Liceul Tehnologic Electromures - Cadre...

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2

17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. • Minden feladat kötelező. Munkaidő 3 óra. Megjelenés 10 pont. • Minden feladat teljes megoldását írd a vizsgalapra.

I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 6 6 6log 3 log 10 log 5+ − értékét!

5p 2. Határozd meg azokat a nullától különböző m valós értékeket, amelyekre az :f → ,

( ) ( )2 1 1f x mx m x= − + + függvény grafikonja érinti az Ox tengelyt!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában az ( )( ) ( )2 1 3 1x x x− + ≤ + egyenlőtlenséget!

5p 4. Igazold, hogy 8! 9!

3! 5! 2! 7!−

⋅ ⋅ természetes szám!

5p 5. Igazold, hogy bármely x mértékű hegyesszög esetén teljesül a

( ) ( )2sin cos 90 cos 180 1x x x⋅ − + − = összefüggés!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 10AB AC= = és ( ) 30m A = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg egy mértani haladvány első tagját, ha az első és negyedik tag aránya

1

8 és 2 3b = .

5p 2.

Számítsd ki 1 2

1 1

x x+ értékét, ha 1x és 2x az 2 2008 1 0x x− + = egyenlet megoldásai!

5p 3. Határozd meg a 22log ( 2) 2x x− − = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Oldd meg a 217 17 , , 2, 17n nC C n n n−≤ ∈ ≥ ≤ egyenlőtlenséget!

5p 5. Határozd meg az 3 1 0x y+ − = és 3 2 4 0x y+ + = egyenletű egyenesek metszéspontjának

koordinátáit!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög AB oldalának hosszát, ha 6BC = , 3 2AC = és

( ) 45m C = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 3x + = egyenletet!

5p 2. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az :f → , ( ) 2 2 3f x x x m= − + − + függvény

maximális értéke 10 legyen!

5p 3. Határozd meg a ( )7log 2 1 2x + = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget: 22 8, ahol , 2nC n n n≤ + ∈ ≥ .

5p 5. Határozd meg az a valós számot, ha az ( )2;1A és ( )7;B a pontok közötti távolság 13.

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha 20BC = és ( ) 30m A = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 33

39

3− .

5p

2. Legyenek 1 2 és x x az 2 1 0x ax a+ − − = , a ∈ egyenlet gyökei. Igazold, hogy az 1 2 1 2x x x x+ −

összefüggés független az a számtól!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 2 3

23

x

x= egyenletet!

5p 4. Ha az AB vektor hossza 12 és 2AC CB= , számítsd ki a CB vektor hossszát!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 11A , , B , ,C ,− − és ( )2 3D , pontok.

Igazold., hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak! 5p 6. Ha sin80 cos80 a− = , számítsd ki sin100 cos100 a+ − értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold a 15 31C P+ = egyenlőséget!

5p 2. Határozd meg az :f → , ( ) 2 1f x x= − függvény grafikus képének a

koordinátatengelyekkel való metszéspontjait!

5p 3. Igazold, hogy bármely m ∈ értékre az 2 2 1 0x mx m+ − − = egyenletnek két különböző valós gyöke van!

5p 4. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának összegét, ha az első két tag összege 8, a második és első tag különbsége pedig 4.

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalát, ha ( ) 45m B = , ( ) 30m C = és AB=10.

5p 6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )5, 4A − és ( )0,8B pontok.

Számítsd ki AM szakasz hosszát, ahol M az AB szakasz felezőpontja!





I. FELADAT (30p)

5p

1. Adott az 2: , ( ) 3 2f f x x x→ = − + függvény. Számítsd ki az ( 2) ( 1) (0) (1) (2)f f f f f− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ szorzat értékét!

5p 2. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az 2: , ( ) 2f f x x mx→ = + + függvény

minimuma 2− legyen!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2log2 4x = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a ( )( )

1 22

2 !5,

1 !nn

C n nn+

++ = + ∈

+ egyenletet!

5p 5. Számítsd ki a BC szakasz hosszát, ha a B és C pontok az (2,3)A pontnak az Ox valamint az Oy

tengelyek szerinti szimmetrikusai!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha

1sin

2A = és a háromszög köré írt kör

sugarának hossza 4.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold, hogy 2 2(1 2) (1 2)+ + − természetes szám!

5p

2. Adott az 2: , ( ) 4 3f f x x x→ = − + függvény. Igazold, hogy ( ) 1,f x ≥ − bármely x valós szám

esetén!

5p 3. Oldd meg a 2 2 16

12

x y

xy

+ = =

egyenletrendszert, ahol , .x y ∈

5p 4. Oldd meg az

!( 2)!, , 2

12

nn n n= − ∈ ≥

egyenletet!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (1, 1)A − és (3,5)B pontok. Határozd meg

azon síkbeli C pont koordinátáit, amelyre OA OB OC+ = .

5p 6. Számítsd ki cos A értékét az ABC háromszögben, ha 2, 3 és 4AB BC AC= = = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 1 23 32C V− értékét!

5p

2. Igazold a 2 2 2 2log 14 log 3 log 6 log 7+ − = egyenlőséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 21 2x x x+ = − − egyenletet! 5p 4. Igazold, hogy az ( )2 1 0x m x m− + + = , m ∈ egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik az

1 2 1 2 1x x x x+ − = összefüggést!

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 4, 6AB AC= = és ( ) 45m BAC = .

5p 6. Számítsd ki sin135 tg45 cos45+ − értékét!





I. FELADAT (30p)


2! 3!

C

+ értékét!

5p

2. Adott az :f → , ( ) 2 3f x x= − + fügvény. Igazold, hogy ( )(1), 0f f és ( )3f − egy mértani

haladvány egymás utáni tagjai! 5p

3. Oldd meg az 2

3x y

x x y

+ =

+ = egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

5p 4. Határozd meg a ( ) ( )5 5log 3 1 1 log 1x x+ = + − egyenlet valós megoldásait!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben legyen N az ( 2,3)M − pont O szerinti szimmetrikusa. Számítsd ki az MN szakasz hosszát!

5p 6. Határozd meg az ABC hegyesszögű háromszög A szögének mértékét, ha 6BC = és a háromszög

köré írt kör sugarának hossza 2 3 .





I. FELADAT (30p) 5p

1.. Számítsd ki 14

13

2 C

V

+ értékét!

5p

2. Határozd meg x ∈ értékét, ha az 1, 1x x− + és 2 1x − egy számtani haladvány egymás utáni tagjai!

5p 3. Adott az

1: , ( )

2

x

f f x → =

függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )0 1 4f f f+ + +… szorzat értékét!

5p 4. Határozd meg az m valós paraméter értékét, ha az ( )2 1 0x m x m− − − = egyenlet 1x és 2x gyökei

teljesítik az ( )1 2 1 22 4x x x x+ = + összeüggést!

5p 5. Határozd meg az ( )2,1A és ( )1, 2B − potokon átmenő egyenes egyenletét!

5p 6. Az ABC derékszögű háromszögben ( ) 90 .m A = Igazold, hogy teljesül az 2 sin sinAD AB AC B C= ⋅ ⋅ összefüggés, ahol D az A -ból húzott magasság talppontja!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Hasonlítsd össze az 2a = és 1

3 2b =

+ számokat!

5p

2. Igazold, hogy az 2: , ( ) 4 4f f x x x→ = − + függvényhez tartozó parabola érinti az Ox tengelyt!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 3 5 15x x⋅ = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki egy termék ÁFA-ját ha az eladási ár 357 lej. (az ÁFA 19 %-os).

5p 5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által meghatározott hegyesszög koszinuszát, ha 8AB = és 6BC = .

5p 6. Legyen O az ABCD négyzet középpontja. Számítsd ki az OA OB OC OD+ + + összeg értékét!





I. FELADAT (30p) 5p 1. Határozd meg az {1,4,7, ,40}A = … halmaz elemeinek számát!

5p

2. Adott az :f → , ( ) 2xf x = függvény. Számítsd ki az ( 3) ( 2) ... (3)f f f− ⋅ − ⋅ ⋅ szorzat értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 32log 1x = egyenletet!

5p 4. Hány darab, különböző számjegyekből álló háromjegyű természetes szám képezhető a {1,2,3} halmaz elemeivel?

5p 5. Határozd meg az ,a b ∈ számokat, ha az ( , )A a b és ( 1,4)B a − pontok az 5 0x y+ − = egyenletű egyenesen vannak!

5p 6. Számítsd ki a 0 0 0 0 0 0(cos1 cos9 ) (cos2 cos8 ) ... (cos9 cos1 )− ⋅ − ⋅ ⋅ − szorzat értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 5 38 8C C− értékét!

5p 2. Határozd meg a ( ) 1n nb ≥

mértani haladvány hányadosát, ha 1 3b = és 2 1 3b b− = .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2log 1 1x + = egyenletet!

5p 4. Írd fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek 1x és 2x gyökei teljesítik a következő

összefüggéseket: 1 2

1 2

11

1 1 11

30

x x

x x

+ = + =

.

5p 5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az ( )2;5A ponton és

párhuzamos az 2 0x y+ − = egyenletű egyenessel!

5p 6. Számítsd ki az ABCD téglalap területét, ha 10AC = és ( ) 30 .m BAC =





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki a 2 46 6C C− érétkét!

5p 2. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre teljesül az ( )1 15x x x− ≤ +

egyenlőtlenség!

5p 3. Határozd meg az m szám valós értékeit úgy, hogy az :f → ,

( ) ( )2 1f x x m x m= − − + függvény grafikus képe érintse az Ox tengelyt!

5p 4. Igazold, hogy az 3 3 3 3

2 3 4 9log log log log

1 2 3 8A = + + + +… természetes szám!

5p 5. Számítsd ki sin10 cos80− értékét!

5p 6. Igazold, hogy az az MNPQ négyszög, amelynek csúcsai az ( )2;0M , ( )6;4N , ( )4;6P és

( )0;2Q pontok, egy téglalap!





I. FELADAT (30p) 5p

1. Számítsd ki 5 5

5

log 18 log 2

log 3

− értékét!

5p

2. Adottak az , , : ,f g h → ( ) 1, ( ) 2 2, ( ) 3 3f x x g x x h x x= + = + = + függvények. Határozd meg az a

valós szám értékét úgy, hogy teljesüljön az ( ) ( )( ) ( )a f x h x g x+ = egyenlőség, bármely x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1 4

82

x

x= egyenletet!

5p 4. Hány olyan négyjegyű természetes szám képezhető az {1,2,3,4} halmaz elemeiből, amelyeknek számjegyei különbözőek?

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (2,0)A és 2( 1,0)B m − pontok, ahol m ∈ . Határozd meg m valós értékeit úgy, hogy a (5,0)C pont az AB szakasz felezőpontja legyen!

5p 6. Adott az ABCD négyszög, amelyben DC BC AC+ = . Igazold, hogy ABCD paralelogramma!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki

3

51

log 252

− −

értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 2 2f x x x= − + függvény. Igazold, hogy a függvényhez tartozó

parabola csúcsának koordinátái egyenlőek!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 3 1x x x+ + = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az { }1,2,3,4,...,91A = halmaz valamely elemét

kiválasztva, az osztható legyen 13-mal!

5p 5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által alkotott hegyesszög koszinuszát, ha 16AB = és 12BC = .

5p 6. Számítsd ki 2 2sin 30 cos 60+ értékét!





I. FELADAT (30p) 5p 1. Határozd meg egy számtani haladvány állandó különbségét, ha első tagja 10 és negyedik tagja 19.

5p

2. Határozd meg az [ ] ( ): 2,1 , 1f f x x− → = − + függvény legkisebb értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2lg 3lg 2 0x x− + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg egy termék eredeti árát, ha az egy 15 %-os drágítás után 460 lejbe kerül!

5p 5. Határozd meg az AB szakasz M felezőpontjának koordinátáit, ha 3 4OA i j= + és 7 2OB i j= + .

5p 6. Számítsd ki sin100 cos100 sin80 cos80+ − + értékét!





I. FELADAT (30p) 5p

1. Számítsd ki 32

1log 8

4− − értékét!

5p

2. Oldd meg a valós számok halmazán az ( )( )2 1 1 11x x x− + ≤ − + egyenlőtlenséget!

5p 3. Adott az ( ) 2: , 4 6f f x x x→ = − + + függvény. Igazold, hogy ( ) ( )2f x f≤ , bármely x ∈

esetén! 5p 4. Egy termék árát egymásután kétszer csökkentették, először 10%-kal, majd 25%-kal. Most 540 lejbe

kerül. Számítsd ki a termék eredeti árát! 5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az (2, )M m pont, ahol m egy valós szám.

Határozd meg az m azon valós értékeit, amelyekre 5OM = . 5p 6. Határozd meg az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha 6, 4AC AB= = és ( ) 60m BAC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az 1, , 2, 7,...x x + sorozat egy számtani haladvány!

5p 2. Határozd meg az , : ,f g → ( ) 2 3 1f x x x= − − és ( ) 4g x x= + függvények grafikus képei

metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 3 2 2x x x x+ − − = egyenletet!

5p 4. Egy személy 1500 lejt letétbe helyezett. Mennyi pénzt kapott egy év múlva, ha a kamatláb 8 %?

5p 5. Legyen O az MNP egyenlő oldalú háromszög köré írt kör középpontja. Igazold, hogy:

0OM ON OP+ + = .

5p 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 6 3AB = , 4AD = és ( ) 150m DAB = .





I. FELADAT (30p) 5p

1.Határozd meg egy mértani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 16 és a hányados 1

2.

5p

2. Oldd meg az 6

8

x y

xy

+ = − =

egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1

42x

= egyenletet!

5p 4. Adott az { }1,2,3A = halmaz. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A halmaz elemeivel

képezett kétjegyű számok közül kiválasztva egyet, annak számjegyei egyenlőek legyenek!

5p 5. Igazold, hogy az ABCD paralelogrammában teljesül az 2AC BD AD+ = egyenlőség!

5p 6. Számítsd ki ( )sin 180 x− értékét, ha 4

sin5

x = .





I. FELADAT (30p) 5p 1. Határozd meg egy számtani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 2 és az állandó különbség 3. 5p

2. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az 2 0x x m− + = egyenletnek ellentétes előjelű gyökei legyenek!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )22 2log 2 log (2 4) 1x x x− − − − = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 1 2 4, , 2n nC V n n+ = ∈ ≥ egyenletet!

5p 5. Határozd meg az ABC háromszög területét ha 2AB AC= = és ( ) 30m A = .

5p 6. Számítsd ki 22sin 135 értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }| 2 1 3 1A x x x= ∈ + ≥ − halmazt!

5p

2. Adott az 2: (0, ) , ( ) logf f x x+∞ → = függvény. Számítsd ki ( )1 (4) (2)f f f+ − értékét!

5p 3. Határozd meg m ∗∈ értékét úgy, hogy az 2 3 0x x m− + = egyenlet gyökei ellentétes előjelűek legyenek!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy n elemet kiválasztva a { }2,3,4,5 halmazból, az

teljesítse a 22n n= egyenlőséget!

5p 5. Határozd meg az m valós értékeit úgy, hogy az (1,3), (2,5)A B és (3, )C m pontok kollineárisak

legyenek!

5p 6. Számítsd ki a B pont koordinátáit tudva, hogy ( )3,5C az AB szakasz felezőpontja és ( )2,4A .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold, hogy 3 27 12 2 3− + természetes szám!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 4 1

28

x x− = egyenletet!

5p 3. Határozd meg azon m valós értékeket, amelyekre az 2 6 0x mx m− − − = egyenlet 1x és

2x gyökei teljesítik a ( )1 2 1 24 0x x x x+ + = összefüggést!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy kétjegyű természetes számot kiválasztva, az egy természetes szám köbe legyen!

5p 5. Számítsd ki az :f → , ( ) 3 5f x x= − függvény grafikus képe és a

koordinátatengelyek által meghatározott háromszög területét!






I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az x valós értékeinek halmazát, amelyekre teljesül: 4 3 2 4x− < + < .

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazában a 3 4 2x x+ = egyenletet!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 13 2 3 7x x++ ⋅ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg , hogy a b+ számnak hány százaléka az a szám, ha az a a b-nek 25%-a..

5p 5. Számítsd ki egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha területe 18 és egyik szögének

mértéke 45 .

5p 6. Igazold, hogy a ( )2sin cos 2sin cosx x x x+ − ⋅ kifejezés állandó, bármely x valós szám esetén!





I. FELADAT (30p) 5p 1. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha a haladvány első tagja 1 és

hányadosa 2.− 5p

2. Adott az ( ): 0, ,f +∞ → 3( ) 2 logxf x x= + függvény. Számítsd ki ( ) ( )1 3f f+ értékét!

5p 3. Határozd meg az ( ) 2: , 4 12 9f f x x x→ = − + függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!

5p 4. Számítsd ki 0 1 15 5 52C C V+ − értékét!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (3,2)A , (2,3)B pontok, és M az AB szakasz felezőpontja. Határozd meg az OM szakasz hosszát!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha BC = 4 és az A szög mértéke 30 .





I. FELADAT (30p) 5p 1. Számítsd ki az 1 5 9 ... 25S = + + + + összeget! 5p 2. Határozd meg az { }2 2 0A x x x= ∈ + − < halmazt!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 13 2 108x x+ ⋅ = egyenletet! 5p 4. Hány háromjegyű természetes szám képezhető az {1,2} halmaz elemeivel?

5p 5. Adottak az , , ,A B C D különböző, nem mind kollineáris pontok. Ha 0AB CD+ = , igazold, hogy az ABCD négyszög paralelogramma!

5p 6. Számítsd ki sin A értékét az ABC háromszögben, ha 10BC = és a háromszög köré írt kör sugara 10.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold, hogy 3log 24 1 3a= + , ahol 3log 2a = .

5p

2. Adottak az , :f g → , ( ) , ( )f x ax b g x bx a= + = + függvények, ahol a és b valós számok. Ha ( 1) ( 1)f g− = − , igazold, hogy f g= .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 14

4x− = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az n zérótól különböző természetes számot úgy, hogy az n elemű halmaz összes 2 elemű részhalmazainak a száma 6-tal legyen egyenlő!

5p 5. Határozd meg az (3,0)A ponton átmenő egyenes egyenletét, amely az Oy tengelyt 4 ordinátájú pontban metszi!

5p 6. Határozd meg az MON háromszög O csúcsából húzott magasságának hosszát, ha ( ) ( )4,0 , 0,3M N

és ( )0,0O .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold, hogy az 31, log 9 és 3 64 számok egy mértani haladvány egymást követő tagjai!

5p 2. Adott az ( ): , 2f f x x→ = − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )1 2 6f f f⋅ ⋅ ⋅… szorzat értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 2 3 2 3x x+ − = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a valós számok halmazán a 5

2 22

x x−+ = egyenletet!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (3,0)A és (5, 2)B − pontok. Határozd meg

az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!






I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az 2log 3a = szám. Igazold, hogy: 2log 18 2 1.a= +

5p

2. Határozd meg az : , ( )f f x ax b→ = + függvényt, ahol a és b valós számok, amelyekre

(1) (2) (3) 6 2f f f a b+ + = + és ( )4 8f = .

5p 3. Határozd meg az 3: , ( ) 2 2xf f x +→ = − függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel

való metszéspontjainak koordinátáit!

5p 4. Egy termék ára 5400 lej. Hány százalékkal kell csökkenteni az árát ahhoz, hogy 4860 lejbe kerüljön?

5p 5. Adottak a 1 : 2 2d ax y+ = és 2 :8 4d x ay+ = egyenletű különböző egyenesek. Határozd meg az a valós paraméter értékeit úgy, hogy a 1d és 2d egyenesek párhuzamosak legyenek!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfalezőjének hosszát, ha a háromszög csúcsai

( ) ( )2,3 , 2,0A B és ( )0,2C .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az 2 5 6 0x x− + ≤ egyenlőtlenség valós megoldásait!

5p 2. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az ( ) 2: ,f f x x mx m→ = − + függvény

minimuma 1 legyen!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 22log 2x = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 2 34 4C C+ értékét!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )1;1A , ( )1;0B − és ( )3; 4C −

pontok. Számítsd ki az AM szakasz hosszát, ha M a ( )BC felezőpontja!

5p 6. Számítsd ki ( )cos 180 x− értékét tudva, hogy x egy hegyesszög mértéke és

1cos

2x = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az 2 61 2 2 2+ + + +… összeget!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán az 2( 1)( 1) 0x x− + ≥ egyenlőtlenséget!

5p 3. Igazod, hogy az 2 2008 0mx x m− − = egyenlet valós gyökeinek szorzata állandó, bármely m ∗∈ esetén!

5p 4. Oldd meg a 0 1 8,n nC C n ∗+ = ∈ egyenletet!

5p 5. Legyen O az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja. Igazold, hogy AO DO DC+ = .

5p 6. Számítsd ki ( ) ( ) ( )lg tg40 lg tg41 … lg tg45⋅ ⋅ ⋅ értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg egy számtani haladvány első tagját, ha az állandó különbség 4, és az első két tag összege 10.

5p 2. Határozd meg az m szám valós értékeit, ha az 2 2 0x mx m− + + = egyenlet 1x és 2x

megoldásai teljesítik a 1 2 1 22x x x x= + egyenlőtlenséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a ( ) ( )2 2log 2 log 1 1x x+ − + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak a valószínőségét, hogy a { }11,12, ,20… halmaz egy elemét

kiválasztva, az prímszám legyen!

5p 5. Határozd meg az A pontnak a BC szakasz M felezőpontjára vonatkozó szimmetrikusát,

ha ( )3;0A , ( )0;2B és ( )3;2C .

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 10AC = , 16BC = és ( ) 60m C = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki egy számtani haladvány ötödik tagját, ha a haladvány első tagja 7 és a második tagja 9.

5p 2. Oldd meg a 2 6, , 2nC n n= ∈ ≥ egyenletet!

5p 3. Igazold, hogy az ( ){ }2 22 1 0x x m x m m∈ − + + + = halmaznak két eleme van, bármely

m ∈ esetén.

5p 4.

Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) ( ) ( )lg 4 lg 2 3 lg 1 2x x x+ + + = − egyenletet!

5p 5. Igazold, hogy ha 2AB AC= , akkor a C pont az AB szakasz felezőpontja!

5p 6. Határozd meg ABC derékszögű háromszög AB és AC befogóinak a hosszát, ha

3sin

5B = és 15BC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Oldd meg az 5

6

x y

xy

+ = =

egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

5p

2. Adott az : (0 ) ( ) 5 xf , , f x −→ ∞ = függvény. Számítsd ki ( ) ( ) ( )1 0 5 1f f f− + + értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a

2(3 2 2) (1 2)x+ = + egyenletet!

5p 4. Hány darab két elemű részhalmaza van az { }1,2,3,4,5,6A = halmaznak ?

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )2,1A és ( )4, 3B − pontok. Határozd meg az

AB szakasz M felezőpontjának koordinátáit!

5p 6. Számítsd ki ( )cos 180 x− értékét, ha 1

cos3

x = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold a 1 3 5 45 5 5 2C C C+ + = egyenlőséget!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 3 36x x⋅ = egyenletet!

5p 3. Igazold, hogy az 2 22 1 0x mx m− + − = egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik az

( )1 2 1 2 2 0x x x x− + + ≥ összefüggéstt, bármely m ∈ esetén!

5p 4. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )25log 2 3 1x x+ − = egyenletet!

5p 5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja és M a BC szakasz felezőpontja. Határozd meg

az a valós szám értékét úgy, hogy AG a MA= ⋅ legyen!

5p 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 8, 10AB AC= = és ( ) 150m BCD = .





I. FELADAT (30p) 5p 1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az 1, 1x x− + és 2 5x + számok egy számtani haladvány

egymás utáni tagjai! 5p

2.Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az 2 3 0x x m− + = egyenlet gyökei egymás inverzei legyenek!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2lg 4lg 3 0x x− + = egyenletet!

5p 4. Egy 15 % -os árcsökkentés után egy termék 680 lejbe kerül. Számítsd ki a termék eredeti árát!

5p 5. Határozd meg m ∈ azon értékét, amelyre az ( )2,A m és ( ), 2B m− − pontok közötti távolság 4 2 .

5p 6. Ha az ABC háromszögben 10 5BC ,AC= = és 5 3AB = , számítsd ki cos A értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az x valós számot, ha 1, 2 2x x− − és 3x + egy számtani haladvány egymás utáni

tagjai!

5p

2. Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az 2 1 0x mx− − = egyenlet gyökei ellentétes valós számok legyenek!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 212

2

xx− =

egyenletet!


5p 5. Határozd meg az m valós szám azon értékét, amelyre az ( ) ( )2,4 , 3,3A B és ( ),5C m pontok

kollineárisak!

5p 6. Az ABC derékszögű háromszögben ( ) 90m A = és 3

cos5

B = . Számítsd ki sin C értékét!





I. FELADAT (30p) 5p 1. Igazold a 2 2 2log 5 log 12 log 30 1+ − = egyenlőséget!

5p

2. Igazold, hogy tetszőleges m ∈ szám esetén az 2 2: , ( ) 1f f x x mx m→ = − + + függvényhez tartozó parabola az Ox tengely fölött helyezkedik el!

5p 3.Határozd meg az a valós számot, ha a 2 , 4 1a a + és 22a+ egy számtani haladvány egymást követő tagjai!

5p 4. Oldd meg a természetes számok halmazán a 1 21 1nC n+ = − egyenletet!

5p 5. Bizonyítsd be, hogy az MNPQ négyszögben teljesül az MN PQ MQ PN+ = + összefüggés!

5p 6. Igazold, hogy bármely x hegyesszög esetén teljesül a ( ) ( )2sin cos 90 cos 180 1x x x⋅ − + − =

egyenlőség!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold, hogy 2log 2 , 13C és 5 egy számtani haladvány egymásutáni tagjai!

5p 2. Határozd meg az :f → , ( ) 13 1xf x += − függvény grafikus képének a

koordinátatengelyekkel való metszéspontjait!

5p 3. Határozd meg az m ∈ számot úgy, hogy az 2 2 6 1 0x x m+ + − = egyenlet 1x és 2x

megoldásai teljesítsék az 1 2 1 2x x x x+ = összefüggést!

5p 4. Számítsd ki 0! 1! 2! 3!+ + + értékét!

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög befogóinak hosszát ha ( ) 90m A = , ( ) 60m B = és az átfogó

hossza egyenlő 8-cal!

5p 6. Számítsd ki az ( )2;0A , ( )0;4B és ( )1;6C pontok által meghatározott háromszög területét!





I. FELADAT(30p)

5p 1.Számítsd ki egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha első tagja 2 és állandó

hányadosa 2− .

5p

2. Adottak az 2, : , ( ) 4 4 1, ( ) 2 1f g f x x x g x x→ = − + = − függvények. Oldd meg a valós számok

halmazán az ( ) 2 ( ) 1f x g x+ = − egyenletet!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 23 2 3 3 0x x+ ⋅ − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 243! C− értékét!

5p 5. Számítsd ki az ( )6,8A − pont távolságát az xOy derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontjától!

5p 6. Ha az ABC háromszög A-ban derékszögű, igazold, hogy teljesül a sin cos

AB ACB B

BC

++ =

összefüggés!





I FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki a 23 3!C + összeget!

5p

2. Határozd meg a ( )5log 3 4 2+ =x egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Számítsd ki az

1 2

1 1+x x összeg értékét, ha 1x és 2x az 2 2 0− − =x x egyenlet megoldásai!

5p 4. Adott az [ ]: 0,1f → , ( ) 2f x x= − függvény. Határozd meg az f függvény értékeinek halmazát!

5p

5. Adottak az ( )2, 1A − és ( )1,3B − pontok. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy

AB ai b j= + .

5p 6. Az ABC háromszögben 4, 7AB AC= = és 3.BC = Számítsd ki a B szög mértékét!





I FELADAT (30p)

5p 1. Adott az :f → , ( ) 3f x x= − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )4 3 3 4f f f f− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅… szorzat

értékét! 5p

2. Határozd meg a ( )2 2log 2 log 3x x+ + = egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Oldd meg az 2 5 5 1x x− + ≤ egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

5p 4. Igazold, hogy bármely x ∈ esetén a 13 1, 3x x+− és 5 3 1x⋅ + számok egy számtani haladvány

egymás után következő tagjai! 5p 5. Az xOy koordináta rendszerben adottak az ( )4, 8A − şi ( )6,3B pontok. Határozd meg az OA OB+

vektor koordinátáit!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha ( )2, 30AC m BAC= = ° és 4.AB =





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az :f → , ( ) 2 25f x x= − függvény. Számítsd ki az

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 ... 0 ... 4 5f f f f f− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ szorzat értékét!

5p 2. Oldd meg az 2 28, , 2nC n n= ∈ ≥ egyenletet!

5p 3. Ha 3log 2 a= , igazold a következő egyenlőséget: 3 3 3log 8 log 100 log 25 5a+ − = .

5p 4. Határozd meg az 2

2 31

1

x

x x

+ ≥+ +

egyenlőtlenség valós megoldásait!

5p 5. Határozd meg az ( )2,3A és ( )3, 2B − − pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p 6. Az ABC háromszögben AB = 3, BC = 8 és a háromszög területe 6. Számítsd ki sin B értékét!





I FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az ( )21 7 0x x− + − < egyenlőtlenség egész megoldásait!

5p 2. Számítsd ki az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány első 5 tagjának összegét, ha 1 1a = és 2 3.a =

5p 3. Adott az : ,f → ( ) 2 8 3f x mx x= − − függvény, ahol m egy zérótól különböző valós szám.

Számítsd ki az m értékét úgy, hogy az f függvény maximális értéke 5 legyen!

5p 4. Számítsd ki a ( ) ( )2 2log 2 log 5 3x x+ − − = egyenlet valós megoldásait!

5p 5. Határozd meg az a valós számot, ha az 2u i a j= + és ( )3 2v i a j= + − vektorok kollineárisak!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha AB = 3 és ( ) 30 .m C = °





I FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az 1, 7, 13, 19, ... sorozat tizedik tagját!

5p

2. Tekintsük az összes olyan háromjegyű természetes számot, amelyet az { }1,2 halmaz elemeiből

képezhetünk. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy ilyen szám osztható legyen 3-mal!

5p 3. Számítsd ki a 2 x x+ = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Adott az :f → , ( ) 2 1f x x= + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1f f f f− + − + + összeg

értékét!

5p 5. Határozd meg az ( )2, 1A − és ( )1, 2B − pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 2AB AC= = és ( ) 30 .m A = °





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az 2 2a b+ összeget, ha az a és b számok összege 4 és szorzata 3.

5p

2. Adottak az , : ,f g → ( ) 2 1f x x x= − + és ( ) 4g x x= + függvények. Határozd meg az f és g

függvények grafikonjai metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Számítsd ki az x pozitiv, valós értékeit, ha

3lg ,

2x és lg x egy számtani haladvány egymásutáni

tagjai!

5p 4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy az { }2, 3, 4,..., 10A = halmazból kiválasztott valamely

elem racionális szám legyen!

5p 5. Határozd meg az a valós számot, ha a 2 3 0x y− + = és az 2 5 0ax y+ + = egyenesek párhuzamosak

egymással!

5p 6. Adott az ABC háromszög, amelyben AB = 1, AC = 2 és BC = 5. Számítsd ki cos B értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg a 1 5x x+ = − egyenlet valós megoldásait!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 3f x x= + függvény. Számítsd ki az (0) (1) (5)f f f+ + +… szorzat értékét!

5p 3. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre 4 3 2 4x− ≤ + ≤ .

5p 4. Számítsd ki az ( ) 2: , 2 8f f x x x→ = − + + függvény grafikus képének az Ox tengellyel való

metszéspontjai közötti távolságot!

5p 5. Ha 2 0AB CB+ = , határozd meg az

AB

BC arány értékét!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 6 , AC = 8 és 10BC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Oldd meg a valós számok halmazában a ( )22 1 9x − ≤ egyenlőtlenséget!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 1f x x= + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )(0) 1 2 ... 10f f f f+ + + + összeg

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 2log ( 4) log ( 4)x x+ = + egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a 3P , 13V és 3

4C számok valamelyike osztható legyen 3-

mal.

5p 5. Határozd meg az ( ) ( )2, 3 és 3,2− −A B pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki annak az ABC háromszögnek a területét, amelyben 5, 6AB AC= = és ( ) 60m BAC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }1 2A x x= ∈ + ≤ halmaz elemeinek számát!

5p

2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a { }3 3 3 31, 2, 3,..., 30

halmaz valamely eleme racionális

szám legyen!

5p 3. Adottak az ( ): , 3f f x x→ = + és ( ): , 2 1g g x x→ = − függvények. Számítsd ki a

2 ( ) 3 ( ) 5f x g x+ = − egyenlet valós megoldását!

5p 4. 20 % -os árcsökkentés után egy termék 320 lejbe kerül. Határozd meg a termék eredeti árát!

5p 5. Az ( ), ,O i j derékszögű koordináta rendszerben adottak az 3 2u i j= − + és 5v i j= − vektorok.

Számítsd ki az 5 3u v+ vektor koordinátáit!

5p 6. Az ABC derékszögű háromszögben D a BC átfogó felezőpontja. Számítsd ki az AB oldal hosszát, ha AC = 6 és AD = 5.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az 1( )n na ≥ számtani haladvány, amelyben 1 7a = és 7 37a = . Számítsd ki a haladvány első tíz

tagjának összegét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 7f x x= − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )1 2 7f f f⋅ ⋅ ⋅… szorzat értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 12 4x− = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 5 5 47 6 6C C C− − értékét!

5p 5. Határozd meg azt a pozitív valós a számot, amelyre az ( )2, 1A − és ( )1,B a− pontok közötti

távolság egyenlő 5-tel!

5p 6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek magassága 3 3 .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Ha a ∗∈ , igazold, hogy az ( )2 2 1 1 0ax a x a− + + + = egyenletnek két különböző valós gyöke van!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 11 30f x x x= − + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )0 1 ... 6f f f⋅ ⋅ ⋅ szorzat

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 32 2 28x x+ − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 2 46 62V C− értékét!

5p 5. Számítsd ki az AB szakasz hosszát az xOy derékszögű koordináta-rendszerben, ha A(2,3) és

B(5,−1).

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 2, BC = 4 és 0( ) 60 .m B =





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold a következő egyenlőséget: 3 2 41

log 9 log 8 log4

− = .

5p 2. Határozd meg az m ∈ azon értékeit, amelyekre az 2 2 4 0x mx m+ + = egyenlet gyökei valósak!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 2 3 1x x− − = − egyenletet!

5p 4. Egy 1000 lejes bankbetét éves kamatja 80 lej. Számítsd ki a kamatlábat!

5p 5. Határozd meg a B pont koordinátáit, ha ( )3,4A és AB i j= + .

5p 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 3, 3AB AD= = és ( ) 120m BAD = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az { }1,2,3,4 halmaz kételemű részhalmazainak számát!

5p

2. Határozd meg a 1

1255

x = egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Adott az :f → , ( ) 2 5 6f x x x m= + + + függvény. Határozd meg m azon valós értékeit,

amelyekre ( ) 0f x ≥ , bármely x ∈ esetén!

5p 4. Határozd meg az x valós számot, ha 2 1, 4x x− és 12 3x+ + egy számtani haladvány három egymás

utáni tagja!

5p 5. Számítsd ki az AB BC CA+ + összeget, ha A, B és C egy háromszög csúcsai!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 5, AC = 4 és 0( ) 60m A = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 4 45 5+C V értékét!

5p

2. Számítsd ki az 2 3 4

1 1 1 11

3 3 3 3+ + + +

összeget!

5p 3. Adott az :f → , ( )f x ax b= + függvény. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy

teljesüljön a ( )3 2 3 5f x x+ = + egyenlőség bármely x ∈ esetén!

5p 4. Határozd meg a ( ) ( )23 3log 2 log 2 3x x x− = − egyenlet valós megoldásait!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )1,2A , ( )1,1B − , ( )3,5C és ( )5,D a , a ∈

pontok. Határozd meg az a értékét, ha AB CD .

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha BC = 8 és 0( ) 45m A = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki lg 20 lg3 lg 6+ − értékét!

5p

2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy valamely kétjegyű szám teljes négyzet legyen!

5p 3. Határozd meg a 7 1x− = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Határozd meg az m ∈ értékét ha az ( )2 2 1 3 0x m x m− + + = egyenlet 1 2,x x gyökei teljesítik az

1 2 1 2 11x x x x+ + = összefüggést!

5p 5. Igazold, hogy bármely ABC derékszögű háromszögben, melynek területe S és átfogója ,a teljesül az 2 sin sin 2a B C S= azonosság!






I. FELADAT (30p) 5p 1. Számítsd ki 3 32 log 4 4log 2− értékét!

5p

2. Határozd meg a 12 2 12x x− + = egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Határozd meg az n, 1n ≥ természetes számot, ha 1 1 10.+ =n nV C

5p 4. Adott az [ ]: 0,2f → , ( ) 4 3f x x= − + függvény. Határozd meg a függvény értékeinek halmazát!

5p 5. Adott az O középpontú körbe írt, egyenlő oldalú ABC háromszög. Igazold, hogy OA OB OC O+ + = .

5p 6. Számítsd ki sin135° értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány, amelyben 1 3a = és 3 7a = . Számítsd ki a haladvány első 10

tagjának összegét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 3 1f x x x= − + függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre

az ( , 1)A m − pont rajta van az f függvény grafikus képén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 5log (2 3) 2x + = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki egy 5 elemű halmaz 3 elemű részhalmazainak számát!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1− , 2− ), B(1,2) és C(2, )1− pontok.

Számítsd ki a C pont és az AB szakasz felezőpontja közötti távolságot!

5p 6. Az ABC háromszögben 8, 8AB AC= = és ( ) 30m A = . Számítsd ki az ABC háromszög területét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg azon mértani haladvány negyedik tagját, amelynek állandó hányadosa 1

3 és első tagja

27. 5p

2. Adott az :f → , ( ) 2 1f x x= − függvény. Határozd meg az ( ) ( )2 2 3 0+ − =f x f x egyenlet valós

megoldásait!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4 3 2 2 0x x− ⋅ + = egyenletet!

5p 4. Hasonlítsd össze az 1 34 4a C C= + és 0 1 2 3

3 3 3 3b C C C C= + + + számokat!

5p 5. Határozd meg a 2 3w v u= − vektor koordinátáit, ha 3 4v i j= + és 2 3u i j= − .

5p 6. Az ABC háromszög területe 15. Számítsd ki sin A értékét, ha AB = 6 és AC = 10.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az [ ]: 2,1f − → , ( ) 3 1f x x= − + függvény legkisebb értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 1f x x= − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )1 2 ... 6f f f+ + + összeg értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 2log (2 5) log ( 3 3)x x x+ = + + egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 2 24 5,C C és 3

4C számok valamelyike osztható legyen 3-mal.

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,3), B(1,5) és C(4,2) pontok. Számítsd ki

az A pont és a BC szakasz felezőpontja közötti távolságot!

5p 6. Számítsd ki sin 60 cos30− értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }1,3,5,...,13A = halmaz elemeinek összegét!

5p

2.Adott az :f → , ( ) 2 1f x x= + függvény. Határozd meg a függvény grafikonján azt a pontot,

amelynek abszcisszája és ordinátája egyenlő!

5p 3. Határozd meg a 32 2 36xx ++ = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Számítsd ki 4 44 4V C+ értékét!

5p 5. Határozd meg az ( )1,1A ponton átmenő és a 4 2 5 0x y+ + = egyenessel párhuzamos egyenes

egyenletét!






I. FELADAT (30p)


32

1log 4 8

2

− + −

értékét!

5p 2. Adott az : ,f → ( ) 3 2f x x= − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )(0) 1 2 ... 6f f f f+ + + + összeg

értékét!

5p 3.Oldd meg a valós számok halmazában a 2169 12x− = egyenletet!

5p 4. Adott az { }1,2,3,4A = halmaz. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből,

amelynek számjegyei különbözőek?

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,4), B(1,1), C(3, 1− ) pontok. Számítsd ki

az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjének hosszát!

5p 6. Számítsd ki annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelyben az egyik szög mértéke 60° és átfogójának hossza 8.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az 1( )n na ≥ számtani haladvány, amelyben 1 6a = és 2 5a = . Számítsd ki 7a értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 3f x x= + függvény. Oldd meg az ( ) 12f x ≤ egyenlőtlenséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 4 6 2 8 0x x− ⋅ + = egyenletet!

5p 4. Adott az { }1,2,3,4,5A = halmaz. Hány olyan 4 jegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből,

amelyek számjegyei különbözőek?

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1− , 1− ), B(1,1) és C(0, 2− ) pontok.

Igazold, hogy az ABC háromszög A-ban derékszögű!

5p 6. Számítsd ki cos10 cos 20 cos160 cos170° + ° + ° + °értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány, amelyben 1 2a = és 2 4a = . Számítsd ki a számtani haladvány

első tíz tagjának az összegét!

5p 2. Határozd meg azt a másodfokú :f → , ( ) ( )2 2 1 3,f x x m x m= − + + ∈ függvényt, amelynél a

grafikus kép csúcsának abszcisszája 7

2.

5p 3.Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 53 3x x− −= egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 25 3−V P értékét!

5p 5. Adott az A(2,3) pont. Határozd meg az m valós számot, ha az A pont rajta van a : 2 0d x y m− + = egyenesen!

5p 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 4MN = , 6NP = és ( ) 45 .m MNP = °





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 2 21

log 3 log3

+ értékét!

5p

2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a { }0,1,2,3,4,5 halmaz valamely eleme teljesítse az

! 50n < egyenlőtlenséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 14 2 5x x−− ⋅ = − egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy bármely valós a értékre az ( )2 22sin 1 cos 0x a x a− + − = másodfokú egyenletnek

egyenlő valós megoldásai vannak!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 3OA − és ( )1, 2OB − vektorok. Határozd

meg azon és α β valós számokat, amelyekre a 3 5OA OB− vektor koordinátái ( ),α β .

5p 6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 3

2 és 3BC = . Számítsd ki sin A értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1.

Bizonyítsd be, hogy ( ) 2log 83 2 természetes szám!

5p 2. Határozd meg a 4 6 2 0x y− − = és a 2 3 7 0x y+ − = egyenletű egyenesek metszéspontjának

koordinátáit!

5p 3. Határozd meg az m valós paraméter értékeit, ha az ( )2 2 3 3 0x m x− + + = egyenlet 1x és 2x

megoldásai teljesítik az 1 2 1 2 7x x x x+ + = egyenlőséget!

5p 4.

Oldd meg az ( )2 !

56, !

nn

n

+= ∈ egyenletet!

5p 5. Igazold, hogy egy A –ban derékszögű ABC háromszögben igaz a 2 2cos cos 1B C+ = egyenlőség!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 4AB AC= = és ( ) 60m A = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg x valós értékeit, ha 3, 4, 3x x− + egy számtani haladvány három egymás utáni tagja!

5p

2. Adott az :f → , ( ) 2 8 7f x x x= − + függvény. Számítsd ki az f függvény grafikus képének az

Ox tengellyel való metszéspontjai közötti távolságot!

5p 3. Igazold, hogy 1 3 5 21E = + + + +… egy természetes szám!

5p 4. Hány olyan háromjegyű természetes szám képezhető a { }1,2,3,4 halmaz elemeiből, amelyek

számjegyei különbözőek?

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )2,1A és ( )1,2B − pontok. Határozd meg a

( )C AB∈ pont koordinátáit, ha 2CA

CB= .

5p 6. Az ABC háromszögben AB = 4, BC = 2 és a C szög mértéke 60 .° Számítsd ki sin A értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 2 25 4 6C V− + értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 3f x x= − függvény. Számítsd ki az ( 6) (0) (6) (12)f f f f− + + + összeg

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 23log ( 1) 1x − = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 2

2 3

2 7

x y

x x y

− =

+ − = egyenletrendszert, ahol ,x y∈ ∈ .

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(3, 1− ) és B(1,1) pontok. Határozd meg az

m és n valós számokat, amelyekre az A és B pontok az 0x my n+ + = egyenesen vannak!

5p 6. Számítsd ki ( )( )cos150 cos30 sin120 sin 60+ − értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 1 2 1 2x x x x+ + értékét, ha 1x és 2x az 2 2 2 0x x− + = egyenlet megoldásai!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 3 4f x x= − függvény. Határozd meg az ( ) 1 4f x x− ≥ egyenlőtlenség valós

megoldásait!

5p 3. Határozd meg a 2 13

3

xx− =

egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Számítsd ki 3 2log 27 log 8− értékét!

5p 5. Adottak az ( ) ( ) ( )1, , 2, 1 , 3,2A a B C− és ( )1, 2D − pontok. Határozd meg az a valós szám értékét, ha

az AB és CD egyenesek párhuzamosak!

5p 6. Az ABC háromszögben AB = 5, AC = 6 és BC = 7. Számítsd ki cos A értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az 2 3 71 2 2 2 ... 2+ + + + + összeget!

5p 2. Igazold, hogy ( )( )1 2 3x x x− − > − , bármely x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 3x x+ = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1,2,3,4,5} halmazból kiválasztott valamely n elem

teljesítse az 2 2nn ≤ egyenlőtlenséget!

5p 5. Határozd meg az m valós számot, amelyre a 1 : 2 3 0d x my− − + = és 2 : 5 0d mx y+ − = egyenletű

egyenesek párhuzamosak!

5p 6. Számítsd ki sin30 cos45 sin 60− + értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az 1( )n na ≥ számtani haladvány, amelyben 3 5a = és 6 11.a = Számítsd ki 9a értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2f x x= + függvény. Számítsd ki (1) (2) ... (20)f f f+ + + értékét!

5p 3. Oldd meg a 22 54 2x x+ += egyenletet az halmazon!

5p 4. Oldd meg a 12 2,n

nC n++ = ∈ egyenletet!

5p 5. Határozd meg azt az m valós számot, amelyre a 2 3v i j= + és w i m j= − + vektorok kollineárisak!

5p 6. Számítsd ki cos30 cos 60 cos120 cos150° + ° + ° + ° értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az x valós számot, ha az x + 1, 2x – 3 és x – 3 számok egy számtani haladvány egymás utáni tagjai!

5p 2. Egy termék 10%-os árcsökkentés után 99 lej. Határozd meg a termék eredeti árát!


5p 4. Határozd meg azt a másodfokú függvényt, amelynek grafikus képe tartalmazza az

( )1;3A , ( )0;5B és ( )1;11C − pontokat!

5p 5. Az ABC háromszögben jelölje rendre M, N, P az AB, BC, illetve AC oldalak felezőpontját.

Igazold, hogy AM AP AN+ = .

5p 6. Az ABC háromszögben 3AB BC= = és 3 2AC = . Határozd meg cos A értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Igazold a 1 2 9

lg lg ... lg 12 3 10

+ + + = − egyenlőséget!


5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 10

3 33

x x−+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az m ∈ számot úgy, hogy teljesüljön az ( )2 3 3 0x m x m− − + − >

egyenlőtlenség bármely x valós szám esetén!

5p 5. Számítsd ki az A szög koszinuszát az ABC háromszögben, ha 3AB = , 5AC = és 6BC = .

5p 6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )0;A a , ( )1;2B − és ( )4;5C

pontok, ahol a valós szám. Határozd meg a azon értékeit, amelyekre az ABC háromszög A-ban derékszögű!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány különbségét, ha 10 2 16a a− = .

5p 2. Adott az :f → , ( ) 3f x x= + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )2 72 2 ... 2f f f+ + + összeg

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 1x x+ = − egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az }{1,2,3,4 halmazból kiválasztott valamely n elem

teljesítse az 2!n n≥ egyenlőtlenséget!

5p 5. Határozd meg a 1 : 2 2 0d x y− − = és 2 : 3 8 0d x y+ − = egyenletű egyenesek metszéspontja és az

O(0,0) pont közötti távolságot!

5p 6. Igazold, hogy egy BC átfogojú ABC derékszögű háromszögben teljesül a 2 2sin sin 1B C+ = összefüggés!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az 2 9 0x − ≤ egyenlőtlenség valós megoldásait!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2009 2008f x x= − függvény. Igazold, hogy az

2010,2

2009A

pont rajta van a

függvény grafikus képén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 9 4 3 3 0x x− ⋅ + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az x valós számot, ha az 1, 2 1, 9,13,x + … sorozat egy számtani haladvány!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az M(1,2) és N(2,1) pontok. Határozd meg az

MN egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki 2 230 45tg ctg° + ° értékét!





I. FELADAT (30p)


5p 2. Határozd meg a 2 2 2− − =x x egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek 1x és 2x gyökei egyidejűleg teljesítik az

1 2 2x x+ = és 1 2 3= −x x összefüggéseket!

5p 4. Határozd meg az { }\ 1m ∈ értékét, ha az :f → , ( ) ( ) ( )21 2 1f x m x m x= − − + +

függvénygrafikus képe minimumpontjának abszcisszája 2.

5p 5. Számítsd ki az ( )3, 1A − és ( )1,2B − pontok közötti távolságot!

5p 6. Határozd meg azt az x valós számot, amelyre , 7x x + és 8x + egy derékszögű háromszög oldalai!





I. FELADAT (30p)


3 9x x+ = egyenletet!

5p 2. Határozd meg az ( ) ( ): , lg 2 3f D f x x→ = − függvény D maximális értelmezési tartományát!

5p 3. Határozd meg az m valós szám értékeit, ha az :f → , ( ) 2 2 3f x x mx m= − + függvény

minimuma egyenlő 2-vel!

5p 4. Számítsd ki 2 2 12009 2008 2008C C C− − értékét!

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalának hosszát, ha az 10AB = , 15BC = és ( ) 60m B = .

5p 6. Határozd meg annak az M pontnak a koordinátáit, amely rajta van az AB egyenesen és egyenlő

távolságra található az ( )1; 1A − és ( )5; 3B − pontoktól!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az x egész számot, amelyre 2 1

3 42

x −≤ ≤ .

5p

2. Adott az :f → , ( ) 2 6 5f x x x= − + függvény és az 4y = − egyenletű egyenes. Határozd meg az

f függvény grafikus képe és az egyenes metszéspontjának koordinátáit!

5p 3. Határozd meg a ( )2log 3 0x − = egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Hány darab kétjegyű számot képezhetünk az { }1,2,3,4 halmaz elemeivel?

5p 5. Az xOy derékszögű koordinátarendszerben adottak az ( )2, 1OA − és ( )1,2OB vektorok. Határozd

meg az OM vektor koordinátáit, ha M az AB szakasz felezőpontja!

5p 6. Számítsd ki sin120 értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány, amelyben 2 5a = és 3r = . Számítsd ki 8a értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2f x x= + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )2 53 3 3f f f+ + +… összeget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 5log (2 1) 1x + = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki egy 6 elemű halmaz kételemű részhalmazainak a számát!

5p 5. Határozd meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha ( )5, 4A − és ( )3,6B − .






I. FELADAT (30p)


5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 1f x x= + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )1 2 ... 6f f f+ + + összeg értékét!

5p 3. Oldd meg valós számok halmazában az 2 5 55 5x x x− −= egyenletet!

5p 4. Két egymás utáni , előbb 10%-os, majd 20%-os drágulás után egy termék ára 660 lej. Számítsd ki a termék eredeti árát!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − és ( )2,2B − pontok. Számítsd ki az

A és B pontok közötti távolságot!

5p 6. Az MNP háromszögben MN = 3, MP = 5 és ( ) 60m M = ° . Számítsd ki az NP oldal hosszát!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott az 1( )n na ≥ számtani haladvány, amelyben 1 1a = és 5 13a = . Számítsd ki 2009a értékét!

5p 2. Adott az 2 2 0x mx+ + = egyenlet, amelynek gyökei 1x és 2x . Számítsd ki az m valós értékeit,

amelyekre ( )21 2 1 22 5.x x x x+ − =


2 4x x− = egyenletet!

5p 4. Adott az :f → , ( ) ( )2 1 1f x m x m= − + + függvény. Igazold, hogy ( ) 1

14

f ≥ − , bármely m ∈

esetén!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1− , 1− ), B(2,3) és C(3,1) pontok.

Határozd meg a D pont koordinátáit úgy, hogy az ABCD paralelogramma legyen!

5p 6. Számítsd ki cos80 cos100+ értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg azon a és b valós számokat, amelyekre ( ) ( )2 23 2 0a b− + + = .

5p 2. Adott az :f → , ( ) 5f x x= − függvény. Számítsd ki az (0) (1) (2) ... (5)f f f f⋅ ⋅ ⋅ ⋅ szorzat

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3 3log (3 1) log (2 1)x x− = + egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy az :f → , ( ) 2 22 1f x x mx m= − + + függvényhez tartozó parabola az Ox tengely

felett van, tetszőleges m ∈ esetén!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (1,1)A , (2,3)B és (3, )C m pontok. Határozd

meg az m valós értékét, amelyre az A, B és C pontok kollineárisak!

5p 6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 3 és 6AC = . Számítsd ki sin B értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott a ( ) 1n nb ≥ mértani haladvány, amelyben 1 1b = és 2 3b = . Számítsd ki 4b értékét!

5p 2. Adott az 2 0x x m− + = egyenlet, amelynek megoldásai 1x és 2x . Határozd meg az m valós számot

úgy, hogy teljesüljön az 1 2

1 1 3

1 1 4x x+ = −

+ + egyenlőség!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 4 2 0x x− + − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az { }1,2,3,4 halmazból kiválasztott n elem valamelyike

teljesítse a 33n n> egyenlőtlenséget!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(5, 1− ) és B(3,1) pontok. Határozd meg az

A pontnak a B pont szerinti szimmetrikusának koordinátáit!

5p 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN = 10, NP = 4 és ( ) 60m MNP = ° .





I. FELADAT (30p) 5p 1. Számítsd ki 3 5

8 8C C− értékét!

5p

2. Határozd meg a ( )2log 5 3x + = egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, melynek 1x és 2x gyökei egyidejűleg teljesítik az

1 2 1x x+ = és 1 2 2= −x x összefüggéseket!

5p 4. Adott az :f → , ( ) 2 3 2= − +f x x x függvény. Számítsd ki az ( )( ) ( )0 2f f f− értéket!

5p 5. Határozd meg a C pont koordinátáit, ha C az ( )5,4A pontnak a ( )2,1B − pont szerinti

szimmetrikusa! 5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott magasságának hosszát, ha 3, 4AB AC= = és

5BC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az 1 3 5 ... 19+ + + + összeget!

5p 2. Igazold, hogy az 2 22 1 0x x a− + + = egyenletnek nincs valós megoldása, tetszőleges a ∗∈ esetén!

5p 3. Határozd meg a m valós értékeit, ha tudjuk, hogy az :f → , ( ) 2 1f x x mx m= − + − függvény

minimuma 1

4− .

5p 4. Helyezd növekvő sorrendbe az 2

1, 64

4

−

és 3 8 számokat!

5p 5. Adott az O középpontú körbe írt ABC egyenlő oldalú háromszög. Számítsd ki az 3AB AC AO+ − vektort!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 3 , AC = 3 és az A szög mértéke 120 .°





I. FELADAT (30p)

5p 1. Adott a ( ) 1n nb ≥ mértani haladvány, amelyben 1 2b = és 2 6b = . Számítsd ki 5b értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 2f x x mx= + + függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre

a függvény minimuma 1

4− .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 5 83 3x x− −= egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 2 21, , 2nC n n= ∈ ≥ egyenletet!

5p 5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az ( )1,1A ponton, és iránytényezője

egyenlő 1-el!

5p 6. Az ABC háromszögben 6AB AC= = és 6 3BC = . Számítsd ki cos B értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki az 1 11 21 31 ... 111+ + + + + összeg értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 2 4f x x x= − + függvény. Határozd meg az m valós szám azon értékeit,

amelyekre az ( ,4)A m pont rajta van az f függvény grafikus képén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 12 8x x+ + = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1,2,3,4} halmazból kiválasztott n elem valamelyike

teljesítse a 2 !n n< egyenlőtlenséget!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az 2( , )A m m pont és a : 0d x y m+ + =

egyenletű egyenes. Határozd meg az m azon valós értékeit, amelyekre az A pont rajta van a d egyenesen!

5p 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 6MN NP= = és ( ) 120m MNP = ° .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }3 2 4 1A x x x= ∈ + ≥ − halmaz elemeit!

5p 2. Határozd meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyekben az :f → , ( ) 2 3f x x= − függvény grafikonja metszi a koordinátatengelyeket!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4 2x − = egyenletet!

5p 4. Egy 500 lejes összeget letétbe helyeztek 8% -os kamatlábbal. Számítsd ki az egy éves kamat értékét!

5p 5. Határozd meg a v OA OB= + vektor koordinátáit, ha ( )2,3A és ( )1,5B − .

5p 6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek kerülete egyenlő 6-tal!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány első 6 tagjának összegét, ha 1 2a = és

2 5a = .

5p 2. Határozd meg az m valós paraméter értékeit úgy, hogy az 2 9 0x mx+ + = egyenletnek egyenlő valós gyökei legyenek!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a ( )22log 3 10 3x x+ − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az { }7,11,15,19,...,35A = halmaz valamely

elemét kiválasztva, az osztható legyen 5-tel!

5p 5. Határozd meg az ( )4;0A és ( )0;2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki cos B értékét, ha az ABC háromszögben 6AB = , 8AC = és 10BC = .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 5 325log log 9− értékét!

5p 2. Határozd meg azt az ( ): ,f f x ax b→ = + függvényt, amelynek grafikus képe

átmegy az ( )2;7A és ( )1; 2B − − pontokon!

5p 3. Igazold, hogy az 2 1 0x x− − = egyenlet 1x és 2x megoldásai teljesítik az

2 21 2 1 2 2x x x x+ = + + összefüggést!

5p 4. Határozd meg azon n természetes számokat, amelyekre az ( ) 10 3E n n= − kifejezés

értelmezett!

5p 5. Határozd meg az ABC háromszög A-ból húzott oldalfelezőjének hosszát, ha a háromszög

csúcsai az ( )0;4A , ( )2;0B − és ( )8;0C pontok!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha ( ) 90m A = , ( ) 30m B = és

4 3AB = .





I. FELADAT (30p)


1

x y

x y

+ = − =

egyenletrendszer valós megoldásait!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 5f x x= + függvény. Számítsd ki ( ) ( ) ( )2 52 2 ... 2f f f+ + + értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 3 22 8x x+ − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a {2,3,4,5} halmazból kiválasztott n elem valamelyike

teljesítse az 2 !n n n+ > egyenlőtlenséget!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2, 1− ) és ( 2, ),B a a− ∈ pontok.

Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az AB egyenes tartalmazza az O(0,0) pontot!

5p 6. Számítsd ki cos x értékét, ha 3

sin5

x = és x egy hegyesszög mértéke!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 6 6log 24 log 4− értékét!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2 3 2f x x x= − + függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )0 1 2009f f f⋅ ⋅ ⋅…

szorzat

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 5 2− =x egyenletet!

5p 4. Határozd meg az ,n 5n ≥ természetes számot, ha

( )( )

3 !6.

5 !

n

n

−=

−

5p 5. Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az ( )1,2A − és ( )4 ,4B a a− + pontok által

meghatározott szakasz hossza 5.

5p 6. Számítsd ki 2 2cos 45 sin 135+ értékét!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Hasonlítsd össze a 22 és 2log 32 számokat!

5p 2. Határozd meg m ∗∈ értétkét úgy, hogy az ( )2,3A pont legyen rajta az :f → ,

( ) 2 1f x mx x= − + függvény grafikus képén!

5p 3. Határozd meg azon x valós számokat, amelyekre teljesül a 2 1 2x + = egyenlőség!

5p 4. Oldd meg a 2 1 2, , 2n nC C n n= + ∈ ≥ egyenletet!

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha 10BC = és

( ) 60m BAC = .

5p 6. Számítsd ki sin 60 cos150⋅ értékét!





I. FELADAT (30p)


2 16x = egyenlet valós megoldásait!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 2f x x= − függvény . Számítsd ki az (1) (2) (10)f f f⋅ ⋅ ⋅… szorzat értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 2 2x x x− − = − egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a { }3,4,5,6 halmazból kiválasztott valamely elemre

teljesüljön az ( )1 20n n − ≥ egyenlőtlenség !

5p 5. Határozd meg az ( )2, 4A − pontnak a ( )1, 2B − pontra vonatkozó szimmetrikusát!

5p 6. Számítsd ki 2 2sin 80 sin 10+ értékét!




Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. • Minden tétel kötelező. Munkaidő 3 óra. Megjelenés 10 pont. • Minden feladat teljes megoldását írd a vizsgalapra.

I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az 1 2x = és az 2 3x = számok!

5p 2. Oldd meg az 2

2 0

2 0

x y

x x y

+ − =

− + = egyenletrendszert, ahol , .x y∈ ∈

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 25log (9 ) 1x− = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az { }1,2,3,4A = halmazból kiválasztott valamely n elem

teljesítse az ! 5n < egyenlőtlenséget!

5p 5. Számítsd ki

sin135

cos45 értékét!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 8, 4AB AC= = és ( ) 45 .m A = °





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az 2: , ( ) 4 5f f x x x→ = + − függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!

5p 2. Adott az :f → , ( ) 3 4f x x= − függvény. Számítsd ki az ( ) ( ) ( )1 2 ... 10f f f+ + + összeg

értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3log (10 ) 2x− = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 2 12, , 2nV n n= ∈ ≥ egyenletet!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,2) és C(3, 1− ) pontok. Számítsd

ki az ABC háromszög kerületét!

5p 6. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az { }0 0 0sin 30 , sin 45 , sin 60A = halmaz valamely eleme

racionális szám legyen?





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }1,2,3,4,5 halmaz összes kételemű részhalmazainak számát!

5p

2. Adottak az , :f g → , ( ) 23 3 1f x x x= − + és ( ) 1g x x= − függvények. Határozd meg az

( ) ( )f x g x= − egyenlet valós megoldásait!

5p 3. Határozd meg a ( )23log 4 4 2x x− + =

egyenlet valós megoldásait!

5p 4. Határozd meg az m ∈ értékét, ha az :f → , ( ) 2 1f x x mx m= − + − függvény grafikus képe

érinti az Ox tengelyt!

5p 5. Számítsd ki az ABC egyenlő oldalú háromszög területét, ha ( )1,1A − és ( )3, 2 .B −

5p 6. Számítsd ki cos x értékét, ha

4sin

5x = és x egy hegyesszög mértékét jelöli!





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg x szám valós érékeit, ha az 5 x− ; 7x + és 3 11x + számok egy mértani haladvány

egymás utáni tagjai!

5p 2. Számítsd ki egy termék ÁFA - ját, ha az eladási ár 238 lej ( az ÁFA 19% -os).

5p 3. Igazold, hogy 2 3log 4 log 9 36+ < .

5p 4. Adott az ( ): , 3 4f f x x→ = − függvény. Határozd meg azokat az x értékeket, amelyekre

( ) ( )1 1f x f+ ≤ .

5p 5. Határozd meg egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha ezeknek összege 23 és a háromszög területe 60.

5p 6. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét amely átmegy az ( )1, 2A − ponton és

iránytényezője 2.





I. FELADAT (30p)

5p 1. Határozd meg az { }2 1 1A x x= ∈ − ≤ halmaz elemeit!

5p 2. Adott az 2 3 5 0x x+ − = egyenlet, amelynek megoldásai 1x és 2x . Számítsd ki 2 21 2x x+ értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 25 12x − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki 0 1 2 3 44 4 4 4 4C C C C C− + − + értékét!

5p 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,6) és C( 1− ,1) pontok. Határozd

meg az ABC háromszög C pontjából húzott oldalfelező egyenletét!

5p 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 6, 4MN NP= = és ( ) 30m MNP = ° .





I. FELADAT (30p)

5p 1. Számítsd ki 2 23

log 3 log2

− értékét!

5p 2. Határozd meg a 2 4 0x y+ − = és az 3 0x y+ − = egyenletű egyenesek metszéspontjának

koordinátáit!

5p 3. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre 5x = megoldása az

( )2 1 3 2m x x m− = − + egyenletnek!

5p 4. Oldd meg a valós számok halmazában a 24 6 3 2x x x+ + = + egyenletet!

5p 5. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha csúcsai az ( ) ( )1;3 , 2;0A B− − és ( )0;3C

pontok!

5p 6. Ha a 2BC = , ( ) 30m BAC = és ( ) 45m ABC = , számítsd ki az ABC háromszög AC

oldalának hosszát!





I. FELADAT (30p)


5p 2. Határozd meg az [ ]: 1,1f − → , ( ) 2 3f x x= − + függvény legnagyobb értékét!

5p 3. Határozd meg m valós paraméter értékeit úgy, hogy az ( )2 1 3 0x m x+ − + = egyenlet

1x és 2x megoldásaira teljesüljön az 1 23x x= egyenlőség!


1 1nn nC C+ +− , n ∈ értékét!


5p 6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )2,2A és ( )4,4B pontok.

Határozd meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!

Liceul Tehnologic Electromures - Cadre...

Documents

Transcript of Liceul Tehnologic Electromures - Cadre...