Curs nr. 1 Operatii cu matrice  

)(,

21

22221

11211

RM

aaa

aaaaaa

A nm

mnmm

n

n

∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

M

MMMM

M

M

 

  Multimea matricelor cu n coloane si m linii cu elemente din R  Pentru a simplifica scrierea,  A = (aij)               1  

njmi≤≤≤≤

1

 Matrice linie si coloana  (a11 a12 ……. a1n) 

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

21

11

.

.

na

aa

A  

 Matrice patratica  Daca m=n atunci Ann este matrice patratica  

( )RMA n∈  

 Particularitatile unei matrice patratica  Diagonala principala este a11 ann, si pt suma elementelor avem notiunea de urma matricii Tr(A)  Diagonala secundara este in celalalt sens   

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

M

MMMM

M

M

21

22221

11211

 

   

Matricea unitate In  

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

100

010001

L

MMMM

L

L

nI  

 O matrice A ∈  Mn R se numeste triunghiulara daca toate elementele de sub diagonala principala sau de deasupra diagonalei principale sunt egale cu 0.  Printre operatiile cu matrice identificam :  

1) Egalitatea a doua matrice  A=B 

 2) Transpusa unei matrice  

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnnn

m

m

t

aaa

aaaaaa

A

M

MMMM

M

M

21

22212

12111

 

 

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

300400151

A         ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

341005001

At

 3) O matrice se numeste simetrica daca  

A = tA 

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

563642321

;2331

: AAEx  

 

  (aij = aji)  

4)  O matrice patratica se numeste antisimetrica daca transpusa lui A = ‐A tA = ‐A (aij = ‐aji)  

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=031302120

: AEx  

 Toate elementele de pe diagonala principala sunt 0  

5)  Adunarea matricelor Putem aduna doar matrice de acelasi tip 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛213442

001121

212321

:Ex  

 6)  Matricea 0 

patratican

nm

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0000

0;

000

000000

0 2,

M

MMMM

M

M

 

 7) Inmultirea unei matrice cu scalari 

Se inmulteste fiecare element cu scalarul respectiv 

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=⋅

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

A

λλλ

λλλλλλ

λλ

M

MMMM

M

M

M

MMMM

M

M

21

22221

11211

21

22221

11211

 

 8) Inmultirea matricelor 

Doua matrice de ordin diferit se pot inmulti daca nr de coloane de la A = nr de linii de la B Se inmulteste linie cu coloana Inmultirea matricelor nu este comutativa  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=×

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

515410

023249022046

012413

213012

)2,2()2,3()3,2(012413

213012

B

A

 

 

 Daca lucram cu patratice 

 Inmultirea cu matricea unitate  AAIIARMA nnn =⋅=⋅⇒∈ )(  

      

Exponent 

 

1)(,101

1301

1101

1201

1201

1101

1101

?1101

2,

3

2

1

≥∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

≥⋅= −

nn

A

A

A

AA

kAAAA

n

n

kk

 

2 ⋅= AA

 Examenul : 10 intrebari grila cu 4 raspunsuri si 2 – 3 probleme de rezolvat   Definitie 

 Mn( R ) se numeste inversabila daca exista o matrice B apartinand Mn( R ) astfel incat  

 se noteaza cu A‐1 

A apartineAB =BA=I  B 

1

),()(),(

−=

=⋅=⋅→∈∃∈

AB

IABBARMBRMA

nn

n

 

Exemplu: 

 

 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

=+=−−

⇒−

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=−=

⇒⎩⎨⎧

=+−=−−

⇒−

⎩⎨⎧

=+=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+=+=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

−

−

2/1 2/312

2/11

143042)2(

14302

2/32

043242)2(

04312

,

143043

0212

1001

434322

1001

4321

?432

1

1

A

ty

tyty

tyty

zx

zxzx

zxzx

tyzxtyzx

tyzxtyzx

tzyx

AA

 

⎛1

 

Determinanti 

om asocia matricei patratice un nr real notat det A sau IAI 

egula triunghiului pt calcularea determinantului 

   V R

),...1(,);( njiaA ij ∈=

( )

)(det

)(

232414321

:

)(det)(

det)(det

)(

122133112332132231231231133221332211

3

333231

232221

131211

2112221122221

1211

11111

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

RMaaaaaaaaa

A

Ex

aaaaARMaaaa

A

aARMaAAARMA n

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

→∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−=×−×=

⋅−⋅=→∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=→∈=

=

∈

 

 egula lui Sarrus R

5

102321112102321=

 

  

Fie

 

e numeste minor asociat elementului ai,j determinantul matricei obtinute din A prin eliminarea 

cest minor se noteaza cu Mij 

 )(

)( ),...1(,

RMA

aA

n

njiij

∈

= ∈ 

Sliniei i si coloanei j  

AExemplu : 

31221

11110

112102321

23

11

−==

−==→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

M

MA  

 

e numeste complement algebric al elementului   ai,j   numarul  Ai,j  = (‐1)i+j Mi,j S

( )

( ) 01212

11

11110

1 11 −===⋅−= + MMA

121221

12

111111

=⋅−=−=⋅−= + MMA 

9 complementi algebrici in acest caz.   Calculul inversei unei matrice  

 1 23 4   

 

1) Se calculeaza detA ≠ 0 deci are inversa:    1 23 4 2 0 

2 4

3) Calculam matricea adjuncta :   

·   

2) Transpusa matricii :  1 3  

1 · |4| 41 · |2| 21 · |3| 31 · 1|1|

 

 4 23 1  

4)  gaseste inversa :  

1Se

· 4 23 1

2 132

·12

12

 

  bservatie (merge numai pentru matrici de ordinul  ): O 2

≠−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= bcaddc

A 0,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=⇒

⎞⎛

−

acbd

bcadA

ba

11

 

 Inversam o matrice de ordinul 3 

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

−=⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

=

=−−

−==−==−−

−=

−=−−

−=−=−=−=−−

−=

−=−−

−==−==−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=

∃⇒≠−=+−=−−−−−−−=−−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=

−

−

−

110121111

110121111

11

det1)4

110121111

11211

)1(11211

)1(01111

)1(

12311

)1(21311

)1(11211

)1(

12312

)1(11312

)1(11211

)1(

)3

123112111

)2

)(0178)223(431111211

321det)1

111211

321

1

*1

*

633

532

431

523

422

321

413

312

211

333231

232221

131211*

1

A

AA

A

A

AAA

AAA

AAA

AAAAAAAAA

Aadjunctamatricea

Atranspusa

AA

A

τ

 

   Sisteme de ecuatii algebrice  Se considera sistemul urmator 

BAXzyx

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

34

6

111211

321

3zyx-42z-y-x-6 = 3z +2y +x

 

 Regula lui Cramer 

( ){ }1,1,1

111

det

111

det

111

det

1646863311411

621

166121294131241

361

1812912126113214

326

01111211

321det

=

=−−

=⇒Δ

=

=−−

=⇒Δ

=

=−−

=⇒Δ

=

−=+++−−−=−−−=Δ

−=+++−−−=−−−=Δ

−=+++−−−=−−−=Δ

≠−=−−−=

S

zA

zz

yA

yy

xA

xx

z

y

x

A

 

 Spunem in acest caz ca solutia este formata din tripletul 1.  Sistemul se numeste compatibil determinat (are o singura solutie) Un sistem care nu are solutii e sistem incompatibil. Compatibil nedeterminat are mai multe solutii   A doua solutie de rezolvare a sistemului Orice sistem se poate transforma intr‐o ecuatie matriciala X=A‐1 B 

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−++−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=⋅=

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

−

−

111

34386346

34

6

110121111

34

6

111211

321

3zyx-42z-y-x-6 = 3z +2y +x

1

1

BAX

ABAX

zyx

 

   Rangul unei matrice  Definitie : numim rangul unei matrice A de tipul mxn, (m≤n) un numar natural r cu proprietatile : 

a) In orice matrice exista cel putin un minor de ordin r diferit de 0 b) Toti minorii de ordin r+1 sunt nuli 

Exemplu : 

1

06432

;06231

;04221

642321

=⇒

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r

A

 

rang A = 1  

Exemplu : 

2

02463142

;0231642321

231642321

=

≠=−=

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

rang

A

 

 Transformari elementare  Transformarile elementare care se fac asupra liniilor unei matrice sunt :  T1 : schimbarea a doua linii intre ele T2 : inmultirea unei linii printr‐un numar real nenul T3 : inlocuirea unei linii prin suma dintre aceasta linie si o alta linie inmultita cu un numar real 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯→⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−

↔

220211

642211

321211

211321

:.

21

2

21

23

22

1

LL

L

LL

Tr

Tr

Tr

AEx

 

Rezulta matrici echivalente  Definitie : numim matrice elementara o matrice care se obtine din matricea unitate de ordinul m (Im) printr‐o singura transformare elementara.  Exemplu : 

elementaraestenu

L

LL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯→⎯⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯⎯ →⎯⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ↔

2002

1001

1002

1001

0110

1

21

21

 

  Teorema : transformarile elementare nu modifica rangul unei matrice  Definitie : doua matrice A si B care se obtin una din alta prin transformari elementare se numesc echivalente in privinta rangului si scriem :  A~ B  Definitie : Matricea A mare se spune ca are forma Gauss ‐ Jordan daca ea contine r (r≤m) coloane ale 

matrice I unitate de ordinul m.  Teorema : Orice matrice nenula poate fi adusa la forma Gauss – Jordan printr‐un numar finit de transformari elementare.  Aplicatie :  Sa se aduca la forma Gauss – Jordan matricea urmatoare : 

3

11000340100

350021

1

11000340100

350021

L

11000311100

350021

L2-

11000311100

1222131

1100013300

12221L2-

1344213300

12221L1

1344221121

12221

3

23122

3121

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=

rangA

L

LLL

LLA

~

~~~

~~

 

  Inversa unei matrice calculata cu ajutorul transformarilor elementare  Pasul 1 : se formeaza matricea M = (A|I )  Pasul 2 : utilizand transformarile elementare se aduce la forma ( I |B ),  daca este posibil  Pasul 3 : A ‐1 = B  Exemplu : 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

21

23

12

21

23

12

1001

21

1312

2001

1301

20213

1001

4321

4321

1

21221

A

LLLLLM

A

~~~  

 

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−⋅−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

−+

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

−+−

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=

−

110121111

110121111

1000100011

110121111

100010001

110011021

100110101

2101011001

210110321

100010001

111211

321

111211

321

1

3

23

13

12

32

31

21

A

L

LL

LL

LL

LL

LL

LL

M

A

~~~~

  Rezolvarea unui sistem de ecuatii cu ajutorul transformarilor elementare  

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−−−

=++

342

632

zyxzyxzyx

 

 

Scriem matricea extinsa Ā 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−

+⋅−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−=

111

111

1000100012

113

100010021

3

1

126

100110321

1326

210110321

34

6

111211

321_

12

13

23

3

32

31

21

zyx

LL

LL

LL

L

LL

LL

LL

A

~~~~

  Daca o linie devine 0, una din necunoscute este secundara, exemplu :  z = α 

αα

α

−=−=

=⎩⎨⎧

=+=++

22

2632

xyz

zyzyx

 

 

Curs nr.2 Spatii vectoriale Definitie Fie 𝑉𝑉 ≠ 0,𝐾𝐾(𝑅𝑅) Se definesc doua operatii: Operatia interna notata prin +, unde + este definita pe 𝑉𝑉 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) → 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Operatia externa notata prin inmultire ∙ , unde 𝐾𝐾 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉, (𝜆𝜆, 𝑥𝑥) → 𝜆𝜆 ∙ 𝑥𝑥

1) (V,+) grup abelian – patru proprietati 2) (V, ∙ )

a) (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑥𝑥, (∀)𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉 b) 𝛼𝛼 × (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝛼𝛼 × 𝑥𝑥 + 𝛼𝛼 × 𝑦𝑦, (∀)𝛼𝛼 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉 c) 𝛼𝛼 ∙ (𝛽𝛽𝑥𝑥) = (𝛼𝛼 ∙ 𝛽𝛽)𝑥𝑥, (∀)𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉 d) 1 ∙ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉

Atunci V se numeste spatiu vectorial (liniar) peste corpul K. Perechea (V,K) este un spatiu vectorial. Elementele lui K se numesc scalari iar elementele lui V se numesc vectori. Pentru K = R, spunem ca (V,R) este un spatiu vectorial real. Exemple: (R2,R), (R3,R)

∈

== Rxx

xx

XR 212

12 ,

),( 21 xxt=

∈

== Rxxx

xxx

XR 321

3

2

13 ,,

Subspatiul vectorial Fie spatiul vectorial VXXKV ⊂≠ ,0),,( X se numeste subspatiu vectorial a lui (V,K) daca :

1. Daca XyxXyx ∈+⇒∈∀ ,)( 2. Daca XxXxK ∈⋅⇒∈∀∈∀ αα )(,)(

Exemplu : R2 este subspatiu al lui R3 Combinatie liniara de vectori Fie KVxxxKV nn ∈∈ ααα ...,,,,....,),,( 2121 Expresia nn xxx ααα +++ ....2211 se numeste combinatie liniara a vectorilor nxx ,...1 cu scalarii nαα ,...1 : ∑ ∝i∙ xi

ni=1

Fie

=

=

=

45

,12

,21

21 vvv

Este v combinatie intre v1 si v2 ?

21

2

12

21

21

21

21

21

21

2

2

1

1

21

2211

21

21

6342

104224252

222

245

12

21

45

vvv

v

vvv

⋅+⋅=

==

→−=−→

=+−=−−

→−

=+=+

++

=

+

=

⇒

+

=

=

+=

αα

ααααα

αααα

αααα

αα

αα

αα

αα

Vectori liniari independenti, vectori liniari dependenti Fie (V,K) un spatiu vectorial Definitie: un sistem de vectori {x1, x2, ... xn} din V se numeste liniar independent daca :

=

=

====⇒=+++

000

0;00

0

0..0..

32

212211

RR

nvnn xxx αααααα

Exemplu :

==

⇒=−⇒

=+=−−

⇒−

=+=+

=

+

=

+

==⇒=+

=

=

00

0302

04220202

002

2

00

12

21

0012

;21

2

12

21

21

21

21

2

2

1

1

21

212211

21

2

αα

ααααα

αααα

αα

αα

αα

αααα Rxx

xx

Rezulta ca {x1, x2} este un sistem liniar independent. SCURTATURA !!! Determinantul format din componentele vectorilor

1) ⇒≠−=−= 03411221

sistem liniar independent

2) ⇒≠−=−−−++= 02110000

101011110101011

sistem liniar independent

Sistemul este liniar dependent cand nu este liniar independent. Ex.

012126342

64

;32

21 =−=⇒

=

= vv ; sistem liniar dependent

Sistem de generatori Definitie : Un sistem de vectori { } VxxxX n ⊂= ,..., 21

se numeste sistem de generatori pentru V daca orice vector din V este o combinatie liniara cu vectori din X. Exemplu :

( )

{ }

21

2

1

2

1

21

22112

221

21

2

00

10

01

)(

,

10

;01

,

ebeavba

ba

ba

v

eevscrieseRvRpentrugeneratoridesistemee

ee

RR

⋅+⋅=⇒==

+

=

+

=

=

+=∈∀

=

=

αα

αα

αα

αα

Exemplu:

( )

3

321

3

100

;010

;001

,

Rpentrugeneratoridesistem

eeeE

RR

=

=

==

Baza a unui spatiu vectorial Definitie: sistemul de vectori { } VxxxB n ⊂= ,..., 21

se numeste baza a spatiului vectorial V daca :

1. B este sistem liniar independent 2. B este sistem de generatori

O baza in care se tine seama de ordinea vectorilor se numeste reper.

Baza canonica din ( )

=

==

10

,01

, 212 eeEesteRR

=

=

== 0

1

0,

010

,001

21 eeeE este baza canonica din R3.

Definitie : se numeste dimensiunea din spatiul vectorial KVdim numarul de vectori din baza.

3dim

2dim3

2

=

=

RR

R

R

3

Scalarii unici nααα ,......, 21 din relatia nn xxxx ααα +++= ......2211 se numesc coordonatele lui x din baza B.

( )n

n

Bx ααα

α

αα

τ

212

1

=

=

Reprezentarea vectorilor Fie (V,K) un spatiu vectorial cu dimensiunea *dim NnVK ∈= si { }nbbbB ,...., 21= un reper al sau.

nn

n

B bbbxxincatastfelVxFie ααα

α

αα

+++=⇒

=∈ ....., 22112

1

Se considera un nou reper { }ndddD ,...., 21= al spatiului vectorial (V,K) si

nniiii

nn

n

D

bcbcbcd

dddxx

+++=

+++=⇒

=

....

....

2211

22112

1

βββ

β

ββ

nn

nnn

n

n

n

DB bcbcbcd

cccc

cccccccccccc

C 12211111

nn321

3333231

2232221

1131211

, ....+++=⇒

=

Matricea CB,D se numeste matricea de trecere de la reperul B la reperul D. Se scrie matricial BDBDBDDB XCXXXC ⋅=⇒=⋅ −1

,,

Se considera spatiul vectorial (R2,R), in care vom lua bazele B si D :

??,32

64

,107

43

,21

,

21

21

==⇒

=

=

==

=

==

DDBB XCX

ddD

bbB

=

−+−

=

−

−=

−

−=

−

−=→⋅=

=

==

⇒−=−⇒

=+−=−−

⇒

=+−=+

→

⋅+

⋅=⋅+⋅=

=

==

⇒−=−→

=+−=−−

=+−=+

→

++

=

⇒

⋅+

⋅=

⇒⋅+⋅=→

=

−−

11

3432

32

1211

1211

1211

1211

1

1211

11

22642

862642

243

43

21

64

21

421042

1462

1042273

423

107

43

21

107

1,

1,

,

22

1222

2212

2212

2212

2212

22122221122

21

1121

2111

2111

2111

2111

2111

2111

211122111112221

1211,

D

DBBDBD

DB

DB

X

CXCX

C

cc

ccccc

cccc

ccbcbcd

cc

ccccc

cccc

cccc

ccbcbcdcccc

C

Lema substitutiei Trecerea de la o baza B la o noua baza B’ se face printr-un procedeu care se numeste pivotaj, constand in: 1. Se imparte linia pivotului la pivot 2. In coloana pivotului elementele de deasupra si de dedesubtul pivotului se inlocuiesc cu 0 3. Elementele ramase se calculeaza cu regula dreptunghiului

nnn

iii

ni

b

b

bb

xvbbbbBaza

λα

λα

λαλα

1000

0100

00100001

222

111

21

Pivot (αi≠0)

i

ininn

i

i

i

i

ii

i

ii

ni

b

v

b

b

xvbbbbBaza

αλααλ

αλ

α

αλααλ

αλααλ

⋅−⋅

⋅−⋅

⋅−⋅

01000

10100

00010

00001

222

111

21

Exemplu :

Vectorul x scris in baza canonica este

=

322

x

{ } ?313

,212

,21

,, 321321 =→

=

=

=→= AxaaaaaaA

33202530

2321332021122321

3

2

1

3

2

1

321

eeaeee

xaaa

−−−

510090101001

35

3100

32

3510

32

3101

3

2

1

3

2

1

321

−

−

−

−

aaa

e

a

a

xaaa

−

−=⇒

591

AX

Calculul inversei unei matrice cu ajutorul lemei substitutiei

?310012521

1 =⇒

= −AA

3121001036010

513001

131

32

3100

031

32

31010

032

31

3501

1003100121030001521100310010012001521

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

321321

−−−

−−

−−

−

−−

−−−

A

A

A

A

A

A

IIIAAA

CCC

e

C

C

eeCeee

CCCCCC

−−−

−−=−

3121036

5131A

Rezolvarea unui sistem de ecuatii cu ajutorul lemei substitutiei

−−−

−−=

=−=+−−=+−+

003111121121

2332

12

21

4321

4321

A

xxxxxx

xxxx

0000051

51

5110

57

53

5301

111501115011121200313111211121

3

2

1

3

2

1

3

2

1

4321

e

C

C

eeCeee

bCCCC

A

A

A

AAAA

−−

−

−−−−

−−

−−−

−+=

+−=

→⇒

−=+−

=+−

51

51

51

57

53

53

sec,51

51

51

57

53

53

2

1

43

432

431

βα

βα

x

x

undareenecunoscutxx

xxx

xxx

∈

−++−= RS βαβαβαβα ,,,

51

51

51,

57

53

53

(solutia)

Sistemul este compatibil nedeterminat Operatori liniari Fie spatiile vectoriale de tip finit (X,K), (Y,K) Definitie : o functie U definita U: X →Y Se numeste operator linear sau morfism de spatii vectoriale daca :

1. U este aditiv - adica ( ) ( ) ( ) XyxyUxUyxU ∈∀+=+ ,)( , 2. U este omogen – adica ( ) ( ) XxKxUxU ∈∀∈∀= )()( ααα

Exemplu:

+−

−=

→

321

21

23

2)(

:

xxxxx

xU

RRU

−=

+−

−=

31

32221

321

U ( ) ( ) ( )

( ) ( )xUxU

yUxUyxU

αα =

+=+

( )

( ) ( )

( ) ( )xUxxx

xxxxx

xx

xxx

Uxxx

UxU

yUxUyyy

yyxxx

xxyyyxxx

yyxx

yxyxyxyxyx

yxyxyx

Uyyy

xxx

UyxU

ααααα

αα

ααα

αα =

+−

−=

+−

−=

=

=

+=

+−

−+

+−

−=

+−++−

−+−=

=

+++−+

+−+=

+++

=

+

=+

321

21

321

21

3

2

1

3

2

1

321

21

321

21

321321

2121

332211

2211

33

22

11

3

2

1

3

2

1

22

2222

)()(2)(

Inseamna ca U este operator liniar Exemplu: L(X,Y) = {U:X→Y | U este operator liniar} {multimea operatorilor U de X pe Y, unde U este operator liniar}

a) ),( YXLU ∈ - sa demonstram cele doua proprietati Password aplicatii on-line : mataplecon

Curs 3 Definitie Fie ( )YXLU ,∈ , se numeste „imaginea” lui U si se noteaza prin ImU multimea { ,)(| XxYy ∈∃∈ astfel incat }yxU =)( Se numeste nucleul lui U si se noteaza prin Ker U={ }0)(| =∈ xUXx Proprietate : ImU este un subspatiu vectorial al lui Y, iar KerU este un subspatiu vectorial al lui X Subspatiu vectorial R3 – spatiu - un subspatiu este R2

NxNyx

∈⋅∈+

λ

Definitie Fie ),( YXLU ∈ , U este un operator, Se numeste rangul lui U dimensiunea lui ImU, iar dimensiunea lui KerU se numeste defectul lui U. Teorema dimensiunii: Fie ),( YXLU ∈ , dimensiunea lui k *dim NnXk ∈= Are loc urmatoarea relatie :

UKerUX kkk Imdimdimdim += Fie U definit pe R3 cu valori in R3

,: 33 RRU →

=

++−+−

=

3

2

1

321

32

21

;32

)(xxx

xxxx

xxxx

xU

( )3213221 32,,)( xxxxxxxxU ++−+−=τ

Sa aflam KerU si ImU :

{ }

⇒

=++−=+=−

⇒

=

++−+−

⇔=

=∈=

03200

000

320)(

0)(|

321

32

21

321

32

21

3

3

3

xxxxxxx

xxxxxxx

xU

xURxKerU

R

R

N M

1dim1

11

00

,032

2

321

23

21

=⇒

∈

−=

∈

−=

=

∈=

⇒

=++−−==

KerURRKerU

Rxxxx

xxxx

Rαααααα

αα

( ){ }

( )

2Imdim110

2010

20

20

0

,2

Im

2,,

23232

32)(

)(,_,|Im

321

321

322212

223

121

3321

232

121

3

2

1

321

32

21

33

=⇒

+

−=

+

−=

+−++

∈

+−=

+−===

=+−⇒

=+−++−+−=+=

⇒=++−

=+=−

=

++−+−

⇔=

=∈∃∈=

U

RU

yyy

yyyyyxxyx

yxxyxx

yxxxyxxyxx

yyy

xxxxxxx

YxU

YxUincatastfelRxRyU

Rβαββ

α

α

βαβ

α

βαβα

βα

βαβα

Verificam teorema dimensiunii : 1+2=3 Vectori proprii si valori proprii Definitie: Fie XxXxYXLU 0,);,( ≠∈∈ Vectorul x se numeste vector propriu al operatorului liniar U daca R∈∃ λ)( a.i.

xxU λ=)( In acest caz λ se numeste valoare proprie a lui U si se spune ca x este vector propriu corespunzator valorii proprii λ. Multimea { }xxUXxX λλ =∈= )(| se numeste subspatiul propriu asociat lui λ.

Se considera spatiul vectorial (X,K) cu *dim NnXK ∈= Fie F o baza a spatiului X si ( )

njijiaA,1,, =

= matricea operatorului U corespunzatoare bazei F.

Ecuatia )det( nIA λτ − =0 este numita ecuatia caracteristica a operatorului U iar

)det()( nIAP λλ τ −= se numeste polimomul caracteristic al operatorului U. Determinarea valorilor proprii si a vectorilor proprii Solutiile ecuatiei caracteristice ne furnizeaza valorile proprii ale operatorului U Pentru o valoare proprie 0λ subspatiul vectorilor proprii corespunzatori lui 0λ se determina astfel :

0)det(

0)(

3 =−

=−

IAXIA Xn

λ

λτ

τ

( ) ( )

( ) 3;003030332331

001302010132

110011

000

0000

132110011

0100010001

132110011

321223

32

3

===⇒=−⇒=−

=+−+−+−

=−−−−++−⇒=−−

−−−

⇒=−

−

−⇒=−

−

−

λλλλλλλ

λλλλ

λλλ

λλ

λλ

λλ

Vectorii proprii :

30)( 3 RXIA =− λτ I. 0=λ

∈

−=

∈=→

++−−=

=⇒

=

++−+−

⇒

RX

Rxxxx

xxxx

xxxxxxx

αααα

αα

0

2

321

23

21

321

32

21

,320

00

32

II. 3=λ

30)( 3 RXIA =− λτ

=

−−−−−

⇒

=

−

−

−

000

232120012

000

300030003

132110011

3

2

1

3

2

1

xxx

xxx

β=

=⇔=+−−

⇒

−=−=

⇒=−+−

=+−=−−

1

11113

12

321

32

21

00086242

02320202

x

xxxxxxx

xxxxxxx

∈

−−= RX β

ββ

β

423 este subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii =3

Fie ,: 22 RRU →

++

=

21

21

2

1 2xxxx

xx

U

( )( )

( )

253;

253

253

2

511434;013

01220112011

120

1001

1112

0)det(

21

2,1

222

2

2

−=

+=

±=

∆±−=

=⋅⋅−−=−=∆=+−

=−+−−⇔=−−−⇔=−

−⇔=

−

=−

λλ

λ

λλ

λλλλλλ

λλ

λτ

ab

acb

IA

20)( 2 RXIA =− λτ ; se procedeaza in continuare ca si in exemplul precedent, pentru cele doua valori λ.

Cazul I : 2

53 +=λ

∈

−=⇒

−=

=⇒

=

−=

=−+

−

−=

⇔

=+

−

=+−

⇔

=

+−

−

⇔

=

+−

+−

⇔

=

+

+

−

+RX

x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

αα

α

α

α

215

215

002

15

02

152

152

15

02

51

02

51

00

2511

12

51

00

25311

12

532

00

2530

02

53

1112

253

2

112

11

12

21

21

2

1

2

1

2

1

Functionale liniare Fie spatiul vectorial (X,K) si (K,K) Definitie : O functie KXf →: se numeste functionala liniara sau forma liniara daca f este un operator liniar, adica :

- ( ) ( ) ( )yfxfyxf +=+ - ( ) ( )xfxf ⋅=⋅ αα

O functie KYXf →×: se numeste functionala biliniara daca :

a. f este liniara in primul argument cand cel de al doilea este fixat ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )yxfyxf

yxfyxfyxxfyxyxf,,

,',,',',αα =

+=+=+

b. f este liniara in al doilea argument cand primul este fixat Fie spatiile vectoriale (X,K) si (Y,K) cu mXk =dim , nYk =dim

{ } { }nm gggGfffF ,...,,,..., 2121 == Fie ( )jiji gffa ,, =

( )njmiji

nmnn

m

m

a

aaa

aaaaaa

A,1,1,

21

22221

11211

=

==

=

Se numeste matricea functionalei biliniare corespunzatoare bazelor F si G.

( )

nmnnn

m

i

n

jjiij

yxayxayxayxa

yxayxf

11121121111

1 1,

+⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++

=∑∑= =

Functionale patratice Fie KXXf →×: , o functionala biliniara, atunci functionala KXV →: , definita V(x)=f(x,x) se numeste functionala patratica si

( ) ∑∑= =

=m

i

m

jjiij xxaxV

1 1

Exemplu : Fie RRV →3: ( ) 323121

23

22

21 86432 xxxxxxxxxxV −+−+−=

Sa se determine matricea functionalei in baza canonica

−−−−

−=

343412

322A

Observatie : matricea functionalei este simetrica Clasificarea functionalelor patratice Fie KXV →: o functionala patratica 1. V se numeste pozitiv definita daca pentru orice XxXx 0, ≠∈ , avem ( ) 0>xV 2. V se numeste negativ definita daca pentru orice XxXx 0, ≠∈ , avem ( ) 0<xV 3. V se numeste semipozitiv definita daca pentru orice Xx∈ , avem ( ) 0≥xV 4. V se numeste seminegativ definita daca pentru orice Xx∈ , avem ( ) 0≤xV 5. V se numeste nedefinita daca ,,)( yXxyx ≠∈∃ astfel incat ( ) 0<xV si ( ) 0>yV Pentru a determina natura unei functionale patratice aceasta trebuie adusa la forma canonica Se spune ca KXV →: (functionala V definita pe X cu valori in R) a fost adusa la forma canonica daca s-a determinat o baza G a lui X pentru care ( ) 22

22211 nn xxxxV λλλ +++=

Matricea A corespunzatoare bazei G este

=

n

A

λ

λλ

00

0000

2

1

Cu ajutorul formei canonice natura functionalei V se determina astfel : 1. daca nii ,1)(,0 =∀>λ rezulta ca functionala patratica este pozitiv definita

2. daca nii ,1)(,0 =∀<λ rezulta ca functionala este negativ definita 3. daca 0>iλ si 0)( =∃ jλ rezulta ca functionala este semipozitiv definita 4. daca 0<iλ si 0)( =∃ jλ rezulta ca functionala este seminegativ definita 5. daca 0>iλ si )(;0 jij ≠<λ rezulta ca functionala este nedefinita Metode pentru determinarea formei canonice 1. Metoda lui Jacobi ( )

−−−−

−=

−+−+−=

343412

32286432 323121

23

22

21

A

xxxxxxxxxxV

Se calculeaza indicatorii ∆

71232924246343412

322

61222

21

3

2

1

0

=−−+++−=−

−−−−

=∆

−=−−−

=∆

=∆=∆

Forma canonica a lui V este :

( ) 23

22

21

23

3

222

2

121

1

0

76

31

21 yyyyyyxV −−=

∆∆

+∆∆

+∆∆

=

⇒

−=

−=

=

7631

21

3

2

1

λ

λ

λ

Functionala este nedefinita

2. Metoda lui Gaus ( )

−−=

+−++=

320222

02234242 2

3322221

21

A

xxxxxxxxV

Se formeaza un patrat perfect ( )

( )

nedefinita

zzz

zyy

zyzy

yyyy

yyyyyyyyyyyyyyxVyxyx

yxxxxxxxxxxxxxxxV

⇒

=

−=

=

+−⇒

=−

==

−+−=

−

+−+=

−+=+−=

===+

+−+=+−++=

334

2

3342

32

323

342

34

94

3432

3432342;

34)(234)2(2

3

2

1

23

22

21

323

22

11

2

2322

21

22

2232

23

2132

23

21

2332

21

33

22

121

2332

221

2332

2221

21

λ

λ

λ

Note de curs 4

Doua tipuri de probleme care vor aparea la examen. 10 subiecte grila cu a,b,c,d cu un singur raspuns corect (grila perfecta = 5,00). 3 probleme de rezolvat 1. Algoritmul simplex primal 21 4030max xxxf functia scop

7

102

21

21

xx

xx restrictii

0, 21 xx conditii de nenegativitate

Rezolvare Pasul 1. Se aduce problema la forma standard. 21 4030max xxxf

7

102

421

321

xxx

xxx 43 , xx - variabile de compensare

0,,, 4321 xxxx

Matricea sistemului :

1011

0112; AAAA CCCC 4321 ; 2

11

2RC A

Pasul 2. Elaborarea tabelului simplex.

30 40 0 0 ←beneficiul CBvectorul coeficientilor

C1A C2

A C3A C4

A din functia obiectiv

0 C3A 10 2 1 1 0 10/1=10 C4

A

0 C4A 7 1 1 0 1 7/1=7 iese din baza

0 0 0 0 0 - se scade aceasta linie din prima

30 40 0 0 MAX = 40 →C2A intra in baza

0 C3A 3 1 0 1 -1

40 C2A 7 1 1 0 1

280 40 40 0 40 0*3+40*7=280

-10 0 0 -40

min=7→

algoritmul se opreste cand obtinem

valori 0 sau valori negative

CB Baza XB

Solutia este : [max]f=280 ;

0

3

7

0

X

RECAPITULARE : Se inmultesc cu vectorii din fata fiecare din vectorii cu doua componente si se insumeaza elementele rezultate. 1. LINIA PIVOTULUI SE IMPARTE LA PIVOT 2. DEASUPRA PIVOTULUI SI DEDESUBT PUNEM „0” 3. CELELALTE ELEMENTE LE CALCULAM CU REGULA DREPTUNGHIULUI Problema 2 Fie 3 produse P1, P2, P3 obtinute cu 3 materii prime M1, M2, M3 321 400600500max xxxxf

4003

1005,0

2002

21

321

31

xx

xxx

xx

restrictii

4003

1005,0

2002

621

5321

431

xxx

xxxx

xxx

0,, 321 xxx conditii de nenegativitate

Matricea sistemului :

100031

010115,0

001102

; (matricea sistemului)

500 600 400 0 0 0

C1A C2

A C3A C4

A C5A C6

A

0 C4A 200 2 0 1 1 0 0

0 C5A 100 1/2 1 1 0 1 0 100/1=100 min = 100 →C5

A iese din baza

0 C6A 400 1 3 0 0 0 1 400/3=133,3

0 0 0 0 0 0 0

500 600 400 0 0 0 MAX = 600 →C2A intra in baza

0 C4A

200 2 0 1 1 0 0 200/2=100

600 C2A

100 1/2 1 1 0 1 0 100/o,5=200 min = 100 →C4A

iese din baza

0 C6A 100 - 1/2 0 -3 0 -3 1 negativ

60000 300 600 600 0 600 0

200 0 -200 0 -600 0 MAX = 200 →C1A intra in baza

500 C1A

100 1 0 1/2 1/2 0 0 linia pivotului se imparte la pivot

600 C2A 50 0 1 3/4 - 1/4 1 0 se aplica regula dreptunghiului

0 C6A 150 0 0 -11/4 1/4 -3 1

80000 500 600 700 100 600 0 scadem din linia beneficiilor (sus)

0 0 -300 -100 -600 0 se opreste algortimul

XBCB Baza

Solutia este : [max]f=80 000 ;

150

0

0

0

50

100

X

Problema transporturilor

4 metode de lucru – Echilibram problema astfel incat necesarul sa fie egal cu disponibilul. 1. Metoda NORD-VEST BENEFICIARI Bj Di

B1 B2 B3 Disponibil

D1

40

0

0 40

D2

10

50

0 60 60 50

D3

0

10

20 30 30 30 20 D4

depozit fictiv

0

0

25 25 25 25 25 25

Necesar 50 60 45 155 155

10 60 45

60 45

10 45

45

25

2 4 1

1 5 7

3 2 10

0 0 0 DEP

OZI

TEW

Solutia posibila de baza este :

2500

20100

05010

0040

X ; m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6 (nr. linii + nr. coloane – 1)

Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 0251020210550110240 560 Metoda 2 : Metoda costului minim pe linie Cost minim pe linie Bj Di

B1 B2 B3 Disponibil

D1

0

0

40 40 D2

50

10

0 60 60 10

D3

0

30

0 30 30 30 D4

depozit fictiv

0

20

5 25 25 25 25 5

Necesar 50 60 45 155 155

50 60 5

60 5

50 5

20 5

Solutia posibila de baza este :

2 4 1

1 5 7

3 2 10

0 0 0 DEP

OZI

TEW

5200

0300

01050

4000

X ; m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6 (nr. linii + nr. coloane – 1)

Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 05020230510150140 200 Problema 2

Metoda 1 BENEFICIARI Bj Di

B1 B2 B3 Disponibil

D1

20

10

0 30 10 D2

0

5

15 20 20 20 15

Necesar 20 15 15 50 50

20 15 15

15 15

5 15

Solutia posibila de baza este :

1550

01020X ; m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 (nr. linii + nr. coloane – 1)

Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 01545210120 60

1 2 0

3 4 0

DEP

OZI

TEW

Metoda 2. BENEFICIARI Bj Di

B1 B2 B3 Disponibil

D1

15

0

15 30 15 D2

5

15

0 20 20 20 15

Necesar 20 15 15 50 50

20 15

5 15

Solutia posibila de baza este :

0155

15015X ; m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 (nr. linii + nr. coloane – 1)

Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 41535015115 90

1 2 0

3 4 0

DEP

OZI

TEW