Link Click

Universitatea TRANSILVANIA Braov Facultatea de Design de Produs i Mediu Catedra Design de Produse i Robotic

ing. Nadia Ramona RA (CREESCU)

MODELAREA ROBOILOR PARALELI CU MICRI DECUPLATE

Rezumatul tezei de doctorat

Conducator stiintific

Prof. univ. dr. ing., dr.h.c. Florea DUDI

Braov 2011

MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII, TINERETULUI I SPORTULUI

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV BRAOV, B-dul EROILOR, Nr. 29, 500036 Tel. 0268413000, Fax.+40-0268410525

D-nei/lui.

COMPONENA Comisiei de doctorat Numit prin Ordinul Rectorului Universitii Transilvania din Braov 4439 din 10.12.2010 PREEDINTE Prof. univ. dr. ing. Codrua JALIU Decan - Facultatea de Design de Produs i Mediu Universitatea Transilvania din Braov CONDUCTOR TIINIFIC Prof. univ. dr. ing. Florea DUDI Universitatea Transilvania din Braov REFERENI TIINIFICI Prof. univ. dr. ing. Grigore GOGU Institut Franais de Mcanique Avance, Frana Prof. univ. dr. ing. Mtie VISTRIAN Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca Prof. univ. dr. ing. Mircea NEAGOE Universitatea Transilvania din BraovData, ora i locul susinerii publice a tezei de doctorat: 11 martie 2011, ora 12:30, Colina Universitii, corp E, sala E.II.4 (Casua Solar)

Eventualele aprecieri i observaii asupra lucrrii v rugm s le transmitei n timp util pe adresa Universitii Transilania din Braov sau pe adresa de e-mail: [email protected]

Modelarea roboilor paraleli cu micri decuplate

3

PREFAUitndu-m n urm, mi dau seama c nu a fi reuit s ajung cu aceast tez de doctorat la final dac nu a fi avut ajutorul celor din jur. Doresc ca pe aceast cale s-mi exprim profunda recunotin ndrumtorului tiinific, D-lui Prof. Univ. Dr. Ing. , Dr. h. c. Florea Dudi, sincere mulumiri pentru ajutorul i susinerea acordat n cercetarea ntreprins. De asemenea, doresc s aduc mulumiri deosebite D-lui Prof. Univ. Dr. Ing., Dr. h. c. Grigore Gogu i D-lui Prof. Dr. Ing. Mircea Neagoe, pentru sugestiile competente, care au dus la rezolvarea problemelor ce au aprut pe parcusul studiilor i cercetrilor efectuate n vederea elaborrii tezei de doctorat. Mulumiri deosebite aduc D-lui Prof. Univ. Dr. Ing. Dorin Diaconescu pentru sfaturile i ajutorul acordat de-a lungul elaborrii tezei de doctorat i d-lui Conf. univ. dr. ing. Claudiu Pozna pentru ajutorul acordat la rezolvarea problemelor aprute la validarea modelelor prin cercetri experimentale. Mulumiri speciale sunt adresate D-lui Prof. Dr. Ing. Vistrian Mtie i D-lui ef Lucr. Dr. Ing. Sergiu-Dan Stan, de la Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca, pentru primirea clduroas cu ocazia realizrii unui stagiu de cercetare defurat la ClujNapoca i sfaturile preioase date. Mulumesc ntregului colectiv al Catedrei Design de Produs i Robotic pentru susinerea moral. De asemenea, mulumiri speciale se cuvin ntregului colectiv de la laboratorul de Mecanic i Inginerie (LaMI) de la Institutul Francez de Mecanic Avansat (IFMA), Frana, pentru cldura cu care m-au primit i acceptat de-a lungul stadiilor de cercetare efectuate la acest laborator. Nu n ultimul rnd, a dori s mulumesc familiei (n special soului Costel i fiicei Monica) pentru susinerea moral i sufleteasc, dar i prietenelor Ramona i Cristina care m-au ncurajat i ajutat n efortul de a finaliza aceast tez.

4


INTRODUCEREPornind de la modelul braului uman (biomecanism acionat de muchi), au aprut roboii seriali (care sunt alctuii din elemente nseriate acionate de motoare). Mai trziu, s-a constatat nevoia unor roboi care s poat efectua sarcini mai complexe, pe care roboii seriali nu puteau s le realizeze, ca de exemplu preluarea unor greuti mari fr a afecta structura acestuia; astfel au aprut roboii paraleli. n aceast tez de doctorat sunt studiai roboii paraleli cu diferite grade a cuplrii micrii i diferite grade de mobilitate, avnd ca scop determinarea avantajelor decuplrii micrii asupra comportamentului cinematic i dinamic al roboilor paraleli analizai. Roboii paraleli cu micri decuplate au proprietatea c micrile impuse cuplelor motoare se regsesc ntocmai n micrile platformei mobile (i invers), ceea ce conduce la un sistem de control simplificat fa de cazul general al roboilor paraleli. n aceast lucrare este abordat modelarea cinematic i dinamic a roboilor paraleli cu diferite grade de cuplare a micrii, cu 3 i respectiv 4 grade de mobilitate, avnd ca principalele obiective: obinerea de modele analitice n domeniul rigid i validarea acestora prin simulri numerice; studiul influenei elasticitii elementelor asupra comportamentului cinematic i dinamic n ipoteza corpului deformabil n domeniul elastic; validarea experimental a modelelor elaborate pentru o structur tetramobil de robot paralel cu micri decuplate. Aceast tez este structurat pe 8 capitole astfel: Capitolul 1 Stadiul actual al cercetrilor privind modelarea roboilor paraleli cu micri decuplate este destinat sistematizrii metodelor de modelare a roboilor paraleli existente n literatura de specialitate. Capitolul 2 Metode de modelare cinematic i dinamic a roboilor paraleli are ca obiectiv descrierea principalelor metode de modelare cinematic i dinamic aplicate n studiul roboilor paraleli, i cu precdere pentru cei cu micri decuplate (roboi paraleli abordai n aceast tez). Capitolul 3 Modelri i simulri cinematice i dinamice ale unor structuri reprezentative de roboi paraleli trimobili are ca obiectiv principal de studiu:


5

elaborarea de modele cinematice i dinamice analitice i validarea acestora prin simulri numerice, pentru o familie de 5 structuri reprezentative de roboi paraleli trimobili cu diferite grade de cuplare a micrii. Capitolul 4 Studiul comparativ rigid-elastic al comportamentului dinamic pentru familia de roboi paraleli trimobili cu diferite grade de cuplare are ca obiectiv principal de studiu analiza comparativ a influenei elasticitilor elementelor asupra comportamentului cinematic i dinamic al celor 5 roboi paraleli trimobili, analizai n ipoteza corpului elastic (i comparativ n ipoteza corp rigid corp elastic). Capitolul 5 Studiul influenei gradului de hiperstaticitate asupra comportamentului cinematic i dinamic al unei familii de roboi paraleli tetramobili este dedicat studiului comparativ cinematic i dinamic al unei familii de roboi paraleli cu micri decuplate cu 4 grade de mobilitate i diferite grade de hiperstaticitate. Capitolul 6 Modelarea i simularea cinematic i dinamic a robotului paralel Isoglide4-T3R1 are ca obiectiv principal obinerea n softul MAPLE a unui model cinematic i dinamic analitic i realizarea de simulri numerice pentru un model CAD realizat n softul ADAMS. Capitolul 7 Cercetri experimentale privind comportamentul dinamic al robotului Isoglide4-T3R1 are ca obiectiv principal validarea prin simulri ale modelului robotului paralel cu micri decuplate Isoglide4 T3R1 obinut n ADAMS, cu testrile experimentale efectuate pe prototipului fizic existent la Institutul Francez de Mecanic Avansat (IFMA), Clermont-Ferrand, Frana. Capitolul 8 Concluzii finale, contribuii originale i forme de valorificare a rezultatelor cercetrii prezint concluziile finale i principalele contribuii originale care decurg din tez, sunt evideniate modalitile de diseminare a rezultatelor cercetrilor ntreprinse prin publicarea de lucrri tiinifice i participarea la contracte de cercetare.

6


CUPRINSRez/ Tez Prefa .......................................................................................................................... 3/3 Introducere ................................................................................................................... 4/5 Cuprins ......................................................................................................................... 6/9 1. Stadiul actual al cercetrilor privind modelarea dinamic a roboilor paraleli ...................................................................................................... 9/13 1.1. Aspecte privind modelarea dinamic a roboilor paraleli .............................. 9/13 1.2. Aspecte privind modelarea i simularea roboilor paraleli cu elemente deformabile elastic.................................................................................... 10/17 1.3. Aspecte privind roboii paraleli cu micri decuplate.................................. 10/18 2. Metode de modelare cinematic i dinamic a roboilor paraleli ........................ 12/21 2.1. Metode de modelare geometric .................................................................. 12/21 2.1.1. Modelul geometric direct (MGD) ........................................................ 12/22 2.1.1.1. Metoda vectorial............................................................................-/22 2.1.1.2. Metoda matricelor de rotaie ...........................................................-/23 2.1.1.3. Transformri omogene....................................................................-/23 2.1.1.4. Metoda sistemului de coordonate cltor .......................................-/29 2.1.2. Modelul geometric invers .................................................................... 13/30 2.2. Modelul cinematic........................................................................................ 13/30 2.3. Modelul dinamic .......................................................................................... 13/31 2.3.1. Modelul dinamic utiliznd ecuatiile lui Lagrange de spea a II .............................................................................................................. 14/33 2.3.2. Modelul dinamic utiliznd ecuaiile lui Lagrange cu multiplicatori de spea a I-a................................................................................ 14/35 2.3.3. Modelul dinamic utiliznd un algoritm Newton-Euler recursiv..................................................................................................................... 15/35 2.4. Concluzii ..................................................................................................... 15/37 3. Modelri i simulri cinematice i dinamice ale unor structuri reprezentative de roboi paraleli trimobili................................................................ 16/39 3.1. Caracterizarea structural a 5 soluii reprezentative de roboi paraleli........ 16/39 3.1.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR........................................ 16/40 3.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR ............................................. 17/41 3.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR ............................................. 18/42 3.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR ............................................................ 18/43 3.1.5. Robotul paralel Triglide ....................................................................... 19/44 3.2. Modelarea geometric i cinematic a roboilor paraleli............................. 19/44 3.2.1. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel Isoglide-T3 de tip 3TRRR........................................................................................ 19/45 3.2.2. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR ..................................................................................................... 20/46 3.2.3. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR ..................................................................................................... 20/47 3.2.4. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel


7

de tip 3TRPaR.. ....................................................................................................... 21/48 3.2.5. Modelul geometric direct si invers al robotului paralel Triglide.......... 21/49 3.3. Modelarea dinamic analitic a celor 5 soluii reprezentative de roboi paraleli trimobili............................................................................................ 22/50 3.3.1. Modelarea dinamic a robotului paralel Isoglide 3 T3 de tip 3TRRR.................................................................................. 23/51 3.3.1.1. Modelarea dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange de spea a II-a........................................................................................... 23/51 3.3.1.2. Modelarea dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange cu multiplicatori de spea I ..................................................................................... 23/54 3.3.1.3. Modelarea dinamic prin metoda Newton-Euler recursiv........... 24/57 3.3.1.4. Validarea numeric a modelelor dinamice analitice obinute ..... 24/63 3.3.1.5. Concluzii privind metodele de modelare dinamic aplicate........... -/65 3.3.2. Modelarea dinamic a unei familii de roboi paraleli trimobili cu micri cuplate ................................................................................................... 25/66 3.3.2.1. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR..................................................................................................... 25/68 3.3.2.2. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR..................................................................................................... 27/73 3.3.2.3. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 3TRPaR (Orthoglide)............................................................................................... 29/79 3.3.2.4. Modelarea dinamic a robotului paralel Triglide ........................ 30/85 3.4. Concluzii...................................................................................................... 32/94 4. Studiul comparativ rigid-elastic al comportamentului dinamic pentru familia de roboi paraleli trimobili cu diferite grade de cuplare.............................. 33/97 4.1. Studiul comportamentului cinematic i dinamic n ipoteza corpului rigid ... ....................................................................................................... 33/98 4.1.1. Robotul paralel de tip Isoglide3-T3..................................................... 34/98 4.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR........................................... 34/100 4.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR........................................... 35/102 4.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR.......................................................... 36/104 4.1.5. Robotul paralel Triglide..................................................................... 37/106 4.1.6. Concluzii privind studiul celor 5 roboi paraleli analizai n ipoteza corpului rigid............................................................................................ -/113 4.2. Studiul comportamentului cinematic i dinamic n ipoteza corpului elastic. ..................................................................................................... 40/114 4.2.1. Robotul paralel Isoglide3 T3 de tip 3TRRR................................... 40/115 4.2.2. Robotul paralel de tip 3TRPaR.......................................................... 41/118 4.2.3. Robotul paralel Triglide..................................................................... 42/119 4.2.4. Concluzii privind studiul roboilor paraleli analizai n ipoteza corpului elastic ............................................................................................. -/124 4.3. Concluzii.................................................................................................... 43/125 5. Studiul influenei gradului de hiperstaticitate asupra comportamentului cinematic i dinamic al unei familii de roboi paraleli tetramobili........................ 44/127 5.1. Decelarea unei traiectorii adecvate............................................................... -/129 5.2. Studiul comparativ al roboilor paraleli cu micri decuplate de tip Isoglide4 ..................................................................................................... 45/130 5.2.1. Varianta A: Isoglide4 de tip 3-TRRRR+1-TRRR ............................. 45/131

8


5.2.2. Varianta B: Isoglide4 de tip 3-TRRRR+1-TRRRR ........................... 47/135 5.2.3. Varianta C: Isoglide4 de tip 2-TRRS+1-TRRRR+1-TRRR .............. 48/138 5.2.4. Varianta D: Isoglide4 de tip 3-TRRS+1-TRRR................................. 49/140 5.3. Concluzii .................................................................................................... 50/144 6. Modelarea i simularea cinematic i dinamic a robotului paralel Isoglide4-T3R1 ...................................................................................................... 51/145 6.1. Particulariti geometrice i cinematice ale robotului paralel Isoglide4 - T3R1 .................................................................................................... 51/145 6.2. Modelare cinematic i dinamic analitic a robotului Isoglide4 T3R1.................................................................................................... 51/148 6.2.1. Modelul geometric direct i invers .................................................... 52/149 6.2.2. Modelul cinematic direct i invers ..................................................... 52/149 6.2.3. Modelul dinamic invers ..................................................................... 52/150 6.3. Simulri numerice privind comportamentul cinematic i dinamic al robotului Isoglide4 T3R1 ............................................................................... 53/152 6.4. Concluzii privind analiza robotului Isoglide4 T3R1 .............................. 53/156 7. Cercetri experimentale privind comportamentul dinamic al robotului Isoglide4 T3R1.................................................................................................... 54/157 7.1. Prezentarea robotului Isoglide 4 T3R1 prototipul fizic i modelul ADAMS ................................................................................................... 54/157 7.2. Programul de testare experimental........................................................... 54/160 7.2.1. Testare 1 ............................................................................................. 55/161 7.2.1.1. Varianta A: Filtrarea acceleraiei prin aplicarea a dou filtre succesive............................................................................................... 56/163 7.2.1.2. Varianta B: Filtrarea acceleraiei prin utilizarea modulului SPTOOL din Matlab............................................................................. 57/165 7.2.2. Testare 2 ...............................................................................................-/166 7.3. Concluzii .................................................................................................... 57/166 8. Concluzii finale, contribuii originale i forme de valorificare.......................... 58/169 8.1. Concluzii finale i contribuii originale ..................................................... 58/169 8.2. Forme de valorificare a rezultatelor cercetrii ........................................... 60/173 Bibliografie ..... ...................................................................................................... 61/175 Anexa1 .... ....... .........................................................................................................-/181 Anexa2 .... ....... .........................................................................................................-/183 Anexa3 .... ....... .........................................................................................................-/189 Anexa4 .... ....... .........................................................................................................-/191 Anexa5 .... ....... .........................................................................................................-/193 Anexa6 .... ....... .........................................................................................................-/197


9

1. STADIUL ACTUAL AL CERCETRILOR PRIVIND MODELAREA DINAMIC A ROBOILOR PARALELI CU MICRI DECUPLATEAcest capitol are ca obiectiv principal identificarea metodelor de modelare dinamic a roboilor paraleli utilizate n literatura de specialitate, din care se desprind principale obiective ale capitolelor urmtoare din tez. Capitolul este structurat pe 3 subcapitole astfel: Primul subcapitol este dedicat analizei critice a metodelor de modelare dinamic aplicate n literatur asupra roboilor paraleli; n al doilea subcapitol se face o trecere n revist a modelrilor aplicate n cazul roboilor paraleli cu luarea n considerare a deformabilitilor elementelor; Ultimul subcapitol este dedicat analizei critice a roboilor paraleli cu micri decuplate. 1.1. Aspecte privind modelarea dinamic a roboilor paraleli Modelul dinamic are un rol esenial n implementarea sistemului de comand-control al roboilor paraleli, n special pentru aplicaiile care reclam viteze nalte de operare, cum ar fi simulatoarele de zbor, centre de prelucrare cu structur de tip paralel sau roboii pick-and-place (cum ar fi robotul DELTA care poate atinge o acceleraie de 500 m/s2). Problemele privind modelarea dinamic a structurilor paralele sunt, de regul, mai complicate dect pentru structurile seriale. Pentru generarea modelului dinamic exist mai multe metode tradiionale (clasice), printre care amintim: 1. Formularea Newton-Euler; 2. Ecuaiile lui Lagrange de spea I (cu multiplicatori); 3. Ecuaiile lui Lagrange de spea a II-a; 4. Principiul deplasrilor virtuale. Obiectivul principal al acestui capitol l constituie sistematizarea metodelor de modelare a roboilor paraleli, prezentate n literatur, cu precdere pentru roboii cu micri decuplate. Nguyen [NGU89], Fujimoto [FUJ91], Geng [GEN92] i Liu [LIU91], [LIU92], [LIU93] utilizeaz formalismul Lagrange pentru a obine ecuaiile dinamice ale roboilor paraleli, fr a preciza gradul de complexitate al modelelor obinute. Pierrot [PIE91] propune o metod simplificat, n doi pai, de determinare a modelului dinamic al roboilor DELTA i HEXA. Primul pas const n stabilirea ecuaiilor pentru echilibrul platformei robotului paralel (la stabilirea modelului dinamic se consider c nu exist frecare n cuplele sferice i c masa elementelor inferioare ale paralelogramului este concentrat la capete i nu au momente de inerie). Cel de-al doilea pas este stabilirea ecuaiilor pentru echilibrul braului superior al robotului. Cu ajutorul ecuaiilor stabilite se determin momentele de acionare din cuplele motoare n funcie de acceleraia organului terminal. n [PIS00] se propune un model dinamic generalizat pentru roboii paraleli folosind ecuaiile lui Lagrange de spea I pe baza maselor echivalente. Aceeai metod a fost

10


utilizat i pentru analiza dinamic a manipulatorului paralel 3-TTRS [ITU04]. n [ITU03b] se utilizeaz principiul lui Newton-Euler pentru manipulatoarele paralele cu ghidare n trei puncte. Pornind de la aceste rezultate, n [PIS01b] i [ITU03a] se realizeaz o analiz comparativ ntre diferitele modele dinamice. n lucrarea [JUN07] este abordat problema modelului dinamic al unui robot paralel planar cu 2 grade de mobilitate prin utilizarea metodei Newton-Euler. n [FAR08] se obin ecuaiile dinamice ale unui robot paralel convertind lanul nchis al sistemului mecanic n mai multe lanuri deschise i impunnd mai apoi un set de ecuaii necesare nchiderilor lanurilor deschise. n [YUW10] sunt analizate comparativ performanele dinamice pentru doi roboi paraleli cu 3 grade de mobilitate utiliznd metoda Lagrange. n [YUN10] se obine modelul dinamic al robotului Orthopod utiliznd formularea Lagrange-DAlembert. Un model dinamic utiliznd principiul lucrului mecanic virtual pentru trei structuri paralele este prezentat n [JUN11]. Din cele prezentate pe scurt rezult c modelarea i simularea dinamic reprezint unul dintre aspectele cele mai actuale ale cercetrilor n domeniul cercetrii roboilor paraleli. Analiza stadiului actual al cercetrilor n domeniul modelrii dinamice a roboilor paraleli, n ipoteza corpului rigid nedeformabil, permite identificarea principalelor metode generale de modelare dinamic: - formalismul Lagrange (Nguyen [NGU89], Fujimoto [FUJ91], Geng [GEN92] i Liu [LIU91], [LIU92], [LIU93], [MIL92], [MER00], [PIS00], [ITU04], [YUW10], [YUN10], [STA11]); - metoda Newton-Euler ([COD91], [PIE91], [GUG94b], [ITU03b], [GUE03], [IBR06] , [JUN07]); - metoda proieciilor ([DEV92]); - principiul lucrului mecanic virtual ([ZHE05], [CAL06], [STA08], [STA09], [JUN09], [JUN11]). 1.2. Aspecte privind modelarea i simularea roboilor paraleli cu elemente deformabile elastic n literatur de specialitate se regsesc mai multe abordri privind modelarea roboilor cu elemente deformabile elastic. Elasticitatea distribuit a unei structuri poate fi aproximat printr-un ansamblu de elasticiti localizate, prin care un corp deformabil este descompus ntr-un ansamblu de corpuri rigide, legate ntre ele prin elemente de tip resort. Aceast abordare utilizeaz metoda elementului finit (MEF) [SHA97]. O analiz a rigiditilor i deformaiilor elastice a unui robot paralel este dezvoltat n [BO11], iar n [RIZ06] sunt analizate efectelor deformaiilor de montaj i de fabricaie pentru roboi paraleli cu micri decuplate. 1.3. Aspecte privind roboii paraleli cu micri decuplate Roboii paraleli cu micri decuplate sunt roboii care au proprietatea c fiecare micare de ieire este dependent de funcia de micare a unei singure cuple motoare; ei pot avea de la 2 pn la 6 grade de mobilitate.


11

O serie de roboi paraleli cu 4 grade de mobilitate de tip T3R1 au fost analizai de ctre [CLA90], [WAN98], [LEN98], [PIE99], [ROL99], [COM99], [MER00], [ZLA01], [GAO02], [KON04a], [KON04b] i [KON04c]. Toate aceste soluii au micri cuplate. Primele soluii de roboi paraleli cu micri decuplate de tip T3R1 au fost propuse de [GOG04a], [GOG05b], [CAR05], [GOG07]. Printre roboii paraleli cu micri decuplate se afl i robotul prezentat n fig. 1.2, robot paralel cu 4 grade de mobilitate de tip Isoglide4-T3R1, conceput i realizat n cadrul laboratorului de cercetare LaMI al Institutului Francez de Mecanic Avansat (IFMA), Clermont-Ferrand, Frana.

a b Figura 1.2. Exemplu de robot paralel cu micri decuplate cu 4 grade de mobilitate de tip Isoglide4 T3R1 (a) i prototipul fizic corespunztor (b) [GOG07] n urma analizei critice a stadiului actual, se desprind urmtoarele principale obiective ale tezei: Studiul eficienei metodelor existente de modelare dinamic analitic, n cazul aplicrii pentru structuri reprezentative de roboi paraleli cu micri decuplate, cu 3 i 4 grade de mobilitate; Validarea modelelor dinamice analitice cu ajutorul modelelor numerice realizate n softul ADAMS; Identificarea comparativ a performanelor dinamice ale roboilor paraleli analizai, prin simulri numerice; Studiul influenei elasticitilor elementelor cinematice asupra comportamentului dinamic al roboilor paraleli studiai; Validarea experimental a modelului dinamic teoretic (analitic i numeric) al robotului paralel Isoglide4-T3R1, prin cercetri experimentale pe un prototip fizic.

12


2. METODE DE MODELARE CINEMATIC I DINAMIC A ROBOILOR PARALELIModelarea lanului de ghidare reprezint o problem esenial pentru a realiza comanda robotului. Problema este foarte complex, deoarece: - exist mai multe tipuri de modele: geometric, cinematic, dinamic, static, fiecare putnd fi determinat n diferite ipoteze (cu sau fr neglijarea elasticitilor, jocurilor, frecrilor, etc.); -pentru fiecare model exist mai multe metode de a-l determina (de exemplu la modelul dinamic: Lagrange, Newton-Euler, d Alembert, etc.) ; -pentru modelele inverse este necesar s se poat inversa ecuaiile modelului direct pentru orice poziie a robotului. n acest capitol sunt detaliate cele mai importante metode de modelare analitic potrivite pentru structurile de roboi paraleli ce urmeaz a fi studiate n cadrul acestei teze de doctorat. Capitolul conine 3 subcapitole structurate astfel: Primul subcapitol este dedicat prezentrii metodelor de modelare geometric; n cel de-al doilea subcapitol sunt trecute n revist metodele de modelare cinematic; Ultimul subcapitol este dedicat trecerii n revist a metodelor de modelare dinamic Din multitudinea de metode se prezint cele mai relevante care se potrivesc clasei de roboi care urmeaz a fi analizate. 2.1. Metode de modelare geometric Modelul geometric poate fi : Model geometric direct care exprim coordonatele operaionale (x) n funcie de coordonatele generalizate (q); Modelul geometric invers exprim coordonatele generalizate (q) n funcie de coordonatele operaionale (x). 2.1.1. Modelul geometric direct (MGD) Modelul geometric direct permite exprimarea coordonatelor operaionale (x) n funcie de coordonatele generalizate (q). Dac pentru roboii seriali modelul geometric este mai uor de obinut, datorit faptului c fiecare cupl este motorizat, n cazul roboilor paraleli acest model se complic datorit faptului c apar i cuple nemotorizate pe lng cele motorizate. n continuare se vor prezenta cteva metode de obinere a modelului geometric direct, i anume: metoda vectorial, metoda matricelor de rotaie, transformri omogene cu ajutorul parametrilor Denavit-Hartenberg i metoda sistemului de coordonate cltor.


13

2.1.2. Modelul geometric invers Soluia modelului invers permite determinarea valorilor deplasrilor relative din cuple (ale variabilelor articulare) necesare pentru obinerea unei poziii i orientri dorite (cunoscute) a elementului final. Aceste elemente sunt utile n comanda robotului. 2.2. Modelul cinematic n cadrul cinematicii roboilor se pot deosebi dou tipuri fundamentale de probleme: -problema cinematic direct; -problema cinematic invers. n cadrul problemei cinematice directe se consider cunoscute caracteristicile geometrice ale robotului, legile de variaie ale diferiilor parametri cinematici absolui corespunztori pentru punctul considerat. n cadrul problemei cinematici inverse se consider cunoscute caracteristicile geometrice ale robotului, legile de variaie ale diferiilor parametri cinematici absolui i se urmrete determinarea parametrilor cinematici relativi ai robotului. 2.3. Modelul dinamic Modelarea dinamic a sistemelor mecanice reprezint o problem central n studiul comportamentului acestora, a crei rezolvare pune numeroase dificulti datorit complexitii ridicate a modelului. n plus, concordana dintre rezultatele modelrii i comportamentul efectiv al sistemului este n mare msur dependent de ipotezele n care s-a realizat modelarea. Obiectivul principal n dinamica roboilor industriali l constituie determinarea forelor generalizate din cuple (forele motoare) n funcie de micrile relative din cuple (deplasare, viteze i acceleraii relative din cuple) considernd proprietile ineriale ale robotului. n general, n dinamic se urmrete stabilirea ecuaiilor dinamice, care se pot realiza prin mai multe metode: ecuaiile lui Lagrange; ecuaiile Newton-Euler; ecuaiile Gibbs; aplicnd principiul lucrului mecanic virtual, i altele. Ca i n cazurile precedente exist un model dinamic direct i unul invers. Modelarea dinamic a sistemelor mecanice, i implicit a roboilor industriali, se realizeaz n principal prin dou metode: -metoda Lagrange, care permite obinerea rezultatelor sub form simbolic (numr minim de ecuaii de complexitate ridicat). -metoda Newton-Euler, metod iterativ care conduce la un numr mai mare de ecuaii de complexitate mai redus. Roboii industriali, ca sisteme dinamice complexe, pot fi modelai n mai multe ipoteze: a) Modelul dinamic al roboilor cu elemente rigide i cuple ideale. Este forma cea mai simpl de modelare, care permite proiectarea unor algoritmi de control aplicabili cu succes n controlul roboilor care funcioneaz la viteze reduse.

14


b) Pentru creterea performanelor de control ale roboilor de nalt vitez, cu ncrcri mari se impune introducerea de noi ipoteze pentru asigurarea unei precizii ct mai ridicate. n aceste condiii, modelul dinamic trebuie s cuprind: - modelarea frecrilor din cuple, - elasticitatea elementelor, -compliana (flexibilitatea) cuplelor. n cazul modelului dinamic direct se presupune cunoscut vectorul coloana al forelor generalizate din cuplele motoare. Acest model este util, ndeosebi, n studiul i simularea comportamentului dinamic al robotului. n cazul modelului dinamic invers, se presupun cunoscute traiectoriile de micare din fiecare cupla cinematic motoare a robotului. Se cere determinarea prin calcul analitic a forelor generalizate motoare. Aceast formulare dinamic este util n problema controlului robotului. n continuare se vor prezenta cteva metode reprezentative de modelare dinamic. 2.3.1. Modelul dinamic utiliznd ecuatiile lui Lagrange de speta a II-a Modelul dinamic constituie partea central n implementarea unor tehnici adecvate de comand/control a unui robot industrial. De acurateea acestui model i de gradul de utilizare a acestuia n control depinde n mare msur stabilitatea funcionrii (controlate) robotului. Modelul dinamic al unui robot se deduce n condiiile meninerii ipotezelor de robot ideal: -cuple ideale (fr locuri, frecri, elasticiti); - elemente ideale (rigiditate infinit, execuie i montaj fr erori etc.); - micarea comandat se transmite fr erori la nivel articular. n vederea obinerii modelului dinamic sunt necesare urmtoarele etape de parcurs: a) Exprimarea energiilor cinetice i poteniale a elementelor; b) Exprimarea Lagrangeanului sistemului; c) Exprimarea forelor motoare Fqi: d L L Fqi = (2.14) dt . qi qi

2.3.2. Modelul dinamic utiliznd ecuaiile lui Lagrange cu multiplicatori de spea a I-aForma general a ecuaiilor lui Lagrange cu multiplicatori este: k i d L L i = Qj (2.15) q j dt q j q j i =1 Etapele necesare n vederea obinerii modelului dinamic sunt: a) Obinerea Lagrangeanului - se regsete n descrierea metodei precedente; b) Determinarea ecuaiilor E i i E si ; c) Urmtorul pas l constituie alegerea setului de ecuaii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( j ), cu j=1 ...(n-m); d) Odata setul de ecuaii ales, urmtorul pas l constituie determinarea matricelor M dep (de dimensiune (n-m)x(n-m)) i M ind (de dimensiune (m)x(n-m)) obinute prin derivarea ecuaiilor j ;


15

e) Determinarea multiplicatorilor lui Lagrange; f) n final se pot obine cele m fore motoare: Qi = i .

2.3.3. Modelul dinamic utiliznd un algoritm Newton-Euler recursivMetoda este bazat pe un algoritm Newton-Euler recursiv propus de Ouarda Ibrahim n teza sa de doctorat [IBR06] i presupune ntr-o etap preliminar desfacerea legturilor dintre platform i lanurile cinematice. Metoda este utilizabil pentru roboii paraleli i presupune utilizarea unui algoritm Newton-Euler recursiv, lund fiecare bra n parte, platforma separat, dup care se face legtura ntre ele. Modelele dinamice pentru fiecare bra obinute sunt proiectate pe axele cuplelor active (motorizate) prin intermediul matricelor Jacobiene. Modelele cinematice i dinamice ale braelor sunt echivalente cu cele ale unui robot serial; astfel se reduce complexitatea acestora i se pot utiliza cu succes mai multe metode de modelare dinamic printre care i metoda Newton-Euler recursif prin utilizarea parametrilor ineriali ai bazei. Pe de alt parte, modelul dinamic al platformei este obinut prin ecuaiile Newton-Euler care dau rezultanta forelor i momentelor aplicate asupra unui corp solid n micare. Etape necesare pentru determinarea ecuaiilor dinamice: a) Exprimarea energiilor cinetice i poteniale ale elementelor de pe fiecare bra, fiind identic cu cea prezentat n metodele anterioare; b) Pasul doi l reprezint exprimarea Lagrangeanului pe fiecare ramur: c) Proiectarea ecuaiilor dinamice ale platformei n spaiul variabilelor articulare independente; d) Urmtorul pas l reprezint proiectarea ecuaiilor dinamice ale lanurilor cinematice deschise (LCD) n spaiul variabilelor articulare independente, dup aceasta, proiectarea acestor ecuaii dinamice n spaiul cuplelor acionate. e) Urmtorul pas l reprezint proiectarea acestor ecuaii dinamice n spaiul cuplelor active (acionate). f) Ultimul pas l reprezint scrierea ecuaiilor dinamice.

2.4. ConcluziiDup cum se poate obseva, dup trecerea n revist a metodelor de modelare a roboilor paraleli, mai multe metode pot fi aplicate cu succes n vederea obinerii modelului cinematic i dinamic. n continuare, n vederea obinerii modelului cinematic analitic (i implicit i a celui geometric) metoda sistemului cltor va fi utilizat pentru roboii paraleli ce urmeaz a fi analizai. Pentru obinerea modelului dinamic analitic, mai multe metode sunt adecvate tipului de roboi paraleli abordai n tez, i anume: Metoda ce utilizeaz ecuaiile lui Lagrange de spea a II-a; Metoda Lagrange cu multiplicatori; Newton-Euler particularizat.

16


3. MODELRI I SIMULRI CINEMATICE I DINAMICE ALE UNOR STRUCTURI REPREZENTATIVE DE ROBOI PARALELI TRIMOBILIRoboii paraleli (RP) sunt compui dintr-o platform mobil conectat la o baz prin cel puin 2 lanuri cinematice. Roboii paraleli de translaie (RPT) permit translaii independente ale platformei mobile, fiind folosite n aplicaii care necesit poziionarea unui obiect n spaiu cu orientare constant [GOG04]. Acest capitol este dedicat studiului a cinci astfel de roboi paraleli de translaie (RPT) cu diferite grade de cuplare (de la 0 la 3), la care se mai adaug i robotul paralel Triglide, utilizabil n aplicaii medicale, n final punndu-se n eviden avantajele/dezavantajele decuplrii micrilor n cazul roboilor paraleli. Obiectivele principale ale acestui capitol, cuprind: Elaborarea modelelor cinematice i dinamice analitice i validarea acestora prin simulri numerice; Analiza comparativ a comportamentului cinematic i dinamic al celor 5 roboi paraleli n ipoteza corpului rigid; Identificarea avantajelor i dezavantajelor decuplrii micrii asupra comportamentului cinematic/dinamic i a complexitii modelelor analitice. n vederea atingerii acestor obiective, s-a utilizat softul MAPLE, pentru obinerea modelelor analitice, i softul ADAMS pentru obinerea modelelor CAD.

3.1. Caracterizarea structural a 5 soluii reprezentative de roboi paraleliPentru soluionarea obiectivelor precizate anterior, s-au decelat 4 soluii reprezentative de roboi paraleli cu diferite grade de cuplare (de tip: 3TRRR, 2TRRR+1TRPaR, 1TRRR+2TRPaR si 3TRPaR ), la care s-a adugat o a cincea soluie, i anume robotul paralel Triglide; n continuare sunt prezentate succint particularitile structurale ale fiecreia dintre acestea.

3.1.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR (Translaie, Rotaie, Rotaie, Rotaie)Robotul paralel Isoglide3-T3 este o structur trimobil cu 3 intrri i 3 ieiri; este compus dintr-o platform mobil (elementul 7 fig. 3.1) conectat la baz prin 3 lanuri cinematice elementare, fiecare fiind compus din cte 3 elemente cinematice (2i, 3i, 4i, unde i=A,B,C) i 4 cuple: o cupl de translaie motoare (qi, i=1,2,3) i cte 3 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2i, 3i, 4i, unde i=a,b,c). Robotul paralel Isoglide3-T3 este un robot cu gradul de cuplare zero, adic are toate cele 3 micri de ieire decuplate (cele trei translaii dup axele X, Y i respectiv Z), micarea din cuplele motoare regsindu-se ntocmai n micarea platformei mobile (fig. 3.1, n spe a punctului H punctul caracteristic al robotului). Acest tip de robot se mai numete i maximally regular [GOG08] i se refer la cazul particular n care roboii paraleli au matricea Jacobian egal cu matricea identitate.


17

Figura 3.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR [GOG04]

3.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (2Translaie, Rotaie, Rotaie, Rotaie +1 Translaie, Rotaie, Paralelogram, Rotaie)Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (fig. 3.2) este o structur trimobil cu 3 intrri i 3 ieiri, care are dou micri decuplate (dup axa X i Y) i o micare cuplat (dup axa Z); este alctuit dintr-o platform mobil 7 (fig. 3.2) conectat la baz prin 3 lanuri cinematice: 2 lanuri cinematice simple compuse din cte 3 elemente (2i, 3i, 4i , unde i=A,B,C) i 4 cuple: o cupl de translaie motoare (qi, i=1,2) i cte 3 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2i, 3i, 4i, unde i=a,b). 1 lan cinematic de tip paralelogram (ramura c) compus din 5 elemente (2C, 3C, 4C, 5C, 6C) i 7 cuple: o cupl de translaie motoare (q3) i 6 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2c, 3c, 3c1, 4c 4c1, 5c).

Figura 3.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR [GOG04]

18


3.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR (1Translaie, Rotaie, Rotaie, Rotaie +2Translaie, Rotaie, Paralelogram, Rotaie)Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR este un robot trimobil, cu 3 intrri i 3 ieiri, care are o micare decuplat (dup axa X) i dou micri cuplate (dup axa Y i Z)este compus dintr-o platform mobil 7 (fig. 3.3) legat la baz prin 3 lanuri cinematice: 1 lan cinematic simplu compus din 3 elemente (2A, 3A, 4A) i 4 cuple: o cupl de translaie activ (q1) i 3 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2a, 3a, 4a); 2 lanuri cinematice de tip paralelogram compuse din 5 elemente (2i, 3i, 4i, 5i, 6i, unde i=B,C) i 7 cuple: o cupl de translaie motoare (qi, unde i=2,3) i 6 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2i, 3i, 3i1, 4i , 4i1, 5i, unde i=b, c).

Figura 3.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR [GOG04]

3.1.4. Robotul paralel Orthoglide de tip 3TRPaR ( 3 Translaie, Rotaie, Paralelogram, Rotaie)

Figura 3.4. Robotul paralel de tip 3PRPaR [GOG04]

Figura 3.5. Prototipul Orthoglide [PAS07]

robotului


19

Robotul paralel Orthoglide de tip 3TRPaR (fig. 3.4) este un robot cu trimobil, cu 3 intrri i 3 ieiri, care are 3 micri cuplate; este compus dintr-o platform mobil 7 (fig. 3.4) conectat la baz prin 3 lanuri cinematice de tip paralelogram compuse din cte 5 elemente (2i, 3i, 4i, 5i, 6i, unde i=A, B, C) i 7 cuple: o cupl de translaie motoare (qi, unde i=1,2,3) i cte 6 cuple de rotaie ne-motoare (notate cu 2i, 3i, 3i1, 4i , 4i1, 5i, unde i=a, b, c).

3.1.5. Robotul paralel TriglideAl cincelea robot paralel analizat este robotul Triglide (fig. 3.6) care face parte din familia roboilor paraleli tip Delta, cu particularitatea c actuatorii de rotaie sunt nlocuii cu actuatori de translaie. n conformitate cu fig. 3.6, robotul Triglide este un robot paralel de translaie trimobil, cu 3 intrri i 3 ieiri, care are toate cele 3 micri de ieire cuplate; conine o platform mobil 4 conectat la baz prin 3 lanuri cinematice de tip paralelogram, compuse fiecare din 4 elemente i cte 4 cuple sferice i cte o cupl de translaie motoare. Platforma mobil are doar micri de translaie paralele cu baza (micri planare).

Figura 3.6. Robotul Paralel Triglide

3.2. Modelarea geometric i cinematic a roboilor paraleliModelul geometric i cinematic direct presupune determinarea deplasrilor (respectiv a vitezelor) din efector (platforma mobil) n funcie de deplasrile din cuplele motoare i de lungimile elementelor (notate cu li); modelul geometric i cinematic invers presupune determinarea deplasrilor (vitezelor) din cuplele motoare, n funcie de deplasarile (respectiv vitezele) punctului caracteristic al platformei mobile.

3.2.1. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel Isoglide-T3 de tip 3TRRRRobotul paralel Isoglide3T3 (fig. 3.1) este un robot paralel cu micri decuplate; ca urmare micarea de translaie din cuplele motoare este reprodus identic n micarile de translaie ale efectorului.

20


n ceea ce privete modelul geometric direct, deplasarea din efector (xh, yh, zh) este direct dependent de deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3):x h = q 1 l7az h = q 3 l7 c y h = q 2 l7 b

(3.1)

n care l7a, l7b, l7c reprezint lungimea elementului 7 pe cele trei brae (conform fig. 3.7). Modelul cinematic presupune stabilirea dependenei dintre vitezele i acceleraiile efectorului (vxh, vyh, vzh) i vitezele liniare relative din cuplele motoare ( q1 , q 2 , q3 ). Aceast dependen este dat de Jacobianul sistemului Jh: Dup cum s-a menionat anterior, fiind un robot paralel maximally regular [GOG10], Jacobianul va fi egal cu matricea identitate.. .

.

3.2.2. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaRRobotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (fig.3.2), prezentat i descris anterior, este un robot cu 2 micri decuplate (dup axa X0 i Y0) i o micare cuplat (dup axa Z0). Dependena dintre deplasarea efectorului (xh, yh, zh) i deplasarea relativ din cuplele motoare (q1, q2, q3), care descrie modelul geometric direct, este dat de relaiile (3.7):x h = q 1 l7 ay h = q 2 l7b

,

(3.7)

z h = q 3 l4c 2 ( q1 l7 a )2 ( q 2 l7b )2 l7c

Modelul cinematic direct i invers se obine, din modelul geometric, prin derivarea n raport cu timpul a relaiilor (3.7) i respectiv (3.8); n conformitate cu relaia (3.5) rezult astfel urmtoarea expresie a Jacobianului: 1 0 0 (3.9) J h 1 = 0 1 0 xh yh 1 l 4 c 2 xh 2 y h 2 l4c 2 xh 2 y h 2

3.2.3. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaRRobotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR (fig. 3.3), prezentat i descris n subcapitolul 3.1.3, este un robot cu o micare decuplat (dup axa X0) i dou micri cuplate (dup axa Y0 i Z0). Dependena dintre deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3) i deplasarea punctului caracteristic H (xh, yh, zh), este dat de relaia:q1 = x h + l 7 a

q 2 = l 4b 2 z h 2 x h 2 + l 7 b + y h ,

(3.10)

q 3 = l 4c 2 x h 2 y h 2 + l 7 c + z h


21

n care l4b i l4c reprezint lungimea elementelor 4B i 4C, iar l7a, l7b i l7c reprezint lungimea elementului 7 pe cele trei brae (conform fig. 3.7). Modelul cinematic direct i invers se obine, din modelul geometric, prin derivarea n raport cu timpul a relaiilor (3.9) i respectiv (3.10); n conformitate cu relaia (3.5) rezult urmtoarea expresie a inversei Jacobianului: 1 0 0 xh zh 1 (3.11) Jh = 1 2 2 2 2 2 2 l 4b z h x h l 4b z h x h xh yh 1 2 2 2 l 4 c 2 xh 2 y h 2 l 4c xh y h

3.2.4. Modelul geometric i cinematic al robotului paralel de tip 3TRPaRRobotul paralel de tip 3TRPaR (fig. 3.4), este un robot paralel cu 3 grade de mobilitate i trei micri cuplate. Dependena dintre deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3) i deplasarea platformei reprezentat prin punctul H, de coordonate (xh, yh, zh), este dat de relaia:q1 = l4 a 2 y h 2 z h 2 + l7 a + x h

q 2 = l 4b 2 z h 2 x h 2 + l 7 b + y h ,

(3.12)

q 3 = l 4c 2 x h 2 y h 2 + l 7 c + z h

n care l4a, l4b i l4c reprezint lungimea elementelor 4A, 4B i 4C, iar l7a, l7b i l7c reprezint lungimea elementului 7 pe cele trei brae (conform fig. 3.7). Modelul cinematic direct i invers (relaia 3.4 i relaia 3.5) se obine prin derivarea modelului geometric obinut (relaia 3.12), inversa matricii Jh fiind egal cu: yh zh 1 2 2 2 2 2 2 l4a y h z h l4a y h z h xh zh 1 (3.13) 1 Jh = 2 2 2 2 2 2 l 4b z h x h l 4b z h x h xh yh 1 2 2 2 2 2 2 l 4c xh y h l 4c xh y h

3.2.5. Modelul geometric direct si invers al robotului paralel TriglideModelul geometric direct presupune determinarea deplasrii efectorului n funcie de deplasarea din cuplele motoare. n cazul acestui robot paralel, modelul rezultat este unul complex, motiv pentru care este prezentat n Anexa1. Modelul geometric invers presupune aflarea deplasrii din cuplele motoare (q1, q2, q3), n funcie de deplasarea din efector (xP, yP, zP coordonatele punctului P):

22


1 1 q1 = y P + x P 3 L4 + L3 + 3 y P 2 2 y P x P 3 x P 2 + 4 L2 2 4Z P 2 2 2 1 1 1 q2 = x p 3 L4 y p + L3 + x p 2 + 2 y p x p 3 3 y p 2 4 Z p 2 + 4 L2 2 2 2 2

q3 = y p L4 + L3 + L2 2 x p 2 Z p 2

,

(3.14)

n care L1=Ai1Ai2; L2=Ai1Bi1; L3= NBi; L4+qi=NAi ; cu i=1, 2, 3.

3.3. Modelarea dinamic analitic a celor 5 soluii reprezentative de roboi paraleli trimobilin vederea elaborrii modelelor dinamice ale roboilor analizai, din analiza stadiului actual reiese posibilitatea utilizrii mai multor metode. Dintre acestea s-a ales utilizarea a 3 metode dinamice pentru un prim robot analizat, urmnd ca apoi dintre cele 3 metode analitice s se aleag cea optim pentru ceilali 4 roboi rmai de analizat. Cele trei metode analitice alese spre a fi aplicate sunt: Lagrange de spea a II-a, Lagrange cu multiplicatori i metoda Newton-Euler particularizat. Abordarea mai multor metode de modelare pentru aceeai structur de robot este util n vederea verificrii rezultatelor obinute (care trebuie s fie identice), dar mai ales n vederea stabilirii unei metode optime de abordare a modelrii dinamice a acestor soluii reprezentative de roboi. Elaborarea modelelor dinamice se efectueaz n urmtoarele premise: Masa elementelor este uniform distribuit spaial; Elementele cinematice componente sunt corpuri materiale rigide; Acceleraia gravitaional acioneaz n sensul negativ al axei Z0; Pentru a avea o echivalen masic ntre primii 4 roboi paraleli analizai, masa total a elementelor unui bra este aceeai indiferent de structura robotului (pentru a putea face a analiz comparativ a acestora); Se neglijeaz frecarea din cuple (=0).


23

3.3.1. Modelarea dinamic a robotului paralel Isoglide 3 T3 de tip 3TRRR

Figura 3.7. Schema robotului paralel Isoglide T3- de tip 3TRRR Primul din cei cinci roboi paraleli analizai este robotul paralel Isoglide 3-T3, a crui modelare dinamic s-a obinut prin patru metode de modelare, dintre care 3 analitice utiliznd softul MAPLE i una numeric utiliznd softul ADAMS; ale cror rezultate vor fi prezentate i explicitate n cele ce urmeaz.

3.3.1.1. Modelarea dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange de spea a II-aPentru obinerea modelului dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange de spea a II-a sunt sunt parcurse etapele prezentate n capitolul 2, iar n final se exprim forele motoare Fqi (conform relaiei 2.14). Modelul dinamic analitic astfel obinut este unul complex, pentru a crui validare se regurge la aplicarea i a altor metode de modelare i compararea rezultatelor obinute.

3.3.1.2. Modelarea dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange cu multiplicatori de spea IPentru obinerea modelului dinamic cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange cu multiplicatori de spea a I-a sunt sunt parcurse etapele prezentate n capitolul 2, evideniindu-se doar setul de ecuaii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( i ): 1 cos( 2 a ) l3a + l 4a cos( 2a + 3a ) q 2 l7b sin( ) l + l sin( + ) q l 2a 3a 4a 2a 3a 3 7c 2 3 sin( 2b ) l3b + l 4b sin( 2b + 3b ) q1 l7 a (3.27) = = 4 cos( 2b ) l3b + l 4b cos( 2b + 3b ) q3 l7 c 5 cos( 2c ) l3c + l 4c cos( 2c + 3c ) q1 l7 a 6 sin( 2c ) l3c + l 4c sin( 2c + 3c ) q2 l7b

24


Ca i n metoda prezentat anterior, forele motoare se descriu prin relaia (3.21) i matriceal conform relaiei (3.20), coeficienii obinui analitic fiind identici cu cei obinui anterior (i care sunt prezentai parial n Anexa 2).3.3.1.3. Modelarea dinamic prin metoda Newton-Euler recursiv

Metoda este bazat pe un algoritm Newton-Euler recursiv propus de Ouarda Ibrahim n teza sa de doctorat [IBR06].

Figura 3.8. Reprezentarea robotului paralel Isoglide3-T3 pe cele 3 brae adiacente (A, B, C) i platforma mobil (elementul 7) Metoda presupune ntr-o etap preliminar desfacerea legturilor dintre efector i lanurile cinematice adiacente. Ca urmare, n cazul robotului paralel Isoglide T3 rezult (conform fig. 3.8): - elementul efector 7; - cele trei lanuri cinematice adiacente 1x-2x-3x-4x, x=A, B, C. n vederea obinerii modelului dinamic al robotului analizat sunt necesare parcurgerea etapelor prezentate n capitolul 2: se stabilete modelul dinamic pe fiecare dintre cele trei lanuri cinematice, se exprima ecuaiile dinamice ale platformei i se proiecteaz ecuaiile dinamice ale acesteia n spaiul variabilelor articulare independente (q1, q2, q3), iar n final se exprim ecuaiile dinamice ale cuplelor motoare acionate. Ca i n cazurile precedente, s-au exprimat expresiile forelor motoare , conform relaiei (3.19), i matriceal conform relaiei (3.20), rezultatele analitice regsindu-se parial n Anexa2.3.3.1.4. Validarea numeric a modelelor dinamice analitice obinute

Simulrile numerice pe o traiectorie test reprezentativ s-a realizat cu ajutorul softului ADAMS, n care s-a realizat un model CAD al robotului paralel (fig. 3.9.b) folosind elemente simple, de tip bar cilindric. Simulrile numerice sunt realizate n condiiile generrii unei traiectorii de micare n spaiul articular, caracterizat prin:-timpul deplasrii t=10 [s];-deplasare similar n cele trei motoare q1=q2=q3=0.25 [m];-utilizarea unei funcii de interpolare polinomial de gradul 5.


25

Alegerea gradului polinomului legii de micare se face n funcie de condiiile impuse. Cu ct gradul polinomului este mai mare, cu att comportamentul dinamic al structurii analizate devine mai prietenos (se netezesc ocurile de funcionare). Se poate remarca c rezultatele obinute prin cele 4 metode aplicate (3 analitice i una numeric) sunt identice (spre exemplificare se prezint doar fora Fq1 fig. 3.11).D [m] t [s] A [m/s2]

7t [s] V [m/s]

t [s]

a b c Figura 3.10. Micarea impus n cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) i acceleraia (c) Din analiza rezultatelor obinute (fig. 3.11), se poate observa c: -variaia forelor motoare Fq1 este cea a deplasrii impuse n cuplele motoare (fig. 3.10) , i ajunge la valoarea de zero la jumatatea traiectoriei; -valorile maxime ale forelor motoare se situeaz la 12N pentru fora Fq1 i fora Fq2.Fq1 [N]

t [s]

a b Figura 3.11. Variaia forei Fq1 prin metoda Lagrange, Lagrange cu multiplicatori , metoda Newton-Euler particularizat (a) i cea obinut prin simularea n Adams (b)3.3.2. Modelarea dinamic a unei familii de roboi paraleli trimobili cu micri cuplate

n continuare, pentru cei patru roboi paraleli decelai rmai de analizat, elaborarea modelului dinamic analitic se va realiza prin metoda ecuaiilor Lagrange cu multiplicatori. Obinerea acestor modele permite analiza comparativ a celor cinci roboi paraleli analizai din punct de vedere al complexitii modelelor obinute.3.3.2.1. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR

Se evideniaz urmtoarele particulariti cinematice ale braului C (braul paralelogram), derivate din proprietile lanului cinematic paralelogram (fig. 3.7): unghiurile 2c si 5c sunt egale i de sens contrar, urmnd a se utiliza doar unul dintre acestea n continuare (vezi fig. 3. 6); idem pentru unghiurile 3c i 4c.

26


Figura 3.13. Schema robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR cu exemplificarea notaiilor centrelor de mas a elementelor necesare n modelarea dinamic n vederea obinerii modelului dinamic analitic utiliznd metoda Lagrange cu multiplicatori de spea a I-a se parcurg etapele prezentate n cadrul analizei robotului anterior, evideniindu-se doar setul de ecuaii necesar n vederea introducerii multiplicatorilor:cos( 2 a ) l3a + l 4a cos( 2a + 3a ) q 2 + l7b 1 sin( ) l + l sin( + ) q cos( ) cos( ) l + l 2a 3a 4a 2a 3a 3 2c 3c 4c 7c 2 sin( 2b ) l3b + l 4b sin( 2b + 3b ) q1 + l7 a = 3 = 4 cos( 2b ) l3b + l 4b cos( 2b + 3b ) q3 cos( 2c ) cos( 3c ) l 4c + l7 c 5 cos( 3c ) l 4c q1 + l7 a sin( 2c ) cos( 3c ) l 4c q 2 + l7b 6 (3.54) n vederea validrii rezultatelor obinute un model CAD a fost realizat n ADAMS, iar prin simulri numerice s-au comparat rezultatele obinute cu cele obinute n urma simulrilor numerice din MAPLE, n aceleai condiii ca i n cazul robotului anterior studiat.D [m] t [s] A [m/s2]

t [s] t [s] V [m/s]

a b c Figura 3.15. Micarea impus n cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) i acceleraia (c)


27

Rezultatele obinute n urma simulrilor numerice sunte identice (vezi fig. 3.16) ceea ce confirma corectitudinea modelelor efectuate.Fq1 [N]

a

t [s]

b

Figura 3.16. Variaia forei Fq1 prin metoda (a)-Lagrange cu multiplicatori i (b)- Adams n urma analizei dinamice a acestui robot paralel cu 3 grade de mobilitate i o micare cuplat (i implicit 2 micri decuplate) se pot desprinde urmtoarele concluzii: Din punct de vedere dinamic, modelul analitic devine mai complex dect n cazul robotului paralel cu trei micri decuplate; Concordana dintre cele dou abordri ilustrate n fig. 3.16-3.18, valideaz modelul propus, cele dou grafice pentru fiecare for fiind identice; Ca i n cazul precedent, cea mai mare valoare maximal o atinge fora Fq3, de aproximativ 300 N, datorit influenei acceleraiei gravitaionale.3.3.2.2. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR

Figura 3.19. Schema robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR cu exemplificarea notaiilor centrelor de mas a elementelor necesare n modelarea dinamic Se evideniaz urmtoarele particulariti cinematice ale braului B i C (braul paralelogram), derivate din proprietile lanului cinematic paralelogram (fig. 3.7): unghiurile 2c =- 5c i 2b = -5b, urmnd a se utiliza doar unul dintre acestea n continuare (vezi fig. 3.7);

28


la fel unghiurile 3c = -4c i 3b = -4b . Etapele parcurse fiind aceleai nu mai sunt prezentate, fiind prezentat doar setul de ecuaii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( i ): 1 cos( 2 a ) l3a + l4a cos( 2a + 3a ) q2 cos( 2b ) cos( 3b ) l4b + l7b sin( ) l + l sin( + ) q cos( ) cos( ) l + l 2a 3a 4a 2a 3a 3 2c 3c 4c 7c 2 3 sin( 2b ) cos( 3b ) l3b q1 + l7 a = = sin( 3b ) l4b q3 cos( 2c ) cos( 3c ) l4c + l7 c 4 5 sin( 3c ) l 4c q1 + l7 a sin( 2c ) cos( 3c ) l4c q2 cos( 2b ) cos( 3b ) l4b + l7b 6 (3.60) Datorit faptului ca forele motoare au expresii complexe, nu sunt prezentate sub form analitic, ci vor fi puse n eviden prin simulri numerice realizate n aceleai condiii ca i n cazul roboilor anterior studiai. Din simulrile numerice efectuate, rezult c modelul analitic din MAPLE este verificat de cel numerice din ADAMS (vezi fig. 3.23).Xh [m] Yh [m] Zh [m]

t [s]

t [s]

t [s]

a b c Figura 3.22. Deplasarea platformei mobile dup cele 3 axeFq1 [N]

t [s]

a b Figura 3.23. Variaia forei Fq1 prin metoda (a)-Lagrange cu multiplicatori i (b)- Adams


29

3.3.2.3. Modelarea dinamic a robotului paralel de tip 3TRPaR (Orthoglide)

Figura 3.26. Schema robotului paralel de tip 3TRPaR cu exemplificarea notaiilor centrelor de mas a elementelor necesare n modelarea dinamic Etapele parcurse fiind aceleai cu cele prezentate anterior, i pentru cazul acestui robot este prezentat numai setul de ecuaii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( i ):sin( 3a ) l 4a q 2 cos( 2b ) cos(3b ) l 4b + l7b 1 1 1 sin( 2a + 3a ) l 4a sin( 2a 3a ) l 4a q3 cos( 2c ) cos(3c ) l 4c + l7c 2 2 2 3 sin( ) cos( ) l q 1 cos( + ) l 1 cos( ) l + l 2b 3b 4b 1 2a 3a 4a 2a 3a 4a 7a = = 2 2 4 sin(3b ) l 4b q3 cos( 2c ) cos(3c ) l 4c + l7c 5 1 1 sin(3c ) l 4c q1 cos( 2a + 3a ) l 4a cos( 2a 3a ) l 4a + l7 a 2 2 6 sin( 2c ) cos(3c ) l 4c q 2 cos( 2b ) cos(3b ) l 4b + l7b

(3.66) Datorit complexitii modelului dinamic al forelor motoare, acestea vor fi puse n eviden prin simulri numerice. Simulrile numerice sunt realizate n condiiile generrii unei traiectorii de micare n spaiul articular, caracterizate prin aceleai condiii ca i pentru ceilali roboi analizai (timp de simulare, deplasare n motoare, etc.)

30


a

b c Figura 3.28. Deplasarea platformei mobile dup cele 3 axe

Dup cum se poate observa n fig. 3.28, pentru o deplasare a cuplelor motoare de 250mm se obine o deplasare a platformei mobile de aproximativ 100mm, ceea ce conduce la un efort mai mare al motoarelor de aproximativ 2.5 ori pentru a obine o anumit deplasare a efectorului (platformei mobile).Fq1 [N]

t [s]

a b Figura 3.29. Variaia forei Fq1 prin metoda (a)-Lagrange cu multiplicatori i (b)- Adams Din analiza rezultatelor obinute la nivelul forelor motoare, se remarc validarea numeric a modelului analitic, rezultatele obinute fiind identice (fiind prezentat doar foa Fq1 - fig. 3.29). Din analiza robotului paralel tip 3TRPaR se pot desprinde urmtoarele concluzii: Ca i n cazurile precedente analizate, modelul analitic s-a validat prin simulri numerice, n dou abordri paralele de simulare, rezultatele omoloage fiind identice (fig. 3.29-3.31); Modelul dinamic analitic crete n complexitate odat cu creterea gradului de cuplare a micrilor robotului; Valoarea maxim obinut n cazul forelor motoare se regsete la fora Fq3, i anume de aproximativ 180N.3.3.2.4. Modelarea dinamic a robotului paralel Triglide

Etapele necesare pentru obinerea modelului dinamic analitic prin utilizarea metodei Lagrange cu multiplicatori de spea a I-a sunt aceleai ca i pentru roboii anterior studiai, punndu-se n eviden doar ecuaiile de constrngeri necesare pentru identificarea setului de ecuaii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( i ): dist ( B1 , B 2 ) = a , unde a este latura B1 B 2 B3 ; dist ( B2 , B3 ) = a ; dist ( B1 , B3 ) = a ;


31

Coordonata dup Z a punctului B1 s fie aceeai cu cea a punctului B2; Coordonata dup Z a punctului B2 s fie aceeai cu cea a punctului B3; Cosinusul director dintre vectorul L i K (fig. 1.3) este egal cu 1 (sunt vectori paraleli, deci unghiului dintre acetia este zero):cos( ) = ( x K x L + y K y L + z K z L ) /( x K 2 + y K 2 + z K 2 x L 2 + y L 2 + z L 2 ) = 1 (3.71)

L

K

Figura 3.32. Schema robotului paralel Triglide cu exemplificarea notaiilor centrelor de mas a elementelor necesare n modelarea dinamic

Figura 3.33. Modelul CAD n ADAMS al robotului paralel Triglide

Rezultatele fiind stufoase, forele motoare rezultate vor fi evideniate prin simulri numerice pe o anumit traiectorie impus n cuplele motoare. Simulrile numerice sunt realizate n condiiile generrii unei traiectorii de micare n spaiul articular, caracterizat prin: -timpul deplasrii t=10 [s]; -deplasare n cupla motoare q3 q3=0.1 [m]; -utilizarea unei funcii de interpolare polinomial de gradul 3. Micrile obinute n efector (fig.3.35) au ca i form cea a deplasrii impuse n cupla motoare q3; se obine astfel o deplasare n efector de 0.012m dup axa X, de 0.067m dup axa Y i de 0.01m dup axa Z.Zp [m] Xp [m] Yp [m]

t [s]

t [s]

t [s]

a b c Figura 3.35. Deplasarea platformei mobile dup cele trei axe

32


Din analiza rezultatelor obinute, se poate observa c forma variaiei forelor motoare este cea a deplasrii impuse n cupla motoare q3, se ajunge la valoarea maxim n cazul forei motoare Fq3, i anume 1.6N (fig. 3.38), fiind de altfel i singura cupl n micare. i de aceast dat se remarc validarea modelului dinamic analitic obinut prin simulrile numerice efectuate (fiind prezentat doar variaia forei Fq1 -fig. 3.36).Fq1 [N]

t [s]

a b Figura 3.36. Variaia forei Fq1 prin metoda (a)-Lagrange cu multiplicatori i (b)- Adams 3.4. Concluzii n urma modelrii analitice i a simulrilor numerice a celor cinci roboi paraleli se deprind urmtoarele concluzii: Decuplarea micrilor conduce la simplificarea comenzii robotului, n sensul c modelul cinematic are form mai simpl, matricea Jacobian fiind matricea identitate (n cazul robotului cu toate micrile decuplate); Decuplarea micrilor nu se regsete i la nivel dinamic (decuplarea ecuaiilor dinamice), ceea ce duce la un model dinamic analitic relativ complex; Studiul analitic efectuat pune n evidena c, att din punct de vedere cinematic ct i din punct de vedere dinamic, complexitatea modelului crete odat cu creterea numrului de micri cuplate; ca urmare, robotul paralel cu 3 micri decuplate devine structura robot recomandat, cu cel mai simplu modul cinematic i respectiv dinamic (cel mai eficient sistem de comand-control n timp real); Mai multe metode de modelare dinamic analitic (Lagrange de spea a II-a, Lagrange cu multiplicatori, Newton-Euler recursiv) au fost aplicate cu succes pe una din cele cinci structuri analizate n vederea studiului eficienei acestora n modelare, rezultatele obinute fiind identice; Dintre metodele dinamice analitice analizate, cea mai simpl aplicare s-a obinut n cazul metodei Lagrange cu multiplicatori, motiv pentru care pentru ceilali patru roboi paraleli rmai de analizat s-a optat pentru utilizarea acestei metode; Odat cu creterea gradului de cuplare a micrii, expresiile analitice ale forelor motoare devin tot mai complexe; astfel se atinge gradul maxim de complexitate n cazul robotului Triglide (robot paralel cu micri cuplate i cuple sferice n lanul paralelogram); Simulrile numerice efectuate au validat modelele dinamice analitice n toate cele 5 cazuri analizate; Din simulrile efectuate, cel mai defavorabil caz este cel al robotului paralel cu dou micri cuplate (de tip 1TRRR+2TRPaR), unde se obin valorile cele mai mari ale forelor motoare.


33

4. STUDIUL COMPARATIV RIGID-ELASTIC AL COMPORTAMENTULUI DINAMIC PENTRU FAMILIA DE ROBOI PARALELI TRIMOBILI CU DIFERITE GRADE DE CUPLAREObiectivul principal al acestui capitol este realizarea unui studiu comparativ al unei familii de roboi paraleli trimobili, n vederea stabilirii influenei cuplrii micrilor i a elasticitilor elementelor cinematice asupra comportamentului cinematic i dinamic. Obiectivele principale ale acestui capitol cuprind: Elaborarea modelelor CAD utiliznd softul ADAMS a celor 5 structuri de roboi paraleli analizai n capitolul anterior; Analiza comparativ a comportamentului cinematic i dinamic al celor 4 roboi paraleli cu diferite grade de cuplare a micrilor n ipoteza corpului rigid i pentru doi dintre acetia i n ipoteza corpului elastic; Analiza comportamentului cinematic i dinamic n cele dou ipoteze de lucru pentru cel de-al cincilea robot analizat, i anume robotul paralel Triglide. Pentru acesta, care este un robot paralel pretabil a fi utilizabil n medicin, s-a optat pentru un studiu al influenei diametrului barelor asupra preciziei micrii; astfel s-au luat n considerare dou variante: 10mm i 20mm. De asemenea, va fi studiat influena unei mase suplimentare de 2500gr. (echivalent cu masa unui instrument ataat elementului final) asupra comportamentului cinematic i dinamic al robotului. n acest context, modelele CAD n ADAMS au fost realizate utiliznd elemente simple de tip bar cilindric, urmrindu-se obinerea unei mase totale echivalente pentru cei patru roboi analizai, de aproximativ 61kg. Studiul este realizat n dou ipoteze de lucru: ipoteza corp rigid; ipoteza corp elastic. n ceea ce privete modelul n ipoteza corp deformabil, s-a optat pentru utilizarea modulului AUTOFLEX din softul ADAMS, care permite obinerea unui model n ipoteza corp elastic fr a mai trece printr-un program specializat de element finit (Nastran, Patran, etc). Studiul n ipoteza corpului elastic are dou obiective principale: 1. Identificarea abaterilor de la traiectoria dorit (eroarea de poziie) datorate deformaiilor elastice ale elementelor; 2. Evidenierea influenei deformaiilor elastice asupra comportamentului dinamic al robotului, descris prin influena asupra forelor motoare. n vederea studiului comparativ, pentru primele 4 structuri analizate s-a ales generarea traiectoriei de micare n spaiul operaional i s-a utilizat ca lege de micare o polinomial de ordinul 5, aceasta asigurnd sistemului condiii optime de funcionare. Simulrile numerice n ipoteza corpului rigid permit evidenierea comparativ a comportamentului cinematic i dinamic al acestor roboi paraleli pe baza simulrii CAD. 4.1. Studiul comportamentului cinematic i dinamic n ipoteza corpului rigid Simulrile numerice n ipoteza corpului rigid permit evidenierea comparativ a comportamentului cinematic i dinamic al acestor roboi paraleli pe baza simulrii CAD.

34


4.1.1. Robotul paralel de tip Isoglide3-T3 Primul din cei cinci roboi paraleli analizai este robotul paralel Isoglide3-T3, iar n fig.4.1. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elemente rigide. Traiectoria impus este de a realiza o deplasare a platformei de 200mm n 10s dup toate cele cele trei axe.

a b c Figura 4.2. Deplasarea dup axa X (a) , Y(b) i Z(c) a platformei mobile (linie continu) i deplasrile relative din cuplele motoare (linie intrerupt) Din analiza fig. 4.2 se poate stabili i pe cale numeric (grafic) ndeplinirea proprietii de decuplare total a micrilor: La nivelul deplasrilor apare o diferen constant ntre cele dou curbe cu alur identic i se datoreaz distanei la care se afl punctul caracteristic H al efectorului fa de origine la timpul t= 0 [s].

a

b c Figura 4.5. Variaia forelor motoare Fq1 (a), Fq2(b) i Fq3(c)

Forele motoare (fig. 4.5) se situeaz la valori de maxim 18N n cazul forei Fq2, acest motor fiind de altfel cel mai puin solicitat; iar cel mai solicitat este motorul care realizeaz o deplasare dup axa Z, i anume Fq3, cu o valoare maxim de peste 8 ori mai mare dect celelalte dou fore. Aceste valori superioare se datoreaz i efectului acceleraiei gravitaionale. 4.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR Cel de-al doilea robot paralel analizat este robotul paralel cu o micare cuplat de tip 2TRRR+1TRPaR, iar n fig.4.6. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elemente rigide. Traiectoria impus (ca i n cazul precedent) este cea de a realiza o deplasare a platformei de 200mm n 10s dup toate cele cele trei axe.


35

a b c Figura 4.7. Deplasarea dup axa X (a) , Y(b) si Z(c) a platformei mobile (linie continu) i a cuplelor motoare (linie intrerupt) n acest caz, datorit cuplrii micrii dup axa Z, n cupla de translaie motoare 3 se nregistreaz o deplasare de 300mm pentru a se obine la efector o deplasare de 200mm (fig. 4.7.c). Aceasta implic o solicitare suplimentar a motorului (realizarea unei deplasri mai mare n acelai timp), ceea ce nseamn implicit i un consum energetic mai mare de energie fa de cazul robotului analizat anterior.

a

b c Figura 4.10. Variaia forelor Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c)

Pentru forele motoare, dup cum se poate observa n fig. 4.10, efectul cuplrii micrii produce efecte majore ale comportamentului dinamic, acestea sunt mai mari (de aprox. 10 ori mai mari), cu excepia forei Fq3, care atinge valori asemntoare cu cazul precedent. 4.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR n cazul acestei structuri, datorit cuplrii, micrii dup axa Y i Z, n cupla de translaie motoare 2 i 3 se nregistreaz o deplasare de 550mm i respectiv 300mm pentru a se obine la efector o deplasare de 200mm (fig. 4.12.b,c). Aceasta implic o solicitare suplimentar a celor dou motoare pentru a putea realizara o deplasare mai mare n acelai timp (fa de cazul n care avem micare decuplat), ceea ce nseamn implicit i un consum energetic mai mare de energie fa de cazurile analizate anterior. Pentru forele motoare, dup cum se poate observa n fig. 4.15, efectul cuplrii micrii produce efecte majore ale comportamentului dinamic, acestea fiind simitor mai mari (de aprox. 4 ori mai mari), cu excepia forei Fq3 care atinge valori de aproximativ 4 ori mai mari fa de cazurile precedent analizate.

36


a b c Figura 4.12. Deplasarea dup axa X (a) , Y(b) si Z(c) a platformei mobile (linie continu) i a cuplelor motoare (linie intrerupt)

a

b c Figura 4.15. Variaia forelelor Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c)

4.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR Cel de-al patrulea robot paralel analizat este robotul paralel cu trei micri cuplate de tip 3TRPaR, iar n fig.4.16. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elemente rigide. Traiectoria dorit este de a realiza o deplasare a platformei de 200mm n 10s dup toate cele cele trei axe. Din punct de vedere cinematic, la deplasri, conform rezultatelor obinute n fig 4.17, se poate observa c este nevoie de o deplasare n cuplele motoare mult mai mare dect deplasarea efectorului, nregistrndu-se deplasri de pn la aproximativ 150% mai mari dect cele dorite a fi obinute pentru efector.

a b c Figura 4.17. Deplasarea dup axa X (a) , Y(b) i Z(c) a platformei mobile (linie continu) i a cuplelor motoare (linie intrerupt)


37

Pentru forele motoare, efectul cuplrii micrilor conduce la o for maxim Fq3 mai mic dect n celelalte cazuri (fiind un robot cu micri cuplate, efectul acceleraiei se distribuie i pe celelalte lanuri cinematice), n schimb crete valoarea maxim a forei Fq2 la aproape 180N, care este cu mult mai mare fa de celelalte cazuri.

a

b c Figura 4.20. Variaia forelelor Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c)

4.1.5. Robotul paralel Triglide Pornind de la modelul SolidWorks al robotului Triglide (fig.4.21.a) s-a realizat un model Adams (fig. 4.21.b), n vederea analizei cinematice i dinamice a acestui robot. Pentru obinerea modelului Adams, s-au importat o parte din elemente realizate n SolidWorks (cum ar fi de exemplu baza i motoarele), restul fiind realizate cu ajutorul unor elemente simple, de tip cilindru i paralelipiped n Adams. q2 q3 q1

a b Figura 4.21. Modelul CAD al robotului paralel Triglide (a- SolidWorks, bAdams) Analiza are la baz un studiu comparativ pentru dou cazuri: cu elemente de diametru 10 mm (partea lung a paralelipipedului) i cu diametru de 20mm; n vederea stabilirii variantei optime de diametru n vederea utilizrii robotului n aplicaii medicale. Pe lng diametrele brilor verticale, un alt aspect care va fi luat n considerare este cel al unei mase suplimentare, echivalent cu un instrument chirurgical ataat elementului final. Un prim studiu efectuat este pentru cazul n care avem un diametru de 10mm al barelor verticale, pentru un task impus n efector, i anume o micare circular cu o raz de 50mm, ntr-un timp de 10 secunde.

38


n cele ce urmeaz vor fi prezentate doar micarile din cupla motoare q1. Astfel, n cupla q1 rezult o deplasare de maxim 0.13m, o viteza maxim de 0.05m/s i o acceleraie maxim de 0.055m/s2 (fig. 4.23).

a b c Figura 4.23. Micarea din cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) i acceleraia (c) Datorit supleei structurii, efectul asupra comportamentului dinamic este redus, obinndu-se valori mici pentru forele motoare, de maxim 1.45N, valoare obinut pentru fora din cupla q3 (fig, 4.26.c).

a b c Figura 4.26. Variaia forelor motoare Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c) Dup cum s-a menionat anterior, micarea dorit a fi obinut n efector este una circular, prezentat n 4.28.

a b c Figura 4.28. Micarea platformei: deplasarea (a), viteza (b) i acceleraia (c) Un al doilea studiu efectuat este cel cu luarea n considerare a unor bare de diametru 20mm; pentru acest caz s-a studiat i influena masei suplimentare (ce poate reprezenta un instrument chirurgical ataat platformei mobile) asupra comportamentului cinematic i dinamic al robotului analizat. Astfel, pentru micarea din cupla motoare (aceeai ca i n primul caz analizat) q1,


39

rezult o valoare maxim a deplasrii de 0.12 m, o vitez maxim de 0.05 m/s i o acceleraie maxim de 0.055 m/s2, valori asemntoare cu cele obinute n cazul precedent analizat datorit faptului c efectul dublrii diametrelor se remarc doar n comportamentul dinamic al robotului.

a b c Figura 4.30. Micarea din cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) i acceleraia (c) Pentru forele motoare, efectul dublrii diametrelor barelor se vede prin mrirea valorilor obinute pentru forele motoare, acestea ating valori maxime de pn la 2N n cazul forei Fq3, dar i celelalte fore ating valori maxime mai mari fa de cazul precedent analizat.

a b c Figura 4.33. Variaia forelor motoare Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c) n cadrul acestui studiu, un al doilea aspect care a fost luat n considerare este cel de a introduce o mas suplimentar (ataat efectorului), care s reprezinte greutatea instrumentului chirurgical pe care s l prehenseze efectorul (platforma mobil). Astfel, se poate observa c efectul masei suplimentare asupra comportamentului dinamic este semnificativ, forele mrindu-i valorile maxime obinute de peste dou ori (fig. 4.35).

a b c Figura 4.35. Variaia forelor motoare Fq1 (a), Fq2 (b) i Fq3 (c) linie continu i n cazul introducerii unei mase suplimentare de 2500gr.- linie intrerupt

40


4.2. Studiul comportamentului cinematic i dinamic n ipoteza corpului elastic Spre deosebire de cazul ipotezei corp rigid, n realitate n sistemele mecanice apar deformaii elastice ale elementelor care afecteaz comportamentul cinematic i dinamic al acestora. Pentru a evidenia aceste influene, n continuare se prezint un studiu comparativ prin considerarea elasticitii naturale a elementelor cinematice al celor 2 roboi paraleli cu 0 i 3 grade de cuplare a micrilor (Isoglide3-T3 i Orthoglide), la care se adaug i studiul robotului paralel Triglide. n acest sens, modelul cu elemente rigide obinut n ADAMS se transform ntr-un model cu elemente elastice prin utilizarea modulului AutoFlex din ADAMS. n acest studiu au fost considerate numai elasticitile elementelor 3x, 4x i 5x, unde x=A,B,C (vezi fig.3.1 i 3.4); efectul celorlalte elemente cinematice fiind neglijate datorit dimensiunilor reduse. 4.2.1. Robotul paralel Isoglide3 T3 de tip 3TRRR n vederea studiului influenei elasticitilor asupra comportamentului robotului Isoglide3-T3 cu micri decuplate, cu ajutorul modului ADAMS AUTOFLEX; elementele rigide anterior create sunt transformate n elemente elastice (doar elementele lungi 3i i 4i unde i=a,b,c), cu luarea n considerare doar a frecvenelor naturale mai mici de 5000 Hz. Traiectoria generat i comandat este aceeai cu cea din cazul studiului n ipoteza corpului rigid. Referitor la abaterea de poziionare (fig.4.39), se poate observa c aceasta se situeaz la nivel de zecimi de milimetri, influena deformaiilor asupra sistemului regsindu-se cu precdere la nceputul traiectoriei, n primele 1.5s - timp necesar reducerii efectelor datorate ocului de pornire a sistemului.

a b c Figura 4.39. Eroarea de poziie dup axa X (a) , Y(b) i Z(c) a platformei mobile Timpul necesar de amortizare a ocurilor de pornire (de aproximativ 1.5s) influeneaz i comportamentul dinamic, la nivel de fore motoare apar abateri mari la nceputul traiectoriei fa de comportamentul robotului n ipoteza corpului rigid (fig.4.39); dup stabilizare, valorile forelor devin mai apropiate de cele stabilite n ipoteza corpului rigid (fig. 4.41). n concluzie, se poate constata o diferen semnificativ a comportamentului cinematic i dinamic n perioada de nceput a traiectoriei (aproximativ 1.5s) cu efecte neglijabile dup aceast perioad.


41

a b c Figura 4.41. Diferena dintre fora Fq1(a) , Fq2 (b) i Fq3 (c) n ipoteza corpului rigid i n ipoteza corpului elastic 4.2.2. Robotul paralel de tip 3TRPaR i n cazul robotului paralel cu micri cuplate de tip 3TRPaR, se pornete de la modelul CAD realizat n ipoteza corpului rigid i se realizeaz un model echivalent cu elemente elastice (fig. 4.42.a), n ipotezele: elementele 4i i 5i elastice i se iau considerare doar frecvenele naturale mai mici de 5000 Hz. n ceea ce privete comportamentul cinematic al acestui robot, se poate concluziona c abaterea de la traiectoria impus, n condiiile considerrii elasticitilor elementelor, este de ordinul 10-5 mm (fig. 4.43).

a b c Figura 4.43. Eroarea de poziie dup axa X (a) , Y(b) i Z(c) a platformei mobile

a b c Figura 4.44. Variaia forei Fq1(a) , Fq2 (b) i Fq3 (c) n ipoteza corp rigid (linie continu) i n ipoteza corp elastic (linie intrerupt) Din punct de vedere al comportamentului dinamic, se remarc un timp foarte scurt de amortizare a ocurilor datorate pornirii sistemului (sub 0.1s), iar forele motoare au valori

42


relativ apropiate de cele obinute n cazul modelului generat n ipoteza corpului rigid (fig. 4.44). 4.2.3. Robotul paralel Triglide n cadrul acestui studiu se urmri comportamentul cinematic i dinamic al robotului paralel Triglide cu bare de 10 i 20 mm cu luarea n considerare a elasticitilor barelor. Scopul acestui studiu este identificarea influenei elasticitilor elementelor asupra comportamentului robotului Triglide i evidenierea soluiei optime n vederea utilizrii n aplicaii medicale a acestui robot cu bare de diferite diametre. Astfel, s-au luat n considerare doar fecvenele mai mici de 200Hz (avnd n vedere c materialul utilizat este aluminiu) pentru cazul cu diametru de 10mm i 500Hz pentru cel cu diamentrul barelor de 20mm. Pentru a evidenia efectul elasticitilor asupra comportamentului cinematic i dinamic al robotului, n fig. 4.46 sunt prezentate efectele elasticitilor asupra abaterii de la micarea dorit n efector, pus n eviden prin raza polar OP.

a b Figura 4.46. Raza polar a centrului platformei (punctul P) a robotului paralel Triglide cu bare de 10mm (a) i 20mm (b) n ipoteza corp rigid (linie continu) i n ipoteza corp elastic (linie intrerupt) n schimb, pentru variaia forelor motoare, efectul elasticitilor se simte cu precdere pentru cazul utilizrii unui diametru a barelor de 10mm, unde datorit supleii structurii se ating valori de pn la 5000N (fig.4.50.a). Pentru cazul utilizrii unui diametru al barelor de 20mm, la nceputul traiectorei se ating valori mari (de pana la 5000N), ns dup stabilizare se apropie de cazul ipotezei corp rigid (fig. 4.50).

a

b

c

Figura 4.50. Variaia forelor motoare Fq3 a robotului paralel Triglide cu bare de 10mm (a) i 20mm (b,c) n ipoteza corp rigid (linie continu) i n ipoteza corp elastic (linie albastr)


43

4.3. Concluzii Din analiza efectuat n cadrul acestui capitol se desprind urmtoarele concluzii: Studiul comparativ n ipoteza corpului rigid, realizat pentru structuri inerial echivalente, ale celor 4 roboi paraleli analizai cu diferite grade de cuplare a micrii (de la 0 la 3 grade de cuplare), i pentru aceeai traiectorie n spaiul operaional, a evideniat superioritatea performanelor dinamice ale robotului paralel cu 3 micri decuplate n raport cu celelalte 3 structuri; Studiul comparativ n ipoteza corpului elastic pentru doi dintre cei patru roboi analizai, pune n eviden influena elasticitilor elementelor asupra comportamentului cinematic i dinamic al roboilor analizai; n acest sens comportamentul cel mai favorabil l are robotul paralel cu 3 micri cuplate de tip 3TRPaR, la care efectul elasticitilor elementelor asupra comportamentului cinematic i dinamic este minim, practic eliminndu-se perioada tranzitorie; Corobornd toate aspectele prezentate anterior, reiese c din punct de vedere cinematic i dinamic, n ipoteza corpului rigid, robotul paralel Isoglide3-T3 are comportamentul optim (decuplarea duce la deplasrile cele mai mici n cuplele motoare n cazul celorlali trei roboi sunt necesare deplasri mult mai mari n cuplele motoare pentru a obine o aceeai deplasare la efector). n ipoteza corpului elastic, robotul paralel de tip 3TRPaR are avantajul de a avea un comportament mai bun datorit paralelismului ntre elementele componente ale fiecrui lan cinematic care duce la reducerea la minim a timpului de stabilizare al sistemului (i implicit erorile aprute n sistem), dar necesit o deplasare mai mare n cuplele motoare; Ca urmare, decelarea variantei optime depinde de cerinele impuse de aplicaia de implementat; n ceea ce privete robotul paralel Triglide, simulrile numerice ale modelului CAD au scos n eviden comportamentul robotului n cazul utilizrii de bare de diferite diametre att n ipoteza corp rigid ct i n ipoteza corp elastic; mai mult s-a urmrit i influena elasticitilor elementelor atunci cand n efector se consider o mas suplimentar de 2500gr., mas ce ar putea reprezenta un instrument chirurgical ataat centrului platformei mobile; Efectul elasticitilor asupra comportamentului cinematic i dinamic al robotului Triglide crete odat cu scderea diametrului barelor (datorit supleii structurii); astfel, ajungndu-se i la valori de aproximativ 5000 ori mai mari pentru cazul diametrului de 10mm; Astfel, alegerea optim a diametrului barelor elementelor cinematice ale robotului Triglide trebuie s se fac n funcie de masa maxim care se dorete a fi prehensat (n spe greutatea maxim a instrumentelor chirugicale pentru cazul utilizrii acestuia n domeniul medical) i de spaiu de lucru al robotului. Astfel, dac lungimea elementelor este mare (ca n cazul de fa unde ating 0.6m), pentru a reduce supleea se urmrete a se utiliza un diametru mai mare al barelor, dac se dorete a se prehensa o greutate mare.

44


5. STUDIUL INFLUENEI GRADULUI DE HIPERSTATICITATE ASUPRA COMPORTAMENTULUI CINEMATIC I DINAMIC AL UNEI FAMILII DE ROBOI PARALELI TETRAMOBILIAcest capitol este dedicat studiului cinematic i dinamic al unei familii de roboi paraleli cu micri decuplate cu 4 grade de mobilitate i diferite grade de hiperstatisticitate, cu exemplificare pentru 4 structuri de tip Isoglide4 (fig. 5.1). Pentru a pune n eviden comportamentul roboilor paraleli cu micri decuplate i elemente deformabile, n partea a doua a acestui capitol se prezint o analiz comparativ a structurilor din fig. 5.1 [GOG05]. Platforma mobil a acestor roboi (elementul 6 fig. 5.1.a,b,c i elementul 5 fig. 5.1.d) are trei translaii independente (3T) dup cele trei axe (X, Y i Z) i o rotaie (1R) cuplat dup axa Y, dependent de diferena ntre micrile celor dou cuple motoare cu micare dup axa Z. Pentru realizarea unei comparaii pertinente n ceea ce privete rezultatele obinute, studiul comparativ este realizat cu ajutorul softului ADAMS, utiliznd aceleai ipoteze de lucru: -modelul n ipoteza corpurilor rigide se realizeaz cu ajutorul modulului ADAMS VIEW, utiliznd elemente simple de tip cilindru, sfer, paralelipiped; -pornind de la modelul n ipoteza corp rigid, modelul n ipoteza corp elastic se realizeaz cu ajutorul modulului ADAMS Autoflex.

Figura 5.1. Structuri cinematice Isoglide4 cu micri decuplate i de tip: 3-TRRRR+1TRRR (a), 3-TRRRR+1-TRRRR (b), 2-TRRS+1-TRRR+1-TRRRR (c) i 3-TRRS+1TRRR (d) [GOG05]


45

5.2. Studiul comparativ al roboilor paraleli cu micri decuplate de tip Isoglide4 Conform fig. 5.1, cei 4 roboi cu micri decuplate i 4 grade de mobilitate realizeaz 3 translaii dup cele trei axe (X, Y i Z) i o rotaie dup axa Y. Aceste soluii sunt roboi paraleli de tip T3R1 i diferite grade de hiperstaticitate. Soluia prezentat n fig.5.1.a are 3 grade de hiperstaticitate. Soluia prezentat n fig.5.1.b reprezint o soluie derivat din varianta prezentat n fig.5.1.a i descris anterior, la care ultima cupl de rotaie a braului B nu mai este paralel cu celelelate cuple de rotaie pasive ale braului, ea fiind perpendicular, n vederea reducerii gradului de hiperstaticitate (acesta are gradul de hipersticitate 2). Soluiile prezentate n fig.5.1.c i d sunt soluii rezultate din varianta prezentat n fig.5.1.a, la care ultimele 2 cuple de rotaie nemotoare ale braului C i D (i ulterior i A) sunt nlocuite cu cuple sferice nemotoare n vederea ajungerii la valoarea de 0 a gradului de hiperstaticitate. 5.2.1.Varianta A: Isoglide4 de tip 3-TRRRR+1-TRRR

Fq4

Fq3

a b c Figura 5.2. Schema cinematic a robotului paralel Isoglide 4 de tip 3-TRRRR+1TRRR (a); modelul ADAMS rigid (b) i modelul ADAMS elastic (c) Robotul paralel Isoglide4 (fig. 5.2) este compus din 4 lanuri cinematice deschise (LCD) care fac legatura ntre baza fix i platforma mobil (elementul 6); fiecare bra este compus dintr-o cupl de translaie (care este i cupl motoare) i cte 4 cuple de rotaie (pentru lanul LCDA, LCDC i LCDD) i respectiv 3 cuple de rotaie (pentru lanul LCDB). n vederea testrilor acestor structuri de roboi, att din punct de vedere cinematic ct i din punct de vedere dinamic, att n ipoteza corp rigid ct i elastic, sunt necesare urmtoarelor etape de lucru: Stabilirea ipotezelor de lucru: a) Elementele componente sunt modelate prin primitive grafice elementare de tip cilindru, sfer etc.; b) Masa total a roboilor analizai este aceeai pentru a avea o echivalent inerial a acestora;

Fq1

Fq2

46


c) Masa este considerat a fi distribuit pe element; d) Acceleraia gravitaional acioneaz

Link Click

Documents

Transcript of Link Click