7/25/2019 Mate.info.Ro.1437 Serii Convergente, Exercitii Cu Serii

1/2

http://mate.info.ro/

estul 2

1 S se demonstreze c seriile urmtoare sunt convergente pe mulimile indicate, iarsumele lor sunt funcii continue pe aceste mulimi:

a)4 2

1

sin,

n

nxx

n x

=

+

b)( )

( )2

1

sin 2 1,

2 1n

n xx

n

=

;

c)

1

, nx

n

ax

n

=

< , unde seria numeric

=1n

na este a!solut convergent.

2 "ste posi!il ca o serie de funcii continue pe o mulime Xs convearg neuniform peaceast mulime ctre o funcie continu#

3 "ste posi!il derivarea termen cu termen a seriilor:

a) ( ) [ ]

22 1

1

e e , ,1n xnx

n

x

=

;

b) ( ) ( )( )

( )( ) [ ]42 4 2 22

1 1 1ln 1 ln 1 ln 1 1 , ,1 #

2 2 2 1n

x n x n x xn n

=

+ + + +

4 "ste posi!il integrarea termen cu termen a seriei:

( ) ( ) [ ]2 22 2 2 12

1

2 e 1 e , ,1 #n xn x

n

x n n x

=

5 S se arate c seria ( )

=

+

1

2212

n

nnnn

xxxx converge neuniform pe [ ]1, $i

totu$i

( ) ( )

=

=

+=

+

1

1

2212

1

1

2212dd

n

nnnn

n

nnnn

xxxxxxxxxx .

6 %ie seria de puteri

2

2 1

n

n

x

n

= + .

a) S se determine mulimea de convergen $i s se calculeze suma ei.

b) S se arate c suma seriei de puteri, S, verific ecuaia diferenial

( ) ( )2

1

1x S x S x

x + =

$i ecuaia funcional ( ) ( )22

21

1

xS x S x

x

= + + .

7/25/2019 Mate.info.Ro.1437 Serii Convergente, Exercitii Cu Serii

2/2

http://mate.info.ro/

7 S se dezvolte &n serie de puteri urmtoarele funcii:

a) ( )2

' 2

' 1(

xf x

x x

=

+;

b) ( )

( )( )

2

2

2

1 1

x xf x

x x

=

;

c) ( ) ( )2ln 2 )f x x x= + ;

d) ( )2

1

1f x

x=

;

e) ( ) ( )2ln 1f x x x= + + ;

f) ( )2

arcsin

1

xf x

x

=

;

g) ( ) ( )ln 1

;1

xf x

x

+=

+

h) ( )2

1 cos

1 2 cos

xf x

x x

=

+;

i) ( )2

2

1

1 2 cos

xf x

x x

=

+.

8 %olosind dezvoltarea &n serie de puteri a funciilor de su! integrale, s se

demonstreze:

a)( )

1 2

ln 1d

12

xx

x

+ = ;

b)( )

1 2

ln 1lim d

*

xx

x

= ] .