Matematica Distractiva

BONUS Matematic Distractiv 1

MATEMATIC DISTRACTIV

http://www.pentru-copii.com

"O camera fara carti este un trup fara suflet"

Pythagoras


CONTINUT 1. AJUTA-TI COPILUL SA INVETE MATEMATICA ....................................3 2. Matematica Distractiva exercitii ..........................................................5

3. MATEMATICA PENTRU ACASA ..........................................................25 4. Pagini de istorie .....................................................................................36


AJUTA-TI COPILUL SA INVETE MATEMATICA Cum pot ajuta copilul meu sa invete mai usor matematica?

- Este bine cand copiii pun intrebari pentru ca intrebarile sunt cea mai buna modalitate de a invata.

- Copiii au doua resurse minunate care ii ajuta sa invete:

imaginatia si curiozitatea.

- Ca parinti, noi trebuie sa stimulam permanent curiozitatea si imaginatia copilului.

- Lucrand impreuna vei arata copilului, ca invatatul este amuzant

si il vei incuraja sa studieze singur.

- Folosim matematica la cumparaturi, tinand scorul unui eveniment sportiv, la impachetarea unui cadou, la programarea unui cuptor cu microunde... etc.

- Este foarte important sa ajungem la un rezultat corect, dar nu

rezultatul gresit poate fi de asemenea de folos, pentru ca ne arata ce anume nu a inteles copilul.

- De multe ori un rezultat gresit provine din faptul ca, copilul nu a

inteles intrebarea care i-a fost adresata.

- Dac a greit. ntreaba-l pe copil cum a rezolvat problema. Raspunsul lui te poate ajuta sa descoperi unde a gresit. Poate ca vei afla ceva ce l-ar putea ajuta si pe profesor si il poti anunta cum iti poate ajuta copilul.

- Ajuta-l sa efectueze calculele mental, folosind numere mici la

inceput pana cand copilul isi dezvolta abilitatile de a efectua rapid calcule. Folositi intrebari de genul: Daca am 4 pahare si am nevoie de 7, cate trebuie sa mai iau?.


- Incurajeaza-ti copilul sa estimeze raspunsul

- De exemplu la o adunare de genul 18+29 putem obtine un raspuns apropiat daca aproximam pe 18 cu 20 si pe 29 cu 30. astfel vom avea un rezultat: aproximativ 50.

- Lasa-l pe copil sa foloseasca strategiile proprii. Nu toata lumea

foloseste aceleasi metode de rezolvare, de aceea nu trebuie sa-i impui copilului sa gandeasca cum gandesti tu. Cel mai important lucru este ca el sa ajunga la un rezultat corect.


Matematica Distractiva

Nespecialistii afirma ca matematica este o stiinta "uscata", iar matematicienii sunt, de regula, oameni ursuzi, seriosi si fara simtul umorului. Prin prezenta pagina va aducem o serie de contraexemple si va amintim ca fiecare gluma contine o doza de adevar. Distrati-va si zambiti cu pofta si gandind...

Probleme glume Problema 1 Vom considera, convenional,c dac omul nu mnnc 7 zile (o zi 24 de ore) sau nu doarme 7 zile, atunci el va muri. Fie un om care n-a mancat si n-a dormit o saptamana. Ce trebuie sa faca in primul rand la sfarsitul zilei a 7-a pentru a ramane viu: sa manance sau sa doarma? (Dei problema poart un caracter glume, ea are o soluie strict i unic). Soluia Problemei 1 Omul nu poate simultan sa si doarma sa si manance. Deci omul, trebuie sa faca exact ceea ce facea si in urma cu o saptamana! A dormit sau a mancat Problema 2 Au fost adunate mpreun 7 stogulee de fn i nc 11 stogulee. Cte stogulee de fn s-au obinut?


Soluia Problemei 2 S-a obinut un stog mare. Problema 3 Fiecare din cele 5 bile trebuie mutata numai cu un ptrel, ca n rezultat n fiecare rnd, coloan i diagonala s se afle numai o bil.

Soluia Problemei 3

Problema 4 Gndii-v la un numr i scriei-l. nmulii acest numr cu 2 i adunai-l cu1. Apoi nmuliti-l cu 5 i scdetii 5. Imprii numrul obinut cu 10. Rezultatul scriei-l lng primul numr gndit. Ce ai obinut? Soluia Problemei 4


Numrul gndit. Problema 5 nscriei n cerculeele din desen numere de la 1 pn la 7 astfel, nct pe fiecare dreapt suma numerelor s fie egal cu 15. (Soluia problemei nu este unic.)

Soluia Problemei 5

Problema 6 Pe o cas sunt patru couri de fum, pe casa vecin trei, iar pe casa urmtoare dou. Ce obinem n rezultat? Soluia Problemei 6 n rezultat vom primi fum. Problema 7 Cum se zice corect: "9 i 7 va fi 15" sau "9 plus 7 este egal cu 15" ?


Soluia Problemei 7 9+7=16. Problema 8 Desenai acest plic fr a ridica creionul de pe hrtie (fr ntrerupere).

Soluia Problemei 8

Problema 9 Completai ptrelele din desen cu numerele 2, 4, 8, 12, 16, 18, astfel nct suma numerelor unite de drepte s fie egal cu 30 n toate direciile. (Soluie problemei nu-i unic.)

Soluia Problemei 9


Problema 10 Gndii-v la un numr i scriei-l, nmulii-l cu 5, adugaii 2, nmulii-l cu 4 i adugai 3. Acum nmulii rezultatul primit cu 5 i adugaii nc 7. Scriei numrul primit. Tiai ultimele dou cifre. Ce numr ai obinut? Soluia Problemei 10 Numrul gndit. Problema 11 Un biat a avut tot attea surori ct i frai. Dar fiecare sor a avut de dou ori mai muli frati dect surori. Ci copii n total au fost n familie? Ci biei sunt i cte fete? Soluia Problemei 11 7 copii: 4 biei i 3 fete. Problema 12 Se dau urmatoarele numere: 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 acestea trebuiesc aranjate n ptratul magic, astfel incat suma numerelor pe fiecare vertical, orizontal i diagonal s fie aceeai.


Soluia Problemei 12

Problema 13 Cum din 45 (suma, care se compune prin adugarea numerelor de la 1 la 9) de sczut 45, ca n rezultat se obin ... 45? Soluia Problemei 13

Problema 14 Trenul electric merge de la est spre vest. Accelernd mersul, trenul face 60 km pe or. n aceeai direcie, de la est spre vest, sufl vntul, dar cu viteza 50 km pe or. n ce direcie va fi dus fumul trenului? Soluia Problemei 14 n nici o direcie. Trenul electric nu face fum.


Problema 15 Din 12 beioare sunt compuse 5 ptrate. nlturai 2 beioare astfel, nct s rmn numai dou ptrate de dimensiuni diferite.

Soluia Problemei 15

Problema 16 Presupunem, c globul pmntesc este cuprins pe ecuator de un cerc, care dup lungime ntrece ecuatorul cu 10 m. Admitem c tot cercul este egal ndeprtat de suprafaa pmntului. Ct de mare va fi distana ntre suprafa i cerc? S-ar putea, spre exemplu, s ptrund o musc sub cerc? Soluia Problemei 16 Distana ntre suprafaa pmntului i cerc va fi aproximativ 1.6 m. Aceast distan este suficient, ca sub cerc s treac chiar si un om de statur mic. Problema 17


Un om spune prietenului: "Eu am prins muli peti mari, dar cei mici de dou ori mai puin. n total am avut 16 peti". Este oare just? Soluia Problemei 17 Cuvintele spuse nu sunt juste, deoarece 16 nu se mparte fr rest prin 3. Problema 18 Compunei exemple cu rspuns 100. Se pot folosi semnele matematice +, , , / : a) de cinci ori cu cifra 1 ; b) de patru ori cu cifra 9 ; c) de cinci ori cu cifra 5 . Spre exemplu, "de cinci ori cu cifra 3" : 333+3/3 = 100. Soluia Problemei 18 a) 11111 = 100; b) 99+9/9 = 100; c) 55555 = 100. Problema 19 ntr-o zi torid de var, cnd vzduhul zngnete de gze, pe o pajite mic i verde cu aria de 3.5 hectare pasc doi cai de aceeai culoare i prsil, care difer ntre ei numai prin faptul c, coada unuia e legat. Pajitea are form de paralelogram i un cal mnnc iarb, micndu-se pe diagonala acestuia, iar cellalt pe laturi. Care din aceti cai va mnca mai mult iarb ntr-o or, dac au


poft de mncare egal i ptura vegetal a pajitei este la fel pe toat suprafaa? Soluia Problemei 19 Mai mult iarb va mnca acel cal, a crui coad e legat: el nu va fi sustras de la mncare pentru ca s alunge musculiele. Problema 20 Opt numere 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 trebuiesc aranjate n ptrele, astfel nct fiecare din cele patru sume (n ptratul exterior, cel interior i pe diagonale) s fie egal cu 20.

Soluia Problemei 20

Problema 21 Un morar a venit la moar. n fiecare din cele patru coluri ale ncperii el a vzut trei saci de fin. Pe fiecare sac s-au aezat trei me, iar fiecare m a avut pe lng dnsa trei motnai. Se ntreab, cte picioare au fost la moar?


Soluia Problemei 21 Dou picioare ale morarului, deoarece mele i motnaii au labe. Problema 22 Cum se poate ca un sac de gru, mcinndu-l s umpli doi saci, care au aceeai mrime ca i sacul n care se afl grul? Soluia Problemei 22 Trebuie unul din cei doi saci goi pus nuntrul celuilalt i apoi umplut cu gru mcinat. Problema 23 Mutai unul din beioare astfel nct egalitatea s fie adevrat: a)

b)

Soluia Problemei 23 a)


b)

sau Problema 24 Doi pe drum s-au ntlnit i trei cuie au gsit, Patru se vor ntlni cte cuie vor gsi? Soluia Problemei 24 Cel mai probabil, c nimic nu vor gsi. Problema 25 Zburau nite rae: una nainte i dou n urm, una n urm i dou nainte, una-i printre dou i trei n rnd. Cte rae au zburat n total? Soluia Problemei 25 Au zburat trei rae, una dup alta. Problema 26 Doi sptori dezgroap 2 m de groap n 2 ore. Ci sptori n 5 ore vor dezgropa 5 m de groap?


Soluia Problemei 26 Doi sptori. Problema 27 Doi tai i doi feciori au prins trei iepuri, dar fiecrui ia revenit cte un iepure. Se ntreab, cum aa s-a ntmplat? Soluia Problemei 27 Au fost bunicul, feciorul lui i nepotul. Problema 28 Aranjai numerele 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 n ptrelele ptratului magic astfel nct suma n fiecare rnd i coloan s fie egal cu 18.

Soluia Problemei 28


Problema 29 De scris cu cifre numrul, compus din unsprezece mii, unsprezece sute i unsprezece uniti. Soluia Problemei 29 Muli consider c acest numr va fi 111111. n realitate numrul cerut va fi 12111 = 11000 + 1100 + 11. Problema 30 Ce este aceasta: dou picioare s-au aezat pe trei, dar cnd au venit patru i au terpelit un picior, atunci cele dou au luat pe trei i le-au aruncat n cele patru, pentru ca patru s lase unu? Soluia Problemei 30 Un buctar s-a aezat pe un scaun , care avea 3 picioare, a venit un cine i a furat un picior de gin. Buctarul a aruncat scaunul n cine, ca el s las piciorul de gin. Problema 31 Ce este aceasta: dou capuri, dou mini i ase picioare, iar n mers numai patru? Soluia Problemei 31 Un clre pe un cal.


Problema 32 Cum de aflat numrul par gndit? Propunei cuiva s se gndeasc la un numr par, apoi s nmuleasc acest numr cu 3, rezultatul s mpart prin 2 i din nou s nmuleasc cu 3. Dup declararea rezultatului operaiilor aritmetice dumneavoastr putei indica numrul gndit. Cum de fcut acest lucru? Soluia Problemei 32 Pentru aflarea numrului gndit trebuie s mprii numrul declarat prin 9 i apoi s nmulii rezultatul cu 2.

Argumentare.

Fie c cineva s-a gndit la un numr par, pe care l vom nota 2k. Atunci n rezultatul operaiilor aritmetice vom primi numrul

(((2k 3) : 2) 3) = 9k.

mprind rezultatul prin 9 i nmulind cel primit cu 2, vom afla numrul gndit 2k. Problema 33 Cum ghicii dou numere? Propunei cuiva s se gndeasc la dou numere, unul dintre care s depeasc pe celalalt cu 1 i fiecare s fie mai mic dect 9. Apoi rugai s nmuleasc aceste numere ntre ele, din produs s scad numrul mai mic (din cele dou) i rezultatul de nmulit cu acest


numr mai mic. Dup ultima cifr declarat a rezultatului obinut, dumneavoastr putei ghici numerele gndite. Soluia Problemei 33 Pentru determinarea numerelor gandite trebuie memorat tabelul:

ultima cifr 1 2 3 4 5 6 7 8

numere gndite

1; 2

8; 9

7; 8

4; 5

5; 6

6; 7

3; 4

2; 3

Se poate memora numai numrul mai mic din cele dou n rndul al doilea al tabelului. Dac cifra e egal cu 1, 4, 5 sau 6 (cu aceste cifre se termin ptratele numerelor ntregi), atunci ea coincide cu numr mai mic din cele gndite. n restul cazurilor numr mai mic, egal cu adaosul cifrei declarate pn la 10.

Argumentare.

Fie c au fost gndite numerele k i k+1, unde 1 k 8. Atunci produsul acestor numere este egal cu:

k (k+1) = k2 + k. Dac din rezultat scdem numrul k (mai mic din cele gndite), atunci primim k2. Ridicnd consecutiv numerele de la 1 pn la 8 la cub, obinem:

13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 216 73 = 343 83 = 512.

Fiecare din cuburi se termin cu o cifr de la 1 pn la 8, i nu exist dou, care se termin cu aceeai cifr. De aceea, dac memorm


tabelul cuburilor numerelor de la 1 pn la 8, atunci dup ultima cifr a cubului se poate determina care numr a fost ridicat la cub. Problema 34 Cum aflm numrul gndit? Propunei cuiva s se gndeasc la un numr nu prea mare (pentru simplitatea calculelor) i s nmuleasc acest numr cu el nsi. La rezultat cerei s adauge numrul gndit dublat, iar apoi s aduge 1. Dup rezultatul declarat dumneavoastr putei s indicai numrul gndit. Cum se face aceasta? Soluia Problemei 34 Pentru a afla numrul gndit trebuie din cel declarat de extras rdcina ptratic, i apoi de sczut o unitate.

Argumentare.

Fie c cineva s-a gndit la un numr k. Dup operaiile propuse vom primi:

kk + 2k + 1 = (k+1)2.

Numrul (k+1)2 i va fi declarat. Problema 35 Cum gsim cifra? Scriei pe foaie un numr, suma cifrelor se mparte prin 9, i ntorcndu-v cu spatele, propunei cuiva s nmuleasc acesta cu orice numr. n rezultat propunei s se exclud oricare cifr, n afar


de 0, i cifrele rmase s fie permutate n orice ordine. Dup declararea rezultatului operaiilor indicate mai sus, putei spune ce cifr a fost exclus. Cum gsim cifra? Soluia Problemei 35 Cifra exclus este cel mai mic numr natural, care trebuie adugat la suma cifrelor rmase, pentru a obine numr ce se mparte prin 9. Dac suma cifrelor numrului declarat deja se mparte prin 9, atunci a fost exclus cifra 9.

Argumentare.

Metoda de ghicire a cifrei excluse se bazeaz pe faptul c diferena ntre orice numr i suma cifrelor lui ntotdeauna se mparte prin 9.

Fie A = = 10nan+10

n-1an-1+ ... +10a1+a0 numrul natural, scris cu ajutorul a (n+1) cifre. Diferena dintre acest numr i suma cifrelor lui este:

A (an+an-1+ ... +a1+a0) = an(10n1)+an-1(10

n-11)+ ... +a1(101) =

deci, se imparte prin 9.

Baza metodei de ghicire.

Fie B numrul scris de dumneavoastr, suma cifrelor cruia se mparte prin 9. Din cele expuse rezult, c i numrul B se mparte prin 9. Apoi acest numr a fost nmulit cu orice numr ntreg i s-a obinut numrul C, care la fel se mparte prin 9. Deci, suma cifrelor lui C se mparte prin 9. Dac excludem o cifr m a numrului C, atunci numrul D, obinut n rezultat, va avea suma cifrelor cu m mai mic, dect suma cifrelor ale numrului C.


Deoarece n rezultatul permutrii cifrelor suma lor nu se schimb, atunci cifra tiat (0 nu se taie) va fi ntotdeauna egal cu cel mai mic numr natural, care trebuia adugat la suma cifrelor rezultatului declarat, pentru obinerea numrului ce se mparte prin 9. Problema 36 A ghici cifra exclus. Rugai pe cineva s scrie un oarecare numr cu multe cifre, numai s nu fie toate la fel. Apoi propunei s fac o permutare a cifrelor acestui numr astfel nct s obin un numr diferit de primul i s-l scrie. Rugai s scad numrul mai mic (din cele dou scrise) din cel mai mare, iar n diferena obinut de exclus orice cifr diferit de 0. Apoi aflat suma cifrelor rmase i spune rezultatul. Dup rezultat dumneavoastr putei s spunei, ce cifr a fost tiat. Soluia Problemei 36 Cifra tiat este aceea, care trebuie s fie adugat la numrul declarat pentru a obine numrul cel mai apropiat ce se mparte prin 9. Dac numrul declarat deja se mparte prin 9, atunci a fost tiat cifra 9.

Argumentare.

Fie numerele A i B au aceiai sum a cifrelor S. Deoarece diferenele AS i BS se mpart prin 9 (rezolvarea problemei precedente), rezult c i C=AB=(AS)(BS) se mparte prin 9. Deci, suma cifrelor lui C se mparte prin 9. Demonstraia de mai departe este echivalent cu cea din problema precedent.


MATEMATICA PENTRU ACASA "Invatat este omul care nu termina niciodata de invatat" N.Iorga Aceasta sectiune, ofera posibilitatea folosirii unor jocuri si activitati pentru a explora matematica impreuna cu copilul tau, chiar si acasa.

Activitatile pentru gradinita si clasa 1 sunt notate cu * Activitatile pentru clasele 2-3 sunt notate cu # Activitatile pentru clasele 4-8 sunt notate cu %

De retinut! Aceasta este o oportunitate pentru tine si copilul tau de a vorbi matematic aceasta inseamna a comunica despre matematica in timp ce investigam si relatia copil-parinte. Daca ceva este prea dificil, alegeti o activitate mai usoara sau asteptati pana mai creste copilul.


Rezolva puzzle * Utilizati simboluri in locul unor numere pentru a face matematica mai amuzanta si usoara pentru cei mici. De ce aveti nevoie: - foaie de hartie; - creion.

Ce trebuie sa faceti: Alegeti niste simboluri pe care copilul le poate desena usor si asociati-le cu numere de la 1 la 10 (de exemplu: 1 un patrat; 2 un cerc; 3 un copac; 4 un cap de clovn, etc.). In acest fel copilul poate invata mai rapid numerele facand asocieri cu imaginile. Daca copilul este mai mare se pot folosi numere pana la 100 sau 1000. Rezolvarea de probleme # Acest joc presupune rezolvarea problemelor si intelegerea valorii numerelor. De ce aveti nevoie: - carti de joc; - goaie de hartie; - creion.

Supersume Fiecare jucator va scrie

numerele de la 1 la 12 pe o foaie de hartie. Obiectivul acestui joc este sa fi primul care taie aceste numere de pe lista. Folositi doar cartile de la 1 la 6 (indiferent de culoare). Fiecare jucator alege 2 carti si le aduna valorile. Jucatorul poate alege: fie sa taie de pe lista suma numerelor, fie alte 2, 3 numere a caror suma este obtinuta.


De exemplu: avem cartile 5 si 6 care adunate dau 11, fie taie de pe list numarul 11; fie numerele 5 i 6; sau 10 i 1; sau 2 i 9 sau 8 i 3; sau 1, 2 i 8, etc.

Facei 100 Se scot toate crile n afara de as i crile de la 1

la 6. Fiecare jucator extrage 8 cri de joc din pachet i poate decide dac folosete cartea ca multiplu de zece sau aa cum este.

De exemplu: dac se extrage numarul 6 poate fi folosit ca 6 sau ca 60. se aduna apoi valorile celor 8 carti incercandu-se sa se ajunga la o suma cat mai apropiata de 100. de exemplu: se extrag 1 1 2 5 3 3 4 6. Se pot folosi astfel: 30+40+10+5+6+1+3+2=97 Acest joc ajuta copilul sa vada diferite modalitati de a utiliza numerele in diferite combinatii pentru a castiga.

Umple golurile * Copiii adora s se joace cu msurri i estimari. Cutii sau pahare goale pot oferi cea mai buna ocazie de a face comparari, estimari. De ce aveti nevoie: - cutii goale de diferite forme (de la iaurt, margarina, sucuri,

inghetata); - orez, porumb, popcorn, apa; - hartie, marker, banda de lipit;

Ce trebuie sa faceti:

Umpleti diferitele cutii cu (apa, orez, porumb....) si incercati sa stabiliti care este cea mai mare. Turnati apoi continutul in alt recipient si discutati cu copilul daca este plin, daca este aproape plin, pe jumatate plin.

Pune-i copilului intrebari de genul: Care este mai mare?,

Care este mai mic?


Puneti etichete pe fiecare si scrieti: cel mai mare, cel mai mic, mai mic, la fel.

Intreaba-l pe copil cate recipiente sunt la fel, cate sunt mai mici, cate sunt mari. Jumatate plin / jumatate gol # De ce aveti nevoie: - cutii goale si ambalaje ca in exemplul de mai sus; - banda de lipit; - marker; - cesti de masurat cu gradatii.


Turnati apa in cutii si faceti semne cu marker-ul dupa ce a-ti turnat o ceasca, dupa 2, dupa 3, dupa 4.

In timp ce umpleti recipientul puneti intrebari copilului: Cate cesti crezi ca intra? Daca intra 4 cesti si noi am pus doar o ceasca, care este fractia carespunzatoare? Raspunsul ar fi: 1/4

La cumparaturi # Acest joc poate ajuta copiii sa verifice daca au primit bine restul si sa numere banii, mai ales daca merg singuri la magazin. Cu cat se fac mai multe repetitii cu atat va fi mai eficient jocul. De ce aveti nevoie: - diferite monede si bancnote (daca copilul este mai mic nu se

folosesc prea multi bani diferiti);


Ce trebuie sa faceti: Alegeti rolurile: cumparator sau vanzator Fiecare are o suma de bani pe care o stabiliti la alegere Cumparatorul, cumpara ceva si vanzatorul trebuie sa-i dea

restul corect (daca copilul este vanzator) In cazul in care tu esti vanzatorul il poti pune la incercare (dupa

ce a invatat) ii dai mai putin sau mai mult rest si vezi daca observa.

Valoarea banilor % De ce aveti nevoie: - bani; - cupoane valorice.


Il inveti ce valoare au cupoanele Jocul este identic cu cel de sus, cu diferenta ca se vor folosi

cupoane. Priveste cu atentie # Aceasta activitate ajuta copilul sa inteleaga cum sunt grupate obiectele in mod logic. De ce aveti nevoie: - ziar; - foaie de hartie; - foarfeca; - lipici;



Selectie. Arata-i copilului ca zizrul este impartit pe diferite sectiuni si explica-i care este tema acestei sectiuni. Arata-i si ca paginile sunt numerotate. De exemplu: pagini de informatii generale, politica, administrativ, invatamant, sport...

Publicitate. Adu-i copilului mai multe oferte de la diferite magazine. Uitati-va la produse si la preturi si pune-l sa le compare si sa afle de exemplu care magazin are cele mai ieftine sucuri.

Cauta in ziar % Copilul terbuie sa caute in zair informatii matematice. De ce aveti nevoie: - mai multe ziare.


Sa gaseasca in ziar urmatoarele lucruri: o un grafic o un numar mai mare ca 10 o numerele ordinale: al 2-lea,.... o un numar intre 50 si 100 o un numar intre 100 si 999 o un triunghi o un simbol pentru vreme o un simbol % o statistici sportive.

Sa faca o lista. Ii dati o oferta de la un magazin si il puneti sa faca o lista cu tot ce ar terbui cumparat pentru o saptamana ii spuneti si suma in care trebuie sa se incadreze. Daca costul depaseste bugetul, discutati cu el ce trebuie sa mai eliminati de pe lista. Vanatoarea de comori * Casa oricui ascunde comori si copiii adora sa gaseasca lucruri ascunse.


De ce aveti nevoie: - nasturi - chei mai vechi; - scoici; - pietre; - capace de sticle; - suruburi; - orice altceva care poate fi numarat.


Gasiti un recipient in care sa puneti comorile Sortati comorile Folositi comorile pentru a efectua operatii aritmetice. De

exemplu daca participa 3 copii si avem 17 nasturi, aflati cati primeste fiecare.

Cantareste # La cantar poate merge intreaga familie, poate fi chiar amuzant. Fiecare poate incerca sa ghiceasca gramajul si copiii pot fi entuziasmati daca sunt lasati sa cantareasca. De ce aveti nevoie: - cantar


Explica-le copiiilor cum functioneaza cantarul Incercati sa estimati greutatea produselor inainte de a le cantari Pune copilului intrebari de genul:

Cat crezi ca vor cantari cele 6 mere? Un kilogram? Mai mult sau mai putin? Ce crezi, cartofii vor cantari mai mult decat merele?

Ghiceste forma *


La magazin avem ocazia sa vedem tot felul de forme si acest lucru poate fi folositor copilului pentru ca ii putem oferi o lectie de geometrie. De ce aveti nevoie: - produse de la magazin


Inainte de a merge la magazin arata-i copilului cateva forme geometrice

Cand ajungeti la magazin arata-i produsele si intreaba-l ce forma crede ca au: rotund, patrat, dreptunghi...; ce fel de margine au: drepte, curbe,...

Incercati sa gasiti forme mai deosebite ca: piramida, conuri. Cutiile, conservele, sulurile de servetele de bucatarie, conurile de inghetata, portocalele, rosiile, toate acestea sunt forme geometrice. Recunoscand aceste forme copiii fac legatura dintre aceste si viata reala. Verifica # Casieria este locul unde se foloseste intr-adevar matematica intr-un magazin. Aici sunt adunate toate preturile si se plateste, iar uneori primim si rest. De ce aveti nevoie: - produsele pe care doriti sa le cumparati


Puneti-l pe copil sa estimeze: care ar fi totalul de plata? Intrebati-l cam cat ar fi restul daca ati da o suma de bani. Numarati restul in fata copilului sa vedeti daca este corect.


Pune deoparte * De ce aveti nevoie: - plasa cu cumparaturi; - masa pe care sa efectuati sortarea


Gasiti produsele care au aceleasi caracteristici. De exemplu: unele sunt cutii altele sunt conserve.

Grupati produsele cu aceleasi caracteristici Lasa-l pe copil sa faca aceste lucruri dupa ce-i explici care este

regula. Pune-l sa numere cate produse sunt intr-o grupa.

MATEMATICA LA DRUM Se intampla uneori sa calatorim: fie ca este vorba de calatorie in interes de serviciu, vacanta, sau chiar o vizita. In timp ce efectuati calatoria, incurajati-va copilul sa observe: - cladirile si numerele de pe acestea - numerele de telefon de pe taxiuri - datele de pe monumente - etc

ACTIVITATI Gradinita si clasa 1: - Cautarea numerelor

Clasele 2 si 3: - Placute de inmatriculare - Total

Clasele 4 pana la 8: - Cat de lung/cat de departe - Ghiceste daca poti


Cautarea numerelor* Scopul acestui joc este de a cauta numere: pe cladiri, masini, autobuze... De ce aveti nevoie: - un loc de unde se poate observa - foaia de hartie - creion


Scrieti toate numerele pe care le puteti observa Scrieti si locul unde a fost vezut numarul

Cat de lung/cat de departe? % Uneori cand pleci la drum trebuie sa sti ce distanta vei parcurge pentru a pune suficienta benzina sau trebuie sa sti ora la cre vei ajunge. De ce aveti nevoie: - informatii despre cat de departe este destinatia.


Intreaba-ti copilul cat de departe crede ca este. Cativa kilometri, zeci de kilometri?

Vorbiti despre cat timp va dura sa ajungeti acolo. Ghiceste daca poti % De ce ai nevoie: - intrebari despre numere



Lasa-l pe copil sa se gandeasca la un numar, iar tu incearca sa ghicesti

Pune intrebari: De exemplu: copilul spune: ma gandesc la un numar intre 1 si 100 parintele: Este cumva 50? copilul spune: Nu, e mai mult parintele: 60 copilul spune: mai putin parintele: 55 ...etc Pana se ghiceste numarul si pe urma se pot inversa rolurile.


Pagini de istorie

Pythagoras

"Fii drept in cuvant si in fapta" Pythagoras

(ap. 580 ap. 500 .e.n.)

Pythagoras a avut mai mare noroc dect ali savani ai lumii antice. Despre el s-a pstrat o mulime de legende i mituri, adevrate sau ba. De numele lui se leag mari descoperiri din domeniul matematicii, i n primul rnd teorema care poart numele lui. ns aceast teorem n-a fost descoperit de Pythagoras. Ea a fost cunoscut pentru cazuri particulare n China Antic, Babilonia, Egipt. Unii consider, c Pythagoras a fost primul care a dat o demonstraie riguroas a acestei teoreme, alii nu recunosc nici meritul acesta.

Probabil ns, nu exist o alt teorem care ar avea attea comparaii. n Frana i unele regiuni ale Germaniei n evul mediu


teorema lui Pythagoras se numea "puntea mgarilor". La matematicienii Orientului ea era cunoscut sub denumirea de "teorema miresei". Istoria este urmtoare: n unele texte "Elemente" lui Euclides aceast teorem se numea "teorema nimfei" pentru asemnarea desenului cu albin sau fluture, ceea ce n limba greac se numea "nimfa". Dar unele zeie i n general femeile tinere i miresele erau nutite de greci cu acelai cuvnt. La traducerea din limba greac n cea arab ns nu s-a atras atenie la desen, i "nimfa" s-a transformat din "fluture" n "mireas".

Se spune, desigur, fiind numai legend, c Pythagoras, dup ce a demonstrat celebra teorem, a mulumit zeii, sacrificnd 100 de boi. Dar aceast povestire nu seamn adevrului, deoarece Pythagoras a fost un vegetarian i adversar nempcat al tierii animalelor i vrsrii de snge.

Pentru noi Pythagoras este un matematician, iar n antichitate n-a fost la fel. Herodot l numete pe Pythagoras "nvtorul nelepciunii", dar indic c adepii lui nu nmormntau morii n mbrcmintele de ln. Aceast seamn mai mult cu religia, dect cu matematica.

Pentru contemporanii si Pythagoras a fost n primul rnd un profet religios despre care spuneau, c are o coast de aur sau apare simultan n dou localiti diferite. Unele texte l prezint ca semizeu, aa cum el nsui s-ar fi imaginat: fiul lui Hermes. Pythagoras a considerat c exist trei feluri de fiine diviniti, oameni obinuii i "fiine n felul lui Pythagoras". n literatur pythagorienii se reprezentau mai mult ca vegetarieni pretenioi i superstiioi, dect ca matematicienii.

Despre viaa lui Pythagoras mult vreme informaiile au fost contradictorii, fiind considerat cnd ca un personaj legendar, cnd ca omul istoric.

Se tie c s-a nscut n prima perioad a secolului al VI-lea (ap.580) i c ar fi trit pn la anul 500. Se zice c ar fi fost de "neam berber", etrusc din Italia, nscut pe insula Samos. Pythagoras a cunoscut ndeaproape cultura greceasc a timpului su, 22 de ani a cltorit n Egipt (unde ar fi aflat c sufletul este nemuritor), 12 ani se


ocupa cu tiine n Mesopotamia. Probabil c, anume de la preoii i magii Babilonului a preluat misticismul numrului, care a fost transformat de ctre Pythagoras n filosofie proprie. L-ar fi cunoscut pe Zarathustra, concepia acestuia influenndu-l mai ales n expunerea viziunii despre contrarii i rolul lor. Rentorcndu-se la Samos, Pythagoras a nfiinat o coal, mai exact a strns n jurul lui oameni care i mprteau ideile, i-a organizat, practicnd un nvmnt specific nchis, cu reguli draconice, asemntor mai degrab unei secte.

coala lui Pythagoras a devenit un "ordin" cu cicluri de iniiere, reguli i norme de comportare, n care intrarea era tot att de dificil ca i ieirea. Erau trei reguli forte ale acestui "ordin" ascultarea, tcerea i supunerea. S observm, c nici un text nu vorbete despre suprimarea gndirii novicelui, ci doar de supunere, tcere i ascultare, iar aceasta pentru o perioad de 2-5 ani. Abia dup ce nvau "lucrurile cele mai grele tcerea i ascultarea" abia atunci unii puteau s vorbeasc, s ntrebe i s-i spun prerile lor. O alt regul a colii era pstrarea secretului. Aceast regul era cu mult mai aspr dect cele dinainte. Nerespectarea ei putndu-se penaliza, n anumite cazuri, chiar cu pierderea vieii. Regula a avut efect negativ, pentru c obligativitatea secretului n-a fcut din doctrin o parte component a culturii n circulaie.

Pythagorienii se trezeau mpreun cu rsritul de soare, cntau poeziile, acompaniind la lir, apoi fceau gimnastic, se ocupau de teoria muzicii, filosofie, matematic, astronomie i alte tiine. Deseori studiile se petreceau la natur sub form de discuie. ntre primii ucenici ai colii au fost i femei, inclusiv i Teano soia lui Pythagoras.

Dar ideologia aristocratic i net antidemocratic a colii pythagoriene intra n contradicii cu democraia antic, care domina n acest timp la Samos. Prsind insula, Pythagoras i adepii si i-au gsit refugiul la Crotona, unde pentru un timp au trit n admiraia oamenilor, fiind apreciai pentru comportarea lor.

n pythagorism s-au format de timpuriu dou orientri care nu aveau s fie unitare, dar cu timpul, ele vor fi chiar profund divergente "asumaticii" i "matematicii". n prima orientare vor prevede aspectele


de ordin etic i politic, pedagogic-educativ, iar n cea de-a doua cercetrile din domeniul mai ales al geometriei. Filosofia lui Pythagoras cuprinde principiile, valori tiinifice propriu zise, o viziune despre om i educaia omului, ideile social-politice. Pythagorismul a asumat numrul ca principiu, a dat unei valori tiinifice semnificaia universal (performana repetat de atunci i de alte sisteme filosofice). Omagiul de numr se datoreaz observaiilor asupra fenomenelor lumii nconjurtoare, care au fost nsoite de speculaii mistice.

Ocupndu-se de armonie, pythagorienii au observat c deosebirile calitative ale sunetelor sunt cauzate de deosebiri cantitative ale coardelor sau flautelor. Astfel un acord armonic n sunetul a 3 coarde se obine n cazul, cnd lungimile lor se raport ca 3:4:6. Acelai raport a fost observat i n multe alte cazuri, de exemplu, raportul ntre fee, vrfuri i muchii ai unui cub este 6:8:12.

Ocupndu-se de ntrebarea despre acoperirea suprafeei plane cu poligoane regulate de acelai fel, pythagorienii au aflat, c sunt posibile numai trei cazuri de aa acoperiri: n jurul unui punct al planului pot fi aranjate sau 6 triunghiuri regulate, sau 4 ptrate, sau 3 hexagoane regulate.

Numerele de poligoane n aceste trei cazuri se afl n raport de 6:4:3, iar raportul numerelor de muchii ale poligoanelor este 3:4:6.

Pe baza unor observaii de aa natur n coala lui Pythagoras a aprut credina, c toate fenomenele universului sunt supuse numerelor ntregi i relaiilor ntre acestea. De fapt, nu att matematicul capt transfigurare filosofic n pythagorism, ci geometricul. Punctul, fiind scos din situaia lui de construcie geometric se transform n numr, iar numai apoi n marea realitate a lumii.


Pentru Pythagoras principiul lumii este numr, avnd punctul ca expresia corporal a lui. Tot ceea ce este, este numr. Indiferent este vorba de un corp oarecare, de un lucru, de o structur a universului ori de o melodie, de suflet, de iubire, de minte, toate vin din numr i toate sunt numere. Numr este, deci, esena lumii i realitatea ei actual, originea i cauza ei, dar nu este o "idee" sau o "abstracie". Universul e rezultatul "devenirii" numrului.

Deogene Lartios nota c, pentru pythagorieni "principiul tuturor lucrurilor este unitatea, dar n aceast unitate provine doimea nedefinit, servind ca suport material al unitii, care este cauza". Din unitate i doime, continu Deogene Lartios, se extrag numerele, din numere punctele, din puncte liniile, din linii figurile plane, din figurile plane figurile solide.

Astfel educaia n matematic i prin matematic avea destinaia precis a adepilor pythagorismului. Cercetnd numerele, coala lui Pythagoras a pus nceputurile teoriei numerelor. Aici ns, ca i n toat Grecia Antic, practica calculelor nu se considera un lucru demn pentru colile filosofice, ci o chestiune zilnic a oamenilor de rnd. De aceea pythagorienii studiau numai proprietile numerelor, dar nu calculul practic.

Numrul pentru pythagorieni reprezenta o colecie de uniti, deci pot fi numai numere ntregi pozitive. Unitile care alctuiesc numrul au fost considerate indivizibile i au fost reprezentate prin puncte, situate n felul unor figuri geometrice regulate. n aa fel pythagorienii au obinut iruri de numere "triunghiulare", "ptratice", "pentagonice". Fiecare ir reprezenta n sine sumele consecutive ale unei progresii aritmetice.

Pe desen sunt artate numerele "triunghiulare" 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; reprezentare general a lor fiind:


.

Pe desenul precedent sunt artate numerele "ptratice" 1, 1+3=4, 1+3+5=9; form general a lor:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2.

Numerele "pentagonice" 1, 1+4=5, 1+4+7=12, artate pe desenul de mai sus, au urmtoare reprezentare general:

.

La fel, pythagorienii au evideniat numerele "cubice" 1, 8, 27, ... ; numerele "piramidale" sumele celor "triunghiulare":

.

Studiind proprietile numerelor, pythagorienii primii au atras atenie la legile de divizibilitate. Ei le-au mprit pe toate n pare i impare, n simple i compuse. Numerele compuse, ce se descompun n produs de doi factori, pythagorienii le numeau "numerele plane" i le


reprezentau sub form de dreptunghiuri. Iar numerele compuse, ce se descompun n produs de trei factori, "numerele corporale", i le reprezentau sub form de paralelipipede. Numerele simple, ce nu se descompun n produs de factori, au fost numite "numere liniare". Pythagorienii au creat nvtur despre numerele pare i impare, care din poziiile contemporane poate fi considerat ca teoria devizibilitii prin 2.

Sunt cunoscute unele probleme teoretice cu care se ocupau pythagorienii. Ei au studiat ecuaia

x2 + y2 = z2, soluiile ntregi ale careia nc de atunci se numesc "triplete pythagorice", i au aflat o infinitate de aa triplete de forma

.

Pythagorienii se ocupau de problema gsirii numerelor perfecte, care sunt egale cu suma tuturor divizorilor sale (cu excepia a nsi numrului) ca, de exemplu, 6=1+2+3 sau 28=1+2+4+7+14. Numerele perfecte nu-s prea multe. ntre numerele uniforme numai 6, ntre numere compuse din dou, trei i patru cifre numai 28, 496 i 8128 respectiv. Toate aceste sunt pare i au formula 2 p-1(2 p-1), unde p, 2 p-1 sunt numere prime. Pn n prezent nu se tie nici un numr perfect impar i, n genere, dac aceste exist.

Dou numere, care posed proprietatea c suma divizorilor unuia s fie egal cu suma divizorilor altuia, se numesc prietene. Se afirm, c Pythagoras la ntrebarea cine este prietenul a rspuns: "Acela care este alt eu, ca numerele 220 i 284". Alte numere prietene pythagorienii n-au tiut.

Cu ajutorul calculatorului electronic ntr-o universitate din S.U.A. au fost cercetate toate numerele pn la milion. n rezultat s-a obinut colecia din 42 de perechi de numere prietene:

220 284


1184 1210

2620 2924

5020 5564

6232 6368

.a.m.d.

Exist i perechi de numere prietene impare:

12285 14595

67095 87633

.a.

ns formula general pentru acestea nu este cunoscut i pn azi, se tie foarte puin i despre proprietile lor.

Magia numerelor cu fascinaia ei a generat speculaii frumoase. Corpul este numrul 210, focul numrul 11, aierul numrul 13, apa numrul 9. Calitatea i culoarea ar fi exprimate cu cifra 5; 6 este potena creatoare de via; 7 semnific inteligena, lumina primordial, principiul vieii, sntatea, ciclurile sau bioritmurile; 8 (octava) semnific dragostea, prietenia, chibzuina, gndirea. Universul este analogat cu numrul 10, iar 10 reprezint perfeciunea, echivalen cu tetraktys-ul (1+2+3+4). Tetraktys-ul a fost gndit ca "numr ce cuprinde izvorul i rdcina venic curgtoarei naturii". Pentru a demonstra c 10 este perfeciunea i c exprim universul, Pythagoras avea s adauge celor nou cercuri (cer, Soarele, Luna, Pmnt, Mercuriu, Venus, Martie, Jupiter i Saturn) cel al zecelea al Anti-Pmntului (o invenie arbitrar).

O semnificaie aparte a avut numrul 36. El i-a impresionat pe pythagorieni foarte mult datorit proprietilor sale. Pe de o parte, el reprezint suma cuburilor primelor trei numere (13+23+33), pe de alt este suma primelor patru numere pare i impare:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.


Conform prerii pythagorienilor toat lumea, a fost construit pe primele patru numere pare i impare, de aceea cel mai groaznic jurmnt se considera jurmntul cu numrul 36.

Descoperirea faptului incomensurabilitii laturii i diagonalei ptratului a adus la prima criz. Doctrina lui Pythagoras, bazat pe numere ntregi pozitive, nu putea s accepte existena altor numere. De aceea pythagorienii au jurat cu numrul 36, c vor pstra aceast descoperire n secret. S-a creat o legend conform creia Gippas de la Metapont (adeptul lui Pythagoras), care a nclcat jurmntul, a fost "pedepsit de ctre zei" i s-a pierdut n urma naufragiului.

Rezolvarea unei aa probleme dificile ca construirea poligoanelor i poliedrelor regulate i-a impresionat foarte mult pe cei, care au gsit soluia, fiind c aceste figuri se considerau "cosmice". Fiecreia i se atribuia denumirea unei stihii, incluse dup prerea grecilor, n bazele existenei: tetraedrul se chema foc, octaedrul aer, icosaedrul ap, hexaedrul pmnt, dodecaedrul univers. Din toate corpurile geometrice cea mai perfect a fost sfera. Pythagoras primul a ajuns la concluzie c Pmntul are form sferic, a stabilit un foc, ns nu Soarele, se afl n centrul Universului, iar Pmntul se rotete n jurul lui pe o circumferin.

Pythagorismul admite existena a zece "principii" ca unele care germineaz cosmosul: finitul i infinitul, unul pluritatea, repaus micare, lumin ntuneric, bun ru .a. Primele fiind pozitive, celelalte negative. Cosmosul (noiunea se datoreaz lor) este armonie, tetraktys, perfeciune, ordine, msur. Un univers generat de numr (geometric, aritmetic), de principii polare (de limitat nelimitat), comport logic i cu necesitatea, msura. Msura a fost corelat cu timpul oportun "momentul potrivit" sau "potrivirea favorabil".

Un loc important n doctrina pythagorismului a fost acordat sufletului i, firete, comportrii omului. "Pythagoras, informeaz Diogene Lartios, mai spune c sufletul omului se mparte n trei: raiune (nous), minte (phrenes) i pasiune (thymos)". Sufletul este o existen n trei, o armonie a funciilor sale, o triad, cum se vede, complex. Sufletul este nemuritor prin minte, elelalte dou (raiune i


pasiune) fiind comune omului i animalului. A fost adept frecvent al metempsihozei: sufletul cltorete dup moartea omului, trece prin alte fiine, plante, etc, pn s revin n om, aceasta innd, cumva, de practicile sale pmnteti. Conservnd tradiia i chiar amplificndu-i dimensiunea religioas, pythagorienii au vzut sufletul peste tot, prndu-li-se chiar, c tot vzduhul este plin de suflete, care trimit oamenilor visele, semnele de boal i sntate.

n "regulile" educaiei fundamentate pe ideea despre suflet, intrau ca obligatorii: respectul zeului, respectul prinilor, cultivarea prieteniei, a curajului, supunerea fa de vrstnic i superior. Au conceput un sistem diferenial al educaiei, lund n consideraie vrsta: copiii s nvee literele i alte discipline; tinerii s deprind rnduiala i legile cetii, datine, brbaii s se consacre treburilor practice i slujbelor ceteneti; btrnii s cugete cum ar fi mai bine, s in sfat i s judece. Au dispreuit disproporia, dezordinea, anarhia.

Pythagorismul, astfel, este un aliaj intre tiinific i magic, raional i mistic.

ns ideologia, pus n baza activitii pythagorienilor, i atrage dup sine n pierire. Majoritatea adepilor doctrinei au fost reprezentani ai aristocraiei, n minile creia era concentrat guvernarea n Crotona. Astfel ordinul a avut o influen mare n viaa politic, servind intereselor aristocraiei, pe cnd n Atena i alte colonii greceti s-a instaurat guvernare democratic. Cu timpul tendinele democratice au nceput s predomine i n Crotona. Pythagorienii au strnit ntr-att furia crotonailor, nct acetea au dat foc cluburilor pythagorice i "au ars de vii" cei adunai ntr-o locuin. Rmas viu, Pythagoras de la Crotona s-a retras n Metapont, unde fiind btrn de optzeci de ani, a deczut ntr-o ciocnire cu adversarii si. Nu i-a ajutat lui nici experiena bogat a luptei de pumn, primul campion olimpic n care el a fost cndva.

S-a sfrit viaa lui Pythagoras. Nu ns i pythagorismul. Metafizica, tiina i viziunea despre educaie au constituit motivele reale ale durabilitii lui i influenei exercitate att n tiin, ct i n metafizic.


Cu numele lui Pythagoras a fost numit un crater de pe partea vizibil a Lunii.


Joseph Louis Lagrange

(25.01.1736 10.04.1813)

"Lagrange piramida grandioas a tiinelor matematice". Astfel Napolon Bonaparte l-a apreciat pe cel mai mare i cel mai modest, dup prerea lui, matematician al sec. XVIII Joseph Louis Lagrange, pe care el l-a fcut senator, conte al imperiului i cavaler al ordinului Legiunii de Onoare.

Tatl lui Lagrange, fiind un timp vistiernic militar al Sardiniei, a fost cstorit cu unica fiic a unui medic bogat din Cambiano, localtate situat nu departe de Torino (Italia), i a avut cu ea 11 copii. Dar numai Joseph Louis, cel mai mic dintre toi, n-a murit fiind prunc. Tatl lui a fost un om avut i de afaceri. De aceea, cnd Lagrange a fost gata s intre n dreptul de motenitor unic, el n-a avut ce s moteneasc. Mai trziu Lagrange i amintea despre aceasta, ca despre una din ntmplrile cele mai fericite: "Dac eu a fi motenit o avere, atunci, probabil, n-a fi legat soarta mea cu matematica".

Primele interese colare ale lui Lagrange au fost concentrate asupra limbilor vechi. Studiindu-le, el devreme a fcut cunotin cu operele lui Euclides i Arhimede. ns acestea nu l-au impresionat foarte mult. Mai trziu n minile tnrului Lagrange a nimerit lucrarea lui E.


Halley (prietenul lui Newton) despre avantajele metodelor analitice asupra metodelor geometrice ale grecilor antici. Inima lui a fost cucerit. ntr-un timp foarte scurt el de sinestttor a studiat totul, ce a fost fcut la acel moment n analiz i, avnd 16 ani, a nceput predarea matematicii la coala de Artilerie din Torino. Astfel s-a nceput activitatea lui, una din cele mai strlucite n istoria matematicii.

Lagrange a fost analitic, i nu geometru. Prelucrarea lui analitic a mecanicii se caracterizeaz prin ruperea total cu tradiia grecilor antici. Newton, contemporanii i succesorii lui, permanent utilizau desene tehnice, ca un ajutor n studierea problemelor mecanicii. Aceast trstur a gndirii lui s-a evideniat clar n "Mcanique Analytique", conceput de Lagrange nc n vrsta de 19 ani la Torino, dar editat la Paris numai n 1788, cnd el a avut 52 de ani. "Nu vei gsi desene tehnice n cartea aceasta", scria el n prefa. Lagrange, prefernd metoda analitic, a artat c rezultatele mult mai puternice pot fi obinute dac metode analitice generale se aplic de la bun nceput.

La Torino tnrul profesor citete lecii la studeni, majoritatea crora erau mai n vrst dect el. n curnd, cu cei mai capabili dintre acetea el a organizat o societate tiinific, care cu timpul s-a transformat n Academia de tiine din Torino. Primul volum de lucrri al Academiei "Actes de la socit prive de Turin" a aprut n 1759 cnd Lagrange a avut 23 de ani. El nsui a prezentat aici articolul despre valorile maxime i minime la calculul variaional. Anume cu ajutorul acestui calcul Lagrange a unificat mecanica i, cum a spus Hamilton, a creat "o poem tiinific n felul su".

n acelai volum Lagrange face un mare pas nainte: el aplic analiza n teoria probabilitilor, esenial se avanseaz mai departe de Newton n teoria matematic a sunetului. La vrsta de 23 de ani Lagrange a fost recunoscut ca egal marilor matematicieni ai secolului Euler i Bernoulli.

Euler ntotdeauna preuia mrinimos lucrrile altor savani. Cnd Lagrange avea 19 ani i-a expediat lui Euler unele din lucrrile sale, vestitul matematician ndat le-a recunoscut valoarea lor i l-a ncurajat pe tnrul savant. Peste 4 ani Lagrange i-a comunicat lui


Euler metoda adevrat de rezolvare a problemelor izoperimetrice de calcul variaional, care n decurs de muli ani nu se rezolvau prin metodele semigeometrice ale lui Euler. Euler i-a dat lui Lagrange posibilitate s le publice primul "ca s nu v lipsesc pe dumneavoastr de nici o particul a gloriei, pe care o meritai".

n pofida vrstei neobinuit de tinere a lui Lagrange 23 de ani, Euler a reuit alegerea lui ca membru strin al Academiei de tiine din Berlin (2 octombrie 1759). Aceast recunoatere peste hotare a fost un mare ajutor pentru Lagrange n Patrie. Euler i d'Alembert doreau s-l vad pe tnrul lor prieten ca matematician la curtea din Berlin. Dup tratative ndelungate aceasta s-a reuit.

Fiind un prieten credincios i admirator generos al lui Lagrange, d'Alembert l-a convins s se ocupe de problemele cele mai importante i dificile, l-a impus chibzuit s aib grij de sntate, dei sntatea proprie a lui d'Alembert n-a fost viguroas. n scrisorile sale ctre d'Alembert, Lagrange rspunde scurt, c se simte minunat i lucreaz ca un nebun. n aceast privin activitatea lui era asemntoare cu cea a lui Newton. Cu vrsta, concentrarea ndelungat asupra problemelor de prim importan a atenuat entuziasmul lui, i dei creierul rmnea puternic, Lagrange manifesta o atitudine indiferent fa de matematic.

Printre problemele, cu care Lagrange se ocupa pn la sosirea sa la Berlin a fost problema despre libraia Lunii, problema a trei corpuri. De ce Luna e permanent ntoars spre Pmnt numai cu o parte, i n acelai timp exist unele mici iregulariti n micarea ei? Pentru rezolvarea acestei probleme n 1764 lui Lagrange la vrsta de numai 28 ani i-a fost decernat un premiu al Academiei de tiine din Paris. ncurajat de acest succes strlucitor, Academia i-a propus o problem nc mai complicat, i Lagrange din nou a primit premiu n anul 1766. Aceasta a fost problema a ase corpuri, materialul pentru care a servit sistemul lui Jupiter (Soarele, Jupiter i 4 satelite cunoscute ctre timpul acela). O rezolvare matematic complet se afl n afara posibilitilor noastre, dar aplicnd metodele aproximative, Lagrange s-a avansat esenial n explicarea iregularitilor constatate.


Astfel de aplicaii ale teoriei lui Newton au prezentat pentru Lagrange un interes mare de-a lungul activitii sale. n anul 1772 lui Lagrange din nou i-a fost decernat premiul pentru problema a trei corpuri, iar n 1774 i 1778 a obinut succese analogice pentru lucrrile sale despre micarea Lunii i perturbaiile cometelor.

La 6 noiembrie 1766 Friedrich II, "cel mai mare rege al Europei", cum el "modest" spunea despre sine, l-a salutat pe Lagrange n Berlin, declarnd c consider drept o cinste s aib la curtea sa pe "cel mai mare matematician". Ultimele cuvinte n orice caz au fost adevrate. n 1766 Lagrange a devenit directorul seciei fizico-matematice a Academiei de tiine din Berlin (postul ocupat pn atunci de Euler) i timp de 20 de ani completa memuarele acesteia cu lucrrile sale remarcabile, care urmau una dup alta.

Ostilitatea nnscut a lui Lagrange ctre discuii l deosebea de Euler, care se implic n toate disputele filozofice i religioase. nbuit de argumente i ndemnat ctre rspuns, Lagrange ntotdeauna spunea sincer: "Nu tiu". Dar cnd erau abordate convingerile lui, el putea s le apere, gsind entuziasm i logic.

Curnd dup stabilirea n Berlin, Lagrange a invitat din Torino una dintre rudele sale i s-a cstorit cu ea. Cstoria s-a dovedit a fi fericit. Cnd soia s-a mbolnvit, Lagrange, uitnd de somn, a avut grij de ea. Cnd ea a murit, inima lui Lagrange a fost distrus. Alinarea a gsit-o n lucru: "Ocupaiile mele s-au redus la aceea, c eu ncet i linitit studiez matematica".

O cercetare din aceast perioad a lui Lagrange a avut valoare important pentru dezvoltarea algebrei contemporane memuar din anul 1767 "Trait de la rsolution des quations numriques de tous les degrs" i adugri posterioare la aceasta. Aici au fost abordate ntrebrile generale despre soluionarea ecuaiilor algebrice.

Dup moartea lui Friedrich II (17 august 1786), indignarea contra strinilor i indiferena, care se anun fa de tiin, au fcut Berlinul un loc de trai nepotrivit pentru Lagrange, i el a demisionat. Demisia a fost dat cu condiia, c el va expedia articolele sale la Academia de tiine din Berlin n decurs de civa ani. Lagrange a fost de acord. El a primit cu bucurie invitaia lui Louis XVI de a continua cercetrile


matematice la Paris n calitate de membru al Academiei Franceze. Venind la Paris, Lagrange a fost primit cu onoare de ctre familia regal i Academie. n Louvre a fost destinat pentru dnsul un apartament confortabil, n care Lagrange a trit pn la revoluie.

La vrsta de 50 de ani Lagrange a simit c s-a epuizat. Locuitorii Parisului au gsit n el un interlocutor amabil i binevoitor, ci nu un stpn al gndurilor. El a pierdut gustul de matematic, iar un exemplar de "Mcanique Analytique" a stat nedeschis pe biroul lui timp de 2 ani. Obosind de tot, ce a fost legat de matematic, Lagrange s-a adresat spre filozofie, evoluia gndirii, istoria religiei, teoria general a limbilor, medicin i botanic. Fiind pasionat de acest amestec straniu, el i-a uimit pe prietenii si cu cunotine vaste n domeniile, ndeprtate de matematic. El considera c n viitor minile luminate ale omenirii vor manifesta cel mai mare interes spre fizic, chimie i tiine naturale, iar matematica o considera intrat n perioada de descenden. Spre fericirea lui, Lagrange a trit destul de lung, ca s vad nceputul activitii lui Gauss, primului n pleada marilor matematicieni Abel, Galois, Cauchy .a.

Revoluia a rsturnat apatia lui Lagrange. Planele grandioase ale revoluionarilor de a preface omenirea i natura omului n-au produs impresie mare asupra lui. Iar cnd prietenul lui, chimistul Lavoisier, a czut sub ghilotin, Lagrange a exprimat indignarea sa prin cuvintele: "A fost necesar numai o singur clip pentru ca s cad capul lui, dar nu va ajunge, probabil, i o sut de ani, ca s apar un alt cap, asemntor acestuia". Dei practic toat viaa creativ a lui Lagrange s-a petrecut sub suspiciile persoanelor regale, simpatiile lui n-au fost de partea adepilor monarhiei, dar nu aparineau nici revoluionarilor. ns atitudinea fa de Lagrange a fost ngduitoare. Cu decretul special lui i-a fost conferit o pensie.

n 1795, cnd a fost ntemeiat cole Normale, Lagrange a devenit profesor de matematic a acesteia. Dup nchiderea ei, cnd a fost fondat vestita cole Polytechnique (1797) Lagrange a elaborat planul cursului matematic i a devenit aici primul profesor. La nceput el a citit lecii pentru studenii slab pregtii. Dar fiind un nvtor bun, el a plecat departe de predarea matematicii la nivelul elementar, i n curnd studenii lui nsui au participat la dezvoltarea acesteia. Lagrange a expus analiza fr a folosi "infinii mici" ai lui Leibniz sau


definiia specific a limitei lui Newton. Propria lui teorie a fost publicat n dou lucrri: "Thorie des fonctions analytiques" (1797) i "Leons sur le calcul des fonctions" (1801). Importana acestor lucrri const n aceea, c ele au dat impuls lui Cauchy i altor savani pentru argumentarea strict a analizei.

Cea mai important activitate a lui Lagrange n perioada revoluiei a fost participarea mpreun cu Laplace i Monge la perfecionarea sistemului metric de msuri. Numai datorit ironiei i bunului sim al lui Lagrange numrul 12 n-a fost ales n calitate de baz n loc de 10 al sistemului de numeraie.

n pofida acestei activiti interesante, Lagrange a fost singur i predispus la pierderea spiritului, dar a fost salvat de aceast stare ntre via i moarte la vrsta de 56 de ani de ctre fiica prietenului su, astronomului Lemonnier. Ea s-a cstorit cu dnsul i csnicia lor a fost ideal. Din toate succesele, el cel mai mult preuia aceea, c a gsit n via o nsoitoare atent i credincioas ca soia lui tnr.

Francezii ddeau onorurile lui Lagrange. Savantul, fiind cndva favoritul Mariei-Antoinettei, acum a devenit idolul publicului, care a condamnat-o la moarte. Cnd n timpul revoluiei, prin decretul Conventului a fost hotrt de a izgoni din Frana pe toi nenscui n ar, pentru Lagrange n special s-a fcut o excepie din aceast regul. Slava lui a fost att de mare nct ocupnd Torino, Directoria a exprimat oficial respectul fa de tatl matematicianului vestit. Cnd Napolon ntre campaniile militare se ocupa de treburile civile, el deseori conversa cu Lagrange pe ntrebri ce inea de filozofie, rolul matematicii n stat i exprima stima fa de acest interlocutor calm, care nicicnd nu ddea dovad de dogmatism.

Sub calmitatea lui Lagrange a fost ascuns ingeniozitatea, care aprea pe neateptate. Odat el a spus: "Astronomii acetea sunt oameni foarte ciudai, ei nu cred teoriilor pn cnd aceste nu se acord cu observaiile lor". Nici admiraia sincer a talentului lui Newton n-a fost lipsit de adaosul ironiei: "Ce noroc a avut Newton, c n timpul lui sistemul lumii nc rmnea nedescoperit".


Ultimul efort tiinific al lui Lagrange a fost legat de modificare i lrgirea "Mcanique Analytique" pentru ediia a doua. Puterile s-au ntors ctre Lagrange definitiv, dei el avea mai mult de 70 de ani. Amintind obinuinele sale, el lucra fr ncetare, dar corpul lui n-a vrut s se supun creierului. Boala lui, despre care tia c va aduce la moarte, nu strica linitea netulburat a lui. Toat viaa Lagrange a trit aa, cum le place filozofilor, cu nepsare fa de soarta sa.

Lucrrile lui Lagrange n matematic, astronomie i mecanic alctuiesc 14 volume. n analiza matematic el a dat formula convenabil restului pentru serie Taylor, formula creterilor finite i formula de interpolare, a introdus metoda multiplicatorilor pentru rezolvarea problemei aflrii extremelor condiionate.

n algebr a elaborat teoria ecuaiilor, a crei generalizare este teoria Galois, a gsit metoda de calcul aproximativ al rdcinilor ecuaiei algebrice cu ajutorul fraciilor continue, metoda de separare a rdcinilor ecuaiei algebrice, metoda de eliminare a variabilelor din sistemul de ecuaii, dezvoltarea rdcinilor ale ecuaiei n aa numit serie lui Lagrange. n teoria numerelor cu ajutorul fraciilor neregulate el a rezolvat ecuaiile de ordinul doi cu dou necunoscute.

n domeniul ecuaiilor difereniale Lagrange a elaborat teoria soluiilor singulare i metoda variaiei constantelor. Reieind din legile de baz ale dinamicii, el a indicat dou forme de baz ale ecuaiilor difereniale de micare a unui sistem dependent, care acum se numesc ecuaiile lui Lagrange de genul nti, i a dedus ecuaiile n coordonate generalizate ecuaiile lui Lagrange de genul al doilea.

Deosebit de caracteristic pentru Lagrange, n comparaie cu predecesorii i contemporanii si, a fost crearea unor concepii teoretice largi, care legau mpreun un set ntreg de probleme, afirmaii i metode aparte. A fost adunat i sistematizat un colosal material nou, ce necesita o generalizare ulterioar. Lagrange sa evideniat printr-o "perfeciune a metodei analitice" (cuvintele marelui matematician J. Fourier), o elegan deosebit, un laconism i, simultan, o generalizare a expunerii, care au devenit distinctive pentru coala matematic francez.


Cu numele lui Lagrange a fost numit un crater de pe partea vizibil a Lunii.


Augustin Louis Cauchy

(21.08.1789 23.05.1857)

Media aritmetic a numerelor pozitive nu este mai mic dect media geometric a lor:

.

Aceast vestit inegalitate, care aparine matematicianului francez Augustin Cauchy, a fost publicat n anul 1821. Din acele timpuri ea se consider tradiional una dintre cele mai dificile inegaliti numerice. ntr-un secol i jumtate au aprut mai multe demonstraii mai simple sau mai complicate ale ei. Tradiia a fost nceput nsui de Cauchy.

Cauchy s-a nscut la Paris, din copilrie manifestnd capaciti mari fa de matematic. Primul educator i nvtor al lui a fost tatl un latinist i catolic nverunat. Avnd 13 ani, Cauchy a intrat la coala


Central. Apoi, absolvind cursul de tiine matematice la cole Polytechnique i obinnd o pregtire special n coala Podurilor i Drumurilor, n 1807 a fost trimis la lucrri inginereti. Un timp el a lucrat n calitate de inginer al cilor de comunicaie la Cherbourg.

ncepnd cu anul 1813 Cauchy se ocup exclusiv cu tiina i predarea i n 1816 devine membru al Academiei de tiine din Paris. n acelai timp el citete lecii la cole Polytechnique i Collge de France. n "Trait de calcul differentiel et integral" Cauchy introduce metode mai exacte de predare a analizei. Din anul 1826 el ncepe publicaia "Exercices mathmatiques", care reprezint revista proprie i conine lucrri ale autorului n diferite domenii ale matematicii.

n timpul revoluiei din iulie, fiind adept al monarhiei, el a refuzat s depun jurmntul noului guvern, n-a dorit s rmn n Frana, de unde a fost izgonit regele, i a plecat la Torino. Aici regele Sardiniei a creat pentru Cauchy o catedr aparte de physique sublime. n anii 1830-1838 el a cltorit prin Europa. Revenind la Paris, din cauza ostilitii regimului nou, Cauchy a refuzat mai multe posturi i n-a jurat pn cnd lui nu i s-a fost propus catedra "fr condiii". Numai n 1848 el a devenit profesor la Sorbonne.

Credina religioas i convingerile politice ale lui au cauzat o atitudine prtinitoare a oamenilor din partidele contrare, care l-au nvinuit pe Cauchy, printre altele, i pentru nedesvrire lucrrilor sale. Dar ntr-o unumit msur anume repeziciunea, cu care el trecea de la un obiect la altul, a dat posibilitatea pentru deschiderea cilor noi n tiin.

Lucrrile lui Cauchy se refer la diferite domenii ale matematicii. Au fost perioade, cnd n fiecare sptmn el trimitea la Academia de tiine din Paris cte un memuar nou. n total el a publicat mai mult de 800 de lucrri n aa domenii ca: aritmetica i teoria numerelor, algebr, analiz matematic, ecuaii difereniale, mecanica teoretic i cereasc, fizica matematic.

Cursurile "Cours d'analyse de l'cole polytechnique" (1821), "Rsum des leons a l'cole polytechnique donns sur le calcul infinitsimal" (1823), "Leons sur l'application du calcul infinitsimal la gometrie" (1826-1828) au servit ca modele pentru cursurile de


mai trziu. Prima din lucrrile menionate d o fundamentare nou a analizei matematice. Aici se conine definiia riguroas a infinitului mic bazat pe trecerea la limit. Aceast definiie a dat posibilitatea argumentrii tuturor operaiilor, care se efectueaz asupra infiniilor mici n cursurile de calculul diferenial i integral. Cauchy a dat definiia continuitii funciei, construcia bine organizat a teoriei seriilor convergente, a introdus noiune de raz de convergen.

Cercetrile hidrodinamice l-au condus pe Cauchy la calculul integralelor definite. El a dat definiia integralei ca limita sumelor integrale i demonstraia existenei integralelor de la funcie continu.

Meritul mare a lui Cauchy const n dezvoltarea bazelor teoriei funciilor de variabil complex, care au fost puse nc n secolul XVIII de ctre Euler i d'Alembert. El a propus reprezentarea geometric a variabilei complexe ca punctului, care se deplaseaz n plan pe drumul de integrare; a artat c seria de puteri

a0 + a1x + a2x2 + ... + anx

n + ...

n domeniu complex are cerc de convergen; a dat noiunea de integrala cu limitele complexe.

n primile lucrrile sale Cauchy nc nu pleac departe de predecesorii lui, utiliznd variabila complex n analiz ca un mijloc ajuttor, ce d posibilitatea rezolvrii unor probleme dificile a calcului integral. n curnd ns, cercetrile lui i ale altor savani aduc la o mulime extrem de bogat de fapte i rezultate noi. Devine clar, c este vorba despre existena unei discipline aparte teoriei funciilor de variabil complex. Pe parcursul anilor 1826-1829 Cauchy a elaborat teoria reziduurilor i aplicaiile acestei n analiz.

Argumentarea teoretic a analizei matematice, dat de ctre Cauchy, a fost att de trainic, c a pstrat valoarea sa pn la ultimii ani ai secolului XIX. Numai la sfritul secolului XIX a aprut necesitatea revizuirii acestor baze i introducerii fundamentrii nc mai riguroase a noiunilor, care intr n analiza matematic clasic. Aceasta a fost fcut de ctre adepii explicrii dependenei funcionale pe baza teoriei mulimilor.


n teoria ecuaiilor difereniale lui Cauchy i aparin: formularea unei din problemele de baz ale acestei teorii (problema lui Cauchy); demonstrrile teoremelor de baz de existen a soluiilor n cazul variabilei reale i complexe (n ultimul caz a fost dezvoltat metoda majoranilor); metoda de integrare a ecuaiilor cu derivate pariale de ordinul nti.

n geometrie el a generalizat teoria poliedrelor, a elaborat o nou metod de cercetare a suprafeelor de ordinul doi, a cercetat tangenta, a determinat regulile de aplicaie a analizei n geometrie, a dedus ecuaia planului i reprezentarea parametric a dreptei n spaiu.

n algebr Cauchy a dezvoltat teoria determinanilor, a aflat proprietile lor principale, (n particular, a demonstrat teorema de nmulire), a introdus noiunea de "modulul" numrului complex, numerele complexe "conjugate" .a., a generalizat teorema lui Sturm pentru numere complexe.

n domeniul teoriei elasticitii el a dat noiunea de tensiune, a determinat ecuaiile difereniale de echilibru pentru paralelipipedul elementar dreptunghiular, a dezvoltat noiunea de deformare. n optic n mod matematic el a dezvoltat teoria lui Fresnel i teoria dispersiei.

Creaia tiinific a lui Cauchy este caracterizat de metoda "global" de rezolvare a problemelor puse: cunoscnd rezultate pentru un numr infinit de valori al obiectului cercetat (reprezentare grafic fiind o curb), el deducea proprietile generale ale funciei pentru orice valoare a obiectului.

Fiind reacionar i idealist, Cauchy "a demonstrat" finitudenea numerelor irului natural. Demonstraia aceasta a fost greit, dar terminnd-o, Cauchy arat analogia ntre mulimea numerelor naturale i mulimea tuturor stelelor, care exist i au existat. De aici rezult, dup Cauchy, finitudenea lumii. El declar: "Ceea ce putem s spunem despre numrul stelelor, putem s spunem i despre numrul oamenilor, care au trit pe Pmnt, i despre numrul rotaiilor Pmntului pe orbita lui, i despre numrul strilor, prin care lumea a trecut n existena sa. Deci, a fost primul om, a fost prima


clip, cnd a aprut Pmntul n spaiu i s-a nceput lumea. Astfel tiina ne aduce la aceiai, ce ne nva credina".

Cauchy a fost membru al Asociaiei Regale din Londra i aproape a tuturor academiilor de tiine ale lumii; a fost cavaler al ordinului Legiunii de Onoare.


David Hilbert

(23.01.1862 14.02.1943)

David Hilbert a fost cu adevrat unul dintre cei mai mari matematicieni ai timpului. Lucrrile sale i nsi personalitatea lui entuziasmat pn n prezent au influenat adnc dezvoltarea tiinelor matematice. Intuiia sa ptrunztoare, puterea creatoare i originalitatea irepetabil a gndirii matematice, interesele multilaterale l-au fcut explorator n multe domenii ale matematicii. Acesta a fost unicul ntr-un sens, personalitate adnc cufundat n lucrul su, complet devotat tiinei, neobosit profesor i conductor de cel mai nalt rang.

Autobiografia i cronica familiar pornete din faptul, c datorit reuitei combinri de gene ale lui Otto Hilbert i soiei sale Maria la 23 ianuarie 1862 s-a nscut un copil deosebit de talentat, pe care l-au numit David.


Copilria lui David Hilbert, ca i majoritii copiilor din Knigsberg, s-a petrecut ntr-o atmosfer de admiraie a ideilor lui Kant, fecior remarcabil al acestui ora. n fiecare an la 22 aprilie, la aniversarea naterii marelui filozof, cavoul lui aflat lng catedral se deschidea pentru public. n acele zile David o nsoea pe mam-sa, care era nzestrat cu idei filozofice, pentru a omagia memoria lui Kant. Tot mam-sa avea s-i atrag atenie feciorului la constelaiile cereti i s-l conduc n lumea numerelor interesante. Datorit tatlui instruirea prematur a lui David avea amprenta calitilor prusiene a punctualitii, prudenei, devotamentului, struinei, disciplinei i respectrii legii.

n coala pegtitoare a Friedrich Collegiului Regal David a studiat primele lecii necesare pentru Gimnaziul Umanitar. Aici el trebuia s fie admis, dac solicita de a primi specialitate, rang duhovnicesc sau s devin profesor universitar. Aceste lecii includeau n sine citirea i scrisul n alfabetul latin i gotic, caligrafia, prile vorbirii, analiza propoziiilor, istorii biblice, aritmetica elementar. Gimnaziul, care a fost ales de prini pentru David se considera cel mai bun n Knigsberg coala particular cu tradiii vechi, nfiinat la nceputul secolului aptesprezece, care l-a avut absolvent nsui pe Kant. Alegerea gimnaziului ns n-a fost reuit. n Knigsberg n acel timp se acumulase un viitor de talente. Gimnaziul Alitstadt paralel l frecventau Max i Willi Wien, Arnold Sommerfeld i Hermann Minkowski. ns David, care frecventa Friedrich College, n-a avut ocazia n anii de coal s fac cunotin nici cu unul din aceti biei.

David din copilrie avea slabe capaciti de a nva pe derost, dar n Friedrich College studierea i nvatul pe de rost erau lucruri echivalente. Unul din prietenii si spunea, c "clasele umanitare i provocau mai mult mhnire dect bucurie". Nu prea repede David asimila i materialul nou. Dar nectnd la toate greutile, el niciodat n-a rmas n urm de colegii si, fiindc era foarte srguincios i clar i ddea seama desrpe sistema prusiac de nvmnt. Spre deosebire de Einstein, el a nvat la gimnaziu pn la urm, susinnd Abiturul (examen, dup susinerea cruia se permitea admiterea la universitate).


n Gimnaziul Wilhelm David se simea mult mai fericit. n sfrit nvtorii l-au apreciat i-i stimulau personalitatea lui original. Dup susinerea exclusiv de reuit a examenelor n scris, el fusese eliberat de la examenele orale de absolvire. Pe partea verso a diplomei de absolvire a gimnaziului era remarcat atitudinea i "interesul serios fa de tiin": "Ce privete matematica, el ntotdeauna a manifestat un interes viu i o nelegere profund: la cel mai nalt nivel a nsuit materialul, i-l aplic cu succes". Astfel pentru prima dat se pomenete despre Hilbert ca matematician.

O fericire pentru Hilbert a fost faptul, c universitatea din oraul su natal, dei ndeprtat de centrul evenimentelor din Berlin, dup tradiiile tiinifice se considera cea mai renumit din Germania. Aici a citit leciile sale Iacobi, care pe timpurile lui Gauss era considerat matematicianul numrul doi n Europa. Adeptului su Richelot i aparine meritul descoperirii geniului Karl Weierstrass, pe cnd ultimul lucra simplu profesor n coal.

Cnd n toamna anului 1880 Hilbert a fost admis la Universitatea din Knigsberg, Weierstrass era cel mai remarcabil matematician n Germania; Iacobi i Richelot decedase de-acum, iar Frantz Neumann, care a trit pn la o sut de ani, putea fi ntnit la edinele universitare i chiar citea i lecii. n pofida dorinei tatlui David s-a nscris nu la facultatea de juridic, dar la specialitatea de matematic, ce era n cadrul facultii de filozofie.

Pe parcursul primului semestru al universitii Hilbert a ascultat lecii referitor la calculul integral, teoria determinanilor i curbura suprafeelor. n semestrul al doilea, urmnd obiceiul de a cltori prin universiti, el a plecat la Universitatea din Gheideliberg, cea mai simpatic i romantic din universitile germane. Aici Hilbert a frecventat leciile lui Lazarus Fuchs, numele cruia era sinonim cu teoria ecuaiilor difereniale liniare. n semestrul urmtor Hilbert putea s plece la Berlin, unde se afla o constelaie de nvai aa ca Weierstrass, Kummer, Kronecker i Helmholtz. Dar semnnd tatlui su, care era strns legat de oraul natal, el se ntoarce la Universitatea din Knigsberg. n acel timp n Knigsberg se afla un singur profesor universitar n matematic. Acesta era Heinrich Weber, un om foarte erudit i talentat, adept demn al lui Iacobi i Richelot. La el Hilbert a ascultat cursul de teorie a numerelor, teoria


funciilor i teoria invarianilor, cea mai actual teorie matematic a timpului.

n primvara anului 1882 Hilbert a fcut cunotin cu un tnr de acum recunoscut ca matematician Hermann Minkowski. n afar de o dragoste nflcrat fa de matematic, ei mprteau un optimism profund i sigur.

Absolvind cursul universitar de opt semestre necesar pentru obinerea titlului de doctor, Hibert a nceput s chibzuiasc asupra temelor pentru disertaie. Problema, propus de Lindemann pentru disertaie, consta n stabilirea proprietilor invariante ale unor forme algebrice. Problema era destul de complicat, dar nu ntr-att c nu se putea atepta soluia ei. Dnd dovad de originalitate, Hilbert a rezolvat-o printr-o metod absolut diferit de ceea ce se atepta. Aceasta a fost o lucrare foarte bun. Lindemann a rmas satisfcut.

Devenind docent, Hilbert a hotrt s citeasc lecii pe diferite teme fr a se repeta, n aa mod nvndu-i nu numai pe studeni, dar i pentru perfecionarea sa. Numai leciile de teorie a invarianilor au adunat numrul de studeni necesar pentru obinerea dreptului de a avea clas n universitate. "Unsprezece doceni, care depind de cam tot atia studeni", i spunea el nemulumit lui Minkowski.

Deoarece n Knigsberg erau puini studeni-matematicieni, Hilbert, n afar de edinele matematice, frecventa i edinele naturalitilor. Knigsbergul era foarte bogat cu tineri apropiai sufletului lui Hilbert. Atmosfera de salon aici era foarte activ. Hilbert era un tnr vesel cu reputaia de "dansator energic" i "atrgtor". Paralel el flirta cu mai multe domnioare, dar cea mai ndrgit partener era Kathe Jerosch, fiica unui comersant din Knigsberg. La 12 octombrie 1892 Hilbert i Kathe Jerosch s-au cstorit.

La nceputul anului 1893 Hilbert a dat o demonstraie nou a transcendenei numerelor e (prima dat demonstrat de Hermite) i (demonstrat de Lindemann). Demonstraia lui reprezenta un progres enorm n comparaie cu cele iniiale, fiind totodat foarte simpl i clar. La momentul cnd Hilbert a nceput s se deprind cu situaia sa de om cstorit i profesor-asistent cu salariu permanent, au venit nouti plcute. El a fost numit n funcie de profesor.


La 11 august 1893 la staiunea balnear Crantz n familia Hilbert s-a nscut primul copil pe care l-au numit Frantz. Dup cteva sptmni dup naterea feciorului Hilbert a plecat n Mnchen la adunarea anual a Societii Germane a Matematicienilor, care avea ca scop stabilirea unor contacte mai strnse ntre diferite domenii ale matematicii. Aici Hilbert a prezentat dou demonstraii noi ale descompunerii numerelor algebrice n ideale simple. Nectnd la faptul c acetia erau doar primii pai n teoria numerelor algebrice, competena lui n aceste ntrebri i-a impresionat pe ceilali membri ai Societii.

n martie 1895 Hilbert a plecat la Gttingen. Aici lui i-a fost suficient de simplu de a alege temele leciilor sale, coordonate cu prerea lui Felix Klein. n primul semestru el a citit cursul de teotie a determinanilor i a funciilor eliptice, precum i n fiecare miercuri mpeun cu Felix Klein el conducea seminarul pe funciile reale.

Hilbert citea leciile sale ntr-un temp rar, "fr decoraii n plus", cu multe repetri, "pentru a fi convins, c toi l-au neles". De regul, el repeta materialul citit la lecia precedent, ceea ce era specific pentru profesorii din gimnazii. Totui majoritatea studenilor erau impesionai de leciile lui, fiindc erau nzestrate "de plcute sinceriti".

Terminnd lucrrile asupra Zahlbericht, Hilbert se ocup cu cercetrile personale demult gndite. Principalul scop era generalizarea legii reciproce pe cmpul numerelor algebrice. n teoria clasic a numerelor legea reciproc a cuadraturilor, cunoscut nc de Legendre, a fost iari descoperit i demonstrat strict de Gauss, cnd el avea 18 ani. Pe parcursul ntregii viei Gauss a considerat aceast teorem drept "mrgritar" al teoriei numerelor, revenind de mai multe ori la ea, dndu-i nc cinci demonstraii diferite. Hilbert a reuit s reformuleze legea cuadraturilor ntr-o form simpl i frumoas, care avea sens i pentru cmpurile numerelor algebrice. Lucrarea de vrf n acest domeniu a fost articolul "Despre teoria cmpurilor relativ abeliene". Aici a fost schiat o teorie larg, numit mai trziu ca "teoria cmpurilor claselor", i a dezvluit metodele i noiunile necesare pentru cercetrile urmtoare. Viitorii matematicieni spuneau, c ea este "o revelaie divin" nici n una din lucrrile lui Hilbert nu era aa demonstrat intuiia lui matematic.


n perioada anilor 18981899 Hilbert a nceput s citeasc cursul de geometrie. Peste cteva luni a ieit de sub tipar cartea lui Hilbert despre bazele geometriei, care a devenit o capodoper a literaturii matematice. n Grundlagen der Geomertie ("Bazele geometriei") Hilbert a prezentat o sistem complet de axiome a geometriei euclidiene, le-a clasificat n grupuri i a cutezat s determine limitele fiecrei grupe de axiome, studiind nu numai consecinele fiecrei axiome aparte, dar i a construit diferite "geometrii" modificnd sau excluznd unele axiome.

n vara anului 1899 Hilbert s-a preocupat cu o problem veche cunoscut ca principiul lui Dirichlet. Esena problemei consta ntr-o dificultate logic, pe care au observat-o doar pe timpurile lui Weierstrass. Gauss, Dirichlet, Riemann .a. presupuneau, c ntotdeauna exist soluia aa numitei probleme la capete a ecuaiei lui Laplace. n septembrie 1899, peste cincizeci de ani dup disertaia lui Riemann, Hilbert a prezentat Societii Matematice din Germania o demonstraie, care a fost numit ca "renvierea principiului Dirichlet".

La 6 august anului 1900 la Paris s-a deschis al Doilea Congres Internaional al Matematicienilor. Pe fonul numerosului Congres al Medicilor i celui al Studenilor ce aveau loc adat cu Expoziia Internaianal, el arta foarte modest, aproape rmnnd fr atenia presei. ns rolul lui n istoria dezvoltrii matematicii a rmas foarte nsemnat. Congresul a adunat 226 delegai, ns printre rndurile lor se afls ntreaga elit matematic a timpului: aa ca francezul Henri Poincar, suadezul Magnus Mittag-Leffler, Jacques Hadamard, Gaston Darboux, Tullio Levi-Civita, Moritz Cantor, Maurice d'Ocagne, Hermann Minkowski, Georg Zeuthen, fiecare fiind personalitate, ce-a adus aport enorm n dezvoltarea matematicii.

n a treia zi a Congresului n una din aulele Sorbonnei, n care lucra secia de aritmetic i algebr, la tribun s-a ridicat un om de statur mijlacie. El a prezentat un referat pe tema "Probleme matematice", care n continuare a devenit istoric. Hilbert a propus n calitate de obiect de studiu 23 de probleme importante o estafet original secolului nou venit rezolverea crora influena considerabil dezvoltrii n continuare a matematicii. Unele din aceste 23 probleme, numite apoi n numele lui Hilbert sunt rezolvate deja, altele nc nu.


Demult trecuse acele zile, cnd David Hilbert citea leciile sale pe tema funciilor analitice n asistena numai profesorului Franklin. Acum, pentru a asculta leciile lui, n auditoriu se adunau mai multe sute de oameni, muli dintre care edeau pe pervazuri. Nici componena, nici numrul asculttorilor nu-l sfia pe Hilbert, "chiar dac nsi mpratul intra n sal, Hilbert nu avea s reacioneze deloc".

n anul 1909 Hilbert s-a mprietenit cu Richard Courant. nc atunci era clar, c acest om va avea mari succese nu numai n matematic. El se ocupa adugtor cu Frantz Hilbert, care era deja adolescent, dar succesele cruia la nvtur lsau de dorit. (Vorbind despre feciorul su, David Hilbert spunea: "Aptitudinile matematice el le-a motenit de la mam-sa, iar restul de la mine".) Pe parcursul anului Courant a fost asistentul lui Hilbert. n anul 1910 Hilbert a trimis la Societatea tiinific din Gttingen ultimul abstract pe tema ecuaiilor integrale.

"Se poate fr exagerare de spus, c anume datorit cercetrilor lui Hilbert s-a dezvluit semnificaia real a teoriei ecuaiilor integrale, scria Courant. n lucrarea lui Hilbert pentru prima dat s-a manifestat legtura strns ntre domenii absolut diferite ale matematicii, aplicaiile largi, armonia interioar i simplitatea structurii". ncepnd cu Fredholm, matematicienii din toat lumea, dar mai ales n Germania i S.U.A. se ocupau cu cercetarea ecuaiilor integrale. ns prezentul indiscutabil i aparinea lui Hilbert.

n toamna anului 1910 Academia de tiine a Ungariei a anunat despre conferirea Premiului doi Bolyai "lui David Hilbert, care cu profunzimea gndului, originalitatea metodelor i logica strict a demonstraiilor a acordat o influen considerabil n progresul tiinelor matematice". nsi Poincar, ca membru al comitetului de premiere, a pregtit o sintez general a lucrrilor lui Hilbert pentru prezentarea acestora Academiei i publicrii n continuare. Printre calitile, care a considerat el c trebuie special menionate au fost: spectrul larg de interese, importana problemelor rezolvate, elegana i simplitatea metodelor, claritatea expunerii i respectarea stricteei absolute. n detalii descriind rezultatele lui Hilbert (n special lucrarea despre bazele geometriei), el a izbutit s gseasc un loc aparte ntre realizrile altor matematicieni. Despre teorema lui Gordan: "Este


imposibil de a aprecia mai bine progresul obinut de Hilbert, dect de a compara numrul de pagini cheltuite de Gordan n demonstraia sa cu rndurile, pe care s-a ntins demonstraia domnului Hilbert".

Referatul lui Poincar despre premiul Bolyai a aprut n anul 1911 n revista Acta Matematica. n urmtorul an David Hilbert, care a mplinit cincizeci de ani, a aprut n faa colegilor ca fizician.

Din cuvintele lui Paul Ewald, "profesorului de fizic al lui Hilbert", se poate caracteriza activitatea lui n timpul cela astfel: "Noi am transformat matematica, acum este rndul pentru fizic, iar apoi vom trece i la chimie". Chimia pe timpurile cele se prezenta "ceva n genul culinariei, citit n coala pentru fete". Astfel Hilbert i-a exprimat prerea despre nivelul chimiei.

Nectnd la stima i admiraia sa fa de Hilbert, Ewald l gsea "asemntor cu un adolescent puin stagnat n dezvoltare". n zilele calde Hilbert venea la lecii n cma cu minicile scurte i cu gulerul deschis form absolut nepotrivit unui profesor din acel timp. El alerga pe strzi ca un vnztor de mrunuuri cu buchete de flori pentru "pasiile" lui. Coul cu ngrminte el l ducea pe biciclet aa, de parc acesta era un cadou extraordinar. Cnd era la concert sau la restaurant, ct de elegant nu era el mbrcat, simind puin rcoare, Hilbert putea liber s mprumute de la vreo doamn boaul de piene purtat n jurul gtului sau pelerina din blan. Unii considerau, c el proceda aa, pentru ca s ocheze lumea depirins cu formalitile stricte. Alii erau de prerea, c Hilbert considera aceasta raional, fr a se deranja c ceva poate iei din comun. n orice caz, el ntotdeauna se comporta demn, ceea ce la nimeni nu provoca rsul.

La 23 ianuarie 1922 Hilbert a mplinit aizeci de ani. Datorit acestui jubileu ultimul numr din ianuarie al revistei germane "Naturwissenschaften" a fost n ntregime nchinat lui. Pe fotografia publicat el arta puin schimbat, dar timpul i mai mult a evideniat n ochii lui atenia i interesul irepetabil.

Principalul eveniment al sptmnii matematice n Gttingen n anii douzeci rmnea s fie edina Clubului Matematic. Referatele lui Hilbert prezentate aici rmneau un exemplu deosebit al simplitii i claritii. Una din principalele cerine ale lui Hilbert fa de referent era


"selectarea stafidelor din chec". Dac calculele erau migloase, el putea s ntrerup referentul, spunndu-i: "Noi ne-am adunat aici nu pentru a verifica corectitudinea semnelor alese". Dac lmurirea prea a fi suficient de trivial, el putea s fac observaia: "Noi nu ne aflm la tertia" ("tertia" nivel n gimnaziu pentru vrsta de 1214 ani). Brutalitatea, care putea fi rsfrnt pe cei care nu corespundeau standardelor lui Hilbert era deja cunoscut. Muli matematicieni de vaz din Europa i America se temeau s prezinte lucrrile sale la Clubul Matematic din Gttingen.

ncepnd cu anul 1922 David Hilbert a ncetat de a se ocupa cu fizic. Rezultatele lui n fizic au rmas incomparabile cu cele n matematic. Scopul lui de a axiomatiza fizica, cu prere de ru, n-a fost atins. Aportul lui real aici a fost introducerea unor metode, obinute n lucrrile sale despre ecuaiile integrale.

Nectnd la natura sa consevatoare, Hilbert rmnea ntotdeauna liberal n faptul, c el niciodat n-a mprtit ideile anumitei doctrine politice. Muzica era deseori factorul ce aducea pacea n discuiile cu prietenii pe problemele politice i logice. Uneori prea c din toate domeniile artei Hilbert era pasionat numai de muzic. Paralel el se perocupa cu literatura i cum zicea Courant "dorea s fie la curent". Hilbert foarte nalt i aprecea pe Goethe i Homer, dar romanele le considera c conin puin aciune. Exist un banc, care ntr-o msur demonstra atitudinea lui fa de literatur i matematic, i anume:

Un matematician a devenit romanist.

De ce a procedat el aa? se mirau n Gttingen. Cum poate un om ce a fcut matematic, s scrie romane?

Foarte simplu, a spus Hilbert. Pentru matematic nu i-a ajuns imaginaie, pe cnd aceasta ntocmai i ajunge pentru a scrie romane.

Cu timpul starea sntii a lui Hilbert permanent se nrutea. n toamna anului 1925 lui i s-a pus diagnoza de anemie malign. Vrsta oficial de plecare din post,a fost vrsta de 68 de ani, pe care Hilbert


a atins-o la 23 ianuarie 1930. Cu aceast ocazie n numele lui a fost numit una din strzile Gttingenului. Dar din toate onorurile acordate cea mai mare bucurie a adus anume aceea venit din oraul natal. Consiliul renesc din Knigsberg a hotrt s confere renumitului fecior al oraului titlul de "cetean de onoare".

La 14 februarie 1943 Hilbert a decedat n urma complicaiilor produse de neactivitatea fizic. Ceva mai mult de douzeci de oameni au venit s-l petreac n ultimul drum. Marele profesor a plecat, dar n toat lumea n rile mici ale Europei, Marea Britanie, Japonia, Rusia, S.U.A. au rmas elevii lui Hilbert i elevii elevilor lui.

Dup moartea lui n revista "Nature" se spunea, c "rar se gsete vreun matematician, al crui lucrare nu este legat mai mult sau mai puin de lucrrile lui Hilbert. Ca un Alexandru Macedon el a lsat numele su pe harta matematic: spaiul Hilbert, inegalitatea lui Hilbert, transformarea lui Hilbert, integrala invariant a lui Hilbert, teorema lui Hilbert despre baz, axioma Hilbert, subgrupul Hilbert, cmpul claselor Hilbert".


Henri Poincare

(21.08.1789 23.05.1857)

Aproape un secol ne desparte de timpurile de cnd geniul Poincar uimea cu spectrul su larg al gndului tiinific ntreaga elit a contemporanilor si. Numele lui Poincar se afl alturi de Newton i Arhimede, fiind un pisc enorm n lantul raiunii i gndirii umane. Istoricul american E. Bell l-a numit ca "ultimul universalist". Ultimul, deoarece Poincar mpreun cu Hilbert au ncheiat lanul marilor matematicieni cu titlul de universaliti. n timp de 30 ani de lucru continuu Poincar a lsat lucrri fundamentale practic n toate ramurile matematicii, ceea ce l-a facut lider recunoscut de contemporanii si.

"Autoritatea Nr.1 a timpului" aa l numeau colegii, s-a nscut la 29 aprilie 1854 n oraul Nancy (Lorraine, Frana). Tatl su Leon Poincar la vrsta de 26 ani mbina cu succes profesia de medic, farmacist i lector la facultatea de medicin. Madam Poincar se ocupa cu casa i educaia fiului Henri i fiicei Alina. Prinii i rudele apropiate au observat n micul Henri o distracie neobinuit, ceea ce


i ngrijora foarte mult. Aceast calitate l-a nsoit pe parcursul vieii, datorit crui fapt au fost povestite multe legende. ns nimeni nu presupunea, c distracia lui Henri este nu altceva dect o dovada a calitaii nnscute de a se izola de realitatea nconjurtoare.

mbolnvindu-se de difterite Henri a stat la pat cteva luni, dar drept urmare a acesteia a fost paralizarea picoarelor i a muchilor laringiali. Hen

Matematica Distractiva

Documents

Transcript of Matematica Distractiva