CLASA a VIII-a, FISA DE LUCRU

AXIOMELE GEOMETRIEI IN SPATIU, POZITII RELATIVE

. prof. Marius Damian, Braila

I. Pentru testul de evaluare, trebuie sa cunoasteti:

‚ axiomele geometriei ın spatiu; determinarea dreptei; determinarea planului;

‚ pozitii relative ale dreptelor ın spatiu; unghiul a doua drepte ın spatiu;

‚ pozitii relative ale unei drepte fata de un plan; dreapta paralela cu un plan;

‚ pozitii relative ale planelor ın spatiu; plane paralele; teoreme de paralelism.

II. Completati spatiile punctate pentru a obtine propozitii adevarate:

1. Daca doua puncte distincte ale unei drepte apartin unui plan, atunci . . . . . .

2. Daca doua plane distincte au un punct comun, atunci intersectia lor este . . . . . .

3. Doua drepte coplanare care nu se intersecteaza se numesc . . . . . .

4. Numarul tuturor fetelor unei prisme hexagonale este . . . . . .

5. Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de intersectia a . . . . . .

III. Precizati valoarea de adevar a propozitiilor urmatoare.

1. Daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta data este paralela cu

planul sau este inclusa ın acesta. A F

2. Varfurile unui tetraedru sunt patru puncte coplanare. A F

3. Printr-un punct din spatiu trece o singura dreapta. A F

4. Daca doua drepte concurente ale unui plan sunt respectiv paralele cu doua drepte concurente

dintr-un alt plan, atunci cele doua plane sunt paralele. A F

5. Cubul are 8 muchii. A F

IV. Relativ la paralelipipedul dreptunghic de mai jos, alegeti raspunsul corect.

1. Punctele D,C,B1 sunt: a) necoliniare; b) necoplanare; c) coliniare.

2. Dreptele AB si DD1 sunt: a) concurente; b) paralele; c) necoplanare.

3. Dreapta CC 1 si planul pA1ABq sunt: a) paralele; b) secante; c) ın situatia CC 1 Ă pAA1Bq.

4. Planele pABCDq si pA1B1C 1D1q sunt: a) identice; b) paralele; c) secante.

5. Planele pA1ADq si pD1C 1Cq sunt: a) identice; b) paralele; c) secante.

1

V. Relativ la cubul de mai jos, demonstrati cerintele date.

1. A1B1 ‖ pBCDq; 2. EF ‖ pABA1q; 3. D1E ‖ pBA1C 1q; 4. pBCB1q ‖ pD1DA1q; 5. pBA1C 1q ‖ pD1ACq.

VI. Desenati cubul ABCDA1B1C 1D1 si calculati: 1. mp?AA1, DCq; 2. mp?AC,B1D1q;

3. mp?AD1, BCq; 4. mp?AC,A1Bq; 5. mp?BD1, ACq.

VII. Dreptunghiul ABCD de centru P si patratul ABEF de centru S sunt situate ın plane

diferite, ca ın figura de mai jos. Se stie ca AB “ 6 cm, AD “ 6?

3 cm si mp?FADq “ 120˝.

1. Calculati mp?FB,CDq. 2. Calculati mp?EB,ADq. 3. Calculati mp?EF,BDq.

4. Demonstrati ca EF ‖ pSDCq. 5. Demonstrati ca PS ‖ pEFDCq.

VIII. Rezolvati ın detaliu urmatoarele probleme.

1. Punctele M,N,P sunt mijloacele muchiilor rABs, rACs si respectiv rADs ale tetraedrului

ABCD. a) Demonstrati ca dreapta MN este paralela cu planul pBCDq. b) Demonstrati ca planele

pMNP q si pBCDq sunt paralele. c) Calculati raportul ariilor triunghiurilor MNP si BCD.

2. Patratul ABCD de centru O si triunghiul CDE sunt situate ın plane diferite. Unghiul CDE

este drept, iar punctele M si N sunt mijloacele laturilor rCEs si respectiv rDEs. a) Calculati masura

unghiului dintre dreptele BC si MN. b) Aratati ca dreapta AE este paralela cu planul pMNOq.

3. Fie tetraedrul ABCD cu DB “ DC. Bisectoarea unghiului ADB intersecteaza rABs ın E si

bisectoarea unghiului ADC intersecteaza ADC intersecteaza rACs ın F. Aratati ca dreapta EF este

paralela cu planul pBCDq.

4. Fie tetraedrul ABCD si punctele G1, G2, G3 centrele de greutate ale triunghiurilor DAB, DBC

si respectiv DCA. Demonstrati ca: a) pG1G2G3q ‖ pABCq; b) 4G1G2G3 „ 4ABC. c) Calculati

raportul ariilor triunghiurilor G1G2G3 si ABC.

5. Fie A,B,C,D patru puncte necoplanare si M P rABs. Paralelele duse prin M la dreptele BD

si respectiv AC intersecteaza segmentele rADs si rBCs ın punctele N si respectiv S. Daca P,Q,R sunt

mijloacele segmentelor rMN s, rASs si respectiv rDSs, aratati ca pPQRq ‖ pACDq.

2