Dobnd i operaiuni de scont DOBNDA COMPUS Definiie.Spunemcooperaiunefinanciarsedesfoarnregimde dobndcompusdacdobndasecapitalizeazpefiecarefraciunea duratei de timp a operaiunii. Mai precis, dac durata de timp a operaiunii este mprit n n perioade de durate t1, t2,., tn, la sfritul fiecrei perioadekdobnda realizat pe duratatk se adun la suma de la nceputul perioadei i prin urmare produce dobnd pe perioada urmtoare, 1 , 1 = n k. Considerm operaiunea financiar de plasare a capitaluluiS0 pe durata de timpt. Presupunem c durata de timpteste mprit nnperioade cu duratelet1, t2,., tn,iar procentele anuale corespunztoare acestor fraciuni sunt p1=100 i1,p2=100 i2,., pn 100 in

Notm cuS1, S2 , , Snvalorile finale ale capitaluluiS0 la sfritul celornperioade. S0 S1S2Sn-1 Sn 0 i1t1 i2t1+t2 in t1+t2+.+ tn Aplicm formula de calcul a valorii finale n regim de dobnda simpl pe fiecare perioad: Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 122 ( )1 1 0 11 t i S S + = ( ) ( )( )2 2 1 1 0 2 2 1 21 1 1 t i t i S t i S S + + = + = .. ( ) ( )( ) ( )n n n n n nt i t i t i S t i S S + + + = + =1 .... 1 1 12 2 1 1 0 1. Prin urmare, ( )( ) ( )n n nt i t i t i S S + + + = 1 .... 1 12 2 1 1 0(1) Cazuri particulare: a)Dac t1=

t2 =.......= tn = 1 an, atunci ( )( ) ( )n ni i i S S + + + = 1 .... 1 12 1 0(2) b)Dact1=

t2 =.......= tn = 1 anii1=

i2 =.......= in = i, atunci( )nni S S + = 10(3) c)Dac mtmn t + = ( n ani i tm fraciuni de an), atunci St se poate calcula n dou moduri:( ) ( )m mntt i i S S + + = 1 10(4) formula raional ( )mmtnti S S++ = 10 (5) formula comercial Dobnda compus corespunztoare plasrii sumei S0 pe duratateste: 0S S Dt = Dobnd i operaiuni de scont Operaiuni echivalente n regim de dobnd compus Considerm operaiuneile multiple A i B, reprezentnd efectuarea an i respectivmpli:( )n k k k kp t S A, 1, ,== si ( )m k k k kq B, 1, ,== . Definiie. Spunem c operaiunileAiBsuntechivalente n regim de dobnd compus dac acestea au valori actuale egale: B ADSA(A) = A(B) Dou operaiuni echivalente se numescsubstituibile, iar dacBsubstituie peA , elementele luiB se numescelemente nlocuitoare. Prezint interes dou cazuri: 1)Bare un numr egal de componente cuAi una din componentele luiBesteconstant (component numit element mediu nlocuitor); 2)Beste o operaiune simpl, n care dou elemente sunt date i al treilea sedetermin(numit element unic nlocuitor). PROCENTE ECHIVALENTE N OPERAIUNILE FINANCIAREDESFURATE N REGIM DE DOBND COMPUS PresupunemcdispunemdeuncapitalS0,pecarelputeminvestipeo durat de un an n una din urmtoarele dou variante. Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 124 Varianta A.Capitalul se plasez la o banc ce acord procentul anualp=100i, cu calculul dobnzii anual. n aceste condiii, valoarea capitaluluiS0dup un an este ( ) i S S + = 10 1. Varianta B.Capitalul se plasez la o banc ce acord procentul anual qm=100jm, cu calculul dobnzii la sfritul fiecrei fraciuni de an cu durata 1/m. n aceste condiii, valoarea capitalului la sfritul primei fraciuni este( ) ( )mjm mmmS j S S + = + = 1 10101, la sfritul celei de-a doua fraciuni este ( )( ) ( )20101 1 12mjm m mjm mmS j S S + = + + = i procednd analog, valoarea capitalului la sfritul anului este ( )mmjm mS S||

\|+ = 101 Avnd n vedere modul de calcul al dobnzii, vom numi: P = 100iprocent anual efectiv qm = 100jm procent anual nominal convertibil de m ori pe an (cu calculul dobnzii de m ori pe an sau pltibil de m ori pe an) Definiie.Spunemcceledouprocenteanualep=100iiqm=100jmsunt echivalente dac acestea conduc la valori finale egale n cazul plasrii unui capital pe aceeai durat de timp. Aplicnd aceast definiie, obinem c p=100i esteechivalent cu qm=100jm dac ( )mmjmS i S||

\|+ = + 1 10 0, adic dacmmjmi||

\|+ = + 1 1 Dobnd i operaiuni de scont PROBLEME REZOLVATE 1. O persoan care dispune un capital n valoare de 10.000 euro poate opta pentru una din urmtoarele variante de plasare a acestuia n regim de dobnd compus timp de 4 ani: a) cu un procentul anual constant4%; b) cu procentele anuale 3% n primul an, 4% n urmtorii doi i 5% n ultimul an. S se determine valoarea final a sumei plasate i dobnda obinut n fiecare caz. Rezolvare: a) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani, p = 4% => i = 0,04. Deoarece procentul anual este constant pe ntreaga durat a operaiunii, aplicm formula (3) din breviarul teoretic i obinem valoarea final dup patru ani a sumei plasate: ( ) ( ) 58 , 698 . 11 04 , 1 000 . 10 14 40 4= = + = i S S euro. Dobnda realizat n acest caz este:D = S4- S0 = 11.698,58 euro. b) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani; 05 . 0 , 04 . 0 , 03 . 0 % 5 %, 4 %, 34 3 2 1 4 3 2 1= = = = = = = = i i i i p p p p. Deoarece procentul anual este variabil, aplicm formula (2) din breviarul teoretic i obinem valoarea final dup patru ani a sumei plasate: ( )( )( )( ) ( )( )( ) 50 , 697 . 11 05 , 1 04 , 1 03 , 1 000 . 10 1 1 1 124 3 2 1 0 4= = + + + + = i i i i S S euro. Dobnda realizat n acest caz este:D = S4- S0 = 1.697,5 euro. Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 126 2. S se determine valoarea final i dobnda aferent plasrii sumei de 4.000 dolari pe durata de 3 ani i 5 luni, dac procentele anuale corespunztoare celor 4 ani sunt: a) 5%, 4%, 3,5% i respectiv 3%; b) 4% pe ntreaga perioad. Rezolvare: a) Avem:000 . 40= S$; 1253 + = tani,03 . 0 ; 035 , 0 , 04 . 0 , 05 . 04 3 2 1= = = = i i i i Deoarece procentul anual este variabil, aplicm formula (2) din breviarul teoretic i obinem valoarea final a sumei plasate:( )( )( )( ) ( )( )( )( )1251254 3 2 1 003 , 0 1 035 , 1 04 , 1 05 , 1 000 . 4 1 1 1 1 + = + + + + = i i i i S St, prin urmare39 , 577 . 4 =tS $, iar dobnda este D = St - S0 = 577,39 $. b) Avem: 000 . 40= S $; 1253 + = t ani,04 . 0 = i . Deoarece procentul anual este constant i durata operaiunii nu este un numr ntreg de ani, putem determina valoarea final folosind una din variantele: formula raional:( ) ( ) ( ) ( ) 44 , 574 . 4 04 , 0 1 04 , 1 000 . 4 1 1125 3125 30= + = + + = i i S St$, deci D = St - S0 = 574,44$. formula comercial: ( ) ( ) 81 , 506 . 4 04 , 1 000 . 4 1 125312530= = + =+ +i S St$, iarD = St - S0 = 506,81 $. Dobnd i operaiuni de scont 3.Cu ce procent trebuie depus suma de 10.000 lei timp de 3 ani n regim de dobnd compus pentru a putea realiza la scaden o dobnd n valoarea de4.000 lei? Rezolvare: Secunosc:valoareainiialS0=10.000lei,duratadetimpt=3ani, dobnda D = 4.000 lei. Folosind formula D = St - S0, obinemSt = 14.000 lei Din formula ce d valoarea final, ( )tti S S + = 10, rezult ( )31 000 . 10 000 . 14 i + =, prin urmare ( ) % 86 , 11 1186 , 0 1186 , 1 4 , 1 1 4 . 1 133= = = = + = + p i i i. 4. Un debitor trebuie s ramburseze un mprumut pltind, la scadenele i cu procentele anuale specificate, urmtoarele sume n regim de dobnd compus: -suma de500 lei, peste un an i jumtate, cu procentul anual8%; -suma de800 lei, peste 2 ani, cu procentul anual9%; -suma de600 lei, peste 3 ani, cu procentul anual10%. a) Dac debitorul dorete s achite la fiecare din cele trei scadene aceeai sum, cu procentele anuale menionate, s se determine valoarea sumei constante pltite. b) Dac debitorul dorete s fac o singur plat pentru achitarea integral a datoriei peste 2 ani i jumtate, cu un procent anual9%, care trebuie s fie valoarea acestei sume? c) S se determine scadena unic nlocuitoare n cazul n care mprumutul se ramburseaz printr-o plat unic n valoare de 2.000 lei, cu procentul anual10%. Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 128 Rezolvare: Notm cuAoperaiunea compus din cele trei pli. Avem: ||||

\|=3 2 13 2 13 2 1p p pt t tS S SA, unde S1= 500 lei, S2= 800 lei, S3= 600 lei; t1 = 1,5 ani, t2= 2 ani, t3= 3 ani,p1= 8%,p2= 9%,p3= 10% a) n acest caz, operaiunea nlocuitoare este ||||

\|=3 2 13 2 1p p pt t tS S SB, unde elementul Strebuie determinat, iar duratele i procentele sunt cele de mai sus. Din condiia de echivalen: B ADC A(A) = A(B) rezult ( ) ( ) ==+ = +31311 1ktkktk kk ki S i S, deci suma medie nlocuitoare este( )( )==++=313111ktkktk kkkii SS, adic 9172 , 6312,48391.569,6191 1 , 1109 , 1108 , 1 08 , 111 , 160009 , 180008 , 1 08 , 15003 23 2= =+ ++ += S, deci S = 631,9172 lei. b) Operaiunea nlocuitoare este ||||

\|=ptSC, undep = 9%it = 2,5 ani. Din condiia de echivalen:) ( ) ( C D A D C ADS= rezult ( ) ( )tktk ki S i Sk=+ = +1 131 decisuma unic nlocuitoare este: ( ) ( )=+ + =311 1ktk ktki S i S, adic 9756 , 946 . 1 09 , 1 09 , 1 963,60959 09 , 1 09 , 11 , 160009 , 180008 , 1 08 , 15002 23 2= = |||

\|+ + = S Dobnd i operaiuni de scont c) Din condiia de echivalen rezult ( ) ( )tktk ki S i Sk=+ = +1 131 rezult ( ) ( )( )( ) 1 , 1 ln6191 , 569 . 1 ln 000 . 2 ln1 ln1 ln ln1 ln ln 1 ln3131=+((

+ = + =((

+==ii S St i t S i Sktk kktk kkk rezultt = 2,5423 ani = 2 ani i 195 zile. 5. Trei bnci ofer pentru depunerile n lei urmtoarele condiii: B1 acord procentul anual16,5%, cu calculul dobnzii anual. B2 acord procentul anual16%, cu calculul dobnzii trimestrial. B3 acord procentul anual15,5%, cu calculul dobnzii lunar. Ce variant va alege o persoan care dorete s plaseze o sum de 10.000 pe timp de un an? Rezolvare: Conform notaiilor din breviarul teoretic referitoare la procente echivalente, rezult c: bancaB1 acord procentul anual efectivp = 16,5%. bancaB2 acord procentul anual nominal cu calculul dobnzii trimestrialq4 = 16%. bancaB3 acord procentul anual nominal cu calculul dobnzii lunar q12 = 15,5%. Valoarea final a sumei plasate pe un an la banca B1 este: S1 = 10.000 (1+ 0,165) = 11.650 lei. Valoarea final a sumei plasate pe un an laB2 este: S2 = 10.000 (1+416 , 0)4 =11.698,5856 lei Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 130 Valoarea final a sumei plasate pe un an la B3 este S3 = 10.000 (1+1215 , 0)12 = 11.664,9963 lei. Comparnd valorile finale obinute n cele trei variante, deducem c se prefer banca B2. PROBLEME PROPUSE 1. O persoan care dispune de suma de 5 000 $ poate opta pentru una din urmtoarele variante de plasament n regim de dobnd compus timp de 6 ani: a) cu procentul anual constant 3%; b) cu procentele anuale 2% n primul an, 4% n urmtorii trei i 3% n ultimii doi. S se determine valoarea final a sumei plasate i dobnda obinut n fiecare caz. 2. S se determine valoarea final i dobnda aferent plasrii sumei de 10.000 lei pe durata de 4 ani i 3 luni, dac procentele anuale corespunztoare celor 5 ani sunt: a) 7%, 6%, 5%, 6% i respectiv 5,5%; b) 6% pe ntreaga perioad. 3. O persoan depune la fiecare nceput de an, timp de cinci ani, sumele de respectiv 1.000, 2.000, 4.000, 6.000 i 3.000 euro, cu procentele anuale corespunztoare celor cinci ani: 3%, 4%, 4% , 4% i 3% . S se determine: a) valoarea final a tuturor depunerilor la sfritul ultimului an de plasament; Dobnd i operaiuni de scont b) ce sum ar trebui depus o singur dat la nceputul primului an cu procentele menionate pentru a realiza dup cinci ani valoarea final obinut la punctula). c) ce sum ar trebui depus o singur dat la nceputul primului an cu procentul unic de 3,5 % pentru a realiza dup cinci ani valoarea final obinut la punctula). 4. Cu ce procent anual trebuie depus la o banc timp de 2 ani n regim de dobnd compus un capital n valoare de 20.000 pentru a putea realiza la scaden o dobnd de 3.000 lei? 5. Pe ce durat de timp trebuie depus suma de 2.000 $ cu procentul anual unic 4 % pentru a realizala scaden un capital final n valoare de 2.300 $? 6. Pentru achiziionarea unui autoturism s-au pltit urmtoarele sume: un avans n valoare de 3.000 euro i apoi timp de patru ani, la sfritul fiecrui an, s-au pltit sumele de 1.000, 1.500, 2000 i 2.500 euro. tiind c banca a utilizat procentul anual8%, s se determine preul autoturismului. 7.Trei bnci ofer pentru depunerile n valut urmtoarele condiii: B1acord procentul anual4,5%, cu calculul dobnzii anual. B2 acord procentul anual4%, cu calculul dobnzii trimestrial. B3 acord procentul anual3,5%, cu calculul dobnzii lunar. Cevariantvaalegeopersoancaredoretesplasezeosumde10.000 euro pe durata de un an? Matematici pentru economiti- teorie i aplicaii 132 8. S-a mprumutat suma de 300.000 u.m. i s-a convenit ca ea s fie rambursat peste 5 ani. Din motive diverse,s-a propus ca la termenul prevzut s se achite numai 160.000 u.m., restul fiind rambursat 5 ani mai trziu, printr-o sum egal cu 249.408,8 u.m.Se cer: a) procentul anual unic al operaiunii; b) prile din mprumut achitate de fiecare dat; c) valorile finale ale prilor din mprumut achitate de fiecare dat.