Matematica- metodica predarii matematicii

39
Didactica matematicii în învăţământul primar 1

description

Curs de metodica predarii matematicii

Transcript of Matematica- metodica predarii matematicii

  • Didactica matematicii n nvmntulprimar

    1

  • Cuprins1 Formarea conceptului de numr natural 3

    1.1 Elemente pregtitoare pentru nelegerea unor concepte matem-atice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Metodologia predrii numerelor naturale 52.1 Predarea numerelor naturale de la 0 la 10 . . . . . . . . . . . . 52.2 Predarea numerelor naturale de la 0 la 100 . . . . . . . . . . . 72.3 Predarea numerelor naturale mai mari dect 100 . . . . . . . . 8

    3 Metodologia predrii adunrii numerelor naturale 93.1 Adunarea numerelor naturale n concentrul 0 10 . . . . . . . 93.2 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0 100 11

    3.2.1 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul0 100 fr trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2.2 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul0 100 cu trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.3 Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 . 17

    4 Metodologia predrii operaiilor de nmulire i mprire 184.1 Operaia de nmulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Tabla nmulirii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 nmulirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000 . . . 204.4 Operaia de mprire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 mprirea cu rest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6 Ordinea efecturii operaiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5 Metodologia predrii fraciilor 275.1 Unitate fracionar. Fracii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Compararea fraciilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Operaii cu fracii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Aflarea unei fracii dintr-un ntreg . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    6 Msurare i uniti de msur 336.1 Mrime i msurare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Msurarea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Msurarea capacitii vaselor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4 Msurarea masei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.5 Msurarea timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    7 Monede i bancnote 39

    2

  • 1 Formarea conceptului de numr natural

    1.1 Elemente pregtitoare pentru nelegerea unor con-cepte matematice

    Procesul de formare a reprezentrilor matematice n nvmntul primartrebuie conceput ca o succesiune de activiti ce solicit:

    - observare;- intuire;- concretizare;- abstractizare.Deoarece exist diferene ntre competenele matematice ale copiilor, chiar

    dac au frecventat sau nu grdinia, este necesar o perioad pregtitoarepentru nelegerea conceptelor matematice ce urmeaz a fi introduse pe par-cursul nvmntului primar.

    Proiectat, n special ca timp i coninuturi, n urma unei evaluri pre-dictive i utiliznd activiti difereniate sau chiar individualizate, aceastperioad trebuie s reprezinte o modalitate de egalizare a anselor, s asig-ure tuturor copiilor o baz comun de pornire.

    nelegerea unor concepte matematice, ncepnd cu conceptul de numrnatural, de ctre elevul din nvmntul primar, este condiionat de cunoti-ine legate de:

    1. Orientare spaial i localizri n spaiu. ncepnd cu activ-iti de observare a obiectelor din clas i continund cu exerciii-joc, eleviitrebuie:

    - s recunoasc i s numeasc poziia unui obiect fa de alt obiect(stnga-dreapta, sus-jos, fa-spate, interior-exterior, etc.);

    - s poziioneze diverse obiecte n poziii relative indicate (stnga-dreapta,deasupra-sub, fa-spate, interior-exterior, etc.);

    - s apecieze distana dintre obiecte sau de la un reper la anumite obiecte(aproape-departe, mai aproape, cel mai ndeprtat, etc.).

    2. Grupare de obiecte si formare de multimi dupa criterii datesau identificate. Prin activiti concrete, elevii vor fi dirijai spre formareaunor mulimi de obiecte avnd una sau mai multe proprieti caracteris-tice date (ncercuiete grupa florilor, ncercuiete ceea ce se poate mnca,etc.). Sesizare apartenenei sau neapartenenei unui element la o mulimedat conduce la recunoaterea proprietii caracteristice a mulimii date.Descoperirea regulii de formare a unor modele repetitive reprezentate prinobiecte, desene sau numere i continuarea construciei este un exemplu deactivitate de nvare poate mai dificil dar absolut necesar.

    3

  • 3. Sortarea si clasificarea obiectelor sau a multimilor dupa cri-terii variate. Se recomand activiti de sortare i clasificare a unor obiectedate dup criterii date sau identificate prin observare, selectarea unor figurigeometrice desenate dup criterii date i decuparea lor precum i precizareacriteriilor utilizate (am ales obiectele de aceiai culoare, am ales cercurile,etc.). Fr a utiliza terminologia specific, trebuie cultivat capacitateaelevilor de vrst colar mic de a utiliza propoziia logic i operatorii logici(iniial negaia, conjuncia, disjuncia ) prin activiti concrete de tipul:

    - sortarea obiectelor care nu au o anumit proprietate dat (nu sunt roii,nu sunt ptrate, etc.);

    - sortarea obiectelor care posed dou proprieti simultan (rou i tri-unghi, verde i ptrat, etc.);

    - sortarea obiectelor care au cel puin o proprietate dat (rou sau verde,trunghi sau ptrat, etc.).

    4. Aprecierea globala, compararea numarului de elemente adoua multimi prin procedee variate, inclusiv punere n corespon-denta. La vrsta de ase-apte ani copiii sunt capabili s stabileasc relaiintre elementele a dou mulimi care s conduc la compararea cantitativa lor i exprimarea rezultatului comparaiei prin sintagme de tipul: maimult, mai puin, tot attea. Acest lucru permite ordonarea cresctoare saudescresctoare a dou sau mai multe mulimi. De asemenea, permite famil-iarizare elevilor cu corespondena unu la unu (funcia bijectiv) i cu clasade echivalen a mulimilor cu tot attea elemente, noiuni absolut nece-sare n introducerea conceptului de numr natural. Activitile de punere ncoresponden nu se rezum la formarea de perechi ntre elementele a doumulimi ci pot fi i de construire a unor mulimi echivalente cu o mulimedat.

    n jurul vrstei de ase ani apar i reprezentrile despre invariana can-titii. n clasa pregtitoare elevul poate nelege c o mulime rmne cu totattea elemente indiferent de forma elementelor, poziia lor spaial, mrimeaelementelor, culoare ori distana dintre ele.

    Se recomand exerciii de identificare a elementelor unei mulimi, cndse tie regula de coresponden dintre elementele respectivei mulimi i ele-mentele altei mulimi date, exerciii de identificare a regulii de corespondendintre grupuri de obiecte, desene sau numere ordonate.

    4

  • 2 Metodologia predrii numerelor naturale

    2.1 Predarea numerelor naturale de la 0 la 10

    Primele zece numere naturale constituie fundamentul pe care se dezvolt n-tregul edificiu al gndirii matematice a copilului i de aceea trebuie s i seacorde o atenie deosebit. n practica didactic a colii romneti introduc-erea numrului natural se realizeaz pe baza corespondenei ntre mulimifinite. Activitile de stabilire a corespondenei element cu element a dousau mai multe mulimi urmresc s dezvolte la elevi nelegerea conceptuluide numr natural ca o clas de echivalen a mulimilor echipotente cu omulime dat. Numrarea mecanic sau reproducerea denumirii unui numrnu nseamn nsuirea conceptului de numr natural. Conform literaturiide specialitate, nsuirea contient de ctre elevi a numrului natural pre-supune:

    nelegerea aspectului cardinal al numrului natural (proprietate co-mun a mulimilor cu tot attea elemente);

    nelegerea aspectului ordinal al numrului natural (locul fiecrui numrn irul numerelor naturale);

    nelegerea relaiei de ordine pe mulimea numerelor naturale i a ter-minologiei specifice (relaiile mai mic, mai mare dintre numere cecorespund relaiilor mai puin, respectiv mai mult dintre mulimile cereprezint numerele date);

    cunoaterea cifrelor corespunztoare numerelor; citirea i scrierea cifrelor corespunztoare numerelor.n formarea conceptului de numar natural se recomand parcurgerea ur-

    mtoarelor etape (J. Bruner):

    etapa acional - aciuni cu mulimi de obiecte concrete; etapa iconic - schematizarea aciunii i reprezentarea grafic a mulim-

    ilor;

    etapa abstract - traducerea simbolic a aciunilor.Astfel, dac la nceput predomin activitile cu obiecte, pe parcursul

    evoluiei de la concret la abstract, de la intuitiv la logic se vor utiliza tot maimult reprezentrile grafice.

    Cel mai utilizat model metodologic pentru introducerea numrului natu-ral, s lum spre exemplu numrul 7, parcurge urmtoarele etape:

    5

  • se construiete o mulime cu tot attea elemente ct este ultimul numrcunoscut, n cazul nostru 6;

    se construiete o alt mulime cu tot attea elemente i se verific prinpunere n coresponden i prin numrare;

    se adaug n a doua mulime nc un element; se pune mulimea obinut n coresponden unu la unu cu mulimea

    iniial i se constat c noua mulime are cu un element mai multdect prima mulime;

    se afirm de ctre profesor c noua mulime are apte elemente; se construiesc alte mulimi cu tot attea elemente ca mulimea cu apte

    elemente, formate din alte obiecte pentru a arta independena noiuniide alegerea reprezentanilor;

    se prezint cifra (simbolul grafic) corespunztoare numrului nou in-trodus;

    se recunoate cifra n diverse contexte; se stabilete relaia de ordine dintre noul numr i numerele predate

    anterior;

    se compune noul numr din precedentul i nc o unitate precum i dinnumere diferite;

    se descompune noul numr n diferite forme.Sugestii metodologice:

    Vor fi concepute i situaii de nvare ce exerseaz deprinderi de asocierea numrului la cantitate, de asocire a cantitii la numr i de estimarea numrului de elemente ale unei mulimi date.

    Literatura de specialitate recomand ca n predarea-nvarea numru-lui natural s fie evitat utilizarea termenului adunare sau a simbolului"+" pentru a desemna mulimea cu un element n plus sau n cazul de-scompunerii unui numr natural. n construcia axiomatic a mulimiinumerelor naturale operaiile cu numere naturale se introduc, evident,dup definirea numerelor naturale deci nu putem defini numrul natu-ral cu ajutorul unei operaii.

    6

  • 2.2 Predarea numerelor naturale de la 0 la 100

    Trecerea de la concentrul 0-10 la numere mai mari dect 10 i mai micidect 100 reprezint primul pas spre nelegerea caracteristicilor sistemuluide numeraie:

    zecimal - zece uniti de un anumit ordin formeaz o unitate de ordinimediat urmtor;

    poziional - o cifr poate reprezenta diferite valori, n funcie de poziiape care o ocup n scrierea unui numr.

    Esenial din punct de vedere metodic n tratarea acestei teme este partiiaunei mulimi n submulimi de cte 10 elemente i nelegerea de ctre elevia unei zeci ca unitate de ordin superior.

    Demersul metodic pentru introducerea numrului 11 este urmtorul:

    se formeaz o mulime cu zece elemente; se formeaz o mulime cu un element; se reunesc cele dou mulimi i se obine o mulime cu 10 elemente i

    nc 1 element;

    se afirm de ctre profesor c aceast mulime are unsprezece elementeiar simbolul numrului unsprezece este 11, adic dou cifre de 1, primareprezentnd numrul zecilor iar a doua numrul unitilor.

    Asemntor se introduc numerele 12, 13, . . . , 19, considernd o mulimecu 10 elemente i cte o mulime cu 2, 3, . . . , 9 elemente. n fine, utilizndreuniunea a dou mulimi cu cte 10 elemente se introduce numrul 20.Activitile de reunire a mulimilor formate dintr-un numr de submulimidisjuncte de cte 10 elemente cu o mulime format dintr-un numr maimic dect 10 elemente ne conduce la construcia numerelor naturalemai micidect 100. Spre exemplu, considernd o mulime cu 20 de elemente i omulime cu 7 elemente (mulimi disjuncte) reuniunea lor este o mulime cudouzeci i apte de elemente cu simbolul grafic 27. n particular, reunind omulime cu 90 de elemente cu o mulime cu 10 elemente se introduce o nouunitate de numeraie numit suta.

    7

  • 2.3 Predarea numerelor naturale mai mari dect 100

    Formarea unui numr mai mare dect 100 nu ridic probleme deosebite,urmnd algoritmul cunoscut de la formarea numerelor mai mari dect 10.Spre exemplu: 1 sut i nc 1 unitate formeaz 101, 1 sut, 3 zeci i 5uniti formeaz 135, etc. Singura dificultate fa de concentrele ulterioareeste legat de formarea, citirea i scrierea numerelor ce conin pe zero, spreexemplu 230, 507 unde cifra 0 arat lipsa unitilor, respectiv a zecilor.

    Predarea numerelor naturale mai mari dect 100 presupune introducereanoiunilor de ordin i clas. Pn acum au fost introduse trei uniti decalcul: unitatea (simpl), zecea i suta. Elevii tiu deja c 10 uniti simpleformeaz 1 zece, 10 zeci formeaz 1 sut i odat cu introducerea unei noiuniti mia format din 10 sute, se contureaz ideea c 10 uniti de unanumit fel formeaz 1 unitate, evident mai mare.

    Continund procedeul se obine:10 uniti (simple) = 1 zece10 zeci = 1 sut10 sute = 1 mie10 mii = 1 zece de mii10 zeci de mii = 1 sut de mii10 sute de mii = 1 milion10 milioane = 1 zece de milioane10 zeci de milioane = 1 sut de milioane10 sute de milioane = 1 miliard (bilion)

    ... .Fiecrei uniti de calcul i se ataeaz un ordin ce reprezint numrul

    de ordine de la dreapta la stnga n scrierea numrului. Astfel:

    unitile (simple) vor fi numite uniti de ordinul 1; zecile vor fi numite uniti de ordinul 2; sutele vor fi numite uniti de ordinul 3; miile vor fi numite uniti de ordinul 4; . . . . . . . . . . . .

    Este uor de observat de ctre elevi c grupuri de cte trei ordine consec-utive, ncepnd cu primul, se numesc la fel (uniti, zeci de uniti, sute deuniti) ceea ce conduce la definirea unei noi structuri numit clas. Claselese numeroteaz cu cifre romane i se denumesc dup numele unitilor careintr n componena sa. Astfel, avem:

    8

  • I - clasa unitilor format din ordinele1, 2, 3; (uniti, zeci, sute) II - clasa miilor format din ordinele 4, 5, 6; (mii, zeci de mii, sute

    de mii)

    III - clasa milioanelor format din ordinele 7, 8, 9; (milioane, zeci demilioane, sute de milioane)

    . . . . . . . . . . . .

    n scrierea numerelor cu mai multe cifre evidenierea claselor se face prinlsarea unui spaiu liber ntre ele (1 234, 352 207, etc.).

    Pentru citirea numerelor cu mai multe cifre se grupeaz mai nti unitilepe clase, ncepnd cu prima clas, apoi se citete numrul pe clase, cu indi-carea unitilor din care este format fiecare clas. Exemplu:

    547975265381; 547 975 265 381; 547 miliarde 975 milioane 265 mii 381.Dup nsuirea ordinelor i claselor se trece la formarea, scrierea i citirea

    numerelor din mai multe cifre, o atenie deosebit acordndu-se numerelorcare conin cifra 0, care semnific absena unitilor de ordinul corespunztorpoziiei cifrei 0.

    3 Metodologia predrii adunrii numerelor nat-urale

    3.1 Adunarea numerelor naturale n concentrul 0 10Introducerea operaiei de adunare a numerelor naturale se face utiliznd re-uniunea a dou mulimi disjuncte. Folosind exemple cu mulimi diverse,elevii trebuie s neleag c rezultatul adunrii a dou numere este cardi-nalul reuniunii a dou mulimi disjuncte, ale cror cardinale sunt numerelece se adun.

    Formarea i nsuirea operaiei de adunare n concentrul 010 presupuneparcurgerea urmtoarelor etape:

    etapa perceptiv (concret); etapa simbolic;

    9

  • Figure 1: Reprezentare simbolic a adunrii

    etapa abstract.

    Etapa concretn prima etap elevii vor desfura activiti cu mulimi concrete. Spre

    exemplu: elevii formeaz o mulime cu 2 beioare i o mulime cu 3 beioare.Reunind cele dou mulimi elevii vor obine o mulime cu 5 beioare.

    Se repet aciunea folosind alte obiecte (creioane, flori, degete, etc.) pncnd elevii contientizeaz c reunind o mulime cu 2 obiecte cu o mulimecu 3 obiecte se obine o mulime cu 5 obiecte. n aceast etap cardinalulreuniunii este rezultatul procesului de numrare sau procesul de compunerea dou numere.

    Etapa simbolic este etapa utilizrii reprezentrilor simbolice. Se intro-duce acum semnul +, numit plus, prin care exprimm n scris operaia deadunare. Spre exemplu, dac am reunit o mulime avnd dou elemente cu omulime avnd 3 elemente, atunci pentru numrul elementelor reuniunii vomutiliza scrierea 2 + 3. Deoarece 2 + 3 i 5 reprezint numrul de elemente alaceleiai mulmi vom utiliza semnul = , numit egal i vom scrie 2+3 = 5.

    n etapa abstract dispare suportul intuitiv i se folosesc doar numerele.Cele dou numere care se adun se numesc termenii adunrii iar rezultatuladunrii se numete sum sau total.

    Dup o serie de exerciii, pornind de la operaii cu mulimi concrete iparcurgnd cele trei etape se va evidenia proprietatea de comutativitate aadunrii i simetria relaiei de egalitate ceea ce exprim faptul c un numrse poate descompune n suma a dou numere (n cazul exemplului nostru:5 = 2 + 3, 5 = 3 + 2).

    Prin exerciii de partiionare (descompunere) a unei mulimi cu 5 ele-mente n dou submulimi disjuncte elevii descoper c nu doar 2 + 3 = 5ci sunt i alte perechi de numere a cror sum este 5. n particular eleviiregsesc 4 + 1 = 5, ceea ce tiau sub alt form de la formarea numrului 5.

    Odat cu consolidarea operaiei de adunare a dou numere natuaralen concentrul 0 10, elevii vor reui s adune i trei numere (n acelai

    10

  • Figure 2: Reprezentare simbolic a asociativitii adunrii

    concentru), putndu-se evidenia asociativitatea adunrii - fr utilizareaparantezelor n aceast etap.

    Sugestii metodologice:

    nelegerea sensului operaiei de adunare se poate realiza prin "com-punerea" i "rezolvarea" unor situaii problem (nu putem vorbi deprobleme n aceast etap), solicitnd elevilor aciuni practice de mrirea cantitii cu un numr oarecare de uniti.

    Se pune accent pe legtura dintre exprimarea verbal a aciunilor efec-tuate (se adaug, am mai primit, au mai sosit, a mai pus, mai mult cu,etc.) i transcrierea simbolic a aciunilor sub form de adunare.

    3.2 Adunarea i scderea numerelor naturale n concen-trul 0 100

    3.2.1 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0 100 fr trecere peste ordin

    Predarea-nvarea adunrii i scderii numerelor naturale mai mici dect100 se face n dou etape:

    1. adunarea i scderea numerelor naturale mai mici dect 100fr trecere peste ordin;

    2. adunarea i scderea numerelor naturale mai mici dect 100cu trecere peste ordin.

    Predarea-nvarea adunrii numerelor naturale mai mici dect 100 frtrecere peste ordin este recomandabil s parcurg urmtoarele etape:

    11

  • 1. adunarea a dou numere formate numai din zeci. Acest caz nuridic probleme metodice deosebite. Trebuie insistat pe faptul c zecea esteo unitate de numeraie i n consecin operaia de adunare se realizeazdup modelul adunrii unitilor. Astfel, de la

    2 + 3 = 5

    se deduce uor c

    2 zeci + 3 zeci = 5 zeci,

    adic

    20 + 30 = 50.

    Un caz particular l reprezint adunarea numerelor formate numai dinzeci a cror sum este 100 (20 + 80 = 100, 30 + 70 = 100, etc).

    2. Adunarea unui numr format numai din zeci cu un numrformat numai din unitti.

    n acest caz elevii redescoper modul de formare a numerelor mai maridect 10 i mai mici dect 100. Spre exemplu,

    50 + 7 = 57,

    deoarece 5 zeci i 7 uniti formeaz numrul 57.3. adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr

    format numai din zeci.Efectuarea adunrii n acest caz presupune:

    descompunerea numrului format din zeci i uniti n dou numere,unul format numai din zeci i cellalt format numai din uniti;

    adunarea numrului iniial format numai din zeci cu numrul formatnumai din zeci obinut din descompunerea precedent;

    adunarea la suma anterioar a numrului format numai din uniti dindescopunerea numrului format din zeci i uniti.

    Spre exemplu, avem:

    35 + 50 = (30 + 5) + 50= (30 + 50) + 5= 80 + 5= 85.

    12

  • 4. adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numrformat numai din uniti.

    Se descompune primul numr n dou numere, unul format numai din zecii cellalt format numai din uniti. Se adun unitile celor dou numereiar suma obinut se adun la numrul format numai din zeci.

    Spre exemplu:

    42 + 6 = (40 + 2) + 6= 40 + (2 + 6)= 40 + 8= 48.

    5. adunarea a dou numere formate din zeci i uniti.Acest caz, ca de altfel i precedentele, se bazeaz pe descompunere nu-

    merelor n zeci i uniti i utilizarea proprietilor de asociativitate i co-mutativitate ale adunrii. Algoritmul operaiei de adunare n acest caz pre-supune:

    - descompunerea celor dou numere n zeci i uniti;- adunarea zecilor celor dou numere;- adunarea unitilor celor dou numere;- adunarea sumelor pariale obinute prin adunarea zecilor, respectiv

    unitilor. Exemplu:

    32 + 64 = (30 + 2) + (60 + 4)= (30 + 60) + (2 + 4)= 90 + 6= 96.

    Dup nsuirea de ctre elevi a algoritmului de adunare a numerelor for-mate din zeci i uniti profesorul va prezenta i posibilitatea scrierii peverical a acestei operaii. Astfel, exemplul precedent se scrie

    32 +6496

    Se va insista pe formarea deprinderilor de a scrie unitile sub uniti izecile sub zeci. Dup mai multe exerciii elevii vor putea concluziona c,indiferent de modul de scriere, rezultatul adunrii a dou numere formatedin zeci i uniti (fr trecere peste ordin) este numrul n care cifra zecilor(unitilor) este egal cu suma cifrelor zecilor (unitilor) numerelor care seadun.

    13

  • Introducerea operaiei de scdere a dou numere naturale mai mici dect100 fr trecere peste ordin (evident scztorul este mai mic sau egal cudesczutul) urmeaz un traseu metodic asemntor celui recomandat n cazuladunrii. Etapele recomandate n acest caz sunt:

    1. Scderea a dou numere formate numai din zeciAstfel, de la 5 3 = 2 se deduce uor c 5 zeci 3 zeci = 2 zeci, adic

    50 30 = 20.2. Scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui

    numr format numai din zeci3. Scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui

    numr format numai din unitiScderea a dou numere formate din zeci i unitiAlgoritmul este ilustrat prin exemplul urmtor:

    75 32 = (70 + 5) (30 + 2)= (70 30) + (5 2)= 40 + 3= 43,

    sau

    75 32 = 75 (30 + 2)= (75 30) 2= 45 2= 43.

    3.2.2 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0 100 cu trecere peste ordin

    Adunarea cu trecere peste ordin este o tehnic ce se nelege mai greude ctre elevi i de aceia trebuie s i se acorde o atenie deosebit. Primulpas n nsuire acestui caz de adunare const n adunarea a dou numereformate numai din uniti dar a cror sum depete 1 zece. Algoritmulutilizat n acest caz ste urmtorul: se descompune cel de-al doilea numr ndou componente astfel nct prima component adunat cu primul numrs dea 1 zece la care se adaug apoi cea de-a doua component.

    Avem, spre exemplu:

    7 + 5 = 7 + (3 + 2)= (7 + 3) + 2= 10 + 2= 12.

    14

  • Sugestie metodologic. Este recomandabil ca n exerciiile de acest tips se accentueze de fiecare dat c se utilizeaz proprietatea de asociativitatea adunrii.

    Utiliznd comutativitatea adunrii elevii descoper c se poate descom-pune i primul termen n suma a dou numere dup care se aplic algoritmulmenionat mai sus.

    Pentru cazul general al adunrii a dou numere naturale de la 0 la 100cu trecere peste ordin sunt recomandate dou procedee:

    1. descompunerea unuia dintre termenii adunrii n dou numere astfelnct prin adunare s se formeze un termen care s aib numai zeci.

    Spre exemplu:

    48 + 24 = 48 + (2 + 22)= (48 + 2) + 22= 50 + 22= 72.

    2. descompunerea numerelor n zeci i uniti, efectuarea adunrii ntreunitile de acelai fel i nsumarea rezultatelor pariale.

    Exemplu:

    56 + 37 = (50 + 6) + (30 + 7)= (50 + 30) + (6 + 7)= 80 + 13= 93.

    Scderea cu trecere peste ordin a numerelor naturale de la 0 la 100, la felca n cazul adunrii, se introduce n mai multe etape:

    1. scderea dintr-un numr cuprins ntre 10 i 20 a unui numr mai micdect 10 dar mai mare dect unitile desczutului.

    Este cazul cel mai dificil de neles de ctre elevi datorit transformrii 1zeci a desczutului n 10 uniti dar i cel mai important deoarece nelegereaacestui caz condiioneaz nelegerea scderilor n orice concentru numeric.n practica pedagogic s-au impus dou procedee.

    1.1 Primul procedeu presupune:

    descompunerea desczutului n 1 zece i uniti; descompunerea scztorului astfel nct una dintre componente s fie

    egal cu unitile desczutului;

    scderea acestei componente din unitile desczutului i a celeilaltedin 1 zece.

    15

  • Exemplu:

    12 7 = (10 + 2) 7= (10 + 2) (5 + 2)= (10 5) + (2 2)= 5 + 0= 5.

    1.2. Al doilea procedeu presupune:

    descompunerea desczutului n 1 zece i uniti; scderea din 1 zece a unitilor scztorului; adunarea diferenei obinute cu unitile desczutului.Exemplu:

    12 7 = (10 + 2) 7= (10 7) + 2= 3 + 2= 5.

    2. Scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui numr formatdin uniti. Se transform 1 zece a desczutului n 10 uniti care se aduncu unitaile iniiale ale desczutului. Din numrul obinut (ntre 10 i 20)se scade scztorul iar rezultatul se adun cu numrul de zeci rmase ladesczut.

    Exemplu:

    61 8 = (60 + 1) 8= (50 + 10 + 1) 8= (50 + 11) 8= 50 + (11 8)= 50 + 3= 53.

    O alt variant utilizat este de a descompune scztorul n dou numeredintre care unul este numrul unitilor desczutului, se scad din desczutunitile care le conine i din diferena obinut se scade i restul de unitiale scztorului.

    Exemplu:

    16

  • 61 8 = 61 (1 + 7)= (61 1) 7= 60 7= 53.

    3. Scderea a dou numere formate din zeci i uniti. Prin descom-punerea celor dou numere se ajunge la unul dintre cazurile studiate. Exem-plu:

    76 28 = 76 (20 + 8)= (76 20) 8= 56 8= 48,

    sau

    76 28 = (70 + 6) (20 + 8)= (60 + 10 + 6) (20 + 8)= (60 20) + (10 8) + 6= 40 + 2 + 6= 48.

    3.3 Adunarea i scderea numerelor naturale mai maridect 100

    Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 cu i fr trecerepeste ordin, nu ridic probleme metodice deosebite dac elevii stpnescalgoritmii pentru adunarea i scderea numerelor naturale dintre 0 i 100.Procedeele aplicabile n aceste cazuri se bazeaz pe operarea cu uniti deacelai ordin i pe faptul c 10 uniti de un anumit ordin formeaz 1 unitatede ordin superior.

    Se va ncepe cu adunri i scderi fr trecere peste ordin iar dup n-suirea acestora de ctre elevi se va continua cu cele cu trecere peste ordin.Un caz mai dificil l reprezint scderile n care cifrele de un anumit ordinale desczutului sunt 0 (zero). Pentru nelegerea acestui caz vor fi abordateexerciii ct mai variate, cuprinznd toate variantele posibile.

    O atenie deosebit trebuie acordat scrierii pe vertical, unde se va in-sista pe scriere unitilor de un anumit ordin sub unitile de acelai ordin.

    17

  • 4 Metodologia predrii operaiilor de nmulirei mprire

    4.1 Operaia de nmulire

    Conform programei de matematic n vigoare nmulirea se introduce n clasaa II-a.

    n predarea-nvarea nmulirii intuiia nu mai are rolul predominant can cazul adunrii;

    Dup reactualizarea cunotinelor despre adunare se va insista pe adunareamai multor termeni egali. Astfel 2+2+2 se va citi de trei ori doi, 3+3+3+3se va citi de patru ori trei, etc.

    Se explic elevilor c pentru adunrile repetate se se folosete o nouscriere: 3 2 (de trei ori doi) pentru 2 + 2 + 2, 4 3 (de patru ori trei)pentru 3 + 3 + 3 + 3, iar adunarea repetat se identific cu o nou operaienumit nmulire.

    Simbolul operaiei de nmulire este i se introduce odat cu scriereaprimei operaii de nmulire. Numerele care se nmulesc se numesc factoriiar rezultatul nmulirii se numete produs.

    Comutativitatea operaiei de nmulire. nc de la primele lecii de predare-nvare a nmulirii se scoate n eviden faptul c nmulirea este comuta-tiv, proprietate mult utilizat atunci cnd se alctuiete tabla nmulirii.Pentru nelegerea comutativitii nmulirii sunt foarte utile reprezentrilegrafice de tipul celor din figura urmtoare:

    unde se observ c de dou ori trei i de trei ori doi reprezint acelainumr.

    4.2 Tabla nmulirii

    Dup nelegerea semnificaiei nmulirii se trece la nmulirea numerelor nat-urale din concentrul 010, alctuind, cu participarea activ a elevilor, tablanmulirii pentru fiecare din ele.

    Relativ uor elevii descoper c nmulind orice numr cu 0 (zero) obinemprodusul 0 (zero) i nmulind orice numr cu 1 produsul este egal cu acelnumr (1 este element neutru pentru nmulire).

    18

  • Pentru tabla nmulirii cu 2, utiliznd definiia nmulirii ca adunarerepetat a numrului 2, elevii vor descoperi singuri produsele. Se va menionac nmulind un numr cu 2 se obine un numr de dou ori mai mare saudublul numrului iniial.

    Analog se introduce tabla nmulirii cu 3, sintagmele de trei ori mai mare,triplul unui numr, etc.

    n general, alctuirea tablei nmulirii cu un numr dat presupune par-curgerea urmtoarelor etape:

    repetarea tablei nmulirii cu numerele precedente; evideniere i reinerea nmulirilor n care apare ca factor numrul dat; scrierea tablei nmulirii cu numrul dat i completarea produselor

    cunoscute - pe baza comutativitii nmulirii;

    obinerea celorlalte produse, utiliznd adunarea repetat i scriereacomplet a tablei nmulirii cu acel numr.

    nvarea tablei nmulirii decurge din efectuarea repetat a unor n-muliri, necesitatea memorri ei impunndu-se doar din considerente ce vizeaztimpul necesar prezentrii unui rspuns.

    Memorarea tablei inmulirii nu trebuie s fie un proces mecanic ci undemers structurat pe un sistem de exerciii ce presupune:

    repetarea tablei nmulirii n ordine cresctoare a factorului variabil; repetarea tablei nmulirii ntr-o ordine aleatoare; nmuliri cu factori lips; relaia dintre adunare i nmulire.Fr utilizarea terminologiei specifice se evideniaz asociativitatea n-

    mulirii i distributivitatea nmulirii fa de adunare i scdere prin exerciiidiverse nsoite de reprezentri grafice de tipul:

    s se scrie ca un produs numrul steluelor albe: 2 3 = 6; s se scrie ca un produs numrul steluelor albastre: 2 4 = 8; s se afle numrul total de stelue: 2 (3 + 4) = 2 3 + 2 4;

    19

  • 4.3 nmulirea numerelor naturale mai mici sau egalecu 1000

    Dup nsuirea acestor proprieti se introduc alte cazuri de nmuliri, reco-mandabil n ordinea urmtoare:

    1. nmulirea numerelor naturale mai mici dect 10 cu un numrformat numai din zeci. Aceste nmuliri se bazeaz pe descompunerea nprodus de dou numere a numrului format numai din zeci (unul din factorifiind 10) i asociativitatea nmulirii.

    Exemplu:

    2 40 = 2 (4 10)= (2 4) 10= 8 10= 80.

    2. nmulirea numerelor naturale mai mici dect 10 cu numereformate din zeci i uniti. Efectuarea acestor nmuliri se bazeaz pedescompunerea numrului de dou cifre n zeci + uniti i distributivitateanmulirii fa de adunare.

    Exemplu:

    2 41 = 2 (40 + 1)= (2 40) + (2 1)= 80 + 2= 82.

    Se introduce "calculul n scris" utiliznd comutativitatea nmulirii i par-curgnd etapele (pentru exemplu precedent):

    4 1 2

    8 21 2 = 2 uniti4 2 = 8 zeci

    nmulim nti unitile cu 2: 1 2 = 2 uniti ; nmulim apoi zecile cu 2: 4 2 = 8 zeci ; adunm produsele pariale.

    20

  • n cazul trecerii peste ordin se aplic regula c 10 uniti de un anumitordin formeaz o unitate de ordin imediat superior.

    3. nmulirea unui numr mai mic dect 10 cu 100. Acest caz nuridic probleme metodice deosebite deoarece suta este privit ca unitate decalcul. Elevii descoper repede c din punct de vedere tehnic nmulireaunui numr natural cu 100 se reduce la adugarea a dou zerouri la sfritulnumrului (3 100 = 300, 7 100 = 700, etc.).

    4. nmulirea numerelor formate dintr-o cifr cu numere formatenumai din sute. Se bazeaz pe descompunerea n produs a numruluiformat numai din sute (unul din factori fiind 100) i asociativitatea nmulirii.Exemplu:

    3 200 = 3 (2 100)= (3 2) 100= 6 100= 600.

    5. nmulirea numerelor de o cifr cu numere formate din sute,zeci i uniti. Se bazeaz pe scrierea n baza 10 a numerelor naturale maimici dect 1000 i distributivitatea nmulirii fa de adunare.

    Exemplu:

    2 123 = 2 (100 + 20 + 3)= (2 100) + (2 20) + (2 3)= 200 + 40 + 6= 246.

    Deducerea regulii pentru calculul n scris se face asemntor cazului n-mulirii numerelor formate dintr-o singur cifr cu numere formate din doucifre.

    Spre exemplu, avem:

    1 2 3 2

    2 4 63 2 = 6 uniti2 2 = 4 zeci1 2 = 2 sute

    n cazul trecerii peste ordin se aplic regula c 10 uniti de un anumitordin formeaz o unitate de ordin imediat superior.

    21

  • 6. nmulirea a dou numere de mai multe cifre. Acest cazare la baz scrierea sistemic a celor dou numere i proprietile adunrii inmulirii numerelor naturale. n general nmulirile de acest tip se efectueazn scris. Aezarea numerelor care se nmulesc se face ca n cazul adunrii:uniti sub uniti, zeci sub zeci, sute sub sute, etc. De regul, pe rndulal doilea se scrie numrul cu mai puine cifre. Fiecare unitate a numruluicu care se nmulete, ncepnd cu cifra unitilor, se nmulete succesivcu toate unitile numrului pe care l nmulim, obinnd n fiecare caz unprodus parial. Scrierea produselor pariale ncepe de la dreapta la stnga icu ordinul cu care se nmulete. Prin adunarea produselor pariale se obineprodusul celor dou numere.

    Exemplu:

    312 23 = 312 (20 + 3)= (312 20) + (312 3)= 6240 + 936= 7176

    sau - n scris:

    312 23936 312 3 = 936 uniti624 312 2 = 624 zeci = 6240 uniti7176

    4.4 Operaia de mprire

    mprirea numerelor naturale se introduce n clasa a II-a i se realizeazprin dou procedee:

    mprirea n pri egale; mprirea prin cuprindere.n ambele cazuri suportul tiinific este dat de partiia unei mulimi

    n submulimi echipotente. n cazul mpririi n pri egale se cunoatenumrul elementelor mulimii iniiale i numrul submulimilor care se formeaziar prin mprire se afl numrul elementelor fiecrei submulimi.

    Utiliznd material didactic variat (beioare, creioane, bomboane, etc.)profesorul stabilete numrul de obiecte ce trebuie mprit i numrul prilor.Spre exemplu, 10 bomboane se mpart n mod egal la 2 elevi. Cte bomboaneva primi fiecare elev?

    Practic, rezolvarea acestei probleme decurge n felul urmtor:

    22

  • se d fiecrui elev cte o bomboan, rmnnd de dat 10 2 = 8(bomboane);

    din bomboanele rmase se d cte o bomboan fiecrui elev rmnndde dat 8 2 = 6 (bomboane); se continu procedeul pn nu mai rmne nici o bomboan (10 22 2 2 2 = 0); se stabilete numrul de bomboane date fiecrui elev (5 bomboane). se concluzioneaz: mprind 10 bomboane n mod egal la 2 elevi,

    fiecare elev primete cte 5 bomboane.

    Acest lucru se scrie 10: 2 = 5, unde ":" reprezint simbolul operaieide mprire.

    Numrul care se mparte se numete demprit, numrul la care semparte se numete mpritor iar rezultatul mpririi se numete ct.

    Analiznd modul n care s-a efectuat mprire se constat c operaia10: 2 = 5 se reduce la scderea repetat a lui 2 din 10, apoi din restulobinut, .a.m.d. (10 2 2 2 2 2 = 0) iar numrul de scderireprezint ctul mpriri lui 10 la 2.

    n cazul mpririi prin cuprindere se cunoate numrul elementelor mulimiiiniiale i numrul elementelor fiecrei submulimi echipotente din partiie iarprin mprire se afl cte submulimi se formeaz.

    Spre exemplu, 10 bomboane se mpart la elevi, un elev primind cte 5bomboane. Ci elevi vor primi bomboane?

    Practic, rezolvarea acestei probleme decurge n felul urmtor:- se dau 5 bomboane unui elev, rmnnd de dat 105 = 5 (bomboane);- cele 5 bomboane rmase se dau altui elev i se constat c au mai rmas

    5 5 = 0 bomboane de dat.Concluzionm c numrul de elevi care au primit bomboane este 2, deci

    10 : 5 = 2, ceea ce se mai citete 5 se cuprinde n 10 de 2 ori. Se observc i n acest caz mprirea lui 10 la 5 s-a redus la scderea repetat a lui 5din 10 pn s-a obinut rezultatul 0 (10 5 5 = 0) i numrul de scderirepetate a lui 5 din 10 reprezint ctul mpririi lui 10 la 5.

    Scderea repetat se folosete doar la introducerea operaiei de mprire,atunci cnd se pune n eviden semnificaia acestei operaii cu ajutorulmaterialelor concrete.

    23

  • Dup ce elevii i-au nsuit operaia de mprire ca scdere repetat seface legtura operaiei de mprire cu operaia de nmulire prin seturi deprobleme de tipul:

    1. Pe fiecare din cele 3 farfurii sunt cte 7 mere. Cte mere sunt pe celetrei farfurii? Rspuns: 3 7 = 21 (mere).

    2. Pe 3 farfurii se mpart n mod egal 21 de mere. Cte mere vor fi pefiecare farfurie? Rspuns: 21 : 3 = 7 (mere) deoarece 3 7 = 21.

    3. 21 de mere se aeaz cte 7 pe cte o farfurie. Cte farfurii suntnecesare? Rspuns: 21 : 7 = 3 (farfurii) deoarece 3 7 = 21.

    Prin astfel de exerciii elevii vor fi dirijai spre concluzia c mprireapoate fi privit ca operaia prin care se poate afla unul dintre factorii unuiprodus nenul cunoscnd produsul i cellalt factor.

    Se trece la alctuirea tablei mpririi cu 2, 3, . . . , 10, menionnd cmprind un numr la 2 se obine un numr de 2 ori mai mic (jumtatea),mprind un numr la 3 se obine un numr de 3 ori mai mic, etc.

    Prin exerciii corespunztoare vor fi evideniate cazurile speciale de m-prire: mprirea unui numr natural diferit de 0 la el nsui, mprireaunui numr natural la 1 i mprirea lui 0 la orice numr natural diferit de0.

    4.5 mprirea cu rest

    Dup nsuirea mpririi fr rest (cu rest 0), se abordeaz situaia mpririicu rest nenul. Spre exemplu, pornind de la mprirea a 11 bomboane la 2elevi, prin orice procedeu s-ar ncerca se obine ctul 5 dar mai rmne obomboan disponibil. Profesorul concluzioneaz c aceasta este o mprirecu rest iar rezultatul acestei mpriri este ctul 5, rest 1. Dup mai multe ex-erciii bine alese elevii vor descoperi relaia dintre demprit (d), mpritor(), ct (c) i rest (r) (teorema mpririi cu rest):

    d = c+ r, r < .

    mprirea unui numr natural mai mic dect 1000 la un numrde o cifr.

    nelegerea i nsuirea algoritmului de mprire a unui numr naturalmai mic dect 1000 la un numr de o cifr presupune parcurgerea urm-toarelor etape:

    1. mprirea numerelor de dou cifre formate numai din zeci lanumere formate dintr-o singur cifr cnd restul este 0. Considerndzecea ca unitate n sistemul de numeraie, acest tip de mprire se reduce lamprirea numerelor formate dintr-o singur cifr. Exemplu:

    24

  • 80 : 4 = 8 zeci : 4= 2 zeci= 20.

    2. mprirea numerelor de dou cifre formate din zeci i unitila numere formate dintr-o singur cifr cnd restul este 0.

    Procedeul se bazeaz pe descompunerea numerelor de dou cifre n zecii uniti i pe reducerea mpririi necunoscute la mpriri cunoscute.

    Exemplu: 96 : 3 = (90 + 6) : 3= (90 : 3) + (6 : 3)= 30 + 2= 32.

    Calculul n scris: 9 6 : 3 = 32966=

    =

    3. mprirea unui numr de dou cifre la un numr de o cifrcnd restul este diferit de zero iar numrul zecilor se mparte exactla mpritor.

    Acest caz este ilustrat prin exemplul:

    86 : 4 = (80 + 6) : 4= (8 zeci : 4) + (6 : 4)= 2 zeci +1, rest 2= 21, rest 2.

    4. mprirea unui numr de dou cifre la un numr de o cifrcnd restul este diferit de zero iar numrul zecilor nu se mparteexact la mpritor.

    Acest este ilustrat prin exemplul:

    95 : 4 = (90 + 5) : 4= (80 + 10 + 5) : 4= 80 : 4 + 15 : 4= 20 + 3, rest 3= 23, rest 3.

    25

  • n fiecare etap este util prezentarea calculului n scris care nu estealtceva dect exprimarea sintetic a raionamentului analitic ce fundamenteazoperaia de mprire n fiecare caz n parte.

    mprirea unui numr de trei cifre la un numr deo singur cifr serealizeaz asemntor, prin parcurgerea etapelor:

    mprirea cu rest 0; cifra unitilor nu se mparte cu rest 0; cifra zecilor nu se mparte cu rest 0; cifra sutelor nu se mparte cu rest 0; cifra zecilor este mai mic dect mpritorul; cifra zecilor este 0; cifra sutelor este mai mic dect mpritorul.

    4.6 Ordinea efecturii operaiilor

    Exerciiile ce se rezolv n clasa pregtitoare i n clasa a I-a (adunri iscderi) se efectueaz n ordinea n care sunt scrise, astfel c pn n clasa aII-a elevii nu-i pun problema existenei unor reguli privind ordinea efecturiioperaiilor.

    Dup nvarea nmulirii apar exerciii de tipul 2 + 3 4, n care schim-barea ordinii efecturii operaiilor conduce la rezultate diferite: adunnd 2cu 3 i nmulind rezultatul cu 4 obinem 20 iar nmulind 3 cu 4 i adunndrezultatul la 2 obinem 14.

    Acest tip de exerciii impune stabilirea unor reguli privind ordinea efec-turii operaiilor, reguli ce trebuie deduse de ctre elevi din rezolvarea unorprobleme a cror rezolvare poate fi pus sub form de exerciiu. O astfel deproblem poate fi:

    La o cofetrie s-au adus 3 cutii cu cte 12 prjituri i 5 cutii cu cte 8prjituri. Cte prjituri s-au adus n total?

    Rezolvarea acestei probleme n etape i punerea rezolvrii sub forma unuiexerciiu cu mai multe operaii, respectiv

    3 12 + 5 8 = 76,

    26

  • va conduce pe elevi la constatarea c ntr-un exerciiu cu adunri i n-muliri, nmulirile se efectueaz naintea adunrilor indiferent de locul undeapar.

    Adunrile i scderile sunt numite operaii de ordinul I iar nmulirile impririle sunt operaii de ordinul al II-lea

    Exemple similare vor conduce la concluziile:

    ntr-un exerciiu cu mai multe operaii de acelai ordin, operaiile seefectueaz n ordinea n care sunt scrise;

    ntr-un exerciiu cu mai multe operaii (fr paranteze) se efectueazmai nti nmulirile i mpririle apoi adunrile i scderile.

    Pentru formarea la elevi a priceperilor i deprinderilor de efectuare aexerciiilor cu mai multe operaii se recomand:

    introducerea gradat a acestor exerciii, ncepnd cu exerciii ce conindoar dou operaii de ordine diferite;

    utilizarea unor numere mici pentru a menine atenia elevilor asupraordinii efecturii operaiilor i nu asupra efecturii fiecrei operaii;

    utilizarea unor exerciii de lungimi rezonabile pentru a evta la elevioboseala sau neatenia.

    Practica impune uneori efectuarea mai nti a operaiilor de ordinul ntii apoi a celor de ordinul al doilea. n aceast situaie acordarea prioritiiefecturii operaiilor este dat de utilizarea parantezelor mici (rotunde) i aparantezelor mari (ptrate).

    Astfel, ntr-un exerciiu cu mai multe operaii, cu paranteze rotunde iparanteze ptrate, se efectueaz mai nti operaiile dintre parantezele ro-tunde apoi cele dintre parantezele ptrate i apoi cele din afara parantezelor.n cadrul parantezelor de acelai fel se respect ordinea cunoscut de efectu-are a operaiilor iar odat cu efectuarea operaiilor dintre parantezele rotundeacestea nu se mai utilizeaz i parantezele ptrate (dac exist) se transformn paranteze rotunde.

    5 Metodologia predrii fraciilor

    5.1 Unitate fracionar. Fracii

    Introducerea noiunii de fracie reprezint prima extensie a conceptului denumr natural. Familiarizarea elevilor cu noiunea de parte-ntreg ncepe

    27

  • odat cu introducerea operaiei de mprire. n paralel cu mprirea la 2,respectiv 4, elevii i-au nsuit noiunile de jumtate, respectiv sfert, fr autiliza termenii doime, ptrime i fr utilizarea scrierii fracionare.

    Predarea fraciilor se ncepe cu repetarea noiunilor de jumtate-doime,

    sfert-ptrime i introducerea simbolurilor grafice corespunztoare1

    2, respec-

    tiv1

    4. Repetarea faptului c una din cele dou pri de aceiai mrime n care

    a fost mprit un ntreg reprezint o doime, c una din cele patru pri deaceiai mrime n care a fost mprit un ntreg reprezint o ptrime uureaznsuirea de ctre elevi a noiunii de parte fracionar.

    Partea fracionar este o parte dintr-un ntreg (obiect, figur geomet-ric, numr) care a fost mprit n pri egale (la fel de mari).

    Astfel se introduce treimea, cincimea, esimea, etc. i simbolurile grafice

    corespunztoare1

    3,1

    5,1

    6, etc.

    Opernd cu ntregi diferii se evideniaz faptul c unitatea fracionarare aceiai semnificaie indiferent de natura ntregilor dar are valori diferiten funcie de mrimea ntregilor. Astfel un sfert de mr este diferit ca mrimede un sfert de pepene dei se scriu la fel sub form de fracie.

    Datorit experienei matematice reduse a elevilor din nvmntul pri-mar, a capacitilor de abstractizare i generalizare nc nematurizate, liter-atura de specialitate recomand parcurgerea urmtoarelor etape n predarea-nvarea noiunii de unitate fracionar:

    etapa de fracionare a unor obiecte concrete i de partiie a unor mulimide obiecte concrete. Alturarea prilor va duce la reconstituirea n-tregului;

    etapa de fracionare prin ndoirea unor figuri geometrice plane careau axe de simetrie i deci pot fi fracionate n pri egale prin ndoire(ptrate, dreptunghiuri, cercuri).

    28

  • etapa de fracionare prin trasarea unor linii pe un desen dat pe carel mpart n pri egale (mprire unui segment n mai multe pri deaceiai lungime, trasarea axelor de simetrie ale unui ptrat, etc.);

    etapa de fracionare a numerelor, reprezint etapa de generalizare iabstractizare a etapelor precedente. Obinerea unor uniti fracionare:doime, treime, cincime, etc. dintr-un numr se reduce la mprireaacelui numr la 2, respectiv 3, 5, etc.

    Se introduce apoi noiunea de fracie ca fiind una sau mai multe unitifracionare precum i simbolul su grafic format din dou numere suprapuse

    desprite printr-o linie, numit line de fracie (2

    3,1

    5,3

    7, etc.).

    Numrul de sub linia de fracie se numete numitor i ne arat n ctepri egale a fost mprit ntregul iar numrul de deasupra liniei de fraciese numete numrtor i ne arat cte pri am luat din numrul de priegale n care a fost mprit ntregul.

    Sugestie metodologic. Sarcinile de nvare vor fi orientate sprenelegerea intuitiv a noiunii de fracie att prin scrierea fraciei corespun-ztoare unei aciuni de mprire ct i prin mprirea care corespunde uneifracii date. n fiecare dintre cele dou aciuni care corespund unor obiec-tive de referin din program se cere reprezentarea prin desen i exprimareaaciunilor ntr-un limbaj specific.

    5.2 Compararea fraciilor

    Dou fracii sunt egale dac reprezint pri la fel de mari din acelai ntregsau din ntregi diferii dar de aceiai mrime.

    Spre exemplu:

    1

    2=2

    4=3

    6.

    29

  • Prin diverse aplicaii practice, bine dirijate, elevii pot descoperi doumodaliti de obinere a unor fracii egale cu o fracie dat:

    nmulirea att a numitorului ct i a numrtorului fraciei cu unnumr diferit de zero (amplificare);

    mprirea, atunci cnd este posibil, att a numitorului ct i a numr-torului fraciei cu un numr diferit de zero (simplificare).

    Dac dou fracii nu sunt egale atunci apare n mod natural ntrebarea:care dintre cele dou fracii este mai mic (sau mai mare)?. Programa pentruclasa a IV-a prevede doar compararea fraciilor care au acelai numitor i acelor care au acelai numrtor.

    Dac fraciile au acelai numitor (unitile fracionare sunt la fel de mari),atunci va fi mai mare fracia cu numrtorul mai mare deoarece se iau maimulte uniti fracionare.

    Spre exemplu, avem

    2

    51

    3>1

    4>1

    5>

    Cunoscnd faptul c, spre exemplu, o cincime este mai mare dect ooptime, elevii pot nelege cu uurin c un numr oarecare de cincimi este

    mai mare dect acelai numr de optimi (3

    5>3

    8,4

    5>4

    8, etc.).

    Dup cteva astfel de exerciii se poate concluziona: dintre dou fraciicare au acelai numrtor este mai mare fracia care are numitorul mai mic.

    30

  • Fracii echiunitare. Un caz particular de fracie l reprezint fraciacare are numrtorul egal cu numitorul. n acest caz am luat n consideraretoate unitile fracionare ale ntregului, deci tot ntrgul. Astfel de fracii,numite fracii echiunitare sau egale cu ntregul, sunt

    1

    1=2

    2=3

    3=4

    4= = 1.

    Fracii subunitare. Fraciile care au numrtorul mai mic dect numi-torul se numesc fracii subunitare (

    2

    3,3

    5,5

    9, . . . ). Evident fraciile sub-

    unitare sunt mai mici dect ntregul, deoarece am luat mai puine unitifracionare dect are ntregul.

    Fracii supraunitare. Fraciile care au numrtorul mai mare dect

    numitorul se numesc fracii supraunitare (3

    2,5

    3, etc.). Evident fraciile

    supraunitare reprezint mai mult dect un ntreg. Obinerea unei fraciisupraunitare se poate realiza prin mprirea a doi sau mai muli ntregiidentici n acelai numr de pri egale i luarea unui numr de pri maimare dect a numrul n care a fost mprit fiecare ntreg.

    Compararea unei fracii cu un ntreg se mai poate face scriind ntregul cao fracie avnd att numitorul ct i numrtorul egal cu numitorul fracieidate i apoi compararea fraciilor care au acelai numitor.

    5.3 Operaii cu fracii

    Programa de matematic prevede pentru clasa a IV-a doar adunarea iscderea fraciilor care au acelai numitor. Introducerea acestor operaii nuridic probleme metodice deosebite. Elevii neleg c aa cum

    2 mere + 3 mere = 5 mere,

    tot aa

    2 optimi + 3 optimi = 5 optimi,

    adic

    2

    8+3

    8=5

    8.

    Deci, suma a dou fracii care au acelai numitor este o fracie avnd ace-lai numitor iar numrtorul sumei este egal cu suma numrtorilor fracilorce se adun.

    31

  • Scderea a dou fracii pstreaz terminologia cunoscut: desczut, scz-tor, rest sau diferen. Rezultatul scderii a dou fracii care au acelai numi-tor este o fracie avnd acelai numitor iar numrtorul este diferena dintrenumrtorul desczututlui i numrtorul scztorului.

    Dup nsuirea de ctre elevi a operaiilor de adunare i scdere a fraci-ilor se recomand efectuarea probelor adunrii i scderii precum i exerciiin care s apar ambele operaii. O atenie deosebit trebuie acordat scrieriicorecte a fraciilor n cadrul exerciiilor, n special alinierii semnelor operai-ilor cu liniile de fracie.

    5.4 Aflarea unei fracii dintr-un ntreg

    Aflarea unei fracii dintr-un ntreg se realizeaz n dou etape:

    aflarea unei uniti fracionare din ntreg; aflarea unei fracii (mai multe uniti fracionare) dintr-un ntreg.

    Prin mai multe exerciii, utiliznd figuri geometrice, lungimi, mase i nfinal numere, se stabilete faptul c aflarea unei uniti fracionare dintr-unntreg se reduce la mprire acestuia n attea pri egale ct arat numitorulunitii fracionare.

    Se recomand scrierea:1

    3din 24 m este 24 m : 3 = 8 m;

    1

    5din 20 kg este 20 kg : 5 = 4 kg;

    1

    7din 35 l este 35 l : 7 = 5 l.

    Aflarea unei fracii dintr-un ntreg presupune iniial aflarea unei unitifracionare de tipul celei pe care o indic numitorul fraciei i apoi aflareafraciei din ntreg prin nmulirea unitii fracionare cu numrul unitilorfracionare indicate de numrtorul fraciei.

    Dup rezolvarea mai multor exerciii se stabilete, cu ajutorul elevilor,regula de aflare a unei fracii dintr-un ntreg (numr): se mparte ntregul(numrul) la numitorul fraciei iar rezultatul se nmulete cu numrtorul.Dac la nceput cele dou operaii se scriu separat, dup ce elevii i-au nsuitprocedeul se poate trece la scrierea ntr-o singur expresie, scond astfel neviden caracterul unitar al celor dou operaii:

    3

    5din 45 este 45: 5 3 = 27.

    32

  • O eventual extindere a unitii de nvare poate aborda tema obineriide fracii egale cu o fracie dat cu aplicabilitate la compararea fraciilor sauoperaii cu fracii ce nu au acelai numitor.

    6 Msurare i uniti de msur

    6.1 Mrime i msurare

    Studiul mrimilor i a unitilor de msur n nvmntul primar reprezintunul dintre exemple edificatoare privind legtura direct dintre matematici viaa cotidian. Pe lng cunotinele de baz legate de mrimi i unitide msur de larg utilitate tema formeaz i dezvolt la elevi interesul imotivaia pentru aplicarea matematicii n contexte variate.

    Noiunea de mrime este o noiune primar care nu se definete. Mrimeapoate fi privit ca o proprietate a corpurilor i a fenomenelor n baza creiaacestea pot fi comparate (dimensiune, cantitate, durat, valoare, etc.).

    A msura o mrime oarecare nseamn a compara aceast mrime cu oalta considerat ca unitate de msur.

    n Sistemul Internaional, utilizat n peste 125 de ri, apte mrimi fiz-ice sunt considerate mrimi fundamentale: lungimea, masa, timpul, temper-atura, intensitatea curentului electric, cantitatea de substan i intensitatealunminoas.

    Corespunztor mrimilor fizice fundamentale s-au definit unitile de m-sur fundamentale, respectiv: metrul, kilogramul, secunda, kelvinul, ampe-rul, molul i candela.

    Mrimile fizice ce pot fi definite cu ajutorul mrimilor fundamentale senumesc mrimi derivate (arie, volum, vitez, etc. ).

    n nvmntul primar, programa de matematic prevede studierea unitilorde msur pentru lungime, capacitate, mas, timp, precum i studiul mon-edelor i bancnotelor - inclusiv cele europene.

    Introducerea noiunii de mrime, pentru fiecare caz n parte, se face pebaz de exemple.

    Elevii sunt condui apoi spre necesitatea comparrii mrimilor i intro-ducerea unor uniti de msur.

    Este recomandabil ca iniial s se utilizeze uniti de msur nestandardiar necesitatea comparrii mrimilor s duc la introducerea unitilor stan-dard.

    Ca argumente pot fi utilizate date istorice legate de istoria msurtorilorsau necesitatea unificrii unor uniti de msur impus de intensificareaschimburilor economice sau de dezvoltarea tiinelor.

    33

  • Pe parcursul nvmntului primar, n predarea-nvarea unitilor demsur, pentru diverse mrimi, sugerm parcurgerea urmtoarelor secvene:

    introducerea mrimii, pornind de la cotidian, de la realitatea ncon-jurtoare;

    evidenierea necesitii msurrii acestei mrimi; prezentarea i utilizarea unitilor nestandard; sublinierea necesitii unei mrimi standard; introducerea unitii standard i a notaiei corespunztoare; aciuni practice de msurare cu consemnarea rezultatelor: introducerea multiplilor i a submultiplilor unitii de msur; operaii cu uniti de msur; compuneri i rezolvri de probleme coninnd unitatea de msur re-

    spectiv;

    estimri ale msurilor unor mrimi din realitatea nconjurtoare (clas,curtea colii, etc.);

    organizarea, sortarea, interpretarea datelor rezultate din msurri; abordare interdisciplinar (recunoaterea i utilizarea mrimii i a unitii

    de msur n alte domenii).

    6.2 Msurarea lungimilor

    n predarea-nvarea unitilor de msur pentru lungime sugerm parcurg-erea urmtoarelor secvene:

    msurarea lungimii, limii, grosimii, nlimii cu uniti nestandard:mna, cotul, creionul, pasul, guma etc.;

    apariia noiunilor antagonice: mare-mic, lung-lat, gros-subire, nalt-scund, stabilite prin comparare;

    sublinierea necesitii apariiei i folosirii unitii de msur standard- metrul, notaia folosit - m;

    34

  • utilizarea unor instrumente de msur potrivite pentru msurarea lungimii:rigla, metrul de croitorie, metrul liniar, metrul tmplarului, ruleta;

    exersarea capacitii de msurare pornind de la obiectele din clas,acas i afara colii (n practic profesorul alege acele lungimi ce pot fiexprimabile n numerele naturale pe care elevii le cunosc);

    contientizarea necesitii introducerii multiplilor i submultiplilor metru-lui pentru exprimarea mai comod a lungimilor mai mari/mai mici,notaii folosite;

    asocierea multiplilor cu mrirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de orii a submultiplilor cu micorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori(utilizarea scrii);

    formarea deprinderilor de efectuare rapid i precis a msurtorilorutiliznd multipli i submultipli ai metrului;

    transformri dintr-o unitate de msur n alt unitate de msur; rezolvri de probleme .

    6.3 Msurarea capacitii vaselor

    n predarea-nvarea unitilor de msur pentru capacitatea vaselor sug-erm parcurgerea urmtoarelor secvene:

    compararea i sortarea vaselor prin msurare direct; compararea vaselor de aceeai capacitate i form diferit; diferenierea: mult-puin; msurarea capacitii unui vas cu uniti nestandard; sublinierea necesitii introducerii unitii standard pentru capacitatea

    vaselor - litrul, notatia folosita - l;

    contientizarea necesitii introducerii multiplilor i submultiplilor litru-lui pentru exprimarea mai comod a capacitii vaselor mai mari/maimici, notaii folosite;

    asocierea multiplilor cu mrirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de orii a submultiplilor cu micorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori(utilizarea scrii);

    35

  • utilizarea unor instrumente de msur potrivite pentru msurarea ca-pacitii ntlnite n practic;

    formarea deprinderilor de efectuare rapid i precis a msurtorilorutiliznd multipli i submultipli ai litrului;

    transformri dintr-o unitate de msur n alt unitate de msur; rezolvri de probleme.

    6.4 Msurarea masei

    n predarea-nvarea unitilor de msur pentru masa corpurilor sugermparcurgerea urmtoarelor secvene:

    compararea prin mnuire direct, apariia noiunilor: mai uor-maigreu, tot att de greu;

    folosirea balanei cu brae egale n stabilirea relaiei dintre maseleobiectelor;

    compararea, sortarea i gruparea obiectelor cu aceeai mas; conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus n prti; utilizarea unitilor de msur nestandard n msurarea masei unor

    corpuri;

    sublinierea necesitii introducerii unitii principale pentru mas -kilogramul, notaia folosit (kg);

    utilizarea unor instrumente de msur potrivite pentru msurarea ma-sei: cntarul de buctrie, de baie, de la pia, balana, etc.;

    exerciii practice de msurare a masei unor obiecte; contientizarea necesitii introducerii multiplilor i submultiplilor kilo-

    gramului , notatii folosite;

    asocierea multiplilor cu mrirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de orii a submultiplilor cu micorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori(utilizarea scrii);

    formarea deprinderilor de efectuare rapid i precis a msurtorilorutiliznd multipli i submultipli ai kilogramului;

    36

  • transformri dintr-o unitate de msura n alt unitate de msur; rezolvri de probleme.

    6.5 Msurarea timpului

    n predarea-nvarea unitilor de msur pentru timp sugerm parcurgereaurmtoarelor secvene:

    predarea-nvarea mrimii timp i a unitilor de msur se facen strns legatur cu aciunile, fenomenele i evenimentele periodicecunoscute de elevi;

    se ncepe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, sptmna ,luna,anul, msurate cu ceasul i calendarul;

    timpul este ciclic i se ntelege studiind programul de activiti zilniceale elevului, ora la care face acea aciune;

    sptmna se contientizeaz prin activitile colare i de acas; luna ca unitate mai mare dect ziua i sptmna, se prezint printr-un

    proces comparativ de apreciere a activitilor desfurate ntr-o sp-tmn i ntr-o lun;

    denumirea fiecrei luni (i anotimp) se asociaz cu ordinea n an, dindata scris zilnic pe tabl;

    noiunea de an - ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o primvari alta;

    zilele lunilor (30/31/29/28) se pot nva folosind proeminenele pum-nilor;

    deceniul, secolul, mileniul; unitatea de msur standard - secunda, notatia folosita - s; multipli i submultipli, notaii folosite; utilizarea unor instrumente de msur potrivite pentru msurarea tim-

    pului: calendarul, ceasul de mn, de perete, pendula, orologiul, cronometrul,ceasul electronic, clepsidra, etc.;

    transformri dintr-o unitate de msur n alt unitate de msur;

    37

  • rezolvri de probleme.

    Activiti de nvare recomandate:

    confecionarea unui cadran de ceas; ntocmirea calendarului pe o sptmn care s cuprind denumirile

    zilelor i datele respective, pe o lun sau pe mai multe luni;

    ntocmirea calendarului pe un an sub forma de band a timpului; notarea cu consecven a datei; cunoaterea, notarea de ctre elevi a propriilor date de natere, precum

    i a datelor de natere ale frailor, prinilor;

    exprimarea vrstei lor, a prietenilor, a prinilor, etc.; msurarea i exprimarea n uniti corespunztoare a timpului necesar

    pentru a parcurge anumite distane: de acas la coal, de acas pnla cel mai apropiat magazin alimentar etc.;

    cunoaterea vrstei pe care o pot atinge unele animale (slbatice, do-mestice);

    durata vieii copacilor i pomilor fructiferi etc.; inerea evidenei n uniti de timp a activitii pe care o desfoara

    elevul ntr-o anumit perioad: ora deteptrii, ora plecrii la coal,timpul petrecut la coal etc.;

    stabilirea unui regim raional de munc i odihn cu precizarea nuniti de timp a activitilor programate;

    realizarea interdisciplinaritii matematic-comunicare (notarea n unitide timp a datelor biografice ale unor scriitori etc.);

    realizarea interdisciplinaritii matematic-istorie; evidenierea unor evenimente petrecute n viaa colectivului; formularea i rezolvarea unor probleme aplicative legate de nceputul,

    durata sau sfritul unui eveniment n cadrul unei ore etc.

    38

  • 7 Monede i bancnotePentru a aprecia corect valoarea mrfurilor i pentru a le putea cumpra,oamenii folosesc banii.

    Unitatea monetar n ara noastr (leul) i alte ri europene (euro);Activiti de nvare.

    recunoaterea valorii monedelor i a bancnotelor; efectuarea de schimburi echivalente cu monede i bancnote; efectuarea de schimburi echivalente cu sume de bani; compararea sumelor de bani.

    39