Lucrare scrisa semestriala - iganegrestioas.ro fileTimpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL...

Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătați că 11 :0,25 04

− = .

5p 2. Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 5x − = .

5p 4. Un obiect costă 100 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 20%.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,4A şi ( )5,4B . Calculați distanța de la punctul

A la punctul B .

5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 6AC = și 4

Bπ= .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

1 2

1 2A

= −

și 1

1

xB

y

= −

, unde x și y sunt numere reale.

5p a) Arătați că det 4A = − .

5p b) Arătați că ( )det 2 0A B− = , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care A B B A⋅ = ⋅ .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 2x y xy x y= + + +� .

5p a) Arătaţi că ( )1 2 2− = −� .

5p b) Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1

x xx

=� .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= + − + .

5p a) Arătaţi că ( ) 2' 3 2 1f x x x= + − , x∈ℝ .

5p b) Arătați că ( )

( )'

lim 3x

x f x

f x→+∞= .

5p c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcţiei f în care tangenta la graficul funcţiei

f este paralelă cu dreapta 4 1y x= + .

2. Se consideră funcția :f →ℝR , ( ) 5 3 2f x x x x= + + .

5p a) Arătați că ( )( )1

3

1

2 0f x x x dx−

− − =∫ .

5p b) Arătați că ( )( )2

5 3 2

0

1 3 1xe f x x x dx e− − + = +∫ .

5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă pe R .

Lucrare scrisa semestriala

Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătați că 11 :0,5 02

− = .

5p 2. Arătați că ( )1 2 1 22 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 8 15 0x x− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 1 6x + = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A = , acesta să fie

divizibil cu 2.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,0A şi ( )0,8B . Calculați lungimea

segmentului AB .

5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 3 2BC = și

( ) 45m B = °∢ .



1 0

2 1A

= −

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 1A = .

5p b) Arătați că 2 2A A I A⋅ + = .

5p c) Determinaţi numerele reale a , b și c , pentru care 22

1 1

a bA I

c

− ⋅ = +

.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 6x y xy x y= + + +� .

5p a) Arătaţi că ( )1 3 3− = −� .

5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați valorile reale ale lui x , pentru care x x x≤� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 22 3 7f x x x= − + .

5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 6 1f x x x= − , x∈ℝ .


2

11lim 12

2x

f x

x→

−=

−.

5p c) Demonstrați că ( ) 6f x ≥ , pentru orice [ )0,x∈ +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 2 3f x x x= + .

5p a) Arătaţi că ( )( )1

1

23

3f x x dx

−

− =∫ .

5p b) Arătaţi că ( )( )1

2

0

3xf x x e dx− =∫ .

5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )3 f xg x

x= .


• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătați că 1 1 1: 13 4 12 − =

.

5p 2. Arătați că ( )1 2 1 24 3 2x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 6 0x x− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2x − = . 5p 4. După o ieftinire cu 10%, preţul unui obiect este 90 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de

ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,1A şi ( )3,1B . Calculați lungimea segmentului

AB .

5p 6. Dacă 0,2

xπ ∈

și

4cos

5x = , arătați că

3sin

5x = .



2 3

3 2A

=

și 1

1

xB

x

=

, unde x este număr real.

5p a) Arătați că det 5A = − . 5p b) Arătați că A B B A⋅ = ⋅ , pentru orice număr real x .

5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 23A A A B I⋅ − + = , unde 21 00 1

I =

.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

1

3x y xy x y∗ = + + .

5p a) Arătaţi că ( )1 3 3∗ − = − .

5p b) Demonstrați că ( )( )13 3 3

3x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1

3xx

∗ = − .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3f x x x= − .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ .


0

3lim 0x

f x x

x→

+= .

5p c) Demonstrați că ( ) 2f x ≥ − , pentru orice [ )1,x∈ − +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 4 1f x x x= + + .


0

11

5f x x dx− − =∫ .


4

1

11 ln

4

ee

f x x x dx+− − =∫ .

5p c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox și dreptele de ecuaţii 0x = şi 1x = .




5p 1. Arătați că 1 1 10 12 5 3

− ⋅ =

.

5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )1, 0A aparține graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,

( )f x x a= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 5x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30,40,50,60,70, 80,90M = ,

acesta să fie multiplu de 30. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,5A şi ( )7,5B . Determinaţi coordonatele

mijlocului segmentului AB .

5p 6. Dacă 0,2

xπ ∈

și

5cos

13x = , arătați că

12tg

5x = .


1. Se consideră matricele 1 1

1 0A

= −

şi 0 1

1 1B

− =

.


5p b) Arătați că 2B B A O⋅ + = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care 2 0

0 4

x

yA B

+ =

.

2. Se consideră polinomul 3 22 2 1f X X X= − − + .

5p a) Arătați că ( )1 2f = − .

5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .

5p c) Demonstrați că ( )( )( )2 3 3 1 1 2 3x x x x x x+ + + = − , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 2f x x x= − + + .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ .


2lim 9

2x

f x

x→= −

−.

5p c) Demonstrați că ( ) 4f x ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + .


1

2 0f x dx−

− =∫ .

5p b) Arătați că ( )1

0

2 1xe f x dx e= −∫ .

5p c) Determinaţi numărul real a , știind că ( ) ( )( )6

0 0

4a a

f x dx f x dx−

= −∫ ∫ .




5p 1. Arătați că 3 11 : 14 4

− =

.

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Calculați ( ) ( )1 1f f− + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 4 4x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A = , acesta

să fie multiplu de 3.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )0,5A şi ( )5,0B . Arătați că triunghiul

AOB este isoscel. 5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu 4AB = și 3AC = .


1. Se consideră matricele 1 2

1 1A

=

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 1A = − . 5p b) Arătați că 22A A A I⋅ − = .

5p c) Determinați numărul real x , pentru care 2A B I⋅ = , unde 1

1 1

xB

x

− = − −

.

2. Se consideră polinomul 3 25 4f X X= + − .

5p a) Arătați că ( )1 2f = .


5p c) Demonstrați că 2 3 3 1 1 2

1 2 33

x x x x x x

x x x

+++

+ = −+

, unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 33f x x x= − .

5p a) Arătați că ( ) ( )2' 3 1f x x= − , x ∈ℝ .

5p b) Arătați că ( )ln

lim 0x

x

f x→+∞= .

5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul

funcției f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= − + − .


2

1

1 0f x x x dx−

+ − + =∫ .

5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( )4 3 2

4 3 2

x x xF x x= − + − este o primitivă a funcției f .

5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]g : 1,2 →ℝ , ( ) ( )2 1

f xg x

x=

+.




5p 1. Arătați că 1 4

2 22 5

+ ⋅ =

.


1 2

11

x x

x x

+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 4 3 0x x− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 12 8x+ = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = , acesta să fie

multiplu de 4.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A şi ( )4,0B . Calculați perimetrul

triunghiului OAB .

5p 6. Arătați că 2 2sin 150 sin 60 1° + ° = .



3 2

2 3A

=

și 1 1

1B

a

=

, unde a este număr real.


5p b) Determinaţi numărul real a pentru care 2B B B⋅ = .

5p c) Arătați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real a .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 12x y xy x y= − − +� .

5p a) Arătaţi că 1 3 3=� .

5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= − − +� , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 3x x x =� � .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 6 2f x x x= + + .

5p a) Arătaţi că ( ) ( )2' 3 2f x x= + , x∈ℝ .


0

'lim 3

2x

f x

x→=

+.

5p c) Demonstrați că ( )5 9f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x∈ − .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 34f x x x= − .


0

1f x x dx+ =∫ .


3

0

4 1xx f x e dx− =∫ .

5p c) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 3x = .





2 : 23 6

+ =

.

5p 2. Arătați că ( )21 2 1 26 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 4 0x x− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 2x − = .

5p 4. După o ieftinire cu 25%, preţul unui televizor este 600 de lei. Determinați preţul televizorului înainte de ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O şi ( )8,6M . Calculaţi distanța dintre

punctele O și M .

5p 6. Arătați că 2 2sin 135 sin 45 1° + ° = .



1 2

0 2A

=

și 1 2

2 0B

− − =

.


5p b) Arătați că ( )( ) 0 0

0 12A B B A

+ − = −

.

5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , știind că A X B⋅ = .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3x y x y∗ = + − . 5p a) Arătaţi că 1 2 0∗ = .

5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 1x x∗ = − .

5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care 3n n n n∗ ∗ ∗ < .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 22f x x x x= + + .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 1 3 1f x x x= + + , x∈ℝ .

5p b) Arătați că ( )( )

1lim

' 3x

f x

x f x→+∞= .

5p c) Demonstrați că ( ) 4

27f x ≥ − , pentru orice [ )1,x∈ − +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 2 1f x x x= + + .


2

0

11

2f x x dx− − =∫ .

5p b) Demonstrați că funcţia :F →ℝR , ( ) 3 21 12017

3 2F x x x x= + + + este o primitivă a funcţiei f .

5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa

Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și 2x = are aria egală cu 2 7

3n − .





2 : 32 2

− =

.

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 23 9x+ = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }11, 22,33,44,55,66,77,88,99A = ,

acesta să fie multiplu de 2.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )2, 1B − . Arătați că AO OB= .

5p 6. Arătați că 2 2 1sin 45 cos 60

4° − ° = .



1 3

3 1A

=

și 0 2

2B

x

=

, unde x este număr real.


5p b) Arătați că 22 8A A A I⋅ − = , unde 21 0

0 1I

=

.

5p c) Demonstrați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real x .

2. Se consideră polinomul 3 22 3 2f X X X= + − − .



5p c) Determinați rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 22 12f x x x= − + .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 4 1 1f x x x x= − + , x∈ℝ .


2

4

1 1lim

2x

x

f x x→+∞

+ = −−

.

5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul

funcției f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 23 2 4f x x x= + − .


1

2 4 7f x x dx− + =∫ .

5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 2017F = .

5p c) Determinaţi numărul real a pentru care ( ) 3

1

2a

f x dx a= −∫ .


• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)


4 24 15

− ⋅ =

.

5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1,5A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,

( ) 2f x x m= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x x+ + = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta

să verifice egalitatea ( )( )2 4 0n n− − = .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3M , ( )4,3N și ( )4,0P . Calculați perimetrul

triunghiului MNP .

5p 6. Arătați că 2 2sin 120 cos 30 0° − ° = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


1 3

3 4A

= −

și 2 2

2 2B

=

.


5p b) Arătați că 0 10

10 0A B B A

⋅ − ⋅ = −

.

5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )2det 0B B xI⋅ − = , unde 21 0

0 1I

=

.

2. Se consideră polinomul 3 23 3f X X X= + − − .


5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2X − .

5p c) Demonstrați că 2 2 21 2 3 11x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 32 6 4f x x x= − + .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 1f x x x= − + , x∈ℝ .


1lim 0

1x

f x

x→=

−.

5p c) Demonstrați că ( )0 8f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5f x x x= + .


0

15

3f x x dx− =∫ .

5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) 3 21 52017

3 2F x x x= + + este o primitivă a funcției f .

5p c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )f xg x

x= este egal cu

127

3

π.


Lucrare scrisa semestriala - iganegrestioas.ro fileTimpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL...

Documents

Transcript of Lucrare scrisa semestriala - iganegrestioas.ro fileTimpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL...