Matematici speciale – cursul on -line – Ioan Golet

7/16/2019 Matematici speciale – cursul on -line – Ioan Golet

http://slidepdf.com/reader/full/matematici-speciale-cursul-on-line-ioan-golet 1/31

7.LEGI CLASICE DE

PROBABILITATE

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f : Ω → R, o variabilă aleatoare. Amvăzut că varibilei f i se poate asocia o funcţie de repartiţie F, continuă la stânga şi ofuncţie caracteristică ϕ, care este o funcţie continuă. Uneori funcţia de repartiţie F estedefinită de o densitate de repartiţie ρ. Din punct de vedere probabilistic, variabilaaleatoare f poate fi studiată prin intermediul la oricare din funcţiile asociate mai sus.

Dacă ne oprim la funcţiile de repartiţie, observăm că acestea sunt, de fapt, probabilităţi pe câmpul de evenimente (R, R B ). Aceste funcţii de repartiţie

nedescrescătoare, continue la stânga, cu F(-∞) = 0 şi F(∞) = 1 împart variabilelealeatoare în clase de echivalenţă, iar odată cunoscută, clasa de echivalenţă a uneivariabile aleatoare, adică cunoscând la ce funcţie de repartiţie corespunde,caracteristicile variabilei aleatoare sunt deduse imediat, din cele ale funcţiei derepartiţie corespunzătoare. Prin frecvenţa cu care sunt întâlnite, în rezolvarea unor probleme practice din diferite domenii, anumite funcţii de repartiţie (probabilităţi pedreapta reală) au primit denumirea de legi (clasice) de probabilitate. De câteva dinaceste legi ne vom ocupa în cele ce urmează.

7.1. Repartiţia binomială

(Legea de probabilitate Bernoulli)

Această repartiţie descrie un experiment care poate avea două rezultate posibile şi anume, unul de succes S cu probabilitatea constantă p, ori de câte ori serepetă experimentul, şi unul de insucces I, deasemenea cu probabilitatea constantă q =1 - p, ori de câte ori se repetă experimentul. Întrucât experimentele ce generează evenimentele le consider ăm independente, un exemplu de variabilă aleatoare cecorespunde unei repartiţii Bernoulli este dată prin “Schema bilei revenite”. Cazul celmai simplu este cel al unui singur experiment, când variabila aleatoare a numărului de

reuşiteeste:



Legi clasice de probabilitate - 7150

f p p

:0 1

1−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ ,

care are media M(f) = p şi varianţa D f p p2 1( ) ( )= − . Să presupunem că variabila

aleatoare f ia ca valori numărul de apariţii a unui succes în cursul a n experimenteindependente. Probabilitatea ca în cele n experimente să avem o secvenţă de forma

SS S II IK123

K

de k ori de n-k orieste p qk n k − , iar numărul de secvenţe posibile care difer ă între

ele este de Cnk .

Din cele de mai sus deducem că variabila aleatoare f, a numărului de succeseobţinute în repetarea experimentului de n ori, are distribuţia dată prin tabloul:

(7.1.1) f k n

q C pq C p q pnn

nnk k n k n:

0 11 1

L L

L L− −

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ .

Câmpul de probalitate corespunzător experimentului de mai sus poate fi considerat

Ω = 0 1, n, K = P(Ω), P A p i

i A

( ) =∈∑ unde, pentru ( )i n= ε ε ε1 2, , ,K cu ε j = 0

sau 1, ( ) p p pin k k

= −−

1 , iar k card j j= =:ε 1 . Evenimentele care ne

interesează sunt de forma A i k i nΩ Ω Ω= = =: ( ) , , , ,0 1 K .

Repartiţia Bernoulli de parametri n ∈ N şi p ∈ (0, 1) se mai notează prin:

(7.1.2) ( )[ ]

B n p x C p qnk k n k

k

x

, ( ) = −

=

−

∑0

1

.

Aici [x] reprezintă partea întreagă a lui x, q = 1 - p. Graficul funcţiei de repartiţie dată de (2) are n trepte corespunzătoare celor n + 1 puncte de discontinuitate.

Definiţia 1. Spunem că o variabilă aleatoare f are o distribuţie binomială cu parametriin ∈ N şi p ∈ (0, 1) dacă, f ia valorile k, k = 0, 1,…, n, cu probabilităţile

p k p f k C p qn n nk k n k ( ) ( )= = = − , q = 1 - p, adică are distribuţia dată prin “tabloul”

(1).

Teorema 1. Dacă f este o variabilă aleatoare binomială de parametri n şi p atunci M(f)

= n⋅ p, iar D f np q2 ( ) = ⋅ , unde q = 1 - p.



11.1. Repartiţia binomială (legea de probabilitate Bernoulli) 151

Demonstraţie: M f kC p qnk k n k

k

n

( ) = −

=∑

1

. Pentru calculul acestei sume consider ăm

identitatea ( ) ( ) pt q C pt qn

nk k n k

k

n

+ = −

=∑

0

şi o derivăm în raport cu variabila t,

rezultă ( ) ( )np pt q kC p pt qn

nk k n k

k

n

+ =− − −

=∑1 1

1

, pentru t = 1, ţinând seama că

p + q = 1, avem kC p q npnk k n k

k

n−

==∑1

, de unde rezultă că M(f) = n⋅ p.

Pentru calculul dispersiei folosim relaţia ( ) [ ]D f M f M f 2 2 2( ) ( )= − .

( )M f 2 poate fi calculat în mod direct, cum am procedat pentru M(f) sau putem

utiliza funcţia caracteristică ϕ, a variabilei aleatoare f.

( ) ( )ϕ( )t C p q e C pe q pe qnk k n k ikt

k

n

nk it k n k

k

nit n

= = = +−

=

−

=∑ ∑

0 0

( )M f i

d

dtt

22

2

20

1

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

ϕ

( )d

dtn pe q pieit n itϕ

= +−1

,

( )( ) ( )d

dtn n pe q p i e n pe q pi eit n it it n it

2

2

2 2 2 2 1 21ϕ

= − + + +− −

.

Obţinem ( )M f n p np np2 2 2 2= − + şi ( )D f np np np p2 2 1( ) = − = − = npq.

Experimentele binomiale, ca cel prezentat mai sus, se întâlnesc la tot pasul, defapt, el este echivalent cu aruncarea unei monezi la care ne interesează numărul de

apariţii a unei feţe “ban”, când aruncăm moneda de un număr de ori. Evident, în acest

caz parametrul p =1

2.




Exemplul 1. Să presupunem că există aproximativ 1.000.000 de potenţialicumpăr ători ai unui produs al unei fabrici, ne interesează ce propor ţie dintre aceştia prefer ă acest produs, în faţa aceluiaşi produs al altor concurenţi. Vrem să vedem dacă acest experiment este unul binomial şi să determinăm parametrul p. Selectăm 1.000 decumpăr ători din cei 1.000.000, fiecare având aceeaşi şansă de a fi selectat, şi întrebăm,dacă prefer ă produsul acelei fabrici, faţă de ceilalţi concurenţi.

Pentru ca un experiment aleator să fie binomial trebuie să posede următoarelecaracteristici:a) să constea din n încercări identice; b) fiecare încercare să se finalizeze prin unul din două rezultate;c) probabilitatea de a obţine un rezultat, într-o singur ă încercare, r ămâne aceeaşi în

fiecare încercare, dacă pe această probabilitate o notăm cu p, atunci cea aevenimentului contrar este q = 1 - p;

d) încercările sunt independente;e) legat de experiment suntem interesaţi de observarea numărului de realizări a

uneia din cele două rezultate în cele n încercări.Constatăm că cele cinci caracteristici ale unui experiment binomial sunt

verificate în exemplul considerat.Dacă ne concentr ăm atenţia asupra caracteristicii d), observăm însă că, dacă la

prima încercare am avut un cumpăr ător care prefer ă produsul fabricii în cauză, atuncila a doua încercare, probabilitatea alegerii tot a unui astfel de cumpăr ător s-amodificat, atât numărul cazurilor favorabile cât şi cel al cazurilor posibile a scăzut cu o

unitate, dacă la prima extragere probabilitatea p a fostf

s, la a doua ea a devenit

f s

−−

11

. Se pare astfel, că acea condiţie d), de independenţă nu este verificată şi acest

fapt ar duce la o restrângere a sferei experimentelor aleatoare de tip binomial.Dacă însă, numărul de încercări n este mai mic în raport cu numărul de

elemente ale populaţiei din care se face extragerea, probabilitatea p poate fi

considerată constantă f

s

f

s≈

−−

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

1

1.

Exemplul 2. Într-o intreprindere numărul zilelor lucr ătoare într-o perioadă de timp(lună, an, etc.) în care ritmul zilnic este îndeplinit reprezintă o variabilă aleatoare.

Probabilitatea ca acest ritm zilnic să fie realizat este p =3

4

.

Se cere legea de repartiţie a acestei variabile aleatoare pe o perioadă de o lună,formată din 21 de zile lucr ătoare, valoarea medie şi dispersia acestei variabilealeatoare.



11.1. Repartiţia binomială (legea de probabilitate Bernoulli) 153

Se constată că variabila aleatoare, a cărei repartiţie se cere, respectă legea

binomială de parametrii n = 21 şi p =3

4. Să o notăm cu f. Avem:

f

k

C Ck k k :

0 1 21

1

4

3

4

1

4

3

4

1

4

3

4

21

211

20

21

21 21

L L

L L⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

M f n p( ) ,= ⋅ = = =213

4

63

41575; D f 2 21

3

4

1

4

63

163 93( ) ,= = = .

Exemplul 3. Să presupunem că sunt date pentru o variabilă aleatoare f, valorile

înregistrate, x x xn1 2, , ,K şi frecvenţele relative ale acestora f f f n1 2, , ,K .

Dacă experimentul aleator ce a generat variabila aleatoare f permite aplicarea legii binomiale, se pune problema ajustării frecvenţelor înregistrate (empiric) prin probabilităţile unei legi binomiale corespunzătoare. Pentru identificarea repartiţiei binomiale care ajustează seria frecvenţelor relative empirice, trebuie determinaţi parametri n şi p. Cum iniţial se cunoaşte volumul eşantionului şi media variabilei f, pe baza formulei mediei repartiţiei binomiale B(n, p), M(f) = np, se calculează

probabilitatea p după relaţia pM f

n=

( ).

Să presupunem că se recepţionează un lot de produse alimentare. Pentruaceasta au fost preluate un lot de 50 de cutii, fiecare cuprinzând 20 de produse.Repartizarea celor 50 de cutii după numărul de produse, ce nu corespund standardelor,se reprezintă în tabelul următor:

Număr de produse

defecte Xi

1

Număr decutii N i

2

X Ni i

3

f i

4

P(f = i)

5

0 12 0 0,24 0,1891 18 18 0,36 0,3282 9 18 0,18 0,2713 5 15 0,10 0,141

4 4 1,6 0,08 0,0525 2 10 0,04 0,015

Total 50 77 1,00 0,996




Consider ăm că piesele ce nu corespund calităţii, în fiecare cutie recepţionată,urmează o lege binomială de probabilitate p şi n = 20.

Din totalul de 50 de cutii observate, rezultă o medie de produse defecte, pe

cutie, de f = =77

501 54, . Din ipoteza f ăcută rezultă 20p = 1,54, de unde rezultă

p = =154

200 08

,, . Deci, produsele defecte într-o cutie respectă o lege binomială B(20;

0,08). Coloana a cincea a tabelului de mai sus conţine ajustările date pe baza repartiţiei binomiale B(20: 0,08) a frecvenţelor relative (empirice) conţinute în coloana a patra.

Există diferite teste statistice pentru măsurarea conformităţii între cele două serii de frecvenţe.

7.2. Repartiţia Poisson

(Legea evenimentelor rare)

Am văzut că o variabilă aleatoare binomială, de parametri n şi p, are ca valorinumărul de apariţii ale unui eveniment A în n încercări independente, în fiecareîncercare probabilitatea evenimentului A este constantă P(A) = p. Probabilitatea ca

variabila aleatoare să ia valoarea k este dată de ( )P k C p pn nk k n k

( ) = −−

1 .

Să consider ăm că, numărul n al probelor este foarte mare, iar probabilitatea p

a apariţiei evenimentului A într-o probă este foarte mic, evident, evenimentul A adevenit, în urma acestor presupuneri, un eveniment rar, motiv pentru care legea de probabilitate a variabilei aleatoare ce are ca valori numărul de apariţii aleevenimentului A, în cele n probe, poartă numele de legea evenimentelor rare.

Să presupunem că, în condiţiile de mai sus, produsul np r ămâne constant,np = λ, λ fiind numit parametrul repartiţiei Poisson, şi să determinăm probabilităţileP k n ( ) , în cazul când λ tinde la ∞.

( )( ) ( )

( ) =−+−−

=−= −

∞→

−

∞→

k nk

n

k nk k n

nk p1 p

!k

1k n1nnlim p1 pClimP

K

( ) ( )=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ+−−=

−

∞→

k nk

n n1

n!k

1k n1nnlim

K

( ) ( ) λ−

−

∞→∞→λ=⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ λ−λ+−−= e

!k 1

n1lim

!k n1k n1nnlim

k k n

n

k

k n

K.



7.2. Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare) 155

Am obţinut λ−λ= e

!k P

k

k .

Se verifică imediat că P ek

e ek k

k

k =

∞−

=

∞−∑ ∑= = =

0 0

1λ λ λλ!

.

Definiţia 2. Repartiţia de probabilitate discretă, determinată de probabilităţile

Pk

ek

k

= −λ λ!

, k = 0, 1, 2, ... se numeşte repartiţia lui Poisson de parametru λ, iar o

variabilă aleatoare descrisă de repartiţie:

(7.2.1) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λλλ λ−λ−λ−λ− ...e

!K ...e

!2e

!1e

...K ...210:f K 2

se numeşte repartiţie aleatoare Poisson.

Teorema 2. Dacă f este o variabilă aleatoare de repartiţie Poisson, de parametru λ,

atunci, aceasta are valoarea medie M(f) = λ, dispersia ( )D f 2 = λ şi funcţia

caracteristică ( ) ( )ϕλ

t ee it

=−1

.

Demonstraţie: ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

λλ−

−

λ−λ− λ=λ=−λλ=λ=0k 1k

1k k

.ee!1k ee!k k f M

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

λ−λ−∞

=

=λ

⋅+−=λ

==0k

k 2

k

0k

222 e

!k k k k e

!k k f Mf M

( ),eee

!k k e

!k

1k k 22

0k

k

0k

k

λ+λ=λ+λ=λ

+λ−

= λλ−λ−∞

=

∞

=

λ− ∑∑

de unde ( ) ( ) ( )[ ]D f M f M f 2 2 2 2 2= − = + − =λ λ λ λ

( )( )

( )∑∑

∞

=

−λλλ−λ−λ−∞

= ==λ

=λ

=ϕ 0k

1eek itk

0k

ikt itit

eee!k

eee!k et .




7.3. Repartiţia hipergeometrică

Să consider ăm schema bilei nerevenite. Fie U o urnă cu a bile albe, b bilenegre şi a + b = N. Din urnă se fac n extracţii succesive f ăr ă a pune bila extrasă înapoiîn urnă. Să notăm cu f variabila aleatoare care ia ca valori numărul de bile albeextrase. Presupunem n ≤ min(a, b). Variabila aleatoare f poate lua valorile k, undemax(n-b, 0) ≤ k ≤ min(a, n). Probabilităţile cu care f ia valorile respective sunt:

(7.3.1) ( ) ( )P k P f k C C

Cn

ak

N an k

Nk = = = −

−

, k = 0,1,...,min(a, n)

Definiţia 3. Spunem că variabila aleatoare discretă f are o repartiţie hipergeometrică dacă distribuţia ei este dată prin:

(7.3.2) f

k

C C

C

n

ak

N an k

Nk

:. . .

...

...

...

... .

0 1 2

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Repartiţia de probabilitate corespunzătoare variabilei f se numeşte lege de probabilitate hipergeometrică.

Teorema 3. Valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare hipergeometrice sunt

date prin:

( ) ( )M f np D f npq N n

n= =

−−

, ,21

unde pa

a biar q

b

a b=

+=

+, , deci p + q = 1.

Se observă că o variabilă aleatoare hipergeometrică, definită de (5), are aceaşivaloare medie cu o variabilă aleatoare binomială de parametri n şi p, iar dispersiile lor difer ă. În cazul variabilei aleatoare hipergeometrice dispersia este cu atât mai mică cucât numărul valorilor pe care le poate lua variabila aleatoare este mai mare.

Repartiţia hipergeometrică are un rol important în controlul calităţii produselor.

Exemplul 4. Fie un lot de 200 de aparate, din care 13% nu se încadrează în limitele de

funcţionare admise. Alegând la întâmplare 10 aparate se cere:a) Să se stabilească legea de repartiţie a variabilei aleatoare care reprezintă numărulde aparate, din cele 10, care nu se încadrează în limitele de funcţionare.

b) Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.



7.4. Repartiţia uniformă 157

Rezolvare:

a) Variabila aleatoare cerută urmează o lege hipergeometrică, unde a = 26,

b = 174, k = 0,1,2,...,10. Deci ( )P f k C C

C

k k

= =−

26 17410

20010 şi f este descrisă de tabloul

f

k

C C

C

k k :. . .

...

...

...

... .

0 1 2 10

26 17410

20010

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

b) ( )M f n p na

a b

= ⋅ =

+

=⋅

=10 26

200

1 3, ;

( )D f npq N n

N2

110

26

200

174

200

200 10

200 11 08=

−−

= ⋅ ⋅−−

= , .

7.4. Repartiţia uniformă

Definiţia 4. Spunem că o variabilă aleatoare continuă f are o repartiţie uniformă, pesegmentul [a, b], dacă densitatea ei de repartiţie este dată prin:

(7.4.1) ( )[ ]

ρ x b a pentru x a b

pentru x a x b

= −∈

< >

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

1

0

,

,

Teorema 4. a) Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare uniforme f, pesegmentul [a, b] este:

( )F x

pentru x a

x a

b a pentru a x b

pentru x b

=

≤

−−

< ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

0

1

b) Valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare uniforme f, sunt date prin:

( ) ( )( )

M f a b

D f b a

=+

=−

2 122

2

,




Demonstraţie: ( ) ( )F x t dt

x

=−∞∫ ρ .

Integrând pentru valori ale lui x ∈ ( - ∞,a], x ∈ (a, b] şi x ∈ (b, +∞) rezultă expresialui F(x).

( ) ( )( )

M f x x dx b a

xdx b a

b a

a b

a

b

= =−

=−−

=+

−∞

∞

∫ ∫ρ1

2 2

2 2

( ) ( ) ( )[ ]( )

D x M f M f b a

x dxa b b a

a

b2 2 2 2

2 21

2 12= − =

−−

+⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =

−∫

7.5. Repartiţia normală

(Legea de probabilitate

Gauss - Laplace)

Această repartiţie are un rol fundamental în teoria probabilităţiilor, ea stă la baza metodelor de prelucrare a datelor de măsurare şi are o importanţă deosebită înstatistică.

Definiţia 5. O variabilă aleatoare f continuă are o repartiţie normală, de parametri m şi

σ2 (sau este supusă unei legi normale de probabilitate N (m, σ2 ) ) dacă densitatea sade repartiţie este dată prin:

(7.5.1.) ( )( )

,e2

1,m,x

2

2

2

mx2 σ

−−

πσ=σρ x ∈ R ,

0 a b x

1 b a−

ρ(x)

0 a b x

1

F(x)



7.5. Repartiţia normală (legea de probabilitate Gauss - Laplace) 159

unde m şi σ2 sunt parametri.Rezultă imediat că funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale este

dată prin:

(7.5.2.) ( )( )

,dte2

1xF

x2

mt2

2

∫∞−

σ

−−

πσ= x ∈ R .

Repartiţia discretă binomială se apropie de distribuţia normală, când numărul probelor devine foarte mare. În statistică, spunem că o distribuţie urmează o legenormală N(m, σ) dacă, secvenţele empirice se apropie de probabilităţile date prin(7.5.2).

Următoarea teoremă precizează interpretarea parametrilor m şi σ2 din legeanormală N(m, σ2 ).

Teorema 5. Dacă f este o variabilă aleatoare ce se supune legii normale N(m, σ2 ),atunci valoarea medie şi dispersia lui f sunt date prin:

M(f) = m, ( )D f 2 2= σ

Demonstraţie: Să observăm că ρ(x, m, σ2 ) îndeplineşte condiţiile unei densităţii de

repartiţie ρ(x) ≥ 0 şi

( )ρ σx m dx, , ,2 1=

−∞

∞

∫ceea ce rezultă în urma schimbării de

variabilă x → t prin x = tσ + m.

( )

( )

M f xe dx

x m

=−

−

−∞

∞

∫1

2

2

22σ

σΠ

.

În integrala de mai sus se efectuează schimbarea de variabilă x → t, dată prin

tx m

=−σ

sau x = tσ + m şi se obţine:

( ) ( ) mdte2mdtte

2dtemt

21f M 2

t

2

t

2

t 222

=π

+π

σ=+σπ

= ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

− .




Am ţinut seama că te dt

t−

−∞

∞

∫ =

2

2 0 , fiind o integrală dintr-o funcţie impar ă,

iar e dt

t−

−∞

∞

∫2

2 este integrala improprie a lui Poisson ce are valoarea π 2 .

Dispersia variabilei aleatoare f, de repartiţie normală N(m, σ2 ), se calculează prin:

( ) ( )[ ] ( )( )

dxemx2

1mf Mf D 2

2

2

mx

222 ∫∞

∞−

σ

−−

−πσ

=−=

şi după efectuarea aceleeaşi schimbări de variabilă se obţine:

( )

22

2

t

2

t2

2

t2

22

t222

22

dtete2

dtet2

dtet2

1f D

22

22

σ=π⋅π

σ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

∞−

∞

−π

σ=

=π

σ=σ

π=

∫

∫∫

∞

∞−

−−

∞

∞−

−∞

∞−

−

Am utilizat integrarea prin păr ţi, considerând funcţiile u(t) = t şi

( )v t te

t

=−

2

2 şi am ţinut seama de integrala Poisson.

Observăm că parametrii m şi σ2 ai repartiţiei normale N(m, σ2 ) reprezintă valoarea medie şi respectiv dispersia unei variabile aleatoare ce urmează această lege.În acelaşi timp, funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale este completdeterminată de valoarea medie m şi de dispersia σ.

Reprezentând grafic densitatea de repartiţie normală, acest grafic are formaunui clopot, numit clopotul lui Gauss.

Pentru diferite valori ale lui m şi σ2 se obţin diferite curbe ale densităţii derepartiţie normale .

Toate aceste curbe au însă următoarele proprietăţi:a) admit ca asimptotă orizontală axa absciselor, Ox;




b) admit un punct de maxim ,2

1,mM ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

πσ ţinând seama de coordonatele acestui

punct rezultă că “clopotul lui Gauss” este cu atât mai ascuţit cu cât σ este mai mic;c) sunt simetrice faţă de paralela la axa Oy, de ecuaţie x = m;d) admit două puncte de inflexiune de abscise m - σ şi m + σ.

m + σmm - σ x

ρ σ( , , )x m 2

Fie f o variabilă aleatoare care se supune legii normale ( ) N m,σ2 . Să

consider ăm variabila aleatoare gf m

=−

σ

. Constatăm imediat că,

[ ]M g M f m( ) ( )= − =1

0σ

;

( )D g M g M f mf m2 22

2 212( ) ( )= = − + =

σ

( )[ ] ( )= − + = + − + =1

21

2 122 2

22 2 2 2

σ σσM f mM f m m m m( ) ,

adică variabila aleatoare g se supune unei legi normale N (0, 1).

Definiţia 6. Spunem că variabila aleatoare g are o repartiţie normală redusă, dacă densitatea sa de repartiţie se obţine din (7) f ăcând m = 0 şi σ = 1, adică are ca densitatede repartiţie funcţia:




(7.5.3) r x e

x

( ) =−1

2

2

2π

.

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale reduse este dată prin:

(7.5.4) Φ( ) ( )x r u du e du

uxx

= =−

−∞−∞∫∫

1

2

2

2π

,

şi ea este cunoscută sub numele de funcţia lui Laplace. Să observăm că:

Φ

Φ

( )

( ),

− = = − =

= − = −

−

−∞

−−

−

∞

−

−∞

∫ ∫

∫

x e du e du

e du x

ux u

x

ux

12 1 12

11

21

2 2

2

2 2

2

π π

π

deci are loc:

(7.5.4) Φ(-x) + Φ(x) =1.

Fie f o variabilă aleatoare de repartiţie normală N m( , )σ2 şi numerele reale a< b date. Atunci:

( ) ( )P a f b x m dx e dx

a

b x m

a

b< < = =∫ ∫

− −ρ σ

σ πσ, ,

( )2 21

2

2

2.

În urma aceleiaşi schimbări de variabilă x m

t x t−

= →σ

( ) se obţine:

( )P a f b e dt

e dt e dt b m a m

t

a m

b m

t b m

ta m

< < = =

= − =−⎛

⎝ ⎜⎞ ⎠⎟ −

−⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

−

−

−

−

−∞

−−

−∞

−

∫

∫ ∫

1

2

1

2

2

2 2

2

2 2

π

π σ σ

σ

σ

σ σ

Φ Φ




Deci, chiar dacă variabila aleatoare f se supune unei legi de repartiţie normală

N m( , )σ2 de parametrii m şi σ2 probabilitatea P(a < f < b) se poate exprima cu

ajutorul funcţiei de repartiţie corespunzătoare variabilei aleatoare normale reduse,funcţia lui Laplace Φ(x), motiv pentru care, de obicei, valorile ei se găsesc înregistrateşi pot fi utilizate pentru determinarea probabilităţilor evenimentelor legate de ovariabilă aleatoare normală.

Fie acum α > 0, atunci:

( ) ( )P m f m P f m− < < + = − < =⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ − −

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =α α α

ασ

ασ

Φ Φ

=⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ − −

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ −Φ Φ Φ

ασ

ασ

ασ

1 2 1.

Să consider ăm α = 3σ. Obţinem:

( )P f m− < = −3 2 3 1σ Φ( ) .

Apelând la valorile funcţiei lui Laplace obţinem că Φ(3) = 0,9987 şi deci,

( )P f m− < = ⋅ − =3 2 0 9987 1 0 9974σ , , ,

ceea ce susţine afirmaţia că valorile unei variabile aleatoare normale nu se abat de la

valoarea medie m cu mai mult de 3σ sau cu alte cuvinte, aceste valori se abat de lavaloarea medie cu mai mult de 3σ, cu o probabilitate foarte mică (1 - 0,9974 =0,0026).

Exemplul 4. Să consider ăm un ansamblu statistic de valori, reprezentând ocaracteristică a unui lot de produse (cost, consum electric, etc.), care sunt repartizatedupă o lege normală N (200, 64). Luând la întâmplare 100 din aceste produse, care

a bm

P a m b( )< <

f m

P f m( )− < 3σ

f m - 3σ m + 3σ




este probabilitatea de a se abate cu mai mult de 8 unităţi de la valoarea nominală de200?Rezolvare: Să notăm cu f variabila aleatoare care ia aceste valori şi se supune legiinormale N(200, 64). Trebuie să determinăm P(m - σ < f <m + σ) = = P(200 - 8 < f <200 + 8) = 2 Φ(1) - 1. Din tabelul cu valorile funcţiei lui Laplace Φ obţinem Φ(1) =0,8413 şi deci probabilitatea căutată este p = 0,6826, q = 1 - p = 0,3174, adică 31,74% de produse se abat cu mai mult de 8 unităţi de la valoarea medie de 200unităţi.

O proprietate importantă a repartiţiei normale este dată de faptul că, suma unuinumăr finit de variabile aleatoare independente de repartiţie normală este o variabilă aleatoare ce se supune aceleeiaşi legi normale. Mai exact are loc:

Teorema 6. Dacă variabilele aleatoare f şi g sunt independente şi urmează o legenormală, atunci f + g urmează de asemenea o lege normală.

Legea normală a lui Gauss - Laplace se prezintă ca limită a altor legi de probabilitate.

Teorema 7. Fie ( )f λ λ> 0o familie de variabile aleatoare, de distribuţie de

probabilitate Poisson cu parametrul λ > 0. Atunci funcţia de repartiţie a variabilei

aleatoare gf

λλ λ

λ=

−tinde către funcţia de repartiţie normală redusă (cu parametrii

0 şi 1) când λ tinde la ∞.

Teorema 8. Fie ( )f n n≥1un şir de variabile aleatoare de distribuţie binomială, f n de

parametri n şi p (p nu depinde de n) şi f o variabilă aleatoare de distribuţie normală redusă. Atunci are loc

( )P a f b P af np

npq b

n

n< < = <−

<⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→∞lim ,

unde q = 1- p.Teorema de mai sus poartă numele lui Moivre - Laplace şi este un caz

particular al Teoremei limită centrală care arată că, funcţia de repartiţie a unei sume devariabile aleatoare independente tinde, în condiţii destul de generale, când numărul

termenilor sumei tinde la ∞, către funcţia de repartiţie normală. Ea arată, în acelaşitimp, că putem utiliza, când n este foarte mare, repartiţia normală redusă pentru studiulvariabilelor aleatoare distribuite binomial.




Următoarea teoremă arată importanţa repartiţiei normale în prelucrarea datelor de măsurare.




Fie a o mărime pentru care se determină prin n măsur ători valorile

a a a n1 2, ,..., . Cantităţile n,1k ,aae k k =−= se numesc erori accidentale (de

măsurare) în cele n măsur ători.

Teorema 9. (Teorema lui Laplace - Gauss). Variabila aleatoare care ia ca valori

erorile accidentale (de măsurare) ek , k n= 1, urmează o repartiţie normală.

Exemplul 5. Variabila aleatoare f care indică erorile de măsurare ale unui aparat sesupune legii normale N (0, 9). Se cere probabilitatea ca din trei măsur ători

independente eroarea să apar ţină cel puţin o dată intervalului 012

5

,⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ .

Rezolvare: Notăm cu A evenimentul a cărui probabilitate este cerută.

P A P A( ) ( )= −1 ,

[ ]P A P f ( ) ( , )= − < <1 0 2 43

, iar

P f ( , ),

( , )

, , .

0 2 41

2

2 4

3

0

3

1

20 8

1

20 5763 0 2881

< < =⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

−⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = =

= ⋅ =

Φ Φ Φ

Se obţine P(A) = 0,6392.

7.6. Repartiţia Gama

Vom prezenta mai întâi câteva proprietăţi ale funcţiei gama ( Γ ) a lui Euler,care intervine în repartiţia cu acelaşi nume, cât şi în alte repartiţii de probabilitate.

Pentru x > 0

(7.6.1) ∫∞

−−=Γ0

t1x dtet(x)

de parametrul x. Utilizând criteriile de convergentă pentru astfel de integrale

se arată că ea este convergentă pentru orice x > 0 .Dacă facem schimbarea de variabilă (t → y) prin

2

yt

2

= rezultă

Integrala din membrul drept este o integrală improprie generalizată depinzând



7.6. Repartiţia Gama 167

(7.6.2) ∫∞

−−−=Γ0

12xx1 dyey2(x) 2

2y

iar pentru cazul particular 2

1x = se obţine

π=π

⋅==Γ ∫∞ −

22dye2)(

0

2

y

21

2

Sa consider ăm Γ(x+1) şi să integr ăm prin păr ţi , avem :

x)(xdtetxetdtet1)(x0

t1x

0

tx

0

tx Γ=+−==+Γ ∫∫ ∞ −−∞−∞ −

Deci funcţia Γ(gama) verifică ecuaţia funcţională

(7.6.3) )x(x1)(x Γ=+Γ , x > 0

Dând succesiv lui x valorile naturale :1,2,3,…,n şi ţinând seama că 1)1( =Γ rezultă că

pentru orice n întreg

(7.6.4) Γ (n+1)=n!

Din cele de mai sus rezultă că

(7.6.5) π=Γ=+Γ=Γ 21

21

21

21

23 )()1()(

şi din aproape în aproape putem calcula )( 212n+Γ pentru orice n întreg .

Definiţia 7. Spunem despre o variabilă aleatoare f ca urmează o repartiţie gama dacă densitatea ei de repartiţie este data prin

(7.6.6) ρ(x)= 0n,x0 , (n)

xe 1-n-x

>∞<≤Γ

pentru x < 0 consider ăm ρ(x) = 0.Evident ρ(x) este o densitate de repartiţie : ρ(x) ≥ 0 şi

1)n(

)n(dxxedx)x(

0

1nx)n(

1

0

=ΓΓ

==ρ ∫∫∞

−−Γ

∞

Vom nota prin ℘(n) mulţimea variabilelor aleatoare a căror densitate de probabilitate este funcţia ρ(x) data mai sus.




O astfel de variabilă aleatoare posedă momentele de un ordin k oarecare date prin:

(7.6.8) 1)k 2).....(n1)(nn(n)n(

)k n(dxxe(f)M

0

k 1nx)n(

1k −+++=

Γ+Γ

== ∫∞

+−−Γ

Pentru momentele acestea găsim:

(7.6.9)

........................................

6n3n(f)m

3n(f)m

nn1)n(n[M(f)](f)M(f)m

24

3

2222

+=

=

=−+=−=

Funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare de repartiţie gama este:

nk

1k

0k 0

k

0

k 1k nx

0 0k

1nxk

0

1nxitxf

it)1(it)(k!

1)k (n1)........n(n1

(it)k!

k)(nΓ

)n(

1dx(it)xe

k!

1

n)(

1

dxxek!

x)(i

n)(

1dxxee

)n(

1)t(

−∞

=

∞

=

∞∞−+−

∞ ∞

=

−−∞

−−

−=−++

+=

=+

Γ=

Γ=

=+

Γ=

Γ=ϕ

∑

∑ ∑∫

∫ ∑∫

Referitor la operaţii cu variabile aleatore de repartiţie gama are loc.

Teorema 10. Dacă variabilele aleatoare independente sunt de repartiţie gamaapar ţinând claselor )n(f 11 ∈℘ , respectiv )n(f 22 ∈℘ , atunci 21 f f + este de

repartiţie gama şi apar ţine clasei )nn( 21 +℘ .

Demonstraţie. Funcţia caracteristică corespunzătoare variabilei aleatoare 21 f f + este

)n(nnnf f

2121

21it)(1it)(1it)(1(t) +−−−

+ −=−−=ϕ ,

care corespunde repartiţiei )nn( 21 +℘

Următoarea teoremă stabileşte o relaţie de legătur ă între repartiţia gama şirepartiţia normală (Gauss-Laplace)

Teorema 11. Dacă variabila aleatoare f este normală de parametrii m şi σ(f ∈ N(m,σ)),atunci variabila aleatoare



7.7. Repartiţia Beta 169

(7.6.10)2

2

2

)mf (g

σ−

=

este de repartitie gama şi apar ţine clasei )( 21℘

Demonstraţie. Fie x > 0, atunci funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatore este:

G(x) = P(g < x) = P(ω ∈ Ω : g(ω)<xş) = P( x2

mf x <

σ

−<− ) =

= ∫ ∫ =π

=π

=<σ−

<−−−

x2

x2

x2

0

due2

2due

2

1)x2

mf x2(P 2

2u2

2u

∫−−

Γ=

x

0

v

21

dvve)(

121

(am efectuat schimbarea de variabilă u → v , v =2

u2

, am înlocuit )( 21Γ=π ).

De aici rezultă că densitatea de repartiţie asociată variabilei aleatoare g este

21

xe)(

1

dx

)x(dG)x( x

21g

−−

Γ==ρ , adică g )( 2

1℘∈ .

7.7. Repartiţia Beta

Repartiţia de probabilitate beta este definită prin funcţia beta a lui Euler

(7.7.1) ∫ >>−= −−1

0

1q1 p 0q,0 p,dxx)(1xq)B(p,

Prin schimbarea de variabilă yx → , x = 1 - y , rezultă imediat că

(7.7.2) ) p,q(B)q, p(B =

De asemenea prin schimbarea de variablă θ→x , θ= 2sinx obţinem

următoarea exprimare a funcţiei beta :

(7.7.3) θθθ= ∫π

−− dcossin2)q, p(B2

0

1g21 p2 ,




iar prin schimbarea de variabilă yx → ,y1

1x

+= obţinem

(7.6.4) ∫∞

+

−

+=

0q p

1q

dy)y1(

y)q, p(B

Între funcţiile lui Euler beta şi gama se stabileşte următoarea relaţie de legătur ă

(7.6.5))q, p(

)q() p()q, p(B

ΓΓ⋅Γ

=

Definitia 8. Spunem despre o variabilă aleatoare f că urmează o repartiţie de probabilitate beta dacă densitatea sa de probabilitate este de forma:

(7.6.6) ,)n,m(B

)x1(x)x(

1n1m −−=

unde 0 ≤ x ≤ 1, m > 0 , n > 0Evident, ρ(x) este o densitate de probabilitate deoarece ρ(x) ≥ 0 şi

∫ =− −−1

0

1n1m )n,m(Bdx)x1(x

implică ∫∞

∞−

=ρ 1dx)x( .

Vom nota β(m,n) mulţimea tuturor variabilelor aleatoare a căror densitate de repartiţieeste dată prin relaţia (7.6.6).

Momentele de ordinul k ale unei variabile aleatoare de repartiţie β sunt:

(7.6.7)

)1k nm)...(1nm)(nm(

)1k m)...(1m(m

)n,m(B

)n,k m(Bdx)x1(x

)n,m(B

1)f (M 1n

1

0

1mk k

−+++++−++

=

=+

=−= −−+∫

În particular avem :

nm

m)f (M

+= ,

)1nm)(nm(

)1m(m)f (M 2 +++

+=

(7.6.8))1nm()nm(

mn)]f (M[)f (M)f ()f (m

22

22

2+++

=−=σ=



7.8. Repartiţia lognormală 171

Între variabilele aleatoare de repartiţie beta şi gama există următoarea relaţiede legatur ă .

Teorema 12. Dacă f 1 şi f 2 sunt variabile aleatoare independente de repartiţie gama

)n(f si)m(f 21 ∈℘∈℘ atunci, variabila aleatoare

(7.6.9)21

1

f f

f g

+=

urmează o repartiţie beta de parametri m si n (g∈β(m,n)) .De asemenea se poate construi o variabilă aleatoare de repartiţie beta pornind

de la variabile aleatoare de repartiţie normală

Teorema13. Dacă variabilele aleatoare independente mi1),f ( i ≤ , n j1);g( j ≤

urmează o repartiţie normală de parametrii o si 2σ , atunci variabila aleatoare

(7.6.10)2n

21

21

2m

22

21

2m

22

21

g.....ggf ......f f

f .....f f h

+++++++

+++=

este de distribuţie beta apar ţinând clasei ),( 2n

2mβ .

7.8. Repartiţia lognormală

Definitia 9. O variabilă aleatoare f continuă are o repartitie lognormală dacă densitateasa de repartiţie este dată prin :

(7.8.1) e 2

2

2

)ax(ln2

2x

1),a,x( σ

−−

πσ=σρ ,

unde +∈ IR x , iar a şi 2σ sunt valoarea medie şi respectiv, dispersia logaritmului lui f.

Să consider ăm variabila aleatoare

(7.8.2) )af (ln1

g −σ

= ,

atunci avem :

(7.8.3) egaf σ+= ,

iar variabila aleatoare g este repartizată dupa legea normală redusă )1,0( Ng( ∈ )




Teorema 14. Valoarea medie a unei variabile aleatoare lognormale f de parametrii a şi2σ este

(7.8.4) e 2

2a)f (M

σ+= ,

iar dispersia este dată prin

(7.8.5) e)1e(a22

22

)f (D −σ+ σ

= .

Demonstraţie: =σρ= ∫∞

0

2 dx),a,x(x)f (M ∫∞

σ

−−

πσ 0

2

)ax(ln

dx2

1e 2

2

.

Efectuând schimbarea de variabilă (x → u) prinσ

−= axlnu şi efectuând calculele

rezultă valoarea medie dată de (35).

dxx

)x(

2

1dx),a,x())f (Mx()f (D

0 0

2

)ax(ln22

a222 ee 2

22

∫ ∫∞ ∞

σ

−−σ

+−

πσ=σρ−=

Efectuând aceeaşi schimbare de variabilă şi calculele rezultă dispersia dată prin (15) .

Observaţia 1. 0),a,x(lim),a,0( 2

0x0x

2 =σρ=σρ>→

ceea ce constituie o proprietate

importantă a variabilei aleatoare lognormale când x are semnificaţia timp , proprietatece nu este îndeplinită în cazul unei variabile aleatoare normale .

Observaţia 2. Fie n21 f ,.....,f ,f variabile aleatoare de repartiţie lognormală

independente .Atunci, variabila aleatoare produs

(7.8.6) n21 f ,........,f ,f g =

este o variabilă aleatoare lognormală.

Într-adevăr n,1k ,f k = fiind de repartiţie lognormală, atunci variabilele

aleatoare n,1k ,f ln k = sunt de repartiţie normală şi folosind proprietatea de

aditivitate a variabilelor aleatoare independente de repartiţie normală rezultă că

variabila aleatoare ∑=

=n

1k k f lngln este de repartiţie normală şi deci g este de repartiţie

lognormală.



7.9. Repartiţia student 173

7.9. Repartiţia Student

Definitia 10 . Spunem că o variabilă aleatoare f are o repartiţie Student cu n grade delibertate, dacă densitatea sa de probabilitate este dată prin :

(7.9.1) 2

1n2

2n

21n

)n

x1(

)(n

)()x(

+−+

+Γπ

Γ=ρ

unde x ∈ R, * N n∈ iar Γ este funcţia lui Euler de speţa a doua ∫

∞

−−=Γ0

t1u )dtet)u((

.Funcţia ρ(x) definită de (38) indeplineşte condiţiile unei densităţi de

probabilitate:a) ρ(x) ≥ 0 , pentru orice x ∈ R este vizibil.

b) ∫∞

∞−

=ρ 1dx)x( , rezultă din calcul .

Într-adevăr

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞ +−+

−+

+

Γπ

Γ=+

Γπ

Γ=ρ

+

0

2

1n

nx

2n

21n

nx

2n

21n

dx)1(

)(n

)(2dx)1(

)(n

)(dx)x(

22

1n2,

deoarece ρ(x) este o funcţie par ă. Efectuând schimbarea de variabila (x → y) prin

2

xy

2

= se obţine

,)(

)()(

2

n

)2

n,

2

1(

2

ndy)y1(y

2

ndx)

n

x1(

21n

2n

21

0 0

2

)1n(

2

1

2

)1n(2

+

∞ ∞ +−−

+−

Γ

ΓΓ=

=β=+=+∫ ∫

de unde rezultă că ∫∞

∞−=ρ 1dx)x( .




Deoarece densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare student este ofuncţie par ă, valoarea medie şi momentele de ordin impar a unei variabile f repartizatestudent sunt zero: M(f) = 0 , 0)f (M 1k 2 =+ .

Pentru momentele de ordin par se obţin în urma aceleiaşi schimbări devariabile, utilizate mai sus, rezultatele:

(7.9.2))(

)k ()k (

2

n)f (M

2n

2n

21k

k 2 Γ

−Γ+Γ

π= , k <

2

n

Cum

π−−=Γ−−=+Γ2

1)...

2

3k )(

2

1k ()

2

1(

2

1).....

2

3k )(

2

1k ()

2

1k ( ,

)k 2

n()k

2

n)......(2

2

n)(1

2

n()

2

n( −Γ⋅−−−=Γ

obţinem pentru momentele de ordin par exprimările:

(7.9.3))k 2n)....(4n)(2n(

)1k 2.......(321n)f (M

k

k 2−

−= , k<n/2

iar pentru cazul particular al dispersiei avem

(7.9.4)2n

n)f (M)f (m)f (D 22

2

−=

În continuare dăm f ăr ă demonstraţie următoarea teoremă care arată legăturaasimptotică dintre repartiţia student şi repartiţia normală .

Teorema 15. a) Dacă )x(n este densitatea de repartiţie student cu n grade de

libertate , atunci :

(7.9.5) )1,0,x()x(lim Nnn

ρ=ρ∞→

unde )1,0,x( Nρ este densitatea de repartiţie normală de parametri 0 si 1 .

b) Dacă variabilele aleatoare independente 1nn21 f ,f ,..,f ,f + au fiecare o densitate de

repartiţie normală de parametrii 0 si 2σ , atunci variabila aleatoare

(7.9.6) ∑=

+

= n

1k

2k

1n

nf

f

ng

are o distribuţie de probabilitate student cu n grade de libertate .



7.10. Repartiţia Helmert 175

În statistică o variabilă aleatoare student cu n grade de libertate se mai notează

prin nt , iar α-cuantila superioar ă se notează prin n,t α şi ea este determinată de

relaţia

(7.9.7) αα )tt(P n,n

Geometric α reprezintă aria suprafeţei cuprinse între axa Ox, graficuldensităţii de repartiţie student, situată la dreapta paralelei cu Oy de ecuaţie

n,tx α .Mulţimea variabilelor aleatoare ce urmează o repartiţie de probabilitate

Student cu n grade de libertate se notează de obicei cu S(n).Repartiţia Student este utilizată pentru efectuarea de teste statistice în vederea

verificării unor ipoteze statistice referitoare la mediile populaţiilor etc.În cadrul acestor teste densitatea de repartiţie Student cu n grade de libertate se mai notează cu f(t,n), iar valorile ei şi ale α-cuantilei superioare se găsesc tabelate (înregistrate).

7.10. Repartiţia Helmert

Această repartiţie a fost descoperită în 1876 de către Helmert şi pusă învaloare de K. Pearson cu 30 de ani mai târziu. Ea este un caz particular al reparti ţiei

gama, obţinându-se din aceasta pentru 22 b,

2

na σ

Definiţia 11. Spunem despre o variabilă aleatoare f că urmează o repartiţie de

probabilitate Helmert ( 2χ )de parametrii n si σ dacă densitatea sa de repartiţie este

dată prin:

(7.10.1) ex2

22

x1

2

n

n2

n

)2

n(

1)x( σ

−−

Γ=ρ

σ

pentru orice x∈[0, ∞) , unde n este un număr natural dat, numit numărul gradelor delibertate, iar σ > 0 este de asemenea dat.

Se verifică uşor că

∫∞

=ρ0

1dx)x( .




Vom nota cu H(n,σ) mulţimea tuturor variabilelor aleatoare având o repartiţiede probabilitate Helmert de parametrii n, σ.

Prin calcul direct se deduce că funcţia caracteristică asociată unei variabilealeatoare hi-pătrat este :

(7.10.2) 2

n2 )ti21()t(

−

σ

Derivând succesiv obţinem

(7.10.3)

.)ti21()2k 2n)...(2n(nidt

d

.....................................................

)ti21()2n(nidt

yd

)ti21(indt

dy

k 2

n2k 2k

k

k

22n2422

2

12

n22

−−

−−

−−

σ−σ−++=

σ−σ+=

σ−σ=

Dând lui t valoarea zero, din relaţiile de mai sus se obţin momentele dediferite ordine pentru o variabilă aleatoare f de repartiţie hi-pătrat

(7.10.4)

,)2k 2n)...(2n(ndt

d

i

1)f (M

....................................................

)2n(ndt

d

i

1)f (M

n

dt

d

i

1)f (M

k 2

0tk

k

k k

4

0t2

2

22

2

0t

1

σ−++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ=

σ+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ=

σ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ=

=

=

=

iar pentru momentele centrate se obţin valorile :

(7.10.5) .....................................................

)4n(n12)f (mn8)f (m

n2)]f (M[)f (M)f (m

84

6

3

42122

σσ

σ




Cu ajutorul funcţiei caracteristice asociate repartiţiei Helmert se poate ar ătacă, dacă f este o variabilă aleatoare ce apar ţine clasei H(n,σ)atunci variabila aleatoare

(7.10.6)2

2

nn2

nf g

σ

σ=

este asimptotic normală (N(0,1)), pentru n → ∞. Să consider ăm variabilele aleatoare

),n(Hf 11 σ∈ şi ),n(Hf 22 σ∈ şi funcţiile caracteristice corespunzătoare acestora

2

n2

1

1

)ti21()t(−

σ−=ϕ , respectiv 2

n2

2

2

)ti21()t(−

σ−=ϕ .

Atunci variabila aleatoare 21 f f f + va avea funcţia caracteristică

,)ti21(

)ti21()ti21()t()t()t(

2

nn2

2

n22

n2

21

21

21

+−

−−

σ−=

=σ−σ−=ϕϕ=ϕ

de unde rezultă că ),nn(Hf f f 2121 σ+∈+=

Următoarele teoreme furnizează modalităţi de a obţine variabile aleatoare derepartiţie H(n,σ).

Teorema 16. Fie variabilele aleatoare independente 1nn21 f ,f ,..,f ,f + apar ţinând clasei

N(0,σ).Atunci variabila aleatoare

(7.10.7) g =2

n2

22

1 f ,..,f f +++

apar ţine clasei H(n , σ) .

Demonstraţie. Fie x ≥ 0. Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare n j1,f 2 j ≤ se

obţine prin:

∫−

σ

−

=σπ

=<ω<−Ω∈ω=<ωΩ∈ω=x

x

2

t

j2

j dte2

1)x)(f x:(P)x)(f :(P)x(F

2

2

∫ σ−

σπ=

x

0

2t

.dte2

2 2

2




2

2

2

t

ex2

1

dx

)x(dF σ−

σπ=

De aici rezultă că funcţia caracteristică asociată variabilei aleatoare 2 jf este

dată de :

∫∞

σ−−

σπ==ϕ

0

2

x

2

1xtitif

f dxexe

2

1)e(M)t(

22 j

2 j

Dezvoltând în serie de puteri (Taylor) funcţia ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = ∑

∞

=0n

n

xtixti!n )xti( ee , ţinând

seama de definiţia funcţiei Γ a lui Euler şi de expresia seriei binomiale, în urma unuicalcul similar cu cel din determinarea funcţiei caracteristice asociate repartiţiei gamase obţine

2

12tif

f )ti21()e(M)t(

2 j

2 j

−σ−==ϕ

Funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatoare ∑=

=n

1 j

2 jf g se obţine prin :

,)ti21(

)ti21()(M

)(M)(M)t(

2

n2

n

1 j

n

1 j

2

12itf

n

1 j

itf f itg

e

ee

2 j

2 j

n

1 j

2 j

−

= =

−

=

σ−=

=σ−==

==∑=ϕ

∏ ∏

∏=

care este funcţia caracteristică corespunzătoare unei variabile aleatoare de repartiţieHelmert (g∈Η(n,σ)) de parametrii n si σ .

Legea de repartiţie χ 2 (hi-pătrat) cu n-grade de libertate se mai notează cu χ 2n ,

iar α - cuantila superioar ă corespunzătoare unei variabile aleatoare de repartiţie χ 2n se

notează prin χ 2,n α . Ea se determină prin relaţia




(7.10.8) P(χ 2n > χ 2

,n α ) = α ,

α reprezintă aria haşurată din figura alăturată şi pentru determinarea α-cuantilei

superioare χ 2,n α se găsesc înregistr ări (tabele) cu valorile ei în funcţie de α .

Repartiţia χ 2 este utilizată frecvent în statistică la ajustarea repartiţiilor statistice rezultate în analiza statistică.

ρ(x)

α

Matematici speciale – cursul on -line – Ioan Golet

Documents

Transcript of Matematici speciale – cursul on -line – Ioan Golet