Leon PITUGabriela ZANOSCHI

aritmeticflalUGIriUGOMGT]iG

GIA$a A u-aedifia aY-a, revizuitd

m0I0 2000 - st0nilaril

Cuprins

TESTE TNTTTALE ...,.,,.,.5

Capitolul I. NUMERE NATURALE1. Scrierea gi citirea numerelor nahrale in sistemul de numeratie zecimal....'.,..............,,82. $irul numerelor naturale, Reprezentarea numerelor naturale pe ar<a numerelor .........11

3. Compararea gi ordonarea numerelor naturale.,,.. .........,....,..13

4. Aproximarea numerelor naturale, Rotunjiri. Probleme de estimare...',"..'......'..........'155. Recapitulare gi sistematizare prin teste ..,.,....,,. .........'.'...'.,.166. Probleme pentru preg[tirea concursurilor gcolare....,. .........18

Capitolul II. OPERATII CU NUMERE NATURALE (I)1. Adunarea numerelor naturale; proprietffi '......202. Sc5derea numerelor naturale ,......22

3. inmullirea numerelor naturale; proprietSli ...'..24

4. Factor comun.......,. '..""..'..'.....'..'265. Ridicarea la putere cu exponent numlr natural a unui numir natural......'..'...............286. Compararea puterilor.. ..".............307. Operafii cu puteri ale numerelor naturale (extindere) ......'..31

8. Ultima cifri a unui numtrr natural. Ultima cifr6 a unei puteri a unui numlr natural...34

9. Recapitulare gi sistematizare prin teste ..........,. ..'...'...."'.....3610. Probleme pentru pregfltirea concursurilor gcolare...... .......38

Capitolul IIL OPERATII CU NUMERE NATURALE (II)1. imp[rfirea cu rest zero a numerelor naturale, c6nd impirtitorul are mai multde o cifr6..,.. ........'..'..'..402. imp64irea cu rest a numerelor naturale....... ..................,'..,.42

3. Ordinea efectutrrii operaliilor ..........................45

4. Media aritmetic[ a doud numere naturale cu rezultat num[r natural...,........,.,.......,,...47

5. Nofiunea de divizor; noliunea de multiplu ......48

6. Divizibilitatea ou 2,5,1A .........',.50

7. Recapitulare 6i sistematizare prin teste ............ ..........'........52

8. Probleme pentru pregltirea concursurilor gco1are.....' .........54

Capitolul Iv. ECUATII $I INECUATII lN N

1. Eeuafii ln N ........... .....................55

2. Iueeualii in N .........,. .........,..,.....57

3. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuafiilor gi al inecuatiilor................................584. Recapitulare gi sistematizare prin teste ,.,..,...... ...................61

5. Probleme peiltru pregitirea concursurilor qco1are...... .........62

Capitolul V. MULTIMI1. Multimi: descriere, notalii, element, relafia de apartenenp .....................,,,................63

2. Mullimi frnite, mullimi infinite, N, N*.,........ ......................66

3. Relalii intre doui multimi. Submullime ..........68

4. Operaiii cu mulfimi: reuniune, interseciie, diferenti...... ..................,......71

5. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ...............,...75

6. Probleme pentru pregAtirea concursurilor gcolare...... .........7'

CapitoluM. TRACTII ORDINARE1. Fracfii ordinare. Nofiuni inffoductive. .........,...792.Fruclii subuuitare, echiunitare gi supraunitare......,........... .......................813, Fraofii eohivalente. Amplifioarea gi simplificarea fracfiilor. .........,...,.....844, Aflarea unei fracfii dintr-un numlr naf,ral. Procente...... ..................,....,875. Reprezentarea pe axa numerelor a unei fractii ordinare ......896. Adunarea gi sc[derea unor frac]ii ordinare caf,e au acelagi numitor...,.....................,..917. Inmullirea fracliilor ordinare (extindere)... ......938. Imp6rfirea fracfiilor ordinare (extindere)... ......959. Compararea gi ordonarea fracfiilor ordinare (extindere) ,..............,,...,....9710. Recapitulare gi sistematizarcprlrnteste,............ ..........,....101I 1. Probleme pentru pregltirea concursurilor gcolare...... .....104

Capltolul vII. NUMERE RATIONALE POZITIVE. FRACTII ZECIMALE G)1. Sorierea fracfiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10, sub form[ de fracfiizecimale. Transformarea unei fracfii zecimale, cu un numlr finit de zecimale nenule,lnh-o fracfie ordinar[ ....................1062. Aproxim[ri ale fracfiilor zecimale la ordinul zecimilor/sutimilor,..............,..........,..1103. Compararea gi ordonarea fractiilor zecimale. Reprezentarea pe ilra numerelora fracfiilor zecimale..... ................,.1124. Adunarea 9i sc6derea fracfiilor zecimale care au un num[r finit de 2ecima1e.....,.....1 14

5. Inmullirea fracliilor zecimale care au un numir finit de zecimale nenu1e.................1 l56. Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracfii zecimale cu num6r finitde zecimale. ...............LL77. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................1198. Probleme pentru pregltirea concursurilor gcolare...... ....,..121

Capltolul D(. ECUATU $I INECUATII h{ Q1. Ecuafii .,.................1352.Inecuatii.. ..,.,,,........1383. Probleme care se rezolv[ cu ajutorul ecuafiilor...,. ............1404. Recapitulare gi sistematizarc prin teste ........,1425. Probleme penml pregltirea concursurilor gcolare...... .......L44

Capitolul X. ELEMENTE DE GEOMETRIEl. Punctul gi dreapta ......................1462. Segmente. Semidrepte. Lungimea unui segment ..............1483. Unghiul gi triunghiul .................151

4. Patrulaterul. Cercul...... ..............1545. Simefria. Transla{ia ...................1576. Cubul gi paralelipipedul dreptunghic .............. ..................1637. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................1668. Probleme pentru preg6tirea concursurilor gcolare...... .......169

Capitolul )(. IIMTATI DE utASunAl. UnitEfi de mdsurl pentru lungime; transformdri ...............1712. Unitiiti de mlsur[ pentru arie; transform6ri................ .......1733. Unit5ti de m6suri pentru volum gi capacitate; transformiri ....-.....-.......1764. UnitEfi de mlsuri pentru mas6 gi timp; transformdri .......... ..................1785. Unititi monetare; transformlri ......................1816. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................1827. Probleme pentru pregitirea concursurilor gcolare ...... ....... 184

Capitolul XII. DETERMINAREA PERIMETRELO& A ARIILOR$r A VOLUMELOR

1. Perimetre ...............1862. Ani ....1883. Volume... ...............1914. Recapitulare gi sistematizarepinteste............ .................1935. Probleme penffu pregitirea concursurilor qcolare........ .....196

MODELE DE TEZE SEMESTRIALEModele de tezd - semestrul I.................. ...........198Modele detezd- semestrul al II-1ea....... ...........201

TESTE FINALE .,,...,..206

rNDrcATrr $r RASPUNSURr........... ....................210

@t Pentru toate testele se acordd I punct din o/iciu.

*resrur 1 *Partea I (4 puncte). Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele.

(1p) l.Aflati numtrnrl ob" "ucifre

nenule, gtiind c6:

ot + oo =i; ou -Ta = r, (i, - "\r" = r.

(1p) 2.Fiecare dinfre cei 160 de elevi de clasa a IV-a vorbegte cel pufin una dintrelimbile francezd gi german6. Dinffe acegtia, 82 vorbesc limba francezd, iar 120vorbesc limba german6. Cei elevi vorbesc ambele limbi?

(1p) 3. Fie a,b, c numere naturale, astfel lnc6t 3a+2b * c = 598, a+2b * 3c = 602 gi

a<b<c.Determinafia.(1p) 4. Dou[ mere cdntiresc cdt kei pere, paffu pere cAnt5resc c6t cinci piersici, iar trei

piersici cdntlresc cdt opt nuci. Care este valoarea lai n, dacd fiei mere cdntiresc cAt

n nuci?

Partea a II-a (5 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvtrrile complete.(0,5p) 5. a) Scriefi numirul 2 016 ca sumi de trei numere consecutive.(0,5p) b) Scrieti numdrul 2 016 caprodus de trei factori distincfi.(1p) c) Num[rul 2 016 se imparte la un num[r natural nenul, n, oblindndu-se un cdt

nenul, c, gi un rest R. Care este cel mai maxe rest R av6nd cifre diferite doul cdte

dou6, care se poate obtine? Pentru ce impirtitor z se obline acest rest R?

6. Un num6ru U"a a" patru cifre se nume$te nalional dacd ab =iZ + 4, ct a gi ccifre nenule.

(0,5p) a) Verificafi dac62 016 este un numir nalional.(0r5p) b) Care este cel mai mare numlr nalional?(1p) c) Cite numere nalionale sntrfi?

(1p) d) Care sunt ultimele doui cifre ale sumei tuturor numerelor nalionale?

* rrsruL 2 *Partea I (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele.(0,5p) {. Rezultatul calculului 437 + 1083 este

(0,5p) 2, Rezultatul calculului 2 016 - I 968 este

(0,5p) 3. Rezultatul calculului 44 .37 este .............

(0,5p) 4. Rezultatul calculului 535 : 5 este .............

(0,5p) 5. Completali girul 108, 801, 180,

(0,5p) 6. Cel mai mic numdr natural cu cifre diferite gi suma cifrelor 19 este

oI

oov)o\)lei.9.t-oEo).t-o

=

oJoovtoG,Gi(,

oEq,+-o

=

Partea a II-a (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvtrrile complete.(1p) 7,Cite numere de hei cifre se pot forma folosind cifrele 0,2,4,6,8?(1p) 0,Afla1i numerele naturalex giy, gtiind cd x . (7y+ 5) : 15.

(1p) 9'Calculati 2a+ 5b + 3c, qtiind cda* b=20 9i b * c=30.

Partea a III-a (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvilrile complete.(1p) {0,,Afla1i numdrulx din egalitatea 5 . 53 - {+ . [S + (x -2) . 7) : 3]. 6 : l.(1p) { {

' impn4ind dou5 numere naturale, oblinem c6tul 6 9i restul 7. Adundnd deimplr-

titul, imptu[itorul qi c6tul, ob{inem 727. Afla\i deimpdrfitul 9i implrfitorul.(1p) {3' int-o clasd se aduc b6nci. Dacd in fiecare banci s-ar aqeza cdte 2 elevi, ar mai

trebui 4 bdnci, iar daci in fiecare banc[ s-ar ageza cdte 3 elevi, ar rim6ne o banc6liber6. C6{i elevi gi c6te binci sunt in clas6?

*rrsrul 3 *Partea I (6 puncte). Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele.(1p) I

' ScrieF cel mai mic numlr natural de trei cifre care adunat cu r6stumatul s6u di I 009.

(1p) ?,Cete numere de patru cifre tncep gi se termin6 cl cifra2?(1p) t' Serban are 9 bucdfi de hdrtie. Pe unele dinffe ele le taie in cflte trei buc6fi. in total

ane acum 15 bucdfi de hdrtie. C6te bucdli de hdrtie au fost tdiate?(1p) 4' gtefana scrie un numlr mai mare decdt2 012, caxe are aceeagi sum[ a cifrelor ca

gi2 012. Care este cel mai mic numlr pe care il poate scrie $tefana?(fp) 5' Ceasul digital aratil 20:07. Cdt de repede vor apErea din nou pe ecranul ceasului

aceste pafru cifre?(1p) 6' Dragoq a ales doui numere, unul de ffei cifre gi altul de doui cifre. Care este

suma acestor numere, dacl diferen{a lor este 989?

Partea a II-a (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvirile complete.(1p) 7' Trei prieteni citesc fei cdr{i identice de ghicitori. Unul dinfte ei a terminat de citit

cartea in acelagi timp in care al doilea a citit jumitate din cartea lui, iar al teilea unsfert. Au calculat ci impreuni au citit 196 de ghicitori. CAte ghicitori are cartea?

(1p) t, Oeterminali numerele naturale de forma -ry "ur",implrfite la x, dau cdtul 108 gi

restul x : 2-

(1p) I'Ilincaacompletatgiruldenumere 1,3,4,2,5,7,8,6,9,11,12,10,... duploanumitlregul6.a) Care sunt urmdtoarele trei numere?b) Care este numErul de pe pozilra2 012?c) Pe ce pozilie ests2 012?d) Care este suma primilor 20 de terneni?

*resrul 4 *Partea I (6 puncte). Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele.(1p) '1. Pe partea dreaptil a unei alei sunt 9 felinare. Distanfa dintre doul felinare

aldturate este de 8 metri. Diana a alergat pe alee, de la primul felinar la ultimul. Cdtimetri a alergatDiana?

(fp) 2" Ilinca scrie un numir mai mare dec6't 2 007 , care are aceeagi sum6 a cifrelor ca gi

2 007. Care este cel mai mic numdr pe care il poate scrie Ilinca?(1p) $' Penatul aldtr,xat se completeazi cu cifrele 1,2,3. Pe fiecare rAnd gi

pe fiecare coloani trebuie sd apard toate aceste cifre. Ce cifri poate fipus6 in locul semnului ,,,t "?

(1p) {" Ceasul digital aratd 20:09. C6t de repede vor apdrea din nou pe ecranul ceasulut

aceste pafru cifre?(1p) S, Din fiecare co[ al unui dreptunghi cu lungimea de 15 cm 9i 16!imea de 9 cm se taie

c6te un pifdtel av6nd perimetrul de 8 cm. Care este perimefrul figurii rdmase?

(1p) fi. Patru cdrti qi cinci pixuri costl 60 de lei, iar 12 cdrli qi 7 pixuri costi 148 de lei.

Cdt costii 28 de pixuri?

Partea a II-a (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvlrile complete.(1p) 7, Erau 60 de plsiri in trei copaci. Din primul copac au zbrxat 6 p6sdri, din al

doilea copac 8 gi din al fieilea copac 4. Acum in fiecare dintre cei ffei copaci este

acelagi numEr de plsdri. Cdte p6sEri erau ini{ial in al doilea copac?

(1p) B' Acum doi ani, Vlad era de 8 ori mai mare decdt Maria. Acum Vlad are 10 ani.

Peste c6[i ani va avea Maria 10 ani?

(1p) S, Dragoq s-a g6ndit la un numir natural. Matei l-a inmullit cu 5 sau 6. Mat'ra a

adiugat la rezultatul lui Matei 5 sau 6. Diana a scdz:trt din rezultatul Mariei 5 sau 6.

Rezultatul ob{inut este 73. La ce numdr s-a gdndit Dragog?

*resrul s *Partea I (6 puncte). Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele.(1p) {' Dragog a ales doul numere, unul de trei cifre gi altul de doul cifre. Care este

suma acestor numere, daci diferenla lor este 989?

(1p) *' Maria a completat girul de numere I,3, 4,2, 5, 7, 8, 6, 9, ll, 12, 10, ... dupd o

anumiti regulS. Care sunt urmitoarele trei numere?

(1p) fl, Am 9 buc6{i de hdrtie. Pe unele dinte ele le tai in cdte fiei buc6!i. in total am

acum 25 de buc6li de hdrtie. Cdte buc6fi de hdrtie au fost t5;iate?

(1p) .4' Cdte ore sunt intr-o jumitate dintr-o treime dintr-un sfert dintr-o zi?

(1p) S' Ioana taie o bucatd de hdrtie in 10 buc5li. Apoi ia una dintre buc6fi qi o taie iar in10 bucdfl. Ea repeti aceastd activitate incd de doui ori. Cdte bucS{i de h6rtieva avea

in final?(1p) S' Matei atitatcodul seifului (codul este format din 3 cifre), dar qtie cd toate cifrele

sunt diferite, ci a doua cifrd se imparte exact la a treia cifrd gi cI prima cifrl este

egalS cu cdtul acestei impdrliri. Cdte numere pot fi coduri?

Partea a II-a (3 puncte). Pe foaia de lucru se scriu rezolvirile complete.(1p) E' Cdte numere de patru cifre incep gi se termini cu cifra 8?

(1p) S' lntr-un sdculef sunt 10 bile albe, l2bile negre gi 16 bile rogii. Care este numdrul

cel mai mic de bile pe care trebuie sI il scoatem,lard a ne uita in siculef, pentru a fisiguri cd am scos 3 bile de aceeaqi culoare?

(1p) 9' intr-o anumiti lund, trei zile de duminicd au cdzntin date exprimate prin numerepare. In ce zi aslptimdnii cade zitade 5 a acestei luni?

c,I

oovto()

lcilJ

oEq)

o

=7

Capitolul !. NUtu{ERE NATURALE

$fl Competen[e sBecifice:I ldentificarea caracteristicilor numerelor naturale gi a formei de scriere aunui numtrr natural in contexte variate

numlrului nahxaln:

CLASA

nrilioanelor nriilor unitltilor

n= 437 895 126

m* Scrierea

uniteti lzeci f onn^sute )

Vom citi (de la stdnga la dreapta):n: 4 stfie 3 zeci qi 7 de milioane,

8 sute 9 zeci gi 5 de mii 9iI sut62 zeci gi 6 (unitefi).

r Pentru scrierea unui numir natural r folosim cifrele (,,arabe,,):

. in tuncrie de relur,r.*.tllil;i ilijr:tJtXli'rorori,, un sistem zecimar ei unsistem pozifional.

Trecerea de la un ordin de mirime la ordinul superior se face dupi l0 unitali de ordininferior: baza (de numerafie) zece.

Numirul z se descompune in baza l0 astfel:

oI

ctgvtoolo.9.FoEq)t-o

"=8

m= 23'

-//

107 =

2 .10'000 + 1,1 '000 + 1 .100 + g.l0 + ?

[xemp!e: l. ab = l0 . a + b, a, b cifue, a * 0; '2, abc = 100 . a + l0 . U a ci3. abcd: I 000 .a + 100.b + l0 .c * d.

descompunerea lui rr in bazE 10

r Din punct de vedere istoric, primul sistem de numera[ieroman, care folosegte cifre romane gi este un sistem nepozitional.

Clfrelo rornEn€:

folosit a fost sistemul

MI 000

TVVVI456

IVl5IIImt2 3

CD100 500

VII VIII Ix789

XLl0 50

Exernple: xxIl0 ll

Probleme rezolvote

lR Numerele urmitoare sunt scrise in sistemul zecimal. Scrie(i corespondentul lor insistemul roman.

Rezolvare: sistemul zecimalt 249

1242 013

sistemul romanMCCXLX

= CXKVMMXIII

oI

oovtoUxi.9+oEq,+o

9

GB g* Cdte numere de frei cifre distincte putefi scrie folosind cifrele 7,8, g?

Rezolvare: 6 numere:'l 89, 7 98, 87 9, 897, 987, 97 8.

A ctivit6ti de ?nv6tore

l' Se dau numerele: 403; 2 5 I 1 ; 48 07 5; 330 952; 7 451 023.a) Scriefi cu litere fiecare numir din qirul de mai sus.

b) Precizafi numirul de mii, sute gi zeci din fiecare num6r.

2- C6te zerouri ffebuie scrise la dreapta cifrei 7 pentru a obtine numerele:

a) gapte sute;c) gapte milioane;

b) gaptezeci de mii;d papte sute de mii.

3" Fie numirul 23 0I5. Punefi cifra7 inffe oricare doul cifre ale num6rului dat pentru

a obfine:a) cel mai mic numlr;b) cel mai mare numir.4' Scriefi numerele de 3 cifre care au cifra sutelor egal6 cu cifra unitafllor.

5- Cate numere de 3 cifre se pot forma cu cifrele 0,2, 4, 6?

6' Scriefi numerele de 2 cifre care se pot forma cu cifrele 1,3,5.

?' Cdte numere de 3 cifre incep cu cifra 5? Dar numere de 4 cifre?

8- Cititi urm6toarele numere naturale:

a)23 017;8 002;57 300; 1020r; b) I 021 097;43 200 880; 14327s 396.

S' Scriefi cu ajutorul cifrelor urm6toarele numere:

a) o suti cincisprezece mii dou6 sute opt;b) treizeci de mii gapte sute cincizeci gi trei;c) un milion patruzeci gi doui de mii optzeci;d) treizeci gi unu de milioane nouizeci de mii unu.

l0l Pentru urmitoarele numere, precizali ordinul gi clasa cifrei indicate:

a) 23p 843; q rW zst; cl prz 405 t32; d) 201 Ele3.