ailtmeticialgeIHUGOMGT]IG

clasa a U-a

[anGa I

Edifia aV-a, revizuiti

mate 2000 - initiere

Cuprins

TBsm nB BvnruARE TMTTALA .................. ........................5

ALGEBRACapnorur I. NuNaBns Nerr.rRALE

Leclia l. Scrierea gi citirea numerelor naturale........ .........................7Lec\ia2. Reprezentarea numerelor naturale pe axd........... .............. 1lLeclia 3. Compararea gi ordonarea numerelor naturale........................................ 13Lec,tia4. Aproximarea numerelor naturale. Rotunjiri ..................... 16Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare ......... 18

Ceprrorur II. OrF.RATII cu NUMERE NATURALELeclia 5. Adunarea numerelor naturale. Proprietdlile adunErii .......20Leclia 6. Sc[derea numerelor naturale................. ...........................23Lec$a7. inmullirea numerelor naturale. Proprietdfile inmu[irii .........................26Leclia 8. Factor comun.......... ................29Leclia 9. Ordinea efectuirii operaliilor gi folosirea parante2elor.........................31Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de eyaluare....... ........................33Lecfia 10. Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numdr natura1.............35Leclia 11. Reguli de calcul cuputeri...... ....................37Leclia 12. Compararea puterilor....... ..........................39Sdneverificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........42Leclia 13. imp54irea, cu rest zero, anumerelor naturale ................43Lec\ia 14. imp64irea cu rest a numerelor naturale.

Teorema imparfirii cu rest .........................46Lecfia 1 5. Ordinea efectuirii operaliilor gi folosirea p arantezelor .. .. .. .. ........... .. .. 48Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluare .........51Lec\ia 16. Divizor. Multiplu....... ...........53Lec[ia 17. Divizibilitatea ct2,5, 10 ............ ..............55Leclia 18. Media aritmeticd a doud numere naturale ......................57Sd ne veriJicdm cunoStinlele: teste de evaluare .........59Aplicdm ce am invdyat.................... .......60

Cepnorur III. EcuATrr $r TNECUATTT N NLeclia 19. Ecualii in mu[imea numerelor naturale .........................62Lec;la20.Inecualii in mullimea numerelor naturale............................................64Lectia2l. Probleme care se rczolvd, cu ajutorul ecualiilor gi inecuatiilor............67Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........69Aplicdm ce am tnvd1at.................... .......70

Capnorur IV. MurTrrrrrLectia22. Mullime. Cardinalul unei mu[imi. Simbolurile e , 4 .,...........,...,.......72Leclia23. Mullimea numerelor naturale. Relalii intre mullimi .......76Leclia24. Operatii cu mullimi ..............79Sd ne veriJicdm cunostinlele: teste de evaluare .........84Aplicdm ce am invdlat ...........................85

Caprrolur V. FRACTTT 0RDTNARE

Lectia25. Frac{ii.......... ..........,..............87Lec,tia26. Fraclii subunitare, echiunitare, supraunitare ..................90Leclia27. Fractii echivalente.. ..............94Leclia28. Amplificarea frac!ii1or....... ........................97Leclia 29. Simplificarea fracliilor ....... ..................... 101

Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluare.. ..... 105

Leclia 30. Aflarea unei fraclii dintr-un numdr natural .................. 106

Leclia 31. Procente ........109Lectia32. Adunarea fracliilor ordinare care au acelaqi numitor.

Propriet5lile adundrii :.................... 12

Lectia 33. Sc[derea fracliilor ordinare care au acelagi numitor ......................... I 15

Lec[ia 34. Reprezentarea fracliilor ordinare pe ixa numerelor.......................... I 18

Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluare.. .....122Aplicdm ce am invd1ar.................... .....L23

COMENZI - CARTEA PRIN PO$TA

EDITURA PARALELA 45Pite$ti, jud. Argeg, cod 110174, str. Fratii Golegti 130Tel.: 0248 633 130; 0753 040 444

0721 247 918Tel./fax: 0248214 533; 0248 631 439; 0248631 492.E-mail: comenzi@edituraparalela4S,rosau accesati www.edituraparalela45.ro

125

Tiparul executat la Lumina Tipo

ALGEBRACapitolul I

NuupnE NATURALE

E competenle specifice:

O ldentificarea caracteristicilor numerelor naturale gi a formei de scriere a unui numirmfu ral in contexte variate

E Ce ffebuie sE gtim

scrierea unui numdr natural se face cu ajutorul a zece simboluri numitecifre. Acestea sunt: 0, 1,2,3,4,5, 6,7,8,9. Cu ajutorul acestora putemfonna numere naturale cu doui sau mai multe cifre. Scrierea numerelormarale cu ajutorul acestor simboluri respecti anumite reguli:

i) prima cifri a unui num6r natural format din mai mult de doul cifreeste diferit6 dezero;

ii) in scrierea unui numdr natural orice cifrl se poate repeta sau nu.Acest mod de scriere, cu respectarea regulilor de mai sus, este un sistem

i de scriere pozilional numit sistem zecimal de numerafie sau scriere inbaza1

zece. Acest lucru este motivat de faptul c5:i) cifrele reprezinti, valori diferite in raport cupozilia pe care o ocupi in

scrierea numirului;ii) zece unit6li de un anumit ordin formeazd o unitate de ordin imediat

superior.Citirea unui numir natural.Pentru a citi un numir natural scris tn baza zece se grupeazi cifrele cdte trei j

& Ia dreapta spre st6nga. Aceste grupe se numesc clase. cele trei cifre din fie- !care clasi reprezinti de la dreapta la stdnga cifra de ordinul unit5lilor, cifra de 8crlinrrl zcailnr rpsnantirr niSo z{a nrr{i-r,l orrfol,*,{-,,-i+x+i li- ^1^-^ - ^-^^+i-,x lr)qdinul zecilor,respectiv cifra de ordinul sutelor de unitili din clasa respectivd. Y-x,

s lz lu s lz lu slzlu slzluclasa

miliardelorclasa

milioanelorclasamiilor

clasaunit[tilor

citirea numerelor naturale

I clasa I clasa I clasa I clasa I EI miliardelor I milioanelor I miilor I unititilor I IDescompu mai multe €

tifre se scrie in mod unic sub forma unei sume de produse intre fiecare cifrE .""",",.,'."#

dn scrierea numlrului qi ordinul cifrei respective. T

Exemplu: 5752 :5 . 1000 + 7 . 100 + 5' 10 + 2, deciprima cifri 5 reprezint["5000 de unitSli, cifra 7 reprezintd 700 de unitdli, a doua cifrd 5 reprezintd,50 de unitifi, iar cifra 2 reprezintd dou[ unit6li.

o Un numdr natural de doul cifre il vom scrie sub forma ab , r:rrrde a gi b

sunt cifre, a + 0, iar descompunerea lui zecimald, este ab : l0 . a + b.

o Un numlr natural de trei cifre il vom scrie sub forma abc ,wde a, b gi c

sunt cifre, a + 0, iar descompunerea lui zecimald, este abc : 100 . a + lO . b -l c.

Exemple: 76:7 . 10 + 6; 456 :4 . 100 + 5 . 10 + 6.Acest procedeu de scriere se poate aplica mai departe la un num[r natural

de oricdte cifre dorim.o Dacd oO (o+ 0) este un numdrnatural r;rta,b cifre, a.b +0,b +0,

atunci numdrul natural ba este risturnatul siu.o DacI oU" (o+ 0) este un numirnatural ct a, b,c cifre, a. c + 0, c + 0,

atunci num[ru] natural cba esterdstumatul slu qi aga mai departe.Exemple: Risturnahrl numlrului 75 este 57. R6stumatul num[rului 578 este 875.

Numere naturale pare. Numere naturale impareOrice numlr natural care are cifra unitdlilor 0, 2, 4, 6 sau 8 se numegte

numlr par.Orice numdr natural care are cifra unitIlilor 1, 3, 5, 7 sau 9 se numegte

numlr impar.Numerele naturale scrise in ordinea succesivi: 0, 1,2,..., 9, 10, ll, ...,99,

100, 101, ... formeazd girul numerelor naturale.Dacd, n este un numlr natural mai mare ca zeto, atunci num[rul n - 1 se

nume$te predecesorul sdu, iar numirul 72 * 1 se numegte succesorul s[u.Exernplu: Fiind dat numlrul I23, predecesorul s[u este 122, iar succesorulsiu este 124.

Dacd" n este un num6r nabsral, afunci n qi n + 1 se numesc numere natu-I rale consecutive.

I Exemptu.'Numerele 1378 gi 1379 sunt consecutive.

S ftr gtim sE r6spun dem?

lE Propozilia ,,Num5rul natural 0 este singurul numir natural care nu areE predecesor." este .........E

5 El 5o rezorvom rmpreuno

1. Cititi urmltoarele numere naturale:8 a) 675; b)3562; c) 13456.

Solulie:a) 6 sute 75; b) 3 mii 562; c) 13 mii 456.

2. Scrieli in sistemul zecimal de numeralie urmltoarele numere naturalescrise literal:

a) gase mii cincizeci gi patru; b) noudzeci qi trei de mii cinci;c) cinci sute gase mii treizeci.

Solufie: a) 6054; b) 93005; c) 506030.

3. Se considerd numdrul 6 3 0 4 Et7 5.Precizali clasa gi ordinul cifrelorsubliniate.Solulie: Cifra 1 face parte din clasa unit5lilor gi este de ordinul sutelor.

Cifra 8 face parte din clasa miilor qi este de ordinul unitSlilor.Cifra 6 face parte din clasa milioanelor qi este de ordinul zecilor.

b) s04;

D 5017;

) a2B8;

b) 603468;f) 2203109;

oI

oora(,\)xi.9+-oEq){-o

=

@| 5d exers6m singuri

1' Citili urm[toarele numere naturale:a) 358;e) 4123;i) 12345;

a) 523149;e) 1020400;

2' Citiliurmdtoarele numere naturale :

i) 42007028; j) 50104006;

3' Scrieli urmdtoarele numere naturale:a) doui mii cincizeci;c) nou6 mii trei sute unu;e) cinci mii treizeci gi nouS;g) doulsprezece mii cinci;i) qaizeci de mii opt sute unu;

4* Scrieli urmitoarele numere naturale:a) o sutd doui mii qaptezeci;

c) noud sute cincisprezece mii opt;e) gase sute de mii treizeci gi noui;

5* Scrieli urmdtoarele numere naturale:a) un milion doud sute patru mii o suti doi;b) trei milioane dou[zeci de mii gapte sute;c) qapte milioane trei mii doudzeci gi noud;d) treizeci gi unu de milioane o sutl de mii doudzeci;

c) 612;g) 6704;k) s0821;

d) 7e0;h) 9820;

D 83106.

c)700207; d)2060a6;g) 6006005; h) 4040108;k) 100108005; D 10s026011.

b) qase mii doudzeci;d) doul mii noui sute doi;

D patrumii qaizeci 9i patru;h) noudsprezece mii qapte;j) treizeci de mii trei sute doi.

b) qapte sute qapte mii noud;d) cinci sute patru mii o suti qase;

f) opt sute de mii cincizeci gi trei.

e) optzeci gi unu de milioane patru sute qase mii doi;f) qaizeci gi cinci de milioane doud mii opt sute cinci.

6'Scrieli:a) dou[ numere naturale consecutive;b) trei numere naturale consecutive;c) patru numere naturale consecutive.

7. S"rieli predecesorul gi succesorul urm[toarelor numere naturale:

a)75; b) 100; c)329; d) 4311.

8* Descompunefi zecimal urm6toarele numere naturale:

9'FdrA a efectua calculele, scrieli urmitoarele numere naturale inbazazece'.

a) 47;e) 3604;

a) 29!05;e) 341524;

a) 45;e) 7529;

b) 8e;f) 5720;

b) 60178;f) 917284;

b) 72;f) 5824;

c) 132;g) 42t38;

c) !4169;e) s02488;

c) 283;g) 4t705;

d) 415;h) 26107.

il sa29a;h) 684001.

d) 105;h) t23s93.

e)6. 1000+7. 100+1.10+2; 05. 1000+8. 100+3. 10+5;

a)5.10+7;c)2.100+3.10+8;

g)3.10000+9.1000+4;D8.100000+5.100+7;

b)8.10+9;d) 6. 100 +4.r0+2;

h)7.100000+5.100+6;j)6'1000000+3.10+9.

10- Scrieli cel mai mic Ai cel mai mare num[r de 7 cifre folosind cifrele O, !, 4,7 .

!!* Precizaqi clasa qi ordinul cifrelor subliniate:

l2* Precizali clasa qi ordinul cifrelor subliniate:a) 38104500; b) 69004273; c)$t94t454; d) 4620&206;e)60t292t44; 0E00a0029s; s)9!t200070; h)sss272502.

13* Scrieli risturnatele urm[toarelor numere naturale:oI

o(,vt(,Gxi.9F(,Eq){-o

=

lC Scrieli numerele naturale de doud cifre care sunt egale cu rlsturnatele lor.

15*' Scriepi numerele pare de forma:

a) glx.: b) 5o;16* Scrieli numerele impare de forma:

c) lx7x.

c) 35xr.10

{ 27ax; b) 8x6x;

17* Scrieli toate numerele pare de forma:

a) Stry Six:2y; b) 8x5/ qix:3y; c) 47xy Siy:4x.18** Determinali numerele naturale de forma oU"ar, a * 0, e + 0, care suntegale cu r6sturnatele lor gi ?ndeplinesc condilia a * b+ d * e : c.

@@ Putem moi mult!

19**'Afla1i cdte numere naturale de trei cifre sunt egale cu risturnatele lor.

2O*'Determinali numerele naturale de trei cifre care au suma cifrelor detrei ori mai mare decdt suma cifrelor succesorilor 1or.

@| Ce trebuie sE stimDreapta d pe care se fixeazd un punct O numit origine, se stabilegte un

sens pozitiv (de la origine spre dreapta) gi se alege o unitate de mlsuri (unsegment i,17y' de lungime oarecare), se numegte axa numerelor.Exemplu: d DC

Lecfia 2. Reprezerttarea numerelor naturale

01234NM

Fiecirui numir nafural n ii corespunde un punct pe axa numerelor care seob,tine misurdnd de la origine in sens pozitiv n :unitdli de mlsur[.

Numdrul natural n seva numi coordonata punctului respectiv.Exemple:

Num6rul natural I este coordonata punctului r4.

Numirul natural 3 este coordonata punctului C.

Etr gtim sE rdspundem?

(,I

(,ov,o\)

Propozifia ,,Coordonata punctului care este originea axei numerelor este lqi

numdrul natural0." este E

Etr 56 rezolvdm ?mpreunE E(,1. Reprezentafi pe ax[ numerele: O, 2, 4,7, alegdnd,drept unitate de mdsurl : .-un segment cu lungimea de 1 cm.

11