Lucrarea 6 Distributiile Binomiala Si Hipergeometrica

8/17/2019 Lucrarea 6 Distributiile Binomiala Si Hipergeometrica

1/7

1

DISTRIBUTIILE BINOMIALA SI HIPERGEOMETRICA

1. Acceptanta esantionaraAcceptarea esantionara este procedura prin cre sunt prelevate esantioane dintr-un lot de

produse sau materiale care urmeaza a fi prelucrate. Daca esantionul este acceptbil, lotul este

acceptat, altfel lotul poate fi respins sau, daca este posibil corectat (reparat). De multe ori lotuleste retrimis la productor sau poate fi supus, daca este posibil, la o inspectie 100% (completa).

Riscul producatorului este probabilitatea ca un lot de buna calitate sa fie respins, in timpce riscul beneficiarului este dat de probabilitatea ca un lot nesatisfacator sa fie acceptat.

2. IntroducereInspectiile de calitate din cadrul controlului statistic de calitate utilizeaza analiza pe baza

de esantioane continue si/sau acceptanta esantionara lot cu lot. Acceptanta esantionara este procesul in care esantioanele sunt luate dintr-un lot de produse si produsele din esantion suntinspectate din punct de vedere al calitatii folosind fie un atribut, fie o variabila masurabilacantitativ. Fiecare lot este acceptat sau respins in functie de numarul de elemente defecte gasite

in esantion. O alternativa la esantionarea atributului o reprezinta o inspectie 100 % a fiecaruielement din lot; totusi, aceasta optiune este rar eficienta datorita costului.

Atunci cand caracteristicile de calitate pot fi masurate cu variabile continue,

reprezentarea X (X-bar) si graficele R (amplitudine) sau σ (deviatie standard - sigma) pot fiutilizate in concordanta cu planurile de acceptanta. Variabila aleasa este limitata la o singuracaracteristica a calitatii. Un produs poate fi clasificat ca fiind de o calitate slaba datorita unor serii de motive. Cateodata, calitatea unui produs nu poate fi masurata folosind variabilemasurabile, dar poate fi masurata folosind atribute (ex: bune/defect, conform/neconform).

Proprietatile esantionarii se bazeaza, de obicei, pe distributii binomiale si/sau distributiihipergeometrice. Cand se foloseste acceptanta esantionara, trebuie avut grija de a asiguraidentitatea fiecarui lot astfel incat sursele de slaba calitate sa poata fi analizate. Pe cat posibil,

fiecare lot ar trebui sa contina iesirea unei singure masini sau a unui process pentru o perioada detimp specificata. Este de asemenea important ca esantionul sa fie ales aleatoriu, insemnand cafiecare element sau produs are o sansa egala de a fi inclus in esantion.

Functia distributiei cumulative: functia ariei de sub curba

Functia densitatii de probabilitate: graficul unei distributii, de obicei figurata printr-o histograma

Distributia binomiala: Distributie bazata pe masurarile atributului care poate avea doar 2 valori (de ex.,

bun-rau, on-off, sau mic-mare). Aceasta distributie este pentru populatii mari in care esantionarea nu

afecteaza probabilitatea obtinerii unui rezultat dat.

Ditributia hipergeometrica: Distributie bazata pe masurarile atributului care poate avea doar 2 valori

(de ex., bun-rau, on-off, sau mic-mare). Aceasta distributie este pentru populatii mici in care alegerea

unui esantion afecteaza probabilitatea selectarii unui element cu o valoare particulara.

Acest capitol prezinta procedeul prin care se poate calcula functia densitatii de probabilitate (probability density function- pdf) si functia de repartitie sau functia distributiei cumulative (conform limbii engleze), (cumulative distribution function- cdf) asociate cu


2/7


3/7

3

Formula distributiei hipergeometrice este :

n

N

r n

B N

r

B

C

C C r P

Unde :n- marimea esantionului

N - marimea lotuluir- numarul elementelor “ defecte ” din esantion

B -numarul elementelor “ defecte “ din lotn-r - numarul elementelor “bune” din esantion N-B - numarul elementelor “bune” din lot

5. Crearea si Calcularea foii de lucru Binomiale si Hipergeometrice

5.1. Introducerea textului in foaia de calculIn cazul binomial si hipergeometric, calculele sunt similare. Textul si numerele urmatoare

trebuiesc introduse in celulele indicate.Figura 1 ilustreaza foaia de lucru pentru distributia probabilitatii binomiale.

Figura 1 - Introducerea textului pentru distributia binomiala

Celula Text Indicatii

A1 Binom-01.xls Numele foii de calcul

A6 Distributia Binomiala

A8 Dimensiunea Esantionului

A9 Probabilitatea


4/7

4

B8 5

B9 0.5

D6 # Defecte (in esantion) Numarul elementelor defecte dinesantion

D7 0

E6 pdf Functia Densitatii de ProbabilitateF6 cdf Functia Distributiei Cumulative (Functia

de repartitie)H6 Distributia Hipergeometrica

K6 # Defecte (in esantion)

L6 pdf

M6 cdf

K7 0

H8 Dimensiunea Esantionului

H9 # Defecte in lot

H10 Dimensiunea Lotului

I8 5

I9 25

I10 50

5.2. Generarea Datelor

Distributia BinomialaDatele observate pentru ambele distributii – binomiala si hipergeometrica, pot fi generate folosind

generatorul de numere aleatoare din Excel.Functia distributiei binomiale se selcteaza apasand butonul fx de langa bara de introducere a

expresiilor, sau selctand din meniul principal Insert/Function. Din fereastra care apare se selecteaza apoi

categoria (“Or select a category”) Statistical si din meniul care apare functia BINOMDIST, apoi OK. Infereastra interactiva se pot completa argumentele functiei sau acest lucru se poate face din bara deexpresii:

= BINOMDIST(Number_s,Trials,Probability_s,TRUE/FALSE (1/0)),

Unde: Number_s - este numarul valorilor defecte din esantion (numarul cazurilor favorabile),Trials - este marimea esantionului, Probability_s - este probabilitatea defectelor din lot (populatie)

False - se refera densitatea de probabilitate (sau se introduce cifra 0), iar True la functia derepartitie sau functia cumulativa a densitatii de probabilitate (sau se poate introduce cifra 1).

Pentru a genera functia densitatii de probabilitate si cea a distributiei cumulative, trebue realizatiurmatorii pasi:

1. In celula D8 se tasteaza +1+D7 si se apasa Enter

2. Se copie continutul D8 in celulele D9-D132. In celula E7 se tasteaza =BINOMDIST(D7,$B$8,$B$9,FALSE) si se apasa Enter 3. Copiati formula din celula E7 in intervalul E8:E134. In celula F7 tastati +E7 si apasati Enter 5. In celula F8 tastati +F7+E8 si apasati Enter 6. Copiati formula din celula F8 in intervalul F9:F13


5/7

5

In celulele E13 si F13, apare simbolul #NUM!, fapt ce indica o eroare de calcul. Eroarea consta infaptul ca este imposibil sa ai sase elemente defecte intr-un esantion de cinci. Mesajul #NUM! va apare oride cate ori numarul de elemente defecte depaseste marimea esantionului. Puteti mari foaia de calcul pentru a manevra esantioane de 20, 30, 40 sau mai multe.

Distributia hipergeometricaFunctia de distributie hipergeometrica se selecteaza in acelasi mod, facand apel la fx sau

Insert/Function, selectarea categoriei Statistical, apoi a functiei HYPGEOMDIST.

=HYPGEOMDIST(Sample_s, Number_sample, Population_s, Number_population)Unde:Sample_s - reprezinta numarul de elemente defecte din esantion (numarul cazurilor favorabile din

esantion), Number_sample - este marimea esantionului,Population_s - reprezinta numarul de elemente defecte din lot (populatie), Number_population - este dimensiunea lotului (populatiei).Pentru a genera functia de densitate de probabilitate si functia de distributie cumulativa, urmati

acesti pasi:

1. In celula K8 tastati +1+K7 si apasati Enter 2. Se copie continutul K8 in celulele K9-K133. In celula L7 tastati =HYPGEOMDIST(K7,$I$8,$I$9,$I$10) si apasati Enter 4. Copiati formula din celula L7 in intervalul L8:L135. In celula M7 tastati +L7 si apasati Enter 6. In celula M8 tastati +L8+M7 si apasati Enter 7. Copiati formula din celula M8 in intervalul M9:M13

Rezultatul este afisat in Figura 2.

Figura 2 - Foaia de calcul completa pentru distributiile binomiala si hipergeometrica


6/7

6

Auto-verificareaMotivul pentru care n=5 si p=0.5 au fost selectate ca date initiale este pentru ca se poate cu

usurinta sa se verifice rezultatele utilizand aceste numere. Functia cumulativa devine 1 pentru x=5 sauoricand x=n. A avea puncte de verificare in foaia de lucru, ajuta la prevenirea deciziilor inexacte sitrimiterea de rapoarte eronate managerilor.

6. Reprezentarea grafica a distributiilor binomiala si hipergeometricaGraficele distributiilor binomiala si hipergeometrica arata similar. Barele reprezinta functia de

densitate probabila (pdf), iar liniile frante (liniare pe portiuni) reprezinta functia de distributie cumulativa(cdf). Graficele functiilor de densitate de probabilitate sunt simetrice deoarece probabilitatea de aparitie afost setata la 0.5 pentru distributia binomiala, iar numarul de elemente defective din fiecare multime a fostsetat la 25 pentru o multime de 50 in distributia hipergeometrica (deci p=0.5). Aceste numere au fost alese pentru a va ajuta sa va verificati munca. Folosind aceste numere, distributiile ar trebui sa fie simetrice; incaz contrar, exista o eroare.

Pentru a reprezenta grafic distributia binomiala, urmati acesti pasi:1. Selectati intervalul E6:F122. Faceti click pe butonul Chart (sau din meniu Insert/Chart) .3. In pasul 1 din 4, Chart Type, alegeti Column and line (ultima obtiune), apoi Next.4. Pasul 2, Data Range, bifati Data Series in Columns si First row as title. Next5. Pasul 3 se sare, se da Next6. Pasul 4: Se completeaza titlul: Diagrama binomiala, pdf si cdf, se completeaza axa Y: (Numar

defecte), se completeaza axa Y axa y: (Probabilitate), si faceti click pe Finish7. Dimensionati si pozitionati diagramei in foaia de lucru.

Pasii pentru crearea graficului hipergeometric sunt aceeasi ca si in cazul celui binomial,exceptand faptul ca intervalul graficului este L6:M12. Ambele grafice sunt reprezentate in Figura 3.

7. Concluzii:Inspectiile de calitate, care utilizeaza acceptanta esantionara lot cu lot, necesita utilizarea

distributiilor binomiala si hipergeometrica. Aceste distributii se bazeaza pe date cu rezultate dihotomice,

gen bun/rau, defect/non-defect, sau trece/nu trece testul (go/no-go). Acceptanta esantionara este procesulin care esantioanele sunt luate dintr-o multime a produsului, iar produsele din esantion sunt inspectate din punct de vedere calitativ, utilizand fie masuratori ale insusirilor acestora, fie masuratori ale variabilelor acestora. Fiecare multime este acceptata sau respinsa, in functie de numarul de elemente defecte gasite inesantion. O alternativa la testarea caracteristicilor cu esantionare, o reprezinta testarea fiecarui element in parte; totusi, aceasta optiune este foarte rar rentabila.

Atunci cand specialistii in calitate, utilizeaza testarea caracteristicilor cu esantionare, trebuie avutin vedere a se asigura ca fiecare multime contine doar rezultate de la o singura masina, sau un singur proces pentru un anumit interval de timp. Asemenea exactitate permite specialistului in calitate, sainvestigheze, si preferabil, sa corecteze sursele de calitate proasta. Trebuie avut grija si ca toateesantioanele sa fie selectate in mod aleator, acest lucru insemnand ca fiecare element din multime are osansa egala de a fi testat.

Distributia binomiala ar trebui utilizata atunci cand esantionul este mic in comparatie cudimensiunea multimii (de exemplu, atunci cand selectand un element din multime, nu schimbam probabilitatea de a selecta un element defect atunci cand urmatorul element este ales). Distributiahipergeometrica ar trebui folosita atunci cand esantionul reprezinta o fractiune importanta dindimensiunea lotului.


7/7

7

Figura 3 Reprezentarea grafica a distributiilor binomiala si hipergeometrica

Lucrarea 6 Distributiile Binomiala Si Hipergeometrica

Documents

Transcript of Lucrarea 6 Distributiile Binomiala Si Hipergeometrica