DoreI LUCHIANGabriel POPA

Adrian ZANOSCHIGheorghe IUREA

alUcUrfl

UGOMGilIC

Glasa a Ul[-aedilia aY-a, revizuiti

m0tG 2000 - sHnililil

Cuprins

TESTE TNITTALE ............s

.q,LcnrRA

Capitolul I. NUMERE REALEl. Mullimi de numere reale........... ......................102. Modulul unui numlr rcal.Parteaintreag[ gi partea fractionard

ale unui numir real. Aproximeri............... .......................163. Intervale.. .................204. Operalii cu numere reale........... ......................25

Ralionalizarea numitoru1ui................. ..........29Formula radicalilor compugi ........................33

5. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ...................346. Probleme propuse la examenele na{ionale ......357. Probleme pentru pregitirea concursurilor gcolare...... .........37

Capitolul II. CALCUL ALGEBRIC1. Operalii cu numere reale reprezentate prin litere........... .........................392. Formule de calcul prescurtat .......423. Descompuneri in factori ..............464. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Operalii cu rapoarte .....................495. Probleme de maxim qi minim.Inegalit51i.... ........................546. Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ...................567. Probleme propuse la examenele nalionale ......588. Probleme pentru pregitirea concursurilor gcolare...... .........61

Capitolul III. FUNCTII1. Reper cartezian..... .......................632. Noliunea de funclie .....................663. Graficul unei functii ....................694. Funcfia 1iniar5.......... ....................715. Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ...................756. Probleme propuse la examenele nalionale ......767. Probleme pentru pregdtirea concursurilor qcolare...... .........77

Capitolul IV. ECUATII,INECUATII, SISTEME DE ECUATIIl. Ecualia de gradul I cu o necunoscuti......... .........................792.Ecua[ia de gradul I cu doui necunoscute ........843. Sisteme liniare de doui ecualii cu doud necunoscute ..........864. Inecualia de gradul I.................. ......................90

6. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ...................967. Probleme propuse la examenele nafionale ......978. Probleme pentru preg6tirea concursurilor gcolare ...... ....... 100

GEOMETRIE

capltolul I. RELATII iNrnn PUNCTE, DREPTE $I PLANE1. Puncte, drepte, p1ane.......... .......1022, Piramida ................1073. Prisma..... ...............1114. Pozdiile relative a dou[ drepte in spatiu .......1 17

5. Unghiul a doui drepte in spafiu. Drepte perpendiculare ........,..............1205. Pozifiile relative ale dreptei gi planului ......,..1237. Dreapta perpendicular6 pe plan........ ..........,..126

9. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................13710. Probleme propuse la examenele nalionale ......................138I l. Probleme pentu pregltirea concursurilor gcolare........ .......................140

Crpltolul II. PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLANl. Proieofii ortogonale pe un plan... ..........,.,,.,..,1422. Unghiul unei drepte cu un plan .....................1453. Teorema celor ffei perpendiculare ,,,,.,.,,.......,1474. Unghi diedru. Plane perpendiculare ....... .. ..... 1 5 I5. Calculul unor distanle 9i al unor m[suri de unghiuri in corpurile studiate....... ...,.,,,.1545. Recapitulare 9i sistematizare prin teste ............ ,..,.....,......,1577. Probleme propuse la examenele nafionale ,.,.1588. Probleme pentu preg6tirea concursurilor gcolare,..... .......160

Capltolul III. CALCUL DE ARII $MLUME PENTRU POLIEDRE1. Prisma,,.,. ..,.,..........1622. Piramida ........,..,....1673. Trunohiul de piramidl. ..............1734. Recapinrlare gi sistematizare prin teste ............ ,,,,,...,........1765. Probleme propuse la examenele nafionale ....1786. Probleme pentru pregltirea concursurilor gcolare...... .......180

Capltolul IV. CORPURI ROTUNDEl. Cilindrulcirculardrept........... ...,......,..........,.1822. Conul $i ftunchiul de con circular drept........... .................1843. Sfera ......................1884. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................1905. Probleme propuse la examenele nafionale ........................1916. Probleme penffu pregltirea concursurilor gcolare........ .....193

RECAPITUTARI $I TESTE

MODELE DE TEZE SEMESTRIALEModele detez6- semesfful I....,............. ...........194Modele de tezd - semeskul al Illea....... ...........197

MODELE DE TESTE'PENTRU EVALUAREA FINALA. .....200

RECAPITTILAREA il,IATEruEI DIN CLASELE V.V[TEMA l. Numere naturale....... .....20s

TEMA 3. Rapoarte 9i proporfii.. ....209TEMA 4. Numere rea1e............ .....211TEMA 5. Figuri geometiceplane.......... ..........219

TEI\,IA 7. Cercul..... .......................217

AIffiebn6Capitolul I. NUMERE REATE

ffl Competen[e specif ice:lDeterminarea regulilor de calcul eficiente pentru efectuarea operafiilorcu numere reale

O Utilizarea operaliilor cu numere reale gi a ordinii efectutrrii operafiilor ininterpretarea matematicl a unor probleme practiceOUtilizarea proprietililor opera[iilor in efectuarea calculelor cu numerereale

OAlegerea formei de reprezentare a unui numtrr real gi utilizarea dealgoritmi pentru optimizarea calculului cu numere realeOFolosirea terminologiei aferente noliunii de numir real (semn, modul,opus, invers, parte intreagi, parte fracfionartr) in contexte variateI Transpun"iea uno, situagii-problemi in I imbaj matematic, rezolvareaproblemei obginute gi interpretarea rezultatuluiOUtilizarea in exercilii a definifiei intervalelor de numere reale gi

reprezentarea acestora pe axa numerelorOCaraclerizarea mullimilor de numere gi a relaliilor intre mullimi utilizAndlimbajul logicii matematice gi teoria mullimilor

f[f!f inca din clasele anterioare au fost definite mullimile:

N = {0, 1,2, ..,} - mul}imea numerelor naturale

Z = {.. ,, -2, -1,0, 1,2, . .. } - mul}imea numerelor lntregi(t I

A = ] + la,b eZ, b + ol - mullimea numeretor rafionateLb I )

Numerele ra{ionale se pot scrie sub form6 de frac}ii ordinare, precum gi ca numerezecimale finite sau periodice.

Exist6 numere zecimale infinite gi neperiodice, numite numere irafionale. Mullimealor se numegte mulfimea numerelor ira{ionale, notatd R \ Q. De exemplu, numirul a == 0,1010010001000010.., este un numir iralional.

Mullimea Q u (R \ Q) reprezinti multimea numerelor reale, notatE cu IR. Agadar,

este numir real orice numir zecimal finit sau infinit, periodic sau neperiodic.intre mulfimile amintite existl rela{ia N c Z c Q c 1R.

tI

l{l{l-{

oovtc,trxi.JoEq)

E'

=10

Tioul fractiei Forma Transformarea Exemolu

Fractie zecimallfinitit aorataz...ak

o.n= 2' 100

t .<1 _ ,257 _1257t-LJ I -' 1000 1000

Fraclie periodiclsimpln

ao,(qar...ar)

___________: "pr_"rao,(ap2...a)= oo6;

-aJ t ori

0,(2):

0,(31):

t2,(5\ =

?9

3lgg

n19

Fracfie periodictrm'ixte

a o, arar...a r(a *+r,..d t+ p)

oo,o,2:'49,"1!'ataz,,.a

h + b - ata2,.,a I" 999...9000...0

--Jg-=p cifte t cifte

0,2(53)=#

1.31(7) = ,317-lt900

26,01(75)= 26t#ry0

@f Transformarea unei frac{ii ordinare ln frac}ie zecimal5 se realizeazd impdr}ind numS-

r[torul la numitor, iar operafia inversd se realizeazd astfel:

intre oricare dou6 numere reale distincte existi cel putin un numfu rational gi celpufin un num[r irafional (de fapt, existii o infinitate de numere rafionale, c6t gi o infinitatede numere irationale).

Bcrcitiu rczolvot

Demonstrafi c[ urm6toaf,ele numere sunt irafionale:

a; x=6;d) x= Jm, n e N*;

c) x=./f *O-' ;

Rezolvrre: a) DacE presupunem prin reducere la absurd ca G ar fi rafional, atunci am avea

Ji=+,a,beN,b+0, iar(a,b)=l.Atunci l=5b2,deunde5la'Consider0nda=sft,obfi-b

nem, prin lnlocuire, b2 = Slt,deci 5 | b. Deoarece 5 la 9i 5 lb,renitLcl5 l(a, D), adic[ 5 | l, evi-

dent fals. Contadicfia obfinuttr aratit ctr presupunerea fdcutit este fals[, agadar x = .6 e ]R. \ Q;

b)Dactrpresuprmemprinreducerelaabsurdclx = 16+rE. Q, amavea ct*=7 + 2Ji6<+

<+ do =+ e Q,evidentfals.Astfelputemconcluzionacdgix = 16+,E e R\Q.

c) Vom demonsta c[ I + 62013 nu poate fi ptrtrat perfect, deci r =lf6ffi e R \ Q. Pentru a

demonsta c[ I + 62013 nu este pEtrat perfect, vom folosi ultima cifr[. Deoarece u(62013; = 6,

rezultrctru(620r3+ l)=7,deci 620t3 +lnuestep[tratperfect,astfelc6 l/il?lt e R\Q.

b) x= Ji +Ji;e) x= J-a1sa2, & e N*.

c,IHt{l{ootrC,o

)o.9oea,o

=11