LUMEA FUZZYNOIUNI DESPRE MULIMILE FUZZYI LOGICA FUZZY

valoarea de adevr a unei propoziii (afirmaii)Fie mulimea U, numit mulime univers, sau mulime total, i fie A o submulime a sa.Notm prin AC complementara submulimii A fa de U

Atunci nu exist dect dou posibiliti : adic ceea ce este coerent cu relaiile

O submulime i complementara sa n teoria clasic a mulimilor

Aristotel : Legile gndirii (ale logicii) Legea necontradiciei Legea teriului exclus Legea identitii

dac propoziia S este adevrat, avem t(S)=1 iar pentru opusa acestei propoziii, notat prin not S, avem dac propoziia S este fals, avem t(S)=0,iar pentru opusa sa avem Deci, oricare ar fi valoarea de adevr a unei propoziii,avem relaia

Bertrand Russel :

ntr-un ora este un singur brbier,pe a crui firm st scrisBrbierul brbierete pe oricine nu se brbierete singur

Se pune ntrebarea Cine-l brbierete pe brbier?

Fie S propoziia Brbierul se brbierete singur;deci not S este propoziia Brbierul nu se brbierete singur.

Presupunerea c una dintre propoziii este adevratconduce la concluzia c este adevrat opusa sa.

adic(!!!) Paradoxul punctului mijlociu

Logicile Lukasiewicz variabilele logicepot lua valori nu numai numai n mulimea M2={0,1},ci ntr-o mulime Mn p valori de fals q valori de nesiguran n-(p+q) valori de adevr

LOGICA FUZZY

O mulime i complementara sa n cazul mulimilor fuzzy

Logica fuzzyse constituie ntr-o modalitate de a descrie incertitudinea,fiind o alternativ la descrierea probabilistic

Exist cteva similitudini ntre probabilitate i vaguitate :

ambele descriu gradul de incertitudine prin valori reale din intervalul [0,1]

n ambele abordri, combinarea mulimilor i a propoziiilorse face n mod asociativ, comutativ i distributiv Deosebirea esenial

dintre caracterul fuzzy i caracterul aleatorconst n modul n care sistemele vagi (fuzzy)trateaz o submulime A i complementara sa (opusa)

n logica booleean, dac xA, atunci xAC,ceea ce nseamn c AAC=

Teoria probabilitii s-a conformat acestui principiu :

Vaguitatea (caracterul fuzzy) ncepe cnd se consider c

AAC

Vaguitatea i sistemele fuzzy descriu incertitudineaprin intermediul ambiguitii caracterului unui eveniment,msurnd NU dac un eveniment apare sau nu,ci posibilitatea de apariie

(folosim deci termenul de posibil n loc de probabil,caracteristic teoriei probabilitilor)

Vaguitatea este, deci, un tip de

incertitudine determinist

Caracteristica de baz a mulimilor fuzzyeste trecerea gradat de la A la

MODELAREA MATEMATIC A MULIMILOR FUZZY

funcia de apartenen suportul unei submulimi fuzzy totalitatea elementelor x din T

Exemplul 1 :Submulimea elementelor mici din TSuportul SA al mulimii A

Submulimea B(x) a numerelor mijlocii din T Submulimea C(x) a elementelor mari din T

n acest fel se poate definii apartenea unei submulimi fuzzy G(x)la o mulime fuzzy H(x) :

G(x) este o submulime fuzzy a mulimii fuzzy H(x)dac i numai dac gradul de apartenen al oricrui element din G(x)este mai mic sau egal cu gradul de apartenenal respectivului element la mulimea H(x).

Submulimea D(x) a numerelor foarte mari din T

Gradul de apartenen al unui element oarecare,n cazul unei mulimi cu un numr infinit de elementeDou direcii :

- aproximarea neliniar- aproximarea liniar

n cazul neliniar

Impunerea punctului de vaguitate minim

Impunerea punctelor de traversare

S considerm dou puncte i n jurul valorii

Gradul de apartenena la o submulime fuzzypoate fi el nsui o submulime fuzzy

OPERAII PE MULIMI FUZZY

REUNIUNEA n cazul booleean

xAxBxR=ABA(x)B(x)R(x)=AB(x)000011101111

n cazul mulimilor fuzyy

INTERSECIA

xAxBxR=ABA(x)B(x)I(x)=AB(x)000010100111

COMPLEMENTAREA

xA xR=

0110

PRODUSUL DINTREUN NUMR REAL POZITIVI O SUBMULIME FUZZYEXEMPLU :

PRODUSULA DOU SUBMULTIMI FUZZY

EXEMPLU :

RIDICAREA LA PUTEREA UNEI SUBMULIMI FUZZY

CONCENTRARE

DILUARE

PRODUSUL CARTEZIANA DOU SUBMULIMI FUZZY Exemplu

xAxB(x,y) A B000010100111

Exemplu

RELAII FUZZY

Relaiile simple dintre variabilele lingvistice pot fi caracterizateprin propoziii condiionale fuzzy de tipul

DAC - ATUNCI ( IF-THEN ) sau DAC ATUNCI ALTFEL ( IF-THEN-ELSE )

Exemplu:considernd variabilele lingvistice x i y, putem avea o relaie de tipulDAC x este relativ mic ATUNCI y este foarte mare

n cazul calculului propoziional clasic,o expresie de tipulDAC J ATUNCI Kreprezint o implicaiedefinit de identitatea

JKJ => K001011100111

RELAIA FUZZY IF-THEN

Implicaia(respectiv propoziia condiional fuzzy de tipul IF THEN)constituie baza procesului inferenialefectuat prin intermediul submulimilor fuzzyExemplu:un ansamblu de rezistene conectate n serie, i care pot fi untate prin nchiderea unor contacte

NUMR CONTACTE DESCHISEREZISTEN ANSAMBLU0100120023003400450056006700

Putem formula relaia condiional fuzzyDAC numrul de contacte deschise este mareATUNCI rezistena ansamblului este mareadic, n cazul general,DAC A(x) ATUNCI B(y)

unde submulimile fuzzy A(x) i B(y) ar putea fi

ntruct aceast implicaie lingvisticafirm c fiecrui element x din A(x)i corespunde orice element y din B(y),

pentru fiecare coresponden fiind obinut un element r din R(x,y),

rezult c elementul r se obineprin prezena a dou elemente xA(x) i yB(y),

prezena simultan corespunznd unei operaii logice I

In cazul acesta, rezult o relaie de tipulAvem de a face cu un produs cartezian.Din motive care in de necesitatea de a aveaaceleai dimensiuni de matricela efectuarea unui lan de inferene,vom lua n considerare n matricea produsului cartezian toate elementele,inclusiv cele pentru care valorile funciilor de apartenen sunt zero

matricea de apreciere

dac procesul inferenial se oprete aici,putem utiliza matricea M,din colul dreapta jos a matricei de apreciere M

Vom avea deci o relaiesimilar cu cea de la produsul cartezian :

RELAIA CONDIIONAL IF-THEN-ELSE

propoziiapoate fi pus sub forma

ntre cele dou propoziii condiionale fuzzy dintre parantezele mari intervine operaia SAU (OR)Avem de a face, n acest caz, cu dou implicaii(dou produse carteziene, descrise de dou matrice de aceleai dimensiuni).ntre elementele corespunztoare din cele dou matrice are loc operaia SAU, care nseamn alegerea maximumului dintre cele dou grade de apartenen ale celor dou elemente, ceea ce mai nseamn c, n final, vom avea o relaie de tipul

innd seama c, n cazul mulimilor fuzzy(adic afirmaia A SAU NON A nu epuizeaz toate posibilitile)i(adic afirmaia A I totodat NON Anu este o contradicie total)nseamn c, n general,poate fi pus i sub o alt form

unde D(x) poate fi o alt submulime dect AC(x)Avnd n vedere c, la rndul su, D(x) poate s corespundtot unei propoziii condiionale fuzzy,lanul inferenial poate fi prelungit,obinnd relaii fuzzy de tipul

Exemplu: fie mulimile totaleS construiasc matricea de apreciere a relaiei

fieCum nu se specific nimic despre submulimea fuzzy D(x), vom aplica relaia lund D(x) = AC(x),care poate fi calculata ca mai jos

Pentru propoziia fuzzy y nu este foarte mare (care genereaz submulimea fuzzy C(y) ), observm cunde E(y) este propoziia fuzzy y este foarte mare

Nu cunoatem submulimea E(y)(generat de propoziia fuzzy y este foarte mare ), dar cunoatem submulimea fuzzy B(y)(generat de propoziia fuzzy y este mare )

Trecerea de la o submulime fuzzygeneraa de o propoziie fuzzy de tipul y este mare ,la o submulime fuzzy generat de o propoziie fuzzy de tipuly este foarte mare

corespunde unei concentrri,deci (n lipsa altor specificri) la ridicarea la puterea a doua.

Submulimea fuzzy C(y)(corespunztoare propoziiei fuzzy y NU este foarte mare)este

matricea M1 de apreciere pentru relaia condiional fuzzy DAC A(x) ATUNCI B(y)

matricea M2 de apreciere a relaiei condiionale fuzzy DAC AC(x) ATUNCI C(y)

Matricea de apreciere M a relaiei condiionale fuzzy iniialeva cuprinde, n fiecare poziie,maximele dintre elementele care ocup eceeai poziien cele dou matrice de apreciere M1i M2:

*