ExerciiiTeoria estimaiei

1. Se considera un esantion de 20 de clienti, care intra intr-un magazin alimentar, pentru a cerceta frecventa X cu care clientii fac apel la serviciile magazinului de-a lungul unei saptamani si respectiv pentru cercetarea cheltuielilor lunare Y in mii lei, ale clientilor pentru procurarea de bunuri alimentare. S-au obtinut urmatoarele date de selectie pentru X si respectiv YX: 1, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 6, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 6, 2, 4, 3, 1, 2;Y: 89, 90, 101, 88, 85, 77, 102, 100, 86, 97, 76, 121, 113, 110, 96, 92, 108, 112, 103, 109.Se cere:a) distributiile empirice de selectie pentru fiecare din caracteristicile X si Y,b) mediile de selectie, momentele centrate de selectie de ordinul al doilea si dispersiile de selectie pentru caracteristicile X si Y,c) functiile de repartitie de selectie pentru X si Y.Solutie. a) Se observa ca datele de selectie pentru caracteristica X au numai N = 6 valori distincte, deci distributia empirica de selectie pentru X este

Pentru caracteristica Y toate datele de selectie sunt distincte. Asadar, distributia empirica de selectie a lui Y este un tablou in care pe o linie sunt trecute toate aceste valori (eventual ordonate crescator), iar pe linia a doua se trec frecventele acestor valori, care sunt toate egale cu 1. Vom face o grupare a datelor de selectie corespunzatoare caracteristicii Y. Anume, prima clasa cuprinde cheltuielile lunare de la 80-89 mii lei, etc. Dupa efectuarea acestei grupari, distributia empirica de selectie a lui Y devine

b) Mediile de selectie pentru cele doua caracteristici sunt respectiv

mii lei.Daca se folosesc datele grupate pentru caracteristica Y se obtinemii leiValorile momentelor centrate de selectie de ordinul doi pentru cele doua caracteristici sunt respectiv

Pentru simplificarea calculelor, se poate folosi formula

unde a este o constanta reala convenabil aleasa. Anume, daca pentru caracteristica X vom alege a = 3, atunci

Pentru caracteristica Y vom lua a = 105, obtinandu-se astfel

Se observa ca s-a calculat cu datele de selectie grupate, ceea ce conduce la o valoare putin diferita de valoarea ce s-ar obtine cand se lucreaza cu datele de selectie primare (negrupate).Valorile dispersiilor de selectie pentru caracteristicile X si Y se calculeaza imediat, daca se cunosc momentele centrate de selectie de ordinul doi, anumerespectivAstfel se poate obtinesi respectivmii lei.c) Functiile de repartitie de selectie pentru cele doua caracteristici sunt respectiv

pentru caracteristica X si

pentru caracteristica Y.2. La un control de calitate se verifica diametrul pieselor prelucrate de un strung. Pentru realizarea acestui control s-a considerat o selectie de 18 piese si s-a obtinut ca diametrul X al pieselor are urmatoarele dimensiuni (in cm):Diametrul (in cm)3,983,994,004,014,02

Numar de piese43533

Sa se determine:a) o estimatie absolut corecta pentru diametrul mediu al pieselor realizate,b) o estimatie corecta si una absolut corecta pentru dispersia diametrelor fata de diametrul mediu.Solutie. a) Distributia empirica de selectie a caracteristicii X este

Diametrul mediu este media teoreticaDar se cunoaste ca un estimator absolut corect pentru media teoretica m este media de selectie. Prin urmare, valoarea mediei de selectie este o estimatie absolut corecta pentru media teoretica . In cazul de fata se obtine

b) Deoarece un estimator corect al dispersiei teoretice este momentul centrat de selectie de ordinul doi, adica, rezulta ca o estimatie corecta pentru dispersia teoretica este valoarea momentului centrat de selectie de ordinul doi, adicaunde constanta reala a este convenabil aleasa. Asadar, in cazul de fata, o estimatie corecta a dispersiei diametrelor fata de diametrul mediu esteImediat avem o estimatie absolut corecta pentru dispersia teoretica, anume

1