Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 7

GEOMETRIA MASELOR.CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR1. Centrul de greutate şi centrul maselor

2. Teoremele lui Guldin – Pappus

3. Momente statice. Teorema momentelor statice

4. Momente de inerţie. Raze de inerţie

5. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor. Teorema lui Steiner

6. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor

7. Direcţii principale de inerţie. Momente de inerţie principale

1. Centrul de greutate şi centrul maselorParticulele materiale aflate la suprafaţa Pământului suntsupuse acţiunii câmpului gravitaţional terestru care semanifestă prin forţa de atracţie:

denumită greutate. Se observă că această forţă depinde de masa particuleimateriale şi de vectorul, care se numeşte acceleraţiegravitaţională.Pentru un sistem de puncte materiale, greutateasistemului material are expresia:

iar punctul de aplicaţie se numeşte centru de greutate alsistemului de puncte materiale.

gmG

n

iiGG

1

Poziţia centrului de greutate al unui sistem de punctemateriale este dată de relaţia:

sau:

1

1

ni i

ic n

ii

r Gr

G

n

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

c

G

Gzz

G

Gyy

G

Gxx

1

1

1

1

1

1 ,,

Prin definiţie, suma maselor punctelor materiale aleunui sistem este masa sistemului de punctemateriale:

iar centrul maselor unui sistem de puncte materialeeste dat de relaţia:

sau:

1

ni

iM m

n

ii

n

iii

c

m

mrr

1

1

1 1 1

1 1 1

, ,

n n ni i i i i i

i i ic c cn n n

i i ii i i

x m y m z mx y z

m m m

Proprietăţi: – dacă un sistem de puncte materiale admite un plan desimetrie, o axă de simetrie sau un centru de simetrie,centrul de masă se găseşte în acel plan, pe acea axă,respectiv în acel centru (centrul de masa al unui sistemmaterial constituit dintr-o linie dreapta se afla pe aceadreapta, iar centrul maselor unui sistem material plan seafla in acel plan);– dacă un sistem de puncte materiale (S) se descompune

într-un număr de subsisteme (S1), (S2),..., (Sp) ale căror

mase M1, M2,..., Mp şi centre de masă (C1), (C2),..., (Cp) se

cunosc, poziţia centrului său de masă se poate determina

cu relaţia:

p

cppccc MMM

rMrMrMr

......

21

2211

– dacă un sistem de puncte materiale (S) poate fi

considerat ca rezultând dintr-un sistem (S1) din care

lipseşte un sistem (S2), atunci:

S1

S2

21

2211

MMrMrMr cc

c

- poziţia centrului de masa nu depinde de sistemul decoordonate ales, deoarece depinde numai de poziţiareciproca a punctelor materiale Mi;

- daca valorile maselor sistemului material suntmultiplicate cu o constanta scalara nenula, poziţiacentrului de masa al sistemului nu se modifica.Proprietatea aceasta permite reprezentarea maselorprin linii, arii sau volume, constanta fiind densitateasistemului considerat omogen.

Centre de masa pentru corpuri omogene

Pentru o bara omogena având masa M uniform distribuitape lungimea ei (notata L), se defineşte densitatea unităţiide lungime =M/L. Relaţia centrelor de masa se scriedupă simplificarea cu :

Pentru o placa omogena cu aria A si masa M cunoscute, se defineşte densitatea unităţii de suprafaţa =M/A. Relaţia centrelor de masa se scrie după simplificarea cu :

1 1

1 1

;

n ni i i i

i iG Gn n

i ii i

l x l yx y

l l

1 1

1 1

;

n ni i i i

i iG Gn n

i ii i

A x A yx y

A A

Centre de masa pentru corpuri omogene

2.Teoremele lui Guldin – Pappus

(a) Aria suprafeţei generate de un arc de curbă plană,care se roteşte în jurul unei axe din planul curbei, pecare nu o intersectează, este egală cu lungimea arculuide curbă multiplicată cu lungimea cercului descris decentrul de masă al curbei date, presupuse omogene:

Teorema I Guldin-Pappus

2.Teoremele lui Guldin – Pappus

Teorema I Guldin-Pappus

(b) Volumul generat prin rotirea unei suprafeţe plane înjurul unei axe din planul său pe care nu o intersectează,este egal cu aria considerată multiplicată cu lungimeacercului descris de centrul de masă al ariei:

Teorema II Guldin-Pappus

Teorema II Guldin-Pappus

Determinarea poziţiei centrului de masă pentru o bară omogenă de forma unui:

– arc de cerc

RddlRxdldm ;cos;

sincos

coscos Rd

dR

RdRdR

dldlR

dmxdmxc

– sector de cerc

cos32 Rx

2RdRdm

223

2

coscos 2 2 sin23 3

2

c

R d R dRx R

R dd

1. Să se determine centrul de greutate al unei figurialcătuită din trei linii materiale omogene, în formă dejumătate de cerc, ca în figura de mai jos.

2. Să se determine centrul de greutate plăcii planeomogene din figura.

3. Momente statice. Teorema momentelor statice

Se numeşte moment static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan, o axă sau un pol, suma produselor dintre masele punctelor materiale care alcătuiesc sistemul şi distanţele de la aceste puncte la planul, axa sau polul considerat:

Pentru un sistem de referinţă cartezian, expresiile:

reprezintă momentele statice ale sistemului de particule materiale, în raport cu planele yoz, zox, respectiv xoy.

n

iiidmS

11

nyoz i i

iS m x

1

nxoz i i

iS m y

n

iiixoy zmS

1

Dacă punctele materiale sunt situate toate în acelaşi plan, atunci expresiile:

reprezintă momentele statice ale sistemului în raport cu axa Oy, respectiv Oz.

n

iiiy xmS

1

n

iiix ymS

1

Din relaţiile care dau coordonatele centrului de greutateal unui sistem de puncte materiale, rezultă:

relaţii cunoscute sub denumirea de teorema momentelorstatice.Momentul static al unui sistem de puncte materiale înraport cu un plan sau o axă este egal cu produsul dintremasa întregului sistem şi distanţa de la centrul de masăal sistemului la acel plan sau la acea axă.

Mxxm ci

n

ii

1

Myym ci

n

ii

1

Mzzm ci

n

ii

1

4. Momente de inerţie. Raze de inerţieSe numeşte moment de inerţie al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan, o axă sau un pol, suma produselor dintre masele particulelor care alcătuiesc sistemul şi pătratul distanţelor acestor particule până la planul, axa sau polul considerat:

Faţă de un sistem de referinţă cartezian avem: – momente de inerţie planare:

2

1

ni i

iI m d

2

1

2

1

2

1

nxoy i i

in

yoz i iin

xoz i ii

I m z

I m x

I m y

– momente de inerţie axiale:

– moment de inerţie polar:

– momente de inerţie centrifugale:

2 2

1

2 2

1

2 2

1

nx i i i

in

y i i iin

z i i ii

I m y z

I m x z

I m x y

2 2 2

1

no i i i i

iI m x y z

1

1

1

nxy i i i

in

yz i i iin

zx i i ii

I m x y

I m y z

I m z x

Se numeşte rază de inerţie (giraţie) distanţa la care trebuie plasată întreaga masă a sistemului material M, concentrată într-un singur punct la un plan, o axă sau un pol pentru a obţine aceeaşi valoare a momentului de inerţie planar, axial sau polar ca şi cea dată de întreg sistemul material.

2 II M i iM

Proprietăţi:– momentele de inerţie planare, axiale sau polare suntmărimi pozitive. Ele sunt nule numai atunci cândsistemul de puncte materiale este conţinut în planul, peaxa sau în polul la care ne referim;– momentele de inerţie axiale sunt egale cu sumamomentelor de inerţie în raport cu două planerectangulare:

x xoz xoy

y yoz xoy

z xoz yoz

I I I

I I I

I I I

– momentul de inerţie polar poate fi calculat ca: • semisuma momentelor de inerţie axiale în raport cu trei axe rectangulare ce trec prin acel punct:

• suma momentelor de inerţie planare:

• suma momentelor de inerţie în raport cu un plan şi o axă normală la acel plan:

– momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule.

12o x y zI I I I

o yoz xoz xoyI I I I

o x yoz y xoz z xoyI I I I I I I

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELORIn definirea răspunsului elementelor de construcţii detipul barelor la acţiunea forţelor exterioare, privindforţele interioare si deformaţiile care se produc inacestea, alături de proprietăţile fizice ale materialelor dincare sunt alcătuite si dimensiunile acestora, intra siunele mărimi legate direct de forma si dimensiunilesecţiunilor transversale ale barelor numite caracteristicigeometrice ale secţiunilor.

Aria secţiunii:

unde indicele A la semnul deintegrare specifica extindereaintegralei pe toata secţiunea.

A

dAA

Daca se considera secţiunea transversala compusadintr-o infinitate de arii elementare dA, rezulta:

z

y

y

zyG

zG

G

dA

xO

Momentele statice fata de axa y,respectiv z:

A

zA

y ydASzdAS ;

reprezintă suma produselor ariilor elementare dA cudistanta la axa corespunzătoare (y sau z) .

Prin convenţie, axele secţiunii transversale se notează Oy si Oz!!!

Daca se considera secţiunea transversala compusadintr-o infinitate de arii elementare dA, rezulta:

A

GA

G zdAA

zydAA

y 1 ; 1

Daca se notează cu yG si zGcoordonatele centrului de masasau de greutate ale secţiuniirezulta:

Obs. Din relaţia de mai sus se deduce ca momentul static al secţiunii fata de o axa care trece prin centrul de greutate al acestei secţiuni este nul. Axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe centrale, sistemele de axe rectangulare yOz cu originea in centrul de greutate al secţiunii numindu-se sisteme de axe centrale.

z

y

y

zyG

zG

G

dA

xO

In cazul unei secţiuni compuse din mai multe secţiunisimple Ai, pentru care sunt cunoscute coordonatele yi sizi ale centrului de greutate Gi, coordonatele centrului demasa sau de greutate ale întregii secţiuni rezulta:

n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

A

zAz

A

yAy

1

1

1

1 ;

Obs.Ariile secţiunilor transversale plane au dimensiunea (L2),si se măsoară in mm2, cm2, m2….

Momentele statice ale secţiunilor transversale plane audimensiunea (L3), si se măsoară in mm3, cm3, m3….

Se numeşte moment de inerţie axial al figurii plane, de arieA, in raport cu o axa din planul sau, suma produselorelementelor de arie dA cu pătratele distantelor lor la axaconsiderata. In raport cu axele Oy si Oz momentele deinerţie sunt:

A

zA

y dAyIdAzI 22 ;

Suma produselor elementelor dearie dA cu distantele lor la unsistem de axe rectangular Oyz senumeşte moment de inerţiecentrifugal al figurii plane in raportcu axele Oyz.

A

yz yzdAI z

y

y

zyG

zG

G

dA

xO

Moment de inerţie polar al unei figuri plane, in raport cu unpunct (pol) din planul figurii, este suma produselorelementelor de arie dA cu pătratele distantelor lor la acelpunct.

2

2 2 2

2 2 2( )

oA

o y zA A

I r dA

r z y

I r dA z y dA I I

Suma momentelor de inerţie axialein raport cu axele rectangulare cuaceeaşi origine O reprezintă uninvariant la rotirea sistemului de axe.

Obs. Momentele de inerţie (axiale, centrifugale si polare)au dimensiunea (L4), si se măsoară in mm4, cm4, m4….

z

y

y

zyG

zG

G

dA

xO

Momente de inerţie la dreptunghi

12

123

2

32

2

22

hbdAyI

bhdzzbdAzI

Az

/h

/hAy

Sa se determine momentele de inerţie axiale in raport cuaxele centrale Oy si Oz paralele cu laturile dreptunghiului.

Axa centrala Oy ; suprafaţa elementare dA || axa Oy

dA = b·dz

Pentru axele O1y1 si O1z1 care conţin laturile dreptunghiuluise obţine:

42

22

0111111

hbbdzzbdAzyIh

Azy

Momentul de inerţie centrifugal in raport cu sistemul deaxe Oyz este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.Pentru momentul de inerţie centrifugal in raport cu aceleO1y1z1 se obţine:

3

33

1

3

01

211

hbI

bhdzzbI

z

h

y

Momente de inerţie la triunghiFie un triunghi oarecare de lăţime b si înălţime h. Pentruevaluarea momentului de inerţie axial in raport cu axay1-y1 care trece prin vârful triunghiului, paralel cu baza,se va considera aria elementara dA=bzdz.

4

3

01

31

011

21

211

11

bhdzzhbdzbzdAzI

hzbb

hh

zA

y

z

In raport cu axa centrala y-y paralela cu baza:

3632

32

33/2

3/

22 bhdzzhhbzdAzI

zhhbb

h

hAy

z

1

In raport cu axa y2-y2 trecând prin baza triunghiului:

12

3

022

22

222

22

bhdzzhhbzdAzI

zhhbb

h

Ay

z