MATEMATICISPECIALEProf. univ. dr. Gheorghe BARBU11. Obiectivul disciplinei Prezentarea, cunoaterea i nsuirea elementelor de baz i a tehnicilor calcul privind funcii complexe, transformri integrale, funcii speciale, probabiliti i grafuri. 2. Desfurarea disciplinei Curs : 3ore / sptmn. Seminar: / sptmn. 3. Programa analitic a cursului I.Funcii complexe------------------------------------------------------------------15 ore1. Numere complexe------------------------------------------------------3 ore Corpul numerelor complexe Planul complex Proprietile algebrice ale numerelor complexe Completarea planului complex Structura metric i topologic a planului complex Funcii complexe de variabil real2. Funcii complexe de variabil complex-------------------------9 ore Limite Continuitate Derivabilitate----------------------------------------2 ore Funcii elementare----------------------------------1 or Integrarea funciilor complexe -------------------3 ore Serii de funcii complexe--------------------------3 ore3. Teoria reziduurilor i aplicaii-------------------------------------3 oreII. Transformri integrale---------------------------------------------------------------6 ore Transformarea Fourier-------------------------------------- 2 ore Transformarea Laplace------------------------------------- 2 ore Aplicaii--------------------------------------------------------2 oreIII. Funcii speciale----------------------------------------------------------------------3 ore Funciile lui Euler: Gama i Beta-------------------------------2 ore Funcii Bessel------------------------------------------------------1 or2IV.E l e m e n t e d e t e o r i ap o b a b i l i t i l o r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 ore Cmpuri de evenimente--------------------------------- 3 ore Variabile aleatoare. Caracteristici numerice---------- 3 ore Repartiii clasice de probabilitate---------------------- 3 oreV.E l e m e n t e d e t e o r i ag r a f u r i l o r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 ore Grafuri neorientate--------------------------------------1 or Grafuri orientate-----------------------------------------1 or Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime--- 2ore Drumul critic-------------------------------------------- 1 or Aplicaii--------------------------------------------------- 1 orVI.E l e m e n t e d e t e o r i a a t e p t r i i- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 ore Model general cu sosiri poissoniene i timp de servire exponenial --2 oreT i p u r i d e m o d e l e d e a t e p t a r e - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 or4. Bibliografie [1] GheorgheBarbu,Matematici speciale. Note decurs., TipografiaUniversitii dinPiteti, 1992. [3] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universitii din Piteti, 1993. [4] Gheorghe Barbu, Maria Jaic,Modele ale cercetriioperationale, Editura Universitii din Piteti, 1999. [5] Gheorghe Sabac,Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactic i Pedagogic, 1984 [6] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu,Probleme de matematici speciale, Editura Didactic i Pedagogic, 1982. [7] Marin Nicolae Popescu,Matematici speciale, Editura Universitii din Piteti, 2002. [8] GheorgheMihoc, N. Micu,Teoriaprobabilitilor i statistic matematic, Editura Didactic if Pedagogic, Bucureti, 1980. 5. Evaluare Prezen la curs-----------------------------------------------------------------------------10 %Prezen activ laseminar----------------------------------------------------------------- 10%Verificare periodic------------------------------------------------------------------------ 30%Tem de cas-------------------------------------------------------------------------------- 20%Examen final-------------------------------------------------------------------------------- 30%3Cursul nr. 1MatematicispecialeCAPITOLUL I FUNCII COMPLEXE1.Numere complexe1.1. Construcia numerelor complexeMulimea numerelor complexe a aprut din necesitatea extinderii noiunii de numr, avnd ca punct de pornire mulimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaie de gradul n s aib n soluii n noua mulime.Fie Rcorpulnumerelor reale. Pe mulimea R2= RR= {(x,y) /x,yR}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaiile de adunare i nmulire astfel:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + y1x2)Definiie. Mulimea R2 nzestrat cu operaiile de adunare i nmulire definite mai sus formeaz corp, numit corpul numerelor complexe, ale crui elemente se numesc numerecomplexe:C = (R2, +, )Observaie. (R2, +, ) este corp comutativ, axiomele verificdu-se imediat, innd cont de proprietile operaiilor de adunare i nmulire a numerelor reale.Adunarea are proprietile:asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 Cexist elementul neutru fa de adunare, 0=(0,0) i avem:z+0=0+z , z Cpentru orice z=(x,y) C exist opus luinotz (x, y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0comutativitatea z1+z2=z2+z1, z1, z2 Cnmulirea are proprietile:asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 Cexist elementul neutru fa de nmulire, 1=(1,0) i avem:z.1=1.z=0, z C4pentru oricez=(x,y)C{(0,0)} exist inversul lui notat 1 sau z-1 astfel caz.z-1=z-1.z=1zcare se mai poatescrie (x,y)(x,y) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:xx'yy' 1' yx'+xy'0cu soluiax' x i y' y pentru (x,y)(0,0);x2+ y2x2+ y2comutativitateaz1.z2=z2.z1, z1,z2 CDemonstraiile : tem pentu seminar.Forma algebric a unui numr complex este z = x + i y, unde x este partea real i senoteazx=Rez, yesteparteaimaginari senoteazy=Imz, iarieste unitatea imaginar, i2 = - 1.Simbolul z identificnd orice numr complex se numete variabil complex. Mulimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:C = { x + i y | x, y R, i2 = -1 Definiie. Dac z=x+iy este un numr complex, atunci: conjugatulsu, notat cuz se definete ca fiind z x iy ;modulul su, notat cu|z| este numrul realnenegativx2+ y2 .Propoziie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate urmtoarele proprieti:1.z1 + z2 z1 + z2, z1z2z1 z2 , z z2.Re z = z + z, Im z = z z2 2i3.z z z 2 , 1z2,z0 , zn zn, nNz z4. z = z z R5.z z, z z , z z , Rzz 16. z1z2z1 z2,1 , z2 0 , z1+ z2 z1+ z2z2z2+ z2,z1z2z1+ z27. z1 z2 z1 zRe z z , zImz zRez z Re z +Imz , Imz z Re z +Imz5Demonstraiile proprietilor algebrice 1 7: tem pentru seminar.1.2. Planul complexNumerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o ax pe care am fixat o origine i o unitate de msur. Dac asociem fiecreipunct al dreptei (d) abscisa sa, se obineofunciebijectivdelapuncteleacestei dreptenmulimeanumerelorreale. Un numr complex z = x + i y este determinat de dou numere reale x i y.Dac raportmmulimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistemde axe de coordonate ortogonale xOy cu originea n O, aplicaia definit pe C cu valori n (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C n punctul M(x, y) este o bijecie.y( P )M(x,y)xOPunctul M se numete imaginea numrului complex z = (x, y) n planul (P), iar z se numete afixul lui M.Definiia. Planul ale crui puncte se identific cu numerele complexe prin funcia bijectiv definit mai sus se numete planul complex.1.3.Reprezentareatrigonometric a numerelorcomplexeFie z = x + i y un numr complex i M(x,y) imagineasa geometric.Notmcur OM z, iar cu unghiul format de axa real pozitiv cu vectorul OM. Atunci6Im zx=|z| cos y=|z| sin y M(x, y)|z| O xRe zForma trigonometric a numrrului complex z se scrie astfel: z = r(cos + i sin )unde r = |z| =x2 + y2 este modulul numrului complex, iar este unghiul fcut dedirecia pozitiv a axei Ox cu vectorul OM , numit argumentul lui z.Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ' = + 2 sau " = - 2 precum i orice unghi de forma : + 2 k , cu kZ.De aici rezult c argumentul unui numr complex dat nu este unic, avnd o infinitate de valori ce difer ntre ele printr-un multiplu de 2 .Mulimea argumentelor lui z se noteaz cu Arg z i are forma:Arg z = { | = arg z +2k , kZ }Determinarea lui arg z se face innd seama de cadranul n care se afl numrul complex.Exemple. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = 3 2 32i . S se determine r, argz, Arg z i s se scrie forma trigonometric pentru fiecare.Definiie. Unghiul (0, 2 ) (sau ( , ) ), msurat ntre direcia pozitiv a axei Ox idirecia vectorului OM , care se determin n mod unic ca soluie a sistemului format dinecuaiil ecos xisin y(z0),senumeteargumentul principalal lui z isez znoteaz arg z.Observaii:1. arg((0,0)) este nedeteminat 2. toate unghiurile ce determin direcia vectorului OM se noteaz prin Arg z = arg z+2k, kZ i se numete argumentul lui z.n baza celor prezentate anterior rezult forma trigonometric a unui numr complex zC{(0,0)}:z = r (cos + i sin ),unde7x2 + y2r z i yarctg , x, y > 0(cadranulI)x yx, x < 0(cadranulII sau IIIsausemiaxa Ox') + arctgx y = '2+ arctg , x > 0si y < 0(cadranulIV) x0, x > 0 si y 0(semiaxaOx)/ 2, x 0 si y > 0(semiaxa Oy)3/2, x 0 si y < 0(semiaxa Oy')yII I15 x IIIIV yPropoziie. Pentru orice numere complexez1=r1(cos1 + isin1), z2=r2(cos2 + isin2)i z = r(cos + isin )au loc relaiile:1.z1 z2 = r1r2[cos(1+2)+ isin(1+2)]z r2. 1 1 [cos(12)+ isin(12)]z2r23. z n = r n (cos n + isin n) , n NPentru r = 1 se obine formula lui Moivre: ( cos + isin )n = cos n + isin n| + 2k + 2k `4.n z n rcos + isin , k 0,n 1. n n ,Exemple.1. S se calculeze (1 + i )100 2. Ssegseascvalorileluizpentrucarez5=- 32i sse figureze n planul complex aceste valori. *| z 1 `n3. Pentru orice n N s se rezolve ecuaia 1.. z, 14. S se gseasc modulul, argumentul i s se scrie sub form trigonometric, numerelez 1i , z (1i 3)6 .11+ i25. S se transcrie n coordonate complex conjugate (z,z) exuaiile: 2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10 1.4.Completarea planului complex cu punctul infinitn afar de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, n multe situaii este util reprezentarea lor geometric, ca puncte ale unei sfere. Se consider n8spaiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u=x, v=y (planul complex).Se consider o sfer tangent la planul complex n punctul corespunztor numrului complex 0 (originea).Fie N punctul de pe sfer diametral opus lui O(polul nord). Fie M1un punct de pe sferdistinct de N. Vom asocia punctuluiM1punctul M din plan n care dreapta NM1intersecteaz planul. Reciproc, unui punct M din plan i vom asocia punctul M1de pe sfer n care dreapta MN intersecteaz sfera. Corespondena astfel realizat (ntre puncteleplanului complex i punctele sferei) se numete proiecie stereografic. Cnd punctul M1se mic pe sfer i se apropie de N, punctul din planul complex se deprteaz, iar atuncicnd M1coincide cu N, dreapta MN devine paralel cu planul complex, ceea ce nseamnc punctul N nu are corespondent n planul complex.Dac punctului N i asociem punctul infinit i reciproc, atunci se realizeaz o bijecie ntre punctele de pe sfer i planul complex.Notm C C {}mulimea numerelor complexe astfel completat, obinnd planulcomplex compactificat sau planul lui Gauss.Prin definiie, punctul de compactificare l vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a fcut prin proiecie stereografic.Relaii algebrice ale numerelor complexe cu z+=+z= , z Cz.=.z= , z C{0}z0 , z C , z , z C{0} 09NMv=yMu=x1.5. Structura metric i topologic a planului complexPropoziie. Aplicaia d: CCR, definit prind(z1, z2) = |z1z2| , z1, z2 Ceste o metric (distan) pe C.Demonstraie: C1. d(z1, z2) = 0 |z1z2| = 0 z1 z2 = 0 z1 = z2, z1, z22. d(z1, z2) = |z1 z2| = |z2 z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C3. d(z1, z3) = |z1 z3| = |(z1 z2) + (z2 z3)| |z1 z2| + |z2 z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1, z2 CDefiniie. Mulimea C pe care s-a definit metrica d se numete spaiu metric, notat (C,d)Observaie.Distanadcoincide cu distana euclidian peR2. Fiez1=x1+iy1,z2=x 2+iy 2 , atuncid(z1,z2)=|z1-z2|=|(x1+iy1)(x2+iy2)|=|(x1x2)+i(y1y2)| = (x1 x2)2 + (y1 y2)2care reprezint distana euclidian dintre dou puncte din plan, de coordonate (x1,y1) i (x2,y 2).Definiie. Fie z0 C, z0 . Mulimea (z0; r)={zC ; |zz0|0) sau vecintate deschis a lui z0 .10Definiie. Mulimea (z0 ,r)={ z |zC , |z-z0 |=r } se numete frontiera discului (z0; r).Adugnd discului frontiera sa se obine discul nchis.Definiie. Mulimea (z0; r) ={zC ; |zz0| r} se numete vecintate nchis a punctului z0 sau disc nchis.Pe mulimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie d .Pentru a da o topologie pe o mulime trebuie s vedem care este familia mulimilor deschise.Definiie. O clas de submulimi ale unei mulimi X se numete topologie pe X, dac verific urmtoarele trei axiome:1) ,X 2) Dac D1, D2 atunci i D1 D2 3) Dac Di pentru orice i aparinnd unei mulimi arbitrare de indici I,atunci Di .iIDefiniie. Cuplul (X,) se numete spaiu topologic.Definiie. O mulime V, VC se numete vecintate a unui punct z0 C dac exist discul(z0 ,r), astfel nct (z0 ,r)V.Definiie. Mulimea(z0; r1, r2) = {zC; r1 < |z z0| < r2} se numete coroana circularcentrat n z0 de raze r1 i r2, unde r1, r2 > 0.Definiie. Punctul z0C se numete punct interior mulimii EC, dac z0E i exist ovecintate VE a lui z0coninut n ntregime n E.Mulimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu E .Definiie. Mulimea EC se numete mulime deschis dac orice punct al su este punct interior.Observaie. Orice reuniune finit de mulimi deschise i orice intersecie finit de mulimi deschise este o mulime deschis. Mulimea C este deschis.Definiie. Complementara mulimii E este mulimea C\E a tuturor punctelor care nu sunt n E. Se noteaz cu CE.Observaie. Un punct z0este exterior mulimii E dac exist o vecintate a sa coninut nntregime n CE.Definiie. Mulimea E este nchis dac complementara sa este deschis.Definiie. Punctul z0C se numete punct aderent mulimii EC dac n orice vecinatate V a lui z0 exist cel puin un punct al mulimii E.Mulimea tuturor punctelor aderente multimii E se numete nchiderea lui E i se noteaz cu E .Definiie. Mulimea E se numete nchis dac E = E .11Obsrevaie. Mulimile C i sunt nchise i deschise.Definiie. Punctul z0C se numete punct de acumulare pentru mulimea EC dac norice vecintate V a lui z0 exist cel puin un punct din E diferit de z0 , zE{z0} ((V{z0})E ).Mulimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numete derivata lui E i se noteaza cu E(evident E E E')Definiie. Punctul z0C este punct frontier al mulimii EC dac n orice vecintate a lui z0 exist puncte zz 0 ce aparin lui E i puncte zz0 ce nu aparin lui E.Mulimea tuturor punctelor frontier ale lui E se numete frontiera mulimii E i se noteaz cu E (evident E E C E ).Definiie. Punctul z0se numete punct izolat al mulimii E dac exist o vecintate a luiz0astfel nct (z0 ,r)\{z0 }E=.Definiie. Mulimea E, EC este marginitdacexist discul (0;r)astfelncatE(0;r). Altfel se numete nemarginit.Definiie. O mulime nchis i mrginit se numete mulime compact.Definiie. O mulime deschis EC se numete conex dac oricare ar fi z1,z2 E, ele potfi unite printr-o curb continu coninut n E.Definiie. O mulime deschis i conex se numete domeniu.Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format dintr-o singur curb, se numete domeniu simplu conex.Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din dou sau mai multe curbe, se numete domeniu multiplu conex.Un domeniu multiplu conex se poate trensforma n domeniu simplu conex dac se efectueaz un anumit numr de tieturi.Definiie. Se numete tietur o operaie prin care se ndeprteaz din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curb coninut n domeniu i care reunete dou puncte de pefrontierediferite, una interioar i altaexterioar.A Bz1 ..z2CD = A U B nu este conexC este conex12Exemple. Fie A={ z C ||z| < 1 } ,B = { z C | | z | > 1 }1. Care este frontiera lui A ? 2. Ce fel de mulimi sunt A i B ? 3. Dai exemplu de mulime nchis. 4. Care din mulimile de mai sus sunt conexe ? 5. Dai exemplu de mulime care nu este conex. 2. Funcii complexe de variabil realDefiniie.. Fie ER. Se numete funcie complex de variabil real, aplicaia mulimiiE de numere reale n corpul C al numerelor complexe: f : ER CNotnd cu t argumentul funciei, valoarea funciei n punctul t va fi un numr complex ise va scrie:f(t)=z(t)=x(t)+i y(t),tEDeci o funcie complex de variabil real este determinat de o pereche ordonatx=x(t),y=y(t),tEde funcii reale de variabil real.Definiia. Spunem c numrul complex l este limita funciei f n punctul de acumulare t0 al lui E, dac >0 ()>0, astfel nct pentru |t-t0 |0, astfel nct pentru |t-t0 |xx0xx0yy0yy0 u v (1.1)f (z0) x (x0, y0)+ i x (x0, y0)Analog, presupunnd cz z0pe o paralel la axa imaginarOy ( x = x0, y y0)rezult cu(x0 , y)u(x0 , y0 ) v(x0 , y)v(x0 , y0 )f (z0 ) limi(y y0 )+i limi(y y0 )>yy0yy0x x0x x0 1 uv u v (1.2)f (z0) i y (x0, y0) + y (x0, y0) i y (x0, y0)+ y (x0, y0)Din relaiile (1.1) i (1.2) rezultcu v v uf (z0) x (x0, y0)+ i x (x0, y0) y (x0, y0) i y (x0, y0) de unde se obine19u v (x0, y0) (x0, y0) x y'uv(x0, y0) (x0, y0)y x(suficiena) Cum u i v admit derivate partiale de ordinul I continue n (x0, y0), din formula creterilor finite rezult cu(x0, y0)u(x0, y0)u(x, y) u(x , y ) (x x ) + (y y ) + (x x )(x, y) + (y y ) (x, y) 0 0 0 0 0 1 0 2 x yunde'v(x0, y0 ) v(x0, y0)v(x, y) v(x , y ) (x x ) + (y y ) + (x x )(x, y) + (y y ) (x, y) 0 0 0 x 0 y 0 1 0 2funciile ,,, tind la zero cndz z (adica x xi y y ).1 2 1 2 0 0 0f (z) f (z0)u(x, y) u(x0, y0) + i[v(x, y) v(x0, y0)]z z0(x x0)+ i(y y0)(x x )u (x , y )+ (y y )u (x , y )+ (x x )(x, y) + (y y ) (x, y)= 0 x 0 00y 0 0 0 1 0 2 +(x x0)+ i(y y0)i(x x ) v (x , y )+ i(y y ) v (x , y ) + i(x x )(x, y) + i(y y ) (x, y)+0x 0 0 0 y 0 0 0 1 0 2 =(x x0) + i(y y0)uv vu ]C.R. (x x0 ) x (x0, y0 ) + i(y y0) y (x0, y0 ) + i

(x x0 ) x (x0, y0) i(y y0) y (x0, y0)] ]+(x x0 ) + i(y y0)(x x )[(x, y)+ i(x, y)]+ (y y )[ (x, y)+ i(x, y)]+0 1 1 0 2 2=(x x0) + i(y y0)uu vv ](x x0) (x0, y0)+ i(y y0) (x0, y0) + i (x x0) (x0, y0) + i(y y0) (x0, y0)xx

xx]= ]+(x x0)+ i(y y0)(x x )[(x, y)+ i(x, y)]+ (y y )[ (x, y)+ i(x, y)]+0 1 1 0 2 2=(x x0) + i(y y0)= u (x , y )+ iv (x , y )+ x x0 [(x, y) + i(x, y)] + y y0 [ (x, y) + i(x, y)].x 0 0 x 0 0z z0 1 1z z0 2 220Cumx x0Re(z z0)z z0 ,y y0Im(z z0)z z0i lim1(x, y) =zz0= lim (x, y) = lim (x, y) =lim (x, y)= 0 rezult c2 1 2zz0zz0zz0limf (z) f (z0)u(x0, y0) + iv(x0, y0)z z0xxzz0ceea ce demonstreaz c funciaf este monogen n punctulz0 i c uvcond.C.R. vuy (x0, y0 ) i y (x0, y0).f (z0) x (x0, y0) + i x (x0, y0)Propoziie. Orice funcie monogen ntr-un punct este continu n acel punct. Reciproca nu este adevrat.Exemplu. Funcia f(z)= z este continu n orice punct z0dar nu este monogen.Consecin. Dac o funcie olomorf ntr-un domeniu D are derivate nul, atunci ea este constant n domeniul D.Observaie. Ca o consecin a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o funcie olomorf pe un domeniu, cnd i se cunoate doar partea real sau doar partea imaginar. Observaie. Funciile monogene f(x,y) = u(x, y) + iv(x, y) pot fi scrise sub forma w = f(z) observnd c w = f(z) = u(z,0) + iv(z,0), adic n expresia funciei n parametri x i y lum y = 0 i nlocuim x cu z.Exemple. 1. S se determine constantele a, b, c, d astfel nct funcia f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2)s fie olomorf pe C. Scriei expresia funciei folosind variabila z.2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c u(x,y) = ex cos y i f(0) = 1.3. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c v(x,y) = 2ex sin y i f(0) = 0.3.3. Funcii complexe elementareFunciile complexe elementare sunt extensii la mulimea C a funciilor definite pe R.Funcia putere: f: CC, f(z)= zn (nN)f(z) = zn = [r(cos+i sin)]n = r n (cos n + isin n) = rncos n + irnsin nFuncia polinomial: f: CC, f(z)= anzn + an-1zn-1 + + a1z1 + a0 (nN, a0, a1,, anC, an0) este olomorf pe C, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.21Funcia raional: f:{zC / Q(z)0}C,f(z)= P(z)este olomorf pe tot domeniulQ(z){zC / Q(z)0}, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.Funciaradical de ordinn:f: CC, f(z) = n(nN, n 2)zf(z) = n n | + 2k + 2k `z n r(cos + isin ) rcos + isin , k 0,n 1.n n. ,Funcia radical nu este olomorf pe tot planulC.Funciaexponential: f: CC, f(z) = ezf(z) = ez= ex+iy = ex eiy= ex(cos y + isin y) = ex cos y + i ex sin y .Funciaexponential este olomorf peC, iar (ez ) ez ; n plus, este periodic deperioadaprincipal 2 i, pentru c f (z + 2 i)= ez+2 i= ez e2 i= ez (cos2 + isin 2 ) = ez = f(z).Funcialogaritmic: f: C{0}C, f(z) = ln zf(z) = ln z = ln(r ei( +2k))= ln r + lnei( +2k)= ln r + i( + 2k ), unde kZ.Funciaputeregeneralizat: f: CC, f(z)=z (C)z 0i(+ 2k ) a+bif(z) =ze ln z = e ln r ee(a+bi) [lnr+i(+ 2k )] == ealn rb(+ 2k )ei[a(+ 2k )+blnr] ==ealn rb( +2k)[cos(a( + 2k ) + bln r)+ isin(a( + 2k ) + blnr)]Funcii circulare (sinus i cosinus):iz izsin z ee2iiz , ()zC (formulele lui Euler)'iz e+ ecosz 2Funcii hiperbolice: zzsh z ee2 , ()zC'chz ez + ez 222Proprieti:1. cosiz=chz sin iz= i sh zchiz=cos zshiz=i sin z 2. Funciilecircularei hiperbolicesunt olomorfepeCi au derivatele: (cos z) = sin z (sinz) = cosz (ch z) = sh z(sh z) = ch z 3. Funciile circulare au perioada principal 2 , iar cele hiperbolice 2 i . 4. Pentruoricarear fiz1,z2,zCsepot demonstra relaiile: cos(z1 + z2) = cos z1cos z2 sin z1sin z2 sin(z1+z2) = sinz1cosz2+sin z2cos z1 sin2z + cos2z = 1 sin2z=2sinzcoszcos 2z = cos2z sin2z ch(z1+ z2) = ch z1ch z2+ sh z1sh z2sh(z1+z2) =shz1chz2+sh z2ch z1 ch2 z sh2 z = 1 sh 2z = 2 sh z ch z ch 2z = ch2 z + sh2 z Demonstraiile: tem pentru seminar.Exemple. S se aduc sub forma A+iB expresiile :ei, sh 2i , ch (2+3i) , cos(1i) , ln(1+i) , e iTem de cas nr.21. S se determine constantele a i b astfel nct funcia f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)s fie olomorf pe C.2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c u(x,y) = x3 3y2x 2y i f(0) = 0.3. Ssedeterminefunciaolomorf(peC)f=u+iv tiind c v(x,y) = x2 y2 + xy i f(0) = 0. 4. Calculai (1+i)25,e1+i3 ,ln(-2+2i),ln(4i-3),ln 1i , i 2 ,(1+ i 3)1i , ii ,sin(1+i),3 + itg(1-2i), ch(4i-3)23Cursul nr. 3 Matematici speciale3.4 Integrarea funciilor complexe de variabil complexFie f : DCC i o curb de lungime finit D, neted sau neted pe poriuni, iar f continu pe , ale crei ecuaii parametrice sunt date de x=x(t), y=y(t), t[a,b].Lum pe o diviziune prin punctele a z0 ,z1,.......,zn b.Pe fiecare arc ce unete zk1cu zk (1 k n) alegem un punct k .Formm sumele :nSn ( f , ,dn ) f (k )(zk zk1)k 1Notm :dnmax{|zkzk1 |}Dacnlim Sn ( f , ,dn ) lim f (k )(zkzk1)k 1 0dnexist, indiferent de alegereapunctelorkpe arcele de curb ce unescpunctelezk1,zk ,spunem c f esteintegrabil de-a lungul curbei ntre a i b i se noteaz limita cu f (z)dzsaubf(z)dz.aNotm cu f(z)=u(x,y)+i v(x,y) f (k ) u(xk , yk )+ iv(xk , yk ),kxk+ iykzk1zkxkxk1 + i(ykyk1),zkxk + iyknlim Sn ( f , ,dn ) lim f (k )(zkzk1)=k 1dn 0n (u(xk , yk ) + iv(xk , yk ))(xkxk1 + i(ykyk1 )) =k124n [u(xk , yk )(xkxk1)v(xk , yk )(yk yk1) + i(u(xk , yk )(yk yk1)+ v(xk , yk )(xkxk1))]k 1 u(x, y)dx v(x, y)dy + i u(x, y)dy + v(x, y)dx Exemplu.S secalculezezdz de la z=0 la z=4+2i de-a lungul curbei dat de z=t2+i t.3.4.1. Proprieti ale integralei complexe1. Dac f(z) i g(z) sunt integrabile pe , atunci( f (z) + g(z))dz f (z)dz + g(z)dz se numete liniaritatea integralei complexe n raport cufuncia, ,C.2.f (z)dz f (z)dz schimbarea orientrii pe drumul de integrare sau pe curba de integrareconducela schimbarea semnului valorii integralei.3. f (z)dz f (z)dz + f (z)dz 1 2 1 2aditivitatea integralei complexe la drum.1, 2fiind douarcesuccesive.4. Fie z=g() continu de =u+i v. Presupunem c, curbei n planul z, icorespunde curba 'n planul i c derivata g' () este continu pe ' .Atuncif(z)dz f (g( ))g ( )d 5.dz2 i:| z z0 |r z z06. Lungimea drumului de integrare : z=z(t), t[a,b] este datdeformula :b L( ) | z (t )| dta7. Fie DC i un arc de curb D, neted sau netedpe poriuni i f :DCcontinu pe.Fie L() lungimea arcului de curb i M=sup|f(z)|. naceste condiii avem :z25|f (z)dz |ML( )3.4.2. Teorema fundamental a lui CauchyDac : a) D este un domeniu simplu conex, DC,b) f :DC , f C' (D)atuncif (z)dz 0,oricare ar fi curba simpl, nchis, neted sau neted peporiuni,situat n ntregime nD.Demonstraie :Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iyf (z)dz udx vdy + i udy + vdx Integralelor din membrul doi le aplicm formula lui Green-Riemann :Pdx + Qdy (Q P)dxdyx y D Unde este frontiera domeniului compact D' , iar P,Qsuntcontinue,cuderivateP Q pariale , continue pe D .y xAplicarea formulei lui Green-Riemann este posibil deoareceuv 1 uv )f (z) +i ( +ixx i yyDeoarece fC'(D) rezult c u,v C' (D) if se obine:v u udxvdy ( + )dxdy ,D D Dx y D udy + vdx (u v)dxdyx y D26Aplicnd condiiile lui Cauchy-Riemann integralelor duble din membrul doi, ele vor fie egale cu zero i teorema este demonstrat.Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din mai multe curbe se numete multiplu conex.Definiie.O mulime deschis imultiplu conex se numete domeniu multiplu conex.Observaie.n cazuln care domeniuleste multiplu conex se utilizeaz generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.3.4.3. Generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.Dac :a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba 0n exterior i curbelek (k=1,n) n interior, netede sau netede pe poriuni, care sunt frontiere aleunor domenii mrginite Dk D ;b) f :DC , f este olomorf pe D, atunci: f (z)dz f (z)dz + f (z)dz +......+ f (z)dz012nDemonstraie : Fie C1,C2,..........,Cnarce de curb ce realizeaz n tieturi n domeniul D,unind respectiv un punct de pe 1,2 ,...........,ncu un punct de pe 0, astfel nctoricare dou din arceleC1,C2,..........,Cn nu se intersecteaz.Dup efectuarea tieturilor cu ajutorul arcelor C1,C2,..........,Cn, domeniul D se transformntr-un domeniu simplu conex, funcia f fiind olomorf pe D se poate aplica teorema lui Cauchy.Frontiera a domeniului D simplu conex este datde : ........ C +C ........C +C 0 1 n 1 1 n nf (z)dz f (z)dz +f (z)dz +........f (z)dz +f (z)dz + f (z)dz +.....+f (z)dz + f(z)dz + + 1 C C C C0n 1 1 n ninnd seamacf (z)dz f (z)dz iar f ( z ) dz 0+ CkCkSe obine :f (z)dz +f (z)dz +.............+f (z)dz 0 0 1 n27Rezult:f (z)dz f (z)dz + .................. +f(z)dz 0 1 nObservaie. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe nchise este sensul n care deplasndu-ne de-a lungul curbei, domeniuldelimitat de aceasta rmne n partea stng. Consecina teoremei lui Cauchy. Dac :a) D este un domeniu simplu conex :b) L ,L2 D sunt dou arce de curb simple, netede sau netede pe poriuni1care au aceleai extremiti z0i z i sunt orientate de la z0la z ;c) f :DC, f este olomorf pe D,atunci f (z)dz f (z)dzL1L23.4.4. Formula integral a luiCauchy. Teorema. Dac:a) D este un domeniu simplu conex;b) f : DCC, f olomorf pe D, atunci oricare ar fi curba situat n ntregime nD, neted sau neted pe poriuni si oricare ar fi z ,fiind domeniul mrginitde, are loc formula :f (z) 1 f (t)dt2i t zcunoscut sub numele de formula integral a luiCauchy.Demonstraie : Domeniulfiind o mulime deschis, rezult c oricare ar fi z exist un disc 1(z,r)cu centrul n z i raz r, suficient de mic astfel nct, mpreun cu frontiera , s fie inclus n .Fie \ 1(z,r) . Frontiera i sunt orientate pozitiv, adic n sens trigonometric.f (t) Considerm funcia : g(t) t z ,g : C olomorf n (delimitat de i ) dubluconex i conform teoremei generalizate a lui Cauchy avem :28g(z)dz +g(z)dz 0sauf (t) dt f (t) dtt z t z innd seama de continuitatea funciei f n punctul z, avem :I f (t) f (z)+ f (z)dt f (t) f (z)dt + f (z) dtt zt zt z Dar dt2 i,I f (t)f (z) + 2if (z)t zt z Trebuie demonstrat c integrala I0 cnd r0.Funcia f fiind continu n punctual z, rezult c dac oricare ar fi >0, exist un ()>0 astfel nct pentru orice t Dcu proprietatea c |t-z|< () s avem |f(t)-f(z)| .Dar | t z h | |t z | | h | | h |f (t) f (t) | f (t)|h | dt | | h || dt | | h | dt (t z)2 (t z h)(t z)2 t z h)(t z)2 |t z h | | h | M L( )2 ( | h |)f(t) F(z + h) F(z) f (t)lim h(t z)2 (t z h)dt 0 limh F (z) (t z)2 dt h 0Teorem.Dac :1) D este un domeniu simplu conex : 2) f : DCC este olomorf pe D; 3) esteocurbsimplnchis, netedsaunetedpe poriuni,situat n ntregime n D, mpreun cu domeniul mrginit a crui frontier este; atunci (oricare ar fi curba ) funcia f este indefinite derivabil (admite derivate de orice ordin) pe D if avem: (n)n! f (t)f(z) (t z)n+1 dt,z 2 iDemonstraie : Conform formulei integrale a lui Cauchy:f (z) 1f (t) dt,z 2i (t z)Aplicm teorema precedent funciei 1f (t) se obine :2 i311 f (t)f(z) 2i (t z)2 dt,zDerivnd sub semnul integralei, avem :2! f (t)f(z) 2i (t z)3 dt,z Prin inducie, repetnd acest raionament, se obine:(n)n! f (t)f(z) 2i (t z)n+1 dt,z n fiind un numr natural, arbitrar, rezult c funcia f este indefinit derivabil. Exemplu. S se calculeze integrala:I= z dz(z 2)3 (z + 5)|z1| 3Tem de cas nr.31. S secalculeze (3z + z2 )dz,:| z |22. S se calculezeintegralele :ezdzsin( z) sin z4 dz , , zz 2idz, , z(z 3i)dzz2dzz2+1 (z 1)2 (z 3)+ 9z+i z1|z| 3|z| 2 |z1| 1232Cursul nr. 4Matematicispeciale3.5 Reprezentarea funciilor complexe prin seriiDefiniie. Se numete serie de numere complexe sumazn z1+ z2+...+ zn +...,n 1unde znC, ()n1.Definiie. Se spune c o serie numeric este convergent i are suma S dac irul sumelorpariale converge ctre S (()lim SnS , unde Sn= z1+ z2+ + zn=>zn Sn n 1convergent). Altfel se numetedivergent.Observaie.Condiianecesar ca oserie s fieconvergenteste ca limzn 0n(lim zn 0=> serie divergent)nPropoziie.Seria zn , cu zn = xn + iyn este convergent i are suma S = X + iY dac in 1 numai dac seriilereale xni yn sunt convergente i au suma X, respectiv Y.n 1 n 1Definiia 53.Fie (fn)n1un ir de funcii complexe,fn : DCC. Se numete serie defuncii complexesuma fn .n 1O clas important de serii de funcii o constituie seriile de puteri numite i serii ntregi.Definiie. Se numete serie de puteri o serie de formacn(z z0)n c0 + c1(z z0) +c2(z z0)2 +...+cn(z z0)n +...,n 0unde z0, z, cnC pentru n0.3.5.1Seria TaylorDefinie. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D un punct arbitrar.Seria33 n 2 ncn(z z0)c0+ c1(z z0) +c2(z z0) +...+cn(z z0)+...n 0undecn f(n)(z0)n!se numeteseria Taylor a funciei f n jurul luiz0.Pentruz0=0 seria se numeteserie Mac-Laurin.Teorema. Fie f :DCC o funcie olomorf peD i z0D.Fie (z0 ,r) un disc deschis cu centrul nz0raza r>0, a crui frontier o notm cu.Dac discul , D,atunci seriaTaylor afuncieif n jurul punctului z0esteconvergent pe i oricare ar fi z din interiorul acestui disc are loc egalitatea :z z0(z z0 )n(n) n (z0 ) +........(z z0 ) cnf (z) f (z0 )+1!f (z0 ) +......+n!fk 0undecn 1 f (n) (z0 ),z n!Demonstraie. f (n) (z ) nn mod firesc se pune ntrebarea dacseria0(z z0)este convergent ispren!n0cine converge. nTeorema lui Abel. Pentru orice serie deputericn(z z0) , exist un numrrealn0R[0,]numit raz de convergen astfel nct seria converge n discul z< R i divergen exteriorul su.R 1 sau R limcn.lim ncnn cn+1n(n!) 3znExemplu: S se determine raza de convergen ale seriei n0 (3n)!Definiie. Orice funcie olomorf pe C se numete funcie ntreag.34Observaii:0 Funciile polinomiale, exponeniale, hiperbolice i circulare sunt ntregi. 0Seria Taylor a unei funcii ntregi n jurul oricrui punct din D are raza de convergen R = .Exemplu. Funcia f:CC, f(z) = ez este olomorf pe C i deci admite dezvoltare n serieTaylor n jurul oricrui punct dinC. Cumf (n)(z) ez,()n 0 rezult cz zz z0 z(z z0 ) n ze = e 0+ e 0 ++ e0 +1! n!Pentru z0=0 se obinezz2znez = 1 ++ ++ +, ()zC.1! 2! n!Observatie. Analog se obin dezvoltrile n serie Mac-Laurin a altor funcii ntregiz 3 z 5+ + (1)nz 2n+1sin z = z + +, ()zC3! 5! (2n +1)!cos z = 1 z2 z 4+ + (1)nz 2n+ +, ()zC2! 4! (2n)!3 5 2n+1sh z = z + z+ z+ +z+, ()zC3! 5! (2n +1)!ch z = 1 + z2+ z4+ + z2n +, ()zC2! 4! (2n)!Exemplu. Fie f:CC, f(z) = z3 2z2 + 3z 1. S se dezvolte funcia f n serie Taylor njurul luiz0 = 2.Seriile geometrice:1= 1 + z + z2 + + zn + , pentru z 0,existexist i avem :eix f (x)dx0 n 0 eix f (x)dx 2 iRe z[eiz f (z),zk ] k 1unde zksunt puncte singulare izolate ale funciei f situate n semiplanul superior.Demonstraie.Prin ipotez, f satisface condiiile lemei lui Jordan, ceea ce nseamn c exist R>0,suficient de mare astfel nct domeniul delimitat de conturul C conine toate punctelesingulare izolate ale funciei f :C= [-R,R]n baza teoremeireziduurilor :iz n i z ef (z)dz 2 iRe z[ef (z),zk ]i 1CR nizix i z i ze f (z)dz e f (x)dx +ef (z)dz 2 iRe z[ef (z),zk ] R k 1C Conform lemei lui Jordan, avem :limeizf (z)dz 0r R nix i x i zlimef (x)dx ef (x)dx 2 iRe z(ef (z),zk )r R k 1Observaie.Cu ajutorul acestei teoreme se poate calcula integrala Laplace :I = cos xx2 + a2 dxsin xExemplu. Calculai integrala x(x2 +1)2 dx .Teorema semireziduului.Dac f este o funcie olomorf nC, cu excepiaunui numrfinit de puncte singulare izolate a1, a2, , an situate n semiplanul superior i a unor polisimplix1,x2, ,xmde pe axa real, dac sunt ndeplinite condiiile lemeilui Jordan, atunci are loc formula:45n m f (z)dz 2 iRe z( f ,ak ) + iRe z( f ,xk )k 1 k 1Demonstraie : Considerm un semicerc de raz R>0 situat n semiplanul superior, astfel nct toate punctele singulare ale funciei f, cu Im z>0 , s se afle n semicercul de raz R cu centrul n origine. Fie conturul acestui semicerc. Aplicnd teorema reziduurilor, avem :x R nf (z)dz 2 iRe z( f ,ak )1f (z)dz + Rf (x)dx +.......+ f (x)dx + f (z)dz +........+ k 1|z| R xm +1mImz>0u n d e1,2,.. ...... ., msunt semicercurile de raz (care nu se intersecteaz) cu centrelenpunctelex1, x2, ,xm.Presupunndcf (z)dz 0cnd R,obinem :|z| R,Imz>0 n m f (x)dx 2 iRe z( f ,ak )lim f (z)dzk k 01 1 kNotm cu rk =Rez(f,xk ), ceea ce nseamn cr lim[(zxk) f (z)]kzxkPentru suficient de mic,avem :| (z xk ) f (z) rk|< dac| z xk |< , zk, Imz > 0Vom arta climdzf (z)dz rk 0z xk0 kCalculmdiferena :dz (z x ) f (z) r | (z x ) f (z)r ||f (z)dz rk|| kk dz | k k dz z xk z xk0 | z xk|k k k k: z xk+ ei ,[0, ],| z xk|Obinem :Exemplu. Cu ajutorul teoremei semireziduului se potate calcula integrala (improprie) Poisson :I =sinxdxx046Tema de cas nr.51. Calculai reziduurile urmtoarelor funcii n punctele lor singulare:a) f(z)= e1/ z(z 1)212) f(z)= z3e1z 2. Calculai urmtoarele integrale: z1sin z dxa) I= dz , b) I= dz , c) I=2 2z 2 (z+1)(z 1) z 1/2 z (x2 + 9)(x2+ 4)2 d xsin x xcos2xd) I=,e) I=dx f) I=dx5+ 3cos 2 20 x + 2x +10 x + 4x + 2047Cursul nr. 6 Matematici specialeTransformarea FourierSerii FourierDefiniie. O funcie f:RR se numete periodic dac ()T R*astfel nct()x R , f (x +T) f (x).Exemple. Funcia constant are ca perioad orice numr. Funciile sinx i cos x au perioadele 2, 4, 6, Observaie. Avnd n vedere c orice multiplu ntreg de T (kT, k Z ) este de asemenea perioad pentru f, cea mai mic perioad pozitiv T>0 se numeteperioada principal a funciei f.Propoziie. Dac f (x) este periodic de perioad T, atunci f ( x) este periodic de perioad T/.Demonstraie.f[ (x + T )]f ( x +T) f ( x)Exemplu. Funciile sin x i cos x sunt periodice, de perioad 2, funciile sin nx i cos nx au perioada 2/n, iar perioada comun a funciilor {sin nx, cosnx}nN este 2/.Propoziie. Fie f:RR periodic de perioad T, integrabil pe R, atunci() Ravem:+ T Tf (x)dx f (x)dx 0Definiie. Se numete serie trigonometric, o serie de forma:48a0+ (ak coskx + bk sin kx)2k 1undea0 ,ak ,bksunt numerereale.Propoziie. Dac f:RR este o funcie integrabil pe R, periodic de perioad2, care poate fi reprezentat printr-o serie trigonometricaf (x) 0+ (akcoskx + bk sin kx)2k 1atunci coeficieniia0 ,ak ,bkse calculeaz cu formulele :a0 1212bn 12f (x)dx,anf (x)cosnxdx,f (x)sin nxdx 0 0 0Definiie. Seria trigonometric a funciei f (x) ai crei coeficieni se calculeaz cu ajutorul formulelor de mai sus se numete serie Fourier.Observaie. innd seama de faptul c integrala unei funcii periodice de perioad 2 este aceeai pe orice interval de lungime 2, coeficienii a0 ,ak ,bkpot fi calculai i astfel :a0 1an 1f(x)dx,f (x)cosnxdx, Integrala FourierFie f : R R o funcie care nu este periodic. Funcia fnupoatefireprezentat printr-o serie Fourier pe axa real.Teorem.Dac funcia f :R R ndeplinete urmtoarele condiii :1) f ese monoton pe poiuni ; 2) f este mrginit ; 49c) f este continu, avnd cel mult un numr finit de puncte de discontinuitate de prima spe ;d) n oricare punct de discontinuitate, valoarea funciei se calculeaz astfel :f ( ) f ( 0) + f (+ 0) 2e) f este absolut integrabil pe R,atunci funcia f (x) poate fi reprezentat astfel :1f (x) f (t)ei(tx)dtd2care se numetefoma complex a integralei Fourier a funcieif(x).Dac notm:1 F( ) f (t)eit dt2atunci1 f (x) F( )eixd2Definiie. Funcia F( ) se numete transformata Fourier (direct) a funcieif (x), iar f (x) se numete inversa transformatei Fourier.Dac funcia f (x) este par, se obine :2 Fc ( ) f (t)cos tdt0f (x) 2Fc ( )cos xd0Definiie.Funcia Fc ( ) se numete transformata Fourier prin cosinus a funcieif (x), iar f (x) este inversa transformatei Fourier prin cosinus.50Dac funcia f (x) este impar, se obine :2Fs ( ) f (t)sin tdt02f (x) Fs ( )sin xd0Definiie. FunciaFs ( ) se numete transformata Fourier prin sinus afuncieif (x), iar f (x) este inversa transformatei Fourier prin sinus.Exemple.1. S se calculeze transformata Fourier afunciei1, x < af (x) 'x > a0,Transformata Fourier a funciei f (x) este1 1a2 sin a ,F( ) f (t)eit dt eit dt 02 2 a 2. S se calculeze transformata Fourier afuncieif (x) 1 ,xRx2+ 4Transformata Fourier a funciei f (x) esteei t1 t22F( ) + 2 dt 2 iRe z( f ,2i) e2 2 23. S se calculeze transformatele Fourier prin cosinus i sinus ale funcieif (x) ex ,x R. 2 2Fc ( ) f (t)cos tdtex cos tdt 0 0 2 2Fs ( ) f (t)sin tdt ex sin tdt 0 0512et (cos t + sin t)dt 2et ei t d t2 1+ iFc ( )+ iFs ( ) 1+20 01 Fc ( ) 2 ,Fs ( ) 21+21+24. S se determine funciaF( ) tiind cF( )sin xdex ,unde x > 00Ecuaia poate fi scris sub forma :22exF( )sin xdx 0Aplicnd inversa transformatei Fourier prin sinus, seobine:2 F( ) et sin tdt0Proprieti ale transformatei FourierPropoziia 1. Transformarea Fourier direct esteliniar.F[c1 f1(x) + c2 f2 (x)]c1F[ f1(x)]+ c2F[ f2 (x)],c1,c2 RDemonstraie.F[c1 f1(x)+ c2 f2 (x)] 1 c c (c1 f1(t) + c2 f2 (t))eit dt f1(t)eit dt +f2 (t)eit dt 1 2222c1F[ f1(x)]+ c2F[ f2 (x)]Propoziia 2. Transformarea Fourier direct are proprietatea de translaie.F[ f (x + h)] eih F[ f (x)] hRDemonstraie.1 F[ f (x + h)] f (t + h)eit dt2Se face substituiav t + hi se obine:5211F[ f (x + h)] f (v)ei(vh)dv ei h f (v)eivdv eihF[ f(x)]22Propoziia 3.Pentru oricea R , are loc relaia :F[ f(ax)]1 F()| a | aDemonstraie.Pentru a>0 facem substiuiav ati se obine:1it1ivdv 1iv1 F[ f (ax)] f (at)e dt f (v)e a f (v)e a dv F()a a a a222Pentru a