DefiniDefiniţieţie

un tablouun tablou::

*Nn

format din m×n elemente aranjate în m linii şi n coloane. Se notează :

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

....................

...

...

21

22221

11211

,,1, miaA ij nj ,1

Cazuri particulare1) O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se

numeşte matrice linie şi are forma:

2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma:

naaaA ... 21n1

1m

ma

aa

B... 2

1

Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip )Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip ) m×n (m,m×n (m, ) )

O matrice de tip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

nm

0 ... 0 0... ... ... ...0 ... 0 00 ... 0 0

O

Se numeşte matrice unitate matricea care pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar restul elementelor sunt egale cu 0. Se notează cu:

1 ... 0 0... ... ... ...0 ... 1 00 ... 0 1

nI

Definiţie: Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane (m = n), atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n.

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A notată Tr(A)

nnaaa ... 2211

nnaaa ... 2211

n

iiia

1

Sistemul de elemente reprezintă diagonalasecundară a matricii A.

11 21 ... nnn aaa

Operaţii cu matrici

Definiţie. Fie . Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A = B dacă : ,

,ijaA ijbB Cnm ,ijij ba

1. Egalitatea a două matrici.

.,1,,1 njmi

Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea matricelor :

xx

yxyxx

29 01 2

2 0 1

Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:

Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3.

1x 2 yx 1 x

00 xyx 292

Suma matricelorDefiniţie: Se numeşte suma matricelor ),( ijaA

,

)( ijbB de dimensiuni m×n matricea de aceleaşi dimensiuni ),( ijdD

unde ,ijijij bad ;,1 mi

,

.,1 nj Se notează: BAD

Exemplu:

401

312A şi

este matricea :

032571

B

D

1 2 1 7 5321 30 04

431861

Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă: 11 12 1

21 22 2

1 2

... ...

... ... ... ... ...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

... ...

... ... ... ... ...

n

n

m m mn

b b bb b b

b b b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

... ...

... ... ... ... ...

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

Proprietăţi ale adunării matricelor

1A (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:

,A B C A B C ,, , m nA B C C

.

2A (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:

,A B B A

,, m nA B C

3A , ,m n m nO C

(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică astfel încît:

, ,,m n m nA O A A C

4A ,m nA C (Elemente opuse). Orice matrice are un opus, notat

, astfel încât: ,m nA A O A

Exerciţii de control

1 1 2 0 5 3, .

3 0 1 10 1 5A B

1 1 0 1, .

1 1 1 0A B

Să se calculeze A + B pentru:

. 1 :Ex

. 2 :Ex

1 3 8 2 9 146 8 10 , 13 5 6 .5 2 4 7 1 0

A B

. 3 :Ex

C ijbB

ijij ab .,1 , ,1 njmi

nmij MaA )(Definiţie: Se numeşte produsul matricei

cu numărul matricea de aceleaşi dimensiuni

unde

Se notează :

Produsul unei matrici cu un scalar

AB

Observaţie: A înmulţi o matrice cu un scalar înseamnă a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci,

11 12 1

21 22 2

1 2

... ...

... ... ... ... ...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

.

Proprietăţi ale înmulţirii matricei cu scalar

CMBAС mn , ,

CMAС mn , ,

CMAC mn ,1

1S

A A , , , mnС A M C

2S A B A B ,

3S

,A A A

4S 1 ,A A

Înmulţirea matricelor

Definiţie. Fie , ,, ki m n i j n pA a M R B b M R

,kj m pC c M R Produsul dintre matricile A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea definită prin:

1

, 1, , 1, .n

k j ki iji

c a b k m j n

, ,, B ,m n n pA R R

, nA B R2) Dacă matricile sunt pătratice atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, adică înmulţirea matricilor nu este comutativă.

AB BA

Observaţii1.) Produsul AB a două matrici se poate efectua numai dacă

adică numărul de coloane i ale lui B este egal cu numărul de linii ale lui A, obţinîndu-se o matrice

C = AB

Exemplu:

724421310

,543235021

BA

602194115111152

1* +2* +0*

AB =

1*1+2*2+0*2 1*3+2*4+0*7

5*0+3*1+2*4 5*1+3*2+2*2 5*3+3*4+2*7

3*0+4*1+5*4 3*1+4*2+5*2 3*3+4*4+5*7

0 1 4

=

Proprietăţi ale înmulţirii matricelor

1I (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică , ,, , ,m n n pAB C A BC A C B C

,p sC C

2I (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică

, , , ,A B C AC BC C A B CA CB A B C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire.

n nI C3I Dacă este matricea unitate, atunci , ,n n nI A AI A A M C unde este elementul neutru.nI

Exerciţii de control

. 1 :Ex

. 2 :Ex

2 1 5 0.)

3 5 1 3a AB

Să se calculeze produsul matricelor:

1 03 0 2 3.) 51 2 0 2

4 3

b AB

Să se calculeze (în caz dacă există), unde 2 2A B

1 3 4 0;

2 5 7 6A B

Ex. 3: Să se calculeze suma(diferenţa) matricelor:

40323

405

2102 .)

;012325

4203

12113 .)

;3412

58137

2 .)

;3120

2113

.)

ii

ii

id

c

b

a

Să se calculeze AB, BA dacă:

;111110101

,111 .)

;730529

1161 ,

100020003

.)

Bzyx

cbaAb

BAa

;2213

0214

3132

.)

;1013

2211

2310

.)

b

a

Să se calculeze:

Ex 4.

Ex 5.