Matematici Speciale

MATEMATICI SPECIALE

Adrian CARABINEANU

Cuprins

I Calcul integral 5

1 Integrale curbilinii 71.1 Rectificarea curbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Drumuri parametrizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Curbe parametrizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3 Rectificarea curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Rectificarea curbelor în spatiu . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Integrale curbilinii de primul tip (de prima speta) . . . . . . . 131.3 Integrale curbilinii de al doilea tip . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Integrale duble 192.1 Integrale Riemann duble în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Clase de functii integrabile Riemann . . . . . . . . . . 202.1.2 Reducerea integralei duble la o integrala iterata . . . . 202.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Schimbarea de variabila în integrala dubla . . . . . . . 23

2.2 Integrale de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Aria unei suprafete în spatiul tridimensional . . . . . . 252.2.2 Integrale de suprafata. Reducerea la o integrala dubla

în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Integrale triple 293.1 Integrala Riemann tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Clase de functii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Reducerea integralei triple la o integrala iterata . . . . 303.1.3 Schimbarea de variabila în integrala tripla . . . . . . . 33

3

4 CUPRINS

4 Formule integrale 354.1 Formula flux-divergenta (Gauss-Ostrogradski) . . . . . . . . . 354.2 Formula lui Stokes (rotor-circulatie) . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Exercitii si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.1 Operatori diferentiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Aplicatii ale formulelor integrale 455.1 Conditia ca o integrala curbilinie de al doilea tip sa fie inde-

pendenta de drum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.1 Functia potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.2 Calculul integralelor curbilinii de al doilea tip . . . . . 47

5.2 Derivarea integralelor depinzând de un parametru . . . . . . . 485.2.1 Cazul unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.2 Cazul bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.3 Cazul tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II Functii complexe 55

6 Corpul numerelor complexe 576.1 Modulul si argumentul unui numar complex. Forma trigono-

metrica a unui numar complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.1 Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigono-

metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 Topologia pe multimea numerelor complexe . . . . . . . . . . 61

6.2.1 Siruri de numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Proprietati ale sirurilor convergente . . . . . . . . . . . 646.2.3 Serii de numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 Functii complexe de o variabila complexa 677.1 Exemple de functii complexe de o variabila complexa . . . . . 68

7.1.1 Functia exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.1.2 Proprietati ale functiei exponentiale . . . . . . . . . . . 697.1.3 Functii trigonometrice si functii hiperbolice de o vari-

abila complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.1.4 Functia logaritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

CUPRINS 3

7.1.5 Functia putere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Functii olomorfe (C - derivabile) 758.1 Elemente de calcul integral pentru functii complexe de o vari-

abila complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2 Integrarea functiilor olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Functii complexe analitice 919.1 Dezvoltarea în serie Laurent a functiilor olomorfe în coroane

circulare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.2 Puncte singulare izolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

III Ecuatii diferentiale 105

10 Transformarea Laplace 10710.1 Exemple de transformate Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11 Proprietati ale transformarii Laplace 11111.1 Inversa transformarii Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12 Ecuatii diferentiale 11712.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11712.2 Ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul întâi. Forma

normala. Problema lui Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.3 Existenta si unicitatea solutiei problemei lui Cauchy. . . . . . 11912.4 Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale liniare

cu coeficienti constanti cu transformarea Laplace . . . . . . . 11912.5 Rezolvarea problemei Cauchy pentru sisteme de ecuatii difer-

entiale liniare cu coeficienti constanti cu transformarea Laplace121

13 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul 2 12313.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12313.2 Clasificarea ecuatiilor cvasiliniare cu doua variabile independente124

13.2.1 Forma canonica a ecuatiilor cu 2 variabile independente 12813.3 Metoda separarii variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4 CUPRINS

Partea I

Calcul integral

5

Cursul 1

Integrale curbilinii

1.1 Rectificarea curbelor

1.1.1 Drumuri parametrizate

Definitie. Functia vectoriala continua r = (x, y, z) : [α, β] → R3 se numestedrum parametrizat.Punctele r (α) = (x (α) , y (α) , z (α)) si r (β) = (x (β) , y (β) , z (β)) se

numesc extremitatile (capetele) drumului. Suportul (traiectoria) drumuluieste multimea (x (t) , y (t) , z (t)) ; t ∈ [α, β]. Daca r (α) = r (β), drumuleste închis. Ecuatiile

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β] , (1.1)

sunt ecuatiile parametrice ale drumului.În cazul în care z = 0, punem r = (x, y) : [α, β]→ R2 si spunem ca avem

un drum parametrizat neted în plan.

Exemple

1) Ecuatiile parametrice ale cercului de raza R cu centrul în originea sistemuluide coordonate sunt

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π] .

2) Ecuatiile parametrice ale elicei circulare (fig. 1.1) de pas h si raza R sunt

x = R cos t, y = R sin t, z = ht. (1.2)

7

8 CURSUL 1. INTEGRALE CURBILINII

Figura 1.1: Elicea circulara

Definitie. Daca functia vectoriala r este injectiva spunem ca drumul estesimplu (fara puncte multiple).

Exemplu. Trohoida

Trohoida este drumul parametrizat prin ecuatiile

x (θ) = aθ − b sin θ, y (θ) = a− b cos θ, a > 0, b > 0.

Daca parametrul λ =a

beste subunitar trohoida are puncte multiple. Ne

propunem sa gasim punctele multiple. Sa studiem de exemplu cazul a = 2, b = π.Daca un punct de coordonate (x, y) de pe trohoida este multiplu, atunci existadoua valori θ1 si θ2 pentru care

x (θ1) = x (θ2) ,

y (θ1) = y (θ2) ,

adica

aθ1 − b sin θ1 = aθ2 − b sin θ2,

a− b cos θ1 = a− b cos θ2,

ceea ce este echivalent cu

a (θ1 − θ2) = 2b sinθ1 − θ2

2cos

θ1 + θ2

2,

1.1. RECTIFICAREA CURBELOR 9

Figura 1.2: Trohoida

sinθ1 − θ2

2sin

θ1 + θ2

2= 0.

Considerând sinθ1 + θ2

2= 0, deducem ca cos

θ1 + θ2

2= ±1. Sa presupunem

ca cosθ1 + θ2

2= 1, deci θ1 + θ2 = 4kπ, k ∈ Z. Notând θ1 − θ2

2= ξ si luând

a = 2, b = π, (am ales aceste valori pentru a putea trata ecuatia ce urmeazaanalitic) avem

2

πξ = sin ξ,

cu solutia ξ =π

2(solutia ξ = 0 nu ne intereseaza iar pentru ξ = −π

2ajungem la

aceleasi rezultate). Rezolvând sistemul

θ1 − θ2 = π,

θ1 + θ2 = 4kπ,

obtinem

θ1 = 2kπ +π

2, θ2 = 2kπ − π

2.

In fig. 1.2 prezentam suportul trohoidei pentru diverse valori ale lui a si b.În cazul


în care λ =a

b= 1, trohoida se numeste cicloida si are pentru θ = (2k+ 1)π, k ∈

Z, puncte de întoarcere:

limθ→(2k+1)π

dy

dx= lim

θ→(2k+1)π

1− cos θ

sin θ= lim

θ→(2k+1)πtan

θ

2= ±∞.

Definitie. Un drum r = (x, y, z) : [t0, t1] → R3 se numeste neted dacax, y, z sunt functii de clasa C1 (derivabile si cu derivata continua) si x′(t)2 +y′(t)2 + z′(t)2 > 0, ∀t ∈ [t0, t1].Punctele (x(τ), y(τ), z(τ)) în care x′(τ) = y′(τ) = z′(τ) = 0 se numesc

singulare.

1.1.2 Curbe parametrizate

Definitie. Doua drumuri r : [t0, t1] → R3 si ρ : [τ 0, τ 1] → R3 sunt echiva-lente daca exista o functie (numita schimbare de parametru) τ (t) : [t0, t1]→[τ 0, τ 1] bijectiva, strict monotona, de clasa C1, cu τ ′(t) 6= 0,∀t ∈ [t0, t1] astfelîncât r(t) = ρ(τ (t)).Daca τ ′(t) > 0,∀t ∈ [t0, t1] drumurile au aceeasi orientare, în caz contrar

au orientari diferite (opuse). Daca cele drumuri au aceeasi orientare atunciτ(t0) = τ 0, τ(t1) = τ 1. Daca au orientari opuse τ(t0) = τ 1, τ(t1) = τ 0. Douadrumuri echivalente au acelasi suport.

Exemplu.

Drumuriler (t) = (R cos t, R sin t) , t ∈

[0,π

2

]si

ρ (τ) =(τ ,√R2 − τ 2

), τ ∈ [0, R] ,

sunt echivalente si au drept suport sfertul de cerc (de raza R, cu centrul înorigine) din primul cadran al planului Oxy.Într-adevar τ (t) = R cos t este schimbarea de parametru. Avem ρ(τ (t)) =

(R cos t, R sin t) = r (t) si τ ′(t) < 0. Deci cele doua drumuri sunt echivalentesi au orientari opuse.Definitie. Se numeste curba parametrizata orice clasa de drumuri para-

metrizate echivalente.O curba parametrizata este simpla (închisa, neteda) daca drumul care o

determina (si deci orice drum echivalent) este simplu (închis, neted). Când

1.1. RECTIFICAREA CURBELOR 11

alegem un drum care determina o curba, alegem implicit si o orientare acurbei. Un drum cu orientare opusa determina o orientare opusa a curbei.Definitie. Fie r1 : [t0, t1] → R3 si r2 : [t1, t2] → R3 doua drumuri para-

metrizate cu proprietatea ca r1(t1) = r2(t1). Se numeste juxtapunerea dru-murilor r1 si r2si se noteaza cu r1 ∪ r2 urmatorul drum

r1 ∪ r2(t) =

r1(t) daca t ∈ [t0, t1]r2(t) daca t ∈ [t1, t2] .

Daca Li este curba definita de ri, i = 1, 2, atunci L1 ∪ L2 este curba definitade drumul r1 ∪ r2. O curba este neteda pe portiuni daca este juxtapunereaunui numar finit de curbe netede.

1.1.3 Rectificarea curbelor plane

Determinarea lungimii unei curbe mai poarta numele de rectificarea curbei.În cazul în care curba neteda γ este reprezentata de drumul dat prin

ecuatiile parametrice

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], (1.3)

cu diviziuni ale intervalului [α, β] de forma (t0 = α, t1, ..., tn−1, tn = β) pentrucare

limn→∞

max0≤l<n

|tl+1 − tl| = 0,

avem (aplicând teorema cresterilor finite) lungimile liniilor frânte formate dinsegmentele cu extremitatile (x(ti), y(ti)) :

ln =n−1∑l=0

√[x(tl+1)− x(tl)]2 + [y(tl+1)− y(tl)]2 =

.

=

n−1∑l=0

(tl+1 − tl)√x′(ξl)

2 + y′(ηl)2; ξl, ηl ∈ (tl, tl+1) .

Lungimea curbei este (în cazul în care integrala exista)

l = limn→∞

ln =

β∫α

√x′(t)2 + y′(t)2dt. (1.4)


Notând cu s lungimea arcului de curba pentru α < τ < t, avem

s(t) =

t∫α

√x′(τ)2 + y′(τ)2dτ . (1.5)

În particular pentru curba reprezentata prin drumul de ecuatie

y = y(x), x ∈ [a, b], (1.6)

lungimea arcului este

s (x) =

∫ x

a

√1 + y′(τ)2dτ (1.7)

iar lungimea curbei este

l =

∫ b

a

√1 + y′(x)2dx. (1.8)

1.1.4 Rectificarea curbelor în spatiu

În cazul în care curba neteda L este reprezentata de drumul dat prin ecuatiileparametrice

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β], (1.9)

cu diviziuni de forma (t0 = α, t1, ..., tn−1, tn = β) pentru care

limn→∞

max0≤l<n

|tl+1 − tl| = 0,

avem lungimile liniilor frânte cu extremitatile (x(ti), y(ti), z(ti)) :

ln =

n−1∑l=0

√[x(tl+1)− x(tl)]2 + [y(tl+1)− y(tl)]2 + [z(tl+1)− z(tl)]2 =

.

=

n−1∑l=0

(tl+1 − tl)√x′(ξl)

2 + y′(ηl)2 + z′(ζ l)

2; ξl, ηl, ζ l ∈ (tl, tl+1) .

si deci lungimea curbei este

l = limn→∞

ln =

β∫α

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt. (1.10)

1.2. INTEGRALECURBILINII DE PRIMULTIP (DE PRIMA SPETA)13

Notând cu s lungimea arcului de curba pentru care α < τ < t, avem

s(t) =

t∫α

√x′(τ)2 + y′(τ)2 + z′(t)2dτ . (1.11)

Sa remarcam faptul ca lungimea curbei nu depinde de parametrizareaaleasa (drumul ales). În punctul (x (t) , y (t) , z (t)) definim versorul tangenteila curba

τ =

(dx

ds,dy

ds,dz

ds

).

1.2 Integrale curbilinii de primul tip (de primaspeta)

Fie L curba neteda data de ecuatiile parametrice (1.1) si functia continuaf : V → R, unde V ⊂ R3 este un domeniu care include curba L. Definimintegrala curbilinie de primul tip (numita si integrala de prima speta) prinrelatia∫

L

fds =

∫ β

α

f (x(t), y (t) , z(t))√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt. (1.12)

Evident, avem aproximarea

∫L

fds = limn→∞

n∑l=0

f(x(ξl), y(ξl), z(ξl))√x′(ξl)

2 + y′(ξl)2 + z′(ξl)

2(tl+1− tl) =

= limn→∞

n∑l=0

f(x(ξl), y(ξl), z(ξl))(s(tl+1)− s(tl)).

Din egalitatea anterioara deducem de asemenea ca valoarea integralei cur-bilinii de prima speta este independenta de parametrizare.Fie x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β] , respectiv ξ = ξ(τ), η =

η(τ), ζ = ζ(τ), τ ∈ [γ, δ] doua drumuri echivalente (deci x(t) = ξ(τ(t)),y(t) = η(τ(t)), z(t) = ζ(τ(t))). Avem∫ β

α

f (x(t), y (t) , z(t))√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt =


∫ β

α

f (ξ(τ(t)), η(τ(t)), ζ(τ(t)))

√(dξ(τ(t))

dt

)2

+

(dη(τ(t))

dt

)2

+

(dζ(τ(t))

dt

)2

dt

=

∫ β

α

f (ξ, η, ζ)

√(dξ(τ(t))

dτ

)2

+

(dη(τ(t))

dτ

)2

+

(dζ(τ(t))

dτ

)2

τ ′(t)dt =

=

∫ δ

γ

f (ξ(τ)), η(τ), ζ(τ))√ξ′(τ)2 + η′(τ)2 + ζ ′(τ)2dτ .

In cazul în care o curba este juxtapunerea unor curbe netede

L = L1 ∪ ... ∪ Ln

punem ∫L

fds =

∫L1

fds+ ...+

∫Ln

fds.

Exemple

1) Sa se calculeze ∫L

xyds

unde L este sfertul de elipsax2

a2+y2

b2= 1, situat în primul cadran.

Rezolvare. Avem

y =b

a

√a2 − x2, y′ =

−bxa√a2 − x2

,√

1 + y′2 =1

a

√a4 − (a2 − b2)x2

a2 − x2,

∫L

xyds =

∫ a

0

xy(x)√

1 + y′(x)2dx =b

a2

∫ a

0

√a4 − (a2 − b2)x2xdx =

=ab(a2 + ab+ b2)

3(a+ b).

Sa prezentam si o a doua metoda de calcul. Fie parametrizarea

x = a cos t, y = b sin t, t ∈[0,π

2

].

Obtinem ∫L

xyds =

∫ π2

0

ab cos t sin t√a2 sin2 t+ b2 cos2 tdt =

1.2. INTEGRALE CURBILINII DE PRIMUL TIP 15

=ab

2

∫ π2

0

sin 2t

√a2

1− cos 2t

2+ b2

1 + cos 2t

2dt =

=ab

2

∫ π2

0

sin 2t

√a2 + b2

2+

(b2 − a2) cos 2t

2dt =

=ab

2

∫ 1

−1

√a2 + b2

2+

(b2 − a2)τ

2dτ =

=ab

3(b2 − a2)

[a2 + b2

2+

(b2 − a2)τ

2

]3/2

|1−1=

=ab(b3 − a3)

3(b2 − a2)=ab(a2 + ab+ b2)

3(a+ b).

2) Sa se calculeze aria elipsoidului de rotatie.Raspuns. Fie arcul de curba L de ecuatie y = y(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]. Prin

rotatie genereaza un corp având aria laterala

S = 2π

∫L

y(x)ds = 2π

∫L

y(x)√

1 + y′(x)2dx.

În cazul elipsoidului de rotatie avem

y =b

a

√a2 − x2, −a ≤ x ≤ a,

y′ = − ba

x√a2 − x2

.

Avem

S = 2πb

a2

∫ a

−a

√a4 + (b2 − a2)x2dx.

În cazul b < a, notând a2 − b2 = a2ε2, avem 1.1

S = 2πb

a

∫ a

−a

√a2 − ε2x2dx = 2πb2 + 2πab

arcsin ε

ε,

iar daca b > a, notând b2 − a2 = b2ε2, avem

S = 2πb2 + 2πa2 ln ba(1 + ε)

ε.


1.3 Integrale curbilinii de al doilea tip

În cazul în care în (1.12) functia de integrat este de forma

f = F · τ ,

cu F = (P,Q,R) : V → R3 iar τ reprezinta versorul tangentei la curba L,integrala ∫

L

F · τds,

se numeste integrala curbilinie de al doilea tip (de speta a doua). Pentruintegrala curbilinie de speta a doua se foloseste notatia∫

L

F · τds =

∫L

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz.

Cu parametrizarea (1.1) a curbei netede L, avem∫L

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

∫ β

α

[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) +R(x(t), y(t), z(t))z′(t)] dt.

(1.13)Spre deosebire de cazul integralelor de primul tip, pentru integralele de aldoilea tip este important sa se precizeze orientarea (numita si sensul deparcurgere al curbei) L. Fie A si B extremitatile curbei, de coordonate(xA, yA, zA).respectiv (xB, yB, zB)Daca

xA = x(α), yA = y(α), zA = z(α);xB = x(β), yB = y(β), zB = z(β),

spunem ca sensul de parcurgere al curbei este de la A la B, iar daca

xB = x(α), yB = y(α), zB = z(α);xA = x(β), yA = y(β), zA = z(β),

spunem ca sensul de parcurgere al curbei este de la B la A. Pentru a puneîn evidenta sensul de parcurs al curbei scriem∫

(A,B)

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz,

1.3. INTEGRALE CURBILINII DE AL DOILEA TIP 17

daca sensul de parcurgere al curbei este de la A la B sau∫(B,A)

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz

pentru sensul de parcurgere al curbei de la B la A.Fie functia bijectiva (schimbarea de parametru)

θ : [α, β]→ [α, β], θ(α) = β, θ(β) = α0,

având expresiaθ = α + β − t.

Cu parametrizarea

ξ (t) = x (α + β − t) , η (t) = y (α + β − t) , ζ (t) = z (α + β − t) ,

tangenta la curba L (careia i s-a schimbat orientarea) este(dξ

ds(t) ,

dη

ds(t) ,

dζ

ds(t)

)=

=

(−dxds

(α + β − t) ,−dyds

(α + β − t) ,−dzds

(α + β − t))

= −τ ,

si atunci

∫(B,A)

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz = −∫L

F · τds =

= −∫

(A,B)


Exercitiu

Sa se arate ca ∫C

udx+ vdy = Γ,

unde C este cercul de raza 1 iar

u = V

(1− x2 − y2

(x2 + y2)2

)− Γ

2π

y

x2 + y2, v = − V xy

(x2 + y2)2 +Γ

2π

x

x2 + y2.

Cursul 2

Integrale duble

2.1 Integrale Riemann duble în plan

În acest capitol vom studia ne vom ocupa de integrale definite pe multimimarginite din planul xOy de forma

D =

(x, y) ∈ R2; a ≤ x ≤ b, yi(x) ≤ y ≤ ys(x)

(2.1)

unde yi, ys : [a, b]→ R sunt functii continue sau

D =

(x, y) ∈ R2;α ≤ y ≤ β, xs(y) ≤ x ≤ xd(x)

(2.2)

cu xs, xd : [a, b] → R functii continue. Fie functia f : D → R si fieDiji=1,...,n;j=mi(i),...,ms(i)

o multime de domenii (având forma dreptunghi-ulara sau, mai general, forma unui paralelogram) de arie aij si de diametru

λij = max

√(x− ξ)2 + (y − η)2; (x, y), (ξ, η) ∈ Dij

ale caror închideri Dij

acopera domeniul D. Presupunem ca domeniile Dij sunt disjuncte. Asadar

D ⊂ ∪i,jDij, D ∩Dij 6= ∅, Dij ∩Dkl = ∅ pentru (i, j) 6= (k, l).

Fie (ξi, ηj) ∈ Di,j si λ = max λij ,norma acoperirii. Consideram sumeleRiemann

σ (f,D, λ) =

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f(ξi, ηj

)aij

si luând limita dupa λ, în cazul în care aceasta limita exista, introducemintegrala Riemann dubla∫ ∫

D

f(x, y)da =

∫ ∫D

f(x, y)dxdy = limλ→0

σ (f,D, λ) .

19

20 CURSUL 2. INTEGRALE DUBLE

Figura 2.1: Acoperirea unui domeniu

2.1.1 Clase de functii integrabile Riemann

1. Orice functie continua în D este integrabila.2. Daca functia marginita f are discontinuitati pe un numar finit de

curbe, atunci ea este integrabila.

2.1.2 Reducerea integralei duble la o integrala iterata

Sa considerammultimeaD = (x, y) ∈ R2; a ≤ x ≤ b, yi(x) ≤ y ≤ ys(x) acoper-ita de închiderile dreptunghiurilor

Dij; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ mi(i) ≤ j ≤ ms(i) ≤ m .

De exemplu, în figura (2.1) 1 ≤ i ≤ 15, 1 ≤ mi(i) ≤ ms(i) ≤ 10,mi(1) =4,ms(1) = 8, etc.Aria dreptunghiuluiDij având vârfurile de coordonate (xi, yj) , (xi + ∆xi, yj) , (xi + ∆xi, yj + ∆yj) , (xi, yj + ∆yj)

2.1. INTEGRALE RIEMANN DUBLE ÎN PLAN 21

este aij = ∆xi ·∆yj. Luând punctele(ξi, ηj

)∈ Dij avem

σ (f,D, λ) =

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f(ξi, ηj

)aij =

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f(ξi, ηj

)∆yj

∆xj,

de unde, trecånd la limita deducem calculul integralei duble sub forma uneiintegrale unidimensionale iterate∫ ∫

D

f(x, y)dxdy = limλ→0

σ (f,D, λ) =

∫ b

a

(∫ ys(x)

yi(x)

f(x, y)dy

)dx.

Asemanator, luând D de forma

D =

(x, y) ∈ R2;α ≤ y ≤ β, xs(y) ≤ x ≤ xd(y)

deducem calculul integralei duble sub forma∫ ∫D

f(x, y)dxdy =

∫ β

α

(∫ xd(y)

xs(y)

f(x, y)dx

)dy.

2.1.3 Exemple

1) Fie dreptunghiul D = [3; 4]× [1; 2] . Avem∫ ∫D

dxdy

(x+ y)2 =

∫ 2

1

∫ 4

3

dxdy

(x+ y)2 =

∫ 2

1

(∫ 4

3

dx

(x+ y)2

)dy =

=

∫ 2

1

(1

y + 3− 1

y + 4

)dy = ln (y + 3) |21 − ln (y + 4) |21= ln

25

24.

2) Avem egalitatea ∫ ∫[0,1]×[0,1]

x2

1 + y2dxdy =

π

12.

3) Sa se calculeze ∫ ∫D

√x2 − y2dxdy,

unde D este triunghiul cu vârfurile O(0, 0), A(1,−1), B(1, 1).


Figura 2.2: Conul

Avem succesiv∫ ∫D

√x2 − y2dxdy =

∫ 1

0

(∫ x

−x

√x2 − y2dy

)dx.

∫ x

−x

√x2 − y2dy = y

√x2 − y2 |y=x

y=−x +

∫ x

−x

y2 − x2 + x2√x2 − y2

dy,

2

∫ x

−x

√x2 − y2dy = x2 arcsin

y

x|y=xy=−x= πx2.

4)Sase calculeze volumul conului C : z ≤ R−√x2 + y2, x2 + y2 ≤ R2.

Vom vedea în capitolul urmator ca

V =

∫ ∫ ∫C

dxdydz =

∫ ∫x2+y2<R2

(R−

√x2 + y2

)dxdy =

=

∫ R

−R

[∫ √R2−x2−√R2−x2

(R−

√x2 + y2

)dy

]dx.

2.1. INTEGRALE RIEMANN DUBLE ÎN PLAN 23∫ √x2 + y2dy = y

√x2 + y2 −

∫y2√x2 + y2

dy.

2

∫ √x2 + y2dy = y

√x2 + y2 + x2 ln

∣∣∣y +√x2 + y2

∣∣∣ .V =

∫ R

−R

[R√R2 − x2 − 1

2x2 ln(R +

√R2 − x2) +

1

2x2 ln(R−

√R2 − x2)

]dx =

=

∫ R

−R

[R√R2 − x2 − x2 ln(R +

√R2 − x2) + x2 ln |x|

]dx = π

R3

3.

2.1.4 Schimbarea de variabila în integrala dubla

Fie transformarea bijectiva de clasa C1 a multimii Ω de forma (2.1) sau (2.2)multimea D, data de

x = x (ξ, η) , y = y (ξ, η) . (2.3)

Vom presupune ca Jacobianul transformarii este diferit de zero în Ω

J (ξ, η) = det∂ (x, y)

∂ (ξ, η)6= 0.

Cu teorema functiei inverse deducem ca exista si aplicatia inversa

ξ = ξ (x, y) , η = η (x, y) .

Fie P 1ij(x, y), P 2

ij(x+ ∆x, y), P 3ij(x+ ∆x, y + ∆y), P 4

ij(x, y + ∆y) vârfurileunui dreptunghi infinitezimal apartinând unei acoperiri a lui D. Cu trans-formarea (2.3) acestea vor fi duse în vårfurile unui paralelogram apartinândunei acoperiri a lui Ω

Q1ij(ξ(x, y), η(x, y)), Q2

ij(ξ(x+ ∆x, y), η(x+ ∆x, y)),

Q3ij(ξ(x+ ∆x, y + ∆y), η(x+ ∆x, y + ∆y)), Q4

ij(ξ(x, y + ∆y), η(x, y + ∆y)).

Consideram ∆x si ∆y suficient de mici încât sa neglijam în calcule produselelor si puterile lor mai mari sau egale cu 2. Avem atunci cu formula lui Taylorde dezvoltare în serie avem

ξ(x+ ∆x, y + ∆y) = ξ(x, y) +∂ξ(x, y)

∂x∆x+

∂ξ(x, y)

∂y∆y + ...,


etc. Asadar rezulta

Q1ij(ξ, η)), Q2

ij(ξ +∂ξ

∂x∆x, η +

∂η

∂x∆x),

Q3ij(ξ +

∂ξ

∂x∆x+

∂ξ

∂y∆y, η +

∂η

∂x∆x+

∂η

∂y∆y), Q4

ij(ξ +∂ξ

∂y∆y, η +

∂η

∂y∆y).

Aria triunghiului Q1ijQ

2ijQ

3ij este

±1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ξ η 1

ξ +∂ξ

∂x∆x η +

∂η

∂x∆x 1

ξ +∂ξ

∂x∆x+

∂ξ

∂y∆y η +

∂η

∂x∆x+

∂η

∂y∆y 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= ±1

2

∣∣∣∣∣∣∣∂ξ

∂x∆x

∂η

∂x∆x

∂ξ

∂x∆x+

∂ξ

∂y∆y

∂η

∂x∆x+

∂η

∂y∆y

∣∣∣∣∣∣∣ =

= ±1

2

(∂ξ

∂x

∂η

∂y− ∂ξ

∂y

∂η

∂x

)∆x∆y =

1

2

∣∣∣∣det∂ (ξ, η)

∂ (x, y)

∣∣∣∣∆x∆y.

Aceeasi valoare o are si aria triunghiului Q1ijQ

3ijQ

4ij. Deci notând cu αij

aria patrulaterului infinitezimal Q1ijQ

2ijQ

3ijQ

4ij si cu aij aria patrulaterului

infinitezimal P 1ijP

2ijP

3ijP

4ijavem

αij =

∣∣∣∣det∂ (ξ, η)

∂ (x, y)

∣∣∣∣ aij,respectiv,

aij =

∣∣∣∣det∂ (x, y)

∂ (ξ, η)

∣∣∣∣αij = |J (ξ, η)|αij.

Luând(ξi, ηj

)în interiorul lui Q1

ijQ2ijQ

3ijQ

4ij avem formula de schimbare de

variabila.∫ ∫D

f (x, y) da =

∫ ∫D

f (x, y) dxdy = limλ→0

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f (xi, yj) aij =

= limλ→0

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f(ξi, ηj

) ∣∣∣∣∣det∂(x(ξi, ηj

), y(ξi, ηj

))∂ (ξ, η)

∣∣∣∣∣αij =

=

∫ ∫Ω

f (ξ, η) |J (ξ, η)| dα =

∫ ∫Ω

f (ξ, η) |J (ξ, η)| dξdη.

2.2. INTEGRALE DE SUPRAFATA 25

Exemple

1) Sa se afle volumul corpului delimitat de paraboloidul de revolutie az = x2 + y2

si de planul z = a.Raspuns. Trecem la coordonate polare. Cu schimbarea de variabila

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,

0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π,

avem

V =1

a

∫ ∫x2+y2≤a2

(x2 + y2

)dxdy =

1

a

∫ 2π

0

∫ a

0

ρ3dρdθ =πa3

2.

2) Sase calculeze ∫ ∫D

√1− x2

a2− y2

b2dxdy,

unde D este interiorul elipseix2

a2+y2

b2= 1.

Introducem coordonatele polare generalizate

x = ar cos θ, y = br sin θ,

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Jacobianul transformarii este

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ a cos θ −ar sin θbr sin θ br cos θ

∣∣∣∣ = abr

si schimbând variabilele obtinem∫ ∫D

√1− x2

a2− y2

b2dxdy = ab

∫ 2π

0

(∫ 1

0

r√

1− r2dr

)dθ =

2πab

3.

2.2 Integrale de suprafata

2.2.1 Aria unei suprafete în spatiul tridimensional

Fie suprafata S data de ecuatiile parametrice

x = x (u, v) , y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D,


sau mai pe scurt introducând vectorul de pozitie r = (x, y, z),

r = r(u, v).

Presupunem ca suprafata S este neteda (x, y, z sunt functii de clasa C1). ÎnmultimeaD din planul uOv consideram punctele P1(u, v), P2(u+∆u, v), P3(u+∆u, v + ∆v), P4(u, v + ∆v). Lor le vor corespunde pe suprafata punctele

Q1(r(u, v)), Q2

(r(u, v) +

∂r

∂u∆u

), Q3

(r(u, v) +

∂r

∂u∆u+

∂r

∂v∆v

), Q4

(r(u, v) +

∂r

∂v∆v

).

Aria paralelogramului Q1Q2Q3Q4 este

a(Q1Q2Q3Q4) =

∥∥∥∥∂r∂u × ∂r

∂v

∥∥∥∥∆u∆v =√EG− F 2∆u∆v, (sv2)

unde

E =

(∂x

∂u

)2

+

(∂y

∂u

)2

+

(∂z

∂u

)2

, G =

(∂x

∂v

)2

+

(∂y

∂v

)2

+

(∂z

∂v

)2

,

F =∂x

∂u

∂x

∂v+∂y

∂u

∂y

∂v+∂z

∂u

∂z

∂v,

sunt coeficientii lui Gauss ai suprafetei. Fie siji,j o acoperire cu patru-laterea suprafetei S. Fie σij = (u, v) ; (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ sij. Notândcu aij aria lui sij, aria suprafetei S este

A = limλ→0

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

aij = limλ→0

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

√EG− F 2∆u∆v =

∫ ∫D

√EG− F 2dudv.

Evident, într-un plan,

A =

∫ ∫D

dxdy.

2.2.2 Integrale de suprafata. Reducerea la o integraladubla în plan

Definim integrala de suprafata∫ ∫S

f(x, y, z)dS = limλ→0

n∑i=1

ms(i)∑j=mi(i)

f(xij, yij, zij)aij =

=

∫ ∫D

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))√EG− F 2dudv.

2.2. INTEGRALE DE SUPRAFATA 27

Exemple

1) Sa se calculeze ∫ ∫Σ

yzdS,

Σ reprezentând suprafata de ecuatie

x2 + y2 = R2, x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ a.

Trecem la coordonate cilindrice

x = R cos θ, y = R sin θ, z = z,

0 ≤ θ ≤ π

2, 0 ≤ z ≤ a,

calculam coeficientii lui Gauss si obtinem

E = 1, F = 0, G = R2.

De aici ∫ ∫Σ

yzdS = R2

∫ a

0

(∫ π/2

0

z cos θdθ

)dz =

R2a2

2.

2) Sa se calculeze ∫ ∫x2+y2+z2=R2

(x2 + y2

)dS.

Trecem la coordonate sferice (figura 2.3):

x = R cos θ sinϕ, y = R sin θ sinϕ, z = R cosϕ,

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π,

si calculam coeficientii lui Gauss

E =

(∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2

+

(∂z

∂θ

)2

= R2 sin2 ϕ,

G =

(∂x

∂ϕ

)2

+

(∂y

∂ϕ

)2

+

(∂z

∂ϕ

)2

= R2,

F =∂x

∂θ· ∂x∂ϕ

+∂y

∂θ· ∂y∂ϕ

+∂z

∂θ· ∂z∂ϕ

= 0.

Obtinem √EG− F 2 = R2 sinϕ,∫ ∫

x2+y2+z2=R2

(x2 + y2

)dS = R4

∫ 2π

0

(∫ π

0

sin3 ϕdϕ

)dθ =

8πR4

3.


Figura 2.3: Coordonate sferice

Cursul 3

Integrale triple

3.1 Integrala Riemann tripla

Consideram, prin analogie cu cazul integralelor duble, ca o multime D ⊂ R3,este acoperita cu o familie de paralelipipede Dijkk=1,...,n;j=mi(k),...,ms(k);i=Mi(j,k),...,Ms(j,k)

de volume vijk si de diametre λijk = max |x− y| ;x, y ∈ Dijk . Presupunemca domeniile Dijk au interioarele disjuncte. Asadar

D ⊂ ∪Dijk, D ∩Dijk 6= ∅, interior Di1j1k1 ∩ interior Di2j2k2 = ∅

pentru (i1, j1, k1) 6= (i2, j2, k2).Fie functia f : D → R, (xi, yj, zk) ∈ Di,jk siλ = max λijk . Consideram sumele Riemann

σ (f,D, λ) =n∑k=1

ms(k)∑j=mi(k)

Ms(j,k)∑i=Mi(j,k)

f(xi, yj, zk)vijk

si luând limita , introducem integrala tripla∫ ∫ ∫D

f(x, y, z)dv =

∫ ∫ ∫D

f(x, y, z)dxdydy = limλ→0

σ (f,D, λ) .

3.1.1 Clase de functii integrabile

1. Orice functie continua în D este integrabila.2. Daca functia marginita f are discontinuitati pe un numar finit de

suprafete netede (având ecuatiile parametrice exprimate prin functii de clasaC1), atunci ea este integrabila.

29

30 CURSUL 3. INTEGRALE TRIPLE

Figura 3.1: Domeniul de integrare D (primul caz)

3.1.2 Reducerea integralei triple la o integrala iterata

Pentru calculul integralei triple se disting urmatoarele cazuri:1. Domeniul D este cuprins între planele z = zi si z = zs (fig. 3.1).

Intersectia lui D cu planul z = z0, zi < z0 < zs, se proiecteaza în planul xOydupa domeniul Dz0 . Atunci,∫ ∫ ∫

D

f(x, y, z)dxdydz =

∫ zs

zi

(∫ ∫Dz

f(x, y, z)dxdy

)dz.

2. Domeniul D este limitat de o suprafata laterala cilindrica (fig. 3.2)cu generatoarele paralele cu axa Oz (a carei intersectie cu planul xOy estefrontiera unei multimi S ⊂ R2), de suprafata inferioara z = si(x, y), (x, y) ∈S si de suprafata superioara z = ss(x, y), (x, y) ∈ S. Atunci

∫ ∫ ∫D

f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫S

(∫ ss(x,y)

si(x,y)

f(x, y, z)dz

)dxdy.

În mod asemanator calculam integralele triple schimbånd între ele rolurilevariabilelor x, y, z.

3.1. INTEGRALA RIEMANN TRIPLA 31

Figura 3.2: Domeniul de integrare D (al doilea caz)

Exemple

1). Sa se calculeze∫ ∫ ∫D

zdxdydz, D =

(x, y, z) ;x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0.

Domeniul de integrare este prezentat în figura 3.3. Intersectia suprafetei conice cusuprafata sferica este cercul situat în planul z = a/

√2, având centrul în punctul

C(0, 0, a/√

2) si raza a/√

2. Avem:

∫ ∫ ∫D

zdxdydz =

∫ ∫x2+y2≤

a2

2

(∫ √a2−x2−y2

√x2+y2

zdz

)dxdy =

=1

2

∫ ∫x2+y2≤

a2

2

(a2 − 2x2 − 2y2)dxdy =πa4

8.

2) . Sa se calculeze∫ ∫ ∫D

√x2 + y2dxdydz, D =

(x, y, z) ;x2 + y2 ≤ z2, 1 ≥ z ≥ 0

.


Figura 3.3: Domeniul de integrare

Figura 3.4: Domeniul de integrare

3.1. INTEGRALA RIEMANN TRIPLA 33

Domeniul de integrare este prezentat în figura 3.4. Avem∫ ∫ ∫D

√x2 + y2dxdydz =

∫ ∫x2+y2≤1

√x2 + y2

(∫ 1

√x2+y2

dz

)dxdy =

∫ ∫x2+y2≤1

(√x2 + y2 − x2 + y2

)dxdy =

π

6.

3.1.3 Schimbarea de variabila în integrala tripla

Fie transformarea bijectiva de clasa C1 a multimiii Ω pe multimea D, datade

x = x (ξ, η, ζ) , y = y (ξ, η, ζ) , z = z (ξ, η, ζ) . (3.1)

Vom presupune ca Jacobianul transformarii este diferit de zero

J (ξ, η, ζ) = det∂ (x, y, z)

∂ (ξ, η, ζ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂ζ∂y

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂ζ∂z

∂ξ

∂z

∂η

∂z

∂ζ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0.

Cu teorema functiei inverse deducem ca exista si aplicatia inversa

ξ = ξ (x, y, z) , η = η (x, y, z) , ζ = ζ (x, y, z) .

Ca si în cazul integralei duble se demonstraza formula de schimbare devariabila∫ ∫ ∫

D

f (x, y, z) dxdydz =

∫ ∫ ∫Ω

f (x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) |J (ξ, η, ζ)| dξdηdζ.(3.2)

Aplicatii. Aria si volumul corpurilor de rotatie

Consideram coordonatele cilindrice (r, θ, z) date prin relatiile

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z.

Suprafata unui corp de rotatie D (cu simetrie axiala) este

r = r(z), z0 ≤ z ≤ z1, θ ∈ [0, 2π] .


Volumul este

V =

∫ ∫ ∫D

dxdydz = 2π

∫ z1

z0

(∫ r(z)

0

rdr

)dz = π

∫ z1

z0

r2(z)dz.

Coeficientii lui Gauss sunt

E =

(∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2

+

(∂z

∂θ

)2

= r(z)2,

G =

(∂x

∂z

)2

+

(∂y

∂z

)2

+

(∂z

∂z

)2

= 1 + r′(z)2,

F =∂x

∂θ· ∂x∂z

+∂y

∂θ· ∂y∂z

+∂z

∂θ· ∂z∂z

= 0,

iar suprafata corpului este

S =

∫ ∫∂D

dS =

∫ 2π

0

(∫ z1

z0

r(z)√

1 + r′(z)2dz

)dθ = 2π

∫ z1

z0

r(z)√

1 + r′(z)2dz.

Exemplu

Cea mai utilizata schimbare de variabile în spatiu este trecerea la coordonate sferice

x = ρ cos θ sinϕ, y = ρ sin θ sinϕ, z = ρ cosϕ,

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 < ρ ≤ R.

Jacobianul transformarii este

J (ρ, θ, ϕ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂ρ

∂x

∂ϕ

∂x

∂θ∂y

∂ρ

∂y

∂ϕ

∂y

∂θ∂z

∂ρ

∂z

∂ϕ

∂z

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣cos θ sinϕ ρ cos θ cosϕ −ρ sin θ sinϕsin θ sinϕ ρ sin θ cosϕ ρ cos θ sinϕ

cosϕ ρ sinϕ 0

∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ.

Sa calculam∫ ∫ ∫

Dxyzdxdydz unde D este domeniul marginit de planele x =

0, y = 0, z = 0 si de sfera x2 + y2 + z2 = 1 (figura ??).Avem∫ ∫ ∫

D

xyzdxdydz =

∫ 1

0

∫ π/2

0

∫ π/2

0

ρ3 cos θ sin θ sin2 ϕ cosϕdϕdθdρ =1

24.

Cursul 4

Formule integrale

4.1 Formula flux-divergenta (Gauss-Ostrogradski)

Fie D ⊂ R3, închiderea unui domeniu tridimensional (figura 4.1). Pre-supunem ca ∂D suprafata lui D, este compusa din suprafata neteda in-ferioara Si : z = zi(x, y), (x, y) ∈ S si din suprafata neteda superioaraSs : z = zs(x, y), (x, y) ∈ S. Fie functia vectoriala de clasa C1 :

f = (P,Q,R) : D → R3.

Avem:

∫ ∫ ∫D

∂R

∂z(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫S

(∫ zs(x,y)

zi(x,y)

∂R

∂z(x, y, z)dz

)dxdy =

=

∫ ∫S

(R (x, y, zs(x, y))−R (x, y, zi(x, y))) dxdy.

În punctul având vectorul de pozitie rs = (x, y, zs(x, y) de pe suprafata Ssavem tangentele

∂rs∂x

= i+∂zs∂x

k =

(1, 0,

∂zs∂x

),

∂rs∂y

= j +∂zs∂y

k =

(0, 1,

∂zs∂y

),

35

36 CURSUL 4. FORMULE INTEGRALE

Figura 4.1: Domeniul D

unde i, jsi k sunt versorii axelor de coordonate. Versorul normalei exterioarela suprafata Ss este

n = (nx, ny, nz) =

∂rs∂x× ∂rs∂y∥∥∥∥∂rs∂x × ∂rs∂y

∥∥∥∥ ,unde

∂rs∂x× ∂rs∂y

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0∂zs∂x

0 1∂zs∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∂zs∂x

i− ∂zs∂y

j + k

si ∥∥∥∥∂rs∂x × ∂rs∂y

∥∥∥∥ =

√1 +

(∂zs∂x

)2

+

(∂zs∂y

)2

=√EG− F 2,

cu

E = 1 +

(∂zs∂x

)2

, F =∂zs∂x· ∂zs∂y

, G = 1 +

(∂zs∂y

)2

.

4.2. FORMULA LUI STOKES (ROTOR-CIRCULATIE) 37

Avem deci

nx = −∂zs∂x√

EG− F 2, ny = −

∂zs∂y√

EG− F 2, nz =

1√EG− F 2

, (4.1)

∫ ∫S

R (x, y, zs(x, y))dxdy =

∫ ∫S

R (x, y, zs(x, y)) · nz√EG− F 2dxdy =

=

∫ ∫Ss

R (x, y, z) · nzdS.

La fel

−∫ ∫

S

R (x, y, zi(x, y))dxdy =

∫ ∫Ss

R (x, y, z) · nzdS

si de aici ∫ ∫ ∫D

∂R

∂z(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫∂D

R (x, y, z) · nzdS. (4.2)

Asemanator, schimbånd între ele rolurile variabilelor x, y si z avem∫ ∫ ∫D

∂Q

∂y(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫∂D

Q (x, y, z) · nydS, (4.3)

∫ ∫ ∫D

∂P

∂x(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫∂D

P (x, y, z) · nxdS. (4.4)

Fie produsul scalarf · n = Pnx +Qny +Rnz

si operatorul diferential divergenta

div f =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z.

Din (4.2) - (4.4) rezulta formula flux-divergenta (Gauss-Ostrogradski)∫ ∫ ∫D

div fdxdydz =

∫ ∫∂D

f · ndS, (4.5)

unde integrala de suprafata din partea dreapta reprezinta fluxul câmpuluivectorial f prin suprafata ∂D.


Figura 4.2: Domeniu bidimensional

4.2 Formula lui Stokes (rotor-circulatie)

4.2.1 Formula lui Green

Fie domeniul D din figura 4.2..Avem ∫ ∫

D

∂P

∂ydxdy =

∫ b

a

(∫ ys(x)

yi(x)

∂P (x, y)

∂y

)dx =

=

∫ b

a

P (x, ys(x))dx−∫ b

a

P (x, yi(x))dx = −∫∂D

P (x, y)dx.

Se demonstreaza ca formula este valabila în general, pentru domenii plane,marginite de curbe netede pe portiuni. Asemanator demonstram ca∫ ∫

D

∂Q

∂xdxdy =

∫∂D

Q(x, y)dy,

de unde rezulta formula lui Green∫∂D

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫ ∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy.


Aplicatii

Fie n normala exterioara la ∂D, frontiera domeniului bidimensionalD. Sa se arateca ∫ ∫

D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dxdy =

∫∂D

(Pnx +Qny) ds,∫ ∫D

∆udxdy =

∫∂D

∂u

∂nds,∫ ∫

D

(v∆u− u∆v) dxdy =

∫∂D

(v∂u

∂n− u∂v

∂n

)ds,

unde

∆ =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

este laplaceanul functiei u.

4.2.2 Formula lui Stokes

Fie domeniul V ⊂ R3 si suprafata S ⊂ V de clasa C2, marginita de curbaneteda simpla L (figura 4.3).Notam cu S0 proiectia lui S si cu L0 proiectialui L pe planul Oxy. Fie

z = z(x, y), (x, y) ∈ S0,

ecuatia suprafetei S si

x = x(t), y = y(t), z = 0, t ∈ [α, β] ,

ecuatiile parametrice ale curbei L0. Ecuatiile parametrice ale curbei L vor fi

x = x(t), y = y(t), z = z(x(t), y(t)), t ∈ [α, β] .

Fie functia de clasa C1 :

f = (P,Q,R) : V → R3

si sa consideram integrala curbilinie de al doilea tip∫L



Figura 4.3: Suprafata S si proiectia ei pe planul Oxy


=

∫ β

α

[P (x(t), y(t), z(x(t), y(t)))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(x(t), y(t)))y′(t) + ...

+R(x(t), y(t), z(x(t), y(t))) ·(∂z(x(t), y(t))

∂xx′(t) +

∂z(x(t), y(t))

∂yy′(t)

)]dt =

=

∫L0

(P (x, y, z(x, y)) +R(x, y, z(x, y))

∂z(x, y)

∂x

)dx+

+

(Q(x, y, z(x, y)) +R(x, y, z(x, y))

∂z(x, y)

∂y

)dy. (4.6)

Cu formula lui Green deducem:∫L0

(P (x, y, z(x, y)) +R(x, y, z(x, y))

∂z(x, y)

∂x

)dx+ ...

+

(Q(x, y, z(x, y)) +R(x, y, z(x, y))

∂z(x, y)

∂y

)dy =∫ ∫

S0

[∂Q(x, y, z(x, y))

∂x+∂Q(x, y, z(x, y))

∂z

∂z(x, y)

∂x+ ...

+∂R(x, y, z(x, y))

∂x

∂z(x, y)

∂y− ∂P (x, y, z(x, y))

∂y− ...

−∂P (x, y, z(x, y))

∂z

∂z(x, y)

∂y− ∂R(x, y, z(x, y))

∂y

∂z(x, y)

∂x

]dxdy =

=

∫ ∫S0

[(∂Q(x, y, z(x, y))

∂x− ∂P (x, y, z(x, y))

∂y

)− ...

−(∂P (x, y, z(x, y))

∂z− ∂R(x, y, z(x, y))

∂x

)∂z(x, y)

∂y− ...

−(∂R(x, y, z(x, y))

∂y− ∂Q(x, y, z(x, y))

∂z

)∂z(x, y)

∂x

]dxdy. (4.7)

Din (4.6) si (4.7), tinând cont (4.1) rezulta∫ ∫S0

[(∂Q(x, y, z(x, y))

∂x− ∂P (x, y, z(x, y))

∂y

)− ...

−(∂P (x, y, z(x, y))

∂z− ∂R(x, y, z(x, y))

∂x

)∂z(x, y)

∂y− ...


−(∂R(x, y, z(x, y))

∂y− ∂Q(x, y, z(x, y))

∂z

)∂z(x, y)

∂x

]dxdy =

=

∫ ∫S

[(∂Q(x, y, z)

∂x− ∂P (x, y, z)

∂y

)nz+

(∂P (x, y, z)

∂z− ∂R(x, y, z)

∂x

)ny+...

+

(∂R(x, y, z)

∂y− ∂Q(x, y, z)

∂z

)nx

]dS. (4.8)

Din (4.6) - (4.8) deducem∫L


=

∫ ∫S

[(∂Q(x, y, z)

∂x− ∂P (x, y, z)

∂y

)nz+

(∂P (x, y, z)

∂z− ∂R(x, y, z)

∂x

)ny+...

+

(∂R(x, y, z)

∂y− ∂Q(x, y, z)

∂z

)nx

]dS. (4.9)

Introducând notiunea de rotor al functiei f = (P,Q,R) = Pi+Qj+Rk :

rot f =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)i+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)j +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k, (4.10)

si notând cu

τ =dx

dsi+

dy

dsj +

dz

dsk,

versorul tangentei la curba L, relatia (4.9) devine∫L

f · τds =

∫ ∫S

rot f · ndS. (4.11)

Relatia (4.11) este cunoscuta sub denumirea de formula lui Stokes sau for-mula rotor-circulatie.

4.3. EXERCITII SI PROBLEME 43

4.3 Exercitii si probleme

1) Se considera integrala curbilinie∫L

x2ydx+ y2zdy + z2xdz,

unde L este paralela de cota z = h de pe sfera de ecuatie x2 + y2 + z2 = R2. Sase calculeze aceasta integrala curbilinie direct sau cu formula lui Stokes.

4.3.1 Operatori diferentiali

Fie operatorul lui Laplace (laplaceanul) ∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2si operatorul

diferential nabla: ∇ =∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk. Formal ∇ · f = div f, ∇× f = rot

f, ∇U = gradU.2) Demonstrati egalitatile

div(Uf) = U div f + gradU · f,rot(Uf)

= Urot f + gradU × f,

div(f × g) = g · rotf − f · rotg,div(gradU) = ∆U,

rot(rotf) = grad(div f)−∆f.

Sa se rescrie identitatile precedente cu ajutorul operatorului ∇.Definim derivata normala (derivata în directia normalei la suprafata S)

∂U

∂n=

gradU · n.3) Sa se deduca relatiile∫ ∫

∂D

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dS =

∫ ∫ ∫D

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dxdydz,

4) Sa se verifice formula∫ ∫x2+y2+z2=R2

dU

dndS =

∫ ∫ ∫x2+y2+z2≤R2

∆Udxdydz,

cu U = x2 + y2 + z2.

Cursul 5

Aplicatii ale formulelorintegrale

5.1 Conditia ca o integrala curbilinie de aldoilea tip sa fie independenta de drum

Fie curbele L si L′ cu suporturile incluse în domeniul V ⊂ R3 si cu extrem-itatile comune A(xA, yA, zA) si B(xB, yB, zB). Presupunem ca sunt satisfacuterelatiile

∂R(x, y, z)

∂y=∂Q(x, y, z)

∂z,∂P (x, y, z)

∂z=∂R(x, y, z)

∂x,∂Q(x, y, z)

∂x=∂P (x, y, z)

∂y.

(5.1)Fie suprafata neteda S ⊂ V , marginita de curbele L si L′. Notând cu L curbaL parcursa în sens invers avem∫

L∪L′P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

=

∫ ∫S

[(∂Q(x, y, z)

∂x− ∂P (x, y, z)

∂y

)nz+

(∂P (x, y, z)

∂z− ∂R(x, y, z)

∂x

)ny+...

+

(∂R(x, y, z)

∂y− ∂Q(x, y, z)

∂z

)nx

]dS = 0.

Rezulta de aici ca∫L′P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

45

46 CURSUL 5. APLICATII ALE FORMULELOR INTEGRALE

= −∫L


=

∫L


Cum integrala curbilinie este independenta de drum (si depinde numai deextremitati) putem scrie∫

L


=

∫(A,B)


=

∫ (xB ,yB ,zB ,)

(xA,yA,zA,)


5.1.1 Functia potential

O functie F : V → R este potentialul functiei f = (P,Q,R) : V → R3 daca

P =∂F

∂x,Q =

∂F

∂y,R =

∂F

∂z.

. Conditiile (5.1) sunt necesare si suficiente pentru ca f sa aiba un potential.Sa demonstram ca sunt suficiente. Fie

F (x, y, z) =

∫ z

z0

R(x0, y0, ζ)dζ +

∫ y

y0

Q(x0, η, z)dη+

+

∫ x

x0

P (ξ, y, z)dξ. (5.2)

Avem

∂F (x, y, z)

∂x= P (x, y, z),

∂F (x, y, z)

∂y= Q(x0, y, z) +

∫ x

x0

∂P (ξ, y, z)

∂ydξ =

= Q(x0, y, z) +

∫ x

x0

∂Q(ξ, y, z)

∂ξdξ = Q(x0, y, z) +Q(x, y, z)−Q(x0, y, z) =

5.1. CONDITIA CAO INTEGRALA CURBILINIE DEALDOILEATIP SA FIE INDEPENDENTA DEDRUM47

= Q(x, y, z),

∂F (x, y, z)

∂z= R(x0, y0, z) +

∫ y

y0

∂Q(x0, η, z)

∂zdη +

∫ x

x0

∂P (ξ, y, z)

∂zdξ =

= R(x0, y0, z) +

∫ y

y0

∂R(x0, η, z)

∂ηdη +

∫ x

x0

∂R(ξ, y, z)

∂ξdξ =

= R(x0, y0, z) +R(x0, y, z)−R(x0, y0, z) +R(x, y, z)−R(x0, y, z) =

= R(x, y, z).

5.1.2 Calculul integralelor curbilinii de al doilea tip

Integrala (5.2) este de fapt integrala curbilinie de al doilea tip∫C

R(x, y, z)dz +Q(x, y, z)dy + P (x, y, z)dx,

undeC este curba constituita din segmentele de dreapta [(x0, y0, z0), (x0, y0, z)] ,[(x0, y0, z), (x0, y, z)] , si [(x0, y, z), (x, y, z)] . Daca sunt satisfacute relatiile(5.1), avem de fapt

F (x, y, z) =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

R(x, y, z)dz +Q(x, y, z)dy + P (x, y, z)dx,

integrala fiind independenta de drum. De asemenea∫ (x2,y2,z2)

(x1,y1,z1)

R(x, y, z)dz+Q(x, y, z)dy+P (x, y, z)dx = F (x2, y2, z2)−F (x1, y1, z1).

Aplicatii ∫ (1,1,1)

(0,0,0)

yzdx+ xzdy + xydz = xyz |(1,1,1)(0,0,0)= 1.

∫ (1,1,1)

(0,0,0)

2xdx+ 2ydy + 2zdz = (x2 + y2 + z2) |(1,1,1)(0,0,0)= 3.


5.2 Derivarea integralelor depinzând de unparametru

5.2.1 Cazul unidimensional

Fie integrala depinzând de parametrul τ

F (τ) =

∫ β(τ)

α(τ)

f(x, τ)dx,

unde α(τ), β(τ), f(x, τ) sunt functii de clasa C1. Obtinem prin calcul

dF

dτ(τ 0) = lim

τ→τ0

∫ β(τ)

α(τ)

f(x, τ)dx−∫ β(τ0)

α(τ0)

f(x, τ 0)dx

τ − τ 0

=

= limτ→τ0

∫ β(τ0)

α(τ0)

f(x, τ)dx−∫ β(τ0)

α(τ0)

f(x, τ 0)dx

τ − τ 0

+

+ limτ→τ0

f(α(τ 0), τ 0)

∫ α(τ0)

α(τ)

dx+ f(β(τ 0), τ 0)

∫ β(τ)

β(τ0)

dx

τ − τ 0

+

limτ→τ0

∫ α(τ0)

α(τ)

[f(x, τ)− f(α(τ 0), τ 0)] dx+

∫ β(τ)

β(τ0)

[f(x, τ)− f(β(τ 0), τ 0)] dx

τ − τ 0

si, tinând cont ca ultimul termen din dreapta se anuleaza, rezulta ca

d

dτ

∫ β(τ)

α(τ)

f(x, τ)dx |τ=τ0=

=

∫ β(τ0)

α(τ0)

∂f(x, τ 0)

∂τdx+ f(β(τ 0), τ 0)β′(τ 0)− f(α(τ 0), τ 0)α′(τ 0). (5.3)

5.2.2 Cazul bidimensional

Fie închiderea unui domeniu variabil (vezi figura 4.2)

D(τ) =

(x, y) ∈ R2; a(τ) ≤ x ≤ b(τ), yi(x, τ) ≤ y ≤ ys(x, τ)

5.2. DERIVAREA INTEGRALELORDEPINZÂNDDEUNPARAMETRU49

si functia f(x, y, τ) : D×[γ, δ]→ R de clasa C1. Fie integrala dubla depinzândde parametrul τ ,

F(τ) =

∫ ∫D(τ)

f(x, y, τ)dxdy =

∫ b(τ)

a(τ)

(∫ ys(x,τ)

yi(x,τ)

f(x, y, τ)dy

)dx.

Notam

G(x, τ) =

∫ ys(x,τ)

yi(x,τ)

f(x, y, τ)dy

Folosind rezultatele obtinute în subsectiunea precedenta, avem

dF(τ)

dτ=

∫ b(τ)

a(τ)

∂G(x, τ)

∂τdx+G(b(τ), τ)b′(τ)−G(a(τ), τ)a′(τ), (5.4)

respectiv∂G(x, τ)

∂τ=

=

∫ ys(x,τ)

yi(x,τ)

∂f(x, y, τ)

∂τdy+f(x, ys(x, τ), τ)

∂ys(x, τ)

∂τ−f(x, yi(x, τ), τ)

∂yi(x, τ)

∂τ.

(5.5)Din (5.4) si (5.5) rezulta:

dF(τ)

dτ=

∫ ∫D(τ)

∂f(x, y, τ)

∂τdxdy +

∫ ys(b(τ),τ)

yi(b(τ),τ)

f(b(τ), y, τ)dy · b′(τ)−

−∫ ys(a(τ),τ)

yi(a(τ),τ)

f(a(τ), y, τ)dy · a′(τ)+

+

∫ b(τ)

a(τ)

(f(x, ys(x, τ), τ)

∂ys(x, τ)

∂τ− f(x, yi(x, τ), τ)

∂yi(x, τ)

∂τ

)dx. (5.6)

Notând cu r(x, y, τ) vectorul de pozitie al unui punct de pe frontiera ∂D(τ) =AB ∪BC ∪ CD ∪DA a domeniului D(τ) reprezentat în figura 4.2 avem

r |AB= xi+ yi(x, τ)j, r |BC= b(τ)i+ yj, (5.7)

r |CD= xi+ ys(x, τ)j, r |DA= a(τ)i+ yj (5.8)

si de aici

∂r

∂τ|AB=

∂yi(x, τ)

∂τj,

∂r

∂τ|BC= b′(τ)i,

∂r

∂τ|CD=

∂ys(x, τ)

∂τj,

∂r

∂τ|DA= a′(τ)i.

(5.9)


Versorul tangentei la frontiera domeniului D(τ) este

τ |AB=i+

∂yi(x, τ)

∂xj√

1 +

(∂yi(x, τ)

∂x

)2, τ |BC= j,

τ |CD=−i− ∂ys(x, τ)

∂xj√

1 +

(∂ys(x, τ)

∂x

)2, τ |DA= −j,

iar versorul normalei exterioare este

n |AB=

∂yi(x, τ)

∂xi− j√

1 +

(∂yi(x, τ)

∂x

)2, n |BC= i, (5.10)

n |CD=−∂ys(x, τ)

∂xi+ j√

1 +

(∂ys(x, τ)

∂x

)2, n |DA= −i. (5.11)

Din (5.9) - (5.11) deducem

∂r

∂τ· n |AB=

−∂yi(x, τ)

∂τ√1 +

(∂yi(x, τ)

∂x

)2, (5.12)

∂r

∂τ· n |BC= b′(τ), (5.13)

∂r

∂τ· n |CD=

∂ys(x, τ)

∂τ√1 +

(∂ys(x, τ)

∂x

)2, (5.14)

∂r

∂τ· n |DA= −a′(τ). (5.15)


Din (5.6) si (5.12) - (5.15) obtinem prima formula de derivare a integralelorduble calculate pe un domeniu ce depinde de un parametru:

d

dτ

∫ ∫D(τ)

f(x, y, τ)dxdy =

=

∫ ∫D(τ)

∂f(x, y, τ)

∂τdxdy +

∫∂D(τ)

f(x, y, τ)

(∂r

∂τ· n)ds. (5.16)

Cu formula lui Green obtinem a doua formula de derivare a integralelor dublecalculate pe un domeniu ce depinde de un parametru

d

dτ

∫ ∫D(τ)

f(x, y, τ)dxdy =

∫ ∫D(τ)

[∂f(x, y, τ)

∂τ+ div

(f(x, y, τ)

∂r

∂τ

)]dxdy.

(5.17)

5.2.3 Cazul tridimensional

Fie D(τ) închiderea domeniului tridimensional din figura 3.1 si fie functiaf(x, y, z, τ) : D × [γ, δ] → R de clasa C1. Fie integrala tripla depinzând deparametrul τ∫ ∫ ∫

D(τ)

f(x, y, z, τ)dxdydz =

∫ zs(τ)

zi(τ)

(∫ ∫Dz(τ)

f(x, y, z, τ)dxdy

)dz.

(5.18)Cu formulele (5.3) si (5.17) avem

d

dτ

∫ ∫ ∫D(τ)


∫ zs(τ)

zi(τ)

(∫ ∫Dz(τ)

∂f(x, y, z, τ)

∂τdxdy +

∫∂Dz(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂R

∂τ·N)ds

)dz+∫ ∫

Dzs(τ)(τ)

f(x, y, zs(τ), τ)dxdy·z′s(τ)−∫ ∫

Dzi(τ)(τ)

f(x, y, zi(τ), τ)dxdy·z′i(τ).

(5.19)Ultimele doua integrale sunt nule deoarece Dzs(τ)(τ) si Dzi(τ)(τ) se reduc lacâte un punct, deci

d

dτ

∫ ∫ ∫D(τ)


∫ ∫ ∫D(τ)

∂f(x, y, z, τ)

∂τdxdydz+


+

∫ zs(τ)

zi(τ)

(∫∂Dz(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂R

∂τ·N)ds

)dz. (5.20)

. Trecem la coordonate cilindrice si consideram ca suprafata ∂D(τ) areecuatiile parametrice

x = x(θ, z, τ), y = y(θ, z, τ), z = z; zi(τ) ≤ z ≤ zs(τ), 0 ≤ θ ≤ 2π.

Curba ∂Dz(τ) care margineste domeniul bidimensional Dz(τ) are aceleasiecuatii parametrice, cu diferenta ca z este fix. Fie

r = x(θ, z, τ)i+ y(θ, z, τ)j + zk,

R = x(θ, z, τ)i+ y(θ, z, τ)j.

În punctul având vectorul de pozitie r, versorul tangentei respectiv versorulnormalei exterioare la curba ∂Dz(τ) situata în planul z = constant, sunt

τ =

∂x

∂θi+

∂y

∂θj√(

∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2,

N =

∂y

∂θi− ∂x

∂θj√(

∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2

si avem egalitatea ∫∂Dz(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂R

∂τ·N)ds =

=

∫ 2π

0

f(x(θ, z, τ), y(θ, z, τ), z, τ) ·(∂y

∂θ

∂x

∂τ− ∂x

∂θ

∂y

∂τ

)dθ. (5.21)

n punctul având vectorul de pozitie r, vectorii

∂r

∂θ=∂x(θ, z, τ)

∂θi+

∂y(θ, z, τ)

∂θj,

∂r

∂z=∂x(θ, z, τ)

∂zi+

∂y(θ, z, τ)

∂zθj + k,


sunt tangenti la suprafata ∂D(τ). Versorul normalei exterioare la suprafataeste

n =

∂r

∂θ× ∂r

∂z∥∥∥∥∂r∂θ × ∂r

∂z

∥∥∥∥ , (5.22)

unde

∂r

∂θ× ∂r

∂z=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x

∂θ

∂y

∂θ0

∂x

∂z

∂y

∂z1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∂y

∂θi− ∂x

∂θj +

(∂x

∂θ

∂y

∂z− ∂y

∂θ

∂x

∂z

)k

√EG− F 2

, (5.23)

cu

E =

(∂x

∂θ

)2

+

(∂y

∂θ

)2

,

G =

(∂x

∂z

)2

+

(∂y

∂z

)2

+ 1,

F =∂x

∂θ

∂x

∂z+∂y

∂θ

∂y

∂z.

Observam ca

∂r

∂τ· n =

∂y

∂θ

∂x

∂τ− ∂x

∂θ

∂y

∂τ√EG− F 2

. (5.24)

Din (5.20) - (5.24) rezulta∫ zs(τ)

zi(τ)

(∫∂Dz(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂R

∂τ·N)ds

)dz =

=

∫ zs(τ)

zi(τ)

(∫ 2π

0

f(x(θ, z, τ), y(θ, z, τ), z, τ) ·(∂y

∂θ

∂x

∂τ− ∂x

∂θ

∂y

∂τ

)√EG− F 2dθ

)dz =

=

∫ ∫∂D(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂r

∂τ· n)dS. (5.25)


Din (5.19) si (5.25) rezulta formula de derivare a unei integrale tridimension-ale în raport cu un parametru

d

dτ

∫ ∫ ∫D(τ)


∫ ∫ ∫D(τ)

∂f(x, y, z, τ)

∂τdxdydz +

∫ ∫∂D(τ)

f(x, y, z, τ)

(∂r

∂τ· n)dS, (5.26)

care cu formula flux-divergenta devine

d

dτ

∫ ∫ ∫D(τ)


=

∫ ∫ ∫D(τ)

[∂f(x, y, z, τ)

∂τ+ div

(f(x, y, z, τ)

∂r

∂τ

)]dxdydz. (5.27)

Observam similitudinea dintre formulele (5.16), (5.17) si (5.26) si (5.27).

Partea II

Functii complexe

55

Cursul 6

Corpul numerelor complexe

Fie R2 = (x, y) ;x ∈ R, y ∈ R. Se stie ca (R2,+) cu legea de compozitie”+”definita astfel

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

este grup comutativ. Consideram de asemenea structura de grup comutativ(R2 − 0 , ·) cu legea multiplicativa ”·”definita astfel

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) .

Se verifica usor ca înmultirea este distributiva fata de adunare si deci(R2,+, ·) este corp comutativ.R2 poate fi considerat spatiu vectorial peste R daca introducem legea de

compozitie externa

a (x, y) = (ax, ay) , ∀a, x, y ∈ R

deoarece sunt îndeplinite relatiile

a [(x1, y1) + (x2, y2)] = a (x1, y1) + a (x2, y2) ,

(a+ b) (x, y) = a (x, y) + b (x, y) ,

(ab) (x, y) = a (b (x, y)) ,

1 (x, y) = (x, y) .

Legea interna multiplicativa ”·”este liniara

(x, y) · [a (x1, y1) + b (x2, y2)] = a [(x, y) · (x1, y1)] + b [(x, y) · (x2, y2)]

57

58 CURSUL 6. CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

.În aceste conditii spunem caR2 înzestrat cu cele doua legi interne si legea

externa are o structura de algebra.În spatiul vectorial R2/R consideram baza (1, 0) , (0, 1) . Cu alte cu-

vinte, ∀ (x, y) ∈ R2 avem

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) .

Vom folosi în continuare urmatoarele notatii:(i) R2 cu structura de corp mai sus introdusa va fi notat cu C (corpul

numerelor complexe).(ii) (1, 0) este element neutru fata de înmultire; îl notam cu 1.(iii) Notând (0, 1) = i, avem

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

Tinand cont de structura de spatiu vectorial introdusa pe C, vom puteascrie orice numar complex sub forma

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)not= x+ iy.

AsadarC = z = x+ iy;x ∈ R, y ∈ R iar adunarea si înmultirea numerelorcomplexe z1 = x1 + iy1 si z2 = x2 + iy2 au loc dupa regulile

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) ,z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + x2y1)

Pentru z = x + iy definim partea reala respectiv partea imaginara prinrelatiile

Re : C→ R, Re z = x, Im : C→ R, Im z = y.

Aplicatii. 1) Aratati ca numerele complexe z1 = 1+i si z2 = 1−i verificarelatia z2− 2z+ 2 = 0. Calculând obtinem (1 + i)2− 2 (1 + i) + 2 = 1 + 2i−1−2−2i+2 = 0 precum si (1− i)2−2 (1− i)+2 = 1−2i−1−2+2i+2 = 0.2) Aratati ca Im (iz) = Re z si Re (iz) = −Im z. Punând z = x+iy avem

Im (iz) = Im (ix− y) = x = Re z si Re (iz) = Re (ix− y) = −y = −Im z.

6.1 Modulul si argumentul unui numar com-plex. Forma trigonometrica a unui numarcomplex

Vom defini modulul numarului complex z = x+ iy ∈ C prin formula

|z| = ‖(x, y)‖ =√x2 + y2.

6.1. MODULUL SI ARGUMENTULUNUI NUMARCOMPLEX. FORMATRIGONOMETRICA AUNUI NUMARCOMPLEX59

Propozitie. Functia modul |·| : C → R are proprietatile unei norme,adica pentru orice λ, z, ζ ∈ C avem:i)|z| = 0⇔ z = 0,ii)|λz| = |λ| · |z| ,iii)|z + ζ| ≤ |z|+ |ζ| .Demonstratie.i) Fie z = x + iy. |z| = 0 ⇔

√x2 + y2 = 0 ⇔ x = 0, y =

0⇔ z = 0.ii) Fie λ = α+iβ.Avem |λz| = |(α + iβ) (x+ iy)| = |(αx− βy) + i (αy + βx)| =√α2x2 + β2y2 + α2y2 + β2x2 =

√(α2 + β2

)(x2 + y2) = |λ| · |z| .

iii). Fie ζ = ξ + iη. Avem |z + ζ| ≤ |z| + |ζ| ⇔√

(x+ ξ)2 + (y + η)2 ≤√x2 + y2 +

√ξ2 + η2 ⇔ (x+ ξ)2 +(y + η)2 ≤ x2 +y2 +ξ2 +η2 +2

√x2 + y2 ·√

ξ2 + η2 ⇔ xξ + yη ≤√x2 + y2 ·

√ξ2 + η2 ⇔ x2ξ2 + y2η2 + 2xyξn ≤

x2ξ2 + x2η2 + y2η2 + y2ξ2 ⇔ 0 ≤ (xη − yξ)2 .Exemple. |1 + i| =

√2,∣∣√3− i

∣∣ = 3.

Aplicatii. Aratati ca |z + ζ|2 + |z − ζ|2 = 2(|z|2 + |ζ|2

). Avem |z + ζ|2 +

|z − ζ|2 = (x+ ξ)2 + (y + η)2 + (x− ξ)2 + (y − η)2 = 2(x2 + y2 + ξ2 + η2

)=

2(|z|2 + |ζ|2

).

Definitie. Conjugatul numarului complex z este z = x− iy.Se verifica relatiile:i) z · z = |z|2 ,ii) zn = zn, n ∈ N,iii) |a| · |b| = |ab| .Fiind dat un numar complex z = x + iy 6= 0 exista un numar real ϕ ∈

(−π, π] unic cu proprietatea ca

x√x2 + y2

= cosϕ,y√

x2 + y2= sinϕ. (6.1)

Notam ϕ = arg z. Cum functiile reale cos si sin sunt periodice cu perioada2π, punând arg n (z) = arg (z) + 2nπ, n ∈ Z, avem

x√x2 + y2

= cos (arg n (z)) ,y√

x2 + y2= sin (arg n (z)) . (6.2)

Aplicatia Arg : C∗ = C − 0 → P (R) (multimea partilor lui R) definitaprin

Arg (z) = arg n (z) ;n ∈ Z , z ∈ C∗,se numeste functia argument iar aplicatia arg n se numeste determinarea deordinul n (determinare principala, daca n = 0) a functiei argument. Pentru


z ∈ C∗, orice ϕ ∈ Arg (z) se numeste argument al lui z, iar arg (z) ∈ (−π, π]se numeste argument principal al lui z. Corespondenta z → (|z| , arg (z))defineste o aplicatie bijectiva între C∗ si (0,∞)× (−π, π], astfel ca numerele|z| , arg (z) determina unic pe z. Împreuna |z| , arg (z) se numesc coordonatelepolare ale lui z.Din (6.2) deducem forma trigonometrica a numarului complex z

z = |z| (cos (arg n (z)) + i sin (arg n (z))) . (6.3)

Pentru a calcula arg (z) vom proceda astfel: daca z = x + iy se afla peaxele de coordonate avem cazurile y = 0, x > 0 ⇒ arg(z) = 0, y > 0, x =

0⇒ arg (z) =π

2, y = 0, x < 0 ⇒ arg (z) = π, y < 0, x = 0⇒ arg (z) = −π

2;

da@ca z nu se afla pe axele de coordonate din relatiile (6.2) deducem

tan (arg (z)) =y

x⇒ arg (z) = arctan

y

x+kπ, k =

0 pentru x > 0,

1 pentru x < 0, y > 0,−1 pentru x < 0, y < 0.

Aplicatii. 1) Sa se calculeze a) arg (1 + i) , b) arg 2, c) arg (−4 + 4i) , d)arg i, e) Arg

(√3− i

), f) Arg (−1) , g) Arg

(−√

2− i√

2), h) Arg (−3i) .

Raspuns: a) arg (1 + i) = arctan 1 =π

4, b) arg 2 = 0, c) arg (−4 + 4i) =

− arctan 1+π =3π

4, d) arg i=

π

2, e)Arg

(√3− i

)=

− arctan

1√3

+ 2nπ; n ∈ Z

=−π

6+ 2nπ; n ∈ Z

, f)Arg (−1) = π + 2nπ; n ∈ Z, g)Arg

(−√

2− i√

2)

=

arctan 1− π + 2nπ; n ∈ Z =

−3π

4+ 2nπ; n ∈ Z

, h) Arg (−3i) =

−π2

+ 2nπ; n ∈ Z.

2) Sa se scrie sub forma trigonometrica numerele a) 1 + i, b) 2, c)−4 + 4i, d) i, e)

√3− i, f) −1, g) −

√2− i√

2, h) −3i. Raspuns: a) 1 + i =√

2(

cosπ

4+ i sin

π

4

), b) 2 = 2 (cos 0 + i sin 0) , c)−4+4i = 4

√2

(cos

3π

4+ i sin

3π

4

),

d) i = cosπ

2+ i sin

π

2, e)√

3− i = 2(

cosπ

6− i sin

π

6

), f) −1 = cos π+ i sinπ,

g) −√

2− i√

2 = 2

(cos

3π

4− i sin

3π

4

), h) −3i = 3

(cos

π

2− i sin

π

2

).

6.1.1 Operatii cu numere complexe scrise sub formatrigonometrica

Fie numerele complexe z1 = r1 (cosϕ1 + i sinϕ1) , z2 = r2 (cosϕ2 + i sinϕ2) .

6.2. TOPOLOGIA PE MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE 61

Propozitie. Sunt valabile urmatoarele relatii :

z1z2 = r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)) ,

z1

z2

=r1

r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) ,

zn1 = rn1 (cosnϕ1 + i sinnϕ1) , n ∈ N (formula lui Moivre).

Demonstratie. z1z2 = r1 (cosϕ1 + i sinϕ1) · r2 (cosϕ2 + i sinϕ2) =r1r2 (cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 + i (sinϕ1 cosϕ2 + sinϕ2 cosϕ1)) =r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)) .

z1

z2

=r1 (cosϕ1 + i sinϕ1)

r2 (cosϕ2 + i sinϕ2)=r1

r2

(cosϕ1 + i sinϕ1) (cosϕ2 − i sinϕ2) =

r1

r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) .

Ultima egalitate se demonstreaza prin inductie, folosind prima egalitate.Aplicatie. Fie a > 0, x ∈ R si n ∈ N∗. Sa se calculeze sumele

S1 = 1 + a cos x+ a2 cos 2x+ ...+ an cos nx,

S2 = 1 + a sin x+ a2 sin 2x+ ...+ an sin nx.

Raspuns: Fie z = a (cos x+ i sin x) . Aplicând formula lui Moivre avem

S1+iS2 = 1+z+...+zn =1− zn+1

1− z =1− an+1 (cos (n+ 1)x+ i sin (n+ 1)x)

1− a(cos x+ i sin x)

=(1− an+1 (cos (n+ 1)x+ i sin (n+ 1)x)) (1− a(cos x− i sin x))

a2 − 2a cos x+ 1.

Efectuând calculele si separând partile reale si imaginare ob#tinem

S1 =an+2 cos nx− an+1 cos (n+ 1)x− a cos x+ 1

a2 − 2a cos x+ 1,

S2 =an+2 sin nx− an+1 sin (n+ 1)x+ a sin x

a2 − 2a cos x+ 1.

6.2 Topologia pe multimea numerelor com-plexe

Pentru z1 = x1 + iy1 si z2 = x2 + iy2, functia d : C × C → R , d (z1, z2) =

|z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2este o metrica (distanta) deoarece sat-isface conditiile:


1) d (z1, z2) ≥ 0; d (z1, z2) = 0⇔ z1 = z2;

2) d (z1, z2) = d (z2, z1) ;

3) d (z1, z2) ≤ d (z1, z3) + d (z3, z2) , ∀z1, z2, z3 ∈ C.Asadar C este un spatiu metric. Vom introduce pe C topologia spatiului

metric. Sa facem mai întâi observatia ca d coincide cu metrica de peR2 .Prinurmare topologia pe C este topologia canonica a lui R2 si deci rezultatelelegate de topologia luiR2 vor ramâne valabile si pentru topologia lui C. Vomface totusi o trecere în revista a acestor rezultate.

Fie D (z, r) = ζ ∈ C; d (ζ, z) < r discul de raza r centrat în z. Spunemca V este o vecinatate a lui z daca exista r > 0 cu D (z, r) ⊂ V. Notamcu V (z) multimea vecinatatilor lui z. O multime D ⊂ C este deschisadaca este vecinatate pentru fiecare element al sau. Multimea multimilordeschise, notata cu τ , se numeste topologia pe C iar perechea (C, τ) estespatiul topologic al multimii numerelor complexe. în acest context, elementelelui C vor mai fi numite si puncte. O multime I ⊂ C este închisa dacacomplementara sa CI = C−I este o multime deschisa. Fie multimea G ⊂ C.Punctul z ∈ G se numeste interior multimii G daca G ∈ V (z) . Punctulz ∈ C este punct de aderenta pentru G daca G intersecteaza orice vecinatatea lui z.Multimea punctelor de aderenta ale multimii G se numeste închiderealui G si se noteaza cu G. Vom defini frontiera lui G prin relatia ∂G =G ∩ CG. Punctul z ∈ C este punct de acumulare pentru G daca pentruorice V ∈ V (z) , (V − z) ∩ G 6= ∅. O familie F de multimi din C se vanumi acoperirea multimii G daca reuniunea multimilor familiei include pe G.Daca multimile familiei sunt deschise atunci acoperirea se va numi deschisa.O multime se numeste compacta daca din orice acoperire deschisa infinita asa se poate extrage o subacoperire finita. O multime G ⊂ C este marginitadaca exista un numar real M > 0 astfel ca |z| < M pentru orice z ∈ G.Ca si în R2, în C o multime este compacta daca si numai daca este închisasi marginita. O multime G ⊂ C este neconexa daca exista G1, G2 ∈ τ cuG1 ∩ G2 = ∅ si G ⊂ G1 ∪ G2 . Daca nu este neconexa, atunci multimeaeste conexa. O multime deschisa si conexa se numeste domeniu. Se adaugamultimii numerelor complexe un punct fictiv ∞, numit punctul de la infinit.Se obtine astfel planul complex completat notat cuC = C∪∞ . Se numestevecinatate a punctului z =∞ orice multime care include o multime de formaV = D (0, r) = z ∈ C; |z| > r , r > 0 (exteriorul unui disc centrat înorigine). Observam ca orice multime nemarginita are pe z = ∞ ca punctde acumulare si reciproc, orice multime care are pe z = ∞ ca punct deacumulare este nemarginita.


6.2.1 Siruri de numere complexe

O functie f : N→ C poarta numele de sir de numere complexe. Considerândf (0) = z0, f (1) = z1, ..., f (n) = zn, ..., vom reprezenta în general sirul subforma (zn)n∈N .Definitie. sirul (zn)n∈N este convergent si are limita z (scriem z = lim

n→∞zn

sau znn→∞→ z) daca ∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel încât n > nε ⇒ |z − zn| < ε, (cu

alte cuvinte în orice vecinatate a lui z se afla toti termenii cu exceptia unuinumar finit).Definitie. sirul (zn)n∈N are limita∞ (scriem lim

n→∞zn =∞ sau zn

n→∞→ ∞)daca ∀R > 0, ∃nR ∈ N astfel încât n > nR ⇒ |zn| > R.Propozitia 1. Fie zn = xn + iyn, n ∈ N. Sirul (zn)n∈N converge la

z = x + iy daca si numai daca sirurile de numere reale (xn)n∈N si (yn)n∈Nsunt convergente si x = lim

n→∞xn, y = lim

n→∞yn.

Demonstratie. Presupunem ca z = limn→∞

zn. Deci ∀ε > 0, ∃nε ∈ N ast-

fel încât n > nε ⇒ |z − zn| < ε .Pe de alta parte |xn − x| < |z − zn| =√(x− xn)2 + (y − yn)2 < ε, |yn − y| < |z − zn| < ε si deci x = lim

n→∞xn, y =

limn→∞

yn.

Invers, presupunând ca (xn)n∈N si (yn)n∈N sunt convergente, exista n′εastfel încât n > n′ε ⇒ |xn − x| <

ε√2si exista n′′ε astfel încât n > n′′ε ⇒

|yn − y| <ε√2. Cu nε = max (n′ε, n

′′ε ), pentru n > nε avem |z − zn| =√

(x− xn)2 + (y − yn)2 < ε.

Aplicatii. 1)_Sa se calculeze limn→∞

(n

n+ i− i n

n+ 1

). Raspuns:

zn =n

n+ i− i n

n+ 1=

n2

n2 + 1− i(

n

n2 + 1+

n

n+ 1

).

Deci

xn = Re zn =n2

n2 + 1

n→∞→ 1, yn = Im zn = − n

n2 + 1− n

n+ 1

n→∞→ −1.

Rezulta limn→∞

(n

n+ i− i n

n+ 1

)= 1− i.

2) Fie |z| < 1. Sa se calculeze limn→∞ zn. Raspuns: notand θ = arg z

avemlimn→∞

zn = limn→∞

(|z|n cos nθ) + i limn→∞

(|z|n sin nθ) = 0.


Propozitie. Daca sirul de numere complexe (zn)n∈N este convergent ,atunci este marginit.Demonstratie. stim ca ∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel încât n > nε ⇒ |z − zn| <

ε . Pentru M > max |z0| , |z1| , ..., |znε| , |z|+ ε avem ca |zn| < M, ∀n ∈ N.Definitie. Spunem ca sirul de numere complexe (zn)n∈N este Cauchy daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel încât n,m > nε ⇒ |zm − zn| < ε .La fel ca propozitia 1 se demonstreazaPropozitia 2. Fie zn = xn + iyn, n ∈ N. @Sirul (zn)n∈N este Cauchy

daca si numai daca @sirurile de numere reale (xn)n∈N @si (yn)n∈N suntCauchy.Propozitie. @Sirul (zn)n∈N este Cauchy daca si numai daca este con-

vergent.Demonstratia acestei propozitii se face pornind de la proprietatea analoga

a sirurilor de numere reale si de la propozitiile 1 si 2.

6.2.2 Proprietati ale sirurilor convergente

Propozitie. Fie sirurile de numere complexe (an)n∈N cu a = limn→∞

an si

(bn)n∈N cu b = limn→∞

bn. Atunci:

1) sirul (an)n∈N converge la a;

2) sirul (|an|)n∈N converge la |a| ;3) sirul (an + bn)n∈N converge la a+ b;

4) sirul (anbn)n∈N converge la ab;

5) daca b 6= 0 sirul(anbn

)n∈N

converge laa

b.

Demonstratia se bazeaza pe proprietatile asemanatoare ale sirurilor denumere reale si pe propozitia 1.

Aplicatie. Sa se calculeze limn→∞

(n

n+ i− i n

n+ 1

)folosind proprietatile

sirurilor convergente. Raspuns: limn→∞

(n

n+ i− i n

n+ 1

)= lim

n→∞

(1

1 + in

− i 1

1 + 1n

)=

1

1 + i limn→∞1n

− i 1

1 + limn→∞1n

= 1− i.

6.2.3 Serii de numere complexe

Fie sirul (un)n∈N de numere complexe. Acestuia îi atasam sirul sumelorpartiale s0 = u0, s1 = u0 + u1, ..., sn = u0 + u1 + ... + un, .... Daca sirul


(sn)n∈N este convergent si are limita s, vom scrie

s = u0 + u1 + ...+ un + ... =

∞∑n=0

un

si vom spune ca seria∑∞

n=0 un este convergenta si are limita s. Daca sirul(sn)n∈N nu este convergent vom spune ca seria

∑∞n=0 un este divergenta.

Din propozitia 1 rezulta imediat:Propozitie. Fie un = an + bn, n ∈ N. Atunci seria

∑∞n=0 un este con-

vergenta daca si numai daca seriile∑∞

n=0 an si∑∞

n=0 bn sunt convergente.Definitie: Spunem ca seria

∑∞n=0 un este absolut convergenta daca seria∑∞

n=0 |un| este convergenta.Propozitie. O serie absolut convergenta este convergenta.Demonstratie. Fie sn = u0 + u1 + ... + un si Sn = |u0| + |u1| + ... +

|un| .∑∞

n=0 |un| este convergenta⇒ (Sn)n∈N este sir Cauchy⇒ (sn)n∈N estesir Cauchy ⇒

∑∞n=0 un este convergenta.

Definitie. Seria∑∞

n=0 anzn cu z ∈ C, an ∈ C, n ∈ N se numeste serie

de puteri.Teorema (Abel). Daca seria de puteri este convergenta pentru z = z0,

ea este absolut convergenta pentru orice z cu |z| < |z0| .Demonstratie.

∑∞n=0 anz

n0 este serie convergenta deci sirul sumelor par-

tiale este Cauchy. Asadar ∃n0 astfel încât n > n0 ⇒ |anzn0 | = |sn − sn−1| ≤ 1.Avem succesiv

∞∑n=0

|anzn| = |a0|+ |a1z|+ ...+ |an0zn0|+∞∑

n=n0+1

|anzn0 |∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣n ≤≤ |a0|+ |a1z|+ ...+ |an0zn0|+

∞∑n=n0+1

∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣n =

= |a0|+ |a1z|+ ...+ |an0zn0|+∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣n0+11

1−∣∣∣ zz0 ∣∣∣ .

Asadar (Sn)n∈N, sirul sumelor partiale este monoton si marginit, deci∑∞

n=0 |anzn0 |este convergent.Definitie. Numim raza de convergenta a seriei

∑∞n=0 anz

n cel mai marenumar R cu proprietatea ca |z| < R⇒

∑∞n=0 |anzn| este serie convergenta.

Aplicatie. În analiza reala se demonstreaza ca seria∑∞

n=0 qn, q ∈ R, este

convergenta pentru |q| < 1 si avem∞∑n=0

qn =1

1− q . În virtutea teoremei lui


Abel, deducem ca pentru orice z ∈ C cu |z| < 1, seria∞∑n=0

zn este convergenta.

Avem

∞∑n=0

zn = limn→∞

n∑k=0

zk = limn→∞

1− zn+1

1− z =1− limn→∞ z

n+1

1− z =1

1− z .

Cursul 7

Functii complexe de o variabilacomplexa

Fie G ⊂ C. O functie f : G→ C se numeste functie complexa de o variabilacomplexa. Daca z = x+ iy, prin relatia f (z) = u (x, y) + iv (x, y) punem înevidenta partea reala u = Re f si partea imaginara v = Imf a functiei f.

Definitie. Fie z0 punct de acumulare al lui G si f : G → C. Spunemca lim

z→z0f (z) = w0 daca ∀ε > 0, ∃δ (ε) astfel încât |z − z0| < δ (ε) ⇒

|f (z)− w0| < ε.

Definitie. Fie z =∞ punct de acumulare al lui G si f : G→ C. Spunemca lim

z→∞f (z) = w0 daca ∀ε > 0, ∃r (ε) astfel încât |z| > r (ε)⇒ |f (z)− w0| <

ε.

Definitie. Fie z0 punct de acumulare al lui G si f : G → C. Spunem calimz→z0

f (z) =∞ daca ∀r > 0, ∃δ (r) astfel încåt |z − z0| < δ (r) ⇒ |f (z)| > r.

Cum C este un spatiu metric, avem urmatorul rezultat valabil în spatiimetrice

Propozitie. limz→z0

f (z) = w0 ⇔ limn→∞

f (zn) = w0 pentru orice sir (zn)n∈N

cu limn→∞

zn = z0.

Definitie. Fie z0 ∈ G punct de acumulare pentru G . Spunem ca f estecontinua in z0 daca lim

z→z0f (z) = f (z0) .

67

68CURSUL 7. FUNCTII COMPLEXEDEOVARIABILA COMPLEXA

7.1 Exemple de functii complexe de o vari-abila complexa

7.1.1 Functia exponentiala

f (z) =∑∞

n=0 anzn defineste o functie f : z; |z| < R → C unde R este raza

de convergenta a seriei.Ca un prim exemplu sa consideram functia exponentiala

exp (z) = ez =∞∑n=0

zn

n!.

Se stie ca pentru orice x ∈ R seria∞∑n=0

xn

n!este convergenta, deci cu teorema

lui Abel∞∑n=0

zn

n!este absolut convergenta pentru orice z ∈ C. Deci exp : C→

C.Propozitie. Pentru orice z ∈ C avem relatia

exp (z) = limn→∞

(1 +

z

n

)n.

Demonstratie. Fie an =(

1 +z

n

)n, sn =

n∑k=1

zk

k!, a′n =

(1 +|z|n

)n, s′n =

n∑k=1

|z|k

k!. Evident lim

n→∞sn = exp (z) , lim

n→∞s′n = exp (|z|) . Pe de alta parte, din

analiza reala se stie ca limn→∞

a′n = exp (|z|). în continuare avem

|sn − an| =∣∣∣∣∣n∑k=0

zk

k!−

n∑k=0

Ckn

zk

nk

∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣n∑k=2

zk

k!−

n∑k=2

zk

k!

(1− 1

n

)· ... ·

(1− k − 1

n

)∣∣∣∣∣ ≤≤

n∑k=2

|z|k[

1

k!− 1

k!

(1− 1

n

)· ... ·

(1− k − 1

n

)]= |s′n − a′n| .

Asadar

|an − exp (z)| ≤ |exp (z)− sn|+ |sn − an| ≤ |exp (z)− sn|+ |s′n − a′n| ≤

7.1. EXEMPLEDEFUNCTII COMPLEXEDEOVARIABILA COMPLEXA69

≤ |exp (z)− sn|+ |a′n − exp (|z|)|+ |exp (|z|)− s′n| .

Fie ε > 0 si n′ε, n′′ε , n

′′′ε astfel încât n > n′ε ⇒ |exp (z)− sn| < ε/3, n >

n′′ε ⇒ |a′n − exp (|z|)| < ε/3, n > n′′′ε ⇒ |exp (|z|)− s′n| < ε/3. Punând nε =max n′ε, n′′ε , n′′′ε , avem n > nε ⇒ |an − exp (z)| < ε deci lim

n→∞an = exp (z) .

7.1.2 Proprietati ale functiei exponentiale

Propozitie. Sunt adevarate relatiile:1. exp (z1) · exp (z2) = exp (z1z2) , ∀z1, z2 ∈ C;2. exp (ix) = exp (−ix) , |exp (ix)| = 1, ∀x ∈ R;

Demonstratie. Stim ca exp (z1)·exp (z2) = limn→∞

(1 +

z1

n

)n· limn→∞

(1 +

z2

n

)n=

limn→∞

(1 +

z1 + z2

n+z1z2

n2

)nsi ca exp (z1+z2) = lim

n→∞

(1 +

z1 + z2

n

)n. Avem

succesiv ∣∣∣∣(1 +z1 + z2

n

)n−(

1 +z1 + z2

n+z1z2

n2

)n∣∣∣∣ =∣∣∣z1z2

n2

∣∣∣ ·∣∣∣∣∣(

1 +z1 + z2

n

)n−1

+

(1 +

z1 + z2

n

)n−2(1 +

z1 + z2

n+z1z2

n2

)+ ...+

+

(1 +

z1 + z2

n+z1z2

n2

)n−1∣∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣z1z2

n2

∣∣∣((1 +|z1 + z2|

n

)n−1

+

(1 +|z1 + z2|

n

)n−2(1 +|z1 + z2|

n+|z1z2|n2

)+

+...+

(1 +|z1 + z2|

n+|z1z2|n2

)n−1)≤

≤∣∣∣z1z2

n

∣∣∣ (1 +|z1 + z2|

n+|z1z2|n2

)n−1n→∞→ 0.

Am folosit aici o limita cunoscuta din analiza reala. Asadar

|exp (z1) · exp (z2)− exp (z1z2)| =

= limn→∞

∣∣∣∣(1 +z1

n

)n (1 +

z2

n

)n−(

1 +z1 + z2

n+z1z2

n2

)n∣∣∣∣ = 0.


Pentru a demonstra a doua relatie avem

exp (ix) = limn→∞

(1 +

ix

n

)n= lim

n→∞

(1− ix

n

)n= exp (−ix)

si

|exp (ix)|2 = exp (ix) exp (ix) = exp (ix) exp (−ix) = exp (0) = 1.

7.1.3 Functii trigonometrice si functii hiperbolice de ovariabila complexa

Cu ajutorul functiei exponentiale vom defini unele functii trigonometrice sihiperbolice. Functia sinus sin : C→ C este definita prin relatia

sin z =exp (iz)− exp (−iz)

2i=∞∑k=0

(−1)kz2k+1

(2k + 1)!. (7.1)

Functia cosinus cos : C→ C este definita prin relatia

cos z =exp (iz) + exp (−iz)

2=∞∑k=0

(−1)kz2k

(2k)!. (7.2)

Observatii. 1) Pentru z ∈ R, dezvoltarile în serie (7.1) si (7.2) sunt celecunoscute din analiza reala. Asadar prin restrictia functiilor sin si cos la Robtinem functiile trigonometrice deja cunoscute.2) Din (7.1) si (7.2) deducem relatia

exp (iz) = cos (z) + i sin (z)

iar relatia (6.3) poate fi scrisa sub forma echivalenta

z = |z| exp (i arg n (z)) . (7.3)

Functia sinus hiperbolic sinh : C→ C este definita prin relatia

sinh z =exp (z)− exp (−z)

2=∞∑k=0

z2k+1

(2k + 1)!. (7.4)

Functia cosinus hiperbolic cosh : C→ C este definita prin relatia

cosh z =exp (z) + exp (−z)

2=

∞∑k=0

z2k

(2k)!. (7.5)


Aplicatii. 1) Pornind de la formulele (7.1), (7.2), (7.4), (7.5) sa sedemonstreze pentru z, z1, z2 ∈ C relatiile:

cos 2z + sin 2z = 1, cosh 2z − sinh 2z = 1,

cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z,

cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2,

sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2.

Rezolvare: Sa demonstram de exemplu ultima relatie. Avem:

sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2 =exp (iz1)− exp (−iz1)

2i· exp (iz2) + exp (−iz2)

2+

+exp (iz1) + exp (−iz1)

2· exp (iz2)− exp (−iz2)

2i=

=exp (i (z1 + z2)) + exp (i (z1 − z2))− exp (−i (z1 − z2))− exp (−i (z1 + z2))

4i

+exp (i (z1 + z2)) + exp (−i (z1 − z2))− exp (i (z1 − z2))− exp (−i (z1 + z2))

4i

=exp (i (z1 + z2))− exp (−i (z1 + z2))

2i= sin (z1 + z2) .

2) Sa se calculeze |sin z| pentru z = x+ iy, x, y ∈ R. Rezolvare :

sin (x+ iy) = sin x cos iy + sin iy cos x = sin x cosh y + i sinh y cos x⇒

|sin (x+ iy)| =√

sin 2x cosh 2y + sinh 2y cos 2x =√

sin 2x+ sinh 2y.

7.1.4 Functia logaritm

Sa punem mai întâi în evidenta alte proprietati ale functiei exponentiale.Fie z1 = x1 + iy1 si z2 = x2 + iy2. Daca x1 6= x2 ⇒ exp(x1) 6= exp(x2) ⇒|exp(z1)| 6= |exp(z2)| ⇒ exp(z1) 6= exp(z2). Pe de alta parte y1 − y2 6=2kπ, k ∈ Z ⇔ cos (y1) 6= cos (y2) si sin (y1) 6= sin (y2) sau echivalent,cos (y1) 6= cos (y2) , sin (y1) 6= sin (y2) ⇔ exp (iy1) 6= exp (iy2) . Deducemde aici ca exp(z1) = exp(z2) ⇔ Im z1 − Im z2 = 2kπ si Re z1 = Re z2.Deducem de aici ca restrictia functiei exponentiale

exp : z ∈ C; Im z ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ] → C− 0 , k ∈ Z.


este injectiva. Sa aratam ca este si surjectiva. Fie ζ ∈ C−0 . Conform cu(7.3) avem

ζ = |ζ| exp (i arg k (ζ)) = exp (ln |ζ|) exp (i arg k (ζ)) = exp (ln |ζ|+ i arg k (ζ)) ,

de unde rezulta surjectivitatea si deci bijectivitatea functiei exponentiale.Functia inversa este

ln k : C− 0 → z ∈ C; Im z ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ]

culn k (ζ) = ln |ζ|+ i arg k (ζ)

si poarta numele de determinarea de ordinul k a functiei logaritm (dacak = 0 spunem ca avem determinarea principala a functiei logaritm si notamln k = ln). Aplicatia

Ln : C− 0 → P (C) , Ln (z) = ln k (z) ; k ∈ Z

se numeste multifunctia logaritm.Tinând cont de egalitatile

exp (ln (z1z2)) = z1z2 = exp (ln (z2)) exp (ln (z2)) = exp (ln (z1) + ln (z2))

deducemLn (z1z2) = Ln (z1) + Ln (z2) (7.6)

si în particular

ln (z1z2) = ln (z1) + ln (z2) + 2kπi

unde k = 1 daca arg z1 +arg z2 ≤ −2π, k = 0 daca −2π < arg z1 +arg z2 ≤2π si k = −1 daca 2π < arg z1 + arg z2 .Aplicatii. 1)Sa se calculeze a) ln i, b) ln (1 + i) , c) ln (−1) , d) ln

(√3− i

).

Rezolvare: a) ln i = ln

(exp

(πi

2

))=πi

2, b) ln (1 + i) = ln

(√2 exp

(πi

4

))=

ln√

2+πi

4, c) ln (−1) = ln (exp (πi)) = πi, d) ln

(√3− i

)= ln

(2 exp

(−πi

6

))=

ln 2− πi

6.

2) Sa se rezolve ecuatia exp (3iz) = −1. Rezolvare: 3iz = ln k (−1) =

πi+ 2kπi, z = (2k + 1)π

3, k ∈ Z.


7.1.5 Functia putere

Pentru a ∈ C si k ∈ Z definim functia

pa,k : C− 0 → C, pa,k (z) = exp (a ln k (z)) . (7.7)

Aplicatia

pa : C− 0 → P (C) , pa (z) = pa,k (z) ; k ∈ Z

se numeste functia putere de exponent a, iar pa,k se numeste determinarea deordinul k (determinarea principala daca k = 0) a functiei pa. Prin abuz denotatie mai scriem

pa (z) = za = exp (aLn (z)) (7.8)

sau echivalentLn (za) = aLn (z) .

În virtutea proprietatilor functiei exponentiale avem

zazb = za+b, (za)b = zab, z ∈ C− 0 , a, b ∈ C.

Revenind la (7.7) avem

pa,k (z) = exp (a ln k (z)) = exp (a ln (z)) exp (2kaπi) . (7.9)

Considerand a =1

n, n ∈ N∗ numai un numar finit de determinari sunt diferite

intre ele deoarece pentru k = pn + r, 0 ≤ r ≤ n − 1, p, r ∈ Z avem aceeasideterminare ca pentru k = r. Pentru n > 1 functie p 1

nse numeste radicalul

de ordinul n si se noteaza p 1n

(z) =n√z. Din (7.9) avem

n√z = z

1n =

n√|z| exp

[1

n(arg z + 2kπ) i

], k = 0, 1, ..., n− 1

.

Aplicatii. 1) Sa se calculeze a) (−16)1/4 , b) 81/6, c)(−8− 8i

√3)1/4

. Re-

zolvare: a) (−16)1/4 =

4√16 exp

(1

4(π + 2kπ) i

); k = 0, 1, 2, 3

=

±√

2 (1 + i) ,±√

2 (1− i), b) 81/6 =

6√8 exp

(2kπi

6

); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

=

74CURSUL 7. FUNCTII COMPLEXEDEOVARIABILA COMPLEXA±√

2,±1 + i√

3√2

,±1− i√

3√2

, c)

(−8− 8i

√3)1/4

=4√16 exp

(1

4

(−2π

3+ 2kπ

)i

); k = 0, 1, 2, 3

=±(√

3− i),±(

1 + i√

3)

.

2) Sa se rezolve ecuatia z4 + 8 + 8√

3i = 0. Raspuns: z1, z2, z3, z4 =±(√

3− i),±(1 + i

√3).

3) Sa se calculeze i1−i,(

1 + i√

3)i, 1−i. Rezolvare:

i1−i = exp ((1− i)Ln i) =

exp

((1− i)

(πi

2+ 2kπi

)); k ∈ Z

=

=i exp

(π2

+ 2kπ)

; k ∈ Z.(

1 + i√

3)i

= exp(i Ln

(1 + i

√3))

=

exp

(i

(ln 2 +

πi

3+ 2kπi

)); k ∈ Z

=

=

(cos ln 2 + i sin ln 2) exp(−π

3+ 2kπ

); k ∈ Z

.

1−i = exp (−i Ln 1) = exp (2kπ) ; k ∈ Z .

Cursul 8

Functii olomorfe (C -derivabile)

Definitie. Fie G ⊂ C o multime deschisa. Functia f : G → C se numestemonogena (C -derivabila) în z0 ∈ G daca

∃ limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0

=df

dz(z0) = f ′ (z0) . (8.1)

f ′ (z0) se numeste derivata functiei f în z0. Daca f este monogena în fiecarepunct al lui G, f este olomorfa pe G. În acest caz f ′ (z) : G → C poatefi la rândul sau o functie olomorfa. Numim derivata a doua a functiei f înz, derivata derivatei f (2) (z) = f ′′ (z) = (f ′ (z))′ si prin recurenta derivatade ordin n, f (n) (z) =

(f (n−1) (z)

)′o definim ca fiind derivata derivatei de

ordinul (n− 1) .Pornind de la definitia (8.1) se demonstreaza ca si în cazul functiilor reale

ca suma, produsul, cåtul si compunerea functiilor monogene au drept rezultato functie monogena si avem

(αf + βg)′ = αf ′ + βg′, α, β ∈ C, (8.2)

(fg)′ = f ′g + fg′, (8.3)(f

g

)′=f ′g − fg′

g2, g (z) 6= 0, (8.4)

(f g)′ = (f ′ g) g′. (8.5)

De asemenea se demonstreaza ca în cazul functiilor reale ca o functie mono-gena într-un punct este continua în acel punct.

75

76 CURSUL 8. FUNCTII OLOMORFE (C - DERIVABILE)

Teorema. Ecuatiile (conditiile de monogeneitate) Cauchy-Riemann.Fie G ⊂ C o multime deschisa si f : G → C, f (z) = f (x+ iy) =u (x, y) + iv (x, y) . În aceste conditii, f este monogena în z0 = x0 + iy0 ∈ Gdaca si numai daca u si v sunt diferentiabile în (x0, y0) si satisfac sistemulde ecuatii Cauchy-Riemann:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) ,

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0) .

Observatii : Sunt cunoscute din analiza reala urmatoarele rezultate:1) u este diferentiabila în (x0, y0) daca exista o aplicatie liniara U : R2 →

R astfel încât

lim(x,y)→(x0,y0)

u (x, y)− u (x0, y0)− U (x− x0, y − y0)

‖(x− x0, y − y0)‖ = 0

sau echivalentu (x, y)− u (x0, y0) =

=∂u (x0, y0)

∂x(x− x0)+

∂u (x0, y0)

∂y(y − y0)+ω (x, y, x0, y0) ‖(x− x0, y − y0)‖

culim

(x,y)→(x0,y0)ω (x, y, x0, y0) = 0.

2) Daca u este diferentiabila în (x0, y0) atunci u are derivate partiale în(x0, y0) .3) Daca u are derivate partiale continue pe G atunci u este diferentiabila

pe G.Demonstratie. Presupunem ca f este monogena în z0. Fie sirul znn∈N ,

convergent la z0 astfel ca zn = xn + iy0. Din proprietatea de monogeneitatelui f deducem

∃f ′ (z0) = limn→∞

f (zn)− f (z0)

zn − z0

=

= limn→∞

[u (xn, y0)− u (x0, y0)

xn − x0

+ iv (xn, y0)− v (x0, y0)

xn − x0

]=

=∂u (x0, y0)

∂x+ i

∂v (x0, y0)

∂x. (8.6)

77

Fie sirul z′nn∈N , convergent la z0 astfel ca z′n = x0 + iyn. Deducem deasemenea ca

∃f ′ (z0) = limn→∞

f (z′n)− f (z0)

z′n − z0

=

= limn→∞

[u (x0, yn)− u (x0, y0)

i(yn − y0)+ i

v (x0, yn)− v (x0, y0)

i(yn − y0)

]=

= −i∂u (x0, y0)

∂y+∂v (x0, y0)

∂y. (8.7)

Din (8.6) si (8.7) rezulta ecuatiile Cauchy-Riemann. Observam de aseme-nea ca am demonstrat numai existenta derivatelor partiale pentru u si v în(x0, y0) nu si diferentiabilitatea. Ne vom multumi însa numai cu aceastademonstratie partiala.Presupunem acum ca u si v sunt diferentiabile în (x0, y0) si satisfac ecuati-

ile Cauchy-Riemann. Notând

x− x0

‖(x− x0, y − y0)‖ = cos θ,y − y0

‖(x− x0, y − y0)‖ = sin θ

si tinând cont de relatia

‖(x− x0, y − y0)‖(x− x0) + i (y − y0)

= cos θ − i sin θ

avem

f (z)− f (z0)

z − z0

=u (x, y) + iv (x, y)− u (x0, y0)− iv (x0, y0)

(x− x0) + i (y − y0)=

=u (x, y)− u (x0, y0)

‖(x− x0, y − y0)‖ (cos θ − i sin θ) +v (x, y)− v (x0, y0)

‖(x− x0, y − y0)‖ (sin θ + i cos θ)

=

[∂u

∂xcos θ +

∂u

∂ysin θ + ω1 (x, y, x0, y0)

](cos θ − i sin θ) +

+

[∂v

∂xcos θ +

∂v

∂ysin θ + ω2 (x, y, x0, y0)

](sin θ + i cos θ) =

=∂u

∂xcos 2θ +

∂u

∂ycos θ sin θ +

∂v

∂xcos θ sin θ +

∂v

∂ysin 2θ+

+i

(−∂u∂x

cos θ sin θ − ∂u

∂ysin 2θ +

∂v

∂xcos 2θ +

∂v

∂ycos θ sin θ

)+


ω1 (x, y, x0, y0) (cos θ − i sin θ) + ω2 (x, y, x0, y0) (sin θ + i cos θ) =

tinând cont de ecuatiile Cauchy-Riemann

=∂u

∂x+ i

∂v

∂x+ω1 (x, y, x0, y0) (cos θ − i sin θ) +ω2 (x, y, x0, y0) (sin θ + i cos θ)

de unde deducem ca

∃ limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0

=∂u (x0, y0)

∂x+ i

∂v (x0, y0)

∂x

in virtutea faptului ca

lim(x,y)→(x0,y0)

ωi (x, y, x0, y0) = 0, i = 1, 2.

Observatie. În cursul demonstratie s-a stabilit faptul ca într-un punctz = x+iy în care este monogena, derivata functiei f se calculeaza cu formula:

f ′ (z) =∂u (x, y)

∂x+ i

∂v (x, y)

∂x.

Exemple. 1) f (z) = exp (z) = exp (x+ iy) = exp (x) (cos y + i sin y) , f :C→ C, u (x, y) = exp (x) cos y, v (x, y) = exp (x) sin y si se observa usor cau si v satisfac sistemul de ecuatii Cauchy-Riemann. Asadar exp (z) = ez este

olomorfa în C si avemd

dzez =

d

dx(ex cos y) + i

d

dx(ex sin y) = ez.

2) Pornind de la relatia 1 =dz

dz=

d

dz(exp (ln z)) = exp (ln z) · d

dz(ln z)

rezulta (ln z)′ =d

dz(ln z) =

1

z.

Corolar. Fie f = u + iv : G → C olomorfa în G cu u si v de clasa C2

în G. Atunci u si v sunt functii armonice în G adica 4u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

în G si 4v = 0 în G.Demonstratie. În virtutea relatiilor Cauchy - Riemann si utilizând teo-

rema lui Schwarz referitoare la schimbarea ordinii de derivare avem:

4u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=

∂2v

∂x∂y− ∂2v

∂y∂x= 0

si asemanator 4v = 0.

79

Corolarul ne permite reconstituirea unei functii olomorfe atunci când estecunoscuta partea sa reala sau partea sa imaginara într-un domeniu simpluconex. Fie u armonica în G. Definim

v (x, y) =

∫ x

x0

[−∂u∂y

(t, y0)

]dt+

∫ y

y0

∂u

∂x(x, t) dt+ C, C ∈ R,

unde (x0, y0) este un punct din G astfel ales încât segmentele având capeteleîn (x0, y0) si (x, y0) , respectiv în (x, y0) si (x, y) sa fie incluse în G. Atunci

∂v

∂x(x, y) = −∂u

∂y(x, y0) +

∫ y

y0

∂2u

∂x2(x, t) dt =

= −∂u∂y

(x, y0)−∫ y

y0

∂2u

∂y2(x, t) dt =

= −∂u∂y

(x, y0)− ∂u

∂y(x, y) +

∂u

∂y(x, y0) = −∂u

∂y(x, y)

si asemanator rezulta∂v

∂y=∂u

∂x. Prin urmare f = u+ iv este olomorfa.

Pentru a retine mai usor constructia lui v amintim ca atunci când stimderivatele unei functii reale, construim functia prin relatia

v (x, y) =

∫γ

∂v

∂xdx+

∂v

∂ydy + C,

(cu conditia, aici îndeplinita sa nu depinda de alegerea drumului) de unde,în virtutea relatiilor Cauchy - Riemann

v (x, y) =

∫γ

(−∂u∂y

)dx+

∂u

∂xdy + C.

Similar, fiind dat v ∈ C2 (G) se gaseste u astfel încât u+iv sa fie olomorfaîn G prin

u (x, y) =

∫ x

x0

∂v

∂y(t, y0) dt−

∫ y

y0

∂v

∂x(x, t) dt+ C, C ∈ R.

Vom da în cele ce urmeaza fara demonstratie urmatoarea teorema:Teorema (principiul maximului modulului). Fie D ⊂ C domeniu, f :

D → C continua si olomorfa pe D. Atunci1) Exista max

z∈∂D|f (z)| = M ;

2) |f (z)| ≤M, ∀z ∈ D;3) Daca ∃a ∈ D (a /∈ ∂D) astfel încât |f (a)| = M atunci f este constanta

pe D.


8.1 Elemente de calcul integral pentru functiicomplexe de o variabila complexa

Se numeste drum în C orice functie continua γ : [a, b] → C, unde a, b ∈R, a < b. Multimea S (γ) = γ ([a, b]) este suportul (imaginea) lui γ iar γ (a)si γ (b) sunt respectiv punctul initial (sau originea) si punctul final al lui γ.Drumul γ este închis daca γ (a) = γ (b) . Drumul închis γ este orientat pozitivdaca un observator situat în punctul de γ (t) lasa interiorul lui γ în stângaatunci când t parcurge segmentul [a, b] .Daca γ : [a, b] → C este un drum, atunci drumul γ− : [a, b] → C definit

prin γ− (t) = γ (a+ b− t) se numeste opusul lui γ. Evident γ− (a) = γ (b) ,γ (a) = γ− (b) si S (γ) = S (γ−) . De asemenea, daca τ : [a1, b1] → C esteun alt drum asa încât γ (b) = τ (a1) atunci putem defini pe [a, b+ b1 − a1]drumul γ ∪ τ prin

γ ∪ τ (t) =

γ (t) , t ∈ [a, b] ,

τ (t+ a1 − b) , t ∈ [b, b+ b1 − a1] ,

numit juxtapusul drumurilor γ si τ .Avem γ∪τ (a) = γ (a) , γ∪τ (b+ b1 − a1) =τ (b1) si S (γ ∪ τ) = S (γ) ∪ S (τ) .Doua drumuri γ : [a, b] → C si τ : [a1, b1] → C sunt echivalente daca

exista un homeomorfism crescator h : [a, b]→ [a1, b1] , unde h este o functiederivabila cu derivata continua pe [a, b] (exceptând eventual o submultimefinita) astfel ca γ = τ h. În acest caz vom spune ca γ (respectiv τ) esteo reparametrizare a lui τ (respectiv γ). Numim curba o clasa de drumuriechivalente.Daca γ : [a, b] → C, γ (t) = x (t) + iy (t) iar x (t) si y (t) sunt functii

derivabile cu derivatele continue pe (a, b) (adica functii de clasa C1) spunemca γ este un drum neted. Daca într-un numar finit de puncte din (a, b) , x (t)sau y (t) nu sunt derivabile, γ este un drum neted pe portiuni.Definitie. Multimea conexaG ⊂ C se numeste simplu conexa daca oricare

ar fi γ : [a, b] → G drum neted închis cu γ (s) 6= γ (t) pentru orice s, t ∈(a, b) , s 6= t din D ⊂ C, marginita si γ = ∂D (frontiera lui D) rezultaD ⊂ G.Definitie. Fie G ⊂ C si f : G → C continua, f(z) = f (x+ iy) =

u (x, y)+iv (x, y) . Fie γ : [a, b]→ G drum neted. Definim integrala curbiliniecomplexa prin relatia∫

γ

f (z) dz =

∫γ

udx− vdy + i

∫γ

vdx+ udy (8.8)

8.1. ELEMENTEDECALCUL INTEGRALPENTRUFUNCTII COMPLEXEDEOVARIABILA COMPLEXA81

în membrul drept aflându-se integrale curbilinii de speta a doua a carorexistenta este asigurata de conditiile impuse functiei f si drumului γ.Observatii : 1) Pentru a memora mai usor formula (8.8) tinem cont ca

formal avem

fdz = (u+ iv)(dx+ idy) = udx− vdy + i (vdx+ udy) .

2) Punând γ (t) = x (t) + iy (t) avem∫γ

u (x, y) dx =

∫ b

a

u (x (t) , y (t))x′ (t) dt,

∫γ

u (x, y) dy =

∫ b

a

u (x (t) , y (t)) y′ (t) dt.

Propozitie. Fie γ : [a, b]→ G drum neted pe portiuni cu γ (t) = x (t) +iy (t) si f : G → C functie continua. Atunci punând γ′ (t) = x′ (t) + iy′ (t)avem ∫

γ

f (z) dz =

∫ b

a

f [γ (t)] γ′ (t) dt.

Demonstratie. Avem succesiv∫γ

f (z) dz =

∫γ

udx− vdy + i

∫γ

vdx+ udy =

=

∫ b

a

[u (x (t) , y (t))x′ (t)− v (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt+

+i

∫ b

a

[v (x (t) , y (t))x′ (t) + u (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt =

∫ b

a

f [γ (t)] γ′ (t) dt.

Propozitie. Fie γ : [a, b] → G si τ : [a1, b1] → G doua drumuri echiva-lente si f : G→ C continua. Avem∫

γ

f (z) dz =

∫τ

f (z) dz

Demonstratie. Fie h : [a1, b1]→ [a, b] un homeomorfism creascator, difer-entiabil cu exceptia unui numar finit de puncte astfel încåt τ = γ h. Avemsuccesiv∫

τ

f (z) dz =

∫ b1

a1

f (τ (s)) τ ′ (s) ds =

∫ b1

a1

f [γ (h (s))] γ′ (h (s))h′ (s) ds =


folosind formula de schimbare de variabila din cazul integralei Riemann realecu t = h (s) ,

=

∫ b

a

f (γ (t)) γ′ (t) dt =

∫γ

f (z) dz.

Observatie. Doua drumuri echivalente au acelasi suport si aceeasi ori-entare (adica aceeasi origine si acelasi punct final). Din propozitia de maisus deducem ca pentru calculul integralei curbilinii este suficient sa indicamsuportul si orientarea urmand ca apoi, la calculul efectiv al integralei sadeteminam unul din drumurile echivalente care au suportul si orientarea in-dicate (adica sa precizam parametrizarea).

În virtutea acestei observatii, în locul integralei∫γ

f (z) dz putem scrie∫Γ

f (z) dz cu Γ = γ ([a, b])- suportul drumului , indicând totodata si ori-

entarea.Propozitie. a) Fie γ : [a, b] → G drum neted pe portiuni, f, g : G → C

continue si α, β ∈ C. Atunci∫γ

[αf (z) + βg (z)] dz = α

∫γ

f (z) dz + β

∫γ

f (z) dz.

b) Fie γ : [a, b] → G si τ : [a1, b1] → G drumuri netede pe portiuni cuγ (b) = τ (a1) si γ ∪ τ juxtapunerea celor doua drumuri. Fie f : G → Ccontinua. În aceste conditii∫

γ∪τf (z) dz =

∫γ

f (z) dz +

∫τ

f (z) dz.

c) Fie γ : [a, b] → G drum neted pe portiuni, f : G → C continua siγ− : [a, b]→ G opusul drumului γ. Atunci∫

γ−f (z) dz = −

∫γ

f (z) dz.

Demonstratia celor trei puncte ale propozitiei rezulta imediat din definitiaintegralei curbilinii complexe. De exemplu, în cazul c) avem∫

γ−f (z) dz =

∫ b

a

f (γ (a+ b− t)) (−γ′ (a+ b− t)) dt =

=

∫ a

b

f (γ (s)) γ′ (s) ds = −∫ b

a

f (γ (s)) γ′ (s) ds = −∫γ

f (z) dz.

8.2. INTEGRAREA FUNCTIILOR OLOMORFE 83

Aplicatie. Fie segmentul Γ= [z1, z2] parcurs de la z1 = 2−i la z2 = −3+3i.

Sa se calculeze∫

Γ

(2z + z) dz. Rezolvare: Fie

z = z1 + t (z2 − z1) = 2− i+ t (−5 + 4i) , t ∈ [0, 1] ,

o parametrizare a segmentului Γ. Avem succesiv∫Γ

(2z + z) dz =

∫ 1

0

(2 · (2− i+ t (−5 + 4i)) + (2 + i+ t (−5− 4i)))·(−5 + 4i) dt

= (−5 + 4i)

∫ 1

0

(6− i+ t (−15 + 4i)) dt =

= (−5 + 4i)

((6− i) t |10 + (−15 + 4i)

t2

2|10)

=7

2− 11i.

8.2 Integrarea functiilor olomorfe

Teorema lui Cauchy. Fie G o multime deschisa în C si f : G → C ofunctie olomorfa. Oricare ar fi D cu D ⊂ G domeniu simplu conex astfelîncât γ = ∂D sa fie un drum închis, neted pe portiuni, avem∫

γ

f (z) dz = 0.

Demonstratie. Conform definitiei avem∫γ

f (z) dz =

∫γ

udx− vdy + i

∫γ

vdx+ udy =

(în virtutea formulei Green)

=

∫∫D

(−∂v∂x− ∂u

∂y

)dxdy + i

∫∫D

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy = 0,

ultima egalitate rezultând din relatiile Cauchy-Riemann.Corolar. Fie drumurile netede pe portiuni γ1, γ2 : [a, b] → G (domeniu

simplu conex in C) cu γ1 (a) = γ2 (a) si γ1 (b) = γ2 (b) si f : G → C ofunctie olomorfa. Atunci∫

γ1

f (z) dz =

∫γ2

f (z) dz.


Demonstratie. În virtutea teoremei lui Cauchy avem

0 =

∫γ1∪γ

−2

f (z) dz =

∫γ1

f (z) dz −∫γ2

f (z) dz,

de unde rezulta egalitatea din enuntul corolarului.Observatie: În cazul în care functia de integrat este olomorfa integrala

este independenta de drum dar depinde de extremitatile acestuia. Punândz1 = γ1(a), z2 = γ1(b) vom putea deci scrie∫

γ1

f (z) dz =

∫ z2

z1

f (z) dz.

Teorema (de existenta a primitivei). Fie G ⊂ C domeniu simpluconex si fie f : G → C functie olomorfa. Atunci exista F : G → C functieolomorfa astfel încât F ′ (z) = f (z) pentru orice z ∈ G.Demonstratie. Fie z0 ∈ G fixat si z ∈ G. Definim

F (z) =

∫ z

z0

f (ζ) dζ. (8.9)

Sa aratam ca F ′ (z) = f (z). Fie γ : [a, b]→ C, drum neted cu γ (a) = z0

si γ (b) = z. Avem∫ z

z0

dζ =

∫γ

dζ =

∫ b

a

x′ (t) dt+ i

∫ b

a

y′ (t) dt =

= x (b)− x (a) + i [y (b)− y (a)] = z − z0

si prin urmare

F (z + h)− F (z)

h− f (z) =

1

h

∫ z+h

z

f (ζ) dζ − 1

h

∫ z+h

z

f (z) dζ =

=1

h

∫ z+h

z

[f (ζ)− f (z)] dζ,

cu h 6= 0 si z + h ∈ G.Alegând drept drum de integrare de la z la z + h segmentul [z, z + h]

rezulta∣∣∣∣F (z + h)− F (z)

h− f (z)

∣∣∣∣ ≤ 1

|h|

(max

ζ∈[z,z+h]|f (ζ)− f (z)|

)|h| =


= maxζ∈[z,z+h]

|f (ζ)− f (z)| .

Cum f este continua în z, pentru ε > 0 exista δε > 0 astfel ca pentruorice ζ ∈ G cu |ζ − z| < δε rezulta |f (ζ)− f (z)| < ε. Fie |h| < δε. Atunci

|ζ − z| < δε pentru orice ζ ∈ [z, z + h] si rezulta

∣∣∣∣F (z + h)− F (z)

h− f (z)

∣∣∣∣ <ε deci lim

h→0

F (z + h)− F (z)

h= f (z) de unde F ′ (z) = f (z) pentru orice z ∈ G

si deci teorema este demonstrata.Definitie. Functia olomorfa F : G → C cu F ′ (z) = f (z) se numeste

primitiva lui f în G.Propozitie. Doua primitive ale unei functii olomorfe f definite pe un

domeniu simplu conex difera printr-o constanta.Demonstratie. Fie F1 (z) = U1 (x, y) + iV1 (x, y) si F2 (z) = U2 (x, y) +

iV2 (x, y) primitive ale functiei f. Din F ′1 (z) = F ′2 (z) = f (z) avem F ′1 (z) −F ′2 (z) = 0 deci

∂

∂x(U1 − U2) = 0,

∂

∂x(V1 − V2)

si în virtutea ecuatiilor Cauchy-Riemann

∂

∂y(U1 − U2) = 0,

∂

∂y(V1 − V2) .

Rezulta de aici

U1 − U2 = a = const., V1 − V2 = b = const.

si deciF1 − F2 = a+ ib = const.

Propozitie. Fie γ : [a, b] → G drum neted pe portiuni, f : G → Cfunctie olomorfa si F primitiva a lui f în G. Atunci∫

γ

f (z) dz = F (z) |γ(b)γ(a)= F (γ (b))− F (γ (a)) . (8.10)

Demonstratie. FieH (z) =

∫ z

γ(a)

f (z) dz o primitiva a lui f. CumH (γ (a)) =

0 avem în virtutea lui (8.9)∫γ

f (z) dz =

∫ γ(b)

γ(a)

f (z) dz = H (γ (b))−H (γ (a)) .


Cum orice primitiva F a lui f difera de H printr-o constanta, rezulta(8.10).Aplicatie. Sa calculam câteva integrale ale unor functii olomorfe:∫ 1+i

0

z2dz =z3

3|1+i0 =

(1 + i)3

3=−2 + 2i

3,

∫ 2+i

1

dz

z2= −1

z|2+i1 = − 1

2 + i+ 1 =

3 + i

5,

∫ 2i

−2i

dz

z= ln z |2i−2i= ln (−1) = πi.

Teorema (formula lui Cauchy). Fie G ⊂ C, multime deschisa siD ⊂ G domeniu simplu conex cu frontiera ∂D curba neteda pe portiuni,orientata pozitiv (la parcurgere domeniul D este în stânga). Atunci pentruorice z0 ∈ D are loc

f (z0) =1

2πi

∫∂D

f (z)

z − z0

dz, (8.11)

unde f : G→ C este o functie olomorfa.Demonstratie. Fie C (z0, r) = z ∈ C; |z − z0| = r ⊂ D cercul de raza r

centrat în z0 si $ ⊂ D un segment (numit taietura), paralel cu axa Ox ce areun capat pe C (z0, r) si celalalt pe ∂D. Domeniul marginit ce are frontiera∂D∪$∪Cr (z0, r)

−∪$− este un domeniu simplu conex ce nu-l contine pe z0

(fig. 1). În acest domeniuf (z)

z − z0

este o functie olomorfa si conform teoremei

lui Cauchy avem

0 =1

2πi

∫∂D∪$∪C(z0,r)

−∪$−

f (z)

z − z0

dz,

de unde deducem

1

2πi

∫∂D

f (z)

z − z0

dz =1

2πi

∫C(z0,r)

f (z)

z − z0

dz. (8.12)

Din egalitatea

1

2πi

∫C(z0,r)

1

z − z0

dz =1

2πi(ln |z − z0|+ i arg (z − z0)) |z=z0+r exp(2πi)

z=z0+r exp(0) = 1


deducem∣∣∣∣ 1

2πi

∫C(z0,r)

f (z)

z − z0

dz − f (z0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

2πi

∫C(z0,r)

f (z)− f (z0)

z − z0

dz

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣ 1

2πi

∫ 2π

0

f (z0 + r exp(it))− f (z0)

r exp(it)ir exp(it)dt

∣∣∣∣ ≤si în virtutea continuitatii,

≤ maxt∈[0,2π]

|f (z0 + r exp(it))− f (z0)| → 0 pentru r → 0.

De aici si din (8.12) rezulta formula lui Cauchy (8.11).Aplicatie. Sa calculam câteva integrale curbilinii (considerate pe drumuri

închise orientate pozitiv):∫|z|=1

exp z

zdz = 2πi exp 0 = 2πi,

∫|z−i|=1

dz

z2 + 1=

∫|z−i|=1

dz

(z − i) (z + i)=

2πi

2i= π,

∫|z|=4

z2

z − 2idz = 2πi (2i)2 = −8πi,

∫|z|=1

z2

z − 2idz = 0 (se aplica teorema lui Cauchy),

∫|z+1|= 1

2

exp (z2)

z2 + zdz =

∫|z+1|= 1

2

exp (z2)

z· 1

z + 1dz = −2πi exp (1) ,

∫|z|=1

exp (z)

z (z + 2)dz =

∫|z|=1

exp (z)

z + 2· dzz

= πi.

Teorema. Fie functia olomorfa f : G → C si fie D domeniu simpluconex cu D ⊂ G si z0 ∈ D. Atunci ∀n ∈ N, f este de n ori C- derivabila si

f (n) (z0) =n!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0)n+1dz. (8.13)

Demonstratie. Pentru n = 0 formula (8.13) reprezinta chiar formulalui Cauchy. Sa demonstram teorema prin inductie, si anume presupunând


afirmatia din concluzie valabila pentru n sa aratam ca este valabila si pentrun+ 1. Fie h ∈ C cu z0 + h ∈ D. Avem conform ipotezei de inductie,

f (n) (z0) =n!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0)n+1dz, f (n) (z0 + h) =

n!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0 − h)n+1dz,

de unde

f (n) (z0 + h)− f (n) (z0)

h=

n!

2πih

∫∂D

f (z)(z − z0)n+1 − (z − z0 − h)n+1

(z − z0)n+1(z − z0−h)n+1dz =

=n!

2πi

n∑k=0

∫∂D

f (z)(z − z0)n−k (z − z0 − h)k z

(z − z0)n+1(z − z0 − h)n+1dz. (8.14)

Sa demonstram mai departe ca

f (n) (z0 + h)− f (n) (z0)

h

h→0→ f (n+1) (z0) =(n+ 1)!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0)n+2dz.

(8.15)Fie 0 < δ = inf |z − z0| ; z ∈ ∂D . Consideram mai departe acele numere

complexe h astfel încât |h| < δ′ < δ. Avem atunci inf |z − z0 − h| ; z ∈ ∂D ≥inf |z − z0| − δ′; z ∈ ∂D = δ − δ′. Rezulta de aici∣∣∣∣f (n) (z0 + h)− f (n) (z0)

h− (n+ 1)!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0)n+2dz

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣ n!

2πi

n∑k=0

∫∂D

f (z)(z − z0)n−k (z − z0 − h)k

(z − z0)n+1(z − z0 − h)n+1dz − (n+ 1)!

2πi

∫∂D

f (z)

(z − z0)n+2dz

∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣ n!

2πi

n∑k=0

∫∂D

f (z)(z − z0)n−k+1 (z − z0 − h)k − (z − z0 − h)n+1

(z − z0)n+2(z − z0 − h)n+1dz

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣n!h

2πi

n∑k=0

n−k∑j=0

∫∂D

f (z)

(z − z0)2+k+j(z − z0 − h)n−k−j+1

∣∣∣∣∣ ≤≤ n!hlM

2π

n∑k=0

n−k∑j=0

1

δ2+k+j (δ − δ′)n−k−j+1

h→0→ 0, (8.16)

cu M = max f (z) ; z ∈ ∂D si l reprezentând lungimea curbei ∂D.


Aplicatie. Sa calculam câteva integrale curbilinii (considerate pe drumuriînchise orientate pozitiv):∫

|z−1|=1

dz

(z − 1)3 (z + 1)3 =2πi

2!

d2

dz2

(1

(z + 1)3

)z=1

=3πi

8,

∫|z+1|=1

dz

(z − 1)3 (z + 1)3 =2πi

2!

d2

dz2

(1

(z − 1)3

)z=−1

= −3πi

8,∫

|z+4|=1

dz

(z − 1)3 (z + 1)3 =

∫|z+1|=1

dz

(z − 1)3 (z + 1)3 +

∫|z−1|=1

dz

(z − 1)3 (z + 1)3 = 0.

Teorema (Morera). Fie f : D → C continua, D domeniu simplu conex.

Daca∫γ

f (z) dz = 0 pentru orice γ ⊂ D drum neted, atunci f este olomorfa

în D.

Demonstratie. Fie F (z) =

∫ z

z0

f (z) dz cu z0 ∈ D punct fixat si integrala

luata pe orice drum neted pe portiuni care uneste z0 cu z. În teorema deexistenta a primitivei s-a demonstrat ca daca f este o functie olomorfa atunciF este de asemenea olomorfa si F ′ (z) = f (z) . Cum conditia de olomorfiea fost folosita numai pentru a demonstra independenta de drum a integraleicurbilinii, deducem ca F (z) este olomorfa si în virtutea teoremei precedente,f (z) = F ′ (z) este de asemenea olomorfa.

Cursul 9

Functii complexe analitice

Fie D ⊂ C un domeniu si sirul de functii fnn∈N , fn : D → C.

Definitie. sirul fnn∈N converge uniform la f : D → C daca ∀ε >0, ∃nε ∈ N astfel încât n > nε ⇒ |f (z)− fn (z)| < ε, ∀z ∈ D.

Definitie. Seria∞∑n=0

fn converge uniform la f daca sirul sumelor partiale

snn∈N , sn = f0 + f1 + ...+ fn, converge uniform la f.În continuare vom enunta (fara a da demonstratia) urmatoareaTeorema. Fie sirul fnn∈N convergent uniform la f în domeniul D. Fie

γ : [a, b]→ D drum neted pe portiuni. Atunci limn→∞

∫γ

fn (z) dz =

∫γ

f (z) dz.

De aici rezulta urmatorul

Corolar. Fie seria∞∑n=0

fn uniform convergenta la f în domeniul D. Fie

γ : [a, b]→ D drum neted pe portiuni. Atunci ∃∞∑n=0

∫γ

fn (z) dz =

∫γ

f (z) dz.

Teorema (Weierstrass 1859). Fie fnn∈N un sir de functii olomorfe în

domeniul simplu conex D si presupunem ca∞∑n=0

fn converge uniform pe A,

oricare ar fi A multime compacta inclusa în D. Atunci f =∞∑n=0

fn este o

functie olomorfa în D.Demonstratie. Fie γ : [a, b] → D drum neted pe portiuni închis. Atunci

γ ([a, b]) este o multime compacta inclusa în D pe care deci seria convergeuniform . Prin urmare, în virtutea corolarului precedent si a teoremei lui

91

92 CURSUL 9. FUNCTII COMPLEXE ANALITICE

Cauchy avem ∫γ

f (z) dz =

∞∑n=0

∫γ

fn (z) dz = 0,

de unde, cu teorema lui Morera rezulta ca f este olomorfa în D.Corolar. Seriile de puteri definesc functii olomorfe în domeniul de con-

vergenta.Definitie. Fie f : G → C, G ⊂ C multime deschisa, z0 ∈ G. Spunem

ca f se dezvolta în serie de puteri în z0 daca exista o serie∞∑n=0

an (z − z0)n

cu raza de convergenta R > 0 astfel încât f (z) =∞∑n=0

an (z − z0)n ∀z ∈ G

cu|z − z0| < R. Functia f se numeste analitica în G daca f se dezvolta înserie de puteri în orice punct z ∈ G.Teorema (Cauchy - Taylor). Fie f : G → C functie olomorfa si D un

domeniu simplu conex cu D ⊂ G. Fie z0 ∈ D. Atunci

f (z) =∞∑n=0

an (z − z0)n , (9.1)

seria fiind convergenta pentru

|z − z0| < δ = inf |ζ − z0| ; z0 ∈ ∂D

iar

an =f (n) (z0)

n!. (9.2)

Demonstratie. Fie r < δ. Consideram discul de raza r centrat în z0, D (z0, r) =z ∈ C; |z − z0| < r si cercul de raza r centrat în z0, C (z0, r) = z ∈ C; |z − z0| = r .Fie z ∈ D (z0, r) . Cu formula lui Cauchy avem

f (z) =1

2πi

∫C(z0,r)

f (ζ)

ζ − zdζ.

Pentru ζ ∈ C (z0, r) avem|z − z0||ζ − z0|

< 1 si deci

1

ζ − z =1

(ζ − z0)− (z − z0)=

1

ζ − z0

· 1

1− z−z0ζ−z0

=1

ζ − z0

∞∑n=0

(z − z0)n

(ζ − z0)n

93

iar seria este uniform convergenta. Prin urmare se poate integra termen cutermen si avem

f (z) =1

2πi

∫C(z0,r)

f (ζ)

ζ − z0

dζ +z − z0

2πi

∫C(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z0)2dζ+

+...+(z − z0)n

2πi

∫C(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ + ... =

= f (z0) + (z − z0) f ′ (z0) + ...+ (z − zn0 )f (n) (z0)

n!+ ... . (9.3)

Seria pusa în evidenta în relatia (9.3) se numeste serie Taylor.Definitie. Daca în dezvoltarea (9.1) avem a0 = a1 = ... = am−1 = 0

spunem ca z0 este un zerou de ordinul m al lui f si avem evident f (z0) =f ′ (z0) = ... = f (m−1) (z0) = 0.Aplicatie. Sa se dezvolte în serie Taylor în jurul punctului z = i functiile

f1 (z) = 1 + 2z + 5z2, f2 (z) =1

2i− z , f3 (z) = exp (z) . Rezolvare:

f1 (i) = 1+2i+5i2 = −4+2i, f ′1 (i) = 2+10i, f ′′1 (i) = 10, f(n)1 (i) = 0, n ≥ 3⇒

⇒ f1 (z) = −4 + 2i+ (2 + 10i) (z − i) + 5 (z − i)2 ,

f(n)2 (z) =

n!

(2i− z)n+1 ⇒ f(n)2 (i) = n! (−i)n+1 ⇒

⇒ f2 (z) =∞∑n=0

(−i)n+1 (z − i)n ,

f(n)3 (z) = exp z ⇒ f

(n)3 (i) = exp i⇒ f

(n)3 (z) =

∞∑n=0

exp i

n!(z − i)n .

Teorema. Fie G ⊂ C multime deschisa si functia f : G→ C. în acesteconditii f este olomorfa în G daca si numai daca f este analitica în G.Demonstratie. Faptul ca o functie analitica este olomorfa rezulta din

corolarul la teorema lui Weierstrass iar faptul ca o functie olomorfa esteanalitica rezulta din teorema Cauchy - Taylor.

Propozitie (inegalitatile lui Cauchy). Fie f (z) =

∞∑n=0

anzz definita pen-

tru |z| < R. Pentru 0 < r < R fie M (r) = sup|z|=R

|f (z)| . Atunci

|an| ≤M (r)

rn, ∀n ≥ 0. (9.4)


Demonstratie. Din (9.2) rezulta

an =f (n) (0)

n!=

1

2πi

∫|z|=r

f (z)

zn+1dz,

de unde, punând z = r exp (it) , t ∈ [0, 2π] si tinând cont de (??) obtinem

|an| =1

2π

∣∣∣∣∫|z|=r

f (z)

zn+1dz

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f (r exp (it))|rn+1

rdt =

=1

2πrn

∫ 2π

0

|f (r exp (it))| dt ≤ M (r)

rn,∀n ≥ 0.

Observatie. Cu aceeasi utilizare a formulei (9.2) deducem ca daca f esteolomorfa în domeniul D simplu conex si |f (z)| ≤ M,∀z ∈ D, atunci pentruz0 ∈ D avem, notând cu ∂D frontiera lui D :∣∣f (n) (z0)

∣∣ ≤ Mn!

δn, δ = inf

z∈∂D|z − z0| .

Teorema (Liouville). Fie f : C → C olomorfa. Daca f este marginitaatunci este constanta.

Demonstratie. Din teorema Cauchy-Taylor rezulta f (z) =∞∑n=0

anzn, seria

fiind convergenta pentru orice z ∈ C. Fie |f (z)| ≤ M,∀z ∈ C. Atunci

din (9.4) rezulta |an| ≤M

rn,∀n ≥ 0. În particular, pentru r → ∞ avem

|an| = 0,∀n ≥ 1, deci f (z) = a0, ∀z ∈ C.Corolar (Teorema fundamentala a algebrei). Orice polinom cu coeficienti

complecsi, de grad mai mare sau egal cu 1, are cel putin o radacina complexa.Demonstratie. Fie P ∈ C [z] ,O > 1 un polinom cu coeficienti complecsi

si presupunem ca P (z) 6= 0,∀z ∈ C. Atunci functia rationala 1

P (z)este

olomorfa în C si deoarece limz→∞

1

P (z)= 0 rezulta ca este m@rginita, adica

∃M > 0 astfel încât

∣∣∣∣ 1

P (z)

∣∣∣∣ ≤ M,∀z ∈ C. Din teorema lui Liouville rezulta

ca exista o constanta C ∈ C astfel ca1

P (z)= C deci P (z) =

1

C, în con-

tradictie cu ipoteza asupra gradului lui P .

Definitie. Fie f : D → C analitica în z0 ∈ D si fie f (z) =

∞∑k=0

ak (z − z0)k

dezvoltarea Taylor a lui f în vecinatatea lui z0. Spunem ca f are un zero de

95

ordin n în z0 daca a0 = a1 = ... = an−1 si an 6= 0 ceea ce echivaleaza cuf (z0) = ... = f (n−1) (z0) = 0, f (n) (z0) 6= 0.Observatie. Functia f are un zero de ordin n în z0 daca

f (z) = (z − z0)n g (z) , g (z0) 6= 0, (9.5)

cu g : D → C analitica în z0 ∈ D.Propozitie. Fie f : D → C olomorfa si a ∈ D cu f (a) = 0. Daca f

nu este identic nula în D exista V , vecinatate a lui a, V ⊂ D astfel încâtf (z) 6= 0,∀z ∈ V − a .Demonstratie. Din (9.5) rezulta (tinând cont ca g este continua si g (z0) 6=

0 ) ca exista o vecinatate V a lui a cu g (z) 6= 0,∀z ∈ V si atunci f (z) 6=0, ∀z ∈ V − a .Teorema care urmeaza are o importanta deosebita în studiul functiilor

analitice.Teorema (de unicitate pentru functii analitice). Fie D ⊂ C domeniu

si f1, f2 doua functii complexe analitice definite pe D cu valori în C. Pre-supunem ca exista un sir neconstant convergent ann∈N cu lim

n→∞an = a ∈ D

si ca f1 (an) = f2 (an) , ∀n ∈ N. Atunci f1 (z) = f2 (z) ,∀z ∈ D.Demonstratie. Fie f (z) = f1 (z)− f2 (z) . Evident, f este analitica în D

si f (an) = 0, ∀n ∈ N iar din limn→∞

an = a rezulta f (a) = 0. Sa demonstram

ca exista o vecinatate V a lui a astfel încât f (z) = 0, ∀z ∈ V. Într-adevar,daca a ar fi un zero al lui f atunci f (z) 6= 0,∀z ∈ V − a si ar trebui saexiste un rang nV ∈ N astfel ca f (an) 6= 0 pentru orice n ≥ nV ceea ceeste contradictoriu cu ipotezele teoremei. Ramâne deci ca f (z) = 0 într-oanumita vecinatate V a lui a.Fie E = z ∈ D; f (z) = 0 . Daca E = D teorema este demonstrata.

Altfel, presupunem ca E 6= D si fie b ∈ D − E.Consideram un drum inD, dat de functia continua γ : [0, 1] → D, γ (0) = a, γ (1) = b si fie functiag : [0, 1] → C, g (t) = f (γ (t)) .g este la rândul sau o functie continua sieste nula într-o vecinatate a lui 0. Pe de alta parte g (1) 6= 0. Fie t0 =inf x ∈ [0, 1] ; g (x) 6= 0 . Avem t ∈ (0, 1) , g (x) = 0 pentru x ≤ t0 iar înorice vecinatate a lui t0, ∃s > t0 cu g (s) 6= 0. Atunci într-o vecinatatea lui γ (t0) functia analitica f nu este identic 0. Conform unei propozitiidemonstrate mai sus, exista o vecinatate V a lui γ (t0) cu f (z) 6= 0 pentruz ∈ V − γ (t0) . Atunci si g (s) 6= 0 într-o vecinatate a lui t0, ceea cecontrazice faptul ca g (x) = 0 pentru x ≤ t0. Avem imediat urmatorul :Corolar (principiul prelungirii analitice). Daca doua functii f si g

analitice într-un domeniu D, coincid în vecinatatea unui punct din acestdomeniu, ele coincid peste tot.


Problema prelungirii analitice este urmatoarea: fie daa functie f : D →C analitica, D domeniu si fie G un domeniu, D ⊂ G. Se cauta o functieg : G→ C, analitica, astfel încât g (z) = f (z) , ∀z ∈ D.Corolar. O functie olomorfa neidentic nula în domeniul D nu poate fi

identic nula pe un arc de curba sau un segment inclus în D.Corolarul rezulta imediat deoarece arcele sau segmentele au puncte de

acumulare. Importanta sa este foarte mare deoarece permite prelungirea lafunctii de variabila complexa a unor identitati valabile pe segmente din R.Avem astfel urmatorulCorolar. Identitatile dintre functiile trigonometrice si cele dintre functi-

ile hiperbolice ramân valabile în C.De asemenea rezulta posibilitatea deducerii unor dezvoltari în serie fie

folosind serii de numere reale, fie folosind alte dezvoltari, deja cunoscute dinC.

9.1 Dezvoltarea în serie Laurent a functiilorolomorfe în coroane circulare.

Definitie. Suma de serii de puteri

∞∑n=−∞

cn (z − z0)n =∞∑n=0

cn (z − z0)n +∞∑n=1

c−n(z − z0)n

(9.6)

se numeste serie Laurent. Seria S1 =∞∑n=0

cn (z − z0)n se numeste partea

tayloriana iar seria S2 =

∞∑n=1

c−n(z − z0)n

partea principala a seriei Laurent.

Daca S1 este convergenta în discul D (z0, R1) = z ∈ C; |z − z0| < R1 iarS2 este convergenta în z ∈ C; |z − z0| > R2 si R2 < R1, seria Laurentconverge în coroana z ∈ C; R2 < |z − z0| < R1 .

Teorema. Fie seria S =∞∑n=1

bn(z − z0)n

. Presupunem ca seria∞∑n=1

bnun

are raza de convergenta R > 0. Atunci seria S este convergenta pentru

|z − z0| >1

R, uniform în domeniile |z − z0| ≥ r >

1

Riar functia f (z) =

∞∑n=1

bn(z − z0)n

este olomorfa în domeniul |z − z0| >1

R.

9.1. DEZVOLTAREA ÎN SERIE LAURENTAFUNCTIILOROLOMORFE ÎNCOROANECIRCULARE.97

Demonstratie. Fie g (u) =∞∑n=1

bnun. g este olomorfa pentru |u| < R deci

f (z) = g(

1z−z0

)este olomorfa pentru |z − z0| >

1

R.

Observatie. Deoarece g′ (u) =∞∑n=1

nbnun−1 avem f ′ (z) = − 1

(z − z0)2 g′(

1

z − z0

)=

−∞∑n=1

nbn

(z − z0)n+1 pentru |z − z0| >1

R.

Corolar. Fie seria Laurent (9.6) cu S1 convergenta pentru |z − z0| < R1,uniform în D (z0, r ) pentru orice r < R1 si S2 convergenta pentru |z − z0| >R2, uniform în z ∈ C; |z − z0| ≥ r pentru orice r > R2. Daca R2 < R1,

functia f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n este olomorfa în coroana z ∈ C; R2 < |z − z0| < R1 .

Teorema. Fie domeniul G ⊂ C, functia olomorfa f : G → C si D =z ∈ C; R2 < |z − z0| < R1 cu D ⊂ G. Pentru orice z ∈ D, f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n seria fiind uniform convergenta pe orice compact din D.

Observatie. Teorema se refera la olomorfia functiilor în domenii ce nucontin neaparat punctul z0.Demonstratie. Fie cercurile centrate în z0 ,C (z0, R1) = z ∈ C; |z − z0| = R1

si C (z0, R2) = z ∈ C; |z − z0| = R2 si γ = [z0 +R2 exp (iα) , z0 +R1 exp (iα)] , α ∈R, un segment cu capetele pe cele doua cercuri. Domeniul D∗ = D−γ avândfrontiera ∂D∗ = C (z0, R2)∪γ∪γ−∪C (z0, R1) este simplu conex si cu formulalui Cauchy avem pentru z ∈ D∗ :

f (z) =1

2πi

∫∂D∗

f (ζ)

ζ − z dζ =1

2πi

∫C(z0,R1)

f (ζ)

ζ − zdζ −1

2πi

∫C(z0,R2)

f (ζ)

ζ − z dζ,

observând ca integralele pe γ si γ− se reduc.

Pentru ζ ∈ C (z0, R1) avem

∣∣∣∣z − z0

ζ − z0

∣∣∣∣ < 1 si deci

1

ζ − z =1

(ζ − z0)− (z − z0)=

1

ζ − z0

1

1− z−z0ζ−z0

=1

ζ − z0

∞∑n=0

(z − z0)n

(ζ − z0)n.

Pentru ζ ∈ C (z0, R2) avem

∣∣∣∣ζ − z0

z − z0

∣∣∣∣ < 1 si deci

1

ζ − z =1

(ζ − z0)− (z − z0)= − 1

z − z0

1

1− ζ−z0z−z0

= − 1

z − z0

∞∑n=0

(ζ − z0)n

(z − z0)n,


convergenta fiind uniforma. Avem asadar

1

2πi

∫C(z0,R1)

f (ζ)

ζ − zdζ =1

2πi

∞∑n=0

∫C(z0,R1)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ · (z − z0)n ,

− 1

2πi

∫C(z0,R2)

f (ζ)

ζ − zdζ =1

2πi

∞∑n=1

∫C(z0,R2)

(ζ − z0)n−1 f (ζ) dζ · 1

(z − z0)n.

Rezulta f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n cu

cn =1

2πi

∫C(z0,R1)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ, n ≥ 0, (9.7)

cn =1

2πi

∫C(z0,R2)

(ζ − z0)−n−1 f (ζ) dζ, n ≤ −1. (9.8)

Observatie. Folosind teorema lui Cauchy deducem pentru R2 < ρ < R1 :∫C(z0,R1)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ =

∫C(z0,ρ)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ, n ≥ 0,

∫C(z0,R2)

(ζ − z0)−n−1 f (ζ) dζ =

∫C(z0,ρ)

(ζ − z0)−n−1 f (ζ) dζ, n ≤ −1,

si deci

cn =1

2πi

∫C(z0,ρ)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ, ∀n ∈ Z. (9.9)

Propozitie (inegalitatile lui Cauchy). Fie f : G → C olomorfa în D =

z ∈ C; R2 < |z − z0| < R1 , D ⊂ G si f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n . Fie R2 <

ρ < R1 si Mρ = sup |f (z)| ; z ∈ C, |z − z0| = ρ . Atunci

|cn| ≤Mρ

ρn. (9.10)

Demonstratie. Din (9.9) rezulta.

|cn| =∣∣∣∣ 1

2πi

∫C(z0,ρ)

f (ζ)

(ζ − z0)n+1dζ

∣∣∣∣

9.2. PUNCTE SINGULARE IZOLATE 99

=

∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0

f (ρ exp (iθ))

ρn+1 exp (i (n+ 1) θ)ρ exp (iθ) dθ

∣∣∣∣ ≤ Mρ

ρn.

Aplicatie. Sa se dezvolte în serie Laurent functia f (z) =1

z − 2− 1

z − 1în domeniile a) |z| < 1, b) 1 < |z| < 2, c) |z| > 2. Rezolvare:a) Pentru |z| < 1 avem

1

z − 2= −1

2· 1

1− z2

= −1

2

∞∑n=0

(z2

)n= −

∞∑n=0

zn

2n+1,

1

z − 1= − 1

1− z = −∞∑n=0

zn ⇒ f (z) =∞∑n=0

(1− 1

2n+1

)zn.

b) Pentru 1 < |z| < 2 avem

1

z − 2= −

∞∑n=0

zn

2n+1,

1

z − 1=

1

z· 1

1− 1z

=∞∑n=0

1

zn+1⇒ f (z) = −

∞∑n=0

zn

2n+1+∞∑n=0

1

zn+1,

c) Pentru |z| > 2 avem

1

z − 2=

1

z· 1

1− 2z

=∞∑n=0

2n

zn+1,

1

z − 1=∞∑n=0

1

zn+1⇒ f (z) =

∞∑n=0

2n − 1

zn+1.

9.2 Puncte singulare izolate

Definitie Un punct z ∈ D ⊂ C se numeste punct ordinar pentru functiacomplexa f : D → C daca exista o vecinatate V a lui z cu proprietatea ca feste olomorfa pe multimea V ∩D.Definitie Un punct z ∈ D ⊂ C se numeste punct singular pentru functia

complexa f : D → C daca nu este ordinar.Definitie. Fie G ⊂ C, z0 ∈ G si f : G − z0 → C. Punctul singular z0

se numeste punct singular izolat pentru functia f daca exista R > 0 astfelîncât D (z0, R) ⊂ G si f este olomorfa în D (z0, R)− z0 .Definitie. Fie z0 un punct singular izolat pentru functia f.1) z0 se numeste punct singular aparent (eliminabil) daca exista lim

z→z0f (z) ;

2) z0 se numeste pol daca limz→z0|f (z)| =∞;

3) z0 se numeste punct singular esential daca nu exista limz→z0|f (z)| .


Observatie. Rezulta din definitie ca în jurul punctelor singulare izolate fse dezvolta în serie Laurent

f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n , 0 < |z − z0| < R. (9.11)

Teorema. Punctul z0 este punct singular aparent daca si numai dacadezvoltarea (9.11) are partea principala nula ( cn = 0, ∀n < 0).

Demonstratie. Daca exista f (z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n , f este marginit

într-o vecinatate D (z0, ρ′) a lui z0, deci |f (z)| ≤ M pentru |z − z0| ≤ ρ <

ρ′. Pentru n < 0, facând ρ sa tinda la zero obtinem cn = 0,deci f (z) =∞∑n=0

cn (z − z0)n .

Reciproc, daca f (z) =∞∑n=0

cn (z − z0)n pentru 0 < |z − z0| < R, avem

limz→z0|f (z)| = c0.

Observatii. 1)în demonstratia teoremei s-a aratat ca z0 este punct singularaparent daca si numai daca f este marginita într-a vecinatate a lui z0.2) Daca z0 este punct singular aparent pentru f , atunci f se prelungeste

la o functie olomorfa în z0 punând f (z0) = limz→z0

f (z) .

Exemplu. Functia

f (z) =sin z

z=∞∑k=0

(−1)kz2k

(2k + 1)!

are pe z = 0 ca punct singular aparent si limz→z0

f (z) = 1.

Propozitie. Punctul z0 este pol pentru f daca si numai daca functia

g (z) =

1f(z)

pentru 0 < |z − z0| < R′

0 pentru z = z0,

este olomorfa (R′ este un numar care va fi precizat în demonstratie).Demonstratie. Presupunem ca z0 este pol pentru f.Deoarece lim

z→z0|f (z)| =

∞ exista R′ astfel încât f (z) 6= 0, ∀z ∈ z ∈ C; 0 < |z − z0| < R′ deci geste bine definit si este o functie olomorfa pe z ∈ C; 0 < |z − z0| < R′ ,cu lim

z→z0g (z) = 0. Asadar z0 este punct singular aparent pentru g si cum

g (z0) = 0 deducem ca g este olomorfa în z0.


Reciproc, fie g olomorfa în D (z0, R′) . Din g (z0) = 0 rezulta lim

z→z0|f (z)| =

limz→z0

∣∣∣∣ 1

g (z)

∣∣∣∣ =∞.Definitie. Fie z0 un punct singular izolat de tip pol pentru f . Vom spune

ca polul z0 este de ordinul n daca z0 este un zerou de ordinul n al functiei g.Teorema. Punctul z0 este pol de ordinul n ∈ N, pentru functia f daca si

numai daca partea principala a dezvoltarii în serie Laurent în D (z0, R)−z0are un numar finit de termeni:

f (z) =c−n

(z − z0)n+

c−n+1

(z − z0)n−1 + ...+c−1

z − z0

+ c0 + c1 (z − z0) + ... (9.12)

cu c−n 6= 0.Demonstratie. Fie z0 un pol de ordin n pentru f , deci un zerou de ordin

n pentru g. Atunci g (z) = (z − z0)n ϕ (z) cu ϕ analitica în z0 si ϕ (z0) 6= 0.

Rezulta f (z) =1

(z − z0)n1

ϕ (z). Dar

1

ϕ (z)se dezvolta în serie Taylor în

vecinatatea lui z0

1

ϕ (z)=∞∑k=0

ak (z − z0)k , a0 6= 0

si atunci

f (z) =a0

(z − z0)n+

a1

(z − z0)n−1 + ...+ an + an+1 (z − z0) + ...,

obtinându-se o dezvoltare de tipul (9.12).Reciproc, fie dezvoltarea Laurent (9.12) a lui f în vecinatatea lui z0.

Definim functia ψ prin

ψ (z) =

f (z) (z − z0)n pentru 0 < |z − z0| < R

c−n pentru z = z0.

Din (9.12) rezulta ψ (z) = c−n + c−n+1 (z − z0) + ... daca 0 < |z − z0| < R

deci limz→z0

ψ (z) = c−n 6= 0. Atunci limz→z0|f (z)| = lim

z→z0

|ψ (z)||z − z0|n

= ∞ decim z0

este pol pentru functia f . Functia g fiind de forma g (z) =(z − z0)n

ψ (z), are în

z0 un zerou de ordin n, deci în acelasi punct f are un pol de ordin n.

Exemple. 1) Functia f (z) =1

z2 + 4are doi poli simpli (de ordinul 1)

z1 = 2i, z2 = −2i.


2) Functia f (z) =z + 1

z3 (z − 1)are pe z = 1 ca pol simplu si pe z = 0 ca

p[ol triplu.Definitie. Fie z0 un punct singular izolat pentru f si fie

f (z) =

∞∑n=−∞

cn (z − z0)n (9.13)

dezvoltarea în serie Laurent în D (z0, R) − z0 . Se numeste reziduu al luif@ în z0 si se noteaza Resz=z0f (z) coeficientul c−1 din dezvoltarea în serieLaurent. tinând cont de (9.8) avem

Resz=z0f (z) = c−1 =1

2πi

∫C(z0,ρ)

f (z) dz, 0 < ρ < R. (9.14)

Propozitie. Fie z0 un pol de ordin n pentru f . Atunci

Resz=z0f (z) =1

(n− 1)!limz→z0

dn−1

dzn−1[(z − z0)n f (z)] (9.15)

.Demonstratie. z0 fiind pol de ordinul n avem dezvoltarea

f (z) =c−n

(z − z0)n+

c−n+1

(z − z0)n−1 + ...+c−1

z − z0

+ c0 + c1 (z − z0) + ...

de unde rezulta

(z − z0)n f (z) = c−n+c−n+1 (z − z0)+ ...+c−1 (z − z0)n−1 +c0 (z − z0)n+ ....

Prin urmare c−1 este coeficientul lui (z − z0)n−1 în dezvoltarea în serie Taylorîn vecinatatea lui z0 a functiei olomorfe

g (z) =

(z − z0)n f (z) daca z 6= z0

c−n daca z = z0.

si avem

c−1 =g(n−1) (z0)

(n− 1)!=

1

(n− 1)!limz→z0

dn−1

dzn−1[(z − z0)n f (z)] .

Corolar. Fie z0 pol simplu pentru f . Atunci

Resz=z0f (z) = limz→z0

(z − z0) f (z) .


Exemplu. Functia f (z) =3z2 + 1

(z − 1)3 are pe z = 1 ca pol de ordin 3. Avem

Resz=1f (z) =1

2limz→1

d2

dz2

[(z − 1)3 f (z)

]=

1

2limz→1

d2

dz2

(3z2 + 1

)= 3.

Teorema (teorema reziduurilor, Cauchy 1825). Fie multimea deschisaG ⊂ C si functia f : G→ C olomorfa în G−a1, a2, ..., an cu a1, a2, ..., an ∈G (deci acestea sunt puncte singulare izolate pentru f). Fie D un domeniuastfel încât D ⊂ G si a1, a2, ..., an ∈ D. Fie frontiera ∂D neteda si orientataîn sens pozitiv. Atunci∫

∂D

f (z) dz = 2πin∑k=1

Resz=akf (z) .

Demonstratie. Fie r1, ..., rn numere pozitive suficient de mici astfel încâtdiscurile D (ak, rk) ⊂ D, ∀k = 1, ..., n si D (ak, rk) ∩D (aj, rj) = ∅, ∀k 6= j.Fie C (aj, rj) = ∂D (aj, rj) frontierele discurilor, orientate pozitiv. Fie D∗ =D−∪nj=1D (aj, rj) cu frontiera (orientata pozitiv) ∂D∗ = ∂D ∪C− (a1, r1)∪... ∪ C− (an, rn) . Functia f fiind olomorfa, avem cu teorema lui Cauchy,

0 =

∫∂D∗

f (z) dz =

∫∂D

f (z) dz +n∑k=1

∫C−(ak,rk)

f (z) dz,

||de unde, tinând cont de (9.14) avem∫∂D

f (z) dz =n∑k=1

∫C(ak,rk)

f (z) dz = 2πin∑k=1

Resz=akf (z) .

Aplicatii.

1)

∫C(0,2)

1

z2 − 3dz = 2πi

(Resz=

√3

1

z2 − 3+Resz=−

√3

1

z2 − 3

)=

= 2πi

(limz→√

3

z −√

3

z2 − 3+ lim

z→−√

3

z +√

3

z2 − 3

)= 0.

2)

∫C(0,1)

sin z

z2dz =

∫C(0,1)

(1

z− z3

3!+ ...

)dz = 2πi.

Partea III

Ecuatii diferentiale

105

Cursul 10

Transformarea Laplace

Definitie. Se numesc functii original functiile f : R→ C cu proprietatile1) f (t) = 0 pentru t < 0,2) f are un numar finit de discontinuitati de speta I pe orice interval

marginit (un punct de discontinuitate este de speta I daca functia are în acelpunct limite laterale finite).3) exista σ0 ≥ 0 si M > 0 astfel încât

|f (t)| ≤M exp (σ0t) ,∀t > 0.

σ0 se numeste indice de crestere.Definitie. Fie f o functie original cu indicele de crestere σ0. Se numeste

transformarea (transformata) Laplace a lui f functia

F : p ∈ C; Re p > σ0 → C,

definita prin relatia

F (p) =

∫ ∞0

f (t) exp (−pt) dt. (10.1)

F se numeste functie imagine.Notatie. Functia F se noteaza L [f ]. Corespondenta dintre f si F se

noteaza f → F.Teorema. Fie f o functie original cu indicele de crestere σ0. Atunci F =

L [f ] este olomorfa în domeniul p ∈ C; Re p > σ0 si marginita în domeniilep ∈ C; Re p ≥ σ1 > σ0 iar lim

Re p→∞F (p) = 0.

Demonstratie. Fie p = σ + iτ . Avem∣∣∣∣∫ ∞0

f (t) exp (−pt) dt∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

0

|f (t)| |exp (− (σ + iτ) t)| dt ≤

107

108 CURSUL 10. TRANSFORMAREA LAPLACE

≤M

∫ ∞0

exp (σ0t) exp (−σt) dt = M

∫ ∞0

exp ((σ0 − σ)t) dt =M

σ − σ0

.

De aici rezulta ultimele doua afirmatii ale teoremei si de asemenea deducem

ca integrala∫ ∞

0

f (t) exp (−pt) dt este absolut convergenta pentru Re p > σ0.

Sa demonstram acum olomorfia functiei F. Fie ρ < σ−σ0 si Dρ (p) discul

de raza ρ centrat în p. Sa aratam ca exista limz→p

F (z)− F (p)

z − p . Fie în Dρ (p)

dezvoltarea în serie Taylor

exp (−zt) =∞∑k=0

(−t)k exp (−pt)k!

(z − p)k =

= exp (−pt)− t exp (−pt) (z − p) + (z − p)2R(z, p, t).

RezultaF (z)− F (p)

z − p = −∫ ∞

0

tf (t) exp (−pt) dt+ (z − p)∫ ∞

0

R (z, p, t) f (t) dt.

Avem estimarile

|R (z, p, t)| =∣∣∣∣∣∞∑k=2

(−t)k exp (−pt) (z − p)k−2

k!

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑l=0

(−t)l+2 exp (−pt) (z − p)l

(l + 2)!

∣∣∣∣∣ ≤≤ t2 exp (−σt)

∞∑l=0

tl

l!|z − p|l = t2 exp (−σt) exp (|z − p| t) ≤ t2 exp (− (σ − |z − p|) t) ,∣∣∣∣∫ ∞

0

R (z, p, t) f (t) dt

∣∣∣∣ ≤M

∫ ∞0

t2 exp (− (σ − |z − p|) t) exp (σ0t) dt =

= M

∫ ∞0

t2 exp (|z − p| t− (σ − σ0) t) dt,

ultima expresie fiind finita pentru z ∈ Dρ (p) .Atunci

limz→p

F (z)− F (p)

z − p = −∫ ∞

0

tf (t) exp (−pt) dt. (10.2)

Din relatia

t <exp (αt)

α,∀t > 0,∀α > 0,

rezulta ca

|tf (t)| < M

αexp (α + σ0) ,

deci tf (t) este functie original si integrala din formula (10.2) este absolutconvergenta pentru σ > σ0 + α > σ0.

10.1. EXEMPLE DE TRANSFORMATE LAPLACE 109

10.1 Exemple de transformate Laplace

În aceasta sectiune toate functiile considerate se presupun înmultite cu functialui Heaviside

H (t) =

1; t ≥ 00; t < 0.

Avem

L [1] (p) =

∫ ∞0

exp (−pt) dt = −1

pexp (−pt) |∞0 =

1

p; Re p > 0, σ0 = 0.

L [tn] (p) =

∫ ∞0

tn exp (−pt) dt =n!

pn+1;n ∈ N, σ0 = 0.

L [exp (αt)] (p) =

∫ ∞0

exp (− (p− α) t) dt =1

p− α ; Re p > Reα = σ0.

L [cos t] (p) =1

2L [exp (it)] (p)+

1

2L [exp (−it)] (p) =

1

2

(1

p− i +1

p+ i

)=

p

p2 + 1.

L [sin t] (p) =1

p2 + 1.

110 CURSUL 10. TRANSFORMAREA LAPLACE

Cursul 11

Proprietati ale transformariiLaplace

Propozitie. Fie f, g functii original si F = L [f ] . Avem urmatoarele pro-prietati:1) Proprietatea de liniaritate

L [αf + βg] = αL [f ] + βL [g] .

2) Proprietatea asemanarii

f (αt)→ 1

αF( pα

), α > 0.

3) Proprietatea întârzierii

f (t− α)→ exp (−pα)F (p) , α ≥ 0.

4) Proprietatea de deplasare

exp (−p0t) f (t)→ F (p+ p0) ,Re p0 > 0.

Demonstratie.2) Cu schimbarea de variabila s = αt avem

L [f (αt)] (p) =

∫ ∞0

exp (−pt) f (αt) dt =1

α

∫ ∞0

exp(−psα

)f (s) ds =

1

αF( pα

).

3) Cu schimbarea de variabila s = t− a avem, tinând cont de faptul ca feste o functie original (deci f (t− a) = 0 pentru t < a):

L [f (t− a)] (p) =

∫ ∞a

f (t− a) exp (−pt) dt =

111

112CURSUL 11. PROPRIETATI ALE TRANSFORMARII LAPLACE

=

∫ ∞0

f (s) exp (−p (s+ a)) ds = exp (−pa)F (p) .

4)

L [exp (−p0t) f(t)] =

∫ ∞0

exp (− (p+ p0) t) f (t) dt = F (p+ p0) .

Propozitie (integrarea imaginii). Fie f functie original cu indicele de

crestere σ0 si F = L [f ]. Dacaf (t)

teste functie original, atunci

L[f (t)

t

]=

∫ ∞p

F (z) dz,

integrala facându-se pe orice drum care porneste din p, situat în semiplanulz ∈ C; Re z > σ0 .Demonstratie.∫ ∞p

(∫ ∞0

f (t) exp (−zt) dt)dz =

∫ ∞0

f (t)

(∫ ∞p

exp (−zt) dz)dt =

=

∫ ∞0

f (t)

texp (−pt) = L

[f (t)

t

](p) .

Aplicatie.

L[

sin (t)

t

](p) =

∫ ∞p

dz

z2 + 1=π

2− arctan p.

Propozitie. Fie f, f ′, ..., f (n) functii original cu indicii de crestere σ0, σ1, ..., σn.Fie σ = max σ0, σ1, ..., σn . Notam f (k) (0) = lim

t→0f (k) (t) . Atunci

L[f (n) (t)

](p) = pnL [f (t)] (p)−

n−1∑k=0

f (k) (0) pn−1−k; Re p > σ.

Demonstratie. Pentru n = 1

L [f ′ (t)] (p) =

∫ ∞0

f ′ (t) exp (−pt) dt =

= f (t) exp (−pt) |∞0 + p

∫ ∞0

f (t) exp (−pt) dt =

113

= pL [f (t)] (p)− f (0) .

În continuare

L [f” (t)] (p) = pL [f ′ (t)] (p)− f ′ (0) = p2L [f (t)] (p)− pf (0)− f ′ (0) ,

etc.Propozitie. Fie f functie original cu indicele de crestere σ0. Atunci,

∀p ∈ C cu Re p > σ0, avem

L[∫ t

0

f (s) ds

](p) =

L [f ] (p)

p. (11.1)

Demonstratie. Fie g (t) =

∫ t

0

f (s) ds. Se verifica faptul ca g (t) este

functie original si g (0) = 0. Avem

L [f ] (p) = L [g′] (p) = pL [g] (p)

de unde rezulta (11.1).Propozitie. Fie f functie original cu indicele de crestere σ0 si F =

L [f ] . Atunci pentru n ≥ 1, avem

F (n) (p) = L [(−t)n f (t)] (p) .

Demonstratie. Integralele∫ ∞

0

tnf (t) exp (−pt) dt converg absolut pentruRe p ≥ a > σ0 si putem deriva în raport cu parametrul. Avem asadar

F ′ (p) =

∫ ∞0

(−t)f (t) exp (−pt) dt,

etc.Aplicatie.

L [t sin t] (p) =2p

(p2 + 1)2 .

Definitie. Fie f si g functii originale. Se numeste convolutia lui f cu gfunctia

(f ∗ g) (t) =

∫ t

0

f (s) g (t− s) ds =

∫ t

0

f (t− s) g (s) ds.


Observatie. Cum f si g sunt functii original (deci f (t) = 0 si g (t) = 0pentru t < 0) deducem ca∫ t

0

f (t− s) g (s) ds =

∫ ∞−∞

f (t− s) g (s) ds,

deoarece g (s) = 0; s ∈ (−∞, 0) si f (t− s) = 0; s ∈ (t,∞) .Propozitie. Fie f si g functii originale cu indicii de crestere σ1 si σ2.

Atunci f ∗ g este functie original cu indicele σ > σ0 = max σ1, σ2 iar

L [f ∗ g] = L [f ]L [g] .

Demonstratie. Sa aratam ca f ∗ g are indicele de crestere σ :∣∣∣∣∫ t

0

f (s) g (t− s) ds∣∣∣∣ <

< M

∫ t

0

exp (σ0s) exp (σ0 (t− s)) ds = Mt exp (σ0t) < M ′ exp (σt) .

L[∫ t

0

f (s) g (t− s) ds]

=

∫ ∞0

exp (−pt)(∫ ∞

0

f (s) g (t− s) ds)dt =

=

∫ ∞0

f (s)

(∫ ∞s

exp (−pt) g (t− s) dt)ds

t=s+τ=

∫ ∞0

f (s)

(∫ ∞0

exp (−ps) exp (−pτ) g (τ) dτ

)ds =

=

∫ ∞0

exp (−ps) f (s) ds ·∫ ∞

0

exp (−pτ) g (τ) dτ = L [f ] (p) · L [g] (p) .

Propozitie. Fie f, f ′, g, g′ originale si F = L [f ] , G = L [g] . Atunci

pF (p)G (p) = f (0)G (p) + L [f ′ ∗ g] (p) =

= g (0)F (p) + L [g′ ∗ f ] (p) .

Demonstratie.

L [f ′ ∗ g] (p) = L [f ′] (p) · L [g] (p) = [pF (p)− f (0)]G (p) .

Propozitie. Fie F o functie olomorfa în V = p ∈ C; |p| > R (ovecinatate a lui∞), având dezvoltarea

F (p) =

∞∑k=1

ckpk, |p| > R.

11.1. INVERSA TRANSFORMARII LAPLACE 115

Atunci F este transformata Laplace a functiei Hf cu H functia lui Heavisidesi

f (t) =∞∑k=1

ck(k − 1)!

tk−1. (11.2)

Demonstratie. Se demonstreaza ca seria din (11.2) este convergenta, ∀t ∈R. Avem apoi

L [f ] (p) =

∫ ∞0

exp (−pt) f (t) dt =∞∑k=1

ck(k − 1)!

∫ ∞0

exp (−pt) tk−1dt =

=∞∑k=1

ck(k − 1)!

(k − 1)!

pk= F (p) .

11.1 Inversa transformarii Laplace

Vom da fara demonstratie urmaoareaTeorema (Formula Mellin-Fourier). Fie f functie original cu indicele

de crestere σ0 si F = L [f ]. Atunci în punctele de continuitate ale lui favem

f (t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p) exp (pt) dp =

1

2πilimR→∞

∫ a+iR

a−iRF (p) exp (pt) dp, a > σ0,

(11.3)iar în punctele de discontinuitate

f (t+ 0) + f (t− 0)

2=

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p) exp (pt) dp, a > σ0.

Vom demonstra în continuare urmatoareaTeorema (Mellin). Fie f functie original cu indicele de crestere σ0 si

F = L [f ] . Presupunem ca F este o functie meromorfa în C, satisfacând înplus conditia

lim|p|→∞

F (p) = 0, (11.4)

convergenta fiind uniforma în arg p. Atunci

f (t) =∑k

Resp=pk (exp (pt)F (p)) , (11.5)

suma efectuându-se dupa toti polii lui F .


Demonstratie. Fie CR (a) cercul de raza R, centrat în punctul de afixaa si semicercul γR (a) = CR (a) ∩ p ∈ C; Re p ≤ a . Fie curba închisa ΓR =γR (a) ∪ [a− iR, a+ iR] . Tinând cont de (11.4), deducem pentru t > 0 :

limR→∞

∫γR(a)

exp (pt)F (p) dp = 0.

Conform formulei Mellin-Fourier vom avea

f (t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p) exp (pt) dp =

1

2πilimR→∞

∫ a+iR

a−iRF (p) exp (pt) dp =

=1

2πilimR→∞

[∫ a+iR

a−iRF (p) exp (pt) dp+

∫γR(a)

exp (pt)F (p) dp

]=

=1

2πilimR→∞

∫ΓR

exp (pt)F (p) dp =∑k

Resp=pk (exp (pt)F (p)) .

Cursul 12

Ecuatii diferentiale

12.1 Generalitati

Definitie. O ecuatie diferentiala pentru functia y = y(x) definita pe intervalulI ⊂ R si de m ori derivabila este o relatie de forma

F(x, y, y′, ..., y(m)

)= 0. (12.1)

Functia y : I → R (sau C) este o solutie a ecuatiei diferentiale daca

F(x, y(x), y′(x), ..., y(m)(x)

)= 0,∀x ∈ I. (12.2)

Definitie. Fie functiile yi = yi(x), i = 1, ..., p, definite pe intervalul I ⊂ Rsi de m ori derivabile. Relatiile

F1(x, y1, ..., yp, y′, ...y′p, y

(m)1 , ..., y

(m)p ) = 0,

..................

Fq(x, y1, ..., yp, y′, ...y′p, y

(m)1 , ..., y

(m)p ) = 0,

(12.3)

definesc un sistem de ecuatii diferentiale care se mai scrie vectorial sub forma

F(x, y, y′, ..., y(m)

)= 0, (12.4)

cuF = (F1, ...., Fq), y = (y1, ..., yp).

Ecuatia diferentiala de forma

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ...+ a1(x)y′ + a0(x)y = f(x), (12.5)

117

118 CURSUL 12. ECUATII DIFERENTIALE

se numeste ecuatie diferentiala liniara de ordinul n, iar sistemul de forma∑p

k=1

∑ml=0 a1kly

(l)k = f1(x),

................∑pk=1

∑ml=0 aqkly

(l)k = fq(x),

(12.6)

poarta numele de sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul m.

12.2 Ecuatii si sisteme de ecuatii diferentialede ordinul întâi. Forma normala. Prob-lema lui Cauchy.

Fie ecuatia diferentiala de ordinul întâi

F (x, y, y′) = 0. (12.7)

Presupunând ca F este o functie de clasa C1 si ca∂F

∂y′6= 0, cu teorema

functiilor implicite, putem pune ecuatia sub forma normala

y′ = f(x, y). (12.8)

Fie sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul întâi

F (x, y, y′) = 0, (12.9)

cuF = (F1, ...., Fn), y = (y1, ..., yn).

Presupunând ca F1, ...., Fn sunt de clasa C1 si ca

det∂ (F1, ..., Fn)

∂ (y′1, ...y′n)6= 0,

cu teorema functiilor implicite putem exprima pe (12.9) sub forma normalasau echivalent

y′1 = f1(x, y1, ..., yn),........

y′n = fn(x, y1, ..., yn).(12.10)

Daca ecuatiei (12.7) îi adaugam conditia initiala y(x0) = y0 spunem ca avemde rezolvat problema Cauchy pentru ecuatia (12.7).Daca sistemului (12.9) îi adaugam conditiile initiale y(x0) = y0 spunem

ca avem de rezolvat problema Cauchy pentru sistemul (12.9).

12.3. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI LUI CAUCHY.119

12.3 Existenta si unicitatea solutiei proble-mei lui Cauchy.

Problema existentei si unicitatii problemei lui Cauchy este transata de ur-matoarele teoreme (pe care le enuntam fara a le demonstra):Teorema. Fie ecuatia diferentiala y′ = f(x, y) si conditia initiala y(x0) =

y0. Presupunem ca f : D → R unde D ⊂ R2 este un domeniu si (x0, y0) ∈ D.Daca f este continua pe D si lipschitziana în y (adica ∃L > 0 astfel încât|f(x, y1)− f(x, y2)| < L |y1 − y2| ,∀(x, y1), (x, y2) ∈ D, atunci exista h > 0 siy : [x0 − h, x0 + h]→ R, derivabila astfel încât y(x0) = y0 si y′ = f(x, y).Teorema. Fie sistemul de ecuatii diferentiale y′j(x) = fj(x, y1(x), ..., yn(x)), j =

1, ..., n si conditiile initiale yj(x0) = y0j . Daca functiile fj : D → R (cu

D ⊂ Rn domeniu si (x0, y01, ..., y

0n) ∈ D) si verifica conditiile de tip Lipschitz

|fj(x, y1, ..., yn)− fj(x, z1, ..., zn)| ≤ L max1≤j≤n

|yj − zj| ,∀(x, y1, ..., yn), (x, z1, ..., zn) ∈ D,

atunci exista h > 0 si o unica solutie a sistemului de ecuatii diferentiale

y = (y1, ..., yn) : [−h+ x0, h+ x0]→ Rn,

care verifica si conditiile initiale.

12.4 Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuatiidiferentiale liniare cu coeficienti constanticu transformarea Laplace

Fie ecuatia diferentiala

anx(n)(t) + an−1x

(n−1)(t) + ...+ a0x(t) = f(t), (12.11)

cua0, a1, ..., an ∈ C, an 6= 0,

si conditiile initiale

x(0) = x0, x′(0) = x1, ..., x

(n−1)(0) = xn−1.

Vom calcula x(t), t ≥ 0, folosind transformarea Laplace. Vom avea

anL[x(n)(t)](p) + an−1L[x(n−1)(t)](p) + ...+ a0L[x(t)](p) = L[f(t)](p).


Notând X = L[x], F = L[f ], avem

an

(pnX(p)−

n−1∑k=0

xkpn−1−k

)+ ...+ a1 (pX(p)− x0) + a0X(p) = F (p).

Punând

A(p) =n∑k=0

akpk,

B(p) = an

n−1∑k=0

xkpn−1−k + an−1

n−2∑k=0

xkpn−2−k + ...+ a1x0,

avemA(p)X(p) = F (p) +B(p),

deci

X(p) =F (p) +B(p)

A(p).

Cu formula lui Mellin aflam apoi x(t).Exemplu. Fie ecuatia diferentiala

x′′ + x′ − 2x = exp(−t),

cu conditiile initialex(0) = 0, x′(0) = 1.

Avem succesivL [x′(t)] (p) = pX(p)− x(0) = pX(p).

L[x′′(t)](p) = p2X(p)− x′(0)− px(0) = p2X[p]− 1,

p2X(p)− 2X(p)− pX(p)− 1 = L[exp(−t)] =1

p+ 1.

Rezulta

X(p) =1

p− 1,

si cu formula lui Mellin

x(t) = Resp=1exp(pt)

p2 − 1+Resp=−1

exp(pt)

p2 − 1=

exp(t)− exp(−t)2

= sinh(t).

12.5. REZOLVAREAPROBLEMEI CAUCHYPENTRU SISTEMEDEECUATII DIFERENTIALE LINIARECUCOEFICIENTI CONSTANTI CUTRANSFORMAREALAPLACE121

12.5 Rezolvarea problemei Cauchy pentru sis-teme de ecuatii diferentiale liniare cu co-eficienti constanti cu transformarea Laplace

Fie sistemul de ecuatii diferentialea11x

′1(t) + ...+ a1nx

′n(t) + b11x1(t) + ...+ b1nxn(t) = f1(t),.........................

an1x′1(t) + ...+ annx

′n(t) + bn1x1(t) + ...+ bnnxn(t) = fn(t),

(12.12)

sau notând

x =

x1

.xn

, x′ =

x′1.x′n

, A = (aij)i,j=1,...,n, B = (bij)i,j=1,...,n, f =

f1

.fn

,

avemAx′ +Bx = f. (12.13)

Fie

L[x] =

L[x1].L[xn]

,L[f ] =

L[f1].L[fn]

.

Presupunând cunoscute conditiile initiale

x1(0) = x01, ..., xn(0) = x0

n,

notam

x0 =

x01

.x0n

.

Aplicånd sistemului (12.13) transformata Laplace obtinem

pAL[x]− Ax0 +BL[x] = L[f ],

de undeL[x] = (pA+B)−1Ax0 + (pA+B)−1L[f ].

Aplicând apoi pe componente formula lui Mellin, calculam x.

Cursul 13

Ecuatii cu derivate partiale deordinul 2

13.1 Generalitati

Fie functia F : E → R, E ⊂ Rp multime deschisa, cu p = C2n + 2n + 1. Se

numeste ecuatie cu derivate partiale de ordinul 2 (în n variabile) ecuatia

F (x1, ..., xn, u,∂u

∂x1

, ...,∂u

∂xn,∂2u

∂x21

,∂2u

∂x1∂x2

, ...,∂2u

∂x2n

) = 0, (13.1)

cu conditia sa existe i, j ≤ n astfel înc#at

∂F

∂ ∂2u∂xi∂xj

6= 0.

Definitie. Functia u : D → R, D ⊂ Rn multime deschisa este solutie aecuatiei cu derivate partiale (13.1) daca :1) u ∈ C2 (D) .2) Pentru orice (x1, ..., xn) ∈ D,

(x1, ..., xn, u (x1, ..., xn) ,∂u (x1, ..., xn)

∂x1

, ...,∂u (x1, ..., xn)

∂xn, ...,

∂2u (x1, ..., xn)

∂x2n

) ∈ E,

3) Pentru orice (x1, ..., xn) ∈ D,

F (x1, ..., xn, u (x1, ..., xn) ,∂u (x1, ..., xn)

∂x1

, ...,∂u (x1, ..., xn)

∂xn, ...,

∂2u (x1, ..., xn)

∂x2n

) = 0.

123

124CURSUL 13. ECUATII CUDERIVATEPARTIALEDEORDINUL 2

Definitie. O ecuatie cu derivate partiale de forma

n∑i,j=1

aij (x1, ..., xn)∂2u

∂xi∂xj+ Φ

(x1, ..., xn, u,

∂u

∂x1

, ...,∂u

∂xn

)= 0, (13.2)

în care coeficientii aij nu sunt toti nuli se numeste ecuatie cu derivate partialede ordinul 2 cvasiliniara.Daca

Φ

(x1, ..., xn, u,

∂u

∂x1

, ...,∂u

∂xn

)=

=

n∑i=1

ai (x1, ..., xn)∂u

∂xi+ b (x1, ..., xn)u+ c (x1, ..., xn) ,

ecuatia este liniara iar daca c (x1, ..., xn) = 0 ecuatia este liniara si omogena.

13.2 Clasificarea ecuatiilor cvasiliniare cu douavariabile independente

Fie ecuatia cu derivate partiale, cvasiliniara, de ordinul 2, cu 2 variabileindependente

a (x, y)∂2u

∂x2+2b (x, y)

∂2u

∂x∂y+c (x, y)

∂2u

∂y2+Φ

(x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y

)= 0, (13.3)

în care presupunem ca a, b si c sunt continue si nu se anuleaza simultan.Sa introducem o pereche de noi variabile (ξ, η) :

ξ = ξ (x, y) , η = η (x, y) , det∂ (ξ, η)

∂ (x, y)6= 0. (13.4)

Cu teorema de inversiune locala putem exprima

x = x (ξ, η) , y = y (ξ, η)

si avemx (ξ (x, y) , η (x, y)) = x, y (ξ (x, y) , η (x, y)) = y.

Not#andu (ξ, η) = u (x (ξ, η) , y (ξ, η)) ,

13.2. CLASIFICAREAECUATIILORCVASILINIARECUDOUA VARIABILE INDEPENDENTE125

avem

u (ξ (x, y) , η (x, y)) = u (x (ξ (x, y) , η (x, y)) , y (ξ (x, y) , η (x, y))) = u (x, y) .

Trec#and la noile variabile avem

∂u

∂x=∂u

∂ξ

∂ξ

∂x+∂u

∂η

∂η

∂x,∂u

∂y=∂u

∂ξ

∂ξ

∂y+∂u

∂η

∂η

∂y,

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂x

)2

+∂2u

∂η2

(∂η

∂x

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x2+∂u

∂η

∂2η

∂x2,

∂2u

∂y2=∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂y

)2

+∂2u

∂η2

(∂η

∂y

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂y2+∂u

∂η

∂2η

∂y2,

∂2u

∂x∂y=∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+∂2u

∂η2

∂η

∂x

∂η

∂y+∂2u

∂ξ∂η

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x∂y+∂u

∂η

∂2η

∂x∂y,

iar ecuatia cu derivate partiale devine

a (ξ, η)∂2u

∂ξ2 + 2b (ξ, η)∂2u

∂ξ∂η+ c (ξ, η)

∂2u

∂η2+ Φ

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0 (13.5)

cu

a = a

(∂ξ

∂x

)2

+ 2b

(∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

)+ c

(∂ξ

∂y

)2

, (13.6)

b = a∂ξ

∂x

∂η

∂x+ b

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ c

∂ξ

∂y

∂η

∂y, (13.7)

c = a

(∂η

∂x

)2

+ 2b

(∂η

∂x

∂η

∂y

)+ c

(∂η

∂y

)2

. (13.8)

Efectu#and transformarea de coordonate inversa, din (13.5) se poateobtine (13.3). Rezulta deci urmatoareaTeorema. Functia u (x, y) este solutie a ecuatiei (13.3) daca si numai

daca u (ξ, η) este solutie a ecuatiei (13.5).Impun#and conditiile

a = c = 0,

obtinem ecuatiile cu derivate partiale de ordinul I

∂ξ

∂x+ λ1

∂ξ

∂y= 0,

∂η

∂x+ λ2

∂η

∂y= 0, (13.9)


cu

λ1,2 =b∓√d

a, d = b2 − ac.

Vom considera acele solutii ale ecuatiilor (13.9) care îndeplinesc conditiile

∂ξ

∂y6= 0,

∂η

∂y6= 0.

Avem deci, daca d 6= 0,

det∂ (ξ, η)

∂ (x, y)=

2d

a

∂ξ

∂y

∂η

∂y6= 0.

În functie de valorile discriminantului d avem urmatoarea clasificare aecuatiilor cu derivate partiale de ordinul 2, cvasiliniare, în 2 variabile inde-pendente :1) d > 0 - ecuatii hiperbolice,2) d = 0 - ecuatii parabolice,3) d < 0 - ecuatii eliptice.Definitie. Fie d ≥ 0. Functia ω (x, y) care îndeplineste conditiile

a

(∂ω

∂x

)2

+ 2b∂ω

∂x

∂ω

∂y+ c

(∂ω

∂y

)2

= 0, grad ω 6= 0 (13.10)

determina o curba ω (x, y) = C = const. numita curba caracteristica aecuatiei (13.3).Daca ξ (x, y) si η (x, y) cu grad ξ 6= 0 si grad η 6= 0 sunt solutii ale ecuati-

ilor (13.9), atunciξ (x, y) = C1, η (x, y) = C2

definesc 2 familii de curbe caracteristice. Într-adevar, avem

a

(∂ξ

∂x+ λ1

∂ξ

∂y

)(∂ξ

∂x+ λ2

∂ξ

∂y

)= a

(∂ω

∂x

)2

+ 2b∂ω

∂x

∂ω

∂y+ c

(∂ω

∂y

)2

= 0,

si asemanator pentru η (x, y) .În continuare vom demonstra urmatoareaLema. Curba ω (x, y) = C este curba caracteristica a ecuatiei (13.3)

daca si numai daca ω (x, y) = C este integrala prima a uneia din ecuatiilediferentiale ordinare

dy

dx= λ1 (x, y) ,

dy

dx= λ2 (x, y) . (13.11)


Demonstratie. Amintim ca ω (x, y) este integrala prima a ecuatiei difer-entiale daca ω (x, y (x)) = const. pentru orice solutie y (x) a ecuatiei difer-entiale. Avem asadar

0 =dω (x, y (x))

dx=

=∂ω (x, y (x))

∂x+∂ω (x, y (x))

∂y

dy

dx=∂ω (x, y (x))

∂x+ λi

∂ω (x, y (x))

∂y.

Cum ω (x, y) este solutie a uneia din ecuatiile cu derivate partiale (13.9),curba ω (x, y) = C este o curba caracteristica.Sa presupunem acum ca ω (x, y) = C este o curba caracteristica. Cum

∂ω

∂y6= 0, împartind în (13.10) prin

(∂ω

∂y

)2

avem

a

(∂ω∂x∂ω∂y

)2

+ 2b

(∂ω∂x∂ω∂y

)+ c = 0,

de unde∂ω

∂x+ λi

∂ω

∂y= 0, i = 1 sau 2. (13.12)

Pe de alta parte, din

ω (x, y) = C,∂ω

∂y6= 0,

deducem din teorema functiilor implicite ca putem exprima ecuatia curbeicaracteristice sub forma explicita y = y (x) si ca avem ω (x, y (x)) − C ≡ 0,de unde prin derivare avem

∂ω (x, y (x))

∂x+∂ω (x, y (x))

∂y

dy

dx= 0. (13.13)

Compar#and (13.12) cu (13.13) avem

dy

dx= λi,

deci ω (x, y) − C = 0 este integrala prima a uneia din ecuatiile diferentialeordinare (13.11).


13.2.1 Forma canonica a ecuatiilor cu 2 variabile inde-pendente

Dupa cum am aratat deja, în cazul ecuatiilor hiperbolice (d > 0), cu noilevariabile ξ, η solutii ale ecuatiilor (13.9), ecuatia (13.3) este adusa la formacanonica

∂2u

∂ξ∂η+ Φ

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0.

Cu schimbarea de variabile

ρ = ξ + η, σ = ξ − η,

obtinem o alta forma canonica pentru ecuatiile de tip hiperbolic

∂2u (ρ, σ)

∂ρ2− ∂2u (ρ, σ)

∂σ2+ Φ

(ρ, σ, u,

∂u

∂ρ,∂u

∂σ

)= 0.

În cazul ecuatiilor parabolice (d = 0), λ1 = λ2 =b

aiar cele 2 caracteristice

coincid. Vom considera de aceea schimbarea de variabila

ξ = x, η = η (x, y) ,

cu η (x, y) solutie a ecuatiei (13.9). Relatiile (13.6), (13.7) si (??) conduc la

a = a,

b = a∂η

∂x+ b

∂η

∂y= a

(∂η

∂x+ λ1

∂η

∂y

)= 0,

c = a

(∂η

∂x+ λ1

∂η

∂y

)2

= 0.

Deducem de aici forma canonica a ecuatiilor parabolice

∂2u

∂ξ2 + Φ

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0

În cazul ecuatiilor eliptice (d < 0), avem

λ1 =b∓ i√−d

a= λ2.


Deducem de aici ca solutiile ecuatiilor (13.9) sunt complexe si daca ξ =α− iβ este solutie a primei ecuatii atunci η = α+ iβ este solutie a celei de-adoua ecuatii. Ecuatiile (13.9) sunt echivalente cu ecuatia complexa

∂

∂x(α− iβ) +

b− i√−d

a

∂

∂y(α− iβ) ,

din care rezulta #in urma separarii partilor real@e si imaginar@e

∂α

∂x+b

a

∂α

∂y−√−da

∂β

∂y= 0,

∂β

∂x+b

a

∂β

∂y+

√−da

∂α

∂y= 0. (13.14)

Fie α si β solutii ale sistemului de ecuatii cu derivate partiale de ordinul

1 de mai sus astfel înc#at∂α

∂y6= 0,

∂β

∂y6=).

Efectu#and schimbarea de variabila Γ

α = α (x, y) , β = β (x, y) ,

observam ca

det∂ (α, β)

∂ (x, y)=

√−da

((∂β

∂y

)2

+

(∂α

∂y

)2)6= 0.

Putem deci exprima si

x = x (α, β) , y = y (α, β)

si notamu (α, β) = u (x (α, β) , y (α, β)) ,

ecuatia cu derivate partiale devine

a (α, β)∂2u

∂α2+ 2b (α, β)

∂2u

∂α∂β+ c (α, β)

∂2u

∂β2 + Φ

(α, β, u,

∂u

∂α,∂u

∂β

)= 0

(13.15)cu

a = a

(∂α

∂x

)2

+ 2b

(∂α

∂x

∂α

∂y

)+ c

(∂α

∂y

)2

, (13.16)

b = a∂α

∂x

∂β

∂x+ b

(∂α

∂x

∂β

∂y+∂α

∂y

∂β

∂x

)+ c

∂α

∂y

∂β

∂y, (13.17)


c = a

(∂β

∂x

)2

+ 2b

(∂β

∂x

∂β

∂y

)+ c

(∂β

∂y

)2

. (13.18)

Tin#and cont de (13.14), din (13.16) - (13.18) obtinem

a = c = −da

[(∂α

∂y

)2

+

(∂β

∂y

)2]6= 0, b = 0.

Rezulta forma canonica pentru ecuatii de tip eliptic

∂2u

∂α2+∂2u

∂β2 + Ψ

(α, β, u,

∂u

∂α,∂u

∂β

)= 0.

în cele ce urmeaza pentru usurinta vom folosi notatiile

∂u

∂x= ux,

∂2u

∂x2= uxx,

∂u

∂ξ= uξ, ....

Aplicatii. 1) Sa se aduca la forma canonica ecuatia

uxx − 2uxy − 3uyy + uy = 0.

Rezolvare. Avem d = b2 − 4ac = 16 > 0 deci ecuatia este hiperbolica.Solutiile ecuatiei caracteristice λ2+2λ−3 = 0 sunt λ1 = 1, λ2 = −3. Calculamintegrale prime pentru ecuatiile

dy

dx= 1⇔ dy − dx = 0,

dy

dx= −3⇔ dy + 3dx = 0

si consideram schimbarea de variabile

ξ = y − x, η = y + 3x.

Avem succesivux = −uξ + 3uη, uy = uξ + uη,

uxx = uξξ − 6uξη + 9uηη, uxy = −uξξ + 2uξη + 3uηη, uyy = uξξ + 2uξη + uηη,

de unde rezulta forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

uξη −1

16(uξ + uη) = 0.


2) Sa se aduca la forma canonica ecuatia

uxx − 6uxy + 10uyy + ux − uy = 0.

Rezolvare. Avem d = b2 − 4ac = −4 < 0 deci ecuatia este eliptica.Solutiile ecuatiei caracteristice λ2 +6λ+10 = 0 sunt λ1,2 = −3± i. Calculamintegrale prime pentru ecuatia

dy

dx= −3± i⇔ dy + 3dx± idx = 0. (13.19)

Separ#and partile rela si imaginare avem

dy + 3dx = 0, dx = 0.

Noile variabile vor fi integralele prime ale acestor ecuatii,deci

ξ = x, η = y + 3x.

Avem succesivux = uξ + 3uη, uy = uη,

uxx = uξξ + 6uξη + 9uηη, uxy = uξη + 3uηη, uyy = uηη,


uξη + uηη + uξ = 0.

3) Sa se aduca la forma canonica ecuatia

4uxx + 4uxy + uyy − 2uy = 0.

Rezolvare. Avem d = b2 − 4ac = 0 deci ecuatia este parabolica. Solutiile

ecuatiei caracteristice 4λ2 − 4λ + 1 = 0 sunt λ1,2 =1

2. Calculam integrale

prime pentru ecuatia

dy

dx=

1

2⇔ dy − 2dx = 0,

si consideram schimbarea de variabile

ξ = x, η = x− 2y.

Avem succesivux = uξ + uη, uy = −2uη,

uxx = uξξ + 2uξη + uηη, uxy = −2uηη − 2uξη, uyy = 4uηη,


uξξ + uξ = 0.


13.3 Metoda separarii variabilelor

Fie ecuatia cu derivate partiale de ordinul II liniara si omogena

a (x)∂2u

∂x2+ b (x)

∂u

∂x+ α (t)

∂2u

∂t2+ β (t)

∂u

∂t+ (c (x) + γ (t))u = 0, (13.20)

coeficientii a, b, c : [0, l]→ R, α, β, γ : [0,∞)→ R fiind functii continue.Consider#and de asemenea conditiile initiale

u (x, 0) = f (x) ,∂u

∂t(x, 0) = g (x) , f, g ∈ C ([0, l]) (13.21)

si conditiile la limita

Au (0, t) +B∂u

∂x(0, t) = 0, Cu (l, t) +D

∂u

∂x(l, t) = 0, A,B,C,D ∈ R.

(13.22)spunem ca avem de rezolvat o problema mixta. Caut#and solutia problemeimixte sub forma

u (x, t) = X (x)T (t) , (13.23)

(13.20) revine la

T (t) (a (x)X ′′ (x) + b (x)X ′ (x) + c (x)X (x)) +

+X (x) (α (t)T ′′ (t) + β (t)T ′ (t) + γ (t)T (t)) = 0, (13.24)

de unde, împartind cu X (x)T (t) avem

a (x)X ′′ (x) + b (x)X ′ (x) + c (x)X (x)

X (x)= (13.25)

= −α (t)T ′′ (t) + β (t)T ′ (t) + γ (t)T (t)

T (t)= k, k ∈ R.

Din (13.25) obtinem ecuatiile diferentiale

a (x)X ′′ (x) + b (x)X ′ (x) + c (x)X (x) = kX (x) 0, (13.26)

α (t)T ′′ (t) + β (t)T ′ (t) + (γ (t) + k)T (t) = 0, (13.27)

Conditiile la limita revin la

[AX (0) +BX ′ (0)]T (t) = 0, [CX (l) +DX ′ (l)]T (t) = 0,

13.3. METODA SEPARARII VARIABILELOR 133

de undeAX (0) +BX ′ (0) = 0, CX (l) +DX ′ (l) = 0. (13.28)

Ecuatia diferentiala (13.26) cu conditiile la limita (13.28) este o problemade valori proprii. Presupunem ca ea este o problema Sturm - Liouville detipul (??), (??) îndeplinind în plus conditiile (??), (??). Atunci multimeavalorilor proprii (kn)n este nevida, este cel mult numarabila si nu are punctede acumulare finite; valorile proprii sunt nenegative si sunt simple (au or-dinul de multiplicitate 1). De asemenea sistemul functiilor proprii (Xn)neste un sistem ortonormat complet în L2 (0, l) , orice functie integrabila f (x)dezvolt#andu-se în serie Fourier dupa acest sistem de functii

f (x) =∞∑n=1

〈f,Xn〉Xn (x) , 〈f,Xn〉 =

∫ l

0

f (x)Xn (x) dx. (13.29)

Pentru fiecare valoare proprie k = kn vom considera doua solutii par-ticulare liniar independente ale ecuatiei diferentiale (13.27), notate cu τn (t)respectiv τ ∗n (t) satisfac#and condi#tiile initiale

τn (0) = 1, τ ′n (0) = 0, (13.30)

τ ∗n (0) = 0, τ ∗′n (0) = 1. (13.31)

Solutia generala a ecuatiei diferentiale (13.27) va fi

Tn (t) = Anτn (t) +Bnτ∗n (t) , An, Bn ∈ R. (13.32)

Vom cauta solutia problemei mixte sub forma

u (x, t) =

∞∑n=0

Xn (t)Tn (t) =

∞∑n=0

Xn (t) (Anτn (t) +Bnτ∗n (t)) . (13.33)

Din conditiile initiale (13.21) si din relatiile (13.31), (13.32) si (13.33)deducem

f (x) = u (x, 0) =∞∑n=0

AnXn (t) , (13.34)

g (x) =∂u (x, 0)

∂t=∞∑n=0

BnXn (t) , (13.35)

coeficientii An si Bn fiind, conform lui (13.29) :

An =

∫ l

0

f (x)Xn (x) dx, Bn =

∫ l

0

g (x)Xn (x) dx. (13.36)


Aplicatii

1) Ca un prim exemplu, sa consideram ecuatia undelor

∂2u

∂x2− 1

c2

∂2u

∂t2= 0, (13.37)

cu conditiile la limita

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0, t ≥ 0, (13.38)

si conditiile initiale

u (x, 0) = f (x) ,∂u

∂t(x, 0) = g (x) , x ∈ [0, l] . (13.39)

Caut#and o solutie particulara de forma u (x, t) = X (x)T (t) ajungemla relatiile

X ′′ (x)

X (x)=

1

c2

T ′′ (t)

T (t)= k,

echivalente cuX ′′ (x)− kX (x) = 0, (13.40)

T ′′ (t)− kc2T (t) = 0. (13.41)

Valorile luate de k vor rezulta din conditiile la limita.Sa presupunem mai înt#ai k > 0. Solutia generala a ecuatiei (13.40) este

în acest cazX (x) = C1 exp

(x√k)

+ C2 exp(−x√k)

iar din conditiile la limita (13.38) deducem

C1 + C2 = 0, C1 exp(l√k)

+ C2 exp(−l√k)

= 0,

de unde C1 = C2 = 0 si deci X (x) = 0.În cazul k = 0 avem solutia X (x) = C1x+ C2 iar din conditiile la limita

deducemC2 = 0, C1l + C2 = 0⇒ X (x) = 0.

Sa consideram si cazul k < 0 deci k = −ν2. Solutia generala a ecuatiei(13.40) este

X (x) = C1 cos νx+ C2 sin νx,


iar din conditiile la limita deducem

C1 = 0, C2 sin νl = 0,

de undeν = νn =

nπ

l,

si deci

kn = −(nπl

)2

, Xn (x) =

√2

lsin

nπ

lx, (13.42)

sistemul(√

2l

sin nπlx,√

2l

cos nπlx)n≥0

fiind un sistem ortonormat complet în

L2 (0, l) .Ecuatia în T devine

T ′′ (t) +(nπc

l

)2

T (t) = 0. (13.43)

Solutia generala a acestei ecuatii este

Tn (t) = An cosnπc

lt+Bn sin

nπc

lt,

iar solutia generala a problemei mixte va fi de forma

u (x, t) =∞∑n=0

Xn (x)Tn (t) =∞∑n=0

(An cos

nπc

lt+Bn sin

nπc

lt)√2

lsin

nπ

lx.

(13.44)cu

‖Xn‖2 =2

l

∫ l

0

sin 2 nπ

lx dx = 1.

Coeficientii An si Bn vor fi determinati din conditiile initiale∞∑n=1

An

√2

lsin

nπ

lx = f (x) ,

∞∑n=1

nπc

lBn

√2

lsin

nπ

lx = g (x) ,

obtin#andu-se conform cu (13.36)

An =

√2

l

∫ l

0

f (x) sinnπ

lxdx, Bn =

l

nπc

√2

l

∫ l

0

g (x) sinnπ

lxdx. (13.45)

Exemplu: Sa se rezolve cu metoda separarii variabilelor ecuatia undelor

c2∂2u

∂x2− ∂2u

∂t2= 0,


cu conditiile la limita si initiale

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0,

u (x, 0) = f (x) =

2hlx; 0 ≤ x ≤ 1

22hl

(l − x) ; l2≤ x ≤ l

,∂u

∂t(x, 0) = g (x) = 0.

Calculam coeficientii

Bn =l

nπc

√2

l

∫ l

0

g (x) sinnπ

lxdx = 0,

si√2

lAn =

2

l

∫ l

0

f (x) sinnπ

lxdx

y=x− l2=

2

l

∫ l/2

−l/2f

(y − l

2

)sin

nπ

l

(y +

l

2

)dy =

=2

l

∫ l/2

−l/2f

(y − l

2

)(cos

nπ

ly sin

nπ

2+ sin

nπ

ly cos

nπ

2

)dy =

=

(−1)k+1 2

l

∫ l/2−l/2 f

(y − l

2

)cos (2k+1)π

lydy, n = 2k + 1,

0, n = 2k, k = 0, 1, ...=

( tinem cont de paritatea functiilor trigonometrice si de faptul ca g (y) =

f(y − l

2

)=

2hly + h;− l

2≤ y ≤ 0

h− 2hly; 0 ≤ y ≤ l

2

, este functie para de y)

=

(−1)k 4

l

∫ l/20

(h− 2h

ly)

cos (2k+1)πl

ydy, n = 2k + 1,0, n = 2k, k = 0, 1, ...

=

=

8hπ2

(−1)k

(2k+1)2, n = 2k + 1,

0, n = 2k, k = 0, 1, ....

Rezulta deci

u (x, t) =8h

π2

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)2 sin(2k + 1)πx

lcos

(2k + 1) πat

l.

2) Sa consideram ecuatia propagarii caldurii

∂2u

∂x2− 1

a2

∂u

∂t= 0, (13.46)


cu conditia initialau (x, 0) = f (x) , x ∈ [0, l] , (13.47)

si conditiile la limita

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0, t ≥ 0. (13.48)

Cu metoda separarii variabilelor cautam o solutie particulara sub formau (x, t) = X (x)T (t) iar din (13.36) obtinem

X ′′ (x)T (t)− 1

a2X (x)T ′ (t) = 0,

de undeX ′′ (x)

X (x)=

1

a2

T ′ (t)

T (t)= k.

Avem asadar ecuatiile diferentiale ordinare

X ′′ (x)− kX (x) = 0, (13.49)

T ′ (t)− ka2T (t) = 0. (13.50)

Din conditiile la limita, repet#and rationamentul din exemplul precedentregasim valorile si functiile proprii date de relatiile (13.42). Ecuatia (13.50)devine

T ′n (t) +n2π2a2

l2Tn (t) = 0, (13.51)

iar solutie ei este

Tn (t) = An exp

(−n

2π2a2

l2t

), An ∈ R, (13.52)

Solutia generala a problemei mixte o vom cauta sub forma

u (x, t) =

∞∑n=1

An exp

(−n

2π2a2

l2t

)√2

lsin

nπ

lx. (13.53)

Din conditia initiala obtinem

f (x) =

∞∑n=1

An

√2

lsin

nπ

lx, (13.54)

cu

An =

√2

l

∫ l

0

f (x) sinnπ

lxdx. (13.55)


3) În cazul ecuatiilor cu derivate partiale de ordinul 2 eliptice problemelecare se rezolva sunt probleme la limita. Dintre acestea cele mai cunoscutesunt problema lui Dirichlet, c#and se dau valorile functiei necunoscute pefrontiera si problema lui Neumann, c#and se dau valorile derivatei normalea functiei necunoscute pe frontiera.Vom rezolva în continuare urmatoarea problema Dirichlet : sa se afle

functia u (x, y) definita în dreptunghiul (x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ bstiind ca satisface ecuatia lui Laplace

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, (13.56)

si conditiile la limita :

u (x, 0) = f (x) , u (x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ l, (13.57)

u (0, y) = u (l, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b. (13.58)

Cu metoda separarii variabilelor cautam o solutie particulara de formau (x, y) = X (x)Y (y) . Înlocuind în (??) avem

X ′′ (x)Y (y) +X (x)Y ′′ (y) = 0,

de undeX ′′ (x)

X (x)= −Y

′′ (y)

Y (y)= k, k ∈ R,

adicaX ′′ (x)− kX (x) = 0, (13.59)

Y ′′ (y) + kY (y) = 0. (13.60)

Repet#and un rationament anterior, din conditiile la limita (13.58) regasimvalorile si functiile proprii

kn = −(nπl

)2

, Xn (x) =

√2

lsin

nπ

lx.

Rezolv#and ecuatia

Y ′′n (y)−(nπl

)2

Yn (y) = 0, (13.61)

obtinemYn (y) = An exp

(nπly)

+Bn exp(−nπ

ly). (13.62)


iar solutia generala a ecuatiei este de forma

u (x, y) =

∞∑n=1

(An exp

(nπly)

+Bn exp(−nπ

ly))√2

lsin

nπ

lx. (13.63)

Din (13.57) deducem

u (x, 0) =∞∑n=1

(An +Bn)

√2

lsin

nπ

lx = f (x) , (13.64)

u (x, b) =∞∑n=1

(An exp

(nπlb)

+Bn exp(−nπ

lb))√2

lsin

nπ

lx = 0. (13.65)

Din (13.65) deducem

An = −an2

exp(−nπ

lb), Bn =

an2

exp(nπlb)

si deci

u (x, 0) =∞∑n=1

an sinhnπ

lb

√2

lsin

nπ

lx = f (x) , (13.66)

u (x, y) =∞∑n=1

an sinhnπ

l(b− y)

√2

lsin

nπ

lx. (13.67)

Din (13.65) rezulta

an =1

sinh nπlb

√2

l

∫ l

0

f (x) sinnπ

lxdx. (13.68)

Matematici Speciale

Documents

Transcript of Matematici Speciale