Mate.info.Ro.1876 Concursul ARHIMEDE 19 Noiembrie 2011 - Clasa a II A
Mate.info.Ro.3478 Universitatea Din Bucuresti - Subiecte Informatica - 2015
2
Universitatea din Bucure¸ sti 17.07.2015 Facultatea de Matematic˘ a¸ si Informatic˘ a Concursul de admitere iulie 2015 Domeniul de licent ¸˘ a– Informatic˘a I. Algebr˘ a. Fie num˘ arul complex z =1+2i. (a) S˘ a se calculeze |1+ z | ¸ si |z 3 |. (b) S˘ a se arate c˘ a pentru orice n ∈ N * num˘ arul z n este de forma a n + ib n cu a n ,b n ∈ Z. (c) S˘ a se arate c˘ a b n+2 - 2b n+1 +5b n = 0 pentru orice n ∈ N * . (d) Ar˘ atat ¸i c˘ a z n / ∈ R pentru orice n ∈ N * . II. Analiz˘ a. Fie f : R → R, f (x)= 3 √ 3x 2 - 2x 3 ¸ si I n = Z 1 0 x n f (x) dx, ∀ n ∈ N. (a) Studiat ¸i derivabilitatea funct ¸iei f ¸ si determinat ¸i punctele sale de extrem local. (b) Fie m ∈ (0, 1). Determinat ¸i num˘ arul de solut ¸ii reale distincte ale ecuat ¸iei f (x)= m. (c) Fie x 0 ∈ (0, 1) ¸ si x n+1 = f (x n ), ∀ n ∈ N. Ar˘ atat ¸i c˘ a(x n ) n∈N este convergent ¸ si determinat ¸i lim n→∞ x n . (d) Ar˘ atat ¸i c˘ a I 1 - I 2 = 1 8 . (e) Ar˘ atat ¸i c˘ a¸ sirul (I n ) n∈N este descresc˘ ator ¸ si demonstrat ¸i c˘ a lim n→∞ I n = 0. III. Geometrie. Pe laturile AB ¸ si AC ale triunghiului ABC cu AB = 1, AC = 2, m( \ BAC ) = 30 ◦ , se construiesc, spre exterior, triunghiurile echilaterale ABM ¸ si ACN . (a) Calculat ¸i lungimile segmentelor BC ¸ si MN . (b) Fie D,E,F mijloacele segmentelor AM , AN ¸ si BC . Ar˘ atat ¸i c˘ a triunghiul DEF este echilateral. (c) Calculat ¸i -→ AB · -→ AM ¸ si -→ AB · -→ AN , apoi determinat ¸i numerele x ¸ si y pentru care are loc relat ¸ia: -→ MN = x -→ AB + y -→ AC . IV. Informatic˘ a. Se citesc numerele naturale nenule a, b, c, n, urmate de o secvent ¸˘ a de n numere naturale distincte, notat˘ a cu s. (a) S˘ a se scrie un program care afi¸ seaz˘ a toate perechile (x, y) cu proprietatea c˘ a x ¸ si y sunt numere diferite din secvent ¸a s, care verific˘ a ecuat ¸ia ax 2 + by 2 = c. Exemplu: Dac˘ a programul cite¸ ste la intrare 1 1 25 5 3 18 5 0 4, atunci afi¸ seaz˘ a perechile (3,4) (4,3) (0,5) (5,0), nu neap˘ arat ˆ ın aceast˘ a ordine. (b) Dac˘ a secvent ¸a s citit˘ a la intrare este format˘ a din numere ˆ ın ordine cresc˘ atoare, s˘ a se scrie un program cˆ at mai eficient care afi¸ seaz˘ a num˘ arul de perechi (x, y) cu proprietatea de la punctul (a). S˘ a se calculeze complexitatea timp a solut ¸iei prezentate. Exemplu: Dac˘ a programul cite¸ ste la intrare 1 1 25 5 0 3 4 5 18, atunci afi¸ seaz˘ a 4. Not˘ a: Programele vor fi scrise ˆ ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆ ın liceu (Pascal,C,C++). Pentru fiecare solut ¸ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸ si ale implement˘ arii sub form˘ a de pro- gram: semnificat ¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instruct ¸iunilor condit ¸ionale. Timp de lucru 3 ore.
description
mate info ub
Transcript of Mate.info.Ro.3478 Universitatea Din Bucuresti - Subiecte Informatica - 2015
-
Universitatea din Bucuresti 17.07.2015
Facultatea de Matematica si Informatica
Concursul de admitere iulie 2015
Domeniul de licenta Informatica
I. Algebra. Fie numarul complex z = 1 + 2i.
(a) Sa se calculeze |1 + z| si |z3|.(b) Sa se arate ca pentru orice n N numarul zn este de forma an + ibn cu an, bn Z.(c) Sa se arate ca bn+2 2bn+1 + 5bn = 0 pentru orice n N.(d) Aratati ca zn / R pentru orice n N.
II. Analiza. Fie f : R R, f(x) = 3
3x2 2x3 si In = 10
xnf(x) dx, n N.
(a) Studiati derivabilitatea functiei f si determinati punctele sale de extrem local.
(b) Fie m (0, 1). Determinati numarul de solutii reale distincte ale ecuatiei f(x) = m.(c) Fie x0 (0, 1) si xn+1 = f(xn), n N. Aratati ca (xn)nN este convergent si determinati lim
nxn.
(d) Aratati ca I1 I2 = 18 .(e) Aratati ca sirul (In)nN este descrescator si demonstrati ca lim
nIn = 0.
III. Geometrie. Pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC cu AB = 1, AC = 2, m(BAC) = 30, se
construiesc, spre exterior, triunghiurile echilaterale ABM si ACN .
(a) Calculati lungimile segmentelor BC si MN .
(b) Fie D,E, F mijloacele segmentelor AM , AN si BC. Aratati ca triunghiul DEF este echilateral.
(c) CalculatiAB
AM si
AB
AN , apoi determinati numerele x si y pentru care are loc relatia:
MN= x
AB + y
AC.
IV. Informatica. Se citesc numerele naturale nenule a, b, c, n, urmate de o secventa de n numere naturale
distincte, notata cu s.
(a) Sa se scrie un program care afiseaza toate perechile (x, y) cu proprietatea ca x si y sunt numere
diferite din secventa s, care verifica ecuatia ax2 + by2 = c.
Exemplu: Daca programul citeste la intrare 1 1 25 5 3 18 5 0 4, atunci afiseaza perechile (3,4) (4,3)
(0,5) (5,0), nu neaparat n aceasta ordine.
(b) Daca secventa s citita la intrare este formata din numere n ordine crescatoare, sa se scrie un program
cat mai eficient care afiseaza numarul de perechi (x, y) cu proprietatea de la punctul (a). Sa se
calculeze complexitatea timp a solutiei prezentate.
Exemplu: Daca programul citeste la intrare 1 1 25 5 0 3 4 5 18, atunci afiseaza 4.
Nota: Programele vor fi scrise ntr-unul dintre limbajele de programare studiate n liceu (Pascal,C,C++).
Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de pro-
gram: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instructiunilor conditionale.
Timp de lucru 3 ore.
-
Universitatea din Bucuresti 17.07.2015
Facultatea de Matematica si Informatica
Concursul de admitere iulie 2015
Domeniul de licenta - Informatica
Barem
I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) |1 + z| = 2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
|z3| = 5
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui f (x) pentru x 6= 0 si x 6= 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pf nu este derivabila n 0 si n 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 0 si x = 1 sunt puncte de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Pentru m (0, 1) ecuatia f(x) = m are 3 solutii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p(c) Monotonia si marginirea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea limitei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(d) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(e) Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) BC =
5 2
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
MN =
5 + 2
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(c)AB
AM= 12 ,
AB
AN= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
x = 2 2
3, y = 2 +32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Afisarea a cel putin unei perechi (daca exista) cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea doar a unor perechi cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea tuturor perechilor cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(b) Afisarea corecta a numarului de solutii, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea corecta a numarului de solutii n timp cel mult O(n log n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea corecta a numarului de solutii n timp cel mult O(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul corect al complexitatii timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1
