ISBN 973'30-3097'x

L.l3 600

GIASA A vlll-q

tI

Prof. univ. dr.

MrNt: ; t 'EnuL L r) t ) ( ;A IEl NATIONALE

ION CUCULESCU Prof. CONSTANTIN OTTESCUProf. OLlMPlA PQPESCU

t ,

ilfifillllllGlManual pentru clasa a Vlll-aoGEOMETRIEa.

{

III

-

EDTTURA. DIDACTTCA 5lBUCURESTI

PEDAGOGICA, R.A,

"-,-,'fi nmffJm;#pi::i"."*'AcNalul manu ll r'ptoduc€ p€ c'l din anul 196

PUNCTE, DREPTE, PTANE

I tulrcdvceta

ln clasele precetlente ne"am ocupat de stlrdiul anumitor mullimi de punr t')

"1. """ i pi" . . ' f , "-"rn numil l igur i g 'om€kice l i le+m ron'rct izat pr in dcs-rx

3:: i;ll:'"::$ff"i::$i:::',lJ J"'i: ;'*T: ni#i:&fi; iil"l'"':;;11;::i ; ; . lhr, i . ' . ; ; ; ; ; ; u;ui bstru. cum cxista o deospbire Intre forosrAric { iobiectul fotograliat.* ' l ; ;#; i ; ;

i ; .pal iu nc vom oeupa. prin abstra'r izare dc rnull i 'ni r l '

ouncte'din lum.a carp.are r€l iel" PFnlru a'Fasta lrcbutF sa pornrm oo rl

i" i i" i ' i "". irn"* : O" ta lu"*. i despre'are l t im c' insramnd' . pc (sre nu. l"

dei inim ir in sl lcle, r i , cel muh. le descricm p'nrru inlFlegere prrn 'omparA\'r,n"i ' i" l lTi ' i l" , i l" qeometria In spaliu cst€ similar cu cpl.din seomerriu in

"1"'- Nu *." - inrina'"t.-

qi nu poate I i confundat 'u o bulina'' ' - i l r i i r l l l i . ' i " '"""meri.a, o cunoasr.em din geomctria in plan Eslc " ' triarabila cu un t ir bine tntinc, presupus prelungit ori '6l" dar' sprc i leuhcl rr '

is acegta. 'n-arc qrosime. Se considerd a l i o mull ime de.puncle .l , t \ \ t L es6 comparsbil cu €uprsfal6 unpi spF lrnrFl ' te AsomoDnr{rr

este Insd loarle aproximativr6. pcntru ce apa l ini$t i ld" csle o porlr l lne o utr 'rrglob (cet lerpsl,ru). Plsnul n-are nici el grosimP. nu esle "slral_'conlrnc

orcPtF'

este o mull ime de Puncte.'-"i; ii;;;; l.t srint desenar.e un punct '4 0 dreaprd d li un plan cN.,d-' ;";"t" i ;u-; l i tera rnare, iar i" 'aptu cu o l i le; i mi 'n din olhhort ' l

lat i ir gi i lanul .u o l i tcra din alfabelul.gre'. Aressta esLe o srmpla 'onvelr\r 'de noiaiie. de la care n"e puLem uneori abat€.

\.7

r5eN 9zs-so-sosz-x

l lu! ' l t l tuN' l l :

Pnf u^t ' dr DAN I PAPUC

ilil i3$ill$"i.Xti* "" * ̂ *u;;l Tiai?1""#l;l^

.,.di.".jJ;l'HiTiliHJlt-i": ;:,$T:i"-$J' *-",TTT:h"XL ?'::i"iT'r'$t

ncdutot: PTot ALINA CARIi'IEN BIRTA

Jffi3iffiuo$o*"t"u

Aun de ti2at 12 01 1998 - - . . ̂ ..

""'"'*i*::##ffi*a

Plenul t l descnim (det i este oemArgini l . conl inend drepla' s$- currr vurtr

vede. rn* depa"t"1. printr'o.porliune a sa drepl'unghiular5' '8re in nerilfi '

tivl* va apdrca ca uo pamleiogram.AllBofl. Dentru a nu compllca llgurs' vom reprezenta' ln desFn' Illonrrl cn

P€ un ilrunglu.

A

i

lI

f ig l l

.'

t

t,t

d

lii,i,l.i -CiJ1es" o**1"

.To- "*ptio

rnt"uno ain l€cllile urndtoa'e ce se tnlelege p'in ,,?erspe(iiri'

PROPOZITII DESPRE PUNCTE, DREPTE 5I PLANI

( l , r rxrr l , r i l r rr r t ( t t \ r i l l ' l ' , d ' ln tnc' ] l )ut ' urmdtoarel ' pr( ' lx 'ai i i t :' t i , , , , ,

, t , , t , , : , , r , , ! r , . t I t l i t t tnn { ' t ' . l t tu at '

t ' l t t t l r r r '1

, t1 ) ' | ' t ! : t r t t '

l , r i r t ) r r ' , f1, , ' t r , ' - l " r ' r f i rnrdl ' r ' " mi i poate tormula r ' r ast fp l :

iii,',llii t',i,i),,' a ,,i',,i,,', " rt''"pt'1 :; uunni una'

;i::; :: ,:' ;; ,,,,.Ji""i,ji ili',11iJi"iff,f;#'"[ii"'^;'f ii ;r t , , " r l tnn, l t l ' ' surrL in ac' laEr plan

'rrlv',1i, I'rrp.zitiile I't si !!' Itau idelilrale ni in Setrnetria Plinl-",;; ,;:,,,,,, ,;: ,, i, :i

,, , :l;,:rt\,::,1::i,|::, ,;,::"u,,|;,:;tr:;;:' ** "u '"

l'r'ima porte a acesrei afirmalii s€ mai poate formula:

1: ;: ;- r,: ;, t,, * t', ",'

d :'' : \i :d,,,y,,pli',.'l.il'.i't?ii 0"", o'^"'',I ) r . i l r 'unt tu l r l este in pl 'nul 4 l I 'g , r ' '/ l Lu'apqr l ine planului d sc =

"" oon

,O

lr l r i r l , \ , , r , , lh, l t , l | r ! l , r jq i I r t | r l ru| | , | / , ,1,r , I r . r lu ( i ,1,l r , , r I t , r l , | , , r r r l | l r , , l r ( i r I s i , l r ! , t r ln ,P(/ ,Jn| i ' ] i ( , r l r i , 1, ,1,t r I Is1, , . , l r i , t r l r , ru l , in l ro s i lgL, ' , r l i l r i mi( i , f i 1,r i1; r l , ' r r , l i r r, , , ) ( l iq. 1.1).

' I ' r

r\.

r i

. / rnh d, i . . Consd inta do mi i sust) |nr i ( comun

l:t i:ti pattu tu,ttt. n.sitttut.pozi l ie, imp.eune cu Pr, nemetr ja tot in plan.

Fig. 14

nd rr , l , . , lp p\r . rpn , . ' ,1, , , r , I ,1,e ,dF n. . , , ' I

plane pa.alele Ei dc clc ne von ocdpa mai i i r i r l

in a(lusi plan (n(coplann ). Aceastn p,,,-,.scoatc ir spaliu{'!. trnr:i ea anl studia s,.,.

f ig. r .2

L, , ! t 'n, tht ! ' t f i B ln l ' , i tua! inn'n 'h '

, . r .u, t . t 4^ t i t t t t iu a ' ' t ptdn

\ r, f 'r . rus : D t,).p t u,!' t: !.; ii,t.i - d^r | | : "i ;';,,': ii!: ti,:'ylanul a, tstc Lonlin td (squ snutTIal tn I'L

Fig 1. i ,

Ili stluate ttl t ,

i

ln fiecarc plan din staliu, .ronsidcrim r(ievnrate toate pmpozitijte (.\i,,nll{, si teofcnele) ralahile in q€ometria plani. ln phrs, relaliilo dc (,.lngru,)nr,i

ti o$rrinalf ..operrazi" ;i In plane dilerite. De pikle, doud triunghiuri poli i , , ,nsi u.nle, chiar drcn nu sunl in a{r€la,si plan {bjneinlelcs aceasta jnsfrnrni i.n n n.ceptat ace€ati alinnalje pcrtru segmente Si unghiuri). T0at.c rr'Ir! i i l . h, 'n l inn:" I o, ' r , , ' , lp a."mFrae

DETERT\4INAREA PLANULUI

l ) 1,1 n. af i rmd ci : Ti t i punch nrcu{ in iaf t dd. rntLni un xn.l ) ; ' r r r .xt mot iv, une.rr i , .vom nota I j lanul care co ! , ine pul . te le .1, 11, t ,

^ 11' ) : tALL)

\ , )n, dcmc,rstra . r ; i :'2) t t t l r tpt td.r i nt Nntt &r1: nu i apar i ine dt tnnind l1/ , /1a, ( l " in , ,d, l , r -

r r i r I r r r r r 1,1, ' r r" i ' r lo l .q, ,n i c, i er is l i un I lan qi numai unul c l ' r r k, rJ,nt inr , )lnt14r l 'vr i r , t ic d !q i .1 e I ( l iq. L i ) . J ' inend s{,an,a ( l f t r ,1, ' , , , ' t , , ' f r , ' r l , , i

l r , . t ) !1, ' , , , , , rsr l , r | l , ,u:Lt ' r r , 1, . / / ts i / | tnrr l in iUr l ( l r r l r l , i . l . l ' | ' r f t l l { ,1, /1, /,1, l r ' , , , i r , ' , l | , t ) l i , ,L,1, , , , ' , ' ,1r , ' , , r , , l i , ! ' t , l r r / , t r , ' i l r , r i i i , ' t ' i , r l i ' r n l i j l a i r . r i l

I)in {oeastd ultimd propozilie re'ult6 ei un plan este nemi&init' a$ { unl

rtirmam !n Pag-rno ant'efloara'

t , , . , r , , r , , , i t , , , , , ) I i ' ' / t t t '1r t ' t t t t t mr 'ntLort t i ' t : t ! nt t t l ' r ' i r t l

' int4 rr t ' t t t t ) t ' t ' t1

( :on{t l r i r r lu: r ' " ' i l f i t t r ' ! ' !n t t { ln r ' t | ' r t t r l^

r r t ) t l r t t l ) r ' !

'Iila-lb, ,':.:.fr

--r- T

Flg l5

f i ( . , \ , lst t rhn rsl . , ur ic. Dace ar mai er ista un al t Plan, carc sd conl ind

rlrlrt,ln d fi punctul ,'l, otunci 9i punctete B ti C i-e|aparline, deci acesi plan

' ,r , ! , inr i , lo,r , pr imul phr (conform ou PJ. Uneori vom nota planul deter-

'ninrl (lc ilrcrpl.r .l ti d{r punctul ,4 astfel: {d, .4).

:l) Irfui lrtlr trt nt1 |n p nct conm dt:l mind un PIan|ic dr€ptele d, ti d', concurente in ,4 (fig. 1.6). Ludm M € d,, ,V € 4

Pun(tnle,,1, M,,ry determjnl un plan care, evident, conl ine dreplele date.

( tv+l ,N+AJ.

POZIJIILE RELATIVE ALE DREPTELOR $I AtE PTANELORIN SPATIU

POZITIILE REIAIIVE A DOUA DREP]E IN SPATIU

ili,D, rlin g€om€tria ln plan, cn doud drepte (srtuate in arelafi t)hr) ri,,latra ur) punct comun (pot f i concurente) sau pot sd nu aibi nic i un |urr ,rfon)un (sn ria paralele) (Iig. 1.8). Despre astfel de drepl.e se spunc f s,,rltafundtt lsnrt ,,situatei' in acela.si plan).

. Fi8. 1.3

ln spaliu existi lnsi ti drepte care, deti nu sunt paratele, n au ri,,i ,rpu ot comun. Ca erernplu, inchipuili,vi lncdperea din ligura 1.9. CoDsirt,,r^llmrrginea a a p€retelui pe care existd tabla $i latura, a podelei . I t inf i l l , , l ,scar trceasta nu constituie o demonstratie! Se tnc€rcem 6d demonstrdm a,r,irslr

tA

Fig 16

Dacn ar mai exista un all plan, care Ee con-tinl aoeste drepte' a' conllne I'

cele trei puncte, deci ar coincide cu primul.

D lr,fi btpte parakh determind un plan'

lie d ti g doun tu€pte paralele ;i ,4 g rl. Punotul '4 d dreapta g deter

rnin; planul c. Dacd linem seaDa de P,, afirmdm cd d $i g sunt coplanare'

f i , rPptanut lor.Darplaneledqipaucomunedreaptaggipunctul '4,decicoincid( l is. 1.7).

Fig. r .9 f is. 1.{0

N. voni fdos; de po. Fie punctele A, B, C, D nesituate in r(cln)i trtrr.(1, , ,8,( l , fnn, drcrpta d (care rrece pr in,1 9i B) qi I i t r€{rpra (col , t ro, ! .t | r ( q; I )) ( l ig. Llo), d n( - o. Dacd d t i 8 s-ar inrr ihi , t rr tns,, , ' l rx, . / .1. .1, / t , /1, / /^r l i rothnM.. l ) r ' r rwr$to 0ste conirarn ipot{ , re i . \ r ,0, , r ) , , r , , . r t , l, r , , j , ' t ' r ! i i " , r , | , '

I I I ! | M r I I I I I t ! r \ [ , r l l ! . r t j t r r r t r . | l . , r t r , t , r ,

I

$------€-

Fis. 1.{0

l i { |7

Dt ob| ' f i ! i ' I l

rh, t$lIr€nlr, Pnir|ll,uitl I,L.rrrrr l t | r , l r r l r l r l ' fn l , ' r i l l , r r r l r r r , ,nrrou l r igun' Ll l l

Il$t

ry| i . -4, , , . , D pot.u punct. . (oI tdn,r . . .n) l ' ]or I i rccsl f puncte col in iarc? Jnsl i ihal i .asptrnsul dr l .b) t in indtr le donn calc doul , .a1e dlepte se por obi ine?

(r. Dand',se patru puncie, iunt!€ c{re o.icare lrei su.i i.otinia.e. cAte dreple dqt..,li.ra le de.Atc doul d int .e eleseporduc€?{tnlccde,,sepordnce,.purelnspune,,existr , . ,d.oarece uneori nu le lom d6ena,.i nonai von deno.stra cd ele suni d€termhrr..)

p nin prt"' puncte dare, exact rrei sutrr coliniare.a) Cele pl{ne dilerite. carc si conlin{ t.ei dintre elc. necotiniare, exisld?b) Cete plane diie.itc, .9te se coniind lrei dinlre ete, €xistA? l

'4, I . icdsia,dort d.epte coplanr.e. Fi€. i un prncl apa4inand lu i d t i / r t r t rpunci aptr4i.and lui 8. Si se n.ate cd orice puncr t{, apa4inend-segslenrutui .{r, srr f l i l in phnul dcle.min.r t d. d.9i s.

6. Intr-un phn ; suni dlte puncrele distincre M,, t1,, ,lt!, Mr, M,, ]r.9i, itr airh| . r . rn pur ' , 1 Vr.

a) (lare este cel nai nic numilr de ptane, exceptand planul d, delomjnale {t. .ntrl,rei djni.e ele sl in pe siiuaiie se ohline? b) Dar ccl nai mare? c) Exisli Dxruitr.i asltel de plan€?

_ 0*. intr.un plan a suni dare 6 puncle disrincte, Mr, M,, Mi, M1,,tr:, n/. ri irl

anrra iui, un punci nt?.

.. "l 9"":"t"1 cbl mni mic numdr de d.epre, care s!-r rrercr prin cel pul .touidinl.e e1e? bl Dar ccl mai mare ntrnrr?

. -7. ln i iq ' , ra Lt3. punrtptp,4 r i R nI sunt s i t , ra lp tn ptonuld. Daci tp l ,4rnd

t i Q un punct oarecare nl ptanului a, sa se a.ale .A pA , pB > 1eA, eB

!vident,

Fig t l t

I'tobltmd r6ot(atd. Fie ,.1, B, d, , pattu puncte nesituate toate

r.ohti plan. CAte plane determine aceste patN puncte?

l t r : . l rna Fe r p ldnul d- le 'nrnJl da pun' lPlP / t , , i i '

r l ig I I2 '

r l , , , ( i nu sunl cot in iare, c l . i , daca ar I i col in i r re. 'a lunci drer l la care le

fnrtr .unl cu D, a! deiermina un plan i i dcci A, B, C, D 4t I i coplanare

nfnr, p l 'n ' , lur

d ruminF n .m ' i

p, 'n( - l D

0

. r;g. r.ri

I 'u.ctul D imp.eudl .u .1 i i .A dete.mind un Plan .r ' Ani log, lon. t t r l l ) tmpreune

fr I l s . i C t i cu , t i C. te le.mini caie un plar c, l i . rs l ) ( l iv d i l )dr i cele pattu

t ln.r . dcr. f ln ind praDel. i , { rC1, lABDt. l l t ( Dt ; i l . l t t , ) .Anr n{ i tu lea genrt i f i asl fc l r cAIe gn,! f dr '

'111. l ' fa l r r r r ' lo, r l ln l r ' p(nctele

. ,1, r l , ( , D, nurcd ior . ra, ast ie l in. i l d.un Arr l r rn r l l |$ ! r t r ' r l ' l t r ln l r 'nn ponct?

l \ r lu, l1r . tde{,hea i ,4. , r .u a t i , r r / ) , 1r I 'h l r { r r r r l l r la l , 1.{ l rDl ' I 'u lon luo

I ' ( r {h.r / / t . ( l ( rDi i obl i ! .h r?(I) r 1fr / l n ' r r l r l r t i rur l i r r i ) l t rcn Dai coDsi '

i t , { r1nl j i 8f l ,pr l . lCl)1,r o l ' l i r , , l , r l , urrr lhrrr r lF l r r rnhald 'h ' l , r r r | ' ioh / , , ' l l ' D.

nt l r r l ln l :o,hl i f f rD,,1,s l r , l t , ' | | ,hr l ln l , lnr ( t { r i ' th lnmrlnl un pl 'n ' ) , ! !mdn.

ln {hrn r . r$Jr i t ) lnn t rn s i r r i r l ' r rx ' IIn rnr. Bodrr i l , ,ur . rnr , r , , , , rn l r r r r l , , r l i r l ' r f l {v ldorr l , h Idtrr t moduri l )cf i

ot lNln t ln l l rhnf ' l l l . r '1"

\

(9y ' s. d, 'u drI t " t " par i tFtF d r i 8. SA !c aratc c i toar, drprFlF caroodnrn cu d ti unul cu s sunr conlinute tn ptanut determinar de d,i I.

, l32fDa.{ dieapia-dr esre coplana.d cD dr, iar dr este coptanard cu d!,ll d! lunt coplanarc?

l0r. Dlndtr-so aore drepte concurenre d ,r g, sa se gaseasc{ loculI t rncl . lor , l r . l , r , . ld c i r . r . st f l j i r r po 1 t i iunr pardl . l . cu g. lpr inInlor.arm rI rx nn t i rn, | .nDrrn f { , / |

I von n.rn ru . trol,h{nrl', fiflrthtlvo,

, r - , , r : rdt f

t

IJ

i

Fig. 1.13

*" , .

l l . , t l d i l o t l t l l d { l r r I 'utr{ t .4 oxlor lof o l s l N' r i lo ' i rL l htul l Fcm' l r l '

d P[nct0lor llrotrlolo. o&o Inl Prlr / fl printf-un prnol mobll l' E 'l

POZIIIILE REI.ATIVE ALE UNEI DREPTE FTAiJA DE UNTPLAN

l , ( , l r t t t 'h i I l , t ina rcmun ru un ptan doud l lun^tr '

$tinr Al,unoi cd ea €st€ ln tntregime coolinutd h acest plan (Pr)'

l , u ' ! , , t t , t , t l t r4t nxn un \nl t l t p nd romun eu un plon

Privili, de ed€mplu, liniR de interseolie a doi per€li ti plenul podelei Dar

oum acrasll obsarvalie nu est€ o demonshal,ie' sd ddm una:.

l'ie pltnul c, un Punct ,4 € d ti un punct 3 nesituat tn planul d (-B e d)'

Drrapta r!, care trece prin '{ qi B, ara nunai punctul '4 comon cu d Dac{

.r m;i svea lncd un punct C In c, ar ti coDlinutd tn lntregime ln c, ceea ce

ru .!to rdov&al: (B C a) (fig. 2.1).

1-E

, r r r t /=

Conrmlie. De multe ori, cdnd o drcap$ are un punct comun cu planul'

vom utiliza qi o exprimare mei femiliar{: drcapta ,,tnreap[" planul Vom

dercna eegmentul ,,mascdt" -de porliunea de PlaD figuratd, punct'at' ln rest

dr6.pta va ti desenatd nelntrerupf (fig. 2.2)'

Fig. 1.2

[,f'1

Yom .puno, ln too.t oez, ci dre{pttr aal,a parel6ll cu pl6nul.

. Sd ardttrm ctr 6ri!td. astl€l de drepte. Fie un plan c, o dr€aptA d continutil

'n aoe8t plan (dc c) ti u! punct,

"l nosituat In planul c \A C

") (lrl,,2.j),

A6

. Fig. 2.i

Prin,4ducem drcapta, pareleld cu a. Alirmdm cd , eBte paraleli cu planul c.Procedim prin rcducer€ la ebsurd. pr€supunem cd D ar tniepa planulin punc_tul R(, n d : {Bl). NoUm planul deteminat de dreptele paraiete a si d cu B.Piqnele a qi p au comund dreapta d. Dacd, nu e-a" afta p" o, r"'fn.".ri,ctr p ti d ar coincide! pentru c{ ar avea o dreaptd a ,i un punct g erteriorei. comune. Deci ]B. ap€rlin6nd inrersecliei cetor doui ptane, se alla pe a.Dar a.east8 e8te imposibi l . pentru.d r l i , sult paralele.

rn rond. am demonltrat prin a.€asta urmeioar€a

, Tsoremd. O irpaptd paraleld cn o dreaptd d,in plan estc pantetd cu ptanul

(lett .ontinuti! in ct ).

.- R:"tlFd d6ci, o dreaptd poate ave& retativ la un plan, una alir urmd-toarele trci poziiii:

1) se f ie conlinute tn plan;2) sI aibd un singur punct comun cu planul;3) sd lie paralell cu planul (nici un punct comun cu elj.

. lixirt{ plane carc au numai o dreaptd comund? De, sunt€m tndemnati strapun€m, privind l inia dupe cor€ se lntdlncate uD perete al clasei cu taianullDa. 3! 9i demonstrdm, Se consider5m un plan c. o dresptA dcc , i unPunat .4 C c. Dreepts d ti functtrl ?4 det€rmind un plan p, care are comun0u plenul a numai drcaptA d. lnt..adevdr., dacd p er mai avea comun cu cltotr un punct, I, nespnrlinA[rl hi d, rtunci el ar coincide cu r, d6ci / C ,,0.0. 0o oonl,!!vin. ipotor.l, ilooi rrt f.b (fig. 2.4).

A

t.

iIJtt,li"$,,

POZTI IE RE|-AT|VE A DOUA PLINE

'1 gtim din p" ce aaci doud plane au trcr puncte necoliniar€ tomune, el€ coincid.

a, O dftapti| il po.]tr sd nn aihd nici un fun.t comun cu planul \dna - al'

l0 ud*iraia,- ' , . . . , , - ryr1.

Iiq

xo

d

' Fig. , .4

Den nslrnliA proccdentd ne-a ardtat. cd existd plan€ (cum sunt d 9i p)'

r l r r f l tu nunrr i 0 drroptd oomund, al t fel spuB: se int i l r resc dupn o dreapt6.

l)ur existi olrro plonc care n'au nici un punct comun? Un exemplu ar fi

l,odcdutr 9i tavonul. Dar sd ddm !i o demonstrale.I)ent l r aceasla sd demonstr im urmiloar€a:

t ,onr i t r f" ' r .mo ajulr l .ArFl. t t t la i lotn t thpl t paratPl" o : l t b suN st!uN'.

t t t t , i t t t , . in non, i inut t i I Nn st, ntuB.ctcart dupA o bnptd . , atun(!

| ' ' t . t i rdl ld .)r f t r d f , n h.

Ii\isti, intr'ad€vir, aslfel de planer luem un puntl' C care nu-i nici pc d,

Dioi pe ,, el rletermini cu a 9i cu D respectiv planele cautate lntemeclia tor -c

ire,," p"in d !i afirmnm ci este paraleli cu , Dach drept€le D fi c n-ar fi

parnleie, riind coplanare (siluato in p), ar avea un puncl comun -D (fig 25)'

s

. f is . ,6

Drept€le d: ii d determind ur plan p. Dacd planele d ti p n ar fi trrdl,,li, ,,1evea o dreaptd comund c, cale ar ti€bui sd fie paraleh atet cu, cat fi .u .r.ceea ce ar contraziqe postulatul lui Euclid, o 9i, fiind concurente in P.

Rezumind:Doad plcne dhtinctc pol ovea &mund,t dieaptd,ri nurtar ,tdsdu pot li paralcle (sd n-Aibd niai un pun l camun). AItd sit,.alie nu t,ristit

Din demonstralia anterioard, rezultd 9i urmitoarea teoremi ultli lrl

rezoftoroa multor probfpmc: Dr.d un ptnn "onl i , : . l , t tn .1".1

taal.lc tu In dlt plan, atuhtl ide daud pldne kkri l,rraa,/r.

CATEVA TEOREME DE PARATEIISM

,- " :o:T"t , Daq"

.6 4,"oOto tdt "s( pnratptd t . , , . . t . .n tst .

cart'co^tln? atcllsti. d,re\ptd i int.'.sfttco:A plthut i;,i.;:flt, o/at dUdo it attli\8) Parcleli e d.

c

-T-Fis. 2 5

ilr"rsi(leriirn acun plarrul 'r. determinat de dreptele paralele a gi 1,. Punctul

/) nr &parline ptanului 1, deoarece aparqine dreptci ,, conlinutn in 'r (, € , c

cv=.D: ' ;LDar b:d {pnnrru.a D : .c ' r . DP. i pun. lu l , s i rhf la

L, inter"nt ia plsn" lou s i a. ( lp( i po drcal ta d Cu Alr ' ' r r \ in - nun' 'n lD nr aparline atat, dreptei a,cat qi dreptei 6. Dar acest lucru este imposib;l'

t rnr | | r . : i o Ei , sLrnl paralelc.I)urenr acum demonstra ci cxisti plane paralolo: Fie un pl,rn d, (luun

, lroplo r ] ,c i 1, ln planul d. concur€nte iD P gi un punct Q exter ior l l tnuluiI ' r i , r { l r l r r torrr drcspla d' , pnrak, l i , fu /r . l i dreapta D', pnralcl i cu , l r is 2. i i )

l?

Fig 2. t

D.montbatie. Dreptete d;i g, fiind coplanare (fic. 2.71'sunr tie parRt.te. tioconcurente. Dacd ar fi concurehte (ih ]l), ar rezulta c6 acelt punct ar aparline lidreptni d ti planului d. Da! cum d li d sunr paratele, rezulrd c6 Ei d fi r surt.paralele, .Aceastd teoremi poate fi consideratd o reciprocd a celpi rlo InpAgina 11.

Toorems 2, t )a, t i . t ,dt t l l , t l $h latat , t i i , , , . . , t ) t , ,n td) . t t , t r t t untuntt o l l l , th| l :0 | 1 , t d| ,n| n ptaldd (r \ t , t , , t p, l id l r ( t ) . a, j rst , rt l r l rn l rMt lh i , t t ( , , t l t^r t t l l , M,

IJ

d aItrirr'rla (lotrrldofilnl lln pnnor ,4

,u dr. l ) .cptol . d, t i d; dot€.mini1 rnr i , r ; l l d!) . car! i I lprsocteatA d.e{pru

Fig. t .1 l

t )o l r t l ducom pr ln.4 dferpl t r d;

)l n c, pefalol l,u dr (ponln' .rd, h punctul f { l ig. ?.10).

por0lol I

A E/_\ ,

A di \ /Figl 2.8

Dcmonstrali?. Pr€supunem, prin reducerc la absurd' ed g nu ar li conlinutdln c (fig. 2.8). Considerdm planul determinat de dNptele d 9i g, notat cu p.

Planelec ai B 6-ar tdia dupd ,. Deci, tn llanul pr prin Punctul,4 ar-trece drep-

tele g qi r, ambet€ para)ele cu d, ceea ce €sle imposibil.

Toorums 3. franzitivitat€a relaliei de paralelism. In spaliu, doud drcpte

listin(t ParaL lt: lu o a b(ia sunt PlrakLt Intr. (k.

Dcmonitralie. Decd dreptele sunt toate trei coplanare, este vorba de o

consecinle evidentd a axiomei paralelelor din,georietia ln plaD' Dacd sunt

numai doud cete aloud collanare presupunem cn d I , ti,ll c ai vom a$ta

od a ll , (tig. 2.9). Considerdrh planul B, determinat de 6 ti c, li duce ' p.int -unpunct r{ € c, o dreaptd I ll d. ConJorm ieoremei precedente, I c p. Fa{d de

f ig.2. io

Ducem p. in punctul t 'd.oapia ac.pa.alel l c i1 d, \C e 4) i dreaph AC eBr.c l r iar drerpla g cnulald. ,

Vom da, @ 3d puteli spun€ und€ est€ greteala. oFalrd denonstrutie d. unicitotc. D€ti punctul ,4 est€ arbitrar ales pe /,,

planul a peralel cu d, €sle unic. Acest plan est€ inrersectat de dreapra dr tntr-unpt|nct r, evident unic. Din postulatul lui Euclid, parat€td rC la d;, aeci ta dr,6!l€ €aidenl unicA Deci dreapla s este unic6.

Chia. decA esto adevdrat c! dreapta g $re uDic6, demonslratia d€ m6ttui l .€bui€ s.o considcram lolut i cronatd. qregesla consr i to laDtut c{ m€lodade constru. l ie lo losi le la demonstrare| er isrent€i nu Nte ! ing!ra metodA p6t.blu ti asttel demonst&rtia unicitltii a devenit dependenr[ do consrrociia aleasd.

Uniaitar.a. Conaideren, c{, ,, sprij inindu-se,. ps dr ti d,, exisu doua d&plo C,tl EP, amAndoul pamlele ou d. (Ii& 2.tt). Acesto dreple, CB qt rir, vor ii aecrparalolo lntr€ €lB, ti d€ci coplea.e. Deci ti dreapra Ct : dr ri dreapra ,,F :4 soSltolc Intr-un acelagi plan d€torminat de CB gi EF. Aceastd concluzie Inst e$rorb.rrdA, p€ntru cA In ipotelA rm pr€cizat cI d1 ti d, nu sunt coglanare.

dad3sJ

, t ig. 2.9

dr€aplu 6, dreapta I poate Ii paraleltr sau o poato intalni lntr-un punct,.

Dacd s-ar intelnihir-un punct B, a. rezulta cd prin .B se pot duce doud Paraleledistincte,, qig, la a. S-ai contrazice astlel po6tula{ul lui Euclid. Rezultl d€ci

cn drcapta g coincide cu c qi deci tranzitivitatea ette demonstratd'

Pttbbnu rp:otvatn. Se deu trei d|cptF dI d! ti.l3, attlel tncAt oricar perechs

dintre ele s[ fie necoplanaF, ti nici toate l,rei sd nu tie psra]ele ru un ncel6d

nlan. SrI rc orate c[ exist[ o rlralplil I osro 8e rsp ijin[" no dr li pe dr ti.nro rrte lrrrul" lrr (u d!. Sl * n|tr lr r i l (c|r l td

' l . tnl, t [ ort. uniol

Aco!.h €6te o d€mon.trati. d€ unicitato corecte, pentm cI tac6 abltrrcrto doa,nodul curn !.8 domongl,rat oiistgnla. No.am opril mai mulr ta comontaroa acesrotlroblom. psntru s pune tn rvidonln un tip d€ eroar€ de retionam€nt, d€lhl dod$ Int l ln l t , d{r ooro trob,r l . v l l r t ou mult l gr i jn.

At.^ti.l L, o d.'ronitrrlh (1, unloltatr, ovualt d roro.tli d.monrrrath drar l . l .nt l ,

!

b

c

ta. . r :=rr " f l tE. '

l0

|'loE LIfil t

l | | p l t r - r , r , l i l i . i l . . Demonstrdl i ( .1 ,4t l i , r rN surt pd.r lcte

6) l rq"r \ t A B. l ' atp tar ' r i , neprral . l l / , ! i lu ' r i in planul d ' 'o tn r id r r 212

r,{ V/r l lx r" nt l i in Pl 'n ' ,1 cr ' Drci ,4D c 'm. a ' - - 3 cn. ' D l t 'm"- l ru la l i

, ) t , I t i i .d lDn.( , r l unde di iapla l , in leaPl l laaul q '

Fig r .12

a. Dacr dreptcle a l l , I c , rczul l i c l suql toaie loPlan're?

r. Se dau i loun l lanc a 9i p 9i doul drepte dc€ i i ,c I Drci l 4 l l I9 i ' l l a,

tl c nu esto prraleli cu ,, sI se demonslreze cI planele 4 ii p sunt pa'alelo'

6. Fi i rd dalo pal fd pun"r nF'oPlJnAre cnrP Psle numarr l dc dr 'p le 'e sF PoL

obi inc l , inre.s. . ' i ; . doud celp doua. I p l0nelof daetmi ' rdrP d' a"sle parr ' r PUn' le?

-i. DAnilu{€ doid Plane le.alele. a.{taii ca oric€ dteaPln 'onliDutA

ln primhl

plan cslc pdfdlHlr cu Pldnul a l doi ler '

?*. Formulaii o reciprocd a p.opoztiei din lfoblems 6 ii veriricati dac{ &'ea{e

este sau tru adevirat{

s. Este oa.e sniicient ca {lour pide se fie laralele cu aceerfi itreaPui Penbu ca

sa l ie par. lPlF in l rP } le?

0. Dlndu.F doue PIanF pdrJl ' lP. o. i 'P drPJprA ' l in ! r imr i p l€; 'sp

pstJ l ' l l 'L

or i .e drraplr d,n planul a l doi l ,d?

U).Unrr iunsninBCiFnumai l iu.a A' cont inrrrA in Pl innl a ia. t - . l t l - -AR

9i Ate,4a SrdL' i l i l i pvzi l ia. l replPr M,{ srn de Plrnul a da'b: a '4M trm

,w: ro "r ,

nt t :3 cm, rvo:6 cm: b) . lM: rcm. l - { - 3 'm' MB - ' \cm'

Nr-1cm.

U, DacA un plan 6le pi.alel .u doua hiuri ale untri triunghi d''nnnsltut' cil

63te prirl€l ti-cu a lreia lrtur[ a triunghiuhi'

l ! . . Un t .apcz ABCD (AB \ l CD) a 'e nu'nai lAtura '1t 'onl inr l i l In l r_!n l l r t r '

c . I r , ) thn .c: .oni inc . l retr ip l r a l ) into$rt lco 'A l ldnr l a dtr l l o r l ru l 'U1 {gtahtlili porilia d..Ptrlor ,'l l' ii I

l6l7

POZITIILE RETATIVE A TREI PI.ANE

$t in, in o pozi l i i relst ivs se r)ol nl l , , r doud plan€. Sd veden) in cc si tutr l i ile lr t ive so pol r l la trpi planer di fer i tc doul cdte doua.

li r t:t ti tr.t t)|tt.t: .n. au a dnaptd comund Si nuna; u/ra. (f ig. 3.1). \

Sple exemplu, un dosar cu o f i ld,

I | | t r -d( levir . considernm dreapta d Si un plan N care intersecteaze dreaptn IIn pu'r f tul_P. Prin P ducem. ia planul 3, t rei drepte d, D, . , dist incte. I ) t .p-l ,el ' , l / t i . l determini planul d, , ,s i d planul 9. c Si d planut y. Iceste pl , ,n,.unt dist ;Dcte: daci ar t ; {ronfundrte, ar coinpide ou }, dar drexpta lurs 'nr ' r , , r i ' /

ru i lo . ' l l i r 'u la in 3.

l t , . t i I r " t 'on ,d\ r i un t tun4 comtn st nuna unut.

l r l r .ade(d.. in planul '

desen nm. dreptele , t i . , care trec pr in punctul , | ' .l i . / un pun{i t exter ior planului c ( l i .g.3.2). Not im dreapta,4P cu a t ,t l lnnele determ;naie de zr. , cu y t i d, c cu p. Planele d' p, y au toate l | i , r

rurutltl prrcl comun ti numai unul (p). Daei ar rsai avea unut, s-ar ajungo l0

ncluzia cd o, b, c coincid, c€ea c€ este imposibil pentru cn ,4 nu €stc conli utI f l rul a.

I I r i i lqrnrtrr vom ve(l .n . i l , s( t s i t r t i ptanl ' doft , ]dt . d.ul ,

?t i t t r r I t r t l t t ,1, ,"rn l t t i t t i t | 1, , / t (1, i , J l 'onrru rco.rslr va trobui sn r l tnnD-t i r '1r ont. ! t r t r ,or,rn. {Jr lnl0 rs,

l .o! .h l ' / ' r ' l , / , rn t , Iht t \4) , rxt t r t t ) r lnui | tun\d), t r ' t ' tn t l I l , t p lu. . . In ln , , r r t , , . i ln{ t ' tn, / , , , rsr , t i . t r , , r t , , , l f t . t , . , t iAt i , r , , . t . / j t i ( { t i , r . : t .41.f fu l , r l I ' r l r l c t r |1FFrtrr . r t I ' t , t i . i t t . t l iu ' l , ' I l t i

" t i t r j i r , . ) . t , t , l

n" l i ! . 3. v i l " t , rn, ,nr , '1, d. n , i , L. n t t l r ( . . ' sunr pornl , , l , , { r , l iFr i , , , . t , . .

Noi (1, i t r , ul I l l t tor.e{ toorernn ut i t , i l i , r to 'no,rsrral i i r '' l l , ( f r {nr i , / r , ,d 11 r ,1 t , l ,ur , \ ' : t , t " ( , r i i , n i , t , l , r r , t . , t t , I j t l

t t l t , r t l i l i t t , t ) " tn t , t , , i ! t l . t i , r , I l t " l ) t t l , t l , t t t t . t . r . , . t . , rI ) , ra h.r t i t i , . ( :u ni , lot i ih , l in t iqurr 3.5. DrFsuDUn.m f t i d B sr f , , ?

h'r ' l , , d i lur ; , , l rpsprs d. Dr(d y nu ; ' rh ia t i b" p. ar in*f ,nA , , i I ' r i ' , r , , , r iP,r I ' i , l a . ar pulFa Juce doud plone (d t i y) psralpt- ta l t , , .eeJ , .c , .stn

f ig.3.54_

/-

n l ' i ' r r , l . Dc. i .1 n p - b. I la i dcfar lp. drFpr. le a s i , sunt .opta ' rArc. D., , . ,n.rr l i parchle. ar in*mnn .r ar a '"a un pin. l .nm,rn a. r ) r ( , Ar '€r t in, t ' , ,1droplol"r d 9i , . Ar apar l inc ai ! lAnplnr d -" i i$ 3. in , r f t , n,s.rp d;Fpl ; - , r , 'r 'Bp.ct i r cun! inure. . \ r ; r .p l , rR cA a t i p nu ar f i t ,Fral" l ts. Ceoa,.p e.r , .r l .ur( l l

Tooromri . / , , . , r t r ' , t l h a . . ; . t t 4. t t , , . t , i

" t . \ , , 1.1,r , " , - .1 ,h t t . 'h, i ) : . , l . . t t at . , t . ,

- l t t . . . t . . ! , t .

" , . , , , , , t t i :a, t , t "

l r r I i r , t . , rn, ' fa,pinsadprnur,qlr , l in.drrr ,bursnrn r : ig,"r ' , , , r t aJt l . t ,1, .

l ihno.xiql i i . ,esl lat t rpzulr . , , l in I ,urFmB . lp lA t : , ! r i r r I ;

Un.,nrtrc l ; , . Cu nolar i j l . , l in l igu'a J.U, dd,, i '1. I ' i l , i , ,d sr ,nar f t r , , , i , .lo l ' . . r ' r rmbui qn,sF int i lneAF.a rr , r r un t ,ur i | 1 , ra le nr,r1 ' r r1:r in, . ,h, i l , r l , r r , ,o.lr tt'e; plane d, p fi T, ceea ce contrazice ipot€za.

Eris lcnra. Pr in pun. lul dr l !s duc doud drcpte disl incto parolnlo cu I lanul,iar Dlenul dot€.minat J€ a.€r l .€ d.eDte este.el caulatplenul doterminat de acosto dreDie este cel c6utat.

lJni,.itot?a. Sd. Dr$uDunem cd Drin ,4 irec doud Dpr$upunem cd pdn ,4 irec doud plene dttincte (p ti y)prral€l€ ou c { f iq. 3.3). El€. avdnd un pun. l comun {,4J. ou o dreaDtd comunA.Fio d ac€astd dieaplr i (d I d), ln plar iul c. .onsidcrem doud puncte. B qi C,

A

t -I ig. 3.3

e.t l€ l Incat drcapta lor Ed ru f ie paraleld cu / (alegercs aceslor puncte este. impl6: du.pm pl in B o dreapte d' a 9i punctul a t l ludm r iesi iu€r p€ d') .Punctole,4, B. C d.terminA un plan t . carc taio planele g t i y dupd dreptelecl ib lc ,BCt ib BC). Exis la doud posibi l i tet i I dreptel ; ; a i As;usd i ietnprolungire. sau di fer i te. DacA ar fr In pre)ungire. otun. i €r spsr l ina ambelorplsne (p t i y) f i deci 3-ar conlulda cu d, .cea ce cste imposibi l intru.dl , pr inconrtruol ie, d nu estc psroleld cu Ba. Da.A, t i . ar f i drfer i tc, plc treb; ind!A fi6 paralelo cu Bd, s-ar contrazic€ postulatut lui Euclid. Unicitatea este d€cid6monBtratC.

Tooromtr. / raa; pron, tJ ist in. , , I paral , l , .u nn dt t r . i a plon (4ir t tnt t d.,1, ) sunt t , t .n l , l t intr , t l t .

Fie a , p 9i p l ly. Dsrd d 9i y n-ar l i paraleh, ar tDscmna .6 su ccl put iDun punct B comrln. Or. pr in B trece uo singur plan paralel cu p, ar insemnAcdct iTnuar l i d| ! l in. le. Dpcj s-ar.ontrazi .c prcsupunerFa ra d Si . r sunldBtincte. AceaBld lporemd ne demonstreazA impl i . i t .d cxi( td trP| planpl)ArAlplp (carcn.au. dor '6.dle doua. ni . i un pun.t .omun) Dar sd.onstruim€f€ct iv trei Dlane disl incte Daralclc Intrp ele.

/4

dr ig.3.{

l8

trlt, I a

lc

Ptolr,!:ltt li

l . l )ouI df t 'p le par.r le le cu acelat i phn sur l t r fdI , rn l l prrr l , , lo ln l f re ld?

! , Se di t r dou. l d.epte necoplenare c r i , t i un l ) nct ar . sI s. ducA pr ln C o dreaplrcoplanarl alal cu 4 cAl ti cu ,.

S. Dacn d.eplele d i i Rsunl .pnralelei isesie paralc le cu plenul a, atuncigidNapla deste pa.al€le cu planui a tsau continul{ t[ er].

4. DacIpat.u puncle.r, r, C, D sunt ne.oplana.e, segmenlele,4t, rC, CD, r,:1abd-tuiesc .eea ce se cheemi un palrulale. stramb; .1C ai tD sunt diasonalelc lui. Dace seinlersecleazi lalrile sale cu un plan prElel cu o di.gonaU. se s€ slabileas.n natun poligonului convex cu vd.lurile ln aceste puncte de inteBeclie.

6 ' ! . Dar; r lou, drplp pnralele a. i 6 sunr l l ia 'e de un plan r1. i€bi l . in punclc le, , l .r€sp€chv t, sil se 8tu€asce locul geometdc at mijlocuhi seSmentuhi /a_

0. DouI plane nepa.alele 4 9i p slnt iliai€ de un al treile, plan y. tn ce condiliidreptele a=,ny f i r :pOy suni pr .a le le?

7*. Daca d ti I srnt dou{ dfeple necoplRnare, atunci existe un llan ti trumfli urul.' m.e se contiDA ne d ti sa lie paralel cn I.

8+. $l im .1 un pran la ia doua prdne pardlele dupA doud dFpte larshlo. Ford' , ld l l o'reiprocr ii cercelati dac{ ea este adevlrala.

9. Doul t r iunshiuf l ABC t i A.D du ls lur i lp. lA t i ,4D .onl iDurp in_run pl ln '(C € d). Fie ]r € .1C, asuel ca .lnt = MC. Paml€la p.in M la ,4t inlersecteazl dreapta

,c tn punctll ,T. Paralela !.in ,V la,4D intesecieazd d.eapla CD ln pnn.tul P.Stabiliti ?ozi9ia planelor l.rtD) li (,ltvP).

10. Se dru trei plane paElele d, F, y ti luncielc /. A in pla;nl a, iat C, L idplanul p. D.epl€le,4C, ,C, tD, ,4, laie pland T in pmctele t, ,F', C, l{. M se a.a1e

. cA ligum ,',t'Clt este un paralelogEln.

tl. Iie,4, a. C, D palru purcle necoplana.e 9i ,rlt. rv. P- Q, A. S, mijloa.ele seg-menteto.,{8, DC, QD, DA, AC,,BD (ln aceast[ ord'n6). SI s€ eale cn:

a) M.v"Q esle panlelosram:br ItF PS eslp paEl"logmm:c) rY.RQd esl€ laralelogram id) dreltete MP, .VQ ri 1RJ shni coD.urente.

l ! . Fi ' palru pun,re ne.oplsnarp A. A: C. D t i , [ t . jy . P. Q mi j loalc le Fsp.ct ivpal€ sp*mFnlplor ia.8r. aD. D4. Ar l r i l i c i t t . lY. P.Qsuni .oplaDa!. .

In1

ALTE IEOREME DE PARAI-ELISM

l , SrBorotr ic lsralelo lntro Dltno l&.r l0l0*, I )onr i planr pft tnl l t l , t t . t r rr , l

l ) t l ' ) r t , t t , t ) t , t ,d\rhl t , I ) t tut t l t t t , | \ t t t ,1 i i r , l f ; intnt t tonlnr t t

b,xt ,at t rdt ; , l ' lan6le parJl€lF sunr r ) i B. JrplFl i p0r. , l I sU, | , / : i( l iB. 4.1). I ' lanul (d, g) intersecteaze pe a qi pe B dupd doud drepio l , , ' . l l l f l , ,

lA ll ti DC). Rezultd ci patrulaterul ABCD est e paratelogrdm, de0i ,C = ,4 r.

Drru)nsrdlic. Fie a. p qi 1tr€i plane paral€le, distincte doud cetc dour',

ll lio dr $i d! doue drepte distinste, care taie cele trei plane ln punctctc ,4r,8r, dr respectiv Ar, Bt C' (tjg. 4.2]'.

At

N-K^\ /4'c{

l. Toorems lui Thalcs ir sp{tiu. ,li/ai nutlte plane |aml.l. ddnntni I,dh t l tu r aart . . l t r . ntu Ic int t 'Jt-na.d p. atst?a, s gmcnt( t tst t t t t r ! )pl

Fig 4.r

d,'dz\ ,o,

1 ln, ,v!y'

/t & u,/ 7v,,/z ,i

q+l . ,

I f ig. t . ,

liL Doua !hne, fiecalc dintre ele paratel cn doln drepie collanare,sunt parilclo lrir.eb? Adeugati o coadilie tn €nunt pentru ca el.sA ilevid ati.nati!.

14+. Se daD dreplele d pdmkh cu D fi.r nepa.ateh cu ele ti n.copl xrl u! ici uor

\ dinlre €le. Punctul,4 pa.curge dreapla .. Planel. d.lerminalc do a ti ,,{ fl do ,91 ,1 !.laio dDpA o dreapu d. Allafi ldi,l goirn.tric ol pnnclclor drlllol I

Ducem prin .4, rJ porslolA di la droapta dr ti fio 8! ti a'r Inl,it..oliilo

drr.ploi d' cu pfenele tJ t i ' t . .Astfel, tn t.iunghiul ,4,CrC$ scgmentul 8,8! este paralel cu ara! li put€fn

lcrie deci:

&e" :.*!:-. Rezultd: i4 - -4- .B2C' t B'C' A"B" B"C"

P6 s6 !t!z : Nz .Insd ,4rB! = A\& gi B'C'= BrCr Aezr A,B, B,ct

obrNatic. ln enunlul leoFmei aB vorbi|ddpre .:mai bullF Planc poml.le_ li nu

desprc tEi plane ata cum apare ln demonstratie Daca am avea doe doue platr€' atunoi

ratofltrt 1'B'

nu am avca cri cine sei comparam Dsc{ sm av€a moi mult de'lt lFi' A,R,

plane paralele. am oblin€ un 9ir dB rapoarte egale {nuiolrul d€ rapoafte fiind egal cu num6'

rul llanelor micFrat cu l).

3, ttryhiuri eu laturitt tcspcctit pa*1.6 Fie + fry !i * c'O'y' doud un-ghiuri necqplaDarc, cu laturile r€spectiY paralele Oa ll O'r' qiog I O'9 ti astfel

ir.rrcer O^ O'r' sd lio in acelaqi semiplan deterfoinat de dr€dpta OO" lA fel tiOv ltt O'!'- Sd demon8trdm cd tr rO! = + r'O'g' \1i9.4.41.

nic

Vom lua pe laturile pat&l€le segment€le O,{ =O'A'\OA:a) liOB=O'B'(OB-b). AfilBdm c[ iriurghiurile OAB 9i O'A'B' snnl coa'

gnrento. lirtr-adevdr, Patrulaterul AOO'A' este peralelogmm' a\e d le-

turile O,4 ti O',4' paralele ti conguente. La fel ti BOO'B' este pamlelogrem'

De aici rezultd cd gi.4BB'.4' este paralelogram, aYand doud 1a!ud,4,4' ti ,8'paralele 9i coilguente. ReLnlldc\

^,OAB= AO'A'B' (avend hturilo rftpectiv

congnrent€), degi + AOB = + A'O'B' !i propozilie este demonstrattr

Dacd numai o pereche dinirs laturile paralele ss all[ ln 8€miplane diforito

latd de OO' se demonstreazd utor cd unghiurile sunl .uplomentar€ (lig. 4 5).

& l i rLur i t , : t .sptt t i t patun,t ,1: t ; i t \ , , . .1 ;

tl lR , i 5

looromd. rrril. atriuri

TBOBLf,Mf, 4

l. tn fiSura a-6, planele c, p, T Nnt pa. ete Ei /C,..4C sunl dout seqmtc.0l A'A'- 5 ch, B'C' : x cm ri AC

- 12 cm. calculaii,4.a si tC.

$l i i ! ,1

i

L?; ,

i

l ' ig .4.6

0'IL.4

. t

.F. d l o drcaprd d s i xn pun.t , . t , er tpr ior p i . Se .onsi i tpr i m,r t l imea pldn. lor qro

It.r trlfl ,{ aisur nqll|lrla .D d. s.l $ srsio .t acesre planc au o dFApta .om,rnr.1. . th FlAnul d r id.p.prs d c. Dard,4 psr.urgF d r i t psl . DUn. lut c,rrpni ,n! , , r rr or l .d por i l i . ' ln d. .nm estc to.ul geomfr. i . s l mi j to.utui spsmcntului ,4 t /?4.. s. d$r douA drepl. r&oncurcnle tn sprliu, d 9i g. Crrc csre locul r{cornetri! rltoulr l i i ' fnr , ! lu l { , i . / - { i nnde .D e d. C e s, c jnd: a) d lg i b l dt is sunr nccoDl in i i i , .

J.1 Ar'dlrai l,n,l,l, ma ,tn.n ir ro. dc dFptelc d ti g s. dau s,.Fm*nrrto ,.1/ ii /V:

Anl l t r t , t ' \ / t , t r r 'n l ,hnnr rr P0a lr.,monit.0li otl dscil pntnr droprc na.alole determjnd, prj trn plon dtrt, vtrru.ir.p|rnl"lo{nrm, trltrnrid.lnrminil te orice plan mr. lc r,ri. llrtrtritc unnj Dftrlrrocnrnr.

t, ArAl ll .il iltrrl d.tril dfl)ro con,xrreDlo s. jntiBe.l.Ari cn donil Dhn. Dtrn,r.l,,llnolnl...li ,, tl riit'o.tiv C. D. lxrt.t Inc{t palrutoLor l .4 rcr) ![ fio in(f,itubit,| | l r . f r t r . . ln lb, ln ' r tnr Ih l , t tn rrnDr ' , t . , r ( r \ .

L D r ' i l ' lNr i thr . I , i r . , t i , tc , t i rn int l r p. dunn hnnrr r*m.nr. .ons.r .nrr , n.qtr

r l i runl tdr . l , l . / . ln.r I l , t r l l r t4runr{ l r l t r t .Putsm dsci afirma:

22 ' l l

\

pc s.sssntDl ''t-B ora rnc6l i;:3

\*

Iisurd descrie c cend ,4 ti t paNurg 4 ti

1l'. Linin tr6nls tncl'iod '1'CD €ste

t.iate rle Dlanul 0 In punrtele 'U. lV, P Q

lM e AB, NeaC. PecD. QeDAIDucanil prin ,4, ,, C.

' rcspeolie plaDels d'

S. v. t pamlele .u 0 li apoi o dr€aPld d cars

iri" *"st" Pta"" \n A', A C" D" a^ *

dovede$c{ releiie

AM -BN.CP.u!

, rMB NC PIJ QA

(Veri liglra a7)

,",?;'#!;;,"o:::^o;::,::,',';"0"i::::'t';,:;,:x:::;:,1"':;i;:;::;?'i;'Jl',

PERPENDICULARITAIE IN SPATIU ,

Drepte PerPendiculore

gt im .c nsea mna 9-,..* J"i,:l,l::1"fi ,J":l'lii;'l"TTl :li:;"," "r"""'5':.1"i""1fi l:rfl,.i;::iJ"#'ff f ;*lill jr:,ilIJTj";r;"il1; ffjll*ru ?truxll* tt *'""'

pararcrc ard n

Drcopto perpendlculord pe un pton

l ' !n lru a expl ica aceasrd nol iutro vr l i r r cdqta sd ardtd { ,r ' t j ( lAn(tu, i r . ot lm[!14 a gi un punct 4 = 4, exist i i u l | t )hl | d care sd trerci pr in tunctul ,1,

^r l fol Inoi \ t or ic€ dr€apt{ o acestui plon sd f ie p€rpendiculard pe drel t l r a.

Vom corsidera doud p)an€ p t i . r , care conl in dreapta a, t i vom du(x' t , rl$r ' r ro ( l in ele doud drept€ D (bcp) 9i c(ccy), perpendicular€ ln, l l ) , rdr$r l ' l . r 4. Planul determinat de drept€le r 9i c este cel cdutar ( f ig.5.2),

f18. 5 2 Ir ig.5.3

Von domonsra acest fapt. Pentru dreptele din d paratele cu It sau cu .,14 nvld6nl, unghiurile lor cu a liind chiar unghiurile drepte ..{1 6au /, ,ti'r

fl|r|r. 5,ii.' 0l d0tnonstrdm ac€st lucru pentru o drcaptd oarecare dC d, care nu rst(.

1 prrrh, la,^, nic i una din dr€ptele D si c ( l ig. 5.3).

d l)rlrtnr llrin ,,1 o paraleld d' la ac€astd dreaptd. Se aratd utor ci €a fsrf

, 0(,rllhut( ln plnnul a.I .{lngnrn o Altd drcepti tn planul a, care nu trece prin ,{ gi carc tai€ {ln,f

hh l], |', .r' In D, C, F. Putem pr€supune cn I se afli lntre B qi t.

I Inf l lh po a do d puncte E , i E, de o parte t i de al ta a lui .4, ata incr ir

, an | ^ l:.

Av$m t/ l = L'8, | :C =.8'C, din perechi le de tr iunghiur i dieptunghi(x,C0nlru0rl to

' ,4 r , L ' l l B qi EAC, E AC \f ig. 5.4),

Fi8. 5 t

.P

l"Ilb

!b 5. .

A vAzut mai suB {)i (lrr.it nctru{!8 se inlitn\)lit rclrrtiv lt rrn purrrrt' P'

^r, , ' ' " , i ' , , , ' i , 'q i l r rr : ru *ro vnl lbi l

'1t l " t iv lA or ioo pn'r(r t din 8t" ' l iu

* i , ,&. . .ad**" , .

l ) ( r i r r iu ' rghiur in / t / t / ' r , i t 'B(" sunt r !ngrue te (au toate l l ' l r r r i l i ' r6rpso'

t iv congruenle) 9i dedufr! 'n d +l)9C = rE nC'

Ace,istc perrnite sa atirmdm ci triunghi rilo t'F li t'Biq sunt congruenis

tuu dour taiu"i qi ungtriul cup ns intre ela respl:ctiv oonsru:n]'e) l:iut-ta)rfr ='AC

"atu'"*"ghiul E-i'E' este isoscel; in el' mediena 'F4 va filnel

lime, cees ce .eFezintd coneluzia doritii d' L d' adicd d I 4'

Printr-un pur],.t A aI unei dreptc @ tece deci un plqn astf?l tncdt oti'ce dicaPtd

conlinutd in a;e plan sd, fie perpendiculord pe ib'llpto a'

N€ Dun€m acum urmdioarea problgmd: Printr'url punct exierror uner

dre;te,;e poate duce un plan €arc si aibd toate dreptele' con!'inute in el' per-

pendi.ulare pe dreaPts iDi l ia ldl' R*"r*; l cslF af i rmativ. Presupunem dats dreaPta a 9i punctul A

exl,erior €i (fig. 5 5),

lD Dlahul determinat dF drcapta d qi dc pun'tul '4 dumm dtealta l ts

perp.nrt iculora pp drcapla a {B a d) lntr-un plan care 'onlrnp p' d oar

i",i l i i"ri a"-ot""'to. et. aai"e' din I o perP?ndic'rlaru 6 p: :

Dl:pI:

,48 t i b del,crmind I 'n plsn care lndcpl inel t" 'onform nclor €ratsre mar suB'

"""aiiiirr """"", trecdnd prin B € o ti oonlinend doud drepl'e ncparalere

perpendinulare Pe a.

Vom demonstra acum urmtrtoarea

Teorcmd. ni , / . nn 1,4n4 , t r tor M,11 l lan s ' root ' ' ! " ' " l ' t1 l

.6i!#;:i:ilt. ii: i';3,1,1i';'l*#.""1ffii'li l'lil' li'i'" dl ei,', doui,drepte neparalele conlinute ln planul 4 (fig 5.6).

Ducem p n punctul / .Planul pr care se aibd toate drcplelt, oontinut{)

in el, perpendicularc pe d1. Ducern-prin ,'l planul P, care si llil'i l('rl. rlr(rl'L0lf'

oonlinute tn el, perpendiculare pe d!. Planele pr si pz, avend un p n(rl rx)trrun '4,ou o dreaptn comun[ d, care este perpendicu]arii' doci, qi po d' 4i po dr'

Oum dr 9i d, nu s nt parnl( le, urmorrA cd drol lpto o rr to pc' l$tr( l t ' rulut l P0ori ix, r l r (nptd R t l rrotrhi E.

Fi8.5.6

Putom da deoi urmdtoarea:

, D.llnlrlo- Nmnim d,reaptd perpend.icutard. pe un plano rlreapri pc.trnt,

krtl f bud dftpte neparelele con!;nute tn a,c(.l pta;.Dln 0olo demonstrst€ anterior rqzul(tr cd:.O

ttrnptd pprp.ndi.ulard ppun ptan cstp p"r?,ndi. otu p...nr, . .n r l nulr i .

r|qtj[lmr. Dintr un punit M se lnate d.u(. pt un ptan d, a lrry ,i.L,.

_-,Donon*ra1ie. rdzrl L punctut , ' l t aporl ine planului c. Sd presupun.m,

,t lnrbrurd. ce prin punerul I t am pul€a duce JourC perp.ndicufaro a, 9i a,ta Ithnul a. Dreptele dr ti d, ar determina un ptan p. i'ie a areapta de'interlt0lh n plan€lor d t i p.. Dreprcle d: t i d,. prcsupusc parpcndicutsre pe planul c..f l | ,oocr, perpendinulare f i pe dreapta d c d (t ig.5.?r.

.. . , P:obh." devine.o problcm6 de qcometri€ tn ftan: In plsnul B, in punr.-

!: t l , t , r-al putFA ducp doua perpcndiculare Jn a.est pu;cr pe dreapra d.

O,t, ro6rt lucru csre imporibit. Deci rctal ia dr * d, e;tc absurdd. R;zutt l l! | prin.punctul M. al planului c. sp poste duce pF accsta o p€rpendiculsrtrl l numtrl una.

, a, 'd!| , I9. Punftul M E a. prcsupunen cA am putca duce prin puDctul ,41

orophlo dr qi d! perppndicutarc pc ptenut c (t ig. S.8). Fic ,{ 9i B picioarelol0.rlo. p€r'perdioulare. Ar urma cd triunghiul /MB ar avea dou[ unghiuridmlio, oeoa oo esto Rbsurd.

t ' ig.5.5

,'r.- -

,..;drfltrrcrl6 l - f l4, ' ,7,

' looforfr [ , / , f . r / ] , ' , , r , , r t i t n l purt ! t l t ) t t l t ' l t t l t ' r t t l t t t r t '

L r t | t l t t l t t d.st rut t l ry ' I i u l t t l t lnt tst t t tst t l ta ut

att6tn l l r&l l i i $ i tur ' nt ' t l in put l t t t t t I

Dtnonso.ali.. Fie c planul perpeodiculal P€ d tn pumtul

[ . l l . , , l r ( ]xn l . l t rngl , j { l r (p lhtrghr i : l 1 '0.) , p0,4tr .n ht t r r i1*, .o i r t . r t , ! l r ( t^ I , t .r fnthhr l /nMly, \MN t .14ucj) . srr l ) i r i l i t )o, l lh dnTt. i . r . , t r l i rh l rhnul ( . . l1Jl t l

0r. $ so detorminc locDl g€ometricj trr sprrriu, at punc:elcr .gat dcpdrtdre d. do rrPutrc lo diBl incte / t i A dab.

t.. So dau trei prncte ne.oliniam. S{ se debonsrrcze cd locur geomer.i. al ptrnflft,,.dhr.Dnlir, c,adl d€pa.hte de cete iFi puqcr€.€3r€ o dreapLi.

t. Si5 il0u palru puncle necoplanaN. Sd se demonslreze ce exisll un pDDcr egal d.t)tf.trt (h {1. fi sA se determine acesi pnnct.

f r ) r , "pr"""r l r iunshiului lBc,cu,r8:7.m,sedtrcpe.pend,cularere, , t , { , : , . . r rff tr' - , cm. Da.A A'C = B'C, A,C : j y'i cm, atamlr ca riunshnrl /rc csre ..hihtifirl

, , : " , l t i r ,pt

,4 (fig. 5.9).

II ,j

Fig 59

Orjce dreapte din c este pe'pendiculard pe d ln pa 'ioular' toete cele

l. Se dau detlele paulele d,,, tiiun puncto, nesittat pe ele' Du@m din o!e'p-en'

dicula.ere Ol, oA, oc rcspectiv !e 4, D, ' lA e d' B e b' c e tl Suni d'eptele o'4' o''

OC .oplantre? a

!. S€ dau punctule ,,{ ti a Prin '1 fec dreptele a' d" ""'

iaiprln B trec 'lrcptele

D'

o'. I p-p"roi,l,* r1i conc"rente reqrectir ctr primele' \t C' C" C' sA se amte cA

"-'UO "" O*" O, asr.lel h.at segmentele OA

- oA = OC = OC' = OQ'

8. O d.eapl[ d este pe.p€n{ticula$ pe planut d Doud drepie a ii } sunl @lcu'enro 9i

pe.ntele cu d. Esie d.eipta d Perpendicula'I !e Planul lor?

l , l r r leoa r ioa aour arcple p€r londiculare Ut lp ldra f t oo' l ino dn{t) lu 0 '1 qir to

tcr i lo i ( lnrrhr lo Olr h ioN(l fMi1 ur ul ! p lan p ( lut) i (hr l l r / s l {b i l i l i dtr{ id d 'opl ' le

0ll Si { {unl J!0rl{rll' trlrfir

P. phnul rriunghiului ,4rlil0n0l \r,! tltft|cl lncat RD, = ABt rilhhrl /arC osle echilatcrat.

se.idice perpendicDlara In ,. Pe aceasta se ir trn= ACIAB: z) . Dacd

' 'C: .y ' r l a.{ tnt i , , r

,ore l rc, pr in 4 9i :unt conl inulc in d'

l"""opunu- ce a" e*i"tt,t,t punct 'lt e d, aBtfel incat.drcaptla 'rU'{ '- D

qi I -L { t , 'deci , c i ar existe o dr€aprd '

( ' Idt i ' C dl9iAeb '

Fie planul (d, D), care ar tlia d dupa drcapta c' Pentru oi d ld 9i cc"d' .

u"."roi t , oa d-Lc. Deci, ln planul (d,6), ar rezulta cd s€ pot duce doud

drepte b ;i c perpendiculare intr-un punct '{ pe aceeaqi dreaptd d' eeea !e

esi ,e imposibi l .

llr,, thr trlun8hi d.eptunShic vafiabil .4rC, cu unghnn ,4: 90.. llre vartu.it, nfl I flrtt fl crleta .,lC de lungime constanu. Clre esre locul seoDerrid . vdrlului ( ?

la. . ln l ! .un pDnd 4,alunuic?fcdr mnlruO, sp duc? pr.p.ndirulara pe pt , ,nul . r rAlul D, orm !€ la un pur.r ,4 ss ' rer in.6r q,4 ' - s m. I t l , ind , .a dshn{1 . lo . , r In

, , .l .f .6 olle rara ce.cului;

U lo.ul Soom€tric al lui ,U, mijto{ul lui .1,q card I desc.ie c€rcut.

la. 8rr ts 8d!6asce locul gconeiric al pDn.retor din Jpatiu egal d€perh|e de punct.t(,$l oaro,

la'. A{ r. Fdsoscd tocul geonetric al punclelo. din spaliu egal depArtale de ve.nrir,I tllr.l.

l& lrr cr onr i. poate dtrce printFo d.eaptd q, da1e, un ptan perpen.ticnlar peoaltrd. l i l Dt

la, Fl m it.monllrer€ .{ da.d douA dreple dr ti d, sunr le.p€ndicutare, a{rtr st ri.ln .col.fl phn, looto drept€le care tnulnesc pe d, ii sunr lerpendicutao pe d, s,rtlr tn N.fhtl plon.

lt, llr(pt{,lu l, tl dr liind dale, tn c€ caz exisrr un tla. am rnnlino pe dr !i Nlo

l|r Drol 'ln'rttr

d, c{m l.ux'prin p rctul I ol ptanutri c, nu olto porpondicurdrl

PBOBI,EME 6

2u

rhnxt l or l r l i l o drutrpl l . r . , i ( ' | | l ln l l t [ t r r r , ! inunruiuna, p. l0ond i r l t r r { t [ ,4 po d

Teoremo celor trol perpendiculqrc

i ) . ' t ) t l t d l td ' i ' ! ' t ' r l , t t ' t i ' l l r t t i t t t i tdt a s i p in pic ion ei l recr

.o

, , , , , , , , ,1 ' , , r , , ,0 in Vlat t ' prr l tnt i i " l " ' I l ' " 'L! t ' i ( l r ta l tdb cot t l in ntn

, , . ,1"t t t f , t r r ,nr ' p" l 1 ' ' t t t r ' id r ' p ldn' r"

' : t l ' , l ' r d"^t 1 ' '1-nai ' " tn ' ' tJ th ! ' tL t tP' \J ic td 'd p ' u

' . . t , L l t r t )u l ' .

Dnfinstra.lie. Se d{ d I d' ac c' b c c-' a } '

ti se cere BI s€ arat€ c'

, t i it'g. o.il. Dreapia D, fiind conlinutd in planul 4' erte perpendiculare

l,"-a. ;;:;;.;; t*;ndiouhrn ei pe a, tleci d este perpendiculard pe planul

(letcrninat de a qi d. Este' prrn urmarer perpendicular[ Pe orice- drca?tf,

",,"it"iiu,. **r'n*. (4, d) cum drcapia c are doud puncte (n4 !i P)tn

,,,"", O*t, deci ;ste conlinut'l in el' rezultd cd dreapta 6 est€ p€rpeq'

dioularl Pe c.

Fig 6l F* 62

Altd denr!)nstralie (notaiiil€ liind oele diD ligurs 6'2 9i literele mici r€pre-

,entdnal, il€ ilata sceaste, mdsurile s€gmentelor 9i nu dr€ptele)'

Luem pe a treia perpendicular{ un punci i gf : D 'i'

aplcand teolema

lui Pitagora' ln triunghiurile M/\PJ /Pt ti MAT' a\emi

d' - c' ' ari ez: a2+b2\ f : d'+ e'.

(rnde f: MI, e : ,4 ?). lntocuim, in a treia relal ie' po d' din | lr inrn rohli ' r

. t , ' , ,1 , t ' " "

d"utr rc la l i " t i " l ' l in""r I cr- a1 l ' ' | / , isn ' r f ' r l , '

i , " , , " , " ' r , , , , ' lN' l r " ' i lu i l ' r r r {"rn ro 'u l t l (0 { Lt '1 - l '0"

Reclproce ole teoremel celor tr€l pr.pendiculore

Ni ee paro mai rirnplu sd le forrnuldn f('loBind direcl figura.

l ) 56 ddu '1 | d. a.- d, hc a, . L , .So coro a L { l ig: 6.3).

D?Dpnstalic, Dreapta, este p€rpendiculgrd pe planul triunghiului ,4/,4 /'prnlru cd este perpendiculard pe doud drcpte coDcurente din acest plan (t(! d

ll lo .). Dar a Qste conlinutd tn planul triungiiului ,f.4P. Rezulta c[ ,I a.

rig. 6.3

l) 8o r fou d L a, i Lt , o - t l . ace. rc ' 5s 3s16 ,1 I .

I)rnurn$nalic. Dr€apta 6 est€ perpendiculare pe planul tdunghiului ,t/,1 /, ,llhtrl porpqndicularl pe c gi pe d. Deci, este perpendiculari qi pe d, car€ osl.etonlhrut[ In planul lui,44P,4, avend doud puncte (,U ii,{) in Acest plan. I)r(il j - l , l ) in ipotezi d-L a, d.ect dLd (pentru cd c conline atet pe a c, i tll l'0 ,, conourente in P).

,Nt f/lir.. Incercati sd denonstrali una din aceste reciproce al€ teoremeildor troi porpendiculare 6i prin reciproca teoremei lui Pitagora.

htntnlnru. run s..onsltuir l t , perp"ndiculara dintr-un pun.t pc un plan.

leloird lconna ctlor tni popcndi(ularc2 Lnem o dreaptd D ln planul c. Irixlnrtlnlonrl /'ul porpondicularei din ,4t pe D. Ducem apoi, ln planut d, perpen-l loulnra a trr / ' p0 dr€dpla , (f iq. 6.4,. '

Conridrlrilm lorpendiculara din ,l1 pe d (duse tn planul d€terminat de ,tf

I r). A,uu"Lu .Fl.r.( lr€dptd clutatd (,rL4).

/11tl

nr (1

' , €*-I-an,

AI 'U)y 'P

Fig. 6.1

i

l lh. f r rn l t ' . , \ f , : l In, f , l , r . r r r urr l ' r r '1r ' l ! r r f r l r l io fonslrrr ' l i r r r r l r iL rrr r t ' ! rp 'nd'

rr l r r i t ! t r t , l , rL l i r r r Ltr l r r r , l ! \ l r r i t { f r r ' | l ( rvr I r r l f t t " l i i ( l f l l r i r l i r r ' l r r r r ' " 'n" , r" l , j l , * , " i nu'nr i , ! , L \ I r I I i i '

| | | u i l ) | r r r ! r ' r r i r r ) f i r r l r r r r r ldncl t i o r l f r i r l l i i dr ln '

! , 'nr rc i ter . t . r r f , rs l , i ,o, ,srnlr |o s. \ , r r r I r f l r r r l iL i ln mtr l le prolr led' de cr ldul

l)t t. apar doud teorott( rcciL)r')( l4 t't'r' n 'thr

trci popendicularc?

I ' , n1ru ! i ipotcza esle formati din doui i prt l r rz i l i i 'q i

am vdzut ' in clasa

o Vl t r , cA, int . o asi fel dc si tual ie ' pol apire& ( lour i Icc 'Proce

f r r ' . f { ! d{ l o , ln ' { t ' ln l ix l / i l , , r r , , ,n, I l l r A lA G t l ) . Utr th! rbobl l . cor l ln.drrnlr d. l ) i i ?,1 drr |mr tD.trrd i r rhnr , ,1 , , t r phnul r l r ,€.) S{ oon, l

n, rl r. trrDlo .il P .lo*.ri( o .rrbn roplulrrl1i!l rl & l.il{ns:U lotul gEom{tric al I'undului P ln sptrtir.

l l . I 'n, a) ntr t {nol t r r l .nnl l f i lnthiului , { tc l i , t rn punrt pe p$pon. l i , r ,hn, ln / /nn |l|!.r|l thtr. lil ia amrc cl lac,l lD I tA rlunci /., s€ nlli pe inriltim.| din ,4 tr tri-rrrrft lului,4rru.

ll. Flo |{ o dminrl troui bnrnFhi etc. t,e perpcndiortara i, lJIt, p9 ptannt ,4ta,} ffr nn trtrn(l qrore rrt. rri !€ a|{le.aT dact A'. B', C'srnt picidrruk perpenrlnxrh-ttfor dln ,tt nriocfiv po DC, Ac ii AR, nl\n.i AA', Dtt tt CC' s\nt lnrlllimib triur.t lrhrhl , trc,

ll., fl.,{ $n Durcl al utri tlsn det d $id, s douii dreple concurenle h ]/ ll, y' ,4|lnlhl|l|" l|| .. l'o per!€ndiculam ln.t p. ptanul a sa is un punct I, din @rc se du,

tl|f,dlt$Ltih t l ti ,O, .espectiv pe d ti r lD e d, C e gl. Se se amte c{ patruhrrf,ola{ latlltlL rr' /. C. r.Gste in$riplibil-

t '' i l| ?lonr p..prndtcilorc

th un plon a f o dreaptd d perp€Ddiculerd pe €l (fi8. 7.1). Els au un punct'"'lCtlun ,1. (Alirmalia ost4 evid€nttr: daca d nu er lnlepa planul tn ,4, er

,; i|ultl ot d ll c. ln scert car, ducand prin d un plan B, neparalel cu c, err , l|l{ plrnul c duptr o dr€aptt 8k ll d)..Deci ln c er exi.te o droapte t care;: ltu at ll p.rpondiculor{ po d, or d, liind p€rpendiculerc p€ c, este perpendi.' lult t|| oti.a d rptf din a). Prin d, ducem uD plan y, Spungm ctr planul y

l,ltoBLltMli 0

l . l ; varf , , l .1 al l .n,nshiului drcpiunghic '1 'd i i :90' i se

' i ' l jc i lerpddicnla 'a pe

rhrr l l . iuntrhiului . pe .are se ia ,4,1t : 10 cm $i i ind ' l '1 ' : 40

'm ni ' lC = 30 cm'

sr'' s. {teiefmine disi.nta hri '11 la tC

,. ll r.rcll iC\ de urLm O 9i'razi t: 8 cm se iau 'louA

plnctc '1 Fi it asllel incei

fit - r':tt'. lu o se .idid perpendirularu Itr plaiul ccr'ului !e carc sc ia o'r[: 3 cm

sri se dciermine ,lislanta Lui ,lt lu drcalla -'1,

t. F;e ABCD nn drelirnshi or laln.ile ,44 : 9 cm qi 11) = :l cm Fi' E u' !unc1

p" d,agon, l . i i . . s , p l , , - ; r - : i - ; ln E * r id l p"r l -ndirrhE tc prJl ' r r

il.eptunghiului. pe cale se ia tF : 5 cm. Si se deie'mine dislanta lui '

la hlurile drep\

unghiului.

' .1. l rver lu l , ta l unui l€{agon r€gL al dclalurnd, se ' id ic l l

o perPendnr a 'AI€ pla

nxl si',u, pe catc se ir un segment ,,l,n : /, Sd se caloulozc disiinlcle lui 't{ la laturilc

hexrgonului drt-

5. Aceleaii .late .le nai sus, sil sc c|lcu1e7e distantel€ lui v la dirgonalele hc\a8onrhri

6. !'ie /AC un t.iunghi drcpLunghh isoscfl 1l' = '1C) ii ldct!] r) pi'nttrl nrillitrii

dh !. Sn se demonstrcz. ca d{{rir M tsie trn lunct oa'ecare al lcrpcrdicul"ei in D pc

plnnir l n8a. alun, I l r iunr ' i ' r l l . l t r 's lF i 'nsrpl

?, I'e llanul unuic..c icl, ir dtrt.ul a.estuia. se ridion !e'pendicula'n pc ca'e se aregc

un puncl ,1t. Se se a.{le od dreapta (ire uneriic Pe It d !n I'N'.1' 'iy d' IJe c$drl (C) es(o

l . r r ' . . I c ' , .ar , p- ranr-n ' In

/v 'a ' t ' rx l ' ' -

8, Pe planul unui t.hnghi (hilat€til '1tC d' laiurn a se lidici l)dpcndn trldrtt "1'4'

$i ./rll'. Se gti. cir aa': a Si se gdseas'i '4''l'asttel hcet:

ar l.iunghiul A' D'C' sa lie dlePLrnshic l-ts' - 90"1i

b r . i r l iShnr l A'B'C sl l ie isos. ' t . cr _ l 'B '= "1 'C

Ir , r ) dr . r t l i d int i r l .$r{ nn t l in a in I 'ur . ru l / l ' r ' / sr i i ' rn I i r r l l i \ , ' t r f r

, ' , | tu, t ) tn rdr i .b i l r i ( , r rn i r l r ' l r r i t r ' t r i '$r f [ t r r l i ' t r l i i i r r z Sn s ' r !1 ' rn"rr f k!rrr { r r '

ornr i , r r l ! i | i , ) i fu l ' , r l r f l r ! r r l r r r | ' r ' | r r r l rn t / In ' drMl) l i r r i

3?

t| FrDandiouler p. plenul c.

utlr, t.t

l ) , ! , r i t ,u l ' jn ' , l r r n l . r ' r r ' ( r l

Dt i l i r r i l ie. a, ' , t l , t t r ' t : t t t i l ) In4l tr ldr I tn al t plun 1, dua t l ,ht t^t '

i tu t i ( t l . r ) t , t l ,nt l t tut t t r t i l t : , ] t t : t t t l | ' )

V(, 'n dcmonstra cr i daci 1 L 4, aturr i i l i a I f \ ' r tdm cu g lntersecl ia

plonok,r d t i ' ( Q: 'n ' i ( l ie 12) Ductm j l r pl ' jnul 4 perpendiculara d

ire g in pnncful A. lDeci uc r , aLg, Aaal DrcalLa a est ' PerPendr '

Fig. t .2

culard pe plenul y, p€ntru cd €ste perpendieulard pe doud d'ePt€ ale"rale

aIg,aLd (d se g&se9te in planul Y 9i este perpendiculard pe t) Cu alte

cuvinte, planul a contine dreapta a, care este perpendicllard Pe .r Deei

c I y. Am demonsrrat aBlfcl

laorem . Fiini datu d(rud pldne a li .(, dacd'i La atunci jL '1 L'(.

Sd c[utdm si demonstrdm inc6 o teorema'

Teoremi. ,ac.i se ilau d.)ud. planc perpendiculwe (c.Lp), perPendiculara

dintr-un punct oaftcare sI unuia l.A = c) pe celiildlt esle in intqime coniinutd

tn pr imul ptan \AA'c d, A'ag si AA'LB) '

Demonsl:,o,lie. Notdtn cu m + a n p. Hn reducere la ebgurd, pr6upunerD

ce AA'Lg nu esle conlinuti in planul t Dar r pste perpendicular t l 9'deci exist l in r o d.Paptd g' lerpendiculard Pe p (f ig 7 3), edicd pe orrce

t l rorpt l A lui p. Ducom prin , . t ( l r rnt , t r / I ' r r , r lo l i , u t , . r i i r ' { ! r t i perp.n, i i . " ,l^rd p$ toatc dreptsl6 din P. Dr(| l lp l l r t ln l l lnott€ ( l r( .dph n t / r . l p lr ld{. t rrminot d€ ,1, ,4 ' , Br Rr €\ ista rh. i r loui l ( l ' epte , I t Si 1, t ' po' pa! ' , t i t

' rhr ' !p. rJ. ,{ ' . Duracest lucru este imposibi l , pentru cd - . l B t i 1t i ' sunt ( 'nf rontf .Ri lnlAne numai cazul ct lud g ar trece pr in / , dar qtunci p.oblcDu (,sh,

rnrolvntd, g f i ind, pr in def i i l ie. conl inuth ln a.

Pcrpendiculoio comun6 o doud drepte

trorcr . l- ta.a a "i

b sunt doud drepte necaplanart. at n. i $istt i a tt tdtt I' t |nt t t . t t , t , h l i tu larar a 'd, t H a, t ; t + i p, b. , ar , t tn, i tn. ." . t , , t r . ) \ t L t

_ (:u $lto cuvinte. pxiste o dreapte qi numai unn. pprpcndicular6 pf,t ,n,d

{'lrlu nrroplanarc Ai car€ {a se sprijine pe el€.

lr ir l .r la. Dintr-un pun.t P al lui d. duccm y paralel6 .u 6 t i ronsi,t{. . ,rIplr| |Ul I doterminet dea l ir ' ( f ig.7.4). Ducem planul p perp€ndicuhr If ad orm oonline dreapt€ a. Acesta se intersecteaze cu dreapta J in ,U. pe,pu,r-dl0ul.ro ,t^r (din ,Y pe a) este dreqpta cnutat{. Intr-adevnr, penrru cil! tr! i tr lvc p, MN La, rezultn rf. I f Id, deci MN 1,b,, deci rv.ryr,fl rlln oonntruclie, ,U1[ -L a.

oPqP

\SF

l{

l | f , ?. t r f ,7{

t i

l,lri.itdtra, Prer l,unofi, l)rln obnurrl' nA llr 'xlrt8

doutr porpan'lioula'o

,Ulll qi PQ pe a qi J, ru punot;16 ,u, ?' $il'ut't{r pn .. 1i /V, Q pe 4' (a 9i l, liintl

n","'1ir"u^""1 (fig ? 5) Din Q ttucern Q's pnflrk'lil ou ,|{N lsi consi(l{rrirtrt

ln plan, eceaqtd legdturu se €xprimd prir.: Doud dreptb ptpmillcllLre pe

o o treia sunt Paralele-' ln apaliu apar doui ebemenea proprietuti;

l l I , ' , , , plan" p"rp,ndi.ut lr ' p oAtqt dr 'a[r ld sunt Iaml l '

D.natustrolie. DacA ar avea un Punct comun atunci, uni'du-l cu functelede interdeclie ale celor doud plane cu dreapta Pe carc suni perpendiculAre Am

obgine doud perpondiculeE din acel punct ps drespti (situate ln Planul deier'

mi;at do ecel punct qi dreaptd), cees ce e6te imposibil'

2l tL.t i tJt pt p rp'n(J; utat 1" un /on sunt t 'orol ' l

Detn/,nstratie, Fie d I o. Orice paralel[ la d este perpendiculurit Po torte

dr€Dt€le din a, rleci este perPendiculard Pe c' Fie d'perpendicrrllrrn le d jn

runctul , ' . Ducem prin ,t psral€la d" la d' Conform faPlului ( i l ( l i l tr-un

iun"l ." porf" duce o singurd perpendicular{ pe utt plqn, an d' - d'

Ort ati!. ln lpalit, tu e.l' ndivilrol cn doul dnPle P"pcn(licult'c lo o r lrttl

a6- ! sa-.E

PERPENDTCUT RE 9r OBLTCE. D|SI NlA DE LA t NruNCr r ur{ P|.AN

l.orcntr. 1,,' .tl r n p utl(t in !]pdli i, a n n pta.n $ N pi cior ul pt r p otl i r u t n", r

r ' ) l ) , r( ,1 P = d, P * rY, { tunci MP > I |N.

l)) l )d, i Pr, 2, sunl puncle din a' atunci Np1 = Np!, dar i t 1i rrrrr l " i

i^t'|l, lIl't -. .tl P2.

D.;tuntlrclio o.t6 imediatd' co$id€rAad triuqhiul M,vP' rospeciiv t.i'

unthlurifo ,tNPr, M NP, lli$.7.6').

fiA. 7.6

Dftl[l$!. P.r, d istunla la un punct ]lI la un plan a' tntekeL:nr ltntli nt, ,L

l(N,tnh N I dtsu r ic ior l pcptndicularei dusc din M yd.

llraof../'i ', d, p r1,&ri planc paraldc, Aturtci distanlu d.e Ia pu ckl. rll '

Datwntuoti., Fi. tlr, .ld, 6 c ai JV1, lvt Picioarelo perpendicularolor din

JIr p. P (lig. 7.?).

r 4rerolri, T.ordnt !s poata tormuh gi aluel: P$p€ndhurora dinlr_uD punct Po on

h .t md .ou.tl d..lt orioo oblicd dusA diD ac€hti pulcl La Pbri doul obli(o dus! din

lll pnot po un pt"n "rnt

cotrSruente, atunci ti numal alunci, dnd pi.lorrlo lor lunt|ll'ltlnrt do plclord p€rperdicular€i.

a

Fig. 7.i

DlAnut v dPtenminat dc PQ t i ( 's Drcntole a $i D sunt perpcndi 'ularc '

qmbele, pe plan'r t Y. f i ind perp€ndirul0re pe dcud i l in drcl lnh sule Ar

Inwmns c, l a qi b sunt paratele, dar Ple sunl neclplansre' ia ld ionlrai l rc lra '

RAmine de atudiat cazui ctLnal cele doud perpendiculare ar'aYea pe una din

d"eptele a ra,t D, un punit comun. De pild[ /V: Q Ldsdm pe seoma citit'o-

rului id ,,etimine' ti acesl caz.

Perpendiculorltote li porolelism

, t ; loaal p tsk unst\nt i . Attasl i eottshntd se numPsle distdnlQ inLn l l ( l t ,1 '

4"tv a

, la 1.1

.*-"I5ffir:-",

!7

$tim c{ Mr,ryr ll',lt!,1, lperpendicularitat'e !i ParAt€liEm)' deci 'l{r' ?Yr'

.vr.',ttr ."^t lt ""4'5i

ptt De la proprietdlile plan€lor poralele Fim od'i,u"\in,tr,,

deai MrN$,11" elte dreptunshi qi deci '4fi;Yr - M'N2' c@e

ce trebuia demon3trat.

.4llicalit Se pot dovedi ugor,lolosind teorcma asuprR oblicelor congmente'

urmetoarele alirma-tii1t

l. Locul gmmenic al p nctr'Ior din spatiu care sunt egdl depdrrate iLe edrfuile

-"i' i""ii, ei,t' perp"ndi"aloa ilusd

'Lin centrul cenuiui cicatuscris triun-

Fhiului pP Planul acestuia

,.monsldlt, Cu notrli:le din iigu'a '

8' a' .a' dsutrt veriurile lriunghiului' O centrul

*.'n,,t lt"*.*.o. o *oen'liculara ln o pe ltanul trntnshirtui ei M Dn tJuncj o$eril

;':fi;;;;;i" ,j; : oIj =oc' dt'i MA -

Mt = Mc oa obri" dnse din acer'ri

"l'""',;r", "Ort"'" " Oiciorul perp'ndiruhFi 'rr-il'r: da'r '^' esrc un pun' I In spaiiu'

I*"il^?u, t! = t" = tc ii ,{' esre piciorur perpendicutar+i din rY p€ Prsnu) r'4nci

Rlunci ,1Y4 r.ry? G.]Y'C. deci '1Y' eoi'cide cu O'

Fig. 7 3 Fig. ?.9

PBoBlliitx ?

l. Drcphnghiul /trCD cu lalurile,4.B : 3 cm, 8C : t2 cln, se lndoaie de-a lurgtldreprei M,ry '.rt mijlocui iui.1r, ,ll'mrjiocul lui ACl, !en{ (6nd lhnele AMD 9i DCNilevin perpendiculare. Se se aae lunsinet segmentului ,D dut{ lndoire.

9. Un l.apez isoscel ,4tdD e brza ma.e AB :22 cm, bara micd CD -

10 cm qilolur{t nepamlelA €gatA cu 10.cm. Se lndoaie trapezul tn lungul liniei mijlccii M.{, lanlclnd planele (,,{aM) ti (DC,v) d€vin perpendiculare. Sa se allo distanfa, dupe Indoire, de Iaptrnctrl n l. bnrr /4.

& Dreplunghiul ,{ACD se lndoaie de'a lungul diagotalei lC. pAnn cend planele ICA

I ^CD

daain perpendiculare. DacL, -

3 cm 9i 8C = 4 cm, s{ ss alle hrngimea seg_|n0||luhri t/,, cand planele .1C, 9i .1C, sunl perpendi.r a.e.

,1. Un l i rnshi dFpl ' ,nghi ' . la. ' i :

oo" ""

rna* i" !n tunsut InAl t in i i 4D. p6nn

f, l l f f p l .nFre ADD 1t ADC . levin pprppndic, , lsre. gr i ind ( i .4t - 2y '7 cn s i

l0 - 'l y'iI cm. se se calcrieze dislan{a int.e punctele , ti c, du?A indoir€.

lr Doul triunghirri dreptunShice isos@le ABr, G:gool ti .4Dt, lC:90") anI flldl i(

- a.conunt 5i l)lanele teQendiculare. Sn s calculete lunqimea segmenlllui ,r'

' I l tc n 9i p doun phne peeendicutare l l ,4t i , doud pmcle \AeL, ge\ |

fllhd d puDctel€ l, , sunt situate la o distanra de 3 n l4e de dreapta d€ inteFcctic'l , f f.ff,r doul Dtsn€ 9i .^ AB =y'sa n. se se calcirlezeldistantra lntre ,ry ti .lY {picioa.elc

l|.Dndloulorolor dus€ din .1 ti a pe dreapta de int.rseciie a celor dord plan€)

f' 1.. g,1* 4"1".-in€ locul geometric at punclelor eaal depr ate de doue dr€pte parelele.

1., i[ r0 d.te.mine locul geometric sl pu.cle]or €gal depr.lale de dou{ drepl€ .on

i.. il .. dolomine locul g€ometric al Punclelo! €gal dePlrlate d€ dooA semiplano

tl|tlillo d' nr.onqi dtuaptd.

2.ta.utseomctricalp"**,,.0'"'0",!::;;*;:,Tf:":;*"f ":;:"i"r:f

;"rile unui tiunghi eslc perpendicalara pe I

tn ttiunehi.

"".".TI,"JJ#J::il:::\:':"l.'iTT"';;i'i?'f;ill'JiT#:"T:'J'":llli"i'::r:rt;iill' ;;;;;;i;;,, * oni""'a*:,T#]il ilT:"ff:'.,""$i::""fl,il:1il,iriTill :";':1,ff :i ;;;,,:rl*{f:i Jj;',ffi ;;jh',"*:irlll tnllHIi,. ;(nk tM,4 : Jtt A : itdc r' rlxcind 'lln

ltf

i I ' t i ' " , , " . i t r* f 'vt orr i r i l i ( t o n( l l ' ru. , t a luoromoi cclor rnl l porr 'nr l l ixr t lh hrNnl

t l t l l'(:'', tldl l ',1 l' rr\rttl

10.. lrnil rtrmlm ,,plnn biscc!,." locul &ometric gdsil la problema p.eccdentd, trtunct'

I rfil' ![, rll|rl ,hlo lroi thnc (nro r! un punct comun, gi numai unul, planel. biscc'. | | o drtut l [ fomurn.

l l , lb t ,A, t tL. /a: t ro l $8mont. n.rpondiculnf t \ dooi l .d i f doni1. Pdpdndicnlnr ' ta, | | | p l . r r l r f lntr fh| l lu l / l t ( : c^,1. In t 'unctul d. In l l ln i i { ' r l h l l l in i lor l r i0nt l r luhl

l l . , | | hhrulr l ,h. , | f l ' t r , Inx&l .{ rr0 ( i - r0 ' l n, t rdNl,r ( la{ l , rnF{l I ' i i l l l ld l l

"

n l t 'and0hndl i t rh$thhrr l l , r '4, ' l ' [ , ,41'r t , l .v l r r l ' r4ur, l l , r r l 'n 's l tN(ht r l r ' {0I th$thlr l / r l f ' , r l , l l r rrr ' l r t r r

l , loh!, rn n| | ( t r{ l r l ,1, , l l0"

tl

fll., ln rrhurhtul ,1r(,, r. oondd.rr llnlo mUlorh' Nlt lN . At ll X.,tC) uxornh IP|P. ,Cr, APn MN . lPl. sls Indoalo trlunfftl$l d... htttrl lul ItJv,arll.l tncal plqn.t. ,,l,U.fv !l ,M/v !t tle p.rpondiculaF. Sl $ drmonaltt& ol ttlunShlulnou fomrt PP',{ !.te bo..sl.

ll.. SI.e srato cI plin olic€ dEapta lllustS Inikun plan q rrcco un plan unlc P.r'p.ndlc,rlel pe c.

16. D6oI dFptele a ti , suot pe.pendiculaE 9i da.d dJ ati l I I {a ii p liind dou6

Dl&nol. llunci 4f I.

le, Drcs o dlleD|I d.sl€ intsEsclia a dool plaD6 ', 0 p€.pendicularc po un plln 1,

9t elegtnr pe penlcla le ,{, du.l prir,{', do rc.6rti part6 r drGpt.it , un punct 8' ale IncAt A'E = AB l l ig.8.31.

f lg. i t

httulateNl AA'B"B este un,paraleloSram, dec\ 8B' ll AA', BB' Ld,bl 8'crte po.dl€epis BB',eerd perpendicula.d p€ planul B8'B'. lnllhb oenri, ,R'este ln planul pelpendicular pe d ti ,', deci -B'o.t€ pro-

! fadr lui 8' pe d. Cum Ir €ste uoghiul dintre d qi A' B', iar d ti,{'r' lunt co., t lmn, rvem A'B' : A'B".cosu: AB.eosu.

PE UN PI,AN

Ddlnllla. Prciec1i,a ortoEona(d a un:,i punct A pc un plan cstc p| t ,,rt yr-

iculatci d.usd. d,in acel pund pe llan.

A:Ie.

PROIEC-IIl

Dolinllicr S€ nume$te proiecliea unui punct. P pe o dreaptd d,piciorul perpend.icularei. dwc d;n Ppe d.reapta d (tni'un Pl .anctn ine puncrul P qi *apla d,)( l ig.8,1).

La fel ca In geometria ln plAl,so cbnitat[ pd proieclia uriui s6g-ment ps o d4apttr €ite u0 Prhctrau un r€gnleDt (fig. 8't).

ln tsol'emole de mei jor.'vomcoBvoni. sd considerdm co! e:1gi coa 9f : 0.

l'ig. 8;1. Dcpendioulara din punotul,4 pe Flan se numette proi..t4rro lui,,{. Pmioo.lptr tui ,f ps un plan esta unicd. lntr-adeyIr, s[ prerupunom cd ar li dout,Slqd pioioarete psrpendiculaielor ps plan aro obline, lmpr€und cu punctul.lr uD triunghi cu dou[ unghiuri dr€pte, ceea ce este imposibil.

Evidani, cand punctul 6e gtrsette pe plan, atunci €l coincide cu proioclii( [3,8.{).

Tocemtr. Lunsir?pa proiptlipi A'B' a unui spgm?tLt AB pc o dtPeptd d'.t" .Eald .u lungim.m sigm,nt.ul,ui fnmullitd tu cosinusul unehiului dint,d S; dreopta e" rontinp sPgm,ntul.

,enpr6rralie. T€orema o8l,e cutrosoutd'ln c{tul ln oer€,4' .B ti d sunt co'planere. ln catd ceDd .{, ,R ti d ou runt coplanare, avem, d€sigurt B * B"A.* A't iar A,,{', B nu $rnt colimaE.

Fig. 8.{

frmiru ol daooamdaid ou cunoatt6m alid proieol,ie docet codlotll apuna aosrtcio, p! aourt, p.oioo!i6.

ortogonrll

360nrtricI Vl dltutn !l r.lin€ti r€arltatclc Froblsnslor !4, i5, 16 Pent u cd clo v{ pot ll ullle

In Ftorya$. 4lorr..

a0

' hln prol.oli. un.l lilu.l o.r.orE p. un plan, lnlelogsm loculll t|lhollllor punot.lor |.1. D. roal Db!.

{ l

' l ( forrxni . I ' I r , i t ' . . t t r i r t t l ' t l t t t ' ,

D(manstruii( Ca:al 1. Cnnd dreapta d nuslunci p.oiecl ia ei pe acsst. plan ost6 o dreaptn

t " nr 1 ' 1tr ,1

cstc I , , , I ' , | ,1r , u l , ' f [ l ]c p lan,

( f iq. h; i )

t t r nt )nNtut t t , ( . l . t l l .

I'rol,l"'nlr so reduc€ larr l rrr | | t d€ p.orectante ( f ig 8.8).

'f',"/ i in ' i 'A ' A/

Fi8.8.B

L,ixl !. S€gmenl,ul car€ s€ proiecteazdFt0tr ' l r |d este un punct.

lnt f ' r lovdr,

lntreaga dreaptd-suporr al""r ,r l r8, i t i segmentul conrinur rn ea.

t,I ||t,1;lt1: lt

t ls t , r , ( )k\ . t { t , 'u fsto t ) r , r t )u! l i . r tu t , , ,

rLe groDrctr ia i r ' thn, l l l t l l ' i , r t , t , . t , , r .

AAd-T--T--

/ | t-i---7/v+/

/------q H / i ,Llaa

Fig. 8.

Consideriin punctul I fix pe dr€apfi ti punctul B mobil pe aceeagi

dreapte. Fie ,4' qi B' proiecliilo acestor puncte pe planul dat. AA', ,.sp.iji-nindu'se" pe dreapta d 9i avAnd o direclie datd (aceeagi cu a lui A,{'- pentru

cd doun drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele), genereazd unplan. lnterseclia ecestuia cu planul inilial d este evident o dreapte. Cea cdu-tat[. Evident, orice punct M' e A'B' este proieclia unui punct ff Q ,48,pentru ce dace o secantd taie o dreapld, taie Drice paralel,'.,r oi.

O,'..'4tte. DacA dreapla cste paraleh cu planul, p.oiectia ei va li parabl6 cu ei. Drcnd.apla elle continulA in pl.n. a @incide cu pfoiectia ei.

l , ' l t r r tutrct€col in iare,4, t ,Csep.oiccterrApounpt.ntn_1,,r , ,a,Sis. , t r r , , , t r ,

,r"'^ ,r "t-!- * 42.IIC L'C'

. l . lh / t {

.ur t . rnnstr i t ' , l r t l , rnrr . l r r t , I I { un p. . ,n r l r , , , t t , . / r r . i . , j , ,Lr ,x, l

fn ' .h rr{ 'nmtrt , r ( ' 1 1. AB, r tun. i i r , .5 l r rkr puxi , , , r , I . r , r , r t r . r / t I r , , r , In , , , , r -fr$f! ${trxrrslor D,c,, c,A'. A,E

_._ |' fl.,., l,,!otr{ dn?rr pitutcr. Cd pdtcti spune .lesrtu lhnrliil, ldr Ir un nNl.,,,l

trftra. &' p.orql{tr M triunstri Mtu@re,,lrC p€ rn platr c tn ,,1,r,(,., Si s. ,t.n!n,

al t r . . . l l . rnnl i i ur imlui do Srour{ t r C al t r iunghiului , { rU.st . cfnrrut , tc Fr, t r l , r l , I ,ll l.lhqnlllll i'A'(:

l. tthn'Nlnrl .lhlltlrrul /ir( itu llturu lrl conlinutt to l,trlll c, irf ,1, fstr

Frl*lh hl ,1 t$ r rrrll'rt rn I rl,,l,t, - 90., srsr..an.ul,^, ,* ,i),

a, lJr th lu l , { r , r - 90" ae hnr( O/ l l4. t r t t l t .u t t rntr l c t ) i . i l _. t , , ( / , , l , 's t rnt r , .d

blrfr. t'(rrrdtor .r, (), tn a, d.[rati ul .ia)/, - eo,

.1, t r lu| | | l ln hBrl , , t t t ( , { r r - , , ta:)r tut , ( r ( tut , rn, t ) l r rs l , , fur1,{ , I r to

^.r fnr lr :y- . . f . . , ,1!"1 . t , , t . . , t , r r . t r f ! rqt | l r . t ,nn.r . r | r . r , r r . r$ , . i r , ,ua . . r r . , ,u,{r , i , , . r : ,

a1l , l lA, t t rnr t , t ror , tn{ [ r , ] , ! r r r l$! t , ! 1 I , l / _ t , | . t . _n), nn. . , , , r .ur , , .lx i | l { . . fnMrrrur , ,

esie perpendxiular pr phr, i , r , , , , , ,

segm€ntulur 3e l ro 'r :ct frr i i i r r f 1,n

Cazul 2- Dfeapte este pexpendrcuLard. pe

ln acest. caz prcieclia ei. este un pu ct,deoarece proiectanta oricdrui punct A depe d pe d este d tnsdqi. Deci proieclia luid pe planul a te reduce la punctul deinter'Beclie a lui d cu c {fig. 8.6).

Ole.voliz. Nu lrebuie lnteles insd .i ,li.r proieclia uoei curbe pe M plan este o drorplil, cn.brateastd €sle o rlreaptl. Aluel proi{tir o.it:l., i .,,.ltrplaDe pe

'rn plan perpendicul.r pe plrnul ri Nr. r

pof l iune din i lmaDta de inl . rs.el i r r , ! lor, lo, , , r r l "D.(t is- 3.r ,

' I r \ r t rrrr l . ' ' j

, , t t , , , t , t t r t , r

^.Yi

12 .J

L Trlurfllul l.o..rl,,lro.o prol.ct.rd p. phnul { c. oonlln ,.,O, altl ullnthtl'ldrplunthlc .l'rC. gtllnd cl..t'r

- { cm, ,4'C

- g cm, t| t. crlouLrl

r) c€lnulul unghiulul ,lrCib) lungirD.l liturii neconFu.nt. cu c.l6hlt6 .ls trlurfhlulul ]{rC,

0uDaotr drcrpt! 6rt. p€rpcndloularl po phnlpl.oul r€.pectiv d.90. (fig. 9.3, a).

vom conriddrc unghlul d.optoi

Fk.9.{

UNGHIUT A DOUA DIEPTE

Teorrma esup.a congruen!€i urghiurilor cu laturil€ peralele ne permite !trdtrm o d6finiri€ unghiului a dou[ drepl,o, ln gEnelAl n€coplenare. SI obrervtrmotr, avAnd doul porechi ds drepie paral6lo c€ trlc pfid punctele P ti Piputom al€ge totdeauna semidNpto pe ele, cu originile ln P, relp€ctiv P',altfel IncAt ipotezele din teo.ema citottr !tr tie .otilfIcute.

Dolluili.. Prln unEhi a doud bcpte dtu spaliu in{elegen otice ungli Dtai,tic, cd mult egal r:i 9A". farmat, tn orice punct d spal;ului, p n ducerea deparal,lp Ia drppt"l" dot, (iig.9.11.

Do mult6 ori vom fololi drept "urghi. doul dFpt ", mtr.urr lui.a

f ig.9.1

Ot arri.. Unghiul r douA d!€ple e.te d€ od rhcS !l trud{l drc{ dr€ptcL turl perrreh.

UNoHIUL UNEI DREPTE CU UN PI.AN

Doliat$o. Nurnln unEhlul nei dr.pte cu un plan, unghiu.l fdcut di alcabeaptd cu Noiectia .i pe accl plan (ln cazul ca4d dEepts nu e.tr D€tpendiou-lsrl po platr ti ni€i paraleld cu el) (lig. 9.2).

Fig. f.it

DloI drsepto esto paralele cu planul, vom conveli str spunem cd dreopto!a ou planul un unghi do 0" (tig. 9.8, b).

-Mftura unghiului r el unsi drepte cu un plan esls deci cuprinstt tntro 0"

t0 (m ( < a) € to', 90.1).il:.tfutml, Unghiul unei b.pt? d u un ptan d .ste cel mai ni: dintr. urht tt

lltt f,tmdtc d.c acea drcdptd cu o drca d oaft&re a planului.

Dnrorutrotde. Dreapta d se proiecteazd pe ptanul a dupe dreapta d,({,41 :d fl r). Coneiderdm o f,ltd dreaptd d"cc, pe carc o purem presupune ctr

Prin .{. Din it € d, ducem MB Ld'. Lnem pe d,, tn senrut In careun rlnShi a.culit cu d, sogtnentul AC,= AR. T"inn!]iit]l1ila MAB,

ItC .u olts doul laturi rospectiv congruenrc {rr,t @m ',i,

qi ..t B j . I I )tC > IIB (.o8m6ntul oblicei este mai mare dccAt segm€ntul perpe111igu.

, 8a liia cd tn doud triunghiuri cal€ au cah doud I rturi resDectiv con-hturii i tr€ia mai mari i ro opun€ un unghi mai mare qi reciproc,

I IAC > + MAB, ti too!€ma €rts demonrrretd.Orr||rL. In p..tlouL!, dacn unghtut unol dEpto a {dtn plunnl {}, .tr d. olt0 q)n{ru0nt

||nlol dnphl I ou pr{,l.cll! .a p. !, pul.m irsg€ conclurh c{ ac![ drrrptd o o.r.ou paohlh dEpt l d p. r.

' ?nrylr, D.firili. di.t.nl.i d. h un punot li un plon li dolinilirlltlulul dlntn o dnrptl utt pl.n.prr rnrlorjr: rnunrc irnbclc ctonrcntr

ola n.l mlol porlhlL, dlntr. tort o.l. o.|! pot ll p&!u...

aa

t la. 9.r

o

Ob..,i{lti.. Ul!?1.\ul dIrlN o dr€lptd tl un phn ertr comlloxrrtr. ifhlfil dintF&!a d|lapu fi o pory€ndicub{ p€ ac€l plan. Acoasis a.li t)ulul ll lu{tl tl6. dallnltle.

Roemintindu-ne o obseryalie !€lativd le unghiul unei drcpto oo un plaD,pr€cum ti taptul ce doud perpendiculare p6 acelati plaD sunt, parslel€, ddr!utmCtodreai

Itel|oili.1Ft' d.9 dnud plan.. Prin un|hiul dtntr" d si p tnktp|"n ' atoat, o(onund.atuturorunghiur. i lof formatetntre.douddrepteattbtund.ea),d,bLp.

Teorour6.,Fie c ti P daad pla e care se intosectedzd d,ipd dreapta d. Sdal\on un punct P e d. fi sd d.ucem dreptela a C d., b c p, papend.iculare in Ppc d.

Atunci unghiul d.intre plande c,.P este congr&ent cu unghiul d.i.ntre drepteleasi b.

De ronstralie, Se consialerdm planul r, ferpendicular tn p ps d. El vdconlino dr.eptele a 9i , (lig. 9.5). Planul r va li perpotrdioular p€ plsnele a

li p! d€ci el ye conline doutr dEpto a', ,' c€ trec pria P, perpendiculare pe c,r88pectir' p (fig. 9.6). Rezultd o'La, b'Lb, UnglLiul.diatre planele d qi pe8is congrueni cu uDghiul ascurit format d6 d'ti ,', care, avand kturile per-p€ndicularo po cele ale uDghiolui asculit lormat de 4 ti ,, est€ congru€ntcir aceets.

t

Fig. ;.5 , fig. 9.6'

UNGHIURI DIEDRE

. Dolirdtio, lom nami unghi dietiru, firuru funnttd.e daud stniplan, d(linitale d,e acccaf tl uptd t) tldoud pldv difuik ,, b cc conlin tl. l,tt\ryt d. s.situt, i nrhin &rlrutui ( iB.9.71.

Ion nunrt ury1h n d A:hi lii lt.tlru t'ak,utnt t \ :hr t l . / t t l tnt ' r ' lot i t n i tb?N.t t t , h, anh t ar i ,y l

r.-fl&!,.

Or&Mli". Doud plane sdnt pe.pen.liculare dace ti nuDai .lac{ unghiul lor asl.e d.90.DouA piane suot paralol€ itacd ti rumai dacd unghiul lor este de 05,

{

l 'h.9.7 n4t, l t rq lnMt ly I ' l t t t t t l I

or i t l ihru l t t t r u, Un. l l ' : l , rot l tNtr tutpt( t i t , ln r( l t laur l srnul t l t t t , a

lurru uit dt,Llrul. t i yrr l i tulutu / L

O,rr'eaii.. Unghiol'phnelor d t' p est€ cotrgruent cu unghiul plan !l dn\lnrlui. ,l,r.lac.rt{ nu osle oblur, gi.r duplemenlul acesluia. l$ car conimr.

Prchk'md rcialeatd. Se dau tn spaliu doud semiplane c qi p, care au n['ijhi{

fomune m. Se cunoatl,e cd perpendioularele din acelagi punct M e n, uc a

ti rc, p pe muchia ,1. lao lntre ele ulghiul 0 (fig. 9.8),

it

|'ie pe lruchia m,'segmerrtul ,B - c,a, "B'B : b, ambele perpendicular€

planele d i iP Eegrne"l0io9r hr

Fig.9.9

Si ro calculeze ln luncl,ie de d, r, c Ai 0 segmentul .4'8'.

Duc6m rgmGfllrt ,, para.l€l ti congruent cu 1,4', deci AD : 4 Ducem Df pe.p€n'rr p. ,r', d€ci ttiun8hilrrile t ?. A'TB' 9i A'DT sunt dreplunghico Rorulll

- | fln 0 ri dc

^lci A'Tt e A'D' + Dr' =., + dr. sinr 0. ln triunshiul ,'l'"y

Dcata .pllc{ looroma lui Pitagora: l"A4 = (D - o cos 0)r + ct+ o' 3inr0 - ,r -Ll od 0 + or , co.r 0 + C + ar ' s in i 0 9i , t t i i rd cdsint0+co8r0-1, $rul l l l

ttl -

.r + + or - 2a, cos 0. Un8hiul 0 joacl ur rol deo$bit tn .{lculul unulou ollDololo ln doue plane crE au o dreaplA comunA. In fond, 0nu ost. dotAt

rl pbn rl lnfhhlul di.dru inltial..

f|o',Onl, ,,rnXirf r.r lroit(liri. u',lLt stt'r,tL pt n plon c. tstt qlald rtt

| tu l l r t t r t lnnynt\ t , t rnlulr i t i to ' i t rut knt l t i rht i u dintrr dt@l' tud

t,

f is 9.8

Demonstfttli.. Dacd d I c, dtuncl u : gO" tl oor ! r 0, pn laolh aat6 u,rpunct €tc. DacI u rr 90i li6 d'proioclia lui d p€ c. p.oi.ou. xtm.ntuluipe planul a coinoido cu proieclia sd pe dr€apts dr a 6rto, prin dafinilio,unghiul dintr€ drcptelo d ti d' ti teorcma rezulti adevdretd Do bara o€l€iprocedente.

lnainte d€ a stabili un rerultat asupra adei unei proiectii, vom demonltra:

Toorohtr .futdtooro. Fie d. ti p doud planc ncperpendiculare, ce se intersc.-It:ord dupd a draaptd d,, Dacd b este o dr&ptd. (lin p, perpendiculaft pe d,, aiunt)iproicclia lui b r c este perpendiculafi pc tl, iar unghi ut d.intra b fi d este cEaL,u uh,'hiul dinn, planttp a r i p.

. Dcmonstalie. Fie P punctul de int€rs€cl,i6 al lui ,.clr d (lig. 9.t0). SIduceln un llan r! I d, prin P. El ia conline pe l ;i va fi perpeldicula.

p€ a, deci proioclie lul D po planul a ve li dr€apta c : ,E n c" c€re ve ii p€r-po[diculaatr pe d (, nu 6ate perp6ndicirlard p€ ai doorFo. p lu erte per-pendicular pe a).

$o vdrul, lo t€oEma aiutdtm.s c[ unghiul dintr c ti p sdt6 eSal cuulghiul dintre , f d, dare, prin dolinil,io, '6.te 68al cu unghiol dintE , d cAcum putem dovedi;

fofrrmr. Arid ptoieclici A'B'C' a unui triunghi ABC pe un plan d l.Jr,e9ald cu produsul di.ntte aria triunehiulu; ABC,si @sitLusut unghiutui u d;ni.planul ltiunghiului Si planul a.

Dqnonstralie. Dac[ u : 90i triutrghiul s6 proisct.ertr dupl un logmont(cor & : 0) 6to. Dacd n : 0., triunghiul 16 pmiqcteartr duptr un t.iunghi con-gruoni cu el, conlorm t€or€rroi pr€c€dsnte (cos n: i) 6tc.

Fie doci, (F < u < 9f. Plenut a va ovee cu pleDul tdunShiului o dr€rpt!oomuDtr d.

Sd conliderdm htai cazul tn care triunghiul ,4BC ero o l.turtr (li. .. ,{r)paraleln cu d (fig.9.11). S[ duoom Indllim6a CD a triunghiului, Conlorm tco-rsm€i aiutltoare, proioclie lui CD e.i. tnlllim6a C?, . triunghiului ,l,r,C,

at

f i t . ! , t l

hl unghiul dintrc aD 9i c €ste egal .u a. Conform reorpmci relat iv€ t$ I , r ,laol fr unui segment pe un plan,vom avpa: C'D, - CD. cos ,r t i n,A, j . l / r ,hl l l i ra A'B'C' : ! . tP ' . c 'o ' : ! . .AB.cn.cosu:(ar ia, tBC). crx, .

r -t t l_l l l rur generar. obsorvdm cd ori.e tr iunghi se t lesfompune in tr iungh|ufl ,

fVlad liecare cate o latud paraletd cu o dreaptd datd a aln ptanirt anu

A

-- ! ; ---

Fk. c rt

tolienr rclajin de denonstrat pentru liecare din acestetr iungliuri , loln li obfinem rBlatia dorit!.

lrlr.tr,!r& T.or€ma .c geneh izearA h olice potigon ptan.

Ilotrma fuf Do8lt8uosr. Din ptncLul V prnts( t i * ntlrt t)tt i l), t,

turr t ,h ln. t n| t t t t t t i I t t : t t 'udrtal t ta a l nn punthl t .1, . l ' . / , f s , , , rdtut t rh l ' l r t i r l l t . l t 's i pr : !n idt t ( t tu t l rdt l t ( . ( " . r t t l l i t i t l r tunl l

l t r t l t t t t l , t . l l l ( i , l ' l l ' ( ' s i i lu l i t . r tst , t t t r , t ,ur t l , l . . l t I t t l r , t ) t ,1,

9.r2).

t.{non.tftti. \lo|Jn rnlr{, miltrrdi, .A dFpi.lo ,-,lar q! /t'C', lU tt .4'tt,a{t ?C' |. hlllnt'nr !l trpol c{ p n(ji.tc lor d( i tl.rsntn, srul rulitriln,.

" , l l t | . t ' l t ' . l l ( ' i l t ' ( ' , ( ,1 \ \ i C"t ' int i lnt t t i t t ' i nt t t to l t ,ut t r '

' ltlt, e,l3).

. hfrnddvtr . p n. lo lF. , l , .4 ' , i . C iu ' r r roptdtr t rn, , , l1 ia. t t t r , i t rntr t r dhlr t , r i 4,ht a' tl C' l'. drirpl{ .: ,lr,Itol. i tl . runt con(rrrtrr!, drrr .oDlxnrrr,.

Fi8. 9.ro

r l ' r rrnl , hMrtrrulr ur r hrn In In iahrM nutntt f i 'nr nnr lr{ vr

{ l

5{)

tlt, l,l,

tr'ig. 9.t3

lin rpote?d, dreplcle 4. qi ,4'C'nu sunr paJaleh, d€ci, riiod coph,ar;ls InuIne3.. Fie 1V punclul lor dc inteeclic.

' l",a lel, AB 9i A'B' * tntAheic ln p, BC qi EC ln M. Dar punctelo jtf, n, 'P,situate pe iirept€]€ BC,CA,AB, apa{in ptanurui hiunghiului ,trd; aceteqi puncten{, -ry, P, Iiind siluaio fi pe drcptele R'C', C,A', A,l", apa4in ti pt0nului triurghiutiiA'A'C', de.i s0t sihrate p6 deapta de inta.s€ctie a ptanetor. Relult{ cLt, ry, ,suni coliniare-

obs.tutii. r. Dacr. douA din latufile biunghiurilor, & ereDplu "{C ti ,{-d, .utrr

pdalele tl r€stul enuntulul r,men€ ac€la9i, se dovrdqto u!o. c{ dr€pt* fip, A'Cfi .4C dunl p8lalele.

2, Dae e A. l l A C . ,8c l l t 'c 'atuoci 9 i ,4al l , { ' r ,5 i p lanut | r iuahiurui / rC€61€ pamlel o cel al lriDghiului ,,t'Zq lfig. 9_t{).

iuFig. 9_t4

Dac{ vom conveni sn spunen o{ doun dFpt6 paralele au u|t punot comu! binrinit ti cd doud plrne peralcte au o d$aptd comun0 la infinit, In munlul t.or.d.l tulD€sargues nu mel dste nevoie de speci{ic{t cA lllurilo tliurghh'rllor,{rofl,{,r,Cnu sunt r€6pecliv poralele. DnDntul ra dnrpllllot, ln ..hinb !. ul .tu c.ttta o! plu.de hol.c{lur[, prin 8lnorulLur',

Pn)Ln tur.l' n. Nr'un dcpri|lr, r rn ioum, .l folorlm un€ori Boomolrh ln

lhn pm'ru a Frolvtr probleme &ru pl4, dlr problemo do lernrF'riF tn !p{lhr. .,]l|olo,l'lDt!|.{1i,.i" ne d,l po6il,iliialon !A f,rrern fl drunrl inv..si B0 prolLlnr problomc drl|.omol!i. phnlt cu ajirtor l $om€lrieiln spnllu. Too|trna lui Decrryue$ |l3lo un r'x0nt,lld$lc ln trfel|sll Drivintd.

E.d4rtNi.lrcpt t^ Ittda (.le.l4kt @Ntd ) d.b,. @bcut.bte l^ l lfis.9.rrl. DotAlrit lhiuti llAC ,i .a D'C' au "dtfu.it ,esp..tie pe k.ste.lrept. ti nu da ldtwin ofttu^.dttw, L)u,qLle. Sd .lot..lim atunci cd @.ttd le titd,lt.tc tn tr.i pv^.|. collni6,,

t'ie d planul drcpt€Ior., r,, ti p un alt plan (prl a), csre tr@ prl. t/ {i prhrr-oar.apu d' (/ e a lce 3€ proietea,I ln a dupe drupta d {lig.9.16). Fic il e 4', punc-lul c{ft s6 proi€cteaz{ ln .4 pe a ti ,:1r € z'. punctul care se proieclcAril In.4' n a,

trtunghiurilor r,llBc ti .,fiA?', c{fe tndepliD€Bc coDditiil€ leorcn€i lui Dint.ln rpatiu, !o inter6o.tea,I la tr€i puDcte coliDi$s Mr, -iv1, I! cars to vor prolo(llr,lV, P po planul a. Dar, proiectia un€l drepte liind tot o drerptr, rcrl|lt{ cI d

.U, n P srnr .ohrhlY. Vol i obte. ts .A proi . . l lh ux. t dr l r . port . ( t tU!ruct .d i .aceals s€ Inlompld cAnd d€pld Rle p6rp.14icuta.! pI tlu In r.r{t n(lairu J|rrN,6r '

'nrersp(r ia planelor,{rrc ai , { raC, carci . t reb,r i a uuci l r l .n, ! r r } rndkutth.{ l

ele pe. (deoamce contin o dlapr{ pe.psodicutar{ pe 1): Dar qrunci n.am rutsveo t4r ull ,,t.iunghi" .4rc,.ci trci puncte pe un segroenr:4, .a, C.

PBOALEME 9

1 Un i€amenl.4t -

t0 cm lace cu planul a un unghi de: a) {5o; b) Oooi c) 60.. Aflalimnlu.a pfoiectiei segmentnlui .rtt pe ptanul c. in cete tr€i @zuri.

t Trjunghiul drep[uDghic jAC t*/:90o) a(e @rela,{t continuu tn Dlanut a.Proie(lia pun.tului C pe 4 ste C'. Si s? demotrstrcze ca rri,rn8hiut ,arc, Fstc dFpldnChic

t Triunghiul dreptunghic isGcet,,lrC (+t = 90o)are tatula tCconlinulA tn planuI{ 9i 30 proiectead pe acssr ph! dupa l/rc. ptiiDd cd *al,c are r2oo li ca tc _ a, 3d

a) Inillimea 4D lD e tc) a |riunghiului r.4,c rn furciie de 4lb) una din func9iile Fisononetrice ale u!8hiuilo. tolmate de,.rr li,{C cu phnul c.l. Se dA uluhill ,Oy Si un puncl ,' @ nu apa.tine planutui unahiului. Si s. aftic

.r drct proiectia lui,lt pe planul unghiului apa4in€ bisectoarei acestuia, atunci puncrut M

.3te eSal dep,rlar de lalurile unghiului roy.

5._ Ur traper dreptunshic.4tCD IAB llcD, +A =90.) ar€ bara maro lr.ontri-nuti ln planul a. Sliitrd cA

^8 = s cm, CD : 2 cm. ,C

- 6 cm, ti c6 ptanul tmp.zului

tormearn cu. ur unghi e8at cu unghiul slu asulit,.se ce.era) $ 3€ ardte cd patmlatdrnl ABC'D' \C', D' - pmiecliile lui C Si 'o pe d) .!le ln}€z

dr€ptutrghic;bJ .5 sc c.lcul€le dime8iuniL tlapetului .{rC,D'.

0. Un legment ,{, se p.oiectearl pe un plan c dupd ,{,Il'. glijnd cd ,4,4,- 1r8,

.n s. .alculetp tangpnla unghiului rormat de rgmentul /8 c

?. Un triutrglti €rhihteral.4Bc cu latura de 6 cm r€ proi.ctparl pe {n ptu i. (,conl ine pdnctul ,4, dupf.4t 'C' . Se gt ie cd +D'AC'-90., AB 9i AC l rc cu c urS.r iur icongruenle, ti cn sunt de aceeati parle a lui c. SA s€ calculeze unBbiul tormar de /{, ti

E, Doua obli@ dre ple;cn din acelati puncl ert€rlor unui plan au lunginile d6 20 cnti 16.In. P.oieria pe pha a prim€i obli@ o3te de ti cm. SI s€ ano luoSim€4 proiectieicelei d. a doua obli.e.

9.. ftiunghiull?C s€ proiect€azA pe planul a, car€ @nline pe tC, dulil t.iunglitl, l ' tc . 9 l i i t rd c6t +BA'C-90". <ABC=45". *RAC=7io s i .d tn t imea ,4D stliuoahiului ,{rC {D e tcl arf lugimm 4 s! .€ cslculeze:

a) !€ghonreb DD qi DC ln turcl.ie d€ aib) Indltimea cdr€lpunr.ntm!€ lalu.ii '8C a trionshlului ,.{'c;c) ccinulurile unghiurilor toroat€ de..4, ll /iC cu planul ..

10.. Ur iriunghi drcptunghic.lBt {t,t - 90.), cu nA

- 6 cm, ,4C

- I cm !. pron\1.

terrd p€ ur plan a dupl.4'A'C'. gtiind c{ a.ia triunghiului.,l'r'C'o.t. ds rt car', !t ..rlle unghiul plan al di€dlului lo.rlat d6. cu pllnul trlunghiulul,

l l . Ur lnrplr dmplunBhic, ct bar(h ( toIr t t ( .1 +8y' l ) .m.drohinmol, , .n, t , ,aon.9.pmlocloot loc€i l l roperpounphl | .A.oi tphntac.c{nlrrut nr t l r rh i t r t r r t r {h laal unShhl Alctrllt ql traperuhrl. SI se Atto orttr prolecfti,i l.aprz,,lui

'11. . Tf iu lghiuf r tcre Indoxie de.a lun8ul t in le i mi j loci i , ,n, , ! tM . /1! t . N , . . t r ' laalLl Inclt planul t.iuoSh iului ,,1,rldlv tj €l al trape?utui ,t,ryCt sA lo.mezc !n ,ti,{lnr itrrr,l' rl Sd 3€ determine unghiul ptan al diedrutDi tormar de llanut lkr.runri rrli t/ rlo.l d6lerminat de puncl€le ,{, a, C.

b) Notlnd cu S a.ia triunghiului iniiial ,4tC, se se deleminc, h t ncii, (l| .f. ,..1i

11.. Un trape, isorcel ar€ bara micd fi laturil6 obiie egate tiecare cu ta, i{r n I {h ir rt t,!L(i|llto €$le cu 600. SI s€ c{lculeze a.ia pmiectiei acestui lrapez pc un t)r,rn .!r.I hO. cu plsnul t rapezului un unghi .onrDeDr cu unghiut Ascul i r 'ar Uiago"nr, , l , , i

toulul t luoShi obtinuC dupd Indoire.

ll P. phnul dreplunghiului rltc, se construiesc perpendicnlarete In /,a lru ssgnentele /l': t9 om, 8A': 14 cm, DD' : 23 cm. DE1N A'A,

A'D' - 5.c@, geliii lungimiio hturilor dr€ptunahiului ,4tcr-

' lJ Ua l|apez ABCD. cu ba?a mare It conlinur{ tn planul ,, o.e ral.rl,,r t,,r,t,trI

F r : . St i ind c{ d istsnla de ls punctnt a la pjanut a este de 24 rD,. s l i r , , rh

ali.nla d. Ia putctul o, do interseclie a dia8onaletor lrapezurui, la plannl d.tl...I'ie, Inh,un plan r, uI h€xagon regulat ,ltCDtI de lalurA 4 (pnr,,tri rtrr ort$

l|lllrt de n&uII: m, dm, km etc.). tn punctsl€ ,4, 8, C, , se.idioA De.D.nitj,lrtln,h,,l't DB', CC', DD' pe planul 3du, de lungimi: t,4, 2,1 lln aceaste odinr). sir. nrrran,oFlo A'B', A'c', A'D', B'c', D'D', c'D'.

POL]EDRE PARTICUI-ARE

TETRAEDRUT' lnteleg€n pdn poliedru o figurd car€, prin proprietdtilo ei spatialo, n6

smintette proprietdlile poligonului, ca.ligurd pland.Vom tncepe prin a studia diferite poli€ilrc particul{irs. Sd menliotr[m cd

paralelipipedul, de pildd (intelnit in clasa a cincea), esto u! poliedru.Poliedrul, analog triunghiului dih plan, este tetraedrul.Un letraedru e€te deliait prin patru puncte, oumite varfuri, cor€ trcboi€

sd f ie patru punnte ne.oplsnare ( la fpl, ln plan, tf lunghiul est€ detinit prinoele trei varfuri al€ sale, card trebuie sd lie recolinisrs).

SA unim ccle patru punctc in toate moAuri lc posibit€ (t ig. ,0,t). Segm€n;bde dreaptd oblinute le- numim machi;le tetraedrului. Triunghiurile cire reformeaze ti inl,erioarele 1or alcdtuiedc f4ele te\adrutui. Reu4iunea ace6tDrtclc 4src su plafala t.trottuutw.

Unind cu un segmpnt doud puncte de pe suprafata unui t€tmedru, noato-zate pe aceeaqi fa!d, orice punct din i[teriorul aoestui segmont se numoltoPun.t intefior hlraefu ului.

Reuniunea dintre supralala tstrasdrului ti interiorul stiu fo.mesztr uD corpNrmit tohsoilru. Uneori, vom considera ln probleme drept tetra€dru numsisuprafala sa.

.\trnta ari.itor f4ior t.tra.dr lui o numim oria totatd. a tuba.1lrul i. Dacaconsiderim tetraedrul ,,aiezat" p€ une din fele, o vom numi pe aceasta rard,iar pe celelaite, fele latefule.

Distanra de la un va (de pildd,4) ta fala opus{ lui {ADad), llig. to.t)se numeqt; tndllimea tetradrutui (r" din fig. 10,1). Luati estlel Iniliimse6ste un numdr. ln unele probleme o vom considera f i cA ifgmenl cu un capattr varl gi cu cel alt capdt ln planul ts!€i cc nu tFece priD vertul r€lpectiv.Un tetrapdru are os[ru Indit imi.

0l

Fl8. l0. l

{*-l**i,

, . l ) , \ 'k tulr . Ol iootclo din ju.ul ' ) , ' i tn '

D0upA , .1or1.. nrai rrrrn nnrr rru|tnic. LIrr r luhp do bucdlr tr ie, de pikl I , (h(: I orte, .mni nrrre,, t '8I . ,nn, i t ) , ,1i ' r

' loc" d" l f . r tsre In jurul sdu,decic l uut i l . ,mai mutr to, . .d| | r . . r rnr i tnt ; ,1, .' loo".a ,arn.rei . t l in. ln lc les c6 for ldm pul in modul ( to erpr; 'nnf l , p+,,rn| , I, rorhi dc lu,rur i .unus.ute. Suntpm cbndut i In rnod h;s, .b[ .o;n, , r r { i , , r .Intr-un t" l , 'ar.^Are., r i t lor ocupA un obiert . ( i r (6r toc ocupd al t ot ' , , i . r . , t r rrrpeliul inconjurdtor. Apare jdees de a asocia liechrui corp din spaliu (nti, ur)Iumdr, pc care l l \om numi wlumul slu, care sd n€ permitd s6 fn.crn trht t , , l

1.1, t , ' t t t t ra.1t . , , , t . . . | , ,utn, ' r - , , t t , t , . t " . ; ! , t . t . | . | " . . . t . \ . . t .L, , t . . .

n ' t I . t . . :1, ,1! t , , . . t . r t . r ! . , rp r . l r . . , t , , . , 1. . ,a

Pentru arcasts, du.em Indlt imi le lelc lot ABC si DBC tAM' . - a ' r f i inel{ imi l . tctraedrului AQ = hr DP: /h ( f ig. 10.2j .

Fig. 10.2

deruur '" t r , rr .gnhtstea produselor a,n, qi a"nr. P€ntu occn6ts r , ' r le congruenla unghiur i lor?,4 M qi PD,ry. Dreptele t tQ i i , ryD sunr p,,r-1|/Q fi ,ryD sunt p'lr-te congruenta unghiurilorQAM qi PDN.

otrlRro pe Bd (DN liind lndllime ti iltQ din una dintre rcciproc€lo aoo.i oelor trei perpendiculare). DFci, ' tQ 1l1yD. La fel,, l / ,4 lPA.ln-r0nnrnrl

tAMQ. +PND. Rezultd cd i i complementele lor Funt congfuentot l AQ = + NDP), l r MAQ : a). Exprimdm, In doud moduri . coainurul

ului c: coe a - I : t i i , egaldnd produsul m€zitor cu dl extremilor,

€Sf,litaloa cdutatd.Vom nota cu 5r,,, 9i Sa .r ariilo ferelor 8dD, respectiv 8C-,1. Sd dovcdim,

i $U:!'- ",'",t r,

- o":', : ZS."tL

- aft,'- a"tr,, retatio demon.

Dsr, l tr-un tetraodru, oricare doud fete au o laturd cornunll, dooiar l i hln r leAs{ cu ini l l inrea oorespunzdtoare, produsul lor {rsto .cs,ofl .

oaoll |r dll uo tetr|edu ABCD 1i prin dreapta ,lD !e duoo un plon c|rrcmuohlr / ,(, ' l | l t .-un punct interior M, €lto ovid€nt cd rum{ volumok,r

Jt\ lnr ABMD l i iL'MD $*. oxslf, ou volunrul totra$drutui .4rrCD,u n/l | | fnf0 n i lrn All i l r l t l l d M(:0 rrto r. in A rJ(. 'r , inr lDtl l i rn..Flrr l l l r1 ' ' r . r .ni l0r ld l i i r l . i ' , t t ' , i t l ( l l t , 10.:J),

t0

Aceastd delinifie necesitd precizAri. In primul rrdnd trebuie ardtRt cn ||foitlundr csle a.elat i . or i .ore i r f i a l"gerea' fc! . i rerracdrutui , (o sid{ ' , r l l rn

, fa. l , 9i a lnEl l imi i corcspunzetoare; i .

Fia, to,3 L

IiIl tetraedru cu toate muchiile congruente se numeFteCdnd desenAm un tetraedru, av€m grijd.'tn general, sd

care nu se ydd, punctat, Exemple h tig. 10.4ifigurdm muohiile

Fig 101

' St(!iutti lnt..un trtt'a.drfl. lnlcrsp, l,iR u"u' plan cu un totrupdru Bc n'rnreftes€ctiunea determinatd de Dlan tn tetraedru.

O problend de desen. De;du-sc tctraedrul ,4E.-Dri punctete t t . N. p pemuchiile sale, asa cum ne;rat{ ligura 10.5, sd desenAm secliunea determinatiIn tetfaed.u rte planul ci tiece prin ,t, .it, P.

Observim cd segm€nlul ,ltd erte conlinut b latta ARC,la fel itPcc(,,|t ). l,e ligurdm, unind rl, cu A/ ti rt cu P. Drsapro M/V a.e comutrcu dreapta 8C punctul Q, cere, fiind pe BC, aparline gi planului (ACD), Ia lelce 9i punctul P, deci drespte p0 erte conlinuin In planul (BCD). Dreepts p(/inte$ecte{zC pe t1D In 7. Sogmcntul fP est€ o laturd a loctiunil punot6l$lv ti f lunt p6 ac€€ati ltrll, d.oi r€oli\rn€a este poligonullyrtP? cu intorionrl

a

0c

Al

A2

Fig. r0.6

D.4ltutirea unui tetraeilru, prerupunem, pli concretizarc, un tet.sedruo{rton (tetraedN-slpralald deoi, nu tetraedm-corp;. ,,fUinau-t,,, ae exernide-a lungul muchiilor ,,18, ,{C, /D, sd-i ,,r€betem,i ielele lrre a b deforrne,:.: ?"1q

la,un^p^ofigon plan ApArCArD, ce.e rcprozintd o dostdrurerrt tra€drului ABCD. (Atenlie Ap = ip, A.C = CAr, Ar; =';;:rj"

t0.6).

l. Un teiraodru aF hara un r.iunghi dFpru.ghic..u iporfrula de t0 ct[ ti o crrerl.tri. Indllihee term.d.urui este de r0 cm. Ca; elts votunur sdu?t Totlaodrul r,{aa ae tak ,.t tC un lriunghi e.hitalemt "u tatum 8y'T cm,d c{ disrinla rui y h ptatrul r/aa, esre tO.m: Fr ss afle volumul termedrutui.

lloBt D[f, r0

I Un Fn'n8hi dFptuhshico perp€ndicrlar6 po ptabul

|. rll.:ll roluhul lotra.drului ylrc:ll rlh toti|I r l€traedrutui t/,4AC;

\.i un3nl plsD at dt.druhi fomat de tah ZAC ptantrt triunshiutut .{,C.

A.B.C are aatetelc AB = 3 m t i ,4C:4 m. tn / s.rrrungnrurur. pe carc sa ia un segment ,{y 2.( m.

.a f.treodfi'l VADC an tslw. /AC un triunshi isoscet {,4a r ,{Cj. isr Di.iorut Dsr-l l .u ln ' l l d ln ) 'F ptanut r . . rr . r csr€ puncrut ; . f l , i "d " ; ; ; ; : ; ; -

i In, ; ; :ni fl .{t * 3 nr. r[.o crlcul€re ald lohlt,i vorumd r.lraed.utui.

I frtr..druf |ADC en htl^ /rC trn rrtullrhli rtit rl. d! r cn. $r1tr.t or nu ccnuiurly'l n, t r rrrr lrrrrrnut rrurr,rtrutui.

o.hihlsrNt, tar dtltarli lut y holRum.c.li lrlunghhrtut,aSO .t.

..+il.-&-it"

t, ttrlolt.cllnd rn t(l.aodN mgulol cu

co nonrer4 di4 ac€tati Yarl, ![ to dot6.mitr00o trdh prln |nlltl'tro.la a tnl muchlra.la rocihnllln l{N{h da Lturr ,,o{

& Cunos.lnd lahra,,o" & unui tetiaed.u regulaq sa ss calculote {!la tot{l[ ll volunul

lptlasdn'lui.

t1 GA-3it i o desletnrale a un u i l.l medru r€gutat '4 ACD' asl 'el

tncA t ticc$e Jsl6 !6 a ib{

cel mult doui l.tu.i comune.u o sltd laF tu{toti ca,lD ac6t €2, dou{ din laturile 9ou'gorului obliFut 6r,lnt Parslole ti etngru?nte

gi8. t0.,

10.. h liClB t0.7 pirnctele id, .{ sunt nijloa@le muchlilor,4, ti '{D' lar P un punct

int€rior muchi;i CD. SA se determine natura secliunii deteminsle tn tetraedru' de planul

i:e trec€ prin tt, jv, P ti sl s€ d€6enets ac€a5t{ t€cliune.

11. Fi€*AtCD un tetm€dru si,4', a', al, It' @ntr€le de gr€utatc ale felelo' opuse ver-

turilor, , "a, d, p. SA se arate ca .4,4', AA', CC' t! DD' sunt concui€nte Intr_un puncl d'

1t., Un t.iugghi asdlitunghic ,,se tndoaie" de'a lungul tini ilbr mijlocii plnlls.e ob.!t:e

{n lelracdru. S|;6ra& c! o hdtlime a tetraedrului oblinut @d€ h ortoc'ntul hiungbiu'

lui irilial.

lt.. SA s€ amte cd perpendicularcle ln c€ntr€16 ce.cu.ilor ci.cums$i6e felelor unui

tetracd.u sunt concutenle.

14. Dact tnl.-uD t€tnredru cu loat€ tefel€ rriunghnri dr€ptunghic€ se lniehe3c htr-un

vrrf don( lnghiuri'fteple, atunci nrai exista un varf al l(,tm€dntui, ln car€ s€ lntAhesc

doud unghiuri drPt€

16+, Fio Oltc un telra€dru astlel loctl. o.4 .lL oa -L

Oc -L

O'4 Sl se amte cd p{t mi nl

afiei fetei /AC €ite egal cu suma pALatelor ariilo! felelct OAB' OAC, OBC

16r. Fie,4ACD un telEedru ln cale,'t8 f CD. Se.e ante c{ plciorrl pefp€ndicolnnl

din .1l po planul AC, @tle Pe tnaltimea din A a lriunghiului ,CD Dacd ' lo plut,

"l C

-L /")'

artttr.i AD LAC ti tnelimile tetrasdrului sunl concut€nlo

58

I n.ntrfonrl{),

!0

PRISMA

Sl considerCm, In spal, iu, un poligon -

prerupu: plan, pentr.u n oirrr lrt i l ioluorurilo, numit poligon driector-li o dreapttr d, care nu este paraloll cu pla|lUlloli8onului. O droaptd care se ,,mitcd", sprijinindu-se pe poligonul rlircot,,r ti?lmln€, tot timpul, paraloll cu d, genereaztr-o suprafat{ pe care o r)fltrrirrlfoPr.fetd prhmeticd. Cu alte cuvintrer Locut ?conubit at L rrt,t,,t ttt, Ilddn' I d. .otrou un punl "onun."r pol iEonul d i t . . t . , r . , t . tl t ld pr lnrhtuj ( l i8 t t .1 a).

I iH. l l . l

lnt.rioctend aceastd suprafald cu doui plane paralele (d qi p), s€ obiin,aoatt. plene, dou{ poligoane cu laturile respectiv paralele ti congruents, li,fonr dintre cel€ doud plane, un numfu de paialelograme egal cu c€l al

poligonului director (fig. 11.1 d), Poligoanele din planele paralolo,cu inierioarole lor, se riumesc baze, paralelogramele, cu intsrioar'16

da p6 rupralata prismeticd, fore leterele. Reuniunea tetelor laterale Ilormeerl rapraf@ld pdsn4 llig. 11,{ tl.punot, inte or segmentului care Dnette doud puncte de pe ,ete difarit€nu ao gdseBc pe ace€ali muchie s€ numegte punct interior prismsi.

puncldof inlerioare reunitd cu suprufala pr;smeial.dtuiesc @rpulpri6md,

Umo.i, ca sd nu mai lungim exprimarea, vom numi PrftmE nUmai suprn-al.

B!nu {r i i l ,n l , . iek,r ' h ' teral€ so nrmestr ar id ! t l t t rotn { / r r lv , r r i " , , Ll r i ' r l r f t r |1r l r i , { i { r f l i l , , brrek)f sr t \u \p\ : le ot io r lnntn u t r i i l t , , t

nuohiil€ lateral€ sunt perpendicuiare pe planele iazetor, atrrnrl.. numqht .benplll, isr lerele ei lat€rale sunt dreprunghiuri,g pri.mA dbldnla d,intrc baze se nume$te fniiltlnir. (ReAmintim cd dis-

Clnttr doutr plano peralele este lungimea segmentului de dr€aptI detor-da plin. J,c porpendiculera comund.)Ptlamr draeptA lndllim€s est€ cat muchia lRtrral6.

| . dooaoberc..a denumirF. dupn nunri l rul l r i tur i l , ' r(dr oxomplu, In l ig. l t .2 p.irmd tr iunghi hir ' [ , lr i .mil

t)ol ig{rnuhriputruldt€rd,

t toalDMl t l

F iS t ' !

Pnrot,tipippdul ej]tc o Prisnd cu bazel' paralelogrun?'. di:i ::e i:st:l.el'teprral" l"gram". El poate f i considersl prismn In tr€i moduri" di lente Onoare

li" f"," i"r"g."."L ""rc dctPrmind 14ele paralel ipipedului poare l iconsiderat

p"l i ; . ' , I i .";ror. Dsc0 fc(ele lslcral€ sunl dreptuoghiuri ' adicd daoc m^ucNa

i'"i"r, *," perpcndi.ulara pa ha.Ft. parut ipipedut s' nunPslP drrll (ObseF

v&m ,6 A.cusia Jenumire eete arbitrard: dac6 aleg€m ca bsz6 o falA lateralA'

ptralelipipedul dropt De apare acum oblio,) (fig ll 3)'

L o p.isme hetagonalA regulald d.€apti arc tont. nuchiitc de : .n rri nnrcliilc dc trb!r. {i muchiilo lalemle). SA i se .alculeze a.ia latemtd.

r. Iie muchiire,4/', EB' .si CC' ale rnoi prisme i.nrnShiulafe ABCA,R,C,, rt.|y]rm

al Si se arale cd dace c este punctut de inulni.e al mcdianelo. triunshinl,,i ,lll(ih! J ce! .l medianelor triunBhiului VdP, atud.i C,t 11,4.1,.

b) Cun@lnd cI /M : 6 cm, t,ry : 8 cm, CP: to cm. s{ se c.tculezc t;s.. l 31 sp rpzotv. I robfema In.azul , lU =o, Al t . t , r -p: ,

8. Fie -4DCDA'B'C'D' un pa.alelipiped. SI se arate cr Dijto,r..!e mocliilor rrJ.,A'R', B'C', C'C, CD;i DA sutrt copladare ti lb.meaze un teugoD ru lalurile opnse p.ratero,

4. SA se des..ie toate tipurile de seclnrni xle unei p.isme hiunghiutare cu trn plan.

5. Ace€asi lroblemA pe;tm o pristnl pal.utale.i.

C Fie AACDA'A'C'D'un pa.alelipiped dreprunghic. Fie lv nijlocut lui lt, p nllrl AC. M d hi A'D'. R rl lLi D'C'. S{ 6e amt6 cd:

e) n4n qi XP slnt congmelto ti pamLle;b) ll4rv 9i PP sunl P8ralclF.7.. Fie ABCDA'B'C'D' un paralolipiped. Prin punctut O de inierc4lie a drepielor

lC'li /C du..m un platr @r€src a. Sa sp dpmonsrrezs ce sum{ djbrinl4or !d.i,,rilorInr,l bare la planul a €3te egal6 cu suna distanlelor varlurilo! ceteilalre bar€ ta d.

Diagonala paralelipipedalu; dreptunghic €ste segmentul de dreapttr care|ln. 6 doird varfuri, care nu sunt, pe aceeasi fatl (de exernplu :t'D din ligurall.l). lnlr-un parelelipiped existd patru diagonale. Presupunem, tn eceastdfi3urd, cd dinlensiunile paraleliDiDedulri rnnt , .\ ^ ^: ?liodrh.t^ /?_

A' A

Fig. r1.3

V Lo:;",1;l o;l:l ";' ":1T"J,""lfi:,#!:ilf,1",ii"':"fJ T11.*''i#i',';

r" r*i ' . i [""i air*it i . i"" u'n pa""tit;pipea a;cpt;ste oprisme dmaptd numali^ti-r" .l^zu, mod. Evident'orice P;ralelipip;d dreptunghic este drePt' nuInsir orice paralelipiped drept este drept{nghrc'

Fis. t t . l

ob.s€^{li.: Ultina pioPozilie Ptre llui simplu de Inl€16 de6t d' dqn$t' putru rr

r , , , r ' . r i " ' . .u, ," pcsp* r ivo. ' , '

r l ' t r r 9 i la cel dmpl s ' h ' r l r l rp l t rn{hx tot lxrn ' l r ' l ' .

, { r r r r r , i rn n ' r ru i r ' tq ' r r"rr ' r ' r r r ' t rg rr ' i r In i icur i u hA 'vr latn

ronhr 'x ' {nr nrrnl ' l

' t i l ' r , t urrghirr i l , t lh l ' l '

ri{ |

fi$, 11 1

{ i l

- . , ' . t

t t : AD\ '

llllqh\jrll.l:ffi]-ll:i:x;trr'nii;or : r i"' - .' +

',"ii;i,:xit'{i::::iff :}"i''fl;l!l'":';:::Hf :il*:;i"tJr.io"ta do 'ltNP

tn 'uD

ic a '

D'c'

unim,4cux(,iinlie,:c,;.Tl'l",l1}t1i";i"Til'";:rf{l,T,if"1i"ll".""';r,#""rJlli'Llr'ii;ffi i:"l;j'jrifr,*:#1ls.5J:l:;"*;rru:mf;'lr"""m;6ff;":1"* ;':#i'"'r"l'ir'"i ""'" - "'#:iil;';;'"* €5b Pannt's

ffi :"fi ;; ;;"."rr:::,:rTiJJ;:: ii,'#tl'l;ff #:"rJ#*:.,,l*,il'fi :'^i,',""':: ::f ii:Ji;::|"',"'Ji,{il",r;1f1::';X'*l;4*""ip;;r*lxn*rnnfi i:iiitrrf:1+1i111nnra"""'T"Tnl,*:frTilii ritr n*'*';*:iii"i {'":i,# :'*il-il',k il11[:i"1iili$":'1"ii,l'Hriffi ;:"tj:lflT#:TT l: :li',,'"'i'"ii " o"**''0'o*"'

f ig. r 2.5

Mei existd gi alte moduri de desfdgurare a unui paralelipiped. Gdeifi 6i voign exemplu.

Orr.Mrt.. Nunim prismd concav{. o p.ismi cu potigoanete d€ bard concivc.i.otr.lLtlm cd exisu ti prisne concave nedeshtumb'le (tig. 12.6r.

a

Fig. ,2.6

'AOB|,DME 1I

Un caz particular de paralelipiped drepiunghic esie cubdr, care are toatomu.hi i le coogruenle, deni Loate felele sunt pdlrate. Notand lungimeo mucbi. ilu i cu o. ar ja sa totala va l i . d, l t ig. 12.4).

D?ddtutatea patalelipipedului dreptungh;c, La fel ca la tetraedru, prio,,Uiere de-a lungul muohiilor gi rabatare", se obtine un poligon plan. Considerdm tigura 12.5 destul de eloLventd...

G2

f. trn prmfclipiped <,]epr$ebic ABCDA,B'C,r, arc .tidfnsi,rnir,, ,.tn::l .m.,f -

4 l)m ri AA : 12 cm. St s€ calculeze:rl lrrnFlnm diasonnlei sal.;!l dhrtrnh d. lq punciul C la dreapta ,4C,.|. rrn trrnr.lipip{t drcttt ABCD,,l.B,C'D, a.e lazr ,4?C.D.DD roml, .,r trttrrir,r,,

I l l unlhir l / dt ' 120" gt i iodct muchia la le.r t i a pa.alc l ip ipf(ht l i .s t r ( t r 6 rrn.s i

. l r rh hl .n|h n pornl . l ip ipedului ibr f rnr [hnd a.ramrnt. ld .4 ' ( : 1 i EtD' .| . 1," r$b nn, mr, :hh a. ,qn $ r l le dis lantele de Ia va. t r t r i l ! s{ l ( , , r rs i r i r t I l i , r , r r h i t r

ln. h [(r! (lh8on{ld.

l l , t r^r , rh l i l ipo, l ( l tut t a.c la lu. i le baz. i de 6.m i i t r r ,nrr i t ro,r t , i r t , r intr . . l , , ,1, ,, l l l l | ! l rn rrdl l ln l r I ' i r r |1 l ip i tdului este d. l ! cnr. s i sf n , , $ i r $ lot , rLr

. l " f r r . tu l , o rntr l tnn. {1, . t ,unrro o numin , ,onv, . \ i r , , r i r , ,u1 r , r ( , , , ,n n,( , , r !1 ofunfu| lntrr l . r l . r l , l r t l . f lo. l r l , ' ! , i l ' r i |

's t f , ! r r l i t rut , i r i l l r r r i r r , i l r , , ,* t . t j l , r t l I r ! . Sr

r l In f i , l ru l I 'o l i {onnf l . r t r l , ' l f I r , r r l " t ' t n,vrn, , Lr I str r r , , ! I t r , t iF,n,ut s, Fi l \u t f t rInr t

' lF r ' i . t r ' j l t , t r r t , ! L i r , l , l , . r r t ' , t r t t r

' r . i ,nr ! i t l t t r r i

A'r -I

o

! ig. t2 2

|l3

6. El6 AACDA'E'C'D' un clrb (ltgrjra 12.:,.a) Dintrs planelg detoroinats de punctelo dir flgurl, !{'s.lndlc. unul cslo 6to P.1'

lerdicular pe muchia .4t.b) Sd ss indico o drgrpt{ det€rAioat{ do punctelo dio ligur{' Pot!€rdlorled Pr

dreapta .4c'.D' c'

t St !e demonstr€ze ce ln]Gtr- cDb ABCDA'rCD'perP;ndiclla; db D po dil8o'

tal,a ,{C' o taie pe aerlta int!-lltr pund q, astiel In.at lg : !.AC', 3

7, Fie AD|DA'a'C'D' un paFlelipiped dr€pluDghi. cu ,{r : 9 cm, ,{D : t5 cn- ri,!t/'- 20 cm. Sc c.re dislanta lui ,'l& dr Eortsla AA.

& Utr p€Blclipiped ABCDA B'C'D' arc baa ABCD uD Palrat. Muchiile hterelorom@zi cu pranul baroi unghiuri 4e 30', iat planet€ AA'v li DUC'smL p€lpendiculaE

p€ pl.anul baz.i. CunolcAnd cn .48: { cm ti ,{,{' : 6 cm, s! se calotrl.ze aria tot8l{ a

paralolipipedului.

u Fie ABcA'trC' o p.isnd d.eaptA, cu baza ,!at un trlunghi drcplunghic ln /'

ou lr: t5 cm. Ac :20 .fi 9i AA' :30 on Fie ,ld mijlodl lui Cd. Se 3€ del€lnin€

loiba Fi p€rimel$l secliunii prismei cu Ptanul deteminat de punctole .4" ,f' A'

10. lnrr-un panrdipiped dFptunshio ,{8cD1t'C'D', cu ba'a -4rCD ur pftrat'

tneltin€a 6te de 3 om. iar drptunghiul ,448,{'are aiia de 2t cmr' se 3s afle dimensi

unil6 pa.alelipipedulli.

u'. se dd un paralelipiped dr€Pt cu bart un tonb' It car€ se 'un6

ItlltillE n'

latuh a r rombului, pr?cum ii un unghi asculit 0, d rombului SA se calc$le'€' ln t'rnctic

de d, ,l, 0, djagonalcle panlelipit'edului

li.. S[ * detormine, in cuburile din ligua 12 8, seoiiurile det€nninAte de phnele o

lrec p.in ltrnclele M, -t,

P.

at. r2.7

oFi8

(!'iBurile N€ vor urpil hrLrnrnul ne

t , .8

oarotJ

b

ur|| tr r

. t8r. Uo pa.alelipilcd Jrepiunqhio Ne dimeNiunil. proportionate cD nume.elc r. u_ i.tliind-ce di€gbnala parulelipipedntui este d€ 2y'3s.m, sr s€ {ue didrensiunile p.tull.ti.

.14r.P€planul l rnrnShiuluidreplunshi . isosccl l l?Cl.1t : lCf i ,4B_.qj .ducd,pependinlam AA,:d DiA.{,drcem un sesnet\t, A,D:ay'1. perten.licrl.r l)e _.i.1,.DacA AD en6 perlerdiculara re ,.1, 9i da.ir , csre de jeea;' tdrte a phnrhri ?i!,.ai .,,li t, atunci lrixnghiDl zrc esle echitajenl.

VOIUMUT UNEI PRISME TRIUNGHIULARE

lnainte d. a- l def ini . vom iare x. ."1our"u .onsrstarp:Doud. tptrutdp. dtdn.t doud lplc .on!tu,nt. si tndtlimilp

Ungruente, ad t'olumt.gal. llig. tj.l).

A'LBCD = LB'C'D' ++ alwo - o4n c o.

h:h '

o^BcD: 4P!! L3

Q^.E.".D, :4P32:!.3

n Qmcn -- Q)t a,c.n.

o8

Fig. 13. i

Sl d€monstrdm urmAtoarea:

^Leml. O prisna fiuifiiutatd. sc poatc d.cscompunc tn tr':i tttr1,td , dtirtl.(u actlati toluDt ).

Conriderdm pridma triunghiulard ABCAt.B,C', fi prin punctele a. _1,, ,,rm o s€cliuno pland. Vom obrine astlel do{d corpuri: ; traedrut C.t,/1,/t ,

I ABCA'B'(f ig. 13.2). Vom nola tetraectrui cu,p,. Ne r.on or:uprr,

A'

I6

aoqm, do ! l do-al doik r iorp. Seol ior)And l .orytr l nl l t '1 ' l l ' ' l | r l l inul dol ,eF

mirlat, ds punct€Io,,{', d, ,t, vom nota celo doud tolfl|l,drn I't'l,hr||t,|| (lig. 13.3)au Pr li cn P3 (tetracdrul ACPA' esre P, $ A'B'D(: orts /,r). Am oblinui

A.

6A

artlel tr€i tetraedre (fig. 13.4). Ele sunt eohivalente doud cAt6 doul: Pr € p,

.deoercce eu bazele /Bd ti .4'B't' l,rirnghiuri congruente gi tndlimea corcs-'punrdtoarc lor aceeaqi (esie lo lond Inillimea prismei, adici dirt{nle dintre

!'i8. 13.3

6EA

I.ic

planole bazelor ei). Pr- Ps p€ntru cd au doud baze respectiv congruenteABA' ,t BA'B' ca jumdtdri din acelati paralelogrem 9i aceoati lndlrime:distonta de la C la planul paralelogmmului ABB'A'. Decit Pr- Pz= p,

ti teorema este demonstratd pentru prisma triunghiulard.

Obserealie. AcesLa N este tnsi singurul mod de a tmp{rti, d€ a seclionaplisma ln trei tetraedre schivalente. Expreria volumului lui Pr gi egalitar.eac€lor l,rei volume ne coDduce se alirmdm cd:

Volumul an?i p tme tiunEhiuhte este ?gal cu produsul dittrt nrio hud !,

Orice prism[ poat€ li tmp{rtitn htr-un numdr do prisme triunghiularolduo€m tn planelo bazelor, din doul vArfuri de pe acoeaqi nuchie Inlor|ltil (dopildd ,4, .{'), toAto diAgonrl.'ls btrrolor. Cu socl,iunile pe caro lo detsrnrini d('[n

6f

hrt f t t do di f tB'n l ' r t |ornlcletlliom pris xr In mAi multeNl latur i l0r pol igonului de

n|6lor ace.',or prism€ triunghiulare,aPvne ce: Volumul wni prtsme este

(r ig. r: | .5), {r lo ororntlu /ta' t i / t ,a,,) soparAn,,prrsme trNnglirr lare (n - 2, dacd n esto num0-bazn). Vohrlr" l prismei mari esl,o suma volu

cum tnillimile lor sunt egale, pur.rr,?9a1. cu a a bazei tnmvlitd,.u tndryimea.

13.1).

| ""- ' ' - ' IVolunrul paraldipipedului dreptunghic este deci egal c,r

, r iu ' r i lor sale ( f ig. t3.6), iar al r ,ubului cu rnuchia ta cub (f ig.

Fia. 13.6 tr'i8. r8.7

.0:a.b.c

lnostllult r8

-_. 1. . ( ) t rmmd.dFspla 0Fca bs2J !n |J iunl t r ipchi latpEt ,xratu.adp6.m.,rr ind.d

atL rr l r ruIn r pr tumpi cslc dc 288.m:. sJ se n e volumut pr ismpi.

1 o prirmll arc bara un paralelo8ram cu dimensiunile 6 cm Fi 8 cm ,i unShiut as.ulirlrl rr 60". ritlird.A h{liinea pdsm€i efr6 de ro cm. s{ se a0e volnmd.rlsnci

ti|r rlr

( ) Irl|mA l. {aSonald r€Butau dNapH ee aria roratd de 22a y'I m! qi coa tero.:Inrll !D.. S{ Be calculozo volumul Drismei.

. a. () Fl.trrn trlnnghnrhrn nr. .{ bara nn hiunght dreIttrnstic cn caieiol€ do 5 Dll.tt or l|||drllh laldnto srrl rynto rr n n r1r rne cu pllnut bruoi

-gut,riO"o5..'g! ;

al|. ioluu l trlmx'l

r3.5

67

, I r . r ) t , rs( t r , ' t , l r r r , , l , r ln , ! r t , .L]r , r t r l , L I I 1|rr , t | r r | l l tso r t I t , f isr l ]l fnr ' r1n f r r ' h l r t , r r ,1

' t , l ! , , r r r f i l r , t i r t , r r , l i , \ , , r r l r , rA r$ ! votu.

n",r t ' t rsnr ' l

o. r | l / r r l r l l , r i { , , , ) tnr l ,s l f t ,n l .utr r r r t . . tAal) i r I t , t r . , | , l t r , t r1, . t r , s l l l t ) . r t , . r ,! l ruhr ' in lk,1, , sf f l i !1, | , t i l ! , , r r t i ' r .1, t , ( a.st{r pfrr ,dL, | ! l l i r f , t ! , l , r r l I t hr / , i i i r .sr | r rKrr i t .u { ' i r r r t i rgr , . r ln . r / ) . r . S' r se al tc roluDrt t ) f isDr. i

?, Sr .orsnlrli dritctipipe{t l drcptung|i. /rc.D-l,d,a-.,r, .u dinensirnih ,,1, _- tt] rn, Ita - l.r (n si -,1.{,: I 1 cn. pc muchia Ili se i! .1t : t cm. ia; pe muchia.4lj sr ir /l/- - r .m 5i se se.tioncxzi pa.alellpipcdut .tr ptannl ,lt,,a/,. Se cere:'

I vol'rmrl poli.d.ului .anns d prt l.lr:tur.rea lstrae{lnrlui ,_r,,,112:l , r r r i i r t f ' r t r i r .p; l j .d.ului f r imas

f. . , l { l .n ' . . t , . ' tnr t r t ""J I j i r t , r , , , t1rp! . r ARatt / 8. t t dr" , t r leonrt . r d. l3 cm >ir . ! / , ' , r i r , r , r . , i n+". . 1, , , r . . .4, l r ,m. L1 6. dr i \ot lmut t f rJn.r .

0. in l igtr .J i is eslc desenar i l o pf ismi l rexnqonarr reguta| l i t .saptn. St i ind. ,

I t t . - . 'n r , rp, i lFrni b i /p.Of #* " . - d,r , rD.n, \ntum,, t ?r i . r , L, l ,nt . l

, -. l0t. ln ligufa ,t i, .{re .qfezinte . prisme lexagonale regnlatA drenptA se cuDGc

. ln - . r i cmt i I ' / ) :1: t .m Si i sf . i t .ntez. r r i i l . ln l ' t f i \o lLrmtr l l r ismej.

f t '

0'

F'9. 1 l .8

11. O prisn., obrica are bazelc l,exrgoa,re regulale ilrcDtl,. ti A,B,C,D,E,F, qi t^Irtarti'ne ,1'O O liind .entrul ttiLel ABCDEF. Dact hrura r,exagontrlui $1. de a ;m :l+,-1,4o:bl ] ' srsp. . [ I l .zP:

In ro, lmxr pf lsm., . ' *b) unghiul lelci ,1tt'.1 cu ph.u! bazei. i!alda.e! unci tur.til l.igonnDelri.. r

rc.s lu i unghi . )

l ! . | ]p o mrs, l :e g, i<. tp Ln \ns pi in .u r f1. avtr , , l rorm , , . , I ,n, ! , , r t 4 i , t r , I' I 'c l , r

.u b. , / r ' ,n

pl l i ' t , t - t i t r rJ ' cmri in. r rmpo .g. , i . . t r , ,rs l f l hr ' :11 una din duchi i lc bazei s i .emad: i pe masi . tdni i cr i r , j t , r t r t i , r i t r laktr t r , , ,t rwhiNorau l r .g imea de 4 cm. DupI aceasta vasul .eyine 1n pozi l i , r i f i l i r t i t , i , , , i , , , rt i 'nf so. id i . I apa rrmasi?

lat . l in l . l rd.dfd.r fc{pl f l r t , f , r lu l r i rnghiu. i isos. f l , , . u lghirrr i t , , t , , t t r ! i . t lfo inIr lornr l { l { i ln lur i l l . r r 'Arur I r l f 3rJ" t i mtr . jh i r tar fhtr i L S,- , s, . I t , r !ot inr , , l

fift

.. .1t.. Un trrht, tpt8'd (' rr tr! ,rririittr rrtrl,r ,lr i tt totrlo t€loto sunr rombr.i, rv0ndun

'nBh' , r$r( i t . , td 00". Si l so ot totor i ! votum,rt t r t r .u lo l ip ipodut; i .

16' . lncnl \n. l - ) , ( :DA'R,C,D,demr.hn,d,()* t f@rinr ls i t r ,a. , , . . tn l t . j l r i . . t r l r . / ) ,Ot ' t t -n tcFi ,B,D.r( t \dt tp PirDD. rr f .nr j t . " , r t t . .n, , , , , , , r , . , , , r t , , , ' , r l . t , .u/uf I r . f , rpr IntJt ' r . {Fd . Ibutr i ( . / ,pruoo.\r) . . t rn s i rno, , i . . , . . , , , r , , , , " ; . , , r , , , , r , , , , .Itrll de afia iot.tA a cubului? Drr volumu]t

r

-_ ro. ln cubul ,4BCD|1 a,Cr, . M sre mjtocut nuchic i , lD, i . r .v est . n i j lo.ut rnr , t r j , t

CD. Sliind ce rr{X: by'tft, 6A se arb votdmul ,i aria iolatd a cubutui.

-. 17.-_1n Nbit ABCD.1,D,O D . N cst. mijlocur muchnji C,r,. Segn.nrnl 11N I (irn.

ln sc alle arir lolnii $i volumul .utrtrr

l r i - . lu l | i l r tDr mrc[ i i lor t rnui pr tutel ip i tcd dr€t tunghic.ste d.4s m, i r r , |agorrh, / | . 5 / , ,n. Si i se i t l ' r u ia totr l i a paralel ip ipedului .--- l!f*, o pris'nl d.f,lt)lrr or l,.zr rd rrnpcz orre.,rc ,tI\CD, co AB I CD, ,78 : )!t I nt,9P=. -

r ' r : . nr i , , , . , . i , { ,aJ"- , , ,n. .5.p-,r i . { ,1,r , , , ,1. , . , . i t t , , , , . t . , , , r , , . . . . '

: : " : . . ' : l t " 1 l , l ' l l ' . . ' , r r r r , . - , , i , r ,1.p . / , . . r5. . , r ,1, . / . ru. , , r_, . , , , , r . . , , , , , , , , , ,

tofrnr ic. i l i i r { l c i nr i t r jn|a l , r isr ,e i ,* i " , t " ro ." .

I O pirdmidi €ste def inir i de un pot igon ptan, pe rsra i t numiln 1ta.. , i , s iln p

' | | | , I . \

' c ' i , , r | , | , ' | | u I u i . . ; , r . t , - , . i r " r t nt t i t r -h l t tprr , t t tut , r . t r r i r r r , , , r

I l i , ' ' ' ' " l F ' i ' l ' r r r r ' p"r ,c ' , , , ,h ' i p lan r l ig l ' i . l r I rnu' , r .h inr l r l \ , " r l ] I , i ' j ' r , t , r i r t , t , r r ! , . t .n \ r , r t i r t ,L, . . rc , , L. rur : , a hJ?. i sr r ,u, , . . r , .

lut ' tnt i i i t , r ' , r t t ,hi (C( 'nsicler i ,n t t i . t p i .amil" t cu inLa"iorut et cu tot . i

Fig. 11.1

irsrr 'Drur { ,u Intpf lorut idul . i . , r ts urrr . ! t r r , t r t , r t t , r r , , r , r , l , , r ,u ,L \ . , , t , ,1r f , l f | l l f l r l | l f f l . t k th i , l . t t , ) . , r ld, LrrDr i io p.r t ;g,) r r t t | i ( i , , t buir t , in | l | i , l , , i

ll{l

int$rforului f r l r i , , t i .nt , r r , t t . t . t ! , t l , t t r t . t , . - . t r , tnrx,r .u lr l6 l rn. t lo In morl rs. | | r i l f i i l t0r r f l ls t , . t r { . ,1. , r l r t I t , r r r I r l t

' \ lnt l t l t I ' t r I t r t i l t t . r tu n 4t tnt t r, , , i / i r . cebodetA rnsn D.in ni,nni.u ,,"^' , ' : ! , : , : : . . : , ! . : ' : ' : " ' t)nt. ' tmit t) intprin pirarnidc vom Intetegc , , , , , , , f l i FUprrt , , l f t iA.

:,:I l l i .1-"" verr Ei phnur bazei se nume$re i,,/4/,,, r,ult l,a astfe],

ll,rilT::,:-ll^L"l* t',,1":,: p."rr"-" . ""i """"i;;;",ffi T"ffi ;lcu un,capdt ln vArf gi cu cetiltatr h ptanut bazei (fig. 14.2).lndll irnea unsi pi.r^ia" p*r" ia o"Oa

Nrnt...un lerl pe; latlrl

e hazei

Fig. 11.2

..__Pit: :". i- l )aluri lor potisonurui dc baza. piramida se numc{rcj rri_un-.gnrulard,.patrulat€rd, hoxagoDeld etc.i tretrs€&ul este In fond o pbamida

lrrunghlulera.

. Dacd. bsra.piramidei este un poligon regllat, iar tnalrimea cobordtd din*"1"-i_p:1T1:iL** prin- ceErrul bazei, piramida se nume$re ,.reA,ddrd...rnrr-o prramrdd rsgrtatC. t, , , i t(rmeft un"i hqe r- n,,,n"qr" ,por.. i oi, , ,-mr.t,1. Ea.63ts ipotsnuza ttrtr_un tr iunghi drFprunghic tn care catetete iunt,-tl,It-T".l.l*iPto:' 9' ,polema bsz€i. Aplicend teor€ma tui pitagora oblinem,

ou notaFrle drn tigure 14.3:

, Fig. $l u

DacU notdm cu ,R raza cercului circumscrir bazei 9i cu ,r muchia laterotila p,iramidei, put€m €xprima, cu ajutoNl teoremei iui plt"g"; ;;iil;l;;;InoI lntr-un mod: 11 lr,_ ,/ii. Ss mai poat6 stabili "

f"git"* i"l* "i,l

70

l l r rnr idei i r l rnonL{ ' lo hnz( i "noi

piHuI| ido r0gl | t [ t r , t , r r ,1r Lj , , t i , rul Leorcnx, i tui l , it lag{rral

sa\r A :a 'b t i '-----:, unde r, €st6 numdrut jatui,itor baz€i, D trtur$bszel a',apatema pimmidei. lntr-adovir, avem z tele laterale 9i aria fiecnreinorte La.

D{m mai jos.doue moduri de a "desfdruro,,2o pimmidd. Expresie ,,l1 dr\,rrrura,, arp acerari rn!er". "u r" ,"r"""aa,'ei'p-"*,"jri,p"a"ii* iiillil,l.lil

tt. t{.{

, | | .5

" ' "+l N I hz.

, Anu lxt t tul i t p irnni t tc i .Nt. ^

tnu @1hr f t l t t t / / / , i , , , / / , ln cazut t i .a.hidei regulate. cA scobl ine di , r lormuta c l . , ,_, "" , , " r . " , "n. , , " . , " , , ,

t nf l l . ' t t ln t t tdnndrt ,str ruxt t l d i t r r . dnu lut t ra l i r i , t r to t .n: / Sc obt inf .fn cazul p i ramidci rcgulate: ca,or

- , r ' (g ' | 4r 'sau

A,_ ' '

O/,

VOIUMUL PIITAMIDEI

t ' , , " , , t , , , " , , , ' , , i , s , ,L lus ( l i lg, ,nr l | l ' , l ) i r l , , ; ( i , r r r ' f , r ' , f , . , l i " t r u"Pl i r r , l ,

' t i , lor i r ' ra l , , l , ar !s l . l r l iagonalr : cu vr l 'hr l , 1, , r r , , , r , t ' t i , | , , ,1,

l ,nt , i , r l t ' r f , r r ) i , l i r in t , , l r , r , l r . d. r ,1+rrs i in i r l ! i rnp ( i r ( t4 r j ) . Sulr i l

Fig. 14.6

lor o vom numi volumul pirami( lei- Volumut este indep€ndent de ategereaveffulDi bazei sau a unui punct din inr,er iorul ei . Fie sr, s2,. . .s, , ar i i le rr iunghiur i lor in care a lost impdrl i t pol igonul de bazn .si , indt l i ,n€a piramidr i(care este comund tuturor trtraedrelor). Arifl bazei esre 3 : sr + r, + ...+ sh

ai volumul ( ] : r4+"1+.. .+ ' l : ' t r l lr 3 s ts l rs,+. . .+sr j a- i '

Deci. tolumul prramrdfi estr o bdfi.. d.i.h ptud|Jul dikttl a a bazci. stt,1.dlli,}h'.

O problemd, d.e d.cs?n.Fiert f ,NfPpuncte

\ncar AM < 42 , VNt

piramidei I/,{BCD

v

Fie I/,{BCD o piramidd patrulateri c! beza ABCD.situate pe muchiile AB, VB g\ rc,-spectiv yr, asrfei- rB

- ,^ tD ^-\ : f i /P . - .

SB sF detprmjne lorms se.t iur : l

cu planuL determinat de punctele LI, N Fi P

VV

(f ig. 14.7).

v

\)

II

f iB | 4.7

?l

I l . ro l t4, . t r l \ | l t r t r ( ( l ($1. { t jn f is ! , i r i r tur , tvd t .oLr l . rm tr . t t rsn ( i t r r r i i vr ll ' ! r lsrrx ' r r i ,o l r l r tnr iut i l | ur i r i i ih l i t \ r r , .1 r l , , h t [o l ) l ( jn! ] ! l l rotv i r t r t ) . i ! i | ,1 *r l r .t rnr l , , x un t )h", ! i r ' l l r t . t r r f ( l ru t i t ) rMt, t i l , i t r l t .

Pro*cnd ftzolqtd. Se dd o piramidn hexagonati rcgu]'ntl l.Alt(:trt,t'cu element€ de lungimi cunoscute o: latu.a bazei, i : Indl l in ico pir tr , I i , t , , i(fit{. 14.8), Von calcula oatel.a diFire elementele-unghirrri care apar.

Fig. 14.8

L UnChiLl 4 .|i4tre AB $i 1,,^ ln l r i -ns\ idr isos@l vAB. t ip M mi j locut t { i At l

tlA. L'.\n ttA :y'E+-F, rezuuit: cos d :vF=e'

l i analog a:11,1t ,

P se determinl din tri

/,4 A aftm y : r80. -- !d : 2{90. ,).deremin{ din triunghirl isoscet l?.,tar.cercul de .azr a, dect AC : ay'i ,.i

- cum ,4B l lr t rezult{. I

' : +lDn. yrr l : iU_B, vD)?E) 9i a:\11,4r, r.r).

, 2. UaChnn P diqn. A, ti 7C. Ayem lt llc4 deci unBbiulUlShiul is6..l I'Cr':

lsp:

Av.n 9i p - 11,{4. ta l .

A. U^shiul.( dihtrc tl ft I/4. DiD triunghiull. Unqniut I dint.e I/,4 ri t C. Acesr unShr se

..lC .stc l tura lrn,nghiutri eclritat.ral tnscrjs tnoillnom:

,AC.62

2yA4vl:7Vffi

. .ltatrc rA ?i l,r. Din triunghiul isoscel r,4p, conguent c! trirngl,iul

. : 180" _.28 = 2(90. _ p).

- t . I nt , , i tuLlen^t a dnh pldaul baz" i s i ptoD\t un- i ta: . l / ,4f) "ste unqhnr l drn ( . /

l l t t l ' r fh lu lur / /4) ,? r i lnd mi i lo- ,1 tu i . .1F. deci

v' " t l '

-L ' |ht ' /1 .( )Q nV,t 3dI

l. A^thitl dt.dtu o .lintn pl,'.ttL l.td., yAD ti yDC. P.lDondloulrnL 6!!dlt din,f fl C p! y, cld ln ac.lrtt lntnct Hi AH

- cE, dccl, In t.luntlrlul /Crl, rv.mr

AC

A" i - { - !} 7 ,tE YB - AR.rM rdublul e.iei t.lunshiulul /,rt), AE

'AN- ._- AB. yM

VB

Aieq / ,R-L cn, /Q1dr. deci o-,^nvQ

*Un i .lid.u 6 ainE plan.Io f.telo VQD,i VA"F. Arem CD ll,{,r, d€ci It llll(vCD). doci plan€ls reFlor rCD ti r,{r !e irtds€ct€atA dup[ o paral6lA la Ctd ,rf,

Ia "t/'s2VO2r

PTOSI,EUT 14

1. S{ !e dotonnino alia laterrl! a utrel piranklo lrlulghiuhE !€gulato r clEi hdlim€rto d. { cn, iar apot€na phamldei €ste do 8 clI.

L Arir lrtolal{ a Dnei phanido potru]aterr rcguhlo €6t€ de !4,76 m,, iar c€a tota&ds t-8 m.. S[ .6 delelnin€ latu.a barsi ti ln{4nma plrantd€i.

a Muchla lslstalA a un€i piranid. biur8hiuhlo r€surlte fod€arn cu danul b{riiun uDgni ds a5', l& &tun ba,ti €6t6 Ggdn cu.. S[.6 dete,|mtre aria laL.all a pire-Dld€|.

L lntFo piranida prtolaler{ ftSuhlu;oporom! bat4 sta ds 24 crn. iar rpo[€maplnmidei 6to d6 ?7 cm. SI E. cahurere: nuchi! tat ltlil a pimmidoi, Ildtineq tl ada.i lalcmlA.

5. lntr.o phEmld. tdunghiula{ ra8ul.la !o c|l[oc: latura bar€i t3: 5y'5 o riI'tAlthla pilamidei t - 6 m. sd !€ calcul€ro rauchir htaralA, lpohna pirantdei ri adatl tolrltr.

a. Inlr.o pilanidn h6ragonsl6 r38lrlau se dau: !{ra c6mului cir$msc.b baroi,: tl a tt nuchia lat€ralr n= 13 om. Sd !€ caroll€rs aria lat6ralA, aria totau tttorltrn.{ pitomidoi.

?.. In pil,imit| YADCD, }Ara ABCD .r,te utr p{trai cu htua ., ir! t tero lat.ral€fAB, VBC. YDC qi VAD 6unt Eiunshtuli €.hilateRlo, S{ 3e detlfnire (tn lunctie d€ d):

e) luncliil€ triAonon€lrico al€ uDghiulul dirtls fst l€ YAD ql vAlib) furctiil6 trlsoDon€tlic3 al. ulShidui diDtro retclo yAB 9t VDCicl urSbful dhtr€ vA ti pbaul lADCl.8.. So co!!ids$ pinmi& tliurShiuhtl /rC, cu nwtiii!€ AEs BC

-CD - DA,

lr- o. Fi6 trf ti n mi.iloroel€ nuc]iilo! lC tt ,D. 8{ ss alato cd lU.tY elto p6rDsrdlouhl{ r. ,|C ri ,.D.

0., S. {td un tgrrrsdru FSDt.i de |'rfthio ..e) 8{ r. d6tdmiatln{Itinoa tl apotoda ttracdnlul, prscuE * mloatla .o.lnu.ulul

uoShlulut dirt!. doul leF are br$sdrurut.b) 8{ .. dstddin6 dilt&lrle unul punct oan {r. do p6 lnlltlmcs t6lra.dlulul l.

r.hl6 ht rah, lD luncll. d6 dl.b!1. r I rcitola la plarul bar.l.o) Utlll nd Etulhtul obllnul b Dulolul b), .l rs rrrt ct .um. dl .rt.lor ollCll|l

puncl d. p. l 4tD. L trl.l. t.tr.dtchl aqt. ..D.hrtl.

?aE{.- , - . .1

10, Prin mljlocul lnllllmtl unoi pira'nldo trtlrnshtuhr. qrldlo ',,,trC

m d!c. unplrr parnlol cu una dln Ltole lal€fele. 8N s€ allo lrb ..cltuDtl foharo. sdind c{ arh un.ll.l. lal6ral6 €stc dr 72 cmt.

ll. Bata uo€i pFamido €ste un tliunghi eclrilatonl cu lalura do 8 ci'r_ Una dtDlmt l.l. hleral. €3to, de rsein3tr€a, un hiunghi @h shral, al cIf'rt plar €3re perpeDdlcuhr?. plarul ba@i. Sd s€ delelmils aria latenl{ a ac€€tsi piranide.

rr, o plranritie am ca baz.d trape'.ul dr€ptunBhlc lrcD IAD Rc, A = h - so,.AD -= a, aC : 2d $i AA = 2al. IdlliDea piEmidei. yo cade ttr pmctul o, mijlocul

ai a.iib rriunghiu lor.I,,R, vAD, YBCib) volumul piranidel. I

' 1r.. O piramldA a6 c{ bazl un p$alelogrrm ,rtCD ti virtul 7, aluel hcAt Duchio7D r{ tie porpendicuianl pe.planul barei. So oot€ar-C cu rlt mijlocul nuchiei yr, , rlindrlrlul opus lui D In panlelogmmul -{acr. Sn sa al&t€ cn:

a) plan€lo M,{t fi itaD surt perpgndiFrraft pc danul bazei ri ,rdr. ,IDib) lnshiu.ile telelor MAD ri AC cn phlrul h{,si Bimt consrueDte.r|. O pi.rmidA latmlaf€r6 &sulau ;r€ htur[,barot egr|{ .u d, tar sscliun€a .diaso.

tLll 6i€ c.hivabntn cu bara. Si ss d€termino aria lat€ralA a piramidci.

tr|8montului ,4t. $tiind o{ I/O: o, 3{ so calcolers:

I llt O pilamidl'are baza un pa.al€log?am. C.€ poliron s6 obltno Esciiontnd acoa|tfinldd cu ur Dlar Daralel cu o tat6 lale.al6 a !{?ra.. Sd !e &iat€ a{ oric{D am atcSe rrel muchii al. unei pilamtde, csl pulin doue .unt

In ac8k$i plan.

l?. lntr-o piramidA p0lrrlalerr ltgrihtl ruacD, cu nuchla bami e{f,lA cu s co, r., prh mtjlocur Euchioi t2, un ph! pamlel cu phn$l klushiulut ytD. Srtlnd irtlls piranidet sunt oongruonts cu diagomla batst, !I .o calcDlor€:

r) arls lstrtah ti volumul piramidoiib) arta soctiunii detenDinald h plmmidA,

lt, Fio o piarDtdl pat!|llat€lI r€gulatd cu baza r D{tnt lrdD ds lalull r .rD,oA unShiurils rtl€dre a doua ret6 oprlo lunt cor8ru6oto cu unshiurik died$ pe ca].

h form€ot! cu bara, EA 33 d.t€lEln6:rl Euchlil. ht€ral€;bl lnlllln6. linDtdeitol rtli lrt6!{l{ tl alh tot{ld.

n , tL SADCD o plraridd r.gulat[ cu bars pAtraid trCDrh httfili 5.

l$ O ph.m&rA ar bsra ABCD dnptun8hi rr. ,t- rd, ,C:. ii Inlt m.a

- 2r. P. rluchi. .t r€ ia nijlo.ul ei, P.

rl 81... rnt! cl trlurghiol.{PC €st ilo€c6l !i ![ r. cdcul6z6 aria !a.Dl 8r & cxlc't.ro .rb htera[ r plramtdet.

do latrl{ s y't

r) ll .. allc .rl. lals!.U tl _votuoul piramidot.bl Drol notla cu O c€ntrul pltrahrui li collltorrm un punor rf D€ nucth Srl

b tLt.fiDln! co.lnuld ud8hiului fomat {ts O.L clr fnanul DAtratulul, alltot Inclt rrlr.tClV .l lt. niniEl6.

ll.. Dml o plr.mldl irltrnShlulrrl n$ rt| rt. nucht| brorltt d6 mt mo 6 coo.Ita fl htw. r a brr.l vrlkblln ld|' hrr .t D.lru un t.lurSht .chltat.ml d.IntutA rr.I llraal talrlDaa hll . D.|rlru ala rCunrl DlraDldal ato DaxlD.

?t

, $r I r o l in.nrt , tn ,h t r i l l i rnc , , rd $,st , , ! rn h , | | r tnr ln , t . vtr l t r {bnto dus urt ' r{n p"tr 'hlo, r r, , {rrn, l r,u.nr {r id ror!11 d pirtrni,r, , l nr, r , ,r i fr""r i . l , i i i" i"a"ri""rmrr n,.n d{nr | (dri ini l i h.18. O pi.nmjd{ a.e mrchiite lnt.rate con

:'lr;l l";*J.lt Sl"t;1;;:;:',""ffi :",'ltlll;i: l:"fi ii:TllJt'li: I n';]"'li;, l ' n ia ferurui r iFxnic. i r imp€/urui Eos.er:nr v0lumul Diramidci

, . l{,.O,piromida irilnghiDhre .€Autarn a.e lalura baz€i de 6 y'i m ti apotema (pira-ml, l , . i de r D. Sl t se Aj tc volumul pimmi. te i .

!6r. D.fprungr,ird ,rttcD este baza unui paralelipiped d.eplrnghi. ,iaorrr|cA, int:rtu AIt r AE, AB:2a ii AD : cy'i. Fie -P niilorul talurii .]L qiq.iiro"ut l"tu"ti,41t. sil sd .alculezc vohmul ietrae.trului f,flpe, ttr tunclie de a.

,n. ,_ l ' r ,nrr una din ld,u. i le baz. i nnFi p i rsni idc rr i ;nShiutaF rogursle . t r ib t imeaI a y't cm ri taru.a barei 5 cm, s du@ ptanul pe.pendicuia. pu lnoihiu op*a. sa!o .!rctrlere acia sectiunii oirrinntc

!7'. Felet€ unei piramide triunghixlare re8ulate sunt triunAhiuri iscaele de baze 4tr . , t r , r t , i ta vdrr 30. $r se p(p. ime \ ; rum,,r p i ramidei . cu ajur" , , i , "" , i ; ; " i i i r ; is" ; ; " :t . l .c s l€ un*hiului de 15".

Cc.FieO,{ACopbomid{r . iun{hiulare.umu.hi i rcO_4.OA.OCpefpendi .u ls|e, loua

i:';,#i'i';'l : * ..m' oB :

"o cn' oc : io "'".' sa

"" "n" ai"ti'r" a;;;;,.;;

l0a,-Fi€ .t4AC un tetccdru reguhr ,i It mijro.ut nu.hici Ja.rapta .ta este pcrppndi.ulnra pp planul ,1,4A.

Dr r$ e arie rsporlul. dinho votumdc pimmidFtor J,4 AA si uatC..r sa e arar€ cd ariilp rotatp ate s.6ror pir.midc sunr egsio.

te oiuapiatro treDur€ s{ aibd punctut ,U pe.tC, pcntru ca aria lriunghixtui,4Alr !a

80*. SectionaDd part€a suDe.ioara a unui a,cu d ma",mi,p ;";;;;;;il;;;; ;fii;"iffl;ll:,ff ",:,1;1",:l;1T :;:,j'iH"j,l':tr'Hi:':."1#i"""j1,"j"

cc', eana se rntmn*c, sr "" i,"*,"a ,"r,.,ii'"Lp*E"r,i

*,,,,1'";,ll'l':'fJ : j:,"ij;"Tffi :ji*#":tl ;" i",,;#'" jTj:,ilf it"li1l,l"n ",-

7ml ' ig. r 4. to

4m

/ ' \

2q\

10,.;flsL 71

8!. l / . on t i r l AI(DA t j ,O D, ru nrof t r r / ra, d st a rn o pi f tmir | t . f i { t rhtny, , l DOIr. t r \ rntr t i l |1. l r i t r ,ahiu. i r .h i tdt{r l l , 1 igrrrn t t . r | ,r l S, se d.r f .minc volonr l cor lu lu i oblxrr tr i cd sd arr t . r t Av I t a

.l Dace qu se cun.arie riru.a , ci numai lunsimea seg^""1"t"i v,t, _ t l/71 1.imrl.i. sl se siseas{:a lunqinra lalurii a.

SS.Sedeopr ismir . iungt\ i r )aAABCA,R,C,deyolun8mj.Fiet{mi j locutnrurtr i , . ilal$ale tA'. Sa se afle votumul piramidei r.tI,,|CC.4,.

84. O lim;ida Fgulalll. ,.ABCD arc tarlta ra,.ei AA : 4 cn fi rtolema pihrri,l, i6Baln .n ,,5 .m. Fie A'. 8,, C,,lr, mjjlorccte muchiilo. tatcmle, /_4. I/a, yC. , r) jn\arcnsrN ordine ti iic jf nn punct or.eca.e tn ptanut bazei. SA ;e alle votunuj pirdnnr,.iN 1'n',C',Lr.

- . .T:,.1'.1.::^:'_rj" "lotcd .u capacur./rc, si mrchia ,{r: , .rm, puncm o rirlDjr|rr(Frtat{ VA'B'C'D'undc -4,!dr, sr;oealalt{ ba2A a cubDlui. Da. mtacul .1;(., nu

ro ndi Inclide. El face un Dnghi de 45" cu ptaoul lazei.' a, Ca.e esle rolmul liramid.i?

. b) sil $ grsase sinNul uqgniului ptan al diedrului to.m{t il'e o tare tarerah n ti.a_nidei cu baza acesleia.

. . 80. Dace desliliurem sulratnla larerali a unei lil&mide rriunghiutarc regulalc, ohrin.m lrsura t4.lr. stiind ce jaru.a tazei €sre rc.: i0 dm, s{ se afle arta 9i voru,nui puu-. l t ldr i l r l , r l 'sunl in t rerxnsiret .

o' c 'b rg. t i . t l Fig. 14.r2

, ,8?' . L ' , ,11, , , . t ,11, ' ln i ,L

t , , , t rutJ l - rd +gu,dD.u !dr. r t yr i bdzd 4BaD tA=tn-, 5r i r rL ' i r . " in J- L r ; r . r tFte '"rvf t , , , , .atFJa1a..orurniL, . r ourtr . t i r r . t r ' I I . i ,npr. p r ' 'o, , " ' . rpt . t . , rhh. In l in i dr"dr 'd pen, . "" , " ; ; ;

" ; , " : i ; , ;$ nolrrrn.r /J ' , ( t , . D,punctcte uni le t i r rn ier r rt.r). s. r.r0r .

.dverserza.especiiv mLlohiile tr, t/C

i).Nr ic(losfirorm pe un pjan $Utrriala taterata a pinmidei ri s.{ se t.asere pc oa

lr j rn ' r { l , r t f , t runnr l a.esla.el mriscurt s j tn iccsr. €z s^ sc catculeze lunShD.A tuir , ) ! t | *h iL i i l sr I r i r tu , t r ]nrr t i r rDi . i i l r j i , nrr .h i i t . hr f r r l1, .

, ' , , l i i l : i l l l , l i : l l : l l l l i i : ; , l l l l ; i l l i , ' ' r 'h""" r ' rn'(n ' j r" ' ln ' I ' ' | ' ' l { ' | rcuri ' | { tr

_ Corpul co rorulti Indopertend dlntr-o piiamidl o piramidl mri mici,oblinutd soogionand piramida iniliald ou un plan paralel cu baza oi, se numeltsarun hi d. pircmrlt.

Fl8.. t5:r

Cu roteliilo dio figura 15.1:a) Poligonul l'/)) se rrnr;rreqle baza marc.b) PoligoDul din, plarlul de aectitne (./)') Ea nnrdrerte baza micd.c) Toet€ trapozele.ce rdmAn din letele lstersle, tn urme secliondrji 8i

lndopdrtlrii pifamidoi mai mici, se n\mee" [el, totprat?.Ert6 uto. d6 ardtat cd c6l6 doud baze sunt.poligoene assmea€a. L[sim

rooorttr domotrstreri€ p€ seeda eiiiiorului.DacU trunoLiul de pilamid[ proyine diotr-o piramidd rcgdafi, el ss

[ur!€tt6 trutohi dg pi.aoidd Egulatd. Fsl€l€ rale leteralo suDt traperg isosceleooDgtroBt€. Voo Dumi tordllime, uD6i astlel de lele, opotcna trunehiului ,fpiranidd. D6o|le uD t.unchi do piraeide regulatd, avem trsi tolud de aDo-I'l' st apotoma trunchiului, apotena ba.zei nari ai apotenta bazei mici.

Truncht dc plrontdd

rg. |5.2

on- om

Aria lateral[ a unui trunchi di piramidd regulatd este 6uma ariilor tuturorlglclor let€rale. Notfud cu D numdTul letudlor unei baze, cu 4r apotomalrunohiului, ou I lungimea laturii bazei mici qi cu .L cea a barei mari, 4rfiind aria lateralf,, s€ oblin€, printu-un proc€deu asomlndtor ou cel rle lapi!|aid[, oI:

'1r-n 'V:JJ)9'

1t

Arif, totald { t.unohiului de pilenrirll ro oblino rdun{nd la a.id !a hiclrllauma ariilor c6lor doud bar6. Dacd notlm ou o,r eria totall, cu ar apot6rn.bazei.mari gi cu c. pe ces e barei mici:

ol,: 4,4 !:-!!-JJ:-@' . n

De3fltureree tnrnchinlui de piramidd !o facg as€mtrnAto! cu coa c unoiprisme (fig. 15.3)l

llt. t5.9

^ Distonl& dintr€ plenole berslor trunchiului d6 piremid! o trumim tnd4in .

luatd astf€I, ea 6ste numtrr. ln unsle problom€ o vom ooaridera 9i oa un re8.nrSnt cu cepetole respective lB planele barolor 9i perpeadioular pe acast€ be!o.

Calculal, lndl,limii ttzhchiului de pitumit t rqulatt' Nottrm cu, ti r latudlo bazelor, cu or ti d,n apotemele &apeotive alo baze-lor, clr @, apotema trunchiului, su m muchia lui letetsld, cu .Ra ;i.I. razelooarcurilor circumlorise bezslor ti cu I l!trUiB€a trunchiului d6 pildmidl.

a) Sd se exprioe, lD tunolio d€ dy: a- li at, tnl{imea n (lig. {b.4).b) S{ ao exprim6, ln tutrclie do,Rx, n, ti m,& ln timsa i (ltg. 15.5).

ht:4*@M-ar l ''rr

: nt _ (nr :_ pJr

/i! !0\

"i,/,-1'-

lb. ro.[ fl!. t6.6

7a

lrr gcnolal, urr llh" plrnlol cn baza frll(: . ,|r,ry r $tr.l Plt'mide det€r'

minA Incd o t i f l ' ,n l l cu bnzs A'B'C' . . . M'N'qi r j r r "{rh; i

v lr l P' Pe care

, ' ""m ' ,umi

. . ;s. ' . """ '

.u piramida mare. p€nlru 'n

torr to lol ' to d" l ' ipul P'{B

F' |nr nremanpA .u cclc dc t ipul PA'B' . bszelP ARt ] l l . \ q i A'B'1" '" ' M'N'

sunt gi ele asemenea fi raporlul lor'de asemenare (raportul a dou'[ s€g-

mcnte omoloage); prin tranzitiv;tAte, se -poate dovedi ce este acelali'

l)acd, jn plan, rdportul ariitor a dorrn poligoane- asemenea este egal cu

pltrntut raportului Je aseminare (fapt, valabil ti peBtiu ariile laterale ti

lotale ale celor doud piramide), vom putea afirma urmdtoareai

T6or0mI. naportd, eolurnclor a iLoud piramiile asemenea este egaL ctt cubul

rcporlului iLe ascndnare,

D(monstralie. Dace notim EPortul de asemdnare cu /l' avem:.

. s,{a.. . . i r l = n, s i ,_:

a.SxB'c' ...

^t'N ' Y

unde h este Indl l imea piramidei io i l is lc qi , r ' a c ' tc i mici , iar

n)' Je's'c. ii']t" I

Aaaentadm cd aceasld aski una ilin teaftmele carc' aplicate' ne scurteati

nult tol tul laborios tn d$tulP orazii

VOLUMUL TRUNCHIULUI DE PIRAMIDA

l|aofim{. Vohmal i&nch;ului d,c pbamidd este e1al cu o treimP din tndlli t' I

tn,nuJlill cu sama (t;ite oid bazei nori, a a bazei tuici si rddicitua pdtrat'l

din ptodusd ariilor .elor datd bdte.

Pr-* ,T-i-_l_I il l

00

rrf . t6,i

i5111

8l

Avern r ls. l da ardtat c[? l ts f " f 7T;)" 'rd€ '1' oito volunrul

trunchiului, J Pste Inell imca trunchiulul de pirarnidd. T ariu hrrzoi rnrri t1i r

sria bazei mici. H qi i aunt m6rimi sjutaloare Ei onume ln6ll imil ' prr"nr'-

d€lor aqa cum se tormeazd ele ln desen' prin prelurgirea muchiilor' ur '/''l

Ei t,, volumele piramidelor r€spective (fig. 15.6).

51;. q5 4!: L-" pi, ainr"-o Proport ie derivald. obl incm:

\ af \ -o, Ha - i rn

Deci,

t . \H - h\ l { ' r Hn + h ' l lJ (H' 'H, t l:____,__ _I t i ,_;_

_i

Der 1: i;

. Rez'rl ia:

o:: !L.( ' t 4- r \ : / - .15 ' YS*") ," rn \" t / " 1 3

0""" ""

t"" lui" demonstrat.

PROBLTMf, 16

I t. Un t"un"t i ite pim6jd{ rrirnghirlad r€SrdalA are lat!.a bazei ftatide6y'3 n"

'lilura barei mici de ry'3 m !i mn'hia laterald de 5 n SA s calculeze aria latctuh tl

!. Un l.uncti de piramide patnlalera reres latA are lalura bazei ma.i ,. laluN l'trzrl

rnlci, Filn!\imea./t. Sr se calcur&e in tunclie de !' I ti l in{llimea lif{mid€i dnt urR'

8. O pimmidn rre aria bazei de 8 cm: 9i lndllimea de 1o cm S€ sediondtl 'n

un plan parrlet ctr brzd du6 !.in mijlocul tnlllinii S€ cere vo\rmul lrnnchillti rl'

Ff lent id i l . F ' f '

'iohmul trunchiului

4. InlFun ln,ncli de litamidd hexegonal'

fittrl,rln * cunosc ltroLaiiile iriind cole din

t l t {o, 1r , i ) i i i l l l i tEa .1 ' -a ' : 3 cm. distan!8

,'.tl' - 8 (in si hlnra batei mari D-E : I cm'

) sd se o{lculeze Yolumul hunchidui d6

,lrunl(l[. A

bl tl[ .6 cllculeze aria lateralA a lrunchiului

d. tlmmldi I rr,a. ri.; C

. . , , . i . - {"- t l l o 1,rnn1,11 n,r |nh' , i I t r t l } , r !ntr , t l { r , , , t r tnrrr i t r r r r r i l hnt8tnroa rrnl .l rmrl r t l { l l l . ' r i rm Ln r , i t r t ' rn l . l dr t , tnnul hJzrt r r , t { rh, r t , r r , , l r t r t ln lu.r t . l . t r phnr lbrror, r.tfel lnctr o,poltnl dinttu voluqut jrrnclillfi ,r" pr,r,,rjl

"r,1rr,ur ,r vJtum"i

t , r \ r i i t l . i ,AL(:Dsi t i . og: , t o1?

, 0- Inlr.un t.unchi de piDtmidA t.iunghiularn F{nlatd s€ cnnGc: llnu.a Dar.i rna.i

:-:;^'_..i l l l i l" j",:r T,ci /. u.6dnrirorumur z_ cr y i .._. sr "" "rr"

r,,r ir i",.",npolcm{, Duchre s i dr i . latprst . i r d t r (nchiDlui

?. Intr{n t.unchi de piramide l.i;nghiulaia r.sullra se dn6c: tatuF barei nariI = t0 m .!ra cercutuic'rcums.ds ba?ei mici , : _ala m ti aria taterate @ar: 168 n:.Sn i r { f l . volumut s i mu.hia lsr .€ l , l a t runchiutui de piramidr,

, -8. Un rrun.hi Jc pirrmidr l patrut i ,ere reaulat . arF diaconata dc a m r i l r rur ih b;zetor4.7 m tr j m. Sp.pF sn{ Iaterai i s i rotrmuj sdu.

t Un trunchi de piMmida are ca t€ze doud roml icu larrrlr€ de 6 cm g s cm li.,, .rle un wAhi de lro.. Ini4in€a rrunchn,hi est6 egaU cu lriptut diaqonil;i nD;; ;Dazer ma.r qr un€tre conirele .onbu.itor. Se * .atculeze itrntrinea piramid;i din care p.o,

10. O piramid{ a.e nuchiile lrr..ate consruenie ii. ete foMeaze d ptoul bareirrDt hiuri de 45'. Baza-este un i.apez isos.et .u uqtiurile ascurile de cet€ oo; qt b"";d;6 cm_ ri.8 cm. Se seclioneaze piranida cu un plan pamlet cu baza. si care tmDarte helrimea h do'r{ perri egale. Si s afle volrmur h;chirl,i a" pi"r.ia{ oifni.

- , ll, O piramidl rcqnlatA aE inAllimea de t2 cm. La ce distanrr de ve.t bebuio Ei sereA o s4iune, print. un pran p{.alel c{ bara, asf€t ttrcat aria taienit{ a piramidei;i;i

ce s€ ro.mRzd. s[ Iie esah cu aria laterat{ a hrnctiulDi de piramid[ regutai{.

. . rs. . Un t tunchide piramrda .egrbie are c bize douA rr iunShnf i e.hi lareml, cu taru-

:::".ilfp_:"ll] li. il"'emr rrun, hiurui e6re e8Hra .u 1d sx sp @rcurFze. h runctie de d.n.ra rolata 9r vorumrt trunchiDlui dp Dirdida

. l& l rn rmnct, i dp ptramide tr iunghiulo.e rcgrtard arp tatur. bszci nar i dc 4 nerr iBrum Mzer mrcr. lp, metr i t i unshiut tormal de murhia laremtJ ru mnch,J bsrFi mari .care pornGc din ec€lari vAI|. egEl cu 60.. Si,se &lcuteze volunut l.*"l.r"r a" p^.1J.l{r. Un lrun.hi d, pimmidd are ariile bsz.tor egate cu ,rr si .r!. s€ the o strtiun.prmrFun pl3n l)aralpr o baale. h a,.penii disranlt fall de ambpte ba?e. SA sp qh;te/,

nrD,) a r .6 ler sFclnrni in fun. j l ie de rr 9 i &.

- _ 16'. Utr trdnchi de pimmidA are a.iile bazelor .t,i r ,i in{llinea /. S{ se olcul€ze,In tunc{ie de .t, , $i /. volumur pi.amidei din carc face Da.re trund irn.

POTIEDRE CONVEXE IN GENERAL

Am sludiat p6ne acum cetcvs poliedre part i .dlarc: Drisnra, Drrtrnridd s,trun(hiul de.piramid6. Trunchiul de piremirla s rosr uhli ; ,ut p, i , i i , ,r .**.1i,,l |ner p,ramrde (u un ptA,r t i , . todotArrnrea,, unei prrl i ( t in pin,nrirt I ini l i l ' i i1.Do as€m€nea,In lo,r l .r t ,r,"t , t , , r, t0 do rccfiune cu un phn n prnn,rtr(,tor l i rrrt i

82

culafo oblinuh penl acum, ao6si, plan I!4, doud corpuri oaro au runl n€aplrattruncbiuri ds piramidd (fig. t6.t),

dst€rmlnat, d6 oambol€ prirmo,

parts tt d€ elta 68au piromid€, rau

. Flg. l6,t

Corpuril6 oblitrute, printr-o estfel de s€clionarc, pot fi ti ele sectionet€Df,i depade ti apoi s€parate cele dou! ptrrti stc. Acerte opeDlii (rna sau rneirDult€ rucc€siv), acests

"cioplid!, ca sd lo numim ata, duc la Ditto corpuri

pe carg le vom numi poliodro convexe (lig. 16.2).

Fig t6,1

Ele au un numdr hnitr de lsl€, c{rs aunt poligoaDo convoxe, iar laturilelceltora ae trumerc muchii. O muclio (ferl capet6) oste comunl pentru doul

numai p€nilu doutr f6la. Vdrfurilo felalor sunt v&rlurile poliedrului. Din.tr-un y&t pomeBc tot atetea mrchii oate tels. Din orico varf al poli6druluioonvox' la utr yad !€ poate eiunge pe un traseu lor4at nunai din muchii.

Aoaatoe. runt nuraai o part€ din propriotltilo poliedrelor cony€x€.

TRANSFORMAR IN SPATIU

SIMTTRIA FA[A DE UN PUNCT

Ddndu-s( n punct, huntt cenou de dmarie lA ), spul;em cd simetrictrlunai puna A din spaliu fald d, O pste un pm.t A,. astfpt tncdtO sd frc ,ltijto.ull { ,nntului A,4 ' .

ln fond, definilia este aseminetc'are cu cea din plarl.

Teoromd. ,Prir sii'].etti.t falit dc un punct. d.i!\tanla s( pdstr(trzd.Cu ! l re , ur i r tc. ds. i avcm doua puncrc / Si I , i .onsidcf{ im simp.

ln.eh lor lFt6 dFr. t , s i rc.pFct;v 8, . putcm srr ie.ongruenls scgmentetorAB = A'B' ( t \e. 17.1).

, t*if

"1.::^r'1..","" r,4'. BB' sunr cnFlansrF (au o con,un). rriunsr,,,rnh ,lCrB si J O8'sunr . o,,grucotn r(azut I dF .ongrucn!a). a" una.

".1ut,,,ci, AB = A'B'. Deci simetrja faln de un puncr este o izometrie.

Conse(inle. Prin aceastd translormare:j t ln l"norulunurspgmtnt i \ l ransfarmdtntnt.r torxlst .ent, , , t , t tn l t rnh\t , r .

'na, (segrnentului dimet.ic). Fis C un puncr ihre.io. segmentuhi ,l B. I)'c(.i,

AC - l CB : lB. Fie C'simetr icul lu i C. Dacd C,nu ar f j inrcr;or h, i ,1, / , , ,atunci / 'C' + C'3' > ,4 'B' . Dar oum ,4C

- A,C, qi C R = at, / t , , , r r ( ,zulr tr

.n AB > A'B' t i s,ar contrazice teor€ma anter ioarA. Def i a. , ,o|r , , ; r1,r . i , t r .sPgmentului / 'B' .

2) Sinetr i?ul unui t r iungh;, f , te un /} iutr lht conlrutnt.r , / t iv i , t r , , rr , sfpnstPazn congruenla laturilor.

: l ) Sinut ia und d.r . t r t tsk bt o i t t f t l tk i . S. i0u , , . i i r rr . l r . i t ,u l , . r , , l , f i ,, l r . r ' t ' l r i / / : / . r . 11. Sis l | , l l i l i ' r rk,sf Lf j r i t l l . , , ,1, t , , t i r t t . , , l , r , , i , , t ri \ " , , , t 'hr r / / i i ' l r { .1 rqr / \ tUt ' r . i , .1/ l I / r ( t ( . t i r t isrr |1, , t , . ,n, l t , r 1l . r l t , . t , r r r , , , l i l , l t r r i r " , l ' r , , ' , h { l ' rur t Bl f t r j r , , r [ r , t | t , . , , l t . tnh

Fig. l1. t

i l lt t

4l . \ t r t 'nt l t l t t tut uurht t r t t l , t r r tht ,onNnl t l t '1,1rv;( l { , , t , s imetr icul var lului €ste vArlul s imetr icului . (rrpa4inl ' I l rnr l ,o.

Ior dfepte-suport.) Ludm (cu notaliile dh lig|la 17.21 B = Aq, C = /l x .'

- B'€ A's ' , C'€ A'g' , deci AC = 7'C' , AB = A'B' , BC = B'( : ' ,

+ LABC = LA'B'C! -

iA = +A' ,5) sirnrl.i/rl unui plan eslr tot un on, se demonstreazi ugor, c'r r,

.urmare a laptului cd o dreaptd se transformd intr o dreapti.

Fig. 17.2

prserl,atte. 0elo 5 ooaserinie rlF moi sus provin !um&i din leorsrnl| flrrr lrnriguri Irdstr rna dislanl.0i, doai ltunl valebilo Fentiu orice l,rnnxt0rrrIrrlr inN pdstrsazl i distsnln, au nu4ai portru dmoida lald de un pur, , l . l ) , , ' i ,i l l (€l€ ( ie urmoarb este d0 sjuns td sr6tdar ad tranelornrarea pe fr l f , , ,1,-r(,rienr .Elc q ilometri€, pslltru oB to6te oonsgcirll,olo ri fie vlll|[i|,,.

SIMETRIA FATA DE O DREAPTA

l"ii d dutlt tt spqlia o dftqpfi (a), a.mitd ard d.e $im rit, doun .trntr'(l' |L l'' ) lunt sinrtlrit? nvlfalddc ccldlqlt, d,qcd axe d.t sin4rir t$tt t,t,lrrl tltt/. s(3,'l,tt htt pp' r4.r ld uri€ttf. Cu elt€ cuyinte, ducana din P pcrpen-diculara PO pe c (O 6 @) 9i prelungind-o cu se gmentul OP' = OP, punctul /'ae num€tt€ simetricul lui P. Si ardt{m cd simotria late d€ o axd €ste c'izometrie (pdstreazd disranla).

l . io l" ' rptI iu

:1. / t ' r inn\t,r i , ,r. L, l [ (to { t i . / , , , , ' | |rnt.r lon l . t tr do a(l i{ . 17.: l). l ,r in Q, rDij lo{jut sogmeDtuhti BR,, (h,,{n, r( l [r urt l Cl i , . oon-8.rr ' ,n1, tr paralel (u i / ' , astfel lncdrCC,sA aibr nri j trxx,t t ,oi In 0. ptenuldel.orminat de CC't i ,B' est€ perpendicutar pe a. ln aco8t pt{ , Adt?== LC'R'Q'.Dar qi AC =,{ 'C', ca laturi opuse ate unui dreprunghi. Sri indt:6 ,|Cl A'C' lOQ, tleci AC qi A'C' aunr perpendicutare pe planul (Ayd),det:i AC LCB,A'C'L C'B'. Rezulre congruenla rriunghiurilor drept-ur)lhic€ n CB si A' C' B' + A B = A' 8,. Deci, Bjrnetria t€lA d6 o axd pdrtreazE. l r , ,1, , l )c. i . i ,oLniar i rarpa. eoplonnr i rnr .a s i .on{r . , renla urybiut j tor .

SIMETRIA FATA DE UN PLAN

Simeiricul unui punct (,{) fa_th de un plan (c) este simetricut punctutuilsld de proiecl ia ss pc plan. Cu attc cuvintc. ds.e ducem iof" 9i prelun-gim regmentul iO cu OA' = AO (lig,17.4J, obtinem simetricul ,4,allui,4.

FiB, 17.4

Sd arAtdrn ci ac€ast{ simetrie pdstreazi ti ea distan a dintre doud puncte.Fie ,{' Bimetricul lui,{ qi B' simet cul lui r laF de planul c (tig. l7.b).OA=OA', BC=CB', AOLa, BCLa. Evident, .4,4' ll 88' (perpendicu-Iare pe acelati plan), deci ,4l 'gi BB'sunt coplanar€.

A

c/

.A

Fig. . 17.5

Duoem,{,lt l lOC ll A'N \M e BC,N eCB'). R€zulid c[ r.rrr= *,ryr,* Mr:90e, AM = A'N (paralele cuprinse lntl€ peralele), Blt = N8'(dilercnle de segm€nl.o congru€nto). Deci A.4,1 B = AAtN B'-A B= A, B'.Co)soointolo |...5 op.r€|r'tr daoi,

I

8tl

- . . - - tu" 67

II

TA

IRANSUIIE IN SPA]IU

Fio ,4.R un legmont ln spaliu, cu vArfurile I n ordinea rcrj.tr (un vecto.). Sd

sxplictrro co lD.eamII[ sd translatdm un punct, ,]/ In rpa]iu cu vectorul ,iF(fig. 17,6). Conlider{m pontru aoearta planul c determinqt de A, B, M,

(1 t,f i8. 17.6

IA ac€at pfan con8id€rCn vec!,ol1.rl Mtrl' :

Fig. r7.1

irintFo tronltafie ln lpaliu a puDctului ry cu v.6ctorulii. Est€ oar€ tranela-

1ia ln epaf,,iu qi ea o iJometrie? Su traqlht;r cu.!'ectord,Ii punciele ,|1 9i.Vh M' qi N' (lig. 17.7). C,onstattrm c[ patrulaterul .U'.fyly'rt' €sttun parale-lo8ram (tt.U' = NN', M M' ll N N', prln treDzitivitate0 congrueDl,€i ti para-

l6lismului ou,{r). Rezulttr, do aici, congruento segBrentslor IVM = lv,rt,.

ROIATIE IN JURUT UNEI AG

Ss deu: o ax[ a qi, lntr-un plan perpendicular pe ee, un unghi orientat10, cu vdrful pe axI (lig. 17.8). Ce tnseq.$ne a roti punctul rll dinrpatiu, cu unghiul 10, tD iurul axei a?

,fX/a

aI

tA^.

li. Spun€m ce tt'€sie obtinut

Fla. | 7.i

Ducsm ll{.U'J-a' (.14'€ a). Considerdm traDrlalio do voctor lf't aphnului a. Planul tran.latat trice prin rV, iar O devin€, Drin trstulql,ielO' € 4. Apliolrn lui tt {r.otali6 de unghi t 0, tn plsnul tranrletet,, fi ,4,va l i . ,rol i tul" lrr i ,4/ In jrrruluci a cu unghiut * 0.

Sn r l ( t ! ro 'rs lr ' r i i l i l | { l l / r l i r ' l r ) jurul r ' I r l i t r rr , ( i ts t | I ron$tr io. DacI,t ,"" 'o lr '1 i i '

r l , r 'xr i . r t i de ungh; + 0, s. r l r rrr , ,1 In , ,1, , rrNnrata ses,,r io 1'- . / t ( , , . o)( ,1).

sn (1, 'nronstr i rm cn dact t t ( , , o)(-4) : "4 ' f i i t (" ,0)( .r) , , , arunci. t B = l ' l j ' . ProiectEn p€ anul c, pe O'B inOC qi pe O'B' t1t OC, lvezi

notaliile din figura 17.9). R€rulrd: AOdl = AOd,,4, (cazut 1 de consruenlr{,unghiurile cu latu;le respectir. congruente, fiind dilerenre dintre unghiuricongruente cu acelagi unghi). De aici rezultd congruenla triunghiurilordreptunghice BCA qi B'C'A'(cat€te congruente), deci ,{B = A'B' q.e.d.

. CQNGRUENTA F|GUIILOR IN SPATIU

Dsce punclele unei mult imi ln spsl iu (de pi lda ale unui.orp) s6 obli"toate din t6at€ punctele alt€i mullimi, aplicend o izometrie sau o compun€rode mai multe izometrii*, Inu{,imil€ se nirmesc congruetrte ti so spune cd aDrsuprapus o mull,ime peste cealaltd.

CENTRU. AxA. PLAN DE SIMEIRIE ALE

Dace toate punctele unei mullimi au, fald de ecela$ centru de simetrir,,simet.icele lor totJn aceaste mulrime, se spune cd mullim€a aro un contru'de simetrie.

In mod'asemdnitor se vorbelte de axa, sau de planul, (le iillr€l.ri€ sl ulsimul l imi d€ puncte (de pi ldd corp).

Fia. 12.9

e0

. (hn\ d lo i r l ' r r l lo l o Dornolr lo l

b.

UNEI MULTIMI DE PUNCTE

Fig. U. lo

Paralol ipipedul are un c€ntru de simetr ie care €st€ intersecr ia dirq,,r j r -lelor (tig. 17.10, a), dar nurnai cel dreprunghic are plane de simetrie: pti r. t,,mediatoare ale muchiilor (fig. 17.10, b) !i axe de simetrie: drepte]t crrrounesc miiloacele letelor opuse (fig. 17.10, c).

PAORLEME 1?

r. Carc sunt plqncle de simetrie ale unui di€dru?

2. Carestrnt planele de Bimehie a douE plane distincle? DiscuLi€ ldntd cum lte s,trrparalel€ Mu sccanlef

& Ddr caF s. 'nr a\etF d€ simFrr ie { a. .stor planF?

4. Cale cenl.e, axe 9i plane de simetri€ ale un !ub?6. Cete centre, axe si pl,tne de simei.ie are un tetraedN regtrlat?6. Caresuni pfism€le reguhle, care atr cehtrq desimebie? Da.axe? Darplane? c,lrf??. AcFh.,rr InrFLrr i pFntru pirsmi. tFte rpsut€rF.

8*. Se dau, in spa!n,, o dmallA d ti doud puncte P sie. Se iau simeiri.elc p,atopunclului P rald de lieca.c puncr al dreprei d. apoi simehicte O, ate rieerui prncl rtdrcpt.i d fali de Q. SA se.nte ce tuate pudctete p, 9iO, suoi siiuaie tn .celqi pr^n a

0+. Ur t.iunghi -,ltc, cu nnghiudle, !i C ascutite, s€ proiectearA pe trn pl.n n;oare .oniin€ lalrrra ,C. Fie.,4' lroi@ria lui / p€ d. SI se d€monsrreze cA +BA,C >

SUPRAFETE gt CORruR ROTUNIDE

GENERALITATI, CONSIDERATII INTUITIVE

s) ln cepitolele d.g S"-gm*rie In spaliu de ptn6 acum, am studiat ligurig€ometnce formate din linii dr€pte seu porliuni de linii drepts (segmenie),suprarete prane Bau po4iuni de suprrfela plaDe (poljgoane) li corpuri mdFgrnrle d€. e3tfel de suprafele.

Viaia de toale zilele gi-diverse alte aotivildli ns pun lnsd moreu ln contact:u ]inii

c.urb€, :u.:upraf6rs ourbo, cu corpuri mlrginite de aupralelc curbe,

pe carc, In mod obignuit,le \w it1r corpuri rotund,e,Nu avem inlentia s6 ddm definilis generale a unei lirfi curbe sau a unei

Buprafel€ curbe (acoasta Decesitd cunoartene& mtiunii d€ continuil,ste, careBe predd ebia tn clasa e XI-s).

ln acest peragral intentiondm str ilescriem/cdieva lepto intuitiv€, cere sIoontrureze mei bine ace8l€ noliuni. Abie ttr paragral€le urmdtoar€, unde r|omdelini ti. studia. ceteva suprafe!€ curbe particulare,

"om totori'un tirnlai

mdtemetie precis.i) Un punct tn migcaro dssclis o linie curbh (tig. l&l); nu orice linie

curbd esto conlinuttr tntr-un DIan._-. yl,fi d" ald, ildifer€nt, cum l-am d€lorma, ne suger€ezd o lioie curbd(tis. 18.1).

, Muchia unui corp erte, tn g€neral, o lini€ curbd (fig, 1g.2).

Ftg. l8.r hg. ro.z

.E-t"1 :i noi qonsider[m linia dreaptd oa un caz padicular alcurb€. Poziliile dilerit€lor puDcte p€ o linie curbd datd se pot preoiza,e:n ftfxe!

-un punct pe scea curbd ca origine, prin aistangete pe curbt

el€ pend h acel punct. deci pnintr.un numer reAt (f ig. tF.j t).

l inioidacl

de lrr

90

Fig t8. i i

O curbi ,,D.rm nicl ltrtirne, nici grosinr(t', ol numoi lungimc.c) O suprdlell curbd este fal,a (imagirea) uDui corp rotund (tig. 18.4).O l,esdturd, deformatd chiar, est€ o supralsld curb{ (fi8. ,8.5),

0rdonalatcuolor

Abscisa

Flg. 18.7

d) Oricum am lua o lini€ curbl ti utr lir de atd, put€m delorma ac€st fir, f[rdrl lntinde sau rupe, astfel lncet el sI Foincidi cu linia curbd dafi (fig. 18.8).

. fig. t8.5

Poziria unui punct pedoud coordonate ale sal€

' F ig. t8.6

so poate procira numai dAnd

@

o supmleld curbd{f is. 18.7).

Fia. t8,l

'l estrtura este lormatd din lire; o Jinn: curbA ln miqcare descrie (genererzd)o rupmfa![ curbi (fig, 1&5 d 18.6).

/ \ (x, i l f t r l r t n ' r f | ] lo ndovlrr t ps| |rru ,rupf l ' to lr , Nf l lut . r r | . rn o fosle dchnr{, io pe8lo o ming(, , fdr l s o,,str icA,, . Aceaih f l lur, rn r l ,xr ,ntrrrr unui pleni .{ l "b Fn l ic d; t i ( i l r t t r sd nu sr poatA fa.e decAt obl ixtn,t , r rnrr l inr rhlormatAr BuDrafel€i l ,AmAntului .

al Suprcfcle.tltndice. Am alirmat ctr oric€ linie curbA tn mi6c&re descriso 8ut)rdldtd curbd. O linie drcaptd d, care se mitci psratel cu ea Insd{i, tntdlnindIn pormonenld o dreapid dat i descr ie un plan ( l ig. l8. t) ,

Fig 18.!

$tim c[ o linie dreaptln d, care se migtid paralel cu pozilia ei inil,ial{, inlal-nind ln permanenld un poligon plan (@) dat, situat intr-un plan neparaleltu d, descrie o suprafald prismaticd. Sd tnlocuim acum poligonul (?) cu olini€ curbd oarecare tixatd. Suntem condu8i astlel ta urrnatoarea,

Delinjtio, Fi{ (C) o cdftn planY pi a o dredptd ddld nepardhld cu planulcufld .(C ), I otdlitntud puttctclor .lrqtclor d. te ttet pdn punctde lui (C.) ,i suntpdtal& o fannedad suptafila tilinfuifi de batd (C ) tri ditetltc a.

.Dreptel€ d s€ n|n\esc &nerdroatde suprafefei cilindrice, iar (C) se numegtocutba dbtloorc A suprafelei cilindriqe (liq. 18.10).

Fig. t8.ro

- Dacd o este perp€ndiculard pe plenul lui (d) suprafata so num€tt€ srlf./

fall cili\d,ricd dr.dp6 de baz6 (Cl.obs,Nari.. Pe o supralatt cilirdrica dar{ exisrl nulr.. cutbe tlrnc (itrt6Bocrttr.upn

rotoi cilindrice cu diverse plane). Ori6r€ din ele, cars inl€Eecrear{ rooto gonl.ltolrnts,por l ' . h rolor i ta penrcr g€n€nfea srprsr0l6i . i l indr i .e, cs tn dohni l tu de nn,t iu.

. In nLrsl mo.l, ofi.o lxptufnln .Urn.trl.i poat. opAred m lupdtotl l:ihn.trt({ dn{pr,

(,l,x i von conri{lom qr dln!.tol|m Into!|.'oltr 0i cu uo ptdh porpondhutn. p. g!nr|lt,r;.).

E2

r) l in is, , ' , 'bd pl nl po&to l i qn qro, o |r1rt) t t f l ( { i8{, sn p,nl ,o nvon {t . , , .i r terte( l i i ( i i8. i I t . I 1).

\-.-_--- C CC)Fig. r8. l l

Suprafe{ele cilindrice generare au forrhe corospunlhtoare cetor rj;n tig. t8 1.1.

rimplu s€ vede acest lucru reprczentand suprafala ca o supratald cilindr;(ndroaptd de bazi (C), 'lndr€pund" (C) pene th o dreapE d ti apoi asezirn,l8?neratoarele mprafelei perpendicular pe g.

O proprietate importantd a supmfelei oilindrice generate de un arc sinrt)tua e aceee cd ea se poate ,,desldqura" ti aseza pe o suprafald pland. Cel |nri

Fig. 18,13

ll pd,nze.onice. F\e lC) o curbA ptann qi p un punct situat in afara ptanrluiaL TotBl j ls lca semidroptelor,u or ig inca in p Fi avdnd un pun"r

" i r ro ' l .n(C) formeaia penza conicd de vArf p 9i bazd (6'). Semidre;tele se nurfie,s(t ncratoare ale panzei oonice (lig. 18.14).

P

I ig, t8.r !

0i l

l)r,.pt!. fo o r,l'rtil ootrlnl crhtd ntrllo orrbs Plnn. lltrtrk'llrl! !1.tr rllltrll. Dhno).(}.lc|r. din .l.,.ars InlolMlort{ toale gcnoratoaNl6, P{!rt. rl Mrhlirilrl 0l |!trcr.Rrl

PAnzet€ conice pot li gsn€rat€ ti do curb6 ln sPaliu.

$i pantele conico generate dp arc€ de curbd, ,,suficient do !cune"' pot lidosl[qural,e ti atezate pe un plan. Cel mai simplu mod de a lace sceesta e8tod6 a alege o distanid r, de g aqeza pe ifrecare generetoale un segment'de lutr'girne f, oblindnd o curb[ (ln general neplsni) (lig. 18.15).

Atezdm culba peste un arc do colt do razu , (c€ea cs esie poaibil daodtungimea our-bei nu d€p[qetto 2El] Ei g€nemtoarel€ r'sspectiYe Peste .areleootespunrdtoar€ ole cerqului,

, l ia ts t i

--- t Obseredlie, Supralel€l€ oilitrddc,e ne-eu aPdrutr drept "analoagele curbe"el6 suprafelelor plismatice, iar pAntele conio€ no apar dr€Pt ,,analoa8€l€ ourb€"Rle suprafet€lor piramidale.

CILINDRI CIRCULARI

Dolitr$lo, a),F € fc.,lnnccrcsituatlrlplanuld $iao dreaptd ntpa.ralelit n 'Prin saprafald, cilindricd eircdlard lcn?ratd de (C) li u. inl.lt!4Dt totalitut' I

punctelor situale pe loal,e dreplele paralcle cu a. care trrc p n Nnu alt lli (( )

b) Prin suprufa,td ciltndricd circuLaNd dreaptd gcneratd dc mcnl \(') ltrplunul d, tnleleEern suprufala cilindricd lewratd. dt (C)sidto ptrp. di Id|'I

a pe a. Aceasia, cste, d,e fapt' totalttate| punclelor sihLatc pt: t.aut. drtptth ltrpcndiculore pe c\ care trec prin puncte ale lui (C )

EA poAte fi defitritd ti drept totalitatea punckht ale cdror proieclii p. a

lunt situate pe (C ),

Toorom!. 1nl .n(r l ia. l intr t o stqmfaf i c i l tnn d l i u lht l l ,n l , l , ' .

I t | l a, i l t r lu i (( ' ) 11 | ! tu. tn.d, tstu un t t r t l t r ( :n I t t intn ' , '.N a tu i ( ( ' )

! t4

D?,nongtntt i t , l ' io 0 o€ntrul lui (C), l , por{l i l" ( l iB. 18.1(i) prir '( . ,h{, t i ( / 'tntorrecfia lui D cu planul c. SA ar t{,n iin inlon'ectiA lui p (:u

'rutrontl,'cilindricd esto carcul de c6ntN O' ti dc razl /4, siiuat in phn[l p.

Fie P' € P. II considerdm diferii de O', deoarece O' nu s€ afld pe supratrtrlcilindricd.

Sd ducem planul (P'@') (unic determinat). Acesi plan traie pt8nelo d ti pdup{ doud drepte paralele. Ducdnd 9i paralela din P' la OO', se formorznh planul (P'@') un pamlelogram P'O'OP (P € c) (Iig. ,8.17).

P' 'a

t

/ ' / , /

' r@;7l'ig. r8-16. l ' ig. t8-16 Fig, t8. t t

Punctul P' se atld pe suprafal,a cilindricd, dac[ 9i numei dac{, P € (a'),deo{rece P'p I O'O ll a, adicd dacd ti numai dac[, Pd : B. Ctrm P'O' = P0,PO: R eate echivalent cu P'O' : R s\ teoreme este demonstratd.

Dotinltrio. Prir cilindru circulo\ tnldegen @rpu) geometric cuPins hlrt otaprafald dlin*ict circltlod ti dau| pldne/dist ncte pardele cu planuJ cuculut.. ger.uea l tupalala ciJindrid,

Cilind,rul circular n namert cilirdru circula, dre|t d4cd suPrafalL cilindti'trairculsd dtetpundhate 6k dreaPtt'

PANZE CONICE CIRCUIARE

Delinilio. Iic (C) un ccrc ti p un punct nesituatln planul a aI .tatlni. \r

^umettu pdnzd conicd circulaft d,e s&f p $ batd (C ),lotalitatca pun(ttlor sita'tr

pc temidr.ptele cu otiginea tn P ce tntdlnesc cercul (C ) (119. 18.18).

l i8. 18.18

0lr

0ol l t f i lk ' , r / / , r r r r " rur t t i t r r l t l t . l h t t l t I I ' t i l , t t t l t )u

^tnnl t . t l r r I l td

l cdt to i t l i t lut I 'yphnule,rnlw ( t ' ) t t t l ' t

t r r t t t l t '1.

Dol i r f i l i { ! . . t / uD, l t t (otL r i r . ldr , tutpul l t ,n,rrr t t tar t t i t '1,

o pdnzi

.oni td r lo i r i dt p lmul . t r lk i , (ar( g(nt txt .d l ) in oni .n l r tu i pdnzu

c|,tiel titdlafti .sk drruptd utunci co ul circulbr tc n nur1( b.ilt (fig. 18.20).

f ig.3.19

Teorcmfl ,S..rlrn..r unti pd.n.c contc( cioulare printr-un plan pam.l.I cuhaza, situal de aceeasi part? a eirfului .u tdi tst(. un cerc.

Demonslratie. Fie P verful conului (d) cercul de bezd, O centNl sdu, dplanut cercului (C) 9i p un plan paralel cu planul c. Sd considerdm intereecliao'a lui Po cu pfanul p. sd alegem M' e p lM' + o') (tie. 18.21).

FiB. t8-10

Fig. 18.21

Planul (t'OP) taie planul a dupd o dreapl[ OM ll O' M'. Fie M e P M'.

Ar"^ oM : N :,ft (constant).o M' P'O

Punctul M'se alld pe panza conicd. dacd gi numai dacd, ,, so afld pe (a),

d€ci, dacd gi numei dacd, OM : R este rera lui (d). Conform relalioi d€ nmi

suF. a.easfa cs!6 adeveratd, dacd f i numai da ca,O'M' n

. cpca co lnEoanrr l

ca r t t ' sc st l6 pe cercul de centru O' f i de raza - l . s iLuar l t ' ph' ,ul p.

Co untat i r . Cent l , l ' , , ! , r (x ' r i lor a" r"4iu1" "r*

, r ,*r* cu vt tr tul , r t t r ,Inkxrr ind oor(xr l g$n$rtr l , t r r l un$i lAnre oonics ciroula.$ drol ' l .o ou

' rn oir .

t t l

0

( i i r r l f t r r r l ' l i r r r l * r i r lo l ' r r nr .Frr ' s i l r r . r I " l ' i ! r7r r ! r r ' r r { ' srr

' r l ' l i t r r ! r r ' r t r l l

' r r 'genr ' rd l , ' l r r r r l ! , t l fu , , , t r i . l ) i rz! r ! ' l r r r i ' r 's l r r l ( ' l drc" l ) lu '

I )of in i l i t . \ , i l t l t ) , i t t t . , t t r ' , t t i t r t ) l t ' t ' ' ; ) t t t t ' i t '

.oai ' ,1 , t r ;Jtunt i .dt bo: t1 ot , ' t t t t : : ' t " '

t t 'L t ' t t r i | "

t " t

p( / t .a,Ai th i .casiha!! t t t l tuh; i \ i ' i ' th\ t t t r tn ' : i \ r t t ' t ' t ' i I

cirrulard $k drtaptd

I '9. 18_22

ObrNal ie. . \ ln t . r i r r l ) i dr ! , r . i r ru l r r rsrr dr l r , . l r r t ! r i , :n! r ' r ' .{ ! . t ie c. t r l .0 le !dzclo 61. }r t i r ' l t i i fu l r , l , f !hnl l r Lral , ' r '

SFERA

Definif ic. J. nurnttr ' i ,r i d1 clntru 0 rr tk:;t H -- i ' : t r1t!pun(lt lot , t l din spuli t t . pttt tru nrc0u '- R

Fig. 18,13

Teo:fmd. l r t rst . l i t n inLt. un | t .ot l i o ! f . r i ( r ' ra ' 1 i , r ' ' r , "

. I i r un si .nrg p nd. nu un trc apt ind. drr l t t t t l l rL prt ' ! | ! t : . : 1 , ; / I I : I

I t t t l , ' l

Donnstrulie. Fie , cenlrul sfer€i, R raza 6a !i fie a un plan. Ceta t o ctrc

enunlul eslo de a determi a locul geomelr ic al punctelo. , , din d, pfntnr

l)n\' OU : R.Ii. 2 picio l perpendicularei din O pe planul c.l )rr t i i - | t < 'PO. f ] tm OXI >OP, or icare ar f i , r r € d, atunci nu e xis l I

l )u 'xtr ' , ' l l pcnlru care O,l / '= R ( l ig. 18.24).t )n. i i . / i .AP,11ur, i0, l l n, iV. drs l r t , ( ,s i l , i l rurr l l ; |err tnr , l f l t

( l iX. 18.2r) . r ,h l i r r ' l , l i i r , l , i , r ' i lL" ,x i , l , r ,1r 1,r ' r1r r r , l i r r rhr1. l r r &rsL uz i r r l t r .r r , ' , . '

{ , , .1,r ' ' I t , ' , ' r " l , ' l t j

n< 0P < orfFig. t8.2t

OPi OtU-RFi8 18.2t .

ur-aln_K oP<l?. F ig. r8.2r Fi8. ,8.rS. Fi f . 18.16

i;ry,',; tfl'""lil;'f;:T"":ll:"'i#":,"#'"";,f, TiXS;,,,ix:li; i";f,xl(,,: ::*:l'" disrinct'e es:te "ou';ala' "o, so,naa

,"" ?;#rlifftt" 4.,"

"tar ci dacd sferele sunt concontrice disrincte interseclia

Fie O, O' centrete slerelor !i It. X, ra*r"" a",a' "r"*, " e""- -;;; :' ;"r: ̂ ;'": ;l:dr"lJ1r#lild:T#ri]

x.0,

Mx

x0

. FiZ. 1B.n

_ Existenia tui , , rectamd OO, < OM + O,M: R+ A,. Deci. dacd

flI #,'S;:t;,iclia-esle vid{ lrig razal. a*r"ei i"""" #il;;;

-.DacE OO'- R+ n, sau dacn12'_ l ,R_A,], arunci,I .rrebuie sd se

l[*ff": *,T"il,tJ::'*'r'J:, ft""'ioat ,ae b tr - ] oii " i:."i"ii'

::,i:dfi d5r, j, f,;:,i""":,ff ;" f;"f* illl"i;1","""..1,,11i,'i,1" llii:ct! MO: R, MO' : R,.

,, r9'":Tiffi;-T"'i:H:ilii;ff, ;:A'i'" d€terminar' riind date varruri16

""a",o"1," lii;"""r p";;;;ilil; ;ft ';',,?j:. ::iT;l:lTl;fltilli,fl l];:i;ili;: ;::ff :1.'1,';ll"; ill:":i,u'

o eeu nu,,,e ns.nr.np{ errn hi;,"r, r, r" ai"ii"rati-,r a,, ;i ,i;,,,i,,;;d';;X'"I JJifiif, lTl',lili ll';,|]1"fl:08

*--f--0

/r40

Fis.TANGENTA SUPMFEIELOR

ln cazul cdnd interseclia dintre o sterd ti un plan este lormati dinlr-ur)qur punct, spunem cd planul este tdrqrnt la sL' ie ff ir . tR.: l ' ) .In'cazul c6nd intersc.l ie s doud sfor; este lormotd dintr unint l un s ingur pu| l t ,

rpun€m cd slerele xtnt tingente.

Fig. 18.29

Nu totdeauna doud supraielg tsngente au un sinqur Dunct .omun. Fr. i t l l

llff""ir.$1. o"t'' risuros tensenls suprare(elor, ddm crateva eren,1'lo

CURBE

0e

A€

ri8. !8.30

SUPRAFETF DE ROTAIIE

Obr.M!i.. D^cL aplic{m unui punct M loite rotaiiile ln jurrl unei dretl€ d, oltri-ncn, da.d ,)tt € c, loale pun lele c€.cului ce lrcco pritr M, sitDat !n planul perycndi{rrl.fpe 4 ri care contine po ,1t, cero cu cenlrul ln proiectia lui M pe 4 lfig. 18.3r).

xra

I'ig t€.3t

Ddi in i t ie. t i , ' , ( )d tqni i . t i (C)a cut l )d. st nuntst t ! t1! t , t l ,1 l t ! , t , r t . '

tutul i , i n. pcn(r t t t i i h (( : ) , t i te l i lat td pt i t ' : t .hr k r . " t i ,

t , i tn i t t i r l

r)rn.t;tt). dt rt (C ) toat. rolaliih in jurul lnt d (lig. 18.32).

I , i { . 18. i t2

l i ) r lt0 l

C(,nn'r 'n ' ,nlssfvl ' l ie i precedoLte, s l 'pmf, ' l , f l ( lo ro!,ol ie s. I r( ' r t l . ( r lc l i l r i ' l i

cr

totol i t r l .o Irurrclolor s i tuate pe toate ccrcrrt i lo I tvAn(l ce'r l r r l ' lo l t , 'onl i ' r" l 'trr plane peipentlicularp pe a 9i care au punote comune cu (c',)./

Teoremd. l i l r / .al( 1. , d/ . tun/.1! . t tn . t l t ' i t t i i t t i t . t r l r ' t t t ' l t ' t t i '

cu ta t,stt u sulrufdld t:ili,ilrt.:i. citLulara 'htatrti

Fig. t8.33

Demonstralie. Si considerdm su/rafata cilindrice drcaptd definit[ d€ un

oerc (C) cu centrul Fe a, situat lntr-un plan a Perpendicular pe a qi caretrece prin inters€clia lui a cu d (fig. 18.33). Dreapta d va li o gener8toare a er'

deci va ti conl,inutd tn ea. Secliunite acestei suprafele, prin plane perpsndi-

cqlare pe lr, vor ii toate cercurile de raze congruente cu razele lui (C), cu cen-

hele pe a. Deci, cu.centrul ln orice Punct dat al lui a, putem duce' intr_unplan lerpendicular pe d, un oerc cam lntdlnegte d. Aceste cercuri ',umphl'rupralara de rotalie.

* Toorcmd. ttpruftln d. rotult d tlnti imidtttt( 'l in.iurkl )r o ,i..r trt, trLtu oriiitLt:tl Li 0

'1, t,u1,4ii ldrA i)e dt ,:sr. t tin:t

I ' jg. 1a.34

Demonslrolie. S[ ludm un punci ,lt po d tt s[ con.iderdm cercul (C) culcntrul tn proieclia .V a lui M pe 4, situai ln planul c ce trece prin M Pe.-D.ndiculer pe a ( l ig. 18.34). Cumd+a, N *O,decio C ddcumdr' d,rvam M + N.

Fio pAnza conicd circulard dreaptl generatd de O fi (C). Drcapta d este o' 3$norotoars a ei, iar secliunile ei prin toate planele p paralele cu planul c suntocrourilc co ceDtrele In irle.secria tui p cu o 9i care irec prir interrecli& lui Pou.r. lcestor sl l t l l , l ,( 'nlo .o|!ruri l€ co constituie suprafolr d€ rotnl ie In discutio.

a)r,.r'{ri. lr,,fh 'i l- r, hiinrl rtrl trh do rotnlio esi,) !ldntrl l$|n'!licnlnr !r 0

TGoaoml. s) . \ , / , / , r r l1, , , t , r r , t ( t t , t t t lnt l , . t i , , t t tnJt t t ! t t i r , t t r , t )1, I )nr t r t t t (t t t t ' : t , t rn 4l t tu l r | n lut t t t l t ) t .

b l . . \ r r t , r4 ' ! , . t , ! ,

, , r , t , , , , n, t i , t , ! , , , t , t t , t , t t in, i t j r r t r t t , r r , r r r r tnant, l ,La nl . t t . t , t . L r . . r t , .a, t t .ut . t r t . . . . t , , , . t l , . r . t t , t , L l r \ t ) I .,c) \ , t " . { , t ' , 'J . , , , , . . , , , , t , , , . , , , t , ' , t , . t . , . ,nt ta,n, . , i t . l

t . , I t1 l t r t ' ts t t t , t . : , i r t I t I tLt . t tural t . lnni . i l+p| tn , t t tur l pr t : l , t :s t r untrun t , r

'1, in , t t , ILt t t t t , pt . t ) tno st f t t l iu t i . col . , t i tu i t o cansLt i i i i r int . t i / t t i l t , t . .

orr.Bdl. In .r,'rih b,. c, drn rrorcmJ. dn..r dreapts cs,p pFrppr,.tr.xtara pe qrmrnl,ft oDline un cri.(inclustr inte.ion,l seu), rApecriv o coroana circutara (ctprjn; trrre doujcorcuri concent.lce) (iis. t8.3b).

Fig. 13 35

Tooromtr. .ri,/.a/ald dt rot.tli( a un i iff( ((: ) in jurti unui diem.trr

. . Demanstralti. Fie Il raza ]ui (d). Fie (S) slera de centru O, egal cu centrullui (C) de razd n. Dsci c este ptanul lui (C), atunci (d) este interseclia lui acu (S).

Fi€ a o dreaptd care trbce prin centrul ce.cului (C) ,i care este oontinutiln planul sdu. Sd considerdm un plen arbitrar p _L d, care taie stera (fig. 18.36).El ticie a dup{ un punct ,1 din interionrl lui (C), deci rlreapta.d-: a n g

FiF. r8.36 /'f--!)o V'tl

taie (C) tn doud punote p 9i0. gtirn cd p taie slem dupi un cerc, care tre.6prin P tiC, avand drept centru proieclia lui Ope p, care este rl. Acest6 cerouri,,vor umpl€" ruprateta de rotalio.

DfJl ln l l l lo, . \ut)ht l tn. t nt r , i ,1 i" n un,ut uf tarr ! t ! : , t ) t r t h l ! t t i , , , t t 4t , , t r , t .tn inr t l t tnui t iaLrt t r t , t r t t t r , r i unut din tapt . t i , t " s, , t , . ! r . , j / , , , /\ l , i r t i l ) | t ; ! l t t0tutnt lh int t l ln, : t t t t l , / t t . t i t ,supmfuh!t t1 nt , : : , . , 1 , , )

t02

^\

t t

calotd

Din cele de mai sus, rezulte cd o calotdsfericd poate li consideratd un caz particular

n rol$re. Di^ triunghiul dieplurghic t'O, (fig. 18.39) dedtcem yBr- yct +(rB'.Deci, YR: n y'i.

Ob€ervlm c{ tri,rnghiul l/IO €ste, de Esemenea, dr€pl nghic. fiind hsc.is Inir,rnscmic.rc, deci 7X esle p. i , ief ia ln i yO pe VB. Dei lucem cA: 4R':yB.YNtl : i l

- ,

- 1;-= = l ) in \ I /O,!-Al /OR.nndpo ^re

centrul c€rcului dc de4ixr ,u r i ,

rN , Vi , rnr t t - ' i i ' - iVT i ' " " 5

103

Fl8. 1E.87

ode zond sfericd.

S{ considerdm un plan r 9i pe el doud fldrepte d ti r, formdnd un unghi ascutitln fl (rjg. 18.38).

Aqezdm i, pe generatoarea unui cilindrucireular drept li lnfigurinr apoi planul lecilindru, astfel lncat. .ry' sd vinh in ,\ sr

l'ig. 13 il8

.U sd se alle pe d. (Binelnt€les am presupus ci lunsimea cercului d( brrz[al cilindrului este egald, ca mEsurd, cu s;gmentul r\'.ry'.) Perpcndi(]ulrln trllV pe d se ya lnfd$ure pe cercul de bazd al cilindruhri. Dreaph . $,va inI{gura determinand o curbi nurniti elice. Filetul unui $urub ostr

Problemd. rpzolrald. Un con circular dreptl de razi R Si lnillime 2li nstfiintersectat cu o sferd cu diametrul cat tndllimea conului 9i cu cenirul h junrrt.tatea indllimii conului, dupd un cerc. Sd se .afle raza cercului de secl.;un.,tn functi€ de R.

z\\/+\K€*\\ 0 n:.,.

Fi8. 16 s9

.

caloti,

t ' t0 | | t , t : t t | t lN

,1. I r ! r l i [ , I r js , , ,1, ,s] i iyrr l t r t r I )h l ( | rpI n( t r ,pt l rsr i , l l , !1, r , l rLrrr i r t , sulr

' t { , rh ro rr t ' Iorn\ i r i i r i r r . tc u[ ugl ] i dc l !0, , St sr a l t r r iz i r ; i g, l , r . r r , , r t r r : i t in,

t . r : r , r l in, l r t r r i r rhr d i j t l , rs(at ( r l , izr inr_un ptrry or iz. . rdt , a.e grn0.atoarcnL t ,y ' t r ' r r r l . , ,1, . f l r L, . i I . i r , r . , l IJr . t . , . . . r r l .n. j t . , . . , r rc,r l , rn. i Lr /psJr.nrol ' '1" / ' \ , r i r r l In ' r . . { I .Lr , | , ,1 , ,a,rr , i , . i r t . l ,e br/e. , , . , r ,g, , r , , ; , , , ; . , ; ; , , ; ; ' ; ;grnf r , r rorrr i r .u l , tdul or jzcr ldt?

3, ( o l )hn . . .on{ inc.enrrr le. . tor r lotr I l r rze r le lnuic i t 'ndnr { j i r ( l lar . t .ept i eFsr lrizil tr rtril. (dor (loui tize tn 11 fi

'r 9i &*pe.li! iI l, ii ,,. rr, l,smt p: rcc;;;i

{d! ,nr .d! , / r , . / t 'h tet) . ( i r ls i l i d isranln dirnr. punr ie lc. . , , i , , . in nor. l ic detazi n;hr/ f i t i g.r f r i lorr fa Cr

{ , Inr con . i r .u lar dret l . { ! r ia hazei 9 cmj i in i l l imcr ,0 cm. este iDtcNectat cu unt,h', IJ{rrl.l co brz{. La ce disllil{ .]e vn.r ln,truic rius llrn,,t, Nlifr ircel raza ceroului des' ' t , i rnr s l t rc 6 (m ,

.. & th con circrnr. drctl are .ti{n.trul baz.i dc t:t .n ii inr\;e. fglia cu r/3 dir, l I ' r r ' l r ' r .La,p, l i i r i l . 'd, \dr tut , . { , , | , , | | ' , " | . . i , . 1 , , r . ) u . , 1run,: 1,r ; r r r - r rn ptan 6rrr t r t

' r 1, . ' /a, . i r f l r r ' ; t tuIgi1r,a , , { , . ' r , i r \ . , l r , r , s, , t i , , ! : j

6. Ln con c! Seneraloi.ca dc.16 cn) s€ dNlrirodrr 0€ nn plltn, dult un sic.l de.crc.(l,isili raza bazei .onutui.

?. ln l r {nr f ,n,hi , l " .nn , , r . l . , r . iFtr ,Dn tc,n, t i , s ,n, ." ,ns." iu do.. .: "1! . ' f . 'T.1" 'd rdr bdpt | r n.r , i , , l . rs i j . "n"rrrr , , r . r" u i i .n pr.r , rn5i+1 s ' r"ru.o. , .re lur . r ' l ' r t l r l ' i l i ind i , t l let lnna, t fun, h i , tu ie. tF i j r t : , ro. , ) nc J, l . taf l l rmitp r , lur doLt

8. .Fiedo senidpapt{ de or iSinc o, t i nn urghi rscut 0, amtele dale. Cis i l i locutseornelrie al puoclelor rrt din spaljr penl.Ll care ughiul dinh; O,i:f,i.l esre 0_

9. O d.capltl ce hece prin .entrul unci slere cu .,rzr fi= 10 cm inl.rsccleazi rnplandInlr- .npunct.r t .a! ,nrc iC'y.26.m.i , i rndcrdistrnl Id"t , , r , . . r , ro i ( r r llu i O p" d pslp ,4 .m. JdLi t i l i tozi l ia ptFr, , lu i , ld l j i or .Jrr j

10, Un plan a iiiersecteaze o sterA ctr .aza n : 0.5 n, asitel incnr fi. ..nr,lui d,, sflli,tne sA lic de 4 ori rnai mj.n decllr

'.r unui ce.c ma.c at sfe.ei_ Gnsigi dislanra dc tr ,rn,

trul slerei b plaDul de s.ctirne_

ll. li. dolle slere dc .edtrc O ti O, ti raze l? ,i ?l,. lD rn|(Iltu din situi,liirt, !rnrr,,,,n.t,.o.inrli p.zif iile sf€relor:

n) ar 8 cn,, R' ,- t, tti, AO, ir sn:

br l l I i ,5 on, , i '=, / ' ,5 cJr, ( ) t ) , . ! t ) tn l

a n !y ' I rh, / r ' : , { : t / ) , tn (r) . t nr ,

d) r : , (4 ! r t ) , , , , / l r : t r ) , , , , r / . , r . t r l

t0{

l ! t . l ) ! , t r t r r t . r i l r i " l f rsr" t r r? i r s l l r , t ! r ' r . -L / i i , l ' , , t r l r , l t , r . i f , r , , i f i. t r

^ l r n\ t f i l r \ | i l

' rn sr

" . ' r , ur . , \ r l , l i

" .L l l I r ! , r Tr iL(r : ro" ' , lLr , r ' r ' r , , , r ,

101. l i , isr l r loc l gcomct. ic i l pn.nruf lor p.r f r j l l i , j jhr l ' ) r n js, , l r r I , l , t I l I \ | I ,p lnnul vrr i rb i l .e l r .ce pr in lundnl I i \ / l

. VOLUMELE 5I ARIILE CORPURiLOR ROTTJNDE

VOLUMUL CITINDRULUI ,

Am vdzut ci sup.afala pr isnr| t icd era dosf i" .n de.r dreal l i (are s, ,st , , , -i inea pe o l inf pol igonal i i g i r in l l in€r mr palalel i fuo i t roapri-L, l rr i , d

Am ob,t indt apoi pr isma prh so. l ;onafta supraferci pr js,Drl ; fc (u , t , , . ,Plrne Pa.a1€l€.

lntr .un nod f lnaloq se ob! jne ; i c i l inr l rul . doar r : i r t rcapra, carr ger) i , f , i , / ,1tuprafala ( i l indr ic i , nr se nrai spr i j ;n! acum po o i i , r jo pol igoratr i . . ; pr ( , 1i , , , (curba.

, De asemenea, a;a clrm am arit€r la pag. 94., nm fonsiderat Nrt,, , , f i , l r ,i l indr icn drept , ,anal,rgul curb" al supraJ€le; J. ;smatice.

\om putoa accepta (n: folunnl . i l indrut, t i , .sr . . tgat t \ u. i f tha:t t inDlt i r t , lrn titanla dint : cA( dakit plan. tLt Ld,.clor, nunitd si itiillinta (llindntt r.

I ig. 19.1

l : \ r '1, ' , t

, a !nalogi€ , | . mbi Eui ,onst i tu ic un srgun.rnt . , tar r , r n d"r . , .l . { l l I r iguforse.

VOI.UMUL CONULUI

Ai. i v, ,n fn.{) anakrgj& i i t rc piremjdn ; i c(nr. r \ rolo nnr l ln i t ul t ,u, , , .1l lnr i i , r I | |u i lo l i , { r , ' r IhD , , , t , , r t0 pu clol r l ro l iq0rrrr t r r i .

I ' r | r 'hr l , ! , ' t l ' lUi , I ' , , r , 1| l f \ tn ' i i ' r . r ' r t r l r r l r r I r r r t r r i s , , I l f t t r (u r , r , t , ,turr t , , l , , r I r , . i , r ' , l i , . t , l , , r ' \ \n l , l l l | r r i l , r , r , n, , r ,Ntr r | , , t , , r , i , , , v , ,nr r , , , , t , t , , , . , i :

l r r f l

! ' ig. 1! , !

La lel ca la cilindru, aceastd analogie nu constituie o demonstratie rigD-roa.e. c i doar o just i f i .Are inlui t i !6.

Demonstrstiile rigurcase pentru cslculul- acestor volume se vor da lnclasole urmdtoar€,

ARIA LATERALA A CII.INDRULUI SI A CONUTUI

- Este mult mai diiicil de a defini exact ce lnlelegem prin aria unei porti\rnidintr-o suprafal,S curb6. In eazul nostru avem de a face cu doud suprafelfcare se pot, ,aqera pe un planu, fer i a modi l ica lungimi le curbelor de pe ejr ' .Erte netural se presupunem cI aceasti ,.agezarer' nu modificd nici ariile por-

,iunilol din acesl€ suprafele, porliuni care re.,,aqaz{" pe ni$te po4iuni diplan.

ARIA TATERALA A CILINDRULUI DREPI

Dacd teiem cilindrul drept dupd o generatqare, oblinem o suprafalh cnrose poate,,atezd' pe un plan, devenind un drbplunghi, cu baza segmentulproygnit din curbo de bazd a cilindrului, iar ln{llimea, gEneratoarea du|[oare a tost tiist .cilindrul. Decil

Aria latetuld a cilind.rulai drept: (lungi.mM cutbct d? bdzd).lgt$ 'toarea), unde s€ obBervd cd generatoalea este egald cu Indllimea (fig. 19.:J).

Fig. 19.3

Aria totald a cit;nbului y ohlin! ad.untl t lo. a lutrnl.i nrtilt ih'r n,,,,r0.t: . . Cum cel€ doud hnzo runt congruente, ari i te br vor f i ognh, I)rrr i :

' l t * 4t \ '2

'4t '

l0!

vn' lc ol t . a l t l i oab 'aunt

rcsp,crr ! sr jn r , , rntd, Lr i l l Intr , l , l r r f r nr . r r t , , , , , , i .. In ruzrr l r i l indrulul o i r"uta. 6.nnt, rv,L, r .sz! l ,sr" i / f p i A.r , , . r , , r , ,^ . , . , , r ; ,

ar ia tot0ld aste

c4t- )a l l6 , t )1:n ' . t - t t l t ; i t : .

Ors.Balte. Un cil;nd.o ubli. se loale iransform inrr{rnul dtupt, etedultr(t . $ 1i,,,,^prinlr-un pLrr lerpendiular pe gene.atoare (sectiune norft{tA) ri traosrrtanll u"r ,r l r,,,, frh dtectia generaloarcj, pana cand baza eise sutrapune pesre ccalalt,,, brzi.

Fig. 19.4

Decl Eia latemli l a uni t i t inrb aht ir ' lstc t le ld, , ; ! , j , j :not"tai . innuLl i tai tu lungan,o E. rdaar| t .

ARIA LATERAI.A A CONUI-UI CIRCUTAR DREPI.

Am vdrut ed, tdind lrn con circulat drept dupd o generatoare, suprrhlnobtinutd se poate,,a|eza,,pe un plan, devenind,ti sectoide coc, avana'c,r ,,,r,tgeneratoerea, iar ca ar6 un arc ce corcspunde ceacului de bazd al conului(rs. 19.s).

Fig. rg.j

Cum aria unuiseclor & rpr. csrF jum6tate ain p*ar*f tungimii arcrr lultlu ti raza.cercului, ln cazut nostru ] 1Z,rA;c, rezulte ce:t

Alia lat ald. a conului (iftulot dr?pt eslc ryald cu

,41

,...iI- 107

t r , l " , l / ( is l . , tnA | , l lml i , , / / , s l f Z{ l ) i r7( ' . r ' r r r r l r r ' ,

l j , t l , t l t t n 1 t

/ , , i , i r r i r r ruzul ronului f i rcular drcPt e u7i

t , , l r l , i ' s l r rg,r l i i cu

. . f i : : t i t , - i l ' :

; : i lc , l l )

\ ' i i , l i t l f r i ' l , i r u,rui con ohl ;c tste l I ILr l t Inai d i t ic i l de oalculat .

ARIA 5I VOTUMUL TRUNCHIULUI DE CONC IRCU LAR DREPT

l ' , in lnr logie .u trunchiul de piranr idn, lA fel ca maji r t I r , t , u j , l .Ju,+nr l

volumul uiui l runihi dD con circular drept este

, , , i ' ,1t , : t ' 11.1.

rrrrdo ,tr este inillimea sa, fi 9i r razele hFz€lor.Arifl la{.erali a unui tru chi de con circular drcpt est€

t : i t '

j '

unde G €ste generatoarea. iat -R 9i r razele bazelor sale.Putem deduce aceste iormule Fi din tornulele obrespunzdtoere pentru

Fiind rlat trunchiul de con circular drePt (lig. 19.6) ligurdm penza coni(I

din care provine (fig. 19.7) 9i determindm elem€ntele ,9i g, din relaliil€:

I

" lh R c+e

,h undc: "rR . r{r 1 I l . dPcr ! : -: ,9i, onalog. I -

l , , r a, , ,h1, , [ , , r r i ' t l r lor t r ' (

/ l t i g, r r ' ' i , t , iLr t* a; , ar i&

sus, p€niru coD l i

R-r

II

-+

/ \

/T\/ - - - t I - - r . l

l0l l

l i t r ! r?

t ( , t l

VoL|, , , ,1 r ' r ' i , l ' iu I ' i

dp . , , , f , isr l , l r l , ,h. l l t r

33

deci :

a: + h(+:;* j-): f; ra"+ *+ a,r(se lmpade P3 - F la R - r ca polinoame in R Si /).

Analog,

4t: f tR(GI -nre; c+ s:++,deci r

a,- "c| =R' - . / i : *c(p-r r ) .' I n I L l

ARIA SFEREI

Suprafata unei sfere nu se poate ,,ageza,, pe un pian.Vom lncape prin a Etudia aria lateraH a qnui trunchi de con circutdr rlr,t,L

lnscrtu ln sferd (fig. 19.8).

Fig- 19.8

. Dacd serl iondm f igura cu un pt6n ce rrprc pr in.ele duua cFntrp a Di , ) nh.

b0zolor trun.hiuluirde ron, plan ce va tre.e pr in . .ntrulO st stpr i . inr;r . - r i . ,cu sfera vada un cerc cu certrul tn , . Generatoarca tNnchiului rh rorr ra f io (odrdn ,48 ln acest cerc. Fie ,4r' mijlc,cut acestei coarde. Irnginca ,,lr,t !

t or l 'on, l icularei din,U pe dreqpta rC este €gatd cu -{ l l . l ) r , ( , i . I , , , ( r i ,

pi.n,nrl perpendicularei din ,4 pe ,r, arun(i A,itl,\O {,srcA.4 /,8, rreci

+;+ = l" ';, e,,, ,u^'.,.1, oit..t p. r),! i , o,itr r,,r i,,1,t,r n

\ r 'hnr '1, , r , r '1( ' f , l ( { r i | ) l r I i :

h. . - - : :L

t runchir ' lu i , l ' , . i , ' ' ( i rculrr drept poRte l l r<,r ' lx i l / _ n,2l i lN,A'B:

- r , 2otr1 . AP - 2n.OM. CD. Aceasta perni l (r s lrrrr l l f ( t l t unor al t lo l d€

ari i , r leourece O, '11 este ncelagi. Anum€:Sn oonsider{m o ,,zond GfericilI, secl,ionatd cu un pldn ce treso prin cen-

irete a,', , ale cercurilor ce o formeazn (iig. 19.9),

Fig 19.9 '

E

Sd faeem ln acest cdz un ralionament mai riguros decat ln cazul c?lorlaltelsuprelels curbe Pe care le-am considerat pand acum.

Sd lmpdrlim arcul ,{B in n pdrli egale prin punctele .4: /0'A1, ..., A"-B !i sd considerdm cele n trunchiuri de con sircular drcptce au ca generatoare /a,4!+1 9i drept centrc ale telelor (bazelor) proiecliileDr. Dr r alc fui AaA6.1 pe CD.

Suma ariilor laterale ale acestor trunchiud d€ con va aproxima aria zoneiclffi.e.

Fie ,rur anijtocul lui ,4rla*1. $tim cd aiis lateralA a trunchiului de con

respectiv est€ n 2OMh. DhDhi. Dat Oi4 este acelaqi pentru toti /c, deci

6uma acestor alii eate 2tOMy CD.Fecend pe n tot mai mare, ,4rlt+r devine lot mai mic, O,llr 6e aproPie

ds raza lQ a sferci. Deci:Ar ia unei zone slcr ice este egald cu2nR H unde R este razs sfeFi d;n

care tace parte, iar 11 este distanla dintre acele plane care determind zorra

sierice. Aceastd formuld ae loloseqte gi la calculul ariei unei calote sferiff,

Pentru It : 2R oblinem toatd sfera' deci aria slerei de raztr n eslo

egalA cu 4n. .E' .

VOLUMUL SFEREI

Volumul unci sfere d.e tazd R este egal cu o lreime din produsul dini( utirarsrei sfue si tuzu ei, adicdl

l l0l r l

Aceast,ll Ilirlnrllo ao poate argumenta ln acolall mod In car€ r-s e.gumontal,leptul cd arin 06rcului osle egald cu o jumiltato din produsul dinl,re lungimeacercului ti razd. Vom presupune sfero umplutC cu pimmido cu verlurilo lnoentrul ei li bszel€ patrulatere cu varfurile pe slerd. Vom observa cI tndliimilolor aproximeazd raza sferei, iar suma ariilor barelor lor aproximeazd arialterci. Suma r.olumelor tor l/a aproxima volumul slerei ti va fi o treims din

timea oomund{raza sterei) lnmullitd. ou suma ariilo! barelor (aria sf€r€i).

a: i .+"a, : f f .

Fig. '19.10

Prcblend rezolaad. UD trapez ars bazele de 30 cm ti 45 cm, iar.latu-neparalelo de I cm ti 12 cm. S{ Bo oalculere s}ia totald li volumul corpului

pritr rctjrea traperului ln jurul laturii de 12 cm.

Fi8. !9.1t

.R.rolr@. lDaint€ d6 a lnc€pe rezolvar€a p.oprir-'isd a problemei, atragem at€nltari nodului tn car€ €3le bine se raceli d€lenul corpurilor de rotnlie.centl vrqlae rldfti c fornl ar6 trn co.p, pmv.nind din rcrirea unet rigurt ptrno Intn0lrxo, oslo bi i ro l i l t r i rn ln l l tn nodul t r .mltor; des4nat is imotr i . t r t igtrr j inhn.,{ ,

do or l , lur . 0r ln{nl lnt l l i h v l lhr l lo r imot l ic6 drc. l i et ip lu, or ara mtcf l .at m{l

Sl ' r : cx.nfr , ' h f r1r , l l , .o l ' l f , , r ' i , r , ' i ,s ln i ' , , ' rd 'n ' r I ' l l ,n l l ( + i CC' l l ' t l ) ,

t t t 1 ' latc t t -

I ,Ah >: : : - ' r : , ; , ,

, . r / ' 1. , " . / , / : r ' , 'nr l , ln . ( r t -

' ,14 , ! t - - r"

2. U . , "n. O| l ! ' { f r rn ' . , r l : I t l | ' l . l l t r , \ ' t - r - t ta '

. ,5: l !o. i * ,1P?:90". Fi . , l '$ i r 's imelr ic" lc | i i ,4 i i p i r j i l r l { / ia. c l€ se r . .

silsi pe lr.lniSirer lui ,.lJ'. D.sfriem ccrctrri cu dirrnelrelc ''1!'ti l)l)' 1Pe fa.e le dce'n'irrllr sratir ata cun s. v.de in figd.a 19.111. Simctricele lurcldor -d ii C raF de rxa '1." , . ' ! i ' i i r .d" ' l h .

l } t ,c i , x( !m obser\ iLrn.h s a ro.mal un oo! c i rcular d.epi (cu lAr lu l in , 9 i .u larL, fRr,l dc di{ncl.u ,4,4'l dir carc lipse.lie un alr con (cu ver'rrl in C li cu baza cercul llr

' lhnrelru DD'] , e l . '

\o\u.ul con,r lu j . 'n ic

u, t" . :4{ :11 "-"

\ol,Inul ranulJr m,,t€ p'. a// ::::-----:-- 'rnr.

Ir€ri,T

,n , : ! : - : ! t r18? !J te '1-1, ) , t ' .3 22.2)- . d: l ( .19-6156n,

' -x33

4) 6l ' f i cnr '

I'.nlru a calula aria lolala, \'om ol6orv{ asemena.€a didlre .cle doud conuri,.apo.ltrl

de Jsrmrrd.F t i rnd I . N,,r ; rJ,u a4taratn 'wtr a.on- l r i mn 6i ru14; , , r . ' 1, ,

rall a connlui mare, putem s.rie:

- .' ' .,tt I i 27 1s i'10: r m:

4 : 5t'0r -

ttt'i + 1O5E: 27a0t: a att'o, cn'.

PROBI,f,ME TO

l. l r i r l ro l ! l . i d i ] o l i l . sub lordn de l r ismn tafulalerd rc8ulal l r r , h l rm t '^rt l , r ! !m ni in i l l i rnca de 4,5 tu, sc st funj . i le un ax c i l ind. ic, !u ! i .n| !c n ' i , , i r r iL (1. , , , r r".rr sri s€ dle lolumul axdldi obfinul.

9, $n s. alle volunul utrui cilindfu circnlar drePt losdis intro l)nsrrl lritrngh"'lx'I

res{lald dRaptd @re are latura brz.i { y'5 dD ti lneltimea dc liJ dtr.

' S. Un con cir .n la. d.cpl { re.aza btrzei i le 6.m 9i genrrrr" inrr (h l0 rrrr r r i r ' r l l

,1. , lh r t i rnslr i drr t ) l r r r r t l l t l l t ( \ '1 . !0 ' ) 6c r , lof l f , I ' r r ln(1, l r r l r t r r l rd l r l f r ' { ' ,1

r l l , ' rd l , / - ' L l r l r r r .

I l ,

r r ' l rn, { i t i l i ( f r r ' l r t i \ { t in\ Q)t , t ( ) t r t / lJ .

! ) r ) ,sn, l l l c , . ) lC-=b,(0tr i 4rrsui l ! . I t r 'nolo obl intr lc l ' in nnh' t r l r i r ' rghir-

lDi In j rn, l .n l f l ' , lor , tsr O p. in rot i rea h j r t ru l i ro icrrrr l i , a ' l to l i ( i l :

t t l

a": d '"anc) formulati ti d€monstrali o recip.ocd la lunclul b)'

5*. Ur con oircola. ilrept arc ra,a bazei | = 0's m El are lrei genen'(o'r'' dour 'nlf

doun perp€ndiculate.

a) Aflal.i Yoluntl @nului.

b) Rezolvali prcblema ln cazut genemt, cand 'ata

bazei €st' f'

6*. Calculati volumul uduicon circuNiis unDi tet'aed'u regulat dc Dncltic 't: (i

'rtr'

?. Un dr€ptunghi cu laturil€ a ti, (a < ,) se roteFte tn jurul hi a ti dPoi ln jurul hri r''

a) Itr c€ caz se obtine aiia lalemla nai nare?

b) h cc ca, se obline Yolunul mai mare?

E. Un trapez drcp|trnshic ABCD \i : C : so.) 6e rotEle tn iurul lnei Fraldr rr

tC.;'si"nh ;€ Ia 8'C Ia dn tiind de 3 cln (se considere ara In plaful trapezt\Ji' (lrr hr

Ju"" roit. Ou"e la = t, cm, lD: t0 cm fi c.D : 4 cm' s[ se afle aria tolall ti !olr'_

nul @tPului tomai-

- & Aria totdd a una i citindtu circulqr drePl 6iedet32ncm" ia'ce! Itterah s6n 'nr''

' gA 6e aflo voltrmnl .ilindnhi

1O tJn con * d.sfe$ar6 pe un plan dtrp{ un semicerc cn diameliul de '0

cn S' s'

a|}. volumul Enuh'i.

11.. Un trapet drcptunFhic s€ rotqte o data ln jurul bazei mici' alte dat{ in lrr'rl

bezeimsr i .0rnccandrcl tdPte4) ' l i /0talccorynr i lor€sl te lobl inulFpr"cum)i t r l ' r r ' 'nperpeioicrrara !e uaze; sa se cal.uleze. ln run'lie de ?,. ?/! ri a drreFnla dintr l

'/' I'i

1!.. Int.-un coD circu:ar drept cu diamelftl bazei egEl o r! y't cm 9i tnillimor '$lr

ou 6 cm. se tns.ri€ un cub strel lncAt o tufA a sa sI s g{saMA in.planul b{?ei corxl!'

hr varturile celeilallo bar€ s{ fio situate p€ panta @nicl'

a) Sl !e gA!€8ca volumul 'ubului

b) Rerolvali aceeagi P.oblem6 tn @zul clnd diamelrul Iutei cercului este 241'l '

9l

tn timoa conului

t0.. Un.on.ircular dr€pt, carf aF raza bazPi dc 8 m ti lnellimed d€ 16 m' Fr lrir'

cr un phn pa|alel cu Planul baz€i. determinAnd asttel un t'unchi de con dc Inellime 1! nr'

a) Sd !€ calculete volumol trunchiutui d€ con tormat'

b) S{ se detemine la ce distant{ de Plannl retei tr€hiie 3d se fac| o s€c[ntne In con'

grlnrlun plan paratel cu baza, astfel ca ariil€ late'ale ale '{tor

douA cotlu'i lo'mrtt)

|l ll. o8alo,

la. Un triunshi dreptunghic,4rC {;- 90") s€ 'otEte

tn iurtrl perpendictrhmi ln tl

p. ,C. Dac{ /A : I cn Fi /4C: 4 cm, g{siri volumul colpului lo'nrl

16. Un truncbi de con circular d.ept sre arit lateral[ 220* cnl' 9i gonorolouM t0 oin'

Eilltd cl npo.tul ratelo! trurchluhrl €.t€ d€ { :?, sA io s0o trlld lotald !i vohmtrl

tlt|nohhrlul d. con

l l3

Cuprins

DNEPTD, PLAND ..

puncte, drep-

a troi plane. .

troi perpendicu-

Simeir ia fatd de un punct. . . .srmetlia fa[d de o dresotd. . _ .ltmet_rid. fatA de un ptan. . .. . .r ran8ralre in Gpal iu. . . . . . . . . .t (otape tD iurul unei axe.. . .Lentru, axd, plan de sim€tde aleunei

-mul l imi de puncte. . . . . .Pfooteme.IT

7I

t01t13161720

63

656769

.7880ET8?8484

86

8889

33

45

\7

90

m959799

100101

105,05105

,fti106

107

21232424

28

30n33

36

37394u

$Bd,*iET' flr conPURr

4143 ,.4444tLS

52

6tr1211btzl

corpurtlor ro-

totit01)I t0

Acest manual este proprietatea Minislerutut Inv6lilmenlulut.

Ihspecioratul $colar al judetului/municipiului

9coala/LiceulManualul nr. . . . . .-. . . . . . . , , . .

Starea manualulul

a Profesorii trebuie sd controleze dac5 numele elevului eslo c{.,ro.rtscns.

a Elevii cdrora le este destinat manualul nu trebuie sa lacl nlcl un td (ldnotalii pe pagini. Rugim ca manualele sd lie pSst.ale cat mai ingrllll.

a Starea manualului (la primire 9i la returnaro) se va inscrio lolorl||dlermenii: noue, bund, ingrliit-, nesalistdcSloare, proasta,

Numele elevului carea primit manualul

trunchiului do

' r | ' r ornl lc lo, tr i | | rdl | toDlru orompldrolo dlr tr lbu| | l ' gr i tut t .