBAF)rr()F(rFrM BABAO ×=×−=−×+×=

• Mărimea momentului cuplului: este egală cu produsuldintre intensitatea uneia dintre forţe şi distanţa dintredreptele suport ale celor două forţe (d = braţul cuplului).

• Direcţia: perpendiculară pe planul celor două forţe.• Sensul: stabilit după regula şurubului drept.• Originea: punct arbitrar în spaţiu.

⇒ Caracteristicile cuplului:• Rezultanta nulă.• Momentul cuplului este constantîn mărime, direcţie şi sens, pentrutoate punctele din spaţiu.

udFMO ××=

Reducerea unei forţe în raportcu un punct

Forţa F acţionează în punctul A şi se caută efectul eiîntr-un punct O care nu aparţine suportului ei (fig. a)1) se adaugă sistemul echivalent cu zero în punctul O (fig. b);2) forţa F din A şi F1 din O formează un cuplu (fig. c) cu momentul

FrFOAM AO ×=×=⇒ Efectul în O: o forţă egală cu F şi un moment MO(momentul forţei din A în raport cu O).

Reducerea unui sistem de forţe în raport cu un punct

Fie sistemul de forţe F1,…Fi,…Fn, acţionând corpul înpunctele A1,…Ai,…An (fig. a). Fiecare forţă este redusă înO. Se obţin n forţe echipolente în O şi n momente ale acestora (fig. b).Rezultanta forţelor este , iar momentul rezultant∑

=

=n

1iiFR

)F(MM i

n

1iOO ∑

=

=⇒ Ansamblul celordoi vectori în O senumeşte torsorulsistemului de forţeîn O, si se notează:

)M,R( OOτ

Reducerea unui sistem de forţe în raport cu un punct

Proprietăţi:1. Dacă se schimbă punctul de reducere, atunci rezultantaeste aceiaşi în orice punct (invariant vectorial).

2. Dacă se schimbă punctul de reducere, atunci se modifică şi momentul rezultant:

∑=

=n

1iiFR

ROOMM 1O1O ×+=

⇒ Demonstraţie: se alege un punct oarecare O1 şi se calculează momentele forţelor:

Reducerea unui sistem de forţe în raport cu un punctObservaţii:

1. Dacă R=0 şi MO=0, atunci torsorul este nul în toatepunctele solidului.

Demonstraţie:

2. Dacă R=0, torsorul este un cuplu în toate punctelesolidului, MO=MO1≠0.3. Dacă R≠0, MO≠0, iar vectorul rezultant R este paralelcu vectorul OO1, momentele MO=MO1 (sunt egale), adicăin punctele situate pe o dreaptă paralelă cu dreapta-suport a rezultantei unui sistem de forte, momentulrezultant al sistemului este constant.

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm