CAPITOLUL 2

METODE COMPUTATIONALE IN DINAMICA SISTEMELOR DE SOLIDE RIGIDE

Obiectivul capitolului este ca, plecand de la algoritmii de analiza cinematica, de tip Amirouche [1], pe care este structurat capitolul 5, sa se dea un algoritm matriceal pentru construirea modelului matematic al miscarii unui lant cinematic cu solide rigide. Se folosesc notatiile din cap. 5.Pentru a da o forma matriceala modelului matematic, se poate folosi oricare din metodele cunoscute din mecanica generala: Lagrange, Kane, Hamilton, Appell etc. In cele ce urmeaza se foloseste metoda Lagrange.Ecuatiile Lagrange sunt date de sistemul (4.1.):

,(6.1.)unde:T - este energia cinetica a lantului cinematic fata de reperul (R 0), solidar cu baza;

- este vectorul asociat coordonatelor generalizate ce se ataseaza lantului cinematic;aBs - este matricea asociata sistemului de legaturi suplimentare (constrangeri) la care este supus lantul cinematic (vezi cap. 4);

- este vectorul ce contine multiplicatorii Lagrange;{Q} - este vectorul ce contine fortele generalizate.Folosind pentru ecuatiile Lagrange forma (6.1.), este evident ca, in {Q} se considera contributia atat a fortelor si cuplurilor neconservative, cat si a celor conservative.

6.1. Modelul matematicEnergia cinetica a lantului cinematic fata de reperul (R 0) este:

, (6.2.)unde C j este centrul de masa al elementului j.

Daca, in conformitate cu rezultatele din cap. 5, vectorii si se exprima in baza , asociata reperului (R 0), atunci matricea asociata tensorului de inertie va fi , data de:

,(6.3.)

unde este matricea de inertie a elementului j fata de un reper propriu , cu originea in centrul sau de masa C j si avand axele paralele si la fel orientate cu axele reperului propriu (R j).Sub forma matriceala, energia cinetica este:

,(6.4.)

unde si sunt matrice 3x1 care contin componentele lui si in baza .Dupa inlocuirea lui (6.4.) in (6.1.), prin calcule elementare, se obtine urmatoarea forma matriceala a modelului matematic al miscarii unui lant cinematic (sau, mai general, sistem) de solide rigide, fata de baza 0:

,(6.5.)unde:

(6.6.)

+ (6.7.)

(6.8.)

- sunt matrice viteza unghiulara partiala;

- sunt matrice viteza partiala, matricea referindu-se la centrul de masa C j al elementului j;aRs - este definita prin relatia (5.17.).Din (6.6.) si (6.7.) se constata ca pentru construirea matricelor aMs si aNs este suficient sa se parcurga un algoritm de analiza cinematica ca cel descris in capitolul 5.

Necunoscutele problemei sunt si , la modelul matematic (6.5.) adaugandu-se, daca este cazul, un sistem de ecuatii de constrangere:

,(6.9.)unde matricea aBs este de dimensiuni mx6n, m fiind numarul ecuatiilor de constrangere. Pentru un lant cinematic deschis fara alte constrangeri cinematice, modelul matematic al miscarii este:

.(6.10.)Indiferent de metoda primara adoptata (Lagrange, Hamilton, Kane etc.), cu un algoritm cinematic ca cel din cap. 5, se obtine tot modelul (6.5.).Construirea efectiva a modelului matematic cu (6.5.) sau (6.10.) este, acum, o problema de rutina. Propunem cititorului sa construiasca matricele aMs si aNs pentru aplicatia 5.1.

6.2. Vectorul {Q} al fortelor generalizateSe face descompunerea:

,(6.11.)unde:

- este vectorul forta generalizata asociat fortelor si cuplurilor active (exterioare date);

- este vectorul forta generalizata asociat legaturilor de tip Hooke si Newton.Descompunerea (6.11.) corespunde majoritatii cazurilor concrete.

6.2.1. Vectorul Fie:

o forta exterioara aplicata in punctul M i al lantului cinematic si fie:

un cuplu exterior actionand asupra elementului k.Forta generalizata asociata coordonatei generalizate q j este:

,(6.12.)

vectorul fiind:

.(6.13.)Cu (5.4.) si (5.19.) se obtine:

.(6.14.)

6.2.2. Vectorul (fig. 6.1.)

a) Grupaj H-N de tip translatie

b)Grupaj H-N de tip rotatie

.Fig. 6.1.

Se considera legaturile ca fiind liniare. Adaptand relatia (6.14.) se obtine:

- vectorul pentru un grupaj H-N de tip translatie:

(6.15.)

- vectorul pentru un grupaj H-N de tip rotatie:

.(6.16.)Fortele si cuplurile de legatura de contact nu dau componente in {Q}.S-au folosit notatiile:

.

6.3. ConstrangeriVom considera doua tipuri de constrangeri ce pot fi impuse frecvent unui lant cinematic.

6.3.1. Constrangerea asociata unui lant cinematic inchis (fig. 6.2.)

Considerand un punct M de contact intre elementele i si k, se face desfacerea mentala a cuplei, punctul M dedublandu-se in punctele si .Se poate scrie:

.

Deoarece , prin comparatie cu (6.9.) se obtine:

.(6.17.)

Fig. 6.2.

Construirea modelului matematic al miscarii unui lant cinematic inchis, monocontur se face parcurgand urmatoarele etape:- se desface lantul intr-un punct (cupla) si pentru lantul deschis astfel obtinut se construiesc cu relatiile (6.6.) si (6.7.) matricele aMs si aNs, iar cu procedeul expus in paragraful 6.2. se determina vectorul {Q};- se construieste matricea aBs cu relatia (6.17.);- se formeaza modelul matematic:

(6.18.)

.(6.19.)Pentru lanturile inchise multicontur se adapteaza metodologia prezentata anterior.Frecvent, la lanturile plane, matricea aBs se obtine plecand de la ecuatiile de pozitie obtinute cu metoda barelor sau a contururilor.

Exemplu . Sa se construiasca matricea aBs pentru mecanismul prezentat in fig. 6.3.

Fig. 6.3.Se poate scrie:

.Lantul cinematic este inchis, monocontur. Conditia de inchidere (de constrangere) este:

.(6.20.)

Scriind (6.20.) in baza , cu notatiile:

,(6.21.)se obtine:

.(6.22.)Derivand (6.22.) in raport cu timpul se obtine:

,(6.23.)unde:

.(6.24.)Se constata ca modelarea dinamica a mecanismelor cu elemente rigide se include in algoritmul general de analiza dinamica a lanturilor deschise, fiind necesara precizarea matricei aBs.

6.3.2. Constrangeri prin impunerea unui parametru cinematic pentru unpunct al lantuluiDaca se impune, spre exemplu, ca viteza unui punct M al lantului sa aiba o evolutie in timp de forma:

,tinand cont de faptul ca:

,se obtine:

,(6.25.)indicele j localizand punctul M pe elementul j.Se constata ca, esential pentru continuarea algoritmica a modelului matematic al miscarii este:- precizarea coordonatelor generalizate, adica a vectorului {q};- construirea matricelor viteza partiala;- construirea matricelor viteza unghiulara partiala.