Adunarea si scaderea numerelor naturale n concentrul 0-10n scopul formarii notiunii de adunare se porneste de la operatii cu multimi de obiecteconcrete (etapa perceptiva), dupa care se trece la efectuarea de operatii cu reprezentari ce autendinta de a generaliza (etapa reprezentarilor), pentru ca, n final, sa se poata face saltul laconceptul matematic de adunare (etapa abstracta).Introducerea operatiei de adunare se face folosind reuniunea a doua multimi disjuncte.n etapa concreta, elevii formeaza, de exemplu, o multime de braduti ninsi cu 3 elementesi a multime de braduti albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele doua multimi de braduti seformeaza o multime care are 7 braduti: ninsi sau albi. Se repeta apoi actiunea folosind alteobiecte (de exemplu, baloane, betisoare, flori, creioane s.a.), pna ce elevii constientizeaza careunind o multime formata din 3 obiecte cu o alta multime formata din 4 obiecte (indiferent cesunt acestea) se obtine o multime formata din 7 obiecte. n aceasta etapa, actiunea elevuluivizeaza numaratul sau compunerea unui numar, date fiind doua componente.Etapa a doua, semiabstracta, este caracterizata de utilizarea reprezentarilor simbolice, cumar fi:n aceasta etapa se introduc semnele grafice + si =, explicndu-se ce reprezinta fiecaresi se insista pe faptul ca acestea se scriu doar ntre numere.n etapa a treia, abstracta, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele.n aceasta etapa se introduce terminologia specifica (termeni, suma/total) si se scot nevidenta proprietatile adunarii (comutativitate, asociativitate, existenta elementului neutru),fara utilizarea acestor termeni si cu apelare la intuire, ori de cte ori este necesar. Tot n aceastaetapa se poate sublinia reversibilitatea operatiei, prin scrierea unui numar ca suma de douanumere (descompunerea numarului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativitatiielevului care, n urma unui rationament probabilistic, trebuie sa gaseasca toate solutiile posibile,anticipnd, n acelasi timp, operatia de scadere.Scaderea se introduce folosind operatia de diferenta dintre o multime si o submultime a sa(complementara unei submultimi).n prima etapa concreta, dintr-o multime de obiecte ce au o proprietate comuna se eliminao submultime de obiecte si se precizeaza cte obiecte ramn n multime. Actiunea mentala aelevului vizeaza numaratul sau descompunerea unui numar n doua componente, data fiind unadintre acestea.Etapa a doua, semiabstracta, este caracterizata de utilizarea reprezentarilor simbolice, cumar fin aceasta etapa se introduce semnul grafic explicndu-se ce reprezinta si se precizeazaca acesta se scrie doar ntre numere.n etapa a treia abstracta, n care se folosesc doar numerele, se introduce terminologiaspecifica (descazut, scazator, rest/diferenta) si se evidentiaza proprietatile scaderii numerelornaturale (operatia este posibila doar daca descazutul este mai mare sau egal cu scazatorul; ncazul egalitatii, restul este zero), si se compara cu proprietatile adunarii (scaderea nu estecomutativa) si subliniind faptul ca, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare dect oricaredintre numerele care se aduna (termeni), iar la scadere, rezultatul (diferenta) este mai mic dectdescazutul.Legatura dintre adunare si scadere trebuie subliniata prin realizarea probei fiecareiadintre cele doua operatii: la adunare, se scade din suma unul din termeni si trebuie sa seobtina cel de-al doilea termen, iar la scadere, se aduna diferenta cu scazatorul si trebuie sa seobtina descazutul. De asemenea, aceste relatii se evidentiaza si n cazul aflarii unui termennecunoscut la adunare sau scadere, eliminnd ghicirea, ce apeleaza la memorie sauprocedeul ncercare-eroare.ntelegerea acestor aspecte implica n clasele urmatoare si formarea capacitatii elevilor de autiliza terminologia: mai mult cu, mai putin cu, ce vor sta la baza rezolvarii problemelorsimple.

Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-20n predarea adunrii numerelor naturale pn la 20, se pot distinge urmtoarele cazuri:a) adunarea numrului 10 cu un numr de uniti (mai mic dect 10);Acest caz nu ridic probleme metodice deosebite, dat fiind i faptul c se coreleaz cu problematica formrii numerelor mai mari dect 10(zecea i un numr de uniti), abordat anterior, la numeraie.b) adunarea unui numr format dintr-o zece i din uniti cu un numr format din uniti;n acest caz este necesar ca elevii s aib deprinderile de a aduna corect i rapid numere mai mici dect 10 i de a descompune numrul mai mare dect 10 ntr-o zece i uniti, precum i priceperea de a aciona numai cu unitile celor dou numere, iar la final, s revin la primul caz.Din punct de vedere metodic este necesar o aciune direct,demonstrativ, apoi, ori de cte ori este necesar, individual, cu obiectele,aciuni ce se vor reflecta n paii algoritmului: descompunerea primului numr n 10 i uniti; adunarea unitilor celor dou numere (cu sum mai mic sau egal cu 10); compunerea rezultatului din 10 i suma unitilor.De exemplu: 15 + 3 = (10 + 5) + 3 = 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18c) adunarea a dou numere mai mici dect 10 i a cror sumeste mai mare dect 10 (cu trecere peste 10).Pentru nelegerea acestui caz, elevii trebuie s aib capacitatea de a forma zecea, ca sum a dou numere, dintre care unul este dat (gsirea complementului unui numr dat n raport cu 10), priceperea de a descompune convenabil un numr mai mic dect 10 i deprinderea de a efectua adunarea zecii cu un numr de uniti (cazul I). Paii algoritmului sunt: cutarea unui numr care, adunat cu primul termen, conduce la suma 10; descompunerea convenabil a celui de-al doilea termen (una din componente fiind numrul gsit anterior); adunarea zecii cu cealalt component a celui de-al doilea termen.De exemplu: 8 + 6 = 8 + (2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14 n predarea scderii numerelor naturale mai mici dect 20, se pot distinge urmtoarele cazuri:a) desczutul este cuprins ntre 10 i 20 iar scztorul este maimic dect unitile desczutului (de exemplu 15 3);Predarea acestui caz nu ridic probleme metodice deosebite, dac elevii observ c este suficient scderea unitilor, zecea rmnndneatins. Algoritmul se reflect n modelul:15 3 = (10 + 5) 3 = 10 + (5 3) = 10 + 2 = 12.b) desczutul este cuprins ntre 10 i 20, iar scztorul este 10(de exemplu, 15 10);Nici acest caz nu prezint dificulti metodice dac elevii observ c este suficient scderea zecii, unitile rmnnd neschimbate. Algoritmul se materializeaz n modelul:15 10 = (5 + 10) 10 = 5 + (10 10) = 5 + 0 = 5c) att desczutul, ct i scztorul sunt cuprinse ntre 10 i 20(de exemplu 15 13);Acest caz reprezint o combinaie a celor dou i rezolvarea sa este reductibil la descompunerea celor dou numere (cu cte o zece i uniti), scderea unitilor de acelai fel (10 10 i uniti - uniti) i adiionarea rezultatelor, ca n modelul:15 13 = (10 + 5) (10 + 3) = (10 10) + (5 3) = 0 + 2 = 2d) desczutul este 20 iar scztorul este mai mic dect 10 (deexemplu 20 3);Este primul caz n care este necesar desfacerea unui zeci n uniti i apoi scderea din 10 a unitilor scztorului. Pentru formarea priceperii corespunztoare este necesar ca elevii s aib deprinderea de a efectua corect i rapid scderea din 10 a unui numr de uniti i s neleag necesitatea transformrii uneia din cele dou zeci n uniti.Algoritmul se reflect n modelul:20 3 = (10 + 10) 3 = 10 + (10 3) = 10 + 7 = 17e) desczutul este 20 iar scztorul este cuprins ntre 10 i 20(de exemplu 20 13);Cazul reprezint o lrgire a celui anterior, ce face necesar, n plus,scderea zecilor. Algoritmul este ilustrat de modelul:20 13 = (10 + 10) (10 + 3) = (10 10) + (10 3) = 0 + 7 = 7d)desczutul este cuprins ntre 10 i 20 iar scztorul, mai micdect 10, este mai mare dect unitile desczutului (deexempl 15 8);Este cazul cel mai dificil pentru elevi, iar nelegerea sa condiioneaz nelegerea de a efectua scderi n orice situaie dat i n orice concentru numeric. Acest caz poate fi rezolvat prin dou procedee.Primul procedeu cuprinde: descompunerea desczutului ntr-o zece i uniti (15 = 10 + 5); descompunerea scztorului astfel nct una dintr componente s fie egal cu unitile desczutului (8 = 5 + 3); scderea acestei componente a scztorului din unitile desczutului (5 5 = 0); scderea din zecea desczutului a celeilalte componente a scztorului (10 3 = 7).Deci,15 8 = (10 + 5) 8 = (10 + 5) (5 + 3) = 10 + (5 5) 3 = 10 + 0 3=10 3 = 7Al doilea procedeu revine la: descompunerea desczutului ntr-o zece i uniti(15 = 10 + 5); scderea din zecea desczutului a unitilor scztorului10 8 = 2); adunarea acestui rest cu unitile desczutului (2 + 5 = 7).Deci, 15 8 = (10 + 5) 8 = (10 8) + 5 = 2 + 5 = 7Este necesar ca elevilor s li se prezinte ambele procedee, s fie solicitai s le aplice pe amndou n una sau mai multe scderi date, pentru ca, apoi, acetia s opteze pentru unul din procedee (care li se paremai uor), ce va fi folosit n continuare.Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul0- 100Predarea operatiilor de adunare si scadere n concentrul 0-100, trebuie sa urmareasca nsusirea de catre elevi a urmatoarelor idei:-calculul n acest concentru se realizeaza n acelasi mod ca si n concentrul 0-20;-orice numar mai mare dect 10 se descompune n zeci si unitati;-zecea este o noua unitate de calcul;-operatiile se realizeaza cu unitatile de acelasi fel (unitati, zeci), asamblnd apoi rezultatele partiale; -10 unitati se restrng ntr-o zece, iar o zece se poate transforma n 10 unitati (echivalentadintre 10 unitati si o zece);-calculul este mai usor de efectuat n scris (scrierea pe verticala, cu unitati sub unitati si zeci sub zeci).n predarea adunarii numerelor naturale mai mici dect 100, se disting urmatoarele cazuri:-adunarea a doua numere formate numai din zeci;n acest caz, institutorul trebuie sa sublinieze ca zecile sunt si ele unitati de calcul, asadar se va opera cu ele ca si cu unitatile.-adunarea unui numar format numai din zeci cu un numar mai mic dect 10;Nici acest caz nu ridica probleme metodice deosebite, deoarece are legatura cu problematica formarii numerelor.-adunarea unui numar format numai din zeci cu un numar format din zeci si unitati;n acest caz, algoritmul operatiei presupune: -descompunerea celui de al doilea numar n zeci si unitati;-adunarea zecilor celor doua numere;-adunarea la aceasta suma a unitatilor celui de-al doilea numar.-adunarea unui numar format din zeci si unitati cu un numar mai mic dect 10, fara trecere peste ordin;Se distinge de cazul anterior prin aceea ca se aduna unitatile celor doua numere, adunnd apoi si zecile primului numar.-adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, fara trecere peste ordin;n acest caz pasii algoritmului sunt:-descompunerea fiecarui numar n zeci si unitati;-adunarea zecilor celor doua numere, respectiv a unitatilor;-adunarea celor doua sume partiale.-adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, avnd suma unitatilor 10;n acest caz suma unitatilor se restrnge ntr-o zece, care se va aduna cu suma zecilor celordoua numere.-adunarea unui numar format din zeci si unitati cu un numar mai mic dect 10, cutrecere peste ordin;n acest caz din suma unitatilor se separa o zece, care se va aduna cu zecile primului numarsi unitatile ramase se vor aduna la suma zecilor.-adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, cu trecere peste ordin;n acest caz din suma unitatilor celor doua numere (mai mare dect 10) se separa o zece, care se va aduna sumei zecilor celor doua numere, iar unitatile ramase se vor aduna la zecile obtinute.

Adunarea si scaderea numerelor naturale mai mari dect 100Acest caz nu ridica probleme metodice deosebite, n situatia n care elevii stapnesc algoritmii celor doua operatii, pe care i-au nvatat n concentre numerice mai mici. Singura diferenta este data de ordinul de marime al numerelor, dar acest lucru nu modifica structura algoritmilor. Binenteles, pe lnga zecea cu care s-a lucrat n concentrele anterioare, apar si alte unitati de calcul, cum sunt: suta, mia, etc., dar ele reprezinta generalizari ale cunostintelor si priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri, constatnd ca operarea cu numere naturale de orice marime se face la fel ca si cu numerele naturale mai mici dect 100. Abordarea cazurilor noi se va face gradat fara sa se insiste prea mult pe denumirile acestora, care sunt neimportante pentru elevi.O eroare metodica din parte institutorului este nedozarea eficienta a sarcinilor calculatorii. n situatia n care nu sunt intercalate si sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii sa greseasca este mai mare si aceasta se datoreaza: monotoniei, oboselii, micsorarii motivatiei pentru efectuarea calculelor.n predare numerelor naturale din concentrul 100-1000 se folosete analogia cu procedeele din concentrul anterior nvat, conturndu-se ideea c 10 uniti de un anumit fel formeaz o unitatea nou, mai mare. n acest concentru, elevii adaug la unitile de numeraie cunoscute (unitatea simpl, zecea) o unitatea nou suta i afl c zece sute formeaz o mie.Formarea oricrui numr mai mare dect 100 se realizeaz dup algoritmul cunoscut de la formarea numerelor mai mari dect 10: o sut i nc o unitate formeaz 101 s.a.m.d.Singura problem metodic nou fa de concentrele anterioare este indus de formarea, citirea i scrierea numerelor ce conin pe 0. Este necesar ca elevii s discrimineze ntre 101 i 110 (de exemplu), n care cifra 0 arat absena zecilor, respectiv a unitilor simple.Predarea nmulirii Dac A este o mulime avnd cardinalul a i B este o alt mulime, de cardinal b, atunci produsul ab este cardinalul produsului cartezian al celor dou mulimi AB. Desigur, aceast definiie tiinific nu poate fi utilizat n nvmntul primar. Aici, nmulirea este introdus ca o adunare repetat de termeni egali. Astfel, suma 4 + 4+ 4 este vzut ca de trei ori patru, definind astfel produsul 3 4. Aceast definiie are un support algebric, dat de reducerea monoamelor asemenea: a + a + a = 3a. De fapt, definiia de mai sus este convenional, util n scrierea rezolvrii problemelor de nmulire i nu n partea calculatorie, unde se poate folosi proprietatea de comutativitate a acestei operaii. Un argument n plus l constituie faptul c numerele care se nmulesc se numesc, ambele, nedifereniat, factori, astfel nct o ncercare de delimitare, de tipul primul factor arat , este inutil i inexact. Tot incorect este i o formulare, care mai circul nc n coala primar, de tipul mrii numrul de ori, ntruct orice numr este o entitate de sine stttoare, constant, ce nu poate fi mrit printr-un procedeu sau altul. Dup introducerea operaiei i prezentarea terminologiei specifice, este util cunoaterea de ctre elevi a unora dintre proprietile nmulirii:este totdeauna posibil;este comutativ;este asociativ;admite element neutru (1);dac unul dintre factori este 0, produsul este 0;distributivitatea nmulirii fa de adunareDup ce elevii au asimilat aceste cunotine, se trece la nvarea contient a nmulirii numerelor din concentrul 0 10, alctuind table nmulirii pentru fiecare dintre ele. nmulirile cu 0 i 1 au fost prezentate la proprieti, unde, eventual, ar putea fi introdus i nmulirea cu 10 (privind zecea ca unitate de calcul), astfel nct prima tabl alctuit va fi cea a nmulirii cu 2. pentru realizarea acesteia, se apeleaz la definiia nmulirii ca adunare repetat a numrului 2, elevii descoperind singuri produsele. Aceste rezultate mai pot fi aflate i pot fi reinute uor dac elevii sunt solicitai s numere din 2 n 2, de la 0 la 20. Rezultatele obinute vor fi consemnate n tabla nmulirii cu 2, scris pe tabl i n caietele elevilor.Este util reinerea acesteia pe dou coloane: n prima apar, n ordine,nmulirile care au factorul 2 pe locul al doilea (primul factor fiind 1, 2, 3, ,10), iar n cealalt, pe primul loc. dei elevii au cunoscut proprietatea de comutativitate a nmulirii, memorarea tablei nmulirii se realizeaz mai uor dac sunt vizualizate ambele scrieri.O lecie n care se pred nmulirea cnd unul dintre factori este unnumr dat parcurge mai multe etape:repetarea tablei nmulirii cu numerele precedente, insistnduse asupra situaiilor n care apare ca factor numrul dat (de exemplu, la nmulirea cu 7, sunt deja cunoscute, din cazurile studiate, utiliznd comutativitatea, toate produsele n care cellalt factor este mai mic dect 7: 17, 27,, 67);scrierea noii table a nmulirii i completarea cu produsele cunoscute (pn la nn);obinerea rezultatelor pentru celelalte nmuliri cu acest numr, folosind definiia nmulirii ca adunare repetat i proprietatea de distributivitate a nmulirii fa de adunare;scrierea complet a tablei nmulirii cu acel numr;exerciii de memorare a acesteia;aplicarea n exerciii i probleme.Nu se realizeaz o nvare mecanic, deoarece toate rezultatele nmulirilor sunt sau pot fi descoperite de elevi, dar acetia trebuie s se conving de necesitatea memorrii tablei nmulirii, din considerente ce vizeaz doar timpul necesar prezentrii unui rspuns. Este printre puinele locuri n care trebuie exersat memoria de lung durat a elevilor, tablele nmulirii constituindu-se n automatisme pentru ntreaga via. n vederea memorrii unei table a nmulirii pentru un numr dat, pot fi utilizate procedee variate:repetarea acesteia, n ordinea cresctoare a factorului variabil, elevii avnd n fa scrierea (pe tabl i n caiete) a acesteia;repetarea acesteia ntr-o ordine aleatoare (pe srite), propus de nvtor, care va insista pe situaiile noi, n care factorul variabil este mai mare sau egal cu numrul dat;se terg rezultatele de pe tabl (iar elevii nchid caietele) i se reiau, n ordine, cele dou tipuri de sarcini prezentate anterior, completnd apoi, din nou, pe tabl, rezultatele terse;se terg de pe tabl unii dintre factori i se cere elevilor s reconstituie nmulirile respective.n lecia de formare a priceperilor i deprinderilor pentru nmulirea dat, tipurile de sarcini didactice pot fi:efectuarea de exerciii pentru aflarea produsului;reconstituirea unor nmuliri, cnd se cunoate unul dintre factori i produsul;scrierea unui numr ca produs de doi factori, cu precizarea/ neprecizarea unuia dintre factori (descompunerea unui numr n factori);solicitri ce vizeaz terminologia specific: Aflai produsul numerelor, Calculai produsul dac factorii sunt , Gsii numrul de ori mai mare dect ;jocuri didactice, cum ar fi: Eu spun un numr, tu spui numrul de ori mai mare!.La clasele a III-a i a IV

nmultirea numerelor pina la 100La clasele a III-a i a IV-a, cnd elevii dispun de automatismele induse de tabla nmulirii, se introduc treptat alte cazuri de nmuliri, ce pot fi grupate dup gradul de dificultate, astfel:a) nmulirea numerelor naturale mai mici dect 10 cu un numr format numai din zeciEfectuarea acestui tip de nmulire se bazeaz pe descompunerea numrului format numai din zeci (n 10), pe proprietatea de asociativitate i pe tabla nmulirii. De exemplu: 230= 2(310)= (23)10= 610= 60.b) nmulirea numerelor de o cifr cu numere formate din zeci i unitiEfectuarea acestui tip de nmulire se bazeaz pe descompunerea numrului de dou cifre ntr-o sum n care primul termen este un numr format numai din zeci, iar cellalt este un numr de o cifr (scrierea sistemic a numrului ab = a10 + b), respectiv pe proprietatea de distributivitate a nmulirii fa de adunare. De exemplu, 231= 2(30+1)= 230 + 21= 60+2 =62.Din acest loc, se justific introducerea calcului n scris, dupprocedeul n scris al adunrii repetate i utiliznd comutativitatea nmulirii: 31+ (de dou ori o unitate= 2 uniti i 31 2 1 = 2 +31 de dou ori 3 zeci = 6 zeci ) 2 230 = 60 62 62 62c) nmulirea numerelor de o cifr cu 100 Nu ridic probleme metodice ntruct suta este privit ca unitate de calcul, nmulirea cu ea realizndu-se ca n tabla nmulirii. Cu att mai mult cu ct, din punct de vedere al tehnicii de calcul, acest caz se reduce la adugarea, la sfritul numrului, a dou zerouri.d) nmulirea numerelor de o cifr cu numere formate numai dinsuteSe bazeaz pe descompunerea numrului format numai din sute(n100), pe asociativitatea nmulirii i pe tabla nmulirii. De exemplu: 2300= 2(3100)= (23)100= 6100= 600.Nu este cazul s se apeleze la calculul n scris.e) nmulirea numerelor de o cifr cu numere formate din sute,zeci i unitiSe bazeaz pe scrierea sistemic a numrului de 3 cifre i pe distributivitatea nmulirii fa de adunare. De exemplu: 2345 =2(300+40+5) = 2300 + 240 + 25= 600+80+10= 690. Se poate solicita ca elevii s efectueze i calculul n scris corespunztor.f) nmulirea unui numr cu 1 000Nu ridic probleme metodice ntruct mia este privit ca unitate de calcul, iar ca tehnic, se adaug 3 zerouri la sfritul numrului cu care se nmulete.g) nmulirea a dou numere de mai multe cifre Se bazeaz pe scrierile sistemice ale celor dou numere i pe proprietile de asociativitate i distributivitate a nmulirii fa de adunare. De exemplu, 21345 = (20 +1) ( 300 + 40 + 5) = 20(300 + 40 +5) +1(300 + 40 +5) = 20300 + 2040 +205 + 300+40+5= 231 000 + 24100 + 2510 + 345 = 6 000 + 800 + 100 + 345 = 7 245.n aceste cazuri se efectueaz calculul n scris. Fiecare dintre numerele care indic ordinele numrului cu care nmulim se nmulete succesiv cu toate unitile, de orice ordin, ale celuilalt numr. Din nmulirea fiecrei uniti de ordin a numrului cu care nmulim se obine un produs parial. Scrierea acestor produse pariale se realizeaz de la dreapta la stnga i se ncepe cu cifra unitilor numrului cu care nmulim.

Predarea mpririimprirea cu rest 0 (fr rest)Introducerea operaiei de mprire se poate realiza la clasa a II-a, n mai multe moduri:a) mprirea n pri egaleSuportul tiinific este dat de urmtoarea definiie: Fie A o mulime de cardinal a (avnd a elemente); se realizeaz o partiie a acestei mulimi n b (unde b este un divizor al lui a) submulimi disjuncte echipotente; numrul elementelor din fiecare submulime este ctul mpririi numerelor a i b. La clasa a II-a, problema se pune astfel: avem 6 mere, pe care trebuie s le aezm, n mod egal, pe dou farfurii i vrem s aflm cte mere vor fi pe fiecare farfurie. Acional, rezolvarea acestei probleme se va realiza n felul urmtor: se ia cte un mr, ce va fi aezat pe fiecare dintre cele dou farfurii (deci, dou mere luate). Au rmas 6 2 = 4 (mere). Se repet aciunea descris mai sus, n urma creia, pe fiecare farfurie se vor afla cte dou mere, rmnnd de aezat 4 2 = 2 (mere). Dup cel de al treilea pas, ultimul posibil, pe fiecare farfurie vor fi 3 mere i merele disponibile iniial s-au epuizat. Aceasta nseamn c 6 mere : 2 = 3 mere.Pentru a ajunge la generalizri, se folosete material didactic variat,reinnd doar esena aciunii: operaia de mprire a numerelor.b) mprirea prin cuprindereFie A o mulime avnd cardinalul a; se realizeaz o partiie a mulimii n submulimi disjuncte echipotente, avnd fiecare cte b elemente (unde b este un divizor al lui a); numrul maxim al acestor submulimi este ctul mpririi numerelor a i b.Relum exemplul anterior, reformulnd: avem 6 mere, pe care trebuie s le aezm cte dou pe farfurii i vrem s aflm cte farfurii vor fi necesare. Acional, lucrurile se desfoar astfel: se iau dou mere i se aeaz pe o prim farfurie (dintr-un teanc de farfurii), rmnnd de aezat 6 2 = 4 (mere). Se iau nc dou mere, ce vor fi aezate pe o a doua farfurie i rmn 4 2 = 2 (mere). Aceste ultime dou mere se aeaz pe o treia farfurie i nu mai rmn mere neaezate pe farfurii. Aceasta nseamn c 6 (mere) : 2 (mere) = 3, adic grupul de dou mere se cuprinde n cel de 6 mere, de 3 ori.c) mprirea ca scdere repetat a unui acelai numrSe poate observa c, n ambele cazuri anterioare, din mulimea data s-au scos, n mod repetat, cte un acelai numr de elemente, pn la epuizarea acesteia.Astfel, operaia 6 : 2 =3 se reduce, de fapt, la scderea repetat a lui 2 din 6, 6 2 2 2 = 0, n care numrul care arat de cte ori s-a realizat scderea lui 2 reprezint ctul mpririi lui 6 la 2.d) mprirea dedus din tabla nmuliriimprirea poate fi privit i ca operaia prin care, cunoscnd produsul i unul dintre factori (nenul) ai unei nmuliri, se afl cellalt factor.Astfel, pornind de la nmulirea 2 = 6, n care se cunoate produsul (6) i unul dintre factori (2), aflarea celuilalt factor nseamnaflarea ctului mpririi 6 : 2.Desigur, toate procedeele descrise mai sus sunt izomorfe ntre ele, decizia alegerii i utilizrii unuia sau altuia dintre ele fiind influenat de accesibilitatea n nelegerea de ctre copilul de vrst colar mic. Dop introducerea operaiei se trece la alctuirea tablei mpririi, folosind legtura dintre nmulire i mprire. Pornind de la tabla nmulirii cu un numr dat 8de exemplu, 7), se construiete tabla mpririi cu acel numr, considernd ca demprit produsul din prima tabl, iar ca mpritor, factorul constant (n exemplu, 7) n practica colar, cele dou table , pentru numere pn la 10, sunt memorate de elevi, fiind incomod, dar posibil de reconstituit, desigur cu pierdere inutil de timp. Memorarea acestor table nu se face ns mecanic, ci dup descoperirea, cunoaterea i aplicarea lor de ctre elevi.Pot fi remarcate i reinute de elevi proprieti ale operiei de mprire, exprimate de cazurile particulare ale mpririi unui numr nenulla 1 i la el nsui.

Ordinea efecturii operaiilor

Rezolvnd astfel de exercitii n clasele I-II (adunari si/sau scaderi), ct si n clasa a III-a (nmultiri si/sau mpartiri cu adunari si/sau scaderi), elevii se deprind cu efectuarea succesiva a operatiilor, fara sa se gndeasca la faptul ca s-ar putea pune problema existentei unor anumite reguli n ceea ce priveste ordinea efectuarii acestora. De aceea sarcina institutorului consta n primul rnd n a arata elevilor ca nu ntotdeauna este corect sa se efectueze operatiile n ordinea n care sunt scrise; pentru aceasta, utiliznd un exercitiu n rezolvarea caruia prin schimbarea ordinii operatiilor se obtin rezultate diferite, se scoate n evidenta necesitatea stabilirii unor norme care sa reglementeze ordinea efectuarii operatiilor. Operatiile aritmetice se clasifica n doua categorii:-operatii de ordinul I: adunarea si scaderea;-operatii de ordinul II: nmultirea si mpartirea.

Se pot enunta urmatoarele reguli:-daca ntr-un exercitiu toate operatiile sunt de acelasi ordin, adica numai adunari si scaderi, sau numai nmultiri si mpartiri, ele se efectueaza n ordinea n care sunt scrise;-daca un exercitiu cuprinde att operatii de ordinul I, ct si operatii de ordinul II, atunci ordinea efectuarii operatiilor este urmatoarea:-n primul rnd se efectueaza operatiile de ordinul II, adica nmultirile si mpartirile, n ordinea n care sunt scrise;-n al doilea rnd se efectueaza operatiile de ordinul I, adica adunarile si scaderile, de asemenea n ordinea n care sunt scrise.Precizarea referitoare la efectuarea operatiilor de acelasi ordin exprimata prin cuvintele n ordinea n care sunt scrise este necesara deoarece comutativitatea unui sir de adunari si scaderi sau a unui sir de nmultiri se nvata mai trziu si nerespectarea acestei indicatii constituie o sursa permanenta de greseli.

Mrime. Msurarea unei mrimiProblematica mrimilor i a msurrii acestora reprezint o interfa ntre matematic i alte domenii ale cunoaterii umane, ntre matematic i viaa cotidian. Prin prezentarea unor mrimi frecvent ntlnite de elevi i a unitilor de msur corespunztoare acestora, predarea-nvarea acestor noiuni trebuie s aib un pronunat caracter instrumental, oferind copiilor unelte din ce n ce mai perfecionate, n vederea interacionrii cu mediul. De-a lungul timpului, termenul de mrime a fost definit n diverse moduri. ntr-o accepie mai larg, prin mrime se nelege tot ceea ce poate fi mai mare sau mai mic, adic tot ceea ce poate varia cantitativ. n acelai timp, mrimea poate fi privit ca o proprietate a corpurilor i a fenomenelor, n baza creia acestea pot fi comparate (dimensiune, ntindere, volum, cantitate, durat, valoare). O importan deosebit prezint n activitatea practic acele mrimi care pot fi evaluate cantitativ i se pot exprima valoric, ca urmare a posibilitii de a fi asociate, n raport cu mrimi de referin de aceeai natur, cu un ir numeric. Astfel de mrimi sunt mrimi fizice. Mrimile fizice caracterizeaz proprietile fizice ale materiei (mas, volum, densitate) sau micarea materiei n spaiu i timp (vitez, timp, distan parcurs). Caracteristica principal a mrimilor fizice este c sunt msurabile, adic se pot detecta i evalua cu un mijloc de msurare oarecare. Noiunea de mrime este, de fapt, o noiune fundamental (ca i cea de mulime) i, n consecin, se introduce fr a-i da o definiie, nelegerea fiecrei mrimi fcndu-se pe baz de exemple. Mrimile abordate ncepnd cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masa, timpul ivaloarea.A msura o mrime oarecare nseamn a compara dimensiunea unui obiect (din punctul de vedere al mrimii respective: lungime ,mas .c.l.) cu dimensiunea altui obiect de acelai fel, considerat ca unitate de msur. Prin operaia de msurare se stabilete un raport numeric ntre mrimea de msurat i unitatea de msur. Astfel, msura reprezint numrul care arat de cte ori se cuprinde etalonul n dimensiunea obiectului respectiv. De exemplu, a msura lungimea unui obiect echivaleaz cu a o compara cu lungimea unui alt obiect, pe care o vom considera drept unitate de msur. Msura reprezint numrul care arat de cte ori se cuprinde etalonul(unitatea de msur) n lungimea obiectului considerat.

Caracteristici generale ale predarii-nvatarii unitatilor de masura-predarea este ciclica;-se porneste de la unitati de masura nestandard catre cele standard;-predarea nvatarea oricarei unitati de masura are un pronuntat caracter intuitiv si participativ;-se porneste de la propria experienta de viata a copiilor legata de marimi si masura;-prin masuratori nestandard se ajunge la ideea necesitatii masurarii cu unitati standard.5.3.1. LUNGIMEA-masurarea lungimii, latimii, naltimii cu unitati nestandard: mna, cotul, creionul, pasul, guma etc.;-aparitia notiunilor antagonice: mare-mic, nalt-scund, lung-lat, gros-subtire, stabilite prin comparare;-sublinierea necesitatii aparitiei si folosirii unitatii de masura standard- metrul, notatia folosita;-utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea lungimii: rigla, centimetrul de croitorie, metrul liniar, metrul tmplarului, ruleta;-exersarea capacitatii de masurare pornind de la obiectele din clasa, acasa si afara (n practica institutorul alege acele lungimi ce pot fi exprimabile n numerele naturale pe care elevii le cunosc la acel moment);-constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor metrului pentru exprimarea mai comoda a lungimilor mai mari/mai mici, notatii folosite;-asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea scarii);-formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utiliznd si multipli si submultipli ai metrului;-transformari dintr-o unitate de masura n alta unitate de masura;-rezolvari de probleme .5.3.2. CAPACITATEA-compararea si sortarea vaselor prin masurare directa;-compararea vaselor de aceeasi capacitate si forma diferita;-diferentierea: mult-putin;-masurarea capacitatii unui vas cu unitati nestandard;-sublinierea necesitatii introducerii unitatii standard pentru capacitatea vaselor- litrul, notatia folosita;-constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor litrului pentru exprimarea mai comoda a capacitatii vaselor mai mari/mai mici, notatii folosite;-asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea scarii);-utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea capacitatii, ntlnite n practica;-formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utiliznd si multipli si submultipli ai litrului;-transformari dintr-o unitate de masura n alta unitate de masura;-rezolvari de probleme.5.3.3. MASA-compararea prin mnuire directa, aparitia notiunilor: mai usor-mai greu, tot att de greu;-folosirea balantei cu brate egale n stabilirea relatiei dintre masele obiectelor;-compararea, sortarea si gruparea obiectelor cu aceeasi masa;-conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus n parti;-utilizarea unitatilor de masura nestandard n masurarea masei unor corpuri;-sublinierea necesitatii introducerii unitatii standard pentru masa- kilogramul, notatia folosita;-utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea masei: cntarul de bucatarie, de baie, de la piata, balanta, cntarul electronic, cntarul cu resort, etc.;-exercitii practice de masurare;-constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor kilogramului pentru exprimarea mai comoda a maselor mai mari/mai mici, notatii folosite;-asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea scarii);-formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utiliznd si multipli si submultipli ai kilogramului;-transformari dintr-o unitate de masura n alta unitate de masura;-rezolvari de probleme.5.3.4. TIMPUL-predarea-nvatarea marimii timp si a unitatilor de masura se face n strnsa legatura cu actiunile, fenomenele si evenimentele periodice cunoscute de elevi;-se ncepe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, saptamna ,luna, anul masurate cu ceasul si calendarul;-timpul este ciclic si se ntelege studiind programul de activitati zilnice ale elevului, ora la care face acea actiune;-saptamna se constientizeaza prin activitatile scolare si de acasa;-luna ca unitate mai mare dect ziua si saptamna, se prezinta printr-un proces comparative de apreciere a activitatilor desfasurate ntr-o saptamna si ntr-o luna;-denumirea fiecarei luni (si anotimp) se asociaza cu ordinea n an, din data scrisa zilnic pe tabla;-notiunea de an -ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o primavara si alta;-zilele lunilor (30/31/29/28) se pot nvata folosind proeminentele pumnilor;-deceniul, secolul, mileniul;-unitatea de masura standard- secunda, notatia folosita;-multipli si submultipli, notatii folosite;-utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea timpului: calendarul, ceasul de mna, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, clepsidra, etc.;-transformari dintr-o unitate de masura n alta unitate de masura;-rezolvari de probleme.