1

NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT Formule de calcul

222 2)( bababa 222 2)( bababa

))((22 bababa

a ))(( 2233 bababab

a ))(( 2233 bababab

(a+b) 32233 33 babbaa

(a-b) 32233 33 babbaa

a ))(( 121 nnnnn bbaabab

Funcia de gradul I

Definiie:f:RR,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul I Proprieti:Dac a>0 f este strict cresctoare Dac a

2

Semnul funciei de gradul II 0

x - x 1 x 2

f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

0

x - x 21 x

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

0

x -

f(x) semnul lui a

Imaginea funciei de gr.II

a0, Imf=[ ),4

a

Funcii

Definiii:Fie f:AB

I. 1)Funcia f se numete injectiv,dac Axx 21, cu f(x 2121 )() xxxf

2)Funcia f este injectiv dac Axx 21, cu x )()( 2121 xfxfx

3)Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0x,dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel mult un punct.

4)Funcia f nu este injectiv dac )()(.. 2121 xfxfiaxx

II.1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin un punct x A, a.. (x)=y. 2) Funcia este surjectiv, dac (A) =B. 3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel puin un punct. III.1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv. 2) Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B) 3) Funcia este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-un singur punct . IV.Compunerea a dou funcii Fie f:AB,g:BC

))(())((,: xfgxfgCAfg

V. AAA :1 prin 1 xxA )( , Ax .(aplicaia identic a lui A)

Definiie:Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcie g:BA astfel nct

Afg 1 i Bgf 1 , funcia g este inversa funciei i se noteaz cu 1 .

Teorem: este bijectiv este inversabil.

3

Funcii pare,funcii impare,funcii periodice. Definiii:

f:RR se numete funcie par dac f(-x) = f(x), x R f:RR se numete funcie impar dac f(-x) = -f(x), x R f:AR(A )R se numete periodic de perioad T Axdac ,0 avem x+T A i

f(x+T)=f(x).Cea mai mic perioad strict pozitiv se numete perioada principal.

Numrul funciilor f:AB este [n(B)] )( An ,n(A) reprezentd numrul de elemente al mulimii A. Numrul funciilor bijective f:AA este egal cu n!,n fiind numrul de elemente al mulimii A.

Numrul funciilor injective f:AB este A kn ,unde n reprezint numrul de elemente al

mulimii B, iar k al mulimii A(k )n

Funcia exponenial

Definiie f: R (0,), f(x)= a x ,a>0,a 1 se numete funcie exponenial. Proprieti:

1)Dac a>1 f strict cresctoare 2)Dac a )1,0( f strict descresctoare

3)Funcia exponenial este bijectiv

Funcia logaritmic

Definiie: f:(0,) R, f(x)= log a x , a>0, a 1 se numete funcie logaritmic.

Proprieti:

1)Dac a >1 f strict cresctoare 2)Dac a )1,0( f strict descresctoare

3)Funcia logaritmic este bijectiv

4)log yxxy aaa loglog 5)log xmx am

a log ,m R

6)log yxy

xaaa loglog 7)a x

xa log

Schimbarea bazei:loga

AA

b

b

alog

log ,log

ab

b

alog

1

Progresii aritmetice

Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere reale a n n care diferena

oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei

aritmetice:a 1,1 nrann

Se spune c numerele a naa ,,, 21 sunt n progresie aritmetic dac ele sunt termenii

consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorem:irul 1)( nna este progresie aritmetic 2,2

11

naa

a nnn

Termenul general al unei progresii aritmetice:a rnan )1(1

Prop.:Numerele a,b,c sunt n progresie aritmetic2

cab

4

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S2

)( 1 naa nn

Trei numere x 1 , x 2 , x 3 se scriu n progresie aritmetic de forma :

x 1 = u r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r R .

Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie aritmetic astfel:

x 1 = u 3r, x 2 = u r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r R .

Progresii geometrice

Definiie : Se numete progresie geometric un ir de numere reale b 0, 1 bn n care

raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei

geometrice: qb

b

n

n 1 ,q 0

Se spune c numerele b nbb ,,, 21 sunt n progresie geometric dac ele sunt termenii

consecutivi ai unei progresii geometrice.

Teorem:irul 1)( nnb este progresie geometric 2,112

nbbb nnn

Termenul general al unei progresii geometrice:b 11 nn qb

Prop.:Numerele a,b,c sunt n progresie geometric cab 2

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1

)1(1

q

qb n

n ,q 1 sau

S dacbnn ,1 q = 1

Trei numere x 321 ,, xx se scriu n progresie geometric de forma :

x 0,,, 321 qquxuxq

u

Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie geometric de forma:

x 1 = 0,,,,3

4323 qquxqux

q

ux

q

u

Formule utile:

1+2+3+2

)1(

nnn

16

)12)(1(2 222

nnnn

1 2333 ]2

)1([2

nnn

Modulul numerelor reale Proprieti:

0,

0,

xx

xxx

1. Rxx ,0 2. yxyx 3. xx 4. yxyx 5. y

x

y

x

6. 0, aaxaax 7. 0),,[],( aaaxax 8. yxyx

5

Partea ntreag

1.x = [x]+{x}, Rx , [x] Z i {x} )1,0[

2. [x] x< [x]+1, [x] = a xa < a+1 3. [x+k]=[x]+k, ZkRx ,

4. {x+k}={x}, ZkRx ,

Numere complexe

1. Numere complexe sub form algebric

z =a+bi, a,b R , i2

= 1, a=Re z , b=Im z C- mulimea numerelor complexe;C={a+bi/a,b R }

Conjugatul unui numr complex: biaz Proprieti:

1. 2121 zzzz

2. 2121 zzzz

3. nn zz

4.2

1

2

1

z

z

z

z

5.z zzR

6.z zziR

Modulul unui numr complex: 22 baz

Proprieti:

1. Czz ,0 2. zz 3. 2121 zzzz

4. nn zz 5.

2

1

2

1

z

z

z

z 6. 2121 zzzz

Numere complexe sub form trigonometric Forma trigonometric a numerelor complexe:

z = r(cos t + i sin t ) ,r =a

btgtba ,22 ;r-raza polar;t-argument redus,t )2,0[

M(a,b)-reprezint imaginea geometric a numrului complex z = a+bi Operaii:

z )sin(cos),sin(cos 22221111 titrztitr

z )sin()[cos( 21212121 ttittrrz ], )sin(cos ntintrznn

)]sin()[cos( 21212

1

2

1 ttittr

r

z

z

}1,,1,0{),2

sin2

(cos

nkn

kti

n

ktrzz nk

n

6

Combinatoric

n!=1 n2 ,n )1!0( N , P !nn ,nN

A)!(

!

kn

nkn

,0 1,,; nNnknk C

)!(!

!

knk

nkn

, 0 Nnknk ,;

Proprieti:1. C knnk

n C ,0 Nnknk ,; 2. C kCC kn

k

n

k

n

1,1

11

7

Teorem:Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .

Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = AC

AB CD R a.i. AB = AC

Produsul scalar a doi vectori .

),cos( vuvuvu

jyixu 11 , jyixv 22 2121 yyxxvu ,2

1

2

1 yxu

Daca 0, vu ,atunci 0 vuvu

Ecuaiile dreptei n plan Ecuaia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)

Punctul M(x M ,y M ) d a Mx + 0 cbyM

Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte:A( ), AA yx ,B(x ), BB y

AB:

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

=0

Ecuaia dreptei determinat de un punct A(x ), AA y i panta m : y-y )( AA xxm

Dreptele d 1 ,d 2 sunt paralele 21 dd mm

Dreptele d 1 ,d 2 sunt perpendiculare 21 dd mm = -1

Distana dintre punctele A(x ), AA y ,B(x ,B y )B :AB=22 )()( ABAB yyxx

Distana de la punctul A(x ), AA y la dreapta h:ax+by+c=0:

d(A,h)=22 ba

cbyax AA

Punctele A,B,C sunt coliniare 0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

Permutri

Definiie:Se numete permutare de gradul n a mulimii },,2,1{ nA orice funcie

bijectiv .: AA

)()2(

2

)1(

1

n

n

n

ne

2

2

1

1

se numete permutarea identic de gradul n.

8

nS reprezint mulimea permutrilor de gradul n.

Produsul(compunerea) a dou permutri:Fie nS ,

))(())((,: kkAA

Proprieti:

1) nS ,,),()(

2) nSee ,

3) eiaSS nn 111 .., , 1 se numete inversa permutrii

Puterile unei permutri: )(, 01 eNndefinimSFie nnn

Prop.: NnmSFie mnnmnmnmn ,,)(,

Inversiunile unei permutri:

Definiie: nSFie i i,j },,2,1{ n , ji .Perechea (i,j) se numete inversiune a

permutrii dac )()( ji .Numrul inversiunilor permutrii se noteaz cu m( ).

Definiii:Se numete semnul permutrii ,numrul )()1()( m

Permutarea se numete permutare par dac 1)(

Permutarea se numete permutare impar dac 1)(

Propoziie: nS ,),()()(

Permutarea

n

n

i

j

j

iij

2

2

1

1 se numete transpoziie.

Proprieti:

1) jiij 2) eij 2)( 3) ijij

1 4) 1)( ij

Matrice

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

-matrice cu m linii i n coloane;nj

miijaA

,1

,1)(

)(, CMA nm ,unde )(, CM nm -reprezint mulimea matricelor cu m linii i n coloane cu

elemente din C.

)(, CMA mnt -reprezint transpusa lui A i se obine din A prin schimbarea liniilor n

coloane(sau a coloanelor n linii). Dac m = n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n i are forma

A=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

- )(CMA n

Tr(A)= nnaaa 2211 -reprezint urma matricei A

9

Sistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaa se numete diagonala principal a matricei

A,iar sistemul ordonat de elemente ),,( 11 nn aa se numete diagonala secundar a

matricei A.

nI =

1000

0010

0100

-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =

0000

0000

0000

-matricea nul

Proprieti ale operaiilor cu matrice.:

1)A+B=B+A , )(, , CMBA nm (comutativitate)

2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , CMCBA nm (asociativitate)

3)A+ nmO , = nmO , +A = A , )(, CMA nm

4) )()(),( ,. CMACMA nmnm a.. A+(-A) = (-A)+A= nmO , , )(, CMA nm

5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, CMCCMBCMA qppnnm (asociativitate)

6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, CMCBCMA pnnm (distributivitatea nmulirii fa de

adunare)

b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, CMACMCB pnnm

7) )(, CMAAAIAI nnn

8)a(bA) = (ab)A, )(,, , CMACba nm

9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , CMACba nm

10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , CMBACa nm

11)aA = 0, aO nm sau A= nmO ,

12) ABABAaaABABAAA tttttttttt )(,)(,)(,)(

Puterile unei matrice:Fie )(CMA n

Definim NnAAAAAAAAAAAIA nnn ,,,,,,123210

Relaia Hamilton-Cayley: 222 )()( OIbcadAdaA ,unde

dc

baA

Determinani.

bcaddc

ba (determinantul de ordinul doi)

Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)

fed

cba

ibdfhaceggbfdhcaei

ihg

fed

cba

10

Proprieti: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;

2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul;

3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii(sau coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniiale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul su este nul; 5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice al crei determinant este egal cu a nmulit cu determinantul matricei iniiale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporionale atunci determinantul matricei este nul;

7. Dac o linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este o combinaie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.

8. Dac la o linie (sau coloan) a matricei A adunm elementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai element se obine o matrice al crei determinant este egal cu determinantul matricei iniiale;

9)

ihg

pnm

cba

ihg

fed

cba

ihg

pfnemd

cba

10)det(A BAB detdet) , A,B )(CM n

Definiie:Fie )()( CMaA nij .Se numete minor asociat elementului njiaij ,1,

determinantul matricei obinute din A prin eliminarea liniei i i a coloanei j.Se noteaz

acest minor cu ijM .

Numrul ijji

ij MA )1( se numete complementul algebric al elementului ija .

Matrice inversabile

Inversa unei matrice :A )(CM n se numete inversabil dac exist o matrice notat

A )(1 CM n a.i. A nIAAA

11

Teorem:A 0det)( AinversabilCM n

A AAdet

11 ,A adjuncta matricei A. A se obine din At nlocuind fiecare element cu

complementul su algebric.

Dac A,B )(CM n sunt inversabile,atunci au loc relaiile: a)(A1 ) 1 = A

b)(AB) 111 AB

Rangul unei matrice

Fie A )(, CM nm , ),min(1, nmrNr

Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecia celor r linii i r coloane.

11

Definiie: Fie A O nm, o matrice . Numrul natural r este rangul matricei A exist un

minor de ordinul r al lui A,nenul, iar toi minorii de ordin mai mare dect r (dac exist)sunt nuli.

Teorem: Matricea A are rangul r exist un minor de ordin r al lui A, nenul , iar toi minorii de ordin r+1(dac exist)obtinui prin bordarea(adaugarea unei linii i a unei coloane)minorului de ordin r cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile i uneia dintre coloanele rmase sunt zero.

Sisteme de ecuaii liniare Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

a ij -coeficienii necunoscutelor, x nxx ,,, 21 - necunoscute, b mbb ,,, 21 -termenii liberi

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

-matricea sistemului, A =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

.....

....................

......

......

21

222221

111211

-matricea extins

B=

mb

b

b

....

2

1

matricea coloan a termenilor liberi,X=

nx

x

x

...

2

1

.matricea necunoscutelor.

AX=B -forma matriceal a sistemului Definiie: - Un sistem se numete incompatibil dac nu are soluie; - Un sistem se numete compatibil dac are cel puin o soluie; - Un sistem se numete compatibil determinat dac are o singur soluie; - Un sistem se numete compatibil nedeterminat dac are mai mult de o soluie. Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Un sistem de ecuaii liniare este de tip Cramer dac numrul de ecuaii este egal cu numrul de necunoscute i determinantul matricei sistemului este nenul.

Teorema lui Cramer: Dac det A notat 0 , atunci sistemul AX=B are o soluie

unic x i =

i ,unde i se obine nlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil toi minorii caracteristici sunt nuli.

12

Elemente de geometrie i trigonometrie Formule trigonometrice.Proprieti.

sin Rxxx ,1cos 22

-1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cos

sin(x+2k xsin) , ZkRx , cos(x+2k kRxx ,,cos)

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

sin2x=2sinxcosx, cos2x=cos xx 22 sin

sin xx cos)2

(

cos xx sin)2

(

sina+sinb=2sin2

cos2

baba cosa+cosb=2cos

2cos

2

baba

sina-sinb=2sin2

cos2

baba cosa-cosb= -2sin

2sin

2

baba

tgx= 0cos,cos

sinx

x

x ctgx= 0sin,

sin

cosx

x

x

tg(x+k tgx) ctg(x+k ctgx)

tg ctgxx )2

(

ctg tgxx )2

(

tg(a+b)=tgatgb

tgbtga

1 tg(a-b)=

tgatgb

tgbtga

1

tg2x=xtg

tgx21

2

sinx =

21

22

2 xtg

xtg

cosx =

21

21

2

2

xtg

xtg

Valori principale ale funciilor trigonometrice

x 0

6

4

3

2

2

3

2

sinx 0

2

1

2

2

2

3

1 0 -1 0

cosx 1

2

3

2

2

2

1

0 -1 0 1

tgx 0

3

3

1 3 - 0 - 0

ctgx - 3 1

3

3

0 - 0 -

Semnele funciilor trig. sin:+,+,-,- tg.,ctg.:+,-+,-

cos:+,-,-,+

13

sin(-x)= -sinx (impar) cos(-x)=cosx(par) tg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx

Funcii trigonometrice inverse

arcsin:[-1,1] ]2

,2

[

arcsin(-x)= -arcsinx

arcsin(sinx)=x, ]2

,2

[

x sin(arcsinx)=x,x ]1,1[

arccos:[-1,1] ],0[ arccos(-x)= xarccos

arccos(cosx)=x, ],0[ x cos(arccosx)=x, ]1,1[x

arcsinx+arccosx= ]1,1[,2

x

arctg:R )2

,2

(

arctg(-x)= -arctgx

arctg(tgx)=x, )2

,2

(

x tg(arctgx)=x, Rx

arcctg:R ),0( arcctg(-x)= arcctgx

arcctg(ctgx)=x, ),0( x ctg(arcctgx)=x, Rx

arctgx+arcctgx= Rx,2

Ecuaii trigonometrice

sinx = a,a },arcsin)1{(]1,1[ kkax k

cosx = b,b },2arccos{]1,1[ kkbx

tgx = c,c },{ kkarctgcxR

ctgx = d,d },{ kkarcctgdxR

sinax = sinbx kkbxax k ,)1(

cosax = cosbx kkbxax ,2

tgax = tgbx kkbxax ,

ctgax = ctgbx kkbxax ,

Teorema sinusurilor:C

c

B

b

A

a

sinsinsin =2R,unde R este raza cercului circumscris

triunghiului.

Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 Aria unui triunghi:

A2

hb A

2

),sin( ACABACAB A ))()(( cpbpapp ,p=

2

cba

A

1

1

1

,2

CC

BB

AA

ABC

yx

yx

yx

A2

21 cccdreptunghi

A

4

32llechilatera

14

Raza cercului circumscris unui triunghi:R=S

abc

4,unde S este aria triunghiului

Raza cercului nscris ntr-un triunghi:R=p

S,unde S este aria triunghiului iar

p=2

cba

Grupuri

Definiie:Fie MMM : lege de compozitie pe M.O submultime nevid H a lui M

,se numete parte stabil a lui M n raport cu legea dac HyxHyx , .

Proprietile legilor de compoziie

Fie MMM : lege de compoziie pe M.

Legea se numete asociativ dac (x Mzyxzyxzy ,,),()

Legea se numete comutativ dac x Myxxyy ,,

Legea admite element neutru dac exista e M a.i Mxxxeex ,.

Definiie:Cuplul (M, ) formeaz un monoid dac are proprietile:

1)(x Mzyxzyxzy ,,),()

2) exist e M a.i Mxxxeex ,.

Dac n plus x Myxxyy ,, atunci monoidul se numete comutativ.

Notaie:U(M)={x xM / este simetrizabil}

Definiie:Cuplul (G, ) formeaz un grup dac are proprietile:

1)(x Gzyxzyxzy ,,),()

2) exist e M a.i Gxxxeex ,.

3) GxGx ', a.i. x exxx ''

Dac n plus x Gyxxyy ,, atunci grupul se numete abelian sau comutativ.

Definiie:Un grup G se numete finit dac mulimea G este finit i grup infinit ,n caz contrar.

Se numete ordinul grupului G ,cardinalul mulimii G(numrul de elemente din G). Ordinul unui element

Definie:Fie (G, ) un grup i x G .Cel mai mic numr natural nenul n cu proprietatea

x en se numete ordinul elementului x n grupul G.(ordx = n)

Subgrup

Definiie:Fie (G, ) un grup.O submulime nevid H a lui G se numete subgrup al

grupului (G, ) dac ndeplinete condiiile:

1) HyxHyx , .

2) HxHx '

Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^

nZn

),( nZ grup abelian

),( nZ -monoid comutativ ,n care }1),.(..../{)(^

nkcdmmcZkZU nn

15

Morfisme i izomorfisme de grupuri

Definiie:Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.O funcie f:G 'G se numete morfism de

grupuri dac are loc conditia f( Gyxyfxfyx ,),()()

Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de grupuri.

Prop. Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.Dac f:G 'G este morfism de grupuri atunci:

1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele dou grupuri.

2)f(x '' )]([) xf Gx

Inele i corpuri

Definiie:Un triplet (A, ), , unde A este o multime nevid iar ,, i ,, sunt dou legi de compozitie pe A,este inel dac: 1) (A, )este grup abelian 2) (A, )este monoid 3)Legea ,, este distributiv fata de legea ,, : x (y z)=(x y) (x z),(y Azyxxzxyxz ,,)()()

Inelul (A, ), , este fr divizori ai lui 0,dac (. eyxeyx e element

neutru de la legea ,, )

Un inel (A, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x Ayxxyy ,,

Un inel (A, ), , comutativ,cu cel putin 2 elemente i fr divizori ai lui 0, se

numete,domeniu de integritate .

Definiie :Un inel (K, ), cu e e se numete corp dac KxexKx ',, a.i.

eeexxxx ,(''

fiind elementele neutre )

Un corp (K, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x Kyxxyy ,,

Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.

Morfisme i izomorfisme de inele i corpuri.

Definiie :Fie (A, ),(),, ' A dou inele.O funcie f:A 'A se numete morfism de

inele dac :

1)f( Ayxyfxfyx ,),()()

1)f( Ayxyfxfyx ,),()()

3)f(e )= e (e , e fiind elementele neutre corespunztoare legilor , )

Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de inele.

Definiie:Fiind date corpurile K, 'K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la 'K ,se numete morfism(izomorfism)de corpuri.

Inele de polinoame

Forma algebric a unui polinom:f = 0,011

1

n

n

n

n

n aaxaxaxa , Aai un

inel comutativ.

Definiie:a A se numete rdcin a polinomului f dac f(a)=0.

Teorema mpririi cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f i g,cu g polinoame,0 din

K[X].Atunci exist polinoamele q i r din K[X] ,unic determinate,astfel nct f=gq+r cu gradr

16

Consecin:a este radcin a lui f X-a divide f.

Definiie:Elementul a K este rdcin de ordinul p N pentru polinomul f ][XK

dac (X-a) p divide pe f iar (X-a) 1p nu divide pe f.

Teorem: Elementul a K este rdcin de ordinul p N pentru polinomul

f ][XK 0)(,,0)(,0)( )1(' afafaf p i 0)()( af p ,unde f este fucia

polinomial asociat polinomului f. Polinoame cu coeficieni reali

Teorem:Fie f ][XR ,f 0 .Dac z = a+ib,b 0 este o rdcin complex a lui f,atunci:

1) z = a-ib este de asemenea o rdcin complex a lui f

1)z i z au acelai ordin de multiplicitate.

Obs. : fzXzX /))((

Polinoame cu coeficieni raionali

Teorem :Fie f ][XQ , f 0 .Dac x 0 ba este o rdcin a lui f,unde

a,b QbbQ ,0, ,atunci

1) bax 0 este de asemenea o rdcin a lui f 2)x 0 , 0x au acelai ordin de

multiplicitate.

Obs. : fxXxX /))(( 00

Polinoame cu coeficieni ntregi

Teorem :fie f= 0,011

1

n

n

n

n

n aaxaxaxa ;f ][XZ

1)Dac x qpq

p,(0 numere prime ntre ele) este o rdcin raional a lui f,atunci

a)p divide termenul liber a 0

b)q divide pe a n

2)Dac x p0 este o rdcin ntreag a lui f,atunci p este un divizor al lui a 0 .

Polinoame ireductibile

Definiie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numete reductibil peste K dac exist g,q din K[X] cu gradg

17

Dac f = ][,012

2

3

3 XCfaxaxaxa

3

0

321

3

1323121

3

2321

a

axxx

a

axxxxxx

a

axxx

f=a

4

0

4321

4

1432431421321

4

2433121

4

3

4321

01

2

2

3

3

4

4 ][,

a

axxxx

a

axxxxxxxxxxxx

a

axxxxxx

a

axxxx

XCfaxaxaxax

Ecuaii reciproce

Definiie:O ecuaie de forma 0,011

1

n

n

n

n

n aaxaxaxa pentru care

niaa iin 0, se numete ecuaie reciproc de gradul n.

Orice ecuaie reciproc de grad impar are rdcina -1.

Ecuaia reciproc de gradul IV are forma:a 0,234 aabxcxbxx

Se mparte prin 2x i devine a 0)1

()1

(2

2 cx

xbx

x ;notez x tx

1i obinem o

ecuaie de gradul II. iruri de numere reale

ir monoton (cresctor sau descresctor)

Fie Nnna )( un ir de numere reale.

irul )( na este cresctor dac: Nnaa nn ,1 .

irul )( na este strict cresctor dac: Nnaa nn ,1 .

irul )( na este descresctor dac: Nnaa nn ,1 .

irul )( na este strict descresctor dac: Nnaa nn ,1 .

ir mrginit

Fie Nnna )( un ir de numere reale.

irul )( na este mrginit dac: Nnan ,.i.aR,

Definiie Un ir care are limita finit se numete convergent. Un ir care nu are limit sau care are limita infinit se numete divergent Teorem :Orice ir convergent este mrginit. Consecin :Dac un ir este nemrginit atunci el este divergent.

18

Teorem Dac un ir are limit, atunci orice subir al su are aceeai limit. Consecint: dac un ir conine dou subiruri cu limite diferite, atunci irul nu are limit. Teorema lui Weierstrass Orice ir monoton i mrginit este convergent. Teorema cletelui

Dac knyax nnn , si lyx nn

nn

limlim atunci lann

lim .

Criteriul raportului

Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi. Dac )1,0[lim1

l

a

a

n

n

n atunci 0lim

n

na .

Daca ),1(lim 1

la

a

n

n

n sau l atunci

n

nalim .

Lema lui Stolz-Cezaro Fie Nnna )( i Nnnb )( dou iruri de numere reale.

Dac lbb

aa

nn

nn

n

1

1lim (finit sau infinit) i Nnnb )( este strict monoton i nemrginit ,

atunci lb

a

n

n

n

lim

Criteriul radicalului

Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi.Dac la

a

n

n

n

1lim atunci lan nn

lim .

iruri remarcabile

]1,( ,

),1( ,

1 ,1

)1,1( dac ,0

lim

qdacexistnu

qdac

qdac

q

q nn

0,0

0,lim

nn

0lim

nk

nan ,unde N),1,1( ka

en

n

n

11lim ; ...7178,2e este constanta lui Euler

generalizare: ex

nx

nn

11lim dac nx ; ey nyn

n

1

1lim dac 0ny

1sin

lim

n

n

n x

xdac 0nx , 1

tglim

n

n

n x

xdac 0nx ,

1arcsin

lim

n

n

n x

xdac 0nx , 1

tglim

n

n

n x

xarcdac 0nx ,

19

Limite de functii

Teorem:O funcie are limit ntr-un punct finit de acumulare dac i numai dac are limite laterale egale n acel punct.

f are limit n x )()( 000 xlxl ds )0()0( 00 xfxf )(lim)(lim

0

0

0

0

xfxf

xxxx

xxxx

Obs.:Funcia f :D R nu are limit n punctul de acumulare x 0 n una din situaiile :

a)exist un ir x }{ 0xDn cu limita x 0 astfel nct irul ))(( nxf nu are limit

b)exist irurile },{,),(),( 0xDyxyx nnnn astfel nct irurile ))(()),(( nn yfxf au

limite diferite.

Teorem:Fie f :D R ,o funcie elementar i x D0 un punct de acumulare al lui

D )()(lim 00

xfxfxx

Teorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor finite)

Fie f,g:D R i x 0 un punct de acumulare al lui D.Dac 0)(lim0

xgxx

i exist Rl

a.. ,,),()( 0xxVDxxglxf V vecintate a lui x 0 i dac

lxfxgxxxx

)(lim0)(lim00

Teorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor infinite)

Fie f,g:D R , x 0 un punct de acumulare al lui D i 0,),()( xxVDxxgxf ,V

vecintate a lui x 0 .

a)Dac

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

b)Dac

)(lim)(lim00

xfxgxxxx

Teorem(Criteriul cletelui)

Fie f,g,h:D R , x 0 un punct de acumulare al lui D i

0,),()()( xxVDxxhxgxf , V vecintate a lui x 0 .

Dac lxglxhxfxxxxxx

)(lim)(lim)(lim000

Limite uzuale.Limite remarcabile. n

nx

n

n

n

nx

xaaxaxaxa

lim)(lim 011

1

mkb

a

km

mkb

a

bxbxbxb

axaxaxa

mk

m

k

m

k

m

m

m

m

k

k

k

k

x

,)(

,0

,

lim01

1

1

01

1

1

01

lim xx

01

lim xx

x

xx

1lim

00

x

xx

1lim

00

xxlim

3lim xx

3lim xx

20

10daca0

1dacalim

, a ,

a , ax

x

10daca

1daca0lim

, a ,

a , ax

x

10daca

1dacaloglim

, a , -

a , x a

x

10daca

1dacaloglim

00 , a ,

a , x a

xx

2arctglim

x

x

2arctglim

x

x 0lim

arcctgx

x

arcctgx

xlim

ex

x

x

11lim e

x

x

x

11lim ex x

x

1

01lim

1sin

lim0

x

x

x 1lim

0

x

tgx

x 1

arcsinlim

0

x

x

x 1

arctglim

0

x

x

x

1

1lnlim

0

x

x

x 1,0ln

1lim

0

a a , a

x

a x

x

1)(

)(sinlim

0

xu

x u

x 1

)(

)(tglim

0

xu

x u

x 1

)(

)(arcsinlim

0

xu

x u

x 1

)(

)(arctglim

0

xu

x u

x

1

)(

)(1lnlim

0

xu

xu

x 1,0ln

)(

1lim

)(

0

a a , a

xu

a xu

xunde 0)(lim

0

xuxx

Operaii fr sens: 00 ,0,1,0,,0

0,

Funcii continue

Definiie Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D

f este continu n D0 x dac )()(lim 00

xfxfxx

Dac f nu este continu n D0 x ,ea se numete discontinu n 0x ,iar 0x se numete

punct de discontinuitate.

Definiii:Un punct de discontinuitate D0 x este punct de discontinuitate de prima spe

pentru f ,dac limitele laterale ale funciei f n punctul 0x exist i sunt finite.

Un punct de discontinuitate D0 x este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu

este de prima spe.(cel puin una din limitele laterale ale funciei f n punctul 0x nu este

finit sau nu exist)

Teorem: Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D f continu n 0x

)()( 00 xlxl ds = f( )0x

Teorem:Funciile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiie. Operaii cu funcii continue

Teorem:Fie f,g:D R continue pe D

f+g, ),min(),,max(,),0(, gfgffgg

fgf sunt funcii continue pe D.

Compunerea a dou funcii continue este o funcie continu. Teorem: Fie f:[a,b]R o funcie continu a.. f(a)f(b)

21

Asimptote

1.Asimptote verticale

Definiie:Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este

asimptot vertical la stanga pentru f,dac

)(lim xf

axax

sau

)(lim xf

axax

.

Definiie:Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este

asimptot vertical la dreapta pentru f,dac

)(lim xf

axax

sau

)(lim xf

axax

.

Definiie : Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a

este asimptot vertical pentru f dac ea este asimptot vertical att la stnga ct i la dreapta sau numai lateral.

2.Asimptote oblice

Teorema : Fie f :E ,R unde E conine un interval de forma(a, )

Dreapta y=mx+n,m 0 este asimptot oblic spre + la graficul lui f dac i numai dac

m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(

lim mxxfnx

xf

xx

.Analog la - .

3.Asimptote orizontale

Dac llxfx

,)(lim

numr finit atunci y = l este asimptot orizontal spre + la graficul

lui f.

Analog la - Obs :O funcie nu poate admite att asimptot orizontala ct i oblic spre + (- )

Funcii derivabile

Definiie:Fie f:D R ,x D0 punct de acumulare pentru D

Derivata ntr-un punct:f )( 0' x =

0

0 )()(lim0 xx

xfxf

xx

.

f este derivabil n x 0 dac limita precedent exist i este finit.

Dac f este derivabil n 0x , graficul funciei are n punctul ))(,( 000 xfxM tangent a

crei pant este )( 0' xf .Ecuaia tangentei este: ))(()( 00

'

0 xxxfxfy .

Teorem:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D f este derivabil n

punctul de acumulare 0x (finite)R)()( 0'

0

' xfxf ds 0

0 )()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx

= .

Rxx

xfxf

xxxx

0

0 )()(lim

0

0

.

Teorem . Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct. Puncte de ntoarcere.Puncte unghiulare.

Definiii:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D.Punctul x 0 se numete punct

de ntoarcere al funciei f, dac f este continu n x 0 i are derivate laterale infinite i

diferite n acest punct. Punctul x 0 se numete punct unghiular al funciei f dac f este

continu n x 0 ,are derivate laterale diferite n x 0 i cel puin o derivat lateral este finit.

22

Derivatele funciilor elementare

Functia Derivata

c 0

x 1 *

Nnxn , 1nnx

Rrxr , 1rrx

x

x2

1

n x n nxn 1

1

xln

x

1

xe xe

)1,0( aaa x aa x ln

xsin xcos

xcos xsin xtg

x2cos

1

xctg

x2sin

1

xarcsin

21

1

x

xarccos

21

1

x

xarctg 21

1

x

xarcctg 21

1

x

Operaii cu funcii derivabile

Teorem:Fie f,g:D R derivabile pe D f+g ,fg,g

f(g 0 )sunt funcii derivabile pe D.

Compunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil. Reguli de derivare

''')( gfgf ; ''')( gfgfgf ; '')( ff ;2

'''

g

gfgf

g

f

''' )()( uufuf

23

Proprietile funciilor derivabile

Definiie:Fie f:DR.Un punct x 0 D se numete punct de maxim local(respectiv de

minim local)al lui f dac exist o vecintate U a punctului x 0 astfel nct

f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x UD .

Dac f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x D atunci x 0 se numete punct

de maxim absolut(respectiv minim absolut)

Teorem . ( Fermat) Fie I un interval deschis i x 0 I un punct de extrem al unei funcii

: IR. Dac este derivabil n punctul x 0 atunci (x 0 )=0.

Definiie:O funcie : [a, b] R (a< b) se numete funcie Rolle dac este continu pe intervalul compact [a, b] i derivabil pe intervalul deschis (a, b). Teorema lui Rolle

Fie : [a, b] R, a< b o funcie Rolle astfel nct (a)= (b), atunci exist cel puin un punct c (a, b) astfel nct (c)=0. Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie o funcie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel nct (b)- (a)= (b- a)(c) Consecine: 1.Dac o funcie derivabil are derivata nul pe un interval atunci ea este constant pe acel interval.

2.Dac dou funcii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele difer printr-o constant pe acel interval. Rolul primei derivate

3. Fie f o funcie derivabil pe un interval I.

Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict cresctoare( cresctoare) pe I.

Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict descresctoare(descresctoare) pe I.

4.Fie f:D R ,D interval i x 0 D .Dac

1)f este continu n 0x

2)f este derivabil pe D- }{ 0x

3)exist Rlxfxx

)(lim '

0

atunci f are derivat n 0x i f lx )( 0' .Dac Rl atunci f este derivabil n 0x .

Observaie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcii derivabile i se determin punctele de extrem local. Rolul derivatei a doua Teorem: Fie f o funcie de dou ori derivabil pe I.

Dac I,0)(" xxf , atunci f este convex pe I.

Dac I,0)(" xxf , atunci f este concav pe I.

Definiie: Fie f o funcie continu pe I si I0x punct interior intervalului. Spunem c 0x

este punct de inflexiune al graficului funciei dac f este convex pe o vecintate stnga a

lui 0x i concav pe o vecintate dreapta a lui 0x sau invers.

Observaie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate i concavitate i se determin punctele de inflexiune.

24

Noiunea de primitiv

Definiie: Fie I R interval, f : I R. Se numete primitiv a funciei f pe I, orice funcie F : I R derivabil pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.

Teorem.Orice funcie continu f : I R posed primitive pe I.

Teorem:Fie f : I R,I interval ,o funcie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.

Consecine:

1.Dac g : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.

2.Fie g : I R.Dac g(I)= }/)({ Ixxg nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.

3.Dac g : I R are discontinuiti de prima spe atunci g nu admite primitive pe I. Tabel de integrale nedefinite

Cn

xdxx

nn

1

1

,n N ,x R

Ca

xx

aa

1

1

,a 1, aR ,x ),0(

),0(,ln1

xCxdxx sau x )0,(

RxaaCa

adxa

xx ,1,0,ln

),(,0,ln2

1122

axaCax

ax

aax

sau x ),( aa sau x ),( a

RxaCa

xarctg

adx

ax

,0,

1122

),(,0,arcsin1

22aaxaC

a

xdx

xa

RxaCaxxdxax

,0,)ln(1 22

22

),(,0,ln1 22

22axaCaxxdx

ax

sau x ),( a

RxCxxdx ,cossin

RxCxxdx ,sincos

0cos,cos

12

xCtgxdxx

0sin,sin

12

xCctgxdxx

25

Integrala definit

Teorem.Funciile continue pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, . Teorem.Funciile monotone pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, . Proprietile funciilor integrabile. a)(Proprietatea de linearitate)

Dac f,g Rba ].[: sunt integrabile i R

1) b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2) b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b)Dac baxxf , ,0)( i este integrabil pe ba, , atunci 0d)( b

axxf .

c)Dac )()( xgxf pentru orice bax , i dac f i g sunt integrabile pe ba, ,

atunci b

a

b

axxgxxf d)(d)(

d)(Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)

Funcia f : [a, b] R este integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile

1 2[ , ] i [ , ] f f a c f f c b sunt integrabile i are loc formula:

.d)(d)(d)( b

a

b

c

c

axxfxxfxxf

e)Dac funcia f este integrabil pe ba, , atunci i f este integrabil pe ba, i

b

a

b

axxfxxf d)(d)( .

Teorem (Formula Leibniz - Newton)

Dac f : [a, b] R este o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a .

Teorema de medie Dac f : [a, b] R este o funcie continu, atunci exist c[a, b] a.i.

)()(d)( cfabxxfb

a .

Teorema de existen a primitivelor unei funcii continue

Dac g : [a, b] R este o funcie continu,atunci funcia G: [a, b]R,

x

a

baxdttgxG ],[,)()( are proprietile:

1)G este continu pe [a, b] i G(a) = 0

2)G este derivabil pe [a, b] i ],[),()(' baxxgxG

Reinem: )()(

'

xgdttg

x

a

26

Teorem (Formula de integrare prin pri)

Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de

integrare prin pri: ' 'b bb

aa afg dx fg f gdx .

Teorem:Fie f:[-a,a] R, 0a o funcie continu.Atunci

1)

a

a

a

dxxfdxxf0

,)(2)( dac f este funcie par.

2)

a

a

dxxf 0)( ,dac f este funcie impar.

Teorem:Fie f:R R o funcie continu de perioad

T

Ta

a

T

Radxxfdxxf0

,)()(0

Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulimii din plan D R2 mrginit de dreptele x = a, x = b, y = 0 i graficul

funciei f : [a, b] R pozitiv i continu se calculeaz prin formula: ( )Ab

aD f x dx .

2. n cazul f : [a, b] R continu i de semn oarecare, avem: | ( ) |Ab

aD f x dx .

3. Aria mulimii din plan mrginit de dreptele x = a, x = b i graficele funciilor

f , g : [a, b] R continue este calculat prin formula: | ( ) ( ) |Ab

aD g x f x dx .

Volumul unui corp de rotaie Fie f : [a, b] R o funcie continu, atunci corpul C f din

spaiu obinut prin rotirea graficului lui f , Gf, n jurul axei Ox, are volumul calculat prin

formula: .V(C f )= b

a

dxxf )(2