Matematici aplicate in economie (manuale facultate) editura universitara, univ romano americana,...

UNIVERSITATEA ROMÂNO AMERICANĂ BUCUREŞTI

Radu DespaCătălina Visan Carm en Pricinăt

Cristina Coculescu M aria Burac Ovidiu Solomon

RADU DESPACĂTĂLINA VIŞAN CARMEN PRICINĂ

CRISTINA COCULESCU MARIA BURAC OVIDIU SOLOMON

MATEMATICI APLICATE

ÎN

ECONOMIE

E UEditura UNIVERSITARA

Bucureşti, 2006

CUPRINSCAPITOLUL I: MODELARE ŞI OPTIMIZARE LINIARĂ....................... 5

§ 1. Elemente de algebră liniară................................................................... 71. Spaţii liniare................................................................................ .......... 72. Spaţiul liniar R n .................................................................................... 73. Sisteme de vectori în R n. Dependenţa şi independenţa liniară.

Bază în R n ........................................................................................... 94. Stabilirea naturii unui sistem finit de vectori în R n .............................. 145. Metoda eliminării complete (Gauss-Jordan) de rezolvare a unui

sistem de ecuaţii liniare......................................................................... \η6. Mulţimi convexe în R n ........................................................................ 25

Probleme............................................................................................... 26

§ 2. Elemente de programare liniară.......................................................... 321. Problema programării liniare. Modelul matematic al problemei de

programare liniară................................................................................ 322. Diverse forme ale modelului matematic al problemei de programare

liniară................................................................................................... 363. Soluţii ale problemei de programare liniară şi proprietăţile lor........... 414. Rezolvarea unor probleme de programare liniară prin metode

elementare............................................................................................ 435. Algoritmul simplex. Bazele teoretice ale algoritmului simplex........... 506. Metoda bazei artificiale......................................................................... 657. Cazul când sistemul de restricţii conţine inegalităţi de acelaşi sens..... 72

Dualitate în programarea liniară............................................................ g 1§ 3. Programarea transporturilor.................................................................... 91

1. Enunţul problemei de transport. Modelul matematic........................... 912. Metode de determinare a soluţiilor iniţiale de bază într-o

problemă de transport........................................ .................................. 943. Determinarea soluţiei optime a problemei de transport prin metoda

potenţialelor (Danzig).......................................................................... 974. Problema de transport neechilibrată......................................................1015. Degenerarea în problema de transport.................... ..............................103

Probleme...............................................................................................106

CA PITOLU L II : ELEM ENTE DE ANALIZĂ M ATEM A TICĂ..... 147§ 1. Funcţii de două şi mai multe variabile reale................. ......................... 147

1. Mulţimi şi puncte în R"......................................................................... I472. Limita şi continuitatea funcţiilor de două variabile............. ................. 149

419

3. Derivate parţiale.....................................................................................1524. Diferenţiala funcţiei de două variabile...................................................1535. Funcţii de n variabile..............................................................................1566. Extremele funcţiilor de două variabile........................................ ..........1587. Extremele funcţiilor de n variabile........................................................ 161

8. Extreme condiţionate............................................................................. 163Probleme................................................................................................ 165

CAPITOLUL ΙΠ: M ODELE LINIARE ŞI NELINIARE DEAJUSTARE A DATELOR EXPERIMENTALE....................................... 174

§ 1. Ajustarea datelor experimentale prin metoda celor mai mici pătrate .... 1741. Modelul liniar..........................................................................................1762. Modelul parabolic................................... ............................................... 179

Probleme................ ................................................................................184

CAPITOLUL IV : ELEM EN TE DE TEORIAPR O B A B ILITĂ ŢILO R ............................................. 189

§1. Câmp de evenimente, câmp de probabilitate..............................................1891. Concepte de bază.................................................................................... 1892. Relaţii şi operaţii cu evenimente............................................................ 1913. Definiţia statistică a probabilităţii.......................................................... 1974. Definiţia axiomatică şi clasică a probabilităţii....................................... 1995. Probabilităţi geometrice......................................................................... 2036. Proprietăţi ale probabilităţii.................................................................... 2067. Probabilitatea condiţionată. Regula de înmulţire şi regula de

adunare a probabilităţilor.......................................................................2098. Scheme probabilistice clasice................................................................. 214

§ 2. Variabile aleatoare...................................................................................... 2211. Variabile aleatoare unidimensionale discrete şi continue.....................2212. Operaţii cu variabile aleatoare. Independenţa..... ...................................2233. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare................................. 2364. Momente iniţiale şi momente centrate.................................................. 2385. Repartiţii clasice discrete şi continue..................................................... 247

Repartiţia hipergeometrică............................................................... 247Repartiţia Poisson............................................................................ 249Repartiţia binominală....................................................................... 252Repartiţia geometrică....................................................................... 254Repartiţia uniformă.......................................................................... 257Repartiţia Gama.............................................................................. . 261

420

Repartiţia exponenţial negativă...................................................... 262Renartitia normală 263

Probleme.............................................................................................. 269

CAPITOLUL V: ELEM ENTE DE STATISTICĂ M A TEM A TICĂ . 309

§ 1. Obiectul statisticii matematice. Noţiunea matematică de selecţie.Funcţia de repartiţie a selecţiei. Momente de selecţie........... ............... 3091. Obiectul statisticii matematice.............................................................. 3092. Repartiţia selecţiei. Funcţia de repartiţie a selecţiei.............................. 3123. Momente de selecţie.............................................................................. 31g

§ 2. Selecţii dintr-o populaţie normală....................................................... 3211. Introducere............................................................................................ 3212. Repartiţia mediei de selecţie, pentru selecţii dintr-o populaţie

normală................................................................................................. 3213. Repartiţia dispersiei de selecţie pentru selecţii dintr-o populaţie

normală................................................................................................. 325§ 3. Elemente de teoria estimaţiei................................................................ 330

1. Noţiuni introductive.............................................................................. . 3302. Estimaţii punctuale ale parametrilor...................................................... 332

3. Estimaţii deplasate şi nedeplasate......................................................... . 3334. Estimaţii consistente...............................................................................339

5. Estimaţii eficiente.................................................................................. . 3416. Metode de determinare a estimaţiilor pentru parametrii repartiţiilor

statistice................................................................................................. 3447. Intervalele de estimaţie.......................................................................... 3538. Funcţia de repartiţie a selecţiei, momente de selecţie............................ 363

Probleme................................................................................................ 365

CAPITOLUL VI: ELEM ENTE DE M ATEM ATICIFINANCIARE ŞI A CTU A RIA LE........................................................371§1. Operaţii financiare certe.......................................... ..............................371

1. Dobânda simplă..................................................................................... 3712. Dobânda compusă................................................................................. 3733. Plăţi eşalonate (anuităţi)........................................................................ 382

3.1. Anuităţi constante postcipate........................................................ 3833.2. Anuităţi constante anticipate......................................................... 3873.3. Plăţi eşalonate fracţionate............................................. ................390

4. împrumuturi.......................................................................................... 393Probleme............................................................................................. 401

421

CAPITOLUL VH: OPTIMIZAREA GESTIUNII STOCURILOR... 409Modele deterministe şi modele aleatoare................................................... 409§ 1. Modele deterministe...............................................................................409

Modelul 1. Gestiune (stoc) cu perioada fixă, cerere constantă şi fărăposibilitatea lipsei de stoc.....................................................................409

Modelul 2. Gestiune (stoc) cu perioadă fixă, cerere constantă şi cuposibilitatea lipsei de stoc.................................................................... 412

Probleme..................... ..........................................................................415

Bibliografie.......................................................................................................417

422

P R E F Ă T Ăt

Este bine cunoscut faptul că etapa actuală de dezvoltare se caracterizează printr-o complexitate şi diversitate a fenomenelor economice implicând abordarea lor pe bază ştiinţifică.

Această abordare nu mai este posibilă fără a recurge la folosirea unui aparat matematic auxiliar adecvat. Luarea unei decizii economice presupune antrenarea unor resurse materiale şi umane importante neputând f i eficientă şi realistă decât dacă se bazează pe un instrument matematic adecvat şi p e o analiză temeinică a fenomenului supus modelării.

O modelare economică riguroasă exclude cu desăvârşire o abordare empirică, aduce un plus de informaţie şi conferă cercetării un grad sporit de încredere.

Prezentul curs cuprinde materia predată la disciplina „Matematici aplicate în economie” în anul I al facultăţilor economice din cadrul Universităţii Româno-Americane: Management-Marketing, Relaţii Comerciale şi Financiar Bancare Interne şi Internaţionale, Economia Turismului Intern şi Internaţional, Studii ale Integrării Economice Europene.

Noţiunile prezentate în manual înarmează studentul economist cu instrumentul matematic necesar abordării problematicii ce ajută la modelarea fenomenelor economice cu caracter determinist sau aleator.

Manualul urmăreşte îndeaproape programa analitică şi vine în sprijinul studenţilor cu un mare număr de probleme atât rezolvate cât şi propuse pentru rezolvare. De asemenea, precizăm că această carte se adresează tuturor studenţilor economişti, precum şi tuturor specialiştilor din diverse sectoare ale economiei şi constituie un auxiliar preţios în activitatea şi practica lor economică.

Autorii

5

CAPITOLUL I

MODELARE ŞI OPTIMIZARE LINIARĂ

§ 1. Elemente de algebră liniară1. Spaţii liniare.Fie Jt o mulţime nevidă şi Di un corp. Pe Jt se defineşte o lege de compoziţie internă notată aditiv:

+ : c iX Jt (a, b)\ -4 a + bşi o lege de compoziţie externă notată multiplicativ :

• :D ix J t-^ J t ( a ,a ) \ - ^ a a , a& DiDefiniţie'. Mulţimea Jt este un spaţiu liniar sau vectorial peste corpul Di dacă

sunt satisfăcute condiţiile (axiomele spaţiului liniar):1° (a + b) + c = a + (b + c), (\/)a ,b ,c,E j t2° Oe astfel încât a + 0 = 0 + a — a (V)a G Jt3° - a e astfel încăt a + ( - a ) = ( - a ) + a = 0 (V)a G4° a + b = b + a , (V )a,èG Jt5° l - a = a, (V )a G Jt6° a (ß a ) = (a ß )a , (V )a ,ß eDi, (V)a g J7° a (a + b) = oca + ab, (V )aG JTşi (V)aGof8° (a + ß )a - a a + ßa, (V )a ,ß G K si (V)a<=£

Vom nota spaţiul liniar cu dubletul Di )Observaţii:a) Condiţiile 1° - 8° se mai numesc axiomele spaţiului liniar J? ;b) Am notat cu 1 elementul unitate al corpului Di ;c) Dacă avem Di - <R,{ se numeşte spaţiu liniar real

Dacă Di=£, (=£ C) se numeşte spaţiu liniar complexElementele a, b, c,...e Di se numesc vectori iar elementele α, ß ,...e Di se numesc scalari.

2. Spaţiul liniar R n. Fie n > 1 un număr natural şi fie R" mulţimea tuturor sistemelor ordonate de n numere reale de formaa = (a l , a 2,...a,!), a,. G R notată

n ori

Rn - R x R x . . . R = {a = {ax,a 2,...an) ! g R , i - 1,2,...«}

Dacă a e R şi a , b e R n, a = ( α „ α 2,···«„); b = (ß l , ß 2,...ß n) atunci definim două operaţii: una internă

defa + b - + ß x,a 2 + ß 2,...dn + ß n) şi alta externă

defoca = ( a a {, a a 2,...aan)

în R n remarcăm prezenţa elementelor:0 = (0,0,...0) elementul neutru (vectorul nul în R n ) şi- a = (-a , , - a 2 ,...,-CCn ) numit opusul lui a

Se arată că cele două operaţii satisfac cele opt condiţii (proprietăţi) care definescstaţiul liniar precum şi proprietăţile 1° - 3°. Rezultă că R n este un spaţiu liniar.

Elementele lui R n astfel definit se numesc vectori linien- dimensionali, elementele lui R se numesc de asemenea scalari iar R n se numeşte spaţiul real de dimensiune finită n, sau spaţiul vectorilor ^-dimensionalipeste corpul de scalari R. Dacă a e R n, a = ( a , ,a 2,...a„) atunci oţ se numeşte componentă sau coordonată de rang i a lui a { ! < /< « )

Orice vector aE R" (de dimensiunea n) are n componente.în R n se defineşte egalitatea a două elemente şi anume dacă

a = (a \ ,a 2,...,ccn) ş i b = ( ß l,ß 2,...,ß„) atunci a = b<^>ai - ß t (V)t = 1,2,...«

Deseori este avantajos să considerăm vectorii din R n sub formă de vectori coloană

a ‘ = ( a v a 2,...any =

a K

a / e R i - 1,2,...«

în acest caz R n se va numi spaţiul vectorilor coloană « 'dimensionali.Exemple·. Fie în R 3 vectorii liniari a = ( 2,-1,0^ ; b = (1,2,·-3) şi scalarul a =

2. Avem:a + b = (2 -1 ,0 ) + (1,2,-3) = (2 +1,-1 + 2,0 + (-3 )) = (3,1,-3)

2a = 2(2 - 1,0) = (2 · 2 ,2( - l ),2 · 0) = (4 -2 ,0 )

a ~ b —— o. + (-1 )b = (2 -1 ,0 ) + -1 (1 ,2 -3 ) = (2 -1 ,0 ) + ( -1 -2 ,3 )

= ( 1 - 3 - 3 )

3. Sisteme de vectori în R n. Dependenţa şi independenţa liniară. Bază în R n.

Definiţie·. Mulţimea {aj.flj»— de vectori cu a,· € R n 1 < i <m , m fixat se

numeşte sistem finit de m vectori din spaţiul R n şi-l notăm cu S.Definiţie: Orice submulţime nevidă S ' a lui S (S ' C S ) se numeşte subsistem al

lui S.Definiţie·. Orice sistem de vectori S ” care conţine ca subsistem pe S,

(S ' O S ) se numeşte suprasistem al sistemului S.

Definţie: Fie au a2,...an E R n şi aE R n . Dacăm

a = A,flj + λ 2α2 + ... + cu 6 R, 1 < i < m spunem că a se;=i

exprimă ca o combinaţie liniară a vectorilor al,a 2,-..am

Definiţie·. Un sistem finit de vectori {o\,a2,...am} din R n se numeşte liniardependent dacă există scalarii λ χ, λ2 E R nu toţi nuli astfel încâtAjûj + λ 2α2 + ... + Àmam = 0 .

Definiţie·. Sistemul finit de vectori {a,,a2,...am} din R nse numeşte liniar independent dacă şi numai dacă relaţiaA,α, + λ 2α2 + ... + λ ηαιη = 0 implică A, = λ 2 = ... = Am = 0 , unica soluţie.

Exemple:1°. Vectorii ßj = (1,2,-1) ; α2 = (2 ,- l,l) ; α3 = (-1 ,3 ,-2 ) sunt liniar

dependenţi deoarece există scalarii nenuli A] =1,A2 = — 1, A3 = - 1 astfel încât Ajûj "f* λ 2@2 “I- A^flj 0 adica cix û2 ^ — 0 .

2°. Vectorii α, = (2,1,1) ; α2 = (1-1,0) ; α3 = (3,0,2) sunt liniari

independenţi deoarece relaţia Α,α, + λ 2α2 4- Α3α3 = 0 nu are loc decât dacă Aj = A2 = A3 := 0 ;într-adevăr: Aj (2,1,1) + A2 (1,-1,0) + A3 (3,0,2) = 0 = (0,0,0) care conduce la sistemul omogen în necunoscutele A,, A2, A3 :

9

• Aj - A2 = 0

Aj + 2A3 = 0

a cărui soluţie este soluţia nulă A, = A2 = A3 = 0 .

în definiţia dată lui Rn am afirmat că acesta este spaţiul real de dimensiune η. Vom lega acum noţiunea de dimensiune a spaţiului R n cu noţiunile de independenţă liniară a vectorilor prin următoarea propoziţie pe care o dăm fară demonstraţie.

Propoziţie: în R n numărul maxim de vectori liniar independenţi este egal cu n adică cu dimensiunea spaţiului.

Prin urmare în R n nu pot exista sisteme de vectori liniar independenţi care să conţină un număr de vectori mai mare ca n-dimensiunea spaţiului, (orice sistem den +p vectori p > 1, p € N în R n este liniar dependent).

Bază în R n .Definiţie·. Orice sistem de n vectori \ax,a2,...an] liniar independenţi din R n

se numeşte bază a spaţiului R n .Rezultă că orice bază a spaţiului R n conţine exact n vectori.(numărul maxim de

vectori liniar independenţi în R n = numărul vectorilor oricărei baze = dimensiunea spaţiului R n = n). Notăm cu B — {α,, a2 ,...a„ }. o bază din R n

Exemple·.

Fie în R n sistemul de vectori {e] ,e 2,···£„}

ex - (l,0 ,...0),e2 - (0,1,.···0)>···β„ = (0,0,...1) Să arătăm că acest sistem

formează o bază în R n. Va trebui să demonstrăm independenţa sistemului. într- adevăr, dinAjg, + A2e2 + ... + Ănen = 0 rezultăΑ,α,Ο,.,.Ο) + A2(0,1,...0) + ...A„(0,0,...l) = (0,0,...0) (Aj ,Ο,.,.Ο) + (0, A2,...0) + ... + (0,0,...A J = (0,0,...0)adică Aj = A2 = ... = A„ = 0 . Deci sistemul este liniar independent şi formează o

bază în R " . Vectorii e],e 2,...en se numesc vectori unitari ai spaţiului R n, iar

baza B = {e[,e 2,...en} se numeşte baza unitară a spaţiului R" . Matricea formată cu componentele vectorilor unitari este matricea unitate de ordinul n:

2Âj + A2 + 3 A3 = Ο

10

(\ ο . . . ολ Ο 1 . . . ο

ηΟ Ο ... 1\ /

Teorema bazei Fiind dată o bază în spaţiul R n , orice vector a E R n se poate exprima în mod unic ca o combinaţie liniară a vectorilor bazei.

Demonstraţie: Fie o bază B - {α],α2,...α„} a spaţiului R n şi un vector

a E R n . Vectorii a ,a x,a 2,...an sunt evident liniar dependenţi, deci putem scrie:

ka + k]al + k2a2 + ··· + knan ~ 0 unde nu toţi kt sunt nuli. Numărul k este diferit de zero, deoarece în caz contrar din relaţia precedentă ar rezulta că a , , a2,...an sunt liniar dependenţi (absurd, formează bază)Deducem prin urmare:

k 1 k2 λa = — — a , — —a2 —. . .— — an = Α,α, + A2a2 + ... + Λ an adică orice vector

k k ka E R n se exprimă ca o combinaţie liniară a vectorilor bazei. Să demonstrăm unicitatea. Presupunem că ar exista două exprimări lui a în baza ß ,, a2 ,...a„. Fie : a = λ χαχ + λ 2α2 + ... + λ ηαη

a = λ (a, + λ'2α2 + ... + λ'ηαη ^Scăzându-le obţinem:(Aj - A,'’)«, + (A3 — λ 2)α2 + ... + (A„ - λ'η)αη = 0 dar din cauza independenţei vectorilor a{,a 2,...an rezultă Af — λ · = 0,1 < i < n deci λ ί - λ \ \ < i < n şi exprimarea (*) a lui a este unică.

Dacă a E B fie a = α;·, i — 1, n Atunci B fiind bază, a se poate scrie:

a = A|û] + A2#2 ··· ^ Α,-öj + ... + λ ηαη

Am văzut deci că într-o bază dată B = {al,a 2,...an}(Z R n orice vector

aE R n se exprimă prin combinaţia liniară a vectorilor bazei:(1) a. — Α,α, + A2îï2 "t" ··· Ί" λ ηαη, Aj, Α2,..·Αη e RScalarii Α],Α2,...ΑΠ din (1) se numesc coordonatele (componentele) vectorului a în baza B.

a, bG. R n,CCj ,ß i E R, i = 1,2,...n fiind coordonatele vectorilor a şi b în bazaunitară. Fie λ ι , λ 2,···λη şi μ ι ,μ 2,...βιι coordonatele vectorilor a, respectiv b în baza B formată cu vectorii a ,, a2 . Avem:

ü + b — λ χΰ χ + λ 2 (Χ2 + ^ λ ηΟ·η 1^1 J<~ ” * ß n ^ n ~

= (A, + μ χ )α, + (Aj + μ2 )a2 +... + (A„ + μη )anrelaţie care exprimă că vectorul a+b are în baza B coordonateleAi + / ί„Α 2 + μ 2,...,ΑΙΙ+ μ ι,

De asemenea, vectorul λα se va scrieλα - A (A, a, + Ă2a2 + ... + λ ηα„ ) =' ΑΑ,α, + λ λ 2α2 + ... + λ λ ηαηrelaţie care exprimă vectorul λα în baza aXia2,...an şi din care rezultă căcoordonatele lui λα în această bază sunt λ λ χ,λ λ 2,...λλη.

In consecinţă deducem că şi într-o bază oarecare (nu numai în baza unitară) la adunarea vectorilor coordonatele lor se adună iar îa înmulţirea eu un scalar se înmulţesc coordonatele vectorului în acea bază cu scalarul. Evident că în orice bază coordonatele vectorului nul sunt egale cu zero.

Obs. Fie în R n vectorul a = {(Χλ, &2, şî fie \e l ,e 2,...en} baza unitară aspaţiului. Suntem acum în măsură să facem precizarea:numerele (Xx,(X2i...a n sunt coordonatele vectorului a în baza unitară a spaţiului . într-adevăr avem:a - (a x,a 2,...an) = Ăle l +Ă2e2 + ... + Xnea -

- A jO A -O ) + A2(0 ,1,0 ...0 ) + ... + λ η (0.0,··· 1) =

= (Aj ,Ο,.,.Ο) + (0 ,A 2,0...0) + ...(0,0,· A ) == (Aţ, A2 ,...A„ ) => Aj = ccx, A2 = oi2 , - A = a n

De exemplu pentru vectorul a = (2,3,5) € R numerele 2,3,5 suntcoordonatele lui, în baza unitară ex = (1,0,0) ; e2 = (0,1,0) ; e3 = (0,0,1) a lui

R* şi în această bază a se va scrie: a ~ 2ex + 3e2 + 5e2Curn se exprimă a ïntr-ο bază oarecare vom arăta în continuare.

3 · ·Exemplu: Se consideră în R vectorii daţi în baza unitară a spaţiului:

fo ! r n r i l ( Aa, = 1 ; a 2 = 0 ; «3 = 1 şi a - 6

1V 1 0\ 4V y

12

1° Să se arate că vectorii ax,a 2,a3 formează o bază în R 3 ;2 “Aflaţi coordonatele vectorului a în această bază.

Soluţie·. într-un spaţiu de dimensiune n, oricare n vectori liniar independenţi formează o bază. Vectorii a \,a 2, a3 sunt liniar independenţi deoarece k\U\ + k2a2 + k3a3 = 0 => k x = 0, k2 = 0, k3 = 0 într-adevăr:

k \

(<0 Γ0 ( 0 ^1 + k2 0 + k3 1 = 0 => -1V 1\ / 0V z1 0\ y

k\k , + k ,

+ k3 + k-.

= 0= 0 => = 0M Λ2

k} = k2 = k3 = 0 . Rezultă că a , , a2, a3 formează o bazăConform teoremei bazei, a se poate exprima că o combinaţie liniară a vectorilor

bazei şi anumea = Aj a, + A2a 2 + A3a 3 (*)

scalarii Α,,Α^Α^ fiind coordonatele vectorului a în baza dată,iar (*) exprimarea lui în această bază.Din (*) deducem sistemul:

A, + A*}

+ Aj = 2 + Aj = 6

= 4

Sistemul este compatibil unic determinat deoarece r(A)=3;Acest sistem se rezolvă fie pe cale elementară şi se obţine A1 = 4 , A 2 =0,A 3 = 2fie pe cale matricială. Notând cu λ vectorul coloană al necunoscutelor, sistemul se scrie:

Γ Λ Ί '0 111 f 2 l

A ■ A = a => A = a 2 = A-1 a unde Ă - 1 0 1 ■ a =» 6A3V ^ ^ 1\ 1 0 4V /

Avem deci:1 1

Rezultă Aj = 4, A2 = O, A3 = 2 şi deci a = 4<2j + Oa2 + 2a 3 exprimat în baza a j, α2, <z3

4. Stabilirea naturii unui sistem finit de vectori în R n.Să considerăm în R n următorii m vectori coloană daţi prin coordonatele lor în

baza unitară a spaţiului:

^ OC Ûjj f a λ U12 ( a ^

a, = 1«21 ; a2 — «22 ; ... am =’ m

«2 m

«„!V nl J «„2V nl Ka nm ,

Să arătăm în ce condiţii are loc relaţiaAjtZj + λ 2α2 ··· ^mam ~ 0, A(- 6 R l < i < m (*)Avem:

f oc Û,j«21 + A2

( a 12«22 + . • Amm

f oc Û1 m «2 » —

fo l0

«*!V J V nm )όV /

din care se deduce sistemul liniar omogen în necunoscutele A,, A2 ,...A„

CC j j Aj + CC j 2A2 + ... + CLXmk m — 0 cc2 jA, + cc22Ă2 +... + a 2mĂm = 0

« „ Λ + ««2^2 + ··· + a nm^m = ®

cu matricea

"«11 «12 ··· «im"

Λ = «21 «22 « 2m formată

a . i «„2 *

formată cu vectorii coloană

consideraţi,Sistemul omogen admite numai soluţia nulă Aj = A2 = ... = Am = 0 dacă rang(A) = m şi admite şi alte soluţii afară de soluţia nulă dacă rang(A) < m . Dcci dacă rang (A ) = m vectorii sunt liniar independenţi. Dacă rang(A) < mvectorii sunt liniar dependenţi.Altfel spus: Dacă m > n (numărul vectorilor mai mare ca dimensiunea spaţiului)

14

vectorii sunt liniar dependenţi.Dacă m < n atunci vectorii sunt liniar dependenţi dacă rang(A) < m şi liniar

independenţi dacä rang (A) = m .

Rezultă că o condiţie necesară şi suficientă ca un sistem de vectori din R n să fie liniar independent este ca rangul matricii formate cu componentele vectorilor să fie egal cu numărul vectorilor. în caz contrar sistemul de vectori este liniar dependent.

Prin urmare pentru a afla natura unui sistem de m vectori în R n procedăm astfel:- scriem matricea A având drept coloane vectorii daţi;- calculăm rangul r al matricii A;- decidem natura sistemului de vectori şi anume:

a) dacă r — m sistemul de vectori este liniar independent;b)dacă r < m sistemul de vectori este liniar dependent.

Drept consecinţe ale regulei precedente deducem:1. Dacă 5 este un sistem de vectori liniar independent şi S ' un subsistem al lui S

atunci S ' este liniar independent;2. Dacă S este un sistem liniar dependent şi S* este un suprasistem al lui S

(S a S") , atunci şi S* este liniar dependent;3. Orice sistem care conţine vectorul nul O este liniar dependent;4. Numărul maxim de vectori liniar independenţi în R n este egal cu n.

Exemple:Aflaţi natura sistemelor de vectori

a) =

b) «ί =

c) β| =

f 2 ) / - Ϊ ) (3 04 > a2 - 1 » α3 =

>

2 1 1 y V y Vf - n / 0 \

1> Ω2 = 1

> α3 = -1>

1 V 1 1\ /r ί Λ ' 2 Λ / 5 ( 4 ^

-1 ; a2 : 2 ; 2 ; α4 = - 11 3 5 4V / V

Soluţie:a) Matricea componentelor vectorilor ax,a 2,a^

15

A =

r 2 - 1 3λ3 0 - 34 1 3 2 1 1

are rangul 2. Cum rang(A) = 2 < 3 rezultă că vectorii sunt

liniar dependenţi;b) Rangul matricii A este în acest caz

' 2 - 1 0 Λ1 1 - 1 1 1 1

pentru care se găseşte că rang (A) = 3 egal cu numărul

vectorilor deci sunt liniar independenţi; c) Rangul matricii

f 1 2 5 4 N -1 - 2 2 - 1 1 3 5 4

A - este egal cu 3 < 4 deci vectorii sunt liniar dependenţi.

2. Determinati m & R astfel ca sistemul de vectori

M ί ° Ί f 1 ^= 0 ; a 2 = 2 ; = m

1 1 - 1\ V /

să fie liniar independent.Soluţie: Trebuie ca rangul matricii

f m 0 1 ^A = 0 2 m

1 1 - 1să fie egal cu 3 ceea ce revine la faptul că

det A Φ 0 adică |^ | -m 0 10 2 m1 1 - 1

= m - 2m - 2 * 0

Cum m 2 - 2 m - 2 = 0 admite numai soluţii complexe, rezultă că (V)m GÂ |A |* 0 şi deci vectorii sunt liniar independenţi pentru orice m E R .

3. Fie a,b,c vectori liniar, independenţi în R 4 . Cum sunt vectorii a + b, a - b , a - 2 b + c ?

Soluţie: Răspunsul la întrebare constă în a stabili în ce condiţii are loc relaţia: λ] (a+ b) + λ 2 (a - b) + Â3 (a - 2b + c) = 0

sau(A, + Ă2 + Aj)a + (Aj — A2 ~ 2Ä^)b + A3c = (0,0,0)

16

Prin ipoteză însă vectorii a,b,c sunt liniar independenţi şi din relaţia precedentă rezultă:

A, + A2 + A3 = 0 ■ Aj A 2 ~ 2A3 — 0

Aj = 0de unde Aj = A2 = A3 = 0 şi răspunsul este că vectorii sunt liniar independenţi.

4. Ce condiţii trebuie să îndeplinească numerele OC, β , γ astfel ca vectorii:

să fie liniar dependenţi în Rf 11 ί 0 rn

a = a . b = β 0 ~ ra 2

\ β 2 \ H y 2\1 ySoluţie:

Trebuie ca rangul matricii:Ί 1 1 N

A = a β yf 2 „ 2 a.2

determinantuluioc β 2 y

să fie mai mic ca 3 ceea ce revine la egalitatea cu zero a

1 1 1a β γΜ -

Vandermonde.

a 2 β 2 γ 2- β )(β ~ Ύ )(Ύ determinantul fiind de titip

Din condiţia (CC - β ) ( β - γ ) ( γ - a ) = 0 rezultă CC = ß sau y - ß sau OC = y adică numerele CC, β , y să fie egale două câte două.

5.Metoda eliminării complete (Gauss-Jordan) de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare.

Să considerăm sistemul de n ecuaţii liniare cu n necunoscute:

αη χλ + αη χ2 +... + αΧηχη = 2>i a2ixx + a 21x2 +... + anmxn = b 2

a n\X l + a m X 2 + - + a nnX n = b na cărei formă matricială este

0 )

17

unde:A X = b (2)

A = (aÿ) ί, j - X =

V

...

II-c> b2

Xn\ n J

■'S-O*

Dacă A este nesingulară adică (A) Φ O atunci sistemul are o soluţie unică reprezentată de vectorul X dat de relaţia:

X = A~xb (3)Există o schemă de calcul simplă care poate fi aplicată oricărui sistem cu

\A\ Φ 0 pentru obţinerea soluţiei şi (sau) pentru obţinerea matricii inverse A-1 .Această metodă se numeşte metoda eliminării complete Gauss-Jordan şi constă în aplicarea unor transformări efectuate în n iteraţii (paşi) echivalente cu înmulţireaambilor membrii ai ecuaţiei (2) cu A~x. în caz de nevoie comcomitent poate fiobţinută şi matricea inversă A-1. Pentru claritate expunem această metodă pe un exemplu. Fie sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute:

3*!

4*,5x,

+ x 2+ X-, + *,

+ 2x , + x-.

= 6

= 9 =>

= 11

"3 1 0N vA = 4 1 1 ■ X = > *2 . b =

99

5\ 2 1 *3\ 3 J 11\

Se verifică uşor că (A] Φ 0 şi matricial, sistemul de mai sus se scrie:

r 2> 1 0 V4 1 1

5 2 1Punând

Λ

\Xl ' 6 Ϊx 2 II 9

X,3 > 11V >

18

' Γ ' 0 N f 6 l4 y 0>2 — 1 , a3 - 1 , b = 95\ 2\ 1\ 11\ /

sistemul se scrie+ x 2a2 + x3a3 = b (4)

Deoarece matricea A este nesingulară, sistemul de vectori αλ,α 2,α3 este liniarί

independent şi prin urmare formează o bază în R . A rezolva sistemul înseamnă, în baza relaţiilor (4) să determinăm coeficienţii xx, x2, x3 ai combinaţiei liniareunice de vectori ax,a 2, a 3 care coincide cu vectorul b. Metoda eliminării complete constă în eliminarea treptată a primei, a doua , a treia etc. necunoscute în toate ecuaţiile sistemului în afară de prima, a doua, a treia etc., ecuaţie respectiv. Pentru sistemul dat primul pas constă în eliminarea primei necunoscute X| din toate ecuaţiile în afară de prima, ceea ce se poate face adunând prima ecuaţie înmulţită cu un număr convenabil ales la a doua şi a treia ecuaţie.

Pasul 1.3*1 + x2 = 6

4x{ + x 2 = 9

5.x, + 2x2 =11întrucât matricea A este nesingulară, sistemul dat poate fi scris astfel încât

coeficientul primei necunoscute în prima ecuaţie să fie diferit de zero. Acest lucru se realizează printr-o nouă renumerotare a ecuaţiilor sistemului.

Mai mult, acest coeficient poate fi făcut egal cu 1 aşa cum este în cazul nostru,îmărţind prima ecuaţie la an = 3. Sistemul se scrie:

1x , + — X , = 2

1 3 2 4xt + x 2 + x3 = 9

5*! + 2 x2 + x3 =11 Pentru eliminarea necunoscutei X\ din a doua ecuaţie înmulţim prima ecuaţie cu

-4 şi o adunăm la a doua, iar pentru a elimian pe *i din a treia ecuaţie înmulţim prima ecuaţie cu -5 şi o adunăm la a treia. Obţinem: t

19

— x, + x , =1 3 2 3

1— x, + X-, = 13

Pasul 2. Eliminăm acum a doua necunoscută x2 din ecuaţiile 1 şi 3 în afară de ecuaţia a doua, înmulţind în prealabil ecuaţia a doua cu -3 pentru a face coeficientul lui x2 egal cu 1. Sistemul precedent devine:

x \ + ~ x 2 = 2

X, + — χ , = 21 3 2

1

3x2 - 3x3 = -3

I3- x 2 + x3 =1

înmulţim ecuaţia a doua cu ~ — şi o adunăm la prima respectiv a doua ecuaţie.

Obţinem:X, + x3 = 3

x 2 - 3*3 = -3 2x 3 = 2

Pasul 3. împărţim ecuaţia trei cu 2 şi apoi o înmulţim cu 3 respectiv cu -1 şi o adunăm la prima, respectiv la a doua. Obţinem:

*i = 2 x 2 = 0

*3 = 1care este sistemul transformat în care eliminarea necunoscutelor x lyx 2,x 3 în modul indicat mai sus este completă şi care dă soluţia căutată.

Procedeul eliminării complete expus, mai poate fi prezentat şi în modul următor:

Scrim matricea sistemului şi coloana termenilof liberi3 1 0 64 1 1 95 2 1 11

Se alege un element numit pivot de exemplu 3 (trebuie să fie nenul). Elementele matricii după etapa 1 se calculează astfel:

- linia pivotului se împarte la pivot

20

3- coloana pivotului are elemente 0 în afară de elementul de pe

locul pivotului care este 1. Celelalte elemente se calculează cu aşa numita regulă a dreptunghiului. De exemplu, pentru elementul de pe locul (2,2) se alcătuieşte un dreptunghi care are într-un vârf pivotul iar în vârful opus numărul de pe locul (2,2) în cazul nostru 1 şi celelalte vârfuri ale dreptunghiului sunt elementele matricii A de pe locurile (1,2) şi (2,1). Astfel dreptunghiul este:

Se calculează valoarea ca un determinant de ordinul doi cu menţiunea că produsul de pe diagonala pivotului se ia întotdeauna cu semnul +; Deci avem:

Rezultatul se împarte la pivot şi se trece pe locul (2,2) în pasul următor:

4 1

1

I3

2

1 o

o3

7

0

Pentru calculul elementului de pe locul (2,3) se alege dreptunghiul

0

1- 1 şi se împarte la pivot, adică — = 1

Procedând analog cu toate elementele care nu fac parte din linia sau coloana pivotului inclusiv elementele termenului liber, se obţine etapa a doua.

ι3

©]_3

Pentru etapa a treia alegem un alt pivot ( nu de pe linia 1 şi care să fie neapărat

nenul) de exemplu - ! Procedând exact ca mai înainte, vom ilustra numai calculul elementului de pe locul (1,3)

0

0

1

1

1

0

1

1

2

10

Astfel etapa a treia este:

1

0

o

0

1

o

1

- 3

Θ3

- 3

2

în sfârşit ultimul pivot poate fi luat 2 şi soluţia este dată de etapa a patra1 0 0 2

0 1 0 0 0 0 1 1

Soluţia este deci x ] = 2 ,x 2 = 0 ,x3 = 1 Foarte adesea este nevoie nu numai să rezolvăm sistemul ci să aflăm şi matriceainversă A~l a matricii A a sistemului. în acest scop scriem la dreapta matricii A matricea unitate I de ordin n şi aplicăm metoda eliminării complete matricii extinse.

Matricea inversă se obţine pe locul ocupat mai înainte de matricea unitate. Dacă avem matricea extinsă:

(A I / I b)şi aplicăm schema de calcul a soluţiei sistemului prim metoda eliminării complete22

sau

/ I A -' I XPrin urmare după cele trei iteraţii ale metodei eliminării complete matricea A a sistemului se transformă în matricea unitate, matricea unitate în matricea inversăA~l a matricii A iar vectorul b se transformă în soluţia X a sistemului.

Reluând exemplul precedent vom scrie

obţinem:(α ~ Ά I A~'I I A -'b )

ίΘA

1 0 1 0

I

0

b\

64 1 1 0 1 0 95 2 1 0 0 1 11

Pasul 1

1 0 1 -1 1 0 3

0 1 — 3 4 - 3 0 - 3

0 0 © - 3 1 1 2

1 0 0 1/n X - X 2

0 1 0 - 1/7 2 - K

3 /7 2 0

0 0 1 - 3 // 2

1/7 2 Υ ς

1

I Ä 1 X

Deducem deci:

f 1/ 7 2 Y l - X IA-1 = ~ lA - V i X

Y X ,

Deci combinaţia liniară unică prin care se exprimă vectorul b este:

23

întrucât vectori αχ,α 2,α 3 formează ο bază în R 3 , orice alt vector al acestui spaţiu se poate exprima în mod unic ca o combinaţie liniară a acestor vectori. Fie acest vector a 4 şi y ,, y 2, y 3 componentele lui în baza ax,a 2,a 3. Atunci

χ χαλ + χ 2α2 + X3α3 = 2 αχ + Ο α2 +1 α3 = b

sauy ^ \ + y 2«2 + >>3a 3 - a4

Α Υ = αΛ

de unde pentru a afla Y este suficient să înmulţim relaţia precedentă cu A 1 la stânga:

A ~'A Y = A ~ \ \ y = A- 1a 4

Fie de exemplu în baza unitară vectorul:

«4 =

f 4

-2

atunci avem:

Deci — + 7 a2 — 5 a3 — a4iar componentele vectorului a4 în baza {a{, a2, a3 } sunt yx = — 1, y 2 = 7 ,

y3 = -5

24

6 . Mulţimi convexe în R n.Fie spaţiul liniar R n :

R n =\a = (a l ,a 2, . . a j p t e R ,i = 1,2,...«}

Elementele a = ((Xv (X2,...CCn) ale lui R n le-am numit vectori n-dimensionali

sau puncte ale spaţiului «-dimensional R n . Folosirea denumirii de punct în locul denumirii de vector înlesneşte înţelegerea unor noţiuni ce urmează să fie definite cu ajutorul unor consideraţii geometrice.

Deci când vom vorbi de mulţimi de elemente (vectori) din R " , vom spune mulţimi de puncte din R n .

Menţionăm că Ia definirea unor elemente geometrice,punctele din R n vor mai fi notate şi cu X — (xx,x 2>···>*„)> -Xi 1 < z < « fiind coordonatele carteziene ale

punctului X & R n .Prin urmare, segmentul determinat de punctele a\ şi a2 în R" este mulţimea

vectorilor a de forma: a - λ α χ + ( \ - λ ) α 2, 0 < λ < 1 Pentru « < 3 această noţiune coincide cu ce obişnită.

Definiţie'. Mulţimea C C R n de puncte din R n se numeşte convexă dacă pentru oricare două puncte al ta2 € Q, segmentul determinat de aceastea este conţinut în mulţimea C adică,a fiind un punct oarecare al segmentului, are loc apartenenţa α = Λα1+ ( 1 - λ ) α 2 € £ , 0 < Â < 1 .

în figurile de mai jos a fost reprezentate o mulţime convexă a) şi una neconvexăb) în R n .

B

a)

Definiţie: Un punct a G Q<Z. R n se numeşte punct extrem sau punct vârf al mulţimii convexe Q dacă nu există în Q nici o pereche de puncte a\ şi a2 astfel încât

a = λα λ + (1 - λ )α 2 , 0 < λ <1 adică să fie o combinaţie liniară convexă a lor.

25V

/

De exemplu punctele A,B,C din figura (a) sunt puncte vârf ale mulţimii convexe Q.

PROBLEME:1. Să se determine parametrul real k astfel încât vectorul v = (l,fc,3) să fie combinaţie liniară a vectorilor v, = (l,l,-l) şi v2 = ( - 2,4,l).

Rezolvare:Pentru ca vectorul v să fie combinaţie liniară a vectorilor vj şi v2 este necesar să existe parametrii reali ait ai astfel încât să avem:

v = a, · v, + a2 ■ v2 care este echivalent cu(l, *,3)= a, · (U - l)+ a 2-{- 2,4,1)

echivalent cu1 = <3, - 2a2

- k = al + 4 a23 = -a , + a2

Rezolvăm acest sistem

deci

deci

atunci avem:

ûj = 2 a2 + 1 ,

3 = —2 a2 — 1 + a2 a2 = - 4

= —8 +1 a, = - 7

k = ~ l -1 6 £ = -23

2. Să se determine parametrul real Λ astfel încât vectorii v, = (l,l,3), v2 = ( - 2, & ,l), v3 = (2,2,5), să fie liniar dependenţi.

Rezolvare Pentru ca vectorii vj, v2, v3 să fie liniar dependenţi este necesar ca determinantul ale cărui coloane sunt formate din cei vectori să fie egal cu zero:

1 - 2 21 k 2

3 1 5

= 5 * - 1 2 + 2 - 6 * + 1 0 - 2 = - i t - 2

26

3. Se dau vectorii din R 3 :V, =(1,2,3), v2 = (0,1,1), v3= (2,1,2).

Se pot determina scalarii a şi b astfel încât combinaţia liniarăαν, + bv2 să fie egală cu v3 ?

Rezolvare·. Combinaţia αν, + bv2 se scrie astfel:αν, + bv2 = (a,2a + b,3a + b),

şi din egalitatea:αν, + bv2 = v3

rezultă următorul sistem de ecuaţiia = 2 2a + b = 1 3a + b = 2

Din primele două ecuaţii avem că: a = 2 şi b = -3, însă aceste două valori nu verifică cea de-a treia ecuaţie, prin urmare scalarii a şi b nu se pot determina.

4. Determinaţi natura sistemului de vectori:a) x = (2,1,5^ = (2,4,1)b) * = (1,0,1b = ( κ , ο , χ )c) X = (l,0,-l),}' = (2,l,l^z = ( - 1,2,1).

Rezolvare: în general, pentru a determina natura unui sistem de vectori xu x2, se formează sistemul de ecuaţii liniare (scris vectorial):

a lx] +a2x2 + ... + a„xn = 0 , cu oţ scalari reali.Dacă din rezolvarea acestui sistem rezultă că ct\ sunt nuli atunci sistemul de vectori este liniar independent. Dacă există măcar un singur scalar nenul printe cei n ca soluţie a sistemului de mai sus, atunci sistemul de vectori este liniar dependent.

Deci avem:- k - 2 = 0

k = -2.

a)2a, +2a2 =0oii + 4a2 = 0 5a, + a 2 = 0

Rezultă ai = 0 şi a2 = 0, prin urmare sistemul de vectori este liniar independent.b) sistemul este liniar dependent.c) sistemul este liniar independent.

27

5. Fie vectorii ο,,α2,α3 € R4 liniar independenţi.Să se arate că vectorii a t + a2, a\ - a2 + α3, a2 - a3 sunt, deasemenea liniar independenţi.

Rezolvare: Vectorii au a2, <23 sunt liniar independenţi dacă pentru oricare au a2, a3 e Z? cu proprietatea

α,α, + α 2α2 + α 3α3 = 0 rezultă, ct| « a2 = α3 = 0 .α, + α2, αχ - α2 + sunt liniar independenţi dacă pentru oricareß u ßz,ß} e R cu proprietatea:

ßi (öi + a2 )+ ß2 (fl, - ■a2 + a3)+ ß3(a2 - a3 )=0rezultă: ßy = ß2 = ß3 = 0.Avem:

A fl, + ß\a2 + & fli - 0 2 fl2 + ß iai + ßia2 - ßiai = 0 !

( A + ßi )+ ö 2 {ß i~ß i + ßi )+ « 3 ( & “ ß ) = 0 ■

Cum vectorii a,, a2, <23 sunt liniar independenţi vom avea:ß\ + ßi = 0; ß\ - ßi +ßi = 0; ß2 - ßi = 0,

de unde rezultă uşor ß i - ß i = ßi = 0.Deci vectorii ax + a2, a \ - a2 + ait a2 - a3 sunt liniar independenţi.

6. Este vectorul z = (4, -1,3, -2) o combinaţie lineară a vectorilor:X = (2,1, 3, -1) şi>> = (0,1,1,0) ? Cu ce scalari este formată?Rezolvare: Se determină a şi β astfel încât:

[2a = 4

ax + ßy = z <=>a + ß = -1 3a + /3 = 3 - a = -2

Acest sistem admite soluţie unică a= 2, β = -3, deci2x - 3y - z

'3 ' T V ' 6 n7. Fie vectorii a, = 4 1 » «3 = 1 Μ

· II 95\ 2 y 1 11

\ /

a) Să se arate că vectorii a,, a2, a3 formează o bazăb) Să se scrie vectorul a în această bază.

Rezolvare:a) Dacă vectorii a\, a2, a3 sunt liniar independenţi atunci determinantul format

28

de componentele celor trei vectori este diferit de zero:

D =3 1 04 1 15 2 1

= 3 + 5 - 6 - 4 = - 2 ,

deci vectorii formează o bază.b) Componentele vectorului a în baza at, ut, αΛ pot fi determinate ca soluţii ale

sistemului:α,α, + a 2a2 + α3α3 = 0 , sau

3a, + a 2 4 a, + a 2

= 6+ a, =9

5a, + 2az + a 3 = 11Soluţiile acestui sistem sunt CL\ = 2, ofc = 0, a3 = 1, deci

r 2 '

a(a,,a2.a3)

8. Să se rezolve problema precedentă folosind metoda Gauss-JordanRezolvare: Trecerea unui vector dintr-o bază în alta se poate efectua şi prin

metoda Gauss-Jordan:Se scrie matricea sistemului şi termenii liberi :

<D 1 0 64 1 1 95 2 1 11

Se alege un pivot, de exemplu 3 (trebuie să fie nenul).Elementele matricei după etapa I se calculează astfel:

- linia pivotului se împarte la pivot:

1 1/3 0 I 2

- coloana pivotului devine vector unitar cu 1 pe poziţia pivotului şi în rest zero;- celelalte elemente se calculează după regula dreptunghiului:

de exemplu, pentru elementul de pe poziţia (2,2) se alcătuieşte un dreptunghi care are într-un vârf pivotul, în vârful opus numărul de pe poziţia (2,2), în cazul nostru1, iar celelalte vârfuri ale dreptunghiului sunt elemente de pe poziţiile (1,2) şi (2,1).

29

Astfel, dreptunghiul este:

I © 1 I 4 1

Se calculează valoarea ca un determinant de ordinul Π, cu menţiunea că produsul de pe diagonala pivotului se ia întotdeauna cu semnul plus, deci avem: 3-1 —1-4 = —1Rezultatul se împarte la pivot şi se trece pe poziţia (2,2). La fel se procedează cu restul elementelor din etapa a doua şi se obţine:

Pentru etapa a treia alegem un alt pivot, de pe altă linie decât cea de pe care am ales primul pivot şi se calculează elementele la fel ca în etapa anterioară.

Se obţine:1 0 1 30 1 -3 -30 o © 2

în ultima etapă se alege pivotul C D şi după efectuarea calculelor ca în etapele anterioare se obţine:

1 0 0 20 1 0 00 0 1 1

în acest moment algoritmul ia sfârşit, iar soluţia problemei este' î \

α(αί.α2.α,)

10. Să se determine natura sistemelor de vectoria) v, = (2, 3, 4, 2), v2 = (-1, 0, 1,1), v3 = (3, 3, 3, 1)b) v, = (2, 1, 1), v2 = ( - 1, 1, 1), v3 = (0, - 1, 0)

30

c) V, = (1, -1 , 1), v2 = (2, -2, 3), v3 = (5, 2, 5), v4 = (4, -1 ,4 )

Soluţie:a) liniar independenţi;b) liniar independenţic) liniar dependenţi

11. Să se determine m astfel încât sistemul de vectori:.vi = (im, o, 1), v2 = (0, 2, 1), v3 = (1, m, - 1) să fie liniar independenţi

Soluţie', m e R

12. Fie e\, e2, e3 vectori liniar independenţi din R 4. Să se arate că: e\ + e2 + e3 , ex - 2eit e \ - e2 + 3e3 sunt liniar independenţi.

13. Scrieţi vectorul v = (7,4, 0, 2) în baza:v, = (1,2, -1 ,1); v2 = (1, -1 ,1 , -1); v3 = (0, 0, 1,1); v4 = (1, 1, -1 , 0) din R \

Soluţie: ^(y„y2,y3,y4) = (l.2,3,4)

14. Se dau două sisteme de vectori din spaţiul liniar R 3:

a, = (1,4,2); a2 = (-1 ,2 ,0); a3 = (3 ,l,5 ) şi bt = (2,4, 5); b2 = (-1,1, 0); b3 = (-2, 0, 2)

Să se arate că sistemul {flj, a2, a3} şi sistemul. , b2, b3} formează fiecare câte o bază.

31

1. Problema programării liniare. Modelul matematic al problemei de programare liniară.

Introducere. Este bine cunoscut faptul că în prezent, activitatea în domeniul producţiei industriale şi conducerii activităţilor economice a devenit extrem de complexă. O mare parte din problemele care se pun în conducerea economică a întreprinderii sunt probleme de optimizare.

Modelarea matematică a acestor probleme oferă posibilitatea determinării soluţiilor optime, contribuind pe această cale la ridicarea eficienţei economice a întreprinderilor. în multe cazuri concrete, problemele economice pot fi modelate astfel:

Dacă notăm prin x ,,l < j <n nivelele (necunoscute iniţial) la care trebuiesă se desfăşoare cele n activităţi luate în considerare şi prin f(xhx2,...,xn) funcţia obiectiv (sau funcţia criteriu sau încă funcţia de eficienţă), problema poate fi pusă în felul următor: să se afle valorile variabilelor X j , l < j < n astfel încât f(xi,x2,...,xn) să ia valoarea maximă (sau minimă).

[max]f(x1,x 2,...,xn) (1)

şi să fie îndeplinite condiţiile:

f i(xl,x 2,...,xn)> 0 ,0 < i< m (2)

care sunt restricţiile problemei. Problema este cunoscută sub numele de problema programării neliniare.

Dacă în locul inecuaţiilor (2) avem ecuaţii, obţinem problema clasică a extremului condiţionat (cu legături). în cazul în care funcţiilef ş i f i 1 < i < m sunt funcţionale1 liniare, atunci problema (1) şi (2) este o problemă liniară sau un program liniar.

Pentru a înţelege cum se construieşte modelul matematic al unui program liniar vom considera următoarele exemple:

§ 2. Elemente de programare liniară

1 Fie X un spaţiu liniar peste corpul de scalari X , Aplicaţia / * : X —» X este o funcţională liniară dacă:1. este aditivă adică f ( x { + x2)~ f (X\) + f ( x 2)(V)jCi, E X2. este omogenă: adică /(cü t) = CÇf(x)(V)xE X şi CC E X

32

1. Problema de planificare a producţieiO întreprindere industrială dispune de mai multe resurse (materii prime,

forţă de muncă, maşini unelte, resurse financiare etc.) în cantităţi limitate. Vom nota cu i numărul de ordine al resursei şi cu cantităţile disponibile din aceste resurse. Cu ajutorul acestor resurse se pot desfăşura mai multe activităţi (de exemplu, procese de producţie). Vom nota cu j numărul de ordine a! activităţii desfăşurate şi cu xj nivelul (necunoscut) la care urmează să se desfăşoare această activitate. De exemplu, dacă considerăm procesul de producţie j care constă în fabricarea unui anumit produs, vom nota cu xj cantitatea ce va fi produsă.

Vom nota cu ay cantitatea din resursa i necesară pentru producerea unei unităţi din produsul j (din activitatea j în general). Presupunem că atj nu depinde decât de tipul resursei i şi de tipul produsului j şi nu de cantităţile produse. Cantităţile ay sunt cunoscute şi poartă numele de consumuri specifice sau coeficienţi tehnologici. Beneficiul obţinut pe o unitate de produs j realizată, în unităţi băneşti îl notăm cu cj.

Datele problemei se pot prezenta sub forma tabelului 1.

Tabelul 1

Folosind elementele tabelului putem exprima următoarele mărimi:- Cantitatea de resursă i folosită pentru producerea cantităţii xj, care este a^f,- Cantitatea totală din resursa i folosită pentru producţia totală formată din n produse:

aiIxl + ai2x2 + ... + ainxn

Deoarece nu putem consuma din resursa i mai mult decât cantitatea bi de care dispune, trebuie să fie respectată condiţia:

anx{ + ai2x2 +... + amxn < b, ,

33

pentru fiecare resursă i dintre cele m resurse pe care le avem la dispoziţie,adică:

an x x + al2x 2 +... + alnx n <bxa2lx x + a22x 2 +... + a2nx n <b2 : (3)

« * 1 * 1 + a m 2 * 2 + ··· + « « , * »

Deoarece xj reprezintă cantitatea ce trebuie produsă din sortimentul j, ea nu poate fi un număr negativ

x j> 0, 1 < j < n (4)

Inecuaţiile (3) se numesc restricţiile problemei, iar (4) pot fi condiţiile de nenegativitate.

Sistemele de inecuaţii liniare (3) şi (4) pot avea o infinitate de soluţii, o soluţie sau nici o soluţie (sistem incompatibil).

Cazul cel mai frecvent pentru problemele practice corect puse este cazul în care sistemul (3) (4) are o infinitate de soluţii.

Cu alte cuvinte, este posibil să organizăm procesele de producţie pentru fabricarea sortimentelor j (l < j < n ) într-o infinitate de feluri respectând condiţiile de folosire a resurselor limitate (3).

Acest fapt face evidentă imposibilitatea practică a conducătorului de întreprindere de a cunoaşte toate variantele de plan posibile pentru adoptarea unei decizii adecvate. Adoptarea unei variante de plan (luarea deciziei) se face pe baza unui criteriu economic, ca de exemplu beneficiul maxim. Prin urmare, funcţia de eficienţă este beneficiul total:

n

f = clx l + c2x 2 +... + cnxn = ^ C jXj (5)M

care trebuie maximizată.în consecinţă, problema care se pune este aceea de a afla acea (acele)

variante de plan, adică acea (acele) soluţie a sistemului de restricţii (3), (4) care dau pentru beneficiul (5) valoarea maximă. Această problemă economică devine în acest moment o problemă matematică al cărei model este:

n[m ax]/ = ^jCjXj (6)

j=t

34

cu condiţiile:

n

^EjUyXj <bt 1 0 1 < j < n (8)

şi care este o problemă de programare liniară sau un program liniar.

2. Problemă de amestec. Una din problemele practice, formulată şi rezolvată ca problemă de programare liniară este aşa numita problemă a dietei, de amestec.

Ea constă în determinarea unei anumite diete dintr-un număr dat de alimente, care să satisfacă anumite cerinţe biologice şi să fie din principiul nutritivi, 1 < i < m , conţinută într-o unitate din alimentul j, 1 < j < n . Este necesar ca dieta să conţină cel puţin unităţi din principiul nutritiv i, 1 < i < m . Dacă cj,1 < j < n sunt costurile unei unităţi din alimentul j, problema constă în aflarea cantităţilor xj, 1 < j < n de alimente pe care trebuie să le conţină dieta, astfel încât să obţinem costul total minim.

rt[minj/· = YjCjXj

M

cu condiţiile:

Σ ω<Λ - b . 1 Z i * ™

x : >0 1 < j < nJ J

Probleme de acelaşi tip apar atunci când se urmăreşte formarea unor amestecuri de ingrediente, care să aibă anumite proprietăţi (specificate în fiecare caz concret) astfel încât o caracteristică a amestecului să fie optimă dintr-un punct de vedere. Probleme de dietă apar de exemplu, în alcătuirea raţiilor pentru animale în zootehnie, pentru calcularea amestecului optim de îngrăşăminte în agricultură, în industria chimică pentru diverse amestecuri, în industria petrolieră pentru amestecuri de benzină etc.

3. Problemă de planificare a investiţiilorO întreprindere dispune de o sumă B de unităţi băneşti, sumă ce poate fi

folosită în diverse activităţi pe care le notăm simbolic cu l,2,...,j...n.

35

Se mai ştie că fiecare activitate de tipul j, în urma investiţiilor aduce un beneficiu unitar de bj unităţi băneşti.

Dacă notăm cu xj, j=l,2,...,n suma investită în activitatea de tipul j, rezultă următorul model matematic al problemei:

Aflaţi sumele xj ce trebuie investite cu condiţiile

r j Ι χ , ί β

2° Xj > 0 , j = l,nn

3° [m ax]/ = f beneficiul total

Se pot da multe exemple de probleme economice care conduc la modelul matematic al unui program liniar, dar având în vedere expunerea limitată pe care o avem în acest capitol, ne mărginim la acestea trei.

2. Diverse forme ale modelului matematic al problemei de programareliniară

Din exemplele precedente rezultă că o problemă de programare liniară poate avea următoarea formă mai generală:

[max/ m in i/- = c\x \ + cixi + — + c„x„

cu condiţiile:

β ιΛ + al2x2 +... + a u xXbx

a2yx x+ a22x 2 +... + a2nxXb2

V 1+ V 2 + - + V Ä Xj> 0, j = 1,2,..., n

în care,după cum se vede,sistemul de restricţii conţine inegalităţi de sens < sau >. Când sistemul de restricţii al modelului problemei de programare liniară conţine inegalităţi de acelaşi sens, se spune că modelul se prezintă sub formă canonică. Vom arăta în cele ce urmează că orice problemă de programare liniară

36

sub formă canonică poate fi transformată într-o problemă în care restricţiile sunt egalităţi după cum se deduce din următoarea teoremă:

Teoremă. Fie dat sistemul de m inecuaţii liniare cu ti necunoscute:

(a)

a\\X\ + anx2 + — + au xn <b{

şi sistemul de ecuaţii:

(ß>

aux{ + ω12λ:2 +... + alnxn

a21X\ +a22x2 + ... + a22xn+ x.n+1

+ Χ,n+2

= b[

= b.

+ *»4.™ = b„ n+m m

Atunci, oricare ar fi soluţia λ:,0,* ”»···»·*” a lui (a) există m constante

nenegative x°+I,x°+2v ,* ° +m astfel încât λ:,0,* “.....*n°,xn°+1)...,*n°+m să constituie

o soluţie a lui (β). Reciproc, dacă ^ » ^ . . . .» x ^ e s te o soluţie a lui (β),

atunci x ° ,x 2,...,x° (primele n constante) constituie o soluţie pentru (a).

Demonstraţie: Fie x®,x2,...,x°n o soluţie a lui (a), adică:

1*1 + a i2 X 2 + + a in X n — 1a2\x \ + a22x2 +... + a2nxn < b2

amlx° + am2x \ +... + a ^ x l < bm

Toţi membri stângi ai inegalităţilor sunt constante mai mici decât respectiv bi,b2....bm. Atunci există constantele care să satisfacă egalităţile:

anx{ + al2x j ■+·...+ Ω\Χη +*„+i — bK

a2lX2 a22X2 * ” · "*■ ^2 2 *n ^ Xn=2 = ^2(β’)

αΒΐΐΛι° + am2x°2 +... + a ^ x l + x°n+m = bn

37

iar:

O r 0 O O v λ*„+,· =*>,-<*,1*1 - an x 2 - ~ - a inxn > 0

Dar sistemul de egalităţi (β’) arată că este o soluţie a lui

(ß)·Reciproc,fie x°,x%,...,x°+m o soluţie a lui (β),atunci înseamnă că este

îndeplinit sistemul β’; cum xn+i > 0 (i = 1,2,....,m) rezultă:

X n+1 = b X ~ a \ \ X \ ~ a U X 2 X n ~ ^

X L = b m ~ a m l X °X - a m 2 X °2 “ - “ V n ^ 0

sau reţinând numai inegalităţile şi ducând monoamele cu semnul în membrul drept, rezultă:

αηχ ι + - - au x °n ^ an x°y +... + a2nx°x <b2

amix i + ··· + amnx°n < bm

adică Xj°, x ° e s t e o soluţie a lui (a). Teorema este astfel demonstrată. Observaţie: Pentru inegalităţi de tipul:

t aux j *** i = (l,2,...,m)i=l

se scade o variabilă nenegativă xn+1 > 0 (i = 1,2,..., m) şi inegalităţile devin egalităţi:

n

' Z aûx j ~ xn ^ = bi i = (1,2.... m)7=1

în consecinţă, rezolvarea unui sistem de inegalităţi liniare se reduce la rezolvarea sistemului asociat de tip (β). Introducerea noilor variabile

38

Χη+ι » xn+2 »···» Xn+m nu trebuie să schimbe funcţia de eficienţă în problemele economice. Aceste variabile reprezintă m activităţi fictive care consumă plusul de resurse şi din această cauză le ataşăm beneficii (costuri) nule. Funcţia de eficienţă se prezintă sub forma:

/ = c,*, +c2x2+...+c„x„ + 0x„+l +... + 0xn+m =

= £,*1+^*2 + ···+i n

variabilele xn+i,x n+2 »···»*„+„ se numesc variabile de compensare (deabatere sau écart). Atunci problema de programare liniară sub formă canonică poate fi adusă întotdeauna la forma:

[min/ m ax]/ = cxxx + c2x2 +... + cnxn

cu condiţiile:

a U X l a \2 X 2 "· a \n X n ®\X n*\ ~ 1 a 2 \X \ a 22X 2 "· a 2nX n &2X n+2 ~ 2

«ml*l + °m2X2 + - + amnXn + £n>Xm+n = KXj> 0 ( j = 1,2,..., n), *n+1 > 0 (i = 1,2,..., m)

în care ε, = ±1 (i = 1,2,..., m ).

Se numeşte forma standard a unei probleme de programare liniară următoarea problemă:

adică problema în care sistemul de restricţii conţine egalităţi. Fie A matricea sistemului de restricţii:

•*12 In21 22 2n

ml 2

cu m linii şi n coloane. Matricea A = (aij) \ < i < m , \ < j < n senumeşte matricea coeficienţilor tehnologici şi elementele atj sunt stabilite pe baza unor observaţii repetate ale fenomenului studiat.

Vectorul coloană:

b =

u \ b\

reprezintă în probleme de minimizare a costului, cererea (sau cererea pe unitatea de timp) şi atunci inegalităţile corespunzătoare sunt > sau în probleme de minimizare a beneficiului reprezintă disponibilul şi atunci îi corespund inegalităţi <.

Vectorul linie C = (chc2,.--,c„) reprezintă costul unitar în probleme de minimizare a costului sau beneficiul unitar în problemele de maximizare a beneficiului. în sfârşit, vectorul

X =

X\ n

este nivelul activităţilor şi practica arată că trebuie să fie întotdeauna nenegativ. Prin definiţie X > 0 dacă Xj >0, j = 1,2,..., n

Cu aceste notaţii matriciale, forma generală a problemei de programare liniară de primul tip exemplificat prin problema de planificare a producţiei este:

[max]/ = CXAX 0sau de al doilea tip exemplificat cu problema de amestec este:

40

[min]/ = CXA X>bX>0.

Ambele cazuri pot fi reduse la forma standard în baza teoremei demonstrate mai înainte, de transformare a inegalităţilor în egalităţi şi anume se cere:

[min/ m ax]/ = CXcu condiţiile:

AX = b X>0.

întrucât dezvoltările teoretice ulterioare se vor face luând în considerare problema de programare liniară sub forma standard, vom prezenta-o pe aceasta sub aşa numita formă vectorială utilă în demonstraţiile ce vor urma şi anume:

Notăm:

' « 1 2 '

a , =

a 2 \

\ a 2 — a 2 2

’ " • > a n ~« 2 n coloanele matricii A.

v a m l , ^ a m 2 >\ m n )

Modelul sub forma standard se va scrie:[min/m ax]/ = CX

cu condiţia:χ ιαι + χ2α2 +... + χηαη =b

X > 0Observaţie: Evident că în modelul sub formă canonică egalitatea vectorială

precedentă devine o inegalitate.

3. Soluţii ale problemei de programare liniară şi proprietăţile lor

Aşa cum am arătat la punctul 2, consideraţiile teoretice precum şi algoritmul de rezolvare a problemei de programare liniară se vor face pe forma standard a modelului problemei şi în plus, pentru a fixa ideile, optimul funcţiei de eficienţă f se va considera

41

[min]/ = j ţ c j X j 1

Să considerăm deci, modelul problemei de programare liniară sub forma standard:

Sunt necesare câteva precizări:1°. Aşa cum s-a mai spus, matricea A a sistemului de restricţii are m linii şi

n coloane.2°. Sistemul (2) se presupune că are cel puţin o soluţie, în caz contrar

rezolvarea problemei şi-ar pierde sensul.3°. Dacă rangul matricii A ar fi mai mic decât m,sistemul restricţiilor fiind

totuşi compatibil, o parte dintre ecuaţiile cuprinse în (2) ar fi consecinţe ale celorlalte, deci ar putea fi înlăturate. De aceea, vom considera încă de la început că rang(A)=m.

4°. De asemenea, vom considera că numărul variabilelor n este strict mai mare decât numărul restricţiilor m, această condiţie evitând unicitatea soluţiei sistemului de restricţii. Deci m<n.

în continuare vor fi formulate unele definiţii şi se vor stabili cele mai importante proprietăţi ale soluţiilor problemei generale de programare liniară.

Definiţie 1. Se numeşte soluţie posibilă (realizabilă) a problemei de programare liniară, vectorul X = (xj,x2,...,xn) care satisface condiţiile (1) şi (2), adică restricţiile şi condiţiile de nenegativitate.

Definiţia 2. Soluţia posibilă X = (xt,x2.....xn) se numeşte soluţie de bazădacă vectorii aj din expresia:

având coeficienţii x} strict pozitivi, sunt liniari independenţi.Din definiţia soluţiei de bază, rezultă că numărul componentelor sale

pozitive este cel mult egal cu m.Definiţia 3. O soluţie se numeşte nedegenerată dacă ea conţine exact m

componente strict pozitive.Definiţia 4. Soluţia posibilă care optimizează (minimizează) funcţionala

liniară (1) se numeşte soluţie optimă a problemei de programare liniară.Teorema 1. Mulţimea soluţiilor posibile ale problemei de programare

liniară este o mulţime convexă.

[m in]/ = CX AX =b X > 0 .

(1)(2)(3)

n

42

Teorema 2. Funcţionala liniară / a problemei de programare liniară îşi atinge minimul într-un punct vârf al mulţimii convexe K a soluţiilor posibile ale problemei.

S-a n'otat cu K mulţimea soluţiilor posibile ale problemei de programareliniară.

Dacă funcţionala/ia valoarea minimă în mai multe puncte vârf, atunci/ia aceeaşi valoare minimă în orice punct care se exprimă ca o combinaţie liniară convexă a acestor puncte vârf.

4. Rezolvarea unor probleme de programare liniară prin metode elementare.

Am prezentat la punctele precedente unele rezultate pe baza cărora o problemă de programare liniară în anumite cazuri particulare poate fi rezolvată prin metode elementare, fără a aplica metoda simplex al cărei algoritm este propriu programării liniare şi care va fi expus mai departe. Aceste metode elementare de care ne vom ocupa aici constau în metoda grafică şi metoda algebrică.

în cele ce urmează vom aplica pe exemple adecvate cele două metode menţionate.

a) Metoda grafică 1°. Să se determine

cu condiţiile:[m ax]/ = 3.x, + 2x2

2xx + x2 > 53;^ - 2x2 < 6 xl + x 2 < 4

x x>0 , x2 >0Se observă că problema conţine numai două variabile ceea ce permite

rezolvarea pe cale grafică folosind împărţirea planului în regiuni pentru determinarea poligonul K al soluţiilor realizabile şi faptul că optimul funcţiei de eficienţă are loc într-un punctvârf al lui K. Prin urmare reprezentăm grafic dreptele (dx)2xl + x2 - 5 = 0; (d2)3x, - 2x2 - 6 = 0; (dz)xx+ x2 - 4 = 0 care conform sistemului de inegalităţi determină soluţiile K din figură ale cărei vârfuri sunt

punctele A7 7 5 5

43

se deplasează măturând poligonul K şi ultimul punct comun cu domeniul K este punctul C adică pentru xj = 1 şi x2 = 2, / ia valoarea maximă =./(l,3) = 9.

Un raţionament analog ne conduce Ia faptul că valoarea minimă a lui f are

Observaţie·, este clar că în cazul unui număr mic de restricţii, poligonul soluţiilor are un număr mic de vârfuri şi valoarea maximă sau minimă a funcţiei obiect/v / se află calculând valoarea lu i/în toate punctele vârf ale lui K. în cazul când K are un număr mare de vârfuri metoda folosită evită cunoaşterea coordonatelor tuturor vârfurilor precum şi calculul lu i/în toate vârfurile.

2°. Să considerăm acum o problemă cu enunţ economic concret pe care o vom rezolva prin aceeaşi metodă.

Pentru realizarea a două produse Pj (j =1,2) se găsesc la dispoziţie patru feluri de materie primă M, (i = 1,2,3,4) în cantităţile 12, 8, 20, respectiv 12 unităţi. O unitate din produsul Pi consumă din Mj, M2, şi Mj câte 2,1 respectiv 4 unităţi şi aduce un beneficiu de 2000 u.m. iar o unitate din produsul P2 consumă din Mh M2 şi M4 câte 2, 2 respectiv 4 unităţi şi aduce un beneficiu de 3000 u.m. Să se determine numărul de unităţi ce trebuie realizate din cele două produse astfel încât să se obţină un beneficiu maxim.

loc în punctul şi este egală cu f ^ n =

44

Când am prezentat modelul teoretic al unei astfel de probleme de optimizare a unui plan de producţie, am prezentat datele problemei într-un tabel ca cel de mai jos.

Notând cu xt şi cu x2 cantităţile de produs P, respectiv P2 conform condiţiilor problemei, modelul matematic se scrie:

xx+ x 2 < 6

xx + 2x2 < 8 0 < xx < 5

2xx + 2x2 <12

1 + 2x2 <84xx <20

4x2 <12x1 > 0 IV o

sau

0 < x 2 <3

[maxi/ = 2000^! + 3000x2Procedând ca în exemplul precedent poligonul K al soluţiilor realizabile

este cel de mai jos:

A(5,0)

45

2 /Funcţia obiectiv se scrie sub forma x2 = — x, + — — şi reprezentăm

Deci X, = 4,x2 = 2 şi

/max = /(4 ,2 ) = 2000 · 4 + 3000 · 2 = 14000

Se vor realiza deci 4 unităţi de produs Pi şi 2 unităţi de produs P2 cu beneficiul maxim egal cu 14.000 u.m.

Conform planului optim din cele patru resurse se utilizează următoarele

Rămân din M3:20 - 16 = 4 unităţi neutilizate iar din M4:12 - 8 = 4 unităţi neutilizate.

3. Folosind metoda grafică expusă mai sus vom considera câteva probleme de programare pe care le propunem cititorului, probleme ce ilustrează diverse situaţii referitoare la forma lui K şi la valoarea optimului lui f.

1. Aflaţi [m ax]/ = x l - x 2 şi [m in]/ = xl - x 2 cu condiţiile:

Soluţie: Problema are optim finit cu / ^ = -5 , x, = 0, x2 = 5 şi fmu = 2, Xi = 2, x2= 2, mulţimea K fiind mărginită.

2. [m ax]/ = 2xt + 2x2, cu condiţiile

cantităţi:

Μ, :2 ·4 + 2 ·2 = 12 :4 ·4 + 0 ·2 = 16 M2 :1·4 + 2 ·2 = 8 Μ , : 0 ·4 + 4 ·2 = 8

+ x2

x x > 0 x2 > 0

<5<2

*1x. > 0 x, > 0

+ x2 <5<3

46

Soluţie: Problema are soluţie optimă multiplă şi anume toate punctele de pe segmentul BC din figură:

C(0,5)

Avem:f(C) = f(0,5y,f(B) =f{2,3) = 10 ;M ) =/(3,0) = 6;/(0,0) = 0. Deci: W = 10

pentru jc/ = 0, x2 = 5 şi de asemenea pentru xi = 3,x2 = 2. Avem deci două soluţii optime:

i ° N,x2 =i 3 l2 /

. Se observă că din cauza paralelismului dreptei

reprezentată de funcţia de eficienţă cu segmentul BC, orice punct de pe acest segment este de asemenea soluţie optimă a problemei. într-adevăr segmentul fiind o mulţime convexă orice punct X de pe BC se scrie ca o combinaţie liniară a vârfurilor şi anume:

X = λΒ + ( \ - λ ) θ = λ Χ ι + ( ΐ - λ ) Χ 2, 0 < A < 1

sau

X - λ +(i - a ;'3λ ί 3Ă )

5 -3 A

Luând A = i , găsim soluţia X =4v y

pentru care j{ 1,4) = 10 deci X este

optimă.

3° Se cere [m ax]/ = xx - x2] [min]/ = jc, - x2 cu condiţiile:

47

ÎXi + χ2 > 5

U Ζ 3jcl > Ο, *2 > 0

în acest caz K este:

f(C) =/(0,5) = 0 - 5 = - 5 ; f ( B) = 3 - 2 = 1;/(1,6) = 1 - 6 = -5;/(2,8) = 2 - 8 = - 6; rezultă că valoarea minimă a lui f = Xi - xi este infinită

deci: / min = — (optim infinit).Pentru [m ax]/ = - x2 el este infinit, atins în punctul B şi este egal cu

/ max = / (B) = / (2,3) = 1.

4°. Problema de programare liniară care cere maximul sau minimul unei funcţii obiectiv oarecare în variabilele Xi şi x2 cu condiţiile:

χλ +x2 ^3 x2 >4

xx > 0, x2 > 0

nu are soluţii aşa cum se vede din figură, deoarece sistemul de inegalităţi este incompatibil neexistând astfel mulţimea K a soluţiilor realizabile

48

b) Metoda algebrică. Ca şi la metoda precedentă, forma particulară a unor probleme de programare liniară permite să se aplice şi alte metode mai simple pentru soluţionarea lor, de exemplu metoda algebrică.

1. Să se determine:

[m in]/ = 3x, - 2x2 + 4x,

cu condiţiile:xx + 3x2 + 2x3 = 3 3xt + 3*2 + x3 = 4

Xj > 0 , j = 1,2,3Caracterul particular al acestei probleme este acela că conţine trei variabile

şi restricţiile sunt egalităţi, fapt ce permite un procedeu de rezolvare algebrică după cum urmează: exprimăm două variabile în funcţie de a treia:

Î 3x2 + 2x} = 3 - xx

3x2 + x3 = 4 - 3λγ,

din care deducem x3 = 2xt - 1, x2 = — (l — jc, ) .2

Dar condiţiile de nenegativitate x3 > 0, x2 > 0 conduc la

2xt -1 > 00 < χ , < — fl .

1 2 =>X, <1 I-2

49

Funcţia obiectiv în care am pus

43 22se scrie în funcţie de x{, f - — - — care este o funcţie crescătoare în x;.

Vom avea deci:

— < 4 < 12

x2 = | · ( ΐ - χ , ) şi *3 = 2 *, - 1 ,

/

f

Rezultă că f ^ n = /

< / ( * , ) < / ( ! )

v 2 /= ~ Ş* / _ = / < 1) = 7O

* ‘ 1 1 \ 5 Prin urmare pentru = - , * 2 = - ^ 1 - * , ; = - 5«

x3 = 2*, - 1 = 0 iar / max = 7 pentru x, = 1, x 2 = 2 şi xi = 1.

5. Algoritmul simplex. Bazele teoretice ale algoritmului simplex.în paragraful de faţă vom prezenta bazele teoretice ale metodei simplex

precum şi etapele de calcul ale algoritmului acestei metode.Metoda simplex permite ca pornind de la o soluţie de bază cunoscută a

problemei de programare liniară să obţinem după un număr finit de iteraţii (paşi) soluţia optimă.

Fiecare din aceste iteraţii constă în găsirea unei noi soluţii căreia să-i corespundă o valoare a formei liniare mai mică decât cea corespunzătoare soluţiei precedente. Procedeul se repetă până când se obţine soluţia optimă.

Aşa cum s-a arătat în capitolul precedent, fiecare soluţie de bază şi în particular soluţia optimă este legată de un sistem de m vectori liniar independenţi. De aceea, este firesc ca în procesul căutării soluţiei optime să ne mărginim la acele soluţii care sunt legate de sisteme de m vectori liniar independenţi, adică la soluţii de bază, al căror număr este finit.

a) Aflarea soluţiei optime a problemei de programare liniară Să presupunem că problema de programare liniară admite soluţie şi orice

soluţie de bază este nedegenerată. Să admitem, de asemenea, că cunoaştem o astfel de soluţie de bază. în cele ce urmează se va arăta că presupunerile făcute nu micşorează în nici un fel generalitatea raţionamentelor.

Fie X ={xl,x 2,...,xm) soluţia de bază cunoscută şi legat de aceasta

sistemul acelor vectori liniar independenţi ax,a2,...,am. Au loc astfel relaţiile:

50

xxax+ x2a2 +... + xmam =b (1)Ş·xlcl + x2c2 +... + xmcm = f 0 (2)

unde toţi xt > 0, c, sunt coeficienţii formei liniare corespunzătoare soluţiei de bază date. Deoarece vectorii ax,a 2,...,am sunt liniar independenţi, orice vector al

sistemului de vectori ax,a 2,...,an se poate exprima în mod unic ca o combinaţie liniară a lor. Să admitem că vectorul aj se exprimă prin combinaţia:

*ijOx + x2ja2 +... + xmjam = o ,, j = 1,2,...,n (3)

Şixxjcx + x2jc2 + ... + xmjcm = / , , j = 1,2.... n (4)unde Ci este coeficientul formei liniare a problemei, corespunzătoare

vectorului a,·.Teorema 1. Dacă pentru indicele j fixat este îndeplinită condiţia

f j ~ C j > 0 , atunci se poate construi o astfel de mulţime de soluţii încât pentru

fiecare dintre aceste soluţii să fie satisfăcută inegalitatea f < f 0 unde / estevaloarea formei liniare corespunzătoare soluţiei considerate.

Cazul /. Dacă marginea inferioară a numerelor / este finită se poate construi o nouă soluţie de bază căreia să-i corespundă o valoare a formei liniare mai mică decât precedenta.

Cazul II. Dacă marginea inferioară a numerelor / este infinită se poate determina o nouă soluţie care conţine exact m+1 componente pozitive şi căreia îi corespunde o valoare a formei liniare oricât de mică.

Demonstraţia în ambele cazuri se sprijină pe următoarele consideraţii suplimentare:

înmulţim (3) şi (4) cu numărul Θ şi scădem rezultatele din (1) şi (2) respectiv. Obţinem:

(x1- e x l)ax + (x2 - e x 2)a2 +... + (xm- e x m)am+eaJ = b (5)

(xx - QxXJ ]t, + (x2 - 0x2j H + - + (*„ - &xmj K + Ocj = /o - ( fj - Cj ) (6)

în relaţia (6) s-au adunat ambii membri.

Dacă toţi coeficienţii vectorilor ax,a2,...,am,...,aj din (5) sunt nenegativi, obţinem o nouă soluţie căreia conform lui (6) îi corespunde valoarea formei liniare / = f 0 - e ( f j - Cj ) . întrucât variabilele xx,x 2,...xm în (5) sunt pozitive, există

51

θ0 > Ο pentru care coeficienţii vectorului în (5) devin pozitivi. Din condiţia f j - Cj > 0 pentru j fixat deducem:

/ = Λ - β ( Λ - « ; ) < / . ·0 > 0 . Observăm astfel că în ambele cazuri se poate obţine o nouă soluţie

căreia îi corespunde o valoare a formei liniare mai mică.Să considerăm acum cazul 1. Dacă pentru j fixat cel puţin un

xtj (i = 1 , 2 din (3) este pozitiv, cea mai mare valoare a lui Θ pentru care toţi coeficienţii din (5) devin negativi, este dată de relaţia:

0O = min — (7)' X‘J

unde minimul se ia pentru toţi Xy > 0întrucât presupunem că problema este nedegenerată, adică toate soluţiile de

bază conţin m componente pozitive, minimul în (7) va fi atins pentru un singur indice i. înlocuind pe Θ cu θ0 în (5) şi (6) coeficientul corespunzător acestui indice unic i se va anula. Obţinem astfel o nouă soluţie de bază legată de vectorul a} şi de m-1 vectori ai bazei iniţiale.

Cu noua bază efectuăm aceleaşi operaţii ca şi cu cele precedente. Dacă iarăşi una din diferenţele / . — c · > 0 şi corespunzător xtj > 0, se poate trece la oaltă soluţie de bază căreia îi corespunde o valoare a formei liniare, de asemenea, mai mică. Procesul se continuă până când sau toate diferenţele devin nepozitive ( f . - Cj < O) sau se întâmplă ca pentru o diferenţă f . - c; să avem toţi Xy < 0 .

Dacă toate diferenţele f j - c} < 0 procesul se încheie.în cazul 2, dacă la o anumită iteraţie pentru un anume indice j diferenţa

f j - Cj > 0 şi toţi Xy < 0 atunci Θ este nemărginit superior şi forma liniară poatelua o valoare oricât de mică.

Se vede că în acest caz pentru Θ > 0 , toţi coeficienţii din (5) sunt pozitivi. Obţinem astfel o soluţie care are m+1 componente pozitive, şi dacă luăm pe Θ suficient de mare, valoarea corespunzătoare a formei liniare dată de membrul doi al egalităţii (6) poate fi oricât de mică.

Teorema 2.Dacă la o anumită iteraţie căreia îi corespunde soluţia de bază X = (*,,*2,...,*,,,) sunt îndeplinite inegalităţile f j —Cj< 0 pentru toţi indicii

atunci soluţia X este optimă.Demonstraţie'. Fie Y = (y,, y2 yn) o soluţie oarecare

y\a\ + y2a2 + · · ·+ ynan = b (8)yxcx + y2c2 +...+ yncn = f * (9)

52

unde f* este aşa cum rezultă din (9), valoarea formei liniare corespunzătoare soluţiei Y. Să arătăm că f0< f * (menţionăm că demonstraţia nu presupune condiţii de nedegenerare).

Prin ipoteză f ■ - c;. < 0 pentru toţi indicii j şi prin urmare, prin înlocuirea lui cj cu fi obţinem:

y x ^ + y 2z2 +... + ynzn < f * (10)înlocuind expresiile lui üj pentru fiecare j=l,2,...,n date de (3) în (8) avem:

( m \ J ”, NΣ * « α < + >'2 + · · · + > ' „ Σ * / π α <·

l « ) k 1=1 J l i=1

şi schimbând ordinea de sumare

( " 1 f " 1Σ ^ · χυ a\ + l y j x2j a2 + ...+ l y s *

{ m j { ;=i J l » JAnalog înlocuind expresiile lui pentru fiecare j=l,2,...,n dată de (4) în

inegalitatea (10) obţinem

f " f " ) f n ^Σ ^ χ υ· c, + Σ % c2 + ...+ l y j xmi cm< f * (12)

, J=l { ;=i J {;=i J

întrucât sistemul de vectori av a2,...,am este liniar independent, coeficienţii corespunzători vectorilor a.j(j = 1,2,...,n) din expresiile ( 1) şi ( 11) trebuie să fie egali. în consecinţă, din (12) rezultă:

X l C l + X 2C 2 + . . . + XmCm < / * ,

sau în baza relaţiei (2) f 0 < f *.

Teoremele 1 şi 2 dau posibilitatea ca începând cu o soluţie iniţială a problemei să se obţină un şir de noi soluţii de bază care să conducă la soluţia optimă sau la concluzia că nu există soluţie optimă.

Presupunerea asupra nedegenerării asigură obţinerea soluţiei optime după un număr finit de paşi. Dacă nu facem această presupunere se poate întâmpla ca printre cele m componente Xj ale soluţiei, una sau mai multe să fie nule. în acest caz Θ0 poate fi egal cu zero, iar prin trecerea la o nouă soluţie de bază valoarea formei liniare să rămână aceeaşi. Forma liniară poate să păstreze aceeaşi valoare în

53

decursul mai multor etape succesive şi după un număr oarecare de paşi este posibilă revenirea la o bază anterioară. Avem de-a face cu ceea ce se cheamă fenomenul de ciclare. în procesul de calcul, apariţia degenerării se manifestă atunci când soluţia de bază are mai puţin de m componente strict pozitive x-, şi (sau)

X.θ0 - m in— cu xu > 0 corespunde mai multor indici i. Această neunicitate a

i XV

indicelui i face ca unele componente jc, din noua soluţie de bază să fie egale cu zero.

b) Criteriile de intrare şi ieşire din bază. Criteriul de optim. în prezentarea algoritmului simplex vom considera două situaţii:1. Soluţia iniţială de bază corespunde unei baze iniţiale formată din m

vectori liniar independenţi, ceilalţi vectori coloană ai sistemului de restricţii fiind exprimaţi în această bază.

2. matricea sistemului de restricţii conţine m vectori unitari care alcătuiesc matricea unitate de ordinul m care poate servi drept bază unitară corespunzătoare soluţiei iniţiale de bază.

1. în prima din aceste două situaţii fie av a2,...,am vectorii coloană liniarindependenţi ai matricii sistemului de restricţii şi fie B matricea de ordin m alcătuită cu aceşti vectori:

B = (al,a2,...,am).Pentru determinarea soluţiei de bază X corespunzătoare bazei B şi pentru

exprimarea celorlalţi vectori după vectorii bazei este necesar în primul rând să calculăm B'1. Deoarece:

BX=b

obţinem: X=B'!b

şi Xj=B'1aj

unde X = (x,,x2, xt >0

Şi .....Xmj)

sunt vectori coloană.Să grupăm acum vectorii matricii problemei de programare liniară

partiţionând-o în felul următor:

( % ,a 2,...,am|am+1,...,a„) (13)

54

înmulţind în (1) cu B'1 şi ţinând seama de relaţiile precedente obţinem:

( x | i „ |x „ ......X,,)·

Calculăm diferenţele - Cj j = 1,2,..., n şi verificăm dacă există sau nu

cel puţin un indice j pentru care să avem f j ~ c } > 0 . în caz afirmativ, procedeul de calcul continuă aşa cum a fost descris în teorema 1. Dacă toate diferenţele f j - Cj < 0 atunci înseamnă că s-a obţinut soluţia optimă.

în general, cu deosebire în problemele de programare liniară de dimensiuni mari este greu de arătat că un subsistem arbitrar de m vectori din sistemul de vectori al,a 2,...,an este liniar independent şi că formează o bază şi cu atât maimult de calculat matricea B'1 despre care a fost vorba mai sus. Este necesar, prin urmare să dispunem de metode care să ne permită alegerea mai lesnicioasă a bazei iniţiale şi câteva astfel de metode vor fi expuse mai departe.

Menţionând însă că în mai multe probleme practice este întâlnită cea de a doua situaţie semnalată şi de ea ne vom ocupa în detaliu în continuare.

Considerăm deci că sistemul dat de vectori alfa2,...,an conţine m vectoriunitari care pot fi grupaţi astfel încât să formeze matricea unitate de ordinul m (vezi tabelul 1).

Să presupunem că aceştia sunt vectorii ax, a2,..., am. Atunci matricea:B = (al,a2,...,am) = l m este o bază. întrucât B''=Im, obţinem soluţia

iniţială de bază:

X = b, b > 0şi Xj = aj

unde: X = (jcp x2,...,xm) x, > 0

^ j ~ (*l j ) X 2 j X mj )

Pentru a începe procesul de calcul după metoda simplex vom scrie desfăşurat matricea problemei de programare liniară aşa cum este arătată în tabelul1 (de obicei în practică, vectorii nu se grupează împreună, noi i-am grupat totuşi pentru ca expunerea teoretică să fie mai clară).

55

Tabel 1

1 B a z a c b

C i C 2 ... C l ... C m ......... C j

. . . C * ... c H

a i 0 2 · · · a i ... a ma m + l

... O j ... O * ... e »

1 f l / C i x i 1 0 ... 0 0X l . m +1

. . .x / j

. . . X i k . . . X l m

2 0 2 c 2 * 2 0 1 · · · 0 · · · 0X 2 . m + 2

· · ·x y X 2 k X 2m

a i C l x i 0 0 . . . 1 ... 0X 2 * + l

. . . x v . . . X l k ... X b ,

m a m <■ c „ X m 0 0 0 1x m , r n + j .... x * i

X m k X m n

m + 1

-— - ?

f o 0 0 . . . 0 . . . 0f m + r C m + l

. . . f t - C , ... f k - C k ... f n ~ C n

în baza relaţiilor precedente, în sistemul de restricţii al problemei consideratescris sub forma A X = b vom pune x,· = bt şi x tj = a(j , iar f j , j = 0,1,2,...«este egal cu produsul scalar dintre vectorul a, şi vectorul coloană al coeficienţilor funcţionalei liniare,adică:

m/o

/»Im

f j = l L cix ij> y = 1,2,...,ni=I

Elementele / 0 şi f j ~ Cj sunt plasate pe locurile corespunzătoare ale liniei

m +1 din tabelul 1. Diferenţele f j — Cj corespunzătoare vectorilor bazei sunt

întotdeauna egale cu zero. Dacă toate diferenţele f j — cy· < 0 pentru

j = 1,2,...«atunci soluţia de bază X = (xţ, x 2,..-,xm) = esteoptimă şi valoarea minimă a formei liniare este egală cu f

Să presupunem însă că cel puţin una dintre diferenţele f } - Cj > 0 . Vom trece

atunci la o nouă bază care să conţină m -1 vectori ai bazei iniţiale av a2,...,am ea

poate fi completată cu orice vector căruia îi corespunde diferenţa f j — c · > 0 .Aşa cum arată Danzig, numărul de paşi necesari pentru obţinerea soluţiei

optime poate fi considerabil micşorat dacă în bază se introduce acel vector a.j cu

care la iteraţia respectivă conduce la micşorarea maximă posibilă a formei liniare. Vectorul a; în acest caz corespunde valorii:

ma x 0o( / y - c y)

unde θ0 se determină pentru flecare j din relaţia (7). Dacă numărul indicilor j

pentru care f j ~ cj > 0 este mare,criteriul mai sus indicat devine greoi. Un criteriu mai simplu de alegere a vectorului ce urmează să intre în noua bază constă în alegerea vectorului aj care realizează m ax (/;· ~Cj ) . Acest criteriu se aplicăadesea şi prin folosirea lui,trecerea de la soluţia iniţială de bază la soluţia optimă, se realizează după m paşi.

Presupunem în acest sens că:max(/y - c j ) = f k - c k > 0

Atunci vectorul ck va fi introdus în noua bază. Calculăm:

57

X.θ0 — min —— pentru xik > 0 .

x ik

Dacă toţi xik ^ 0 se poate determina o soluţie căreia să-i corespundă o valoare oricât de mică a funcţionalei liniare / (teorema 1,cazul 2) şi procesul de calcul ia sfârşit. Să admitem că există un xik > 0 şi

û · X i x i θ0 = min —- = —-‘ Xik Xlk

Urmează atunci ca vectorul a/ să fie scos din bază. Noua soluţie va corespunde bazei alcătuită din vectorii al ,a2,...al_l ,aM ,...,am,am+l. Să determinăm mai departe noua soluţie de bază şi coordonatele vectorilor care nu fac parte din bază, în această bază.

întrucât baza iniţială este {ax,a 2,...am) = I m atunci: b = xlal + ...+ x,al +... + xmamat = xlkax +... + x , ^ +... + xmlaI k k mk m

ŞiDin

d j — Xÿ(i\ + ··. + Xijdi +... + xmjam

a l -----------( a k X lk a i — X mka m )X lk

(14)(15)(16)

(17)

înlocuind expresia lui a, în (14) obţinem:

1( a k a \k a 1

Klk

+ . . . + X mCLm m m

sau:

b =/ N / \

X l X \ --------

X l x tX m ----- - X m kax +

X lkV tK x k XlL\ * )

Xrelaţie care este echivalentă cu (5) pentru j - k şi Θ = — . în acest mod, noua

v/jtsoluţie X ' — (x\,...xk,...,x'm) definită de relaţia:

b = x[al +x'2a2 +... + x'mam

are componentele x[,...,x'k,...x'm ce se calculează după formulele:X

x'i = x i — -Xik, i = 1,2,.J (18)Vk

58

în mod analog înlocuind (17) în (16) se obţine exprimarea fiecărui vector a, care nu face parte din noua bază ca o combinaţie liniară de vectorii acestei baze:

unde:

a j = x'j a, +... + xkjak +... + xmjam,

Xux i j = x i j -----* l (19)

Xlk, X lj

xkj = — XU

întrucât:f j ~C j = xijCj + -x'kjCk + ...xmJcm - Cj

ţinând seama de formulele (7) obţinem:

x lkDe asemenea, înlocuind expresiile lui x[ şi x'k date de (18) în relaţia :

f ' = clx 'l +... + ckx'k +... + cmx'mobţinem:

/o = / o - — (fk ~ Ck) Xlk

Observăm acum că pentru obţinerea noii soluţii de bază X \ noilor vectori X ’j şi

diferenţelor corespunzătoare f j ~ cj , fiecare element al tabelului 1 din liniile

i = 1,2,..., m + 1 şi coloanele j = 0,1,..., n se transformă după formulele:

__ f __ / / . / __ tXi — XiO’ J O ~ Xm+l,0’ J j Cj ~ Xm+\,j ·

Formulele generale (20) se aplică tuturor elementelor tabelului inclusiv coloanei lui b şi celei de a m+l-a linii. Transformările exprimate de formulele (20) sunt echivalente cu cele proprii metodei eliminării complete în care ca elementpivot se ia elementul xlk.

După ce tabelul iniţial a fost completat, calculul fiecărei iteraţii se efectuează conform cu următoarea succesiune de operaţii:

1. Se examinează valorile diferenţelor f j ~ cj- Dacă toate diferenţele

f j - Cj < 0 pentru vectorii a,· ce nu intră în bază, soluţia nu mai poate fi îmbunătăţită, este optimă (minimă).

2. Dacă f j - Cj > 0 pentru unul sau mai mulţi o, ce nu sunt în bază se introduce în baza următoare vectorul ak pentru care: f j - Cj = m ax ( f j - Cj > 0 ) (criteriul de intrare în bază).

3. Se stabileşte vectorul ce trebuie să iasă din bază. Pentru aceasta se efectueazăX·

rapoartele ——, i = 1,2,..., m şi alegem vectorul a, pentru care: x ik

X , . X:— = m in — pentru toţi xik > 0 . x kl 1 x ik

Conform criteriului de eliminare din bază, noul vector ak ia locul vectorului a ; . Dacă toţi xik ^ 0 forma liniară a problemei este nemărginită (inferior).

4. Se stabileşte elementul pivot xtk şi vechea soluţie precum şi toate elementele tabelului se transformă după formulele (20).

Ca rezultat al fiecărei astfel de iteraţie se obţine o nouă soluţie de bază. în baza teoremelor 1 şi 2 în final, fie obţinem soluţia optimă fie ne convingem că funcţionala liniară / este nemărginită (inferior).

După efectuarea primei iteraţii se obţine tabelul 2.

60

Tabel 2

i Baza C X BCl ' ’ c 2 ... Cl ... Cm Cm+l ... Cj ... c k ... c„a i a 2 ... ai ... am a m+i ... ai ... a k ... a n

1 a i Cl x'i 1 0 ... x ’n ... 0 X'l.m+1 ... x'if ... 0 ... X'in2 a 2 c 2 x'2 0 1 ... x ’2i ... 0 X 2.m+2 ... x 'ij ... 0 ... X'2n

i a t Cl x'i 0 0 ... x ’u ... 0 x'2.m+I ... A ... 1 ... X'in

m Cm X'm 0 0 ... X m l ; 1 X m.m+1 : x 'ny 0 X mn

m+1 f o 0 0 ... f l -C l ... .0 fm + rC m + l ... f j ' c i ... 0 ... fm ~ C n

Exemplu: Să se determine:

[mini/ = x2 - 3x3 + 2xscu condiţiile:

X, + 3x2 - Χ 3 + 2 x5

- 2 x 2 + x 3 + χΛ - 4 x 2 +3;c3 + 8x5 + x6

Xj > 0 j = 1,2,...,6

= 7= 12= 10

Cu notaţiile folosite în expunerea teoretică avem:

' 1 3 - 1 0 2 0 " ' 7 N

A = 0 - 2 4 1 0 0 . b = > 12

0 1 4 3 0 8 1 / 10\ yal °2 *3 a4 °5 «6

c = (0 , 1 , - 3 , 0 , 2 , 0 )

Baza iniţială (vezi tabelul 3, iteraţia 0) este formată cu vectorii unitari a{,a5,a6 şi îi corespunde soluţia iniţială de bază X = (χ15λ:5,χ 6) = (7 ,12,10).

întrucât cx = c4 = c6 = 0 valoarea formei liniare f 0 este egală cu zero. în bază se

introduce a3 deoarece m ax (/ ; — Cj) = /3 — c3 = 3 > 0 , Raportul

Prin urmare, vectorul a4 va ieşi din bază şi va fi înlocuit de a3. Transformând tabelul (vezi tabelul 3 iteraţia 2) se obţine noua soluţie de bazăX' = ( jt j . j t j , jr4) = (10,3,1) căreia îi corespunde valoarea formei liniare egală cu -9 . Avem:

o · x iθ 0 = mm — pentru' *,3

xi3 > 0 adică: min

62

max ( f j - c j ) = f ' - c 2 ^ ~ > 0

de aceea în a doua iteraţie se introduce în bază vectorul a2 în locul lui a Transformând tabelul iteraţiei a doua obţinem a treia soluţie:

X ' = (*2>*3>*6) = (4 ’5>11)

căreia îi corespunde valoarea formei liniare egală cu -11. Deoarece:

m a x ( / '- C ;) = 0

această soluţie este optimă. Dacă pentru soluţia optimă o diferenţă oarecare, iar vectorul ajnu face parte din ultima bază ( f ă r ă bază optimă)

atunci el poate fi introdus în bază fară ca valoarea formei liniare să se schimbe. Soluţia de bază corespunzătoare va fi, de asemenea, optimă. Orice combinaţie liniară convexă a acestor soluţii optime este, de asemenea, o soluţie optimă a problemei.

Observafie. Problemele în care / se cere maximizată se reduc la probleme de minim deoarece pentru funcţiile liniare putem scrie:

η n

max £ CjXj = - min J (-CjXj )XJ 7=1 X> 7=1

saumax / = -m in (-/ )

Urmează că la maxim schimbăm semnul lui Cj, aflăm minimul şi schimbăm semnul numărului găsit.

63

Tabel 3

64

6. Metoda bazei artificialePână acum am presupus că problema de programare liniară considerată admite

soluţie şi că matricea sistemului de restricţii conţine vectori unitari cu care să se alcătuiască o bază unitară care, după cum ştim, înlesneşte găsirea imediată a unei soluţii iniţiale de bază. Multe probleme de programare liniară sub forma standard nu conţin însă această bază unitară şi într-o astfel de situaţie se recurge la aşa- numita metodă a bazei artificiale pe care o vom descrie în cele ce urmează.

Să considerăm problema:

cu condiţiile:[m in ]/ = cxx + C2X2 + — + Cnxn

a\\x\ +al2x2 + ... + aXnxn = bx a2lxx + a22x2 +... + a2nxn =bn

Xj> 0

a m l Xl + a m 2X2 + - + a m nXn = K

la care matricea A = (ûÿ), t= l,2 , . . . ,m j = 1,2,...,n nu conţine matricea

unitate Im.Vom construi pornind de la problema dată (iniţială) o altă problemă numită

problema extinsă şi anume:

[mini/' = c \x \ + C2X 2 + · · · + Cn Xn + t e n+l + k c n+2 + - + f a ,

cu condiţiile:n+m

αχχχχ + aX2x2 +... + alnxn + xn+x@2\%2 Ct'yjX') ^ ... Cl' rtXl22 2 2 η Λη + X,n+2

= bl = b.

a m\X\ + a am 2 X2 + — a m nXn + + Xn+m = b m

în care variabilele nenegative xn+1, Χη+2,·<·>Χη+ηι se numesc variabile artificiale. Pentru ca ele să nu facă parte din soluţia optimă li se asociază costuri foarte m ari, denumite costuri de penalizare ( evident λ > 0) şi ale căror valori nu este necesar să fie cunoscute.Vectorii an+x,a n+2,...,an+m ataşaţi variabilelor artificiale sunt după cum se vede vectori unitari şi formează o bază iniţială unitară numită bază artificială. Dacă problema iniţială admite soluţie optimă atunci ea este optimă şi pentru problema extinsă. Aplicarea algoritmului simplex problemei extinse asigură determinarea

65

unei soluţii optime în care fiecare dintre variabilele artificiale x„+l este nulă. Vectorul:

X = (*n+l > *11+2 » · · · > Xn+m ) = (Pl»^»···»^«,)

reprezintă soluţia iniţială de bază a problemei extinse iar valoarea funcţionalei liniare corespunzătoare acesteia este:

1=1

Deoarece baza iniţială este unitară (baza artificială) rezultă:

X j ~ (* 1 j * X 2j ) — ( a \ j>a 2 j> ‘“ a m j)

Şi f i ~ ^ j xij-i=l

De fiecare dată când baza va conţine vectori artificiali, diferenţele f j -C y vor

fi funcţii liniare de λ. Pentru soluţia iniţială avem:

/=1

Fiecare dintre diferenţele f j~ C j se prezintă aşa cum am mai spus ca funcţii

liniare de λ.Criteriul de intrare în bază este dat de linia (m+1) şi anume va intra în bază

m m

vectorul a k pentru care f k ~ ck~ m ax ^ xij - ^ xikj i=l j-l

adică de elementul maxim de pe linia (w + 1) (Tabelul 4).

66

Tabel 4

i Baza C P0Cl c2 ... Ck ... Cn A ... A ... A

p, P2 ... Pk ... Pn Pn+1 ... Pn+< ... ak1 Pn+l λ *»+/ Xu X]2 ... Xik ... %ln 1 ... 0 ... 0

2 Pn+2 A %n+2 X21 X22 X2k X2n 0 0 0

/ Pn+i A xn+i Xu Xl2 ... xik ... Xln 0 ... 1 ... 0

m Pn-Hn A Xn+m Xml Xm2 Xmk %mn 0 0 1

m+l ... ... 0 -Cl -c2 ... -ck ... -cn 0 ... 0 ... 0

m+2 Σ χ- Σ χ<> Σ χ« Σ *» Σ χ» 0 0 0

ON-J

Criteriul de ieşire este acelaşi ca la algoritmul simplex primai.Criteriul de intrare indicat mai sus se aplică atât cât în bază mai figurează

vectori artificiali. Dacă la o anumită iteraţie în bază nu mai figurează vectoriartificiali, dar condiţia de optim nu este îndeplinită (nu toţi Xj - Cj < 0) secontinuă algoritmul obişnuit până se obţine soluţia optimă. întrucât vectorii artificiali ieşiţi din bază nu vor mai reveni niciodată în bază componentele lor în iteraţiile ulterioare nu se mai calculează.

Pot avea loc următoarele situaţii:1. După un anumit număr de iteraţii vectorii artificiali an+\,an+2,...,an+m se

elimină din bază şi se obţine o soluţie realizabilă de bază a problemei iniţiale. Se arată că în cazul folosirii bazei artificiale complete, adică atunci când baza artificială conţine m vectori, obţinerea soluţiei optime a problemei iniţiale are loc după aproximativ 2m iteraţii.

2. Unul sau mai mulţi vectori artificiali au rămas în baza optimă (când toatediferenţele f j — Cj < 0 , iar variabilele artificiale corespunzătoare acestora au valoarea zero; în acest caz soluţia problemei iniţiale este degenerată, adică numărul variabilelor structurale X], x2 ,···*„ nenule este mai mic decât m.

3. Unul sau mai mulţi vectori artificiali au rămas în baza optimă iar variabilele artificiale corespunzătoare sunt nenule; în acest caz problema iniţială nu are

Observaţia 1. Se poate întâmpla ca la o iteraţie oarecare să nu iasă din bază nici unul dintre vectorii artificiali.

Observaţia 2. în cazul în care restricţiile sunt tot egalităţi, dar funcţia de eficienţă/ se cere minimizată, costurile de penalizare se vor lua negative A < 0 , aşa încât prin aplicarea algoritmului simplex să fie eliminate din bază.

în concluzie, modelul unei probleme în care apar variabilele artificiale se prezintă după introducerea acestora în două moduri:

soluţie.

[m in]g = clxl + c2x2 + ... + cnxn + λ ( χ η+ι + Xn+2 ” 'X n+m )

n

X j> 0, xn+i > 0 , i =

sau:

[m a x jg = c,x , + c2x 2 + ... + cnxn - A(x„+1 + xn+2 + ... + xn+m)

68

£ aljx j+ x n+l=bi H

XjZ 0, x„+i> 0 i = 1,2 , . . . ,τη

Observaţia 3. Dacă o parte din vectorii structurali ax,a2,...,an din matricea A a problemei iniţiale sunt unitari, se adaugă un număr mai mic de variabile artificiale atât cât este necesar pentru ca vectorii ataşaţi acestor variabile împreună cu vectoriiunitari din A să formeze o bază unitară în Rm .

Exemplu. Să se determine:

[m ax i/' = *i + 2*2 + 3*3 - x4cu condiţiile:

* , + 2 * 2 +3*3 15

• 2*j + * 2 + 5*3 = 20

*, +2*2 + * 3 + * 4 =10

* ,> 0 j = 1,2 ,3,4Matricea problemei iniţiale ale cărei coloane sunt vectorii structurali

f lj, a2, a 3 , a 4 corespunzători variabilelor structurale * 1, * 2» * 3, *4 este:

1 2 3 0

2 1 5 0

1 2 1 1

°1 a 2 a 3 a acare conţine un vector unitar a4 . Vom introduce variabilele artificiale x5 şi x6 la prima şi a doua ecuaţie procurând astfel vectorii unitari a5 şi a6 (vectori artificiali)care completează baza unitară iniţială şi care este baza artificială a5,a6,a4 . Problema extinsă corespunzătoare este:

[m ax]g = *, + 2*2 + 3*3 - * 4 - λ (* 5 + * 6) cu condiţiile:

69

X{ + 2*2 + 3*3

2xj + x2 + 5x3

X j + 2 x 2 + X j + X 4

+ x< = 15

= 20= 10

+ x6 = 20

cu matricea extinsă:XJ IV o j = 1 ,2 ,. .,6

( 1 2 3 0 1 0"

A = 2 1 5 0 0 1

1\ 2 1 1 0 0 /a\ a 2 03 a 4 *5 «6

Soluţia de bază iniţială corespunzătoare bazei artificiale a5,a6,a 4 este

X = (x 5,x 6,x 4) = (15,20,10).

Putem aplica algoritmul simplex problemei extinse (vezi tab. 6)Valoarea funcţionalei liniare / corespunzătoare acestei soluţii este

/0 = 10 + 3 5 A . Fiecare f} este produsul scalar dintre vectorul a} şi vectorulcoloană c, de exemplu:

/ j - c , = A + 2A +1 - ( -1 ) = 2 + 3A .

în bază se introduce vectorul a3 deoarece elementul maxim (m+2j) de pe linia m+2 şi coloana j=3 adică (jn + 2,3) este egal cu 8. Valoarea 0 O corespunzătoare

. 20este σ 0 = — se obţine pe linia lui a<j care va ieşi din bază. Transformând toate

elementele primei iteraţii din tabelul 6 după formulele (8) noua soluţie de bază este:

X ' = (x5,x 3,x 4) = (3,4 ,6)

70

Tabelul 5

Baza-1 -2 -3 1 λ λ

c Λ a , a 2 a 3 a 4 a 3 a 6a i λ 15 1 2 3 0 1 0a 6 λ 20 2 1 5 0 0 1a 4 1 10 1 2 1 1 0 0

fj -Cj 10 2 4 4 0 0 035 3 3 8 0 0 0

a 5 λ 3 _ 1 ” 5

75

0 0 1

a 3 -3 4 25

15

1 0 0

a< 1 6 35

95

0 1 0

fj ■cj -6 25

165

0 0 0

35

75

0 0 0

a 2 -2 |55 7

1 0 0

a 3 -3 257

37

0 1 0

a 4 1 157

67

0 0 1

fj 'Cj _ 90 7

67

0 0 0

0 0 0 0 0a 2 -2 5

20 1 0 1

6

a 3 -3 52

0 0 1 _ 36

a i -1 22

1 0 0 75

f j ■Cj -15 0 0 0 -1

71

căreia îi corespunde valoarea funcţionalei liniare f ' 6 + 3Λ . Introducem în

bază vectorul a2 deoarece elementul maxim de pe linia m + 2 egal cu J/ş se află

7în coloana a doua şi cum θ0 = — se obţine pe linia vectorului a$ din bază, aceasta

din urmă va ieşi din bază. Noua bază va fi formată numai cu vectori structurali α2,α 3,α 4 căreia îi corespunde soluţia de bază.

y# , , (15 25 \5λ X = (x 2,x ,x 4) =

Toţi vectorii artificiali au fost eliminaţi din bază, dar nu s-a obţinut soluţia. , _ 6

optimă deoarece încă există o diferenţă pozitivă J c\ ~ ~ ,

deci soluţia nu este optimă. Se va introduce în bază vectorul a \ şi se va obţine soluţia optimă:

( 5 5 5^

şi x 4 = 0 ia valoarea formei liniare egală cu -15.5 5 5

Rezultă că /max =15 obţinută pentru *i = ~ > x 2 - ~»*4 - 0

7. Cazul când sistemul de restricţii conţine inegalităţi de acelaşi sens.

în prezentarea bazelor teoretice ale algoritmului simplex am considerat modelul matematic al problemei de programare liniară sub forma standard (restricţiile sunt egalitati) şi am presupus cunoscută soluţia iniţială de bază pe care am îmbunătăţit-o la fiecare iteraţie a algoritmului. Sunt cunoscute metode de aflare a unei asemenea soluţii dar din punct de vedere practic ele nu prezintă mari avantaje. Determinarea unei baze comode - baza unitară - şi a unei soluţii iniţiale de bază este înlesnită de natura restricţiilor problemei. în problemele puse de practică de cele mai multe ori restricţiile problemei sunt inegalităţi; de aceea, pentru a fi concordanţă cu cerinţa algoritmului simplex prezentat pe cazul când restricţiile sunt egalităţi, va trebui să transformăm inegalităţile în egalităţi.

în cele ce urmează vom considera două tipuri de probleme de programare liniară şi anume când restricţiile sunt inegalităţi de sens < sau de sens > şi vom rezolva problema pusă mai sus a determinării unei soluţii iniţiale de bază şi a reducerii inegalităţilor la egalităţi ca astfel să aplicăm algoritmul simplex.

72

1. Să considerăm problema:

[m ax jf = Y J cj Xj ( 1)7=1

cu condiţiile:

i = l,2,...m (2)7=1

Xj > 0 , j = 1,2,...« (3)care aşa cum am arătat în paragraful 1 este o problemă de planificare a producţiei,în care se cere aflarea nivelului activităţilor Xj, j = 1 ,2 ,...« , astfel încât beneficiulunei întreprinderi industriale să fie maxim ţinând seama de resursele disponibile £,·.

Vom transforma fiecare din restricţiile (2) în egalităţi prin introducerea unei noi variabile pozitive numită variabilă de compensare (de abatere sau écart).

Restricţiile devin:auxx + al2x2 +... +a]nxn +*„+1 = bx

a2\X\ + a 22X2 + ··· a2nXn ^ Xn+2 = 2: (4)

a m\X\ ^ a m2X 2 a mnX n X n+m fym

Am stabilit în paragraful 2 că soluţia sistemului de ecuaţii (4) este echivalentă cu soluţia sistemului (2) dacă x„+1 > 0, i - 1,2,...m . Pentru ca sistemul (2) să aibă

o soluţie X j ^ 0, j = 1,2,...« este suficient ca sistemuln

Y j a i jX j + x n+i = b i ’ I = l , 2 , . . . m7=1

Xj > 0, xn+i > 0 , ; = 1,2,...«,să admită o soluţie pozitivă.

Variabilele de compensare pot fi interpretate economic ca reprezentândm activităţi fictive pe care întreprinderea nu le efectuează; de aceea, în funcţia de eficienţă, le vor corespunde beneficii nule:

/ = c,x, + c2x 2... + cnx„ + 0x„+1 + ... + 0xn+m în acest mod am trecut de la problema dată iniţial la aşa-numita problemă

extinsă care se formulează astfel:

73

[m ax]/ = η * , + c2x2 + — + cnx„cu restricţiile:

n^ a ‘j X j + x „ + ‘ = b i, i = 1 , 2 . . .mΐ ί (5)x ; > 0 , xn+iZO, j = 1 ,2 , . .n i = 1 ,2 , . .m

Matricea sistemului de restricţii a problemei extinse este:

A =

a , „ 1 0 . . . 0a\\ a\2a21 a22 ... α2„ 0 1 0

flm2 - amn 0 0 ... 1care se mai poate scrie punând în evidenţă vectorii coloană,

A = (a],a2,...an,ev e2,...em)

în care el ,e2,...em sunt vectorii unitari ai spaţiului Rm care alcătuiesc matricea unitate de ordinul m.

O 0

Em =0 1

0 o

Putem alege atunci baza iniţială unitară formată cu vectorii ex,e2,...em,mi orice alt vector care nu aparţine bazei (vectorii matricii A ) se exprimă cu uşurinţă în această bază:

= a\je\ + a2j e 2 + ··■ + amjem, j = 1 ,2 ,..na\j’a2j ’—amj fiiHd elementele coloanei j din matricea A. Dacă nu am fi procuratîn modul arătat baza unitară, exprimarea vectorilor ce nu fac parte din bază, în această bază, ar fi necesitat un calcul suplimentar.

Soluţia iniţială este prin urmare:

*1 == — ®>'··Χ η = 0>*n+l — ^1 ~

deoarece bt > 0 , i — 1,2Având fixată o bază (baza unitară) şi dispunând de o soluţie iniţială de bază

corespunzătoare, inegalităţile fiind transformate în egalităţi, putem aplica algoritmul simplex.

74

Exemplu: într-o secţie a unei întreprinderi se folosesc patru feluri de materie primă, M y,M 2,M 3 şi M 4 , pentru producerea a trei tipuri de produse,

PltP2 şi P3. Consumurile specifice corespunzătoare se găsesc în tabelul careconţine, pe coloana D, cantităţile din materiile prime Μλ,Μ 2 ş i M 3, disponibile în secţie.

Stocul de materie primă M4 este suficient de mare pentru a răspunde oricărui plan de producţie. Se pune însă problema unui consum cât mai mare din această materie primă, datorită stocului mare existent, ce necesită cheltuieli suplimentare (de întreţinere).

Să se determine un plan de producţie, care să nu necesite mai mult decât cantităţile disponibile din M VM 2 şi M 3 şi care să folosească o cantitate maximă din M4 . Apoi să se analizeze, din punct de vedere economic, rezultatele obţinute, luând drept criteriu producţia totală realizată.

Se presupune că cele trei tipuri de produse nu se deosebesc din punct de vedere al câştigului net unitar, adus de ele întreprinderii.

Rezolvare: Notăm cu xx, x2 şi *3 cantităţile ce trebuie produse, respectiv, din Px, P2 şi P3 . Astfel, modelul matematic al problemei are forma următoare:

[m ax]/ = 4*[ + 3λ:2 + 4 *3 2xx + 3*2 + 5*3 < 25

4*j + 2*2 + 2*3 < 16

5*j + 6*2 + 2*3 < 40

* ;> 0 , j = 1,2,3

75

Introducând variabilele de compensare x4,x5,x6 sistemul de restricţii devine: + 3x2 + 5;c3 + x4 = 25

4jtj + 2 x2 + 2 x3 + x 5 = 1 6

5*! + 6 x2 + 2 x3 + jc6 = 4 0Rezolvarea modelului cu ajutorul algoritmului simplex este realizată în tabelul 6.

Tabelul 64 3 4 0 0 0

CB B Xb 01 a2 03 Û4 Os 06 Θ0 a4 25 2 3 5 1 0 0

%0 05 16 (J> 2 2 0 1 0 40 «6 40 5 6 2 0 0 1 8

Ci ■ft 0 4 3 4 0 0 00 a\ 17 0 2

( 1 )1 ~Yl 0

%4 a\ 4 1 Yl X

0X

0 8

0 06 20 0X

0 -5//4

1 -

Ci -fi 0 0 1 2 0 -1 04 Û3 "/<

0K

1X “ X

0

4 a\ '%1

X0

- X &0

0 a6 17%0 V/4

0 X - % 1

Cj - f j 4%0 0 0 Yl - V/4

0

do)

(/.)

Oi)

Deoarece toate diferenţele c ; - f j , din iteraţia I2 a tabelului, sunt nepozitive,soluţia corespunzătoare acestei secţiuni este o soluţie optimă. Această soluţie este următoarea:

1 5 n 1 7 n 1 7 7 * 4 9*i = ^ 2 = 0 ; *3 ; χ4 = χ5 = 0 ; χ6 = — ; l = —

Observaţie: Pe. linia diferenţelor c ; - / ;· există însă un element egal cu zero, îndreptul vectorului a2, care nu este în bază, ceea ce înseamnă că modelul mai are o soluţie optimă de bază.

Aceasta se obţine continuând aplicarea algoritmului simplex, prin introducerea vectorului a2 în bază, Suntem astfel conduşi la secţiunea /2 din tabelul din care extragem cea de-a doua soluţie optimă de bază a modelului:

76

* 1 = 7 ; * 2 = ï ô ; *3 = î ô ; X* ~ X 5=X(,=° ; f™* = y15 j 2 n 5 9 . 2

X, = — A + —(1 - A ) = — Λ H—8 5 40 5

* 2 = γ ^ ( 1 - ^ ) (*)

17 , 13 5 9 , 13X = — A + — (1 -A ) = — Λ + —

3 4 10 20 10Se observă că nu mai există alte soluţii optime de bază, în afară de cele găsite

mai sus.Deoarece problema are două soluţii optime de bază, rezultă că ea are o infinitate

de soluţii optime, soluţia optimă generală fiind de forma unei combinaţii liniare convexe a celor două soluţii optime de mai sus. Această soluţie optimă generală are următoarele componente:

2 59 13 n . 49

CB B b4 3 4 0 0 0a\ a2 «3 «4 «5 06

4 a3 % 0 0 1K o X o ~V\5

4 a\ % 1 0 0~%5 % Ύΐ5

3 a2 % 0 1 0K o - K o V\5

ci -fj - 0 0 0~Υι

-3//4

0

(h)

unde A e [0 ,l]

Comparând cele două soluţii de bază, conţinute în secţiunile /2 şi /3, ambele optime, observăm că, în cazul aplicării soluţiei din /3, se consumă toată materia primă din tipurile M {,M 2 şi M3 , pe când în cazul aplicării soluţiei din /2, mai

rămâne o cantitate de unităţi din materia primă M3. Această observaţie ne

face să comparăm cele două planuri optime după criteriul producţiei totale (* ! + x2 + *3)» care este, în cazul aplicării planului din I3, egală cu 7,6 unităţi, ia r , în cazul aplicării planului din /2, egală cu 6,125 unităţi. Mai mult, calculând producţia totală în cazul unui plan optim oarecare, avem:

59 . 2 5 9 . , 59 , 13 ,X, + x2 + x3 = ——A — i— (1 — A) H— Ah— = —1,475A + 7,6 1 2 3 40 5 10 20 10

77

Această funcţie liniară fiind descrescătoare în raport cu λ , maximul ei va fi atins pentru A = 0 , deci în cazul soluţiei optime din 73. Pentru a obţine un beneficiu cât mai mare, acesta fiind un al doilea scop, pe lângă cel legat de consumarea unei cantităţi maxime din materia primă în situaţia dată trebuie folosit planul de producţie dat de secţiunea h.

2. Să considerăm acum problema de programare liniară de tipul:n

[m in]/ - ^ C jXj (6)H

n

cu Σ ν ^ · - bi’ = (7)7=1

Xj > 0 , j = 1,2,...nRecunoaştem în acest model pe acela al problemelor de nutriţie sau pe cel al

problemelor în care se cere minimizarea cheltuielilor de producţie, ţinând seama de necesarul stabilit.

Pentru rezolvare se are în vedere şi aici teorema de echivalenţă a soluţiilor pentru inegalităţi de forma >. în acest caz trecerea la egalităţi se face scăzând din fiecare cele m inecuaţii câte o variabilă de compensare pozitivă. Sistemul (7) se va scrie:

° ΐ Λ ~^a i2X2 n Xn ~

° 2 Λ "*"··· ~ Xrt¥2 ~ ^ 2: (8)

a m\X\ ~^a n a X2 '* '· · · ^ a m>tXn ~ Xr*m ~ ^ m

Noile variabile nenegative xn+1,...xn+m se interpretează ca surplusul de produse

peste necesarul reprezentat de bx, b2 , ..bm .Ele sunt tot activităţi fictive ale întreprinderii; de aceea li se asociază costuri

nule, astfel că în funcţia de minimizat apar cu coeficienţi nuli, deci:/ = cxxx + c2x2 + ... + c„xn + 0*n+1 + ... + oxn+m

rămâne de fapt aceeaşi.Avem de rezolvat prin urmare problema

[m in i/ = q x j + c2x2 + ... + cnxncu condiţiile:

78

« ιΛ + ^ Λ +··· + V » “ Jini

+fl22*2 +·” " " 2η· 'Β -JC.'η + 2

α ηύ.Χ \ ^~a m 2X2 '*’ ·" "*"Ûm A Xn+m

Xj > 0, j = 1,2,...n, *n+1 ^ 0 , j = 1,2,...m care este de asemenea problema extinsă a problemei iniţiale.

Matricea coeficienţilor A a problemei extinse este:

=A

(9)

A =

a 11 °12 a lna 21 a 22 a.2n

1

o

o

- 1

a ml am2 0 o

0 Λ

o

- 1

= (4 - 0

Se vede că vectorii coloană corespunzători variabilelor de compensare:

' - f f o N f 0 N

0 - 1 0

« n + l : » α π+2 _ j ••"a n+m :

0V >

0V >

nu sunt unitari. Pentru a obţine totuşi o bază unitară ca bază de pornire, vom transforma sistemul (8) în aşa fel încât să putem aplica metoda bazei artificiale. înacest sens, alegem bk = max bt şi se scad celelalte ecuaţii ale sistemului de

i

restricţii (8) din ecuaţia k . Astfel sistemul se scrie:n

Σ K ~ a‘j + x™ =b*~ b> ’ *= 1’2 ’- m * * kj=1 n

Xn+k=bkΣ αν Χ1j=1*,· > O, *„+i > 0 , j = 1 , 2 i = 1,2,...m

Pentru noua problemă (10) matricea coeficienţilor A este:

A — (α1,α 2»—ίΖπ’ αη+ΐ’···απ+λ ···««+»))unde:

( 10)

79

f 1!0

M f ° l0a n+1

0\

' ‘ - a n+k

- 1\

' · " « n+m

1V /

adică toţi vectorii an+i sunt unitari, cu excepţia celui de ordin k. Adăugăm la

egalitatea de ordin k variabila artificială yk ·^ j akjx j - x n+k+ yk= bk

Deoarece această egalitate trebuie să fie echivalentă cu cea de la care s-a pornit,trebuie ca yk să fie nul. Fiind o problemă de maxim, asociem variabilei yk uncost mare λ în funcţia de eficienţă:

/ = Cj*, + c2x2 + .... + cnxn + XykMatricea coeficienţilor se modifică din nou; ea conţine n+m+1 coloane dintre

care m sunt unitare şi pot forma o bază iniţială formată cu vectorii:ăn+i ( i Φ k) i = 1 ,2 ,...m şi cu vectorul Ctk corespunzător variabilei artificiale

yk . Se poate aplica mai departe algoritmul simplex conform metodei bazei artificiale. Aşa cum s-a văzut la expunerea acestei metode putem fi conduşi la una din cele trei situaţii de mai jos:

1. După un număr de iteraţii CCk părăseşte baza, yk = 0 şi deci se obţine unprogram al problemei iniţiale.

2. După un număr de iteraţii CXk rămâne în bază, dar yk = 0 . Soluţia este

degenerată şi se continuă algoritmul până când toate diferenţele f ) — c ; < 0 ;

3. După un număr de iteraţii diferenţele f j — Cj satisfac criteriul de optimalitate,

însă soluţia de bază conţine yk > 0 . în acest caz, problema dată nu are soluţie.

80

Dualitate în programarea liniară1. Prin dualitate în programarea liniară înţelegem un concept des întâlnit în

matematică în general, conform căruia oricărei probleme de programare liniară considerată ca iniţială {primală) îi corespunde o altă problemă zisă duala ei, ambele formând un cuplu denumit cuplu de probleme duale. Dualitatea în programarea liniară prezintă un real interes atât din punct de vedere teoretic şi calculatoriu cât mai ales prin interpretarea economică a celor două probleme care formează cuplul.

în dezvoltarea care urmează vom considera două cazuri şi anume:- dualitatea simetrică ce se referă Ia modele date sub forma canonică;- dualitatea nesimetrică la care modelele sunt date sub forma standard sau

sub forma generală.a) Dualitatea simetricăCuplul celor două probleme duale în cadrul dualităţii simetrice este:[max]/ = clxl +c2x2+...+ cnxn

<b{.■X. ^ b·,

(P)

1*1 + α 12· c2 +...+alnxnîji-K] +a· x, + ... + Û22Λ2 2 n J

( 1)amiXi+am2x1 +... + amnxn<bm

Xj> 0 j = \,n şi duala ei[min ]g = blyl + b2y2+...+ bm ym

«U>'l+«21>'2+ - + a ml>'m ^ C1^ 12 1 +o22y2 + ^ + am2ym >c2

(D) (2)a u y i+ a2ny2+ - + anU,y n ^ Cn

y j > 0 i = 1, mSpunem că în cele două modele fiecare dintre ele poate fi considerat dualul

celuilalt.între cele două probleme primala (P) şi duala ei (D) există o strânsă legătură

pusă în evidenţă de regulile de mai jos, reguli care permit ca ştiind modelul uneia să putem scrie modelul celeilalte. Astfel:

- în primală se cere [max]/ iar în duală se cere [min]g (şi invers);- modelul de maxim din primală are ca restricţii inegalităţi de sens < iar

modelul de minim din duală are inegalităţi de sens > ;- matricile celor două sisteme de restricţii sunt transpuse una alteia ;

81

- termenii liberi dintr-un model, sunt coeficienţi în funcţi a de eficienţă ai celuilalt model (păstrându-se ordinea);

- xi,x2,...x„ sunt variabilele primale şi sunt supuse condiţiilor de nenegativitate Xj> 0 j = l,n;

- yi,y2,-ym sunt variabilele duale şi de asemenea sunt supuse condiţiilor yt >0 i= l,m .

Cu notaţii adecvate este evident că cele două modele se pot scrie şi matricial. Astfel notând

X =

Şi

V» y = (y i .y 2. - , y m) ; b =

f Mb2

x„" J b-i \ 5 J

> C — (Cj,C2»...şCn)

A =

*11 w12 221 a 22

ml “ m2

lrt*2 n

avem[min]g = Yb

(D) YA>c (2’)Y> 0

Legătura dintre cele două modele ale cuplului dual evidenţiată mai înainte, poate fi prezentată într-un tabel de forma celui de mai jos:

Tabelul 1

[max]/ = cX (P) AX 0

y< - N Xi X2 Xn <

yi an a i2 d i n b,yi a2i a2 2 Ü2n b2

ym <*ml Qm2 Q-mn bm> Cl C2 Cn ^ m a x

în caremodelul primalei se citeşte pe linii şi modelul dualei pe coloane.în literatura de specialitate se spune că am transformat prin dualitate modelul

(P) în modelul (D).Un alt cuplu de probleme duale date tot sub forma canonică şi scris sub

forma matricială este următorul:

82

[min]/ = cX [max]g = Yb(P,) AX> 0 (1” ) (D,) YA<,c (2” )

X > 0 y > oExemple: 1. Să scriem modelul dual al problemei de programare liniară

considerată ca model primai:[3x. +Xn>\ Î3v .+ 2y, < 6

(P) ·{ Modelul dual este: (D) i[2xl +6x2 >2 [y i+ 6 y 2 <3

> 0, * 2 —0 [min]/ = 6xj + 3x2

>»,>0, y2 >0 [max]g = y l +2y2

2. în cazul modelului primai

ί*, +3λ:2 -x-i '2.2(P0 \-x> ■ x2 + 2x3 > 1

Xj >0

modelul dual este: (Di)y\-y2 ^ 4 3 y , - y 2 <18- y i +2y2 <6

y i>0[min]/ = 4*| +18λ2 + 6 x 3 [max]g = 2yx + y2

Observaţie’·Pentru fiecare din cele două cupluri duale de mai sus se pot alcătui tabele de forma tabelului 1.

2. Consideraţii teoretice asupra dualităţiiConsideraţiile teoretice care urmează se fac pe cazul unui cuplu de probleme

duale date sub forma canonică. Vom da fără demonstraţie câteva propoziţii ajutătoare care vor conduce la aşa numita teoremă a dualităţii.

Deci fie cuplul de probleme duale (P)-(D) date de (Γ ) şi (2 ’):[max]/ = cX [min]g = Yb

(P) AXcX > 0 Y> 0

Propoziţia 1 Dacă X şi Y sunt soluţii realizabile ale modelelor (P) respectiv (D) atunci:

g(Y)>f{X).Propoziţia 2 Dacă X şi Y sunt soluţii realizabile ale modelelor (P) respectiv

(D) astfel încât f(X)=g(Y) atunci ele sunt soluţii optime pentru modelul (P) respectiv (D).

Propoziţia 3 Dacă unul din modelele (P), (D) are optim infinit, atunci celălalt nu are soluţii realizabile iar dacă unul dintre cele două modele are optim finit şi celălalt are optim finit.

83

Teorema fundamentală a dualităţii (fără demonstraţie)Oricare ar fi cuplul (P), (D) de probleme duale este posibilă una şi numai una

dintre situaţiile;a) Ambele modele au optime finite şi valorile optime ale funcţiilor obiectiv

sunt egale;b) Unul dintre cele două modele are optim infinit iar celălalt nu are soluţii

realizabile;c) Nici unul dintre cele două modele nu are soluţii realizabile.Prezentăm în continuare o teoremă foarte importantă care pune în evidenţă

legătura existentă între soluţiile cuplului de probleme duale şi care foloseşte la determinarea acestor soluţii.

Teorema ecarturilor complementareFie dat cuplul de probleme duale(P)-(D) din (1) şi (2). O condiţie necesară şi

suficientă ca soluţiile realizabile X şi y ale modelelor (P) respectiv (D) să fie optime este să fie îndeplinite condiţiile:

Demonstraţie:Pentru uşurinţa demonstraţiei să notăm u = Y(b-AX ) şi v = (YA-c)X.Amintim că X şi Y sunt soluţii optime ale cuplului (1) de probleme duale

şi că Y>0 , AX 0 . De asemenea din YA>c şi X >0 rezultă v> 0 .

Făcând suma u+v avem: u + v = Ÿ(b-AX) + (ŸA- c)X =Ÿb-ŸAX + ŸAX - cX = Ÿb - cX , conform

propoziţiei 2 avem Yb = cX şi deci m+v=0 şi cum « > 0 , v> 0 deducem că ele sunt nule adică u=0 şi v=0 rezultând astfel necesitatea condiţiilor din enunţ.

Să considerăm condiţiile (3) adevărate şi să demonstrăm că X şi Y sunt optime. într-adevăr din Y b -c X - 0 adică conform lemei 2, Yb = cX deci X şiY sunt optime.

Pentru a putea da o interpretare utilă în cele ce urmează relaţiilor 3 vom scrie modele duale (1) şi (2) sub forma standard, introducând variabilele de compensare. Avem:

[max]/ = c,jcx + c2x +... + cnxn

(a) Y(b-AX) = 0 şi (b) (YA-c)X =0 (3)

( p ) « 2 1 * 1 + f l 2 2 * 2 + - + a 2nXn + Xn+2 = b 2

a m lX\ + a m 2 X2 + - + a m nXn + X, = b,m84

[min]g = £>,?, + è2>>2 +... + bmym

X j > 0, j - 1,2.... n + m

(D)

Oll>'l+a2l)'2+- + aml}'m-} 'm+1

a 12>'l+ a 22>'2+ - + a m2)'m — y m+2

= C,

= C ,(5)

Ölrt>’l+a2n>’2 + - + amn}'m - y m+n=CnAceste modele se vor scrie într-un tabel asemănător tabelului

tabelul 2şi anume

Tabelul 2

Facem precizarea că în modelele precedente avem:Xi,x2,...,xn - variabilele structurale ale modelului (P) xn+!,xn+2,...,xn+m - variabilele de compensare ale modelului (P) yi,y2,-,ym - variabilele structurale ale modelului (D) ym+i,ym+2,—,ym+n - variabilele de compensare ale modelului (D)Dacă X şi Y sunt soluţii optime ale celor două modele respectiv, convenim

să notăm:

X =(x’l ,x2,...,xn) , Y = Ç ,>’2>—,ym) şi de asemenea să notăm variabilele de compensare cu Χη+ι,...Χη+m respectiv ym+l,.-ym+n la etapa optimă a tabelelor simplex ce rezolvă cele două probleme ale cuplului dual.

Suntem acum în măsură să arătăm cum teorema ecarturilor complementare stabileşte o corespondenţă ce există între variabilele structurale ale unui model şi variabilele de compensare ale celuilalt model, valorile acestor variabile fiind

85

considerate ca făcând parte din cele două soluţii optime X şi Y ale primalei respectiv dualei; cu alte cuvinte legătura dintre aceste variabile, la etapa optimă (notate barat).

Să luăm în considerare mai întâi prima egalitate din teorema ecarturilor complementare:

Se observă uşor că vectorul coloană b - AX este un vector m dimensional care cu notaţiile anterioare se scrie:

şi se vede că componentele sale sunt tocmai variabilele de compensare la etapa optimă a modelului primai.

Cum Y este vector linie /n-dimensional, vectorul produs Y\b - AX ) are sens şi va fi:

şi la etapa optimă AX 0 rezultă că (6) are loc dacă şi numai dacă toţi termenii sumei sunt nuli adică:

y , Xn+1 = o , y2 Xn+2 = 0 ,... y m xn+m = 0 sau pe scurt y . x„+i = 0 , (7) i = 1,2,..., mConsideraţii analoge se fac şi asupra celei de a doua egalităţi din teorema

ecarturilor complementare (Fa - c)x =0 care conduc la relaţii de forma:

y m+i = 0 - *2 y m+2 = 0 ,... Xn ym+n = o sau pe scurt xj ym+J = 0 (8) j =1,2.....n

Să trecem acum la interpretarea relaţiilor (7) şi (8) care decurg după cum s-a văzut mai sus, din teorema ecarturilor complementare. Se constată că:

- fiecărei linii i=l,2,...,m din tabelul 2 îi corespunde o restricţie (inegalitate cu <) în modelul (P) şi o variabilă structurală y, în modelul (D)

- fiecărei coloane j,j= l,2 .....n din acelaşi tabel, îi corespundeo restricţie în modelul (D) (inegalitate cu >) şi o variabilă structurală x, în modelul (P). în baza acestor observaţii pentru două soluţii optime X şi y ale celor două

(4)

(5)

yip ~ Ax)= yxXn+\ + y2Xn+2 + ...+ y mXn+m =0 (6)

Datorită condiţiei de nenegativitate Y > 0 cât şi faptului că AX <b implică

86

modele duale, rezultă următoarele proprietăţi legate de valorile variabilelor de compensare şi structurale:

- Dacă în soluţia optimă Y a dualei (D) variabila structurală y,· * 0 , atunci variabila de compensare *„+,· a restricţiei de pe linia i din tabel are valoarea nulă pentru X adică această restricţie este verificată ca egalitate strictă pentru soluţia X aprimalei;

- Dacă în soluţia optimă X a primalei, variabila de compensare xn+i a restricţiei de pe linia i a tabelului este nenulă, adică această restricţie este verificată ca inegalitate strictă pentru X , atunci variabila structurală y, a modelului dual are valoare nulă în soluţia optimă Y .

Referindu-ne la relaţia (8) vom deduce proprietăţi analoge în legătură cu soluţiile optime X şi Y analizând coloanele tabelului 2

Rezultatele obţinute mai sus, care decurg din teorema ecarturilor complementare şi din teorema fundamentală a dualităţii, ne ajută să rezolvăm efectiv un cuplu de probleme duale simetrice. Să considerăm următorul exemplu :

[max]/ = 4*, + 5λ2 + 4*3 + 6jc4

2*, + 3 x 2 + 4*3 + 3*4 < 20 (P) ■ 5jcj + 4*2 + 3*3 + 4*4 < 30

3*t + 4*2 + 2*3 + 5*4 < 15

Xj >0 j - 1,2,3,...7

(D)

[min]g = 20^! +30y2 +15)'32^1 +5^2 +3>3 >4 3 1 +4;y2 +4y3 >5 4>’i+ 3 y2 +2>'3>4

3 1 +4>»2 +5)>3 >6 y,.>0, i = 1,2,...7

Tabelul simplex conţinând numai prima iteraţie şi iteraţia optimă, pentru modelul primal (P) este cel de mai jos:

Bază C Xb4 5 4 6 0 0 0ai a2 a3 34 a5 a« a7

a5 0 20 2 3 4 3 1 0 0a« 0 30 5 4 3 4 0 1 0a7 0 15 3 4 3 . · · 0 0 1

Cj•fi 4 5 4 6 0 0 0. . . . . . . . . . . . ! . . . . .... j ..............................

a3 4 0 X 1 -X X 0 -Xa« 0 % 0 - 2X 0 - 3% X 1 -Xai 4 Yl 1 0 / -X 0 X

Cj-fj 25 0 ~Yl 0 -X 'X 0 -1

87

Soluţia optimă a primalei (P) este jc i = — , X2 = 0,X 3 =— , x a =0 adică!2 4

X = ( x i , X 2 , X 3 , X * )

Λiar

[m ax]/= 4 .-+ 5.0+ 4.— + 6.0 = 10 + 15 = 25.L u 2 4

Acum pentru fixarea ideilor să precizăm:- Variabilele structurale din modelul (P) sunt xi,x2,X3,X4',- Variabilele de compensare din modelul (P) sunt χ5,χ6,χ7;- Variabilele structurale din modelul (D) sunt y i,y2,y3,- Variabilele de compensare din modelul (D) sunt y4,ys,y6,y7·Din etapa optimă a tabelului simplex pentru rezolvarea primalei rezultă

pentru X :- 5 - 15 - 25X\ = - , * 3 = — , X6 = — -

2 4 4componentele bazice şi xi =0,*4 = 0,^5 =0,*7 =0 componentele nebazice

la etapa optimă.Din considerarea primei relaţii din teorema ecarturilor anume

xj ■ ym+j =0, j = 1,2,3,4 rezultă următoarele corespondenţe (cupluri):

xi cu yA,xz cu y5,X3 cu y6,•X4 cu y 7,

iar din considerarea celei de a doua relaţii din teorema ecarturilor anume yt -Xn+i =0, i = 1,2,3 rezultă următoarele corespondenţe:

*5 cu y , ,

X6 cu y2 ,

Xl CU >>3,

Deoarece în X avem x\ = — Φ 0 , rezultă yA = 0 .2

Deoarece în X avem *3 = * 0 , rezultă y6 = 0 .

— - 25 -Deoarece în X avem xe = — Φ 0 rezultă y2 = 0 .

înlocuind în sistemul de restricţii al dualei extinsă y2 = 0,>»4 = 0 ,y 6 = 0 obţinem sistemul:

2 ÿ ,+ 3 ÿ 3 =4

3}1! + 4y3 + y 5 =5 - - 1- - ^ ?3 - 1> 1 “ T·4yt +2y3 =4 2

3 y !+ 5 y 3 +y7 = 6şi deoarece am obţinut y2 = 0 , rezultă că soluţia obţinută ^ a

dualei este Y = -,0 ,1 j iar:

[min]g = 20 ~ + 30.0 +15.1 = 25 .

Am rezolvat şi duala iar teorema dualităţii [max ] f = [min ] g este verificată.

Observaţie importantă. Dacă cercetăm linia diferenţelor c j - fi la etapa optimă a tabelului simplex pentru rezolvarea primalei, constatăm că diferenţele cr fj,j=5,6,7 situate sub vectorii unitari ehe2,e3 corespunzători bazei unitare iniţiale

formată din vectorii a5,a<s,a7 din etapa iniţială, sunt respectiv - -^ ,0 ,-1 , care luate

cu semn schimbat dau chiar soluţia optimă a dualei Y =ί 0·1

direct din tabelul

simplex al primalei. Acest fapt este datorat unei propoziţii pe care o vom enunţa în continuare.

a) valorile optime ale variabilelor structurale yi,y2,...,ym din modelul dual se găsesc pe linia diferenţelor Cj-fj, respectiv în dreptul coloanelor vectorilor de compensare an+i,an+2,...,an+m din modelul primai, luate cu semn schimbat.

b) Valorile optime ale variabilelor de compensare yn+i,ym+2>—,ym+n din modelul dual, se găsesc pe linia diferenţelor Cj-fj, respectiv în dreptul coloanelor vectorilor structurali ai,a2,...,a„ din modelul primai, cu semnele schimbate.

3, Dualitatea nesimetricăAşa cum am menţionat la început, dualitatea nesimetrică se referă la

modelele date sub forma standard sau sub forma generală. Este evident că în acest caz se pot construi mai multe cupluri de probleme duale nesimetrice dintre care vom exemplifica unul care este de forma:

89

[max ] f = cX [min]g =(P) AX = b (D) YA>c

X > 0 Y = oarecarePentru a înţelege scrierea modelului dual (D) în cazul de mai sus precum şi

în alte cazuri, vom introduce unele noţiuni care ne vor ajuta să stabilim legătura dintre cele două probleme ale cuplului în cazul dualităţii nesimetrice.

- Orice restricţie cu < în cadrul unui model de maxim, respectiv o restricţie cu > în cadrul unui model de minim se numesc restricţii concordante.

Analog orice restricţie cu > la un model de maxim,respectiv o restricţie cu < la un model de minim se numesc restricţii neconcordante.

Suntem acum în măsură să formulăm legături dintre două modele de programare liniară:

- într-unul dintre modele se cere maximul funcţiei obiectiv, în celălalt se cere minim.

- Matricile sistemelor de restricţii sunt transpuse una alteia.- Termenii liberi din restricţiile unui model sunt coeficienţii funcţiei de

eficienţă din celălalt, păstrându-se ordinea.- Fiecărei restricţii concordante dintr-un model îi corespunde o variabilă în

celălalt modei care se supune condiţiei de nenegativitate >û.- Fiecărei restricţii neconcordante dintr-un model îi corespunde o variabilă în

celălalt model care se supune condiţiei de nepozitivitate <0 .- Fiecărei restricţii de egalitate dintr-un model îi corespunde o variabilă

liberă în celălalt model (variabilă oarecare, pozitivă, negativă sau zero).Exemple: 1° Modelul dual al modelului de programare liniară:

[maxi/7 = *i + 2*2 + 5*3 [min]/ = lOyj + 9y2+15 y3xl +x2+2xi <lQ >»i + y2 + y3 > 1

(P) · *, + 2*2 + 3*3 > 9 este (D) · y, + 2y2 + y3 > 2 *1+*2 +*3=15 2y ,+ 3y2 + y3 ^5

*! > 0, *2 > 0, *3 > 0 > 0 , y 2 < 0 , y 3 = oarecareConform cu regulile prezentate mai sus, vom explica modul de scriere al

dualei (D). într-adevăr deoarece variabilele *;, j=l,2,3 din (P) sunt nenegative, toate trei restricţiile din modelul dual vor fi concordante şi fiind vorba de minim ele vor fi cu >. Luând în discuţie restricţiile din primală deducem:

Prima restricţie a modelului primai fiind concordantă, variabila yi se supune condiţiei de nenegativitate adică y, > 0 .

Restricţia a doua fiind neconcordantă, variabilă y2 este nepozitivă adicăy 2< 0 .

Cea de a treia restricţie a modelului primai fiind egalitate, variabila y3 esteliberă.

90

(P)

2°. Problema considerată, primala: [max]/ = 3jc, - 6 jc3 + jc4

2jc, + 5x2 - x3 + 2x4 > 3- jc, + 2x2 + jc3 =5 are duala (D) 2jc, - x 2 + jc4 = - 2

[min]/ = 3yx + 5y2 - 2 y 3

2y\ ~y2 + 2>>3 >3 5>-i + 2y2 - y3 > 0

- yi + y 2 = -62 y, + y3 < 1y ,< 0 , y2oarecare, y3 - oarecare> 0 , jc2 > 0 , jc3oarecare,jc4 < 0

Privind cuplul celor două probleme duale ne dăm seama că pentru rezolvarea lor trebuie să facem unele transformări prealabile pentru a le aduce la forma aplicării algoritmului simplex şi de asemenea să folosim noi algoritmi etc. întrucât nu vom trata aceste metode, ne vom opri aici cu expunerea problemei dualităţii în programarea liniară.

§ 3. Programarea transporturilor 1. Enunţul problemei de transport. Modelul matematicUn acelaşi produs omogen este depozitat în centrele de expediţie Aj,A2,...Am

în cantităţile a,,a2,...am şi se cere să fie transportat în centrele de consum B,,B2,....Bn în cantităţile bi,b2,--.bn respectiv. Se cunosc costurile unitare de transport cÿ , i = 1, m, j = 1, n de la depozitul A, la centrul de consum Br

Rezolvarea problemei de transport constă în determinarea unui plan optim de transport de la depozite la consumatori astfel încât costul total al transporturilor să fie minim. Cu alte cuvinte se cere determinarea cantităţilor jcÿ transportate pe toate rutele (ij),i = l,m, j = 1 ,n , astfel încât să se realizeze un cost minim de transport.

Cu datele problemei de transport se poate alcătui tabelul următor:

91

Costul transportului a Xy unităţi de produs de la depozitul A, la centrul Bj este egal cu Cij-Xij, deci costul integral al transportului de la toate depozitele A, (/ = 1 ,m)

Vom rezolva mai întâi cazul problemei echilibrate.Pentru ambele cazuri, din necesitatea de a avea sens economic trebuie

îndeplinite condiţiile xy >0,(i = \,m),i = l,n, cantităţile transportate fiind esenţialpozitive.

Disponibilul a, şi necesarul bj (i = 1 ,m i = l,n) sunt mărimi nenegative, deci<2j >0,bj > 0 .

Ipoteza de echilibrare implică transportul integral al disponibilului către centrele de consum ceea ce revine la condiţiile:a)

χ, ,+χ,2 =c,

Cu aceste precizări putem construi modelul matematic al problemei de transport care este următorii!:

m nIa toţi consumatorii B j(j = l,n ) va fi egal cu / = ΣΣ v , ■

1=1 j - l

în practică astfel de probleme pot fi de două feluri:m n

1) = ^ b j adică necesarul pentru toate centrele de consum egal cu,=1 ;=1

totalul expediat din centrele de depozitare (problemă echilibrată);m n

2) ^ ai * 'Şjbj - (problemă neechilibrată).i=l j=1

Xml Xm2 + ··· + Xmnşi satisfacerea integrală a fiecărui centru Bj adică:

*11 + *2, + - + *«1 = bi

x \n + * 2 n + · · · + * * » = b n

( 1)

cu condiţiile:

92

η

(2) Σ χ0 =ai i = 1,2,..jn ;

mm

0)'% xij=bj j = 1,2,..λ ;

(4) £ 0 z = 1,2,...m, j - 1 , 2 .Recunoaştem modelul unei probleme de programare liniară cu variabilele xy

în număr de mn care satisfac restricţiile liniare (1) şi (2), condiţiile de nenegativitate (4) şi care fac minime cheltuielile totale de transport/, unde/este liniară în variabilele xy.

O condiţie necesară pentru compatibilitatea sistemului de ecuaţii (2) şi (3) este ca sumând grupul (2) de ecuaţii după i şi grupul (3) după j să avem egalitatea

m η n m

Σ Σ χί/= Σ Σ :ϊ!/ ceea ce antrenează Şi egalitatea termenilor liberi adicăj=*l j=l i=l

Evident că problemei de transport privită ca o problemă de programare liniară i se poate aplica algoritmul simplex care însă devine destul de greoi din cauza numărului mare de variabile şi restricţii.

Ţinând seama de forma specifică a modelului problemei de transport în care toţi coeficienţii variabilelor Xy în restricţii sunt egali cu 1, s-au imaginat aiţi algoritmi de calcul pentru obţinerea soluţiei optime. în acest sens datorită formei speciale amintite, menţionăm unele propoziţii valabile pentru problema de transport.

Propoziţia 1. Mulţimea soluţiilor realizabile într-o problemă de transport adică soluţiile ale căror componente xy satisfac (2), (3) şi (4) nu este vidă.

Pentru demonstraţie vom arăta că orice problemă de transport are întotdeauna o soluţie realizabilă şi anume de forma:

Σ«, = Σ^ care rePrezintă condiţia de ecilibru impusă de ipoteza 1°. i-i M

m n(5) Xy = , i = 1,2,...m, j = 1,2,..ji unde T = ]£ α ; = Σ b}

* »=1 i'=l

m n

într-adevăr soluţia (5) satisface restricţiile (2):

;=i i=i 1 1 i=i

93

Menţionăm că în general soluţia (5) nu este optimă şi de asemenea sistemul (2), (3) este totdeauna compatibil. Dăm fără demonstraţie propoziţia:

Propoziţia 2. Matricea A a coeficienţilor restricţiilor liniare (2) (3) are rangulm+n-1.

Din cele de mai sus rezultă că o soluţie realizabilă de bază într-o problemă de transport are cel mult m+n-1 componente nenule, fiind nedegenerată dacă are exact m+n-1 componente nenule şi degenerată când numărul componentelor nenule este mai mic decât m+n-1.

Observaţie importantă. Se poate arăta că dacă a, şi bj sunt numere naturale atunci valorile variabilelor Xy sunt numere naturale în orice soluţie realizabilă de bază şi deci soluţia optimă are numai componente numere naturale.

Algoritmul de rezolvare a problemei de transport presupune două etape:a) Aflarea unei soluţii iniţiale realizabile de bază;b) îmbunătăţirea soluţiei iniţiale până la obţinerea soluţiei optime după mai

multe iteraţii.în continuare vom da câteva procedee de obţinere a unei soluţii iniţiale de

bază într-o problemă de transport.2. Metode de determinare a soluţiilor iniţiale de bază într-o problemă de

transport.Metodele pe care le vom considera, vor fi expuse pe exemplul enunţat la

punctul precedent, pe care îl vom scrie mai schematic punând în evidenţă costurile, beneficiile şi resursele.

( 1)

(2 )

(3)

(3)

(1) (2) (3) (4)3 2 2 4

50 201 2 3 4

5 53 5 2 1

10 1050

%15//10

10

70//2i20

20//10

a) Metoda colţului Nord-Vestîncepem din colţul Nord-Vest adică de la căsuţa (1,1) căreia îi corespunde

xx, = min{50,70}= 50 mii tone Pe prima coloană necesarul este satisfăcut deci trebuie să luăm x2i=x3i=0. Pe

prima linie au rămas20 mii tone disponibile din cele 70 care vor fi plasate în căsuţa(1,2) deoarece x2 = min{20,25}= 20 . Depozitul A; şi-a epuizat resursa deciX j 3 = X l 4 = 0 .

Pornind acum de la căsuţa (2,2) vom pune în această căsuţă x22 - min{l0,5}= 5 unde 5 reprezintă consumul rămas pentru B2 şi rezultă x32=0,

94

A2 are încă un disponibil de 5 mii tone pe care le repartizează centrului B3 deoarece min{5,15}= 5 deci x23 = 5 astfel A2 şi-a epuizat resursa şi deci x24=0 .

Centrul de consum Cj mai are nevoie de 10 mii tone de produs ce pot fi repartizate în căsuţa (3,3) deci x33=1 0 . Luăm în sfârşit xM = min{l0,10}= 10.

S-a obţinut soluţia iniţială de bază pe care o vom nota cu Xo.

Xo :50 20

5 510 10

cu m+n-/=6 componente strict pozitive deci nedegenerată, având componentele. xu=50; xI2=20; X i3 = 0 ; xl4=0 X21—O x22—5 x2 3= 5 x24= 0X3i= 0 X32= 0 X33-IO X34—10

b) Metoda costului minim al matriciiProcesul de repartizare are drept criteriu costul minim deci vom pomi de la

căsuţa (3,4) căreia îi corespunde costul minim egal cu 1 deci xM = min{20,10}= 10 rămânând din resursa A3 10 mii tone de repartizat. Deci x24=x]4=0.

%/ /30

1020//10

Ne oprim în continuare la căsuţa cu costul imediat egal sau superior şi anume la căsuţa (2,1) luând x2l = min{l0,50}= 10 ceea ce imphcâ χ22=χ23=χ24=0. Trecem la căsuţa (1,2) luând xl2 = min{70,25}= 25 se impune x22=x32=0 . Trecem la căsuţa (1,3) luând xn = min{45,15}= 15 ceea ce conduce la x22=x32=0. în căsuţa(1,3) scriem xl3 = min{45,15}= 15.

Urmează căsuţa (1,1) în care punem xu = min{30,40}= 30 şi x,4=0. în final luăm = min{l0,10}= 10. Avem soluţia de bază iniţială nedegenerată xn=30; xi2=25; X i3 = 1 5 ; x2!=10; x3]=10; x 34 = 0 care verifică sistemul restricţiilor.

Soluţia va fi:

330

225

215

4

110

2 3 4

310

5 2 110

50// % 25 15 10

95

30 25 151010 10

c) Metoda costului minim pe linie

y %

10

20//10

Costul minim pe linia întâi este 2 şi figurează în căsuţele (1,2) şi (1,3). Avem xl2 = min{70,25}= 25 rezultă X22-X32-O şi xn = min{45,15}= 15 deci x23=X33=0 . Trecem la linia a doua la căsuţa (2,1) şi luăm x2l = min{l0,50}=10 care implicăxi2=x23=X24-0 iar costul Ci devine 50-10=40.

Pe linia a treia costul minim este 1 din căsuţa (3,4) în care punem *34 = min{20,10}= 10. Pe prima linie costul minim rămas este 3 în căsuţa (1,1) în care punem xu = min{30,40}= 30.

Pe linia a doua nu se mai poate repartiza şi trecând la linia a treia costul minim rămas este 3 în căsuţa (3,1) deci *31 = min{l0,10}= 10. Rezultă soluţia de bază.

3 2 2 430 25 15 O

1 2 3 410 O O O

3 5 2 110 O O 10

50 // % 25 15 10

Xo

adică Xn=30 de restricţii.

30 25 151010 10

; xi2=25; x i3= 15 ; x2i=10; x3i=

d) Metoda costului minim pe coloană este similară cu precedenta cu deosebirea că se vor considera costurile minime pe coloane. Vom schiţa numai rezultatul:

96

70/,/ 3X

10

20//ΙΟ

Avem pe prima coloană căsuţa (2,1) cu costul minim 1 deci x2l =min{l0,50}=10 rezultă X22~X23-X24=0. Costul imediat superior pe coloana întâi este 3 în căsuţa (1,1) avem jcu = min{70,40} şi ca urmare x3I=0.

în coloana a doua avem căsuţa (1,2) cu costul imediat superior 2 deci xn = min{70,25}= 25 care implică x22=0 şi x32=0.

Pe coloana a doua considerăm căsuţa tot cu costul 2 şi anume (1,2) cu xl2 = min{30,25}= 25 care implică X22=X32= 0 .

Trecând la coloana a treia începem cu căsuţa (1,3) în care punem jc13 = min{5,15}= 5 . Trecem la căsuţa (3,3) şi punem *33 = min{20,10}= 10 ceea ce implică x23=0. Trecând în sfârşit la coloana a patra ne fixăm asupra căsuţei (3,4) cu costul 1 şi deducem x34 = min{l0,10}=10 ceea ce conduce la x24=xI4=0. Rezultă soluţia iniţială de bază este:

X o:

adică Xn=40; Xi2=25; xn=5; X2i=0; X33=10; x34=10.

3. Determinarea soluţiei optime a problemei de transport prin metoda potenţialelor (Danzig)

Metoda potenţialelor se datorează lui B.Danzig şi se bazează pe teoremaurmătoare.

Teoremă. Fiecărei componente xy din soluţia de bază îi corespunde perechea de numere (Ui,vj) astfel încât w,+v/=Cÿ. Dacă pentru variabilele xtj nebazice notăm Cjj = Uj + Vj, soluţia optimă se obţine când toate diferenţele ctJ - ctj < 0 .

Conform teoremei precedente, rezultă următoarele etape de calcul în găsirea soluţiei optime prin metoda potenţialelor când se cunoaşte o soluţie de bază.

40 25 510

10 10; x 12=25; xn=5; x2i=0; x33=10;

340

225

25

4

110

2 3 4

3 5 210

110

50/ 25 15/ 10 /40 /10

97

1° Se rezolvă sistemul (8) pentru costurile Cy corespunzătoare componentelor nenule ale soluţiei iniţiale de bază.

2° Se calculează sumele Cy şi se efectuează diferenţele Cy - Cy pentrucosturile Cy corespunzătoare componentelor nenuîe ale soluţiei.

3° Se aplică criteriul de optim:dacă toţi Cy - ctj < 0 soluţia este optimă;

dacă măcar un Cy - Cy > 0 se alege max^~ - ctj > θ} şi semodifică soluţia formând ciclul celulei goale corespunzătoare maximei alese. Mecanismul de calcul va fi explicat de exemplul considerat mai înainte. Vom porni de la soluţia iniţială de bază pe care am obţinut-o deja prin procedeul colţului Nord-Vest şi pe care o vom nota cu X0.

Xo=

3 2 2 450 20

1 2 3 45 5

3 5 2 I10 10

50 25 15 10

70

10

20

Formăm sistemul Ui+Vj-Cy pentru fiecare Xy din bază adică pentru xu, xu, *22, *23, X33, X34. Avem :

ux + Vj =3 ux +v2 =2 «2+ v2 =2

w2 +v3 =3m3 + v 3 = 2 sistem cu m+n-1-6 ecuaţii cu m+n=7w3+v4 : 1

necunoscute. Luând U]=3 găsim u2-3, u3=2, v,=0, v2=-7, v3=0, v4~-l. Alcătuim un tabel în care sunt trecute costurile Cy corespunzătoare componentelor xy*0. în acest tabel am calculat diferenţele Cy = w, + v; pentru calculele necompletate.

T2

x vj0 -1 0 -1

3 N 30 25 153 102 10 10

T31 -2

2 -2

-1 -4

98

Diferenţele ci} - cÿ le obţinem scăzând din tabelul T2 pe cy din Tt

corespunzătoare lui cy. Obţinem astfel tabelul T3. întrucât nu toate diferenţele

Cy -Cy <0 soluţia de bază X0 nu este optimă. Cum

m ax^-c,·,· > o}= max{l,2}= 2 corespunde la c2l- c 21 luăm χ2ι=θ şi obţinem tabelul T4 pentru aflarea ciclului corespunzător lui (2,1).

T450-Θ H20+0 /t1

θ 4 ^ 5 - 0 510 10

Deoarece noua soluţie de bază trebuie să conţină numai elemente strict pozitive, vom lua pentru Θ valoarea min{5,50}= 5 adică valoarea cea mai mică dincare se scade Θ şi obţinem tabelul T4 care prezintă soluţia de bază X, şi ea nedegenerată.

X i=45 255 5

10 10

701020

50 25 15 10 Valoarea funcţiei de eficienţă pentru soluţia Xj este

f(Xi)=3.45+2.25+l.5+3.5+2.10+1.10=235.Se observă câf(Xi)<f(Xo) adică valoarea funcţiei de eficienţă a scăzut. Cu

soluţia X] procedăm la fel ca şi cu soluţia iniţială Xo adică determinăm k, şi v;pentru xy>0 din soluţia de bază Xi şi Cy pentru xy nebazici. Avem:

u, + Vj = 3 m2 + v3 = 3• M3+V3 =2 Luând şi aici u,=3 găsim u2=l, u3=0,vi=0,

m 3 + v 4 = 1

v2= -1, vj=2, v4=l.Matricea valorilor Cy este cea din tabelul T6 iar a diferenţelor cÿ -Cy în T7.

T6

M, + v2 = 2 U2 +Vt =1

ca =u i\ 0 -1 2 -1

3 3 2 5 4

1 1 0 3 20 0 -1 2 1

99

3 0-2 -2

-3 -6

τ 7

'13 = 3Deoarece avem o diferenţă pozitivă şi anume max^· ~ci} > θ}= c13soluţia Xi nu este optimă.

Luând Xi3=0 obţinem ciclul din tabelul Tg şi noua soluţie X2 obţinută pentru Θ = 5 în tabelul T9.

45-0 25 05+0 5-0

10 10T9

40 25 5X2= 10

10 10Pentru această soluţie f(X2)=3.40+2.25+2.5+l. 10+2.10+1.10=220.

Calculăm acum corespunzător soluţiei X2 valorile «,· şi y, soluţii ale sistemului asociat componentelor pozitive xtJ ale soluţiei X2. Avem:

Uj + vt = 3 « 1 + v 2 = 2

U2 + V3 ~ 2

«2 +Vj =1w3 + v3 = 2 Luând şi aici uj=3 găsimm3 + v4 = 1

u2=l, 113=3 ,v1=0,v 2=-l, v3=-l, v4=-2.Matricile ctj şi ci} +c,y sunt cele din tabelele Tio şi Tu.

T,o.21. "

0 -1 -1 -2

3 3 2 2 1

1 1 0 0 -13 3 2 2 1

C‘J~ CU =

Tn-3

-2 -3 -5

0 -3întrucât toate diferenţele c,y - c,y < 0 soluţia X2 este optimă şi

fmin=f(X2)=220.

100

Soluţii multipleObservaţie Dacă în cercetarea optimului lui f unei soluţii realizabile de bază

matricea diferenţelor cÿ - ctj corespunzătoare soluţiei optime nu conţine nici unelement strict pozitiv dar conţine şi alte diferenţe nule decât cele din căsuţele (i,j) corespunzătoare variabilelor bazice problema mai are şi alte soluţii optime. Inexemplul tratat mai sus corespunzător soluţiei optime, în Tn diferenţa c3l - c 3, =0 fără ca X3 să fie nulă. Aceasta înseamnă că mai există o soluţie optimă care conţine X31 şi care se obţine din X2 efectuând ciclul lui (3,1).

40-0* - 25 .-5+\j?1 0 'w

> 10-b 10

X'2 =30 25 151010 10

Luând 0 =0 se obţine soluţia optimă X ’2 cu componentele Xn=30, xi2=25, xi3=15, x2i=10, X3i=10 , x34=10 iar f(X ’2)=3.30+2.25+2.15+l. 10+3.10+1.10=220.

Se ştie că dacă două soluţii X2 şi X ’2 ale unei probleme de programare liniară în particular cea de transport, sunt optime, atunci orice combinaţie liniară convexă a lor este deasemenea o soluţie optimă pentru problema respectivă.

Deci şi soluţia dată de:X = λΧ2 + (1-A )X 2, 0< λ< 1

este optimă.

4. Problema de transport neecbilibrată

Să considerăm acum cazul cel mai frecvent întâlnit în practică, anume cel al problemei de transport neechilibrate pentru care

m n

>=1 ;=1Rezolvarea problemei de transport neechilibrate se face adăugând fie un

centru fictiv de aprovizionare fie un centru fictiv de consum, care să preia restul produsului, diferenţa dintre necesar şi disponibil. Avem de considerat două cazuri:

m na) caz în care introducem un centru Bn+] de consum, cu

i=! j=i

101

necesarul bn+l = Ş* toate costurile cin+1= 0. Problema devine,=1 ;= 1

echilibrată cu m centre de aprovizionare şi n+1 centre de consum şi se rezolvă aşa cum s-a arătat mai sus.

Dacă se obţine o soluţie optimă, rezultă că măcar o componentă a soluţiei de pe coloana n+1, nou adăugată este diferită de zero, de exemplu xi n+x Φ 0 . Aceastaînseamnă că în centrul de aprovizionare A, mai rămân netransportate x, n+1 tone demarfa.

b) Analog dacă în problema dată avem:

m n

Σ β* < Σ ν i=t j= l

vom introduce un centru fictiv de aprovizionare Am+, care deţine cantitatea am+i = Σ ^ / - Σ α<’ toate C0Stur^e cm+i,j=0· Problema devine echilibrată cu m+1 centre de aprovizionare şi n centre de consum.

în acest caz, dacă s-a obţinut o soluţie optimă, aceasta presupune măcar o componentă a soluţiei de pe linia m+1 nou adăugată, diferită de zero, de exemplu xm+ij * 0 · înseamnă că un centru de consum Bj rămâne cu necesarul nesatisfăcut,total sau parţial.

Exemplu Fie problema de transport, ale cărei date se găsesc în tabel. Deoarece cantitatea totală necesară în centrele consumatoare egală cu 850 depăşeşte cantitatea totală disponibilă egală cu 800, pentru echilibrarea problemei vom introduce un centru fictiv de producţie A3, care să asigure diferenţa de 50 unităţi;astfel problema capătă forma din tabelul T12 în care costurile unitare de transport corespunzătoare centrului A3 au fost considerate nule.

T12

Ai B, b2 b 3 Disp.Ai 3 5 2 400a 2 4 2 4 400

Nec. 250 300 300 8 5 0 \

102

Ai Bi b 2 b 3 Disp.A! 3 5 2 400a 2 4 2 4 400a 3 0 0 0 50

Nec. 250 300 300 850Problema devine echilibrată.

5. Degenerarea în prpblema de transportMetoda descrisă de obţinere a soluţiei optime se poate aplica numai dacă la

fiecare iteraţie se cercetează o soluţie realizabilă de bază nedegenerată. Dacă în cadrul rezolvării obţinem o soluţie de bază degenerată, metoda trebuie puţin modificată. O astfel de soluţie degenerată poate apărea în două situaţii şi anume:

a) pe parcursul algoritmului în cadrul unei iteraţii şib) la începutul aplicării algoritmului când se determină soluţia realizabilă de

bază iniţială.Situaţia a) apare când după determinarea valorii Θ, modificările ce se

efectuează asupra vechii soluţii fac să se anuleze mai mult de o componentă a acestei soluţii, deci să rămână mai puţin decât m+n-1 celule ocupate. In această situaţie nu vom lăsa necompletată decât una dintre căsuţele ocupate ale căror componente s-au anulat, toate celelalte completându-se cu câte un zero. Astfel de componente nule care se scriu efectiv în cadrul unei soluţii se numesc zerouri esenţiale şi au rolul de a completa de fiecare dată un număr de m+n-1 căsuţe ocupate. Aceste zerouri sunt deci componente bazice ale soluţiei şi se lucrează cu ele ca şi cu celelalte componente bazice diferite de zero.

Exemplu Fie problema de transport cu datele din tabelul T i pentru care s-a obţinut o soluţie iniţială Xo prin metoda elementului minim al matricei. Această soluţie aflată în tabelul T2 este o soluţie realizabilă de bază nedegenerată având m+n-l=3+3-l componente strict pozitive.

T,

Ai B, b 2 b 3 Disp.Ai 3 4 4 150A2 4 2 6 50A3 5 3 9 150

Nec. 50 150 150 350

T 250 100

50100 50

103

în tabelul T3 sunt calculate atât matricea costurilor cy cât şi matriceadiferenţelor cÿ - c ÿ . Cea mai mare diferenţă pozitivă este egală cu 3. îndreptându-ne atenţia asupra celulei (2,1) cu diferenţa 3 ne propunem să facem ca în viitoarea soluţie căsuţa corespunzătoare acestei diferenţe să fie ocupată. Punând Θ în acestă căsuţă a soluţiei X0 şi determinând ciclul corespunzător căsuţei obţinem situaţia din tabelul T4 în care Θ =50. Această înlocuire face să se anuleze în acelaşi timp trei componente ale vechii soluţii ceea ce ar conduce la o soluţie degenerată cu numai trei căsuţe ocupate.

T3\ v jui 3 -2 4 CiJ ~ C‘j

0 3 -2 4 0 -6 04 7 2 8 3 0 25 8 3 9 3 0 0

T450-Θ 100+0

Θ 50-0100+Θ 50-0

De aceea vom lăsa necompletată în noua soluţie numai o singură căsuţă din cele trei, de exemplu căsuţa (3,3) celelalte două fiind completate cu zerouri esenţiale ca în tabelul T5 Un criteriu în alegerea căsuţei ce se lasă necompletată, este acela că renunţăm de obicei la completarea căsuţei căreia îi corespunde un cost unitar de transport mai mare, în cazul costurilor alegând căsuţa la întâmplare:

(Xi) _______________Ţş0 15050 0

150 i

zerouri esenţiale necompletate Cea de a doua situaţie când apare o soluţie de bază degenerată este aceea

când chiar soluţia iniţială este o soluţie degenerată. în acest caz se modifică problema dată în sensul că la fiecare cantitate disponibilă se adaugă o valoare e>0 foarte mică, iar ultimei cantităţi necesare i se adaugă valoarea me (pentru echilibrare). Această nouă problemă va avea o soluţie iniţială nedegenerată. Deoarece problema dată se deduce din cea modificată pentru e=0 se face această înlocuire în soluţia iniţială aflată care depinde de ε, indicându-se astfel ce zerouri esenţiale trebuie considerate pentru ca ea să conţină m+n-1 căsuţe ocupate. Astfel în problema de transport cu datele din tabelul T6, metoda colţului Nord-Vest :

104

T6

Ai B, b2 b 3 b4 Disp.Aj 7 4 2 2 200A2 3 4 3 1 150A3 3 5 5 3 50

Nec. 150 50 100 100 ' \ 4 0 04 0 0 \

Τ 7150 50

100 5050

ne dă soluţia iniţială degenerată Xo din tabelul T7.

Problema modificată are datele din tabelul T8.T 8

Ai Bi b 2 b 3 b4 Disp.Ai 7 4 2 2 200+εA2 3 4 3 1 150+εa 3 3 5 5 3 50+ε

Nec. 150 50 100 100+3ε 400+ε

iar soluţia iniţială a ei depinzând de ε, obţinută prin metoda colţului Nord-Vest este cea din tabelul T9.

X (oe) T9150 50 ε

100-ε 50+2ε50+ε

(X o ) zero esenţial N__________T ip

150 50 X)100 50

50

Făcând în această soluţie ε=0 obţinem soluţia din tabelul T10 care conţine un zero esenţial în căsuţa (1,3) astfel încât să existe exact m+n-1 căsuţe ocupate.

105

Probleme1. Să se rezolve prin metoda grafică problema de programare liniară:

[max]/ = 3x + yx - y < 1

■ x + y < 3x,y>0

Rezolvare: Determinăm domeniul plan care reprezintă mulţimea soluţiilor posibile ale sistemului dat. Pentru aceasta reprezentăm grafic dreptele:

(Dx) : x - y = 0 γ + -£ γ -1 = 0

(D2):x + y - 3 = 0 | + | " 1 = 0

Se obţine poligonul convex OABC din figura alăturată.Punctele situate în interiorul şi pe laturile acestui poligon satisfac simultan cele două inegalităţi, inclusiv condiţiile de nenegativitate. Să luăm un punct oarecare Mx (1,1) din domeniul haşurat.

Avem: 3* + .y = 3- l + l = 4. Am obţinut relaţia 3x + y - 4 = 0 care reprezintă D' paralelă cu dreapta 3x + y = 0 sau y = -3x . Mai putem scrie D':y = -3x + /.

Pentru toate coordonatele punctelor de pe dreapta (£)') valoarea lui / =4 rămâne neschimbată. Avem /0 = 0 şi rezultă /0 < /,. Deci cu cât ne vom depărta de origine, menţinându-ne însă în cadrul poligonului convex OABC şi pe laturile lui, vom obţine valori mai mari.

Valoarea maximă a lui / = 3x + y este dată de dreapta cea mai îndepărtată de dreapta care trece prin origine, care este paralelă cu aceasta şi care nu depăşeşte conturul poligonului haşurat, numit şi poligonul soluţiilor posibile (realizabile).

Dreapta este (Dm) care trece prin vârful B. Determinăm coordonatele acestui punct rezolvând sistemul:

x - y = 1 dm care se obţine B (2 ,l)x + y = 3

Avem:[max]/ = 3· 2 + 1 = 7

La acelaşi rezultat se ajunge şi prin calcularea valorii funcţiei obiectiv în fiecare dintre vârfurile poligonului OABC. Acest procedeu se bazează pe proprietatea că soluţia optimă a problemei se găseşte într-unul dintre vârfurile poligonului convex ce reprezintă domeniul soluţiilor realizabile.

106

2. [m ax i/ = 3*i + 2 * 2- 2*, + x2 < 1 xx + x2 < 3

* i< 2 ; x , ,x 2 > 0

Rezolvare: d\. -2* i +*2=1 i/2: *1 + *2 = 3 dy. *i = 2

Γ2 7 λA(0,1); B

3 3

(b } = n d2

; C (2,1); D (2,0); 0 (0 ,0 )

- 2 *, + * 2 = 1 2 7; 3*! = 2 =>*!= — => * 2 = —

* ! + * 2 = 3 3 3

* ,+ * 2 = 3

*j = 2=>*2=1

Mulţimea soluţiilor posibile este poligonul convex OABCD. Soluţia optimă se află în vârfurile ale căror coordonate maximizează funcţia obiectiv./o = 0

/α = 3 ·0 + 2 · 1 = > » 2o 2 7 20 20

3 3 ~ 3 =* Λ ~ 3 ’ /c = 3 -2 + 2- l = 8=> /c =8

/β = 3 ·2 + 2 ·0 = 6= > /ΰ = 6

=> /m ax = 8 ; * 1 = 2 ; * 2 = 1

3. O rafinărie prepară doi carburanţi auto Λι şi A2 din patru componente de benzină Bu Bi, B}, B4 în compoziţie volumetrică de 20%, 30%, 30% respectiv 20% pentru Ai şi de 10%, 10%, 60%, 20% pentru A2.Rafinăria dispune de 9000 m3 din Bu 14000 m3 din BA în timp ce cantităţile B2 şi S 3 sunt nelimitate, dar trebuie să se utilizeze cel puţin 6000 m3 din B2 şi 18000 m din B3. Ştiind că beneficiul pentru A1 este de 6 u.m. pe m3 şi la A2 de 5 u.m. pe m3 să se realizeze un astfel de amestec încât beneficiul global să fie maxim.

Rezolvare: Notăm cu * şi y volumele în m3 ale celor doi carburanţi şi cu / beneficiul. Vom avea:

107

[m ax]/ = 6x + 5y

2x + y < 90

3x + y > 60

3x + 6>>>180

2x + 2 y< 140

X > 0,y > 0

£>,: 2 x + y - 90 = 0 D2: 3 x + y -6 0 = 0 Dy. X + 2y - 60 = 0 D\ x + y - 70 = 0 =φ [m ax]/ = 370000 u.m.

X = 20; y = 50Mulţimea soluţiilor realizabile este poligonul convex ABCDE, iar soluţia optin află în vârful 0(20,50)=> 20000 m3 de Ai şi 50000 m3 A2 => în aceste condiţii se utilizează:

9000 m3 de Bi 11000 m3 d cB2 36000 m3 de 14000 m3 de BA.

4. Rezolvaţi următoarea problemă de programare liniară folosind algoritmul simplex:

[max]/= x} + x2

X, + 4 x 2 < 24■ 3x{ + x2 < 21

X, + x2 < 9

xv x2 > 0

Introducem trei variabile de compensare x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0 pentru a aduce problema la forma standard (transformăm inegalităţile în egalităţi).

Coeficienţii variabilelor de compensare x3, x4,x5 sunt zero în funcţia obiectiv, deci obţinem:

[max]/'= Xj + x 2+ 0x3+ 0x4+ 0x5

jc, + 4x 2 + x3 = 24

3x, + x2 + x4 = 21

*, + X2 + Λ, = 9

Scriem matricea sistemului obţinut:

f l 4 1 0 (Λ

A = 3 1 0 1 0

1 1 0 0 1v

Observăm că vectorii a3, a4, a5 formează matricea unitate de ordinul 3: /3.Deci baza iniţială va fi: B = (a3, a4, a5).Coeficienţii lui x3, x4, *5 din [max]/sunt Cg = (0, 0, 0).Toţi coeficienţii din [max]/sunt C, = (1, 1, 0, 0, 0). Coloana termenilor liberi este

în probleme de maxim calculăm diferenţele Dj = Cj -fj. Calcularea lui / se face prin înmulţirea elementelor de pe coloana CB cu elementele de pe coloana α·, şi adunarea rezultatelor. Elementele de pe coloana lui Θ se calculează prin împărţirea coloanei XB la coloana maximă, împărţirea facându-se numai la numere strict pozitive de pe coloana maximă. Coloana maximă este coloana corespunzătoare diferenţei maxime şi strict pozitive Dj.

De asemenea elementele de pe coloana XB, trebuie să fie > 0, în caz contrar se înmulţeşte cu - 1 inegalitatea şi se schimbă sensul ei.

Se iau în considerare valorile Θ pozitive.Se alege cel mai mic Θ şi cea mai mare diferenţă Dj iar la intersecţia liniei lui Θ min

cu coloana max se află pivotul care trebuie să fie întotdeauna Φ 0.în următoarea etapă iese din bază vectorul corespunzător liniei pivotului şi intră în

locul său cel de pe coloana pivotului. Linia pivotului se împarte la pivot, coloana pivotului se completează cu zero iar restul elementelor se calculează cu regula dreptunghiului ca la Metoda Gauss-Jordan.

Χβ ~ (24, 21, 29).

De exemplu: r4 3 4 - 1 1 11X = --------------= —

3 1

109

Problema se termină când toate diferenţele dj sunt < 0, iar soluţiiile Xj se citesc pe ultima coloană xB, pe liniile corespunzătoare vectorilor α;·, din baza finală.

Dacă nu există un vector a, în baza finală, λ:· corespunzător este 0.Maximul funcţiei/ se calculează înmulţind coloana CB cu coloana XB pe elemente

şi adunând rezultatele.

B cB X,C, = l

«1 i

C2 = 1 «2 4

C3 = 0«3

C4 = 0 a4

C5 = 0 a5 0

fl3 0 24 1 4 1 0 0 24— #4 0 21 © 1 0 1 0 7*

a5 0 9 1 1 0 0 1 90 1* 1 0 0 0

a3 0 17 0 11/3 1 -1/3 0 51/11

a\ 1 7 1 1/3 0 1/3 0 21<r-a5 0 2 0 2/3 0 -1/3 1 3*

» ! » 7 0 (2/3*) 0 -1/3 0

«3 0 6 0 0 1 3/2 -11/2a\ 1 6 1 0 0 1/2 -1/2

a2 1 3 0 1 0 -1/2 3/2

Di 9 0 0 0 0 - 1

Deci [max]/'= 9; x, = 3, x2 - 3, x3 = x4 = x5 - 0.

5. Să se rezolve problema:

[max]/ = Xj + x2.

-Xj + 2x2 < 1

• 2xx - x2 < 1

xx + x2 >\

xx, x2 — 0

Introducem variabilele de compensare x3, x4, x5.

[max]/= X] + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5.

110

a \ a 2 a 3 a 4 a 5

- x, + 2x, + x 3 = l

2x, - x2 + x4 = 1 A =

λ:, + x2 - *5 = 1

' - 1 2 1 0 0 "

2 - 1 0 1 0

1 1 0 0 - 1v /

X , , X 5 > 0

Observăm că din matricea A, lipseşte vectorul unitar deci mai introducem o1v y

variabilă x6 în ultima ecuaţie. Această variabilă are în funcţia obiectiv coeficientul - Mîn probleme de maxim şi +M\n probleme de minim şi se numeşte variabilă artificială. Dacă la sfârşitul problemei xb nu este zero, înseamnă că problema nu are soluţie finală. Un alt caz când problema nu are soluţie este când mai există un Dj > 0, dar nu putem determina pivotul, deoarece toţi Θ sunt negativi (< 0).

Coeficientul M se numeşte coeficient de penalizare şi este un număr pozitiv, foarte mare (M —» + oo), De aceea această metodă se numeşte METODA PENALIZĂRII sau METODA BAZEI ARTIFICIALE.

Deci am obţinut:

[max]/'= x} +x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5- Mx6.

Cl j @2 Clş Clş Cl§

- xx + 2x2 + * 3= 1 2x, - x2 + x4 =1

X , + X 2 - X 5 + X 6 = 1

f -\ 2 1 0 0 0 Λ

A' = 2 - 1 0 1 0 0

1 1 0 0 - 1 1V /

x , , . . . x6 > 0

B = (a3, a4, a6)

CB = (0, 0 ,-M )

ς = (1, 1,0, 0, 0 ,-M )

Ai, = (1,1, 1).

111

B C;B X«C, = 1 C2= l c 3

d\ a2 a0 C4 = 0 C5 = 0 C6 = -M|

4 --------Jr- 4 -a3

<— Æ4o0M

- 121

2-11

100

010

00

001

1/21

Dr S r J j -M 1 +M* 0 -M

a i01

-M

3/21/21/2

0 3/21 - 1/2 0 3/2

100

1/21/2

- 1/2

00Ί

001

1

1/3*

D r C i- f ,j<—

l - M 3 + 3 M * - l - M0 ----- 0 ---------------- ------ -M

<— a3Cl ja2

12/31/3

010

001

100

11/3

-1/3

1-1/3-2/3

1*

Dr cj~fj 1 0 1*0 0 1 1 11 0 1/3 2/3 00 1 2/3 1/3 00 0 -1 -1 0

= l,x 2= 1, x5 = 1, x3= x4 = *6 =

DJ =cJ-fJ

Observaţie: Dacă un vector artificial (a6) iese din bază, putem să nu mai calculăm pe (*) coloana lui în următoarea etapă pentru că diferenţele corespunzătoare (D6) vor fi mereu negative.

6. [max]/= 5X| -x2 + 2x3.

Jx2 + 2*3 < - 1 /· ( - 1) => - x2 - 2*3 > 1

[-2*1 + *2 - *3 ^5

* ,, x2, *3 ^ 0

Introducem x4, x5 variabile de compensare, obţinem:

[max]/= 5xx -x 2 + 2x3 + 0x4 + 0x5.

112

- *2 - 2*3 - x4 = 1I — 2*, + x2 - *3 + *5 = 5

A =0 -1 0

- 2 1 - 1 0 1

* , , . . . , *5 >0Introducem variabila artificială x6 în prima ecuaţie pentru a obţine vectorul unitar

0v yVom avea: [max]/= 5x, - * 2 + 2x3 + 0x4 + 0x5- Mx6.

f - x2 - 2*3 - *4 + *6 = 1[-2*1 + *2 - *3 + *5 = 5

* , , . . . , *6 > o

' 0 - 1 - 2 - 1 0 1λ

- 2 1 - 1 0 1 0A'

B = (a5, a6)CB = ( - M, 0) xB = (h 5)Cj - (5, -1 , 2, 0, 0,-M)

C, = l C2 - l II o

oII(sJ II 0 C6 = -MB cB XB a\ a2 a3 a 4 «5 « 6 Θ

«6 -M 1 0 -1 - 2 -1 0 1 —

a5 0 5 - 2 1 -1 0 1 0 -

s> II „O 1 irs -M 5* -1 -A f 2 - 2 M -M 0 0

Problema nu are soluţii, deoarece algoritmul simplex nu mai poate continua (nu există nici un Θ > 0)

7. Să se rezolve problema:[min]/= *j + 2*2.

3*, + * 2 = 2

•3*2 > - 3 / · (-1) = > - * , + 3*, < 3*,, *2 >0

113

Introducem variabila de compensare x 3 în a doua restricţie, obţinem:[min]/'= jtj + 2x2 + 0x2

Î 3 * ,+ * 2 = 2 ( 3 1 0"

j - * , + 3*2 + * j= 3 - 1 3 1 ^

*p *2, *3 >0Introducem variabila artificială x4 în prima restrictie pentru a obţine vectorul unitar

frJ

[max]/’= x, + 2x 2 + 0x3 + MxA.

«1 «2 « 3 α 4

Î3*, + *2 + * 4 = 2 II\■<3 f 31 0 η

[ - * , + 3*2 + * 3 = 3 - 1V

3 1 0y

* , , * 4 >0B = (a4, a3)CB ~ (M, 0) x* = (2, 3) ς . = (1 ,2 , 0, AO

C, = l C2 = 2 II o IIcj

B xB «1 a2 « 3 « 4 0i

« 4 M 2 CD 1 0 1 2/3*« 3 0 3 -1 3 1 0 -

D/ = Cy - 2M 3M*-1 M -2 0 0

«1 1 2/3 1 1/3 0« 3 0 11/3 0 10/3 1

» 2/3 0 -5/3 0

[max]/-=2/3; x x = 2/3, x3 = 11/3, x2 = x4 = 0

8. [min]/'= 2xt + 3x2 + x3.

în cazul în care trebuie să calculăm minimul unei funcţii iar în sistemul de restricţii avem inegalităţi cu > O, putem rezolva problema prin METODA DUALITĂŢII. Construim problema duală, astfel:

• vom calcula maximul unei alte funcţii g, duală, ale cărei variabile le notăm cu yt.• coeficienţii din [max]g sunt daţi de coloana termenilor liberi (6, 8), deci

[max]g = 6y, + 8y2.• sistemul de restricţii pentru g, are matricea egală cu transpusa matricei din sistemul

f 1 2 λ

iniţial: A' = -1 1

3 1toate inegalităţile din sistemul pentru g sunt cu „<”

• coloana termenilor liberi yB este dată de coeficienţii din [min]/" :. yB =

' 2 '3

1v• [min]/ = [max]g, iar soluţiile pentru / se citesc pe ultima linie Dj în dreptul

coloanelor vectorilor care au format baza iniţială, cu semne contrare.Deci PROBLEMA DUALĂ este:

[max]g = 6y, + 8y2

y, + 2y2 < 2

' - >1 + ^ 3 3yt + y2 < 1yi>y2>y3*o

Introducem y 3,y 4, y5 variabile de compensare, obţinem:[max]g = 6yx + 8y2 + 0y3 + 0y4 + 0y5

h \ b2 b3 b4 b5

+ 2 y 2 + y 3 = 2 f 1 2 1 0° 1

- ?1 + ^2 + = 3 5 = -1 1 0 1 0

3>i + y 2 + y 5 = 1 3V

1 0 0 1

...,y3 > 0 B = (by, b4, b3) CB = (0, 0, 0) yB = ( 2,3, 1)Cj = (6, 8, 0, 0, 0)

115

B CB yBC, =6

b\

i

C2 = 8 b 2

i

C3 = 0 b 3 o

--0

* 1! O c 5 = o

b 5 Θ

b 3 0 2 1 © 1 0 0 1 *

h 0 3 - 1 1 0 1 0 3b s 0 1 3 1 0 0 1 1

D\ ~ Cj 0 6 8* 0 0 0

b 2 8 1 1/2 1 1/2 0 0 2b 4 0 2 -3/2 0 -1/2 1 0 —

< - b 5 0 0 <Ş φ 0 -1/2 0 1 0*

D ,-C , -s,· 8 2* 0 -4 0 0

b2 8 1 0 1 3/5 0 -1/2b 4 0 2 0 0 -4/5 1 3/5*1 6 0 1 0 -1/5 0 2/5

Dr C. -s , 8 0 0 -18/5 0 -4/5

[max]g =[min]/'= 8; y x = 0, y2 = 1, y4 = 2; _y3 = j>5 = 0.

X] = 18/5, x2 - 0, x3 - 4/5

9. Să se rezolve problema:[max]/ = 2x j + x 2

X|-X2S4

3x, - x 2 <18

- x{ + x2 £ 6

x„x2 â0Pentru aplicarea algoritmului simplex, punem, cu ajutorul variabilelor de écart

problema sub forma standard:[maxi/'= 2*] + x2

xx - x2 + *3 = 4

3xx - x2 + x4 = 18

- ac, + x2 + xi = 6

x, > 0,i = 1,5

de unde dcducem că:' 1 - 1 1 0 ( f

A = 3 - 1 0 1 0

- 1 1 0 0 1\ /

(\ 0 0

B = {03,04,^5) = 0 1 0

0 0 1v /

X b = B~' -b = b = (4,l$,6)

f j = C‘B ■ B~l -aj,(\/)j = Ï 3Funcţia de eficienţă rămâne neschimbată. Putem aplica acum algoritmul simplex:

CbB

2 1 0 0 0Θ«1 a2 «3 a4 as

0 <23 4 © -1 1 0 0 40 «4 18 3 -1 0 1 0 60 as 6 -1 1 0 0 1 -

Ci-A 0 2* 1 0 0 12 a\ 4 1 -1 1 0 0 -0 a .4 6 0 © -3 1 0 30 «5 10 0 0 1 0 1 -

C\-fi 1111111 8 0 3* -2 0 02 7 1 0 -1/2 1/2 0 -

1 02 3 0 1 -3/2 1/2 0 -

0 as 10 0 0 0 0 1 10c-rf, i l ! i l l 17 0 0 5/2* -3/2 02 ai 12 1 0 0 1/2 1/21 a 2 18 . 0 1 0 1/2 3/20 «3 10 0 0 1 0 1

Ci-/ 1 !1 8 S 1 42 0 0 0 -3/2 -5/2

Deci soluţia optimă este: X\ = 12; x2 = 18; x3 = 10; x4 = xs = 0, [maxi/' ” 42

117

10. Rezolvaţi problema de programare liniară:

[maxjg = 4xj + 3x2

2* j + x 2 < 8

3xj + 2x2 < 24

Xj + 3x2 ^ 18

x ,,x 2 ^ 0

Rezolvare: Aducem problema la forma standard, prin transformarea inegalităţilor în egalităţi, introducând variabilele de compensare x3, x4, x5:

[max]g = 4χλ + 3x2

2xj + x2 + x3 = 8

3xj + 2x2 + x4 = 24

X, + 3x2 + x5 = 18

X, > 0,/ = 1,5

Matricea asociată sistemului de restricţii este:

A =

Cl\ Ö2 03 04 a5f 2 1 1 0 0 N

3 2 0 1 0

1 3 0 0 1

Deoarece A cuprinde vectorii unitari a3, a4, as putem trece la aplicarea algoritmului simplex:

118

4 3 0 0 0CB B Xb a\ a2 aj «4 Os 00 a3 8 © 1 1 0 0 40 «4 24 3 2 0 1 0 80 05 18 1 3 0 0 1 18

c-f\ B l l l l 0 4 3 0 0 04 a\ 4 1 1/2 1/2 0 0 80 Ü4 12 0 1/2 -3/2 1 0 240 as 14 0 -1/2 0 1 28/5

Ci-fi ÉËÈÈÊÊÈ 16 0 1 -2 0 04 ai 6/5 1 0 3/5 0 -1/50 «4 46/5 0 0 -7/5 1 -1/53 02 28/5 0 1 -1/5 0 2/5

Cr/i l i l l l lÉ l 108/5 0 0 -9/5 0 -2/9

Deoarece diferenţele ct — f £ 0 ,(V )i = 1,5 soluţia găsită la ultima iteraţie este optimă:

r i 108Lm axjg = — ;

6 28* 2 = — ; * 3 = 0

11. [min]/· = xx + 2 x2 + x5

2xx + x2 + x3 > l - Xy + 3 x2 < 0

2xx + l x 2 + *3 + x4 + x5 = 5

χ , . > 0 , ι = ΰ

Rezolvare: Aducem problema la forma standard (1):

[m in]/ = *i + 2 * 2 + xs + M · * 8

119

Matricea asociată acestei probleme este:

2 1 1 0 0 - 1 0 1

- 1 3 0 0 0 0 1 0

2 2 1 1 1 0 0 0\ /

Putem trece la aplicarea algoritmului simplex:

Cb B Xb1

a\202

0a-i

0fl4

1a$

006

0«7

M a β θ

M Û8 1 © 1 1 0 0 -1 0 1 1/20 Û7 0 -1 3 0 0 0 0 1 0 -0 a 4 5 2 2 1 1 1 0 0 0 5/2

f\-C\ i i i i ^ M 2M-1 M-2 M 0 -1 -M 0 01 a\ 1/2 1 1/2 1/2 0 0 -1/2 0 β 1

0 Οη 1/2 0 © 1/2 0 0 -1/2 1 n 1

0 a 4 4 0 1 0 1 1 1 0 SI -fi-Ci ÜHlÉi 1/2 0 -3/2 1/2* 0 -1 -1/2 0 Ép

1 a\ 0 1 -3 0 0 0 0 -1 β0 a-i 1 0 7 1 0 0 -1 2 1110 a4 4 0 1 0 1 1 1 0 pit

fi-a 0 0 -5 0 0 -1 0 -1

[mini/'= 0 ; * i = 0 ; *2 = ° ; *3 = 1 ; *4 = 4 ; *5 = 0 ;

12. Rezolvaţi următoarea problemă de programare liniară:[maxi/ = *i + *2 + * 3

3xj + 2x2 + x3 = 7

X,· > Ο,ι = 1,3 Rezolvare: Matricea ataşată sistemului este:

( 3 1 - ί A =

3 2 1VAvem deci nevoie de introducerea a două variabile artificiale x4 şi xs pentru a avea în matrice vectori unitari. Problema devine:

[maxi/' = X, + x2 + x3 - Μ x4 - M x5 3xj + x2 - x3 + x4 = 5

3xj + 2x2 + x3 + x5 = 7

Xi > 0 ,/' = 1,5 Aplicăm algoritmul simplex:

3xj + x2 - x3 = 5

[max]/" = 3

X\ — 2 ; X2 — 0 ; X3 — 1.

13. Să se rezolve problema de programare lineară:[m in]/ = 4xj + 3x2 + 6x3 -

121

(1)

2xj + x2 + 2xj > 4

2x, + 2x2 + Xj 2:2

x^+xj 2:3

X, > 0,i = 1,3

Rezolvare: Construim problema duală:

[max]g = Ayx + 2 y2 + 3 y3

(2) '

2y.t + 2y2+y3£4

y\ + 2>2 S 3

2yl + y2 + y3£6

yt > 0,i = 1,3

Aducem problema (£) la forma standard introducând variabilele de compensare^, ys, y6 şi aplicăm apoi algoritmul simplex:

[maxjg = 4y, + 2y2 + 3y3

2>i + 2y2 + y3 + y4 = 4

yt+2y2 + ys = 3

2 y t + y2 + y* + y<> r *

y{ > 0,i = 1,6

Matricea sistemului este:

122

2 2 1 1 0 0

1 2 0 0 1 0

2 1 1 0 0 1\ 7

Rezolvăm problema duală; în final găsim şi soluţiile pentru problema iniţială

Cb B Yb4ai

2a2

303

0«4

0a$

006 Θ

0 a4 4 Φ 2 1 1 0 0 20 as 3 1 2 0 0 1 0 30 a6 6 2 1 1 0 0 1 3

c-f tlllll 0 4 2 3 0 0 04 a\ 2 1 1 CX!2> 1/2 0 0 40 a5 1 0 1 -1/2 1/2 1 0 -

0 a6 2 0 -1 0 1 0 1 -

C-f 8 0 -2 1 -2 0 03 «3 4 2 2 1 1 0 00 as 3 1 2 0 1 1 00 a6 2 0 -1 0 1 0 1

Crf 12 -2 -4 0 -3 0 0•Xa -*5 -*6 -X\ -x2 -*3

Soluţia problemei (2) este[maxjg = 12 ; y x= 0 ; y2 = 0 ; y3 = 4 ; y 4 = 0 ; y5 = 3 ; y 6 = 2 .Avem deci pentru problema (1)[mini/' = 12 , cu soluţia Xj = 3 ; x2 = 0 ; x3 = 0 ; x4 = 2 ; x5 = 4 ; x6 = 0 ;

Notă: Soluţiile pentru pentru problema primală se găsesc pe ultima linie de diferenţe c - f , cu semne schimbate, începând cu diferenţele aferente variabilelor de compensare.

14. Să se rezolve problema următoare cu ajutorul dualei:

[m in i/ '= 2*i + 3x2 + x3

123

JC, - x 2 + 3 x 3 > 6

2 jc, + x2 + jc3 > 8

x( >0,z' = 1,3

Rezolvare: Construim duala acestei probleme:

[m ax ]g = 6 y , + 8 y 2

y, + 2y2 < 2

-y\ + y2 ^ 3

3^1 + JV2 ^ 1

Pentru rezolvare aducem problema la forma standard, adăugând variabilele de compensare >>3, y4, ys

[maxfe = 6 y x + 8 y 2

y\ + 2y2 + y3 = 2

- y 1 + y2 + y4 =3

3^i + y 2 + y s = 1

y, > 0,i = 1,5

Matricea ataşată sistemului este:

A =

/ 1 2 1 0 0Λ

- 1 1 0 1 0

3 1 0 0 1

124

Se poate trece la aplicarea algoritmului simplex:

Cb B Yb6Ol

8a2

0a3

0a4

0as Θ Θ,

0 03 2 1 © 1 0 0 1 1/20 04 3 -1 1 0 1 0 3 30 Oî 1 3 1 0 0 1 1 1

Crfi M i l l ! 0 6 8* 0 0 0

8 a2 1 1/2 1 1/2 0 0 20 a4 2 -3/2 0 -1/2 1 0 •

0 as 0 G/£> 0 -1/2 0 1 0

c\-f\ 8 2* 0 -4 0 08 a2 1 0 1 3/5 0 1/50 aA 2 0 0 -4/5 1 3/56 a\ 0 1 0 -1/5 0 2/5

C\-f\ l i i l l 8 0 0 -18/5 0 -4/5

Deci soluţia problemei duale este:

[max]g = 6 ; =* [min]/ = 6 cu X\ = γ - ; x2 = 0 ; x3 = ţ .

15. [m ax i/' — x1 + 2x2 + x3 + x4 + 2xs

2xj + 4x2 + x3 + 4x5 < 100

Xj + 5x3 + jc4 + 6xs ^ 200«

x2 + 4x3 + 2x4 < 200

xt > 0,i = 1,5

Soluţie: [m ax ]/ = 150 ; Xt = 25 ; X2 = 0 ; X3 = 0 ;

X4 = 100 ; JC5 = 25 ;

125

16. [min ] f = x, - x 2 + x3 - x 4 + x5 - x 6

jc, + 3jc4 - x5 + x6 = 2

x 2 + 2 x 4 + x5 - 2x6 = 1

x3 - jc4 - x5 + 3jc6 = 1

xt > 0 , i = 1,6

Soluţie: [mini/' = -2 ; x, = 0 ; x2 - 1 ; x31

x4 ~ 2 ’ XS ~ 0 » Xf> '

17, [maxi/' = 3x] + 4x2 x, + 4jc2 < 24

3x, + x2 <21

x j+ x 2 < 9

x , , x 2 > 0

Soluţie: [maxi/’ = 32 ; j c , = 4 ; jc2

18. [m in i/ '= 3xj + 2 jc2

2x, + x2 > 5

3x, - 2x2 < 6*

x, + x2 < 4

jc, , jc2 > 0

r · λ, 54 16Soluţie: [m in]/ = — ; x, = — ; x2

126

19. [max I/' = x, + χ2 Xj - 2χ2 > - 1

2χ, - χ2 < 1

Xj+X2 > l

χν χ2 >0Soluţie: [max]/ = 2 ; χ, = 1 ; χ2 = 1

20. [min I/' = 3χ, + 5x2 + 4x3

2xj + x2 > 12

x, + 2 x 2 + 2 x 3 ^ 2 0

<

x2 + 2x3 > 15

x, > 0,i = 1,3

«So/u/z'e: [mini/' = 48 ;x, = 6 ; x2 = 0 ; x 3 = -y- ;

21. [mini/' = 12x, + 10x2

2x, + 5x2 > 20

3x, +x2 > 12«

x2 - 2

x{ > 0,z = 1,2

r · U 840 40 36Soluţie: Lmin \f = —— · x, = ---- - x2 = — ■13 ’ 1 13 13 ’

127

22. [m in i/' = 5*ι + 2x2 + x3 + 3x4 + 3x5 2x, + x3 + x5 > 700

- Xj + x2 + 2x4 + x5 > 400

x,. >0,/ = 1,5

Soluţie: [min ] f = 1300 ; x , = 0 ; x 2 = 0 ;x 3 = 700 ; x 4 = 200 ; x 5 = 0

23. Determinaţi o raţie alimentară de cost minim, ştiind că sunt necesare 3000 calorii, 100g proteine şi se folosesc două feluri de alimente A\ şi A2. Primul aliment A\ de 500g, conţine 1000 de calorii şi 25 g proteine, iar al doilea aliment A2 tot de 500g conţine 2000 de calorii şi 100g de proteine. Preţul pe unitate (500g) este de 1,80 u.m. pentru A t şi 8 u.m. pentru A2.

Soluţie: [min ]/ = 7,60 u.m. x = 2\y- — => 1000g; 250 g.

24. La o fabrică de stofe se produc două sortimente A şi B. Primul sortiment conţine 200g bumbac şi 800g lână, iar al doilea conţine 400g bumbac şi 600g lână pe unitatea de produs (m2). Fabrica dispune de 20 tone bumbac şi 60 tone lână. Beneficiul este de 80 u.m./m2 pentru A şi 60 u.m./m2 pentru B. Să se determine cantitatea de stofa din cele două sortimente, exprimată în m2, care trebuie fabricată astfel încât beneficiul să fie maxim.

Soluţie·. 60 000 m2; 20 000 m2; 6 000 000 u.m.

25. Trei depozite au în stoc 15 tone, 32 tone, respectiv 30 tone de marfa care trebuietransportată la trei magazine ce au nevoie respectiv de 2 2 1,3 0 1,2 0 1. Matricea costurilor de transport este:

C =f 2

1

V1

3

2

2

2λ

14

Să se prezinte un plan de transport care să conducă la un minimum de cheltuieli.

Rezolvare. Deoarece Disponibilul este de 77 t şi necesarul este de 72 t problema este neechilibrată. O echilibrăm prin introducerea unui magazin fictiv care are

128

necesarul de 5 t. Costurile unitare de transport: c14 = c24 = c34 = 0. Vom determina o soluţie iniţială de bază prin metoda colţului Nord-Vest:

C1 c2 c4 Disp

Dx %3

02

00

0d2

K *1

00

0

^3 10 X V " '

X 20 XNec 22 30 20 5 N . 77

77* #

jtn = min(15, 22) = 15 =» Χ\2 = χΐ3 = : χ \ 4 ~ 0x2\ - min(7, 32) = 7 => x31 = 0■x22 = min(25, 30) = 25 => x23 = x24 = 0x32 = min(5, 30) = 5x33 = min(20, 25) = 20χ34 = min(5, 5) = 5

Avem m + η - 1 componente strict pozitive ale soluţiei iniţiale de bază (adică3 + 4 - 1 = 6).

Deci soluţia este nedegenerată.pentru a decide dacă soluţia de bază nedegenerată este optimă se foloseşte metoda

potenţialelor care se bazează pe teorema lui Dantzig:Fiecărei căsuţe (i, j) îi asociem perechea («,·, vj). Rezolvăm sistemul w, + Vj = cy,

pentru căsuţele în care soluţiile Xy > 0.Calculăm cu ajutorul soluţiilo sistemului anterior diferenţele: Dy - ut + Vj - Cy,

pentru căsuţele în care soluţiile Xy = 0.Soluţia este optimă dacă toate diferenţele Dy < 0.în caz contrar vom determina o altă soluţie. Deci soluţia iniţială a problemei este:

15 0 0 07 25 0 00 5 20 5

V /

129

Μ) + V] = 2 u2 + Vj = 1 u 2 + v 2 - 2

u3 + v2 = 2«3 + V3 = 4

«3 + v4 = 0

Deoarece numărul de necunoscute mai mare decât numărul de ecuaţii alegem prin convenţie variabila ux = 0

Rezultă uşor: v, = 2u2 = - 1 v2 = 3 w3 =— 1 v 3 = 5 v4= 1

Calculăm diferenţele Dn = U\+ v2 -~C12= 0Dn = ux+ v3 -' c13= 3D\4 = u. + v4--C14= 1• 23 = «2 + v3-” c23 = 3:- 24 = m2+ v4-- c24= 0£>31 = «3 + vr ' C31 = 0

Deci soluţia nu este optimă pentru că există trei diferenţe strict pozitive.Alegem cea mai mare diferenţă strict pozitivă şi din căsuţa corespunzătoare ei,

vom construi o linie poligonală închisă notând cu semnul +, vârful ei în căsuţa (2, 3), apoi alternativ - , +, Dintre vârfurile cu semnul - alegem cea mai mică valoare Xy. Această valoare o scădem în vârfurile cu - şi o adunăm în vârfurile cu +, restul soluţiilor rămânând neschimbate. Pe fiecare linie sau coloană ale liniei poligonale nu trebuie să existe mai mult de două vârfuri ale ei, iar soluţiile din căsuţele în care se află vârfurile trebuie să fie > 0. după determinarea noii soluţii, procedăm la fel ca pentru soluţia iniţială, până când toate Dtj < 0. Costul de transport se calculează după formula:

m n

Ct - ·

130

λ15 Ο Ο 0Λ 7 5 20 Ο Ο 25 Ο 5

Cjixο) = 2· 15 + 1- 7 + 2- 25 + 2- 5+ 4 - 2 0 + 0- 5 = 177.

X =Noua soluţie este: 1

Μ , + V ! = 2« 2 + V, = 1

^2 2 2 «2 + V3 = 1

+ ν2 = 2Μ3 + V4 = 0

Μ] = Ο : v. =2

u2 - 2

ν2 - 2

ν3 = 2

μ 3 = 2

ν4 = 2

0,3 = 0 + 2 - 3 = - 1

D23 = - l + 2 - 2 = - l

D24 = - 1 + 1 - Ο = Ο

£)24 = - 1 + 1 - ° = ° £>3ΐ = — 1 + 2 — 1=0

Ζ)33 = — 1 + 2 — 4 = — 5

Pentru că Z)y < Ο, soluţia x, este optimă, iar costul optim de transport este

CjixJ = 2- 15 + 1- 7 + 2- 5 + 1-20 + 2- 25 + 0- 5 = 117 < ( C ^ ) )

131

26. Rezolvaţi următoarea problemă de transport:

1 5 2

1 2 1

2 3 4

13

30

34

22 30 25

Rezolvare:Pentru că disponibilul este egal cu necesarul (77), problema este echilibrată. Determinăm soluţia iniţială prin metoda colţului N-V.

'13 0 9 21

V0 9

0 λ025

Soluţia iniţială x() este nedegenerată (are 5 componente Φ 0). Costul C^Xq) = 1 · 13 + 1 · 9 + 2 · 21 + 3 · 9 + 4 · 25 = 191. Rezolvăm sistemul:

+ V, = 1 w, = 0 =Φ v, = 1u2 + V, = 1 m2 = 0

u2 + V2 = 2 v2 = 2

M3 + V 2 = 3 «3= 1

W3 + V3 = 4 UJ i!

DD

0 + 2 - 5 = : O + 3 - 2 :

£>23 = O + 3 - 1 = 2*D 31 1 + 1 - 2 = 0

132

Noua soluţie va fi: x,

13 0 0 Λ

9 0 21

9 30 4

il, + V1 = 1

u2 + v>= 1u2 + V 3 = 1U, + V2 = 3M, + V 3 = 4

u ί - 0 => v, = 1 u2 = 0 v3= 1

v2 = 0

Du =0 + 0 - 5 = - 5 Z)13 = 0 + 1 - 2 = - 1 D22 = 0 + 0 - 2 = - 2 Z>31 =3 + 1 -2 = 2*

Noua soluţie va fi: x2 =13 0 0 5 0 25 4 30 0

133

Μ, + V, = 1

«2 + V, = 1

U2 + V 3 = 1

w3 + v, = 2

«3 + ν2 = 3

Μ] = Ο : ν, = 1

Vj = 1

μ3= 1 ν2 = 2

£>12 = 0 + 2 - 5 = - 3 £>13 = 0+ 1 - 2 = - 1 £>22 = 0 + 2 - 2 = 0 £>33 = 1 + 1 - 4 = - 2

Pentru că < 0, soluţia x2 este optimă. Costul optim de transport este:

Cj(x2) = 1 · 13 + 1 · 5 + 1 · 25 + 2 · 4 + 3 · 30 = 141 < Cj{x0) 27. Rezolvaţi următoarea problemă de transport

4 1 2 15

2 2 1 34

3 3 4 30

22 30 22

Rezolvare: Pentru că problema nu este echilibrată deoarece disponibilul nu este egal cu necesarul, introducem încă o coloană cu necesarul de 5 şi costurile Cj4 = c24 = c34 = 0. Astfel am echilibrat problema şi determinăm soluţia iniţială de

bază prin metoda colţului N-V.

* r

27

134

1 15 0 0 0Xo = 7 27 0 0

V 0 3 22 5

Soluţia iniţială x este nedegenerată (are 6 componente Φ 0):

Cj(xo) = 4 · 15 + 2 · 7 + 2 ■ 275 + 3 · 3 + 4 · 22 + 0 · 5 = 225 Rezolvăm sistemul:

w, + V] = 4 u2 + Vj = 2 «2 + v2 = 2 «3 + v2 = 3m3 + v3 = 4

«3 + V4 = 0

M, = 0 :

ti3 = - 1 v3 = 5 v4= 1

D 12 = 0 + 4 - 5 = 3 £>,3 = 0 + 5 - 2 = 3 £>14 = 0 + 1 - 0 = 1 Z)23 = — 2 + 5 — 1 = 3* £>24 = - 2 + l - 0 = - l £>3i = —1+4 —3 = 0

JC =Noua soluţie va fi ' 1

0 5 0 0 0^ 7 5 22 0

v0 25 0 5

U , 4 1 20

0015 0

u2 2 2 1 0Ί - 5 ^ ^ 2 2 0

«3 3 3 4 00 25 0

135

M, + = 4

u2 + = 2u2 + V2 = 2u2 + V 3 = 1ιιλ + V2 = 3

m3 + V4 - 0

« , = Ο : v ,= 4 «2 = — 2

v2 = 4

v 3 = 3

u3 = — 1 v4 = 1

Z),2 = 0 + 4 - 1 = 3*0 ,3 = 0 + 3 - 2 = 1Z>,4 = 0+ 1 - 0 = 1d 24 = - 2 + 1 - 0 = - 1*>31 = - 1 + 4 - 3 = 0^33 = - 1 + 3 - 4 = - 2

o Ui O 0

Noua soluţie va fi: x, = 12 0 22 0 0 25 0 5

M, + V, = 4 M| + v2 = 1 m2 + v, = 2

k2 + v3 = 1 m3 + v2 = 3Mj + V4 = 0

Z)|3 — 0 + 2

W, = 0 :

D2 = 0

0 + ( - 2 ) - 0 = - 2 : — 2 + 1 —2 — — 3

£>24 = - 2 - 2 - 0 = - 4DD

: 2 + 4 - 3 = 3*: 2 + 3 - 4 = 1

v, = 4

v2 = 1

v3 = 3

«3 = 2

v4 = - 2

136

Noua soluţie va fi: χι

λ 0 15 0 0 Λ

12 0 22 0

v10 15 0 5yV1 v2 V3 V4

M] 40

115

20

00

u2 2" " 1 2

20

1^ 2 2

00

w3 310

315

40

05

M] + V2 = 1 Wj = 0 => v2 = 1

M2 + V1 = 2 «3 = 2

«2 + V 3 = 1 V] = 1

m3 + V, = 3 V4 = - 2

îi, + V2 = 3 u2= 1

w3 + V4 = 0 v3= 0

£>π = 0 + 1 -4 = ·D13 0 + 0 - 2 = - 2

2£>14 = 0 - 2 - 0 =£>22= 1+ 1 - 2 = 0 £>24 = 1 - 2 - 0 = - 2 £>33 = 2 + 0 - 4 = - 2

Soluţia x3 este optimă pentru că toate diferenţele DtJ < 0.Costul optim este Cj(x2) = 1 · 15 +2 · 12 + 1 ■ 22 + 3 · 10 + 3 · 15 + 0 · 5 = 136 < Cj(x0)

28 Două depozite au în stoc 100 tone respectiv 140 tone de marfă ce trebuie transportată la trei magazine care au nevoie respectiv de cantităţile 70 t, 80t, 90t. Matricea costurilor de transport este:

(30 20 40'C =

10 60 30 y

Să se prezinte un plan de transport care să prezinte un minium de cheltuieli.

Soluţie: Vom determina o soluţie iniţială de bază prin metoda colţului de N-V:

137

Verificăm dacă soluţia :( 70 30 0 ^

0 50 90\

Formăm sistemul de ecuaţii:

este optimă:

ui + vj = cij » (V)(i J ) t B Mj + Vj = 30

«ί + v2 = 2 0

u 2 + v2 = 60

u2 + v3 = 30

u, = 0

u2 = 40

v, = 30

v2 = 2 0

v3 = - 1 0

Calculăm : Sy = w, + vy- — ctf, £ 5

<5 j3 = m, + v 3 - Cj3 = - 1 0 - 40 = -5 0 < 0

<52j = w2 + Vj - c2 1 = 40 + 30 - 1 0 = 60 > 0

Deoarece nu toate < 0 =❖ soluţia nu este optimă.

Alegem atunci <5fe = max(<5ÿ) = <52 1 => (2,1) va intra în noua bază. Pentru avedea cine iese din baza anterioară, plecând de la (2 ,1 ) formăm un ciclu cu elementele bazei, astfel încât pe orice linie sau coloană ale liniei poligonale să nu existe mai mult de două vârfuri ale ei. începând cu (2 ,1 ) notăm alternativ vârfurile liniei poligonale cu + şi - , vârful (2,1) având semnul +. Dintre vârfurile cu semnul

alegemxiojo = min (Xy) =*(iQij 0) iese din bază. Noua soluţie de bază este:

138

x9 m

Xy, => (U j)t C

Xij + x i J o d t j ) & C +

Verificăm dacă acesată soluţie este optimă: h, + Vj = 30

U\ + v2 = 20

u2 + vi = 1 0

w2 + v 3 = 30

Wj = 0

1 2 = “ 20

V! = 30

v2 = 20

(V3 = 50

δ ι3 = « ! + v 3 - c 1 3 = 5 0 - 4 0 = 10 > 0

δ22 = u2 + v 2 - c2 2 = -6 0 < 0

=»(1,3) intră în noua bază.

Se alege * Wo

deci soluţia nu e optimă.

(W o = ( y )

= 20Şi

noua soluţie de bază este:

«1

«2

139

o(NII>

Mj = 0v 2 = 2 0

u 2 = - 1 0v 3 = 4 0

= 0 + 2 0 - 3 0 = - 1 0 < 0

Verificăm dacă noua soluţie este optimă: M, + v 2 = 20

Mj + v 3 = 4 0

li2 + vj = 10

w , + v , = 3 0

1 22 =U2 + V2~ C22 = "10 + 20 - 60 = -5 0 < 0 Deoarece toate <5,y < 0 =Φ soluţia este optimă.

/ 0 8 0 2 0 N

7 0 0 7 0

Cost optim = 0-30 + 20*80 + 40-20 + 10-70 + 60-0 + 30-70 = 5200 U.M.

29, Rezolvaţi următoarea problemă de transport:

3 2 6 4 93 3 3 2 73 1 4 2 21 3 1 2 25 5 5 5

Soluţie·. Vom determina o soluţie iniţială de bază:Vl V2 V3 V4

“1

«2

«3

M4

3..5

27 ] 4

6 4

3/ 1

3 S / 5

3 1 4 2 ! / y T 2

1 , 3 1 2 . 1 // 2

^ ^ /T

2

140

Verificăm dacă soluţia este optimă:

u, + v, = 3

«! + v2 = 2

u2 + v2 = 3

u2 + v3 = 3

« 2 + v 4 = 2

Uj + v4 = 2

« 4 + v4 = 2

«1 = 0 Vl = 3

«2 = 1 V2 = 2

«3 = 1 V3 = 2

“4 = 1 v4 = 1

^13 ~ ^ » ^14 ~ 3 ; 5 2 i 1 ; — 1 i <5 32 — 2

^ 3 3 = 1 · ^ 4 i = 3 ; δ 4 2 = 0 ; <54 3 = 2

= max δ & = δ 41 = 3

‘ 0 Jo = min = x 22 = 1( i ,J )eC -

Noua soluţie este:

141

u j + v, = 3

Ml + V 2 = 2

w2 + v 2 = 3

« 2 +V4 = 2

« 3 + v 4 = 2

U4 + V, = 1

« 4 + v 4 = 2

5,3 = — 1 ; <51 4 = 0 ; S2i = —2 ; δ 22 ~ ~ 3 ;

<53 1 = — 2 ; δ32 — —1 ; 5 3 3 = —1 ; S42 = —3 ; <54 3 = 2

«1 = 0 Vl = 3

« 2 = - 2 V2 = 2

“ 3 = - 2 V3 = 5

t t4 = - 2 V4 = 4

=> <5 = max<5ÿ = <54 3 = 2

X. i = min X.·, = x ^ = 1 'o'» (i,j)eC- ,J 44

Noua soluţie este:

« i

«2

« 3

« 4

V i V2 V3

3 _

V4

142

M j + V , = 3

m, + v 2 = 2

« 2 + V j = 3 U\ = 0 V 1

II 1 UJ

« 2 + V 4 = 2 => ·u2 = 0 V2 = 2

W3 + V 4 = 2

II 0 V3 = 3

« 4 + V , = 1« 4 = - 2 V4 = 2

« 4 + V3 = 1

-2;<521 II 0 5 22 = - 1 ;

5 3i — Ο ; δ32 — 1 ; δ33 — —1 ; δ42 — 3 ; — —2

=> = max δ,Ί = = 132

X: : = min jc„. = x dl = 1' οΛ) « J ) e C - ÿ 41

Noua soluţie este:

Ml

«2

« 3

« 4

V] v2 v3 v4

%6 4

3 3 3 ^ / 3 X

3 1 / 1

4

1 3

X2

143

M, + V, = 3

u, + v2 = 2

u2 + v3 = 3

II o Vi = 3

u2 + v4 = 2 =* ■u2 = - l v2 = 2

«3 + v2 = 1«3 = - 1 < o» II

« 3 + v4 = 2

u4 = - 3 v4 =3

«4+V3 = l

5,3 — 2 ; <5,4 - 1 ; 5 2j — 1 ; δ χ — 2 ;

S 3 , = ~1 > δ33 = — 1 ; <54, = — 1 ; 5 4 2 = —4 ; δΜ = — 2

Deoarece toate δ^< 0 => soluţia găsită este optimă

r 5 4 0 0 N

0 0 3 4

0 1 0 1

0 0 2 0

Costul optim = 5·3 + 2·4 + 3*3 + 2-4 + 1*1 + 2·1 + 1·2 = 45

30,3 2 11 2 ■ 21 3 1

37010

220500 50 50

Soluţie:

144

31.

32.

X =

' n o so 5(Λ

10 ο ο

-'optim220 0

= 11900

10 6 4 502 8 6 301 3 3 3010 20 70

Soluţie:

X =

0 0 50

10 0 10

0 20 10= 370

2 3 1 105 2 7 201 1 2 206 4 2 ’ 3010 20 50

Soluţie:Ό 0 10

X =0 20 0

10 0 10

0 0 30

33.Coptim — 140

1 1 3 501 3 2 70

40 20 60Soluţie:

X =30 20 0 N

10 O 10

C , =180optim

145

34.8 6 2 12 3 5 41 7 2 9

100 150 90 110

200150100

Soluţie:

' 0 0 90

x = 0 150 0

100 0 0

00

C . =840optim

35.1 2 3 23 6 1 27 4 1 13 10 20 15

71427

Soluţie:

"3 4 0 0

0 0 14 0

0 6 6 15

optim 70

CAPITOLUL Π

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

§.1. Funcţii de două şi mai multe variabile reale1. Mulţimi şi puncte în RDîncepem acest paragraf prin definirea unor puncte şi mulţimi speciale din Rn

necesare pentru studiul unor noţiuni ca limita, continuitatea, derivabilitatea în Rn.La capitolul de algebră liniară s-a definit spaţiul liniar real n dimensional Rn a

cărei definiţie o reamintim.Definiţie. Se numeşte spaţiu real «-dimensional şi se notează R", mulţimea

R" = R x R X...R = {x = U i,x2,...x„)/Xj € /?,i = l,2,...n} (1)nori

unde x = (xl,x2,..jcn)& R" se numeşte punct al spaţiului Rn iar numerele reale x,,x2,...xn se numesc coordonatele punctului x din Rn.

Definiţie. Aplicaţia d :RnxRn —» definită prin:

d (x ,y)= ^ jp x i - y i)2 (2)

unde x = (xl,x2,..jc„)e Rn, y = (yl,y2,...yn)e R n sunt puncte în R" se numeşte distanţă în Rn. Distanţa definită de (2) are următoarele proprietăţi:(dx) d(x,y)> 0 (V )xeR n şi y& Rn;d(x,y) = 0 & x = y ;(d2) d(x,y) = d{y,x), (V)xeRn, y e R n;(t?3) d(x,y)<d(x,z) + d{z,y), (V )xe Rn ,y s Rn,z € R .Pentru n=l şi n=2 din (2) regăsim formulele de calcul ale distanţei dintre două puncte de pe dreaptă şi în plan:

d(x,y) = \x -y \ d(x,y) = J(x x - y{)2 +(x2 - y2)2

Definiţie Fie jc0 = (x°, x2 ,...x°) un punct din Rn şi r > 0 Mulţimea Sr(x0) = {xe R"/d(x,x0) < r} de puncte din R" se numeşte sferă deschisă cu centrul în Xo şi de rază r.Sferele deschise din R şi R2 sunt intervale deschise centrate în x0 de forma (xo- r,xo+r) repectiv discuri circulare reprezentate prininegalităţile de forma y](xx - x® )2 + (x2 - x° Ÿ < r .

Definiţie Se numeşte interval n-dimensional, mulţimea de puncte din Rn notată Γ şi definită prin produsul cartezianl xxl2...ln = /" = {(*„x2,...xn)lxk e Ik, k = 1,2,...«},

147

unde Ik^akA), k=l,2,...n, sunt n intervale deschise pe dreapta reală.Se poate demonstra următoarea:

Propoziţie. Orice sferă cu centrul în Xo conţine un interval n-dimensional care conţine x0 şi reciproc, orice asemenea interval conţine o sferă cu centrul în x0.

Definiţie. Mulţimea V c Rn se numeşte vecinătate a punctului XqS Rn dacă există o sferă deschisă cu centrul în x0 (sau un interval n-dimensional ce conţine pe x0) înclusă în mulţimea V, adică x0 e Sr ; x0 c V sau x0 e 1" c V .

Din definiţia vecinătăţii rezultă că orice sferă deschisă cu centrul în x0 şi orice interval «-dimensional ce conţine pe x0 sunt vecinătăţi ale lui x0. în particular orice interval (a,b) din R care îl conţine pe x0 este o vecinătate a lui x0, intervalul (x0-r, x0+r) centrat în x0 numindu-se vecinătate simetrică a lui x0· în R2 mulţimea punctelor din interiorul unui cerc cu centrul în x0 şi intervalele bidimensionale ce conţin pe x0 sunt vecinătăţi ale lui x0.

Definiţie Punctul x0 e Rn se numeşte punct interior mulţimii AC.R* dacă există o vecinătate V a lui x0 inclusă în mulţimea A, adică x0 e V c A.

Definiţie Mulţimea AdR" care conţine numai puncte interioare se numeşte mulţime deschisă. Sferele şi intervalele «-dimensionale sunt mulţimi deschise.

Definiţie Punctul Xg e R" se numeşte punct exterior mulţimii A d R n dacă este interior complemetarei lui A, adică există o vecinătate a lui xo astfel că x0 e V c Ac.

Definiţie Punctul x0 e Rn se numeşte punct frontieră al mulţimii A d R n dacă orice vecinătate a sa conţine şi puncte din A şi puncte din A°. Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A se notează Fr(A) şi se numeşte frontiera mulţimii A.

Definiţie Fie x0 e Rn şi A d R n. Punctul x0 se numeşte punct de acumulare al mulţimii A dacă orice vecinătate Va a lui x0 conţine cel puţin un punct al mulţimii A diferit de x0 adică (V -{x0})n A Φ 0 . Din definiţie rezultă că punctul de acumulare x0 poate să aparţină sau poate să nu aparţină mulţimii A.

Definiţie Punctul x0 e A c Rn se numeşte punct izolat al mulţimii A dacă există o vecinătate V a punctului x0 astfel ca V Π A = {x0}.

Exemplu Fie A d R 2 o mulţime:A = x,y)l x2 + y2 <A,y> o}U {(2,3)}

Mulţimea A conţine punctele din interiorul semicercului cu centrul în origine şi de rază 2 situat deasupra axei Ox inclusiv cele de pe semicerc, conţine punctul Q(2,3) şi nu conţine punctele de pe axa Ox. S ( l ,l ) este punct interior lui A şi este punct de acumulare. Â(l,3)gA deci este punct exterior lui A. 7X1,0) £ A este punct de acumulare şi este punct de frontieră.

148

Q(2,3) este punct izolat al mulţimii A şi este punct frontieră V(V2, V2)e A este punct de acumulare şi punct frontieră.

2. Limita şi continuitatea funcţiilor de două variabileŞtim că R2 = {x = (xl,x2)/xl £ Rşix2e R} este mulţimea perechilor ordonate

(xhx2) de numere reale, sau mulţimea punctelor din plan. Orice mulţimeA c i ? 2 este deci o mulţime de puncte din plan care au coordonatele xi şi x2 respectiv abscisa şi ordonata acestor puncte faţă de reperul xj0x2.

Rezultă că o funcţie/ \AczR2 —>R este o funcţie de punctul (xbx2) adică o funcţie de două variabile f(xi,x2).

în cele ce urmează ne vom ocupa de funcţia de două variabile pe care o vom nota f(x,y) amintind ca mai sus coordonatele x,y ale punctului M din plan, aceasta pentru a simplifica scrierea.

Exemple:1. Funcţia de eficienţăf(x,y)=cix+c2y, x>0,y>0 într-o problemă de programare

liniară,vectorul program fiind vectorul coloană[ y )

2. Fie p preţul pentru produsul X în unităţi date, v venitul mediu al unui consumator şi x cantitatea din produsul X cerută pe piaţă în unităţi date. Atunci x este o funcţie dep şi v care poate fi scrisă ca o funcţie de două variabile:

x = f (p,v), p > 0, v > 0 .3. Notând cu V venitul naţional, cu x orele de muncă productivă prestate, cu y fondurile fixe angajate în producţie putem scrie funcţia de două variabile:

V(x,y) = kxay P, k, a, β constante, x > 0 ,y> 0 .Funcţia definită mai sus se numeşte funcţia de producţie de tip Coob-Douglas.

149

Definiţie. Fie (x0,y 0)e R2 un punct de acumulare al mulţimii A c/?2 şi fie / : A —» R . Spunem că numărul real l e R este limita funcţiei f(x,y) în punctul (xoiVo) dacă pentru (V) ε > 0 există o vecinătate V a punctului (χο^ο) astfel încât pentru orice (x, y) e V Π A să avem:

\f(x,y)-l\<eşi scriem:

Hm f(x,y) = l.(x,y)-*(.xa,y0)

O definiţie echivalentă cu precedenta este următoarea:Definiţie. Fie (xo^o) un punct de acumulare al lui A c/?2 şi / : A —» R .

Spunem că le. R este limita lui f în punctul (x0lyo) şi scriem lim f(x,y) = l dacă(x,y) >{x0.yo)

pentru orice şir {(x„, yn )}■ . de puncte din A pentru care lim (x„, yn ) = (x0, y0 )ti—

avem Mm f(x n,yn) = l .Π-»oo

Exemple:1. Să se arate că lim (x2 + xy + y 2) = 7 . Avem:

/(x, y) - 7 = (x2 - 4) + (xy - 2) + (y2 -1) = (x - 2)(x + 2) ++ [(x -2 )y + 2 (y - l) ]+ (y - l) ( y + l) = (x -2 )[x + y + 2 ]+ (y - l) [y + 3]

Vom considera funcţia f(x,y) în vecinătatea patratului de latură egală cu 1 a punctului (2,1) în care jx — 2j< 1, |y-l|< l, adică [xj<3,şi[yj<2 şi prin urmare jx + y + 2| < 7, |y + 3j < 5 şi de aceea avem j/ (x ,y)-7|< 7.

sFie 5 cel mai mic dintre numerele — şi 1, atunci în <5 vecinătatea punctului

(2,1) avem:|x - 2| + |y - 1| < 20 , de unde |/(x, y) - 7| < ε astfel spus lim (x2 + xy + y 2) = 7 .

2. Să se calculeze lim- -— .*->0 x y->2sinxy sinxy sinxy _ , „Avem hm------- = l im y ------- = hm y lim ------- = 2-1 = 2 .

χ->0 X x->0 x y y->2 x->0 x yy —>2 y —>2 J 2 *

3. Să se studieze existenţa limitei în origine a funcţiei / : R2 —> R ,

150

* 2 - 2· dacă (x, y) Of(x , y) = +

O dacâ(x,y)= 0 Fie şirul de puncte (*„, yn)nîl cu y„= m xme R . Acest şir de puncte se află pe dreaptay=mx ce trece prin origine. Dacă xn —>0 atunci (0,0). Pentru

acest şir avem lim f(x„,yn) = lim ^ j—'"/■ =-—— . Observăm că valoareaJ \ n s n * , „ ^ 0 2 + 2 2 l + m 2 y,-*0 " ™

limitei depinde de m deci de şirul considerat. Rezultă de aici că funcţia nu are limită în origine.

Definiţie. Fie f : Ac. R2 R . Spunem că funcţia f este continuă în punctul (x0,y 0)e Λ dacă:

lim /(x,y) = /(x0,>-0) .(.x.y)-*(xo,yo)

Continuitatea definită mai sus se numeşte continuitate în raport cu ansamblul variabilelor. Putem defini şi continuitatea parţială în raport cu x în punctul (x0ly0) sau în raport cu y în (x0xyo) dacă avem respectiv

lim/(x,;y0) = /(x0,)>o) şiX-*Xq

lim/(jc0,y ) = /(xq, y0). y->yo

Propoziţie. O funcţie continuă într-un punct în raport cu ansamblul variabilelor este continuă în acest punct şi în raport cu fiecare variabilă în parte.

Exemple1. Să se studieze continuitatea funcţiei

f(x ,y ) =l - J l + x2 + y 2 . . .

,daca (x ,y )* 0x2 + y2

0, dacă (x,_y)=0 în punctele (x, y) Φ (0,0) funcţia este continuă ca un raport de două funcţii

continue iar x2 + y2 Φ 0 . în punctul (x, y) = (0,0) avem:

l-^/l + x2 +y2lim/(x,.y) = lim

(x ,y)-> (0 ,0) (* .r ) - » (0 ,0 ) X + y

= lim -------17-1 ~i f :2+ z !L = = -1 * 0 = /(0,0);l , 'y H ( 0'0) ( x 2 + y 2 )(l + yjl + x2 + y 2 2

deci funcţia dată nu este continuă în origine.

151

2. Să se studieze continuitatea funcţiei

f(x ,y) =xy~ — ~r j dacă (jyO Φ 0

x + y 10, daca (x ,y) = 0.

2 2

Pentru a calcula lim / (x, y) observăm că:(* ,y )—>(0,0)

I 2 2|Lx — _y|0 < |/(x, _y)| = Ixyl-L-r-----f < Ixyl iar de aici urmează că

'x +ylim f(x,y) = 0 => lim f(x, y) = 0 = /(0,0) adică f este continuă în (0,0).

(λγ,>)-»(0,0) (x ,y )—>(0,0)

3. Derivate parţialeFie f :A<zR2 şi (xo^o) un punct interior lui ADefiniţie Funcţia f(x*y) este derivabilă parţial în raport x în punctul (xotKo)

dacă:lim f(x ,y0)-f(xo,yo)

x~>*o X - Xq

există şi este finită. Vom nota această limită cu / ' (x0, y0 ) sau ■ ■ - 0’ ■ şi o

vom numi derivata parţială de ordinul întâi în raport eux a funcţiei f(xjO în punctul (xo^o)· în mod analog spunem că f(x,j) este derivabilă în raport cu y în punctul (x0tyo) interior lui A dacă:

lim —f ( xo;,yo) exişti şi estc finită.y->y0 y - y 0

Notăm şi în acest caz limita de mai sus / ' (x0, y0 ) sau — _°’ 0 şi o vomây

numi derivata parţială de ordinul întâi în raport cu y a funcţiei f(x,>0 în punctul (x0,y0). Din definiţia derivatelor parţiale rezultă că pentru a calcula derivata parţialăf x în punctul (x,y) se derivează f(x,>0 ca funcţie de o singură variabilă considerândpe y constant. Analog se calculează derivata parţială f y{x,y) în raport cu yconsiderând pe y constant.

Definiţie Fie / :Ac.R 2 -*R derivabilă parţial în raport cu x respectiv y, oricarear fi (x,;y)e A . Dacă derivatele parţiale f x(x,y) şi f y(x,y) definite pe A sunt larândul lor derivabile parţial în raport cu x şi y, derivatele lor parţiale se numescderivatele parţiale de ordinul doi ale lui f şi se notează (fx)x = fxi(x,y) sau cucealaltă notaţie152

d_dx

r d f {x>y )dx

d 2f ( x , y )dx2

y) sau _ d 2f ( x , y ) „· . .dy

2 şi derivatele parţiale mixte:

(f'(r ν~Λ _ r" (r v\_ 9 fd/(x,y))_d2/(x,y)

(Λ * >’)) =/" ( χ „)=Â f § Q ^ L i V i M l

Exemplu Calculaţi derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei f :R2 —> R, f(x, y) = ln(x2 + y2) (x,y)* (0,0).Avem

2x . r , . . . a _ 2y /,(*> y ) - 2 , ,.2 ’ fy(X’ y) — 2 2 ’

_ 2 (x2 + y2) - 4 x z _ 2 ( / - ^ ) .2 „ 2 -,

f s ( x , y ) =(x2 + y 2J (x2 + y 2f ’

f r v ) .2 (x 2 + y2) -4 y 2 _2(x2- y 2). f ’ l(X'y )~ (x2 + y2J ~ V ^ T ’

f y ) = ( f x 1 =/ 2 * Λ

x2 + y24xy

V + y ' JŞi

/«(*> y ) =' 2y ' ^ 2 + /

= 7 , ■—"to i se observă că f xy(x,y)= f (x,y) egalitate ajx Ve +y /

derivatelor parţiale mixte de ordinul doi care în general nu este valabilă decât în condiţiile criteriului:

Criteriul lui Schwarz. Dacă funcţia / : A c ä 2- ) ä are derivate parţiale mixte de ordinul doi într-o vecinătate V a punctului (x0, y0)e A şi dacă sunt continue în (xoO’o) atunci are loc:

fxy{Xo>yo)=fyx(Xo>yo)·

4. Diferenţiala funcţiei de două variabileFie funcţia / : A c R2 - » R şi (xolVo) un punct interior lui A

153

Definiţie Funcţia fCxjO este diferenţiabilă în punctul QcoJ’o) dacă există două numere reale A şi μ şi o funcţie co:A~>jR continuă şi nulă în (xoj'o) (cu(x0, yQ)= O), astfel încât:f(x , y) - f(x 0,y0) =λ(χ-Χο) + μ ( γ - y0) + co(x, y)p(x, y) ,

unde p(x,y) = f ix -x o )2 +(y - y0)2 ·

Teoremă Dacă / : A c.R2 - » Æ este diferenţiabilă în punctul (x q ,)^ ^ atunci

admite derivatele parţiale de ordinul întâi în {x0,y0), f x(x0,y0), f y(xο,^ο) Şi

plus A = f x(x0,y0), μ = f'y(x0,y0) .Pentru demonstraţie, fixăm y = y0 şi x î x a astfel că (x,;y)e A Avem f{x ,y0)- f(x 0,y0) = Mx-Xo) + co(x,y0)p(x,y0) şi

/<*,i t M . λ+ω(Χ: ) k ^ l .x - x 0 X-Xo

Trecând la limită pentru x —> x0 obţinem:

lim /(*>yo)~/(*Q..y_o.) _ ^ ( Xoj-yo) = deoarece lim ω (χ ,y0) = co(x0,y 0) = 0 *->•*0 X- Xq

Analog pentru x=x0 y * y0 se obţine f y(x0y0) = μ .Deci dacă f(x,y) este diferenţiabilă în (xoô) putem scrie:

f(x ,y )- f(xo ’ y<>) = /Λχο^ο)(χ - χο)+f y(xo’ yo)(y-yo)+0)(x’ y)P(x’ y)·Teoremă Dacă f(xj>) este diferenţiabilă în (x0ly0) atunci este continuă în (x0ly0)·

într-adevăr f(x,y) fiind diferenţiabilă în (xoj’o) avem:f(x, y)- f(x 0,y0) = fx(xo>yο ) ( χ - χ ο) +f y (*o> yo)(y ~yo)+ω ( χ > y)P(x> y) ■Dar

lim ω(χ,>') = ω(χ0,^0) = 0 şi lim p(x ,y) = 0 .(i j HK.Jo) U.yHUo.yo)Rezultă că lim ,[f(x, y )~ f(x0, y o )]=0 sau

lim J (x ,y ) = f(x 0,yo),U.yHl o.yo;

ceea ce exprimă continuitatea funcţiei f(x,>>) în punctul (xoô).Teoremă (fară demonstraţie) Dacă / : A ç R2 —>R admite derivate parţiale

f x(x0, y0) Şi f y(xo> Jo) continue în (xoj'o), atunci f este diferenţiabilă în (xoj'o).

Definiţie Fie / :Α ς Λ 2 —> R diferenţiabilă în (xoj’o), interior lui A. Se numeşte diferenţiala funcţiei f(x·^) în punctul (xoô) funcţia liniară:

df(x, y-,x0, y0)= fxixo- >'οΧχ -·ιο)+ fy(xo,yoïy- yo)·

154

Expresia de mai sus a diferenţialei se mai poate scrie şi altfel punând

<p(x,y)=x, y/(x,y)=y şi deci ^ - = 1 , ^ = 0 ,^ - = 0 , ^ = 1.dx dy dx dy

Astfel diferenţialele celor două funcţii în baza definiţiei se vor scrie: df(x, y,x0,y0)= f x(x0,y0)dx + f y(x0, y0)dy.

într-un punct oarecare {x,y) avem:

4f = f x(x,y)dx + f'y(x,y)dy sau df =^-dx + ÿ-d y,dx dy

pornind de la expresia ultimă a diferenţialei df putem defini operatorul de diferenţiere

d0 = ^ -dx+ ^dy.

Definiţie Fie / : A ς; R2 —> R şi (xoiVo) un punct interior lui A, Spunem că f admite diferenţială de ordinul n în (xo^o) dacă toate derivatele parţiale de ordinul n-1 există într-o vecinătate a punctului (xovVo) şi sunt diferenţiabile în (xoiVo)·

Diferenţialele de ordin superior se definesc în mod recurent prin relaţiadnf=d(d"-lf ) ,

din care se obţin succesiv diferenţialele de diverse ordine după cum urmează:

^ dxn +Cln-?-n{ - - dxn-ldy + ... + Ckn - —f -T dxn-kdyk dxn dxn-ldy dx dy

+ ... + C" —^-dy"," By"

sau concentrat cu ajutorul operatorului de diferenţiere:

dnf = 9 , ä J— dx + ~ d y dx dy

în care (n) înseamnă ordinul de diferenţiere care formal este asemănător dezvoltării binomului lui Newton.

Exemplu. Fie funcţia f :R 2~*R f{x ,y ) = -Jx2 + y2. Să se calculeze df şi df2. Avem:

155

2deci:d/ _ x W _ y

V ^ + ÿ 1 ’ 3)1 V ^ + ÿdf = ~ d x + f~dy =..= J L ^ · tic + ■■,·■------ dy = ■■ .■ ■■■ ------ (x<£t + y<iy ) Derivatele

ax * ' ^ ^ 7 7 7 7 7 7 V T + ÿ1parţiale de ordinul doi sunt:d2f _ y 2 d2f _ x2 Θ2/ _ xy

3 ? > + , 2Γ a / > +/ r a- ^ => v r

32/ = 7— - — w * 2 “ 2 7— 301 w dxdy + -,— ί — rrr<6>2 «(r ’ +,■»)* («2 +/ f (x2 + / f

1(y2i&2 -2xydxdy + x2dy2)=-.--------- ^-(ydx- xdy)' ' ! * > * > \/-t

5. Funcţii de n variabileFie A c i?" şi / : Ac. R". Valoarea funcţiei într-un punct x = (xl,x2,..jcn)e A o

notăm f(x) sau f(xi,x2,..jcn). Spunem că funcţia / este o funcţie reală de variabilă vectorială x sau o funcţie reală de n variabile reale xj,x2,...xn.

Exemple1. Funcţia de eficienţă cost sau beneficiu într-o problemă de programare liniară în care vectorul program este x' = (x,,x2 iar vectorul costurilor unitare sau albeneficiilor unitare c = (cl,c2,-..cn), este:

n/(x ,, x2 ,...x„ ) = CX = c,x, + c2x2 +... + cnx„ = £ C jXj

J=1adică o funcţie de n variabile xx > 0, x2 > 0,...xn > 02. Funcţia cost total al transportului într-o problemă de transport este

m n

f ( x l l ’ x l 2 ’ ' " x m n ) = c l l x l l + C 12X 12 + — + c m n Xmn ~ Σ ^ j C l JXt J 'M j . I

xij > 0, cij >0, 1 £ î < m, 1 j < n,adică o funcţie à& p-m -n variabile.

în cele ce urmează vom prezenta succint extinderea de funcţii de n variabile a noţiunilor introduse în cazul particular al funcţiei de două variabile.

Definiţie Fie x0 = (·χί\χ2σ,...χΛ0)ιιη punct de acumulare al mulţimii A q R".Spunem că le. R este limita lui/în punctul x0 dacă pentru orice vecinătate V a lui

156

/ există o vecinătate U a lui x0 astfel încât oricare ar fi xeU f]A să avem / (* )6 V .Vom scrie:

lim / (x) = lim f(x l,x2,...xn)= l.x2-*x°

Definiţie Fie xe. Aç,Rn şi f :A -> R Funcţia /este continuă în punctul xu dacă lim f(x) = /(Xq) astfel scris

x-*x0

lim /(x„x2, f(x°x,x02,...x°n)jr—>JT| χ2~*χϊ

Se mai spune că/este continuă în raport cu ansamblul variabilelor sale.Definiţie Funcţia f :A Q R n->R este continuă în punctul

x0 = (x,0, x2° ,...x° ) e A în raport cu componenta x-, dacă funcţia de o variabilă / (x° ,x2° ,...Χι_°, xi,x°_l,...x°') are limita f(x0) în punctul x x·,0

Propoziţie Dacă fimcţia f :AQRn ->R este continuă x0e A în raport cu ansamblul variabilelor, atunci ea este continuă şi în raport cu fiecare dintre variabile. Reciproca acestei propoziţii nu este adevărată.

Definiţie Fie f :A ç ,R n—>Ro funcţie de n variabile f(xi,x2,...xn) şi fie x0 = (x°,x2 ,..jcn°)un punct interior lui A. Spunem c ă / are derivată parţială în punctul (x°,x2 în raport cu variabila x-, dacă:

lim există { este finită Li itan O **,->*< Xj - Xj

însăşi poartă numele de derivată parţială a funcţiei / în raport cu x-, în punctul (x°,x2°,...xn°) şi se notează:

f'xy x,x2°,...x°n) sau ,

Avem şi aici derivate parţiale de ordin superior analog cu cele de ordinul doi..n

Astfel derivata parţială de ordinul k = i a funcţiei / de ordinul k în raport cu;=i

x\, de ordinul k2 în raport cu x2, ... de ordinul k în raport cu xn este:

157

dkf(x x,x2 , . . j tH) _ w

Definiţie Dacă funcţia f :A ^ R n de « variabile admite derivate parţiale de ordinul întâi într-o vecinătate V a punctului (x° ,x f ,...x°) continue în (x°,x2° ,...xn°) , atunci funcţia / este diferenţiabilă în acest punct şi diferenţiala sa este:

<vU · ** ···■< )= (*, - ,· )+ )+

(■*„ ~ *°)

Punând χ·Γα\=άχι, diferenţiala se poate exprima cu ajutorul operatorului de diferenţiere:

j 3/ j df j df jd = - —dxx + -— dx2 +... + - — dxn\dxx dx-, dx„

sau

df{x Γ, V )= £ V ( * f , x2° )' s

Diferenţiala de ordin it> la funcţiei / se defineşte recursiv printr-o relaţie asemănătoare

d * / = 4 * ‘ ' 7 )sau:

<**/(*!% *2 +^ ~ + "* + " /(Χ10’ Λ20. " ^ )

unde la fel ca la funcţia de două variabile exponentul k semnifică dezvoltarea formală a sumei din paranteză după regula binomului lui Newton înmulţirea apoicu f(x°, x2° ,...x°n ) fiind de asemenea formală. Astfel pentru k = 2 avem:

d2f -df j df

1 +'" +5Ţ3 V j 2 32/ . 2 32= —f â , +... + —-,-dx: dx2x 1 dx] "

a 2/dxxdx2

dxxdx2 +

f f f + —2 _ / ...dxxdxn + 2——-— dx2dx3 +... + 2—— ^— dxn_xdxndxxdxn dx2dx3 dx„_ xdx„

6. Extremele funcţiilor de două variabileFie A q R2, f-.AçzR şi (a,fo)e A.

158

Definiţie. Punctul (a,b) se numeşte punct de maxim local dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât f{x, y) < f(a,b )pentru orice punct (λ, y)sV . Analog punctul (a,b) este un punct de maxim local dacă f(x ,y)> f(a ,b ) pentru orice (x ,y)eV .

Aceste puncte se numesc extreme locale ale funcţiei fPropoziţie. Dacă funcţia / are derivate parţiale într-un punct de extrem (a,b)

interior mulţimii A atunci derivatele parţiale ale lui / se anulează în acest punct adică:

f x(a,b) = f y(a,b) = 0 .Pentru demonstraţie să considerăm funcţia f|(x)=f(x,b) definită pe mulţimea Af, ={jte R/(x,b)e Ă\. Funcţia f| admite un extrem local în punctul x=a, deci/, (a) = 0 . Dar

/;<„)=l i m Æ i b j W , . / > w*-*» x - a *-»<» x - a

de unde rezultă că f x(a,b) = 0. Analog se obţine f y{a,b) = 0 considerând funcţia

Λ 00 = f ( a > y ) ·Definiţie. Se numeşte punct staţionar al funcţiei fix,y) un punct (a,b) interior lui

A în care f(*,>0 este diferenţiabilă iar diferenţiala sa este nulă dfia,b)=0. în baza acestei definiţii a punctului staţionar deducem echivalenţa:

df(a,b) = f x(a,b)dx + f'y(a,b)dy = 0 <=» f'x(a,b) = f y(a,b) = 0adică putem spune că (a,b) este punct staţionar al funcţiei f dacă funcţia este diferenţiabilă, si are derivatele parţiale nule în acest punct.

Propoziţie Orice punct de extrem local al funcţiei/în care/ este diferenţiabilă, este punct staţionar.

într-adevăr în baza propoziţiei anterioare avemf x(a,b) = f y(a,b)~ 0 deci (a,b) este punct staţionar al funcţiei. Reciproca acesteipropoziţii nu este adevărată, adică există puncte staţionare care nu sunt puncte de extrem, fapt ce rezultă din exemplul următor:Fie funcţia {(x,y)=x2-y2, (x, y)e R2Avem f x(0,0) = 2*|(010) = 0; //0,0) = 2y|(00) = 0; /(0,0) = 0

Funcţia / este diferenţiabilă în punctul (0,0) deoarece derivatele parţiale sunt continue deci (0,0) este punct staţionar.

Totuşi punctul (0,0) nu este punct de extrem. într-adevăr în orice vecinătate a punctului (0,0) funcţia ia atât valori pozitive cât şi negative deoarecef(x,0) = x2 >0>/(0,0) pentru punctele de pe axa Oy şi/(0, y) = - y 2 < 0 < /(0,0) pentru punctele de pe axa Ox. Deci în (0,0) funcţia nu are nici minim local nici maxim local.

159

Stabilirea faptului că o funcţie admite într-un punct un extrem precum şi natura extremului (maxim sau minim) reiese din următoarea teoremă pe care o dăm fără demonstraţie:

Teoremă. Fie A ς; R2, f : A —> R şi (a,b) un punct staţionar al funcţiei f(x,y) interior lui A. Presupunem că pe o vecinătate V a punctului (a,b) funcţia f(x,y) admite derivate parţiale de ordinul doi continue. Notăm

Δ(χ, y ) = (X, y) · f y* (X, y ) - [ f l y (x, y ) J

I. Dacă A(a,b) > 0 atunci (a,b) este un punct de extrem local al funcţiei f(x,y) şi anume:

1° punct de minim, dacă /χ2 (a,b) > 0 ;

2° punct de maxim, dacă f ' t (a,b) < 0 ;II. Dacă A(a,b)<0 atunci (a,b) nu este punct de extrem local. Un astfel de

punct se numeşte şa.III. Dacă A(a,b) = 0 teorema nu poate afirma nimic despre punctul staţionar

(a,b).Exemplu Să determinăm extremele funcţiei / :R2 —» R ţ(x,y) = / + / -2x2 + 4xy -2y2-1.

Determinăm punctele staţionare rezolvând sistemul obţinut prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi în raport cu x respectiv y:

f jx ,y ) = 4x3-4 x + 4y = 0 j jt3-x+ ;y = 0 < fy(x,y) = 4y3 + 4x -4y = 0 {y3+ x - y = 0

=>x3 + y3 =0<=>(jc + y)U 2- r y + >>2) = 0 x+ y= 0 saujc2-x y + y 2 = 0 rezultă y=- X şi x2 -xy + y2 =0 => x,ye C . Pentru y=-x prima ecuaţie ne dă x3 - 2x = 0 —» x(x2 - 2) = 0; jc = Ö sau x = ±V2 . Rezultă punctele staţionare A(0,0); B(-V2,V2);C(V2,-V2). f "x2 (x,y) = \2x2 -4\ f '^{x,y) = l2y2 - 4 ; =4

A(x, y) = (12jc2 - 4)(12/ - 4) -16 .Să analizăm natura punctelor staţionare. Pentru A(0,0) avem:Δ(0,0) = 0 nu avem răspuns, deci nu putem stabili natura punctului A(0,0).Pentru B(-V2,V2) avem:Δ(-λ/2,-\/2) = 384 > 0 deci B(-V2,V2) este un punct de extrem şi anume punct de minim deoarece / 2 (—>/2,42) = 20 > 0.

în mod analog se arată că C(V2,—J2) este punct de minim.

160

7. Extremele funcţiilor de n variabileFie / : A Q Rn - » R o funcţie de n variabile f(xi^2-.jcn). Dacă într-o vecinătate

V a punctului (aua2,...an)s A are loc relaţiaf(x l,x2,...xn) - f ( a l,a2,...an)>Opentru orice x< (x1,x2,...x„)e V atunci (ax,a2,...an) se numeşte punct de minim local, iar dacă f(x î,x2,...xn) - f ( a l,a2,...an)<0 pentru orice x e V , atunci (ΰ],α2,...αη) se numeşte punct de maxim local.

Definiţie Un punct a = (al,a2,...an) se numeşte punct staţionar al funcţiei / dacă:

Λ, (aua2,...an) = 0

f x ax,a2,...an) = 0

f i , (aua2,..xin) = 0Punctul a = (al,a2,...an)e A este punct staţionar al funcţiei dacă f este

diferenţiabilă în a şi df(a)=0.Pentru a determina punctele staţionare ale unei funcţii diferenţiabile

f{xx,x2,...xn) pe mulţimea A q R", se rezolvă sistemul obţinut prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi:

fx M ’XZ’-X n^ 0

f Xn (xx,x2,..jcn) = 0Teoremă Fie a = (al ,a2,...an) un punct staţionar al funcţiei f(x x,x2,...xn) .

Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a lui a = (al,a2,...a„).

Notăm αί} = f'XiXj(av a2,...an), i , j = l,2,...nI. Dacă toate numerele:

Δ, - an ; Δ2 = % α 12 ; Δ3 —Ona 2l

a \2

a 22

a 13

f l23 ,..Δ„ =

aua 21

a1£...a22...

O ln

a 2n

d2l a 22a 3l f l32 a 33

° n l a„2- a nn

sunt pozitive atunci punctul a = (ax,a2,...an) este un punct de minim.

161

Π. Dacă toate numerele - Δ 1,Δ2)-Δ 3,...(-1)"ΔΒ sunt pozitive, atunci punctul a - (ax,a2,...an) este un punct de maxim.

Exemplu. Să determinăm extremele funcţiei f: v2 z2 2f (x ,y ,z ) -x + — +— +—, ,x>0,>'>0, z>0 Ax y z

Sistemul care ne dă punctele staţionare este:

fxix,y,z) = 1 - - J - J - 0 4x

f y( x ,y ,z ) = - 2 - ~ = 0 2x y

f z(x,y,z) = 2— = 0 y z

(HDerivatele parţiale de ordinul al doilea sunt:

Care admite în domeniul dat soluţia

y yf xi(x,y,z) = ; fxyf.x,y,z) = f n(.x,y,z) =0

f'i(x,y,z) = - + ^ r -, f'yz(x,y,z) = - 2 -^ ;/" ,(x,y,z) = 2 y 2 x y y

iar matricea A = (ai} )s,sn în punctul staţionar este: lsysn

- Ayy z j

A =' 4 - 2 0 '

4 - 2- 2 3 - 3 cu Δ, = 4 > 0, Δ2 =0V.

- 2 3- 2 6

= 8 > 0

şi Δ3 =4 - 2 0

- 2 3 - 2 = 32 > 0 deci punctulT J J )

0 - 2 6 l 2 )

strict şi fmin=4.

162

8 - Extreme condiţionateîn studiul diverselor modele matematice de optimizare din economie aşa cum s-a

văzut la problemele de programare liniară şi în cele de transport, trebuie să se ţină seama de unele restricţii (legături, condiţii pe care trebuie să le satisfacă variabilele modelului). Avem prin urmare de considerat aşa numitele extreme condiţionate sau cu legături ale unor funcţii cărora trebuie să le determinăm maximul sau minimul, în cele ce urmează prezentăm pe scurt (fară demonstraţie) metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentru determinarea extremelor condiţionate ale unei funcţii:

Fie / :A c i ? ” -^ f i şi sistemul de p < n ecuaţii:Fi(xl ,x2,..jc„) = 0F 2 ( x 1, x 2 , . . . x „ ) = 0

Fp(xl ,x2,...x„)=0,funcţiile reale Fi,F2,...Fp fiind p funcţii definite implicit tot pe mulţimea A. Extremele funcţiei f i(xl,x2,..-xn) când punctul (xl ,x2,...xn) parcurge numai mulţimea A0 a soluţilor sistemului (1) se numesc extremele funcţiei f condiţionate de sistemul (1) sau extremele funcţiei f supusă legăturilor (1).

Punctele staţionare ale funcţiei f când punctul parcurge numaimulţimea A« a soluţiilor sistemului (1) se numesc puncte staţionare legate sau puncte staţionare condiţionate ale funcţiei f.

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange comportă următoarele etape:1. Se formează funcţia auxiliară de n+p variabile numită funcţia lui Lagrange:

f (x , , x2 ,...xn\λχ,λ 2,..λρ)= f{x Y, x2 ,..jcn )+ AjF, (x ,, x2 ,...xn ) ++ ă2F2 (xx,x2,...xn )+...+ ĂpFp (.x! , * 2 )unde λχ,λ2,..λη sunt p parametri reali care se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

2. Se anulează cele n+p derivate parţiale ale funcţiei F în raport cu xl,x2,...xn , \ ,λ 2,...λη obţinându-se sistemul de ecuaţiiFx, =0, FXi =0,...FXn =0; FA| =F1=0, F^ =F2=0,...FAp =Fp=0 şi se rezolvă acest sistem de n+p ecuaţii cu n+p necunoscute.

3. Fie (r1°,x20,...xn0;A10,A20,...An°) o soluţie a acestui sistem deci punctstaţionar pentru funcţia F. Atunci punctul {x°,x2°,...xn°) este punct staţionar condiţionat pentru f.

Punctele de extrem condiţionat ale funcţiei f se găsesc printre punctele staţionare condiţionate.

163

4. Stabilim care dintre punctele staţionare condiţionate sunt punctc de extrem condiţionat pentru f, considerând semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Fcalculată în punctul xx,x2,...xn şi pentru λ[ =λ{,λ2 =λ^,..Αρ =λ0ρ adică

d2F(x°,x2°,...xn°) care are expresia:

η λ 2 o o o I

d2F = V 3 ^ ■ ^ / ^ . d d x.dxH v H v JiJm, 3xpxj

Dacă d2p{x°,x2°,-..xn°)<0 atunci punctul {x°,x2°,...xn°) este un punct de maxim condiţionat pentru f iar dacă d2F[x°,x2 ,...x°)> 0 punctul (x° ,x2° ,...xn°)este punct de minim condiţionat pentru f.

Exemplu Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei:

ffo j^x+ y cu legătura \ + ~ = , a ,x ,y*0 x y a

( \_ _1___ \ }x! + y2 a2

Fie F(x,y,X) = x + y - k

Aflăm punctele staţionare:

X

9/1F = 1 - - γ = 0 x3 = y3=2Ă ( λ * 0 )

y

' > - 7 +7 - 7 - °

w +w =? 35 w ° ^ (2λ v ^ A=±a! Æ

x, » ( a i ; — aj ï

y i= xù yi - X2 şi punctele staţionare sunt:

M ,(aV2,aV2), M 2(~0V2 ,—α ·^ );

F j = —ţ -> F''2( M , ) = — ; f " 2( M 2) = - — x x4 x 2a x 2a

164

Cercetăm care sunt punctele de extrem:18A(x, y) = — j >0 —> Mi şi M2 puncte de extrem.

4 aPentru a > 0 Mi punct de minim şi M2 punct de maxim. Pentru a < 0 Mi punct de maxim şi M2 punct de minim.

Probleme1. Sâ se determine punctele de extrem pentru funcţia:

f(x ,y) = xz+y2- 4 x - 2 y + 5 f : R 2->R. Rezolvare: Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului:

® W ) = 2 * - 4 = 0ts =»(2,1) punct stationar.y-(x ,y) = 2 y -2 = 0dy

Calculăm: E(x,y) = · d f , λ3 72 (x> y )^ r(x>y)dxdy\

2 r tj2 r pi2 s^ r (X,y) = 2 ; °-φ {χ ,γ ) = 2· l J - ( x ,y ) = 0

=> £(2,1) = 4~02 =4>0=> (2,1) punct de extrem local;

d Vdx

-ÿ- (2,1) = 2 > 0 => (2,1) punct de minim local.

2. Să se determine punctele de extrem pentru funcţia: f(x ,y) = x3+y3-3 x -1 2 y + 4 f : R 2-*R

Rezolvare·. Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului următor: df

----------- 3xz - 3 = 0 L 2 =1. (x,y)=odx^-{.x,y) = ody

A(l,2) B(l,-2) C(-l,2) D(-l,-2) puncte staţionare.

θ2/ 3 7 ,£(*,y)=:^ r r (x>y)-TT(x>y)-

3 7d x d y

Ϋ(x,y)

d x 2 v 8 /

£(1,2) = 6 · 12 > 0 => A(1,2) punct de extrem local;

3 7 ,a r

-(1,2) = 6 > 0 => A(l,2) punct de minim local;

£(1,-2) = 6 ■ (-12) < 0 =* B(l,-2) punct de şa;£(-1,2) = -6 · 12 < 0 => C(-1,2) punct de şa;£ (-1,-2) = -6 -(-12 ) > 0 => D(-l,-2) punct de extrem local;

3 7 ,d x :

-(-1,-2)< 0 => D(-l,-2) punct de maxim local.

3. Să se determine punctele de extrem ale funcţiilor: a) y : i ? 2 —> f{x,y) = 3xy2- x 3-15x-36jv + 9

R: nu are puncte de extremb ) f : R 2->R Ax,y) = (x+y)-e-<xW)

( l A 1 ΛR: A — punct de maxim; B — ,— punct de minim

v2 2 J I 2 ’ 2 fc)/ : R 2 —> R f(x,ÿ) = x3+y3- 6x2 -9 y 2 +9x+\5y+l

R: A(3,5) punct de minim; B (l,l) punct de maximd ) f :R 2—>R f(x,y) = x3 + 3ry2-15x-12j>

R: A (2,l) punct de minim; B(-2,-l) punct de maxime)/ :/?2—>R f{x,ÿ)=x2+y2+xy-3x-3y+5

R: A ( l, l) punct de minim;f) f\ R 2->R f(x,y) = x2 ~y2 + 2 x y -4 x -6 j + 3

R: nu are punct de extrem.

g ) f : R 2->R A x ,y ) = x y + - + -X y

R: A(5,2) punct de minim: h ) f :R 2—*R f(x,ÿ) = x2 - y 1 +4x-2y + 3

R: nu are puncte de extrem

4. Să se determine punctele de extrem pentru funcţia:f (x ,y ,z )= l6 -(x + l)2 - ( y + 2)2 - (z + 3)2 Rezolvare·. Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului:

166

ψ ( χ , γ , ζ ) = Ο αχ^ - ( χ ,γ ,ζ ) = Ο <=> dyÈLdz

(x ,y ,z )= Ο

- 2(χ + 1) = Ο

-2Ο> + 2) = 0

- 2(ζ + 3) = Ο

(-1,-2,-3) punct staţionar

Δι = π ( Η - 2,“3) * - 2<° οχ

Δ2 -(-1 -2 -3 ) | ^ -(- l-2 ,-3 ) j

dxa2/dy3bc

3bcc|y

(-1 -2 -3 ) (-1 -2 -3 ) dy

- 2 0

0 -21= 4>0

0 ( - l -2,-3) = -2 ; (-1,-2,-3) = -2 ; 0 ( - l - 2 - 3 ) = -2 ;

| ^ -(- l,-2 ,-3 ) = 0; (-1,-2,-3) = 0 ; f-f (-1 ,-2 ,-3 ) = 0 ; dxcy dtcdz dydz

Δ3 -

d / ( - 1 - 2 -3) _ 2 _3) —t.. (_i _ 2 -3)a*2 ( ' ăxc^ ’ 5 } a*az( ’ ’ *

|£ (-l,-2 ,-3) 0 ( - l , - 2 , - 3 ) |^-(-l,-2-3)|dydx φ> qydz

| ^ (-l,-2 ,-3 ) | ^ ( - l ,-2 -3 ) 0 ( - l , - 2 , - 3 )dzoc σζσν dz

Δ3 =

- 2 0 0

0 - 2 0

Ο Ο -21

= -8<0 => (-1,-2,-3) punct de maxim

5. Să se determine de extrem pentru funcţia: f(x,y,z) = x2 +y2 +z2-2 x -4 y -6 z

167

Rezolvare: Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului:

Θ*ydyVdzi2

(x,.y,z) = 0

(x,y,z)-= 0 <=>

(x,.y,z) = 0

2x" 2 = 0 x= l2 y - 4 = 0 <=>y = 2 <=>(1,2,3) punct staţionar

2 z -6 = 0 Z = 3

| W ) - 2 ; § f ( W ) = 2 ; f ^ - 0 ; j * - 0 : f £ - 0dx φ> 5z âxdy dydz dzdx

2 0 02 0

= 4 > 0 ; Δ3 = 0 2 00 2

0 0 2

= 8>0Δ, = 2 > 0 ; Δ2 =

=> (1,2,3) punct de minim

6. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiilor: a) fix, y) - x3 + 3xy1 — 15x — 12y Sol. Determinăm derivatele parţiale:

f ’(x,z) = 3*2 + 3;y2 - 15 = 0

f'(x , y ) = 6xy - 12 = 0<=> soluţiile sistemului (punctele staţionare)

" 6 12n Di = 6 > 0

6 /ai cărei minori sunt ^ - - 72 < 0 =>

sunt P , ( l , 2); P2(2, 1); P 3( - 2, - 1); P4( - l , -2 )

C = 6 r ’ fxy = 4 = 6 y /> = 6*

Determinăm matricea corespunzătoare fiecărui punct staţionar:

I) (1,2)

=> nu sunt nici toţi pozitivi, nici cu semne alternante începând cu

=»Pi ( l , 2) -p c t . ş.a.

II) Analog Λ ’,α,ΐ) =

toţi minorii pozitivi P2(2, 1) - punct de minim

168

"12 6 N A = 12 > 06 12V / D2 = 118 > 0

=>

III) Analog obţinem P3( - 2, - 1) - punct de maxim iar P4( - 1, - 2) - pct ş.a.

7. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia: f : R2 R

f(x, y) = x3 + y 3 + 3xy + 2

Soluţie. I) Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului

f x(x, y ) = 0 |3x2 + 3 y = 0

f ( x , y ) = 0 |3y2 + 3jc = 0

j j = - x 2 \y = - x 2 j y = - x 2, <=> 1 „ <=> i <=>

Ix (r+ 1 ) = 0 (-x")2 +x = 0 x4 + x = 0

I y = - X -

Lv(.v3 + 1) = 0 ^ xx = 0 şi x2 = - 1 (soluţii reale).

y x = 0, y 2 = - 1. Aşadar punctele obţinute sunt M ,(0, 0) şi M2( - 1 , - 1 ) .

I) Verificăm dacă sunt puncte de extrem local:

f ‘i (x, y ) = 6x ; f yl (x, y ) = 6y; f xy (x, y ) = 3 = f " (x, y )

Semnul expresiei E(x, y ) = [fxy(x, y ) ]2 - f xi (x , y ) ■ f y2 (x, y ) în punctele M,

şi M , => E(x, y ) = - 36xy + 9,

pt. M] => E(0, 0) = 9 > 0 - pct. ş.a.

pt. Mj => E(0, 0) = - 27 < 0

=> punct de extrem local şi cum / 2 (— 1, — 1) = — 6 < <=> M2( - 1 , - 1 ) - punct de

maxim local.

8. Să se determine extremele funcţiei/ : R3 —> R

J{x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xy + x - 2 z.

169

Soluţie. I) Rezolvând sistemul

/ > 2 x - ; y + l = 0

f '= 2y - x = 0

f ’= 2 z - 2 = 0

_ i ! 3 ’ 3 ’

II) Calculăm derivatele de ordinul II:

/ ;= 2; f~t - 2; / ,; / „ - - l :

= 2; /. /,; o; / ; = / ; = o.

Matricea corespunzătoare este:

A =' / ; 4 /«Λ

fÿx f}- fÿz

f l f y h

' 2 -1 0" D l = 2 > 01 Λ= 3 > 0

' 2-1 2 0 => D 2 => A

~ 3 ’ ~ 3 J0V 0 2y D3 = 6 > 0 v y

este punct de minim.

9. Să se determine extremele funcţiei/ : R2 -» R

/(x, y ) = x4 +y4- x 2 - y 2.

Soluţie:/ = 4λ:3 - 2x 0 j jc(2jcz - ) = 0

f i = 4 y 3 - 2 y = 0 ^ ' ~ - ~ 2I x(2y2 - 1) = 0

170

Obţinem punctele staţionare:

^ (0 ,0 ) ; P2 0 , - 4 =V2

0, - 4 = , o42

142

,0\

Df i n n ( i )42’ 4 i y ’ Ί 4 2 ' 42 y

' 1 1 N Dί 1 1 1vV2 ’ V 2y’ *9

, 4 2 ' 4 2 ,

Verificând fiecare punct dacă este sau nu punct de extrem local, obţinem:

P} - punct de maxim; P2 - punct ş.a.; P3 - punct ş.a.; P4,P5 - punct ş.a.; ΡΊ, punct de minim; P8, P9 - punct de minim.

10- Să se determine punctele de extrem pentru funcţiile: a ) ./ : R 3 ->R

f(x ,y ,z ) = x2 + 2 y 2 +3 z2 + xy + yz + xz- Ί x -\ 2 y ~2\z + 7 R: A(l,2,3) minim

b ) f : R* - >R f (x ,y ,z ) = x 2 + ;y2 + Z2 +xy + z x - 4 x - 4 y - 4 z + 5 + yz

R: A ( l,1,1) minim

c ) / : (0 ,°°)3 -*R f ( x , y , z ) = x + - + — + -4 x y z

R: A (-j,l,l) minim

d)/: R 3 — f(x,y,z) = 2x2 +2y2 +z2 + 2(xy + ,yz + x + y + 3z)R: A(-3,5,-8) minim

e)/ : R 3 ->R/ (x , y, z) = x 2 - y 2 + z2 + xy + yz + zx - 4x + 6y - 4z + 3

R: nu are extreme

11. Să se determine extremele funcţiei f(x ,y) = x2 +y2 - 4 x - 4 y + 5 cu x + y = 3

Rezolvare: Construim funcţia:F(x,y,Ă) =/(χ,γ) + λ(2χ+ γ-3) cu XeR

F(x,y,k) = x2 + y 2 - 4 x - 4 y + 5 + X(2x + y -3 )Punctcle staţionare ale funcţiei F sunt soluţiile sistemului:

dFdxdF_dydFdĂ

(χ,;>,λ) = 0

(x,y,Ă) = 0 <=>

(x,>>,A) = 0

2 χ -4 + 2λ = 0

2y-4+X=Q <=>

2χ + y - 3 = 0

(4 7 6 5*5*5

punct staţionar

Pentru a vedea dacă A

/4 7 n

4 75 ’ 5

este punct de extrem condiţionat pentru funcţia dată,

calculăm d F5 ’ 5

d2F 4 d2F r'4 75 ’ 5 dx2 5 ’ 5

, 2 d2F dx +

d2F ( 4 7 n 0JC2 5 ’ 5

= 2 ;a 2F f 4 7

V

= 2 ;

ί 1 5 ’ 5

32F

. 2 - d 2F ( 4 1 \ , . dy +2-T-T----- ,— \dxdydxdy4 75 ’ 5

= 0

5 5= 2i/x2 + 2dy2

Diferenţiind legătura obţinem: 2dx + dy = 0=$dy = -2 dx

^ d 2F\ - ,4 75 5

'4 71 5 ’ 5

= 2dx2 +8dx2 =\0dx2 >0

punct dc minim condiţionat.

12 Să se determine punctele de extrem condiţionat pentru funcţia:/ : Ä3 —> R f(x,y,z) = jc2 + >’2+z2 + ;ry + )'z + zx + A,cu* + ;y + z= 3 Punctcle staţionare ale lui F sunt soluţiile sistemului:

dFdxdFdydFdzdF_dX

{x,y,z,X) = 0

(x,y,z,Ă)- Q

(x,y,z,X)~ 0

\x,y,ztX) = 0

<=>

2x+y+z+X=Q

2y + x + z + A = 0

2z + y + x + X = Q

x + y+ z=0

=* (1,1,1,-4) punct staţionar.

Pentru a vedea dacă (1,1,1) este extrem condiţionat calculăm î/2F(1,1,1)

172

dxd2F(\,1,1) = ζζ·(\χ\)άχ2 + ζζ -( ΐχ \ W +^£(1,1,1 )dz2 +

dy dz2

+ 2 ţf( lX l)d x d z + 2 ţ f ( l X l )dxdy + 2~(iX \)dydz dxdz dxdy dydz

d2F d2F d2F-(1,1,1) = 2 ; ^£-(1,1,1) = 2 ; ^ (1 ,1 ,1 ) = 2 ;dx2d2F

(U,i)=i; 4-?·0,1,1) = 1 ; 4 ^ ( 1 ,U )=1dxdyv / dxdzx ' ’ dydzd2F( 1,1,1) = 2 dx2 + 2dy2 + 2 dz2 + 2 dxdy + Idydz + 2 dxdz Diferenţiind legătura obţinem: dx + dy + dz = 0=> dz = -dx - dyd2F( 1,1,1) = 2dx2 + 2dy2 + 2dz2 + 2dxdy + 2dx(-dx - dy) ++ 2dy(-dx - dy) = 2dy2 + 2(dx2 + dy2 + 2dxdy) - 2dxdy - 2dy2 =Idy2 + 2dx2 + Idxdy > 0Deci (1,1,1) punct de minim condiţionat.

13.Să se determine punctele de extrem condiţionat pentru funcţiile:a) f :R 3->R f(x ,y ) = xy cux + y = l

R: A2 ’ 2

maxim condiţionat

b )f :R 3 —)R f(x ,y ,z )-xyz cux+y +z = 3 R: A (1,1,1) maxim condiţionat

c) f :R 3->R f(x ,y ,z ) = x + 2 y - 2 z cux2+y2 + z2 - 1 6 (4 8 8 Ï . .maxim condiţionatR: A

3 3 3( 4 8 8^B - —, - j , j j minim condiţionat

d) f :R 3->R f(x,y,z) = x + y + z cu~ + - + - = lx y z

R: (3,3,3) minim condiţionat.

173

CAPITOLUL ΙΠ

MODELE LINIARE ŞI NELINIARE DE AJUSTARE A DATELOR EXPERIMENTALE

§ 1. Ajustarea datelor experimentale prin metoda celor mai mici pătrate

Se ştie că în general un fenomen economic este deosebit de complex, el depinzând de mulţi factori a căror influenţă determină modelarea sa matematică printr-o funcţie de mai multe variabile. Astfel dacă aceşti factori sunt X, U,V,... atunci avem de considerat o dependentă pe care analitic o scriem:

Y=f(X,U,V,...) (1)unde cu Y am notat mărimea care măsoară evoluţia fenomenului economic

(mărimea economică) cercetat, mai exact modelul matematic al acestei evoluţii.Evoluţia fenomenului luat în studiu este observată din punct de vedere

practic (experimental) obţinându-se şiruri de date care constituie informaţii asupra fenomenului în desfăşurarea lui concretă.

Aceste date ne furnizează informaţia asupra legăturii dependenţei sau legităţii obiective (1) ce există între variabilele independente ale fenomenului , ceea ce din punct de vedere matematic revine la găsirea dependenţei funcţionale, a formei analitice, a legăturii. Evident că datele observate comportă atât erori accidentale datorate impreciziei măsurării cât şi a erorilor sistematice datorate unor defecţiuni sau dereglări în procesul de măsurare.

în cele ce urmează vom considera numai cazul a două mărimi variabile X,Y în care se studiază dependenţa existentă între aceste mărimi exprimată analitic printr-un model de forma:

Y=f(X) (2)care să descrie cât mai fidel fenomenul cercetat şi care să servească la un studiu aprofundat făcând posibile unele previziuni asupra evoluţiei fenomenului.

în cazul modelului (2) observaţia asupra evoluţiei practice a fenomenului se concretizează prin obţinerea experimentală a perechilor de valori observate (xjj',) a variabilelor independente X respectiv variabila independentă Y care în cazul a n determinări ne permite să alcătuim tabelul:

X X, X2 · ■ Xi ... x„Y yi y2 ■ y> - y n

al datelor experimentale.înţelegem prin a descrie cât mai fidel fenomenul cercetat, obţinerea unor

diferenţe cât mai mici între valorile observate yt corespunzând valorilor observate jc, şi valorile f(xj care sunt ordonate punctelor curbei de ecuaţie y = f(x).

Notăm cu Ei aceste diferenţe şi avem ε,· =y-f(xi).Această situaţie este ilustrată în fig. 1 :

174

în care M^x^y) este punctul observat, Pi(xhf(x)) este punctul de pe y = f(x) de abscisa observată *, şi ordonata f(Xi),

ε, = MiP, = MiQi - PiQi =yt -f(xj)Una din problemele importante în modelarea fenomenelor economice este

aceea legată de aşa numita adecvare a modelului matematic ales adică de tipul de funcţie ce trebuie adoptat care să fie conform cu evoluţia fenomenului cercetat. Această adecvare se face având în vedere unele ipoteze privitoare la legea de desfăşurare a fenomenului respectiv, cât şi pe baza studiului poziţionării şirului de puncte observate Mi(xuyd în plan. Aceste observaţii ne furnizează indicaţii asupra trendului adică asupra tendinţei de desfăşurare (de evoluţie) a fenomenului cercetat.

O altă problemă ce se pune după ce tipul modelului a fost ales, este aceea a procedeului matematic de determinare a parametrilor α,β,δ... existenţi în model, pe baza datelor observate, model care se scrie în general:

Y=F(X, α,β,γ.) ( 2 ’ )

Procedeul matematic folosit este aşa numita metodă a celor mai mici pătrate care constă în determinarea acelor valori ale parametrilor α,β,γ... din funcţia f(X, α,β,γ...) astfel încât suma pătratelor diferenţelor ε,· = y,· - y, ' să fie minimă, adică

2

Σ ε <2 = 5 > ί - Λ ) ’ “ ί > ι - / ( * , . a , / 3 . r ~ . ) ] = minim. ( 3 )i=l i=l i=l

Se urmăreşte deci minimizarea sumei ^ ε , 2 ceea ce revine la găsirea acelorvalori ale parametrilor α,β,γ... adică a acelei dependenţe f(X) al cărei grafic să treacă cel mai aproape de punctele observate (x;.y); altfel spus, din familia de funcţii f(X;α,β,γ..) de acelaşi tip ales, să determinăm pe aceea care este cea mai concordantă cu datele observate, adică cea care descrie cel mai veridic fenomenul

175

cercetat stabilindu-i trendul adică evoluţia ulterioară cea mai probabilă.Problema formulată în (3) este o problemă de extrem al unei funcţii de mai

multe variabile.Aflarea valorilor parametrilor α,β,γ... ai modelului f(X;α,β,γ...) care descrie

legătura dintre mărimile variabile X şi Y pe baza observaţiilor (x^yj poartă numele de ajustarea datelor experimentale(x » y ) după curba de ecuaţie Y =f(X;α,β,γ...).

în cele ce urmează valorile numerice obţinute pentru parametrii α,β,γ... sau cum se mai spune estimaţiile parametrilor α,β,γ... le notăm cu α*,β*,γ*... iar modelul ajustat (funcţia f ajustată) se scrie:

Y* =f(X; α*,β*,γ*...).în continuare vom efectua ajustarea datelor experimentale pe diverse

modele ca cel liniar, parabolic, polinomial etc.1. Modelul liniar. Să considerăm modelul liniar de forma

Y - a + βΧ, (4)a şi β fiind parametri reali ai modelului pe care îi vom determina pe baza

datelor experimentale ce constau în n perechi de valori observate (xuy i) prin metoda celor mai mici pătrate.

Din condiţia de minim a sumeirt n ^

S(a,ß) * Σ εΐ = Σ ^ '· adică a sumei:/=! i=l

S(.a,ß) = { y ,- ( a + ßxt)] .i=l

Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului de ecuaţii:

dads = 0 sau

[ - 2 5 > , - ( a + M =0 [ - 2 5 > i - ( a + /fc,)]=0

sau (5)

W

η<χ+βγι χι = Σ ^ ·

> Σ * . + 4 Σ Χ - Σ ™ ·Sistemul (4) poartă numele de sistemul ecuaţiilor normale ale lui Gauss,

necunoscutele fiind a ş i β şi care rezolvat ne dă estimaţiile α*,β*.Aplicând formulele lui Cramer găsim:

(6)

Σ*. η Σ*a* =Σ*λ ■; ß*=Σχι Σ*λ

Σ*ι Σχ> Σχ<· Σχ·2în care determinantul de la numitor x,2 - ( ^ x , )2 Φ 0 pentru a fi asigurată

176

compatibilitatea sistemului.Punctul (α*,β*) este un punct de minim pentru funcţia S(a,ß). într-adevăr:

Dreapta de ajustare sau modelul ajustat va fi conform cu (4):Y*= a*+ß*X

Obs.l° Un caz simplificator este acela în care se operează astfel cu datele observate xt astfel încât ^ jc,· = 0 . Sistemul (5) devine:

Obs. 2. Sistemul (5) al ecuaţiilor normale se poate obţine şi altfel, fără a mai pomi de fiecare dată de la minimizarea prin metoda celor mai mici pătrate. Vom aplica un procedeu mnemonic după cum urmează:

Scriem relaţia yi=a+ßxi (8) care exprimă ordonata punctului Pt de pe graficul de ecuaţie y -f(X) (flg. 1). Sumăm în (6), înmulţim (6) cu xt şi iarăşi sumăm şi obţinem sistemul:

care este tocmai sistemul (4) al ecuaţiilor normale.

Menţionăm că această regulă mnemonică o vom folosi în mod curent şi la celelalte metode pe care le vom studia în continuare.

Obs. 3. în problemele aplicative când cunoaştem şirul de observaţii concrete (x^yj pentru aflarea coeficienţilor sistemului (5) sau pentru aplicarea formulelor (6) organizăm calculele într-un tabel ca cel de mai jos:

(7)

=ηα + β Σ χ ι= α Σ * ;+ 0 Σ * '2

177

yt xf* * Λ*y, = α + β x. £i=yi -y't e f= (y ,-y ,Y

(1) (2) (?) (4) (5) (6) (7)* 1 λ * 1 * 1 y\ =α*+ /3*χ, £i -y\ ει

* 2 y2 x\ x2y2 y2 = a + ß ‘x2 ez=y2-y'i el

yn x 2 xny« y η =α+β*Χη e, =y* -y . ε 2η

n1

nΣ λ

1

nΣ χΐ\ 1

± ‘î=±(?,-yj1 ι·\

Este clar că un tabel corespunzător de calcul se alcătuieşte pentru cazul oricărui model de ajustare cu modificările ce se impun.

Coloanele (5) - (7) din tabelul precedent figurează pentru a putea calcula înn

coloana (7) suma Vi~yi)2 a pătratelor abaterilor valorilor ajustatei=l

yi -a * + ß * x i de la valorile observate yh a cărei mărime dă indicii asupra calităţii ajustării, în sensul că ea trebuie să fie mică. Această sumă prin comparaţie cu cea obţinută printr-o ajustare după altă curbă (alt model matematic) ne permite să optăm asupra modelului căruia îi corespunde valoarea cea mai mică a acestei sume.

Exemplu: Studiind evoluţia unui indicator economic, anual, timp de 7 ani s- au găsit următoarele mărimi ale acestuia:

(Xj) anii 1 2 3 4 5 6 7(yO indicatorii 3 4 6 6 8 9 10

Să se ajusteze datele după o dreaptă şi să se precizeze nivelul indicatorului pentru anul următor.

Rezolvare:Pentru uşurinţa calcu

(Aii) aniielor rc -3

:scrien-2

ί datei -1

e sub j 0

orma:1 2 3

(yi) indicatorii 3 4 6 6 8 9 10

Ecuaţia dreptei de ajustare este: Y=a+ßX, parametrii a şi β fiind determinaţi din sistemul de ecuaţii normale ale lui Gauss:

178

ηα + /3Σ *;= Σ */ί=1 /=!

. 1=1 /=! ί=1

Aranjăm calculele în tabelul următor:

hy> y,=a+fc « f - W

-3 3 9 -9 3,03 -0,03 0,0009-2 4 4 -8 4,21 -0,21 0,0041-1 6 1 -6 5,39 0,61 0,37210 6 0 0 6,57 -0,57 0,32491 8 1 8 7,75 0,25 0,06252 9 4 18 8,92 0,08 0,00643 10 9 30 10,10 -0,10 0,0001

7 7 7 — 45,97 0,03 0,7710Σ χ<~ Σ * » i > ? = /■I

=0/•I

=46Μ

28 33Sistemul devine:

7a = 46 46 - 33*=>a =— , β = — 28/? =33 7 28

_ . , . , . . „ 46 33 vEcuaţia dreptei de ajustare va fi: / = — + — X7 28 (1)

Nivelul indicatorului cercetat pentru anul următor se obţine pentru X= 4 în ecuaţia (1), deci

+ 4 = M = ” = 1 , , 3 .7 28 7 7 7

2. Modelul parabolic. Vom considera acum modelul parabolei de grad doi şi anume:

Υ^α+βΧ+γΧ2 (9)cu parametri α,β, şi /reali. Pentru obţinerea sistemului ecuaţiilor normale vom folosi de asemenea metoda celor mai mici pătrate minimizând suma

S(a,β,γ) = Σ [y, -(.a + ßx'+yxf] .i=l

179

ß*=-Σ χ^

Σ > Γ

Σ χι2λ ” Σ χ? Σ λ

_β- ^ ,2

Σ * ? - Σ * ;ι=1 /*1

Aplicând regula mnemonică adoptată scriem yl - a + ßxi +yxf (13) pe

care o sumăm apoi înmulţim succesiv (13) cu x, şi x] şi sumăm, obţinem astfel sistemul (10) al ecuaţiilor normale, într-adevăr avem:

Σ * =η<χ+β 'Σ χι +γ Σ χΐ

Σ*' =αΣ χ> +0Σ*<2 +υΣχ? Σ χ^ ι = a 'Z x‘ + ^ 'L x‘ + υ Σ χΙ

Pentru obţinerea efectivă a soluţiei sistemului simplificat (11) alcătuim şi în acest caz un tabel pentru organizarea calculelor:

Nr. Xi yi xf x-.yi χ ϊ x t1 2 3 4 5 6 71 Xi y i x f xiyi x \ x t

η y . x 2n x«yn x i x t

Σ χ< Σ* Σ χ? Σ χ<* Σ χ> Σ χ>

181

xfyt y; = a +ß-xi+ 5'xf ε <= yi - y*8 9 10 11

• * Λ* £*♦ 1y x - a +p X|+d Xj e,· =y\-y\ ε,2 =G,i - y * ) 2

x\yn • * « * c* * 2yn = a +β χ„+δ xn ε» = (νπ - λ )2

2 * y , - - Σ £?=Σ ^ -> (7Observaţii. în aplicaţiile concrete după ce am obţinut valorile sumelor din

tabelul pentru organizarea calculelor le înlocuim în expresiile care dau valorile estimaţiilor α* , β*, γ* adică în formule ca (6), (7) sau (12), sau în sistemele de ecuaţii normale ca (5), (10) sau (11) obţinând sisteme numerice în necunoscutele α, β, γ pe care le rezolvăm.

Exemplu. Să se ajuste (*i)

ze dup -3

>ă o pa -2

rabolă-1

datele0

dinţa1

jelui i 2

rmător3

(Vi) 6 5 3 2 4 5 7Rezolvare:Ecuaţia parabolei de ajustare este:y = a + βχ+γχ2, iar parametrii reali α , β, γ se determină din sistemul:

ηα + β ^ χ , + y ^ x f ^ y ,(=1 (=1 1=1

« Σ * ' +ρ Σ χϊ +υΣ χϊ =Σ * » *i=l7

i=l7 (=17 (=17

yiαΣ χ<+ Σ χ< +υΣ χϊ =Σ χι. (=1 i=l ί=1 1=1

Organizăm calculele în tabelul următor:y. X1ΛΙ x3 A xfy ,

-3 6 9 -27 81 -18 54-2 5 4 -8 16 -10 20-1 3 1 -1 1 -3 30 2 0 0 0 0 01 4 1 1 1 4 42 5 4 8 16 10 203 7 9 27 81 y ' 21 63

7Σi=l

0 32 28 0 196 4 164

182

Λ =α* + ß*x,+Y*xf Il ss 1 V — *

«* =(y, - y ' ) 26,27 -0,27 0,07294,29 0,71 0,50413,1 -ο,ι 0,012,9 -0,9 0,813,43 0,57 0,32494,86 0,14 0,01967,1 -ο,ι 0,01

31,95 0,05 1,7515

Introducând valorile calculate în sistemul de ecuaţii obţinem:

7a+ 28y =32 |-(-4)28y =4 ^ β = —

2 8 α + 196y =164

j - 2 8 a - 1 2 r = -.2 8 361 2 8 « + W , =164 - γ - 7 S. « = T

/ 84y = 36

Ecuaţia parabolei de ajustare va fi:

Κ = 2 0 + Ι χ + 1 χ 2.7 7 7

*/ y·xi

' _ r

, x‘ .

2 1—yt*i• a . o*Λ =—+0Xi

yi-y\ h-yif

1 1 1 1 1 1,88 -0,88 0,772 4 0,5 0,25 2 5,46 -1,46 2,133 7 0,33 0,11 2,33 6,75 0,25 0,06254 8 0,25 0,06 2 7,4 0,6 0,365 9 0,20 0,04 1,8 7,79 1,21 1,36ΐ

Σi.l15 29 2,28 1,46 9,13 29,28 -0,28 4,68

183

X .1 = 2,283; 2 ^ 1 = 1,463; £ Λ = 3 4 ,7 6 6 ; =63/»IM */ /«l Xi i=l Xi

a · 2,283 + b · 1,463 = 34,766

α·5 + 6·2,283 = 63

5 = 6,0866 = 14,266:

/ (λ) = 6,086 + 14,265

Prognoza consumului de combustibil pe anul următor este:

/ (6 ) = 6 ,0 8 6 + 1 ^ · = 8,463.6

4. Ajustaţi după o dreaptă datele:

*i 1 2 3 4 5200 190 180 170 172

R: =>

Σ x‘ = 15 1=1

=9121=1

Σ x,y t = 2660 . (=i

5. Ajustaţi după o dreaptă datele de observaţie:

â = -7,6 b = 205,2/(*) = - 7,6 *+205,2

Xi -3 -2 -1 0 1 2 3y\ 2 5,10 9 13,5 24,5 17 19

R: 5 = 2,15; 0 = 12,87 / (λ) = 2,15*+ 1,87.

187

6. Volumul vânzărilor pe primele cinci luni de zile ale anului la un articol de uz casnic (în milioane lei) e dat în tabelul de mai jos:

Luna Ianuarie Februarie Martie Aprilie MaiVolumulvânzărilor

8 9 10 10,2 • 11

Să se stabilească funcţia de ajustare a vânzărilor şi să se stabilească prognoza pe luna iulie a volumului vânzărilor.

R: f (x) = âx + b unde 5 = 0,22 şi b = 8,03 /(*) = 0,22*+8,03 /( 3) = 0,22-3+ 8,03/(4) = 8,69 prognoza volumului vânzărilor pe luna iulie.

5Se face o translaţie a originii şi ^ x , =0

/=t

Xi -2 -1 0 1 2y\ 8 9 10 10,2 11

188

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

§ 1. Câmp de evenimente, câmp de probabilitate.1. Concepte de bază

Unul din conceptele de bază ale teoriei probabilităţilor este noţiunea de experienţă aleatoare prin care se înţelege orice experiment cu rezultat întâmplător, .adică rezultat influenţat de factori întâmplători (aleatori). Vom nota cu <fjţ>rice experienţă aleatoare. Rezultatul întâmplător al unei experienţe aleatoare/, se numeşte.rezultat posibil sau caz posibil sau încă eveniment elementar şi îl notăm cu ώ.

. Mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unei experienţe aleatoare se numeşte spaţiul cazurilor posibile sau spaţiul evenimentelor elementare şi-l notăm cu <32.

.A Y f i n u t a g -fiL ·

Exemple 1°. Experienţa aleatoare £ care constă în aruncarea o singură dată a unei monede, conduce la spaţiul:

Ω = {ί,ν}prin s şi v înţelegând evenimentele elementare: al apariţiei stemei, respectiv al apariţiei valorii.

2°. Experienţa^" a aruncării simultane a două monede conduce la spaţiul Ω:Ω = {m ,sv,vj,vv}

prin prin sv exemplu înţelegând cazul posibil al apariţiei stemei la primul zar şi al valprii la al doilea zar.

3°. Experienţa^" a aruncării unui zar, conduce la spaţiul Ω:Ω = φ „ ω 2,ω 3,ΰ>4,ω 5,ω 6}

unde ω ,,ϊ = 1,6 reprezintă evenimentul elementar (cazul posibil al apariţiei feţei cu i puncte.

14°. Experienţei aleatoare £ care constă în aruncarea simultană a două zaruri i se asociază ca spaţiu al evenimentelor elementare mulţimea:

Ω = {(/, 1 < * < 6,1 < y < 6} i fiind numărul de puncte apărute la primul zar, iar j numărul de puncte apărute la al dçilea zar.

5°. Experienţa aleatoare £ care constă în alegerea la întâmplare a unui număr natural conduce la spaţiul:

Ω = {1,2,3,...n,...}.6°. în sfârşit,experienţei aleatoare £ care constă în alegerea Ia întâmplare a unui

număr real pozitiv, i se asociază spaţiul Ω care este un interval mărginit sau nu al axei reale: Ω = (θ,°°)

CAPITOLUL IV

189

Se observă că spaţiul Ω corespunzător fiecăreia din primele patru experienţe aleatoare este finit. în cazul experienţei aleatoare de la exemplul 5°, spaţiul Ω este infinit numărabil,iar spaţiul Ω de la exemplul 6° este infinit nenumărabil.

Din cele de mai sus se remarcă faptul că orice mulţime poate fi considerată ca spaţiul Ω al cazurilor posibile (evenimentelor elementare) punând în corespondenţă biunivocă elementele mulţimii cu rezultatele posibile ale unei experienţe aleatoare convenabil aleasă.

în cazul unei experienţe aleatoare cu un număr finit n de cazuri posibile vom sc r ir

Ω = {»1,ω 2,..Λ>π},

unde ω, 6 Ω este un eveniment elementar i = l,n.în cazul când Ω este infinit numărabil cu o infinitate de cazuri posibile scriem:

Ω = {aj1,û)2,<a3 e Ω ,ι = 1,2,...Observaţii. Trebuie remarcat faptul important că orice experienţă aleatoare ^se

soldează cu un singur rezultat (caz) posibil şi numai unul, altfel spus rezultatul unei experienţe aleatoare este un singur eveniment elementar ω şi numai unul alspaţiului Ω.

In teoria probabilităţilor se operează cu evenimente pe care le definim cu ajutorul evenimentelor elementare ale spaţiului Ω corespunzător unei experienţe aleatoare Le numim evenimente compuse sau simplu evenimente. Prin eveniment compus înţelegem orice situaţie (enunţ) legată de experienţa aleatoare £, despre care în urma experienţei aleatoare se poate spune că s-a realizat sau nu (că enunţul este corect sau fals).

Exemple. 1° în exemplul 2° al experienţei aleatoare căreia îi corespunde spaţiul Ω = {5s,5v,v5,vv}, situaţia care constă în faptul că rezultatul primei aruncări este identic cu rezultatul celei de a doua este evenimentul compus notat cu A = {îî, vv} adică evenimentul care se realizează fie când se realizează evenimentul elementar {ss}, fie când se realizează evenimentul elementar {vv}.

Se vede că A = {ss, vv} este o parte (o submulţime) a spaţiului Ω.2° în exemplul 3° al experienţei aruncării cu zarul enunţul: apariţia unei feţe cu

un număr par de puncte reprezintă evenimentul A = {ω2,ο>4,ω 6} care este de asemenea o parte a lui Ω = ^olto)2,(03,œ4,ω5,ω6}.

Prin urmare evenimentul A conform enunţului, este mulţimea cazurilor posibile ω pentru care enunţul este corect adică:

A = {ω e Ω / enunţul este corect}.

190

în general putem spune că un eveniment compus A legat de o experienţă aleatoare este o parte a lui Ω şi se scrie:

unde evenimentele ω (. ,<u(j ,..xoit care îl realizează pe A (intră în componenţa lui A) se numesc evenimente favorabile lui A. Dacă în urma experienţei aleatoare se realizează evenimentul elementar ω favorabil lui A, aceasta înseamnă că se realizează A. Evenimentele compuse legate de o experienţă aleatoare vor fi notate cu litere mari A,B,C... şi le vom numi evenimente aleatoare sau pe scurt evenimente.

întregul spaţiu al evenimentelor elementare Ω va fi numit evenimentul sigur, deci în interpretarea ca eveniment, Ω este evenimentul sigur şi se notează şi el tot cu Ω. Evenimentului sigur Ω îi este favorabil orice eveniment elementar (orice caz posibil al experienţei aleatoare/.

Evenimentul căruia nu îi este favorabil nici un eveniment elementar deci care este vid de evenimente elementare se numeşte eveniment imposibil şi se notează Φ ca şi mulţimea vidă.

Justificarea acestor denumiri şi notaţii este evidentă: evenimentul sigur are loc la orice realizare a experienţei aleatoare iar cel imposibil nu are loc în nici o realizare a experimentului.2. Relaţii şi operaţii cu evenimente

întrucât aşa cum am arătat evenimentele aleatoare sunt submulţimi de evenimente elementare, adică mulţimi, relaţiile cât şi operaţiile cu evenimete sunt cele de la mulţimi: incluziunea, reuniunea, intersecţia, complementarea, diferenţa etc.

Implicaţia. Spunem că evenimentul A implică evenimentul B sau că B este implicat de A, dacă B se realizează de fiecare dată când se realizează A şi scriem:

Ac.BAltfel spus realizarea lui A atrage după sine realizarea lui B. Mai spunem în accepţia asamblistă a evenimentelor că mulţimea evenimentelor elementare favorabile lui A este inclusă în mulţimea evenimentelor elementare favorabile lui B. Avem evident pentru orice eveniment A:

adică evenimentele A şi B sunt egale sau echivalente.O proprietate pe care o au numai evenimentele elementare este aceea că un

eveniment elementar nu este implicat de nici un alt eveniment.Vom intoduce acum câteva operaţii cu evenimente prin intermediul cărora se

pot forma noi evenimente cu evenimentele date. Aceste operaţii corespund construcţiei de enunţuri complexe pe baza unor enunţuri simple date, cu ajutorul operaţiilor logice de disjuncţie, conjuncţie şi negaţie.

Reuniunea. Fie A şi B două evenimente asociate aceluiaşi spaţiu Ω. Reuniunea evenimentelor A,B se notează A u B şi reprezintă evenimentul care constă în

191

realizarea fie a lui A fie a lui B, astfel spus evenimentul care constă în realizarea cel puţin a unuia dintre evenimentele A,B.

Evenimentul A u B se citeşte A sau B şi este deci:Α υ 5 = { ω εΩ / ω ε Asaucoe ß}.

Operaţia de reuniune are proprietăţile:Α υ β = δ υ Λ , Α υ ( β υ 0 ) = ( Α υ β ) υ 0 ; Α υ Ω = Ω ;ΑυΦ = Α;

A u A = A ,A u 5 = A dacă B c A.Intersecţia evenimentelor A,B este evenimentul notat A n B care constă în

realizarea simultană a evenimentelor A şi B şi este mulţimea evenimentelor elementare favorabile şi lui A şi lui B. Intersecţia A n B se citeşte A şi B şi deci

A n B = {coeQ/coe A ş iiu e i?} .Intersecţia A n B are proprietăţile:A n ß = f in A ,A n ( f in C )= (A n ß )n C ;A n Q = ß ;A n O = φ ;

A n A - Α ,Α η Β = A dacă f i c A Evenimentele contrare (opuse). Fiecărui eveniment A îi corespunde contrarul

sau opusul său A notat şi Ac a cărei realizare constă în ne realizarea lui A. Evenimentele A şi A se zic evenimente contrare. Avem:

Ac = A = {iue Ω/üJg A}, mulţimile de evenimente elementare favorabile fiecăruia fiind coplementare faţă de Ω.

Sunt variabile relaţiile: (a c )f = A; A u Ac = Ω; A n Ac = Ω, ΩΓ = Ω;.

Dacă A c B atunci Ac z>Bc\(Av B J = Ac n B c\{AnB j =Ac u B c.Evenimente compatibile şi incompatibile. Două evenimente A şi B se numesc

compatibile dacă se pot realiza simultan adică dacă există evenimente elementare favorabile atât lui A cât şi lui B. Rezultă că pentru două evenimente A şi B compatibile putem scrie Α ηΒ Φ φ. în cazul când evenimentele A şi B nu se pot realiza simultan ele se numesc evenimente incompatibile astfel spus mulţimile de evenimente elementare favorabile lui A respectiv lui B sunt disjuncte. Scriem pentru evenimentele A şi B incompatibile Α η Β = φ. în particular, două

evenimente contrare sunt incompatibile şi avem A n A c = Φ; A u Ac = Ω .Diferenţa A \ B a evenimentelor A,B este evenimentul a cărui realizare constă în

realizarea lui A şi nerealizarea lui B deciA\B = A n B c

Dacă B a A atunci A\B = A.

Exemplu Dacă considerăm experienţa aleatoare care constă în aruncarea unui zar o singură dată, atunci Ω constă din numerele întregi i, 1 4} atunci:

192

A u B = {/ este par sau i > 4}= {2,4,5,6},A n B = {i este par şi i > 4}= {4,6},

Ac = {/' este impar}= {l,3,5},Bc = {/ < 4}= {1,2,3}, A \ B = {2}.Rezultă din cele de mai sus o reprezentare a evenimentelor şi operaţiilor în limbajul teoriei mulţimilor ilustrată în tabelul următor:

Nr Limbajul evenimentelor Limbajul mulţimilor Notaţii1 Evenimentul sigur Mulţimea totală Ω2 Evenimentul Imposibil Mulţimea vidă Φ3 Contrariul lui A Complementara lui A A = A c4 A implică B A este conţinut în B A c B5 „A sua B” Reuniunea lui A şi B A u B6 „A şi B” Intersecţia A şi B A n B7 A,B incompatibile A,B disjuncte A n B = Φ8 A,B compatibile A,B nedisjuncte Α η Β * Φ

Având în vedere dualitatea de limbaj ilustrată în tabelul de mai sus, vom exprima figurativ cu ajutorul diagramelor lui J.Wenn corespondenţele din tabel.

Mai general reuniunea a n evenimente Ai,A2,...An notatăn

Αχ u A j u . . .u A n =i^jA· este evenimentul care constă în realizarea cel puţin aH

unuia dintre evenimentele Ai,A2,...A„ şi constă din acele evenimente elementare favorabile cel puţin unuia dintre evenimentele Ai,A2,...An.

nAvem: u A, = {ω 6 A,, sau ω e A2 sau...sau ω e A }.i=lSimilar reuniunea unui şir infinit de evenimente Ai,A2,... notată

193

A, u Α2 υ . . . = ^Α ,· este evenimentul care constă în realizarea cel puţin a unuia ßl

dintre evenimentele A i,A2,... Deci:

uA,· ={<ye Ω /tue A{ sau coe A2sau...}.

De asemenea intersecţia a n evenimente A1,A2,...An notatăn

A, n A2 n ... n An = A,· es*e evenimentul care constă în realizarea simultană ai»

tuturor evenimentelor Ai,A2,...An şi îi sunt favorabile evenimentele elementare favorabile şi lui Ai şi lui A2 şi lui A„, deci:

QA;. ={ωε Ω Icoe. A1 şi cue A2 $7...ωε An}.Aceeaşi definiţie rămâne valabilă pentru un şir infinit (A,· )ßl de evenimente astfelcă:

Q A ={ß)e Ω Icoe Aj şi coe A2 şi coe A3...}.

în ceea ce priveşte compatibilitatea evenimentelor, spunem că evenimentele A|,A2,...A„ sunt incompatibile în ansamblul lor (în totalitate) dacă suntincompatibile două câte două adică At n A - = 0 , i Φ j , i, j - 1, n. Aceeaşi definiţiese extinde şi la cazul unei infinităţi numărabile de evenimente.

Definiţie·. Un sistem de evenimente A],A2,...An incompatibile în totalitate se numeşte sistem complet de evenimente dacă reuniunea lor este evenimentul sigur:

—_ nAi n A , = 0 i Φ j , i, j = l,n , şi u A, = Ω . Cu alte cuvinte, înseamnă că în

1=1

experienţa aleatoare cel puţin unul dintre evenimentele incompatibile Ai,A2,...An se realizează cu certitudine.

Definiţie·. Spunem că evenimentele Ai,A2,...A„ constituie o partiţie aS ____

evenimentului A, dacă u A; = A şi Ai r\ A ■ = Φ ίΦ j, i, j = 1, s .i‘=lRezultă că un sistem complet de evenimente este o partiţie a evenimentului

sigur Ω.în particular două evenimente opuse formează un sistem complet de evenimente

deoarece A n Ac = Φ şi Α υΑ °= Ω .Observaţie. O legătură între operaţiile de reuniune, intersecţie şi

complementaritate cu evenimente, este dată de relaţiile lui De Morgan dintre mulţimi:

f « \C η ( n \Cu A f k=1 = r>A* Şi*=1 n A k

4=1 y= l k c ;k=\

unde A i,A2,...A„ sunt evenimente asociate unei experienţe aleatoare/.

194

Exemple1°. Care este spaţiul Ω al evenimentelor în cazul experienţei aleatoare care

constă în a scrie un număr de două cifre distincte alese la întâmplare dintre cifrele1,3,4,?

Rezolvare.Spaţiul Ω = {13,14,31,34,41,43}, numărul evenimentelor elementare fiind

Al = 6 .

2°. Experienţa aleatoare: se extrag simultan şi la întâmplare două bile dintr-o urnă cu 3 bile albe şi 2 bile negre.

Care este spaţiul Ω?Rezolvare. Notăm cu aba2,a3 bilele albe şi cu nh n2 bilele negre.

Evenimentele elementare ale experienţei aleatoare sunt: extragerea bilelor a/ şi a2 pe care o notăm simbolic cu Ω = { . . . } (aha2) şi (a,,a3); (ahn,); (a,,n2)\ (a2,n,)\ (.o2,n2); (a3,n,)\{a3n2)\ (n,,n2). Numărul cazurilor posibile este C\ =10.

3°. Dintr-o urnă cu 3 bile albe şi 2 bile negre se extrag la întâmplare douăbile.

a) Se consideră evenimentele:A) - obţinerea a două bile negre;A2 - obţinerea cel puţin a unei bile albe;A3 - obţinerea unei singure bile albe;A4 - obţinerea unei singure bile negre;A5 - obţinerea o două bile roşii.Folosind definiţiile precizaţi pentru fiecare eveniment dacă este aleator,

sigur, imposibil, elementar sau compus.b) Să se regăsească rezultatele de la punctul a) folosind mulţimile de

evenimente elementare.Rezolvare, a) Α 1,Α2,Α3,Α4 sunt evenimente aleatoare deoarece la o efectuare

a experienţei (o extragere) oricare dintre ele se poate sau nu se poate realiza. De exemplu, dacă rezultatul experienţei este (α/,α2), Ai nu s-a realizat, dar dacă rezultatul experienţei este (nhn2), Ai s-a realizat, unde am notat bilele ca în problema precedentă.

Evenimentul A5 este imposibil, Ai este elementar deoarece se realizează numai prin rezultatul (tii,n2).

Ă2 este eveniment compus deoarece se realizează prin mai multe rezultate posibile: (a,,a2); (a2,a3); (a2,n2) etc.

A 3, A4 sunt evenimente compuse; A5 nu este nici elementar nici compus.b) Avem A{ = {(n,,n2)} eveniment aleator elementar.A2 = {{^,a2\(al,a3),(a,,nl ),(al ,n2),(a2,a3),(a2,nl),(a2,n2),(a2, n2 ), (a3 ,nl),(a3, n2 )}eveniment aleator compusA3 = {(al,nl),(al ,n2),(a2,nl),(a2,n2),(a3,nl),(a3,n2)} eveniment aleator

compus.

195

Α» ={(«ι.0ι ) . ( « ι .α2)-(ηι>α3)-(η2·αιΧ(Μ2>ΰ2)-(η2·α3)} eveniment aleator compus.

4°. Se consideră evenimentele Ai,A2,A3,A4 din problema precedentă. Să se precizeze perechile de evenimente egale, perechile de evenimente compatibile, incompatibile, contrare, perechile de evenimente la care primul implică pe al doilea.

Rezolvare. A3=A4 deoarece obţinerea unei singure bile albe (realizarea lui A3) implică obţinerea unei singure bile negre (realizarea lui A4) şi reciproc.

Sunt compatibile perechile de evenimente (A2,A3); (A2,A4); (A3,A4) deoarece se pot realiza simultan.

Sunt incompatibile perechile (A/,A2), (Aj,A3), (Aj,A4) deoarece (respectiv) nu se pot realiza simultan.

Sunt contrare Aj şi A2 deoarece obţinerea a două bile negre (realizarea lui Aj) face imposibilă obţinerea cel puţin a unei bile albe (realizarea lui Â2) şi reciproc.

Relaţiile A3 c A4 şi A4 c A3 sunt imediate. Relaţia A3 c A2 rezultă din incluziunea dintre mulţimile de evenimente elementare ataşate.

5°. Se controlează calitatea a cinci produse. Fie A evenimentul ca cel puţin unul dintre produse să fie defect şi B evenimentul ca cel mult două din produse săfie defecte. Ce înseamnă evenimentul A şi B ?

Rezolvare: A este evenimentul ca toate produsele controlate să fie bune, iar B este evenimentul ca cel puţin trei produse să fie defecte.

6. Din şirul primelor 100 numere naturale se alege la întâmplare un număr. Fie A evenimentul ca numărul ales să înceapă cu cifra 1 ; B evenimentul ca numărul ales să se termine cu cifra 2. Ce înseamnă A\B?

Rezolvare·. Avem A\B= A nB deci numărul natural ales trebuie să se termine cu orice cifră diferită de 2.

7. Din şirul primelor 2000 de numere naturale se alege la întâmplare un număr. Fie A evenimentul ca numărul ales să fie divizibil cu 2; B evenimentul ca numărul ales să fie divizibil cu 3 ;C evenimentul ca numărul ales să se termine cu cifra 0. Ce reprezintă evenimentele:

a )C n {A u B \ b) (A n f i ) u C, c) (An b )kj( a n C ) ?Rezolvare', a) Numărul natural ales trebuie să se termine cu zero şi să se

dividă prin 2 sau prin 3 sau prin 6.b) Numărul natural ales trebuie să se dividă prin 6 sau să se termine cu 0.c) Numărul ales trebuie să se dividă prin 6 (se realizează în acest caz A n B ;

sau să se termine cu 0 se realizează în acest caz A n C ; sau să se dividă cu 6 şi să se termine cu 0.

196

Se observă însă că într-o clasă foarte largă şi importantă de cazuri repetându- se o anumită experienţă de un număr mare de ori, frecvenţa apariţiei evenimentului A maifestă o anumită stabilitate adică ea diferă rareori în mod esenţial de un anumit număr pozitiv constant. Un exemplu cunoscut şi adesea citat în literatura de specialitate în care stabilirea frecvenţelor poate fi intuită este următorul: să considerăm experienţa aruncării unei monede, aproape omogenă, în urma căreia se pot produce două evenimente A apariţia stemei şi A apariţia banului şi ne fixăm atenţia asupra apariţiei stemei (evenimentul A). Să repetăm de n ori experienţa şi fie m numărul de apariţii efective ale stemei. Frecvenţa experimentul lui A este conform definiţiei

nDoi cercetători de seamă din istoria probabilităţilor Buffon şi Pearson, au

ajuns după efectuarea unui număr mare de astfel de experienţe la următoarele rezultate:

Numărul de probe n

Numărul de apariţii m

Frecvenţa relativă

fM)Buffon 4 040 2 048 0,5080Pearson 12 000 6 019 0,5016Pearson 24 000 12012 0,5005

Tabelul de mai sus arată că în măsură ce n creşte, frecvenţa relativă a evenimentului A oscilează în jurai mărimii V2-0,5.

Se presupune că odată cu creşterea lui n ea se apropie tot mai mult de V2 adică devine stabilă. Deci într-un număr mare de experienţe, evenimentul aleator A apare aproximativ în 50% din cazuri adică măsura şansei de realizare a evenimentului A este egală cu ‘Λ. Considerând acum experienţa aruncării unui zar omogen, fie A evenimentul apariţiei feţei cu şase puncte de exemplu, asupra căruia ne îndreptăm atenţia. Dacă vom repeta această experienţă de un număr mare de ori se poate deduce că, frecvenţa relativă a evenimentului A oscilează în jurul mărimii Vg=0,1666 aşa cum rezultă din tabelul :

Numărul de aruncări

n

Numărul de apariţii ale evenimentului A

m

Frecvanţa relativăfM)

50 5 0.1000100 13 0.1300500 88 0.1760

1000 159 0.15905000 822 0.1666

198

Un rezultat analog se poate obţine dacă ne referim la oricare din celelalte cinci feţe care apar la aruncarea zarului.

Cele descrise în exemplele precedente ne conduc la concluzia că în general în cazul linei experienţe repetate având drept rezultat un eveniment oarecare A, există o mărime constantă în jurul căreia oscilează frecvenţele relative ale evenimentului A şi de care se apropie din ce în ce mai mult odată cu creşterea numărului n al probelor. Această constantă pe care o notăm cu Ρ(Λ) şi care reprezintă estimaţia cantitativă a posibiliţilor apariţiei evenimentului A, adică măsoară şansa de realizare a evenimentului, se numeşte probabilitatea evenimentului A. Probabilitatea evenimentului A este o caracteristică intrinsecă a sa în timp ce frecvenţa sa în diversele serii de experienţe concrete este numai o manifestare întâmplătoare a acestei caracteristici constante, care exprimă o legătură bine determinată deci specifică dintre condiţiile în care are loc experienţa de masă şi evenimentul aleator A. Probabilitatea P(A) reflectă structura obiectivă a experienţei însăşi în care se observă evenimentul A. Valoarea ei este strâns legată de condiţiile experienţei de masă şi se modifică îndată ce se modifică aceste condiţii.

Ca valoare numerică aproximativă a probabilităţilor Ρ(Λ), poate fi luată frecvenţa f n (A) obţinută după un număr mare n de experienţe efectuate în aceleaşi condiţii. Precizia unei astfel de măsurări empirice a probabilităţii creşte odată cu numărul experienţelor.

4. Definiţia axiomatică şi clasică a probabilităţiiDin punct de vedere filosofic, probabilitatea unui eveniment aleator este o

măsură a gradului de posibilitate a acelui eveniment, grad de posibilitate care merge de la valoarea 0 (pentru evenimentul imposibil) până la valoarea 1 (pentru evenimentul sigur). Pentru un eveniment aleator A, 0 c A c Ω, probabilitatea lui A aşa cum am arătat în paragraful precedent va trebui să reflecte stabilitatea asimptotică a frecvenţei relative a lui A într-un număr arbitrar de mare de repetări independente ale experimentului căruia A îi este asociat. Ţinând seama de proprietatea 3° a frecvenţei relative f n{A) , rezultă că probabilitatea evenimentului A u B trebuie să fie egală cu suma probabilităţilor lui A şi a lui B. Prin urmare, probabilitatea va trebui să posede o proprietate de aditivitate pentru evenimente incompatibile.

Aceste considerente nematematice au influenţat definirea conceptului matematic de probabilitate. Să considerăm mai întâi cazul în care spaţiul evenimentelor elementare Ω este finit sau numărabil infinit. în acest caz vom considera ca evenimente asociate lui Ω toate submulţimile lui Ω. Să notăm clasa acestor submulţimi (părţi) cu f i (Ω).

Observăm οάβ(Ω ) satisface în mod banal următoarele proprietăţi:(kj) Ωε Ρ(Ω)

199

(k2) Ai,A2,...g f i (Ω) implică u A, e f i (Ω)iäl(Äj) A e f i (Ω) implică Ace fi(Q)în acest caz mulţimea părţilor f i (Ω) ale lui Ω care este mulţimea tuturor

evenimentelor legate de un experiment aleator asociat spaţiului Ω şi .care satisface condiţiile ki)-k2 ) se numeşte câmp de evenimente asociat spaţiului Ω şi se notează prin dubletul (Ω ^ (Ω)). Proprietăţile ki)-k3) se numesc axiomele câmpului de evenimente.

Exemplu de câmp de evenimente. Se consideră experienţa aleatoare de extragere a unei bile dintr-o urnă care conţine patru bile albe numerotate 1, 2, 3, 4 şi o bilă neagră numerotată cu 5.

a) Să se scrie câmpul de evenimente ataşat acestei experienţe.b) Câte evenimente sunt în câmp.c) Să se scrie evenimentele elementare.d) Să se scrie implicaţiile dintre evenimente.Rezolvare.a) Câmpul este {Ω, Κ}= {Φ, {k}, {/, {/, j,k},{i,j,k,l},{i,j,k,l ,m}} unde

i,j,k,l,m iau independent valorile de la 1 la 5 dar cu restricţia că în cadrul unei grupe toţi indicii să tie diferiţi, iar două grupe cu acelaşi număr de indici să difere prin cel puţin un indice. Am notat cu {k\ extragerea bilei cu numărul k; evenimentele de forma {i,j},{i,j,k},^,j,k,l} arată că am extras sau bila i sau bila j (i*j) etc. iar [i,j,k,l,m}= Ω reprezintă evenimentul sigur.

b) Câmpul de evenimente se compune din:1 + Cj + Cj + C5 + C5 + C| = (l +1)5 = 25 evenimentec) Evenimentele elementare sunt:{1}.{2},{3},{4},{5}d) {l}c {l,2},{l}c {1,3},{l}c {1,4},{l}c {1,5},{l}c {1,2,3},...{2 } c {1,2}, {2}c {2,3},{2}c {2,4},{2}c {2,5}

{l,2}c {1,2,3}..

{l,2,3,4}c {l,2 ,3,4,5}iar evenimentul imposibil 0 implică oricare eveniment.Prin probabilitate pe f i (Ω) vom înţelege o funcţie P care asociază fiecărui

eveniment Ae f i (Ω), un număr P(A) care satisface condiţiile:(Pl)P(A)>0, (V )A efi(Q )(ρό Ρ(Ω) =7

200

(Pi) p (u Af )= £ P(Aj) oricare ar fi evenimenteleiii

A,,A2...€ f i (Ω) incompatibile în ansamblul lor.Cele trei condiţii de mai sus pe care le satisface probabilitatea unui

eveniment A se numesc axiomele probabilităţii. Ultima relaţie (p3) ne arată că probabilitatea P este complet aditivă. Să observăm că din proprietatea de aditivi tate completă rezultă mai întâi luând At = 0 , / £ 1 că P ( 0 ) adică probabilitatea evenimentului imposibil 0 este egală cu zero, apoi At = 0 , i > n rezultă că:

\ n, = £ P ( A , ) , oricare ar fi evenimentele Ai,A2,—A„ incompatibile în) i=i

ansamblul lor. Ultima relaţie ne arată că probabilitatea P este şi finit aditivă. Tripletul (Ω, <Ρ(Ω), P) se numeşte câmp de probabilitate ataşat unui eveniment aleator căruia îi este asociat spaţiul Ω finit sau infinit numărabil.

O probabilitate P pe <Ρ(Ω) poate fi construită după cum urmează. Fie p(i) numere nenegative de sumă 1 puse în corespondenţă biunivocă cu evenimentele elementare ω, ale lui Ω. Definim Ρ(ω ,) = p(i) şi pentru un eveniment Ae f i (Ω) punem:

P(A) = 5 > ( o( i lai f iA)

Se vede imediat că P este într-adevăr o probabilitate în sensul definiţiei date mai înainte. Reciproc, orice probabilitate P pe Ρ(Ω) poate fi construită ca mai sus luândp(i)-P(a>) .

în cazul particular când Ω = {ω,,ΰ)2,...,ΰ)η} luănd p(i) = P(coi) = — şin

scriind A = ω η u û j,2 u ...u co im unde ncoik = Φ j± k şi 1< i,< i2<..< im< n, probabiltatea lui A va fi

P(A) = P(coi{ )+ p(û), )+... + P ( w J = - + - + ...+ - = -1 2 " η η η n

T Jdem ori

Rezultă că în cazul Ω finit, probabilitatea oricărui eveniment A este:n, n _ nr.even.elementare din A _ nr. cazurilor favorabile lui Ar\A) —

nr.total de ev. elementare nr. tuturor cazurilor egal posibile Aceasta este aşa numita definiţie clasică a probabiltăţilor care după cum

vedem este aplicabilă în condiţii deosebit de restrictive.Cazul particular considerat poate fi materializat printr-o urnă conţinând n

bile care diferă între ele numai prin culoare. Este natural atunci să presupunem că

probabilitatea extragerii oricăreia dintre ele este — . Dacă în urnă avem nt bile den

201

culoarea i, 1 < / < r, n , = n atunci probabilitatea extragerii unei bile de culoarea ii '= l

va fi egală cu — . Să observăm că atât experimentul aruncării monedei cât şi cel al n

aruncării zarului sunt cazuri particulare ale evenimentului extragerii unei bile dintr-o urnă de tipul celei descrise. în primul caz n=2, ni=n2~l culorile 1 şi 2 corespund stemei, respectiv valorii. în cel de al doilea caz, n-6, n!z=n2=n3=n4=ns=n6=l, culorile 1,2,3,4,5,6 corespund celor şase feţe ale zarului.

în cazul în care Ω este o mulţime infinit nenumărabilă nu este întotdeauna posibil să luăm ca evenimente asociate lui Ω toate părţile sale, întrucât se poate întâmpla să nu existe nici o probabilitate pe β(Ω). Ieşirea din această dificultate se bazează pe suprimarea calităţii de eveniment unor submulţimi ale lui Ω. Vom considera că evenimente numai elementale unei clase K de submulţimi ale lui Ω care satisface (1), (2), (3) în care β(Ω)&$\.ζ înlocuită cu K (evident aceste condiţii nu vor mai fi acum satisfăcute în mod banal).

Vom avea deci:β ,)Ω e K(kz) A i,A2, ... e K implică u A ^ K

î>1(k3) AeK implică Ac € KŞi în acest caz, clasa K de părţi ale lui Ω care satisface condiţiile k|) - k3) se

numeşte câmp de evenimente asociat spaţiului infinit nenumărabil şi se notează cu dubletul (Ω,Κ). Proprietăţile (kţ)-(k3) se numesc axiomele câmpului de evenimente.

O probabilitate pe K va fi prin analogie cu cazul infinit numărabil sau cu cazul finit, o funcţie P:K —> R care asociază fiecărui eveniment Ae K, un număr P(A) ce satisface condiţiile:

(pi) P(A) >0 (V) A e K(P2) Ρ(Ω) =7(Pi) ( v ) 4 , λ 2 . . .e * ·

fèlincompatibile între ele. Alegerea câmpului K este o problemă care se rezolvă de la caz la caz în funcţie de specificul experimentului şi de posibilitatea de a defini o probabilitate pe K.

Să observăm că Ω c=<PeK şi dacă AhA2,...e K, atunci A,c,A|,...e K , deci

u A f e K . Una din regulile lui Morgan implică apoi că n A( = |u A fJ € K .

Aceste observaţii erau evident banale în cazul K= P (Ω). Se poate arăta că în cazul general K* Ρ(Ω) aditivitatea completă a probabilităţii P implică aditivitatea finită.

Tripletul (Ω,Κ,Ρ) se numeşte câmp de probabilitate şi stă la baza

202

construcţiei teoriei probabilităţilor.Observaţii. Am văzut că orice evenimente împreună cu probabilităţile lor, cu

care operăm în diverse probleme au la bază un câmp de evenimente (Ω,Κ) respectiv un câmp de probabilitate (Ω,Κ,Ρ), câmpuri pe care nu le mai menţionăm de fiecare dată, ele fiind subînţelese.

5. Probabilităţi geometrice. Să preusupunem că am dispune de un procedeu prin care putem alege la întâmplare un punct din intervalul [a,b] al axei numerelor reale. în plus vom presupune că acest procedeu ne asigură că nu există porţiuni privilegiate ale intervalului [a,b] înţelegând prin aceasta că oricare ar fi două subintervale de aceeaşi lungime este la fel de probabil ca punctul să cadă într-unul din subintervale ca şi în celălelt. Deci dacă am folosi de mai multe ori procedeul pentru a alege un număr mare de puncte, acestea vor fi distribuite aproximativ uniform în intervalul [a,b), adică nu vor exista puncte din [a,b] în vecinătatea cărora punctul ales să cadă sistematic mai des decât în vecinătatea altora. Din cele spuse reiese că probabilitatea ca punctul ales să cadă într-un subinterval al lui [a,b] dinainte ales, depinde de lungimea acestui subinterval nu şi de poziţia sa în interiorul intervalului [a,b]. Această afirmaţie ne conduce pe baza proprietăţilor enunţate mai înainte la concluzia că probabilitatea ca punctul ales să cadă într-un anumit subinterval este proporţională cu lungimea intervalului.

Se poate observa analogia cu definiţia clasică a probabilităţii în sensul că dacă considerăm evenimentul A care constă în faptul că punctul ales cade în intervalul [c,d] unde [c,d](z[a,b], mulţimea punctelor intervalului [a,6] reprezintă mulţimea cazurilor posibile (şi avem motive să le considerăm egal posibile) ale experienţei, iar mulţimea punctelor intervalului [c,d],mulţimea cazurilor favorabile evenimentului A. Este deci natural să luăm probabilitatea acestui eveniment egală cu raportul dintre lungimile celor două intervale:

P(A) =~~~~ b -aîn particular, probabilitatea ca punctul ales să coincidă cu un anumit punct

dinainte stabilit este zero, deoarece este natural să considerăm că este vorba de un eveniment cu un caz favorabil dintr-o infinitate de cazuri posibile. Această observaţie ne permite să nu ţinem seama când lucrăm cu probabilităţi geometrice, dacă intervalele sau subintervalele care intervin sunt închise sau deschise. în plus întrezărim posibilitatea teoretică ca un eveniment să aibă probabilitatea nulă fără să poată fi considerat imposibil.

d ~~cDe fapt afirmaţia P(A) =------ rezultă imediat din proportionalitateab - a

probabiltăţii evenimentului A cu lungimea intervalului [c,d] dacă ţinem cont de proprietăţile probabilităţii. Tot din aceste proprietăţi rezultă că dacă A este un interval sau o reuniune finită de subintervale disjuncte ale lui [a,b\ şi 1(A) este suma

203

este raportul —— .b - a

în mod analog dacă se ia la întâmplare un punct dintr-un domeniu plan D astfel încăt să nu existe porţiuni privilegiate, atunci probabilitatea ca punctul să

cadă în subdomeniul D 'cD este egală cu raportul ar*a^~.ariaD

lungimilor acestor subintervale atunci probabilitatea ca punctul ales să cadă în A

La fel în spaţiul cu trei dimensiuni probabilitatea geometrică se exprimă ca raportul a două volume.

Aplicaţie. Pe un plan sunt trasate drepte paralele, distanţa dintre două drepte consecutive fiind 2a. Se aruncă la întâmplare un ac de lungime 2l<2a. Care este probabilitatea ca acul să taie una din dreptele reţelei?

Rezolvare. Vom determina poziţia acului prin distanţa d de la mijlocul său M la cea mai apropiată dintre dreptele reţelei şi prin unghiul a pe care-1 face acul cu această dreaptă fig .l, d şi a iau valori la întâmplare pe intervale respectiv de [O.a]; ae[0,n]. Poziţia acului fiind determinată de două numere, poate fi reprezentată printr-un punct din plan.

204

Dacă luăm un sistem de axe a O d se observă că a lua la întâmplare un punct în [0,a] şi independent un punct din [Ο,π] înseamnă a lua la întâmplare un punct din dreptunghiul D (fig.2). Deci mulţimea poziţiilor posibile ale acului este reprezentată de mulţimea punctelor domeniului D.

Fig. 2 Fig. 3

Din fig. 2 reiese că acul va tăia una din dreptele paralele dacă MP<MQ adică 0< d < lsin a(l). Graficul funcţiei d = Isina este cel din Fig. 3

Se vede că inegalitatea (1) este satisfăcută în domeniul D ' haşurat. Mulţimea punctelor domeniului D' în care este verificată (1) reprezintă mulţimea cazurilor favorabile. Probabilitatea căutată este:

j , _ aria D' ariaD

Dar aria D = an iar pentru aria D ’ avem:n

aria D'= J Lsinadx = / (-cosa)|* = 21 ;o

Deci: P =— , an

Se vede că P depinde de a şi / şi efectuând un număr mare de n aruncăriputem estima probabilitatea P cu ajutorul frecvenţei relative/, a evenimentului caacul să taie una din dreptele reţelei. Presupunând că în n aruncări ale acului s-auprodus m astfel de intersecţii, putem scrie egalitatea aproximativă:

m 21 , , 21n— = — , de unde n ------ ,n an ma

relaţie prin care pentru n suficient de mare s-au obţinut pe cale experimentală aproximări bune

205

ale numărului π. Astfel dacă luăm / = — înseamnă că P = — adică2 n

— « — —> π ~ — . S-au făcut astfel de experienţe: de exemplu o persoană aruncând π n mde n-5000 ori un ac de 36 mm pe o suprafaţă haşurată cu drepte paralele la distanţa de 45 mm una de alta, a realizat intersecţia de m=2532 de ori. De aici a dedus π=3,159.

6. Proprietăţi ale probabiliţii. Următoarele proprietăţi ale probabilităţii decurg din axiomele probabilităţii şi sunt valabile atât pentru câmpurile finite cât şi pentru câmpuri infinite de probabilitate, prin urmare ele pot fi demonstrate folosind şi definiţia clasică a probabiliţii, lucru ce-I lăsăm pe seama cititorului. Avem:

1. Dacă Au A2,-,A n e K sunt incompatibile două câte două, atunci

UA,. ]= ρ (Ω )= 5 > (4 ) = 1> Α ,η Α - Φ , i * j

Pentru demonstraţie scriem:A, u A 2 U ...U An = A, u A2 u Aj U ...U A , υΦ ... şi aplicând (p2) adică proprietatea de aditivitate completă,rezultă proprietatea de aditivitate finită de mai sus. în particular pentru o partiţie A,,A2,...A„ a evenimentului sigur (sistem completde evenimente) avem

/P ;=i ‘ I

i - l

2. Dacă A.BeK şi BcA=*P(A\B)=P(A)-P(B) unde A\B = A n B c.Avem evident A\Be K şi A = Bu(A\B) iar B şi A\B sunt

incompatibile. Avem conform cu 1. P{A) = P(B) + P(A\ B) sau P(A \B) = P(A) - P(B).

3. Dacă, A, B e K, B c A —> P(B) < P(A) (proprietatea de monotonie a probabilităţii).

într-adevăr B c A —> P(A) - P(B) =P(A \B) >0 conform cu (p,) şi 2.4. Pentru orice AeK, P(AC)=1-P(A); Ρ(Φ)=0 avem şi în acest caz

A u Ac ~Ω.,ΑΓ\Αα =Φ deci P(A) +P(AC) = Ρ(Ω) = 1 conform cu 1. Deci

P(AC) = 1 - P (A ). Apoi Ρ(Φ) = Ρ (Ω ') = 1-Ρ (Ω ) = 0.5. Pentru orice AeK, 0<P(A)<1. într-adevăr ΦαΑαΩ=$Ρ(Φ)<

<Ρ(Α)<Ρ(Ω) conform cu 3. Rezulta 0<P(A)<1 conform cu 4 şi 3.6 .A ,B e K=>P(A\B) =P(A)-P(Aη B)Avem A \ß = A \ (A n ß ) şi A n f i c A , deci (conform cu 2.),

P( A \ Β) = p [a \ B{ A n 5 )] = P( A) - ( A n B).

206

7. A, Be K, P (A u ß ) = P(A) + P(P) - P( A η P)Pentru demonstraţie avem A u B = Bv(A\B) iar B şi A\B sunt

incompatibile. Conform cu 1. scriem:P( A u P) = p [b <u(A\B)]= P(B) +P(A\B) şi ţinând cont de 6, deducem:

P( A u B) = P( A) + P(B) - P( A n B)în continuare vom da fară demonstraţie unele proprietăţi în care intervin

şiruri de evenimente şi probabilităţile acestora, proprietăţi ce sunt consecinţe ale aditivităţii complete a probabilităţii.

8. Pentru orice şir descendent de evenimente A p A p . . . avem

p|QAj=Umi-(A,)9. Pentru orice şir ascendent A, c A2 c ... de evenimente avem:

P(u A,· J= lim P(An)i> lProprietăţile 8. şi 9. poartă numele de proprietăţi de continuitate ale

probabilităţii pe câmpul (Ω,Κ,Ρ).Exemple 1. Dintr-o urnă în care se află 35 de bile de aceeaţi mărime

numerotate. Se extrage la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca numărul astfel obţinut să fie divizibil cu 3 ?

Rezolvare. Fie (Ω,Κ) câmpul finit de evenimente ataşat experienţei, unde:Ω = {1,2,...35}

în acest câmp evenimentele elementare {l},{2},...,{35} sunt echiprobabile. Fie A evenimentul că numărul extras din urnă e divizibil cu 3. Atunci P(A) se poate calcula cu definiţia clasică:

unde n=30 şi m = 35

P(A) = - , n

= 11 şi deci P(A) = -^·3

2. Din mulţimea {l,2, . n e N , se alege la întâmplare un număr. Care este probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu k,ke N,k < n ?

Rezolvare. Fie (Ω,Κ) câmpul finit de evenimente ataşat experienţei, unde:Ω = {ΐ,2,...,/ι},

şi evenimentele elementare {l}{2},...,{n} sunt echiprobabile. Fie A evenimentul ca n\k. Atunci P(A) se poate calcula cu definiţia clasică:

n

P(A) =n

3. într-o urnă se află bile numerotate de la 1 la 10. Se extrag la întâmplare toate bilele. Care este probabilitatea ca primele două numere extrase să fie în

«■207

ordinea naturală?

Rezolvare. Fie A evenimentul a cărui probabilitate se cere. Numărul cazurilor egal posibile este 10!, iar numărul cazurilor favorabile este (10-1)!=9!. Rezultă:

4. Dintr-o urnă cu 15 bile identice numerotate de la 1 la 15 se extrage la întâmplare o bilă. Se cere probabilitatea ca numărul înscris pe bilă să fie a) un număr prim. b) un număr par. c) un număr divizibil cu 3.

Rezolvare. Numărul cazurilor posibile pentru fiecare punct din problemă este acelaşi şi anume 15. Cazurile favorabile pentru fiecare punct în parte sunt:

6 2a) cazuri favorabile 6: numerele 2,3,5,7,11,13, deci P = — = —

7b) cazuri favorabile 7: numerele 2,4,6,8,10,12,14, deci P = —

c) cazuri favorabile 5: numerele 3,6,9,12,15, deci P = — = —15 3

5. Zece bile numerotate de la 1 la 10 se aşează la întâmplare una după alta într-un şir. Care este probabilitatea ca după bila numerotată 5, să urmeze bila numerotată cu 6.

Rezolvare. Cazurile posibile sunt în număr de P,0-lO ! iar cazuri favorabile9-8! 1

9-8! Prin urmare P -------= — .10! 10

6. Se aruncă două zaruri de n ori. Se cere probabilitatea ca dubla şase să apară cel puţin o dată.

Rezolvare. Să calculăm probabilitatea evenimentului contrar adică să nu apară nici o dată dubla şase.

Cazuri posibile: (36)n, într-adevăr la fiecare aruncare a două zaruri sunt 36 de cazuri posibile deoarece fiecare din cele 6 feţe ale primului zar se pot combina cu oricare din cele 6 feţe ale celui de al doilea zar, deci în total 6 · 6 = 36. în n aruncări ale celor două zaruri sunt posibile (36)" cazuri diferite.

Cazuri favorabile: (35)". în adevăr la fiecare aruncare a celor două zaruri sunt 35 cazuri favorabile (din cele 36 cazuri posibile trebuie să eliminăm cazul când la ambele zaruri apare 6 iar la n aruncări sunt (35)" cazuri favorabile.

7. Să se arate că evenimentele A ,A n B ,A u B formează un sistem complet de evenimente.

Rezolvare. Să arătăm mai întâi că evenimentele date sunt două câte două

208

incompatibile. Pentru aceasta observăm că A u B = A n B şi cum Α π Α = Φ rezultă imediat că Α η (Α η β )= Φ ,Α η (Α τΓ β )= Φ şi (Ä n ß )n (A u ß )= Φ.

Apoi reuniunea evenimentelor trebuie să facă Ω. Avem:A u (À n ß)u A u (À n ß)u (Â η ß)=

=jU u A jn ÎA u b ))u L4 nB)={/ ύ γ γ Λ Η Δ ^ Φ ^ η Β ) == | A u A ju (A n ß | n [(A u ß )u (Ä n ß jj= Q

Deci P(A) + P (A n 5 ) + P(Ă u ß) = 17. Probabilitatea condiţionată. Regula de înmulţire şi regula de adunare a

probabilităţilor.a) Fie (Ω,Κ,Ρ) un câmp de probabilitate şi Be K, P(B)>0. Pentru orice Ae K

definim:

Pb(A) = P(AIB) = ~F>{A- B)P(B)

aplicaţie numită probabilitatea evenimentului A condiţionată de realizarea evenimentului B.

Pentru ca definiţia să aibă sens, trebuie să arătăm că probabilitatea condiţionată P(A/β ) verifică cele trei axiome ale probabilităţii.

întrucât P(AnB) şi P(B) satisfac axioma (pt), rezultă şi P(A/B)> 0 . Pentru axioma (p2), facem Α=Ω şi avem:

P(B) P(B)Pentru verificarea axiomei (p3), să considerăm evenimentele A/ şi A2

incompatibile şi să demonstrăm căPi A, u A2/B)= P(A, IB)+ p (a2 / B)P(A u A .'B) n Î A .u A jn g J ^ P K A n ^ u Ç A .n f i) ] ;

V 1 2 P{B) P(B)Dar Α1η Α 2 =Φ d ec i^ , n ß )n (A 2 nß)=(A, n A 2)n B = 0 adică

Axn B şi A2n B sunt incompatibile deci:ρ[{Αλ η Β ) ν { Α 2 ηΒ)]=Ρ(Αχ nB)+P{A2 nB)·,

P(A, u At IB )- P(A' = p f a , B)+ P(A2 /B)

Observaţie. După definiţia (1) putem scrie:

p {b /a )= P(B n A )P(A)

şi deducem: P(A n ß ) = P(B) P(AIB) = P(A) ■ P(B/ A)Relaţia (1) care defineşte probabilitatea condiţionată şi pe care am justificat-

o cu ajutorul axiomelor probabilităţii poate fi obţinută şi prin intermediul definiţiei

209

clasice a probabilităţii.Să presupunem că din cele n cazuri posibile ale unei experienţe aleatoare, m

cazuri sunt favorabile evenimentului A, p cazuri sunt favorabile lui B, q cazuri sunt favorabile lui A n B . Din cele m cazuri favorabile lui A, q sunt favorabile lui B sau ceea ce este tot una, din cele p cazuri favorabile lui B, q sunt favorabile şi lui A. Avem:

P(A) = — \P(B) = Z -,P (A n B )= l

în ipoteza că A s-a realizat, rămân m cazuri posibile, din acestea q sunt

favorabile lui B deci P{B) = S - . Avem evident:m

±— = — sau p (a /B)= -^ ~ ~ ~ adică definiţia (1), p P_ P(B)

nşi de asemenea din egalitatea:

-2- = -^- deducem p {b / A) = ,m m v ' P(A)

nb) Independenţa.Două evenimente A şi B se numesc independente, dacă

P(a η β )= P(A)· P(B)Mai general, să considerăm A/,A2,...A„ (n>2) evenimente din K. Spunem că

evenimentele Au i-l,2,...n sunt două câte două sau mutual independente dacăp(a, n Aj )= P(A; ) · P(Aj )

oricare ar fi irf, i,j=l,2,...,n.Evenimentele A,·, i=l,2,...,n se numesc independente, dacă pentru orice şir de indici 1 <i/< i2 <...<in <η (1 <k <n) are loc egalitatea:

( k \ *n A·J=1 's j=l

210

Observaţie. Dacă Ai,A2,...An sunt independente atunci sunt şi două câte două independente, reciproc însă, nu.

Vom demonstra că reciproca nu este adevărată prin contraexemplul dat de S. Bernstein.

într-o urnă se află patru bile identice numerotate cu numerele 1,2,3,4. Experienţa aleatoare constă în extragerea la întâmplare a unei bile.

Fie A ev. apariţiei bilei numerotate cu 1 sau cu 2 Fie B ev. apariţiei bilei numerotate cu 1 sau cu 3 Fie C ev. apariţiei bilei numerotate cu 1 sau cu 4.

Avem: P(A) = P(B) = P(C) = 1 + 1 = 14 4 2

P( A nB ) = P( A n C ) = P(B n C) = ~ · = ■- deoarece A,B,C sunt

independente două câte două. Deoarece însă

p (An ß n C ) = P (l) = * P(A)· P(B) ■ P(C) = ^ evenimentele A,B,C nu sunt

independente în ansamblul lor.DacâA/,A2,...,A„ sunt evenimente independente, are loc:

( « \n A : i=1

= Ρ(Α1)·Ρ(Α2)·...·Ρ (Α „),

formulă cunoscută sub denumirea de regula de înmulţire a probabilităţilor pentru evenimente independente.

Relaţia P(An ß)= P(A) ·P(BI A) se poate extinde la cazul a n evenimente A;,A2,...,A„ şi anume:

f n-l Λ . . i n - 1 Λn A,1=1

= P( A, ) ■ P(A2 / A, ) · P(A3 / A, n A3 )·... ■ P A„/n A," i-l ‘Vom demonstra relaţia precedentă prin inducţie.Pentru n=2 relaţia rezultă din definiţia probabilităţii condiţionate.

Presupunem relaţia adevărată pentru η - 1 evenimente adică:C n - l ( n-2 N

nA ,i=l

A„/ n A, Λ i=l '

= Ρ(Αι)·Ρ(Α2/Αι)·...·Ρ

şi să demonstrăm că este adevărată şi pentru n evenimente. în acest scop, notăm

A = n Aj şi avem: P(a n A„ ) = P(A) · P{ A„ / A ).i-1/ n- i \ H

Dar A n A„ = o A, o An = r> Aj, deci:•-1 1 1

in-1 Λ n A, i=l = P

i=1

( n - l ^n A,. i=l

n - l >• Pt A„ / n A.

" i - l ‘şi în virtutea ipotezei de inducţie

rezultă:211

Relaţia precedentă exprimă regula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor condiţionate.

Exemplu: într-o anumită localitate, în medie, 6 zile dintr-o lună sunt cu cerul acoperit. Se cere probabilitatea ca în primele trei zile din luna iulie să avem cer senin.

Notăm cu A,: evenimentul ca ziua i să fie senină (i=l,2,3). Avem de calculat:4

, , 4 s j . ί a \ η/λ ia AS 25 24 23 2300 P(A, nA 2r\Ai )-P(A {)-P(A1l AX)-P(A3! \ n ^ ) - — ·— ·— -5

c) Regula de adunare a probabilităţilor pentru evenimente incompatibile şi compatibile.

Fie evenimentele A/,A2,...An definite pe acelaţi câmp de probabilitate.Dacă evenimentele sunt două câte două incompatibile atunci probabilitatea

/ n \ f n \ »

reuniunii lor P se calculează cu formula: P V Ai=li '= l

Dacă evenimentele Ai,A2,...A„ sunt compatibile între ele, probabilitatea ca celin \

puţin unul dintre ele să se realizeze, adică P

Poincaré:

se calculează cu formula lui

M 4 ) != Σ p(A<) - Σ p(A‘ n AJ ) + Σ P(A‘ n A j r\Ak) + ..V ) i=l Kj i<j<k

formulă ce se demonstrează prin inducţie. Ţinând seama că pentru n=2 avem: P(A, u A2 ) = P(Aj ) + P(A2 ) - P(Aj n A2 ) ,

relaţie deja demonstrată, pentru n=3 succesiv/ A

Ax u A2 u A3 = p (Au A3)= P(A) + P(A3) - P(A, n A3) :

p[a. u A3 ]+ P( A-, ) - p[(A, u A 2)n A 3]=P(A ,) + P (A ,) - P(A, n A ,) +

-P (A l n A 2)-P(A i n A 3) -P (A 2 n A 3) + P(A1 n A 3 n A 2 n A 3) =

= Σ p(A' ) - Σ PA nAJ) + P(At nA2nA^i=l i< j

Aşa cum am spus printr-un raţionament inductiv se poate arăta că se obţine formula Poincaré de mai sus.

în cazul în care evenimentele Ai,A2,...A„ sunt şi independente punând Pi = P(Ai),p{Ai h a J = pipj\P{Ai n A j n A it)= PiPjPk »etc· formula lui Poincaré se scrie:

n y γ Σ ^ " Σ ρ -·Ρ;+ Σ λ Λ / Λ " - + (“ 1)"ΛΡ2···Ρ»V / i = l K J K j c k

Exemple: 1) Dintr-o urnă cu n bile, dintre care a albe, b negre, c roşii şi d verzi se extrage la întâmplare o bilă. Care este posibilitatea ca bila extrasă să fie albă sau roşie?

Fie Ai,A2 evenimentele ca bila extrasă să fie albă, respectiv roşie. A, şi A2 sunt evenimente incompatibile.

Avem de calculat p (a{ u A2 )= P(A{) + P(A2) = —+—= a + cη η n

2) într-un circuit sunt introduse în serie trei rezistenţe. într-un regim de suprasolicitare, acestea se pot arde respectiv cu probabilităţile 0,02; 0,05 şi 0,01. Să se calculeze probabilitatea ca circuitul să nu funcţioneze.

Fie Ai, A2, A3 evenimentele ca prima rezistenţă, a doua şi respectiv a treia să se ardă. Probabilitatea cerută este P(A,uA2uA3) care se calculează cu formula lui Poincaré pentru n=3 evenimentele Aj,A2iA3 fiind compatibile şi independente.P(A, u A2 u A3) = P(A,) + P(A2) + Ρ{Α3)-Ρ {Α λ)·Ρ{Α2) -- P(At) · P(A3) - P(A2) · P(A3) + P(A,) ■ P(A2) · P(A3) unde P(A,) = 0,02, P(A2) = 0,05, Ρ(Λ3) = 0,01Problema precedentă poate fi generalizată astfel: Fie sistemul de evenimente independente:{A,,A2,...Ar}, şi sistemul de evenimente opuse:{Ăi,A2,...Ar}, care este format de asemenea din evenimente independente.

Evenimentul A1u A 2 u . . .u A r semnifică faptul că se realizează cel puţin

unul dintre evenimentele Ah A2,... Ar iar evenimentul Ai n A i n . . .n Ar înseamnă că se produc toate opusele Ai, A2 ,...Ar deci nu se produce nici un Λ, (i-l,2,...r).

r rRezultă deci că evenimentul u A,· şi n A ; sunt evenimente opuse şi deci:/=! /'=!

= 1 de unde:■l· p i n Ail M )

= 1 -/ | η Α · = ι - Π ^ · ) = ι - Π ( 1- ρ (Α·))i=l i=l

Dacă P(Ai) =p 1=1,2,...n, avem în final:

/|uA ,.j = l - ( l - p ) \

213

8. Scheme probabilistice clasice

a) Formula probabilităţii totaleFie Ai,A2,...,An un sistem complet de evenimente. Pentru orice eveniment

Xe K are loc egalitatea

P(X) = £P (A ,.)-P (X /A (.) i=l

numită formula probabilităţii totale.Pentru demonstrarea formulei, observăm că:

Χ = Χ η Ω = Χ η| u A , = (X n A (X n A2) . .(x n An )= u (X η A, )şi ţinând

seama că evenimentele X n A, şi X n Aj sunt incompatibile pentru orice i*j, obţinem:

P(X) = / | ù (X n A j]= £ p (X n A ,.) .\1 / i=l

Dar Ρ{χ n A,)= P(A; ) ■ P(X / A, ) , deci rezultă formula probabilităţii totale:

P(X) = ^ P (A i)-P(X/Ai).i=l

Exemplu: Să considerăm 3 urne identice, cu următoarele compoziţii :Urna nr. de bile albe nr. de bile negreu, 1 1u2 5 3u3 1 3

Se alege la întâmplare una din urne şi din ea se extrage o bilă. Se cere probabilitatea ca bila să fie albă.

Soluţie. Se aplică formula probabilităţii totale. Fie X evenimentul ca bila extrasă să fie albă şi Ak, evenimentul ca bila să provină din urna Uk,k = Ü . X = (a , η X ) u (Aj η X ) u (a 3 η X ) şi deci:

Ρ (Χ ) = Υ Ρ (Α 1.)·Ρ(Χ/Α1. ) = - · - + - · - + - · - = — t Î 3 2 3 8 3 4 24

b) Formula lui BayesConsiderând sistemul complet de evenimentele A,,A2,—,An ne propunem să

calculăm probabilităţile p(A; / X ) adică probabilitatea evenimentului A, condiţionat de X.

Pentru aceasta, folosim relaţia:P(A,. η X ) = P(X) ■ P(A, /X )= P(A, ) · P(X / A,. ) .

De aici, obţinem probabilitatea cerută:

214

P( )= P W ^ A )v ' P(X)

şi folosind formula probabilităţii totale, se găseşte relaţia:

* y x ) . «Λ * « !'* ) ,Ÿ p ( A ) H x /A)i=l

numită formula lui Bayes.Exemplu: Trei întreprinderi trimit acelaşi tip de produse la un magazin, în

proporţie de 50%, 30% respectiv 20%. Cele trei întreprinderi dau rebuturi 1%, 3% respectiv 2%. Produse în valoare de 36 milioane lei s-au dovedit rebuturi. în ce proporţie trebuie împărţită suma de 36 milioane între cele trei întreprinderi?

Soluţie. Notăm cu A·;, evenimentul ca un produs să provină de la întreprinderea i, i=l,2,3 şi cu^f: evenimentul ca un produs să fie rebut.

P(Ai)-0,5, P(Az)=0,3, P(A3)=0,2P(X/A,) = 0,01 P(X/A2) = 0,03 P(X/A3) = 0,02Aplicând formulele lui Bayes obţinem:

f x y P ^ - P jx / A ţ ) 5

f /P(Ai)P (x / A i) 18i=l

,x y P(/j,)P(X/A,) 9

j^ P W -P iX I A ,) 181=1

/ x y P(A3)-P(X/A3) 4

f JP(Ai)-P(X/Ai) 18 i=l

Deci sumele imputate fiecărei întreprinderi sunt respectiv:

— · 36 mii. = 10 milioane le i,189— 36 mil. = 18 milioane le i ,184

— 36 mii. = 8 milioane le i.18c) Inegalitatea lui BooleAm văzut că pentru două evenimente compatibile A, şi A2 avem:

P(AX u A2 ) = P(A, ) + P(A2 ) - P{A, n A2 )Luând pentru P{AX u A2) valoarea sa maximă egală cu 1, obţinem:

215

P^nA^Pi/g + i W - l ηAnalog, considerând evenimentele A3 şi Ax n A2 putem scrie

P(A, n A2 n A3)> P(A, n A2) + P(A3) - 1 şi aplicând primului termen din dreapta din nou inegalitatea (*) avem:

PIA, n A 2n A 3)>[P(A,) + P(A2) - 1]+ P( A3 ) -1

deci P nA ,i=l

> £ P ( A ) - 2i=l

Presupunând inegalitatea valabilă pentru (n-l) evenimente, vom demonstra că este adevărată şi pentru n.

PlA; i=l 1

= P( n - l

n A,i'=I n Ai

i n - 1 Λ>P n A j'=1 + P(An)~ 1,

şi în continuare, aplicând ipoteza de inducţie rezultă:

] £ p (A(. ) - ( h- 2). i = l

+ P(A„)-1,

adică: P n A ;i=l

n - l

i=1Relaţia obţinută se numeşte inegalitatea lui Boole şi ne dă o limită inferioară

pentru probabilitatea realizării simultane a evenimentelor AhA2.—,An·Exemplu. Un produs este standard dacă îndeplineşte trei condiţii C/,C2,Cj.

Din 1000 de produse, 92% îndeplinesc Ch 85% Q şi 89% condiţia C3. Să se calculeze probabilitatea minimă şi maximă ca un produs să fie standard.

Soluţie. Notăm cu A i,A2,A3 evenimentele ca piesa să îndeplinească C/,C2 respectiv C3.

Probabilitatea ca un produs să fie standard este P(At η A2 n A} ). Aplicând inegalitatea lui Boole, obţinem:

p (A n A2 n A, ) > P( A, ) + P( A3 ) + P( A, ) - 2 == 0,92 + 0,85 + 0 ,89-1 = 0,66

Deoarece A ,n A 2 n A 3 c At (v) i = 1,2,3 avemp (a , n A2 n A3 )< min{P(A)}= 0,85 deci

i

p(a , o A jP iA j )e [o,66; 0,85]d) Schema lui Poisson şi schema lui Bernoulli cu două şi mai multe stări.Să considerăm o experienţă £ care constă în efectuarea a n experienţe

independente £2,···, <fn,iar Ai,A2,...,A„ n evenimente legate de experienţele £1, £2·—, £n ■ Probabilitatea realizării a k (0 < k < n) din cele n evenimente, atunci când se efectuează £ este coeficientul lui xk din polinomul

Q(x)=(p,x+qi) (p2x +q2) - (P*x +qn)

216

undepi=P(A), q i-1-ρι i-l,2,...,nPentru a justifica această afirmaţie ţinem seama că pentru a se realiza k din

cele n evenimente şi deci n-k să nu se realizeze, trebuie să se realizeze un eveniment de forma:

A = Aiin A iin ...n A iinA iM r\Ail+1 n ...n A in unde ii,i2,'...in este o permutare a indicilor 1,2,...ti. Probabilitatea evenimentului A este

P{A) = phph...pitqiM...qin

unde am notat P {\ ) = ph, P(A,2 ) = ph, P(A,t+1 ) = ...P(Ăin ) = q .Rezultă că evenimentul a cărui probabilitate ne interesează este

ρΛΚ) = Σ ρ<ιρ >ι ···ρ ,^ % .· · · %suma luându-se după toate permutările indicilor 1,2,...n.

Aceasta revine însă la a calcula coeficientul lui xk din polinomul Q(x) = (p,x+q,)(p2x+qi)...(pnx+qrj

Această schemă se numeşte schema lui Poisson.Exemplu. într-un lot de produse 5% sunt defecte,în al doilea 6%, în al treilea

3%. Se extrage câte un produs din fiecare lot şi se cere probabilitatea ca din trei produse extrase unul singur să fie defect.

Avem: pt-0,05; p2-0,06; ps-0,03; qi=0,95; q2=0,94; q}-0,97. Probabilitatea cerută este coeficientul lui t din produsul (0,05t+0,95) (0,06t+0,94)(0,03t+0,97) adică:

0,05-0,94-0,97-K), 06-0,95 -0,97+0,03 0,95-0,94=0,13.Fie acum o experienţă £ şi A un eveniment, care se realizează cu

probabilitatea p la o efectuare a experienţei. în aceste condiţii probabilitatea ca evenimentul A să se realizeze de k ori şi de n-k ori să nu se realizeze când esteefectuată de n ori experienţa £, este egală cu Cknpkqn~k, (q = 1 - p). Această schemă probabilistică se numeşte schema lui Bernoulli cu două stărişi este un caz particular al schemei lui Poisson.

într-adevăr, dacă la schema lui Poisson considerăm că cele n experienţe//, £2·—. £n constau în repetarea în aceleaşi condiţii a experienţei £, atunci evenimentul considerat se realizează cu aceeaşi probabilitate p în fiecare din cele n experienţe,adicăpi~p2=...=pn-p şi de asemenea qt=q2-...=qn=q=l-p.

Rezultă că probabilitatea ca acest eveniment să se realizeze de k ori şi de n-k să nu se realizeze este coeficientul lui xk din polinomul

(px + q\px + q)...(px + q)=(px + qy adică este egală cu Pn(k) = Ckpkq"~k'------------------V----------------- '

n factori

Atunci când aplicăm schema lui Bernoulli, trebuie să ne fie clar car4e este experienţa ce se repetă, care este evenimentul pe care-1 aşteptăm în fiecare probă şi care este probabilitatea acestui eveniment când se efectuează o singură dată experienţa.

217

Deoarece P„(k) este chiar coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului (px+q)n, această schemă se mai numeşte şi schema binomială.

Schema lui Bernoulli se poate realiza cu ajutorul unei urne cu bile de două culori, din care se poate extrage pe rând câte o bilă, de fiecare dată punându-se bila extrasă înapoi în urnă, de aceea este cunoscută şi sub numele de scheme bilei revenite.

Exemple·. 1) Probabilitatea nimeririi într-o ţintă la o singură tragere este p=0,8 . Să se calculeze probabilitatea ca în şase trageri consecutive ţinta să fie nimerită de 5 ori.

Fie A evenimentul ca ţinta să fie nimerită la o tragere. Deci P(A)=p=0,8 constantă în fiecare tragere şi p (Ă )= l-p = 0,2 probabilitatea de a nu nimeri. Avem n=6, k=5 şi deci probabilitatea căutată este

P6 5 = C lp5q{ = Cl (0,8)5 (0,2) = 0,39322) într-o urnă sunt 4 bile albe şi 2 bile negre. Se fac 8 extrageri succesive cu

revenirea bilei în urnă după fiecare extragere. Se cere probabilitatea de a obţine de 4 ori bila albă.

4 2Fie A: evenimentul apariţiei bilei albe. Avem P(A) = — = — = p

p (ă )= ş = 1 , n = 8, k = 4 deci calculăm

P&A = Cep4? 4 = c i8!

4!-4! 6561Să considerăm acum cazul mai general al schemei lui Bernoulli cu mai multe

stări, când în urnă sunt bile de s culori şi se fac n experienţe cu revenire. La fiecare extragere poate să apară numai unul dintre evenimentele A/,A2,...,AS care formează un sistem complet de evenimente, Ai fiind evenimentul bilei de culoarea

i = (: = 1, s). Notând p{ = P(A), avem ^ Pi ~ 1 ·1=1

Probabilitatea ca în cele n extrageri, evenimentul A, (bila de culoarea 1 să apară de nt ori, evenimentul A2 (bila de culoarea 2) să apară de n2 ori,..., evenimentul As (bila de culoarea s) să apară de ns ori este

P{n\nx,n2,...,ns)= ——--------p? p ? ...p? =nnx.n2...jis. ;=l

Exemplu. Se aruncă un zar de 12 ori. Se cere probabilitatea ca fiecare faţă să apară de 2 ori.

Definim Ak: evenimentul apariţiei feţei cu k puncte k = 1,61

P\ - P2 - ·■■ ~ Pe — T

218

η = 12, η ,= η2 =... = η6 = 2 Probabilitatea cerută este:

Ρ(12; 2,2.....2)=12! f l

2Î2L.2!2 n i / jV 212!

26\ 6e) Schema bilei nerevenite cu două şi mai multe stări într-o urnă sunta bile albe şi b bile negre. Din această urnă se extrag consecu

tiv n bile (n < a+b) fară întoarcerea bilei extrase în urnă (ceea ce este echivalent cu a extrage deodată n bile). Probabilitatea ca din cele n bile extrase x să fie albe şi restul de n-x negre este:

C x/-*n-x a b

c n'•'a+b

Dacă în urnă sunt bile de m culori, n, de culoarea cly n2 de culoarea c2,...,nm de culoarea cm şi se extrag « bile (n < ni+n2+...+nm) atunci probabilitatea de a obţine xt bile de culoarea c/, x2 bile de culoarea c2,...jcm bile de culoarea cm (xj+x2+... +xm=n) este:

c x,c x\..cxm«1 "2 nmC"v-'fli+n2+...+nm

într-adevăr, pentru cazul urnei cu bile de 2 culori, numărul cazurilor posibile este Câ+b. Un grup de x bile albe dintr-un total de a poate fi luat în C~a moduri,

pentru fiecare din aceste moduri existând C£~x moduri de a lua n-x bile negre din

totalul de n. Deci numărul cazurilor favorabile este C*C£~X şi astfel se obţine formula probabilităţii în cazul schemei bilei nerevenite cu două stări (m=2). în situaţia când în urnă sunt bile de m culori (m>2) raţionamentul este absolut analog.

Exemple. 1) într-o magazie se găsesc 1200 piese dintre care 30 sunt defecte. Care este probabilitatea ca o comandă de 155 de piese să cuprindă 145 piese bune?

Conform schemei bilei nerevenite cu două stări (este vorba despre piese bune sau defecte) avem:

a - 1170 piese buneb = 30 piese defecte

x s-* 145 y^ilO

n=155 = = i>m_±3LC n ✓-.155

a+b ^1200x=1452) La un concurs se prezintă 12 concurenţi dintre care 6 americani, 4

francezi şi 2 italieni. Prin tragere la sorţi, cei 12 concurenţi sunt împărţiţi în grupuri de câte 4, fiecare grupă urmând să susţină probele de concurs într-o zi. Care este probabilitatea ca în prima zi să concureze 3 americani şi 1 francez?

219

C,42 _12!_ 9 10-11 12 9 10-11-12 9941-8! 1-2-3-4

f) Problema concordanţelorO urnă conţine n bile numerotate l,2,...,n. Se fac extrageri succesive fără a

pune bila înapoi în urma golirii urnei. Se cere probabilitatea obţinerii cel puţin a unei concordanţe. Prin concordanţă înţelegem evenimentul ca la extragerea „f ’ să obţinem exact bila numerotată cu i.

Soluţie. Fie At: evenimentul obţinerii unei concordanţe la extragerea de rang

Avem de calculat P(At u A2 <j ...kjA„) unde evenimentele At sunt compatibile, deci se aplică formula lui Poincaré.

într-adevăr, sunt nl moduri egal posibile, diferite, de extragere a celor n bile şi deoarece una dintre ele este extrasă exact la extragerea cu numărul de pe bilă, avem (n-l)! cazuri favorabile (celelalte n-l bile pot fi extrase în (n-l)! moduri la cele n-l extrageri rămase).

i, (V) i-l,2,...,n.

p{Al u A 2v .. .u A n)= % P (A i)-'£ p (A i n A J) + f JP{Ai n A j n A k)+i<j<k

η! n

, (V )iJ ,k c u i< j< k ,

Deci, probabilitatea cerută este:

220

§2. Variabile aleatoare

1. Variabile aleatoare unidimensionale discrete şi continueAm văzut că evenimentele unui câmp de evenimente sunt legate de un

experiment aleator. Cele mai multe dintre evenimentele considerate, se referă la anumite mărimi legate de experimentul aleator, mărimi care iau valori în funcţie de rezultatul întâmplător al experimentului. Realizarea unui astfel de eveniment înseamnă luarea de către mărimea corespunzătoare, a unei valori date sau a unei valori dintr-o mulţime dată.

Exemplu. Experienţa aleatoare: aruncarea unui zar şi următoarele evenimente legate de această experienţă:

A: apariţia feţei cu trei puncte;B: apariţia feţei cu un număr de puncte < 3;C: apariţia unei din feţele 2, 3, 4;D: apariţia unui număr par de puncte;E: apariţia uneia din feţele 1, 2, 5.Se observă că fiecare dintre aceste evenimente se referă la numărul de

puncte care apar la o aruncare a zarului (mărimea la care se referă evenimentele considerate mai sus).

Să notăm cu X acest număr (această mărime). Cu această notaţie evenimentele precedente se scriu:

A = {X = 3}, B = {X < 3}, C = {2 < X < 4}, D = {X e {2,4,6}},£ = {*€{1,2,5}}De asemenea mai putem scrie:Ac ={X *3},B C = {X > 3} ,SuC = {X < 4},flnD = {X=2}.Mărimea Xt legată de experienţa aruncării zarului care ia valori în funcţie de

rezultatul întâmplător al experienţei aleatoare este o variabilă aleatoare.Valorile posibile ale v.a. X sunt 1,2,3,4,5,6. Variabila aleatoare care ia un

număr fin it de valori se numeşte v.a. simplă.Există v.a. care iau o mulţime numărabilă de valori. Ex.: Se aruncă o

monedă până la prima apariţie a stemei. Notăm cu X numărul de aruncări până la prima stemă apărută. Valori posibile ale lui A": 1,2,3,...

Variabilele aleatoare care iau o mulţime finită sau numărabilă de valori posibile se numesc variabile aleatoare discrete.

Variabila aleatoare a cărei mulţime de valori posibile este un interval al dreptei reale (nu neapărat mărginit) se numeşte variabilă aleatoare continuă.

Exemplele prezentate ne conduc la observaţia că dacă Ω este mulţimea rezultatelor posibile ale unei experienţe aleatoare, atunci X este o aplicaţie pe Ω—>R, adică X ^-> R .

Pentru studiul unei variabile aleatoare nu este suficientă numai cunoaşterea mulţimii valorilor posibile ci este necesar să se cunoască şi probabilităţile cu care v.a. ia fiecare din aceste valori.

221

Vom nota schematic o v.a. discretă printr-un tablou cu două linii: prima linie conţine valori posibile ale variabilei, iar linia a doua probabilităţi corespunzătoare fiecărei valori. în exemplele noastre:

/ 1 Q \

,X =m . de steme ce apar la o aruncare cu banul,X :

X :1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/61 2 3 ... k

V i y* x· ... x·Vom numi lege de probabilitate sau repartiţie a variabilei aleatoare

discrete această corespondenţă între valorile posibile ale v.a. şi probabilităţile corespunzătoare. Evident că suma probabilităţilor din linia a doua a tabelelor = 1. în general scriem:

. X :[ P i P2 Pn

pk >0, k=\,2 ,.,.,η;

Σ λ =>k=\sau

X : 2

P\ P2 Pnpk >0, k = l,2,...,n;

*=iîn cazul v.a. de tip continuu, legea de probabilitate este corespondenţa dintre

intervalele dreptei reale şi probabilităţile corespunzătoare acestor intervale:I —» P (X eI), X v.a., I c R interval.

Aceasta, deoarece valorile posibile ale unei astfel de v.a. nu mai pot fi scrise într-un şir şi în plus aşa cum se va arăta P(X=x), x eR dacă X este continuă.

Cu aceste noţiuni putem da o definiţie matematică a variabilei aleatoare care trebuie să permită să se lucreze cu probabilităţi de forma:P(X=x), P(X<x), P(x<X<b), P(X>x).

Suntem conduşi la următoarea definiţie:Se numeşte v.a. variabilă aleatoare {v.a.) reală pe câmpul de evenimente

(Ω,Κ) orice aplicaţie Χ. Ω—R pentru care:{û>: X(ct))e /}e K ,

oricare ar f i intervalul I al dreptei reale.într-adevăr, pentru a putea vorbi de P(a<X<b) de exemplu, trebuie ca

{α < X < b}= {to : Χ (ω)ε {a,b)} să aparţină domeniului de definiţie al lui P, adică

222

lui K, altfel spus ca {X (ω) e /} să fie eveniment.Dăm un exemplu din care să se înţeleagă mai bine definiţia de mai sus. Persoanele A şi B aruncă pe rând un zar. Se acordă celui care aruncă zarul:1 punct dacă apare una din feţele 1,2;2 puncte dacă apare una din feţele 3,4;3 puncte dacă apare una din feţele 5,6.Notăm cu X variabila aleatoare care reprezintă numărul de puncte obţinute

de o persoană (de exemplu A) la o aruncare a zarului. Remarcăm că avem de-a face cu experienţa aleatoare a aruncării zarului la care spaţiul Ω al cazurilor posibile este:

Ω = {1,2,3,4,5,6}.Variabila aleatoare X este aşa cum am văzut o aplicaţie: Ω—ïR deoarece X ia

valori reale în funcţie de rezultatul întâmplător al experienţei. Se observă că x({l})= 1;X({2})= 1;X({3})= 2;X({5})= 3;X({6})= 3

Egalităţile de forma {X = x} sunt evenimente. De exemplu egalitatea X=1 este evenimentul {1,2}, deoarece înţelegem că X=1 este echivalent cu a spune că s-a realizat evenimentul {l,2}.

Rezultă că P(x = l)= /*({l,2})=|.

La fel P(X =2)= P({3,4})=^; P ( x =3)= P({5,6})=^. Deci repartiţia tabelară a

variabilei X este:( l 2 3λ

U x xjSe observă că pentru x*l,2,3, P(X=x)=0 deoarece evenimentul {x = x}= Φ .

Inegalităţile de forma X < x, X < x, X > x, X > x, (xeR ) sunt de asemenea evenimente astfel:

{X < 2}= {1,2,3,4},{X < l}= Φ;{Χ > l}= {3,4,5,6},{x < 4}= Ω

De aceea de exemplu P ( x < 2)= P({l,2,3,4})= ^ .

2. Operaţii cu variabile aleatoare. Independenţaa) Va fi vorba aici de variabile aleatoare simple care iau un număr finit de

valori. Dacă X este o variabilă aleatoare şi ae R o constantă, aX este variabila care ia valoarea ax, când X ia valoarea x,. Dacă X are repatiţia

( x. x2 ... x„N

[Pi Pi - Pn) variabila aleatoare aX are repartiţia!

; Y J p i =0, p(. >0, p i = P(X =x,·),

223

a X ; pi = P(aX = αχ;). Ρι Ρ ι - Ρ„ ,

Variabila α+Χia valoarea α+χ, când X ia valoarea χ,·, deci repartiţia sa este: fa + x{ a + x2 ... a + xn>

α + X :

αχ, αχ2 ... αχ„

; /?,· = P(a + X = a + x,) . ·Pi P2 - Pn

Fie X şi Y două variabile aleatoare. Vom numi suma lor variabila X+Y care ia valoarea x,+ty dacă X ia valoarea x, şi Y ia valoarea yr Dacă X şi Y au repartiţiile:

şi y y\ y 2<7i Qi

yn\ m n

; c u Σ ? , =1 Pi *0 , ş i£ < ?;· =1,

x + y

1 A2 ··· v Pi P i - P„ ,

atunci X+y are repartiţia:'x\ +y\ x2+yz - xi+yj - xm+y»

P il Pl2 ··■ Pi j ·■· Pmn

unde pij (1 <i <m; 1 <j <n) este probabilitatea evenimentului:

{X = xt) n (y = y j ) iar £ £ p , y = 1i = l j=\

Definiţia pe care am dat-o sumei a+X (ae R) rezultă din definiţia sumei X+Y, dacă

considerăm F s a c a o variabilă aleatoare cu repartiţia1V y

Produsul XY al variabilelor X şi Y este variabila care ia valoarea x ^ când X=Xi şi y=y„ Dacă X şi Y au repartiţiile

V9j

X ,γ ·I P I )

variabila XY are repartiţia

i = 1,2 ,...m, j = 1,2,...«, £ p ; = 1, = 1,

XY W jPi j

\- Σ Σ ^ = 1 >

) i” 1 ;'=iiar pij are semnificaţia de mai înainte.

Produsul <xY fae Pj se obţine din această definiţie dacă luăm Y=a. De asemenea este uşor de observat că variabila 2X coincide cu variabila X+X. Mai general

kX = X + X + ... + X ,(ke N)kori

Puterea r e Z a variabilei aleatoare simple X este variabila X care ia valoarea xf dacă X ia valoarea x,·. Dacă repartiţia variabilei X este

224

i P i P 2

atunci repartiţia variabilei X este

x r f x [ x r2 ■

KP\ P 2 ·

unde Pf = P{X = *,·)= p {x ' = x\ ) i = 1,2,...«

n

Pnl· Σ λ -1 .

(=1

n

Pn

Λ «. Σ λ - ι

i = I

Vom numi inversa variabilei aleatoare X care ia valori nenule, variabila —Z

care ia valoarea — când X ia valoarea x,·.

Acesta este un caz particular al puterii X pentru r = -1. Avem:

j r 1- —

şi Pi =P(X = X.)=P

1 1

P 1 P i

1 1 '

- P n ,

, 1 = 1, n.

Y jP i = 1 X, * 0 (v) i = l,«i=l

Fiind date două variabile aleatoare X şi Y astfel ca Y să nu ia valori egale cuX xzero, vom numi raportul lor variabile — care ia valoarea — când X ia valoarea x,Y yj

şi Y ia valoarea yj.X

Repartiţia variabilei aleatoare — este

XY

i i . i L

yi y 2

P n P 22

h .yjPa

myn

PmnΣ Σ ^ =1i= l 7=1

Py = ρ ( [ τ = ι ( λ 7 = } y j * 0 j = l,nb) Independenţa a două variabile aleatoare simpleAtât în problemele teoretice cât şi practice suntem conduşi să considerăm

împreună perechi de variabile aleatoare care iau valori independent una de cealaltă sau mai precis probabilitatea ca una din variabile să ia o anumită valoare nu depinde de faptul că cealaltă a luat o anumită valoare.

Rezultă că dacă X şi Y sunt astfel de variabile aleatoare, atunci două evenimente de forma {X = x,},{^ = yj\ sunt independente şi vom spune că variabilele X şi Y sunt independente . Aceste consideraţii sunt valabile şi în cazul

225

mai multor variabile aleatoare. Deducem următoarea:Definiţie. Variabilele aleatoare simple X,Y,...V sunt independente dacă

evenimentele {X = xt},{/ = y} = vk} sunt independente în totalitatea lor.

f x ( y ^Dacă variabilele X , Y J , £ Pi ~ Σ =

<P‘ ) [ qJ ) ‘=1 J=lsunt independente, atunci:

p„ = P({X = x, }n {r = y, })= P(X = », )■ p(r = y,)= ρΛ,Observaţie. Operaţiile cu variabile aleatoare simple definite mai sus, ca

adunarea şi înmulţirea pot fi extinse la un număr oarecare finit de variabile aleatoare şi de asemenea proprietatea de independenţă.

Este util să scoatem în evidenţă o legătură între numerele Pi,qj,Pÿ. Efectuând experienţa de care sunt legate cele două variabile aleatoare X şi Y, variabila Y ia în mod sigur una din valorile yi,y2,---yn· Dacă X ia valoarea xt înseamnă că evenimentul X=xt se realizează împreună cu unul din evenimentele:

{y = yi W = y2 }.-{y = yn }· Putem scrie:{X = xi}={X = xiJ = y {}v {X = xiJ = y 2}v ...u {X = xi,Y = yn},

de unde în baza incompatibilităţii evenimentelor ce se reunesc putem scrie:

pl =p(X = xl) = j j P{x = xl,Y = yJ)~'£pt .j= i 7=1

La fel se arată că:/ m / \ m

qj = P{Y = y j )= % P {X = x,,Y = V j)= £ Pij .i=l 1=1

Se poate arăta că dacă X, Y sunt v.a. în sensul definiţiei de mai sus, atunci aX,

X+Y, a+X, X-Y, X , X-Y, γ - (Υ(ω)*0) sunt variabile aleatoare.

Pentru v.a. simplă (discretă) se pot scrie repartiţiile tabelare ale acestor v.a.

C =

Pn

ym‘Im

Σ λ =>.1*1m

Σ ^ · =1’(=1

Este uşor de văzut că pentru a cunoaşte probabilitatea tuturor evenimentelor de forma {X e /} unde I este un interval al dreptei reale, este suficient să cunoaştem probabilitatea evenimentelor de forma {X <x},(y)xG R.

Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie a v.a. X, aplicaţia F:R—>[0,1] dată

226

F(x)=P(X<x).Orice funcţie de repartiţie are proprietăţile:1) (v)x, ,x2 6 R,xx < x2 => F(x,)< F(x2 ) (nedescrescătoare pe R),2 )F (-oo)= Hm F(x) = 0,F(+°°) = lim F (x ) = l ;

X —»-«> x —>°°

3 )F (x0 —0)= lim F(x) = F (x0) este continuă la stânga (v)x0 e R.x-*x0x<x0

Nu vom da demonstraţia tuturor proprietăţilor. Avem pentru 1), deoarece x2 > X/ evenimentul X <x2 se scrie:

X < x2 ={X c x j u f o < X <x2), unde evenimentele ce se reunesc sunt incompatibile.

Prin urmare:P(X <x2) = P(X < x, )+/*(*, < X <x2),

de undeF (x2) - F ( x,)= P (x1< X < x2)> 0 ,

deciF(x2) - F ( x,)> 0 şi F (x ,)< F (x2).

Mai departe dacă valorile posibile ale v.a. X aparţin intervalului [a,b] atunci F(x)=0 dacă x <a şi F(x)-1 dacă x > b. într-adevăr dacă xj<a evenimentul X<xt este imposibil (deoarece X nu ia valori mai mici ca a) şi deci F(X])-P(X < Xl) =0 dacă x2> b evenimentul X <x2 este sigur (deoarece X nu ia valori mai mari ca b) şi F(x2)=P(X < X2) —1 ■ O consecinţă imediată a acestei proprietăţi este:

lim F (x ) = 0 şi lim F (x) = l .X->-ee x-*x>

Deoarece F(x) este monotonă şi mărginită între 0 şi 1 graficul funcţiei y=F(x) are două asimtote orizontaley=0 cândx—> -■»şiy - 1 cândx—

Pentru o v.a. continuă X, graficul funcţiei de repartiţie F(x) este cel din

de:

227

Pentru variabila aleatoare discretă, funcţia de repartiţie are expresia:

F(x) = P(X<x)='ŞJP(xi),X f< X

adică egală cu suma probabilităţilor valorilor x,· ale v.a. X mai mici decât valoarea dată x.

în intervalul dintre două valori consecutive, funcţia F(x) definită de relaţia de mai sus este constantă. în punctele x, care sunt valorile posibile ale v.a. X, funcţia este discontinuă având un salt egal cu Pi-P(xj).

Graficul funcţiei de repartiţie F(x) pentru o v.a. discretă este un grafic în scară. Astfel pentru v.a. discretă X cu repartiţia:

J O 1 3 4 ^0,1 0,3 0,2 0,4

funcţia de repartiţie este:

F (x ) =

0 pentru x< 0 0,1 pentru 0 < x < l 0,4 pentru l< x < 3 0,6 pentru 3< x< 41 pentru x > 4,

iar graficul este cel din figură:

Pentru multe v.a. de tip continuu ce apar în practică legea de probabilitate este exprimată prin densitatea de repartiţie (densitatea de probabilitate).

Definiţie. Spunem că v.a. X are o densitate de repartiţie, dacă există o aplicaţie f:R —>[0,°°] astfel ca:

F (x )= ]f(t)d t,

unde F este funcţia de repartiţie a v.a. X. Funcţia / se numeşte densitate de repartiţie a repartiţiei v.a. X.

228

Proprietăţi:l°/(jc)> 0, ( v ) x e Ä ;

2° / / (* )& = 1.—oo

Presupunând că F este derivabilă pe R în acest caz f=F’ sau altfel spus F esteo primitivă a lui f. Atunci: v

bJ f(x)dx = F(b) - F (a) = P{a<X <b)a

relaţie care permite calculul probabilităţilor ca variabila aleatoare continuă X să aparţină intervalului (a,b), cu ajutorul densităţii de repartiţie f sau al funcţiei de repartiţie F.

Vom ilustra în continuare prin grafice, interpretările geometrice ale noţiunilor introduse mai sus în legătură cu o v.a. continuă.

Faptul că densitatea de repartiţie f(x)>0, (V) xe R, (proprietatea 1°) graficul lui f(x) se va afla deasupra axei Ox într-un sistem xOy ca în figură:

Proprietatea 2° semnifică faptul că aria haşurată de sub graficul densităţii f(x) este egală cu unitatea adică:

-H»J/(x)<& = 1.

fOO

De asemenea, din definiţia funcţiei de repartiţie F(x) = | f(t)dt deducem că

F(x)=P(X< x) este probabilitatea ca v.a. X să ia valori mai mici ca xe R şi este egală cu aria haşurată din fig. 5:

Fig. 5în consecinţă P(X >x) = l-P (X < x ) - l - F ( x ) este reprezentată de aria

în sfârşit P{xy < X < x2 )= F(x2 ) - F(xi ) este aria haşurată din figura 7:

încheiem cele prezentate în legătură cu variabila continuă unidimensională, cu demonstrarea proprietăţii că probabilitatea P(X=a) ca variabila continuă X să ia exact o valoare a este egală cu 0. Pentru aceasta să calculăm probabilitatea evenimentului a < X < β, α,β e R, a<ß. Vom exprima această probabilitate cu

230

ajutorul funcţiei de repartiţie F(x) a variabilei X. în acest scop vom considera următoarele trei evenimente:

- evenimentul A care constă In faptul că X < β ;- evenimentul B care constă în faptul că X < a ;- evenimentul C care constă în faptul că a <X < β .Dar A=BuC iar Βη€=Φ adică B şi C sunt incompatibile. în baza regulei de

adunare a probabilităţilor avem succesiv:P(A) -P(BuC)=P(B) +P(C),P(X < β)=Ρ(Χ < a)+P(a <X < β) sauF(ß)=F(a)+P(a <X < β),

de unde P(a <X < ß)=F(ß)-F(a).Trecând la limită pentru β—>a se obţine

P{X = cc)= lim P(cc<X<ß)= lim[F(ß) - F ( a ) ] .ß-*a β-*α

Valoarea acestei limite depinde de faptul dacă funcţia de repartiţie F(x) este continuă sau nu în punctul a.

Dacă în punctul a funcţia F(x) este discontinuă, limita probabilităţii P(oc<X<ß) este egală cu valoarea saltului funcţiei F(x) în punctul a . Dacă însă funcţia F(x) este continuă în punctul a, această limită este egală cu zero. în cele ce urmează vom spune că o variabilă aleatoare este continuă dacă funcţia ei de repartiţie este continuă peste tot. Proprietatea demonstrată se mai poate formula: Probabilitatea unei valori oarecare a unei variabile continue este nulă.

Exerciţii'.1. Probabilitatea extragerii unei piese stas dintr-un lot este p. Din acest lot se

fac două extrageri, punându-se după prima extragere piesa înapoi în lot. Se consideră variabilele aleatoare A" şi Y.Xreprezentând numărul de piese stas ieşite la prima extragere, iar a doua numărul de piese stas ieşite la a doua extragere. Să se scrie repartiţia sumei şi produsul celor două variabile.

Rezolvare·. Evident X şi Y sunt independente şi au repartiţiile:

p + q = 1

Conform definiţiei sumei variabilelor aleatoare scriem:0 + 1 1 + 0 0 + 1 0 + 0λ

p 0 ' , Y =Ί o"

[»

X + Ypp pq <jp qq

sau

X + Y 0 Ϊ„2

' 2 1P2 2pq q-\ /

Variabila aleatoare X+Y reprezintă numărul de bile albe apărute în cele două extrageri din urnă.

Pentru repartiţia produsului obţinem:231

XY(1-1 1 0 0 1 0-0[pp pq

I οXY

qp μ 1 ϊ

2pq + q2 p 22. Variabila aleatoare X are repartiţia:

J - 1 0 1 '

x y* κ X)Să se scrie repartiţiile variabilelor X1, X+X1, X+X?.Rezolvare. Dacă X= -1 , atuncLY^=7. Dacă X=0 atunci X*=0 iar dacă X=1

atunci X !=11.Rezultă că X* ia valorile 0 şi 1. Putem scrie\χ2 = ι}= {X = i}u {X = -l} , \x '2 = θ}= {X = 0}

şi deci P{X 2 = l)= P(X = 1)+P{X = - l ) =| 1 = | .

Repartiţia lui X2 este:( 0 \\

x {% X;Dacă X= -1 , atunci X2 = / şi deci X+X = 0.La fel X — 0 =^) =0 ==>X+X? =0 =$X=1 =>X?=1 =*X+X?=2.Repartiţia variabilei X + X 2 este:

/O 2 ΛX + X 2

Raţionând analog obţinem:

χ+χΛ

Ι κ k J-2 0 2 N

h k ;Repartiţia lui X2 se poate obţine pe baza definiţiei produsului variabilelor

aleatoare ţinând seama câX2=XX. într-adevăr, cei doi factori ai produsului X X iau fiecare valorile -1,0,1 dar este evident că de exemplu

{X = -l}n{A· = -l}= {X = —l},sau

{ * = - ΐ} η { * = θ}=Φ La fel repartiţia variabilei X+X2 rezultă din definiţia sumei de variabile

aleatoare.

232

Variabila X ia valorile -1,0,1, iar X1 ia valorile 0 şi 1. Dar şi acum nu orice valoare a primei variabile poate fi luată împreună cu orice valoare a celei de a doua variabile. Astfel:

{X = - l} n {X = 0}= 0 , adică nu putem avea în acelaşi timp X= -1 şi Xs =0.

3. Variabila aleatoare X are repartiţia:f 1

„2

Se cere P(X< 3).

Repartiţia v.a. X se scrie

2 37 1 1

4 P 3 6 j

1 1 1 _

~Ap +— + 3 6~

2 37 1 116 3 6 ,

1 rezultă valoarea admisibilă

Evenimentul{X £ 3}= {X = l} u {X = 2}u {X = 3}.

i> (xs3)= /> (jr = i)+ p ( jr = 2 )+ / > (x = 3 )= ^ + ^ + i= | .

Se mai poate raţiona şi astfel:

P(X <3)=\-P(X = 4 )= 1 -1 = —6 6

4. Variabilele aleatoare independente X şi Y au repartiţiile:0 1-1 0 1

(p+y6 xj '[K i2p2jSă se scrie repartiţia variabilei X-Y.Rezolvare. Din condiţiile

1 1 1 , p+ —+q+—+—=l 6 3 3

^ + 2 p -q + l2 p 2 =1

Obţinem

şi conform tabelului de mai jos deducem

( - 1 o Γ V' - 1 0 Γ

[ x X X, , yκ y ,

233

X Y XY-1 -1 1

0 0

1 -1

0 -1 0

0 0

1 0

1 -1 -1

0 0

1 1

P(XY= -1)=Ρ(Χ= -1, Υ=1)+Ρ(Χ=1,Υ= -1)-- =Ρ(Χ= -1)Ρ(Υ=1)+Ρ(Χ=1)Ρ(Υ= - 1)=_ ι ~ 3

,1 + 1 .1 = 1 3 3 3 9 '

AnalogΡ(ΧΥ=0)=Ρ(Χ=-1, Υ=0) +Ρ(Χ=0, Υ=0)+ +Ρ(Χ=0, 7= -1)+Ρ(Χ=0, Υ=1)+

+Ρ(Χ=Ι, γ = ο ;= Ι + 1 + Ι + Ι + Ι = 1 .’ y 9 9 9 9 9 9

Ρ(ΧΥ=1)=Ρ(Χ= -1, 7= -1) +Ρ(Χ=1, Υ=1)=- 1 1 = 2

9 + 9 9 '

Rezultă repartiţia variabilei XY:

" - 1 0 Γ

y, y, y,,Mi5. Se consideră variabilele independente

r-1 ο η ί- ι ο ηU x x j U x x j

Să se scrie repartiţia variabilei X*+Y*Rezolvare. Avem

χ 2 ( ο n 2f 0 n

U k J- U k JSe observă că variabila X*+Y* ia valorile 0 ,1 ,2 . Ţinând cont că A* şi 3 sunt

v.a. independente rezultă :

2 2f 0 2ΊX 2 +Y2 ί/ 4/ - 1/9 A )

6. a) Să se determine a,b,c astfel ca funcţia a dacă x^O

F (x ) = ■ bx2 dacă 0 < x < l c dacă x > l

să fie funcţie de repartiţie.Avem F(-°°)=a=0 şi F(+oo)=c-l. Deoarece Feste continuă

234

3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoareî , Cazul variabilelor aleatoare unidimensionaleMedia variabilelor aleatoare. Fie {Ω,ΛΓ,Ρ} un câmp de probabilitate şi

Χ. Ω—ïR o variabilă aleatoare.Definiţie. Se numeşte media variabilei aleatoare X,numărul

Μ (Χ) = Σ χιΡ, (1)te/

unde / este o mulţime de indici cel mult numărabilă, iar variabila aleatoare discretă

X are repartiţia X\ P t J

i Pi £ 0 ,/ ε / ,^ Ρ ί =1 şi*e/

■H*·

M (X )= jxf(x)dx , (2)

dacă X este variabila aleatoare continuă cu densitatea de repartiţie / continuă şi integrala improprie are sens (este convergentă).

Exemplul Γ. Fie X variabila aleatoare care reprezintă numărul de unităţi ce sosesc în unitatea de timp într-un sistem de aşteptare (în fir sau la servire). Variabila aleatoare X este discretă şi are repartiţia

ρ(χΛ ) = ζ~λ —- , x =0,1,2... x!

numită repartiţia Poisson. Avem:

Μ (X ) = ^ χ ρ ( χ ,λ ) = Σ χβ * = he~XeX = λjc=0 *=0 ■*· λγ=1 ■*·

λχdeoarece: £ — = ex .

x=l -*■·

Deci media variabilei aleatoare X este parametru Λ al repartiţiei şi reprezintă numărul mediu de unităţi ce sosesc în sistemul de aşteptare în unitatea de timp.

Exemplul 2°. Fie X variabila aleatoare care reprezintă diirata de funcţionare fară defectare a unui element sau unei aparaturi a cărei densitate de repartiţie este

/(χ,μ) = μβ~μχ χ > 0 ,μ > 0 Durata medie fără defectare este M(X) dată de

•fee +00

M(X) = J xţie^dx = μ J xe^dx = - .o *

Să considerăm acum variabila aleatoare vectorială Z—(X, }):Q—*R2 şi funcţia (p:D->R2, D-Z(Q)czR2.

236

Definim υ~φ(Ζ) variabila aleatoare pentru care are loc propoziţia:Dacă Z are o repartiţie discretă adică

Ζ(Ω) = I xnyt)e R 2/X = xt,Y = y j,i = 1,2 = 1,2,...,«))atunci prin definiţie:

M(U) = Σ Σ < ρ(χ^ Μ (3>/ j

m nîn care py =P(X = x„Y = y j) şi Σ Σ ? ν =L

i=l j =1

Dacă vectorul aleator Z-(X, Y) are densitatea de repartiţie f(x,y) continuă de D, atunci prin definiţie:

+eo

M(U) = M[<p{x,Y)h jj<p(x,y)f(x,y)dxdy (4)

Proprietăţile mediei:1° M(C) = C (C o constantă reală);2° M(CX) = CM(X), (C constantă reală);3° M(X+Î9 = MfA? +4° A/fX-r; = M(X) ·Μ(Υ), X, Y independente.Să demonstrăm propriatăţile 3° şi 4°.3°. Fie f(x,y) densitatea vectorului Z=(X,Y) şi fi(x),fi(y) densităţile marginale

ale lui X respectiv Y.Considerăm funcţia (p(x,y)=x+y, (x,y)eR2 şi variabila aleatoare φ(Χ, Y)=X+Y.

Aplicând (4 ) , deducem:

λί[φ(Χ, Y )]= M{X + Y) = J J ( x + y) f(x , y)dxdy =

+00 4-00 4-00 4-00 4-o°

= J xdx J f(x , y)dy + j ydy j f(x , y)dx = J xfx (x)dx +

4-00

+ j y f 2(y)dy=M(X) + M(Y).

Proprietatea 3° se poate extinde la un număr oarecare n de variabile aleatoare M(X,+X2+...+Xn)=M(X,)+...+M(Xn),

sau:

Μ Σ χ * = Σ Μ (**>· k=\ *«1£ '

4° In baza independenţei avem f(x,y)-fi(x)f2(y)

237

deci+ 0 0 +0 0

Μ[φ{Χ,Υ)]=Μ(Χ·Υ)= J jx,yf(x,y)dxdy =

+ 0 0 + 0 0

= \xf{{x)dx· \yf2(y)dy=M(X)-M(Y)

Avem şi în acest caz:M(X, ·Χ2,.. -XJ =M(X,) -MfXi)... -M(X„),

sau

Mk=lY[x, = Π M(Xt ),

fc=Idacă Xi, X2, ...Xk sunt independente în totalitate.

Exemplul 3°. Dintr-un lot de produse se fac n extrageri cu revenire. Probabilitatea ca un produs extras la întâmplare să fie rebut este p.

Să se afle numărul mediu de produse rebut ce apar în cele n extrageri.

Avem X l k=l,2,...,n.\ p 1 - p )

care reprezintă numărul de rebuturi apărute la extragerea de rang k.Numărul de rebuturi apărute în cele n extrageri este variabila aleatoare

x=xi+x2+...+xn=YJxk*=1

şi numărul mediu de rebuturi apărute în cele n extrageri este:

M(X) = M Σ * .k=\Dar:

Μ(Χκ)=1ρ+ϋ(1-ρ)=ρ, k-1, 2, ...n şi prin urmare M(X)=np.

4 . Momente iniţiale şi momente centrate Fie variabila aleatoare X:Q—>R şi Y=Xk, keN*.Se numeşte moment iniţial de ordinul k al variabilei aleatoare X, media

variabilei aleatoare Y -X k notat cu mk sau Mk(X):mk=M(Y)=M(Xk)

dacă X este discretă atunci:

mk = Σ χϊ ρ , ’ieiiar dacă X este continuă cu densitatea de repartiţie/ contiunuă pe R atunci

■feemk = Jx* f(x )d x ,

238

dacă integrala din partea dreaptă este convergentă.Momentul absolut de ordinul k este media variabilei |Ζ|λ adică

ΣΚΙ* -α* =Λ/(μτ|*)= fOO

J \x\k f (x)dx (cazul continuu)

unde seria şi integrala sunt convergente.Propoziţie. Dacă există momentul absolut de ordinul k, a* există şi

momentul iniţial de ordin k, Mk şi are loc inegalitatea:\Mk(X)\ < ak(X).

într-adevăr:

\Mk(X )| =■fco +00

j x kf(x)dx < J|*|k f(x)dx = a k(X)

Fie Χ.Ώ —>R variabila aleatoare cu media M(X)-m finită. Variabila abatere este variabila aleatoare ξ definită prin:

ξ ^ -mSe numeşte moment centrat de ordin k, momentul iniţial de ordinul k al

variabilei aleatoare ξ sau media variabilei aleatoare ξ4:= Μ(ξ) = M((X-m)k).

şi avem:ß > . - m)pi, dac ă X este discretă

μ* =ie/+00j ( x - m ) k f(x)dx, dacăX este continuă cu densitatea f continuă

Pentru k= 1 avem ßi=M(X-m)=M(X)-m=m-m=0 adică media variabilei aleatoare este nulă.

Propoziţie. Dacă X:Q—>R admite momente iniţiale de ordinul s, s=l, 2,.... k are loc egalitatea:

μ*

Demonstraţie. Avem4-00 + 0 0

μ* = / (*-«)* /(*)<&* J

s=l

kI

5=1

f(x)dx =

= Σ ( " O'C*m' J xk~sf{x)dx = £ ( - 1 y Cskmk_sm,ţ=l —00 JS1

239

relaţie care leagă momentele centrate de momentele iniţiale.

Momentul centrat de ordinul doi este prin definiţie dispersia variabilei

aleatoare X notată şi D(X):

Σ (xt - mf p ;, dacă X este discretă

ΰ (Χ )^ μ 2 =iei

+«<»

J(x -m)2 f(x)dx, dacă Xeste continuă

—oo

şi integrala este convergentă. O formulă de calcul a dispersiei se obţine astfel:+00 +.»

μ2 - D(X) = j (x - mf f (x)dx = J (t 2 -2m + m2Jf(x)dx -—00 —00

+ 0 0 + 0 0 + 0 0

= J x2f (x)dx -2mjxf (x)dx + m2 J / ( x)dx = m2- 2m2 + m2 = m2 - m2—0 0 —0 0 —00

Se numeşte abatere medie pătratică a variabilei aleatoare X şi se notează cu σχ

rădăcina pătrată cu semnul + a dispersiei:

σχ = 4 0 (Χ)

3. Proprietăţile dispersiei:1°. D(C)-0 dispersia unei constante este nulă.

2°. D(CX)=C2D(X);

3°. D(X±Y)-D(X)+D(Y) dacă X şi Y sunt independente sau mai general

D(X,+X2+... +Xn)=D(X,)+D(Xz)+·.. +D(XJ, XhX2,..Xn independente în totalitate,

( η Λ n

prescurtat Ea ^ ,X k k=\

4°. Combinând 2° cu 3° avem şi

k=\JO .

η n __

Σ cckX k = jaÎD(Xk )>ak e R,k = \,n şi X k independente.

k~\

Demonstraţie. 1° Avem:

D (C ) = M[C- M(C)f = M(C -C)2 =A /(0 ) = 0

2o D(CX) = m\çX- M{CX)2 ]= M[CX- CM(X)f == C2M[X-M(X)Y =C2D(X )

D(X±Y) = m [X±Y-M(X±Y)Y =M[{X-mx)±(Y-mY)f =

= m [(X - mx f ]± 2M[(X - mY \Y - mY )]+ m [{Y - mY f ]= D(X) ±

± 2 M {X - mx )m {Y - mY )+ D(Y) = D(X) + D(Y)

3°.

240

deoarece din independenţa variabilelor X şi 7 rezultă independenţa abaterilor X-mx,

Y-my iar din proprietăţile mediei:

M[(X-mx %Y-mY)]=M {X-mx )M{Y-mY) şi \i(X -mx )= 0

(Am notat mx=M(X) şi mY=M(Y) ).Generalizările de la 3° şi 4° se stabilesc prin inducţie.

Proprietăţi: 1° Dacă variabila aleatoare X are densitatea de repartiţie f(x) simetrică faţă de dreapta x-m, atunci momentele centrate de ordin impar (dacă

există) sunt nule.

într-adevăr dacă f(x) este simetrică faţă de dreapta x-m atunci f(x+m)-f(-

x+m) pentru (V) xeE.Atunci:

4« 0 -H»

ţ 2k+i = j(x-m)2k+lf(x)dx=j(-x-m)2k+'f(x)dx+ j(x-m)2k+l f(x)dx Cu

o

schimbările de variabilă -x - m - -t şi x - m = t respectiv în prima şi a doua

integrală, obţinem:

0 +°°

Μ2*+ι = f t2k+lf(m - t)dt + J ί “ +1/ (m + t)dt = 0.

—oo 0

4°. Fie X o variabilă aleatoare cu M(X) = m şi abaterea medie pătratică σχ=σ. Definim variabila abatere normată Z dată de:

σAvem M(Z)=0 şi D(Z)=1. într-adevăr

" ί

= -M(X-m) = 0 şi <r

= D {X - m ) = \ D { X ) = ~ = 1 σ g σ

D{Z) ~ 'σ

în încheiere vom menţiona că media M(X) a unei variabile aleatoare X exprimă centrul de greutate al valorilor variabilei aleatoare A^iar dispersia măsoară

gradul de împrăştiere al valorilor aleatoare X în jurul centrului de greutate, adică

în jurul mediei sale.

Exerciţii: 1. Se efectuează o probă având sau nu ca rezultat un eveniment A cu P(A)=p. Fie X variabila aleatoare care reprezintă numărul de apariţii ale

evenimentului A într-o singură probă.

a) Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare X.b) Funcţia de repartiţie şi graficul.

c)M(xj,D(X),to(X).

241

Rezolvare.a) Avem evident X

b) F(X) = P(X<x) =

f O 1Q P

O,

,p+q=l.

x<0

q, 0 < x < l

p + q = 1, X>1.

Graficul funcţiei de repartiţie F(x):

c) M(X)=Oq+lp=p; M(X?)=& q+l2p=p;D(X) =M(X)-M2(X) =p-p2=p(l-p) =pq

ß}(X)=(0-p)3q +(1 -p)3p =pq(q-p).2. Variabilele aleatoare independente Jfşi Y au repartiţiile:

Pi+<li =1

Pi +<li =1

( 1 { Λ If 1 0 "X L yl

[Pi 9iJ Kp2 92,

X Y Z=X-Y

1 1 00 1

0 1 -10 0

Să se determine repartiţia, media şi dispersia variabilei aleatoare Z = X- Y

Rezolvare. Conform tabelului, deducem:

P(Z = -1) =P(X=0)P(Y=1)-qiP2

P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=l)P(Y=l)=qiq2+p,P2 P(Z=1) =P(X=1)P(Y=0) -Piq2 Repartiţia variabilei Z este:

J -1 0 \ λZ

Q\P2 <hQ2+ P\P2 PlQ 2,

242

şi M(Z)=(-l)q1p2+0(qiq2+pipz)+lp1q2=: -qip2+Piq2=PrP2

Mcz)!=(-l)2qip2+(r(qiq2+pip2)+l2piq2::::qip2+piqiz=pi+p2-2pip2 D(Z) =M(Z2)-M(Z)2=pi+p2-2p1p,-(prPi) =Piqi+P2^2

3. Durata T necesară pentru repararea unui televizor ce soseşte la atelierul de

reparaţii este o variabilă aleatoare care are funcţia de repartiţie:

0 , pentru ί< 0

1 - e ** , pentru t > 0λ > 0

Să se afle M (T), D(T).

Rezolvare. Densitatea de repartiţie este:

0

şi pnn urmare:.η» «μ 00

M(T) = J tf{t)dt = A J te^dt = -te'* “ + je^d t = - ;

M (T 2)- Ajt2e~**dt = -t2e~h q + 2J te'^dt = j J foe'^dt = — ;

D(T)·

o

2 1

A2 A2 12 ■

4. Variabila aleatoare X are densitatea de repartiţie

' 1

/ ( * ) =

Să se afle M(X) şi D(X). Rezolvare.

— x'e*, x>0 „ , n! n natural

0 , x < 0

M (X) = f xf{x)dx - — f xx"e Xdx = —?xn+]e'xdx =

i n'i " !i Γ(ι· + 2 ) ..(/■ + ]) _ n |1

n\ n\

M {X 2 ) = Ϊ x2 f (x)dx = — ? xn+2e~xdx = = (n + lX« + 2).J ” ! o «! «t

D(X) =M(X?)-M2(X) =(n+l)(n+2)-(n+l)2=n+l.

243

Funcţia caracteristică1. Una dintre noţiunile fundamentale ale teoriei probabilităţilor este funcţia

caracteristică (f.c.) noţiune frecvent utilizată atât în problemele practice cât şi mai

ales în problemele cu caracter teoretic.

Definiţie. Aplicaţia (p:R—>C, <p(t)=M(eitX), unde i = V-1 se numeşte funcţie

caracteristică a variabilei aleatoare X.Dacă X este discretă cu repartiţia:

X'XX *2 - O

KP\ p 2 ··· Pn

notată şi <px(t) va fi:

n, p. >0, ^ p k = 1 , atunci funcţia caracteristică a lui X

*=i

<px (t) = M{ei" ) = Ÿ JeUx'Pk’*=1

iar în cazul în care variabila aleatoare X ia o infinitate numărabilă de valori

φχ(ί) = M (e ,rf) = j i > to‘ / v

*=i

Dacă variabila aleatoare X este continuă cu densitatea f(x) atunci:

+00

<Px(t)= jeluf(x)dx,

cu condiţia ca integrala să fie convergentă şi seria de asemenea.

Exemple: 1°. Variabila aleatoare discretă Z e u repartiţia:

1 0N

Ρ qt, p + q= i,

are funcţia caracteristică <Px(t)=eUI p+elt0-q p +q.

2°. Fie variabila aleatoare X care ia o infinitate numărabilă de valori având

repartiţia:

p(x)=pqxI, x = l,2,...,p +q = 1

244

Avem: = ~-Γ^-ΊΓ=17^- Ύt ί ? £ ί <7 l-qe \-qe

deoarece seria geometrică £ (<?e" J este convergentă cu raţia:

I qett I = φ "| = q (cos2 ί + sin2 f )= q < 1.

3°. Să se determine funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X cu

repartiţia:

f(x,λ)-λε** x >0, λ > 0λ

Avem: φχ (ί) = J e^Xe'^dx = λ J e -** ü)xdx = —— -.

4°. Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare uniforme repartizată în

intervalul [a,b] având densitatea de repartiţie:

1/ ( * ) = ■

b-a

1 r ■ eibl- P ialAvem: φχ (t) = --- J Λ χ = — -- -

b-aJ it(b - a)

xe [a,b\.

2. Proprietăţi:

1°. φχ(0) -1 ;

2°, \φχ(ί)\<1, (v)reÆ;

3°. φαχ(ί) = φχ(αί), a e Ä ;

4°. Dacă: Z =X - m -i—I

, atunci φζ(ί) = ε σ φχ unde m=M(X) iar

σ 2 = D(X) ;

n

5°. Dacă X = X k ,\mâeXh,k=l,2,...,n sunt independente atunci:

k=lH

<Px (0=φ . (0=Φχ, (*)<Ρχ2 (0-<Px. (0=Π v*. W ’Σ** *=1

relaţie care exprimă că funcţia caracteristică a sumei de variabile aleatoare independente

este egală cu produsul funcţiilor caracteristice ale variabilelor.

6°. mr = — φ^\θ) adică momentul iniţial de ordinul r al variabilei aleatoare X este Γ

egal cu valoarea derivatei de ordinul r a funcţiei caracteristice pentru t-0 împărtită

la f.

245

Demonstraţie. Pentru 1° avem <p(0) = Λ /(e‘°* )= M ( 1) = 1.

Pentru 2° avem:foo + 0 0 4-oo

jeitxf (x)dx < J |eto j/ (x)dx = J / (x)î& = 1 , întrucât

_oo —oo —eo

|e'tt J = |cos tx + i sin tx\ = cos2 tx + sin2 tc = 1 .

în cazul 3° φΜ (ί) = M[eitaX ]= M[ei{at)X )= φχ {at).

Pentru 4° avem:

)= M( · X~m \ it--------e σ

T

II

( 1 \ l-X

e °-Æ

= e °φ χi ' lf

k. J \ / 1σ ;

în cazul 5° scriem:

φχ (ί) = Μ (β"(*·+* ’+·"+**))= M(eilX' ■ e“*2 ■... ■ eitX" )= Afţe"*' )· A/je" * 2 )·

•... · M(eitX* )= φΧί (/) · φΧι (ί) · ...φΧη (ί),

în baza independenţei variabilelor Χι,Χ2,···,Χη·-H»

în sfârşit pentru 6° ţinând seama de relaţia (px(t) = je‘af(x)dx prin

derivare în raport cu parametrul t deducem +00

(px\t) = ifxeilxf(x)dx;

+O0 +00<Px(t) = i2 J x2eitx f(x)dx...ç(x)(t) = ir J xre,tx f (x)dx şi făcând

—oo —oo

în ultima relaţie t = O obţinem:4oo

ir<p/r)( 0) = J xrf(x)dx = mr, r = 1,2 ,...

sau:

fÎHo)

presupunând că derivarea integralei este posibilă.

în ceea ce priveşte momentele centrate de diverse ordine exprimate cu

ajutorul funcţiei caracteristice, avem din 4° pentru σ = 1,φΑ-.ΒΙ(/) = e~'im(px{ţ) şi

prin derivare de r ori în raport cu t, găsim:+00

= =*·' j(x-myeil(x-n,)f(x)dx,

246

unde pentru t=0 găsim:

K = 4 - ^ > Λ · ( θ β .

Exemplu: A m văzut că funcţia caracteristică a variabilei aleatoare cu

densitatea de repartiţie f(x,X)=L·'^, x>0, λ>0 este:

A m văzut că relaţia care defineşte funcţia caracteristică pentru o variabilă

aleatoare continuă X cu densitatea de repartiţie f(x) este:

Există o relaţie numită formula de inversiune a lui Fourier care defineşte

densitatea f(x) în funcţie de funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X exprimată

prin integrala:

Demonstraţia şi condiţiile de existenţă ale relaţiei precedente nu le vom da aici.

5· Repartiţii clasice discrete şi continue

Repartiţia hipergeometricăSă presupunem că dintr-o urnă cu N bile albe şi negre, dintre care a sunt

albe, extragem n bile fără a introduce bila extrasă înapoi în urnă. Fie X variabila

aleatoare care reprezintă numărul de bile albe apărute în cele n extrageri. Repartiţia

acestei variabile se numeşte repartiţia hipergeometrică, iar proabilitatea ca x din

cele n bile extrase să fie albe şi deci n-x negre, se calculează după formula schemei

bilei nerevenite, deci:

<Px( 0 = jelaf(x)dx.

sau

247

C xfin-x a N-a

r n° N

n r*x/~<n-x ί n r^n

unde = = = Lx = 0 x= 0 W x= 0 '•'t f

n

A m folosit identitatea £ C *C £ "* = C"+fc care se obţine identificând coeficienţii lui

, a e N *, neN*, x = 0,1,2,...,n,

x=0ί" din cei doi membri ai egalităţii (1 +t)a(l +t)h-(l +t)a+h.

Vom calcula în continuare media şi dispersia unei variabile aleatoare cu

repartiţia hipergeometrică.

al

x=0

C N x=0

α N -a 1n

V v

C "'-JV

C "'-'NL ·x=o

Dl-J _ 0/-in- 1

‘ L N-a na' N -a - c n N

xKa-x)!

f n-x _

N-a -

n x n—x ί n fix/m-x

Μ (Χ 2) = Σ * 2x=0 X=0 '■'ΛΤ

^ Ϊ > - · > · u ~ ~ + M (x ) = f ^ Ê c .*-1 c r . +^ x$a-x)\ CnN to' N x=0

. α (α- 1) ,-,η-2 , η β _ β(α- 1) , «α _ απ(α- l)(n-1) , ηα

+ Μ (Χ )- ~ δ Γ Ν-2 + 1î " W E r ' ¥ iv(iv-i)

n(n-l)

Rezultă că D(X) = M (X 2)- M 2(X) =an{a -1)(« - 1)

N{N-$

an a2n2 _ a N -a N-n

+ ~N~ N 2 ~n~N N N-l '

Notând p = — probabilitatea extragerii unei bile albe la prima extragere şi N

N ~aq = \- p = — ΓΓ— , media variabilei X este:

N

iar dispersia D(X) = npq

M(X)-np,

N-n

N - 1Exemplu:Un lot de 100 de piese conţine 10 piese defecte. Se extrag la întâmplare 5

piese din lot, fără revenire, pentru a fi verificate. Să se scrie repartiţia variabilei

248

aleatoare X care reprezintă numărul de piese defecte şi să se calculeze numărul

mediu de piese defecte din eşantionul controlat şi dispersia.

Soluţie. Variabila aleatoare X - numărul pieselor defecte are o repartiţie

hipergeometrică cu N=100, a=10, n=5.

0C° C10^90

1Γ 1 Γ 4^ 1 0 90

100

na

"100

2

C 2 C 3^ 1 0 90

C 5w100

C 3 C10'-' 90

'100

c 4 c 110 90

'100

ri5 r 010 90

'100

M (X ) = — = N

D(X) = n-'

5-10

100 N-a

= 0,5,

N-

N -1■ = 5

10 90 95

100 100 99= 0,432.

N N Repartiţia Poisson

O variabilă aleatoare X are o repartiţie Poisson de parametru λ dacă repartiţia

sa are forma

X

x

x\

jc = 0,1,..., A > 0 ,

deci probabilităţile diferitelor valori ale variabilei se calculează cu formula:

P(X = x)·λ _λ — e λ. xi

-λ ·βλ = 1 .

Evident,P(X=x)>0, (V) xeNşiOO Ί X 0 0 Ί Χ

χ=0 χ=0 Λ · χ=0 Α ·

Legea Poisson descrie, spre exemplu, repartiţia numărului de apariţii ale

unui eveniment oarecare într-un interval de timp, dacă este cunoscut numărul

mediu de apariţii ale evenimentului în unitatea de timp şi dacă momentele

apariţiilor evenimentului sunt independente. în acest sens, repartiţia Poisson are

multe aplicaţii în problemele de statistică din fizică şi tehnică.

Repartiţia Poisson mai este cunoscută şi sub numele de „legea evenimentelor

rare”, denumire justificată astfel: să presupunem că se efectuează n probe

independente şi în fiecare din acestea evenimentul A are probabilitatea de realizare

p mică în raport cu numărul n al probelor, care este mare. Să considerăm variabila

aleatoare X, numărul de apariţii ale evenimentului A în cele n probe. Variabila

aleatoare Xare o repartiţie binomiaîă:

? ( x = x ) = c y ( i - ^ r .

249

Notând ηρ=λ, pentru p—»0, λ rămânând constant, numărul probelor

n = -- >00 şi trecând la limită în relaţia de mai sus, pentru n— obţinem

Prepartiţia Poisson.

vrt-x

lim Cx px (1 - pY x = Hmn(n -!)...(« - * + 1) (λ\χ(. λ'

= limη—>οο

χ\

η

1- -η

{_ λ ΛΧ

η

dar cum limη—»00 χ\

= Îşi lim 1--

lim Cx ρχ (I - ρ)"~χ = — eη-χ» χ !

= 1 rezultă:

λ* -Λ

Astfel, în practică, atunci când se efectuează un număr mare de probe asupra

unui eveniment A de probabilitate p, acelaşi în fiecare probă, mic în comparaţie cu

numărul probelor, atunci numărul de apariţii are aproximativ o repartiţie Poisson.

Exemplu·.O centrală telefonică automată, primeşte, în medie într-o perioadă de vârf k

apeluri pe oră. Să se calculeze probabilitatea ca centrala să primească într-un minut

exact m apeluri.

Soluţie. Deoarece chemările sunt independente, numărul de chemări pe

minut se repartizează după legea Poisson. Valoarea medie a numărului de apeluri

pe minut este:

A = — ,60

deci probabilitatea ca centrala să primească m apeluri pe minut este:

P(X = m) = -

(Jl )m

60

m\

k60

Momentele repartiţiei Poisson. Vom calcula valoarea medie şi dispersia

repartiţiei Poisson pornind de la definiţie:

<” η» 00 tX-1M (X ) = Σ χβ~λ “ = ' λ · Σ ? — ίΤΤ = A ·e-A -eA = λ

- γ| ί * “ 1)!χ=0Deci valoarea medie a variabilei aleatoare X cu repartiţie Poisson este chiar

parametrul repartiţiei.

250

Μ (Χ ’ι) = Σ χϊ ' ^ e~X = Σ (* 2 λ +χ=0 Χ · χ=0 Χ · χ=0 Χ ·

+ M ( A O = A V a - Y Α* 2 + Α = Α2 ·β~λ ·βλ + Α = A2 + ΑS ( * - 2)»

Deci: D(X) = M (X 2)- M 2(X) = Ă2 +Α - Α 2 = Α

Funcţia caracteristică.

>to ·— e_A = e-A · Y = e'A · =e--.e~ = e A(e"-,).<px (o = Σ ® “* ·~τ6"λ = e_A · Σ-x=0 Χ · x=0 Λ ·

Avem succesiv A /(X ) = ^ ^ = A ; M ( A 2 ) = — ^ = A2 + A ; £>(X) = A .t i

Exemple'.1) Să se determine repartiţia sumei a n variabile aleatoare Poisson

independente, de parametrii λι,λ2,...respectiv λη.

Soluţie. Fie Xi,X2,...,X„ variabilele aleatoare Poisson de parametri λι,λ2,... λ0

şi Y = X ,+ X 2+...+Xn.

Vom determina repartiţia variabilei aleatoare Y cu ajutorul funcţiei

caracteristice. Ştim că φΧι (t) = eA‘(e -I) (v) k = l,n şi folosind independenţa

variabilelor XhX2,...Xn avem:

φγ{ί) = φ . (0 = Π ^ ( 0 = Π « λ4(ί“"') =eMe“-[) ■ e ^ ‘“ ...Σ χ» k=ί *=ι1

3 /■„·* ι\...e η( } = e ‘=l

η η

Rezultă că Y = Σ X k este tot 0 variabilă Poisson de parametru A = Σ K ■ k=1 k-i

2) Un aparat este alcătuit din 1000 elemente care funcţionează independent

unul de altul. Posibilitatea ieşirii din funcţiune a oricăruia dintre elemente pe durata

T este egală cu 0,002. Aflaţi probabilitatea ca pe durata T să iasă din funcţiune

exact 3 elemente.

Soluţie. Pentru « suficient de mare (adică cel puţin de ordinul sutelor), am

văzut că putem scrie egalitatea aproximativă:

C x „X„n-x _ -X Λ .n p <7 _ e · , A np.

x\

Deci, probabilitatea cerută este:

P (X = 3) = C,30OO(0,002)3(0,998)"7 ^~ ·β~ λ = | - e '2 «0 ,18 ;

251

3) Ο fabrică livrează la o bază de desfacere 500 de piese. Probabilitatea ca în

timpul transportului oricare dintre piese să se deterioreze este 0,002. Să se afle

probabilitatea ca să se deterioreze: a) exact 3 piese; b) mai puţin de'3 piese; c) mai

mult de 3 piese; d) cel puţin o piesă.

Soluţie, fie X variabila aleatoare care reprezintă numărul pieselor deteriorate

în timpul transportului. Numărul n = 500 este mare, p - 0,002 este mică,

deteriorările pieselor sunt independente una de alta, deci avem:

(λ = ηρ * 1000-0,002 = 2, e-2 « 0,13534).

= 1-0,36788 = 0,632

Repartiţia binominalăO variabilă aleatoare X are o repartiţie binomială de parametri n şi p, dacă

repartiţia sa are forma:

Spre exemplu, variabila aleatoare asociată schemei Bernoulli ( a bilei

revenite), are o repartiţie binominală de parametri n şi p unde n este numărul de

extrageri succesive, iar p probabilitatea de a obţine o bilă albă.

Dacă notăm Pn(x) = Cx pxq"~x avem:

1) Pn(x)> 0 ,

P J X = x)~— e-x x=0,l,2,... λ=ηρ=500·0,02=1. x\

' % x \ 2 2

c) P(X>3) = l-P(X<3) = \- e_1+ e _1+ ^ - +2 6

V /

= 1-(0,9197+ 0,0613) = 0,019

e-1d)P(AT^l) = l - P (X < l ) = l- P (X = 0) = l- ^- = l-e-1 =

x = 0,l,2,...n

, p,q>0 , p + q = l, n€ N , x = 0,\,...,n

n n

252

iar mulţimea variabilelor aleatoare cu o repartiţie binominală de parametri n şi p o

vpm nota prin B(n,p).

Momentele repartiţiei binominale

•pxqn + M (X) = n(n - \)p2 (p+ q)n~2 +M(X) = n(n-l)p2 +np

Deci: D(X) = M (X 2) - Μ 2 (X) - n2 p2 -np2np-n2 p2 =np{ 1- p)-npq

Funcţia caracteristică

S-a observat că din 3 vizitatori ai unui magazin, în medie 2 cumpără şi unul

nu. La un moment dat, în magazin se află 4 persoane. Să se scrie repartiţia

variabilei aleatoare X care reprezintă numărul de cumpărători dintre cele 4

persoane şi să se calculeze media şi dispersia.

Soluţie. Variabila X are o repartiţie binomială cu n=4,

Jt=0Se poate uşor arăta că:

M (X 2 ) = = n2p2 + npq ;

D(X) = M (X 2 )- M 2(X) = npq

Exemplu

/> (I = 0) = C 4W = 1 ;

P(X = l) = C\pqi = A ;

/> (*= 2) = c 4W = ! y ;

P(X = 3) = Clp'q = — ;

253

Repartiţia sumei de variabile binominale independente Fie variabilele binomiale independente X şi Y cu repartiţiile

P„(x) = B(n,p) = C*pxqn~x , x = 0,l,2,...n. p+q=l;

Pm(y) = B(m,p) = Cympyqm~y, y = 0,1,2,...m. p+q=l;

având acelaşi parametru p cărora le corespund funcţiile caracteristice

Φχ (0 = (peU + q) Şi Φγ (0 = (pe" + ?)”

Calculând funcţia caracteristică a variabilei sumă Z=X+Y obţinem:

<Pz (0 = <Px+y (0 = Φχ (0 ■ Φγ (0 = {pe" + q) (pe“ + qf = (pe" + q Y " ,

relaţie din care deducem că repartiţia variabilei sumă X+Y de variabile binomiale

independente având acelaşi parametru p este:

Pm+n(Z) = B(p,m + n) = C zm+npzq"-z, z = 0,1,2,...m+n, p+q=l,

adică tot o repartiţie binomială de parametri p şi m+n.

Proprietatea de mai sus poate fi generalizată, extinzând-o la un număr

oarecare s de variabile binomiale de acelaşi parametru. Astfel dacăX*, k=l,2,...s

sunt variabile binomiale independente cu repartiţiile:

B(nk,p) = Cxn‘px'qn*-x* , x* = 0,l,2,...nk, p+q =1,

depinzând de acelaşi parametru p, atunci repartiţia sumei

x=xl+x2+...+xs='£xk,*=i/

este o repartiţie binomială Bk=\

Repartiţia geometricăSă considerăm variabila aleatoare discretă X care reprezintă numărul de

trageri într-o ţintă până la prima nimerire şi să presupunem că probabilitatea de

nimerire la o tragere oarecare este p. (q=l-p probabilitatea de a nu nimeri).

Valorile posibile ale variabilei aleatoare X sunt numereţe după

cum ţinta este nimerită la prima tragere, la a doua,..., la a x-a tragere. Rezultă că:

P(A) = p şi P(Ă) = l-p = q.

P(X = l) = P(Aţ) = p ;P(X = 2) = P(At n A2) = q■ p deoarece rezultatele tragerilor sunt

independente. Analog:

P(X = 3) = P(Ăln T 2n A 3) = q2p,

P(X = x) = qx~xp .Deoarece teoretic este posibil ca ţinta să nu fie nimerită niciodată, urmează

că numărul de trageri până la prima nimerire poate fi oricât de mare, deci repartiţia

variabilei aleatoare X va fi:

f \ 2 3 ... x . Λ

„ _ _2 „„*- 1 p pq pq - pq

x\p P<

P(X = x) = px =qx-'p.oo

Trebuie deci să avem: Σ px = 1.

p> 0 ’ p+q=i

x=l

Σ ρ * ' = ρ 0 + ? + ^ 2 + .··+ ? ι", + ···)= /> “ = ρ · - = ι .t i " \-q p

deoarece seria din paranteză este o serie geometrică de raţie 0<q<l a cărei sumă

este —— = — .1 -q p

Calculul valorii medii şi dispersiei variabilei X cu repartiţie geometrică îl

vom face pornind de la definiţie:

Μ (X) = Σ*Ρ<7*"' = Σ ^ *”1 ·x=l x=l

Pentru a calcula suma seriei Σ * ? * -' folosim seria geometrică convergentă

W < 1 ·

^ q x =\ + q + q2+... + qx =TZ 1 -Qx=o 1 qpe care o derivăm membru cu membru şi obţinem:

255

*=0Prin urmare

xA --\ + 2q + 3q2 + ... + xqx 1 + ...= 1

(i- ? ) 2

M (X) = p ^ x q x-l=- _ = J L = I

(1 - t f W

Pentru momentul de ordin doi avem:

M 1(X) = M (X 2) = % x 2px=p '£ x2qx-' .

x=I

V (

x=l

„ j:-1

x=l x=lΣ * ν -1 = Σ * ? χ = ^ Σ ^

I ι = 1

p (1 + ţ) l + gRezultă deci M 2(X) =

L(i-î)2

(p+q=l)

1 +

Ζ )(*) = Μ 2( Χ ) - Μ 2(Χ ) = - γ ^ - - ^ = ^ - ~ = Λ ·(1-?) P P P P

■ _ Æσ(Χ) =■'p- p

Pentru valori mici ale lui p se poate considera q~l şi atunci:

Μ {Χ )»σ χ ~-.Ρ

Egalitatea mărimilor M(X) şi σ(Χ) ne conduce la legătura cu repartiţia

exponenţială care, după cum vom vedea în cele ce urmează, se poate obţine din

repartiţia geometrică.

Fie At durata unei probe şi să considerăm intervalul de timp (t, t+At) cu

t-xAt, xeN. Probabilitatea p, ca evenimentul A să se producă în intervalul (t, t+At)

este egală cu px=ptf‘.

Punând A = rezultă că parametrul λ reprezintă probabilitatea realizării

evenimentului A în unitatea de timp.

p,=XAt(l-XAt)x

Făcând acum At—>0, t şi λ fiind fixaţi rezultă că x —> ° ° ş i p —> 0 . Rezultă că:

Ăt 'xlim — = λ limi 1-A t-> 0 A t A * - * 1

= Ăe -λι

deci am obţinut densitatea de repartiţie exponenţială.

Să stabilim acum expresia funcţiei caracteristice pentru variabila:

256

pq

X

X -\

x =

p + q = 1 p>0

pq‘-' = L j\ qe·)1=1 *? 1=1 1

Exemplu:

Se aruncă un zar şi se notează cu X numărul de aruncări efectuat până la

prima apariţie a feţei cu un punct. Să se scrie tabelul repartiţiei variabilei X şi să se

calculeze media şi dispersia.

Fie A: evenimentul apariţiei feţei cu un punct.

P(A) = p -Λ P(Ă) = q = IO o

p (X = l) = p = i ; p (^ = 2) = 9 .jp = I . 4 =: A ;.../>(X = Â) = 5* 16 6 6 * »·

Variabila aleatoare X este o repartiţie geometrică după cum urmează:

1 2 ... k ..Λ

5 5*-1

6 6 2 6 * '"J

5*_1 1 γ

6* 6 f t

' 5 Y "1 1

16 J = 6

1

i- l6

= 1

M (X) = - = 6 P

D ( X ) = 4 - = - r = 3 0p _ L

36

Repartiţia uniformăAdeseori, în practică, se întâlnesc variabile aleatoare continue, despre care

se ştie că valorile lor posibile se găsesc în limitele unui anumit interval determinat

şi în plus, sunt la fel de probabile. Despre aceste variabile se spune că se

repartizează după legea densităţii uniforme sau rectangulare.

De exemplu, să presupunem că într-o staţie de autobuze, vehiculele trec din

trei în trei minute. Timpul T cât un călător aşteaptă în staţie un autobuz este o

variabilă aleatoare repartizată uniform în intervalul [0,3].

O variabilă aleatoare X are o repartiţie uniformă de parametri a şi b, dacă

densitatea sa de repartiţie este:

257

1X G [a,b]

f(x) = \b-a0 x <£ \a,b\

Graficul funcţiei f(x) este cel din figura de mai jos:

Evident,/fo) va avea proprietăţile unei densităţi de repartiţie, şi anume:

1) / ( x ) > 0 (v) x e R ; evidentă

+00 -H» a

2) J f(x)dx = 1 . într-adevăr, avem: J f(x)dx= jf(x)dx +

+ jf(x)dx + jf(x)dx = J · ^ — dx = = 1a b a

Să exprimăm acum funcţia de repartiţie F(x) a variabilei uniforme.X

F(x) = P{X <x)= jf(t)dt

Deci, F(x) =

0, x<a

x-a% a<xb

Să calculăm în continuare media şi dispersia variabilei uniforme*·

D(X) = M (X 2)- M 2(X) unde M (X 2)= jx2f(x)dx =

258

- Ü A h -ί — n J

b -ab + a

b-a'a

Rezultă

z j m -q2~ab+I}2 (a+bf -(b-af3 4 12

Funcţia caracteristică este

+00 1 ^

^ ( 0 = A/(eitt)= JV*/(x)<& =■£— =

= —-— f (cosfcc + /sinix:)^ = —-— b-aJ b-a

sintc b i costc b

t a t a

= — -— (sin bt - sin at - i cos bt + i cos at) = -- ---[(cos bt + i sin bt) -t(b-a) it(b-a)L

- (cos at + i sin a/)] = -- ---(elbt -e“" )it(b - a)

Vom da în încheierea celor expuse în legătură cu repartiţia uniformă, o

proprietate importantă a acesteia care se enunţă astfel:

Dacă variabila aleatoare X este continuă, cu funcţia de repartiţie F(x)

continuă, atunci repartiţia variabilei:

U=F(X)

este uniformă pe (0 ,1).

Pentru demonstraţie să considerăm graficul din fig.l al unei funcţii de

repartiţie continue U=F(x)

U=F(x)

1

Şi

Fig. 1

Datorită monotoniei funcţiei F(x), la un « dat pe axa OU corespunde un x(u)

numai unul pentru care:

F[x(u)]=u 0 < u < \ (1)

259

Considerând u ca variabilă independentă şi diferenţiind relaţia (1) obţinem

9F[x(u)] dx(u)

dx(u) du

şi ţinând seama că = /[jc(u)], unde / este densitatea de repartiţie adx(u)

variabilei X, relaţia (2) devine:

/[*(« )}dx(u)

du1. (3)

Aceasta este tocmai formula care reprezintă densitatea de repartiţie g(u) a

funcţiei de variabilă aleatoare X şi anume U = F(X). Avem deci: g (u) = 1 0< u

<1 care este repartiţie uniformă pe (0 ,1).

Aşadar transformarea U = F(.X), face trecerea de la variabila X care are

funcţia de repartiţie F (x ) deci o lege de repartiţie fix) la variabila U care are o

repartiţie uniformă pe (0 ,1).

Exemple:

1) într-o staţie de autobuze, vehiculele trec din 3 în 3 minute. Timpul T cât

un călător aşteaptă în staţie un autobuz este o variabilă aleatoare. Să se scrie

repartiţia variabilei T, funcţia de repartiţie şi să se calculeze M(T) şi D(T).

Soluţie. Variabila aleatoare T are o repartiţie uniformă pe [0,3], deci

1

/ ( * ) = 3 ’

0 ,

0<x<3

m rest.

Rezultă F(x) =

0 ,

1

3* ·

1 , x>3.

x<0

0<x<3

M(Ţ) = - D{T) = — . 12

2) Se face o cântărire a unui corp cu greutăţi exacte, dar nu mai mici de 1

gram. Rezultatele cântăririi arată că greutatea e cuprinsă între k şi k+J grame. în

aceste condiţii, greutatea e luată egală cu k+~ grame. Eroarea admisă X este o

variabilă aleatoare. Să se scrie repartiţia ei şi să se calculeze media şi dispersia.

Soluţie. Variabila aleatoare X are o repartiţie uniformă pe intervalul

2 ’ 2

260

/ ( * ) =

.1 i 2*2

2 ’ 2Funcţia de repartiţie este:

1 x e

0 x «

Λ

F (x ) = J î/î = r

-K

Deci F(x) =

x 1

->^ = X 2 ‘

0 , x < ~1

x — , xe 2 2 ’ 2

1 ,

M ( X ) = 0 ; D ( X ) =

1x > —.

2

ί Υ

1

12 48

Repartiţia GamaSpunem că o variabilă aleatoare continuă X are o repartiţie Gama, dacă

densitatea sa de repartiţie este:

f(x,a,b) =

1

» T M0

xa~xe b ,x>0, a>0, b>0

, x < 0oo

unde Γ(α) reprezintă funcţia gama, Γ(α) = J x 0-1 e~xdx şi are proprietăţile:

1) Γ(1) = 1;

2) Γ(α) = (α-ΐ)Γ(α-ΐ);

3) Γ(α) = (α-ΐ)

4) rf- H=V5r.

Revenind acum la repartiţia Gama, se vede uşor că f(x;a,b)>0 pentru x>0 şi că:4 «

j f ( x , a , b ) d x = 1

261

într-adevăr:

f f(x,a,b)dx = f----- x° xe 'bdx = ---7~χ[^ία xe 'dt =L J K " ’ {b ana) b‘r(a){

= — ?ίβ“ιβ " 'Λ = ί ^ = 1,Γ (a)J Γ (a)

X

unde s-a făcut schimbarea de variabilă t = —.b

M r(X) = M ( X r) = j xr f(x)dx = -^~-^j xr ·χα~ι ·e~X//bdx =

= J Ş Z J t~r-le, dt = ţ>Ţ H .

bar(a){ Γ(α)

Deci M (X ) = = ab .Γ (a)

M (X 2) = b2r(° + 2î = b2a{a + 1) şi Γ(α)

D ( X ) = Λ / (Χ 2 ) = M \ X ) = a2b2 + ab2 - a2b2 = ab2.

Funcţia caracteristică este <px(t) = (l -itb)~a. într-adevăr obţinem:

+O 0 oo

φχ (0 = J < * / ( # - j j p o I e'° ' x'~' ·< > '* *=

= ' j v W . I v ä 2 - L ÿ i f W .«-**«-·&' .i>"r(a)Jo a »! * ”r ( a ) é ( , i „ »!

Dar jxn*a~' •e~/bdx = T{a+n)'ba*n deci obţinem:

0

ΨχΚ’ ( ' « . ι έ »! ' ' i T W t f »!

• a(a + 1)...(α + η - 1)Γ(α) = (1 - itb) α.

Repartiţia exponenţială negativăRepartiţia exponenţial negativă este un caz particular al repartiţiei Gama şi

se obţine pentru a=l şi b = — .

μ

262

O variabilă aleatoare X are o repartiţie exponenţial negativă de parametru μ dacă densitatea sa de repartiţie este dată de:

Variabila aleatoare T care reprezintă durata de funcţionare a unei lămpi are o

repartiţie exponenţială. Să se determine probabilitatea ca durata de funcţionare a

lămpii să fie cel puţin 600 de ore, ştiind că durata medie de funcţionare a unei

astfel de lămpi este de 400 de ore.

Soluţie. Se cere P(T > 600) = 1 - P(T < 600) = 1 - F (600) unde

Repartiţia normalăîn cele ce urmează vom studia repartiţia normală care ocupă un loc central în

teoria probabiliţilor şi statistica matematică. Spre exemplu, durabilitatea

anvelopelor, abaterea diametrului unei piese cilindrice de la dimensionarea

standard, rezistenţa la rupere a unui fir, sunt variabile aleatoare care au o repartiţie

normală.

Densitatea de repartiţie normală are expresia:

unde m şi σ sunt parametri repartiţiei, a căror semnificaţie se va vedea în

continuare.

Graficul acestei densităţi este schiţat în figura de mai jos şi se numeşte curba

lui Gauss.

Particularizând rezultatele obţinute în cazul repartiţiei Gama obţinem:

M (X ) = — , D(X) = -L, φχ(ι) = -ϋ— . μ μ2 μ -it

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare exponenţiale este:

Exemplu:

F(t) = \-em este funcţia de repartiţie exponenţială, cu μ deoarece

Deci Ρ (Γ > 600 ) = 1- 1-e 400 = e~% =0,2231 .

/

263

Funcţia f(x,m, σ) trebuie să verifice proprietăţile unei densităţi de repartiţie

şi anume:

1 ) f(x,m,σ) > 0 , (v)xe R - evident, deoarece σ> 0

2) jf(x,m,a)dx = 1.

—OO

într-adevăr :

+oo ^ + 0 0 \f x-m Ϋ

* )dx =1 1 3

r —*

b l · 1 * ·4ϊπ

unde am făcut schimbarea de variabilă —— — = t.σ

Ultima integrală obţinută este integrala Euler-Poisson:

+«■ i2

je 2dt = -Jîn

+~ j

deci obţinem | f(x,m, a)dx = —ţ = ■ */2π = 1 .i V 2^

Vom nota mulţimea tuturor variabilelor aleatoare cu o repartiţie normală de

parametri m şi σ prin N(m, σ). Fie deci XeN(m, σ) şi să calculăm media şi

dispersia variabilei aleatoare X.l( x-m Ϋ

M{X)=\xf(x, m,a)dx = — j = J .

—oo ^ ^ —oo

= i— f (at + m)e 2 dt = ~ţ== f te 2 dt + ( e 2 dt = m,V2Îr J Ă i ν2π J

+00 1

264

deoarece prima integrală se anulează, funcţia g(t) = te 2 fiind impară, iar cea de-

a doua este integrala Euler-Poisson, egală cu VÎjt .

+ 0 0 + 0 0

D(X)= f ( j c — m)f(x, m,a)dx -— ■== f (x-m)7L σ42π L

dx -

2 + r 1 ,2σ r

yÎ2ni

ar__· limV 2n

t2e 2 dt-4τπ

~,2-te 2 dt

-i,* -te 2

+00 1+ cr2 --7! = ie 2* dt = a 2,

deoarece lim = 0.

Rezultă că parametrul m din expresia densităţii de repartiţie f(x,m, σ) este

chiar media variabilei aleatoare normale, iar parametrul σ reprezintă abaterea

medie pătratică.

Pentru determinarea funcţiei de repartiţie, vom utiliza funcţia integrală a lui

Laplace, definită astfel:

1 2 1 2 φ(ζ) = -±= [β~2 dt.

Să observăm că funcţia Φ(ζ) este impară:

1 ~z —-t2 1 1 V φ (ζ ) = —==r fe 2 cft = — ie 2 dt = - Φ (ζ),

deci curba γ=Φ(ζ) este simetrică în raport cu originea axelor şi admite două

asimtote orizontale:

lim Φ (ζ) = ~—y-t-~ 2

lim Φ (ζ) = —2

Observaţie:

Valorile funcţiei Φ(ζ) sunt tabelate. Funcţia de repartiţie este:

F(x) = dt.

265

ί 2Făcând schimbarea de variabilă----- = y obţinem:

n x ) V S T ί 2> f

O 1~T>

crx -m

<2y +v

>/2π<fy =

_ , . _ / jc-ιιΛ 1 . / χ-τηλ

Dacă vrem să determinăm o probabilitate de forma:

„ ·. 1 sJb-m' 1 J α-ηιΛ P(a <X <b) = F(b)~ F(a) = — + φ| ——--- --ΦΙ —— 1 =

Legea normală se aplică însă, de cele mai multe ori, nu sub forma iniţială, ci

sub forma unei repartiţii normale, care se obţine pentru m=0 şi cr=7 prin trecerea

X — ftlde la o variabilă X cu legea Ν(χ;τη,σ) la variabila Z = ---- care va avea

densitatea de repartiţie:

/ ( * ) =V 2jt

Toate problemele legate de repartiţia normală a unei variabile X se rezolvă

de obicei trecând la variabila auxiliară Z, adică normând această repartiţie.

Momentele repartiţiei normale normate:

M mw - i r

—X2 dx.

Se observă că pentru n-2k+l funcţia de integrat este impară, deci

M ,■ W - T î r /2*+,^ y" Â .

Fie acum n=2k

x2*+1 · e 2 dx — 0

dx-

1 ·· 2*-i.eV 2.— lim x ν 2π a->“

= (2k - \)M 2k~2 (X )·

a , - 1-β >/2π .

oo r ί λ-------X

Λ 2

J *—OP

- e Z

^ /

- i * 2

x 2 * ~ 2 - e 2 < f a =

266

Rezultă:

M 2k(X ) = (2k -1)M2k_2(X) = (2k + 1X2λ - 3 ) M (X ) =... =

= (2*-lX2*-3)...3-l = 0 .2 k\

O, n = 2k + l

1 4 » = 2*Deci M n(X) =

.2* -kV

Putem calcula şi momentele centrate ale repartiţiei N(m,a).

ί 7 4 — ΐμ 2Μ (Χ ) = ~ ^ \ (x-m)2 M .e^ ° >dx = O

ί “ —if Jt~l"V 2*μ2Ιί(Χ) = —j==\(x-m)2k e^ ° > dx=

σν2π i >/2π

Ϊ e 2 dy = QQ--a2k unde s-a făcut schimbarea de variabilă J i-P*k\2

x-my=-

σ

v ^ F i Æ i à »!

Seria de funcţii de sub integrală este convergentă pe R, deci se poate

permuta cu integrala şi rezultă:

φχΟ) = Σ ^ Τ · η = ] χ η-e~2Xld x = % ^ M n(X) =" n\ yl2n i , t i n!

ώ ( 2*)! 2 ‘ · « â «

Dacă YeN(m,a) atunci A" = —— — şi<7

1f>r( 0 = ? rf+. = M ( e'((£dr+'B>)=ei"" .M (ei<<M)jr) = eiin ·φχ(σί) = β“η ^ care este

f.c. a legii normale N(m,a).

Repartiţia sumei de variabile normale independenteFie variabilele aleatoare normale Xi,X2,...Xs independente având repartiţiile:

267

1 ~T~r(·'»-'"* )2 --n(xk,mk,ak) = — —= = e at , xk s R,mk e R,ak >0,k = \,s

c k ·42π

şi funcţiile caracteristice corespunzătoare:

*,,(,)-Ù±<PXt(.t) = e 2 , k = l,2,...s

sSă considerăm suma X = X l+ X 2 + .., + X s = X k a cărei funcţie

*=1

caracteristică (fix(t) este:

* * imi,J d >·(Σ'η*ν-γΣσ*

m o = ^ ο = Π ^ ( ' ) = Π * e " t=l *=1

Relaţia precedentă exprimă după cum se vede, funcţia caracteristică a unei

5 S

legi normale cu media m = ^ m k şi σ 2 = £ σ * adică repartiţia sumei de

*=1 k=I

variabile normale independente este tot o repartiţie normală cu media egală cu

suma mediilor şi dispersia egală cu suma dispersiilor variabilelor.

Vom generaliza proprietatea precedentă, ţinând cont de proprietăţile funcţiei

caracteristice şi considerând o combinaţie liniară a variabilelor Xi,X2,...Xs de mai

sus de forma:S

X = atX, +a2X 2 +...+asX s = ^ a kX k, akeR , k = l,s

k=1

Avem:

* * i(akmk)l-£alcl 4Σα }~γΣα>σ><Ρχ(0 = <Ργ x.( 0 = 1 1 ^ (a*0 = l i e 2 =e ' ceea ce

*=! k=l

exprimă că combinaţia liniară £ akX k are o repartiţie « (χ ,£ α * » ι * ,£ α * σ 2).

*=i

Exemple:1) Abaterile X ale diametrelor pieselor fabricate de o maşină, de la diametrul

standard, urmează o lege normală cu m=30mm şi a=10mm. Să se calculeze

probabilitatea ca diametrul piesei să aibă abateri între 10 şi 50 mm.

Soluţie. Densitatea de repartiţie a variabilei X este:

ί 4 — 1*f(x,m,a) = — 7 = e ^ 10 > . Secere P ( 1 0 < * < 50).

\0yj2n

50 lfs-ttV . 2 _u_

P(10<X<50) = — ί 10 > = - p = fe 2du = Φ(2)-Φ(-2) = 0,9510ν 2π /0 Ä _J2

268

2) Notele unui examen la disciplina A şi ale unui examen la disciplina B sunt

aproximativ independente şi repartiţia mediei acestora este aproximativ normală.

Dacă repartiţia fiecărei mulţimi de note are media 8 şi dispersia 1, care este

proporţia studenţilor care obţin o medie finală inferioară lui 7?

Soluţie. Fie X - nota la disciplina A şi Y - nota la disciplina B M ( X + Y ) = M ( X ) + M(Y) = 16

D(X +Y) = D(X) + D(Y) = 2

Deci, PX + Y \— —— < 7 = P(X + F < 14) = Φ|

^14-16_ Φ ( - ο ο ) ~ 0 ,0 8 ,

. V2 .

adică aproximativ 8% dintre studenţi au media la cele 2 discipline inferioară lui 7.

Probleme

1. Se aruncă un zar cu feţele numerotate de la 1 la 6 şi se notează cu:

A = evenimentul apariţiei unui număr cu soţ;

B = evenimentul apariţiei unui număr pătrat perfect;

C = evenimentul apariţiei unui număr divizibil cu trei;

a) Să se scrie sub formă de mulţimi evenimentele Α,Β,Ο,Ω;

b) Să se scrie evenimentele A,B ,C ,AnB ,Ar\C,BnC,AnBnC,

A kjB,Av C ,B v C ,A v B v C,A-B,B-A,A-C,C-A,B-C,C-B,

An(BvC),Av(Br)C),A- (BnC),A- (BuC),(BnC)~A,(BuC)- A

Rezolvare:

a) A = {2,4,6}; B = {4}; C = {3,6}; Ω = {l,2,3,4,5,6};

b) Ă = {l,3,5}; 5 ={1,2,3,5,6}; C={l,2,4,5}; A n B = {4}; A n C = {6}; B n C = <P;

A n B n C = φ ; A u B = A; A u C = {2,3,4,6}; 5 u C = {3,4,6};

A u B u C = {2,3,4,6} ; Λ - £ = {2,6}; Β-Α=φ·, A-C = {2,4}; C- /i = {3};

B-C = {4}; C-B = {3,6};

A η (B u C ) = {2,4,6}n {3,4,6}= {4,6};

^ u ( f i n C ) = {2,4,6}uφ = {2,4,6}= A ;

A-(BnC) = {2,4,6}- φ = {2,4,6}= A

A-(BkjC) = {2,4,6}- {3,4,6}= {2}

(Β η Ο - Α = φ-Α = φ

(B u Q - A = {3,4,6}- {2,4,6}= {3}.

2. Se aruncă două zaruri obişnuite, identice şi se notează cu S şi P suma şi respectiv

produsul numerelor de pe cele două zaruri şi cu:

A = evenimentul ca suma să fie un număr cu soţ;

B -- evenimentul ca suma să fie un pătrat perfect;

C = evenimentul ca suma să fie divizibilă cu trei;

D = evenimentul ca produsul să fie divizibil cu patru;

E - evenimentul ca produsul să fie un cub perfect;269

a) Să se scrie evenimentele elementare corespunzătoare experimentului;

b) Să se scrie mulţimile valorilor S şi P;c) Să se scrie evenimentele A,B,C,D,E ca mulţimi;

d) Să se scrie evenimentele A ,B ,C ,D ,Ε ,Α η Β ,Α η Β n C ,A n D

A n E ,A n B n C n D n E ,A n B ,B u C ,A v B u C ,A - B ,A - (B n C ),

(AnB)-C,An(B-C),A-D,(AnB)-(CnD),(A-B)n[(C-D)nE]

Rezolvare: Evenimentele elementare corespunzătoare apar mai sugestiv din

tabelul următor

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

b) 5 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};

P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36};

c) Λ = {2,4,6,8,10,12}; B = {4,9}; C = {3,6,9,12};

£> = {4,8,12,16,20,24,36}; E = {1,8};

d) Ă = S-A = {3,5,7,9,11}; B =S-B = {2,3,5,6,7,8,10,11,12};

C = 5 - C = {2,4,5,7,8,10,11}; D = P-Z> = {l,2,3,5,6,9,10,15,18,25,30};

Έ = P - E ;

Λ η 5 = {4}; A n B n C =φ ; A n D = {4,8,12}; Λ η £ = {8};

A n B n C n D n E = (A n B n C )n D n E = φ;

JrŸB = S-(AnB) = {2,3,5,6,7,8,9,10,11,12};

J U c = B n C = {2,3,5,6,7,8,10,11,12} n {2,4,5,7,8,10,11}=

= {2,5,7,8,10,11}; A u B u C ~ Ă nB n C = Ă n (B n C ) =

= {3,5,7,9,11 }n {2,,7,8,10,11}= {5,7,11};

A-B = {2,6,8,10,12};

A - (B rxC) = {2,4,6,8,10,12}- {9}= {2,4,6,8,10,12}= A ;

(AnB)-C = {4}-{3,6,9,12}= {4};

An(B-C) = {2,4,6,8,10,12}n{4}= {4}; A-D = {4,8,12};

04 n 5 ) - (C n £>) = {4}- {l2}= {4 };

(A-B)n [(C - D)n e )= {2,6,8,10,12 }n {3,6,9,}n {l,8}=

= {2,6,8,10,12 }ηφ = φ;

270

3. Un ora de afaceri încheie într-o zi trei afaceri care pot fi rentabile (Ai) sau

nerentabile (A,),i = 1,3, în final. Să se scrie evenimentele care să corespundă

situaţiilor următoare:

a) una dintre afacerile încheiate este rentabilă;

b) cel puţin o afacere încheiată este rentabilă;

c) cel mult o afacere încheiată este rentabilă;

d) nici o afacere nu este rentabilă;

e) cel mult două afaceri sunt rentabile.

Rezolvare:Notăm cu A,B,C,D,E evenimentele corespunzătoare situaţiilor de la punctele

a,b,c,d,e.

a) A = (At n A2 n A3)u(At n A2 n A3)u(Ay n A2 n A3);

b) B = Au(A, n A 2 η Λ 3)υ (Λ , nĂ 2 nA })u(Âl nA 2 nA 3)\j

u(Aln A 2n A J) ;

c) C = (Âln Ă 2nÂ 3)u A ;

d) D = (Ătn Ă 2nĂ 3);

e) E = Cu(A, r\A2nĂ 3)u(AlnĂ 2nA 3)u(Ăt n A 2n A 3) .

4. Un student se prezintă în sesiune la 4 examene pe care le poate promova^) sau

nu (ζζ),ι' = 1,4 .

Să se scrie evenimentele corespunzătoare următoarelor situaţii:

a) studentul promovează toate examenele;

b) cel puţin două examene sunt promovate;

c) cel puţin un examen şi cel mult trei sunt promovate;

d) nici un examen nu este promovat;

e) cel mult un examen este promovat.

Rezolvare:Notăm cu A,B,C,D,E evenimentele corespunzătoare situaţiilor de la punctele

a,b,c,d,e.

a) A — A o A2 o A3 o A4 t

b) B = (AIn A 2nĂ 3n A 4)u(Al nÂ 2nA 3n I 4)u (A ,nÂ 2n A 3 nA 4) u

u ( 4 n A 2 n Ă3n A 4)u(Ă, n A 2nA 3nĂ 4)u(ĂlnĂ 2n A 3n A 4)u

u (A ,n A 2n A 3n Ă 4)u (A l n A 2nĂ 3 r>A4)u(A , n ^ n A j n A 4) u

u(Ă, n A2 n A3 n A4)u(A, nA 3 nA 4);

c) C = (Aln Ă 1nĂ 3nĂ 4)v(Ăln A 2n l înĂ 4)u

u (A, r\Ă2n A 3nĂ 4)Kj(Ăl nĂ 3r\A4)v[B-{AlnA 2n A 3r\A4)]

e) E = D kj(A{ n Ă 2n Ă 3 nĂ 4)\j(Ăxn A 2nĂ 3nĂ 4)u

271

5. Un lot de produse ambalate în cutii, oferite de o firmă, este acceptat de

beneficiar, dacă în urma examinării a 5 cutii extrase la întâmplare, conţinutul lor se

constată corespunzător. Să se exprime următoarele evenimente:

a) un lot a fost acceptat;

b) un lot nu a fost acceptat;

c) după examinarea a trei cutii extrase la întâmplare, lotul a fost respins;

d) lotul a fost respins după examinarea celei de-a cincea cutii.

Rezolvare:Notăm cu A,B,C,D evenimentele corespunzătoare enunţurilor de la punctele a,b,c,d

şi cu (Λί) evenimentul corespunzător situaţiei că la examinarea cu numărul /, i = 1,5

, cutia examinată are conţinutul corespunzător.

a) A — Aţ o A2 n\ Aş n A f\ A^ ,

b ) ß = A = A1U i42 u A 3 u A 4 Ui45 ;

c) C -=: At A2 n A3 ;

d) D - Ax n A2 n A} n A4 nĂj ;

6. Dintr-o urnă cu 5 bile albe şi 10 negre se extreg succesiv două bile fără revenire.

Cu ce probabilitate vor apare:

a) două bile albe;

b) prima bilă albă şi a doua neagră;

c) bile de culori diferite;

d) o bilă albă;

e) prima bilă albă;

f) cel puţin o bilă albă;

g) cel mult o bilă albă;

h) nici o bilă albă.

Rezolvare:

Fie (A, ), i = 1,2 evenimentul constând din extragerea unei bile albe la extragerea

i, (At) evenimentul contrar şi A,B,C,D,E,F,G,H evenimentele corespunzătoare

enunţurilor a,b,c,...,h.

u ( 4 r\A2 n A) n Aa) v (A{ n Aj n A-i r\ Aa) .

c) C = (A, n A 2)u (A, n A 2), evenimentele din paranteze fiind independente.

b) B=AlnA2 Ρ(Β) = Ρ(Α,)·Ρ

a) A=Axr\A2. P(A) = P(Al)-P

' '==_5_J_0= Jl _5= _5_

, 15 14 3 '7 21

_5_ _4___2_

15 ' 14 “ 21

272

/ > ( C ) = f ( 4 n 4 ) + / > ( 4 n 4 ) = î î + H ~ = î i

d)D=c 3 f ( D ) = f ( q Je) E = (Aln l 2)u (Aln A 2)

=» i ( £ ) = P ( i , n 4 ) t f W n 4 ) 4 4 4f) F = (AlnÂ2)u (A l n ^ 2) u ( ^ , η Λ 2)

= > P (F ) = P ( ^ 1n ^ ) + P ( 3 i n ^ ) + P ( ^ n A 2) = + A + A = H

g) G - (Ătn J2)u(Atn Â 2)u(Ât nA 2)=>

P(G) = P(Âln l 2) + P(Aln I 2) + P(Aln A 2) = - - ^ + ^ =

_ 3 10 = 19

~ 7 21 _ 21

- - 10 9 3h) H =A,nA2 => P(H) = — — = -

' 1 2 15 14 7

7. Numerele 1,2,3,-n se aşează la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca numerele 1 şi 2 să fie aşezate în ordine crescătoare

şi consecutive?

b) Care este probabilitatea ca numerele k,k + l,k + 2 să fie aşezate în ordine

crescătoare şi consecutive încât A:> 1 şi k + 2<n?

Rezolvare

a) Folosim definiţia clasică a probabilităţii. Numărul cazurilor posibile este

P„=n!. Pentru a determina numărul cazurilor favorabile procedăm în felul

următor: numerele 3,4,...,« pot fi aşezate în (n-2)1 moduri. Cu numerele 1,2

grupate în felul acesta, din fiecare mod de scriere mai obţinem «-1 moduri, deci în

total (n - 2)1 ■ (n -1) = (« -1)/ moduri, aşadar:

p - f r - W - 1

η! n

b) Dacă din numerele 1,2,3, ....,n scoatem cele trei numere determinate k, k+1, k + 2, pe cele rămase le putem grupa în in - 3)/ moduri.

Cu ajutorul grupului k, k+1, k + 2 din fiecare total se mai formează n - 2 moduri

deci în total (n—3)! · {n—2)=(n—2)!

273

P . (n - 2V _ 1

η! n(n -1)

8. Care este probabilitatea ca din patru aruncări ale unui zar să obţinem cel puţin o

dată faţa 6?

Rezolvare:Observăm că evenimentul contrar celui din enunţ constă în neobţinerea cifrei 6

din nici o aruncare şi că probabilitatea sa este mai uşor de calculat. Notăm cu q

acestă probabilitate.

5 5 5 5 54 625 Avem: q = —

6 6 6 6 64 1296

625Rezultă că probabilitatea cerută în enunţ este: P = \-q = l- - ^^

9. Se consideră o urnă în care se află 17 bile de aceeaşi mărime numerotate de la 1

la 17, dintre care 7 sunt albe , restul negre.

I. Se extrage la întâmplare o bilă. Să se afle:

a) probabilitatea de a se obţine o bilă al cărei număr să fie : par, impar, divizibil

cu 3 sau 5;

b) probabilitatea de a obţine o bilă albă, o bilă neagră, o bilă albă sau neagră, o

bilă galbenă.

II. Se extrag la întâmplare 3 bile cu revenire.

a) Să se afle probabilitatea de a se obţine:

1) trei numere consecutive;

2) trei numere distincte;

3) acelaşi număr de trei ori;

4) trei numere în ordine strict descrescătoare;

5) trei numere în ordine strict crescătoare;

b) Să se afle probabilitatea de a se obţine:

1) trei bile albe;

2) trei bile negre;

3) cel puţin o bilă albă;

4) cel mult o bilă neagră;

5) cel puţin două bile albe.

Rezolvare:I. Câmpul finit de evenimente generat de extragerea la întâmplare a unei bile are

17 evenimente elementare echiprobabile.

a) Fie A evenimentul că numărul obţinut este par; numărul cazurilor favorabileO

este m = 8, n = 17 => P(A) = — .17

Fie B evenimentul că numărul obţinut este impar; numărul cazurilor favorabile

274

este m = 9, numărul cazurilor posibile este η = 17 =» Ρ(Β) = — = 1 - Ρ (Λ ) .

Fie C evenimentul obţinerii unui număr divizibil cu 3 sau cu 5; atunci m = T,n =

17 => P (C ) = — .17

7b) Fie Λ evenimentul obţinerii unei bile albe; atunci: P(A) = — ,

Fie 5 evenimentul obţinerii unei bile negre; atunci: P(B) = j y .

Fie C evenimentul obţinerii unei bile albe sau negre; atunci C =Ω =*

P (C ) = P (Q ) = 1.

Fie D evenimentul obţinerii unei bile galbene; atunci D este evenimentul

imposibil φ => P(D) = Ρ(φ) = 0 .

Π. Câmpul finit de evenimente generat prin extragerea la întâmplare a trei bile cu

revenire, are evenimente elementare echiprobabile.

a) în acest caz numărul cazurilor posibile este 173

1) Fie A evenimentul obţinerii a trei numere consecutive; numărul cazurilor

favorabile este 15 => P(A) = -^r17

2) Fie B evenimentul obţinerii a trei numere distincte; atunci:

* = 4 J, = » /> (* )= 4 $ ·.

3) Fie C evenimentul obţinerii aceluiaşi număr de trei ori; atunci m = 17 =>

P (C ) = — = - L .17 17

9

4) Fie D evenimentul obţinerii a 3 numere în ordine strict descrescătoare;

C 3atunci m = C,37 şi P(D) = .

5) Fie G evenimentul obţinerii a 3 numere în ordine strict crescătoare; atunci

m = < 7 şi P(E) = l3 ci

173

b) în acest caz numărul cazurilor posibile este η = 173

1) Fie A evenimentul obţinerii a trei bile albe; atunci m - 73 =>

73Ρ(Λ ) = — ţ-.

17

2) Fie 5 evenimentul obţinerii a trei bile negre, atunci m = IO3 =

17

275

3) Fie C evenimentul obţinerii a cel puţin unei bile albe, C\ evenimentul

obţinerii unei bile albe, C2 evenimentul obţinerii a două bile albe, C3 evenimentul

obţinerii a trei bile albe.

C = C, u C 2 u C3

Fie Ai evenimentul obţinerii unei bile albe la extragerea i;

C, =(Aln Ă 2 n l 3)u (Ăln A 2 n A 3)u (AlnA 2nA 3) .

C2=(A, n A 2r)Ă3)u (A1nĂ 2nA 3)u(ĂtnA 2nA 3).

C3 = (At n A 2n A3) şi C, n C2 = 0 ,C 2 n C 3 = φ

C, n C3 = 0

Deoarece Ρ(Λ ,) =

P (C 1) = 3 - ^ - f ^

— şi /5( 4 ) = — 17 ' 17

; P (C 2) = 3-17 l 17\ /

P (C ) = P (C ,) + P (C 2) + P (C 3) =

1

17

10 17 ; 17

1

173

3913

(30-70 + 30-49 + 343) =

-3 (2100 + 1470 + 343)= ^ 3

4) Fie D evenimentul corespunzător enunţului.

Z) = C2u C 3 cu C2 n C 3 = 0 =>

P(D) = P (C 2) + P (C 3) = — (1470 + 343) :1813

173

5) Fie E evenimentul ca cel puţin două bile dintre cele extrase să fie albe. Cu

notaţia de la punctul 3 putem scrie:1010

£ = C2uC3=D=>P(£) = i ~

10. Trei urne identice conţin: prima trei bile albe şi două negre, a doua două bile

albe şi una neagră, a treia patru bile albe şi cinci negre.

Se alege la întâmplare o urnă şi se extrage o bilă. Să se determine posibilitatea

ca bila extrasă să fie albă.

Rezolvare:

Fie Ai evenimentul corespunzător alegerii urnei i,i = 1,3 ;

A evenimentul corespunzător extragerii unei bile albe;

1 .

Ρ(/ί) = Σ ^ ) · ^ ^ ι.] = ι ) · ^ ^ ι] + η Λ ) · ^ ^ 2

+p(A3)-p(yA ]=-■ - + - ·- + - · -=-3' { /A J 3 5 3 3 3 9

77

135

11. Trei furnizori Fl,F2,F3 aprovizionează un magazin en gross cu acelaşi produs

în cantităţi proporţionale cu numerele 3,2,5, iar calitatea produselor este

necorespunzătoare în proporţie de 2% , 2 ,5% şi 3% . O cantitate din produs vândută

de magazin clienţilor săi în valoare de 7800 u.m. este restituită de către aceştia în

baza contractului de garanţie; suma urmează a fi recuperată de la furnizori. în

ipoteza că nu se cunoaşte furnizorul produsului necorespunzător, să se stabilească

în mod echitabil sumele ce urmează a fi recuperate de la fiecare furnizor.

Rezolvare:

Fie A\ evenimentul ca un produs să provină de la furnizorul Fi,i = 1,3 şi fie X

evenimentul ca un produs să fie necorespunzător.

Evenimentele A\,A2, A3 formează un sistem complet de evenimente.

P(X) = f jP(Ai).p (y A \t=l \ )

)'= 2 % = 0,02 * P[X/ a1 ) = 2,5% = 0,025 ; ^ X/ a3 j := 0,03 ;

P(AX) = 0,3 ; P(A2) = 2 % = 0,2 ; P(A3) = 0,5 ;

P(X) = 0,3-0,02 + 0,2-0,025 + 0,5-0,03 = 0,006 + 0,005 +0,015=0,026

Fie Pi = P ^/χ \ probabilitatea ca un produs necorespunzător să provină de la

V )furnizorul Fj.

P(A)-P

P \

P i

P(X)

P W

P(X )

0,3· 0,02 _ 0,006 _ 6

0,026 0,026 26

0,2 0,025 _ 0,005 _ 5

0,026 0,026 26

277

P(AZ)

Pi

X /

P(X)

0,5-0,03 0,015 _ 15 .

0,026 ~ 0,026 ” 2 6 ’

Observaţie: p3 = 1 - (/?, + p2 ) = 1 -26 + 26

J_5

26

Potrivit enunţului, sumele ce urmează a fi recuperate de la flecare furnizor sunt

proporţionale cupi,P2,Pî adică:

P\

S

Pz

Şl

Pi _6_

26

_5_

26

1126

; Deci:

: 7800 — = 1800; 26

S, =7800· — = 1500;2 26

S, =7800· — = 4500;3 26

12. într-o grupă de studenţi sunt sunt 14 băieţi şi 16 fete , în alta 15 băieţi şi 15

fete, iar în alta 14 băieţi şi 18 fete.

Pentru susţinerea unor lucrări la o sesiune de comunicări ştiinţifice se oferă câte

un student din fiecare grupă.

Care este probabilitatea să prezinte lucrări doi băieţi şi o fată?

Rezolvare:

Se aplică schema lui Poisson.

14 16 15 15 14 18Avem: n '■ 3, P\ = — ,Q\ v\ 30 30’Pl 30’q2 3 0 ’Pi 32’qi 32 Probabilitatea cerută este coeficientul lui x2 din dezvoltarea polinomială:

Pi(x) = ( P i X + Q\ ){p2x + <h ) ( P j X + <73 ) ·

/ 14P3(x) =

16 Y 1 5 15Y 14 18^ 14 15 14 3r H------- I -------r -4--------I ------ γ ^--------= ----------------------- r - f

30 3 0 ^ 3 0 30 32 32 J 30 30 32 '

f i i 1111 I I 1 1 I i 1 1 1 1 1 * }+{ 30 ’ 30 32 + 30 ’ 30 ’ 32 + 30 ’ 30 ’ 32 /

\x2 +

+ 1 1 1 1 1 1 1® I l ü IÉ. I I 1130 30 32 30 30 32 30 ’ 30 32

16 15 18\x + --------

30 30 32

278

_ 2940 ^3 , 10800 ; ( 11190 4320

28800Χ 28800* 28800* 28800 “

= 0,102χ3 + 0,375χ2 + 0,388χ + 0,135.

Deci probabilitatea cerută este 0,375.

13. în trei loturi de produse 4% , 3 % respectiv 8 % sunt defecte. Se extrage la

întâmplare câte un produs din fiecare lot. Să se afle probabilitatea ca:

a) un produs să fie defect:

b) un produs să fie corespunzător;

c) toate produsele extrase să fie corespunzătoare;

d) cel puţin două poduse extrase să fie corespunzătoare.

Rezolvare:Se aplică schema lui Poisson.

Fie pi şi q, , probabilitatea ca un produs extras la întâmplare din lotul i să fie defect,

respectiv corespunzător. Atunci: /7!=0,04; ^=0,96; p2=0,03; q2-0,97; py= 0,08; q3= 0,92.

Dezvoltarea polinomială folosită în rezolvare este:

P3(x) = (0,04x + 0.96)(0,03χ + 0,97X0,08* + 0,92) =

= Ο,ΟΟΟΙχ3 + 0,0065x2 + 0,1367* + 0,8567

a) Fie X evenimentul ca un produs din cele 3 să fie defect; atunci P{X) este

coeficientul lui x1 din P 3(x) adică P (X) = 0,1367

b) Fie Y evenimntul ca un produs să fie corespunzător. Enunţul este echivalent cu

cel ca două produse să fie necorespunzătoare, deci P (Y) este coeficientul lui x2 din

P3(x) adică P(Y)=0,0065.

c) Fie Z evenimentul care reprezintă enunţul. Acesta este echivalent cu evenimentul

ca nici un produs să nu fie necorespunzător, deci P(Z)=0,8567.

d) Fie U evenimentul corespunzător enunţului. Acesta este echivalent cu

evenimentul ca cel mult un produs să fie defect.

14. La o bancă s-a observat că, în medie, din 10 cereri de creditare de un anumit

tip, 6 sunt aprobate şi 4 respinse. Care este probabilitatea ca din 25 de cereri de

creditare la un moment dat:

a) să fie aprobate 20?

b) să fie aprobate cel mult 15?

c) să fie aprobate cel puţin 10?

Rezolvare:Suntem în cazul schemei bilei revenite cu două stări cu:

p = 0,6; q = 0,4; n = 25.a) Notăm cu X evenimentul corespunzător enunţului. Avem:

P(X) = P(25,20) = C 25° · (0,6)20 · (0,4)5

b) Notăm cu Y evenimentul a cărui probabilitate se cere

279

P(Y) = P(25,k<l5) = J V ( 2 5 , * ) =]T C*5 ■ (0,6)* -(0,4)

*=o *=o

c) Notăm cu Z evenimentul corespunzător enunţului

P(Z) = P(25,k> 0) = %P(25,k) = £ c * -(0,6)* ·(0,4)

*=10 *=10

25- *

25-*

15. într-o urnă sunt 5 bile albe, 7 bile negre, 13 bile roşii. Se scot consecutiv 10

bile cu revenire. Cu ce probabilitate se extrag:

a) două bile albe, trei bile roşii şi cinci bile negre;

b) opt bile albe?

Rezolvare:Suntem în condiţiile schemei multinominale cu

in 5 7 13n —10, Pj = — ,p2 = — ,p3 = — ■

25

a) P(10,2,3,5) =

25 25

2/3/5/ί 5 ]

2( 7 ί

3 f 1 3 Î

V 2 5 i 2 5 ) v 2 5 ,

b) jP(10,8 albe)= P(10;8;0;2) + />(10;8;1; 1) + P(10;8;2;0) =

_ 10/ f 5 Y Π 3 Ϋ ( 10/ f 5 "

~ 8/2/ [ 25 J 25 J + 8/ -1/ · 1/ \ 25

13 _7_+ 10/

25 25 8/-2/ 25

f i_

25

16. într-o grupă sunt 20 studente şi 10 studenţi. La un examen oral primii 6 pot

intra la întâmplare (nu după catalog). Cu ce probabilitate acest grup este format:

a) numai din fete;

b) trei fete şi trei băieţi;

c) cel mult doi băieţi;

d) numai băieţi;

e) cel puţin patru fete.

Rezolvare:Suntem în cazul schemei bilei nerevenite cu două stări; avem:

n = 30; a\ = 20; a2 = 10.

a) Fie X evenimentul corespunzător enunţului; avem: «i = 6; n2 = 0 şi

P(X) = P( 6,6,0) = -- -

'30

b) Fie Y evenimentul a cărui probabilitate se cere; avem: n(=3; «2 =3 şi

P{Y) = P{ 6 ,3 ,3 )=C ^ -' ^ 3()rv-30

c) Fie Z evenimentul a cărui probabilitate se cere; avem: ni<2\ «i+w2=6 şi

280

C6 stO i s'*5 i /^2_ 20 * *-Ί0 T 20 ‘ Mo T 20 ‘ HoP(Z) = P(6,n2Z2) = — --- _6

'-'30

d) Fie U evenimentul corespunzător enunţului; avem: «i=0, n2 = 6 şi

/>({/) = P ( 6,0,6) = ^^30

e) Fie V evenimentul a cărui probabilitate se cere; avem: n{ > 4,«, + n2 = 6 şi

C A . r 2 + C 5 - Γ 1 + Γ 6 - C °'-'in '-'in' ^20 ^10 ” on V-'H

c 6^30

P(V) = P(6, n, > 4) = -22--Î2-- ?2_10-- 20--10.

17. La o expoziţie se găsesc 25 de ghizi studenţi, din care 10 băieţi şi 15 fete, ale

căror nume sunt numerotate şi trecute pe un tabel.

Se aleg la întâmplare 6 numere de pe tabel. Precizaţi cu ce probabilitate grupul

celor şase persoane este format:

a) numai din fete;

b) numai din băieţi;

c) trei fete şi trei băieţi;

d) din cel mult o fată;

e) din cel puţin cinci băieţi?

18. într-o urnă sunt 5 bile albe, 10 bile negre şi 15 bile roşii. Se scot succesiv trei

bile fară revenire. Cu ce probabilitate pot fi extrase:

a) trei bile albe;

b) trei bile de aceeaşi culoare;

c) trei bile de culori diferite;

d) primele două bile albe;

e) prima bilă albă, a doua neagră şi a treia roşie;

f) cel puţin două bile albe?

19. într-un grup de studenţi aflaţi într-o excursie s-a constatat că 75% dintre ei sunt

studenţi la U .R.A.; 8 % dintre ei sunt fete; 65 % vorbesc engleza şi 60% dintre ei ar

dori să lucreze în turism după terminarea studiilor.

Alegând la întâmplare o persoană din grup cu ce probabilitate minimă aceasta ar

fi:

a) studentă la U R A care vorbeşte engleza şi care doreşte să lucreze în turism;

b) student la U R A care vorbeşte engleza şi care doreşte să lucreze în turism;

c) studentă la U R A care vorbeşte engleza şi care nu doreşte să lucreze în

turism?

20. într-o urnă sunt 25% bile albe, 45% bile roşii şi 30% bile negre. Se extrag

succesiv 10 bile punând înapoi bij.a extrasă. Cu ce probabilitate se pot extrage:

a) numai bile albe;

b) numai bile de aceeaşi culoare;

281

c) opt bile albe;

d) 2 bile albe, 3 roşii, 5 negre;

e) bile de două culori din care cel puţin 5 albe.

21.Patru universităţi oferă respectiv câte 4,6,8 şi 12 burse de studii. O anumită

facultate primeşte 7 astfel de burse care sunt trase la sorţi din cele 30 de burse

acordate. Cu ce probabilitate cele 7 burse ar putea fi:

a) de la aceeaşi universitate;

b) una de la prima, 2 de la a doua, 3 de la a treia şi una de la a patra;

c) 6 de la ultima universitate;

d) de la toate universităţile.

22. Probabilitatea ca o anumită centrală telefonică să fie liberă la un moment dat

este p = 0,75 şi ocupată q - 0,25. Se face un apel. Cu ce probabilitate se obţine

legătura:

a) de la prima încercare;

b) la a treia încercare;

c) cel puţin la a treia încercare;

d) cel mult la a patra încercare.

23. într-un autobuz cu 3 uşi urcă la întâmplare 7 persoane. Care este probabilitatea ca pe prima uşă să urce 4 persoane?

23 · CtR: 7

37

24. La o loterie sunt 96 de bilete dintre care 8 câştigătoare. O persoană cumpără 12 bilete. Să se determine probabilitatea ca:

a) Un bilet şi numai unul să fie câştigător.b) Cel puţin 3 bilete să fie câştigătoare.c) Să iasă cele 8 bilete câştigătoare.d) Să nu iasă nici un bilet câştigător.

Soluţie. Folosind schema bilei nerevenite obţinem:

C 1 · C 11a) P i y»12

C 96

b) !\ = p (A^ A a\j A7 u A ) - Σ ρ (Α*)k = 3

282

t . - _Lunde Ak- evenimentul să apară k bilete câştigătoare 3 g

Aj, ..., A8 - sunt incompatibile două câte două.y'-t/c ^-»12—k ____ 8 s~*k ^-»12—k

^ 9 6 *= 3 '-'96

Acelaşi rezultat îl putem obţine făcând cel mult două bilete câştigătoare —> ev. contrar.

2 s~ik s~i\2—k

P3 = l- P(A0u A ,u A 2) = l - ^ - 8 ' 8812Ck= 0 ^ 9 6

c 8 · c 4c ) p8 = P ( ^ ) = a “yrl2

^96

/'"■’O -»12 '-'β * 88

d) Po - P (\ ) - „1296

Obs. pm = prob, să iasă exact m bilete câştigătoare, iar Pm = probab. să iasă cel

puţin m bilete câştigătoare.

25. Doi studenţi se prezintă la un examen şi au probabilităţile de promovare 0,5 şi

respectiv 0,8. Care este probabilitatea ca:

a) Ambii studenţi să promoveze examenul;

b) Un singur student să promoveze;

c) Cel puţin un student să promoveze;

d) Nici un student să nu promoveze.

Soluţie. Fie A - ev. ca primul student să promoveze.

B - ev. ca al doilea student să promoveze.

P(A) = 0,5; P(B) = 0,8.

a) Ρ(Α γλΒ) = P(A) ■ P{B) = 0,4

b) p ( ( A n ß ) n ( Ä n ß ) ) = p ( A n ß ) + p (Ä o b ) =

= Ρ(Α)·Ρ(Β) + P(Ă) · P(B) = P(A)-[l - P(B)] +

+ [1 - P(A]-P(B) = P(A) + P(B ) - 2P(A)-P(B) = 0,5

c) P (A kjB) = P(A) + P(B) - P (A n B ) = 0,9

d) p ( Â n 5 ) = 1 - P ( A u S ) = 0,1.

283

26. Un lot de 100 biciclete este supus controlului de calitate. Condiţia ca acest lot să

fie respins este găsirea a cel puţin unei biciclete defcete în cinci verificări consecutive.

Care este probabilitatea ca lotul să fie respins dacă el conţine 5 % biciclete defecte?

Soluţie. Fie At - ev. ca la verificarea i să găsească o bicicletă bună

şi A - evenimentul ca lotul să fie respins.

Se determină mai uşor probabilitatea ev. contrar

p{a) = Ρ (Α 1η Λ 2 η Α 3η Λ 4 η^45) = Ρ(Αί)·Ρ(Α2 /A ,) ·

• P (A 3 / A, n A j ) ·Ρ (Α 4 / Α, η Α η Α3)· Ρ(Α5 / Α, η Α 2 η Α3 η Α4) =

= _95_ 94 93 92 91 = ηη

1 0 0 9 9 ' 9 S 9 1 9 6

=> Ρ(Α) = 1 - ρ (α )= 0,23.

27. Un student trimite ο scrisoare unui prieten. Există o şansă de 10% ca scrisoarea

să fie pierdută în drum spre oficiul poştal. Ştiind că scrisoarea ajunge la oficiul poştal,

probabilitatea că va fi distrusă de maşina de ştampilat este de 20% . De asemenea,

ştiind că a trecut de maşina de ştampilat, există o probabilitate de 10% ca poştaşul să

o ducă la o adresă greşită.

Dacă prietenul nu primeşte scrisoarea, care este probabilitatea ca maşina de

ştampilat să o fi distrus?

Soluţie. Fie A - evenimentul ca scrisoarea să fie pierdută

B - evenimentul ca scrisoarea să fie distruasă de ştampilă

c - evenimentul ca scrisoarea să ajungă la o adresă greşită

d - evenimentul ca prietenul să nu primească scrisoarea.

Avem: P(A) = 0,10 => P(Ă) = 0,90.

P (B /A ) = 0,20 => P (B /A ) = 0,80.

P(C / 5 ) = 0,10 şi P (C /B ) = 0,90.

Atunci P (B /D ) = -------- --------------- = 0,511.Atunc! 0,10 + 0,90-0,20 + 0,90-0,80-0,10

28. Doi adversari cu şanse egale joacă şah. Pentru unul din ei, ce este mai probabil să

câştige:

a) 2 partide din 4, sau 6 partide din 8?

b) cel puţin 2 partide din 4 sau cel puţin 6 partide din 8?

284

Soluţie, a) Fiecare din cei doi jucători are probabilitatea de câştig — > la o partidă.

Atunci, aplicând schema lui Bemoulli =>

\2

Ş i P 2 = Q 6

px = 0,375 p2 = 0,19375. Evidentpx > p2.

= C 4

r n

2

' Γl2J , 2 ,

r n 6 r nl2J l2Jb) Aplicăm din nou schema lui Bemoulli

J 2

P\ — C42 - + C 3 1 , „ « 1

4 r r + C ‘ 2T “ 0,6875

P2 = Ci — + C»7 - ^ + C ‘ . i =0,144531.

Din nou/?] > p2-

29. Din 20 de unităţi agricole, 15 şi-au realizat planul la recoltări. Sunt alese la întâmplare

10 unităţi agricole şi se cere probabilitatea ca:

a) 6 dintre acestea să-şi fi realizat planul.

b) cel mult 4 unităţi agricole să nu îşi fi realizat.

c) toate cele 10 unităţi să aibă planul îndeplinit.

Soluţie. Aplicăm schema bilei nerevenite,

a ) P = = 0,135449IU

C 20

b) probabilitatea evenimentului contrar:

10 s~i\0-k

p(A) = Σ ^ τ ί — = 0,848297 => P(A) = 1 - P(A) = 0,151703.

c) P =_ C , 5

k=l

1015_

-10 '20

-10'20

0,01625.

30. Dintr-o umă cu 35 de bile de aceeaşi mărime şi numerotate se extrage la întâmplare

o bilă. Care este probabilitatea ca numărul astfel obţinut să fie divizibil cu 3?

11 7 6 13

31. Din mulţimea {1,2, ...,25} se alege la întâmplare un număr. Care este probabilitatea

ca numărul ales să fie divizibil cu 5?

a ) îc) d)

32. într-o urnă se află bile de aceeaşi mărime numerotate de la 1 la 10. Se extrag

la întâmpalre toate bilele. Care este probabilitatea ca primele două bile extrase să fie

în ordinea naturală?

a)8!

10!

^ 9!

© μc) d)

9_

10

33. într-o urnă se află bile de aceeaşşi mărime numerotate de la 1 la 15. Se extrage

la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca numărul extras să fie prim?

a)15

b)15

d)15

34. Zece bile numerotate de la 1 la 10 se aşează la întâmplare una după alta într-un

şir. Care este probabilitatea ca, după bila numerotată cu 5 să urmeze bila numerotată

cu 6?

a)9!8

10!b)

8 -8!

10!

^ 9 - 8 !

VC)" 10! d)9-9!

10!

35. Se aruncă 2 zaruri de 3 ori. Care este probabilitatea ca dubla (6,6) să apară cel

puţin odată?

a) 1 - b ) l -35

v3 6 ,c)

V J , 3 6 ,d ) l -

v 3 6 ,

36. Se consideră trei urne identice ce conţin bile albe şi negre după cum arată

tabelul de mai jos:

Urna Nr. bile albe Nr. bile negre

UI 1 1

U2 5 3

U3 1 3

286

Se alege la întâmplare una din urne şi in ea se extrage o bilă. Care este probabilitatea

ca bila să fie albă?

a)24

b)24

c)24

d)U

24

37. într-o urnă sunt 15 bile identice, dintre care 5 sunt albe, 7 sunt roşii, iar 3 sunt

negre. Se extrage la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie

albă sau roşie?

Ô Sb)

15c)

15d)

15

38. într-o anumită localitate, în medie 6 zile dintr-o lună sunt cu cerul acoperit. Care

este probabilitatea ca primele trei zile din luna iulie să avem cer senin?

a)25 24 23

3 1 3 1 3 1b)

25 24 23

31 30 29c)

(25

31d)l

' 2 5 ' 3

V 3 1 y

39. Trei firme de producţie Pu P2, P 3 trimit la un magazin acelaşi tip de produse în

proporţie de 50%, 30% respectiv 20%. Cele trei firme dau rebuturi de 1%, 3 % respectiv

2% . Valoarea totală a rebuturilor este de 36 milioane lei. Cum trebuie repartizată

această sumă între cele trei firme?

a)

pt P, : — 36 mii = 10 mii (lei) 18

9pt Pt '. — 36 mii = 18 mii (lei)

2 18

4pt P-,: — 36 mii = 8 mii (lei)

3 18

b)

pt P : — 36 mii = 14 mii (lei)18

pt P, : — ·36 mii = 10 mii (lei)2 18

pt P,: — 36 mii - 12 mii (lei)3 18

<0

pt P : — 36 mii = 8 mii (lei)1 18

pt P, : — -36 mii = 10 mii (lei)2 18

9pt P,\ — 36 mii = 18 mii (lei)

3 18

d)

pt P, : — 36 mii = 9 mii (lei)1 18

17pt P, : — 36 mii = 17 mii (lei)

' 1 8

pt P, : — -36 mii = 10 mii (lei)3 18

287

40. Un produs este standard dacă îndeplineşte trei condiţii Cx, C2, C3. Din 1000 de produse, 92% îndeplinesc C,, 85%, C2 şi 89% condiţia C3. Să se calculeze probabilitatea

minimă şi maximă ca un produs să fie standard.a) 0,67; 0,84 b) 0,65; 0,86b) 0,68; 0,83 d) 0,66; 0,85

41. Probabilitatea ca un trăgător să nimerească ţinta dintr-o singură tragere este p = 0,8. Să se calculeze probabilitatea ca în şase trageri consecutive ţinta să fie numerită

de 5 ori.a) C<?(0,2)5 (0,8) b) C65(0,8)3 (0 ,2)2

c) Cg(0,8)5 (0,2) d) C65(0,8)5

42. într-o urnă sunt 4 bile albe şi 2 bile negre. Se fac 8 extrageri succesive cu revenirea bilei în urnă după fiecare extragere. Se cere probabilitatea de a obţine de 4 ori bila

albă.

a) C8

c) CJ

/ . A 4

v /

^ Y f n 4

V6 , v6y

/ t Λ 4

V /

43. într-o magazie se găsesc 1200 de piese dintre care 30 sunt defecte. Care este probabilitatea ca o comandă de 155 de piese să cuprindă 145 de piese bune?

-.145

a)1170 * 1200

C,155

1200b)

✓~tl45 v~ill

1170 '*-'30

C,155

1200

c)

,-.145 .-.10

155 '*-155

c,155

1200d)

--.145 ,-.10

1200 ' 1200 >-.155

1200

44. Se aruncă un zar de 12 ori. Care este probabilitatea ca fiecare faţă să apară de 2 ori?

a)

8!

(21)° 61 10! r n 12 12! r n

6 12 b ) ~A

c ) ^ T

, 6 ,

d) alt răspuns

288

45. La un concurs participă 12 concurenţi dintre care, 6 americani, 4 francezi şi 2

italieni. Prin tragere la sorţi, cei 12 concurenţi sunt împărţiţi în grupuri de câte 4,

fiecare grupă urmând să susţină probele de concurs într-o zi. Care este probabilitatea

să concureze 3 americani şi un francez?

a) c, b)12

iU rii —*1 '-'6 ' '-'4 ’ 2

'1 2c)

C,12d)

✓^3 /î l /nO

^ "6 * 4 * ^ 2

c,12

46. Se iau la întâmplare 4 numere diferite din mulţimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Care

este probabilitatea ca suma lor să fie un număr prim?

a)11

35b)

i l

35c) 10 d) 10

47. O urnă conţine 220 bile identice numerotate de la 1 la 220. Dacă se extrage o

bilă oarecare, se cere probabilitatea fiecăruia din evenimentele:

a: bila extrasă să aibă un număr divizibil prin 5 sau 7;

b\ bila extrasă să aibă un număr divizibil prin 6 sau 10;

c: bila extrasă să aibă un număr divizibil prin 10,14 şi 21.

a)

P (A )

P(B) =

P(C) =

2207

2201

220

b)

P(A) =

P(B) =

P(C) =

2207

22013

220

c)

P(A) =

P(B) =

P(C) =

2203

2207

220

289

48. Se aruncă o monedă de 3 ori. Care este probabilitatea ca stema să apară de 2 ori?

5 3 1 2a) P = - b) P = - c) P = - d) P = -

49.0 urnă conţine 8 bile albe şi 10 bile negre. Se extrag consecutiv (fară revenire) trei

bile din umă. Să se calculeze probabilitatea fiecăruia din evenimentele:

A - ultima bilă extrasă să fie albă

B - ultima bilă extrasă să fie neagră

a ) P ( A ) = -| pw = jî b ) P 0 4 ) = ! /><») = I

0)/>(Λ) = 5 P(B) = i d) p(/1) = ii P(B) = TÎ

50. O umă conţine 5 bile albe, 4 bile roşii şi 6 bile verzi. Se extrag simultan 4 bile. Să

se calculeze probabilitatea fiecăruia din evenimentele:

A - două bile să fie verzi

B - toate bilele să fie de aceeaşi culoare

P(A) = P(A) =

^ 1 5 15

s~i2 /^2 ^»4 i /i4

F(A) = Î Â P(A) = - 5 ^

^ (s)= ^ k ± ç % S ) = o k ± ^15 15

51. Valoarea l u i > 0 pentru care: *= :

7 10 15

2 p 3p preprezintă o variabilă aleatoare

discretă este:

1a) P =- b) P =

1c) orice p > 0 d) altă variantă

290

52. Determinaţi p > O astfel încât

aleatoare discretă:

1 1

1 3 4

P —p - — 7 3 6

2 4 1 1reprezintă o variabilă

a ) P = - b ) P 4 c )p = 0,2 d) P

53. Să se afle xs R astfel încât variabila aleatoare ξ să aibă repartiţia:

ξ :λ; x-2x“ 5.x

a) x = 0,6 b) x = 0,4 c) x = d) x

54. Variabila aleatoare ξ are repartiţia:• ξ :

a)1

b)

9c)

6 16 3

55. Variabilele aleatoare ξ şi η au repartiţiile:

2 3 4 Λ

7 1 1

f 1

16 16 3 6

Se cere Ρ(ξ > 3)

d)

o

* ■■ <1 n ί-ι 0 1 Λ

1p + - Ç +

1 1 η: 12 p — q 12 p2

l 6 3 3 , s.3 /

Să se determine p şi q a.î. ξ şi η să reprezinte două variabile aleatoare:

1a))P = - ; 9 = 0

1 2O P « - ; —

1b) p = 0 ; q = -

O

291

56. Dacă variabila aleatoare ξ are repartiţia: ζ '■

aleatoare 2ξ şi ξ2 au repartiţiile:

(- 1 0 1

1/3 1/3 1/3atunci variabilele

2 ξ :

- 2 0 2

1/3 1/3 1/3

a)

ξ 2:

2 ξ :

0 1λ

1/3 2 /3s.

' 1 0

c)

ξ 2 :

3 Λ

1/9 1/9 1/9

- 1 0

1/3 1/3 1/3

2 ξ :

b) ί

ξ 2:

V

r

2 ξ :

Φ /

ξ 2 :

57. Dacă variabila aleatoare ξ are repartiţia £ ·

aleatoare 1 + ξ, -ξ au respectiv repartiţiile:

1 0 3 "

1/3 1/3 1/3 y

- 1 0 1 ^

1/3 1/3 1/3 y

- 2 0 2 Ν

1/3 1/3 1/3 y

- 1 0 ί Ί

1/9 1/9 1/9 y

0 1Λ

1 /4 1 /2 1 /4atunci variabilele

Ι + ξ:-1 0 1

5 /4 3 /2 5 /4

a)- ζ'·

1 + ξ :

- 1 / 4 - 1 / 2 -1/4

f 1 0 1 Λ

b)

ξ :

1 /4 1 /2 1 /4v y' - 1 0 1 Λ

v

c)

292

ξ:

1 /4 1 /2 1/4

' 1 0 1 Λ

1 + ξ :

1 /4 1 /2 1 /4

/ 0 1

y

1/4 1/2 1/4v

d)

- ξ :

1 /4 1/2 1/4v

f -1 0

v

1 '

1/ 4 - 1 / 2 - 1 / 4

58. Dacă ξ şi η sunt variabile aleatoare independente având repartiţiile:

-1 0

1/3 1/3 1/3v

are repartiţia:

a)

c)

1 ^ (-1 0

şi rl :1

1/3 1/3 1/3atunci variabila aleatoare ξ2 + η2

' 0 1 2 Λ

b)ί _1

0 1 N

1 /9 7 /9 1/9 2 /9 6 /9 1/9V / V y

f 0 1 2 N

d)

r -1 0 1

, 1/94 / 9 4 / 9

>1/9

V4 / 9 - 4 / 9

/

59. Variabilele aleatoare independente ξ şi η au repartiţiile:

-1 0

1/3 1/3 1/3V

Să se calculeze P( ξ · η = - 1):

l λ ί -1 0

şiV-1 Ν

1/3 1/3 1/3

a)1

b) 1 c)1 2

d ) 5

60. Variabilele aleaoare independente ξ şi η au repartiţiile:

ξ :

-1 0 ι λ f -1 ο

şi V·1/3 1/3 1/3

y \

Să se determine repartiţia variabilei aleatoare ξ · η.

1 Λ

1/3 1/3 1/3

a) ξ·*1'·

c) ξ·ΊΊ·

-1 0 1

2 /9 5 /9 2 /9v y

^ 1 0 1 Λ

1/9 6 / 9 2 /9V

b) ξ·ν·

d) ξ·ν·

f 0 1 Λ

2 /9 7 / 9y

/

- 2 0 2 2 /9 2 /9 5 /9

61. Să se calculeze ξ 1. Dacă variabila aleatoare ξ are repartiţia:

'■ 1 2 3 Λ

1/5 2 / 5 2 / 5

293

£ -ιa) Ç

1

Ο r 1·

5/1 5 / 2 5 /2

1 1 /2 1/3'

v5 5 / 2 5 / 2

b ) « “’ ·

d > r ·

1 2

-1/5 - 2 /5 -

1 1 /2 1/3 '

1/5 2 / 5 2 / 5

3 "

•2 /5

62. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă a cărei repartiţie este:

' 0 1 2 3 Λξ :

1 /4 1 /4 1 /4 1 /4V

Să se determine funcţia de repartiţie F(x)

y

a)

F (x ) =

0 x < 0 — O O x < 0

1 /4 0 < x < l 1/4 0 < x < l

1 /2 l < x < 2 Fix) = ■2 / 4 l < x < 2

3 / 4 2 < x < 3b)

3 / 4 x-2

1 x > 3 1 x>2

F(x)

0 x < - 4

O 1 Λ

c)

1 xe

2 xe

1 xe

>4 2 < Π 3 '

2 ’ 4

f 3 _ -1-004

d)

— O O x < 3

Fix) = ■ P xe [0,3]

-j- o o x > 3

63. Se dă variabila aleatoare discretă ξ a cărei repartiţie este:

0,1 0,3 0,2 0,4atunci Ρ(ξ < 2) are valoarea:

a) 0,6 b)0,3 c) 1 d)0,4

294

64. Să se calculeze F(3/2). dacă variabila ξ are repartiţia

r O 1 2 3 Λ

0,15 0,30 0,40 0,15

a) 0 ,15 b)0,85 c = 0,45 d) 1

65. Să se calculeze media variabilei aleatoare:

/ 0 1 2 3 λ

ξ :

1a) Μ ( ξ ) = - b) Μ (ξ) =

4 4

1 /4 1 /4 1 /4 1 /4

10ο)Μ (ξ) = 1 d ) Μ ( ξ ) =

66. Fie ξ ο variabilă aleatoare discretă a cărei repartiţie este:

μ ί ~ 1 0 1 Λ

1/3 1/3 1/3vSă se calculeze media Μ(ξ) şi dispersia Ζ)2(ξ):

a) Μ (ξ) = 0, = ^

c) Μ ( ξ ) = | , ΰ 2(ξ) = 0 d ) M ( É ) = 0, Ζ)2(ξ ) =

67. Ο variabilă aleatoare ξ are dispersia ^ 2(ζ) - Atunci dispersia variabilei

* 5 aleatoare ς + — este:9

a) Ζ)2[ξ + 5/9] ) 10/9 b) Ό2[ξ + 5/9] = 5/9c) £>2[ξ + 5/9] = Ζ)2[ξ] + Z)2[5/9] = (5/9)2 d) Ζ)2[ξ + 5/9] = 0

68. Se ştie că variabila aleatoare ξ are dispersia D '(ξ ) - — . Atunci, variabila

aleatoare 2ξ are dispersia:

14

a)11

n 49

b ) 2 'TT

28 7

c) 11 d) 11

295

69. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă a cărei repartiţie este: . Să se calculeze

media şi dispersia variabilei aleatoare ξ

a) m = σ~ =143

2 2 143 b) m = - , σ =

5 2 25 c) m = -, σ~ = — w 3 9

d) m =

5

5σ “

9

143

9

70. Să se determine x e R astfel încât media variabilei aleatoare este:

ξ-

χ χ - 1 2x + 1

să fie Μ(ξ) = 1

a ) x = l b ) * = -l

1

2 3

c) x = 0

l

6

d) χ = 2

1 2 271. Fie ξ o variabilă aleatoare. Dacă se cunosc: Μ (ξ) = — şi Μ (ξ ) = — . Să se

3 y

determine abaterea medie pătratică a lui ξ

a) σ b) σ =1

c) σ =V 2

72. Se dau variabilele aleatoare independente ζ'·-1 0 1

1/3 1/3 1/3 Şi

1/3 1/3 1/3. Să se calculeze media variabilei aleatoare ξ · η

a) Μ(ξ·η) = — ■ — ’ 27 32

b) Μ (ξ · η) = 0 c) Μ(ξ·η) =12 d ) 6

73. Se dau variabilele aleatoare ζ '■■1 0 1

1/3 1/3 1/3

Să se determine media variabilei aleatoare ξ + η

296

Şii V--1 0 1

2 /5 1/5 2 /5

ι ) Μ ( ξ + η ) = ± + 1

c) Μ (ξ + η) = Ο

b) Μ(ξ + η) = | + I

, 1 22 d ) Μ ( ξ +η ) = — + —

74. Care din următoarele tablouri poate fi o repartiţie pentru variabila aleatoare

discretă ξ:

' 1 2 3 4 )rn 2 3 -2"

a)0,1 0,2 0,4

b)1 2

7

3 1

7 7 y

c)

49 70 71

0,12 0,38 0,49d)

75. Se dă variabila aleatoare

P( 10 < ξ < 20)

f4 -3 - 2 - Ϊ )

1 2 3 4

,11 ÏÏ 11 u ,

f i 8 13 17 2 8 ^

1 1 2 3 2. Să

1 9 9 9 9 9 ,

Să se determine

a) b) c) d)

7 10 13

76. Fie variabila aleatoare discretă ζ '■ 1 ^ 1

'.5 5 5 .

de mai jos este funcţie de repartiţie pentru variabila aleatoare ξ:

. Să se decidă care dintre aplicaţiile

a)F(x)

oo X < 1

7 < jc< 13 j . F (x ) b)

+ 00 *>13

1

x<l

7< *< 1 0

- 10 < * < 13 5

1 *> 13

297

c)Fix) =

χ<Ί

7 < * < 1 0

ί F(x)- 1 0 < jc< 13 d)5

Ο jc>13

Ο χ<Ί

1/5 7 < χ < 1 0

4 / 5 10<Jt<13

1 λ: > 13

77. Se dă variabila aleatoare discretă ξ ; 1

3

b)F (* ) =

. Atunci:

0 x<-\

1/2 - 1< jc<11 x>l

c) σyfï3

d ) M ( | ) = f D 2(£) = f J4 16

78. Se consideră funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare:

F ( jc) =

0 x < 0

x / 2 0 < x < l

xl2 1 x<2 . Atunci densitatea de repartiţie corespunzătoare este:

1 x>2

0 x<0 sau x>2

20<jc<2 b) f(x) -

c) fix)f l /2 x e [0, 2]

I 0 în rest

1/2 0<x<21 x>2

d)/ ( * ) =

0 x<0x 2 / 4 0 < x <1

x1 / 4 l < x < 2

x x>2

298

79. Să se determine constanta reală k astfel încât funcţia: / 0 0 =ffcc, xe [0, 2]

I 0, în rest

să fie densitatea de probabilitate a unei varaibile aleatoare ξ:

a) k = 1b > * = 5 c) Ar = 0 d) k

1

80. Fie ξ o variabilă aleatoare continuă a cărei funcţie de repartiţie este:

1 /2 0 < x < l

m = ■1/4 2 < x < 4Să se calculeze Ρ(ξ < 3)

0 în rest

3 1

a> I b) i c) 1 d) 0

81. Se dă funcţia de repartiţie corespunzătoare unei variabile aleatoare continue,

ί 2x, xe [0,1]/(■*) =-

0, în rest

4 2 1a) m = - , σ" = —’ 9 18

2 2 4c) m = —, σ = —’ 3 9

. Să se determine media şi dispersia varaibilei aleatoare:

b )m =

d) m =

σ~ = — 18

82. Sise determine constanta reală k astfel încât / W ~

reprezinte funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare ξ:

1a ) k = e b)£ = 0 c ) ^ - — d ) ^ = l

I ke2, xe [0,1]

0, în rest. Să se

83. Fie /( ·* ) —

c) k =

[2x x e [ 0 ,1]

I 0 în rest densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare

ξ. Să se calculeze P 0 < ξ < - 2

84. Se aruncă o monedă de patru ori. Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare care ca valori numărul de apariţii ale stemei.

Sol. Valorile pe care le poate lua variabila aleatoare sunt: 0, 1 ,2 , 3, 4.Din schema lui Bernoulli obţinem:

P(x - k) = Ckp kqn~k, k = 0,4, p = q = ±

Atunci X :0

T 4w 2 . V2 , v 2 ,

C j \4 / i Λ4

V2 , ,

85. Variabila aleatoare x are repartiţia

f - 2 0 2 4 λΠ θ ,3 0,2 0,4 0,1\ /

a) Să se determine repartiţiile variabilelor >> = 2x + 1 ; z = x2

b) Să se calculeze P1N

x > —3

3 1 5 9 N ' 0 4 16"Soluţie, a) y'· 0,3 0,2 0,4 0,1, şi [o ,2 0,7 0,1^

b) x> — 3

= P((x = 0 ) u ( x = 2 ) u ( x = 4 )) =

= P(x = 0) + P(x = 2) + P(x = 4) = 0,7

' - 2 3 ' r -\ 286. Fie x şi y două variabile având repartiţiile x - 0,2 0,8 j ; y ‘- 0,2 0,5

Să se determine repartiţiile următoarelor variabile aleatoare.

, 2 £ x + 3; 2x; x2; - ;y - 2; x + y; x ■ y;

x ySoluţie.

f 1 6 1' - 4 6 ' ' 4 9 N

x + 3: ; 2x: ; x 2 :0,2 0,8V J , 0·2 p 00 0,2 0,8

300

2f

1 " - 3 0 3 N— : 3 ; y - 2:X 0,2 0,8V ’ J

0,2 0,5 0,3

' - 3 0 2 3 5 8X + y- ^0,04 0,1 0,16 0,06 0,4 0,24

X/ 3 -1 - 0 ,4 0,6 1,5 2 \

0,16 0,1 0,06 0,24 0,4 0,04

/ (* ) =

87. Se consideră o funcţie/ definită prin

[l/ x , l - c < x < l + c, c& R

[ 0, în restSă se determine c a.î. funcţia/ este o densitate de repartiţie.

So luţie ./ - densitatea de repartiţie <=S\AX) ^ 0 y x e R şi ~ <=> fix)R

> 0 = > l- c 0 = > c > lş ic > 0 .

iar|1+c— = 1 « lnx|£ = 1 o ln ( l + c) - ln (1 - c) = 1X

. 1 + c 1 + c e - 1 <=> In-------= 1 <=> ----------- = e <=> c

1 - c 1 - c e + 1

88. Se dă funcţiaία / (* ) =

a-< x< l

0, în rest

a) Să se determine a, a . î ./ - densitate de repartiţie a unei variabile aleatoare.b) Să se afle funcţia de repartiţie corespunzătoare.c) Să se calculeze P(0 < x < 1)Soluţie, a) Din proprietăţile densităţii de repartiţie =>

r> f1 1J_i f ( x)dx = l <=> a' - ' J i == ■dx -

= a[arcsin 1 - a rcs in (- l)] - απ - 1 « a - —71

301

b) F(x) = [_ f{ t)d t.

Dacă x < - 1, cura pentru - < t< - 1, f t ) - 0 => F(x) = 0.

Dacă -1 < t < 1 =» F(x) = Γ f{t)d t = f ' f(t)d t +J — oo J — oo

+ ί f(t)dt + f f(t)dt - — [arcsin 1 - arcsin (- 1)] = — · π => 1 Jl π π

=» F(x) = 1 pentru xe (1, °«).Deoarece pe intervalele (-«> ,- 1) şi (1, °°) densitatea de repartiţie este nulă ;

F(x) =

0, x < - l1 1 / 1 1Λ— arcsm x + —, xe (- 1,1) π 2

1, xe (1, oo)

c) Ştim că P(0 <x < 1) = F (l) - F(0) Ţ P (0< x< l)

89. Distributia variabilei aleatoare X este X :1 2 3 4^2 7 1 1 p — p — -

4 3 6 )Care este probabilitatea ca variabila X să ia o valoare < 3 ?

Rezolvare:7 1 1X este variabilă aleatoare =* p2 +—p+ —+— = 1;

y 4 3 612/j2 + 21/7 + 4 + 2 -1 2 = 0 ; 4p2 + 7/>-2 = 0 ;

-7 + 9 1 - 7 - 9 D = 49 + 32 = 81; p .= —L l l = ± ; p = _ i_ Z . = -2 < 0 ;1 8 4 8

Rescriem distribuţia variabilei aleatoare, X :' 1 2 3 4

P (X < 3) = P (l) + />(2) + P(3) = - l + T + i = | .10 10 3 O

90. Ce distribuţie are suma variabilelor aleatoare independente:

?

»""1o»■ ■ '4 1 " - 1 0 1 2 NX : 2 5 1

p —p — 3 3şi 7 :

* 2 f * % K o

302

Rezolvare: Se determină mai întâi p şi q din condiţiile :

Avem: 3>p2 + 5 p -2 = 0 cu P t- cealaltă soluţie fiind negativă.

30q2 + 48q - 24 = 0 ; 5q2 + 8q - 4 = 0 cu soluţia convenabilă q = . Rescriind cele două distribuţii vom avea:

X :

Atunci repartiţia variabilei aleatoare X + Y va fi :

' - 1 o ί Ί r - i 0 1 2 Ï

y ÎX

ş i r : 4,25

1625

16

1

30,/ _ 2 -1 ') 0 1 -1 0 1 2 0 1 2 3 1

X + K: 4 16 1 1 20 80 5 5 4 16 1 1k 225 225 54 270 225 225 54 270 75 75 18 90,

' - 2 -1 0 1 2 3 NsmX+Y: 4 _36_ 577 434 100 15

k 225 225 1350 1350 1350 1350 J91. Se consideră variabilele aleatoare independente:

X :•1 1

,Y'.ρ+Κ « +X X) Ί Κ lp~q

1

Să se scrie distribuţia variabilei X+Y. Pentru ce valoare a lui a avem:

P(X + Y = o ) > ! ?

Rezolvare: Avem:

i ,+% + ?+ X +X =1J^ + 2 p -q + l2 p 2 =1

212p + 2p -q = —

1 212/>2 + 2/?+/>-j = - j ; 36p2 + 9 p - l = 0 cu soluţia convenabilă:

Rescriem repartiţiile celor două variabile aleatoare:' - 1 0 1 V f a 0 1 '

X!U % % r :U χ x ;

303

Repartiţia variabilei X+ Y este:r-\ + a -1 O α O 1 1 + a 1 2 Λ

, X X X X X X X X X ,' - l + a -1 0 a 1 1 + a 2 '

JSf+y:, X

2/ 1/ 2/ /9 /9 /9 X y j

Se observă că: P(X + 7 = 0) = — Pentru realizarea condiţiei din enunţ şi cu a *9

0, α * 1 = > 1 + α = 0 adică a = -1 .

>X+ Y:■1 0 1

92. Variabila aleatoare X are repartiţia:

X : . Să se determine a şi β ştiind că M{X) = 1,4 şi β =α + 1.0,2 0,4 0,4N >

Pentru aşi β determinate să se calculeze M^(X).Rezolvare:

M (X ) = 1 -0 ,2 + α · 0,4 + β -0,4 = 1,4; ß = a + l0 ,4 α + 0,4/3 = 1,2

- a + β = 1

α + /3 = 3

- a + β = 1=» α= 1, β = 2

Variabila aleatoare va avea repartiţia:' 1 1 2 N '1 2

X :0,2 0,4 0,4

, sau :0,6 0,4

Af,(X) = l3 · 0,6 + 23 · 0,4 = 0,6 + 3,2 = 3,8

93. Fie X şi Y două variabile aleatoare independente şi a,b e R , constante. Să se arate că: D(aX + bY) = a2D{X) + b2D(Y)

Rezolvare: Se cunoaşte că:M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y) şim [(oX + bY)2 ]= M [a2X 2 + 2abXY + b2Y2}== Μ (α2ΛΓ2) + M{2abXY) + M(b2Y2 ) == a 2M (X 2 ) + 2 apM(XY) + b2M(Y2 )

304

A" şi y fiind independente => M(XY) = M(X) ■ M(Y)=* m [(oX + bY)2]= a2M (X2) + 2abM(X)■ M(Y) + b2M(Y2)Folosind formula de calcul a dispersiei rezultă: m [(oX + bY)2 ]= m [(oX + bY)2}- M 2 (aX + bY) == a2M (X2) + 2abM(X)M(Y) + b2M(Y2) - a2M 2 (X ) -

- 2 abM(X) ■ M(Y) - b2M 2(Y) == α2 |m(X2) - Λ/2(Χ)]+ 62 [m (72) - Λ/2(7)]= ω2£>(Χ) + b2D(Y)

94. Se dă o funcţia/ : j? —> /?, unde:£sin;c x e [Ο ,π ίλε Æ

/ (* ) = 0 ,—>xg[o,7r]a) Să se determine constanta λ astfel ca / să fie densitatea de repartiţie a une

variabile aleatoare X;b) Să se afle funcţia de repartiţie F a lui X;

c) Să se calculeze P

X > - / ~ < X < -

0 < ,X < -l 4 J/

, p\

5π)1

π / ηΛ O ZX < - X > -

4/ 6

2/ 4\

Rezolvare:a) Condiţiile ca/să fie densitate de repartiţie a variabilei aleatoare ΛΓ sunt:

1) f(x)>0,(V)xeR=>ks\nx>0=*k>0oo Oo

2) I f(x)dx-l=>^ksm xdx = -kcosx](‘0 =2k = \=^k = y^.—oo

Deci: / (* ) =—sinx, pentru xe [ο,π]

0, pentru x g [θ,π]X

b) Deoarece: F(x) = J f(t)d t =>

υ x 1 1 r 1F(x)= \0dt+ f — sin tdt = - —cosii = -( l-co s λ)J ί 2 2 η 2

305

Dacă χ>π atunci:

O π x n -t

H *) = J / (O * + J fiO dt + J f(t)dt =0 + J - s in tdt + O = 1—oo O 7C O

în concluzie:

F(x) = ■

0 ,dacă x <0l-c o s jc ,dacă 0<χ<π

21 ,dacă x>n

n

c) f i 0 < X < — j = f —sin xdx =2-V2

' O i x c î / x ^4/ 6

Λ

V n< X < — 4

F π6

_ 2 (V3-V2)2 + V3

{ χ > - 1 1 - f j1 6 J U J

x > — < x < — 1 = — ---------- l iΛ 2 / 4 4 J

l 4 4 J' F i5’1'

1 - i21

22 + λ/2

95 Să se determine constanta c astfel ca / : R —» [0,l], / (* ) = — -=- să fie ol + x

densitate de repartiţie (repartiţia Cauchy) a unei variabile aleatoare X. Să se determine P ( - 1 < X < 1).

306

Rezolvare:/ (x) este o densitate de repartiţie dacă: f ( x ) > 0 ·

jf ( x ) d x = 1

+ xf dx r -■dx = c \ -------- = c · arctg x\ - c - n - 12 J ţ ,. + Χ( i

c > 0 şi

1c = — n

iî£c

+ x

= — · arctg χ π

1 e J_- - Ϊ

_ 1 π

-1 π .4 4 1 π Ίo .pentru x< 0

A e-2* .pentru x> 096. F ie/: R->R, / (x ) = ·

a) Să se determine A pentru ca / să fie densitatea de repartiţie a unei variabile

aleatoare continue X.b) Să se calculeze P (X >3),P (X <3),P(2 <X<3)c) Să se calculeze M(X) şi D(X).

Rezolvare'.a)/ densitate de repartiţie dacă:

/ (x) > 0, (V)x e i? => A > 0 ;oo oo oo

J / (x)dx = 1 =» J A · e~2xdx = A J e~2xdx -1 =»—oo o — oo

=> λ ^ ~ ^ ~ 2χ = l= > -^A (e"~ -e°)= |-A = l=>A = 2

b) Calculăm întâi3 3 ,

P(X < 3) = J 2e~2xdx = - eT2*|o = 1 - e-6 = 1 — .o ° e

P(X>3) = l-P (X < 3 ) = ~ .e

3 2

P(2 < X < 3) = f 2e~2xdx = - e“2xf = e'4 - e"6 = ^J Iz e e e6

307

ι2

oo oo oo

c) M (X)= J xf(x)dx = j2xe~2xdx = 2jxe~2xdx =—oo 0

= -xe~2x\ + le~2xdx = 0 - —e~2x lo J 2o

M2 (X) = J x2f (x)dx = J 2x2e~2xdx =0

oo

+ 2 jx -e -2xdx = 0 - - e= 2x1 -2

308

CAPITOLUL VELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ

§ 1. Obiectul statisticii matematice. Noţiunea matematică de selecţie. Funcţia de repartiţie a selecţiei. Momente de selecţie.

1. Obiectul statisticii matematice. Statistica matematică are ca obiect studiul pe cale inductivă al fenomenelor aleatoare de masă, folosind metode matematice care sunt fundamentate de teoria probabilităţilor. Instrumentul de bază cu care operează statistica matematică este conceptul de selecţie care constituie informaţia cu privire la fenomenul de masă aleator luat în studiu.

Cercetarea statistico-matematică porneşte de la o mulţime numită populaţie formată din obiecte sau indivizi care se diferenţiază prin diverse atribute şi care poartă numele de unităţi ale populaţiei.

Studiul statistico-matematic al unei populaţii se poate face de exemplu cercetând unităţile populaţiei după o anumită caracteristică măsurabilă sau calitativă (atributivă) pe care o posedă unităţile populaţiei şi care poate fi similară cu o variabilă aleatoare X considerată pe populaţia luată în studiu. Această variabilă aleatoare poartă numele de variabilă aleatoare asociată populaţiei sau caracteristică sub cercetare sau încă variabilă teoretică.

Ca orice variabilă aleatoare, caracteristica X are o lege de repartiţie care descrie repartiţia valorilor lui X în populaţie. Această lege poate fi dată fie de repartiţia probabilităţilor p(x) fie prin densitatea de repartiţie / (x) după cum variabila aleatoare X este discretă sau continuă. De asemenea această lege poate fi dată şi prin funcţia de repartiţie F(x) a variabilei aleatoare X. Atât p(x) şi fix), cât şi F(x) se numesc legi de repartiţie teoretice.

Menţionăm că de regulă aşa cum vom vedea mai departe, legile de repartiţieteoretice conţin unul sau mai mulţi parametri astfel că vom scrie ρ(χ',θι ,θ 2/ (χ ;θ 1,θ 2,··.) sau F (x -,e i,02,...), parametri ce au interpretări probabilistice ca valori tipice, medie, dispersie etc.

Revenind la selecţie ca instrument de lucru al statisticii matematice, remarcăm că în practică se poate examina numai un număr limitat de unităţi ale populaţiei considerând că informaţia obţinută pe acestă cale oferă cu suficientă precizie elemente în măsură să caracterizeze întreaga populaţie, cu alte cuvinte să facem ceea ce se cheamă inferenţă statistică, adică să extindem rezultatele obţinute prin observarea unei părţi din populaţie la întreaga populaţie.

Conceptul de selecţie, care într-un mod mai intuitiv se poate defini pornind de la un experiment aleator, constă în extragerea la întâmplare a unei unităţi din populaţie şi cercetarea ei din punct de vedere al caracteristicii X. Dacă repetăm de n ori în mod independent acest experiment, obţinem un şir de valori observate

309

{.Kj,.*2, . al e variabilei aleatoare X. Vom spune că o astfel de mulţime de n valori observate ale unei variabile aleatoare X având funcţia de repartiţie F (x ;0 l,02,...) se numeşte selecţie realizată de volum n, efectuată asupra caracteristicii X în populaţia a cărei lege de repartiţie tepretică este F(x;Ov 02,...).

Selecţia poate fi cu întoarcere şi fară întoarcere; în primul caz elementul extras din populaţie este repus la loc iar în al doilea caz el nu mai revine în populaţie.

Evident dacă populaţia este infinită atunci această deosebire practic nu mai apare, ea se impune când populaţia conţine un număr finit de unităţi.

Când o populaţie este infinită sau poate fi considerată practic infinită, singura metodă de cercetare a populaţiei după caracteristica X este evident metoda selecţiei cu ajutorul căreia pe baza analizei unei colectivităţi parţiale numită colectivitatea de selecţie se trag concluzii asupra întregii colectivităţi.

Pentru ca aceste concluzii să fie justificate este necesar ca selecţia să fiereprezentativă adică toate valorile de selecţie xl ,x2,...xn să aibă aceeaşi probabilitate de a intra în componenţa ei.

Să introducem acum mai riguros conceptul matematic al selecţiei. Considerăm un experiment aleator căruia i se asociază variabila aleatoare (caracteristica) X.

Efectuăm un şir de n repetări ale experimentului care formează un experiment aleator compus şi care constituie un sistem de n variabile aleatoare X x,X 2,...Xn independente unde X, \ < i< n este rezultatul aleator care corespunde celei de a i-a repetări a experimentului.

Suntem conduşi astfel la o variabilă aleatoare «-dimensională ( X , , I 2> -^ „ ) unde componentele Xi sunt variabile aleatoare independente identic repartizate adică având fiecare aceeaşi funcţie de repartiţie F(x) ca şi variabila X ataşată experimentului (asociată populaţiei).

în baza consideraţiilor de mai sus, dăm următoarea:Definiţie. Fie X x,X 2,...Xn , n variabile aleatoare independente identic

repartizate deci având aceeaşi funcţie de repartiţie F{x)\ funcţiile de repartiţie ale variabilelor X l ,X 2,...Xn fiind

F fx ,) = F (x x)-F 2(x2) = F(x2)...Fn(xn) = F (xn) iar funcţia de repartiţie comună variabilelor X x,X 2,...Xn

F (Xl)-F (x 2)-...-F (x n)în acest caz se spune că variabilele X x,X 2,...Xn constituie o selecţie

aleatoare de volum n asupra variabilei X având funcţia de repartiţie F.Definiţia precedentă rămâne valabilă dacă în loc de funcţia de repartiţie F

figurează densitatea de repartiţie fConform cu definiţia de mai sus, noţiunea de selecţie realizată asupra variabilei

310

aleatoare X din populaţia cercetată, introdusă anterior şi definită de ansamblul valorilor xl ,x2,...xn reprezintă realizarea prin selecţie a variabilei aleatoare n-dimensionale (Χ ], X 2,...Xn ) în sensul că în urma experimentului compus al celor n repetări, Xx ia valoarea xu X2 ia valoarea x2 ...X„ ia valoarea xn. Mai spunem că (xi, x2,...jcn), formează o valoare de observaţie a variabilei n-dimensionale

Avem deci de considerat selecţia aleatoare {X l, X 2,...Xn} ca ansamblu al

variabilelor aleatoare X l , X 2,—, X n şi realizarea ei concretă {xv x2,...xn} în urma experimentului repetat.

Deci înaintea efectuării experimentului, rezultatele aleatoare X, l< i <n sunt privite ca variabile aleatoare independente identic repartizate cu variabila teoretică X considerată pe populaţia respectivă, iar după efectuarea experimentului ele suntnişte valori concrete xt 1 < i <n obţinute, pe care le folosim ca informaţie asupra caracteristicii X şi constituie n observaţii independente asupra acestei caracteristici. Rezultă că variabilele X ltX 2,...,Xn fiind identice cu X în sensul arătat mai sus, putem scrie:

M (X ;) = M (X r ) = mr 1 < i< n şi de asemenea (1)

(m [(Xî - m ) r ]= m [(X μ Γunde m = Μ ( X ), mr, μ Γ sunt media şi respectiv momentul iniţial centrat de ordinul r ale caracteristicii X, numite şi momente teoretice ale populaţiei.

Exemplul 1°. Fiecare produs care iese de pe o linie de fabricaţie poate fi defect sau nu. Presupunem că probabilitatea ca un produs să fie defect este p şi că apariţiile produselor defecte sunt independente.

Dacă luăm o selecţie aleatoare de n produse de la ieşirea acestei linii de fabricaţie şi definim:

î l daca produsul ί este defectX,. =\ K 1 < i < n

[0 daca produsul i nu este defect

atunci X l, X 2,. ..,Xn este o selecţie aleatoare de volum n asupra unei variabile aleatoare X cu legea de repartiţie teoretică binominală B( 1, p), considerată pe populaţia formată de produsele care ies de pe linia de fabricaţie pe o durată anumită şi care se scrie:f ( x ,p ) = p x{ l - p ) l' x x = 0 ,\ 0 < p < l

Exemplul 2°. Presupunem că pentru o anumită întreprindere apelurile telefonice se primesc zilnic între orele 7h -23h, acestea constituind evenimentele ce se succed

311

după o repartiţie Poisson de parametru λ = 10 apeluri pe oră şi că apelurile suntindependente de la o zi la alta. Atunci dacă X t, i = 1,2,...,6 reprezintă numărulde apeluri zilnice pentru o anumită săptămână, X {,X 2,...,X 6 reprezintă oselecţie aleatoare asupra unei variabile Poisson de parametru 0 = 1 6 - 1 0 = 160 şi care are repartiţia teoretică:

p (x ,e ) = e-e ~ = e~m ^ - , * = 0,1,2,... x\ x!

2. Repartiţia selecţiei Funcţia de repartiţie a selecţieiDescrierea şi sistematizarea datelor de selecţie se face cu ajutorul aşa numitei

repartiţii a selecţiei. Repartiţia selecţiei (sau cum i se mai spune: repartiţia empirică) este repartiţia variabilei discrete notată cu X * numită variabilă de selecţie sau variabilă empirică. Această repartiţie se scrie:

( X t X 2 ... X Ai i i (2) η η η ,

din care se vede că X * ia fiecare din valorile xt 1 < i ^ n cu aceeşi probabilitate

1— adică: n

P(X* = * , · ) = - , / = 1,2......n (3)n

Dacă efectuând cele n observaţii independente constatăm că de ri\ ori a apărutr

valoarea xu de n2 ori valoarea x2, ... de nr ori valoarea xr unde ^ / n‘ ~ n ’ atunc‘i - l

repartiţia variabilei X* este:tL _ _ ^

(4)Xxx x2 ... x r

unde

Λ f i - f rτι r r ti \ r

f i - — ·, i = 1,2,..., r şi /; = = — Σ n‘ = reprezentândη —, η n ;=1

frecvenţa relativă a valorii x; în selecţia realizată de volum n,în practică selecţia dintr-o populaţie continuă este grupată, adică nu se consideră

valorile individuale x\ ci numai numărul valorilor observate care cad într-o anumită clasă specificată de intervale. Construim pe fiecare interval luat drept bază, câte un

vdreptunghi având înălţimea — , unde h este lungimea intervalului,iar v numărul de

nh312

valori ale selecţiei care cad în acest interval.Figura astfel obţinută constituie histograma selecţiei (fig. 1). Aria fiecărui

vdreptunghi al histogramei este egală cu frecvenţa relativă corespunzătoare —.

Pentru un volum n al selecţiei suficient de mare, această frecvenţă este aproximativ egală cu probabilitatea ca o valoare observată a variabilei continue X să aparţină intervalului corespunzător, ceea ce echivalează cu integrala densităţii de repartiţie a variabilei aleatoare pe acest interval. într-adevăr, fie variabila aleatoare continuă X considerată pe o populaţie ale cărei valori se află în intervalul \ß,b\ şi care are densitatea de repartiţie / (λ ) .

împărţim intervalul \_a,b\ în r intervale parţiale (a, ax), (au a2)....(ijk-i » ßk) . . . ( û r - i , b) prin punctele a h a2, ..., « r-i în aşa fel ca aj — a = a2 — ax = ...b - ar_x = h .

O selecţie realizată asupra variabilei X conduce la obţinerea frecvenţelor V], v2, ...,vr corespunzătoare intervalelor de mai sus, unde v,· reprezintă numărul valorilor x, observate care cad în intervalul (<2i-i,<Zi).

Se obţine astfel repartiţia variabilei de selecţie X* reprezentată prin cele r subintervale şi prin frecvenţele vb v2,...,vr corespunzătoare:

^ (fli-1»a i ) 'vX *1=1

Densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X fiind/ (x), probabilitateap\ ca X să ia o valoare din intervalul [aM , cl- ) este după cum se ştie dată de relaţia:

Pt = P ( a M < X < at)= j f(x )d x (6)

Se ştie de asemenea că pentru n suficient de mare teorema lui Bemoulli ne permite să scriem:

313

când η —> °° afirmă convergenţa în probabilitate a frecvenţei relative — către

probabilitatea p\ când volumul selecţiei este mare. Să presupunem că am reprezentat pe acelaşi grafic histograma repartiţiei (5) precum şi curba de ecuaţie y = f (x) a densităţii lui X. Din relaţia (7) de mai sus se poate vedea că dacă

a,· — aw = h —» 0 şi dacă n este suficient de mare atunci curba y = f ( x ) a densităţii de repartiţie va acoperi în întregime histograma repartiţiei variabilei de s e le c ţ ie i* . Acest fapt rezultă aplicând formula de medie integralei din (6)

Pi = } f(x)dx = / (& )* , α Μ < ξ { < a, (8)aM

şi ţinând seama de (7) obţinem egalitatea aproximativă:

(8)n

vRelaţia (8) justifică afirmaţia făcută mai sus, anume frecventa relativă —

ncorespunzătoare intervalului [flM , a( ) se apropie oricât de mult de ordonata curbei

y - f (* ) în orice punct intermediar ζί când n creşte. Deducem că pentru un volum mare al selecţiei conturul superior al histogramei ne furnizează o imagine statistică suficient de exactă a graficului densităţii de repartiţie / (x) adică a curbei reprezantative a legii teoretice pe care o urmează caracteristica X în populaţia generală.

O altă noţiune care se impune în studiul selecţiei este funcţia de repartiţie a selecţiei sau funcţia de repartiţie empirică. Fie o populaţie pe care se consideră variabila aleatoare X, având funcţia de repartiţie F (x) = P (X < x), XE Rnumită aşa cum am spus funcţia de repartiţie teoretică. Dacă {x[, x2 x„ } este o selecţie realizată de volum n din populaţia dată şi x un număr real arbitrar, să notăm cu tix numărul de valori x; din selecţie mai mici ca x.

n xRaportul — reprezintă frecvenţa relativă a valorilor x,· care cad la stânga

punctului χ, adică frecvenţa relativă a evenimentului X < x. Această frecvenţă esteo funcţie de x şi poartă numele de funcţie de repartiţie a selecţiei sau funcţie

vi

314

empirică de repartiţie obţinută prin selecţia realizată {xi ,x 2,—,x n} de volum n

asupra variabilei X. Notând această funcţie cu Fn (x ) avem conform definiţiei:

n (9)

în cazul variabilei de selecţie X * cu repartiţia (4), funcţia de repartiţie F*(x) este:

n f r . (10)X j< X

adică este egală cu suma frecvenţelor relative corespunzătoare tuturor valorilor xt 1 < i< r pentru care x, < x . Vom avea deci:

0 pentru x < x,/j pentru x, < x < x2 f\ + f i pentru x2 < x < x3

Fn (*) = ( 11)rt-l

1

având graficul de mai jos:

F'.W

Σ/,· pentru xr_x< x< xr

pentru x > xri=l

Σ/-=>Im

w ,

f,

I 2 AM i

Dacă datele de selecţie sunt grupate pe intervale (α ,.,,α ,·), i = l,2 ,. . .r de

lungime constantă h, funcţia de repartiţie a selecţiei Fn (x ) se defineşte astfel:

315

Κ ω

X - ü r

f l + f lx - a .

Σ λ · + /.·x - a t_ i

i'= ln ~ l

pentru aQ< x < a {

pentru al < x < a 2

pentru αΜ < x < a t

pentru x > a r - b

pentru x < a0 = a

(12)

i=t

Vjunde f , - — , j = 1,2,..., r este frecventa relativă corespunzătoare intervalului

η0 aj_x, a j ) , j = 1 ,2 ,...,r .

Funcţia de repartiţie a selecţiei se bucură de toate proprietăţile unei funcţii derepartiţie. Este nulă pentru x ^ rnin X; şi egală cu unitatea pentru x > înax xt .

i ii

Este crescătoare prin salturi de mărime — în fiecare din punctele xl ,x 2,—,x n ,n

graficul fiind o curbă în scară.

Să ilustrăm cele de mai sus, efectuând o selecţie de volum n = 100 asupra unei variabile aleatoare X care a furnizat valorile 1, 3, 7, 10 respectiv cu frecvenţeleVj = 20, v2 = 15, v3 = 4 0 ,v 4 = 25. Variabila de selecţie X* conform cu (4) are repartiţia:

X *1

20 15 40 25,100 100 100 100

Atunci funcţia de repartiţie a selecţiei F ^ ix ) este:

316

*ίοοΟΟβ

0 dacă x < l

0,2 dacă l < x < 3

0,35 dacă 3 < x < 7

0,75 dac ă 7 < x < 10

1 dacă x > 10având graficul:

Fm(x)1

0,8-

0,6.

0,4.

0.2-

10

Pentru x fixat funcţia de repartiţie a selecţiei Fn ( x ) , care este frecvenţa relativă a apariţiilor evenimentului X< x, converge în probabilitate conform teoremei lui Bernoulli, către probabilitatea P {X < x ) = F (x) a aceluiaşi eveniment, când volumul n al selecţiei este mare. Avem deci convergenţa:

+ F(x)n

(13)

pentru n —>°° şi x fixat, a funcţiei de repartiţie empirice către funcţia de repartiţie

teoretică. Convergenţa lui Fn (x ) către F(x) pentru orice x e R adică convergenţa globală este dată de teorema lui Glivenko potrivit căreia, dacă notăm

dn = sup |f „*(x ) - F ( x )I—oo<X<+oo

atunci d„ converge în probabilitate către zero, când volumul selecţiei n —> °° adică:

pentru orice x G (—1°o,+°°) .

p ţlim dn = o J —> 1 (14)

317

Această teoremă numită de unii autori teorema fundamentală a statisticii, dă justificarea teoretică a folosirii metodei selecţiei. Deducem şi aici că, pentru un

de poligonul frecvenţelor cumulate, ne oferă o imagine a funcţiei de repartiţieteoretice F(x).

Pentru repartiţia unei selecţii se pot calcula toate valorile tipice, media, dispersia, etc. Aceste valori tipice se numesc valori tipice de selecţie sau valori tipice empirice. Cele mai importante dintre ele aşa numitele momente de selecţie sau momente empirice, le vom defini în cele ce urmeză.

3. Momente de selecţieCând se consideră o selecţie aleatoare {X],X 2,...,X n}, adică X\, X 2,...,X n

sunt concepute ca variabile aleatoare, orice funcţie Tn(X l,X 2,...,X n) de aceste variabile, adică orice funcţie de selecţie este la rândul său o variabilă aleatoare, a cărei funcţie de repartiţie este unic determinată de funcţia de repartiţieF{x,Q] ,θ2,...) a caracteristicii X care a generat selecţia. Funcţia de selecţieTn(X\,X2,...,X n) o vom numi statistică şi aşa cum am spus mai sus este o

variabilă aleatoare. Menţionăm că pentru o selecţie realizată .··>*„}valoarea statisticii Tn este numărul Tn(xx,x2,...xn\adică realizarea prin selecţie a

variabilei aleatoare Tn(X i,X 2,...,X n) .Dintre funcţiile de selecţie importante menţionăm aşa numitele momente de

selecţie pe care le definim în continuare.

Se numeşte momentul iniţial de selecţie de ordinul r, statistica:

volum mare al selecţiei, graficul funcţiei de repartiţie Fn ( x ) , care poartă numele

în particular, pentru r = 1, obţinem momentul de selecţie de ordinul întâi wz,

sau media de selecţie X :

în legătură cu momentul iniţial de selecţie de ordinul r, se pot stabili după un calcul relaţiile:

a) M (m*r ) = mr(17)

nîn particular, pentru r - 1 relaţiile (17) devin:

318

D (X ) = m2 ~ mi = (18)η n

adică valoarea medie a mediei de selecţie este egală cu media populaţiei M (X ) = m , iar dispersia mediei de selecţie este de n ori mai mică decât dispersia

D (X ) = σ 2 a populaţiei.Se numeşte moment centrat de selecţie de ordinul r statistica:

A =-ÿ(x,-xy -Ifcjr, -xr+(x2 -xy +...+(x, -xr]" M n

în particular pentru r = 2 obţinem momentul centrat de selecţie de ordinul doi sau dispersia de selecţie

l h = S 2 = - f l ( X , - X f" t i

Se înţelege că cu cât volumul selecţiei este mai mare cu atât momentele de selecţie vor avea valori mai apropiate de momentele teoretice corespunzătoare. Această afirmaţie care poate fi intuită, are la bază convergenţa în probabilitate a momentelor de selecţie către momentele teoretice, justificată de teorema lui A.I. Hinein, conform căreia oricărui şir de variabile aleatoare independente Z ],Z2,...Zn identic repartizate cu aceaşi valoare medie finită:

A/(Zj) = Af (Z2) = ...M (Z„) = m

îi putem aplica legea numerelor mari adică media aritmetică

—(Zj + Z2 +... + Zn) a acestor variabile converge în probabilitate către m când n

1 nn —> 00 . într-adevăr momentul de selecţie de ordinul r, = — V X t este

« wmedia aritmetică a variabilelor Z,· = X t , 1 = 1,2..,n, care urmează aceeaşi lege de

repartiţie şi cu aceeaşi valoare medie M{Zt) - M (X i ) = mr .Aşadar, dacă există momentul teoretic mr al repartiţiei teoretice, atunci

★momentul de selecţie mr converge în probabilitate către momentul teoretic de acelaşi ordin, fapt ce se exprimă prin relaţia:

M(X) = m

319

când « —» oo _ în mod analog, momentele centrate de selecţie /ir converg în

probabilitate către momentele teoretice μ . , când volumul selecţiei « —> 00 .

Aplicaţie·. în tabelul de mai jos este dată repartiţia înălţimii X în cm a n - 1000 de muncitori, obţinută pe baza datelor culese de la o uzină. Datele sunt grupate pe r = 15 intervale de mărime h = 3 cm şi am notat cu v, numărul de valori ale selecţiei care cad în intervalul Punctele ζ, & [ai_v ai ) se iau chiar mijloaceleintervalelor.Tabelul I

V; *vi

1 4 3 - 1 4 6 1 11 4 6 - 1 4 9 2 21 4 9 - 1 5 2 8 915 2 - 155 26 27155 - 158 65 651 5 8 - 1 6 1 120 120161 - 164 181 17516 4 - 167 201 19816 7 - 170 170 1751 7 0 - 1 7 3 120 1221 7 3 - 1 7 6 64 6617 6 - 179 28 28179-182 10 9182-185 3 218 5 - 188 1 1

Se observă că frecvenţele v,· din tabelul respectă o anumită legitate care ne conduce la ideea că frecvenţele v, urmează o anumită lege de probabilitate sau lege teoretică de repartiţie.

într-adevăr ele pot fi calculate cu mare precizie după relaţia

* _ 3 · 1000 - ~ ÿ -V' " S - J 2 Ï ' e (20)

unde Xia valorile ζ ί 1 < z < 15 adică mijloacele intervalelor

6 = 1 4 ,5 , ξ 2 = 1 47 ,5 ,...,6 s = 186,5

iar X şi S 2 sunt media de selecţie şi respectiv dispersia de selecţie date de

■Sl2=-i^ [ 1' ( Ô - ^ ) 2+2 - ( & - ^ ) 2 + 8 (Î 3 -^ )2 +-..+ l ·<|15- ^ ) 2]=

= 6,047Din relaţia (20), rezultă că frecvenţele relative v, urmează cu destulă precizie

legea:_ (x -186 ,5 )2

-Τ = ~ [ ΐ · ί 1 + 2 · ί 2 +8 ' ί 3 + ···1·ί,5]=16.3

V,i _ J________ 2-6,047

1000 ^6 ,047 λ/2τγ Acest fapt conduce la ideea că probabilitatea ca valorile caracteristicii X să cadă

într-un interval (x ,x + dx) este aproximativ dată de produsul1 _x ~ m

e 2° 2 cbcO-JlTC

în care x poate fi orice număr real iar m şi σ nişte parametri aproximaţi prin selecţie de valorile X şi S.

Deducem de aici că, pe baza datelor observate, caracteristica X- (înălţimea) poate fi considerată ca o variabilă aleatoare care are în populaţia de muncitori o repartiţie teoretică normală cu legea:

I —Îj-U-m)2f ( x ,m ,a ) = — j = - e 2tT x e R ,m e R ^ > 0 (2 l)

σ*]2πm şi cr fiind după cum se ştie media şi dispersia populaţiei.

§ 2. Selecţii dintr-o populaţie normală

I . Introducere. Am văzut că o anumită caracteristică calitativă sau cantitativă studiată pe o populaţie oarecare poate fi asimilată cu o variabilă aleatoare unidimensională X căreia îi corespunde o densitate de repartiţie f ( x ,0 ) sau o funcţie de repartiţie F (x ,0 ) pe care le-am numit legi teoretice de repartiţie alevariabilei X considerată pe populaţia generală luată în studiu, Θ fiind un parametru al repartiţiei.

Pe baza unei selecţii {Χ ι ,Χ 2,···,Χη} de volum n extrasă din populaţia considerată, se pot construi diverse statistici, adică funcţii Τη(Χ λ,Χ 2,...,Χ„) de

321

— 1 ndatele de selecţie, ca de exemplu media de selecţie X — — , dispersia de

n k=1

selecţie S 2 = ~ ^ \ (X k — X ) 2 1 momentul de selecţie de ordinul r, n

1 "mr ~ — Σ etc· Acestea sunt şi ele din cauza caracterului aleator al selecţiei,

n k=1

nişte variabile aleatoare care la rândul lor au anumite legi de repartiţie numite repartiţii de selecţie. Cunoaşterea legii de repartiţie a statisticiiTn(X l ,X 2,...,X„) este de mare importanţă deoarece cu ajutorul ei se poate face studiul probabilistic al statisticii T„ putându-se calcula probabilităţi de forma P(Tn < a),P (a < Tn < b ) , precum şi valorile tipice ale lui T„ ca

M(Tn),D(Tn) etc. Este astfel posibil ca prin intermediul statisticii T„ să se tragă concluzii referitoare la populaţia generală din care a provenit selecţia.

Teoria probabilităţilor ne oferă procedee de determinare a repartiţiei exacte deselecţie,'fie a repartiţiei asimptotice de selecţie a statisticii Tn(X x,X 2,...,X n) . Numim repartiţie exactă a statisticii T„ repartiţia determinată pentru orice număr natural n, adică pentru volum finit al selecţiei. Repartiţia asimptotică este repartiţia limită a statisticii T„, adică repartiţia către care tinde repartiţia exactă când volumul selecţiei n —» °° . Repartiţia exactă a statisticii Tn este de mare utilitate în cazul în care condiţiile concrete ale caracteristicii studiate în populaţia generală impun folosirea unor selecţii de volum redus (« < 30). în cazul unÔr selecţii de volum mare n > 30 folosirea repartiţiei asimptotice conduce de asemenea la rezultate suficient de precise.

Repartiţia de selecţie a statisticii Tn este strâns legată şi unic determinată de legea de repartiţie teoretică a variabilei X care a generat selecţia.

în cele ce urmează ne vom ocupa de stabilirea repartiţiilor de selecţie pentru statistici T„ constituite pe baza unei selecţii extrasă dintr-o populaţie normală.

2. Repartiţia mediei de selecţie, pentru selecţii dintr-o populaţie normalăCele mai frecvente situaţii întâlnite în aplicarea metodei selecţiei, corespund

cazului când legea teoretică de repartiţie este normală N(m,<j) . Vom stabili aici

repartiţiile unor statistici importante ca media de selecţie X , dispersia de selecţie S precum şi a unor funcţii de acestea, punând în evidenţă şi unele proprietăţi ale lor. Ca şi până acum vom folosi selecţii de volum n, iar variabilele de selecţie X k (\ < k < n ) le vom presupune independente.

322

Teorema 1. (fără demonstraţie) Dacă X x,X 2,...,X n este o selecţie de volum n dintr-o populaţie caracterizată de o variabilă aleatoare repartizată N {m ,o) atunci media de selecţie

^ _ X i + X 2 + ... + X M n

are o repartiţie Ν(™>-τ=).y/n

Deci media de selecţie X pentru o selecţie dintr-o populaţie normală, urmează tot o lege normală cu media m (media populaţiei) şi abaterea medie pătratică egală

σcu —7= .

V «Putem deci scrie repartiţia lui X :

f - ^ 1I— n ( x - m Ÿ

■yjn ~~I~n x,m ,—j=r { ^ n )

)}îsbII ( 1)

Pentru selecţii din populaţii normale, repartiţia mediei de selecţie X este aceeaşi dată de (1) atât pentru selecţii de volum mic cât şi pentru selecţii de volum mare.

Să considerăm variabila redusă:7 _ X - mΖ ' ~ ~ Ϊ Γ (2)

yfnîntrucât 2 se exprimă liniar în funcţie de variabila normală X ,_ 4 n — -Jn

£ --------X ----------m , rezultă că Z va avea o repartiţie normală tip N(0,Y) cu<7 cr

desitatea de repartiţie:

1= ~ ^2π'β 2 (3)

Pentru selecţii de volum mic repartiţia mediei de selecţie X trebuie determinată de la caz la caz depinzând de repartiţia / (x) a populaţiei din care s-a extras selecţia.

Aplicaţie. S-a stabilit că productivitatea muncii unor lucrători care îndeplinesc o anumită operaţie în condiţii tehnice asemănătoare, are o repartiţie normală.

într-o întreprindere industrială s-a determinat cu ajutorul cronometrării proceselor de muncă, durata de efectuare a operaţiei amintite, la 9 muncitori luaţi întâmplător dintr-o serie de grupe care efectuează această aplicaţie. Se cere să se

323

determine probabilitatea ca media X observată la cei 9 muncitori să se abată în valoare absolută de la productivitatea medie generală m cu mai mult decât 2 bucăţi/om/oră ştiind că abaterea medie pătratică a productivităţii muncii lucrătorilor este G = 3 bucăţi/om/oră.

Avem:

Μ ς** y k=1Probabilitatea cerută este:

p \ x -n \ > 2 )= P (X -m > 2 ) + P (X -m < -2 ) =

=P

f \ / \

+ Pcr 3 _σ_ 3

V V« ;

=P(Z > 2) + P(Z < -2 ) :

1 - F(2) + F (-2) = 1 - 1+ Φ(2)

= 1-0,95450 = 0,04550Prin urmare din punct de vedere practic putem fi siguri că productivitatea

medie X observată, nu se va abate de la productivitatea medie generală cu mai mult de 2 bucăţi/om/oră.

Se ştie de la studiul repartiţiei χ2 că variabila

^ = z ,2 + z | + . . .+ z „! = £ z ,k= 1

unde Zk sunt variabile aleatoare independente iV (0 ,l) are o repartiţie χ 2 cu n grade de libertate

1h(x) "A- 1 7x /2 -e 2 ;x > 0 (4)

2 * Γ ( ^ )

pentru care Μ (χ 2) = n şi Ό (χ2) = 2 n, iar funcţia caracteristică este

Rezultă că din punct de vedere al teoriei selecţiei dintr-o populaţie normală,2repartiţia % şi repartiţia normală sunt legate prin teorema următoare:

Teorema 2. Dacă X l , X 2,—, X n reprezintă o selecţie de volum n dintr-o

324

populaţie normală /V(0,1) atunci variabila aleatoare 7 = ^ X * urmează ojfc=l

2repartiţie X cu n grade de libertate dată de (4).

Aplicaţie. Se efectuează n = 10 observaţii independente asupra variabilei aleatoare X repartizată ^ (0 ,1 ) . Se cere probabilitatea ca suma pătratelor rezultatelor observaţiilor să depăşească 15.

Fie X k ( l< k < 10) rezultatele observaţiilor. Trebuie să calculămiu N

^ X l > 15 . Cum fiecare din variabilele Xk are o repartiţie normală cu media ,*=> )

_ X k0 şi abaterea medie pătratică 2, rezultă că variabila £ - are o repartiţie

normală N (0,1) . Probabilitatea cerută va fi:

( io

η

io Λ f -, io ic

ς ^ 2 » 5 Η ϊ Σ χ » > 7

= P

k=l ί 10

Σ ζ *2 > 3 ·75

= F >3,75

= Ρ (χ 2 > 3,75) = 0,9644

valoarea fiind luată din tabelele repartiţiei X la n = 10 grade de libertate.

3. Repartiţia dispersiei de selecţie pentru selecţii dintr-o populaţie normală

Dispersia σ 2 a unei populaţii oarecare poate fi evaluată pe baza selecţiei X x,X 2,...,X n în următoarele moduri :- dacă media m a populaţiei generale este cunoscută, atunci dispersia de selecţie este dată de relaţia:

1 "S,2 = - Y ( X * - m ) 2 (5)

n k=1

dacă media m a populaţiei generale nu este cunoscută, o putem evalua cu media_ 1 n

'se lec ţie X ~ şi dispersia dc selecţie este:n *=1

de

325

S 2 = i j T ( X * - X ) 2 n k=1

(6)

- în cazul selecţiilor de volum mic este indicat să se evalueze dispersia (X cu dispersia de selecţie dată de relaţia:

* 2 = - r r Ê < x * - f > <7 >n 1 *=1în cele ce urmează vom stabili repartiţiile unor funcţii de variabilele

aleatoare S ? ,S 2 ş i s2 pentru selecţii dintr-o populaţie normală N(m,(T).Teorema 3 Dacă Χ λ, X 2,—,X n este o selecţie dintr-o populaţie normală

N(m, σ) atunci variabila aleatoare :

U, nS:. 2 > (8)

are o repartiţie X cu n grade de libertate, într-adevăr, putem scrie succesiv:

nS: *=iσ σ σ 2

n

=ΣΖ·*=1

şi cum Zk (1 < k < n ) simt variabile normale (0 ,1 ), în baza teoremei 22variabila U· va avea o repartiţie X cu n grade de libertate.

Ca urmare a celor de mai sus, putem deduce media şi dispersia variabilei S * . Deoarece M(U„) = n şi D(U* ) = 2n , rezultă:

adică

Mi C 2 λ îîS * n

, M (S }) = n

Şi D n n ,„ 2D (St) = 2n sau

(9)

D{Si) = 2 σn

(10)

326

Aplicaţie. Dintr-o populaţie normală cu N(3,2) cu media m = 3 şi abaterea medie pătratică <7 = 2 se extrage o selecţie aleatoare de volum n = 6. Se cere

r* 2probabilitatea ca dispersia de selecţie S , să fie cuprinsă în intervalul (2,6), adicăP(2 < S* < 6).

Avem: P ( 2 < S 2 < 6) - P4 σ

< - ■ 62 4

P (3 < U. < 9) = [ l - [/>(£/* > 9 )] + [ l - P(U, > 3)] = 0 ,8 0 8 8 -0 ,1 7 3 6 = 0 ,6352 .

2Valorile au fost luate din tabela cu repartiţia X la 6 grade de libertate.

Teorema 4. (fără demonstraţie) Dacă Χ 2·>···, X„ este o selecţie dintr-o populaţie normală N(m,(J), atunci:

a) Variabilele

X = - 2 > ( şin ■ 1 n ■nsunt independente,b) Variabila

U =n S ‘

( 11)

are o repartiţie χ cu η - 1 grade de libertate, dată de (12).η - 1

h(u) = -1 -1

n - l /·

2 2 Γn - l

■U 2 -e 2 ,w > 0 ( 12)

de aceea existenţa acestei dependenţe face să scadă cu o unitate numărul gradelor de libertate în legea (12).

nS2După cum se vede din relaţia (12) repartiţia variabilei — ^~de selecţie nu

G2depinde de dispersia C7 a populaţiei normale din care s-a extras selecţia, fapt ce

se va dovedi important mai departe.O consecinţă imediată a teoremei 4 este aceea că dacă considerăm drept

1 «2 A ’cp 2dispersie de selecţie dispersia s = ----- - (X k — X ) , atunci variabila:

n — k=l

327

y =(n - 1 )ä;

σ(13)

are de asemenea o repartiţie χ cu η -1 grade de libertate.

Din faptul că variabilele (11) şi (12) au repartiţii X cu η -1 grade de libertate

putem deduce media şi dispersia şi pentru variabilele S 2 şi s2 . Avem pentru S 2

M (U ) = M = - V M ( S 2) = n - 1 sau

D(U) = D<n S2 ^

n

4 - W 2) = 2 ( n - l ) sau σ

(14)

Pentru variabila S :

m (v ) = m

D(S ) =

{ " - I V

2(n - 1 ) 4σn

(15)

n - lA/(.s2)= n - l sau

m(s2)= σ 2 (16)

( n - l ) s 2 \ ( n - l ) 2D (s2) = 2 ( n - l ) sau

ο ( ^ ) = 2 σn - l(17)

Am văzut în teorema 1 că dacă selecţia se extrage dintr-o populaţieX _γη

n o r m a l ă r e p a r t i ţ i a variabilei Z - — —— este normală tip. în cazul în

care nu se cunoaşte abaterea medie pătratică σ atunci ea trebuie evaluată cu abaterea medie pătratică de selecţie. Dacă volumul selecţiei nu este mare (η < 3θ) atunci este indicat să luăm pentru dispersia de selecţie expresia dată de relaţia (10).

X - mîn aceste condiţii raportul s nu mai este normal distribuită şi are o repartiţie

T n

328

care rezultă din teorema de mai jos, analogă teoremei 1.Teorema 6. Dacă X x,X 2,...,X n este o selecţie dintr-o populaţie normală

N {m ,a ) atunci variabila aleatoare:

X -m' = - 7 7 . o«)

unde s2 = ----- - V (x * - X J are o repartiţie Student cu n -1 grade de libertate.n ~ l *=1

Pentru demonstraţie vom ţine seama de faptul că dacă Z este o variabilă N(0,1 )2 · şi F o variabilă X cu k grade de libertate, iar Z ş 1 V sunt independente, atunci

variabila aleatoare:Z

t = (19)

are o repartiţie Student cu k grade de libertate:J k + Ιλ

ryfht

t*+1

2 V 21 + —

k, te R

într-adevăr conform teoremei 1 variabila: Z =X - m

σV «

(20)

are o repartiţie normală tip N(0,1) iar conform consecinţei teoremei 4 variabila:

V =Cn - l ) s 2

are o repartiţie X cu η- 1 grade de libertate.Variabilele Z şi V (vezi teorema 4) fiind independente formăm raportul (19)

luând k =n —1 :Z X - m

n - l

- - 1

329

adică variabila (18) este repartizată Student cu n -1 grade de libertate având repartiţia (20) în care k = n - 1 :

V i ( 0 = '' n - P

n.2 y t

1+-n - l > t G R (21)

Astfel teorema este demonstrată.Aplicaţie. Dintr-o populaţie normală N(m,C) cu parametrii m şi σ

necunoscuţi, se extrage o selecţie constând din n = 10 probe. Media de selecţie X = 3,6 . Se cere probabilitatea inegalităţii X - m > 0 ,7 ştiind că s = 0,6. Avem:

P(X - m > 0 ,7 ) = P = P(t > 3,5) =Ioσ 0,6

4 nΛ /

= 1 - P(t < 3,5) = 1 - S9 (3,5) = 1 - 0 ,996 = 0,004,

unde Sk (t) este funcţia de repartiţie a variabilei Student cu k grade de libertate.

s * ( 0 = f (22)J —oo

ale cărei valori se iau din tabelă pentru diverse valori ale lui t şi ale numărului gradelor de libertate k.

§ 3. Elemente de teoria estimaţiei

1. Noţiuni introductiveîn multe din fenomenele din economie, din tehnică şi în general din ştiinţele

experimentale pe care le cerctăm cu ajutorul statisticii matematice, există motive teoretice şi practice să afirmăm că forma funcţiei care exprimă legea probabilistică pe care o urmează fenomenul studiat este cunoscută.

Astfel dacă în cadrul unui proces de producţie considerăm variabila X care reprezintă numărul de produse necorespunzătoare ce se obţin într-o selecţie repetată de volum n, dintr-un lot supus controlului statistic, atunci repartiţia variabilei X este cea binomială:

p (x ;p ) = C Ïp *( 1 - p )n~x;x = < ρ < 1 ( 1)unde p este probabilitatea ca un produs cercetat să fie necorespunzător.

Dacă variabila X reprezintă numărul de strunguri dintr-o secţie mecanică care ies din funcţiune în decursul unei anumite perioade de lucru, atunci repartiţia variabilei X este repartiţia Poisson:

330

• _ ap(x;a) = e~a— ;* = 0,1,2,...;α > Ο, (2) χ\

deoarece în condiţii normale de producţie, ieşirea din funcţiune a unui strung este considerat un eveniment rar, care nu depinde de ieşirea din funcţie a altuia dintre strunguri.

De asemenea, dacă variabila ξ reprezintă dimensiunea unor piese fabricate de o maşină, atunci variabila abatere X - ζ - Μ (ξ) de la dimensiunea nominală adică de la media Μ (ζ) a dimensiunii ξ are o repartiţie normală:

ί x ~ m Tn(x;m,a) = — r = e ° R',me R-,σ > 0, (3)σ ^ 2 π

în sfârşit, dacă variabila aleatoare T reprezintă durata în ore de funcţionare fară defecte a unei aparaturi, repartiţia lui T este repartiţi»exponenţială:

j -Lf ( t , Ă ) = j e x t > 0 ; A > 0 . (4)

Din exemplele de mai sus, se vede că în toate cazurile forma funcţiei care exprimă legea de probabilitate a variabilei aleatoare respective este cunoscută, cum se mai spune specificată. în fiecare din aceste legi de probabilitate figurează însă anumiţi parametri ale căror valori sunt necunoscute, astfel în prima parametrul p, în a doua parametrul a, în a treia parametrul m şi a ş i în a patra parametrul λ .

Cunoaşterea valorilor numerice ale acestor parametri ne permite sa cunoaştem complet repartiţia şi în acest fel să putem descrie în întregime fenomenal cercetat, în cazul când cunoaştem valorile numerice ale parametrilor din legiic de probabilitate, spunem că aceste legi sunt complet specificate.

Operaţia prin care se evaluează parametrii necunoscuţi ai unei legi de probabilitate se numeşte estimarea parametrilor şi ea se face pe baza unei selecţii {X ,, X 2,···, X „} de volum n, extrasă din populaţia pe care este definită variabila X cu legea specificată care conţine parametrul ce trebuie estimat. Valorile obţinute cu ajutorul selecţiei, care aproximează parametrii legilor de probabilitate specificate, poartă numele de estimaţii punctuale ale parametrilor. Problema determinării valorilor parametrilor ce figurează în legile de probabilitate pe baza datelor furnizate de experienţă (selecţie) constituie obiectul teoriei estimaţiei.

Estimarea parametrilor este o metodă a statisticii matematice care poate fi privită ca un mod de a face inferenţă asupra populaţiei cercetate, adică de a extinde- în limite specificate de incertitudinea exprimată în termeni probabilistici - rezultatele obţinute în selecţie, la întreaga populaţie.

întrucât selecţia este o parte a populaţiei generale, care constă dintr-un număr redus de observaţii, ea ne oferă o informaţie parţială, de aceea există riscul de a comite erori în aprecierile referitoare la întreaga populaţie deci riscul de a trage

331

concluzii false. Acest risc se micşorează odată cu creşterea volumului selecţiei,dar el există întotdeauna.

2. Estimaţii punctuale ale param etrilor

în paragraful de faţă ne vom ocupa de estimaţiile punctuale ale parametrilor conţinute în legile de repartiţie ale populaţiilor cercetate şi vom defini noţiunile cu care operează teoria estimaţiei.Fie X o variabilă aleatoare discretă sau continuă definită pe o populaţie oarecare având legea de repartiţie f ( x , 0 ) , care pentru uşurinţa expunerii presupunem că depinde de un singur parametru necunoscut Θ. Să extragem din populaţia considerată o selecţie aleatoare {X1(X 2,···, X„} şi fie Tn(X x,X 2,...,X n) o statistică.

Definiţie. Statistica Tn( X u X 2 , . . . ,X n) definită ca funcţie univocă de variabile de selecţie, cu ajutorul căreia tragem concluzii cu privire la valoarea necunoscută a parametrului 0 din legea de repartiţie f ( x ,0 ) a populaţiei generale, poartă numele de estimaţie punctuală a parametrului Θ.

O statistică Γη(Χ 1,Χ 2,..., X „) trebuie aleasă bineînţeles în funcţie de parametrul pe care trebuie să-l estimeze. Astfel, dacă avem de estimat media m a

— 1 *unei populaţii, evident că drept estimatie vom alege statistica X - ~ X Xk ,

" t i2

adică media de selecţie, iar dacă avem de estimat dispersia cr a populaţiei, dreptί n2 i. *””” 2

estimaţie vom alege statistica S = — > - X ) adică dispersia de selecţie.n k=\

Observăm că pentru medie am putea lua ca estimaţie şi media de selecţie iar1 ”

pentru dispersie, fie dispersia de selecţie dată de relaţia S* = - ~ V ( X * - m ) înn *=i

cazul când media m este cunoscută, fie cea dată de relaţiaI Λ _

s 2 = ----- - ( x k - X )2 _ Re2uită de aici şi din cele ce vor urma,că se pot găsin ~ 1 k-\

mai multe statistici diferite care ar putea fi propuse ca estimaţii punctuale ale aceluiaşi parametru. Dintre acestea vom alege pe aceea care dă aproximaţia cea mai bună a parametrului.

în acest sens, alegerea unei astfel de statistici T„ ca estimaţie a parametrului trebuie să satisfacă condiţiile:

332

1. Pentru o selecţie realizată, statistica trebuie să dea valoarea adevărată a parametrului Θ,

2. Statistica trebuie să dea valoarea care este cel mai frecvent aproape de valoarea adevărată a parametrului θ.

Uneori estimaţia găsită pentru parametrul Θ este însoţită de mărimea erorii medii a estimaţiei care ne indică gradul de aproximare a valorii exacte a parametrului. Prin eroarea estimaţiei înţelegem diferenţa t - Θ dintre valoarea estimaţiei şi valoarea adevărată a parametrului (am notat cu t valoarea numerică a estimaţiei Tn pentru o selecţie realizată). Eroarea medie a estimaţiei T„ a parametrului θ o vom nota cu (7(Tn) şi reprezintă abaterea medie pătratică a estimaţiei. Adesea rezultatul estimării punctuale a parametrului θ se scrie sub forma:

σ - t ± a ( Ţ n) (5)Relaţia (5) trebuie înţeleasă astfel: cea mai bună evaluare a lui Θ este numărul t

iar eroarea medie comisă în această evaluare este o{Tn ) Găsirea unei cât mai bune estimaţii pentru un parametru necunoscut este problema fundamentală a teoriei estimaţiei. Rezolvarea acestei probleme necesită cunoaşterea unor proprietăţi de bază ale estimaţiilor punctuale şi clasificarea lor după aceste proprietăţi. De acestea ne vom ocupa în cele ce urmează.

3. Estimaţii deplasate şi nedeplasateîn paragraful precedent am arătat că o condiţie pe care trebuie să o îndeplinească

statistica Tn pentru a fi o bună estimaţie a parametrului Θ, este ca ea să dea valoarea adecvată a parametrului (condiţia 1), cu alte cuvinte condiţia 1 cere ca repartiţia statisticii folosite să aibă media egală cu valoarea adecvată a parametrului. Să explicăm sensul acestei afirmaţii.

Să presupunem că o selecţie de volum n ne-a dat pentru parametrul θ o

estimaţie TM(1). Extragem o a doua selecţie de acelaşi volum care ne dă estimaţia

T{n2). Repetând procedeul obţinem estimaţiile Τ„\Τ„2 ) ale aceluiaşi parametru

care în general diferă între ele. Statistica Tn poate fi privită ca o variabilă aleatoare

având o anumită repartiţie, iar numerele Γη(1),Γη(2),... ca valorile ei posibile. Să

presupunem că estimaţia Tn dă o aproximaţie prin exces a lui Θ, adică fiecare din

numerele T ‘ , i = 1,2,... este mai mare decât valoarea căutată a parametrului 0.

în acest caz valoarea medie a statisticii Tn va fi mai mare decât 0, adică

Μ (Tn) > θ . Evident dacă Tn dă o aproximaţie prin lipsă, M(Ţn) < 6 .Prin urmare folosirea unei estimaţii a cărei valoare medie nu este egală cu

parametrul estimat ne-ar conduce la erori sistematice. Din această cauză este

333

natural să cerem ca valoarea medie a lui Tn să fie egală cu Θ. Deşi această condiţie nu elimină erorile (unele valori ale lui Tn pot fi mai mari,altele mai mici decât Θ),

cu alte cuvinte condiţia Μ(Τη) = θ ne asigură că Tn estimează parametrul fară

erori sistematice şi că în medie estimaţia Tn dă valoarea exactă a parametrului Θ. Consideraţiile de mai sus ne conduc la următoarea definiţie:Definiţie. Statistica Τη(Χ ι ,Χ 2,.··,Χη) se numeşte estimaţie nedeplasată a

parametrului Θ, dacă există valoarea medie a statisticii Tn şi este egală cu Θ, adică dacă pentru orice volum n finit al selecţiei,

Μ(Τη) = θ . (6)Diferenţa dintre valoarea medie a estimaţiei şi valoarea parametrului de estimat

se numeşte deplasarea estimaţiei. O notăm cu Bn şi avem:Βη =Μ(Τη) - θ (7)

Din relaţia (6) şi (7) rezultă că o estimaţie nedeplasată este estimaţia a cărei deplasare este nulă.

Nu trebuie să confundăm eroarea estimaţiei cu deplasarea ei. Prima este Tn -Θ şi

este o variabilă aleatoare, în timp ce deplasarea Bn este pentru n dat o mărime

constantă şi reprezintă eroarea sistematică. Statistica Tn pentru care are loc relaţiaΜ (Tn ) > Θ se numeşte estimaţie deplasată şi anume pozitiv deplasată dacă

Μ(Τη) > θ şi negativ deplasată dacă M(Tn) < θ .

Exemplul 1. Media de selecţie X obţinută printr-o selecţie X\, Χ 2,···Χη asupra variabilei aleatoare X dintr-o populaţie oarecare, este o estimaţie nedeplasată a mediei m a populaţiei.

Avem:

T J X ,,X 2......X „) = X = i 2 > t« k=l

şi media

Μ (Tn) = Μ (X ) - M “ Σ * * ) = - 5 > W = - » m = mk=1 n k=1

deoarece M {X k) - m pentru orice 1 < k < n . Deci

M {X ) = m (8)

relaţie care exprimă că X este o estimaţie nedeplasată a parametrului m.

334

Aplicaţia 1. într-o secţie mecanică cu 10 strunguri s-a efectuat zilnic în decursul unei anumite perioade întregistrarea numărului de strunguri care nu funcţionează, în total s-au făcut n = 200 astfel de înregistrări. Repartiţia numărului de strunguri care nu funcţionează determinată pe baza celor 200 de înregistrări este dată în tabelul 2.

Tabelul 2Nr. de

strunguri0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecv. abs. «,· 41 62 45 22 16 8 4 2 0 0 0

Se cere să se estimeze numărul mediu de strunguri care nu funcţionează. Notând cu X variabila aleatoare care reprezintă numărul de strunguri care nu

funcţionează, am arătat în § 1 că X urmează o repartiţie Poisson:χ

p(x\a) = e~a — , x = 0,1,2,...,a > 0 jc!

pentru care ştim că M ( X ) = a şi D (X ) = a deci <7(X) = -Jâ .Prin urmare estimaţia nedeplasată a parametrului a va fi media de selecţie:

__ 1 io iX = - Y ntX ,· = — (0,41 +1,62 + ... + 9 ,0 + 10,0) = 1,8.

τι η-* 200

Repartiţia complet specificată a variabilei X, luând a = 1,8 este : ig (1 8)*

P(x) = e ’ ------— ; χ = 0,1,2,... Pentru calculul erorii medii avem:jc!

D (X ) = = - = - = — = 0,009 ia r σ (Χ ) = 0,09 . n n n 200

Conform relaţiei (5) rezultatul estimării făcute se scrie: a = 1,8 ± 0,09 .

Aplicaţia 2. S-au încercat 10 aparate de acelaşi tip înregistrându-se momentul ieşirii din funcţiune a fiecărui aparat. Rezultatele observaţiilor sunt date în tabelul 3.

Tabelul 3.Nr. aparate 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti (ore) 200 350 600 450 400 400 500 350 450 550

Să se estimeze durata medie de funcţionare fară căderi a tipului de aparate încercate.

335

Se ştie că durata funcţionării fără căderi este o variabilă aleatoare T, care are repartiţie exponenţială:

1 - -f( t ;Ă ) = —e λ , ί> 0 , λ > 0 .

Cu Μ (Γ ) = λ şi D(T) = λ 2 . Prin urmare drept estimaţie nedeplasată pentru parametrul λ al repartiţiei luăm media de selecţie:

T - — (200 + 350 + ... + 550) = 425 ore. Repartiţia complet specificată a

variabilei T va fi luând λ - 425 şi λ '1 =0,0235:f ( t ) = 0,0235 · e -0,0235f

Eroarea medie este:

σ ( η = σ ( Τ )4,25

4 n 4 n -Jn -n/TÖPrin urmare rezultatul estimaţiei făcute este:

λ = 425 ± 127,6 ore.

= 127,6

Exemplul 2. Să considerăm un eveniment A de probabilitate p, constantă în fiecare probă şi fie X variabila aleatoare care reprezintă numărul de apariţii ale evenimentului A în n probe independente. Rezultă că X se prezintă ca o sumăX = X t + X 2 +... + X n unde variabila aleatoare Xt are repartiţia:

f 1 0 '

P <?X, ; q = l - p

sau altfel scrisă:P (x ,p ) = p x( l - p ) ] x, χ = 0,1; 0 < p < 1, (9)

adică Xi = 1 dacă A se realizează în proba de rang i cu probabilitateap şi Xt = 0 dacă A nu se realizează cu probabilitatea 1 -p. Frecvenţa relativă a numărului de realizări ale evenimentului A în cele n probe este:

Λ ( α ) . £ .η n

( 10)

Avem:

Μ(/„) = Λ/ί— ) = ± m [ £ x , | = - 5 > < X ,) = ±»p = p \n ) n { l i J " t r »

deoarece M ( X ; ) - l- p + 0- q = p . Prin urmare relaţia obţinută

M { f n) = p (11)

336

exprimă că frecvenţa relativă în n probe independente a unui eveniment, este o estimaţie nedeplasată a probabilităţii constante p a evenimentului.

XObservaţie. Dacă în loc de frecventă relativă f n = — considerăm expresia

nX

, notaţiile fiind cele precedente avem:

M (h) = Mn + 1

1 nP _ „ P----- 7 M ( a ) -------- - - p -------- - saun + 1 n + 1 n + 1

p _ . X— — Λι (/î) — p de unde rezultă că estimaţia — propusă pentru

parametrul p este negativ deplasată, deplasarea fiind Bn = — .n + 1

Exemplul 3. Să considerăm o selecţie aleatoare X v Χ 2,···Χ„ dintr-o populaţie

oarecare având dispersia necunoscută O . Să luăm drept estimaţie a parametrului1 « _

necunoscut cr2 dispersia de selecţie S 2 = —^ ( X k - X )2 . Vom arăta că S 2n *=i

2este o estimaţie deplasată a dispersiei O .

în cele precedente s-a arătat că media şi dispersia mediei de selecţie— — — σ 2X sunt Μ (X ) — m şi D (X ) = ---- . Pe de altă parte să considerăm identitatea

tiuşor de stabilit:

£ 2 = - V ( X * - m ) 2 - ( X - m ) 2 .

n MLuând media în ambii membri ai relaţiei de mai sus avem:

M (S 2) = - \ M ( X k - m ) 2 - M ( X - m ) 2 ( 12)

şi cum M ( X k - m)2 = σ 2 pentru orice 1 < k < n iar

— 2 — σ 2M ( X —m) = D (X ) = ----- din relaţia (12) rezultă:

n

M (S 2) = - n a 2 sau η n

337

η ηί η2 1 ■ ■■ 2

Din relaţia (13) rezultă că dispersia de selecţie S - — Λ , ( Χ * “ X ) este on £ i

. 2 ·estimaţie deplasată şi anume negativ deplasată a dispersiei σ a populaţiei,

σ 2eroarea sistematică, deplasarea f iin d -----—.

n

2Pentru a obţine o estimaţie nedeplasată a dispersiei CT este necesar să

2 nînmulţim dispersia de selecţie S cu factorul----- -, adică

- ^ 2 = ^ - Σ ( Χ 4 - Χ ) 2 = ΐ 2 (14)n - l n -

1 n2 l τρ 2într-adevăr dispersia s = ----- - / ,(%k ~ X ) este o estimaţie nedeplasată,

n ~^ λ=1deoarece ţinând seama de (13):

M ( s 2 ) = M nη — 1

-5 2 η ____ , . n n - lM (S 2) = — ---------- σ 2 = σ 2 (ΐ5)n - l n - l nV

Aşadar estimaţia nedeplasată s2 a dispersiei populaţiei diferă de dispersian

deplasată S 2 numai prin aceea că suma ]^ (X * ~ X )2 nu se imparte la « ci la « -Jt=l

1. în practică această modificare se face în cazurile când n < 5 0 . F racţia----- - sen - l

numeşte corecţia lui Bessel şi pentru valori mici ale lui n valoarea ei diferă simţitor de 1, dar odată cu creşterea lui n tinde relativ rapid către 1. Pentru n > 50 practic nu există diferenţă între estimaţiile S 2 şi s2.

în cazul când media populaţiei generale m este cunoscută, atunci estimarea1 n

dispersiei <72 este dată de dispersia de selecţie S* k. ~ m) care este on *=i

estimaţie nedeplasată. într-adevăr:

338

M(S*) = M i ] T ( X * - m ) 2 = - ]£ m ( X * - m ) 2 = - η σ 2 = σ 2 ( ι 6)η ί J η λ=Ι n

Din relaţiile (14), (16), (9) de la § 2, rezultă că proprietăţile exprimate de relaţiile (13), (15) de mai sus, se verifică aşa cum era firesc şi pentru cazul particular când selecţia se face dintr-o populaţie normală.

4. Estimaţii consistente

A doua condiţie pe care trebuie să o îndeplinească statistica Tn pentru a fi o bună estimaţie a parametrului Θ este ca ea să dea valoarea care este cel mai frecvent mai aproape de valoarea adevărată a parametrului, cu alte cuvinte trebuie ca repartiţia statisticii să fie concentrată în jurul parametrului ce se estimează. O astfel de concentrare cel puţin pentru valori mari ale lui n este asigurată de convergenţa în probabilitate a statisticii T„ către parametrul 0. Suntem astfel conduşi la următoarea definiţie:

Definiţie. Statistica Tn(X l ,X 2,...Xn) este o estimaţie consistentă pentru parametrul Θ dacă ea converge în probabilitate către parametrul Θ, adică dacă avem pentru orice £ > 0 arbitrar de mic,

H f c - β | < ε ) - » 1 , (17)când n —> .

Tocmai consistenţa estimaţiei statistice este cea care asigură apropierea cel puţin pentru valori mici ale lui n, de parametrul pe care-1 estimăm. Din consistenţa estimaţiei nu rezultă însă pentru valori mici ale lui n nici o concluzie cu privire la utilitatea sa pentru determinarea cu aproximaţie a parametrului respectiv. De asemeni se poate spune că în general, nu orice estimaţie consistentă este şi nedeplasată. Valoarea medie a estimaţiei poate să nu fie egală cu Θ ci doar să se apropie indefinit de ea când n creşte. Pentru o valoare finită a lui « , o asemenea estimaţie poate fi pozitiv sau negativ deplasată.

în legătură cu estimaţiile consistente, vom demonstra următoarea teoremă importantă:

Teorema 1. Dacă statistica Tn(X l ,X 2,.··Χη) este o estimaţie a parametrului 0, astfel încât:

1. este nedeplasată, sau dacă este deplasată, adică Bn Φ 0 , atunci

339

2. dispersia estimaţiei D(Tn) satisface condiţia lim D(Tn) = 0 , atuncin—+°°

estimaţia Tn este consistentă.Pentru demonstraţie vom aplica variabilei aleatoare Tn inegalitatea lui Cebâşev.

Avem:

ρ(\Τη -Μ (Τη) \ < ε ) > 1 - ^ - .£

Punând M (Ţn ) = θ + Bn ,

Dar pentru n —» °° avem lim Bn = 0 şi conform condiţiei 2 lim D(Tn) = 0n—* » n—>oo

deci:p(|r„ — θ| < ε ) —> 1 când n —> oo ceea ce demonstrează consistenţa estimaţiei T„

Folosind teorema 1, suntem în măsură să stabilim câteva rezultate conţinute în următoarele exemple:

*Exemplul 4. Momentul iniţial Or de ordinul r, obţinut prmtr-o selecţie

X x, X 2,~; X n de volum n este o estimaţie nedeplasată şi consistentă a momentului teoretic mr.

Demonstraţia acestei afirmaţii rezultă din relaţiile:M (m*r ) = mr , (18)

_ , mlr - m2rD{mr ) = — ------

nstabilite anterior. Prima asigură nedeplasarea estimaţiei, iar a doua pentru lim D(m* ) = 0 asigură consistenta.n —>oo

★ ~Pentru r= 1, ml = X şi relaţiile (18) ne dau:

M ( X ) = m; D(X) = üh-ZJUl. = (19)ti n

— σ 2şi deoarece D(X) = --------> 0 când n —» rezultă că media de selecţie este o

nestimaţie consistentă a mediei m a populaţiei.

340

^ \ D ( X ) = \ n p q = ^ - j lη η η

Exemplul 5. în condiţiile exemplului 2 să arătăm că estimaţia nedeplasată f„ a parametrului p din repartiţia binomială (9) este o estimaţie consistentă, într-adevăr,

(D (fn) = D -

l n când n —> 00.

Putem deci scrie: p (|/„ - p| < ε ) —» 1 când n —> 00. Regăsim astfelproprietatea de stabilitate a frecvenţei relative exprimată de legea numerelor mari sub forma teoremei lui Bemoulli.

Aplicaţia 3. Pentru determinarea procentului de piese necorespunzătoare, dintr- un lot de 10.000 de piese s-au controlat n = 500 de piese printre care s-au găsit 10 necorespunzătoare. Se cere să se estimeze proporţia de piese necorespunzătoare din lot (se consideră selecţia repetată).

Problema se încadrează în schema probabilistică de la exemplul 2. Parametrul ce se cere estimat este proporţia p de piese necorespunzătoare din lot iar estimaţia

X 10sa este frecventa relativă f„ = — = — ~ = 0,02 , Eroarea medie va fi:

n 500

I p Q - p ) _ M ~fn) _ 10 ,0 2 (1 -0 ,0 2 )

V n \ 3 1

1

5 0 0 -1σ ( Λ ) = J . " ξ = r r ' / = 0 ,00627 .

" \ η M n - l V 5 0 0 -1Prin urmare rezultatul estimării este:

p = 0,02 ± 0,0062şi repartiţia dată de (9) se scrie luând p = 0,02, p{x) = 0,02* (1 - 0 ,0 2 )1“jr, x = 0 ;1 .

5. Estimaţii eficienteAr fi greşit să admitem că o estimaţie nedeplasată dă întotdeauna cea mai bună

aproximaţie a parametrului ce se estimează. într-adevăr, valorile posibile ale estimaţiei Tn obţinute într-un şir de selecţii succesive de acelaşi volum a, pot fi foarte mult împrăştiate în jurul valorii medii Μ(Τ) = Θ, adică dispersia

D(Tn) = Μ (Tn - Θ ) 2poate să fie mare. în acest caz valoarea estimaţiei T„ calculată după o selecţie de volum dat ar fi foarte îndepărtată de valoarea medie a lui T„ adică de însuşi Θ. Luând o astfel de valoare drept valoare aproximativă a lui Θ am comite o eroare mare, însă dacă am cere ca dispersia estimaţiei Tn să fie mică, posibilitatea comiterii unei erori mari ar fi exclusă.

în acest sens este evident că dintre două estimaţii nedeplasate Γη(1) şi T„2)ale aceluiaşi parametru 0 pentru care :

D(r„(1)) < D(T^2)) vom prefera pe Tn(l) adică pe aceea care are dispersia mai

341

mică. Se poate arăta în ipoteze destul de generale referitoare la forma estimaţiilor cât şi la funcţia f ( x , 6 ) , că dispersia estimaţiilor nedeplasate, construite pe baza unei selecţii de volum n nu este mai mică decât o margine inferioară stabilită de următoarea teoremă, pe care o dăm fară demonstraţie:

Teorema 2. (Rao-Cramer), Dacă T„ este o estimaţie nedeplasată a parametrului Θ din repartiţia / (χ ,θ) a variabilei X discretă sau continuă, atunci:

unde I (Θ) poartă numele de cantitate de informaţie pe o observaţie şi are una din expresiile echivalente:

1(9) = M " a in / ( jc ,0 )"2

= —Md2 În/ ( χ , θ )

L d e J 3Θ2(21)

Definiţie Estimaţia nedeplasată Tn a cărei dispersie este egală cu marginea inferioară din membrul doi al relaţiei (20) adică pentru care:

(22)se numeşte estimaţie de minimă dispersie sau estimaţie eficientă. Prin urmare, Tn este o estimaţie eficientă a parametrului Θ dacă T„ dă valori care sunt concentrate mai aproape de valoarea lui Θ decât valorile oricărei alte estimaţii.

Observaţie. în practică un rol mai important îl joacă abaterea medie pătratică

a(Tn) = + 4 D Î J J a estimaţiei Tn care aşa cum am văzut poartă numele de

eroarea medie a estimaţiei. Această denumire este justificată de faptul că 0 ( J n)indică în medie eroarea comisă la estimarea parametrului Θ într-o serie de selecţii succesive de acelaşi volum n .

_ j nExemplul 7. Să se arate că media de selecţie X este 0 estimaţie

eficientă pentru parametrul m al repartiţiei normale:

1

k=1

f ( x ; m) =

Avem:

I n / ( x ; m ) = Ιη(σ^ΐ2π)~ι -

σ 4 ϊ πme R , a > 0

• mŞi

342

d in f(x,m ) _ x -m dm σ ’

r d\nf(x,m) I2I(m) = M

_ σ ^ _ _ 1 _σ 4 σ 2

Deci: D ( 0 =

dm

1

= M Μ * - " ) 2) = —j M ( x - m ) 2 =

_____ _ σni {m) n

Ştim însă că media de selecţie X este o estimaţie a mediei m a populaţiei şi— σ 2

D(X) Prin urmare X are dispersia minimă deci estimaţia eficientă a

parametrului m al populaţiei normale este T* = X

Exemplul 8. Pentru parametrul Θ al repartiţiei Poisson:θ χ

p (x ,d ) -e ~ e ------,x = 0,1,2,... 0 > O ,jc!

_ j nmedia de selecţie X — — X* este de asemenea o estimaţie eficientă. Ţinândnseama că în acest caz

_ 0 2

1

M (X ) = 0 , M ( X z) = 0 ' + 0 şi D(X) = 0 avem:

7(0) = M

In ρ (χ ,θ ) — -Θ + *1η 0 - Inx !; = - 1 + -^ 0 0 0

3 ln p (x ,0 ) )0 0

= M — - 10

= M

1 • 2> 2

0 2 ' ” ^ ' 002+0 20

0 ‘ 0 +1 0

o * , 2 —— +102 0

1

Λ

Ştim însă că media de selecţie X este o estimaţie a mediei populaţiei care în acest caz este parametrul Θ.

343

Avem D(X) — —-—------- , deci X are dispersia minimă, adică estimaţiaη n

eficientă a parametrului Θ din repartiţia Poisson este Tn - X ,

. kExemplul 9 Frecventa relativă J n ----- în « probe independente a unui

neveniment de probabilitate constantă p în fiecare probă, este o estimaţie eficientă a parametrului p din repartiţia:

f ( x ;p ) = p x( l - pŸ~x, x = 0,1;0 < p < 1 ,

k fiind numărul de apariţii ale evenimentului în cele n probe. în acest caz ;In f ( x , p) = x In p + (1 - x) ln (l - p );

d\ nf (x , p ) _ x l - x _ x - p şi dp p 1 - p p ( l - p )

I(p)=M

D ( K ) =

ί λ2 x - pP (l-P )

1n l ( p ) "

— Ί Μ ( χ -ρ γ = - ξ (1 P\ = — -—p \ l - p ) 2 r p2( \ - p f p a - p )

P d - P )n

Dar = = =l n ) n n

Rezultă că /„ are dispersia minimă deci este o estimaţie eficientă a parametrului p.

6. Metode de determinare a estimaţiilor pentru parametrii repartiţiilor statistice

a) Metoda momentelorîn prezentul capitol de teoria estimaţiei, am expus până acum numai probleme

referitoare la tipurile de estimaţii ale parametrilor din legile de repartiţie precum şi diverse proprietăţi ale acestora.

în cele ce urmează vom prezenta două procedee de determinare a estimaţiilor, adică a statisticilor Tn( X ], X 2,···, X n) ale căror valori să poată fi socotite drept evaluări aproximative ale valorilor necunoscute ale parametrilor. în acest sens, am considerat deja unele cazuri particulare când se cunoaşte intrepretarea probabilistică a parametrilor din unele legi de repartiţie.

344

Astfel de exemplu în legea repartiţiei Poisson parametrul a este media M ( X)

a variabilei observate X şi este logic să estimăm pe a cu media de selecţie X . De

asemenea, în cazul repartiţiei normale parametrii m şi σ sunt respectiv media M ( X ) şi dispersia D(X) a variabilei normale x, deci este firesc ca pentru

aceşti parametri să luăm drept estimaţii media de selecţie X şi respectiv dispersiade selecţie X . Este evident că precizia acestor estimaţii este cu atât mai mare cu cât volumul n al selecţiei este mai mare. Prin urmare pentru un număr mare de observaţii, pot fi luate ca estimaţii ale parametrilor necunoscuţi ai repartiţiilor toaretice momentele de selecţie. Acest procedeu de obţinere a estimaţiilor poartă numele de metoda momentelor şi se bazează pe convergenţa în probabilitate a momentelor de selecţie către momentele teoretice corespunzătoare, adică pe consistenţa momentelor de selecţie (vezi teorema lui Hinein).

în acest caz, când numărul n al observaţiilor este mare, este suficient ca estimaţia parametrului necunoscut să satisfacă condiţia de a fi consistentă, fară a fi obligatoriu strict nedeplasată sau eficientă, deoarece eroarea sistematică devine neglijabilă, iar dispersia estimaţiei va asigura într-un mod oarecare o concentrare suficient de bună a valorilor ei în jurul parametrului pe care îl estimăm.

Metoda momentelor propusă de K. Pearson pentru estimarea parametrilorθ ι ,θ 2,...,θ ί din legea de repartiţie / (χ',θν θ 2,...,θ5) , a variabilei observatei, constă în următoarele:

1 "Se calculează primele s momente de selecţie ^ X ]k f j = 1,2,..., s şi

n *=ise egalează cu momentele teoretice M ( X J ) = m j(9x,Q2,..ßs), j — 1,2,... care

depind de parametrii θ ν ...,θ5 . Estimaţiile θ ι ,θ 2 ,...,θ* ale parametrilor

θ {, θ 2 6 S prin metoda momentelor se obţin rezolvând ecuaţiile:

my(0 ,,0 2.....0 f ) = m*(Xl , X 2,. . . ,Xn), 1 < j < s (17)dacă acestea sunt independente funcţional şi sunt date de relaţii de forma:

Precizia relaţiilor (18) depinde de gradul de apropiere a momentelor de selecrie*

rrij de momentele teoretice estimate mj.Exemplul 10. Folosind metoda momentelor să se estimeze pe r i r : î : :

{X ],X 2,···, X n} de volum «, parametrii m şi O2 ai populaţiei Primele două momente teoretice sunt:

M ( X ) - m { -- mşi Μ ( X 2) - m- = r ' - w ‘

iar momentele de selecţie corespunzătoare sunt:

1 A

Ecuaţiile (18) se scriu:

sau m — - X şi n

m = ml ,2 2 * m + σ - m2,

1

( σ 2) ' =τη2 -m ,’ = i £ x , 2 ~ ί - Σ χ ^η k=1 η *=ί

= 1 £ ( Χ , - Χ ) 2 = ώ = 5 2.η £ ί

2Regăsim rezultatul că dispersia σ a populaţiei poate fi estimată cu dispersia

de selecţie 5 .Exemplul 11. Să estimăm parametrii a ş i β din repartiţia Beta având legea de

repartiţie:

f(x\ a , β ) = Ι & + Λ xa- \ l - χ)Ρ-\ * e (0 ,1 )J Γ (α )Γ (β ) α , β > 0

în acest caz se ştie că media şi dispersia sunt:

M(x) = ml = ■a

-, D(x) = aßa + ß ’ (a + ß)2{a + ß +1)’

Estimaţiile CC* şi β* se obţin rezolvând sistemul de ecuaţii:

“ = xa + ßaß

(a + ßy(a + ß +1)= S ‘

Obţinem estimaţiile:

* x 2a - x ) - s 2xa = ; ß =X 2(l - X ) - 5^(1 - X)

Pentru o selecţie realizată, relaţiile de mai sus dau valorile numerice ale estimaţiilor a şi β' pentru parametri necunoscuţi a şi β .

346

Aplicaţie 4. Repartiţia de selecţie obţinută ca rezultat al cântăririi a 800 bile de oţel este dată în tabelul de mai jos (în prima coloană este indicat intervalul greutăţii în grame, iar în a doua coloană frecvenţa, adică numărul de bile a căror greutate este cuprinsă între limitele intervalului).

Tabelul 4(Xk-i. Xk)

20,0 - 20,5 9120 ,5 -21 ,0 7621 ,0 -21 ,5 7521 ,5 -22 ,0 7422 ,0 -22 ,5 9222,5 - 23,0 8323,0 - 23,5 7923,5 - 24,0 7324,0 -24,5 8024 ,5 -2 5 ,0 77

Presupunând că variabila X (greutatea în grame) are o repartiţie uniformă:

/(χ',θ ι,θ2) = ~ — χ^\βι ,θ2\θ2 > ^0 2 -Ö ,

se cere să se estimeze prin metoda momentelor parametrii 0; şi θ2, pe baza celor 800 de cântăriri.

Se ştie că în cazul repartiţiei uniforme:

η θ } 4" 2θι Θ9 + θη Μ (X ) = m2 = —--------^

Estimaţiile 0* şi θ 2 se obţin rezolvând sistemul:

0 j + 0 2= m

0, + 010? +09 *i i- i------i-~ m 2

Găsim:

0* = ml - ^3(m*2 - m ï ) = X - s^j- - - - - - ,

347

02 = m2 + ^3(m *2 - m*) = X + —— —- t

i JL2 i τρ 2unde s = —— ~ ^ ( Χ * - X ) este dispersia nedeplasată. Pentru selecţia

realizată din tabelul 4 obţinem X = 22,47 şi 5 = 1,44 . Relaţiile de mai sus ne conduc la valorile estimate ale parametrilor:

0,* = 19,98 şi 0* = 24 ,96 , iar legea de repartiţie uniformă a greutăţii bilelor de oţel este:

f ( x ) = — ; x e (1 9 ,9 8 ;2 4 ,9 5 ) .0,2

b) Metoda verosimilităţii maximeStatisticianul englez R.A. Fisher nu s-a mărginit numai să arate neajunsurile

metodei momentelor ci a elaborat o nouă metodă de estimare a parametrilor unei repartiţii, numită metoda verosimilităţii maxime. Această metodă este strâns legată de noţiunea de funcţie de verosimilitate. Estimaţiile obţinute prin această metodă posedă proprietăţi remarcabile care conferă metodei un plus de eficacitate.

Să considerăm variabila aleatoare X definită pe o populaţie oarecare, având legea de repartiţie / ( x ; 0 ) ce depinde de un singur parametru. Fie

X l, X 2,. . . ,Xn variabile aleatoare de selecţie independente şix j ,x 2,.. . ,x „ , valorile concrete obţinute într-o selecţie realizată adică

Xj = Xj, X 2 = x2,...Xn - xn . Probabilitatea obţinerii valorilor x , ,x 2,.. . ,x B este funcţia de verosimilitate:

n

i(x\, x2....x„ ;0 ) = f(x\ ;0 )/ (χ 2 ; 0)···/(χπ ; θ) - Π / * ;θ) (19)ί

care poate fi privită ca o funcţie de parametru Θ.Metoda verosimilităţii maxime constă în aceea că pentru Xj, x2,..., xn daţi, cea

mai bună estimaţie a parametrului Θ corespunde acelei valori a lui θ , pentru care funcţia de verosimilitate (19) este maximă. Acelaşi principiu se aplică şi în cazulcând se estimează mai mulţi parametri necunoscuţi 0 1,0 2,.. . ,0 J ce figurează în funcţia de repartiţie a variabilei X, deci şi în funcţia de verosimilitate L (x 1,x 2,...,x /),;01,02,...,0j ) . Căutând valori ale pârametrilor 01,02,...,0i

pentru care funcţia Z,(x1,x 2, . . . ,x n;0 1,0 2,... ,0 i.) sau, ceea ce este acelaşi lucru,

348

funcţia \ηί,{χχ,χ2,...,χη\θχ,θ2,...,θ5) este maximă (pentru xltx2,...,xn daţi), obţinem estimaţiile cele mai bune (în sensul principiului indicat) ale parametrilor θχ,θ2,.··,θs .

în esenţă prin metoda verosimilităţii maxime se determină acele estimaţii ale parametrilor θχ,θ2,...,θ s pentru care sistemul de observaţii xx,x2,...,xn , de care dispunem este cel mai probabil. Cu alte cuvinte, pentru orice alte valori ale parametrilor θι ,θ2,...,θί , probabilitatea de a obţine un sistem de observaţii care să coincidă cu cel de care dispunem, ar fi mai mică.

Prin urmare estimaţiile parametrilor 0 ,,02,...,0i obţinute prin metoda

verosimilităţii maxime pe care le vom nota 0 1ν ,0 2v,. . . ,0 jv şi le vom numi estimaţii de maximă verosimilitate sunt soluţii ale sistemului de ecuaţii: dL(xv x2,...,xn',ex,e2...,es)

= 0 j = 1,2,..., j·

sau (20) d In L(xl ,x 2,...,xn,0 l ,e 2,...,Os) _ Λ ^

jcare poartă numele de ecuaţii de verosimilitate. în cazul când avem de estimat un singur parametru,sistemul de ecuaţii (20) se reduce la

d\nL(x,„. .x"d) 1 dL Λ------------I----- 5------- ---------= o (21)

dG L ά θ K ’Este evident că pentru existenţa estimaţiilor de maximă verosimilitate trebuie

asigurată derivabilitatea funcţiei L în raport cu fiecare din parametrii pe care îi conţine.

în încheierea expunerii acestei metode de estimare a parametrilor unei legi de repartiţie, vom prezenta câteva exemple.

Exemplul 12. S-au efectuat n observaţii independente asupra variabilei aleatoare X cu repartiţia Poisson

Qxp(x ,,e ) = e~e — , x - 0,1,2,,.., 9> 0

x\şi s-au obţinut rezultatele xl ,x 2,...,xn Folosind aceste date să se estimezeparametrul Θ, prin metoda verosimilităţii maxime,

în acest caz funcţia de verosimilitate este

n ^x*L(x 1, ;t2 xn; 0) = f j p(xk ; 0) = e~n0 θ

k=\

349

iar logaritmul său natural esten

ln L(xl ,x 2,...,xn;0 ) = - η θ + ^ x k ln ö - ln ( ^ ! . . j c „ ! )1

Ecuaţia verosimilităţii este

de Θa cărei soluţie este estimaţia de verosimilitate:

1 n β ; = 1 Σ n 1

xk

adică media de selecţie. Estimaţia 0* asigură maximul L(x\,χ2,...,χη,θ ) deoarece:

d 2 ln L I A

rf02 0 ' w Exemplul 13. Să estimăm parametrul λ din repartiţia exponenţială:

/ (χ ,λ ) = Ăe- **, λ: > 0, λ > 0 .Avem:

L (x1,* 2,...*,i ;A ) = A"e t=’n

\nL(xltx2,...,xn;Ă) = η ΐ η λ - ,1

iar ecuaţia verosimilităţii:d ln L n Aΐ ά - = ϊ - Σ ^ = 0 .

a cărei soluţie este

2* _ n _ 1

şi care asigură maximul lui Z, deoarece:d 2 l n L n _

FExemplul 14. Să estimăm parametrul p din repartiţia:

■=-ζτΣ**<0·

funcţiei

350

ρ(χ·,ρ) = p x( l ~ P Ÿ x, x = 0 ,l 0 < ρ < 1 .Funcţia de verosimilitate este:

L(xv x2,...,xn, p) = p ^ Xk ( 1 - p)n~^Xk

ln L (x , , x2 xn ; p ) = J xk ln p + (n - x* ) ln ( l - p ) , iar ecuaţia verosimilităţii este:

din Z. Σ * » « - Σ * » p φ ρ 1 - ρ

care rezolvată în raport cu p, ne dă estimaţia:

• Σ ■,P v ------------ f n ,

■**n :n

ndeoarece în acest caz variabilele de selecţie Xk iau valorile 0 sau 1, iar

k=1este numărul de apariţii ale evenimentului de probabilitate p în cele n probe independente.Se constată şi în acest caz că L are un maxim, deoarece:

d 2 \nL _ Γ Σ * * η ~ Σ * * Λ dp2 p 2 ( 1 - ρ ) 2

<0

iar η > Σ χ*·Exemplul 15. Să estimăm acum cei doi parametri m şi σ2 ai repartiţiei normale

4 ( ~ ] ff(x-,m,a) = — \=e σ^2π

Funcţia de verosimilitate este:« 1 V Î Xi~m f

) * e 2 σ >L(xx,...,x„) = (2n a

iar logaritmul său natural:

lnL = -|ln(2;r<7 -m )2 .

Sistemul ecuaţiilor de verosimilitate este:

351

dm σ' a lnL

k=1

9(σ ) 2σ 2σζ τ + · ζ τ Σ ( ^ - ^ 2 = 0k=1

a cărei soluţie este:

Şi

i n4 ς

*=1

1 "2 1 XT' ✓ *\2σ ν = ~ 2 j ( xk ~mv) ,

n £ lSă arătăm că (mv, (7V ) este un punct de maxim ai lui L. Avem

d2 lnL _ n d2 lnL

~dinr ~ ~ ^ 2 < ; 0 ^ 7n

2 σ ι•<0

a 2 lnL a 2 lnLdmd(a ) d(cr )3m σ k=l

d lnL a 2 lnL

1 Σ ( * * ~ m) 2 <0

Δ =am2 dm2d(a2)

θ 2 lnL a 2 lnL2x23(σ )dm d{a )

n

~ m ) n

n2 [ 2 > * - m)2f2 σ

σ 4 2σînlocuim în expresia precedentă a lui Δ pe m şi pe σ2 cu valorile lor din (22)

găsim:

Δ = —r—----- —----- r — > 0

şi prin urmare L este maximă.

Noţiunea de interval de estimaţie şi procedeul de determinare a intervalului de estimaţie.

în cele ce preced s-a arătat că teoria estimaţiei oferă metode pentru determinarea funcţiilor de selecţie Tn( X x, X 2,..., X n) care aproximează valorile necunoscuteale parametrilor 9 k (k = 1,2,...) din legile de repartiţie şi pe care le-am numit estimaţii punctuale ale parametrilor. Am văzut că estimaţiile punctuale sunt afectate de erori, ele reprezentând numai evaluări aproximative ale adevăratelor valori ale parametrilor estimaţi. Deoarece o estimaţie variază în precizie, este important ca ea să fie însoţită de o indicaţie cu privire la precizia ei, adică cât de aproape poate fi estimaţia de parametrul pe care trebuie să-l estimeze. Cu alte cuvinte apare necesitatea de a se indica un interval cum se mai spune, cu o siguranţă cunoscută, că acoperă valoarea parametrului estimat care este o mărime cunoscută.

Spunem astfel că estimăm parametrul Θ printr-un interval de estimaţie sau de încredere şi, în acest sens, estimarea parametrilor prin interval de estimaţie apare ca o generalizare a estimării punctuale.

Să presupunem că efectuând o selecţie {Xj, X 2,···, X n} de volum n din populaţia a cărei lege de repartiţie teoretică este f ( x , 9 ) , există două funcţii de

selecţie Qm( X l , X 2, » , X n) Şi Θ (Χ\>Χ2 >···’ Χη) cu 0 .< θ aşa fel încât probabilitatea inegalităţii:

θ < θ < θ (1)să fie independentă de Θ, adică:p j öCXpXj , . . . , Χ „ ) < θ < θ ( X x, X 2,.. . ,Xn) ] = l - a unde a nu depinde de Θ.

Pentru o selecţie realizată funcţiile 0 şi Θ iau valori bine determinate, iarpentru probabilitatea l - a foarte apropiată de unitate, inegalitatea (1) este satisfăcută în marea majoritate a cazurilor. Rezultă că am găsit astfel un interval( 0 , Θ ) care acoperă parametrul Θ necunoscut, cu un grad mare de siguranţă, garantat de probabilitatea l - a , unde a este foarte mic.

Intervalul ( 0 , Θ ) astfel determinat se numeşte interval de estimaţie sau de

încredere pentru parametrul θ, 0 şi Θ poartă numele de limită inferioară respectivlimită superioară de încredere pentru parametrul Θ, iar probabilitatea 1 - a se numeşte probabilitate confidenţială sau coeficient de încredere. Cu cât intervalul( 0 , Θ ) este mai mic şi probabilitatea l - a este mai mare, cu atât avem oindicaţie mai precisă cu privire la valoarea parametrului Θ. Trebuie precizat că

7. Intervale de estimaţie

353

parametrul Θ nu este o variabilă aleatoare, ci o mărime constantă pe care însă noi nu o cunoaştem. în schimb intervalul (0 , 0 ) ale cărui limite depind de datele de selecţie, este un interval aleator care variază de la o selecţie la alta atât ca mărime cât şi ca poziţie pe o axă a valorilor parametrului Θ. De aceea, legătura dintrevaloarea adevărată a parametrului Θ şi intervalul ( 0 , 0 ) trebuie înţeleasă astfel:

probabilitatea ca intervalul aleator ( 0 , 0 ) să acopere punctul Θ este egală cu

1 — CC. Mai precis, ori de câte ori calculăm limitele 0 şi 0 şi afirmăm că

P (0 < 0 < 0 ) = 1 ~ α , aceasta înseamnă că din 100 de intervale de încredere pentru acelaşi parametru, construite pe baza a 100 de selecţii din una şi aceeaşi populaţie, ( l -a ) 100 dintre intervale cuprind în interiorul lor valoarea adevărată a parametrului Θ şi numai Ci· 1 0 0 dintre ele nu îl cuprind. în practică drept coeficient de încredere se ia 1 — CC = 9 5 % , 99% sau 99,9% adică CC = 5 % ,1% sau 0 ,1% . Menţionăm că la alegerea coeficientului de încredere1 - C( deci a lui α se au în vedere considerente de ordin practic impuse de problema concretă ce se rezolvă.

în afara coeficientului de încredere 1 - CC, un rol important îl joacă şi lungimea

intervalului 0 şi 0 . Un interval de lungime mică construit cu un coeficient de încredere mare estimează cu precizie valoarea parametrului. Jumătatea intervalului de încredere o vom nota cu δ. Al treilea element important în teoria intervalelor de încredere este volumul n al selecţiei. Cele trei mărimi 1 - CC (sau a), 5 şi n sunt strâns legate între ele şi cunoaşterea a două dintre ele permite determinarea celei de-a treia.

în cele ce urmează vom prezenta o metodă de determinare a intervalelor de încredere, pe care o vom aplica la estimarea parametrilor conţinuţi în unele legi de repartiţie, frecvent folosite în practică. întrucât estimarea parametrilor prin intervale de încredere se impune mai ales în cazul unui număr mic de observaţii, când estimaţia punctuală nu este precisă, vom expune construirea intervalelor de încredere pe baza selecţiilor de volum redus (n < 30) .

Să considerăm repartiţia f ( x , 0 ) a variabilei aleatoare X definită pe o anumită populaţie şi care pentru uşurinţa expunerii să presupunem că depinde numai de un singur parametru Θ. Ne propunem ca pe baza unei selecţii X v X 2,. . . ,Xn de volum n să determinăm un interval de încredere pentru parametrul necunoscut Θ. Metoda constă în găsirea unei funcţii U ( X 1, X 2,.. . ,Xn’,0) de datele de selecţie şi de parametrul Θ care posedă proprietăţile:

a) este definită în orice punct aparţinând intervalului ( 0 , 0 ) al valorilor posibile ale lui 0,

354

b) este continuă şi monotonă în raport cu Θ,c) repartiţia sa g ( u ) n u depinde de parametrul Θ şi nici de alţi parametri

necunoscuţi.Dacă aceste condiţii sunt îndeplinite, atunci pentru fiecare coeficient de încredere 1 - CC , putem găsi folosind repartiţia g(u) a statisticii U, limitele u, şi w2 care depind de a , dar sunt independente de datele de selecţie, astfel încât să avem:

fu 2P(ul U2 (4)în baza monotoniei şi continuităţii funcţiei U în raport cu Θ pot fi scrise sub forma echivalentă:

(ţ(X l ,X 2,.., X J < Θ < Θ ( X l , X 2,..., x„) (5)

£ şi Θ fiind două funcţii de datele de selecţie şi de numerele U\ şi u2 respectiv

şi se obţin ca soluţii ale ecuaţiilor U ( X l , X 2,..., X η',θ) = u2 şi

U{ Xx, X 2, - - - X = w, . Am obţinut astfel intervalul de încredere (Θ ,0 ) pentru parametrul Θ al repartiţiei f ( x , 9 ) dat de inegalităţile (5), care acoperă valoarea necunoscută a lui Θ cu probabilitatea 1 -OC conform relaţiei:

P (0 < θ < Θ ) = 1 - a (6)Intervalele de estimaţie pentru parametrii repartiţiei normale Să considerăm o populaţie normală, la care variabila sub cercetare X are după

cum se ştie legea:

/ (x ;m , σ ) = — = e 2<T ; σ ν 2 π

depinzând de doi parametri m şi σ 2 , respectiv media şi dispersia variabilei X. Ne propunem să determinăm intervalele de încredere pentru parametrii m şi σ 2 .

a) Intervalul de încredere pentru media m când σ 2 este cunoscut Ca funcţie U ( Χ χ, X 2,···, Χ„',θ) vom alege abaterea normală a mediei de selecţie

X :1}(Χι , Χ 2,··.,Χη,θ) vom alege abaterea normală a mediei de selecţie X :

U ( X l , X 2,. . . ,Xn,m) = ? ^ y f c , (?)(7

355

care este monotonă şi continuă în raport cu parametrul de estimat m şi a cărei repartiţie este conform teoremei 1, § 1 repartiţia normală tip

1 4g(u) =

V 2π(8)

Din (8) se vede că g(u) nu depinde de m şi nici de alţi parametri. Suntem astfel în condiţiile enunţate mai sus, prin urmare 1 -CC fiind o probabilitate foarte apropiată de unitate, putem determina numerele U\ şi u2 astfel încât să avem:

J ‘U2g(u)du = 1 -oc

u,sau:

X - mσ

yfn

< un1 u

f 2e 2 du = 1 - 0?V 2π (9)

Relaţia (9) se mai poate scrie sub forma:

P(X - U2 ~ r < m < X - Mj - i · ) = 1 -CC yln v n

Am obţinut aşadar intervalul de încredere ( Ϋ - — Ϋ - σ Λ Λ f— , A Μ, r—Vn v n

pentru

parametrul w, coeficientul de încredere fiind 1 - CC. Se observă că se pot obţine o infinitate de astfel de intervale de încredere pentru parametrul m, toate au aceleaşi probabilitate 1 - OC deoarece între u\ şi w2 avem o singură relaţie dată de (9). Pe noi ne interesează intervalul de lungime minimă.

Lungimea intervalului este:

δ = -T = («2 - « i )Vn

Pentru a vedea pentru ce valori u\ şi u2, obţinem intervalul cu cea mai mică lungime, minimizăm δ cu condiţia (9). Vom folosi metoda multiplicatorilor lui Lagrange şi în acest scop formăm funcţia

σ<Ρ(μ1, μ2) = ~ ( μ2 - μ1) + Α

VnΓ g( u ) d u - ( I - a )

din care deducem:d(p

dux yfn-Xg(u1) = 0

356

! ^ - = ~ ? = + Ag(w2) = 0 ou2 Vn

care ne dă g (u , ) = g(w2) de unde rezultă Mj = u2 sau - u { =u2 .Prima soluţie nu

' convine deci - u{ = u2 = z .Cu această soluţie ecuaţia (9) devine:

1

unde F (-z ) = l~ F (z ) , iar F(z) = -j= =

Din relaţia F(z) - 1 = 1 -O C rezultă F(z) = 1 - — deci vom nota Z = Z a care2 l-y

rezultă din tabele.

Fig. 4

Prin urmare u\ = ~Z „ u 2 ~ z]_a2 2

Deci intervalul de încredere este:

X — z a —ţ= < m < X + z a —7=· (11) ι- γ ν η ' - γ v n

Observaţie. Menţionăm că şi în cazul când X nu este repartizată normal pentru*fn(X-m)

valori mari ale lui n, variab ila----------------- este aproximativ repartizatăσN(0,1) (Teorema 1), deci şi în acest caz (11) este un interval de încredere pentru parametrul m, cu coeficientul de încredere 1 -CC.

357

Γ e~2 dt.J—oo

Zf e~ 2 du = F(z) - F (-z ) = F(z) - 1 + F ( z ) = 2 F(z) - 1,

Aplicaţia 1. Variabila aleatoare Xeste repartizată normal N(0 ,2 ) .Se cere intervalul de încredere 95% (1 - OL = 0,95) pentru media m pe baza

selecţiei de volum n = 16, care a dat X — 4,1.Folosind relaţia (11), găsim:

Z a · -5= = 1 ,9 6 -3 = = 0,98 şi cum X = 4,1 ( 1-7 v n V l6

avem;X - 0,98 = 4 ,1 -0 ,9 8 = 3,12 şi X + 0,98 = 5 ,08 .

Prin urmare intervalul cerut este3,12 < m < 5,08

Aplicaţia 2. Selecţia dintr-un lot numeros de becuri electrice conţine n - 100bucăţi. Durata medie de ardere a celor 100 de becuri este X = 1000 ore.

Să se determine un interval de încredere 95% pentru durata medie de ardere m a întregului lot ştiind că abaterea medie pătratică a duratei de ardere a becurilor este σ = 40 ore.

în baza observaţiei, întrucât volumul n = 100 al selecţiei este mare vom folosi tot relaţia (11) în care :

Deci;

- Z0 975 - 1,96 .2

40 40100 - 1 ,9 6 — <m < 1000 +1,96-1 i ' 11 ^ ^ 1V/V7V7 I Xţ y v/ r·1· ·■■

V i00 V100adică:

992,16 <m < 1007,84 .în situaţii reale, de regulă, abaterea medie pătratică σ a populaţiei nu este

cunoscută şi ea trebuie estimată pe baza datelor de selecţie. în acest caz pentru selecţii de volum mic, intervalul definit de relaţia (1) nu mai este aplicabil.

b) Intervalul de încredere pentru media m când cr2 este necunoscut Drept funcţie U ( X v X 2,---,Xn,m) vom alege statistica:

X - m, = ~ 7 7 ' <12>

■Jn

358

u n d e i 2 = - ^ - y ( A : - X ) 2 .« - ΐ £ ί

Conform teoremei variabila t are o repartiţie Student cu η -1 grade de libertate:

7( n - 1)π1 + -

t 2 Λ 2

n - l; te R

care se vede că nu depinde de parametrul estimat şi al cărei grafic este:

S

Fig. 5

Pentru construcţia intervalului de încredere avem şi în acest caz:

yfn(X - m ) ^ eh . . . .= s„-\(t)dt = l - a ?h < ■<u

\

sau:

P{X - 12 - 4= < m < X - r, -4= ) = 1 - α .Vn v n

Prin urmare X —t2 —ţ= ,X - fj —l v n Vn

este un interval de încredere pentru

parametrul m având coeficientul de încredere 1 — (X. Procedând ca în cazul precedent din motive de simetrie ale graficului repartiţiei sn_j(/) găsim că

intervalul de lungime minimă corespunde cazul când - tx = t2 . Notăm cu Sn_{ (t) funcţia de repartiţie a variabilei Student:

359

V 1 (<2 ) = P(ţ < h ) = J '1 ί . . . ( Ο * = 1 ■ -Ş ,şi atunci

h = ί, α , » » ί, =/α = - ί α1—:π-1 — 1—:π-12 2 2

Rezultă intervalul de încredere căutat:

X + ta , -Ţ = < m <X + t a (13)-:n-l I—-"-' V«

Observaţii, a) Dacă w > 30 se ştie că repartiţia Student poate fi aproximată cu legea normală şi prin urmare:

tot ~ Za—τι-l —2 2

b) Intervalele date de (13) vor varia de la o selecţie la alta, atât ca poziţie cât şi ca lungime, deoarece, ţinând seama că ta ~ a , lungimea:

—in—1 1— :n - l2 2

^ ~ a j— >1—:n-l *Jndepinde de mărimea s.

Aplicaţia 3. Se cunosc rezultatele Xl ,X 2,···,X^i a n = 22 măsurători ale unui unghi oarecare în grade: 3,1; 3,3; 2,9; 3,0; 3,1; 3,2; 2,8; 2,7; 3,1; 3,2; 2,9; 3,0; 2,9; 3,1; 2,8; 2,9; 3,2; 3,3; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0. Presupunând că rezultatele măsurătorilor urmează o lege normală, să se determine un interval de încredere 98% pentru media m a populaţiei (valoarea adevărată m ).

Găsim:

* = ^ ţ X‘ = 3·0318; *2 = ^ Σ ( Χ » - X ) 2 =0,0303

Tabelele ne dau: ta = *001-21 = 2,518—71-12

şi conform cu (13) limitele intervalului pentru media tn sunt:s

V22x = 'o, 01:21- 7= = 3,·0318 -0 ,0 9 34 ;

X + 1 2 -jL= = 3,0318 + 0,0934 = 3,1252 ’ ’ V 22

Deci intervalul de încredere 98% pentru media m este:2,9384 < m < 3,1252

360

c) Intervalul de în cred ere pentru dispersia σ2în acest caz statistica U(Xx,X 2,..., Χη, σ 2) posedând proprietăţile menţionate

şi cu ajutorul căreia vom construi intervalul de încredere pentru parametrul σ2 este:

U (X l t X2.....Χη, σ 2) = {-η --ψ 2 (H)

1 n2 V1 — 2unde s = ——- ^ ( X t - X ) . Conform consecinţei teoremei 4 variabila U are

o repartiţie X cu η -1 grade de libertate:

1£ («) = —

n - l _ a

u 2 e 22 2 Γ

n - l

care nu depinde de parametrul σ2, ci numai de parametrul n, volumul selecţiei, şi al cărei grafic este cel de mai jos:

Prin urmare 1 —Cî fiind o probabilitate foarte apropiată de 1. putem determina2 · 2 numerele u y = %x şi u2 = χ 2 astfel încât să avem:

361

çzi 1

^ ' n - ï \

P(ux < U <u2) = P 2 (jl~"ï)S4 2Xi <-- - - J— <x\n-l_j n2 e 2 du = 1 - a .

2 2 n , 2 „„2Numerele şi se determină cu ajutorul tabelelor de valori ale funcţiei

2 2 de repartiţie H (x) = Ρ ( χ < x) a variabilei X . Avem, conform figurii,CC CC

P(X2 < X i) = — deci X\ = Xa şi, de asemenea, P{X2 < χ\ ) = 1 - — deci 2 y * -1 I

Din relaţia ^

deducem:

^ 2 ( n - l ) i 2 2, < ...." - Γ ...< X. a ,—;/i-l <7 1—-;n-l2 2

= l - a

Λ

(η - 1 ) s 2 2 (w ~ l)^2 ------ -— < σ <X a Xa lfl-1

= l - a

adică intervalul pentru σ2:( n - l ) s 2 2 ( « ~ 1 ) ί2- — < σ <X a1 2;«-l

2

(15)

Observaţii, a) Am determinat intervalul de încredere 1 - CL pentru σ2 astfel situat pe axa Ou, încât în afara lui ariile de sub curba densităţii g(u) să fie egale. Acest interval se mai numeşte şi intervalul cozilor egale, b) Din (15) deducem că intervalul:

ix\c \x7V ' T ' - 1 V T:n~l

(16)

poate servi pentru scopuri practice ca interval de încredere pentru σ. întrucât aşa cum am menţionat se folosesc selecţii de volum mic, determinarea intervalului de

362

încredere pentru parametrul σ, necesită o metodă mai exactă pe care nu o vom expune în continuare.

Aplicaţia 4. în condiţiile problemei de la aplicaţia 3 să se determine intervalul de încredere pentru dispersia σ2. în acest caz valorile tabelare necesare sunt:

X a = Zo,9 9 ;2 i = 38,392; χ α = Xqqi-21 — 8,897-\n-liar limitele intervalului (15) pentru σ2 sunt:

( - l ) £ l = 2 1 ^ 0 2 8 9

X 2 « 38,9321— ;n-l

2

( « ^ 1 ) ^ 2 1 ^ 0 2 8 9

x l 8397r* - '

Deci intervalul pentru σ2 este (0,0163; 0,0715).Conform cu relaţia (16) găsim pentru σ:

■>/0,0163 < σ 2 < V0,0715 ,sau

0,127 < σ < 0,267.

8. Funcţia de repartiţie a selecţiei, momente de selecţie.Mulţimea valorilor de observaţie {xl,x 2,...,xn} ale unei caracteristici

(variabilă aleatoare) X se numeşte selecţie de volum n din populaţia Γ supusă cercetării.

Elementele mulţimii {X,,X2,...,X„} numite variabile de selecţie au o dublă interpretare:

(1) Considerate după efectuarea selecţiei, variabilele Xl,X2,...,Xn reprezintă valori concrete pe care le folosim ca informaţii asupra variabilei aleatoare X şi le notăm:

Xj =xt,X2 = x2,...X„ = x„ .(2) Considerate înainte de efectuarea selecţiei, variabilele Xu X2,...,Xn pot fi

privite ca variabile aleatoare independente şi identic repartizate din punct de vedere probabilistic cu variabila aleatoare X.

Deci putem scrie:(a) M (X ;) = M (X ') = mr ( V ) ;= ü i ;

363

(b) M ((X j-m Y )= M {(X -m )r)= ß r (V );= l,n unde m - M(X),mr ,ß r reprezintă media, momentul iniţial de ordin r şi momentul centrat de ordin r ale variabilei aleatoare X .

Se consideră că fiecare variabilă aleatoare Xj j = 1,« se realizează cu aceeaşi

probabilitate egală cu —. Pe baza acestui fapt se construieşte variabila aleatoare de n

selecţie (variabila empirică).Definiţie 1. Variabila aleatoare de selecţie are următoarea repartiţie:

f v V Y \■Λ » 1 __în care P(X* = Xk ) = - (V)* = 1, n .

nX

X\ x2

n n\_n

Presupunând că după efectuarea a n observaţii am obţinut:de nx ori a aparat X, de n2 ori a aparat X 2

unde n,+n2+... + nk =n, atunci:

den* oriaaparut Xk

X * :[Xx X2 ... X k' % X 2 . • X ,'

Ol V n

!hn

Ol n ,

f i ” f n ,

// = — . i = l,k [ i^ / / =1

, unde:

2 l

* i=iDefiniţie 2. Fie Γ o populaţie cu caracteristica X, o selecţie de volum n,

{X],X2,...,Xn}şi x e R . Fie nx o valoare care ne dă numărul observaţiilor în care a apărut o valoare a caracteristicii Xmai mică decât x în selecţia {Xu X2,...,Xn}.

Funcţia empirică de repartiţie (funcţia de repartiţie a selecţiei) este definită astfel:

F*(x ) =n

Definiţie 3. Fie X o variabilă aleatoare considerată pe o populaţie oarecare Γ. Numim moment iniţial de selecţie de ordin r statistica:

- . 1 A .» f t i » « l i

_ n\X\ ^ n2- 2 + ·■· + nkXkn

Notăm m\ = X şi o numim media de selecţie.364

Numim moment centrat de selecţie de ordin r statistica:

- x y - x yn M

j n _μ ΐ = —\ ( X k - X)2 se numeşte dispersia de selecţie

" t Î

(Vom nota μ 2 = S )Propoziţie 1. Momentul iniţial de selecţie de ordin r, m*, are media şi dispersia:

_ m2r - mr

în particular : M(X) = M(X) = m , D(X)

Propoziţie 2. Media dispersiei de selecţie este:

_ m2 - m _D(X)

n o i _ w ·— 1Μ(μΙ) = M(S2) =----- 0 (X ) şi dispersia dispersiei de selecţie este:

n

nPropoziţie 3. Momentele de selecţie converg în probabilitate spre momentele teoretice ale variabilei aleatoare X şi anume: tn]—£—>mr şi μ*—ε~^μΓ ■ Cu alte cuvinte cu cât volumul selecţiei este mai mare cu atât momentele de selecţie vor avea valori mai apropiate de momentele teoretice corespunzătoare.

Probleme:Problema 1. Durata de execuţie a unei lucrări într-o bandă de montaj este repatizată normal cu media m şi abaterea σ = 4 minute. S-a cronometrat durata de efectuare a operaţiei la un număr de n = 9 muncitori. Determinaţi probabilitatea ca media duratei determinate pe baza celor n observaţii să nu difere de m în valoare absolutăcu mai mult de 3 minute la un muncitor: p \x - w| < 3)= ?

Rezolvare:f \

3-Jn X - m 3-Jnp\x - < 3)= P{-3<X - m<3) = Ρ

r 3 fnσ %

= Pσ σ

= 2Φ ■1- « ( ¥ )

■ 1 = 2Φ(2,25) - 1 =

= 2 · 0,9878 - 1 = 1,975 - 1 = 0,975.

365

Problema 2. Presupunând că diametrul unor piese fabricate la un strung este repartizat normal N(m,2), care trebuie să fie volumul n al selecţiei astfel încâtP (jj-m | < l)= 0 ,9 9 .

Rezolvare'.

P ^ X - m < 1 j = 0,99 = P ( - l< X -m < l) = P4n X - m σ

-----<---------< —σ σ

= 2Φ 1 = 2Φ

2Φ

σ\ί Γ~\

r n

-1 = 0,99,

= 1,99 => Φ2

= 0,995 => — = 2,58, 2

=> 4 η = 2 ■ 2,58 = 5,16 => η = 26,62 => η = 27.

Problema 3 Fie X ο variabilă aleatoare exponenţială cu legea de repartiţie1 —/ (χ ,λ ) = —e λ ,x> 0,A > 0 . Să se găsească un estimator consistent şi nedeplasatΛ

pentru A.Rezolvare:

Fie {Xu X2,...,Xn} o selecţie de volum η. X =— _ X\ + Xz + ... + Xn . Ştiind că

D (X) A2 -i-ir—> ρ , rezultă că X este unΜ(Χ) = λ şi D (X) = A2, o (X) =η n

estimator nedeplasat şi cosistent pentru A.

Problema 4. Aflaţi prin metoda momentelor un estimator pentru parametrii repartiţiei uniforme.

Rezolvare: Repartiţia uniformă are forma:

x e \a,b\f (x ,a ,b ) = -

Fie {Xl,X2,...,Xn} o selecţie de volum n. Folosind metoda momentelor obţinem:

b - a 0, în rest

366

m, (a, b) = m*

m2(a,b) = m\<=>

a + è

j g + - + 2 -= m,

a + b = A=$a + b = 2A

a2+ab+b2 = B

=>(a + b)2 - ab = 3B => ab = 4A2 - 3 5 .Formăm ecuaţia de gradul II cu rădăcinile a şi b şi avem:X2-2AX + 4A2-3 B 2 = 0 Δ = 4A2 - 1 6A2+12B2 = 12(5 2 -A 2) = \2μ* = 12S2

=>a,b = - A- ? £ ^ =*a,b = X±sJ3 .

Problema 5. Aflaţi un estimator pentru parametrul repartiţiei binomiale (p) folosind metoda verosimilităţii maxime.

Rezolvare : După cum ştim, numărul de apariţii ale unui eveniment în n probe

independente poate fi considerat o variabilă aleatoare de forma: X = ^ Xt , unde:

^0 Πi=l

XiX p

(V)i = l,n .

Legea de repartiţie pentru variabila aleatoare de parametri 1 şi p este:P(x,p ) = p x(\ - p ) ' - x, x=0,l 0< p < l .Folosind metoda verosimilităţii maxime obţinem următoare funcţie de verosimilitate:

" Σ*' - î *Ι ( χ λ,..·χη,ρ ) = \ γ p x‘ ( i - P) ‘ = p (1 - P )

/*i_ a in L(xu ...,xn,p ) d

d p

ί

η f' » Ί “Σ ^,··ΐηρ+

_i=l ” “ Σ χ·1 «=' J

1η(1-ρ) = 0

«P i - p

i=l i=l

d p

= ο = > ( ΐ - ρ ) Σ χι - ι \ " “ £*<·

η

~ Σ * ./=!

/=! i=l= 0

367

=$ p = —— = X şi este punct de maxim pentru ln L(x{ ...xn, p ) => p - X este n

un estimator de maximă verosimilitate pentru p.

Problema 6. Aflaţi un estimator de maximă verosimilitate pentru parametrul Θ din repartiţiile:

(1) / (χ ,θ ) = (1 + θ ) · χ β , 0<χ<1,θ > 0 ;(2) ρ (χ ,θ ) = θ ( 1 - θ ) χ , * = 0,1,2... Ο<0 <1 ;

θ — 1(3) /(χ ,θ ) = ~ - ^ · χ ι-ϋ , 0< *< 1^ < β < 1 ;

— 1η—(4) ρ (χ ,θ ) = ( 2 - θ ) · χ ' η2' 2~ο , χ = 1,2 1<θ <2

Rezolvare:

( l )L (x ],...,Xn, e ) = f l f ( x i, e ) = ( l+ e r - x f - x e2...xe„;= ί

ln L(xv ..xn,6 ) = η1η(1 + θ ) + θ ^ 1 η χ (.ί=1

dlnL^ Ţ:-X- - - - = 0 <=» - ~ + Σ 1η*,· =0=> (1 + θ )^ 1η χ ,.+n = 0/=i (=1

n- n - VlnjCj

=>θ = ·— ^ ------ = - — ■-------1.J ln x , . ]Γ ΐηχ ,i=1 (=1

(2) L(xl,...,xn,9) = Ţ lp (x i, e ) = 9n - ( l - e y · 'i=l

ln L (χ,.. .χπ, Θ ) = n In Θ + xt ■ ln(l - Θ )/I

Θ ΙηΖ^,.,.χ ,,β) _ w . y i . . f ___[__)ΘΘ

—+ -------- | = 0 = > « - « θ - θ ν χ. = 0θ £ί \ ι - θ ) £

(3) L(*,,...,xn,0) = J ţ/ ( * . ,0 ) =i=l

Y*

1-0

28,-1 20-1 -β +1 -β +1

·*1 ···*„

20 -1 vΣ ,η *>lnL(jt1..jtn,0) = n ( ln 0 - ln ( l-0 )) + ·

“ θ + 1 ι=1

(0 —1) ^ 'Β Ιη Ι^ ,,-χ , ,θ ) _ f

d eΙ + — 0 1-0 i»!

0 (1 -0 ) (0 -1 ) t i

0 =------ ------- =____ L

ι=1

1it η η

”-Σ1η*'· Σ1ηχ<· Σ1η*<\ - Μ ------ 1 __ ίΞ !------ι=1

(4) L(xl ,...,xn,0 ) = Ţ l p ( x i ,9 ) = ( 2 - e ) ·χΙI , θ-1 1 , 0-1— 1η--------------------1η-------

1η 2 2 -0 1η 2 2 -0. . . χ -

<=ι

ln L(x} ...χ„,θ) = η 1η(2 - 0) + · · 1η Σ \ηχ,ί=ί

d\nL(xu ...xn,6) _η -1 | 1 2 - 0 2 - 0 + 0 - ! ^·30 2 - 0 1η2 0 -1 2 - 0 Σ1η*<= 0

ί=1

, Σ ΐη^1 /=12 - 0 1η 2 0 -1

= 0 => -(0 - \)η 1η 2 + (2 - 0 )Σ 1η χ, =0=>1=1

η η

«(1-0)1η2 + 2 Σ ΐη* ι - 0 Σ ΐ η / =0 =>ΐ= 1 ι=1

ηη1η2 + Σ ΐ ηχ,·

ι=1

η= η1η2 + 2 Σ ΐη *,·

ί=1

«1η2 + 2 Σ ^ χ , 1 + ~ Σ 1ομ=>0=- ι=1 ;=ι

1 vï” 1η2 + Σ ^ η χ ί 1 + - Σ 1ο8 2 */

/=ι

Problema 7. Să se determine intervalul de încredere 95% pentru media m a unei populaţiei normale cu dispersia σ 2 = 400, pe baza unei selecţii de volum n = 25 în urma căreia s-a obţinut media de selecţie X = 200 .

Rezolvare: Se cunoaşte că intervalul de încredere pentru media m a unei populaţii normale, în cazul în care σ 2 este cunoscută, este:

X -Z a - - i r< m < X + Z a ·~η= pentru care avem:>-y V« V«

f \X - Z „ ~ < m < X + Z σ. v - = 1- a = 0,95;

20 __ 20Z a = Z0 975 = 1,96 => 200 -1 ,96---- < m < 200 +1,96-----<=>l~2 ^

<=> 200 - 7,84 < m < 200 + 7,84 <=> 192,16 < m < 207,84

Problema 8. O selecţie de volum n = 10 dintr-o populaţie normală a dat rezultatele:

Xi«,·

a) Determinaţi un interva

-2 0 12 1 2 2 2 1

de încredere 90% pentru media populaţiei; b) Determinaţi un interval de încredere 95% pentru dispersia populaţiei. Rezolvare:

a) t a ‘ j—<m<X +t a ■ <=> t —10 95.9 = 1,83Vn >—.«-> V« '-γ'"-1

X = 1,2 ; s 2 = — Y (xj - x ) 2=— S2 = — ■ 3,76 = 4,18 => s = 2,04 . n -\ r~ n - l 9

2 04 2 04=* 1,2 -1,83 · - ţ Z < m < 1,2 +1,83 · =ţZ <=> 1,2 -1,18 <m< 1,2 +1,18

VÎO VTÖ<=» 0,02 <m < 2,38 o 0,02<m< 2,38.b) Se ştie că intervalul de încredere pentru dispersia populaţiei este:( n - l ) i 2 2 ( n - l ) s 2 9-4,18 2 9-4,18-— < σ ι < 2 < σ 2 <=»Z a Xa , Zo,975,9 Ζ θ .025,91-- ,Λ-1 —,Λ-12 2

« 1 ,9 8 < σ 2 <13,93.

370

CAPITOLUL VI

ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE

§ 1. Operaţii financiare certe

1. Dobânda simplă în general, prin dobândă se înţelege o sumă ce se plăteşte de către debitor

(se percepe de către creditor), pentru o sumă oarecare împrumutată de către debitor pentru folosinţă temporară.

Se numeşte procent, dobânda care se plăteşte pentru suma de 100 lei pe timp de un an.

Se numeşte dobândă unitară, dobânda calculată pentru suma de 1 leu pe timp de un an şi este egală cu a suta parte din procent.

Notaţii:S - suma depusă sau împrumutată pentru care se calculează dobânda; t = durata pe care se calculează dobânda - exprimată în ani; p = procentul;

i = —— dobânda unitară;100

D = dobânda simplă.Este evident că dobânda este direct proporţională cu suma împrumutată

(depusă) S, cu durata t şi cu procentul p.Avem:

dobânda unitară i = (1)100

dobânda produsă de 1 leu pe t ani este it = ;

dobânda produsă de S lei pe t ani este:Sp 100

D = i t S = ^ . (2)

Dacă în (2) considerăm t = — unde k reprezintă numărul de părţi egale înk

care am împărţit anul, iar tk este un număr oarecare de astfel de părţi din an pentru care se calculează dobânda, obţinem:

d = Ş!Îl A . ,3)k 100 k

Pentru k = 2 —>t2 semestre; pentru k = 4—> u trimestre.Pentru k = 12 t l2 luni; pentru k = 360 —> tm zile.

371

Remarcăm că formula (2) conţine 4 elemente. Cunoscând trei dintre ele se poate determina al patrulea.

100100D

P = -

t = -

St 100 D '

Sp ' 100 DS =

ptValoarea fina lă şi valoarea actualăSă notăm cu 50 suma depusă iniţial şi fie D=S0it dobânda simplă produsă de

suma S0 pe durata t cu procentul egal cu lOOi.Suma sau valoarea finală notată S, este suma disponibilă peste t ani dacă se

plasează cu dobânda simplă în momentul iniţial suma S0.Astfel spus 5, este suma dintre S0 şi dobânda produsă de S0 pe timp de t ani,

adică:S, = S0 +D = S0 +S0it = S0(l + it) . (4)

Din (4) se poate deduce valoarea actuală (suma depusă în momentul iniţial care împreună cu dobânda produsă pe durata t, a devenit St):

S° =T+Î' (5)Scadenţa comună şi scadenţa medieScadenţa comunăFie S],S2, .... S„ mai multe sume depuse pe duratele t,,t2,...,tn cu acelaşi

procent p. Ne propunem să înlocuim sumele S* şi duratele tk, k=l,2,...,n cu o sumă unică 5 şi o durată unică t astfel încât suma dobânzilor produse de sumele Si,S2,...,Sn să fie egală cu dobânda produsă de suma unică S pe durata t cu acelaşi procent p.

Avem:Sxpt i | S2pt2 | Snp tn _ Spt 100 100 100 100 ’

sau S,/, + S2t2 +... + Sntn = S t.Scadenţa comună este durata unică t, deci cunoscând S obţinem:

t = Γ - . (6)

372

Dacă Si + S2 + ··· + Sn = »;=i

i > A

η

obţinem:

f = —----η

I s >i=l

Durata ί dată de (7) se numeşte scadenţa medie (medie aritmetică ponderată, ponderile fiind sumele Si).

Procent mediu d e depunereFie sumele Si,S2,...,S„ plasate pe duratele ί/,ί2,...Λ· Ne propunem să

determinăm un procent unic p, astfel încât sumele considerate depuse cu acelaşi procent p pe aceleaşi durate să producă aceeaşi dobândă. Avem:

SlPlh ! ^2Pzf2 j i SnPntn _100 100 100

_ Sxpty S2p t2 ! I Snp tn ^100 100 100

Slp ltl +S2p 2t2+...+S„pntn = p(S,f, +S2t2 + ...+ S„pn), de unde

n

P = ---------· (8)Y jSktkk=1

Formula (8) dă procentul unic căutat p în condiţiile enunţate, care apare ca o medie aritmetică ponderată, ponderile fiind produsele Sktk; k=l,2,...,n de aici şi numele de pro cen t mediu de depunere.

Exemplu:Să se calculeze procentul mediu de depunere pentru sumele:5.000 lei cu 4% pe timp de 45 zile,10.000 lei cu 5% pe timp de 60 zile50.000 lei cu 2% pe timp de 100 zile

5.000·4·45+ 10.000-5-60 + 50.000·2-100 „p ------------------------------------------------------- -- 2,38%5.000 ■ 45 +10.000 ■ 60 + 50.000 · 100

2. Dobânda compusă

Spunem că o sumă este depusă (se fructifică) cu dobândă compusă dacă la

373

sfârşitul unei perioade dobânda simplă produsă pe această perioadă se adaugă pentru a produce la rândul său dobândă în perioada următoare ş.a.m.d.

în operaţiile financiare pe termen lung, unitatea de timp (perioada) frecvent utilizată este anul·, uneori se foloseşte semestrul sau trimestrul.

în calculul dobânzii compuse se obişnuieşte să se folosească dobânda unitară i şi nu procentul p.

Stabilirea formulei dobânzii compusePresupunem de la început că timpul t de depunere este un număr întreg de

perioade (ani, semestre, trimestre etc.).

Vom nota:So = suma depusă inţial sau valoarea actuală,i = dobânda unitară (corespunzătoare unei perioade), n = numărul de perioade,Sn = suma disponibilă după n perioade sau valoarea finală.

Ţinând seama de cum am definit modul de fructificare a unei sume, cu dobânda compusă, putem întocmi tabelul:

Tabelul 1

AnulSuma depusă la începutul perioadei

Dobânda produsă în

timpul perioadei

Suma obţinută la sfârşitul perioadei

1 So S0i Sj=So+Soi=So( 1+i)2 s, S,i S2=S,+S,i=So(l+i)2

n Sn-l Sn/i Sn=S„.i+S„.n=So( 1+i)nAvem deci:

s „ = s 0{\+iy (9)Dacă notăm 1 + i =u, obţinem:

Sn =S0un . (10)Factorul 1 + i = u se numeşte factor de fructificare şi în tabelele financiare

se găseşte calculat un pentru diferite procente şi pentru diverşi ani (n). Formula (10) se mai numeşte şi formulă de fructificare.

Cunoscând valoarea finală Sn şi valoarea actuală, putem determina dobânda compusă, şi anume:

D = Sn — S0 = S0u — S0 =S0(m — l).Avem deci formula dobânzii compuse:

D = S0{un-\). (11)

374

Valoarea actuală a unei sume Formula d e actualizareActualizarea este operaţia inversă fructificării. Problema se pune astfel:Ce sumă S0 trebuie depusă în prezent pentru ca după n ani cu dobânda

unitară i să obţinem suma Sn dată ?Valoarea actuală este deci So.

Deci: 5„= 50(l + if => S0 = - ^ - = Sn(l + i)-n(1 + iŢ

Punând (l + i)~' ~~“ “ v » (12)v ' 1 + iobţinem: S0 =Snvn (13)Factorul v = (l + i)~l se numeşte fa c to r de actualizare, în tabele fiind date v"

pentru diferite perioade.Exemple:1°. Ce devine suma de 10.000 lei plasată pe timp de 10 ani la C.E.C. cu

procentul actual de 5%.a) Soluţie cu ajutorul logaritmilor:SI0= 10.000· 1,0510log S10 = log 10.000+ 10-logl,5 =4+ 10 0,02119 = 4,2119 de unde Sio = 16.289,29 lei.b) Soluţie cu ajutorul tabelele financiare:S10 = 10.000· 1,0510 = 10.000· 1,628894 = 16,288,94 l e i .2°. Calculul valorii actuale S0-Să se determine ce sumă trebuie depusă la C.E.C. cu 4,5% pentru a putea

încasa 5 ani suma de 5.000 lei.Avem: S0 = S5(l+i)'5 = 8.000-1,045 5 = 8.000-0,802451 = 6.419,61 lei 3°. Calcularea procentului p

Avem (Z + i)" = — .S0

Cu ajutorul unei interpolări liniare se poate determina procentul.Cu ce procent suma de 3.450 lei depusă pe timp de 8 ani devine 5.324,45

lei?Avem:

(/ + {f - 5 ·3 2 4 ’4 5 . - 1 , 5 4 3 3 188V ’ a 3.450

în tabelele financiare corespunzătoare lui un avem pentru n=8:1,4802443 ..............................4%1,5433188.............................. ?1,5529694...............................5%

375

0,07272510,0630749

0,50x

0,50-0,630745x =------------------ = 0,430,0727251

Deci procentul va fi p = 4% + 0,43% = 4,43%.4°. Calcularea timpului t Folosim de asemenea formula:

Ö + 0"

şi vom face tot o interpolare liniară.în cât timp suma de 4.650 lei depusă cu 4% devine 7.344,28 lei?Avem:

7 344 28 1,04" = ’ = 1,579415 4.650

în tabela financiară care dă pe un, pe coloana procentului de 4% găsim:1,539454.......................... l la n i1,579415 ..........................1,601032.......................... 12 ani

0,061578 .......................... 10,039961 .......................... x

x - M ” « ,0,6489493.0,061578

Deci η = 11,6489493 ani =11 ani 7 luni 23 zile.Cazul când timpul t nu este în număr întreg de per ioade în stabilirea formulei generale Sn =S0un am presupus că n este întreg;

numărul de perioade n poate fi fracţionat, de exemplu pentru 8 ani şi 5 luni avem

71 = 8 — .12O modalitate de calcul al lui Sn când n este fracţionar:Se foloseşte formula generală (10) pentru partea întreagă şi se calculează

dobânda simplă pentru partea fracţionară.Această modalitate se numeşte raţională.

Punem n = k + —. După k ani suma obţinută prin depunerea unei sume4

376

Sk = S0(l+ if.Vom calcula acum dobânda simplă produsă de suma Sk pe perioada

fracţionară — a anului. Aceasta va fi:q

iniţiale de S0 lei va fi:

de unde

sau

Ski— = SQ(l + i'f i—, <7 <7

5„= 5ο(1 + 0*+ 5ο(1 + 0*/ Α<7

Sn =S0{l + i f

P rocen te proporţionaleDouă procente corespunzătoare la perioade de timp diferite sunt

proporţionale dacă raportul lor este egal cu raportul p er ioadelor respective de fructificare.

ExempleTabelul 2

Procent anual 6%procent semestrial 3%procent trimestrial 1,5%procent lunar 0,5%

Procent anual 4%procent semestrial 2%procent trimestrial 1 %procent lunar 0,33%

Subliniem că în regimul de dobândă simplă două procente proporţionale conduc o sumă la aceeaşi valoare finală, ceea ce nu este valabil în regim de dobândă compusă.

Astfel, cu procentul anual i valoarea finală a sumei S0 este S0+S0i.

Cu procentul semestrial valoarea finală după un an va fi:

~ 2 = S0 + S0i .

Cu procentul anual i valoarea finală, la sfârşitul anului, obţinută de 1 leu cu dobândă compusă este 1 +i.

Cu procentul semestrial — valoarea finală produsă de 1 leu la sfârşitul

anului, cu dobânda compusă va fi:

377

( i λ2 i2 1H— =l + i + — >1 + /.2 4

Procen te echivalenteDouă procente corespunzând la perioade de fructificări diferite sunt

echivalente dacă pentru o aceeaşi durată de depunere ele conduc la o aceeaşi valoare finală calculată cu dobândă compusă.

Exemplua) Un leu plasat cu procentul anual i devine la sfârşitul primului an 1+i.1 leu plasat cu procentul semestrial i, devine la sfârşitul anului (l + is f . Procentele i şi is sunt echivalente dacă valorile finale obţinute la sfârşitul

anului sunt egale:1+/ = (1+i,)2-b) Pentru un procent trimestrial i, echivalent cu procentul anual i avem:1+i = (1+i,)4.c) Pentru un procent mensual im echivalent cu procentul anual i avem:1+i = (1+im)1Pentru un procent ik corespunzând unei fracţiuni din an echivalenţa este dată

de relaţia:1+i = (1+i*)*·De unde obţinem:

1 + i, =(1 + 1)2 ,

1 + i, = (l +1)4 ,

i + 'm = (1 + 0*2 »

1 + i* =(l + i ) l .Vom utiliza noţiunea de procente echivalente pentru a extinde formula

generală a dobânzii compuse în cazul când n este fracţionar:

n = * + £ .

In k ani suma depusă iniţial So devine:s ,= s„ (i+ tf.

Pentru o fracţiune — din an, un leu va deveni 1 + iq, iar pentru p fracţiuni ale <7

anului va deveni:

în consecinţă:(1+ i/·

378

s k R = s0(\+iy(i+iqy = s 0{ i+ iy{\+ iţ= s0{\+iy+7 = s 0( i+ i y ,

deoarece 1+ LAm arătat deci că formula generală a dobânzii compuse se aplică şi în cazul

când n este fracţionar.Procen t nominal şi p ro cen t real sau efectivAtunci când calcularea dobânzii se face pe fracţiuni de an, dobânda adusă

până la sfârşitul anului diferă de aceea, calculată cu procentul anual care s-a stabilit pentru fiecare fracţiune din an.

Pentru mai multă claritate să considerăm exemplul următor:Presupunem că am plasat suma de 100.000 u.m. cu procentul de 6% şi că

efectuăm calculul dobânzii de două ori pe an. în primele 6 luni suma de 100.000 u.m. va aduce o dobândă de 3.000 u.m. iar la sfârşitul primei perioade vom avea100.000 + 3.000 = 103.000 u.m.

în următoarele 6 luni vom avea:100.000 u.m vor aduce o dobândă de 3.000 u.m.3.000 u.m. vor aduce o dobândă de 90 u.m.deci 103.000 u.m. vor aduce o dobândă de 3.090 u.m.Aşadar, pe timp de un an suma de 100.000 u.m. va aduce o dobândă de

6.090 u.m.Primul procent de 6% se numeşte procen t nominal iar cel de-al doilea,

pro cen t real sau efectiv.Notăm cu 100 ik procentul efectiv iar prin 100 j k procentul nominal (k

reprezintă numărul de perioade în care a fost împărţit anul). Rezultă că ik este procentul unitar anual efectiv iar j k procentul unitar anual nominal.

formule cu ajutorul cărora putem trece de la procentul unitar efectiv la cel nominal

Ţinând seama că procentul unitar ik corespunde perioadei V, din an, vomYkavea:

J k = k i k s a u h “ ·Kînlocuind în formula 1 + i = (1 + ik)k, obţinem:

jk ~k ( i+ »y * -1 ,

379

şi invers. între cele două procente există relaţia j < i .Aplicaţie

1. Fie 6% procentul anual efectiv. Să se determine procentul anual nominal presupunând că se face calculul dobânzii trimestriale.

Avem i = 0,06 de unde

j A =4^(1,06)^ -1

Procentul anual nominal de fructificarea dobânzilor calculate trimestrial va fi 100Λ =5,86952%.2. Fie 5% procentul nominal, fructificarea facându-se semestrial. Să se determine procentul anual efectiv.

Avem: j 2 = 0,05 de unde:

= 0,0586952

/= 1 + J l ■1 = Κ Ι =0,050625.

Deci, procentul anual efectiv este 100/ = 5,0625 %.3. Se depune suma de 10.000 u.m. pe timp de 12 ani cu procentul de 5% fructificarea dobânzilor fâcându-se semestrial. Să se determine suma disponibilă peste 12 ani.

Avem: Sl2 =S0(1 + /)12 = S

J 0 05^24=io.ood i+ -i—

1 + Ä2-12

= 10.000 ■ (1,025)24 = 10.000 · 1,808726 =

= 18087,26 u.m.Dobânda unitară instantaneeSă presupunem că dobânda unitară anuală efectivă este i şi facem ca numărul

k de părţi în care am împărţit anul să crească nemărginit (k —> °°).Să se determine în acest caz pentru procentul anual unitar nominal o limită,

limită ce constituie unul din elementele fundamentale ale teoriei matematice a convertibilităţii dobânzii şi care este denumită dobândă unitară instantanee. Vom avea:

(i + 0 ^ - ilim ii = δ = lim kk—>co lc~) oo (1 + 0 = lim ■

= lim*-»«>

- F o +o+ i)% ln(l + 0

- 1/■ = ln(l + i).

Această relaţie ne dă legătura dintre dobânda unitară instantanee şi dobânda unitară efectivă.

380

Din δ - ln(l + /) rezultă 1 + i = es .Dezvoltând în serie Mac-Laurin funcţia es obţinem:

sau

Rezultă că i >δ.

Compararea valorilor finale ale unei sume depuse cu dobândă simplă şi cu dobândă compusă în funcţie de timpul n

Valorile finale în regim de dobândă simplă şi dobândă compusă sunt:

S5n depinde liniar de n, este o funcţie liniară de n, crescătoare.S' este o funcţie exponenţială cu baza 1+i, supraunitară, de asemenea

crescătoare.

Pentru η = 1 avem S*n=S', deci:

S’n = S0(l + in) Scn =S0{l + iT

(1)(2)

Ds(n) = Dc(n). Pentru η > 1, constatăm că din dezvoltarea

(ΐ + ί)" =1 + m + — — t2 +...->(! + i)" >1 + ni,2

S„ >S => Dc (ri) > Ds (n ).

Pentru 0 < η < 1 constatăm că Scn < Ssn deoarece (l + i)" < 1 + n i.

De exemplu pentru n = — avem:

1 1 iL (l + /)2 <1 + -î= > 1+ î<1+/+— =>0<— evident. v ' 2 4 4Rezultă că pentru 0 < η < 1 :

Dc (n) < Ds (n) .

Putem recurge şi la grafice pentru a compara cele două dobânzi. Avem:

381

Ds(n) = S0in,

Dc (n) = 50 [(l + iY - 1]

Funcţia Ds(n) reprezintă dreapta care trece prin origine şi prin A(l, S0i), iar Dc (n) reprezintă o curbă care trece de asemenea prin A(l, S0i).

Avem graficul:

Din grafic rezultă că: pentru 0 < n <, Dc(n) < Ds(n); pentru n =1, Dc(n) < Ds(n)\ pentru n > 1, Dc(n) > Ds(n).

3. Plăţi eşalonate (anuităţi)Plăţile eşalonate sunt sumele de bani plătite la intervale d e timp ega le

(perioade).Perioade: anul, semestrul, trimestrul, luna (de unde şi numele plăţilor:

anuităţi, semestrialităţi, trimestrialităţi, mensualităţi).Ne vom ocupa în continuare de anuităţi. Ele sunt de mai multe tipuri:• Anuităţi d e plasament sau fructificare - în scopul constituirii unei sume;• Anuităţi d e amortizare (rambursare) - cu scopul rambursării

(amortizării) unei datorii;• Anuităţi anticipate - plata fiecărei sume se face la începutul fiecărui an

(anuităţi de plasament);

382

• Anuităţi posticipate - plăţile se fac la sfârşitul fiecărui an (cazul anuităţilor de rambursare).

Din punct de vedere al numărului de plăţi, anuităţile pot fi:• Anuităţi temporare - numărul de plăţi este fixat prin contract;• Anuităţi p erpetu e - numărul plăţilor este nelimitat (rentele perpetue);• Anuităţi v iagere - numărul plăţilor depinde de durata vieţii unei

persoane;• Anuităţi constante şi anuităţi variabile - după cum sumele plătite

periodic sunt constante sau variabile.Din punct de vedere al momentului când se face prima plată:• Anuităţi imediate - prima plată se face în primul an;• Anuităţi amânate - prima plată se face după un număr oarecare de ani.3.1. Anuităţi constante posticipate

Valori finale, valori actualeAnuităţile constante posticipate sunt plăţile egale care se fac la sfârşitul

fiecărui an.a) Valoarea fina lă a unui şir de anuităţi constante posticipate, imediate,

temporare1 2 3 p n-l n -------1-----1— i— i-------------------- ,-------------------------- 1------- 1--------

0 T T T T T TVom nota:T= valoarea anuităţii constante n = numărul de anuităţi1 = dobânda unitară anualăS„ 1= suma finală a şirului de anuităţi la momentul n, momentul plăţii ultimei

anuităţi.Valoarea finală a şirului de anuităţi la momentul n este egală cu suma

valorilor finale a fiecărei anuităţi la momentul n.

Urmărind schema de mai sus avem:• valoarea finală la momentul n a primei anuităţi este : r ( l + if~• valoarea finală la momentul n a celei de a doua anuităţi este τ (1 + i j 1' 2

• valoarea finală la momentul n a celei de a p -a anuităţi este Τ(1 + i)n”p

♦ valoarea finală la momentul n a celei de a n-l-a anuităţi este T(\+i)♦ valoarea finală la momentul n a celei de a n-a anuităţi este T. Putem scrie:

= Γ + r( l + i)+...+r(l + if~% + (l + if~x =

383

= t (i + U + u 2 + . .. + h ”~2 + m " -1 ) = Γ — — — x ' M - 1

adică £ ] = τ *- — i

unde u =1 + i.Pentru T= 1 obţinem valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate a 1 leu

fiecare se notează cuun - 1

A l =— τιRezultă:

oTnl =Tjn1 (2)ExempluSă se determine valoarea finală a unui şir de 12 anuităţi posticipate a 7.000 lei la momentul plăţii ultimei anuităţi; procentul este 5,50%.

Soluţie cu ajutorul tabelelor financiare:

S 12] = 7.0001,9012Q-8·—1 = 7.000 · 16,385591 = 114 699,13 lei 0,055

1 2 3 p n-l n -------1-----1— i— j------------------- Ş--------------------------1------- 1--------

0 T T T T T T

b) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante posticipate, imediate, temporare

Determinarea valorii actuale a unui şir de anuităţi posticipate se face la momentul semnării contractului, adică cu o perioadă înaintea primei plăţi. Vom nota această valoare actuală cu dfo.

Valoarea actuală a şirului de anuităţi este egală cu suma valorilor actuale ale fiecărei anuităţi. Conform schemei deducem: valoarea actuală la momentul zero

a primei anuităţi este Γ(1 + i)'1, a celei de a doua anuităţi este Γ(1 + i)'2,

a celei de a η - 1 anuităţi este Γ(1 + i) (n l), a celei de a n-a anuităţi este T( 1 + i)"n.Făcând suma şi notând-o cu An]avem:

^„l=7’(l + i)“1 +Τ(ΐ + ί) '2 + ... + 7’(l + i)~(n~1) + r(i+ i)"n =

+ r(v + v2 +... + v" )= 7v(l + v + ... + v"-1 )= 7 v ^ — = T ^ -1 - v

384

unde —— - * + · = - .1 -v j __ 1_ i

1 + iDeci:

^ n1=riz Z l . (3)i

Dacă T = 1 obţinem valoarea actuală a unui şir de anuităţi posticipate a 1 leu fiecare, care se notează:

an~\— (1+i) '+(1+0 2+...+(l+i)n adică2 « 1-V"a„1 = v + v +...+V = v------- , sau

1 -v1-v" ...

an]=—;— · (4)lRezultă = T a„] . (5)

ExempluCe sumă unică depusă imediat poate să înlocuiască plata a 12 anuităţi

posticipate a 1.250 lei fiecare cu procentul 3,5%?

Soluţie:1-1 035-12a , 2 1 = 1.250 ....— — = 1.250-9,663334 = 12.079,17 lei

0,035c) Valoarea actuală a unui şir d e anuităţi constante posticipate, perpetue,

imediateîn cazul când plata este perpetuă (plăţile se efectuează nelimitat), valoarea

actuală a şirului de anuităţi posticipate unitare se notează i şi este

1

a»] = - (6)

iar dacă anuitatea este T, avem:

^ .1= 7·- (7)i

De aict reiese că T = adică rata anuităţii posticipate perpetue este tocmai dobânda anuală a valorii actuale.

d) Valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate, constante, temporare, amânate

Vom presupune că prima anuitate T se plăteşte după r ani, posticipat, conform schemei:

385

T T T T -------1-----1---- 1----1-------------------- 1-----1-----1--------------- 1------- 1--------0 1 2 3 r-1 r r+1 n-1 n

Prima plată se face după r ani posticipat, adică la începutul anului r + 1 (sfârşitul anului r). Ultima plată făcându-se la momentul n, în total sunt n - r anuităţi. Valoarea finală o vom nota cu r,£,i şi este suma:

rSn-}=T(l + if~r-] +7’(l + 0',~r~2 +...+T(l + i)+T =

=t [\+u+u2 +...+un- r~l]=T- — ----- -

adică:(8)u -1 i

ΓοΓηΤ = TΛ -fl - (9)Putem spune că valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate egale cu T

dar amânate r ani, este egală cu valoarea finală a acestui şir de plăţi imediate limitate lan - r ani.

ExempluCare este valoarea finală a unui şir de 10 anuităţi egale cu 2.000 lei, plătibile

la sfârşitul fiecăriu an, prima plată făcându-se după 5 ani, cu procentul 5%.Avem:

n - r = 10 r = 5

« = 1510510 -15oSi5l = 2.000— ------ = 2.000-12,57789 = 25,155,78 lei

0,05e) Valoarea actuală a unui şir d e anuităţi constante posticipate, temporare,

amânateT T T -------1-----1---- |---- 1-------------------- 1-----1-----1--------------- 1--------1--------

0 1 2 3 r-1 r r+1 n-l nPresupunem că prima plată se face după r ani posticipat, deci în momentul r

+ 1.în total sunt n - r plăţi. Notăm cu rûn] această valoare actuală.Avem conform schemei:

r^ i= r ( l + i)~(r+1) + r ( l + z)~(r+2) +...+T(l + i)~(n' l) + r(l + i)"n == 7’(vr+I + vr+2 + ... + V'1-1 +v")=

7Vr+1 (l + v +... + vn“r_1 )=

l - v

386

Sau, în final,

Remarcăm că se poate deduce şi din actualizarea sumei r i fa şi anume:

rûni = rSn] v" = T——-—-·ν" = i

„ k V i T ' - v " ^ Vr - V n r \ - V n~r= T---------------- = T----------= Tv ----------i i i

ExempluCare este suma unică pe care urmează să o plătească o persoană pentru a

înlocui plata a 12 unităţi posticipate a 3.000 lei fiecare, prima plată având loc după3 ani, procentul 5%?

Avem: n - r = 12, r = 3, n = 15.1—13^51= 3.000 ■ 1,05 ~3 — — — = 3.000-8,86324 · 0,863837 = 2.929,21 lei i

f) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante posticipate, perpetue, amânate

în cazul când plata este perpetuă dar amânată cu r ani, valoarea actuală va fi:

r^ „ ]= -v r . (11)i

3.2. Anuităţi constante anticipatea) Valoarea fina lă a unui şir de anuităţi constante, anticipate, temporare,

imediateîn acest caz anuităţile se plătesc la începutul anului la momentele 0 ,1 ,..., η -1. Evaluarea sumei 5n] se face la momentul n. Avem conform schemei:r p r j i r p t jp

------- ,----- ,---- ,------------------------- ,-----,-----,--------------- ,------- ,--------

0 1 2 r-1 r r+1 n-l nValoarea finală a şirului la momentul n este egală cu suma valorilor finale

ale fiecărei anuităţi la momentul n.Valoarea la momentul n a primei anuităţi este Γ(1+ζ')" a celei de a doua anuităţi este T(l+i)n'!

= TV αη.|] (10)

a celei de a n-a anuităţi este 7(1+0 Avem deci:

S„T= r(l + z)|l + (l + /)+... + (l + i)" ’ ] =

= Tu(\ + u + ... + u’'-l )= T u? -Z l = Tu?— ± . (1)u -1 i

387

Pentru Γ = 1 obţinem suma unui şir de anuităţi anticipate a 1 leu fiecare pe care o notăm cu $„1-

(1+i f + ( ί+i T ‘ +...+d + 0= ( i + i ) M - ^ ,

sauun - l ...Snl=M------- . (2)

IPrin urmare:

S„i= T j „i . (3)Observaţie: Am văzut că:

5n1= (1 + iY 1 + ( l + l ) n 2 + . . . + ( l + î ) + l = in l+ 1.

deci Jnl = 1 + ini (4)b) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante anticipate, imediate,

temporareNumim valoare actuală a unui şir de anuităţi anticipate, suma necesară în

momentul iniţial pentru a putea plăti la fiecare din scadenţele fixate 0, 1, ..., η - 1, suma 7; o vom nota A„i.

Anticipatef j i Ţ Ţ Ţ Ţ Ţ r j^

-----—I-----1---- 1-------------------------1-----1-----1--------------- 1------- 1--------

0 1 2 p-1 p p+1 n-l nAniDacă reprezentăm grafic şi cazul plăţilor eşalonate posticipate Posticipate

r j i r j i r j i r p rj"i r jn r jp ţ

-------1— η---- 1— — ------------------t-----1-----1--------------- 1---- -H--------0 1 2 p-1 p p+1 n-l n^nlObservăm că valoarea actuală la momentul 0 a unei anuităţi de gang p este

7’(l+0'ip' l) pe când valoarea actuală a unei anuităţi posticipate de rang p este 7(1+*7p

Aceasta permite să scriem următoarea relaţie între valorile actuale ale unui şir de anuităţi anticipate şi posticipate:

Ani = ^ i( l+ i) (5)înlocuind prin expresia sa, obţinem

An1=7--~i - - l - (l + O (6)i

Pentru T = 1 obţinem valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate a 1 leu fiecare:

388

an1=(l + i)1 ~ (l+ f>~'’I

Rezultă căΑ„ΐ=7αηι (8)

Legătura dintre an] (care se găseşte în tabelele financiare) şi an] se poate obţine astfel:

ani=(l + i)— -------— =------- ------------- = 1 + — ------ ------- adicăi i i

a„i = 1 + an.ii (9)ExempluDe ce sumă de bani va dispune o persoană peste 15 ani dacă depune la

începutul fiecărui an la C.E.C. cîte 2.000 lei cu 4,5%?Avem:c^5l= 2.000· S,5i= 2.000-21,719336 = 43.438,67 leic) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante anticipate, perpetue,

imediateîn cazul când plata este perpetuă, valoarea actuală a şirului de anuităţi

anticipate unitare este:

a~l =— ( 10) iiar rata este T avem:

( 11)i

d) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate constante, temporare, amânate

Presupunem că avem un şir de anuităţi limitate la n ani, prima plată facându- se nu la momentul 0 ci la momentul r, conform schemei de mai jos.

0 1 2 r r+1 n-l n------- ----- ,----- ,-------------------------,------- 1------------------1---------μ

T T TVom nota această valoare actuală cu r Λπ].Avem:

r A n]= 7X1 + 0 " + 7’ ( l + 0 ”(r+l) + . . .+ Γ ( 1 + 0 " ("" ,) =

= T( 1 + 0"r [l + (1 + 0"1 +... + (1 + 0 -(n"r-1) ]=

=r(1+Î)K , - , , M i ± v r i =ÎVM „

(7)

Având, în general, relaţia:„ .,1-(1 + 0"Λ

anl= (1 + 0 -------:------

389

Rezultă:r Ani -TV an.ri (12)

e) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate, perpetue, amânate în cazul când este perpetuă, însă amânată r ani, valoarea actuală va fi:

v''"1rA»i = T- —— (13)i

f) Valoarea fina lă a unui şir de anuităţi anticipate, constante, temporare, amânate

0 1 2 r r+1 n-l n --------1 1----- 1-------------------------- 1--------1------------------- 1--------- f

T T T rSn iVom nota valoarea finală a şirului de astfel de anuităţi cu rSn\ Prima plată se

face deci la momentul r, iar ultima la momentul n - 1. Avem conform schemei de mai sus:

rS„i= Γ(1 + ϊ)"-γ +Γ(1 + 0 'Κγ+1) +... + Γ(1 + ϊ) =

= r ( i +i)[(i+Ο""'1 + - + ( ί+0+ 1]=(1 + ,·)'·-'· _1 sau

= Γ(1 + ί ) ^ —! ------ -i

γ5„ι =Γ (14)ExempluCare este valoarea finală a unui şir de 10 anuităţi anticipate, a 2.000 lei

fiecare, prima plată facându-se după 5 ani, cu procentul 5%?Avem: n - r = 10, r = 5, n = 15.55isi = 2.000· Si ol = 2.000-13,206787 = 26.413,57 lei

3.3. Plăţi eşalonate fracţionateSe numeşte plată eşalonată fracţionată constantă, plata eşalonată în care

Trata anuală T este împărţită în k plăţi egale fiecare cu rk = —, plătindu-se lak

începutul sau sfârşitul perioadei după cum plata este anticipată sau posticipată. Dacă plata eşalonată este temporară imediată atunci numărul ratelor sau al termenelor este k„ . O asemenea plată se spune că este fracţionată de k ori pe an.

a) Valoarea f ina lă a unui şir de plăţi eşalonate posticipate temporare, imediate, fra cţiona te de k ori p e an.

Vom nota această valoare . Presupunem că la sfârşitul fiecărei perioade

se depune suma rk~~£·

390

Avem: S - ? = —( i Λ 1+2*.

n*-l γ + —( i λ i +Ijl

»1 k k k \ k , k ,_ τ ( 1+ λ Γ - ι

k Λ /

nk-2 T+... Η--- --k

sau S y = T

nkl + % \ -1

Jk

Ştim însă că:/ ; \k 1+Δ. = l + i deci

^(*) _ ţ (1 + 0 " -1 _ t (l + O" -1 i= T-

de unde:

s y = Γ·— .JH »I jk -I

(1)

Factorul se găseşte calculat în tabelele financiare.

Aplicaţii1. De ce sumă de bani va dispune o persoană dacă depune la bancă timp de 15 ani câte 2000 u.m. la sfârşitul fiecărei luni, procentul fiind 5%?

Avem T= 12 x 2000 = 24 000, n = 15, k = 12, de unde:

$<!»*24.000 · — = 24.000· 21,578563· 1,022715 =15l 0,05 j n

=529649,3 u.m.2. Ce sumă va trebui să depună o persoană la bancă la sfârşitul fiecărei luni timp de 10 ani cu procentul de 5% pentru a dispune de suma de 70.000 u.m. ?

Avem: n = 10, k = 12, = 70.000

T= 12 r i2 (r]2 este rata lunară) deci:(1,05)10 -1 0,0570.000 = 12r12

70.000

0,050,05

J 12

(1,05)'° -1 70.000 0,1295045r\2-· 12-0,05

j\212-1,022715

= 453,481 u.m.

391

b) Valoarea actuală a unui şir de plăţi eşalonate posticipate, temporare, imediate, fracţionate d e k ori p e an

înmulţind valoarea finală cu factorul de actualizare (1 + 0 ” obţinem:nl

Û^) = T-—(i + i r n -^ = T -—a-, (2)"I Jk "I Jk "I

AplicaţieCe sumă trebuie depusă astăzi cu procentul de 3,5% pentru a putea încasa

timp de 5 ani câte 500 u.m. la sfârşitul fiecărui luni ?Avem: n = 5, k = 12, r[2 = 500, T= 12 x 500 = 6000

i _ ί πί^~5 π n is û (- 2)- 6000· = 6000·4,5150523■ 1,0159415 =

5 0,035 y12= 27522,17 u.m.c) Plăţi eşalonate perpetu e posticipate imediate, fracţionate d e k ori p e an.

Făcând în (2) « —> , se obţine:(3)

h ‘ Jk JkAplicaţie

Ce sumă trebuie depusă astăzi cu procentul de 3,5% pentru a putea încasa perpetuu câte 300 u.m. la sfârşitul fiecărei luni ?

Avem: T = 12-300 = 3600 u.m./J(12) 3600 3600 1 r\AAC\H OA«Ü - ------ =-------------- = 104496,84 u.m.

yI2 0,0344508

d) Plăţi eşalonate temporare posticipate amânate, fracţionate d e k ori p e an.Valoarea finală a unui şir de plăţi eşalonate posticipate limitată la n ani dar

amânată r ani şi fracţionată de k ori pe an va fi:

r ^ » = r ( l ± i Ţ l . ± sau "I i Jk

r S y = T ~ A - (4)"I Jk Η

deoarece prima sumă se plăteşte după r ani la sfârşitul fiecărei perioade.AplicaţieSă se calculeze de ce sumă se poate dispune peste 10 ani dacă se depun

trimestrial câte 2000 u.m. posticipate începând cu anul al cincilea; procentul fiind de 5%.

Avem: n = 10, r = 5, r4 = 2000, T = 4 r = 8000 u.m.

392

5 «S'10!ί5?=7'-— λ— ; = 8000- 1,055 1 ° ’05

J 4 10-5 0,05 j 4= 8000-5,52563-1,018559 =

= 45025,44 u.m.

e) Valoarea fina lă a unui şir de plăţi eşalonate anticipate, imediate, fracţionate de k ori p e an.

Presupunem că rata anuală este T iar la începutul fiecărui an se depun câte % u .m .

Avem:

stk)= - 1 + Jk\nk ί ; \ nk~l

+ - 1 + Jk + ... + : 1 + Jk

i +Zl. νλΑγ-Ι

1 +Jk + ... + 1 i+ A1 +

. \nkJ k λ -1

= r-j k

_ ţ (1 + 0" -1 i 1 + Â{ k ) 1 Jk l k J

Λk

, adică

Jk1+Δ- A~in\ (5)

FactorulJ k

1 + J k este calculat în tabelele financiare.

AplicaţieDe ce sumă se va dispune peste 10 ani dacă se depun la începutul fiecărei

luni câte 200 u.m. cu procentul de 5% ?Avem:

5 ^ 2 4 0 0 - ^ 1 ^ 10 0,05 y12

= 30970,43 u.m.

1 +0,05J\2

= 2400 · 12,577892 · 1,0259547 =

4. împrumuturiTeoria g en era lă a împrumuturilor. Relaţii între d iferitele e lem en te ale

unui împrumut. în tocm irea unui tabel de amortizare

Ne vom ocupa în cele ce urmează de împrumuturile obişnuite, adică acelea care nu comportă decât un singur împrumutător (bancă, C.E.C. etc.)

în sistem clasic, împrumutul va fî rambursat prin anuităţi constante formate

393

din: rambursarea unei părţi a datoriei şi dobânda asupra sumei rămase de plată.Sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma

împrumutată se numesc amortismente.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipateVom nota:• V0 = suma împrumutată la momentul iniţial;• Tj, T2, ..., T„ anuităţile succesive, prima fiind plătită după un an de la

semnarea contractului, a doua un an mai târziu ş.a.m.d. (este vorba de anuităţi posticipate);

• Q i , Q 2, ···, Qn amortismentele succesive conţinute în prima, a doua, ..., a n-a anuitate;

• i = dobânda unitară a împrumutului;• n = durata rambursării.Dacă descompunem în fiecare an anuităţile în amortismente şi dobânzi, se

poate construi un tabel ca cel de mai jos, având în partea stângă descompunerea anuităţilor succesive, iar în partea dreaptă suma necesară de plată, după plata fiecărei anuităţi. Pornind de la acest tabel, vom stabili relaţiile între diferitele

emente a le unui împrumut obişnuit.momentul Anuităţile Suma rămasă de plată

0 II

1 Ti = Qi+di = Qi+Voi V, = Vo-Q,2 T2 — Q2+d2 = Qi+Vii V2 = V1-Q2

. . .

P Tp = QD+d0= Qp+Vp.,i Vj> = Vp-rQp_ />+! Tp+i = Qp+i+d„+i = Qp+i+VJ + II IP +

n Tn = Qn+dn= Qn+Vn-lï J i —i k i L · ? _______

Observaţii:1°. Acest tabel este valabil oricare ar fi legea de anuităţi pentru care nu s-a

formulat nici o ipoteză.2°. V„ fiind nul, rezultă că:

Vn., = Qn,adică ultima sumă rămasă de plată este egală cu ultimul amortisment, şi

T„ = Qn + V„.]i = Qn + Qni = Qn (1+i) adică ultima anuitate este egală cu ultimul amortisment plus dobânda corespunzătoare.

a) Relaţia între suma împrumutată şi amortismente Adunând membru cu membru partea dreaptă din tabel, găsim:

V0 = Q i + Q 2 + — + Q n ( 1 )adică suma împrumutată V0 este egală cu suma amortismentelor.

b) Relaţia între anuităţi şi amortismenteDiferenţa dintre două anuităţi consecutive Tp, Tp+i este:

394

Τρ+1 Tp - Q p+l+Vpi Qp Vp-\ i-

= QP+l + (Yp-i - Qp )i - Q P~ v PJ = Qp+i - Ö d+0deci Γρ+1-Τ ρ = β ρ+1- β ρ (l + o (2)formulă valabilă oricare ar fi legea anuităţilor.

Distingem următoarele situaţii:1°: Dacă anuităţile sunt constante T/ = T2 = ... = T„ = T

obţinem Tp+, - T p - 0, adicăßp+i = Qp(l+0 (3)

Relaţia precedentă ne permite să enunţăm următoarea lege de amortisment: dacă anuităţile sunt constante, amortismentele formează o progresie crescătoare cu raţia 1 + i.

Putem deduce în acest caz:QP+, = Q ,(l+ if (4)

2°. Dacă amortismentele sunt constante, adică Q\ = Q2 = ... = =Q„= — ,n

obţinem:

Tp+l -T p = Qp+l - ß p( 1 + 0 = Qp - Qp(1 ■+ 0 = -Qpi = de unde

Tp+l=Tp - ^ i (5)n

relaţie din care rezultă că anuităţile succesive formează o progresie aritmetică cu• V0 . raţia — - i

nîn cazul când anuităţile sunt constante, din formulele (1) şi (4) obţinem

V0 = a + β , (1 + 0 +... ■+ ßi d + O""' = ß, — — Γ- = ß, ini

Avem deci în acest caz următoarele relaţii între suma împrumutată şi primul amortisment

Vo = Q\ «ni sau ß i = Vo— (6)Snl

Vom arăta că expresia - î - se poate calcula cu ajutorul lui —— care ştim că S i α ίn ! n !

se găseşte în tabele.

395

într-adevăr:1 i i(l + i)

- i adică

S n l ( 1 + 0 " - i i — ( 1 + 0 '

i(l + Q-"-i + i _ t i - ( i+ 0 " " " i - ( i+ 0 " n

J _ = - L - « (7)Sn1 a nl

c) Relaţia între anuităţi şi suma împrumutată

Presupunem cazul anuităţilor constante şi egale cu 7.Din echivalenţa între suma împrumuată V0 şi suma anuităţilor actualizate

rezultă:V0 = 7(1 + O"1 + 7(1 + O"2 +... + 7(1 + i)~n =

1-v" i l - v n = 7 -—— (1 + 0 =7v-

1 -v j __ 11 + i

_ Ţ 1 1 -d + Q-" _ r l - ( l + Q-"1 + i i i

1+iadică Vo = 7 a„i (8)

şi T= V0 — (9)°nl

d) Suma rambursată după plata a p anuităţiNotăm cu Rp suma rambursată în primii p ani. Evident că:

r p =Qi + 0 2 + . . . + G , = 0 : + e , a + o + . . . + a a + i ) p' 1(anuităţi constante şi deci amortismentele în progresie geometrică), adică:

Kp = ßlSn1 (10)relaţia dintre primul avertisment şi suma rambursată în primii p ani.

Ţinând seama că Q\ - Vb—* > rezultă că:Snl

Rp ~ V 0 — - J p i (11)Sn1

relaţie care dă legătura dintre suma rambursată în primii ani şi suma împrumutată.

396

e) Calculul sumei rămasă de plată după plata a p anuităţi Această sumă este Yp; avem:

Vp =V0 - R p = V0 -V 0 — snl = V0 f î lZ f j î l -Snl Snl

a + o " - a + i r " i - ( i+ o _<B_,,).......— Vq — Vn —————— sâu .

(î + O - i i - ( i+ 0 " n1 _Π + Λ-('|-Ρ) i 1

V = VQ-—i i —i i--------------- ------- = Pq·α' 0 ί 1 — (1 + 0 ” n'pl anl

deci

v>=v° - r a~’ ί (12)nl

f) Legea urmată de diferenţele su cces iv e ale dobânzilor Ne situăm tot în cazul anuităţilor constante:

T = Qi +d{ d x —T{ —

T = Q2+d2 d 2 — T2 Q2T = Q3 + dş dş = Tş —QşT = Q4 + i/4 î/4 = 7*4 — β 4

T = Qn +dn d n -T n - QnAvem:di - dz = Q.2 - Qi - Qi(l+i) - Qi = Qii d2- d 3 = Q3- Q 2 = Q i(l+ if - Q,(l+i) = ß/i(i+0d3- d 4 = Q4- Q 3 = Q i(l+ if - ß/f/+i/ = ß/i(/+02

Se observă că diferenţele di - d 2, d2 - d3, d„.i - dn formează o progresie geometrică crescătoare având primul termen egal cu ß/i şi raţia 1 + i.

întocmirea tabelului d e amortizare Tabel de amortizare

AniiSuma datorată

la începutul perioadei

Doblnda dpAmortismentul

. _ Qp

Anuitatea

Suma datorată la sfârşitul perioadei

v„1 V0 di = Voi Q. T

ăI0>II >

2 V, d2 = V,i q2 T v 2 = v , - q2· · · . . . · · ·

n - l Vn-2

*C>II■0 Qn-I T V„-l = Vn-2 - Qn-1n v„., d„ = Vn.1i Qn T Vn = Vn.i- Qn =0

397

Exemple1). Banca agricolă acordă unei întreprinderi un credit de 1.000.000 lei care

urmează a fi rambursat în 6 ani, cu procentul de 6% prin anuităţi constante posticipate.

Se cere:a) valoarea primului şi ultimului amortisment;b) valoarea anuităţii constante.

Soluţie:1 1 (a) ß i = Vb- — adică Q1 = 1.000.000- — =1.000.000

S n] S6l V

— -1 a6l

= 1.000.000 (0,20336263 - 0,06) = 143.362,63 lei06 = ß i ■ (1+i)5 = 143362-1,065= 143.362-1,338226= 191.851,588 lei

b) Γ= Vo~— adică T = 1.000.000- — = 203.362,63 lei a»l a6l

2) O persoană împrumută o sumă de bani pe care urmează să o ramburseze în 6 ani prin anuităţi constante posticipate. Suma primelor două amortismente este egală cu 9.226,63 lei, iar suma dintre al doilea şi al treilea amortisment este egală cu 9.559,69 lei.

Să s e ca lcu leze :a) procentul p al împrumutuluib) primul şi ultimul amortismentc) anuitatead) valoarea împrumutului Soluţie:a) Avem:Qi + 0.2 = Qi + Qi(l+i) -Qi(2+i) = 9.226,63 lei Qi + ß j = Q id+ if = Q,(l+i)(2+i) = 9.559,69 lei

prin împărţire găsim:9 559 691 + i — —-----’■— = 1,04 adică i = 0,04 şi p = 4%9.226,63

b) Din β ,(2+i) = 9.26,63 obţinem:

Λ 9.226,63 , . .q =------------- 4 .522,86 lei1 2,04

06 = βι(1+05 =4.522,86-1,045 =5.502,75 leic) Anuitatea T o putem obţine având în vedere că ea reprezintă ultimul

amortisment plus dobânda corespunzătoare.T= 06(1+0 = 5.502,75 -1,04 = 5.722,86 lei

398

d) Determinarea sumei împrumutate V0- folosind primul amortisment:

Vo =Qi ini adică V0 = 4.522,86- $„] = 30.000 lei- folosind anuitatea:

v0 = T-an\ adicăV0 = 5.722,86- a„i = 5.722,86-5,2421368 = 30.000 lei- descompunând prima anuitate obţinem:

T=Q1 + V0ide unde

T — Q 5.722,86-4.522,86v0 =-----— =------------------------ = 30.000 lei0 i 0,04

3. O persoană a împrumutat suma de 5.000 lei pe care urmează să o ramburseze în 4 ani, cu procentul de 4%, prin anuităţi posticipate comportând amortismente egale.

Să se întocmească tabelul de amortizare corespunzător.V0 = 5.000, n = 4, p = 4%

ß = - = 1.250. n

Tabelul d e amortizare va fi:

Anii

Suma de plată la

începutul anului

Dobînda Amortismentul Anuitate

Suma de plată la sfârşitul anului

1 5 .000 200 1.250 1.450 3 .7502 3 .750 150 1.250 1.400 2 .5003 2 .5 00 100 1.250 1.350 1.2504 1.250 50 1.250 1.300 0

2. împrumuturi cu anuităţi constante cu dobânda plătită la începutul anului La semnarea contractului se plăteşte dobânda pentru primul an, suma reală

primită nefiind V0 ci V0 - Voi; pentru fiecare din anii următori, dobânda se calculează asupra sumei rămase de plătit şi se plăteşte în acelaşi timp cu amortismentul.

Tabelul utilizat pentru împrumuturile obişnuite, utilizat la început, trebuie modificat astfel:

399

momentele Anuităţile Suma rămasă de platăoo>

Suma efectiv primită V0-V0i=V0(l-i)1 Ti=Qi+Vj i cu V, = Vo-O.2 T2=Q2+V2l CU v 2 = v ,-q2

PTp=Qe+Vpi cu Vd = Vd.,-Qp

Tp+i=Qp+i+Vp+|i cu V p + i = V p - Q p + i

n-l T n - l = Q n - l + V n _ [ i CU Vn-1 = Vn.2-Qn-1n Tn=Qn+Vni CU

OIIcO'1c>IIc>

ObservaţieDin V„ - O rezultă că ultima anuitate nu conţine decât ultimul amortisment. Dacă formăm diferenţa dintre 2 anuităţi consecutive de rang oarecare, obţinem: Tp+1 ~TP = Qp+1 ~Qp +Vp+[i -V pi = Qp+X -Q p +

+ (Vp - ô p+1 )i — V i = (1 — OQp+i - Qp Dacă anuităţile sunt egale Ti = T2 = ... = Tn = T avem:

Qp+i = ~Λ 7 Qp1 - i

Notând 1 = l + r1 — i

obţinem Qp+\ = Qp(\+r) (13)In sistemul de împrumut cu dobânzile plătite anticipat, dacă anuităţile sunt

constante, amortismentele formează o progresie geometrică cu raţia (1 + r), unde

'■ = —— · (14)1 ~iExemplu:Un împrumut de 40.000 lei este rambursabil în 5 ani prin anuităţi constante,

cu dobânzile plătibile la începutul anului, procentul fiind 5%.1) Să se calculeze primul amortisment;2) Să se calculeze al cincilea amortisment;3) Să se calculeze anuitatea;4) Să se întocmească tabelul de amortizare.Soluţie'.1) Suma amortismentelor fiind egală cu suma împrumuată, putem exprima

primul amortisment Q\ în funcţie de suma împrumutată şi de r astfel

Q , = V r(l + r)n- l

unde r = ■ 0,051-/ 0,95

400

Rezultă: β, = 40.000·- 9-i-05— ~ -- == 7.201,04 lei1 1,05263152 -1

2) Qs = ßi(l+ r)4= 7.201,04-1,0526315 = 8.841 lei3) Din faptul că anuitatea este egală cu ultimul amortisment, rezultă că

Γ = β 5 = 8.841 lei Acelaşi rezultat se poate obţine de la prima anuitate:

Γ= ß i + VW = 7.201,04 + (4.000-7.201,04)-0,05 = 8.841 lei4) Vom întocmi tabelul de amortizare, sumele fiind rotunjite către cel mai

apropiat întreg.________ _______ ________________ ________Anii Suma de plată la

sfârşitul anuluiAmortis

menteDobânda la începutul

anului

Anuităţi Sumarămasă

0 40 .000 - 2.000 - -

1 40 .000 7.201 1.640 8.841 32.7992 32.799 7 .580 1.261 8.841 2 5 .2 193 2 5 .219 7 .979 862 8.841 17 .2404 17 .240 8.399 442 8.841 8.8415 8.841 8.841 - 8.841 0

PROBLEME1. O sumă de 5000 u.m. este plasată într-un cont cu un procent anual de 12%.

Care va fi suma disponibilă peste 72 de zile?Dar peste 6 luni? Dar peste 1 an?

Rezolvare:Avem: So=5000 u.m.

p= 12%Dacă durata plasamentului este t360=72 zile, avem:

D=Ş o ^ = 5Q001 2;72 = i 2 o M m

36000 36000 iar suma disponibilă după 72 zile va fi:

St=So+D=5000+120=5120 u.m.Dacă durata plasamentului este ti2=6 luni, avem: d = 5 A = 500012^ = 300am

1200 1200 iar suma disponibilă după 6 luni va fi:

St= So+D= 5000+300= 5300 u.m.Peste un an, dobânda obţinută va fi:„ S0p t 500012D=------=-----------= 600 u j t l

100 100 iar suma finală:

St= So+D= 5000+600= 5600 u.m.

401

2. Ce sumă a fost plasată cu dobândă simplă pe data de 15 aprilie cu procentul anual de 5% pentru a putea dispune la 20 iulie acelaşi an de suma de 10000 u.m.?

Rezolvare:Avem: St = 10000 u.m.

p= 5%Durata plasamentului este:

aprilie 30-15 = 15 zilemai 31 zileiunie 30 zileiulie 20 zile

96 zile

S.=So _ -----Ş,-----=_100 œ _=987t6 6 u.m,36000J ° 1 + _p^o_ n 5 %

36000 36000

3. Să se determine scadenţa sumei de 30000 u.m. care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de:

32000 u.m. pe timp de 100 zile 10000 u.m. pe timp de 142 zile 68000 u.m. pe timp de 50 zile 25000 u.m, pe timp de 80 zile Rezolvare:32000-100+10000· 142+68000·50+25000· 80 t= = 334 zi/e

30000

4. Să se determine scadenţa medie a unei sume care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de:

500 u.m. pe timp de 40 zile 600 u.m. pe timp de 50 zile 700 u.m. pe timp de 60 zile 800 u.m. pe timp de 80 zile Rezolvare:500-40+600-50+700-60+800-80 ^

f =-----------------------------------------------= 60 zile500+600+700+800

5. Diferenţa dintre două capitaluri este de 35000 u.m. Cel mai mare a fost plasat 6 luni cu 5%, iar al doilea 4 luni cu 6% conducând la o dobândă simplă totală în valoare de 2000 u.m.

402

Care sunt cele două capitaluri?Rezolvare:Soi-So2= 35000

_ ^oiPi i2 _ 5οι ·5 ·6 _ 30·501 _ 5 ·501 1 “ 1200 ~ 1200 ” 1200 ~ 200

_ SgiP ihi _ 02 ’ ' 4 _ 24 · S02 4 · Sq22 ~ 1200 ~ 1200 " 1200 “ 200

Di+ D2 = 2000 ÎS01 - S 02 =35000

1 2 => 9Soi = 540000 => Soi = 60000 u.m.[5S01 +4S02 =400000

So2 = Soi-35000 = 25000 u.m.

6. Două capitaluri a căror sumă este de 40000 u.m. sunt plasate cu dobândă simplă astfel:

primul 60 de zile cu 4%, iar al doilea 80 de zile cu 6%Dobânda primului este dublă dobânzii celui de-al doilea.a) Determinaţi cele două capitaluri şi dobânzile lor.b) Câte zile ar trebui să fie plasate simultan cele două sume pentru ca diferenţa

dintre valorile lor finale să fie de 25000 u.m.?Rezolvare:

50i · 4 · 60 2S0136000 300

Sq2 ' 6 180 _ 45q236000 300

S01 + SQ2 — 40000

s m =4iS02=> 5So2 = 40000 => So2 = 8000 u.m.

Soi = 32000 u.m. => Soi = 32000 u.m.„ 2501 2-32000 D. =—— = = 2133 u.m,

300 300= 213,3 u.m.

300 300= 106,6 u.m.

b) Sti - St2 = 25000 u.m.

403

Sti- St2 = 25000 =>Soi (36000 + 4t) - S02 (36000+6t) = 25· 36· 106=> => t(4Soi- 6S02) = 36000· 25000 + 36000 (S02-S01)

_ 3600C(25000+ Sm - S01 ) _ 3 6 000 -1000 _

4S 01 — 6Sm 80000= 4 5 0 zile

7. Trei sume în progresie aritmetică sunt plasate 6 luni cu dobândă simplă cu un procent anual de 10 % . Dobânda totală este de 1 2 0 0 u.m., iar diferenţa dintre a ΠΙ-a sumă şi prima este de 1000 u.m.

Determinaţi cele trei sume.Rezolvare:Soi, S02 = Soi+r, S03 = Soi+2r

_ Sqi ·10·6 β _ S02 -10-6 p _ 03 ·10·61 1200 ’ 2 1200 ’ 3 1200 ’

DX + Dj + Dj = 12 0 0

03 ~ s m — 1000S03-S01 =1000 => 2 r= 1000 => |r = 500

Deci S02 = S01+ 500S03 = S01+ 1000

D, + D2 +D, = 1 2 0 0 =» £ L ( Sm + i 02 + S„,)= 12 0 0 =»

=> 60 (Soi + S01+ 500+ S01+ 1000) = 12· 12- IO4 3Soi + 1500=2· 12- 104= 24000 3Soi= 24000-1500= 22500 =» 5 = 22500=7500

01 3 Deci: Soi= 7500 u.m.

So2= S01+ 500= 8000 u.m.So3= S01+ 1000= 8500 u.m.

8. Se plasează 10000 u.m. pe 3 ani cu 5%, apoi pe timp de 2 ani rata devine 6%, iar pe următorii 5 ani rata va fi 7%.

Care va fi suma obţinută la sfârşitul celor 10 ani?Rezolvare:

S = 10000(1 + 0,05)3 · (l + 0,06)2 · (l + 0,07 )5 =

= 10000 1,053 · 1,062 1,075 = 10000 1,157625-1,123600 ·•1,402551 = 18243,085u.m.9. Se plasează pe 5 ani o sumă de 9000 u.m. cu 3%. La sfârşitul primului an se adaugă 1000 u.m., la capitalul constituit. Care va fi capitalul final la capătul celor 5 ani, ştiind că rata dobânzii devine 6% începând de la sfârşitul anului al III-lea?

404

Rezolvare:S = 9000 · (l + 0,03)3 · (l + 0,06)2 + 1000(l + 0,03)2 (l + 0,06)2 =

= 9000-l,033 · 1,062 + 1000-1,032 -1,062 *= 9000 · 1,092727 · 1,123600+1000 · 1,060900 · 1,123600 == 11050,092 +1192,027 = 12242,119 u.m.

10. O datorie se eşalonează pe timp de 15 ani, plătindu-se în acest scop la sfârşitul flăcărui an suma de 10000 u.m. cu procentul anual de 5%.

Care va fi valoarea finală a operaţiunii şi care ar fi valoarea actuală a acesteia? RezolvareAvem: T = 10000 u.m.

n = 15 anii = 0,05

^ - ,= 7 · ·^ -^ = 100001,Q5i5 ~1 =10000 2,Q789— = 2157855 u.m."I i 0,05 0,05

^ = 7 . 1 ^ = 1 0 0 0 0 . 1 2 ^ = 1 0 0 0 0 .1 ^ 1 0 1 7 ="I i 0,05 0,05

= 10000-10,37966 = 103796,6 u.m.

11. Un imobil a fost evaluat la valoarea de 2· 108 u.m. la sfârşitul a 10 plăţi anuale anticipate constante şi cu un procent anual de 7%.

Cât s-a plătit anual pentru a ajunge la valoarea considerată şl care a fost valoarea iniţială (de vânzare) a imobilului?Rezolvare:

η ! S - l ίu —1 «S - ^ T u -------- => T — ţ -1 - λ

"I i u\u - l )

2 -108 -0,07 _ 0,14-108 _ 14-106 _ l,07(l,0710- l ) _ 1,07(1,967151-1)" 1,07-0,967151 "

14-IO6 = 13528517 u.m.1,034851

1 v n 1 —1 0 7 -10A-. = T ———(l + i)= 13528517-—— ----- 1,07 =

"I i v ' 0,071 _ o ^08^40

= 13528517 · - ....· 1,07 = 13528517 · 7,5152366 =0,07

= 101463877,5 u.m.

405

12. Cu o amânare de 5 ani s-a stabilit începerea plasării anuale anticipate a unei sume de câte 10000 u.m. în vederea strângerii unui fond de investiţii, cu un procent anual de 6% şi o perioadă de 9 ani.

Care va fi valoarea finală a fondului acumulat şi cât ar fi valoarea acestuia la data convenirii strângerii lui, dacă s-ar pune problema să fie atunci disponibil? Rezolvare:

r = 5 n - r = 9 i = 0,06 T = 10000

rS-, = T(l + i — — = 10000-1,06 ■ 1,Q6-~ -- = 121807,94u.m. «I v ’ i 0,06

rA- = Tvr (l + i ) 1~(1 + i )-----="I i

= 10000 -1,06-5 · 1,06 ·1-1 ,06 = 53876,06 u.m. 0,06

13. Părinţii unui copil de 5 ani doresc să-i prevadă de acum studiile universitare, adică să-i asigure 20000 u.m. imediat şi anticipat anual timp de 5 ani începând cu vârsta de 19 ani.

în acest sens, intenţionează să-i depună la fiecare aniversare începând cu 5 ani şi până la 18 (deci 14 ani consecutiv) aceeaşi sumă cu un procent anual de 7% pentru toate operaţiile.

Ce sumă anuală posticipată va trebui să depună? Care este fondul disponibil la împlinirea vârstei de 19 ani şi deci a primei cheltuieli din acest fond?Rezolvare:Calculăm fondul necesar la începutul studiilor:

A -= T — — (l + i)= 20000 1,0 - ■) -1,07 = "I z ’ 0,07

= 20000·-1~Q’-7 -^98-6 -1,07 = 87744,28 u.m. 0,07

A-. = S = fondul la împlinirea vârstei de 19 ani«I n|

ς x « " - l - S H-i 87744,28-0,07s = r T~ ^ γ = 1 7 ^ Γ ' Ί ; ο7 · ' - ι =

= « 1 ^ = 2382 2,578534

406

Deci Γ = 2382 u.m.

14. Pentru cumpărarea unui anumit utilaj se face un împrumut care se amortizează în 10 ani prin anuităţi constante posticipate. Ştiind că al treilea amortisment este de 2103,7 u.m., iar al şaselea este de 2435,29 u.m., să se calculeze :

a) procentul împrumutului ;b) suma împrumutată ;c) anuitatea constantă ;d) datoria rămasă după 5 ani de plată.

Rezolvare:a) Q3 = 2103,70; Q6= 2435,29

Ql = ß if l + I')3 _ n j . a 3ß 3 α σ + ο 2

, 2 =( i + 0

Rezultă că: (1 + 0 -------- ’— = 1,157625 => i = 0,05=» p = 5% 2103,70

b)

l

Qx = - - 3 - = 21° 3,7· = 1908,11 u.m.1 (1 + 0 U025

V0 = 1908,11 ·1,0510 "-1 = 1908,11 ·-1,6- --8 -— 1 = 23999,97u.m. 0 0,05 0,05

c) v oi = 23999,97 · 0,05 _ 23999,97 - 0,05 _

~ 1 - (1 + 0 _" ~ 1 - 1,05"10 1 - 0,613913 23999,97 0,05 = 3108,10 u.m.

0,386087d)

p 0 l - ( l + 0""

V5 = 23999,97 · 5--5- = 23999,97 · 5 1 -1,05 1-0 ,613913

= 23999,97 · —Z16-4--4- = 13456,47 u.m. 0,386087

407

15. Un împrumut în valoare de 500000 u.m. trebuie rambursat în 5 ani prin anuităţi posticipate, cu un procent anual de 5,5%. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul în care amortismentele sunt egale.Rezolvare :

Anii Suma la începutul

anului

Dobânda Amortismentul

Anuitatea Suma rămasă de plată

1 500000 27500 100000 127500 4000002 400000 22000 100000 122000 3000003 300000 16500 100000 116500 2000004 200000 11000 100000 111000 1000005 100000 5000 100000 105000 0

ß, = 02 = 03 = 04 = ß 3 = j = = 100000

16. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul împrumutului din problema precedentă, dacă rambursarea se face prin anuităţi egale.Rezolvare:

Anii Suma la începutul

anului

Dobânda Amortismentul

Anuitatea Suma rămasă de plată

1 500000 27500 89588 117088 4104122 410412 22573 94515 117088 3158973 315897 17374 99714 117088 2161834 216183 11890 105198 117088 1109855 110985 6104 110985 117088 -

408

CAPITOLUL VII

OPTIMIZAREA GESTIUNII STOCURILOR

Modele deterministe şi modele modele aleatoare

Introducere. Prin stoc înţelegem o rezervă de bunuri materiale destinate vânzării sau folosirii în procesul de producţie. Astfel putem întâlni stocuri de mărfuri, de materii prime, de piese de schimb, etc.

Constituirea stocurilor presupune cheltuieli de aprovizionare sau producţie, cheltuieli de stocaj (depozitare, întreţinere, etc.) pierderi prin deprecierea mărfurilor şi altele. Orice gestiune de stoc presupune intrări în stoc sau aprovizionări (imputs) şi ieşiri din stoc (outputs), acestea putând avea un caracter cert (determinist) sau aleator.

Deciziile ce se iau în organizarea ştiinţifică a stocurilor au la bază un criteriu de optim, determinat de politica economică, aceasta fiind de obicei costul global minim. Menţionăm că se numeşte politică optimă activitatea de management a stocurilor care implică un cost total minim. Elementele unei politici optime sunt: nivelul optim al stocului, volumul optim de reaprovizionare, perioada optimă de reaprovizionare, numărul optim de reaprovizionări, etc.

In concluzie prin gestiunea ştiinţifică a stocurilor se urmăreşte fundamentarea deciziilor privind conducerea procesului de consum-aprovizionare. în acest cadru un rol important îl are stabilirea pe baza unor modele economico-matematice a nivelurilor stocurilor şi a momentelor la care se face reaprovizionarea.

Se poate spune că un model de stoc reprezintă un instrument cu ajutorul căruia se minimizează volumul de fonduri ce se imobilizează în procesul de stocare şi în acelaşi timp se asigură continuitatea procesului de producţie sau de desfacere. Menţionăm că probleme se pune şi în sensul satisfacerii cererii consumatorilor, adică a maximizării venitului net ce rezultă din activitatea de desfacere a produselor.

în cele ce urmează vom prezenta câteva modele de stoc deterministe precum şi două modele aleatoare.

§.1. Modele deterministe.Modelul 1. Gestiune (stoc) cu perioada fixă, c e r e r e constantă şi Jară

posibilitatea lipsei d e stoc.Considerăm gestiunea unui stoc de cantitatea Q pe un interval de timp θ , cu

aprovizionări la perioade fixe T, de cantitate conform cererii constante q, în care presupunem că se cunoaşte costul unitar de stocaj c s, costul de lansare a unei comenzi c h că lansarea comenzii se face în timp util şi aprovizionarea se face în momentul în care s-a epuizat stocul s. Se presupune de asemenea consumul de stoc ca fiind uniform (cu variaţie liniară) şi că nu admite lipsa de stoc.

409

O astfel de gestiune se prezintă în figura 1.

Pentru modelarea acestei gestiuni, vom lua drept criteriu de optim costul total minim.

Din datele problemei, rezultă că pentru fiecare perioadă T avem următoarele cheltuieli:

c \ + Y < l- c s -T (1)

deoarece în medie, în stoc, se va afla cantitatea — ·2

Perioadele fiind egale, avem pentru numărul aprovizionărilor v, egalităţile:

(2)v = e = 0q T

Costul total se obţine înmulţind cheltuielile corespunzătoare unei perioade cu numărul de perioade adică:

( 1 ^C (? )= C \ + -q - c s 'T -v (3)

V jDin (2) şi (3) se obţine pentru costul total o funcţie de o singură variabilă q

căreia îi putem determina minimul;Avem:

C(q) = -Q ci+ \ q cß q 2

şi CXq) = - \ Q Cl+ U c sq 2

respectiv:

c ' = 7Qc\

(4)

(5)

(6)

410

<7>şi cum C (q) > 0 , extremul este minim ( din considerente economice luăm pentru

q numai valori pozitive).înlocuind valoarea optimă a unei comenzi q , dată de (7), în (2) obţinem

numărul optim de aprovizionări, adică:7c~

(8)

Din (2) şi (8) rezultă valoarea optimă pentru T:

Notând cu q soluţia ecuaţiei obţinute prin anularea expresiei (5), avem:

(9)

Gestiunea optimă se determină înlocind în (4) pe q cu valoarea optim q , adică:

C ( i ) = - ß c , + ^ c , e q 2

care după înlocuirea lui q din (7) devine:

C = ^ 2 Q ec lCs (10)Exemplu. Serviciul comercial al unei fabrici de pâine trebuie să asigure lunar

1,5 milioane kg. faină. La fiecare comandă de aprovizionare se cheltuie 5000 u.m. iar depozitarea fainii costă 1 u.m. pentru 500 kg. pe zi. Să se determine volumul optim al unei comenzi, numărul optim de aprovizionări, perioada optimă de aprovizionare şi gestiunea optimă ştiind că aprovizionările se fac la intervale egale şi că nu se admite lipsă de stoc.

Rezolvare. Avem: Q = 15 ,10 5 kg\ Θ = 30 zile, c, = 5 0 0 0 u .m .,

c , = —— u.m./kg/z i .* 500

Deci:.

2 ·15 ·105; . ^ 500.000%30·

500

411

C = JlQ c,cs = ^ 2 · 1 5 · 1 0 5 · 3 0 · 5 · 1 0 3 = 3 0 0 0 0 u.m..

Modelul 2. Gestiune (stoc) cu perioadă fixă, c e r e r e constantă şi cu posibilitatea lipsei d e stoc.

Considerăm gestiunea de la modelul 1, cu modificarea că se admite lipsa destoc, dar penalizată cu un cost de penalizare unitară cp.

Această gestiune o prezentăm în figura următoare:

Perioada constantă a fost împărţită în două perioade, perioada Ti în care stocul satisface cererea şi perioada T2 în care stocul nu mai satisface cererea (avem lipsăde stoc).

Vom alege drept criteriu de optim, costul total minim.Corespunzător acestei gestiuni, în perioada T\ se va plăti, pentru stocul mediu

1 q — s— q , costul unitar cs , iar în perioada T2 pentru stocul mediu —- — , costul unitar ^ z

CP·Rezultă că pentru o perioadă T se vor face următoarele cheltuieli:

(1)C, H— T,cs + —----- T2C1 2 2

care determină un cost total:

C{q,s) = V f ΤΛ + ψ τ 2α , λ (2)

înlocuind valoarea lui v din (2) (modelul 1) în (2) obţinem:

412

C (q ,s ) = % -cx+~TlCi- + £ -_ £ T2c - (3) q ' 2 T 2 p T w

Din asemănarea triunghiurilor formate în figura de mai sus, deducem:

Zl - £ · Zl -JL Z £T ~ q Ş1 T " q

de unde:

r , = i - r Şi r 2 = i ^ r (4)4 <7

Din (3) şi (4) rezultă:O θ Θ

C (q , s ) = ^ - c x+— s 2c s +— ( q - s ) 2c (5)q 2q 2q μ

Anulând derivatele parţiale ale lui C(q, s ) în raport cu variabilele q, respectiv s, obţinem sistemul:

= — Ţ g C | T s 2c s + ~ V (g 2 - s 2)0c = 0 (6)dq q 2 q s 2 q

^ l = ± e c , - 3 ^ e c p = 0 (7)ds q s q

Valorile optime pentru q şi s se obţin ca soluţii ale sistemului format cu ecuaţiile (6) şi (7)

Din (6) rezultă:

iar din (7) :

2 2 Qc l t ( c s + c )q = & r (8)0 0 P CP

CP

s = q T T T (9)('S CpIntroducând valoarea lui s din (9) în ecuaţia (8) şi rezolvând această ecuaţie se

obţine valoarea optimă q pentru volumul unei comenzi:

*2 2Q<i Cs +Cp

Notând:(J

p = — -£— (11)C ’T C s 1 p

413

(factorul p se numeşte factor de penalizare), formula (10) se mai poate scrie:

( 12)

Din (9) şi (12), pentru stocul optim, găsim:

(13>

Perioada fixă optimă se obţine din (2) şi (12), la fel ca şi numărul optim de apovizionări (frecvenţa optimă).

Avem:

(.4 )q y 2c ,şi:

* θ 2 0 c i 1~ 1-----L- (15)

Gestiunea optimă se obţine înlocuind în (15) valorile optime q şi s , adică:

C = p Q e c sc, . (16)

Exemplu. Necesarul anual de aspiratoare la un magazin de produse electrice este de 20.000 bucăţi. O comandă făcută costă 200 u.m. iar costul stocajului pentru un aspirator este de 1 u.m. Ştiind că aprovizionările trebuie făcute la intervale egale şi în cantităţi egale şi că lipsa aspiratoarelor din stoc se penalizează cu 5 u.m. pe zi pentru un aspirator lipsă, să se determine volumul optim al unei comenzi, stocul optim, perioada optimă de aprovizionare, numărul optim de aprovizionări şi gestiunea optimă.

Rezolvare. Datele problemei sunt: Q = 20.000 aspiratoare, Θ = 360 zile; c; = 200u.m.; c s - 1 u.m./zi.

Avem succesiv: c

CS + C p

f c sP

5, 6 ’

_ |4· IO4 -200-6Ί 360-5-1

160 aspiratoare,

414

s — q p — 160 · — = 133 aspiratoare,6

- 1 2 0 aprovizionări,

2 · 2 · 104 · 360 · 1 ■ 2 0 0 | = 48.000 u.m.

PROBLEME

1. O fabrică de confecţii realizează producţia semestrială folosind 100000 m2 ţesături de mătase. Pentru fiecare comandă de baloturi se cheltuiesc 5000 u.m. de la darea comenzii până la recepţionarea baloturilor.Ştiind că aprovizionarea se face la intervale de timp egale, cu cantităţi egale, iar costul depozitării este de 1 u.m. pentru 5m2 de ţesături depozitate pe zi, să se determine lotul cu care trebuie să se aprovizioneze depozitul fabricii astfel ca procesul de producţie să nu fie întrerupt din cauza lipsei de ţesături, numărul optim de aprovizionări, intervalul dintre două aprovizionări şi costul total al acestui program optim de aprovizionare şi stocare.

RezolvareAvem: Q=100000m2 ; Θ = 180 zile

Comanda optimă este:

5Numărul optim de aprovizionări este:

Perioada optimă de aprovizionări se calculează cu formula:

■f θ 180 o ί T = — - -----« 9 zileϋ 19

Gestiunea optimă:

2 · 105 · 180 · 5 · 103 · i = 189736,65 u.m.

415

2. Un magazin alimentar are o cerere trimestrială de 900000 pachete de unt. Pentru fiecare comandă de aprovizionare se cheltuiesc 1000 u.m., iar costul depozitării este de 2 u.m. pentru 9 pachete depozitate pe zi.Aprovizionarea se face la intervale de timp egale, cu cantităţi egale şi nu se admite lipsă de stoc.Să se determine volumul optim al unei comenzi, numărul optim de aprovizionări, perioada optimă de aprovizionare şi gestiunea optimă.

Rezolvare Avem: Q=900000 pachete ; Θ = 90 zile

2cr=1000u.m. ; c s = — u.m./pachet / zi

2Qc, _ 2 - 9 -IO5 -10= 9487 pachete de unt ,

, <2 _ 900000V ~ q 9487

= 95 aprovizionări

2·9·105·9·10·103·| = 189736,65 u.m.

416

BIBLIOGRAFIE

1. V. Bădin, C Raischi, Curs d e Matematici, vol I, Universitatea Româno-Americană, Bucureşti, 1992

2. V. Bădin, D. Vasiliu, Curs d e Matematici, voi Π, Universitatea Româno-Americană, Bucureşti, 1993

3. O. Popescu şi colab., Matematici ap lica te în e con om ie , vol I şi Π, ( Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993

4. V. Bădin, C. Raischi, Curs d e Matematici, Lito ASE, Bucureşti, 1992

5. F.G. Goald, G.D. Eppen, C.P. Schimdt, In trodu cto ry M anagement S cien ce , Pretice Hall Englewood Cliffs, N.J. 1993

6. W. Mendenhall, J. Reinmuth, R. Beaver, Statics f o r M anagem en t and E conom ics PWS, Kent Publ. Co., Boston, M.A. 1989

7. F. Hillier, G. Lieberman, Introduction to Operation R esearch , Me Grew Hill Publ. Co., USA, 1990.

8. Ion Purcaru, Matematici f inan cia re , vol. I, Editura AGER - Economistul, Bucureşti, 1992.

9. Ion Purcaru, Matematici f inan cia re , voi Π, Editura Economică, Bucureşti, 1993.

10. E.M. Certirchin, Stattisticeskie m etod i p rognoz irovan ia , Moscova, „Statistika”, 1993.

11. H. Ionescu, O Firică, E. Moscovici, P ro gram a r e liniară, vol I şi Π, Lito ASE, Bucureşti, 1972.

12. K. Thulasiraman, M.N.S. Swamy, Graphs: Theory and Algorithms, John W iley and Sons, Inc. N.Y. 1992.

13. W. Stevenson, Introduction to M anagem ent S cien ce , Homewood, IL. Boston M.A. 1989.

14. G. Ciucu, V. Craiu, A. Ştefanescu, Statistică m atematică ş i c e r c e tă r i opera ţiona le , vol I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1986.

417

15. V. Bădin, M. Enăchescu, O Firică, C Raischi, M Toma, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme. Lito ASE, Bucureşti, 1986.

16. V. Bădin, M Enăchescu, I. Săcui, C u leg e r e d e p rob lem e , Lito ASE, Bucureşti, 1985.

17. H. Taha, Operation R esea r ch - An Introduction, The Mac Millan Co., N . Y . , 1972.

18. A. Filip, S. Hoţulete, R. Niculescu, C. Socol, Woinaroschi, Curs d e matem atic i a p l ica te la e con om ie , Lito ASE, 19081.

19. Gh. Mihoc, H. Ionescu, Curs d e matematici p en tru econom iş t i , Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1958.

20. Catedra de matematică ASE, Curs d e matematici sup er ioa re , vo l II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1960.

21. N. M ihăilă, Matematici s p e c ia l e ap lica te în e con om ie , Lito ASE, 1976.

22. V. Bădin, O Firică, Curs d e matematic i p en tru econom işti , Universitatea Româno-Americană, Editura Sylvi, 1995

23. Tiberiu Ionescu Grafuri, Editura didactică 1973.

24. Ion Purcaru, Florian Berbec, Dan Sorin Matematici f in a n c ia r e ş i decizii în a fa cer i , Editura economică 1996

25. Ion Purcaru, M atematici g e n e r a l e ş i e l em en te d e optimizare, Editura Economică 1997

26. Octavian Popescu şi colectiv, Matematici ap l ica te în e con om ie , Editura didactică, 1997

27. Gheorghe Ciobanu, Vasile Nica şi alţii, c e r c e tă r i o p era ţ iona le cu aplica ţ i i în e con om ie , Matrix Rom, 1996.

28. V. Bădin, Radu Despa, Curs d e matematici p en tru econom işt i , Vol I şi Π, Universitatea Româno-Americană, Editura Sylvi, Bucureşti, 1998.

29. Despa Radu, Andronache Cătălina, Ciocănel Bogdan, Ghenciu Ioana, Tetileanu Cristina, Toropu Cristina, C u leg e r e d e p r o b l em e d e m atem atic i a p l ica te în e con om ie , Vol I şi Π, Universitatea Româno- Americană, Editura Sylvi, Bucureşti, 1998.

30. Radu Despa, Cătălina Vişan, Matematici a p l ica te în e c on om ie , Univ. Româno-Americană, Editura Sylvi, Bucureşti, 2003.

418

Matematici aplicate in economie (manuale facultate) editura universitara, univ romano americana,...

Documents

Transcript of Matematici aplicate in economie (manuale facultate) editura universitara, univ romano americana,...