C U P R I N S PAG. NOTĂ INTRODUCTIVĂ 1 CAPITOLUL 1 ELEMENTE DE TEORIA MATEMATICĂ A OPTIMIZĂRII LINIARE ŞI PĂTRATICE 2

1.1. Considerente generale 2 1.2. Optimizare liniară 4 1.2.1. Forme de prezentare a unei probleme de optimizare liniară 4 1.2.2. Tipuri de soluţii. Proprietăţile soluţiilor unei probleme de optimizare liniară 9 1.2.3. Algoritmul simplex. Exemple de calcul 12 1.2.4. Determinarea unei baze iniţiale. Degenerare şi ciclaj 15 1.2.5. Probleme rezolvate 17

CAPITOLUL 2 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 24

2.1. SERII NUMERICE: DEFINIŢII ŞI REZULTATE DE BAZĂ 24 2.1.1.Serii cu termenii pozitivi 26 2.1.2. Serii cu termeni oarecare. Serii alternante 32 2.1.3. Probleme rezolvate 34 2.1.4. Probleme propuse 35 2.2. Şiruri şi serii de funcţii 36 2.2.1.Şiruri de funcţii 36 2.2.2. Serii de funcţii . Serii de funcţii particulare 40 2.2.3. Exemple de dezvoltări în serie Mac-Laurin ale unor funcţii cunoscute 43 2.2.4 Probleme rezolvate 47 2.2.5 Probleme propuse 48 2.3 Funcţii de mai multe variabile 2.3.1 Considerente privind funcţiile reale de variabilă vectorială şi funcţiile vectoriale de variabile vectorială 49 2.3.2 Problema limitei şi a continuităţii 53 2.3.3 Derivarea funcţiilor de mai multe variabile 60 2.3.4 Câteva aplicaţii economice importante ale noţiunii de derivate: valoare marginală, ritm de variaţii, elasticitate 67 2.3.5. Probleme rezolvate 71 2.3.6. Probleme propuse 72

2.4. Puncte de extrem 2.4.1. Extreme de funcţii nesupuse la legături 75 2.4.2. Extreme cu legături

2.4.2.1. Formularea problemei 83 2.4.2.2. Rezultate şi interpretarea economică a acestora 85

2.4.3. Probleme rezolvate 89 2.4.4. Probleme propuse 92

NOTĂ INTRODUCTIVĂ

Lucrarea se adresează într-o manieră modernă şi accesibilă studenţilor de la învăţământul economic dar şi altor categorii interesate în aprofundarea cunoştinţelor de specialitate.

Este structurată în cinci capitole: Elemente de algebră liniară, Elemente de analiză matematică, Optimizare liniară şi pătratică, Elemente de categoria probabilităţilor, Elemente de teoria balanţelor.

Fiecărui capitol i s-au asociat, corespunzător, câte un subcapitol special dedicat problemelor rezolvate, respectiv problemelor propuse. La sfârşitul lucrării se prezintă un set de întrebări pentru autoevaluarea cunoştinţelor, scopul acestuia fiind acela de a fixa corect notaţiile de bază şi de însuşire a tehnicilor de lucru importante.

Un element de noutate al lucrării îl reprezintă interpretarea economică a unor rezultate de referinţă precum şi indicarea posibilităţii de aplicare a unor rezultate teoretice în diverse domenii tehnico - economice.

CAPITOLUL 1

ELEMENTE DE TEORIA MATEMATICĂ A OPTIMIZĂRII LINIARE ŞI PĂTRATICE

1.1. Considerente generale Nu există problemă importantă cu caracter tehnic sau economic care să nu conducă din

punct de vedere matematic la o problemă de optimizare. Problemele de dimensionare, alocare a resurselor, gestiune a stocurilor, stabilire a

programelor de revizii şi reparaţii ale utilajelor sunt doar câteva exemple în care conceptul de optimizare nu poate lipsi.

În capitolul 2 au fost prezentate importante legate de problema determinării punctelor de extrem, atât pentru funcţii supuse la restricţii de tip egalitate (şi pe care le-am numit extreme cu legături), cât şi pentru funcţii, care în afara unor condiţii de derivabilitate parţială, nu trebuie să verifice şi alte cerinţe (restricţii).

Disciplina matematică în care se studiază metodele de rezolvare a problemelor de extrem condiţionat, se numeşte programare matematică. Particularitatea cea mai importantă a problemelor de programare matematică este existenţa restricţiilor de tip inegalitate printre condiţiile impuse.

Uzual termenul de programare matematică este folosit şi sub forma de optimizare matematică, însă este clar că ne aflăm în faţa unui abuz de limbaj.

În sens larg optimizarea se ocupă de determinare punctelor de extrem (maxim sau minim) pentru orice tip de funcţie, pe când optimizarea matematică (atunci când acest termen îl înlocuieşte pe cel de programare matematică) se referă la probleme de extrem pentru funcţii supuse la restricţii. În cele ce urmează se va folosi termenul de optimizare matematică în loc de programare matematică.

Fiind date funcţiile f , , : nig → 1,i = m o problemă de optimizare matematică se

formulează astfel: Să se determine maximul (sau minimul) funcţiei de eficienţă f ştiind că trebuie verificate

restricţiile:

( )( )

( )

1 1 2

2 1 2

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0

, ,..., 0

n

n

m n

g x x x

g x x x

g x x x

≤⎧⎪

≥⎪⎨⎪⎪ =⎩

(*)

Desigur, în sistemul de restricţii (*) au fost adoptate inegalităţi (într-un sens sau altul) şi

egalităţi în mod arbitrar. Esenţial este doar faptul că în sistemul de restricţii o problemă de optimizare matematică conţine măcar o restricţie de tip inegalitate (în caz contrar ne situăm din punct de vedere teoretic în cazul problemelor de optim cu legături analizate în capitolul 2, iar din punct de vedere practic ne găsim fie în faţa unei probleme formulare incorect, fie în cazul unei probleme lipsită de importanţă practică – deoarece orice problemă de factură tehnico-economică

2

importantă conduce în final la o problemă de optimizare care conţine cel puţin o restricţie de tip inegalitate).

Concentrat problema de optimizare formulată anterior se notează astfel:

( )

( ) ( )( )( )

( )

1 2

1 1 2

2 1 2

1 2

max min , ,...,

, ,..., 0

, ,..., 0

, ,..., 0

n

n

n

m n

f x x x

g x x x

P g x x x

g x x x

⎧⎪

≤⎪⎪ ≥⎨⎪⎪⎪ =⎩

(**)

Observaţia 1.1 Dacă se notează cu mulţimea soluţiilor sistemului de restricţii (*), a optimiza funcţia de

eficienţă D

f în condiţiile respectării restricţiilor (*) (sau echivalent, a rezolva problema (**)) înseamnă practic vorbind, a găsi punctele de extrem (maxim sau minim) ale funcţiei de eficienţă f care se găsesc în mulţimea (fig. 1.1). D

Dn

f

Figura 1.1

Optimizarea matematică este o disciplină relativ tânără. Primele lucrări în acest domeniu

datează din 1939 şi se datorează lui Kantorovici. Marele având al acestei discipline are loc începând cu 1947 în urma rezultatelor datorate lui Dantzig, Lemke, Orden, Wolfe Beale.

La prima vedere pare curios că astfel de probleme, aparent simple, s-au impus atât de târziu, când se ştie că de foarte multă vreme problemele de extrem au făcut obiectul cercetării cu ajutorul calculului diferenţial. Explicaţia este însă imediată: în problemele de extrem studiate cu ajutorul calculului diferenţia, punctele de extrem se află de regulă în interiorul domeniului de existenţă (al funcţiei de eficienţă sau al soluţiilor sistemului de restricţii) şi numai în cazuri excepţionale, care nu prezentau în general mare interes, pe frontieră.

Dimpotrivă, în cazul problemelor de optimizare (programare matematică) punctele de extrem se află de regulă pe frontiera lui ( )D şi prin urmare calculul efectiv al extremelor cu metodele obişnuite este practic imposibil de realizat.

O scurtă sinteză asupra situaţiilor ce pot fi întâlnite în problemele de optimizare cu restricţii (şi care vor fi analizate mai detaliat în subcapitolele ce urmează) constă în precizarea următoarelor cazuri.

1. Dacă în sistemul de restricţii (*) întâlnim restricţii doar de tip egalitate, atunci rezolvarea problemei (**) se poate face cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange (desigur, în anumite condiţii de derivabilitate parţială impuse funcţionalei de eficienţă f şi a funcţiilor de restricţii , ig 1,i m= ). Acest caz a fost analizat în capitolul 2.

În situaţia în care sistemul de restricţii conţine cel puţin o restricţie de tip inegalitate, punctele de extrem căutate se găsesc îndeosebi pe frontiera domeniului ( )D şi prin urmare metoda multiplicatorilor lui Lagrange cunoscută din analiza matematică nu se poate aplica.

3

2. Dacă atât funcţia de eficienţă f cât şi funcţiile restricţii , ig 1,i = m sunt liniare, atunci problema ( se numeşte problemă de optimizare liniară. În legătură cu o astfel de problemă se pot face câteva scurte consideraţii:

)P

- primul algoritm de rezolvare a fost elaborat în 1947 de Dantzig (algoritmul complex); - domeniul este un poliedru convex, iar soluţiile problemei D ( )P se găsesc în vârfurile

poliedrului convex (fig. 3.2) - mulţimea soluţiilor problemei ( )P este o mulţime convexă.

D

Soluţii

Figura 1.2

3. Dacă funcţia de eficienţă f sau cel puţin una dintre funcţiile restricţii , ig 1,i = m

n

, este neliniară, atunci problema ( se numeşte problemă de optimizare neliniară. )P

O astfel de problemă nu poate fi totdeauna rezolvată (cel puţin în stadiul actual al cunoştinţelor teoretice în acest domeniu).

Se cunosc totuşi numeroase metode de rezolvare a unei astfel de probleme în situaţia în care funcţia de eficienţă şi funcţiile de restricţii sunt convexe (în acest caz problema se numeşte problemă de optimizare convexă) sau, în cazul şi mai particular, când funcţia de eficienţă şi funcţiile de restricţii sunt pătratice (în acest caz suntem în faţa unei probleme de optimizare pătratică).

( )P

1.2. Optimizare liniară

1.2.1. Forme de prezentare a unei probleme de optimizare liniară Problema de optimizare liniară este un caz particular al problemei de optimizare, mai precis

corespunde cazului când, atât funcţia de eficienţă cât şi funcţiile restricţiei, sunt liniar (variabilele sunt la puterea întâi).

Considerăm funcţia de eficienţă:

( )1 2 1 1 2 2, ,..., ...n nf x x x C x C x C x= + + +

Coeficienţii se numesc constante caracteristice. Funcţiile restricţiei sunt de forma:

1 2, ,..., nC C C

1 2, ,..., mg g g

4

( )( )

( )

1 1 2 11 1 12 2 1 1

2 1 2 21 1 22 2 2 2

1 2 1 1 2 2

, ,..., ...

, ,..., ...

, ,..., ...

n n

n n

m n n n nn n

g x x x a x a x a x b

g x x x a x a x a x b

g x x x a x a x a x b

= + + + −n

n

n

= + + + −

= + + + −

În felul acesta forma generală a unei probleme de optimizare liniară este următoarea:

(1.1)

( )1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

max min

......

...

n

i ii

n n

n n

n n nn n

C x

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

=

⎧⎪⎪

+ + +⎪⎪ + + +⎨⎪⎪

+ + +⎪⎪⎩

∑≶≶

≶ n

Concentrat, problema (1.1) se scrie sub forma:

( )

1

1

max min

, 1,

n

i ii

n

ij i ij

C x

a x b i m

=

=

⎧⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑ ≶ (1.2)

O problemă de optimizare în forma (1.1) sau (1.2) se spune că este o problemă de optimizare

liniară în forma generală, scrierea făcându-se în raport cu coordonatele carteziene. În afară de această reprezentare, o problemă de optimizare liniară în formă generală se poate

scrie sub forma matricială şi sub forma vectorială. Forma generală sub forma matricială. Considerăm matricile:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

n

CC

C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

n

xx

X

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

m

bb

b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Cu aceste matrici introduse, forma generală în reprezentare matricială a unei probleme de

optimizare liniară este:

( )max min C X

AX b

′⎧⎪⎨⎪⎩ ≶

(1.3)

unde C este transpusa matricei C . ′

Forma generală în reprezentarea vectorială.

5

Considerăm vectorul , vectorul ( )1 2, ,..., nC C C C= ( )1 2, ,..., nX x x x= şi notăm:

11

211

1m

aa

V

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12

222

2m

aa

V

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

n

nn

mn

aa

V

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

m

bb

b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Forma generală în reprezentarea vectorială a unei probleme de optimizare liniară este:

( )

1

max minn

i ii

CX

xV b=

⎧⎪⎨⎪⎩∑ ≶

(1.4)

unde CX este produsul scalar în dintre vectorii C şi n X .

În afara reprezentării generale a unei probleme de optimizare liniară, în practică se lucrează uzual cu alte două forme de reprezentare:

- forma standard - forma canonică.

Forma standard Este acea formă în care restricţiile sunt de tip egalitate, iar variabilele 1 2, ,..., nx x x sunt

supuse condiţiei de nenegativitate. Avem următoarele forme de reprezentare: a. În coordonate carteziene:

( )

( )1

1

max min

, 1,

0, 1,

n

i ii

n

ij j ij

i

C x

P a x b i

x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

= =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ m (1.5)

b. În reprezentarea matricială:

( )( )max min '

0

C XP AX b

X

⎧⎪

=⎨⎪ ≥⎩

Forma canonică Caracteristic pentru această formă de prezentare este faptul că variabilele sunt supuse

condiţiei de nenegativitate (ca la forma standard) iar restricţiile sunt concordante. Restricţiile sunt considerate a fi concordante dacă sunt de tip pentru o problemă de minim

şi de tip pentru o problemă de maxim. ≥

≤

6

a. În coordonate carteziene: - pentru o problemă de maxim

( )

1

1

max

, 1,

0, 1,

n

i ii

n

ij j ij

i

C x

P a x b i

x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

≤ =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ m (1.6)

- pentru o problemă de minim:

1

1

min

, 1,

0, 1,

n

i ii

n

ij j ij

i

C x

a x b i m

x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

≥ =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ (1.7)

b. Reprezentarea matricială - pentru o problemă de maxim

( )max '

0

C XP AX b

X

⎧⎪ ≤⎨⎪ ≥⎩

(1.8)

- pentru o problemă de minim:

( )min '

0

C XP AX b

X

⎧⎪ ≥⎨⎪ ≥⎩

(1.8’)

Observaţia 1.2 O restricţie se zice că este coordonată dacă este de tip ≤ pentru o problemă de maximizare şi

de tip pentru o problemă de minimizare. Prin urmare, o problemă de optimizare liniară în forma canonică conţine doar restricţii concordante.

≥

Observaţia 1.3 La prima vedere s-ar părea că există trei forme distincte de reprezentare a unei probleme de

optimizare liniară. În realitate se poate trece destul de comod de la o formă de reprezentare la alta având în vedere următoarele:

1) Sensul unei inegalităţi se poate schimba prin înmulţirea cu -1 2) Inegalităţile de tip ≤ se pot transforma în egalităţi prin adăugarea unei variabile

nenegative, numită variabilă de compensare. De exemplu inegalitatea:

11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + ≤

7

se poate transforma în egalitate introducând variabila de compensare astfel: 1 0nx + ≥

11 1 12 2 1 1 1... n n na x a x a x x b++ + + + =

3) Inegalităţile de tip ≥ se pot transforma în egalităţi prin scăderea unei variabile nenegative numită variabilă de compensare. De exemplu inegalitatea:

11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + ≥ se poate transforma în egalitate prin scăderea variabilei de compensare astfel: 1 0nx + ≥

11 1 12 2 1 1 1... n n na x a x a x x b++ + + − =

4) Egalităţile se pot transforma întotdeauna în câte două inegalităţi de sens contrar. De exemplu egalitatea:

11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + = este echivalentă cu inegalităţile

11 1 12 2 1 1

11 1 12 2 1 1

...

...n n

n n

a x a x a x ba x a x a x b

+ + + ≤⎧⎨ + + + ≥⎩

5) Variabilele negative se pot transforma în variabile pozitive prin introducerea unei

variabile suplimentare astfel: dacă 0 se notează ix ≤ i ix x′ = − . 6) Variabilele oarecare se pot scrie totdeauna ca diferenţe dintre două variabile nenegative,

adică dacă se introduc , aşa încât ix ∈ , 0i ix x′ ′′≥ i i ix x x′ ′′= − . 7) Având în vedere că ( )min maxf f= − − orice problemă de minimizare se poate

transforma într-o problemă de maximizare şi invers. Exemplu Să se scrie sub formă standard, deci canonică, următoarea problemă de optimizare liniară.

( )1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 22 53 2

2 30, , 0

x x xx xx x x

x x xx x x

− +⎧⎪

+ =⎪⎪ − + ≤⎨⎪ + − ≥⎪⎪ ≥ ∈ ≤⎩

Observaţia 1.4 Această problemă este dată sub forma generală în reprezentare carteziană.

8

Forma standard

2 4 5 4 5, , 0x x x x x= − ≥

3 6 6, 0x x x= − ≥

( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

1 4 5 6

1 4 5

1 4 5 6 7

1 4 5 6 8

min 2 3

2 5

3 2

2 3

0, 1,8i

x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x i

⎧ − − + −⎪

+ − =⎪⎪

− − + − + =⎨⎪ + − − − − =⎪⎪ ≥ =⎩

( )1 4 5 6

1 4 5

1 4 5 6 7

1 4 5 6 8

min 2 2 32 2 53 3

2 3

0, 1,8i

2

x x x xx x xx x x x x

x x x x x

x i

⎧ − + −⎪

+ − =⎪⎪ − + − + =⎨⎪ + − + − =⎪⎪ ≥ =⎩

Forma canonică

2 4 5 4 5, , 0x x x x x= − ≥

3 6 6, 0x x x= − ≥

( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 4 5 6

1 4 5

1 4 5 1 4 5

1 4 5 6

1 4 5 6

min 2 3

2 5

2 5 2

3 2

2 3

0, 1,6i

x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x i

⎧ − − + −⎪

+ − ≥⎪⎪

+ − ≤ ⇔ − − − ≥ −⎪⎨− + − − − ≥ −⎪⎪ + − − − ≥⎪⎪ ≥ =⎩

5

( )1 4 5 6

1 4 5

1 4 5

1 4 5 6

1 4 5 6

min 2 2 32 2 5

2 2 53 3 2

2 3

0, 1,6i

x x x xx x x

x x xx x x xx x x x

x i

− + −⎧⎪

+ − ≥⎪⎪− − + ≥ −⎪⎨− + − + ≥ −⎪⎪ + − + ≥⎪

≥ =⎪⎩

1.2.2. Tipuri de soluţii. Proprietăţile soluţiilor unei probleme de optimizare liniară

Considerăm problema de optimizare liniară dată în forma standard, reprezentarea carteziană. Definiţiile care urmează sunt variabile şi pentru celelalte reprezentări, dar mai ales această formă fiind mai uşor de reprezentat.

9

( )1

1

max min

, 1,

0, 1,

n

i ii

n

ij j ij

i

C x

a x b i m

x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

= =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ (*)

Definiţia 1.1 Vectorul se zice soluţie posibilă dacă verifică condiţia de nenegativitate şi

restricţiile problemei date (adică verifică condiţiile (*)). ( 1 2, ,..., nX x x x= )

)

Definiţia 1.2 Vectorul se zice soluţie de bază dacă are exact componente nenule

(presupune rangul matricei şi m( 1 2, ,..., nX x x x= m

A m= n≤ ). Definiţia 1.3 Vectorul se zice soluţie degenerată, adică are mai puţin de

componente nenule. ( 1 2, ,..., nX x x x= )

)

m

Definiţia 1.4 Vectorul se zice soluţie optimă dacă este soluţie posibilă (adică verifică

restricţiile (*)) şi optimizează funcţia de eficienţă (o minimizează sau maximizează în funcţie de formularea problemei).

( 1 2, ,..., nX x x x=

Observaţia 1.5 O noţiune foarte importantă în optimizarea liniară este cea de bază. Considerăm matricea A

corespunzătoare sistemului de restricţie (*). Presupunem ( )rang A m n= < . Se numeşte bază orice matrice B nesingulară de linii şi coloane în care vectorii

coloană sunt liniar independenţi. Soluţia de bază corespunzătoare bazei m n

B este dată de vectorul Bx ale cărui componente corespund coloanelor matrici bază.

Se notează cu matricea obţinută prin extragerea din matricea S A a matricei B şi cu Sx vectorul rămas pe care îl vom numi vector de nebazic. În cazul problemei de optimizare liniară forma standard – reprezentarea matricială, egalitatea AX b= este echivalentă cu egalitatea matricială:

1

1 1B

B S B SBx Sx b x B b B Sx−

− −+ = ⇒ = −

Se observă că o soluţie imediată a acestei egalităţi matriciale este:

1

0

B

S

x B bx

−⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

10

Aceste egalităţi justifică de fapt noţiunea de soluţie de bază (în care am precizat că numărul componentelor nenule pentru astfel de soluţie este exact ). m

Proprietăţi ale soluţiilor Considerăm o problemă de optimizare liniară dată de reprezentarea matricială, forma

standard:

( )max min

0

C XAX bX

′⎧⎪

=⎨⎪ ≥⎩

(1.9)

Rezultatele pe care le vom da în continuare sunt valabile şi pentru celelalte reprezentări, dar

demonstraţiile sunt mai simple în cazul acestui tip de problemă. Teorema 1.1 Au loc rezultatele: 1. Mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime convexă. 2. Mulţimea soluţiilor optime este o mulţime convexă.

Demonstraţie 1. Fie x , două soluţii posibile ale problemei (1.9) (evident y x şi sunt matrici coloană).

Avem: y

Ax b= Ay b= , 0x y ≥

Vrem să arătăm că şi ( )1z x yλ λ= + − , [ ]0,1λ∈ este de asemenea soluţie posibilă a

problemei (1.9). Evident . Avem: 0z ≥

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1Az A x y A x A y Ax Ay b b bλ λ λ λ λ λ λ λ= + − = + − = + − = + − =

Deci soluţie posibilă, deci mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime convexă. Az b z= ⇒2. Fie x , y soluţii optime ale problemei (1.9). Pentru comoditate presupunem că problema

de optimizare este de maximizare. Prin urmare x , y sunt soluţii posibile, deci verifică:

max

, 0

Ax bAy bx yC x C y f

=⎧⎪ =⎪⎨ ≥⎪⎪ ′ ′= =⎩

Vrem să arătăm că şi ( )1z x yλ λ= + − , [ ]0,1λ∈ este de asemenea soluţie optimă. De la

punctul anterior se ştie că este soluţie posibilă. Calculăm z C z′ . Avem:

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )max max

max max max1 1 1 1f f

C z C x y C x C y C x C y f f fλ λ λ λ λ λ λ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − = + − = + − = + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

Am obţinut că este soluţie optimă şi ţinând seama cum a fost construit şi că z z x , au

fost aleşi arbitrar, înseamnă că mulţimea soluţiilor optime este o mulţime convexă. y

Observaţia 1.6 Se poate demonstra relativ uşor că dacă o problemă de optimizare liniară are soluţie

optimă, atunci admite întotdeauna şi o soluţie optimă de bază (adică o soluţie optimă care are componente nenule şi n componente nule). m m−

1.2.3. Algoritmul simplex. Exemple de calcul Se consideră problema de optimizare liniară în formă standard:

( )1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

min .........

...

0, 1,

n n

n n

n n

n n nn n

i

C x C x C xa x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

x i n

+ + +⎧⎪

+ + + =⎪⎪

n

+ + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎪

≥ =⎪⎩

(1.10)

Dacă se notează următoarele matrici: , , ,C A b X

1

2

n

CC

C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

m

bb

b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

n

xx

X

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

atunci problema (1.10) se poate scrie echivalent în următoarea formă matricială:

min

0

C XAX bX

′⎧⎪ =⎨⎪ ≥⎩

(1.11)

Presupunem , m n< ( )rang A m= . Fie b o bază asociată matricei A a bazei B . Se notează

,B SX X vectorii ale căror componente sunt componente bazice, respectiv nebazice. În acest caz egalitatea se poate scrie sub formă echivalentă: AX b= B SBX SX b+ = (1.12)

Din egalitatea (1.12) obţinem imediat că o soluţie posibilă de bază este:

12

1

0

B

S

X B bX

−⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ (1.13)

Observaţia 1.7 Vom lucra numai cu soluţii de bază (posibile şi optime) deoarece am văzut că o problemă de

optimizare liniară dacă admite soluţii (posibile sau optime) atunci admite şi soluţii de bază (posibile sau optime).

O metodă teoretică de rezolvare a problemei (1.10) sau (1.11) este determinare tuturor bazelor B care se pot extrage din matricea A , apoi la baza egalităţilor (1.13) se pot construi soluţiile posibile (toate). Urmează apoi găsirea acelor soluţii care optimizează funcţia de eficienţă.

Deoarece, această metodă este extrem de incomodă, se apelează la metoda lui Dantzig (matematician german) numită metoda simplex.

Această metodă are avantajul că nu explorează toate bazele ce se pot extrage din matricea A , ci numai pe acelea care:

- dacă problema este de minim, metoda simplex conduce la o succesiune de baze aşa încât soluţiile de baze corespunzătoare fac ca funcţia de eficienţă să descrească succesiv;

- dacă problema este de maxim, metoda simplex conduce la o succesiune de baze ale căror soluţii de bază ( 1BX B b−= , 0SX = ) fac ca funcţia de eficienţă să crească succesiv.

Metoda simplex constă, practic, de la o bază posibilă (admisibilă) B şi se construiesc următoarele elemente:

1

1

1

1

B

B jj

BB

jj j B

X B by B a

z C B b

z C C B a C

−

−

−

−

=

=

′=

′ j− = −

unde ja reprezintă vectorii coloană ai bazei B .

Cu ajutorul acestor elemente se construieşte un tablou de 2m+ linii şi coloane. 2n+

Vectorii bazei (VB)

Valorile corespunzătoare

bazei (VVB)

1x 2x n x

BX 1BX B b− −= 1 11By B a−= 1 2

2By B a−= 1B n

ny B a−=

1BBz C B−′= b 1 1z C− 2 2z C− n nz C−

Dacă pentru toţi indicii j avem 0j jz C− ≤ , pentru o problemă de minim, respectiv

, pentru o problemă de maxim, atunci baza aleasă 0j jz C− ≥ B va fi optimă, iar soluţia optimă (care va fi de fapt o soluţie de bază) este:

1

0

B B B

S

X X X BX

− −⎧ = ⇒ =⎪⎨

=⎪⎩

b

13

Dacă există indici j pentru care 0Bj jz C− ≥ se calculează acel indice k aşa încât

( )max B Bj j kz C z C− = − k . Indicele astfel găsit ne arată că vectorul coloană va intra în bază. k ka Observaţia 1.8 Pentru o problemă de maxim ne vom orienta după acei indici j pentru care . Indicele k care

dă vectorul coloană ce va intra în noua bază se găseşte printre acei indici care realizează: ka

( )min B Bj j kj

z C z Ck− = −

În următoarea etapă se determină vectorul coloană ce va părăsi baza. Se notează cu I

mulţimea indicilor pentru care . Se determină acel indice l cu proprietatea că: 0Biky ≥

( )min / /B B B

i ik l li I

Bkx y x y

∈=

Vectorul lx va părăsi baza. Vom nota noua bază B , iar mărimile corespunzătoare acestei bare care sunt: B

ix , , Biy

Bi iz c− , se calculează astfel: Bz

( )

B B Bi ij i

B B Bl lj l

B B Bj j k

B BB B l iki i B

lk

B Blj ikB B

ij ij Blk

B Bl k kB B

Blk

BB lk B

lk

BljB

kj Blk

x y y

x y y

z z C z

x yx xy

y yy y

y

x z Cz z

y

xxy

yy

y

− −

= −

= −

−= −

=

=

………… …………

………… …………

……… ………

k

k

kC

Elementul se numeşte pivot, iar indicii l şi sunt caracterizaţi de indicii vectorilor ce

ies din bază, respectiv ce intră în bază. Toate elementele erau calculate corespunzătoarea noii baze

Blky k

B se determină aplicând regula dreptunghiului. Cu aceste elemente calculate se construieşte un nou tablou şi se reia algoritmul de la etapa a doua.

14

Observaţia 1.9 Practic, linia pivotului în noua bază se obţine împărţind linia pivotului în vechea bază la

elementul pivot. Coloana elementului pivot va avea peste tot (în noua bază) zerouri, mai puţin elementul poziţionat în locul fostului pivot (care va fi 1).

1.2.4. Determinarea unei baze iniţiale. Degenerare şi ciclaj Se consideră problema de optimizare liniară în forma standard.

( )1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

min .........

...

0, 1,

n n

n n

n n

n n nn n

i

C x C x C xa x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

x i n

+ + +⎧⎪

+ + + =⎪⎪

n

+ + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎪

≥ =⎪⎩

(1.14)

Problema (1.14) se poate scrie sub forma echivalentă în următoarele faze:

min

0

C XAX bX

′⎧⎪ =⎨⎪ ≥⎩

(1.15)

1

2

n

CC

C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

m

bb

b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

n

xx

X

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

min

, 1,

0, 1,

n

i ii

n

ij j ij

i

C x

a x b i m

x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

≥ =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ (1.16)

Teoretic, rezolvarea oricăreia dintre problemele echivalente de mai sus se poate rezolva

determinând toate bazele ce se pot construi cu ajutorul matricei A . (Numărul acestor baze este finit deoarece am presupus matricea A de linii şi coloane, şi fiind finiţi). m n m n

Fiecărei baze i se asociază corespunzător soluţia posibilă de bază. Se calculează valoarea funcţiei de eficienţă corespunzătoare fiecăreia din aceste soluţii posibile de bază şi se determină astfel (teoretic) soluţiile optime.

Deoarece această metodă este extrem de greoaie s-a apelat la algoritmul simplex care prezintă proprietatea că selectează acele baze ale căror soluţii posibile de bază fac să scadă succesiv valorile funcţiilor de eficienţă (pentru o problemă de minimizare) respectiv să crească valorile funcţiilor de eficienţă succesiv (pentru o problemă de maximizare).

15

Cu toate aceste facilităţi algoritmul simplex prezintă dezavantajul de a porni de la o bază iniţială aleasă arbitrar. Alegerea acestei baze iniţiale se face la rândul ei potrivit unei metodologii aparte. Această metodologie se numeşte metoda celor două faze.

Metoda celor două faze (metoda prin care se determină baza iniţială) constă în parcurgerea următoarelor etape:

1) Toate restricţiile problemei (1.16)(sau sub formă echivalentă, problemele (1.14) şi (1.15)) se scriu în aşa fel încât ecuaţiile:

1, 1,

n

ij j ij

a x b i m=

= =∑

să aibă membrul drept . 0≥

Practic aceasta înseamnă că ecuaţiile rămân neschimbate dacă membrul drept este sau se înmulţeşte cu dacă membrul drept este negativ.

0≥1−

2) Se introduc variabilele auxiliare şi se consideră problema: 1 2, ,..., 0a a anx x x ≥

1

1

min

, 1,

, 0, 1,

nai

in

aij j i i

j

ai i

x

a x x b i m

x x i n

=

=

⎧⎪⎪⎪

+ ≥ =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ (1.17)

Se observă că această problemă admite baza iniţială matricea unitate de n linii şi coloane. n

1 0 00 1 0

0 0 1

B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Deoarece pentru problema (1.17) matricea asociată restricţiilor este:

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

1 0 00 1 0

0 0 1

0 0 0

n

n

lm m mn

n n nn

a a aa a a

Aa a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3) Rezolvând problema (1.17) obţinem:

1min 0

nai

ix

=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

16

atunci în baza condiţiilor de nenegativitate ale variabilelor 1 2, ,...,a a anx x x rezultă imediat:

1 2 ... 0a a a

nx x x= = = =

În acest caz ultima bază a tabelului simplex va fi baza iniţială pentru problema (1.16). Observaţia 1.10 În esenţă, în cazul în care dispunem de o bază iniţială imediată, rezolvarea propriu-zisă a

problemei de optimizare liniar iniţială (1.16) se realizează după rezolvarea în prealabil a unei alte probleme de optimizare liniară construită suplimentar (problema (1.17).

În cazul în care soluţia problemei (1.17) nu realizează , atunci problema

iniţială (1.16) nu are soluţii sau are soluţia infinită şi prin urmare abordarea ei este inutilă. 1

min 0n

ai

ix

=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Degenerare şi ciclaj În mod uzual algoritmul simplex conduce la o succesiune de baze ale căror soluţii de baze

corespunzătoare modifică succesiv funcţia de eficienţă în funcţii de tipul problemei alese (minim sau maxim). În majoritatea cazurilor după un număr finit de paşi algoritmul se opreşte. Uneori se întâmplă însă ca după câţiva paşi succesivi valoarea funcţie de eficienţă să nu se schimbe.

În acest caz este posibil să ajungem din nou la o bază găsită anterior şi prin urmare procedeul să se continue la infinit. Spunem în acest caz că algoritmul ciclează.

Una din cauzele ciclării algoritmului simplex este degenerarea soluţiei de bază. Avem o soluţie degenerată în cazul în care pornind de la egalitate:

( )Bk kB B

j j Blk

z Cz z

y−

= −

variaţia ( )B

k kBlk

z C xy− l este nulă.

În acest caz 0Blky ≠ fiind pivot, iar în baza modului în care a fost construită această

diferenţă. Prin urmare şi deci relaţia este degenerată. Este evident că în cazul degenerării

valoarea funcţiei de eficienţă nu se schimbă şi în consecinţă există riscul de a intra într-un proces de ciclare.

0lx =

1.2.5. Probleme rezolvate 1. Să se rezolve problema următoare:

( )

( )1 2

1 2 3

1 2 4

1 2 5

max 24

3 12 6

0, 1,5i

x xx x x

P x x xx x x

x i

⎧ +⎪

− + =⎪⎪ − + =⎨⎪

8− + + =⎪⎪ ≥ =⎩

17

Rezolvare: Construim matricea asociată restricţiilor problemei:

1 1 1 0 03 1 0 1 01 2 0 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Se aplică algoritmul simplex, parcurgându-se etapele următoare: Etapa 1 Se observă că o bază admisibilă este:

1 0 00 1 00 0 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Într-adevăr este o matrice nesingulară ( ) ( )rang rang 3A B= = = număr de linii<număr de

coloane=5.

4185

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vectorii coloană ai bazei sunt:

3

100

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4

010

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3

001

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Prin urmare vectorii bazei vor fi 3 4 5, ,x x x . De unde 3

4

5

B

xx x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Calculăm elementele necesare primului tablou simplex:

1

1 0 0 4 40 1 0 18 180 0 1 6 6

BX B b−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

j

=

1B jjy B a a−= =

( )1 1

40 0 0 18 0

6

BBz C B b B− −

⎛ ⎞⎜ ⎟′= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

18

( )1 10 0 0B j jj j B j j jz C C B a C B a C C− −− = − = − = −

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x 5x

3x 4 1 -1 1 0 0

4x 18 3 -1 0 1 0

5x 6 -1 2 0 0 1 0 -2 -1 0 0 0

Bz 1 1

1

Bz CC

− ==

2 2

2

Bz CC

− ==

3 3Bz C− 4 4 5 5

Bz C− Bz C−

Etapa 2 Avem o problemă de maxim, dar se observă că nu toţi 0j jz C− ≥ . Prin urmare, baza

considerată nu este optimă şi prin urmare soluţia de bază BX este doar admisibilă şi nu optimă. Determinăm vectorul coloană ce intră în bază.

( ) ( ) 1 1min min 2, 1 2B Bj jj

z C z C− = − − = − = −

Deci va intra în bază vectorul . 1aEtapa 3 Determinăm vectorul ce va ieşi din bază.

4 18min , 4 11 3

l⎛ ⎞ = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

Elementul pivot va fi atunci:

1 1lk ly y= =

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x 5x

3x 4 1 -1 1 0 0

4x 6 0 2 -3 1 0

5x 10 0 1 1 0 1 8 0 -3 2 0 0

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x 5x

3x 7 1 0 -1/2 1/2 0

4x 3 0 1 -3/2 1/2 0

5x 7 0 0 5/2 -1/2 1 17 0 0 -5/2 3/2 0

19

( ) 2 2min 3 2j jjz C z C k− = − = − ⇒ =

6 10min , 3 42 1

l⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Linia pivotului se împarte cu pivotul

( ) 3 35min 32j jj

z C z C k− = − = − ⇒ =

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x 5x

3x 42/5 1 0 0 -2/5 1/5

4x 31/5 0 1 0 1/5 3/5

5x 14/5 0 0 1 -1/5 2/5 24 0 0 0 1 1

1

2

3

425365

145

x

x

x

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

soluţii optime; ecuaţia optimă =24

2. Să se rezolve problema următoare:

( )

( )1 2 3

1 2

1 3

1 4

min 2 23 2

12 5

0, 1,4i

x x xx x

P x xx x

x i

⎧ + −⎪

+ =⎪⎪− + =⎨⎪ + =⎪⎪ ≥ =⎩

Rezolvare: Se parcurg etapele realizate în problema precedentă:

3 1 0 01 0 1 0

2 0 0 1B

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 4

1

1 0 00 1 00 0 1

a a a

B B−

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

20

2

100

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3

010

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4

001

a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 0 0 2 20 1 0 1 10 0 1 5 5

BWB x B b− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1B jjy B a a−= = j

3=( )1

1 0 0 22 1 0 0 1 0 1

0 0 1 5

BBz C B b−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟′= = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )1 2 1 0j

j jj j B j

ajz C C B a C a C−′− = − = − −

( )1 1

32 1 0 1 2

2z C

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5

0

0

0

( )2 2

12 1 0 0 2

0z C

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )3 3

02 1 0 1 1

0z C

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4 4

02 1 0 0 0

1z C

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x

2x 2 3 1 0 0

3x 1 -1 0 1 0

4x 5 2 0 0 1 3 5 0 0 0

( ) 1 1max 5B

j jz C z C− = = −

22 5 2min ,3 2 3

x⎛ ⎞ = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

V.B. V.V.B. 1x 2x 3x 4x

2x 2/3 1 1/3 0 0

3x 5/3 0 1/3 1 0

4x 11/3 0 -2/3 0 1 -1/3 0 -5/3 0 0

21

Deci soluţiile optime sunt: 0Bj jz C− ≤ ⇒

1

2

3

4

23053113

x

x

x

x

⎧ =⎪⎪

=⎪⎪⎨

=⎪⎪⎪ =⎪⎩

valoarea funcţiei de eficienţă opt13

f = −

3. Să se rezolve problema următoare:

( )

( )max 3 5 72 4

1, 0

x yx yPx y

x y

− +⎧⎪

+ ≤⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩

Rezolvare: Problema poate fi rezolvată prin metoda grafică deoarece există doar două variabile. Se

parcurg etapele următoare: Etapa 1 Se reprezintă domeniul restricţiilor problemei: - pentru prima restricţie (care reprezintă din punct de vedere geometric un

semiplan) se asociază dreapta de separaţie corespunzătoare: 2x y+ ≤ 4

( )1 2 4D x y+ =

Această dreaptă se va reprezenta grafic cel mai comod determinând punctele de intersecţie

cu axele Ox şi Oy.

( )( )

0 4 0,

0 2 2,

x y A

y x B

= ⇒ = ⇒

= ⇒ = ⇒

4

0

- pentru a doua restricţie 1x y− + ≤ se procedează asemănător. Se consideră mai întâi

dreapta de separaţie: ( )2 1D x y− + =

şi se determină punctele de intersecţie ale acesteia cu axele Ox şi Oy. ( )( )

0 1 0,1

0 1 1

x y C

y x D

= ⇒ = ⇒

= ⇒ = − ⇒ − , 0

Vom fi conduşi la poligonul următor (porţiunea haşurată).

22

x

y

O

D

B

A

E C

Conturul acestui poligon este determinat practic de dreptele ( ) ( )1 2,D D şi axele Ox şi Oy. Interiorul poligonului se determină imediat ţinând seama de restricţiile 2 4x y+ ≤ ,

1x y− + ≤ , . 0, 0x y≥ ≥Practic, pentru primele două restricţii se verifică faptul că originea O(0,0) aparţine

interiorului poligonului (adică originea se găseşte sub dreptele D1 şi D2). Etapa 2 Se determină coordonatele vârfurilor C, O, B, E care determină poligonul COBE.

- Coordonatele vârfurilor C, O, B au fost determinate anterior; - Vârful E este dat de intersecţia dreptelor D1 şi D2 şi prin urmare coordonatele acestui

vârf se determină ca soluţie a sistemului următor:

2 4 3 3

1 1x y x xx y x y y+ = = =⎧ ⎧

⇒ ⇒⎨ ⎨12

⎧⎨− + = − + = =⎩ ⎩ ⎩

Prin urmare avem: E(1,2). Etapa 3 Funcţia de eficienţă este dată de relaţia determină ( ), 3 5f x y x y 7= − + . Se calculează valorile funcţiei de eficienţă în fiecare din vârfurile poligonului COBE:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0,1 0,1 2

0,0 0,0 7

2,0 2,0 13

1, 2 1, 2 0

C f

O f

B f

E f

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

Problema de optimizare este de tip maxim; se constată imediat că { }max 2,7,13,0 13= , deci

punctul de maxim este ( )2,0B iar valoarea funcţiei de eficienţă în acest punct este 13.

23

24

CAPITOLUL 2

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

2.1. SERII NUMERICE: DEFINIŢII ŞI REZULTATE DE BAZĂ

Se consideră şirul de numere reale ( ) Nnna ∈ . Cu ajutorul acestui şir se construieşte un alt şir

de numere reale ( ) Nnns ∈ în felul următor:

∑=

=+++=

++=+=

=

n

kknn aaaas

aaasass

as

121

3213

212

11

...

Dacă şirul ( ) Nnns ∈ este convergent, atunci limita lui pe care o vom nota cu s se numeşte

uzual suma seriei şi are loc scrierea formală:

∑∞

=

=1k

nas (2.1)

Membrul drept al egalităţii (2.1) se numeşte în acest caz serie iar an se numeşte termen

general al seriei. Şirul ( )nns se numeşte şirul sumelor parţiale. Prin urmare seria este convergentă sau

divergentă dacă şirul ( )ns este convergent sau divergent (în cazul în care şirul sumelor parţiale este convergent atunci seria se zice convergentă iar s din egalitatea (2.1) se numeşte suma seriei).

Exemplul 1

Să presupunem, că avem seria , Rq ,1

∈∑∞

=n

nq , deci nn qa = (această serie se numeşte serie

geometrică). Avem:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅

≠−−

=+++=+++=1

1 ,1

1...... 21

21

q a ,n

qq

qqqqqaaas

n

nnn

25

Dacă 1<q , atunci ( )q

qq

qs nnn −=−

−=

111lim

1lim

Dacă , 1=q , atunci ns nn =+++= 1...11 2 , deci ∞=nslim

Concluzie

dacă ( )nnsq ,1≥ este divergent ⇒ serie divergentă.

dacă ( )nnsq ,1< este convergent ⇒ serie convergentă.

Pentru 1<q suma seriei geometrice este q

qs−

=1

.

Exemplu 2

Considerăm seria ∑∞

=1

1n n

.

Termenul general al acestei serii este n

an1

= construim şirul numerelor parţiale

∑=

=n

kkn as

1, deci

nsn

1...21

21

+++=

Se observă că ∞=nnslim deci seria este divergentă.

Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy

Considerăm seria ∑∞

=1nna

Teorema 2.1. Condiţia necesară şi suficientă ca această serie să fie convergentă este următoarea:

( )εε N∃>∀ ,0 aşa încât ( ) NppNn ∈≥∀>∀ ,1 ,ε are loc inegalitatea:

ε<+++ +++ pnnn aaa ...21 Demonstraţie Considerăm şirul numerelor parţiale

∑∞

=

=+++=1

21 ...k

knnn a saaas

Pentru acest şir se poate aplica criteriul general de convergenţă al lui Cauchy de la şiruri

numerice. Acest şir este convergent dacă şi numai dacă pentru ( )εε N∃>∀ ,0 aşa încât ( ) ( ) ( )

ε

εεε

<+++⇒

⇒<+++−++++⇒<⇒≥∀≥∀

+++

++

pnnn

nnnnpn

aaa

aaaaaaa-sspNn

...

...... ,1 ,

21

21121

şi teorema este demonstrată.

26

Observaţia 2.1 (foarte importantă)

Condiţia necesară ca seria ∑∞

=1nna să fie convergentă este ca termenul general an să tindă la 0

(adică 0lim =nna ).

Acest lucru rezultă din criteriul general al lui Cauchy făcând ⇒= 1p inegalitatea 0lim1 =⇒<+ nnn aa ε

În concluzie dacă există o serie în care termenul general nu tinde la 0 atunci această serie este sigur divergentă. Dacă termenul general tinde la 0 atunci seria poate fi convergentă sau divergentă (deoarece condiţia 0lim =nn

a este doar o condiţie necesară).

Observaţia 2.2 Natura unei serii (de a fi convergentă sau divergentă) nu se schimbă dacă la seria dată

adaugăm un număr finit de termeni sau la seria dată suprimăm un număr finit de termeni.

2.1.1. Serii cu termenii pozitivi O serie se zice că este cu termenii pozitivi dacă există rang N0 aşa încât începând de la acest

rang toţi termenii sunt pozitivi. Pentru seriile cu tremenii pozitivi se cunosc mai multe criterii de stabilitate a naturii seriei

(fapt ce conferă o mare aplicabilitate acestor tipuri de serii). 1. Criteriul monotoniei

Se consideră seria cu termenii pozitivi ∑∞

=1nna

Asociem acestei serii şirul sumelor parţiale ∑=

=+++=n

kknn aaaas

121 ...

Teorema 2.2. Dacă şirul sumelor parţiale ( )nns este mărginit atunci seria este convergentă. Dacă şirul

sumelor parţiale ( )nns este nemărginit seria este divergentă. Demonstraţie 1) Presupunem că şirul sumelor parţiale este mărginit, prin urmare există 0>M aşa încât

( ) NnMs nn ∈∀< , Calculăm diferenţa nn ss −+1 (în vederea studierii monotoniei şirului ns ).

0...

...11

21

1211 >=−⇒⎭⎬⎫

+++=++++=

++++

nnnnn

nnn assaaas

aaaas

(pentru că avem serie cu termenii pozitivi). Deoarece 01 >−+ nn ss rezultă că şirul ns este monoton crescător. Deoarece avem: ( )nns este mărginit şi ( )nns este monoton crescător ⇒ ( )nns este convergent, deci seria

este convergentă. 2) Presupunem că şirul sumelor parţiale este nemărginit. Arătăm că este asemănător cazului

1) că şirul ( )nns este monoton crescător.

27

( )nns este nemărginit şi ( )nns este monoton descrescător ⇒ ( )nns este divergent, deci seria este divergentă.

2. Criteriul comparaţiei

Considerăm seriile cu termenii pozitivi ∑∑∞

=

∞

= 11

,n

nn

n ba .

Teorema 2.3 Dacă există un rang N0, de la care are loc inegalitatea atunci:

1. Dacă seria ∑∞

=1nna este divergentă atunci şi seria ∑

∞

=1nnb este divergentă;

2. Dacă seria ∑∞

=1nnb este convergentă atunci şi seria ∑

∞

=1nna este convergentă.

Demonstraţie Deoarece natura seriei nu se schimbă prin adăugarea sau suprimarea unui număr finit de

termeni se poate considera că N0 = 1.

Cazul 1. Seria ∑∞

=1nna fiind divergentă înseamnă că şirul sumelor parţiale corespunzător

. ...21 nn aaas +++= Şirul sumelor parţiale corespunzătoare seriei a doua

nnnn saaabbbS =+++>+++= ...... 2121 , deci: ( ) ( )nn

nn

nn SsS

s

⎭⎬⎫

>

divergent divergent

Prin urmare ∑∞

=1nnb seria este divergentă.

Cazul 2 Avem: ( )nnS convergent ⇒ ( )nnS este mărginit.

nn sS > ⇒ ( )nns este mărginit şi deci în baza criteriului monotoniei seria ∑∞

=1nna este

convergentă. În afara criteriului monotoniei şi a criteriului comparaţiei pentru seriile cu termeni pozitivi

se cunosc şi alte criterii care permit stabilirea naturii seriei. Criteriul rădăcinii (Cauchy)

Fie seria cu termeni pozitivi ∑∞

=1nna .

Au loc rezulatele: 1. Dacă există un rang N0, aşa încât oricare ar fi 0Nn > avem 1<≤ qan

n atunci seria este convergentă;

28

2. Dacă există un rang N0, aşa încât oricare ar fi 0Nn > avem atunci seria

1>≥ qann este divergentă.

Demonstraţie 1). Deoarece ştim că dacă adăugăm sau suprimăm un număr oarecare de termeni ai unei

serii, natura seriei nu se schimbă, putem considera (pentru comoditatea calculelor) N0 = 1. Avem în acest caz:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

≤⇒≤⇒=

≤⇒≤⇒=

≤⇒≤⇒=

≤⇒=

kkk qaqakn

qaqan

qaqan

qan

.............................................3

2

1

333

222

1

(2.2)

Inegalităţile (2.2) se pot scrie concentrat sub forma următoare:

Nnqa n

n ∈∀≤ , (2.3)

Construim seria (seria geometrică) ∑=

n

n

nq1

Deoarece:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤

∑=

n

n

n

nn

q

qa

1ăconvergent serie este

pentru 1<q rezultă (în baza ordinului comparaţiei) că seria ∑∞

=1nna este convergentă.

2) Considerăm pentru comoditatea calculelor N0 = 1. În acest caz inegalităţile (2.3) îşi schimbă sensul Nnqa n

n ∈∀≥ ,

Considerăm seria geometrică ∑=

>n

n

n qq1

1,

Se ştie de la cursul trecut că această serie este divergentă.

Avem: ,nn qa > ∑

=

n

n

nq1

este serie divergentă pentru 1>q , deci seria este de asemenea

divergentă. Criteriul practic Se calculează n

nnaK lim=

Avem situaţiile: ⇒< 1K serie convergentă ⇒> 1K serie divergentă ⇒= 1K nu se poate preciza natura seriei

29

Exemplu:

Considerăm seria ∑=

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +n

n

nn a

nna

1

0,1

În cazul nostru termenul general este .1 nn a

nna ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

Aplicăm criteriul practic:

aan

naK nnn

=⋅+

==1limlim

Discuţie pentru:

⇒< 1a serie convergentă ⇒> 1a serie divergentă ⇒= 1a nu se poate preciza natura seriei

Observăm că nn

n

nna

nna ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=11 adică este un şir a cărui limită este de tipul din e.

enn

n n

n

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 11lim1lim

Am obţinut că : 0lim ≠= eann

prin urmare (în baza criteriului Cauchy de convergenţă a seriilor) termenul

general netinzând la 0 înseamnă că seria este divergentă. Deci pentru a = 1 seria este divergentă. Criteriul raportului

Fie seria cu termeni pozitivi ∑=

n

nna

1

. Au loc rezultatele:

1. Dacă există un rang N0, aşa încât 0Nn >∀ avem 11 <≤+ qa

a

n

n , atunci seria este

convergentă;

2. Dacă există un rang N0, aşa încât 0Nn >∀ avem 11 >≥+ qa

a

n

n , atunci seria este

divergentă.

Demonstraţie 1) la fel ca şi criteriul precedent vom considera N0 = 1. Avem:

30

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅≤≤⋅≤⇒≤⇒=

⋅≤⋅≤⋅≤⇒≤⇒=

⋅≤⋅≤⇒≤⇒=

⋅≤⇒≤⇒=

++ k

kkk

k qaqaaqa

akn

qaqaqaaqaan

qaqaaqaa

n

qaaqaa

n

111

31

2234

3

4

2123

2

3

121

2

...

....................................................................

3

2

1

(2.4)

Concentrat, inegalităţile (2.4) se scriu sub forma:

Nnqaa nn ∈∀⋅≤ − ,1

1

Construim seria ∑∞

=

−

1

11

n

nqa . Această serie are aceeaşi natură cu seria geometrică ∑∞

=1n

nq care

ştim că este convergentă pentru .1<q

Avem: ,11

−⋅> nn qaa ∑

∞

=

−

1

1

n

nnqa este serie convergentă şi deci (în baza criteriului

comparaţiei) seria ∑∞

=1nna este convergentă.

2. În acest caz vom considera de asemenea N0 = 1.

În baza inegalităţii qa

a

n

n ≥+1 inegalităţile (2.4) şi (2.5) îşi vor schimba sensul:

Nnqaa nn ∈∀⋅≥ − ,1

1 (2.6)

Considerând seria ∑∞

=

−

1

11

n

nqa , această serie va avea aceeaşi natură cu seria geometrică ∑∞

=1n

nq .

Deoarece .1>q , seria geometrică este divergentă şi prin urmare seria ∑∞

=

−

1

11

n

nqa este divergentă.

Avem ,11

−⋅≥ nn qaa ∑

∞

=

−

1

11

n

nqa este divergentă şi deci ∑∞

=1nna este divergentă.

Criteriul practic

Se calculează: n

n

n aa

K 1lim += .

Avem situaţiile următoare: ⇒< 1K serie convergentă ⇒> 1K serie divergentă ⇒= 1K nu se poate preciza natura seriei prin acest criteriu.

31

Observaţia 2.3 Criteriul rădăcinii este un criteriu mai tare decât criteriul raportului. Aceasta înseamnă că

dacă aplicăm criteriul raportului şi putem preciza natura seriei în mod cert putem preciza natura seriei şi aplicând criteriul rădăcinii.

Dacă K = 1 în urma aplicării criteriului raportului este posibil ca aplicând criteriul rădăcinii să putem totuşi determina natura seriei.

Exemplu Să se studieze natura seriei următoare:

∑∞

=

>1

0,!n

n

ana

Termenul general al acestei serii este .!n

aan

n =

Aplicând criteriul raportului:

( )( ) 1

!1

!

!1 1

1

1

+=⋅

+=

+=

+

+

+

na

an

na

na

na

aa

n

n

n

n

n

n

⇒<=+

== + 101

limlim 1

na

aa

Kn

n

n

n serie convergentă.

Criteriul Raabe – Duhamel Acest criteriu este un criteriu mai tare decât criteriul raportului şi este indicat a fi folosit în

cazul în care aplicând criteriul raportului obţinem: K= 1.

Fie seria cu termini pozitivi ∑∞

=1nna .

Au loc rezultatele:

1) Dacă există un rang N0, aşa încât 0Nn >∀ , avem inegalităţile 111

>>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

qaa

nn

n ,

atunci seria este convergentă;

2) Dacă există un rang N0, aşa încât 0Nn >∀ , avem inegalităţile 111

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

qaa

nn

n ,

atunci seria este divergentă. Criteriu practic

⇒< 1K serie convergentă ⇒> 1K serie divergentă ⇒= 1K nu se poate preciza natura seriei prin acest criteriu.

Exemplu

Fie seria: ( )∑∞

= +⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

1 31

12...531...2642

n nnn

Avem: ( ) 31

12...531...2642

+⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=nn

nan

32

Aplicăm criteriul raportului:

( )( )( )( )412

322

31

41

1

++++

=

+

+=+

nnnn

n

na

a

n

n

( )( )( )( ) ⇒=

++++

== + 1412322limlim 1

nnnn

aa

Kn

n

n

nserie nedeterminată

Aplicăm criteriul Raabe – Duhamel

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ⇒<=

+++

=−−−++++

=

=++

++−++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

121

3222lim682492

322lim

3222224122lim1

322412limlim

22

1

nnnnnnnn

nnn

nnnnnnn

nnnnn

aa

nK

nn

nnn

n

n

serie divergentă. 2.1.2. Serii cu termeni oarecare. Serii alternante În afara seriilor cu termeni pozitivi adică a seriilor în care termenul general este pozitiv, în

probleme practice se întâlnesc şi serii cu termeni oarecare (adică serii în care sunt şi termeni pozitivi şi termeni negativi), precum şi serii alternante (în care termenii pozitivi şi negativi se succed).

Definiţia 2.1 O serie se zice absolut convergentă dacă seria modulelor este convergentă. O serie se zice semiconvergentă dacă seria este convergentă iar seria modulelor este

divergentă. O serie se zice alternantă dacă termenul general an este de forma

( ) Nnbba nn

nn ∈∀>÷−= ,0,1

Teorema 2.4. Dacă o serie este absolut convergentă atunci este convergentă. Demonstraţie

Considerăm seria ∑∞

=1nna absolut convergentă. Aceasta înseamnă că seria modulelor ∑

∞

=1nna

este convergentă. Prin urmare şirul sumelor parţiale nn aaaS +++= ...21 este convergent. Aplicând criteriul de convergenţă al lui Cauchy obţinem:

( )εε N∃>∀ ,0 aşa încât ( ) ,1 , >∀>∀ pNn ε avem:

ε<−+ npn SS (2.7) adică: ε<+++ +++ pnnn aaa ...21 (2.8) Se ştie din liceu că modulul seriei este totdeauna majorat de suma modulelor, prin urmare

avem:

33

pnnnpnnn aaaaaa ++++++ +++≤+++ ...... 2121 (2.9) Se observă că membrul stâng al inegalităţii (2.9) este de fapt:

npn ss −+ unde ...21 nn aaas +++= Ţinând seama de (2.8) şi (2.9) obţinem majorarea următoare:

ε<−+ npn ss (2.10)

Inegaliatatea (2.10) dovedeşte că şirul sumelor parţiale al seriei iniţiale ∑∞

=1nna este

convergent şi prin urmare seria dată este convergentă. Teorema 2.5 Au loc următoarele proprietăţi:

1) Dacă o serie este absolute convergentă atunci schimbând ordinea termenilor se obţine tot o serie absolute convergentă care are aceeaşi sumă ca şi seria iniţială.

2) Pentru o serie semiconvergentă se poate schimba ordinea termenilor într-un mod convenabil aşa încât să se poată obţine:

a) o serie convergentă cu o sumă dată; b) o serie divergentă; c) o serie oscilantă (alternantă).

Observaţia 2.4 Punctul 2) al acestei teoreme este cunoscut sub numele de teorema lui Riemann. Teorema 2.6. (Criteriul lui Leibnitz)

( ) 0,11

1 >−∑∞

=

+nn

n

n aa

Condiţia necesară şi suficientă ca această serie să fie convergentă este ca şirul ( )nna să fie

monoton descrescător la 0. Exemplu

( )2

ln11 +−∑

∞

= nn

n

n

Avem 2

ln+

=n

nan , limita acestui şir se calculează cel mai comod utilizând criteriul lui

Stoltz: ( )

( ) ( ) 01ln1limln1lnlim23

ln1lnlim2

lnlimlim ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=+−+

−+=

+=

nn

nn

nnnn

nna

nnnnnn

Prin urmare, în baza criteriului lui Leibnitz seria dată este convergentă.

34

2.1.3. Probleme rezolvate

1. Să se stabilească natura seriei ( )( )∑∞

= +++1 11

n nk αα , α fiind un număr real diferit de

orice întreg negativ. Rezolvare

Din identitatea ( )( ) 111

11

++−

+=

+++ nknk αααα , obţinem

111++

−+

=nk

Sn αα, de

unde deducem că α+

=∞→ 1

1lim nnS . Aşadar, seria dată este convergentă şi are suma

α+11 .

2. Să se arate că seria armonică generalizată Rαnn

∈∑∞

=

, 11

α este divergentă petru 1≤α şi

convergentă pentru 1>α . Rezolvare

Cazul 0<α . Deoarece 0,1lim

1lim >−∞

== −

∞→∞→

ααα

nn

nn

avem ∞=∞→ αnn

1lim deci seria

este divergentă pentru 0<α .

Cazul [ ]1,0∈α . Deoarece nn <α , avem αnn11

< şi cum seria 11∑∞

=n n este divergentă

conform primului criteriu al comparaţiei avem că seria 11∑∞

=n nα este divergentă.

Cazul 1>α . Considerăm seriile ( )

111

211∑

∞

=−− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−n nn αα şi 11∑∞

=n nα .

Notăm ( )

111

11 −− −−

= αα nnvn şi 1

αnun = .

Deoarece ( )( )

( )∞∈−

=−−

−⋅= −−

−

∞→∞→,0

11

111limlim 11

1

ααα

α

nnn

nvu

nn

n

n , conform celui de-al treilea

criteriu al comparaţiei rezultă că cele două serii au aceeaşi natură.

Deoarece seria ( )

111

211∑

∞

=−− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−n nn αα este convergentă rezultă că şi seria 11∑∞

=n nα , 1>α

este convergentă. 3.Să se stabilească natura seriilor următoare:

a) ∑∞

= ++12 72n nn

n

b) ∑∞

=1 71

nn nn

35

Rezolvare

a) Deoarece Nnnn

nnnn

∈∀=<++

,172 2322 , conform primului criteriu al comparaţiei,

rezultă că seria dată este convergentă (seria armonică generalizată ∑∞

=123

1n n

este convergentă).

b) Întrucât nn

n

nnnn

nn7

17

11

71

== şi 71

71lim =

∞→ nn n , rezultă în baza criteriului al treilea al

comparaţiei, că seria dată are aceeaşi natură cu seria 11∑∞

=n n. Dar aceasta este seria armonică, care

este divergentă. Aşadar, seria dată este divergentă. 2.1.4. Probleme propuse 1. Să se stabilească suma seriilor următoare:

a) ∑∞

=122

1n n

arctg b) ( )( )∑∞

= +++−

1 2112

n nnnn

c) ( )∑∞

=

++−+1

122n

nnn d) ∑∞

= ++12 23

1n nn

2. Să se stabilească natura seriilor următoare:

a) n

n nnna∑

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

12

2 1 b) 0a ,1 2

1

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∑

∞

=

n

n

an

n

c) ∑∞

=1

2

2arcsin

nnn π d) ( )( )∑

∞

=

>−+1

1a ,11n

nan

e) ( )∑∞

=

+++

13

333 ...21n

nnnn f) ( ) 0a ,

...11

1>

+++∑∞

=nnaan

3. Să se stabilească natura seriilor următoare:

a) ( )( )∑

∞

=13!4

!2n

n nn b)

n

n en

n∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 !1

c) ∑∞

=

>1

ln 0a ,n

na d) ∑∞

=

>1

2

0a ,!n

n na

e) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

12

2 11lnn n

n f) ∑∞

=

+++

1

1...211

n nn

36

g) nn

n a3

sin21∑∞

=

h) n

n nnnn∑

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

12

2

32234

4. Să se stabilească natura seriilor următoare:

a) ∑∞

= −−12 3816

1n nn

b) ∑∞

=

+

1

1lnn n

n

c) ∑∞

= +1 1n nn d) ∑

∞

=−− +

+

111 53

53n

nn

nn

e) ( )∑∞

= +1 31

n nn f) 1 ,

21

1−>

+∑∞

=

anan

n

g) n

n nna∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

1

2.2. Şiruri şi serii de funcţii 2.2.1.Şiruri de funcţii Şirurile de funcţii reprezintă generalizarea notiunii de sir numeric. Se consideră mulţimea

F x a tuturor funcţiilor definite peste aceeaşi mulţime X ⊆ R Definiţia 2.2 Se numeşte şir de funcţii orice aplicaţie definită pe N şi cu valori în F x Ca şi în cazul şirurilor numerice, notaţia unui şir de funcţii va evidenţia doar codomeniul,

mai precis un şir de functii îl vom nota ( )nnf Definiţia 2.3. a ∈ X se numeşte punct de convergenţă al şirului de functii ( )nnf dacă şirul numeric

( )( )nn af este convergent. Deoarece este posibil ca un şir de functii să aibă mai multe puncte de convergenţă se notează cu A mulţimea punctelor de convergenţă ale şirului de funcţii dat ( evident A ⊆ X )

Definiţia 2.4 Fie şirul de funcţii ( )nnf definite peste aceeaşi mulţime X . Fie A mulţimea punctelor de

convergenţă . Se numeşte funcţie limită , funcţia f : A → R , dată de egalitatea ( ) ( )xfxf nlim= .

37

Exemple:

1) Considerăm şirul funcţiilor ( f n ) n , unde f n (x) = 1

sin+nnx ; x∈R(X = R) . Este evident că

pentru x 0 ∈ E fixat şirul numeric a n = f n (x 0 ) = 1

sin 0

+nnx

este convergent şi are limita 0 ( faptul că

are limita 0 se poate dovedi uşor aplicînd criteriul majorării):

na = 01

11

sin 0 →+

≤+ nnnx

Aceasta înseamnă că mulţimea de convergenţă pentru şirul ( f n ) n este A = R .

Funcţia limită este f(x) = 1

sinlim+nnx

n=0 . Deci f : R = A→ R , f (x) = 0

2) Fie şirul ( f n ) n unde f n : R→ R

f n ( )x =11

2

22

++

nxn

În cazul nostru X = R şi se poate arăta că pentru orice x 0 ∈R fixat , şirul a n =

f n ( )0x =11

2

20

2

++

nxn

este convergent având n

lim a n = x 20 . Deci A= R şi funcţia limită este f : R = A→

R , f ( )x = 11lim 2

22

++

nxn

n = x 2

Observaţia 2.5 Am arătat până acum că un şir de funcţii este convergent dacă şirurile numerice dând valori

variabilei x ( valori ce aparţin mulţimii de convergenţă ) sunt şiruri numerice convergente. Această informaţie va fi detaliată in cele ce urmează prin introducerea noţiunii de convergenţă simplă şi convergenţă uniformă.

Definiţia 2.5 Fie şirul de funcţii ( f n ) n definit pe mulţimea X. Spunem că acest şir este simplu

convergent ( convergent punctual ) la funcţia f : X → R ; dacă Xx∈∀ , ε ∀ > 0 , ( ) x0 εN∃ aşa incât n ∀ > N 0 (ε ,x)

avem: ( ) ( )xfxfn − < ε ( 2.11 )

Definiţia 2.6 Fie şirul de funcţii ( )nnf definit pe mulţimea X . Spunem că acest şir este uniform

convergent la funcţia f : X → R ; dacă Xx∈∀ , ε ∀ > 0 , ( )ε0N∃ aşa încât n ∀ > N 0 ( )ε avem : ( ) ( )xfxfn − < ε ( 2.12 )

38

Observaţia 2.6 Faptul că şirul ( )nnf este simplu convergent pe mulţimea X la funcţia f , îl notăm astfel :

f n fs

x→

Faptul că şirul de funcţii f n converge uniform pe mulţimea X la funcţia f îl notăm :

u

nfx

> f

Observaţia 2.7 Convergenţa uniformă se deosebeşte de convergenţa simplă ( punctuală ) prin faptul că

rangul N 0 nu depinde decât de ε şi nu de punctul 0x .Din acest motiv convergenţa uniformă implică convergenţa simplă ( punctuală ) , reciproca nefiind adevărată .

Exemplu

1) Fie şirul ( )nnf , nf : RR → , ( )xfn = 1

2

+nx . În acest caz X este R , iar mulţimea de

convergenţă A = R . Şirul acesta este deocamdată simplu convergent la funcţia f : RR → , ( )xf = 0 . Să calculăm rangul 0N (ε , x).

Dacă acest rang va depinde numai de ε vom avea convergenţă uniformă, dacă depinde şi de x vom avea convergenţă simplă .

( ) ( )xfxfn − < 01

2

−+

⇒nxε <

1

2

+⇒

nxε < 1+⇒ nε >

> ⇒ε

2x > 12

−εx

0N ( x , ε ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

2

εx , deci convergenţa este simplă .

2) Fie şirul ( )nnf , nf : RR → , ( )xfn = 1

cos2 +n

nx

În cazul nostru X = R , A = R . Funcţia limită este evident f : RR → , ( )xf = 0 . Vrem să vedem dacă acest şir este simplu sau uniform convergent după cum rangul 0N

depinde sau nu de x .

( ) ( )xfxfn − < 01

cos2 −+

⇒n

nxε < 1

cos2 +

⇒n

nxε < ε

Deoarece 1cos ≤nx , obţinem majorarea următoare

39

1

12 +n

< 12 +⇒ nε > 21 n⇒ε

> εε

εε

ε−

⇒−

=−1111

Prin urmare rangul va fi :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

εεε 1

0N şi deci nf converge uniform la 0 ( am notat prin [ ]a partea întreagă a

lui a ). Teorema 2.7 Fie şirul de funcţii ( )nnf definite pe mulţimea X şi funcţia limită RXf → : . Dacă există şirul ( )nna de numere reale pozitive convergent la 0 aşa încât

( ) ( ) nn axfxf <− , Xx∈∀ atunci :

⎯→⎯u

xnf f

Demonstraţie Şirul ( )nna avînd limita 0 , înseamnă că ( )εε 0,0 N∃>∀ aşa încât ( )ε0 Nn >∀ avem:

εε <⇒< nn aa (2.13)

Ţinînd seama de inegalitatea (2.13) şi de inegalitatea ( ) ( ) , , Xxaxfxf nn ∈∀<− înseamnă

că ( )ε0 Nn >∀ avem :

( ) ( ) ε<− xfxf n ( ceea ce dovedeşte că fu

x

nf ⎯→⎯ deoarece rangul 0N depinde doar

de ε ). Teorema 2.8

Se dă şirul de funcţii ffu

xn ⎯→⎯ . Dacă funcţiile nf sunt continue în punctul Xx ∈0 atunci

funcţia limită f este continuă în punctul 0x . Demonstraţie Şirul ( )nnf fiind uniform convergent pe mulţimea X la funcţia limită f avem că

( )εε 0,0 N∃>∀ aşa încât ( )ε0 Nn >∀ are loc inegalitatea : ( ) ( ) ε<− xfxfn /3 , Xx∈∀ (2.14) Din: ( 2.14 ) ( ) ( ) 3/0 ε<−⇒ xfxfn (2.15) Funcţiile ( )nnf fiind continue în 0x înseamnă că pentru 0>ε ales , există o vecinătate

0xV a punctului 0x aşa încât XVx x ∩∈∀

0 avem :

40

( ) ( ) 3/0 ε<− xfxfn (2.16)

Scriem diferenţa ( ) ( )0xfxf − într-o formă convenabilă ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0000 xfxfxfxfxfxfxfxf nnnnn −+−+−=− Deci : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) <−+−+−=− 0000 xfxfxfxfxfxfxfxf nnnnnn

< ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εεεε =++<−+−+− 3/3/3/000 xfxfxfxfxfxf nnnnn , adică funcţia f continuă în punctul 0x şi prin urmare teorema este demonstrată. Un rezultat important legat de studiul şirurilor de funcţii îl furnizează teorema următoare : Teorema 2.9 Considerăm şirul de funcţii ( )nnf definit pe mulţimea RX ⊂ şi funcţia limită f . Au loc

rezultatele următoare: 1) Dacă funcţiile nf sunt derivabile şi şirul ( )nnf ' este uniform convergent către g ,

atunci f este derivabilă şi ; ' gf = 2) Dacă [ ] nfbaX , ,= sunt integrabile , Nn∈∀ şi convergenţa la f este uniformă,

atunci f este integrabilă pe [ ]ba, şi are loc egalitatea :

( ) ( )dxxfdxxfb

a

b

ann ∫∫ =lim .

2.2.2. Serii de funcţii . Serii de funcţii particulare Considerăm şirul de funcţii ( )nnf definit pe mulţimea X . Cu ajutorul acestui şir se

construieşte un nou şir de funcţii ( )nnS în felul următor : 11 fS =

212 ffS += nn fffS +++= 21 ( )nnS îl vom numi şirul numerelor parţiale şi convenim să notăm , ca la serii numerice

∑∞

=1nnf seria de funcţii construită .

Definiţia 2.7

Xa∈ se zice un punct de convergenţă pentru seria de funcţii dacă seria numerică ( )afn

n∑∞

=1

este convergentă . Vom nota cu A mulţimea punctelor de convergenţă pentru seria de funcţii dată.

41

Definiţia 2.8

Seria ∑∞

=1nnf este simplu ( uniform ) convergentă la funcţia RAf →: dacă şirul sumelor

parţiale ( )nnS este simplu ( uniform ) convergent la funcţia f . Avem deci :

ffs

Ann ⎯→⎯∑

∞

=1 dacă ( )εε , , 0 , 0 xNAx ∃>∀∈∀ aşa încât ( )ε, 0 xNn >∀ avem:

fSs

An ⎯→⎯ .

ffu

Ann ⎯→⎯∑

∞

=1 dacă ( )εε 0, 0 , NAx ∃>∀∈∀ aşa încât ( )ε0 Nn >∀ avem:

fSu

An ⎯→⎯ .

Definiţia 2.9

Fie seria ∑∞

=1nnf . Se notează cu nR restul seriei de ordin n asociat acestei serii. Acest rest

este de fapt seria de funcţii +++ ++ 11 nn ff . Se poate arăta că mulţimea de convergenţă a seriei

date coincide cu mulţimea de convergenţă a seriei ∑∞

=1nnf .

De asemenea are loc următoarea proprietate importantă .

Seria ffs

Ann ⎯→⎯∑

∞

=1 ( seria ff

u

Ann ⎯→⎯∑

∞

=1) 0

s

AnR ⎯→⎯⇔ ( respectiv 0u

AnR ⎯→⎯ ).

În cele ce urmează, vom prezenta o condiţie suficientă de convergenţă uniformă precum şi o

proprietate de continuitate a funcţiei limită. Cazurile particulare ale seriilor de funcţii ( Taylor şi Mac Laurin ) sunt des întâlnite în diverse probleme concrete.

Unele probleme au un caracter teoretic, iar altele au un conţinut practic (de exemplu probleme legate de serii dinamice, probleme legate de evoluţia unor fenomene economice , probleme de echilibru economic etc.) .

Teorema 2.10

Dacă există seria cu termeni pozitivi ∑∞

=1nna aşa încât ( ) XxNnaxf nn ∈∀∈∀< , , atunci

seria de funcţii ∑∞

=1nnf este uniform convergentă dacă seria numerică este convergentă .

Demonstraţie Seria numerică fiind convergentă , înseamnă că şi restul ei ( vom lua restul de ordin n ) este

convergentă la 0 , adică ar fi ( )εε N∃> , 0 aşa încât ( )εNn >∀ avem : ε<++ ++ 21 nn aa

42

Pe de altă parte , dacă vom considera restul de ordin n al seriei de funcţii date ( adică

( )xfRk

knn ∑∞

=+=

1) avem :

( ) ( ) ( ) XxNnaxfxfk

knk

knk

kn ∈∀>∀<<≤ ∑∑∑=

+=

+=

+ , , 0111

εε ( 2.17 )

Inegalităţile ( 2.17 ) dovedesc că restul de ordinul n al seriei de funcţii date este uniform,

convergent , prin urmare seria de funcţii este uniform convergentă . Teorema 2.11

Fie seria de funcţii ∑∞

=1nnf . Dacă sunt îndeplinite proprietăţile :

1) ffu

Xnn ⎯→⎯∑

∞

=1

;

2) nf sunt continue în NnXx ∈∀∈ , 0 . Atunci funcţia limită f este de asemenea continuă în 0x . Demonstraţie Această teoremă este o consecinţă imediată a teoremei 2.8. Într-adevăr, seria de funcţii este

uniform convergentă la funcţia limită f , dacă şirul sumelor parţiale este uniform convergent la funcţia limită f .

Deci am redus problema convergenţei uniforme pentru seria dată la convergenţa uniformă a unui şir de funcţii .

Seria Taylor Considerăm funcţia IRIf , : → este interval şi punctul Ia∈ . Presupunem că f este

indefinit derivabilă în punctul a ( adică este derivabilă de orice ordin în punctul a ). Funcţiei f i se poate construi într-un anumit mod un polinom de gradul n numit polinomul lui Taylor .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afn

axafaxafaxafxP nn

n !''

!2'

! 1

2 −++

−+

−+=

şi seria de funcţii numită seria Taylor :

( )xfn

n∑∞

=1 , unde ( ) ( ) ( ) ( )af

naxxf n

n

n !−

=

Dacă această serie de funcţii este convergentă la funcţia iniţială f , avem egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )++−

+−

++−

+−

+= ++

afn

axafn

axafaxafaxafxf nn

nn

112

! 1! ''

! 2'

! 1

Considerăm că ( )xRn este restul seriei :

43

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )++−

++

−= +

++

+

afn

axafn

axR nn

nn

n2

21

1

!2!1

Evident, că dacă restul seriei este convergent la 0 atunci seria de funcţii Taylor este

convergentă având funcţia limită f . Mai mult, de aici se poate trage concluzia că dacă restul nR poate fi neglijat începând de la

un rang n înainte , atunci funcţia f poate fi aproximată prin polinomul lui Taylor de gradul n asociat funcţiei f .

Observaţia 2.8 Este evident că punctul Ia∈ este punct de convergenţă pentru seria Taylor asociată funcţiei

f . Se pune problema de a găsi şi alte condiţii care ne asigură că mulţimea de convergenţă a seriei Taylor asociată lui f conţine şi alte puncte în afară de punctul a .

Teorema 2.12 Dacă în vecinătatea aV a punctului a derivatele de orice ordin ale lui f sunt egal mărginite

( adică există 0>M aşa încât ( ) ( ) NnVxMxf an ∈∀∈∀< , , ), atunci aV este o mulţime de

convergenţă pentru seria Taylor asociată lui f . Observaţia 2.9 Făcând 0=a în seria Taylor , obţinem seria Mac-Laurin . Observaţia 2.10 Pentru evaluarea restului ( )xRn se cunosc mai multe metode . Cea mai utilizată exprimare

este cea a restului în formă Lagrange :

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )xafn

axxR nn

n , , !1

11

∈+

−= +

+

ξξ

2.2.3. Exemple de dezvoltări în serie Mac-Laurin ale unor funcţii cunoscute ( ) axexf = ( ) axexf ' ε= ( ) axexf 2'' α= ( ) ( ) axnn exf α= Luăm o vecinătate a originii ( )bbV ,0 −= . Derivatele de orice ordin în punctul ( ) ( ) 0 , , Vxxfx n ∈ verifică inegalităţile : ( ) ( ) <== axnaxnn eexf αα

initm

abnearg

α

44

Deci se aplică teorema 2.10.

Avem : ( ) ( )xfxfn

n∑∞

=

=1

unde : ( ) ( ) ( )!!

0!0

nx

nxf

nxxf

nnn

nn

n

nαα ==

−=

Deci : ∑∞

=

=1 !n

nnx

nxe α (2.18)

Făcând în egalitatea (2.18) xx −= obţinem :

( )∑∞

=

− −=

1 !1

n

nnnx

nxe αα (2.19)

2) ( ) xshxf α=

2

xx eexsh

−−=

( ) ( )( ) ( )∑∑∑∑=

+++

===

−

+=−+=

−−=

−=

1

12121

111 !1211

!!1

!2

n

nnn

n

nn

n

nnn

n

nnxx

nx

nx

nx

nxeexsh ααααα

αα

( ) xchxf α=

Avem 2

xx eexch

−+= . Procedînd ca mai înainte avem :

( )∑∞

=

−

=+

=1

22

!22

n

nnxx

nxeexch αα

αα

3) ( ) xxf sin=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2sincos' πxxxf

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−=

22sinsin'' πxxxf

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2sin πnxxf n

( ) ( ) 12

sin <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πnxxf n

45

Se aplică teorema 2.10

( ) ( )xfxfn

n∑∞

=

=1

unde: ( ) ( ) ( )!2

sin!

0 . !0

nxn

nxf

nxxf

nnn

n

n ==−

=π

( ) ( ) ( )!121

12

+−=

+

nxxf

nn

n şi prin urmare avem:

( )( )∑

∞

=

+

+−

=1

12

!121sin

n

nn

nxx

În general : ( )( )∑

∞

=

++

+−

=1

1212

!121 sin

n

nnn

nxx αα ( pentru că ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2 sin sin πααα nxx nn

prin inducţie ) 4) ( ) xxf cos=

Se demonstrează prin inducţie că ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2cos πnxxf n

( ) ( ) 12

cos <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πnxxf n ( se verifică teorema 2.10 ) şi deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )!210

!cos

2

11 nxf

naxx

n

n

nn

n

n

∑∑∞

=

∞

=

−=−

=

În general avem ( )( )∑

∞

=

−=

1

22

!21 cos

n

nnn

nxx αα (pentru că ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2 cos cos πααα nxx nn - prin

inducţie ) . 5). Să se dezvolte în serie Mac – Laurin funcţia :

( ) ( )21ln21 xxarctgxxf +−=

În mod uzual astfel de probleme nu se rezolvă calculînd derivata de ordinul n a funcţiei date. Practic se derivează ( se integrerază ) funcţia de atâtea ori până în momentul în care se găseşte o funcţie pentru care se cunoaşte dezvoltarea în serie Mac-Laurin . Apoi operăm în sens invers : integrăm ( derivăm ) de atâtea ori cât este necesar pentru a ajunge la funcţia dată.

( ) xarctgxx

xxarctgxf

12

21

1 x' 22 =

+−

++=

46

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn

n

n

n n

n xxxxx

xf 2

11 1

2222 11

11

11'' ∑∑ ∑

∞

=

∞

=

∞

=

−=⋅−=−=−−

=+

= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

12

1 1

22

12111''' C

nxdxxxdxxfxf

n

nn

n n

nnnn ++

−=−=−== ∑∫∑ ∑ ∫∫∞

=

+∞

=

∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∑∫ ∑∫ =++

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−== +

∞

=

∞

=

+

dxCdxxn

dxCn

xdxxfxf nn

nn

nn

112

111

12

1211

121'

( ) ( )( ) 21

2

1 22121 CxC

nnx n

n

n ++++

−= ∑∞

=

Avem ( ) 000 =⇒= fx

( ) xarctgxf ' = Avem ( ) 00'0 =⇒= fx

( ) ( )( )( ) 0

22121

2

0

211

22

=⇒++++

−=

=∞

=

+

∑ CCxCnn

xxfx

n

nn

( ) ( ) 012

1' 11

0

1

12

=⇒=+

−= ∑∞

=

=+

CCn

xxfn

xnn

Prin urmare ( ) ( ) ( )( )22121

22

1 ++−=

+∞

=∑ nn

xxfn

n

n

Numim serie de puteri o serie de forma :

∑∞

=

∈∈−+++=0

10 , ,n

nn

nn

n RaRxxaxaaxa

Numărul na se numeşte coeficientul termenului de rang n . Toate rezultatele privind

seriile de funcţii sunt valabile şi pentru serii de puteri. Seriile de puteri au în plus următoarele proprietăţi :

1.Teorema lui Abel Pentru orice serie de puteri 0≥∃R ( numărul R se numeşte rază de convergenţă ) astfel

încât : a) RxRx <∈∀ , , seria este absolut convergentă;

b) Rx , R x <∈∀ , seria este absolut divergentă;

c) , Rx∈∀ pentru care Rrx <≤ , seria este uniform convergentă. Intervalul ( )R , R− se numeşte intervalul de convergenţă al seriei.

47

2. Suma unei serii de puteri este o funcţie continuă în orice punct interior al intervalului de convergenţă.

3. Dacă ∑∞

=0n

nn xa este o serie de puteri şi R raza sa de convergenţă , atunci:

a) Seria derivatelor de ordinul k are aceeaşi rază de convergenţă; b) Suma 1 a seriei este indefinit derivabilă pe intervalul de convergenţă şi derivata sa de

ordin k , este egală cu suma seriei derivatelor de ordin k ; Pentru determinarea razei de convergenţă a unei serii de puteri avem următoarele rezultate: Teorema lui Cauchy-Hadamard

Fie ∑∞

=0n

nn xa o serie de puteri, R raza sa de convergenţă. Dacă ∞=∃

∞→n

nnalim , atunci

ω1

=R pentru 0 , 0 =∞<< Rω pentru ∞=ω şi ∞=R pentru 0=ω

Teorema lui D’Alembert

Fie ∑∞

=0n

nn xa o serie de puteri, R raza sa de convergenţă. Dacă 1lim 1 =∃ +

∞→n

n

n aa

, atunci

lR 1= pentru ∞=l şi ∞=R pentru 0=l .

Dezvoltări în serie . Fie I un interval , a un punct interior lui I şi ( )ICf ∞∈ . Seria (1) ( ) ( )( )n

x

n

n

axn

af−∑

=0 ! se numeşte serie Taylor a funcţiei f în punctul a .

2.2.4 Probleme rezolvate

1. Să se arate că şirul ( ) Nnnf ∈ cu ( ) 2

2sinn

nxxfn = este uniform convergent pe R către

0=f . Rezolvare:

Deoarece 0312sin

3 →≤n

nx , conform criteriului lui Weierstrass rezultă că: 0⎯→⎯unf .

2. Să se arate că şirul ( ) Nnnf ∈ cu ( )ne

xf nxn 31

2= este uniform convergent pe [ 0 , ∞ ) către

0≡f . Rezolvare:

Pentru ∞<≤ x0 , avem 12 ≥nxe , aşadar ( )03

1→

< nn xf , şi conform criteriului lui

Weierstrass rezultă că 0⎯→⎯unf .

48

3. Să se arate că şirul ( ) Nnnf ∈ cu ( )nx

xxfn +32 este uniform convergent pe [1, 2] către

0≡f . Rezolvare :

( ) 046

4→<

+≤

nnxfn . Conform criteriului lui Weierstrass rezultă 0⎯→⎯u

nf

4. Să se arate că şirul de funcţii ( ) [ ] ( ) ( )nn

nNnn xxxfRff −=→∈ 1,1,0:; , este convergent, însă nu uniform convergent pe [ ]1,0 . Rezolvare: Fie 10 <≤ x . Deoarece 0lim =

∞→

n

nx , rezultă ( ) 0lim =

∞→xfnn

, apoi ( ) 01 =nf de unde

( ) 01lim =∞→ nn

f . Deci ( ) [ ]1,0 , 0lim ∈∀=∞→

xxfnn. Şirul nu este uniform convergent.

Într-adevăr, luând 41

<ε şi [ ]1,021

∈=−

nnx avem ( ) Nnxfn ∈∀= ,

41 , aşadar inegalitatea

din anunţul convergenţei uniforme nu este satisfăcută pentru nxx = . 2.2.5 Probleme propuse 1. Să se determine intervalul de convergenţă pentru următoarele serii de puteri:

a) ( )∑

∞

= +031

3n

nn

nx ; b) ∑

∞

= +0 54nnn

nx ;

c) n

n

nn

xn

n∑∞

=

+

12

23 .

Indicaţii:

a) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−===

+= +

∞→ 31,

31,

31,3lim ,

13 1

3 Ra

an

an

n

n

n

n ω intervalul de convergenţă ;

( )( )∑

∞

= +−−=

031

11 ,31

n

n

nx - convergentă,

( )∑∞

= +=

031

1 ,31

n nx - convergentă .

b) ( )5,5.5 ,51lim ,

541 1 −===+

= +

∞→R

aa

an

n

nnnn ω intervalul de convergenţă ;

( )∑∞

= +−−=

0 5451 ,5

nnn

nnx - divergentă ,

545 ,5

0nn

n

∑∞

= += nx - divergentă.

49

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−===

+= +

∞→ 51,

51,

51 ; 5lim ,25 1

2 Ra

an

nan

n

n

nn

n ω intervalul de convergenţă ;

( )∑∞

=

+−−=

12 5

251 ,51

nn

nnn

nnx - convergentă; ∑

∞

=

+=

1n2 5

25n ,51

n

nn

nx - divergentă.

2. Să se studieze caracterul convergenţei seriei :

Rxxn

nxn

∈+

∑∞

=

,sin1

23.

Indicaţii: Se aplică criteriul lui Weierstrass , seria este uniform convergentă. 3. Să se arate că şi funcţiile următoare sunt dezvoltabile în seria de puteri şi să se găsească

această dezvoltare , specificându-se intervalul în care este valabilă.

a) ( ) 1 ,11ln <−+

= xxxxf ; b) ( ) Rxxxf ∈+= ,13 2 ;

c) ( )31 ,31ln 5 −>+= xxxf ; d) ( ) Rx

xxxxf ∈++

= ,65

32 \{ }2,3 −− .

Indicaţii : a) ( ) ( ) 121' −

−= xxf , pentru 1<x

( ) .1 ,120

12

<+

= ∑∞

=

+

xn

xxfn

n

b) ( ) ( ) ( ) 1 ,!3

43852111

<⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅−+= ∑

∞

=

xn

nxfn

nn

c) ( ) ( ) .531

1

n

n

nn x

nxf ∑

∞

=

−=

d) ( ) ( ) .2 ,31

2113

0

1 <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∑

∞

=

+ xxxf n

nnn

n

2.3 Funcţii de mai multe variabile 2.3.1 Considerente privind funcţiile reale de variabilă vectorială şi funcţiile vectoriale

de variabile vectorială Considerăm mulţimea ( ){ .,1 , ,,.....,, 21 niRXXXXXR in

n =∈== . Această mulţime poate fi înzestrată , într-o primă fază , cu două operaţii : adunarea şi înmulţirea cu un scalar.

Adunarea elementelor din nR

50

Fie ( ) ( ) nn

nn RyyRxxxx ∈=∈= ,....,,yy ,,....,, 2121

( ) n

nn Ryxyxyxyx ∈+++=+ ,....,, 2211 Înmulţirea cu un scalar a unui element din nR Fie ( ) RRxxxx n

n ∈∈= α ,,....,, 21 ( ) n

n Rxxxx ∈=⋅ αααα ,....,, 21 Împreună cu aceste două operaţii, mulţimea nR devine spaţiu vectorial peste corpul

numerelor reale ( adică ( ) =⋅,, RRn spaţiu vectorial ). Pe nR se poate introduce şi un produs scalar . ( ) ( ) n

nn

n RyyyyRxxxx ∈=∈= ,...,, ,,...,, 2121

nn

n

iii yxyxyxyxyx ++>=⇒<>=< ∑

=11

1,, (2.20)

Împreună cu acest produs scalar, nR capătă o structură de spaţiu prehilbertian. Pe nR se poate introduce şi o normă: ( )nxxxx ,...,, 21=

222

21

1

2, n

n

ii xxxxxxyxx +++=⇒=⇒><= ∑

=

(2.21)

Cu această normă , spaţiul nR devine spaţiu normat. Cu ajutorul normei date de egalitatea (2.21) , pe mulţimea nR se poate introduce şi o

metrică ( distanţă ): ( ) ( ) n

nn

n RyyyyRxxxx ∈=∈= ,....,, ,,...,, 2121

( ) ( ) ( )∑=

−==⇒−=n

iiii yxyxdyxyxd 2,,

( ) ( ) ( ) ( )2222

211, nn yxyxyxyxd −++−+−= (2.22)

Cu metrica dată de egalitatea (2.22) spaţiul nR devine spaţiu metric. Concluzie Spaţiul nR este :

51

1) Spaţiu vectorial peste R

2) Spaţiu prehilbertian , cu produsul scalar ;,1∑=

>=<n

iii yxyx

3) Spaţiu normat , cu norma ∑=

=n

iixx

1

2

4) Spaţiu metric , cu metrica ( ) ( )∑=

−=n

iiii yxyxd 2, .

În continuare vom defini funcţii pe nR (sau submulţimi ale lui nR ) şi vom analiza câteva

proprietăţi mai importante legate, în principal, de operaţiile ce se pot defini cu aceste funcţii. Definiţia 2.10 Fie nRX ⊆ Se numeşte funcţie reală de variabilă vectorială, orice funcţie RXf →: Justificarea faptului că este vectorială se realizează prin aceea că argumentul x este vector

din nR . Dacă ( )nxxxx ,....,, 21= , valoarea funcţiei f în acest punct se notează cu ( )xf sau

( )nxxxf ,...,, 21 . Graficul unei astfel de funcţii este: ( ) ( ){ } 1

2121 ,...,,,,...,, +∈= nnn RxxxfxxxG .

Definiţia 2.11 Fie funcţiile . :,....,, 21 RXfff m → Se numeşte funcţie vectorială de variabilă vectorială, funcţia notată ( )mffff ,...,, 21 sau

( )mffff ,....,, 21= şi definită prin corespondenţa: ( )( ( ) ( ) ( ) m

m RxfxfxfxfXx ∈=→∈ ,...,, 21 Justificarea acestei definiri se explică prin faptul că atât argumentul, cât şi valoarea funcţiei

sunt vectori ( din nR , respectiv mR ) . Atât funcţiile reale de variabilă vectorială, cât şi funcţiile vectoriale de variabilă vectorială sunt, de fapt funcţii de mai multe variabile vectoriale sunt un caz particular al funcţiilor vectoriale de variabile vectoriale ( cazul 1=m ).

Din acest motiv, operaţiile care le vom introduce le vom face numai privitor la funcţiile vectoriale de variabilă vectorială :

Adunarea : Fie nRX ⊆ şi funcţiile niRXgf i ,1 ,:,1 =→ ( ) ( )mm ggggffff ,...,, ,,...,, 2121 ( adică mRXgf →:, ) Adunarea funcţiilor f şi g se defineşte astfel:

52

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ (2.23) Dar ( ) ( ) ( ) ( )( )xfxfxfxf m,...,, 21= ( ) ( ) ( ) ( )( )xgxgxgxg m,...,, 21= În baza egalităţii (2.23) avem: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xgxfxgxfxgxfxgf mm +++=+ ,...,, 2211 Operaţia de adunare a funcţiilor f şi g se notează astfel: ( )mm gfgfgfgf +++=+ ,...,, 2211 Înmulţirea cu un scalar Fie miRXfRX i

n ,1 ,: , =→⊆ şi funcţia vectorială de variabilă vectorială ( ) .:,...,, 21

mnm RRXffff →⊆

Fie R∈λ Înmulţirea cu scalarul λ a funcţiei f se defineşte astfel: ( )( ) ( ) Xxxfxf ∈∀= , λλ (2.24) Dar ( ) ( ) ( ) ( )( )xfxfxfxf m,...,, 21= În baza egalităţii (2.24) avem: ( ) ( ) ( ) ( )( )xfxfxfxf m ,..., , 21 λλλλ = Înmulţirea cu scalarul λ a funcţiei f se notează astfel: ( )mffff ,..., , 21 λλλλ = Compunerea Fie mulţimile pmn RZRYRX ⊆⊆⊆ ,, şi funcţiile ( ) YXffff n →:,...,, 21 ( ) ZYgggg n →:,...,, 21 Compunerea funcţiilor f şi g se defineşte astfel: ( )( ) ( )( )xfgxxg = (2.25) Avem: ( ) ( ) ( ) ( )( )xfxfxfxf m,...,, 21=

53

( ) ( ) ( ) ( )( )ygygygyg p,...,, 21= În baza egalităţii (2.25) avem: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )xfgxfgxfgxfg p,...,, 21= ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )xfxfxfgxfxfxfgxfxfxfgxfg mpmm ,...,,,...,,...,,,,...,, 21212211= Compunerea funcţiilor f şi g se notează astfel: ( )fgfg = 2.3.2 Problema limitei şi a continuităţii Problema liniară Analizăm doar cazul funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială. Cazul funcţiilor reale de

variabilă vectorială este un caz particular al celui precedent şi se obţine făcând 1=m . În cazul limitelor vor fi analizate două cazuri : 1. limita globală şi limita pe componente; 2. limite iterate a. Limita globală şi limita pe componente Considerăm nRx ⊆ şi funcţiile miRXfi ,1,: =→ . Fie funcţia vectorială de variabilă

vectorială ( ) mm RXffff →:,...,, 21 şi a punctelor de acumulare al mulţimii X .

Observaţia 2.11 a este punct de acumulare pentru mulţimea X dacă în orice vecinătate V a punctului a

avem: { }( ≠∩ XaV \ (2.26) (adică orice vecinătate am considera pentru punctul a , în această vecinătate se mai găseşte

cel puţin un element din X diferit de a ). Definiţia 2.12

mRl ∈ se zice limita globală a funcţiei f în punctul a dacă ( )εμε ∃>∀ ,0 aşa încât x ∀ cu proprietatea ( )εμ≤−≠ axax , să avem ( ) ε<−1xf (2.27)

Faptul că l este limita funcţiei f în punctul a îl notăm astfel: ( )xfl

ax→= lim (2.28)

Dacă vectorii x şi a au componentele cunoscute ( ) ( )nn aaaaxxxx ,...,, ,,...,, 2121 ==

atunci egalitatea (2.28) se poate scrie sub forma:

( )naxaxaxxxxfl

nn

,...,,lim 21,, 2211 →→→= (2.29)

54

Definiţia 2.13 il se numeşte limita în punctul a a componentei if a funcţiei f dacă ( )εμε ∃>∀ ,0 aşa

încât x ∀ cu proprietatea ( )εμ≤−≠ axax , avem:

( ) ε<− ii lxf .

Dacă il este limita în punctul a a componentei if , notăm acest lucru

( )xfl iaxi →= lim sau ( )niaxaxaxi xxxfl

nn

,...,,lim 21,, 2211 →→→= (2.30)

Dacă mlll ,...,, 21 sunt limitele în punctul a ale componentelor mfff ,...,, 21 ale funcţiei f ,

vom nota cu l vectorul care are aceste componente , deci ( )mllll ,...,, 21= . Se poate arăta că acest vector l care are componentele date de (2.29) sau (2.30) coincide cu

vectorul l dat de egalitatea (2.28). Astfel spus, o funcţie are limita l într-un punct a dacă funcţiile componente au limită în acel punct. Limitele funcţiilor componente sunt la rândul lor componentele vectorului limită al funcţiei vectoriale f în punctul considerat.

Proprietăţi ale limitelor de funcţii 1. Dacă ( )xfl

ax→= lim atunci pentru orice şir ( ) axaxRx nnn

nnn =≠⊂ lim , , avem egalitatea

( )naxxfl

n→= lim ;

2. ( )xflax→

= lim atunci ( ) ; lim xflax→

=

3. Dacă funcţiile f şi g au limite în punctul a , atunci funcţiile , , , fgfgf λ⋅+ şi

( )Rg ∈λλ au de asemenea limită în punctul a şi au loc egalităţile: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf

axaxax →→→+=+ limlimlim

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf

axaxax →→→⋅=⋅ limlimlim

( )( ) ( )xfxf

axax →→= lim lim λλ

( )( ) ( )xgxg

axax →→= lim lim λλ

Presupunem că au sens operaţiile din membrul drept. Limite iterate Fie funcţia RRXf n →⊆: şi ( )naaaa ,...,, 21= un punct de acumulare al mulţimii X ; în

afara limitelor prezentate mai înainte se pot prezenta şi aşa-numitele limite iterate (succesive). a fiind punct de acumulare se poate pune problema următoarei limite:

55

( )naxi xxxfl ,...,,lim~21

11→= . Evident il

~ va depinde de ia şi celelalte variabile

nii xxxxx ,...,,,...,, 1121 +− rămase . În continuare se poate pune problema limitei

( )naxaxj xxxfliijj

,...,,limlim~21→→

= .

Evident jl~ va depinde de variabilele ij aa , şi celelalte 2−n componente rămase, acestea fiind njjii xxxxxxx ,...,,,...,,,...,, 111121 +−+− .

Continuând în acest mod, după n etape se ajunge să calculăm n limite succesive, rezultatul fiind evident un număr real. Vom numi aceste limite succesive, limite iterate, ordinea de citire a variabilelor fiind cea inversă modului de calcul (adică ( )21 ,limlim

1122

xxfaxax →→

vom spune că este limita

iterată a funcţiei f în raport cu variabilele 1x şi 2x . Pentru o funcţie ( )nxxxf ,...,, 21 se pot calcula în punctul ( )naaaaa ,...,,, 21= în total !n

limite iterate. Se pune problema dacă există vreo legătură între aceste limite şi valoarea limitei în punctul

a . Teorema 2.13 Dacă există funcţiei într-un punct de acumulare dat a şi această valoare este egală cu una

din limitele iterate atunci toate celelalte limite iterate există şi sunt egale. Reciproca teoremei nu este adevărată.

Exemplul 1 RRf →2:

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

0 , , 0

0, ,, 2

2

yx

yxyx

yxyxf

vom calcula limitele iterate:

( ) ( ) 00lim00lim,limlim

02

2

000==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=→→→→ xxyx x

xyxf

( ) ( ) 00lim00lim,limlim

02

2

000==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=→→→→ yyxy y

yyxf

şi limita ( )yxf

yx

,lim00

→→

Pentru a calcula valoarea limitei funcţiei f în origine, ne vom situa pe parabola

Rmmxy ∈= ,2 .

Avem ( ) 01

limlim,lim2

022

22

000

=+

==→→

→→ m

mxmxxmxxyxf

xxyx

56

Am obţinut ( ) ( ) ( ) 0,lim,limlim,limlim000000

===→→→→→→

yxfyxfyxfyxxyyx

Deci limitele iterate coincid cu valoarea limitei în origine. Exemplul 2 RRf →2:

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

0 , , 0

0, ,, 22

2

yx

yxyx

yxyxf

( ) ( ) 00lim00lim,limlim

02

2

000==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=→→→→ xxyx x

xyxf

( ) ( ) 00lim00lim,limlim

022

2

000==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=→→→→ yyxy y

yyxf

Ne situăm pe aceeaşi formaţie de parabole de mai înainte 2mxy =

( ) 22044

22

000 11

limlim,limm

mm

mmxx

mxxyxfxx

yx +

=+

=+

=→→

→→

Deoarece limita găsită depinde de valoarea parametrului m deci depinde de alegerea curbei

(care trece prin origine ) înseamnă că această limită nu există (pentru că dând valori arbitrare lui m obţinem rezultate deosebite, iar limita dacă există este unică) :

( ) ( ) ( ) 0,lim,limlim,limlim

000000

===→→→→→→

yxfyxfyxfyxxyyx

Continuitatea funcţiilor de mai multe variabile. Deoarece funcţiile reale de variabile vectoriale sunt un caz particular al funcţiei vectoriale de

variabilă vectorială , vom analiza doar cazul acestora din urmă. Există două cazuri : a) Continuitatea globală pe componente Fie miRXfRX i

n ,1 ,: , =→⊆ . Considerăm funcţia vectorială de variabilă vectorială ( ) m

n RXffff →:,...,, 21 şi punctul Ra∈ . Definiţia 2.14 Funcţia f se zice că este continuă în punctul a dacă ( )εμε ∃>∀ ,0 aşa încât x ∀ cu

proprietatea ( )εμ<− ax să avem : ( ) ( ) ε<− afxf .

57

Faptul că funcţia f este continuă în punctul a îl notăm : ( ) ( )afxf

ax=

→lim (2.31)

Dacă ( ) ( ),,...,, ,,...,, 2121 nn aaaaxxxx == egalitatea (2.31) devine: ( ) ( )nn

ax

axax

aaafxxxf

nn

,....,,,...,,lim 2121

22

1=

→

→→

(2.32)

continuitatea pe componente a funcţiilor RRXfff n

n →⊆:,...,, 21 se defineşte asemănător în punctul ( ) Xaaaa n ∈= ,...,, 21 .

Definiţia 2.15 Funcţia miRRXf n

i ,1 ,: =→⊆ este continuă în punctul a dacă ( )εμε ∃>∀ , 0 aşa încât x ∀ cu proprietatea:

( ) ( ) ( ) εεμ <−⇒<− afxfax (2.33)

Din inegalitatea (2.33) obţinem dând valori din i următoarele inegalităţi:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

<−

<−<−<−

ε

εεε

afxf

afxfafxfafxf

nn

33

22

11

(2.34)

evident, dacă variabila x verifică inegalitatea ( )εμ<− ax .

Observaţia 2.12 Se poate arăta că funcţia ( )mffff ,...,, 21= este continuă în ( )naaaa ,...,, 21= dacă şi

numai dacă funcţiile componente mfff ,...,, 21 sunt continue în punctul a (astfel spus continuitatea globală într-un punct este echivalentă cu continuitatea pe componente în acel punct).

Definiţia 2.16 Funcţia ( )nffff ,...,, 21= este continuă pe mulţimea X dacă este continuă în fiecare

punct al acesteia. Este evident că dacă funcţia f este continuă pe mulţimea X atunci şi funcţiile

componente nfff ,...,, 21 sunt continue pe mulţimea X (proprietatea are loc şi în sens invers)

58

Continuitatea parţială Fie funcţia vectorială de variabilă vectorială ( ),,...,, 21 mffff = mn RRXf →⊆: şi

punctul ( ) nn Raaaa ∈= ,...,, 21 .

Fie vectorul ( ) nn Rxxxx ∈= ,...,, 21 în care fixăm variabilele nlii xxxxx ,...,,,...,, 121 −− în felul

următor :

11 ax = 22 ax = 11 −− = ii ax 11 ++ = ii ax

nn ax = Definiţia 2.17 Funcţia f este continuă în punctul a în raport cu variabila x , dacă ( )εμε ∃>∀ ,0 aşa încât

( )εμ<−∈∀ ii axXx : , avem: ( ) ( ) ε<−+− nniii aaafaaxaaaf ,...,,,...,,,...,, 211121 Observaţia 2.13 Se poate arăta că dacă funcţia vectorială de variabilă vectorială f este continuă parţial în

raport cu variabilele ix în punctul a , atunci şi funcţiile componente mfff ,...,, 21 sunt continue în punctul a în raport cu variabila ix .

Teorema 2.14 Dacă funcţia f este continuă global în punctul a atunci ea este şi continuă parţial în acest

punct în raport cu fiecare din variabilele nxxx ,...,, 21 . Reciproca acestei teoreme este falsă. Exemplu :

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

0 yx, , 0

0, ,2, 22

2

yxyxyx

yxf

Analizăm continuitatea globală şi continuitatea parţială în punctul ( )0,0 . Continuitatea parţială a) în raport cu x

( ) ( )0,00002lim0,lim 24

2

00f

xxxf

xx==

+⋅

=→→

59

b) în raport cu y

( ) ( )0,0030

02lim0,lim 24

2

00f

yyyf

yy==

+⋅⋅

=→→

Concluzie : f este continuă parţial în raport cu ambele variabile în punctul ( )0,0 . Continuitatea globală : analizăm problema limitei în ( )0,0 considerând familia de parabole

.,2 Rmmxy ∈=

( ) 220424

22

024

2

00

00 31

231

2lim3

2lim3

2lim,limm

mm

mxmx

mxxyxyxyxf

xxyx

yx +

=+

=+

=+

=→→

→→

→→

Deoarece această limită depinde de alegerea parametrului m înseamnă că în relitate ea nu

există ; neexistând limită globală în ( )0,0 înseamnă că funcţia nu este continuă în ( )0,0 . Concluzii : 1) f continuă parţial în raport cu ambele variabile în punctul ( )0,0 2) f nu este continuă global în punctul ( )0,0 Proprietăţi ale funcţiilor continue 01 . Dacă funcţia f este continuă în a , atunci este mărginită pe orice vecinătate a

acestui punct. 02 . Dacă funcţia f este continuă în a , atunci există limita globală „ l ” în acest punct

şi are loc egalitatea ( )afl = 03 . Dacă funcţia f este continuă în a , atunci şi funcţia f este continuă în a .

04 . Dacă funcţiile gf , sunt continue în a , atunci şi funcţiile gf + şi gf ⋅ sunt continue în a .

05 . Dacă funcţia f este continuă în a şi R∈λ atunci funcţia f λ este continuă în a . 06 . Dacă funcţia f este continuă pe o mulţime compactă XC ⊂ (adică C este

mărginită şi închisă) atunci f este mărginită şi îşi va atinge marginile pe mulţimea C . Observaţia 2.14 Schematic, legătura între limite şi continuitate este următoarea :

60

continuitate limite parţială parţiale continuitate limite limite globală globale iterate continuitate limite pe componente pe componente 2.3.3 Derivarea funcţiilor de mai multe variabile Derivate de ordin superior , derivarea funcţiilor compuse. Exemple de calcul Acest tip de derivare este o generalizare a noţiunii de derivată studiată în liceu. Fie RRXf →⊆: şi „ a ” punct interior mulţimii X . Din liceu se ştie că funcţia f este

derivabilă în punctul a dacă există şi este finită

( ) ( ) axafxfx

−−

→0lim

Valoarea acestei limite se notează cu ( )af ' şi admite următoarea interpretare geometrică : Prin urmare derivata funcţiei în a reprezintă panta tangentei dusă la graficul funcţiei în

punctul ( )( )afa, . Noţiunea de derivată prezentată anterior se poate generaliza prin introducerea noţiunii de

derivată parţială : RRXf →⊆ 2: şi ( )ba, punct interior mulţimii X Definiţia 2.18 Funcţia f se zice derivabilă parţial în punctul ( )ba, în raport cu variabila x dacă există şi

este finită limita :

( ) ( )ax

bafbxfax −

−→

,,lim

Valoarea acestei limite se notează ( )baf x ,' sau ( )baxf ,∂∂ şi se numeşte derivata parţială a

funcţiei f în raport cu x în punctul ( )ba, . Definiţia 2.19 Funcţia f se zice derivabilă parţial în punctul ( )ba, în raport cu y dacă există şi este finită

limita următoare :

61

( ) ( ) .,,limby

bafyafby −

−→

Valoarea acestei limite se notează ( )baf y ,' sau ( )bayf ,∂∂ şi se numeşte derivata parţială a

funcţiei f în raport cu y în punctul ( )ba, .

Definiţia 2.20 Funcţia f este derivabilă cu x pe X (respectiv y pe Y) dacă este derivabilă parţial în raport

cu x (respectiv cu y) în orice punct din X. Aceste noţiuni pot fi generalizate atât pentru funcţiile reale de variabilă vectorială cât şi

pentru funcţiile vectoriale de variabilă vectorială. Pentru funcţii reale de variabilă vectorială Fie funcţia reală de variabilă vectorială RRXf n →⊆: şi ( )naaaa ,...,, 21= un punct

interior mulţimii X. Construim vectorul variabil ( )nxxxx ,...,, 21= .

Definiţia 2.21 Funcţia f se zice derivabilă parţial în punctul a în raport cu variabila kx dacă există şi este

finită limita:

( ) ( )kk

nkkknkkk

ax axaaaaaafaaxaaaf

kk −−− +−−−

→

,...,,,,...,,,,,...,,lim 11211121

Valoarea acestei limite se notează ( )nk

aaaxf ,...,, 21∂∂ sau ( )nx aaaf

k,...,, 21

' şi se numeşte

derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila kx în punctul a.

Definiţia 2.22 Funcţia f este derivabilă pe mulţimea X dacă este derivabilă parţial în raport cu fiecare

componentă a vectorului variabil x în orice punct Xa∈ .

Exemplu

Considerăm ( ) yxeyxfRRf22 cos2 ,,: +=→ . Să se calculeze ( )0,0

xf∂∂ şi ( )2,0 π

yf∂∂ .

Avem ( ) ( ) ( ) 01

2limlim0

0,00,lim0,01

0

1

00

22

==−

=−−

=∂∂ +

→

+

→→

x

x

x

xx

xex

eex

fxfxf

( ) ( ) ( ) 01

cossin2lim2

lim2

2,0,0lim2,02

1cos

22

2

=−

=−

=−−

=∂∂

→

−

→→

yyye

yfyf

xf

y

y

yy πππ ππππ

Observaţia 2.15 Pentru a evita calculul derivatelor parţiale cu ajutorul limitelor se poate deriva direct, ţinând

cont de variabila curentă (adică variabila în raport cu care se efectuează operaţia de trecere la limită) este singura mărime variabilă care intervine în calcul, celelalte componente ale vectorului variabil

62

sunt considerate constante. De exemplu atunci când calculăm xf∂∂ , ( f fiind funcţie x şi y) vom

considera x mărimea variabilă (variabilă curentă), iar pe y îl considerăm parametru. Dacă vom

calcula yf∂∂ vom considera x parametru şi y variabil.

Pentru funcţii vectoriale de variabilă vectorială Fie funcţia ( );,...,, 21 mffff = mn RRXf →⊆: şi punctul interior ,,a” al mulţimii X.

Definiţia 2.23 Funcţia f se zice derivabilă parţial în raport cu variabila curentă kx în punctul

( )naaaa ,...,, 21= dacă există şi este finită:

( ) ( )kk

nkkknkkk

ax axaaaaaafaaxaaaf

kk −−− +−−−

→

,...,,,,...,,,,,...,,lim 11211121

Valoarea acestei limite se notează ( )nk

aaaxf ,...,, 21∂∂ sau ( )nx aaaf

k,...,, 21

' .

Practic are loc egalitatea ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂ a

xf

axf

axf

k

m

kk

,...,1

Adică derivata parţială a unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială în punctul a în raport

cu variabila kx este de fapt un vector din Rm care are drept componente derivatele componentelor

mfff ,...,, 21 ale funcţiei f în punctul a în raport cu variabila kx .

Exemplu Să se calculeze derivata lui f în raport cu x în punctul (0, 1) ştiind că

( ) ( )222 ,sin, yxxyyxf += . Avem:

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂ 1,0,1,01,0 21

xf

xf

xf

( ) ( ) 021,0 ;0cossin21,0 10

210

1 ==∂∂

=⋅⋅=∂∂ =

===

yx

yx

xxf

yxyxyxf

( ) ( ) ( ) ( )0,01,0,1,01,0 21 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

xf

xf

xf

b) Derivate de ordin superior Considerăm mn RRXf →⊆: . Presupunem că f este derivabilă parţial în raport cu

ambele variabile x şi y în orice punct Xa∈ , prin urmare putem considera funcţiile 'xf şi

RXf y →:' ( 'xf şi '

yf reprezintă funcţiile obţinute prin derivarea parţială a lui f în raport cu x respectiv y). La rândul lor şi pentru aceste funcţii se poate pune problema derivabilităţii în raport cu x sau y.

Se adoptă următoarele notaţii:

63

( ) '''2

2

xxxx

notff

xf

xf

x==

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

( ) '''2

xyyx

notff

xyf

xf

y==

∂∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

( ) '''2

yxxy

notff

yxf

yf

x==

∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

( ) '''2

2

yyyy

notff

yf

yf

y==

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

Derivatele astfel introduse se numesc derivate parţiale de ordin 2 (sau derivate parţiale mixte

de ordin 2:yxf∂∂

∂ 2

şi xyf∂∂

∂ 2

).

O problemă importantă care apare în legătură cu studiul derivatelor parţiale este aceea de a stabili condiţiile în care derivatele parţiale sau mixte sunt egale.

Teorema 2.15 (Schwatz) Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1) f este continuă în punctul ( ) Xba ∈, ; 2) există derivate parţiale mixte într-o vecinătate ( )baV , a punctului ( )ba, , atunci are loc

egalitatea acelor derivate parţiale mixte, adică:

( ) ( )baxyfba

yxf ,,

22

∂∂∂

=∂∂

∂

Observaţia 2.16 Acest rezultat se poate generaliza astfel:

Dacă f este continuă în punctul ( )ba, , km

km

yxf

∂∂∂

∃+

şi mk

km

xyf

∂∂∂ +

într-o vecinătate a punctului

( )ba, atunci are loc egalitatea:

( ) ( )baxyfba

yxf

mk

km

km

km

,,∂∂

∂=

∂∂∂ ++

Derivatele parţiale de ordin superior se pot introduce asemănător şi pentru funcţii de mai

mult de 2 variabile. Fie RRXf n →⊆: şi ( )nxxxx ,...,, 21= vector variabil curent. Dacă derivăm f în raport cu :

1x de 1k ori

2x de 2k ori nx de nk ori

Atunci se noteză concentrat această derivată parţială în raport cu variabilele ( )nxxx ,...,, 21

astfel:

64

nkn

kk

k

xxxf∂∂∂

∂...21

21

unde: nkkkk +++= ...21

Legat de derivabilitatea parţială de ordinul I şi ordin superior în probleme aplicative apar

uzual două noţiuni importante: gradientul unei funcţii şi matricea hessiană.

Gradientul: Fie RRXf n →⊆: şi punctul ( )naaaax ,...,, 21=∈ . Prin definiţie gradientul funcţiei f

în punctul a este vectorul notat ( )afgrad şi dat de egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

= axfa

xfa

xfafgrad

n

...,, 21

Matricea hessiană – este matricea notată Hess ( )af şi dată de următoarea egalitate:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

ax

faxxfa

xxf

axxfa

xfa

xxf

axxfa

xxfa

xf

af

nnn

n

n

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

Hess

Exemplu: Să se determine gradientul şi matricea hessiană asociate funcţiei ( ) xyeyxf =, în punctul (0,

1).

Gradientul

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= .1,0,1,01,0 yf

xffgrad

( ) 111,0 010

=⋅=∂∂

⇒=∂∂ =

=

exfye

xf y

x

xy

( ) 001,0 010

=⋅=∂∂

⇒=∂∂ =

=

eyfxe

yf y

x

xy

( ) ( )0,11,0 =fgrad

Matricea hessiană

65

( )( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=1,01,0

1,01,01,0 Hess

2

22

2

2

2

yf

xyf

yxf

xf

f

( ) ( ) 111,0 ; 022

22

2

2

==∂∂

⋅=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂ e

xfeyye

xxf

xxf xyxy

( ) ( )2 2

22 2; 0,1 0xy xyf f fxe x e

y y y y y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( ) 11,0 ;22

=∂∂

∂⋅+=

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

∂yxfexyeye

yxf

yyxf xyxyxy

( ) ( ) 1011,0 ;22

=+=∂∂

∂⋅+=

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

∂xyfexyexe

xyf

xxyf xyxyxy

Observaţia 2.17

Se observă că ( ) ( ) 11,0 1,022

=∂∂

∂=

∂∂∂

xyf

yxf . Această egalitate a derivatelor mixte de ordinul 2

se explică prin faptul că funcţia dată f ce se defineşte prin egalitatea ( ) xyeyxf =, verifică condiţiile teoremei lui Schwartz referitor la punctul (0, 1).

c) Derivarea funcţiilor compuse Considerăm pentru început funcţiile RRXvu →⊆:, şi funcţia RRf →2: cu ajutorul lui u, v şi f se poate defini funcţia ( ) ( ) ( )( )xvxufxFRXF , ;: =→ . Se observă că funcţia F a fost definită

ca o funcţie compusă. Se pune problema de a găsi ( )xF ' .

Observaţia 2.18

Pentru funcţii de o singură variabilă se face ca şi în liceu semnul de derivare dxd , pentru

funcţii de mai multe ori variabile vom utiliza pentru desemnarea derivatei parţiale simbolul ∂ .

Teorema 2.16 Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1) u, v sunt derivabile şi cu derivatele continue în orice punct Xx∈ ; 2) f este derivabilă parţial în arport cu ambele argumente şi are derivatele parţiale continue

în orice punct din R2. Atunci au loc rezultatele: 1) F este derivabilă şi are derivatele continue în orice punct Xx∈ ; 2) Are loc egalitatea:

( )dxdv

vf

dxdu

ufxF

∂∂

+∂∂

=' (2.35)

Observaţia 2.19 Egalitatea (2.35) arată regula după care se calculează derivata de ordin I a funcţiei compuse

F.

66

Pornind de la această egaliatate se poate determina derivata de ordinul II:

( ) ( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dxdF

dxd

xdFdxFxF 2

2

sau ''"

Avem:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdv

vf

dxdu

uf

dxd

dxdF

dxdxF" (2.36)

Avem:

( ) 2

2

2

2

"dx

vdvf

dxdv

vf

dxd

dxud

uf

dxdu

uf

dxdxF

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.37)

(ultimul membru al egalităţii (2.36) l-am scris ca o sumă de două derivate în raport cu x şi fiecare termen al acestei sume a fost derivat ca un produs).

Trebuie să determinăm în egalitatea (2.37) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vf

dxd

uf

dxd , ; deoarece

vf

uf

∂∂

∂∂ , vor fi

derivate tot după regula de derivare a funcţiilor compuse dată de egalitatea (2.35), vom avea:

dxdv

vuf

dxdu

uf

uf

dxd

∂∂∂

+∂∂

=∂∂ 2

2

2

(2.38)

2 2

2

d f f du f dvdx v v u dx v dx

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.39)

Înlocuind egalităţile (2.38) şi (2.39) în (2.37) obţinem:

( ) 2

2

2

22

2

22

2

2

"x

vdvf

dxdv

dxdv

vf

dxdu

uvf

xud

uf

dxdu

dxdv

vuf

dxdu

ufxF

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

= (2.40)

Continuând procesul de derivare până la ordinul n inclusiv al funcţiei F se observă că acesta

devine extrem de greoi în calcul. Din acest motiv reţinem doar formula de derivare generală:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

1

1

n

n

n

n

dxFd

dxd

dxFd (2.41)

Observaţia 2.20 În problemele concrete calculul derivatelor de ordin superior a funcţiilor compuse în puncte

date se realizează utilizând algoritmi speciali pentru derivarea aproximativă (care poate fi utilizată în tehnica de calcul). Problema derivării funcţiilor compuse se poate pune într-un caz mai general: fie

RRfRRXuuu nnn →→⊆ :,:,...,, 21 .

Se consideră funcţia ( ) ( ) ( ) ( )( )xuxuxufxFRXF m,...,,,: 21=→ În condiţii asemănătoare celor formulate în cadrul teoremei 1 se poate arăta că există F(x) şi

are loc egalitatea:

( )dx

duuf

dxdu

uf

dxdu

ufxF m

m∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...' 2

2

1

1

(2.42)

67

Derivatele de ordin superior ale funcţiei F se determină aplicând egalitatea (2.41), este

evident că în acest caz calculele se complică foarte mult. Din aceste motive se apelează iarăşi la algoritmi numerici, uşor programabili pe calculator,

ceea ce aproximează derivatele de orice ordin. Problema derivabilităţii funcţiilor compuse se poate pune însă şi în cazul în care funcţia F

este o funcţie compusă depinzând nu numai de o singură variabilă. Pentru început considerăm funcţiile RRXvu →⊆ 2:, şi RRf →2: .

Fie ( ) ( ) ( )( )yxvyxufyxFRXF ,,,,,: =→ Funcţia F depinde de data aceasta de 2 variabile şi prin urmare se poate pune problema

derivabilităţii sale parţiale. În condiţii asemănătoare teoremei 1 (adică u şi v sunt derivabile parţial, au derivatele parţiale continue, f este derivabilă şi are derivatele continue) atunci F este derivabilă parţial, are derivatele parţiale continue şi au loc egalităţile:

xv

vf

xu

uf

xF

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ (2.43)

yv

vf

yu

uf

yF

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ (2.44)

Derivatele parţiale de ordin superior ale lui F se calculează derivând succesiv şi având în

vedere egalităţile (2.43) şi (2.44). Calculele sunt extrem de greoaie. În general dacă avem RRfRRXuuu nn

n →→⊆ :,:,...,, 21 se poate construi funcţia compusă F dată de egalitatea: ( ) ( ) ( ) ( )( )nmnnn xxxuxxxuxxxufxxxF ,...,,,...,,...,,,,...,,,...,, 2121221121 =

În acest caz derivata parţială a funcţiei F în raport cu variabila kx se calculează după egalitatea:

k

m

mkkk dxdu

uf

dxdu

uf

dxdu

uf

xF

∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂ ...2

2

1

1

(2.45)

Sau mai concentrat:

k

in

i ik xu

uf

xF

∂∂

∂∂

=∂∂ ∑

=1 (2.46)

Derivatele de ordin superior se determină prin derivare parţială succesivă aplicând formulele

(2.45) sau (2.46). 2.3.4 Câteva aplicaţii economice importante ale noţiunii de derivate: valoare marginală, ritm de variaţii, elasticitate

În practica economică sub aspect cantitativ a multor fenomene se realizează prin analiza indicatorilor numerici asociaţi fenomenelor economice studiate.

Aceşti indicatori permit exprimarea cantitativă a legităţilor economice ce generează domeniul studiat şi prin urmare pot fi utilizaţi în problemele de decizie corespunzătoare unei anumite politici economice din domeniul în cauză.

68

Valoarea marginală Să considerăm o intreprindere industrială care cercetează într-un interval de timp determinat

o mulţime de programe de fabricaţie care diferă numai prin cantitatea fabricată q a unui anumit produs. Costul total c al unui asfel de program de fabricaţie este o funcţie foarte crescătoare în raport nu q, funcţia fiind presupusă a fi continuă într-un interval dat [ ]ba, .

Prin urmare avem dependenţa c = f (q). Creşterea Δq a cantitaţii de produs îi corespunde o crestere a costului ΔC = f (q+Δ q) – f (q).

Definiţii importante Se numeşte cost unitar mediu corespunzător variaţiei Δ q raportul următor:

qqfqqf

qc

Δ−Δ+

ΔΔ )()(

Se numeşte cost marginal unitar, obişnuit numai prin numirea prescurtată cost marginal al

produsului respectiv fabricat la nivelul q, limita costului unitar mediu ( dacă această limită există) când 0→Δq , adică tocmai derivata

( )q

qfqqfdqdcqf

q Δ−Δ+

==→Δ

)()(lim'0

Dacă, de exemplu c este exprimat în u.b. iar q în kg, se observă că pentru costul unitar

mediu unitatea în acest caz este u.b./kg şi reprezintă costul în u.b. a 1 kg produs suplimentar. Costul pentru 1 kg produs surplus este de fapt ( ) ( )qfqfc −+=Δ 1 ce corespunde la 1=Δq . Având în vedere că ( ) ( ) ( ) qqfqfqqf Δ≈−Δ+ ' , costul marginal se consideră a fi în valoare

apropiată acceptabilă – practice pentru 1=Δq , în cazul produselor fabricate în mare cantitate şi cu deosebire în unităţi indivizibile (automobile, tractoare, aparate de menaj, etc.).

Observaţie importantă Derivata, respectiv costul marginal care redă viteza de variaţie a unei mărimi în raport cu

cealaltă, au luat în considerare compararea variaţiilor absolute a celor două variabile (în limbaj economic două mărimi) x şi y.

Generalizând pentru o funcţie f a cărei semnificaţie economică poate fi şi alta decât cea prezentă mai sus al cărei graphic este o curbă continuă şi netedă (ceea ce permite ca în domeniul de cercetare funcţia să admită derivata) sunt definiţi următorii indicatori:

1. Valoarea medie locală în punctual (x, y) este mărimea:

( )yxv ,1 definită prin egalitatea ( )xyyxv

ΔΔ

=,1

2. Valoarea marginală în punctual (x, y) sau viteza de variaţie a variabilei y în raport cu

variabila x mărimea ( )yxv ,2 definită prin:

( )dxdyyxv =,2

În acelaşi timp se poate defini valoarea medie în intervalul [0, x] mărimea ( )yxv ,3 definită prin:

69

( )xyyxv =,3

Ritm de variaţie, elasticitate Mărimile cu caracter economic introduce anterior nu sunt suficiente pentru a efectua deplin

o analiză economică. Din acest motiv se impune necesitatea introducerii şi a altor mărimi economice.

Variaţia relativă a funcţiei y este yyΔ , reprezentând rata de variaţie (de creştere) a

variabilei y. Compararea acestui raport cu variaţia absolută xΔ , a variabilei independente determină

ritmul mediu de variaţie a funcţiei x

yy

Rn Δ

Δ

= .

Trecând la limită se obţine ritmul local de variaţie sau viteza relativă a lui y:

( ), 0 0lim lim lny x x x

y y dydy x dxR y

x y y dxΔ → Δ →

Δ ΔΔ= = = =

Δ

Adică tocmai derivata logaritmică a funcţiei ( )xfy = .

De exemplu, considerând indicele de consumaţie în funcţie de timp, derivata logaritmică se dovedeşte un indicator care înregistrează ritmul lui de variaţie.

Variaţiile relative ale celor două variabile x şi ( )xfy = sunt xxΔ , respectiv

yyΔ .

Compunerea lor conduce la elasticitatea medie:

xyxy

xy

yx

xx

yy

EmΔΔ

=ΔΔ⋅=

Δ

Δ

=

care reprezintă raportul valorii unitare a lui y în raport cu valoarea unitară a lui x, sau după prima expresie, raportul ratelor de variaţie ale celor două variabile.

Trecând la limită se obţine indicatorul local al elasticităţii variabilei y în raport cu variabila x:

( )( )xd

yddxdy

yx

xx

yy

Exxy ln

lnlim0, =⋅=Δ

Δ

=→Δ

Interesul practic al elasticităţii este evidenţiat când analiza economică urmăreşte variaţia

unui parametru economic a cărei creştere relativă este mult mai simplificativă decât variaţia absolută, în raport cu o variabilă cu un caracter asemănător. De exemplu, când se studiază cererea sau oferta în raport cu preţul.

Elasticitatea este un indiator de analiză economică independent de unităţile de măsură pentru cele două variabile. De asemeni putem considera elasticitatea variabilei x în raport cu y:

70

( )( )yd

xddydx

xyE yx ln

ln, =⋅=

Toţi indicatorii de analiză economică citaţi mai sus pot avea evident atât valori positive cât

şi valori negative. Să analizăm prin prisma indicatorilor definiţi mai sus următoarele două situaţii:

⎩⎨⎧

=Δ==Δ=

⎩⎨⎧

=Δ==Δ=

120 ,200010 ,100

)2 40 ,200

100 ,100 )1

yyxx

yyxx

Se obţin rezultatele:

Valoarea marginală Ritmul de creştere Elasticitate E

xy

ΔΔ

yyy

R xy Δ

Δ

=, xy

yxE xy Δ

Δ⋅=,

1) 41040

= 02,01020020

= 21040

200100

=⋅

2) 1210120

= 006,010

2000120

= 6,010120

2000100

=⋅

În situaţia a doua, valoarea marginală, echivalentă vitezei de creştere a lui y faţă de x, este de

30 de ori mai mare. În schimb sistemul de creştere şi elasticitate sunt de aproximativ 3,3 ori mai mici.

Aplicaţii ale derivatelor parţiale în economie Fiind dată funcţia definită prin ( )nxxxfx ,...,, 21= care admite derivate parţiale de ordinal

întâi nixf

i

,1 , =∂∂ , noţiunile de valoare marginală, ritm, elasticitate sunt generalizate şi pentru

funcţiile de mai multe variabile. Astfel avem:

Valoarea marginală în raport cu variabila x, este derivată parţială ix

f∂∂ ;

Ritmul în raport cu variabila x, este ix

ff ∂∂1 ;

Elasticitatea în raport cu variabila x, este i

i

xf

fx∂∂ .

Exemplu (considerând că în medie populaţia unui oraş consumă un bun material în cantităţi iq , fie ţinându-se seama de preţul ip , fie luând în considerare venitul mediu V, se poate calcula

următorii economici:

- elasticitatea consumului iq a bunului material i în raport cu preţul ip :

71

nipq

qp

Ei

i

i

ipq ii

,1 ,, =∂∂⋅=

- elasticitatea consumului iq , a bunului material i în raport cu preţul jp , a unui alt bun material:

, , 1, , i j

j iq p

i j

p qE j n j iq p

∂= ⋅ = ≠

∂

- elasticitatea consumului iq în raport cu venit:

Vq

qVE i

iVqi ∂

∂⋅=,

Se pot calcula variaţiile cheltuielilor pentru consumul bunului în funcţie de preţuri sau venit,

pentru care avem în general egalitatea iii qpc = . Pentru variaţii rezultă (folosind elasticitatea):

VdVEc

VdVEqpdpdc VqiVqiiqii iii

⋅=== ,,

De asemenea avem:

( )i

iiiipiqii p

dpEpdqdpdc

ii+=+= 1

i

i

i

ipqii p

qqp

EEii ∂

∂== ,

Expresiile de genul celor prezentate permit o analiză economică în interacţiunea variaţiilor

mai multor factori economici, atunci când legităţile respective au fost în prealabil determinate.

2.3.5. Probleme rezolvate 1. Fie funcţia ( ) xyzxyzyxzyxfRRf 3,,,: 3333 ++++=→ Să se calculeze:

a) ;,,zf

yf

xf

∂∂

∂∂

∂∂

b) zxf

zyxf

zfd

yfd

yxf

xfd

∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂∂

∂

22

2

2

2

22

2

2

,,,,,

c) df

Rezolvare:

a) ;33 ;33 ;33 222 xyzzfxzxy

yfyzyx

xf

+=∂∂

++=∂∂

++=∂∂

b) ( ) xyzyxxx

dfxx

fd 633 22

2

=++∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂=

∂

72

( ) zxzxyxy

dfxyx

fd 3133 22

+=++∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂∂

( ) yxzxyyy

dfyy

fd 633 22

2

=++∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂

( ) zxyzzz

dfzz

fd 633 22

2

=+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂=

∂

( ) xxyzyz

dfyzy

fd 333 22

=+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂=

∂∂

( ) yxyzxz

dfxzx

fd 333 22

=+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂=

∂∂

c) ( ) ( ) ( )dzxyzdyxzxydxyzyxdzzfdy

yfdx

xdfdf 333333 222 +++++++=

∂∂

+∂∂

+∂

=

2.Fie funcţia ( ){ } ( ) ( )xyarctgyxyxfRRf ++=→ 222 ln,,0,0\: .

Să se calculeze:

a) ;,yf

xf

∂∂

∂∂

b) 2

22

2

2

,,y

fdyxf

xfd

∂∂∂∂

∂

Rezolvare:

a) 22

2

2

2

2222

2

2

2

22

2

1

12 ;2

1

2yxxy

xy

xyx

yyf

yxyx

xy

xy

yxx

xf

++

=+

++

=∂∂

+−

=+

−

++

=∂∂

b) ( ) ( )( ) ( )222

22

222

22

222

2 2222222yx

xyyxyx

xyxyxyxyx

xxdf

xxfd

+

++−=

+

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂=

∂

( )

( ) ( )222

22

222

22

22

2 4222yx

xyyxyx

xxyyxyxyy

xydf

xyxfd

+

−+−=

+

+−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂∂

( ) ( )( ) ( )222

22

222

22

222

2 2222222yx

xyyxyx

yxyyxyxxy

yydf

yyfd

+

−−=

+

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂

2.3.6. Probleme propuse 1. Să se verifice existenţa limitelor iterate şi a limitei globale în origine pentru funcţia f

dată de:

73

a) ( )yx

yxyxyxf+

++−=

22

, b) ( )yx

yxyxyxf+

−++=

22,

22

c) ( )y

xyxf 1sin, = d) ( ) ( )yxyx

yxf +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1sin1sin,

e) ( )yxyxyxf

−+

=, f) ( ) 22

22

,yxyxyxf

+−

=

g) ( ) 22,yx

xyyxf+

= h) ( ) ( )xy

yxyxf 1sin, 22 +=

2. Să se verifice pentru RRf →2: continuitatea parţială şi continuitatea globală în origine:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

++=

0,0, , 0

0,0, ,2

sin, 42

633

yx

yxyx

yxxyyxf

( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0, , 0

0,0, , 3

2, 22

yx

yxyx

xyyxf

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0, , 0

0,0, , 2

3, 42

2

yx

yxyx

xyyxf

( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠++

=0,0, , 0

0,0, , 32, 22

yx

yxyxyx

yxf

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0, , 0

0,0, , , 22

32

yx

yxyx

yxyxf

3. Fie funcţia ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yxxyfyxF ,,

Să se calculeze: 2 2 2

2 2, ,d F F d Fx x y y

∂∂ ∂ ∂ ∂

Indicaţie:

Notăm yxvxyu == , . Avem:

74

vf

yx

ufx

yF

vf

yufy

xF

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

2 ;1

2

2

2

2

2

22

2

2 12v

fyvu

fu

fyxF

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∂∂

vf

yx

vf

yx

vuf

yx

ufx

yF

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∂∂

32

2

4

22

2

2

2

22

2

2 22

vf

yuf

vf

yx

ufxy

yxF

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

=∂∂

∂22

2

32

22 1

4. Fie funcţia ( ) ( )2ln, yxyxf += . Să se calculeze derivatele parţiale de ordinal întâi şi al doilea:

Indicaţie:

( )222

2

22

1 ;2 ;1yxx

fyxy

yf

yxxf

+

−=

∂∂

+=

∂∂

+=

∂∂

( ) ( )22

2

22

2

2

2 22 ;2yxy

yxf

yxyx

yf

+=

∂∂∂

+

−=

∂∂

5. Fie funcţia ( )22 yx

,+

=xyyxf .

Să se calculeze derivatele parţiale de ordinal întâi şi al doilea:

Indicaţie:

( ) ( ) ( )3 3 2 3

3 2 3 2 3 222 2 2 2 2 2

3; ; f y f x f xyx y xx y x y x y

∂ ∂ ∂ −= = =

∂ ∂ ∂+ + +

( ) ( ) 2322

222

2322

3

2

2 3 ;3yxyx

yxf

yxxy

yf

+=

∂∂∂

+

−=

∂∂

6. Fie funcţia ( ) yxyxf 22 sin, = . Să se calculeze derivatele parţiale de ordinal întâi şi al doilea:

Indicaţie:

yx

fyxyfyx

xf 2

2

222 sin2 ;2sin ;sin2 =

∂∂

=∂∂

=∂∂

yxyxfyx

yf 2sin2 ;2cos2

22

2

2

=∂∂

∂=

∂∂

75

2.4. Puncte de extrem 2.4.1. Extreme de funcţii nesupuse la legături Fie : , f I R I→ interval, f de n ori derivabilă. O condiţie necesară ca a I∈ să fie punct de

extrem este ( )' 0f a = . Mai general avem următorul rezultat:

dacă( ) ( ) ( ) ( )

( )

1' " ... 0

0

n

n

f a f a f a

f

−⎧ = = = =⎪⎨

≠⎪⎩

atunci: 1. Dacă n este par şi ( ) ( ) 0nf a > atunci a este punct de minim.

2. Dacă n este impar şi ( ) 0nf < atunci a este punct de maxim. 3. Dacă n este impar atunci a nu este punct de extrem pentru funcţia f ; el se numeşte punct

de inflexiune. Observaţia 2.21 Convenim să numim puncte de extrem ale unei funcţii, punctele de maxim sau de minim ale

acestei funcţii. Dacă dintre aceste puncte reuşim să separăm punctele care dau valoarea cea mai mare,

respectiv cea mai mică a funcţiei, acestea le vom numi puncte de maxim respectiv de minim absolut.

În cazul în care funcţia admite un singur maxim şi (sau) un singur minim acestea vor fi considerate totdeauna puncte de extrem absolute.

Exemplu 1

[ ]( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )

2

: 2, 2

' 2

' 0 2 0 0 0

" 2

" 0 2 0

' 0 0

' 0 0 2 par0 punct de minim

" 0 0" 0 0

f R

f x x

f x x

f x x x a

f x

f

f

f nff

− →

=

=

= ⇒ = ⇒ = =

=

= >

=

= ⎫ = ⎫⎪ ⎪⇒ ⇒ =⎬ ⎬>= ⎪⎪ ⎭⎭

Exemplu 2

76

( )( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )

( )

3

' 3

' 0 0 0

" 6

" 0 0

'" 6

'" 0 6

' 0 0Deci: 3 impar 0 este punct de inflexiune

'" 0 6

f x x

f x x

f x x a

f x x

f

f x

f

fn x

f

=

=

= ⇒ = =

=

=

=

=

= ⎫⎪⇒ = ⇒ =⎬= ⎪⎭

b) Puncte de extrem pentru funcţii de două variabile Se consideră funcţia de 2 variabile 2:f X R R⊆ → şi punctele ( ),a b X∈ . Definiţia 2.24 Spunem că punctul de minim al funcţiei f dacă există vecinătatea V a punctului ( ),a b aşa

încât ( ) ( ) ( ), , , ,f x y f a b x y V> ∀ ∈ . În mod uzual un astfel de punct se numeşte punct de minim relativ sau punct de minim local. Dacă are loc inegalitatea: ( ) ( ) ( ), , , ,f x y f a b x y V> ∀ ∈ punctul ( ),a b îl numim punct de minim absolut.

Definiţia 2.25 Punctul ( ),a b se numeşte punct de maxim pentru funcţia f dacă există o vecinătate V a

punctului ( ),a b aşa încât ( ) ( ) ( ), , , ,f x y f a b x y V< ∀ ∈ Uzual un astfel de punct îl numim punct de maxim relativ sau punct de maxim local. Dacă:

( ) ( ) ( ), , , ,f x y f a b x y V< ∀ ∈

acest punct îl numim punct de maxim absolut al funcţiei f . În cele ce urmează vom caracteriza analitic proprietăţile punctelor de extrem x şi vom da o

metodologie de determinare a acestora. Teorema 2.17 Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1) ( ),a b este punct de extrem (maxim sau minim) al funcţiei f . 2) Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu ambele variabile (deci există derivatele

parţiale de ordinul întâi). Atunci au loc egalităţile:

77

( )

( )

, 0

, 0

f a bxf a by

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

(2.47)

Demonstraţie Considerăm funcţia 1f de o singură variabilă definită prin egalitatea:

( ) ( )1 ,f x f x b=

Deoarece ( ),a b este punct de extrem pentru funcţia f atunci x a= este punct de extrem pentru funcţia 2f . Prin urmare avem:

( ) ( )'1 0 , 0ff a a b

x∂

= ⇒ =∂

(2.48)

Considerăm funcţia 2f de o singură variabilă definită prin egalitatea ( ) ( )2 ,f y f a y= .

Punctul ( ),a b fiind punct de extrem pentru funcţia f implică faptul că y b= este punct de extrem pentru funcţia 2f . Deci avem:

( ) ( )'2 0 , 0ff b a b

y∂

= ⇒ =∂

(2.49)

Egalităţile (2.48) şi (2.49) demonstrează teorema. Observaţia 2.22 Din această teoremă rezultă că o condiţie necesară (dar nu şi suficientă) a unui punct ( ),a b

să fie punct de extrem pentru funcţia f este îndeplinirea egalităţilor:

( )

( )

, 0

, 0

f a bxf a by

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

sau, ceea ce este echivalent, punctul ( ),a b este soluţie a sistemului:

0

0

fxfy

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

(2.50)

Un punct ( ),a b care este soluţie a sistemului (2.50) se numeşte staţionar a funcţiei f , de aici putem trage concluzia că punctele de extrem ale funcţiei f se găsesc prin punctele staţionare ale funcţiei f .

78

Teorema 2.18 Presupunem că funcţia f admite derivate parţiale până la ordinul 3 inclusiv şi că punctul

( ),a b este punct staţionar al funcţiei f . Au loc proprietăţile: 1) Dacă:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 2 2, , , 0 şi , 0f f f fa b a b a b a bx y x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⋅ − > >⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

atunci punctul ( ),a b este punct de minim pentru funcţia f . 2) Dacă:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 2 2, , , 0 şi , 0f f f fa b a b a b a bx y x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⋅ − > <⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

atunci punctul ( ),a b este punct de maxim pentru funcţia f . 3) Dacă:

( ) ( ) ( )22 2 2

2 2, , , 0f f fa b a b a bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⋅ − <⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

punctul ( ),a b nu este punct de extrem pentru funcţia f . Demonstraţie Ca şi la funcţia de o singură variabilă, unei funcţii de două variabile i se poate construi

polinomul lui Taylor de un anumit ordin, corespunzător unui punct fixat. Ordinul polinomului depinde de ordinul maxim admis de derivabilitatea funcţiei date. La noi

fiind derivabile de cel mult 3 ori înseamnă că polinomul lui Taylor asociat lui f corespunzător punctului ( ),a b va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 22 2

2 2

1, , , ,1!

1 , 2 , ,2!

f fP x y f a b x a a b y b a bx y

f f fx a a b x a y b a b y b a bx x y y

⎛ ⎞∂ ∂= + − + − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + − − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Dacă se pune problema aproximării funcţiei f prin acest procedeu vom avea egalitatea: ( ) ( ) ( )2 2, , ,f x y P x y R x y= +

unde: R2 este restul (şi care are o exprimare cunoscută în care intervin derivatele parţiale de ordin

3). Se poate demonstra că acest rest este neglijabil şi prin urmare avem egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 22 2

1, , , ,1!

1 , 2 , ,2!

f ff x y f a b x a a b y b a bx y

f f fx a a b x a y b a b y b a bx x y y

⎛ ⎞∂ ∂= + − + − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + − − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.51)

Din (2.51) şi din condiţia ca ( ),a b să fie punct staţionar pentru f rezultă egalitatea:

79

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 22

2

22

2

1, , , ,2

1 ,2

f ff x y f a b x a a b x a y b a bx x y

fy b a by

∂ ∂− = − + − − +

∂ ∂ ∂

∂+ −

∂

(2.52)

Se notează cu ( ),E a b membrul drept din (2.52).

Dacă punctul ( ),a b ar fi punct de extrem, membrul stâng al egalităţii (2.52) va păstra semn

constant pe o întreagă vecinătate a lui ( ),a b . Aceasta înseamnă că şi membrul 2 al egalităţii (2.52) pe care l-am notat E va păstra semn constant.

Scriem E sub forma următoare:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22

2 2 2

1, , 2 , ,2

x a x af f fE x y y b a b a b a bx y b x y yy b

− −∂ ∂ ∂= − + + +

∂ − ∂ ∂ ∂−

Dacă notăm x a zy b−

=−

atunci semnul lui ( ),E x y va depinde de semnul polinomului de

gradul doi în variabila z:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2, 2 , ,f f fP z z a b z a b a b

x x y y∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂

Avem următoarele situaţii: 1.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2

2 2 2

2 2

0 , , , 0

, , , 0

f f fa b a b a bx y x y

f f fa b a b a bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂Δ < ⇔ − ⋅ < ⇒⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⇒ ⋅ − >

∂ ∂ ∂ ∂

( )2

2 , 0f a bx

∂>

∂ trinomul va păstra semnul plus deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 , , 0 , ,E x y f x y f a b f x y f a b> ⇒ − > ⇒ > ⇒ punct de minim.

2.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2

2 2 2

2 2

0 , , , 0

, , , 0

f f fa b a b a bx y x y

f f fa b a b a bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂Δ < ⇔ − ⋅ < ⇒⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⇒ ⋅ − >

∂ ∂ ∂ ∂

( )2

2 , 0f a bx

∂<

∂

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 , , 0 , , ,E x y f x y f a b f x y f a b a b< ⇒ − < ⇒ < ⇒ e punct de maxim.

80

Observaţia 2.23

Dacă ( ) ( ) ( )22 2 2

2 20 , , , 0f f fa b a b a bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂Δ = ⇔ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Atunci despre punctul ( ),a b nu se poate preciza nimic în legătură cu posibilitatea de a fi punct de extrem.

a. Extremele funcţiilor de mai multe variabile (n > 2) Fie , :nf R f X R⊆ → Definiţia 2.26 Punctul ( )1 2, ,..., na a a a= este un punct de minim pentru funcţia f dacă există o vecinătate

V a punctului a aşa încât ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , , ,...,n n nf x x x f a a a x x x V> ∀ ∈ .

Punctul ( )1 2, ,..., na a a a= este un punct de minim pentru funcţia f dacă există o vecinătate

V a punctului a aşa încât ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , , ,...,n n nf x x x f a a a x x x V< ∀ ∈ . Asemănător cazului funcţiilor de 2 variabile se poate demonstra următoarea teoremă : Teorema 2.19 Dacă ( )1 2, ,..., na a a a= este punct de extrem pentru funcţia f şi dacă funcţia e derivabilă de

ordinul 1 în raport cu fiecare variabilă atunci :

( )

( )

( )

1 21

1 22

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0

, ,..., 0

n

n

nn

f a a axf a a ax

f a a ax

∂=

∂∂

=∂

∂=

∂

(2.53)

Pentru găsirea punctelor de extrem se cunosc mai multe metode, cea mai comodă fiind

bazată pe presupunerea că funcţia f este derivabilă parţial până la ordinul 3 inclusiv. Procedeul de calcul este următor : Fie ( )1 2, ,..., na a a a= un punct staţionar a lui f (adică un punct care verifică restricţiile

(2.53)). Se calculează derivatele parţiale de ordinul 2 în punctul a şi se notează :

( )2

, 1,iji j

fA a i j nx x∂

= =∂ ∂

Se calculează determinanţii :

1 11AΔ =

11 122

21 22

A AA A

Δ =

81

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

A A AA A AA A A

Δ =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nn

n n nn

A A AA A A

A A A

Δ =

……

…

( )1 2 30; 0; 0; 1, 2,3Δ > Δ > Δ > ⇒ − − punct de minim.

Există următoarele situaţii : 1) 1 0, 1,i nΔ > = . În acest caz punctul ( )1 2, ,..., na a a a= este punct de minim.

2) 1 0, 1,i nΔ < = . În acest caz punctul ( )1 2, ,..., na a a a= este punct de maxim. Observaţia 2.24 Pentru a fi punct de minim trebuie ca toţi determinanţii 1 2, ,..., nΔ Δ Δ să fie pozitivi. Pentru a

avea punct de maxim trebuie ca semnul acestor determinanţi să alterneze primul determinant fiind negativ.

Exemplu 1 Să se determine punctele de extrem pentru funcţia f dată de ( ) 3 3, 3f x y x y xy= + − . Determinăm punctele staţionare ale acestei funcţii rezolvând sistemul următor :

( )

( )( )

22 22

32 4

2

2

03 3 0 0

1 003 3 0 00

0 11) 2)

0 11 1 0

fy xx y y xx yx

f x xy xy x x xy

y x x xy yx x x x

∂⎧ =⎪ ⎧ =⎧ ⎧− = =⎧ − =∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨∂ − =− =− = − =⎪ ⎪⎩⎩ ⎩⎪ ⎪⎩=∂⎪⎩⎧ = = =⎧ ⎧⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨= =− + + = ⎩ ⎩⎪⎩

Calculăm derivatele parţiale de ordinal II:

2 2 2

2 26 ; 6 ; 3f f fx yx y x y

∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂ ∂

Cazul I. Considerăm punctul staţionar 00

ab=⎧

⎨ =⎩

82

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22 2 2 2

2 2 2

2

0,0 0

0,0 0 0,0 0,0 0,0 0 0 9 0 0,0

0,0 3

fxf f f f

y x y x yf

x y

⎫∂= ⎪

∂ ⎪⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪= ⇒ − = ⋅ − < ⇒⎬ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪∂

= − ⎪∂ ∂ ⎪⎭

nu este

punct de extrem.

Cazul II. 11

ab=⎧

⎨ =⎩

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22 2 2 2 2

2 2 2 2

2

1,1 6

1,1 6 1,1 1,1 1,1 6 6 9 27 0 1,1 6 0

1,1 3

fxf f f f f

y x y x y xf

x y

⎫∂= ⎪

∂ ⎪⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪= ⇒ − = ⋅ − = > = >⎬ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪∂

= − ⎪∂ ∂ ⎪⎭

Deci (1, 1) este punct de minim. Exemplu 2

( ) 2 2 2, , 2 4 6f x y z x y z x y z= + + + + − Calculăm punctele staţionare :

02 2 0 1

0 2 4 0 22 6 0 3

0

fx x xf y yy

z zfz

⎧∂=⎪∂ + = = −⎪ ⎧ ⎧

∂⎪ ⎪ ⎪= ⇒ + = ⇒ = −⎨ ⎨ ⎨∂⎪ ⎪ ⎪− = =⎩ ⎩⎪∂=⎪

∂⎩

Există punctul (-1, -2, 3). Calculăm derivatele parţiale de ordinal 2:

83

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

11 2

2

12

2

13

2

22 2

2

23

2

33 2

2; 0

2; 0

2; 0

1, 2,3 2

1, 2,3 0

1, 2,3 0

1, 2,3 2

1, 2,3 0

1, 2,3 0

f fx x yf f

y x zf f

z y zfA

xfA

x yfA

x zfA

yfA

x yfA

z

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂= − − =∂∂

= − − =∂ ∂

∂= − − =∂ ∂∂

= − − =∂

∂= − − =∂ ∂

∂= − − =∂

1 11 2 0AΔ = = >

11 122

21 22

2 04 0

0 2A AA A

Δ = = = >

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

2 0 00 2 0 8 00 0 2

A A AA A AA A A

Δ = = = >

( )1 2 30; 0; 0; 1, 2,3Δ > Δ > Δ > ⇒ − − punct de minim. 2.4.2. Extreme cu legături 2.4.2.1. Formularea problemei Problemele punctelor de extrem pentru funcţii supuse la restricţii (legături) reprezintă

problema centrală în teoria punctelor de extrem. Acest rol central nu derivă din faptul că extremele cu legături şi-ar găsi o mare aplicabilitate în practică, ci faptul că studiind acest capitol, în afara rezultatelor specifice sunt prezentate o serie de rezultate teoretice utile în studiul problemei de exterior în general.

Formularea corectă a unei probleme de extreme cu restricţii este următoarea: Fie : nf R R→ funcţia de eficienţă căreia dorim să-i găsim punctele de maxim sau de

minim. Considerăm de asemenea funcţiile 1 2, ,..., mF F F R→ cu ajutorul cărora se definesc

restricţiile problemei analizate. Astfel de restricţii apar uzual în forma următoare:

84

( )( )

( )

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

m n m

F x x x a

F x x x a

F x x x a

≤⎧⎪

≥⎪⎨⎪⎪ =⎩

unde 1 2, ,..., ma a a sunt mărimi cunoscute.

O problemă de extrem cu restricţii în forma ei cea mai generală apare în felul următor:

( ) ( )( )( )

( )

1 2

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

max min , ,...,

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

n

m n m

f x x x

F x x x a

F x x x a

F x x x a

⎧⎪

≤⎪⎪ ≥⎨⎪⎪⎪ =⎩

(2.54)

Dacă se notează cu D mulţimea soluţiilor sistemului de restricţii (2.54), atunci problema

determinării punctelor de extrem ale funcţiei f supuse la restricţiile (2.54) se reduce de fapt la determinarea punctelor de extrem ale lui f pe domeniul D.

Deoarece rezolvarea sistemului (2.54) este în general extrem de dificilă s-au încercat metode de determinare a punctelor de extrem pentru funcţia f supusă la restricţiile (2.54), care nu apelează la rezolvarea sistemului (2.54).

Cazul cel mai simplu este acela în care restricţiile sistemului (2.54) sunt de tip egalitate. O astfel de problemă se numeşte uzual problemă de extrem cu legături şi face obiectul celor prezentate în continuare. Rezolvarea ei se face relativ comod utilizând rezultate cunoscute ale calcului diferenţial (îndeosebi noţiunea de derivabilitate parţială).

În cazul în care în (2.54) apare cel puţin o inegalitate punctele de extrem ale funcţiei f se găsesc în mod obişnuit pe frontiera domeniului D (adică acolo unde practic nu se pune problema derivabilităţii parţiale) şi prin urmare metodele bazate pe rezultate ale calcului diferenţial nu mai sunt valabile. De aceea rezolvarea unor astfel de probleme (care sunt cele mai des întâlnite în practică) a fost realizată abia în ultimii ani. Prima metodă se datorează matematicianului Dantzig şi a apărut în 1947 în legătură cu rezolvarea unei probleme de optimizare liniară (adică a unei probleme de optimizare în care funcţiile 1 2, ,..., nF F F sunt liniare – adică variabilele 1 2, ,..., nx x x apar la puterea 1).

Ulterior au fost elaborate şi alte metode pentru rezolvarea unei probleme de optimizare cu restricţii mai generale. Este bine de ştiut însă că o problemă oarecare de optimizare cu restricţii la acest moment nu se poate rezolva în general.

85

2.4.2.2. Rezultate şi interpretarea economică a acestora Considerăm o primă problemă de extrem în formă generală:

( ) ( )( )( )

( )

1 2

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

max min , ,...,

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

n

m n m

f x x x

F x x x a

F x x x a

F x x x a

⎧⎪

=⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎩

(2.55)

Am considerat momentul drept 0 deoarece prin trecerea constantelor 1 2, ,..., ma a a în

membrul stâng şi prin notarea ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,..., , 1,i n i n iF x x x F x x x a i m= − = , suntem conduşi la o problemă echivalentă cu cea dată anterior.

Pentru rezolvarea problemei (2.55) considerăm funcţia lui Lagrange L, definită prin

egalitatea ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21

, ,..., ; , ,..., , ,..., , ,...,m

n m n i i ni

L x x x f x x x F x x xλ λ λ λ=

= +∑ .

Scalarii notaţi 1 2, ,..., mλ λ λ ce apar în construcţia funcţiei L se numesc multiplicatorii lui Lagrange şi din punct de vedere economic reprezintă aşa-numitele preţuri – umbră.

Observaţia 2.25 Pentru comoditatea calculelor în loc de ( )1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n mL x x x λ λ λ de cele mai multe ori se

notează ( )1 2, ,..., nL x x x . Se calculează punctele staţionare ale funcţiei lui Lagrange, adică se rezolvă sistemul:

0, 1,

0, 1,

i

j

L i nxL j mλ

∂⎧ = =⎪∂⎪⎨ ∂⎪ = =⎪∂⎩

(2.56)

Deoarece , 1,jj

L F j mλ∂

= =∂

(2.57)

Sistemul (2.56) se poate scrie în următoarea reprezentare:

86

( )

( )

2

1

1 1 2

1 2

0

0

0

, ,..., 0

, ,..., 0

n

n

m n

LxLx

Lx

F x x x

F x x x

∂⎧ =⎪∂⎪∂⎪

=⎪∂⎪⎪⎪ ∂⎪ =⎨∂⎪⎪ =⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩

(2.58)

Fie ( )00

201

01

002

01 ,...,,,;,...,, mn xxxx λλλ o soluţie a sistemului (2.58) aceasta înseamnă că acest

punct este staţionar pentru funcţia lui Lagrange L. Se poate demonstra uşor că dacă ( )00

201

01

002

01 ,...,,,;,...,, mn xxxx λλλ este punct staţionar pentru L atunci ( )00

201 ,...,, nxxx este punct

staţionar pentru f supus restricţiilor 0...21 ==== nFFF . Adică:

( )

( )( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=∂∂

=∂∂

0,...,,

0,...,,

0,...,,

0,...,,

002

01

002

011

002

01

002

01

1

nm

n

nn

n

xxxF

xxxF

xxxxf

xxxxf

(2.59)

Deoarece punctele de extrem ale unei funcţii de mai multe variabile se găsesc printre

punctele ei staţionare în baza celor spuse mai înainte, punctele de extrem ale lui f supuse la legăturile 0...21 ==== mFFF se vor găsi printre punctele staţionare ale funcţiei lui Lagrange.

Fie ( )1 2, ,..., na a a un punct staţionar pentru f supus la restricţiile 0...21 ==== mFFF . Calculăm diferenţa ( ) ( )nn aaafxxxf ,...,,,...,, 2121 − pentru toate punctele nxxx ,...,, 21 supuse restricţiilor ( ) ( ) ( )nmnn xxxFxxxFxxxF ,...,,...,...,,,...,, 21212211 === . (2.60)

În baza egalităţilor (2.60) rezultă imediat egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )nnnn aaaLxxxLaaafxxxf ,...,,,...,,,...,,,...,, 21212121 −=− (2.61) Deci pentru a determina dacă punctul staţionar este punct de extrem, vom evalua diferenţa

următoare: ( ) ( )nn aaaLxxxL ,...,,,...,, 2121 −

87

Presupunem că funcţiile 1 2, , ,..., mf F F F sunt derivabile parţial până la ordinul 3 inclusiv. Aplicând formula lui Taylor pentru funcţiile de mai multe variabile până la ordinul 2 (se mai spune de ordinul 2) avem egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

∂∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

++−∂∂

=−

∑=

n

jijjii

ji

nnn

nn

RaxaxaxxL

axxLax

xLaaaLxxxL

1,2

2

111

2121

!21

...!1

1,...,,,...,,

(2.62)

Derivatele parţiale de ordinul 1 şi 2 care apar în egalitatea (2.62) sunt calculate în punctul

( ) aaaa n =,...,, 21 . Deoarece punctul ( )naaa ,...,, 21 este staţionar pentru L avem:

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0,...,,

0,...,,

0,...,,

21

212

211

nn

n

n

aaaxL

aaaxL

aaaxL

- restul R2 se poate demonstra că este neglijabil; - diferenţele jjii axax −− , reprezintă creşterile argumentelor, le vom nota ji dxdx , ( idx

reprezintă de fapt diferenţiala funcţiei ( ) nixxxxf in ,1 ,,...,, 21 == ). Egalitatea (2.60) va deveni:

( ) ( ) ( )∑= ∂∂

∂=−

n

jijin

jinn dxdxaaa

xxLaaaLxxxL

1,21

2

2121 ,...,,21,...,,,...,, (2.63)

Se observă că membrul stâng din egalitatea (2.63) de fapt creşterea funcţiei L în punctul

( )naaa ,...,, 21 este ţinând seama de forma membrul drept o formă pătratică în variabilele ji dxdx , .

Notăm această formă pătratică prin ( )naaaLd ,...,, 212 .

Avem prin urmare egalităţile:

( ) ( ) ( ) ( )

( )∑= ∂∂

∂=

=−=−n

jijin

ji

nnnn

dxdxaaaxxL

aaaLxxxLaaafxxxf

1,21

221212121

,...,,21

,...,,,...,,,...,,,...,, (2.64)

Deoarece punctul ( )nxxx ,...,, 21 verifică restricţiile problemei avem egalitatea:

88

( )( )

( )

1 1 2

2 1 2

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0

, ,..., 0

n

n

m n

F x x x

F x x x

F x x x

=⎧⎪

=⎪⎨⎪⎪ =⎩

(2.65)

Diferenţiem egalităţile (2.65):

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

++∂∂

+∂∂

0...

0...

0...

22

11

22

2

21

1

2

12

2

11

1

1

nn

mmm

nn

nn

dxxF

dxxF

dxxF

dxxF

dxxF

dxxF

dxxFdx

xFdx

xF

(2.66)

Egalităţile (2.66) pot fi interpretate ca ecuaţiile unui sistem de m ecuaţii şi n necunoscute,

aceste necunoscute fiind ndxdxdx ,...,, 21 . Se poate demonstra că determinantul următor:

m

mmm

m

m

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=Δ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

este nenul şi atunci sistemul (2.66) se poate rezolva în baza teoremei lui Cramer. Vom

explicita m din cele n variabile ndxdxdx ,...,, 21 . Aceasta înseamnă că vom rămâne doar cu s = n – m variabile independente. Pentru comoditate vom presupune că aceste variabile independente sunt

sdxdxdx ,...,, 21 . Introducând variabilele găsite (în sensul de a fi variabile găsite în urma rezolvării sistemului)

în egalităţile (2.64) obţinem:

( ) ( ) ∑=

=−s

jijiijnn dxdxAaaaLxxxL

1,2121 2

1,...,,,...,,

Unde coeficienţii ijA sunt obţinuţi în urma înlocuirii în (2.64) regrupării şi renumerotării. Practic am obţinut o formă pătratică în variabilele sdxdxdx ,...,, 21 .

Dacă această formă pătratică păstrează semn constant atunci punctul ( )1 2, ,..., na a a este punct de extrem. Mai presus, dacă forma pătratică este pozitiv definită vom avea punct de minim, iar dacă forma pătratică este negativ definită vom avea punct de maxim.

Observaţia 2.26 Condiţia ca forma pătratică să fie pozitiv definită este echivalentă cu condiţia:

0,...,, 21 >ΔΔΔ s (2.67)

89

unde: 1 11AΔ =

11 122

21 22

A AA A

Δ =

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

A A AA A AA A A

Δ =

11 12 1

21 22 2

1 2

s

ss

s s ss

A A AA A A

A A A

Δ =

……

…

Concentrat condiţia (2.67) se scrie sub forma: sii ,1 ,0 =>Δ

Observaţia 2.27 Condiţia ca forma pătratică să fie negativă definită este echivalentă cu faptul că: ( ) skk

k ,1 ,01 =>Δ− Determinanţii kΔΔΔ ,...,, 21 sunt cei daţi anterior. Observaţia 2.28 Condiţiile date de la observaţia (2.26) şi (2.27) sunt de fapt condiţiile de la extremele

funcţiilor de mai multe variabile ( )2>n . Uneori este mai comod să lucrăm cu forma pătratică, atunci este mai comod să lucrăm cu

aceşti determinanţi. Dacă vom lucra cu aceşti determinanţi înseamnă că vom fi conduşi la un rezultat sigur (punctul staţionar este de maxim, este de minim sau nu este punct de extrem), dar metoda este incomodă din punct de vedere de calculat orice.

2.4.3. Probleme rezolvate 1. Să se găsească punctele de extrem ale funcţiei:

( ) 333,, zyxzyxf ++= supus la legătura

( )

033,,

222222 =−++⇔=++zyxF

zyxzyx

Construim funcţia lui Lagrange:

( ) ( ) ( )zyxFzyxfzyxL ,,,,,,, λλ += ( ) ( ) ( ) 0,, 3,,, 222333 =−+++++= zyxzyxzyxzyxL λλ

Determinăm punctele staţionare pentru L:

90

( )( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++

=+=+=+

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++

=+=+=+

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=+

=+

=+

⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

03023023023

03023023023

3023023023

0

0

0

0

222222222

2

2

2

zyxzyx

zyxzzyyxx

zyxzzyyxx

LzLyLxL

λλλ

λλλ

λ

λ

λ

λ

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−++

−=

−=

−=

03323232

222 zyx

z

y

x

λ

λ

λ

033

432

=−λ

Deci: 23 ,

492 ±== λλ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−=−=

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

−=

111

23

)2

111

23

)1

zyx

zyx

λλ

soluţie nesatisfăcătoare

Există un singur punct staţionar: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

111

cba

Calculăm diferenţialele:

( ) ( ) ( )( )dzzzdyyydxxxdL λλλ 232323 222 +++++= ( )( ) ( )( ) ( )( )2222 262626 dzzdyydxxLd λλλ +++++=

23

−=λ

( )( ) ( )( ) ( )( )2222 363636 dzzdyydxxLd −+−+−= Diferenţiem legătura:

91

( )dydxdzzdzydyxdxdF +−=⇒=++=210222

Deci: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 16 3 6 3 6 34

d L x dx y dy z dx dy= − + − + − ⋅ +

Calculăm: ( )1,1,12 Ld ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dxdydydxdxdydydxdydxdydxLd ++=++=+++= 2222222 66663331,1,1

0279366336

66

326326

6

2221

12112

111

22

21

12

11

>=−===Δ

==Δ=

====

=

AAAA

AAAAA

⇒⎭⎬⎫

>Δ>Δ

00

2

1 punctul ( )1,1,10M este punct de minim.

2. Să se determine extremele cu legături ale funcţiei:

( ) zyxzyxf 22,, +−= cu legătura 9222 =++ zyx . Rezolvare: Se construieşte funcţia lui Lagrange: ( ) ( ) .92,,, 222 −+++−= zyxyxzyxL λλ Determinăm punctele staţionare condiţionate prin

rezolvarea sistemului:

9,022 ,022 ,021 222 =++=+=∂∂

=+−=∂∂

=+=∂∂ zyxx

zLx

yLx

xL λλλ

Din primele trei relaţii obţinem: λλλ1 ,1 ,

21 −==−= zyx înlocuind în ultima relaţie,

obţinem: 21 ±=λ . Aşadar, găsim următoarele puncte staţionare condiţionate ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,2,2,1 1A ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,2,2,1 2A . Calculăm ( )λ,,,2 zyxLd în punctele 1A şi 2A .

dydzzy

Ldxdzzx

LdxdyyxLdz

zLdy

yLdx

xLLd

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=222

22

22

2

22

2

22 222

0 ,2222

2

2

2

2

2

2

=∂∂

∂=

∂∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

=∂∂

=∂∂

zyL

zxL

yxL

zL

yL

xL λ

( )2222 2 dzdydxLd ++= λ

92

Diferenţiala legăturii ne dă 0222 =++ zdzydyxdx , de unde ( )zdzydyx

dx +−

=1 . Înlocuind

pe dx în expresia lui Ld 2 obţinem:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++= 222

22 12 dzdyzdzydy

xLd λ

În punctul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,2,2,1 1A obţinem:

( ) 22

12 585 dzdydzdyALd ++=

Aşadar, pentru forma pătratică avem 5 ,4 ,5 22211211 =−=== aaaa . Deci

09 ,05 21222112111 >=−=Δ>==Δ aaaa . În concluzie ( )2,2,1 −− este un punct de minim,

9min −=f .

În punctul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,2,2,1 2A obţinem ( ) 22

22 585 dzdydzdyALd ++−= , aşadar, pentru forma

pătratică avem ( )( ) 09455 ,05 221222112111 >=−−−=−=Δ<−==Δ aaaa . În concluzie ( )2,2,1 −

este un punct de maxim, 9max =f . 2.4.4. Probleme propuse 1. Fie ( ) xyyxfRRf =→ , ,: 2 . Să se determine extremele funcţiei f ştiind că

0532 =−+ yx .

Indicaţie: ( ) ( ) λλλλ 3 ;2 ;532,, +=∂∂

+=∂∂

−++= xyLy

xLyxxyyxL

dydydxdxdyLdA23dx ,032 , ,

125,

65,

45 2

1 −==+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − rezultă că ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<−=

65,

45 ,0

23 22 dyLd

- punct de maxim. 2. Fie ( ) xyyxfRRf =→ , ,: 2 . Să se determine extremele funcţiei f ştiind că 1=+ yx . Indicaţie:

( ) ( ) λλλλ +=∂∂

+=∂∂

−++= xyLy

xLyxxyyxL ; ;1,,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<−==+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21,

21 ,0 ,0 , ,

21,

21,

21 222

1 dyLddydxdxdyLdA - punct de maxim.

3. Fie ( ) ( ) 222 1, ,: yxyxfRRf +−=→ . Să se determine extremele funcţiei f. ştiind că

122 =− yx . Indicaţie:

93

( ) ( ) ( ) ( ) yyyLxyx

xLyxyxyxL λλλ 22 ;212 ;11, 2222 −=

∂∂

+−=∂∂

−−++−=

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ;2222 ,0,0,1 12222

1 >−++= ALddydxLdA λλ ( )0,1 - punct de minim. 4. Fie ( ) zyxzyxfRRf 22,, ,: 3 −+=→ . Să se determine extremele funcţiei f. ştiind că

16222 =++ zyx . Indicaţie:

( ) ( ) zzLy

yLx

xLzyxzyxzyxL λλλλ 22 ;22 ;21 ;1622,, 222 +−=

∂∂

+=∂∂

+=∂∂

−+++−+=

( ) .0 ,222 ,38,

38,

38,

34 ,

38,

38,

38,

34

122222

21 <++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− ALddzdydxLdAA λλλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

38,

38,

34 punct de maxim

( ) ,022 >ALd .

38,

38,

34

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− punct de minim.

BIBLIOGRAFIE [1] Inacu, C., Pop, M., Probabilităţi şi statistică matematică, Ed. Servoset, Arad, 1996 [2] Iosifescu, M., Mihoc, Gh., Teodorescu, R., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1966 [3] Mitran, I., Matematici aplicate în economie, vol. I,II, Lito. Universităţii din Petroşani, 1996 [4] Popescu, O., Matematici aplicate în economie, vol. I,II, E.D.P., Bucureşti, 1993 [5] Stanci, P., Criveam, Gh., Fiks, W., Matematici aplicate în economie, Ed. Facla, Timişoara, 1981 [6] Stovre, P., Matematici aplicate în economie, Ed. Serinul Românesc, Craiova, 1982