Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

22

Click here to load reader

Transcript of Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

Page 1: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

GHEORGHE ZAPAN

Savant de formaţie multidisciplinara (psiholog, matematician, cibenertician, pedagog, filozof, jurist, ofiţer de artilerie), Gheorhe Zapn (1897-1976) este unul dintre cei mai de seama reprezentanţi ai psihologiei experimentale si ai ciberneticii calitative romanesti. Elev al lui A.Einstein, E. Schrodinger, W. Kohler si H. Rupp, doctor in stiinte si filosofie la Universitatea din Berlin (1932) , membru al Academiei de Stiinţe Sociale si Politice din Romania si al Academiei de Stiinţe din New York, el este intemeietorul unor noi discipline si ramuri stiinţifice : taxilologia sau stiinţa organizarii si progresului activitaţilor umane prin factori de progres, cibernetica activitaţilor umane si a sistemelor evolutive calitative cu evenimente preferenţiale (biologice, psihologice, pedagogice, economice, sociale), cibernetica pedagogica, pedagogia structurala .

Laureat al premiului “Herder”,iar la noi in ţara distins cu premiul stiinţific “Vasile Conta”, Zapan este, de asemenea, creatorul unor teorii stiinţifice cu totul originale si de mare deschidere si importanţa pentru cercetarile fundamentale si aplicative viitoare : teoria orientarii si selectiei profesionale, o noua teorie a exercitiului si invaţarii, teoria relativitaţii sistemelor psihofizice, a spaţiului si timpului psihologic ,expusa in ipoteza campurilor somatice neomogene ( teorie a relativitatii Universului psihic, similara celei elaborate de A. Einstein pentru Universul fizic), teoria factorilor de progres educativ, teoria sistemelor evolutive calitative cu evenimente preferentiale, teoria modelarii matematice si psihologice a profesiunilor si a activitaţilor umane , teoria negentropiei taxiologice si structurale, teoria psihologica a procesului de invenţie matematica . In acelasi timp, el a elaborat si a experimentat valoroase metode de cunoastere si de educare a activitaţii psihice (Metoda aprecierii obiective, Metoda programarii taxiologice etc.), a construit un sistem al temperamentelor cu o metodologie de diagnostic proprie, a descoperit legi fundamentale ale funcţionarii psihicului (Legea intesitaţii in accepţiune biofizica, o noua lege a memorarii, legea negentropiei sau a evoluţiei gradului de organizare si progres al unui sistem , legile organizarii stereotipului dinamic etc.) si a stabilit numeroase formule si coeficienţi biometrici, antropometrici si statistici (formula structurala, formula sociala, formula vitala formula gradului de dezvoltare a vieţii psihice, media aritmetica si feometrica ponderata ,formula negentropiei taxiologice si structurale, formula legii intensitatii in acepţiune biofizica etc.), dovedindu-se astfel un promotor al utilizarii aparatului statistico-matematic in stiinţele despre om. Totusi este de neinţeles de ce este atit de nedrept destinul unor oameni de stiinţa romani . St. Odobleja a pus bazele ciberneticii cu 10 ani inaintea lui N.Wiener, dar el inca nu este considerat pretutindeni autenticul intemeietor al ciberneticii. N. Paulescu a descoperit insulina, dar premiul Nobel pentru aceasta descoperire a fost atribuit altcuiva.Intr-un fel, similar este si cazul lui Zapan, care, desii a creat noi discipline si ramuri stiintifice, sau a elaborat unele dintre cele mai valoroase teorii pentru stiinţele socio-umane, este atat de putin cunoscut. Astfel, desi Zapan a fundamentat cibernetica sistemelor evolutive calitative si a elaborat o noua formula pentru determinarea gradului de organizare si de progres al acestor tipuri de sisteme, totusi, pina in prezent in lume se foloseste, pentru calculul cantitatii de informatie a unui sistem, tot vechea formula a lui Shanon, care este numai pentru sistemele fizice ,fiind inexacta in cazul sistemelor evolutive calitative (biologice, psihologice, sociale).

Page 2: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

Biografie – Tabel cronologic

1897, 8 martie - Se naste in Dorohoi, juid. Botosani Gheorhe Zapan, fiul lui Constantin Zapan, functionar C.F.R.(sef de gara ) si al Maltildei Zpan, casnica.

1904 - 1908 - Urmeaza cursurile Scolii primare din Dorohoi,fiind premiat in toti anii de studiu.

1909 - 1914 - Se inscrie si urmeaza cursurile Liceului ”Ghica Voda ”din Iasi (1909-1911), apoi ale Liceului ”Codreanu ” din Barlad (1912-1913) si ale Gimnaziului din Dorohoi (1913-1914).Este premiat de mai multe ori pentru rezultatele obtinute la invatatura . - Moare tatal, Constantin Zapan (1914).

1914 - 1915 - Se transfera la Liceul militar ”Manastirea Dealu ”din Targoviste.

1915 - 1916 - Se inscrie la Scoala militara de ofiteri de artilerie (1 oct.1915), pe care o absolva in 1916.Ramane in continuare ofiter active in armata (pana la 1 sept. 1922).

1916 - 1918 - Participa in calitate de ofiter active, pe frontal primului razboi mondial. Este ranit in batalia de la Marasesti si decorat (pentru “ reglarea tirului de artilerie in sectorul Marasesti-Doaga si baterea obiectivelor in batalia din august 1917”) cu decoratia “Coroana Romaniei cu spade”si panglica de Virtute Militara , in grad de cavaler (1918). - I se acorda (in toamna anului 1917) “Premiul pentru lucrari de matematica aplicata la stiinte militare”, Pe perioada 1916-1917 ,si indeosebi pentru studiul Asupra catorva elemente de tragere(“Gazete Matematica ”, An XXII, nr.4) .

1919 - 1923 - Absolva cursurile liceale la Dorohoi si promoveaza bacalaureatul la Liceul ”Roman Voda “ .Se inscrie in Universitatea din Iasi (1919), cursul fara frecventa. In paralel audiaza cursurile de filosofie si matematica. - Este admis (28 sept.1920)ca membru al Societatii stiintifice “Gazeta Matematica”, constituita la 1 sept.1919. - Functioneaza ca ofiter (locotenent de artilerie) si profesor de matematica la liceul militar “Manastirea Dealu ” pana in 1 sept. 1922, cand isi da demisia din armata.

- Lucreaza ca professor de matematici la Universitatea populara din Bucuresti (1.09.1922- 1.11.1925), unde indeplineste si functia de director.

1923 - 1928 - Dupa obtinerea licentei in drept la Universitatea din Iasi,(1923) practica meseria de avocat (19.07.1923-17.10.1924) in Bucuresti (Baroul Ilfov).

- Este numit director de studii (1923-1926) si professor de pedagogie si psihologie (1.11.1923 - 17.10.1924) la Institutul National de cultura fizica din Bucuresti, va functiona pina in 1938, cu o intrerupere de 2 ani (1928-1930).

- Publica studiul Curba vitala (“Educatia fizica ”, 1928, nr.9).

Page 3: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

1928 - 1930 - Pleaca la studii, pentru doctorat in stiinte si filosofie , in Germania (Berlin). Aici studiaza : doctoratul principal in psihologie experimentala cu W.Kohler si psihologia muncii cu H.Rupp;doctoratul secundar in matematici (calcul diferential si integral , calculul probabilitatilor si statistica matematica) cu prof R.von Wrisess; fiziologia ; fizica teoretica cu A. Einstein (ulterior va aplica teoria relativitatii in explivcarea fenomenelor psihice ,elaborand o teorie originala in acest sens –teoria sistemelor pshihologice in ipoteza campurilor somatice neomogene) si E. Schrodinger; practicum de fizica experimentala si chimie fizica .

- Pentru completarea studiului “caracterului ” in psihologie a urmat si a absolvit cursurile Institutului de literature dramatica cu prof. Hermann si Peterson.

- In zilele de 12,19,26 februarie 1930 sustine la Universitatea din Berlin tatia preliminara in pshihologie practica si matematici ,in care combate principiul sumativ intrebuintat in

psihotehnica pentru determinarea mediei aritmetice a aptitudinilor, propunand un nou

principiu , structural , pentru care elaboreaza media geometrica ponderata, deschizand o

noua cale de abordare experimentala in orintarea si selectia profesionala .

- Examenul de doctoral la Universitatea din Berlin il sustine la urmatoarele specialitati :

I. Materii principale : Psihilogie experimentala (Prof. Kohler), Psihologie aplicata (Prof.Rupp);

II. Materii Secundare : Statistica Matematica (Prof. von Wrises),

1931 Intr-o conferinta tinuta la Viena prezinta studiul Problema exercitiului, ale carui idei sunt dezvoltarte ulterior in tema tezei de doctorat si care va sta la baza unei noi discipline stiintifice, fundamentate de el : taxiologia.

1932 - La 21 iulie sustine la Universitatea din Berlin Teza de doctorat in psihologia experimentala si a muncii cu tema: Uebbarkeit verschiedener Aufgaben.Ein Beitrag zur Psychologie derLlern –und Uebungsvorgange(Exercitabilitatea unor teme .Contributii la

psihologia proceselor de invatare si exercitiu ;cercetare experimentala a conditiilor de progress care pot spori gradul de organizare a activitatii umane). Va studia toata viata aceasta problema, indentificand peste 70 de factori de organizare si progress ai actiunii si activitatii umane, iar acest studio va sta la baza catorva teorii importante si cu totuloriginale pe care Zapan le va construe ulterior: o noua teoria a invatarii ,teoria organizarii si a criticii,teoria relativista a sistemelor pshihofizice in ipoteza campurilor somatice neomogene ,Teoria introducerii factorilor de progres in sistemele evolutive calitative cu evenimente preferentiale , precum si o noua disciplina stiintifica :taxiologia

(taxis-ordine)sau stiinta organizarii activitatilor umane.

- Obtine titul de doctor in stiinte si filosofie, confirmat prin Diploma din 7 oct. 1932 de la Universitatea din Berlin.

Page 4: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

- Participa la Congresul international de psihologie de la Graz. - Publica sudiul Noi metode pentru calculul corelatiilor in pedagogia si psihologia experimentala (“Educatiea fizica ”,1932,4) , in care pornind de la limitele si dezavantajele

formulelor clasice ale lui Bravais-Pearson si Spearman pentru calculul carelatiilor, construieste trei noi formule de corelatie “ corespuzand cerintelor practice”.

1933 – Este numit prin concurs conferential la Catreda de psihologie la Universitatea din Bucuresti (provizoriu de la 1 sept. 1934, definitive de la 1 febr. 1939 , in clitate in care va functiona , pina in 1952 ,detinind diverse functii si grade universitare ,pina la pensionare(1 oct. 1967),ca professor de psihologie si pedagogie.

Este ales, cu ocazia participarii la cea de-a VII-a Conferinta internationala de psihotehnica de La Praga , ca reprezentant al Romaniei in Asociatia internationala de Psihologie aplicata

pentru specialitatea psihologie pedagogica (Presedinte: H.Pieron,Paris) si menbru in comitetul de conducere al acestei asociatii .

1935 – Este invitat sa tina conferinte la Universitatea ceha din Praga. - Publica studiul Teoria sistemelor psiho-fizice ,expusa in ipoteza campurilor somatice neomogene in care prezinta o teorie noua relativista asupra deformarilor psihice ,prin aplicarea teoriei lui Einstein in cazul sistemelor psiho-fizice.

1936 – Publica studiile : Formula sociala (incercarea de reprezentare cantitativa a structurii sociale in functie de determinatele sociale descrie in sistemul gustian) si Evolutia psihica stabilita pe baza experimentala.

1937 – Publica studiul Execitiul cu si fara autocontrol in probe psihice si sportive - Participa la Congresul international de Psihotehnica de la Viena la care expune pentru prima data principiile Metodei Aprecierii obiective

1938 - Publica Configuratia numerelor prime si consecintele ei filosofice –urmat a de o o analiza psihologica a procesului de inventie matematica ,in care prezinta , pe baza teoriei

gestaltiste, o analiza a gandirii stiintifice in cursul procesului de inventie matematica.

1939 – Este numit inspector general onorific al Institutelor Psihotehnice si Oficiilor de orientare profesionala din cadrul Ministerului Muncii.

- Publica studiul Sistematizare in teoria temperamentelor , in care prezinta o teorie unitara , sistematica,si sistematizatoare asupra temperamentelor precum si un procedeu practice de

diagnosticare

- Profesor de psihologia educatiei la Academia Pedagogica din Bucuresti (1940-1941).

_ - In cursul de psihologie tinut in anul 1940-1941 la Facultatea de Filosofie din Bucuresti isi expune

Page 5: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

pe larg teoria relativista a sistemelor psiho-fizice in ipoteza campurilor somatice neomagene.

1941—1948 – Director al Institutului psihotehnic din Buceresti, in cadrul Ministerului Muncii (17 iunie 1941-1 febr. 1948), si professor suplinitor la Catedra de psihologie al Facultatii de Filosofie si litere din Bucuresti (1940-1947).

- Publica in 1941,studiile :Introducere in stiinta organizarii si a criticei, prin care pune bazele

unei noi disciplione stiintifice –taxiologia _(stiinta organizarii), si Diferentieri psihice intre sportivi si nesportivi cu concluzii psihologice si pedagogice, care reprezinta primele verificari experimentale ale ipotezei campurilor somatice neomogene si intiile confirmari ale teoriei relativiste a campurilor psihofizice.

- Moare mama , Matilda zapan (1942).

1949 – In urma efortului depus prin exercitarea a numeroase functii se imbolnavestre de hipertensiune arteriala si nu mai poate activa .

1952 – In conditiile politice comuniste ,este in mod nedrept declarat necorespunzator si retrogradat din functia de conferentiar in cea de laborant .Aceste inechitati ,savarsite intr-o perioada de dogmatism, au marcat puternic ,in sens negativ, activitatea stiintifica si inovatoare a lui Gh.Zapan.

1953 – Este numit lector ,cu drept de a preda cursuri si a conduce lucrari de psihologie experimentala .

1955—1959 - Este confirmat in postul de conferentiar la Facultatea de Filosofie –Catreeda de Filosofie –Catreda de Psihologie experimentala .Lucreaza in acelasi timp ,cu jumatate de norma ,la Institutul de psihologie al Academiei R.P.R. ,in calitate de sef al sectiei de psihologie a muncii(1.09.1950-1.09.1959)

Publica studiile :

1: Asupra metodicii studiului la am al reflexelor conditionate cu reactii complexe (1955) 2: Legea intensitatii stabilita pe baza teoriei ionice a excitatiei (1956),in care, plecand de la

I.P.Pavlov ,care sugerase inca din 1910 posibilitatea unei teorii fizico-matematice a dinamicii corticale, generalizeaza legea intensitatii a lui Weber-Fechner (valabila numai pentru intensitatileMedii ale stimulilor), modificand forma clasica cu ajutorul a trei coeficienti biochimici si elaborind o noua formula:

Valabila pentru intreaga scara a valorilor posibile ale excitatiei, deci si pentru valorile subliminale si supraliminale ale stimulilor. Noua lege stabilita de Zapan este denumita legea intensitatii in acceptiune biofizica.

- Este atestat (1957) ca profesor titular in specializarea “psihologia experimentala a muncii ”la Universitatea “C. I. Parhon ”din Bucuresti .

Page 6: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

- Publica in 1957 doua studii fundamentale :

1 . Stereotipul dinamic la om ,prin care dezvolta toria lui I.P.Pavlov cu privire la conditiile formarii stereotipului dinamic,stabilind, cu ajutorul a peste 80 de varianteexperimentale utilizate in cercetari effectuate in perioada 1930-1956, un numar de 15 conditii (ulterior va identifica un numar de 20) necesare formarii stereotipului dinamic, care este abordat si ca perspective proceselor aleatoare de tip lant simplu (Markov) si lant cu legaturi complete (Onicescu- Mihoc) ;

2. Metoda aprecierii obiective a personalitatii – forma finala a celebrei metode, enuntata inca din 1933, prezentata si publicata in 1937-1938.

1962 – Publica cercetarea Memorarea si invatarea cu repetari concentrate si cu repetari esalonate , in care stabileste o noua lege a invatarii si memorarii.

1964 – I se acorda premiul stiintific “Vasile Conta ”al Academiei R.S.Romania pentru lucrarea : Bazele biofizice ale legii intensitatii si generalizarea legii Weber-Fechner(1960) .Este decorat cu

“Ordinul muncii clasa a III-a”.

- Publica studiul fundamental : Cibernetica activitatilor umane dezvolta ta si expusa pe baza principiilor de organizare a sistemelor dinamice corticale,cu modeloare psihologica si matematica si cu aplicatii ,in care pune bazele Ciberneticii activitatii umane .

1966 - Publica studiul : Modelarea matematica aactivitatilor umane si a proceselor evolutive .1967 - Indeplineste functia de sef al; Catredei de psihologie a Universitatii din Bucuresti si i se confera

titlul de profesor emerit . La 1 oct.se pensioneaza si este numit profesor consultant.Esrte conducator de doctoranzi in specialitatea psihologie generala.

- Publica lucrarea :Cibernetica- stiinta organizarii si conducerii cu aplicatii in procesul de

invatament si in productie, in care da o noua definitie conceptelor de cibernetica si organizare si propune metoda noua de programare a invatarii ,metoda de instruire programata taxiologica sau structurala, pe care o experimenteaza, obtinand rezultate net superioare metodelor de instruire programata obisnuite.

1968 – Este ales membru titular al Academiei de stiinte din New York pentru lucrarile de psihologie matematica.

- Publica lucrarea Cibernetica si progresul invatarii, in care stabileste formula H’ pentru determinarea cantitatii de informatie si a gradului de organizare si progres ale sistemelor functionale evolutive calitative cu evenimente preferentiale :

H’ = ,

unde: H este entropia informationala (Shannon).Gradul de organizare si progress al sistemelor calitative complexe (biologice, psihologice, economice, sociale) Zapan il exprima si in functie de formula energiei informationale a lui Onicescu :

H’ =

1971 – Publica studiile : 1. Aplicarea teoriei lanturilor cu legaturi complete in procesul invatarii si in genere in sistemele

Page 7: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

evolutive cu evenimente preferentiale ,in care incearca previziunea starilor viitoare de evolutie a sistemelor evolutive calitative cu ajutorul teoriei lanturilor cu legaturi complete Onicescu-Mihoc;

2. Relativitatea spatiului si timpului psihologic, in care dezvolta teoria relativista a campurilor psihofizice neomogene ;

3. Modelarea activitatilor profesionale in domeniul tehnicii , in care isi expune sintetic realizarile . originale in domeniul modelarii materiale, mintale si cibernetice a activitatii umane

1972 - Republica dezvoltat studiul Configuratia numerelor prime si consecintele ei filosofice.

1974 - Fiind membru titular al Academiei de stiinte sociale si politice, este propus, de catre Biroul Senatului Universitatii ,sa candideze atat ca membru correspondent cat si ca membru plin al Academiei R.S.Romania .

1976, 20 iulie – Decedeaza si este inmormantat la cimitirul Bellu. La scurt timp, inceteaza din viata si sotia sa ( pictorita).

Bibliografie :

- “Cunoasterea si aprecierea obiectiva a personalitatii “ G.Zapan, Editie ingrijita de Pavel Muresan, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1984

- Gazeta Matematica, An 1938, Nr 2, 3.

Page 8: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

Configuraţia Numerelor Prime

Prin configuraţia numerelor prime vom inţelege o relaţiune generala matematica intre numerele prime.O asemenea relaţiune nu se cunoaste incă in matematici.Ba chiar s’a contestat posibilitatea existenţei ei. In cele ce urmeaza, dupa ce vom stabili, pe calea teoriei structurale :”Gestalttheorie”, mai intai o formula apropiata, care sa ne dea valoarea unui numar prim oarecare, in funcţie de numerele prime mai mici decat el, cu o eroare suficient de mica, vom stabili apoi prin extindere o formula limitata , care sa ne dea relaţiunea generala dintre numerele prime.Vom determina adică configuraţia numerelor prime, in primul caz una parţiala, iar in al doilea pe cea totala.Chestiunea prezinta, dupa cum vom vedea, unele particularitaţi importante din punct de vedere al teoriei cunoasterii.In incheere vom discuta , pe baza rezultatelor gasite, câteva consecinţe stiinţifice şi in special filosofice. Sa notam cu p = 2, p =3 ,p =5,…..p etc. şirul numerelor prime. Pentru rezolvarea problemei propuse, vom transpune mai intâi intr’o configuraţie speciala metoda cunoscuta de determinare a numerelor prime , prin eliminarea din şirul numerelor consecutive a multiplilor de 2,3,5,…..etc ). In prima linie din tabloul de mai jos, avem şirul (N) al numerelor consecutive :1,2,3..etc ;in linia urmatoare notata cu (1) avem indicatia, semnalizata prin cifra 1, ca numerele din şirul (N) mai mari decat 1 se divid cu 1 şi ar putea fi numerele prime.Sirurile (2),(3),(5),(7),etc. ne indica prin simbolurile 1 sau 0 ca numerele din şirul(N) se divid, respectiv nu, cu numerele prime : 2,3,5,7,….etc.

(N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (1) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 (3) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 (5) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (7) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Daca scadem din (1), considereat ca numar zecimal, pe(2), adică toate rangurile multiple de 2 gasim : 0.00101…etc. prima cifra diferita de zero, a acestui numar,ocupa rangul zecimal 3, care reprezinta numarul prim imediat mai mare decat 2.

Pentru a gasi numarul prim imediat mai mare decat 3 vom scadea din(1) pe (2) şi pe (3), dupa ce insa vom scadea din(3) toate cifrele care au rangurile de forma : Mult.2*3, care sunt cuprinse in şirul (2). Astfel avem ;0,00001010001… etc. Prima cifra diferita de zero ocupa rangul zecimal 5. s.a.m.d. Pentru determinarea numarului prim p ,vom elimina din şirul (1) simbolul 1, lasand in schimb simbolul 0, pentru toate numerele corespunzatoaredin şirul (N) care se divid cu 2,3,5,…p Sirul (1), considerat ca numar zecimal, este dat de fractia :1/90. Sirurile (2),(3),(5)….(p ) se pot scrie respectiv sub formele :

, , , ……..

Pe care le notam prin simbolurile :Mp ,Mp , Mp ……….Mp .In genere sa notam :

Page 9: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

Mp p ……etc. = .

Servindu-ne de notatiile de mai sus,determinarea numarului prim p o vom face prin urmatoarele operatii:Scadem din şirul (1),reprezentat prin fractia 1/90,mai intai toti termenii multipli de 2 ai şirului (N),adică şirul(2),reprezentat prin formula M2.Sa notam : S = M2. Scadem apoi toti termenii multipli de 3, cu exceptia celor multipli de 2*3 =6,care au fost scazuti odata, in S1; deci vom scadea : S = M3- M2.3. Pana acum am redus deci din şirul (1)pe toţi multiplii de 2 şi 3. Sa scadem acum multiplii de 5, in afara de cei cari sunt in acelasi timp şi multipli de 2 şi 3, cari au fost scazuţi odata, fiind cuprinsi in S şi S .Multiplii de 5 cuprinsi in S şi S sunt toti multiplii de 2 şi 3 , care sunt in acelasi timp şi multiplii de 5.Acestia se obtin adaugand in S şi S ,dupa simbolul M si factorul 5. De asta data vom avea deci de scazut: S -M5 – M2.5 – M3.5 + M2.3.5.Dupa aceeasi regula vom scadea apoi multiplii de 7 , lasand si aici la o parte pe acei care au mai fost scazuţi odata, fiind in acelasi timp şi multiplii de 2,3,5. Adică: S =M7 – M2.7 – M3.7 + M2.3.7 + M2.5.7 +M3.5.7 + M2.3.5.7.Dupa n asemenea operatii vom avea de scazut :

S =Mp - + +. . . . . +(-1)

De aici rezulta :

S +S + ………S = - + + …….+(-1)

Sa notam cu F formula care ne da totalul operaţiilor indicate mai sus .Avem :

F = adică :

(1) F = - [ - ……..+ ]

In care se vede ca F este o functiune pe p ,p ….., p .Efectuand calculele,pentru o anumita valoare a lui n, vom obţine pentru F un numar zecimal, care ne conduce la aflarea imediata a numa,rului prim urmator : p . Si anume p este dat de rangul zecimal pe care il ocupa in F prima cifra diferita de zero. Adică avem :

F = in care ,

Luand logaritmul lui F obtinem pentru numarul intreg p =1 o valoare foarte apropiata :

Page 10: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

p = aprox. -log F .

Exemplu de calcul. Pentru aflarea numerica a unui numar prim, sa simplificam mai intai calculul in formula (1), pornind dela observaţia ca:

10 -1 = 00 …01…00…01

In care membrul al doilea reprezinta un numar intreg de p , p …..p cifre, format din grupe de cate p cifre, care se repeta.Astfel pentru n=2, F din (1) ne da :

F =

F =

log F =2.00432-6.99999=-4.995.

Deci: p =-log F =4.995=aprox.5. In cazul numerelor prime mai mari decat 5 se vede ca formula nu poate fi comod utilizata practic, din cauza complicatiei calculelor.Credem ca o simplificare a acestei formule, in sensul transformarii ei intr-o formula empirica, cu rezultate foarte apropiate pentru scopuri practice, este posibila – analog transformarilor cunoscute ale unor formule din fizica in formule empirice usor utilizabile in aplicatii tehnice.O asemenea simplificare nu intra insa in cadrul lucrarii de fata. Sa facem acum şi o aplicaţie teoretica.Sa dovedim, de pilda, cu ajutorul formulei ( ), pe o alta cale decat cea cunoscuta, ca şirul numerelor prime este infinit de mare.Pentru aceasta sa presupunem ca p ar fi cel mai mare numar prim existent .Formula ( ) ne arata ca primele n numere ne definesc un numar nou prim, imediat mai mare decat acesta .De aici conchidem ca p nu poate fi ultimul numar prim; şirul acestuia este asadar fara sfarsit. Desigur ca formula ( ) ne ofera şi alte posibilitati de aplicaţiuni, in scopuri teoretice matematice. Astfel ca ne conduce imediat catre expresiunea care ne da valoarea diferenţei dintre doua numere prime consecutive; s.a.m.d. Dar nici aceste aplicaţiuni teoretice nu intra in scoplul lucrarii de faţa, in care ne-am propus sa stabilim in principal configuratia numerelor prime, adică relaţiunea matematica generala numerele prime şi asa aratam consecintele filosofice ale acesteia. Sa revenim asupra formulei ( )care, prin extindere la limita, ne va conduce catere formula care reprezinta configuratia cautata. Sa vedem mai intai care este eroarea maxima cu care poate fi determinat numarul prim p dupa formula ( ).Pornind de la prima cifra diferita de zero a numarului zecimal F ,acesta poate fi socotit pentru calculul partii zecimale a logartmului (mantisei),ca fiind cuprins intre 1000…..etc,care ne da pentru mantisa valoarea 0 şi : 10100011,in cazul cand numerele prime p şi p se confunda cu doua numere impare consecutive, care ne da pentru mantisa valoarea 0.00475. Conchidem ca valoarea numarului este data de formula ( ) cu o eroare mai mica decat 0.005.

Page 11: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

Putem insa determina pe cu o eroare mai mica decat orice catime data. Pentru aceasta vom exprima pe p nu numai in funcţie de numerele p ,p ….., p , ci şi de p ,p ,.....etc.Intr-adevar, eliminand din F cifra 1 care ocupa rangul p adică punand :

p

vom gasi valoarea lui p cu o eroare mai mica decat 0.0000005, deoarece mantisa logaritmului se calculeaza de astadata pe numarul 10000011.Procedand analog pentru eliminarea din F a cifrelor 1 care ocupa rangurile p ,.....etc.,vom obtine pentru

p erori din ce in ce mai mici . Pentru eliminarea din F a cifrelor 1 care ocupa rangul p sau ranguri

mai mari ,vom considera in operaţiile noastre nu numai numerele prime mai mari decat p , ci şi multiplii numerelor p , p ,p ,.....etc, care contin factori primi egali sau mai mari decat p . In acest ultim caz in formula lui Fn este cuprinsa şi catimea p asa ca relaţia ( ) se transforma intr-o ecuaţie, a carei necunoscuta este p .Nu importa daca putem rezolva sau nu comod aceasta ecuaţie, prin tehnica algebrei curente ; prin consideraţiunile de mai sus am vrut sa aratam doar posibilitatea empirica a reducerii sub o valoare data, oricat de mica, a erorilor in determinarea numarului prim p , in funcţie de celelalte numere prime. Se vede ca eliminand la infinit pe calea aratata , toate cifrele diferite de zero, din numarul zecimal F , in afara de cea care ocupa rangul p ,obţinem o ecuaţie in care necunoscuta p urmeaza sa fie determinata in funcţie de toate celelalte numere prime, cuprinse intre zero şi infinit. Mai comod aceasta ecuaţie, care ne arata relatiunea “limita ”dintre un numar prim oarecare p şi toate celelalte numere prime, şi care reprezinta configuraţia numerelor prime,se poate scrie sub formula urmatoare: ( ) lim F = 0 (m ).

S-ar putea aduce obiecţia ca relaţia dintre numerele prime de mai sus, nu ar reprezenta o realitate şi ca atare s-ar dovedi imposibilitatea ei, prevazuta de unii matematicieni, prin acea ca ea cuprinde un numar infinit de date, pe care nu le putem calcula in practica. Aceasta obiectie cade insa, deoarece din consideraţiile precedente am vazut ca practic putem obtine pentru numarul prim cautat erori din ce in ce mai mici, tinzand catre zero;formula limita ( )este o relatie matematica, cu carecteristica ciudata insa de a fi valabila numai la limita. Si fiind in domeniul matematicilor pure, desigur ca realitatea relatiei suspusa chiar daca datele ei, prin numarul lor mare, ies din campul experienţei noastre. Asadar configuratia numerelor prime este reprezentata doar printr-o relatie putin obisnuita in matematici, exprimata printr-un nuamr infinit de date ; prin aceasta nu inseamna ca ea isi pierde caracterul de existenta, De altfel relaţia ( ) se mai poate scrie şi sub o alta forma, din care sa reiasa evident cele spuse mai sus. Sa notam cu: F (p ), (m ), expresia cunoscuta F , in care figureaza toate numerele prime, dela zero pina la infinit,afara de numarul prim p . Expresia va fi reprezentata in acest caz printr-un numar zecimal, format din cifrele zero,afara de cifrele de ranguri : p , p ,………etc.,care sunt egale cu unitatea.

Avem adică :

Page 12: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

lim F (p ) = + + +……etc.

de unde se vede ca numarul prim p se exprima in funcţie de toate celelalte numere prime, de la zero la infinit.

In cele urmatoare vom discuta unele consecinţe ale configuratiei numerelor prime. Sa precizam urmatoarele caracteristici:Numarul prim p se poate exprima in functie de numerele prime mai mici decat el, doar in mod aproximativ, prin formula ( ), cu o eroare anumita ; determinarea valabila a numarului prim p ,pe calea unei formule, nu se poate face decat in functiune de complexul tuturor celorlalte numere prime ,cuprinse intre zero şi infinit, asa cum se arata in formula ( ).Acest rezultat, obtinut in domeniul numerelor, pare destul de ciudat la prima vedere. Privindu-l insa ai indeaproape vedem ca se prezinta asemanator cu rezultatele cercetarilor din domeniile biologiei şi fizicii 1),: anume el contrazice concepţia sumativa ,dupa care o caracterizare urmatoare poate fi definia perfect prin insumarea caracterizarilor precedente.Astfel in biologie : o functie a unui organism, de pilda acea a circulaţiei nu poate fi lamurita decat in mod aproximativ pe baza elementelor subordonate ei; o precizare desavarşita s-ar putea face numai considerand funcţiunea inglobatata in intrgul organism din care ea face parte.De asemenea in fizica : repartitia potenţialelor pe diverse regiuni ale suprefeţei unui corp, incărcat cu electricitate statica, este data nu de caracteristicile diferiteleor puncte ale suprafeţei corpului , privite izolat, ci de forma sau configuraţia corpului privit in totalitatea lui.

In sociologia şi pshihologia actuala concepţia structurala tinde de asemenea sa inlocuiasca tot mai mult vechea concepţie sumativa, care s-a dovedit ca nu corespunde realitaţii.Dar conceptia sumativa se dovedeste ca nu are caracter general, deci nu poate sa subziste nici macar in domeniul aprioric al numerelor ,pe care ne-am desprins a le defini prin insumarea unor elemente subordonate. Cele stabilite mai sus ne conduc dimpotriva catre concepţia structurala şi din domeniul numerelor, concepţie dupa care o parte , sau caracterizare, se defineste in totalitate. Domeniul numerelor este considerat ca un domeniu de stiinta pura, cu caracter absolut, spre deosebire de cel relativ al stiintelor empirice . Legile empirice nu numai ca ne conduc catre date aproximative , dar ele insaşi variaza in decursul timpului, cu tendinţa de a fi adaptate la aproximari din ce in ce mai bune.Legile numerelor raman insa aceleaşi din toate timpurile. Configuraţia numerelor prime, privita sub cele doua aspecte ale ei, unul parţialşi relativ dupa formula ( ) şi celalalt total , la “limita”,dupa formula ( ), prezinta şi o importanta filosofica.Si anume ca ne arata ca din punct de vedere empiric, avem chiar in domeniul exact al numerelor un exemplu de lege prin care o caracterizare urmatoare nu poatre fi daterminata decat cu o aproximatie in funcţie de caracterizarile precedente, in timp ce, din punct de vedere exact matematic, caracterizarea considerata (numarul prim) nu poate fi determinata decat de complexul tuturor celorlalte caracterizari (toate celelalte numere prime cuprinse intre zero şi infinit), adică de totalitatea sau intregul din care face parte caracterizarea considerata. In legatura cu acesta, este important sa remarcam faptul ca pe cand formula relativa( ) prezinta un caracter dominant sumativ,formula limita( ) prezinta un caracter structural, deoarece aceasta din urma priveste configuraţia tuturor numerelor prime şi sensul ei dispare de indata ce am indeparta din ea una sau mai multe componente diferite de zero. De altfel se vede usor ca aceasta formula prezinta un caracter dominant nu de insumare proriu zisa , ci de insumare la infinit, a unor catimi finite sau infinit de mici, adică un caracter de integrare intr-un tot. Configuraţia numerelor prime stabilita pe baza principiilor teoriei configuraţiei, ne arata pe deoparte unele posibilitaţi metodologice ale acestei teorii, in cercetarea problemelor stiinţifice ;pe de alta parte ne confirma la randul ei, prin insaşi natura ei ,teoria (Gestalttheorie)- formulata de Koehler, Wertheimer şi Koffka,-chiar in domeniu, considerat pina acum pur sumativ, al numerelor.

Page 13: Istoria Matematicii - Gheorghe Zapan

In sfarşit configuraţia numerelor prime ne evidenţiaza , prin cele doua formule ( )şi ( ), pe deoparte relativul stiintei empirice, dupa care ocaracterizare nu poate fidefinita decat doar aproximativ pe baza unui numar finit de alte caracterizari şi pe de alta parte absolutul catre care tind stiintele pure şi filosofia şi care nu se poate afla printr-o insumare de parţi; caci este definit de configuraţia care integreaza toate parţile, adică de totalitate. Desigur ca intr-un asemenea caz concluziile noastre nu ar mai prezenta caracter de vaalabilitate unica , ele reprezentand atunci doar o posibilitate, intre altele. Considerand insa faptul ca cu toate eforturile depude pana azi in aceasta direcţie, in matematici, nu s-a putut gasi o formula de alta natura, ba chiar s-a constestat posibilitatea existenţei ei, putem spune ca cu foarte mareprobabilitate configuraţia numerelor prime,sub forma indicata in studiul de fata – dupa care relatiunea dintre numerele prime cuprinde totalittea acestor numere,- este singura lege posibila in acest domeniu. De aici urmeaza ca şi concluziile la care ea ne conduce prezinta o foarte mare probabilitate de a avea caracter de valabilitate unica. Inainte de a incheia credem important sa mentionam ceva şi asupra momentelor psihologice,caracteristice in tehnica de rezolvare a problemei propuse, care ar putea fi folositoare şi in tratatrea altor chestiuni stiintifice. Operatia de afloare a unui numar prim consta, empiric, pe deoparte din eliminarea diferitilor multipli ai numerelor prime: 2,3,5,…p , iar pe de alta din punerea in evidenta a primului numar ramas din aceasta eliminare şi care este numarul prim urmator p .Aceasta operaţie empirica, precizata in totalitatea ei, prezinta intai pentru noi un pronunţat carcter intuitiv.Suntem insa in cautarea unui corelat conceptual abstract. Rezolvarea matematica va trebui intreeprinsa astfel incat in prima etapa conceptele ei sa se racordeze structurii operatiei empirice. De aceea structura operatiei empirice trebuie mai intai transpusa intr-o schema caracteristica topologica ,adică intr-o reprezentare figurala,care sa aiba darul de a prezenta in acela şi timp şi caracter intuitiv şi caracter conceptual abstract. Prinderea intuitiva a structurii operatei empirice, cu tendinta de transpunere a ei in concepte matematice, exercita in actul gandirii noastre o presiune asupra drumului de urmat in rezolvarea problemei propuse: suntem conduşi cu necesitate la prezentarea unei anumite configuratii – cea de la inceputul studiului de fata, - fara o motivare prealabila amanuntita , dar al carei rost se lamureste pe deplin in operatiile urmatoare, ea fiind impusa de totalitarea acestor operatii. Cu alte vorbe: punctul de plecare in stabilirea legei cautate, reprezenta prin configuraţia aratata a şirurilor de numere, mergand spre infinit, nu afost stabilit pe calea “ din aproape in aproape”,obisnuita in matematici, ci pe o cale inversa: el a fost impus de structura insaşi a legei cautate, care a fost prinsa intuitiv din operatia empirica, in totalitatea ei, de eliminare a diferitilor multiplii. Desigur ca dificultatea care a stat la baza rezolvarii configuraţiei numerelor prime n-a fost de natura tehnica propriu zisa , intrucat dupa cum s-a vazut ,calculele care intervin sunt cu totul elementare,ci de natura pshihologica: cheia care deschidea poarta spre drumul rezolvarii nu trebuia cautata ca de obicei in fata acestei porţi ,ci la capatul celalalt al drumului. G.Zapan Doctor in filosofie.